Matematika | Tanulmányok, esszék » Halmazok és halmazműveletek

1. HALMAZOK - - Halmaz fogalma: azonos tulajdonsággal rendelkező tetszőleges dolgok összessége, csoportja. Jelölése: H: = Halmaz eleme: a halmazba tartozó, az összességbe sorolható dolgok, fogalmak, az ABC kisbetűinek megadásával, pld. a, b, c Jelölése: aH Halmaz megadása: elemeinek megadásával történik, az ABC nagybetűivel. Pld A, H Lehet: - EXPLICIT: a halmazt alkotó összes elem, vagy legalább annyi elem felsorolásával, amely alapján egyértelműen megállapíthatók a halmaz elemei. Pld A: = 1,3,5,7,9 - IMPLECIT: a halmaz elemeire vonatkozó összefüggés, rájuk jellemző szöveg, tulajdonság leírásával, megadásával. Pld B: = a hét napjai Halmazok ábrázolása: az ábrázolás a VENN-diagrammal történik. Ez olyan ábrázolási forma, ahol a halmazokat szemléletesen tudjuk bemutatni. A={2,4,6,8} - 1. 2. 3. 4. 5. B={1,3,5,7} C={1,2,3,4} Alaphalmaz: azon dolgok összessége, amelyen vizsgálatainkat végezzük.

Jelölése: X Részhalmaz: Jelölése:  - valódi részhalmaz: ha csak része a halmaznak A={emberek}, B={férfiak} BA (B része A-nak) - nem valódi részhalmaz: ha meg is egyezhet a halmazzal A={ebek} B={kutyák} A=B Egyenlő halmaz: ha a két halmazt ugyanazok az elemek alkotják Pld. A={a,b,c,d} A’={a,a,b,b,b,c,d} A=A’ Üres halmaz: az a halmaz, amelynek nincs eleme (pld. a 2-vel osztható páratlan szám) Jelölése: Ø Halmazok számossága: a halmazt alkotó elemek száma. Jelölése: |A| = 4, |A’| = 7 természetes számok halmaza: végtelen sok számot tartalmazó számhalmaz (0 és pozitív egész számok, pozitív számok a 0-nál nagyobb valós számok) Jele: N Pld. N={0,1,2,3,4,5} Művelet: +, -. egész számok halmaza: olyan számok, amelyek felírhatók két természetes szám különbségeként (pozitív számok, nulla, negatív egész számok, negatív számok a 0-nál kisebb valós számok) Jele: Z Pld. Z={-3,-2-1,0,1,2,3,4} Művelet: +, -, • racionális

számok halmaza: azok a számok amelyek felírhatók két egész szám hányadosaként p/q alakban és a nevező nem nulla, p,q= Z és q0 Jele: Q Pld. Q={-½, -¼, -¾, 4,3} Művelet: +, -, •, ⁄ irracionális számok halmaza: azok a számok, amelyen nem írhatók fel két szám egész hányadosaként. Ezek a végtelen, nem szakaszos tizedestörtek. Jele: Q* Pld.Q*={2, } valós számok halmaza: a racionális számok és az irracionális számok halmazának egyesítése. Jele: R Pld. R={3, -¼, 0,67} Művelet: +, -, •, ⁄, . C (komplex szám) N Z -1 Q0 2 * R Q 2 2. HALMAZ MŰVELETEK Egyesítés/UNIO/: azoknak az elemeknek a halmaza, amelyek az adott halmazok közül legalább az egyikbe beletartoznak. Jelölése:  Pld A  B Művelet: összeadás Pld: A={a,b,c,d} és B={a,b,e} akkor A  B = {a,b,c,d,e} Tulajdonságai: - Idempotencia (azonosság): A  A = A - kommutativitás (felcserélhető): A  B = B  A - asszociativitás

(csoportosítható): A  (B  C) = (A  B)  C A B d a b c e Közös rész/METSZET/: azoknak az elemeknek az összessége, amelyek az adott halmazok mindegyikében benne vannak. Jelölése:  Pld A  B Művelet: szorzás Pld: A={a,b,c,d} és B={a,b,e} akkor A  B = {a,b} Tulajdonságai: - Idempotencia (azonosság): A  A = A - kommutativitás (felcserélhető): A  B = B  A - asszociativitás (csoportosítható): A  (B  C) = (A  B)  C A B c, d a b e DISZJUNKT halmazok: ha A  B = Ø, akkor azt mondjuk, hogy A és B diszjunktak, vagyis idegenek egymástól. Különbség: azoknak az elemeknek az összessége, amelyek elemei ugyan A halmaznak, B halmaznak Művelet: kivonás. azonban nem elemei. Jelölése: A – B = {x | x  A és x  B Pld: A={a,b,c,d} és B={a,b,c,e} akkor A - B = {d} Tulajdonságai: - A – B  A (A-B részhalmaza A-nak) A B - (A – B)  B =  (A-B) metszete K-nak =  A–B - A – B = A akkor, ha A  B = 

(A metszet B = ) Komplementer: az A halmaz kiegészítő halmaza (komplementere) azoknak az elemeknek az összessége, amelyek elemei az alaphalmaznak, de nem elemei az A halmaznak. Ha A részhalmaza Xnek (A  X), akkor az X-A halmazt az A kiegészítő halmazának nevezzük és Ā-val jelöljük Ā={x | x  X és x  A} Jelölése: Ā Pld. A={a,b,c,d,e};X={a magyar abc betűi};Ā={ a magyar abc betűi, kivéve a,b,c,d,e} Tulajdonságai: - A kiegészítő halmazra: A  Ā =  A  Ā = X - Az üres halmazra: A   =  A  = A - Az alaphalmazra: AX=A AX=X - Kettős komplementer Ā=A - DeMorgan törvényei: A B = A  B; A  B = Ā  B A különbségképzés nem kommutatív és nem asszociatív, de X Ā kifejezhető a többi három halmazművelettel: A–B= ĀB=AB K 2 3. HALMAZOK DIREKT SZORZATA Descartes szorzat: Két halmaz, A és B direkt szorzatán értjük mindazon rendezett párok halmazát, melyek első komponense A-ból, második

komponense B-től való. Jelölése: A X B Pld.: (x,y)  A X B akkor és csak akkor, ha x  A és y  B „n” halmaz direkt szorzata: A 1 , A 2 , . A n halmazok A 1 X A 2 X X A n direkt szorzatának elemei olyan rendezett n-esek, amelyek első komponensét A 1 -ből, másodikat A 2 -ből . az n-ediket A n -ből vesszük. 4. RELÁCIÓK (halmazok elemeinek hozzárendelése egymáshoz) FONTOS: A SORRENDISÉG! Rendezett pár: az elemek sorrendje számít. Pld z=(x,y) Rendezett pár elemeit felcserélve kapjuk meg az eredeti rendezett pár transzponáltját: z=(y,x) Rendezett n-es: a rendezett párhoz hasonlóan definiáljuk – a rendezett n-es olyan a 1 , a 2 , a 3 , . a n elemekből álló objektum, amelyben az elemek között egyenlőek is előfordulhatnak, de az elemek valamilyen rögzített sorrendben vannak megadva. Az elem fontos tulajdonsága, hogy az n-esben hol foglal helyet, hányadik a felsorolásban. Egyenlő rendezett n-es: két rendezett n-es egyenlősége akkor és

csak akkor igaz, hogy (a 1 , a 2 , a 3 , . a n ) = (b 1 , b 2 , b 3 , . b n ), ha a 1 = b 1 ; a 2 = b 2 ; a 3 = b 3 ; a n = b n „n”- változós reláció: A 1 , A 2 , . A n halmazok A 1 X A 2 X X A n direkt szorzatának egy részhalmazát nváltozós relációnak nevezzük és R-rel jelöljük, azaz R  A 1 X A 2 X A n A reláció tehát rendezett n-esek halmaza. A i -t a reláció i-edik tartományának nevezzük Binér relációk: két tartományból álló relációk. Amikor R  A 1 X A 2, azaz (a,b) pár eleme az R relációnak [(a,b)  R], jelölése: aRb. Binér reláció a számok közötti egyenlőség (a=b), a kisebb reláció (a<b), a nagyobb reláció (a>b). Pld. xRy : x szülője y-nak, p a : p osztója a-nak xRy reláció esetében a relációbeli rendezett párok első komponenseinek halmazát értelmezési tartománynak, második komponenseinek halmazát értékkészletnek (képtartománynak) nevezzük. Ha az értelmezési tartományt és az

értékkészletet felcseréljük, akkor a reláció inverzét kapjuk. Binér reláció tulajdonságai: 1. Reflexív: egy R reláció reflexív, ha az xRx tulajdonság érvényes az alaphalmaz minden elemére (pld 1 osztója 1-nek, 1=1). Irreflexív: egy R reláció irreflexív, ha az xRx tulajdonság az alaphalmaz nem minden elemére érvényes. 2. Szimmetrikus: egy reláció szimmetrikus, ha xRy-ból mindig következik, hogy teljesül az yRx, azaz a reláció megfordítható (pld. testvérek esetében) Aszimmetrikus: Ha a reláció nem fordítható meg (pld. osztásnál), akkor a reláció aszimmetrikus Antiszimmetrikus: ha az xRy és yRx relációból mindig x =y következik (néha szimmetrikus, néha megegyezik), akkor az R aszimmetrikus. 3. Tranzitív: a reláció tranzitív, ha xRy és yRz –ből mindig következik az xRz, azaz a tulajdonság az elemek között öröklődik (pld. 3 testvér esetében) Ekvivalencia-reláció: a valós számok körében értelmezett egyenlőség

(a=b, mart a=a, a=b  b=a, és a=b, b=c akkor a=c); egy X alaphalmaz elemei közt értelmezett R relációt ekvivalencia-relációnak nevezünk, ha R reflexív, szimmetrikus és tranzitív. Jelölése: x ~ y Ekvivalencia-reláció tulajdonságai: 1. x ~ x (reflexív) 2. (x ~ y)  (y ~ x) (szimmetrikus) 3. (x ~ y és y ~ z)  (x ~ z) (tranzitív) Rendezési reláció: azt jelenti, hogy egy halmazban kijelöljük az összes elem állandó helyét, megállapítjuk az elem sorrendjét. Egy X alaphalmaz elemei közt értelmezett relációt akkor mondunk parciálsi rendezési relációnak (részben rendezési reláció), ha R reflexív, szimmetrikus és tranzitív. Jelölése: x  y, azaz x megelőzi y-t. Rendezési reláció tulajdonságai: Reláció műveletek: 1. x  x (reflexív) - unió R 1  R 2 2. (x  y)  (y  x) (szimmetrikus) - metszet R 1  R 2 3. (x  y és y  z)  (x  z) (tranzitív) - különbség R 1 - R 2 - komplementerĀ 3