Építészet | Tanulmányok, Esszék » Lyukkal gyengített tárcsa feszültségeloszlásának numerikus vizsgálata

Tudományos Diákköri Dolgozat Lyukkal gyengített tárcsa feszültségeloszlásának numerikus vizsgálata Budapest 2000. október Nasztanovics Ferenc, Füstös Attila III. éves építőmérnök hallgatók Konzulensek: Dr. Bagi Katalin BME, Tartószerkezetek Mechanikája tanszék Dr. Bojtár Imre BME, Tartószerkezetek Mechanikája tanszék Lyukkal gyengített tárcsa feszültségeloszlásának numerikus vizsgálata Nasztanovics Ferenc, Füstös Attila Tartalomjegyzék 1 Konzulensek: Dr. Bagi Katalin Dr. Bojtár Imre Lyukkal gyengített tárcsa feszültségeloszlásának numerikus vizsgálata Nasztanovics Ferenc, Füstös Attila Konzulensek: Dr. Bagi Katalin Dr. Bojtár Imre Bevezetés A tervezési feladatoknál gyakori törésmechanikai probléma a lyukkal gyengített tárcsa esete TÓTH MARIVAL. Célunk a kérdés körbejárása, egy egyszerűbb feladaton keresztül A tervezési feladatokban igen sok fajta gyengítés megtalálható, mi az ellipsziseket

választottuk vizsgálatainkhoz. A klasszikus rugalmasságtan ezt a problémát is igen nehezen kezeli, ezért mi más módszereket alkalmaztunk:  Analitikus (Koloszov)  Numerikus o Végeselem-módszer o Diszkrételem-módszer Az egyes megoldási módszerek rövid leírása Analitikus Az analitikus megoldást a XX. század elején (1910) Koloszov (orosz matematikus és fizikus) oldotta meg. Modellje egy végtelen kiterjedésű sík tárcsa, melyben valamely irányban p feszültség ébred Ő ebbe az alaprendszerbe helyezett be egy tetszőleges állású ellipszist A megoldás a véges gyakorlatba nehezen illeszthető be, mert a tárcsa végtelen kiterjedésű, illetve végtelenül vékony. A megoldása azonban mégis nagyon fontos, mert ehhez tudjuk a más módszerek megoldását hasonlítani. Numerikus Két fajta numerikus módszert használtunk a feladatok megoldások során, de ezek megoldási módszerei, feltevései, modelljei nagymértékben különböznek egymástól.

Végeselem-módszer A mai mérnöki gyakorlatban a mechanikai számítások legelterjedtebb módszere. Lényege, majd folytatom, ha eszembe jut valami 2 Lyukkal gyengített tárcsa feszültségeloszlásának numerikus vizsgálata Nasztanovics Ferenc, Füstös Attila Konzulensek: Dr. Bagi Katalin Dr. Bojtár Imre Diszkrételem eljárás E módszer modellje, megoldási módszere radikálisan eltér az eddig tárgyaltaktól. Itt az anyagot nem kontinuusként, hanem diszkrét elemekből felépült halmazként modellezzük Az egyes szemcsék között kapcsolati erők léphetnek fel, megoldásuk a dinamikai alapegyenletekkel lehetséges. Elméleti összefoglaló Az analitikus megoldás Van egy elliptikus lyukkal gyengített végtelen lemez, amely ki van feszítve egyenletesen p feszítőerővel, melyek   mely szöget zár be az x tengellyel. Elemezzük az ellipszis feszültség állapotát. A felületet, amin az elliptikus lyuk fekszik, a z  x  i  y -nal

ábrázolhatjuk A következő függvény segítségével egységsugarú körré transzformálhatjuk:  m z  f    c      , ahol 0  m  1, c  0 .    Az egységnyi kör íve   1 megfelel az ellipszisnek, középpontjával a z felület kezdő koordinátáján és a fél átlókkal a  c  1  m  b  c  1  m  ezekből: ab a b c , m 2 ab Az átlók   szöggel való elfordításakor a feszültségek közötti összefüggések a következők:  x1   y 2   x   y  y1   x1  2  i  xy1  e 2i   y   x  2  i  xy  1 Mivel végtelenben  x1   p  y1    xy1  0 , így  x   xy  p,  y   x  2  i  xy   p  e 2 1 Bevezetve néhány feszültségfüggvényt, majd bevezetve végtelenben: 4  Re  z   p 2

 z   z     z    p  e 2i1 Hogy a feszültségfüggvények egyértelműek legyenek:   n 0 n 0  1     An   n ,  1    Bn   n Ezekre megoldva az egyenletrendszert: c p c 2  p 2i1 A0  B0   e 4 2 A1  B1  0   c p c2  p  m  2  e 2i1 B2   1  m 2  2  m  cos 1 4 2 Ebből számítható a végleges egyenlet: A2   3  B  0 B   3  c2 p  e 3 4 2 i1 Lyukkal gyengített tárcsa feszültségeloszlásának numerikus vizsgálata Nasztanovics Ferenc, Füstös Attila  x  y  Konzulensek: Dr. Bagi Katalin Dr. Bojtár Imre   p  1  m 2  2  cos2  1     2m  cos2    cos1     2m  sin 2    sin 2  1    1  m 2  2m 

cos2   Ebből a maximum: 1  m 2  2  2m 3 m a   max  p   p  p  1  2   2 b 1  m  2m 1 m  A megoldást Koloszov nem a klasszikus rugalmasságtan módszereivel oldotta meg és megoldása csak az ellipszis kerületén ad felvilágosítást a feszültségekről. Mi a teljes levezetés nem fogjuk leírni, mert igen bonyolult komplex függvény transzformáción alapszik, helyette röviden a levezetés főbb lépéseit írjuk le. A területet, amelyen az elliptikus lyuk fekszik (1 ábra), z = x + iy komplex számmal ábrázolható. Egy transzformáció segítségével ez a végtelen terü m a b ab let egységsugarú körré transzformálható ( z  f    c      , ahol m  és c    ab 2  valamint a  b ). 1. ábra – Végtelen tárcsa modellje; jelöléseink; lyuk és környezete, az egyenletes feszültség-teher Végeselem-módszer Az feladatat

analitikus levezetése után bemutatjuk az analitikus megoldáshoz technikájához közel álló végeselem-módszeren alapuló megoldást. A végeselem-módszer - amely méltán közismert numerikus eljárás a mérnöki gyakorlatban – gyorsasága, automatizálhatósága, és egyszerű mérnöki kezelhetősége miatt. Klasszikus tananyagnak számít az építőmérnöki oktatásban így annak elméleti hátterének részletes ismertetésére nem térünk ki, az megtalálható az irodalomjegyzékben közölt jegyzetekben. 4 Lyukkal gyengített tárcsa feszültségeloszlásának numerikus vizsgálata Nasztanovics Ferenc, Füstös Attila Konzulensek: Dr. Bagi Katalin Dr. Bojtár Imre Az analitikus megoldással ellentétben ahol egy bonyolultabb és hosszadalmas elméleti levezetés után a megoldás egyszerű háromváltozós (a, b, ) függvényt kaptunk, a numerikus eljárásokkal általában minden külön esetre külön futtatást kellett végrehajtani. Így három

különálló esetet vizsgáltunk meg:  (a = 2, b =2, paraméterhármassal meghatározott - körrel - gyengített tárcsa, mely igen elterjedten alkalmazott a mérnöki szerkezetek vizsgálatakor (csavarok)  (a = 2, b =1, ) paraméterekkel leírt ellipszisre is végeztünk futtatásokat, melyet nem annyira elterjedt mivolta, mint a feszültségmaximumok konvergenciájának vizsgálata miatt volt szükség  (a = 2, b =0.1, ) paraméterű rés, illetve repedés jellegű példa, ami a törésmechanika alapfeladatát próbáltuk modellezni Numerikus eljárás alkalmazásával kénytelenek voltunk eltérni a végtelen tárcsa alkalmazásától, véges méretekkel dolgoztunk – mely természetesen közelebb áll a mérnöki gyakorlathoz, és a végeredményeinket is nagymértékben befolyásolta. A számításokhoz a tárcsa szélességének (v) minimum a főátló négyszeresét vettük fel, a tárcsa magasságát (h) pedig legalább

hétszeresének választottuk, ezzel próbáltuk elkerülni a véges kiterjedésből adódó feszültségeloszlás zavarokat a tárcsa terültén Alkalmazott modellnek csak a negyed részét számítottuk le, a modell középpontos szimmetrikus volta miatt, és 2. ábrának megfelelő egyszerűsítésekkel éltünk 2. ábra Numerikus megoldási módszereknél használt véges tárcsa, illetve a végeselemmódszeren alapuló megoldás egyszerűsített modellje, az ábrán feltüntettük mind a három gyengítést A feladat megoldásához a Skanska Software (ahol a program-rendszer fejlesztői tevékenységben is részt vettünk, így talán mélyebben beleláthattunk egy végeselem-program szerkezetébe) – FEM Design programjának tárcsa modulját használtuk. A modul 8 csomópontos nem szinguláris elemekkel dolgozik. A FEM Design automatikus hálógeneráló algoritmusára hagyatkoztunk, megpróbáltunk igen sűrű hálót alkalmazni mert egyeztetve a fejlesztőkkel felismertük

a modul egy hiányosságát miszerint a program rajzoló modulja a szerkezet definiálásakor kezel íves peremfeltételeket, azonban az elemek ilyen peremfeltételen lévő szélső középső csomópontjait lineárisan interpolálja, holott azok másodrenben illene illeszkedniük 5 Lyukkal gyengített tárcsa feszültségeloszlásának numerikus vizsgálata Nasztanovics Ferenc, Füstös Attila Konzulensek: Dr. Bagi Katalin Dr. Bojtár Imre 2. ábra FEM Design automatikus hálógenerálóval generált, majd a diszlokáció környezetében sűrített háló, az ábrán látható a tárcsa folytonos megoszló megtámasztása, és a megoszló teher Kényszerű okokból – ellipszist az adott programrendszer nem kezelt - az ellipszist kosárgörbével kellett helyettesítenünk, így számunkra a főátlók méretének közelítése kulcskérdés. A kosárgörbét három független adat jellemzi, a mi esetünkben: R; r; x, a többi adat belőlük származtatható. Ebből a három

adatból kell egy, két független adattal jellemezhető alakzatot közelítenünk. A megoldás során az egyik adatot szabadon kellett választottuk, úgy hogy a leghelyesebb megoldást kapjuk. A kosárgörbe meghatározó adatait az alábbi algoritmus alapján végeztük el: 3. ábra Kosárgörbe szerkesztés, megadott paraméterű ellipszis közelítése körívekkel A főátlók számítása: a  Rz b xr, de z  a  R R  r 2  x 2 6 b xr R  r 2  x 2 , tehát Lyukkal gyengített tárcsa feszültségeloszlásának numerikus vizsgálata Nasztanovics Ferenc, Füstös Attila Konzulensek: Dr. Bagi Katalin Dr. Bojtár Imre A vizsgált esetekben tudjuk, hogy a illetve b értéke mivel egyenlő (pl.: a=1 és b=2), ekkor r + x értéke adott. Felveszek egy tetszőleges r (0 < r < b) értéket, ettől x értéke is egyértelművé válik A végleges megoldást a másodfokú egyenlet pozitív gyöke adja Ezt a kosárgörbét a

közelített ellipszis mellé felvéve megkapjuk, hogy mennyire közelítik egymást. Ezt az eljárást addig folytatjuk, amíg az ellipszis és a kosárgörbe közti terület az eredeti terület 1-2%-a nem lesz. Ekkor a legjobban közelítőt kiválasztva, megkapjuk a végleges értékeket, melyek hibái elenyészők. A fent ismertetett feltételek mellett számítottuk le a feladat modelljét, a kapott eredményeket az alábbi táblázatban foglaljuk össze: itt kielmeltuk azt ami erdekes eredmenyt mutat  1 értékek Egyszerűbb háló Sűrűbb háló Kör Ellipszis Rés Minimuma: -86,27 -45,41 -113,20 Maximuma 3293,82 4671,63 16452,41 Minimuma: -55,46 -31,99 -30,04 Maximuma 3258,34 4590,68 15138,92 Kör Ellipszis Rés Minimuma: -1218,67 -1122,91 -1053,36 Maximuma Minimuma: Maximuma 396,69 -1198,45 387,86 833,41 -1115,36 3133,09 -1052,59 3366,12  2 értékek Egyszerűbb háló Sűrűbb háló 656,29 X. táblázat FEM Design

végeselem-moduljának eredményeinek összefoglalása Az eredményekből az alábbi következtetéseket vontuk le:  kör esetén a vízszintes átmérő végpontjainál a  1 feszültségértékek láthatóan konvergálnak 3250 körüli értékhez, mely természetesen meghaladja az analitikus megoldás által szolgáltatott 3000 értéket, melyet alapvetően alkalmazott modellek közötti eltéréssel, illetve talán az elemek fent említett hiányosságaiból adódhatnak  ugyanígy a megfigyelhető  2 minimum értékek konvergenciája, körnél sűrű háló esetén 1200-as értéket mutat, rés esetén (a = 2, b = 0,1) igen jól megközelíti az analitikus módszerből származtatott konstans 1000 feszültségértéket  Ki lehetne itt emelni az analitikus rés megoldás eseten  1 maximum értékét 41000, míg itt 15000 körül mozog (valószínűleg újra véges-végtelen probléma)  érdekes eredményt mutatnak a  1 értékek minimumértékei egyszerűbb

illetve sűrűbb háló esetében !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! (mit kezdjünk vele ???), kiemelten a számunkra kezelhetetlen értékek Az alábbiakban a futtatások eredményeit bemutató különböző a program-rendszer által biztosított vizualizációs módszerekkel illusztráljuk a tárcsában ébredő feszültségeket. Ahol nemcsak a főfeszültségek illetve a tengelyirányú feszültség-összetevők maximum illetve minimum értékei elemezhetők, hanem azok helye is pontosan lokalizálható a tárcsa síkján Természetesen várakozásoknak megfelelően a főtengelyek (illetve az x és y irányú átmérők) végpontjai szolgáltatják a mértékadó feszültségértékeket Az analitikus eljárásokkal kezelt módszerrel ellentétben a tárcsán a lyuktól távolabbi helyeken is megfigyelhetők a feszültségek 7 Lyukkal gyengített tárcsa feszültségeloszlásának numerikus vizsgálata Nasztanovics Ferenc, Füstös Attila Konzulensek: Dr. Bagi Katalin Dr. Bojtár Imre

eloszlása. Bemutatunk egy trajektoria sereget jellemző ábrát ellipszis esetén, mely a főfeszültségek irányát ábrázolják nagyságukkal együtt 1. ábra Kör (a=2, b=2) alakú lyukkal gyengített tárcsa feszültség eloszlását jellemző  y színkvótás ábrája, háromdimenziós feszültségeloszlás ábra ( y ), bal sarokban látható az egyenletes háló 1.ábra Ellipszissel (a=2, b=2) gyengített tárcsa trajektória vonalainak ábrája 8 Lyukkal gyengített tárcsa feszültségeloszlásának numerikus vizsgálata Nasztanovics Ferenc, Füstös Attila Konzulensek: Dr. Bagi Katalin Dr. Bojtár Imre 1. ábra Réssel gyengített tárcsa három-dimenziós törésmechanikai szempontból legveszélyesebb  y feszültség ábrája A fenti ábrán megfigyelhető, hogy az előbb nem hazudtunk. Diszkrételem-módszer A megoldási elven felül itt meg kell említeni a modell különbségeit is. Az eddig felsorolt eljárások a klasszikus rugalmasságtan

kontinuus feltevésével éltek Ebben a modellben azonban a halmazt végtelen kicsiny szabályos kör vagy gömb alakú szemcsék együttesének tekintjük. Ezen kiinduló alapelvből következően egészen eltérő eredményeket szolgáltat az eddigi vizsgálatokkal összehasonlítva, és természetesen célja is más. Törésmechanika új területére alkotják a hasonló diszkrételem-módszeren alapuló numerikus kísérletek (megemlítjük, hogy nemcsak gömb alakú diszkrétizált elemek léteznek, kísérletek folynak elliptikus elemek használatára) Ezen új módszer vizsgálata segíthet mélyebben megérteni a törésmechanika fontosabb kérdéseit, ugyanis szűk repedések rések széle (feszültségcsúcsok kialakulásának helyei) nem 9 Lyukkal gyengített tárcsa feszültségeloszlásának numerikus vizsgálata Nasztanovics Ferenc, Füstös Attila Konzulensek: Dr. Bagi Katalin Dr. Bojtár Imre tekinthetők a klasszikus értelemben vett kontinuusnak. A diszkrét

modellezéssel több futtatással, statisztikák készítésével (esetleges laboratóriumi kísérletekkel párhuzamosan) mikro szinten is megérthető az anyagok viselkedése Tehát a fő eltérés a végeselem-módszer és a diszkrételem-módszer között a következőképp foglalható össze: míg a végeselem-módszer makro jellemzők alkalmazásával kontinuusnak (esetünkben homogénnak) tekinti rendszer viselkedését, nem kimondottan alkalmas a helyi zavarok, anyaghibák modellezésre, addig a diszkrételem-módszer alulról építkezik, mikro anyagjellemzők definiálása után modellezhetjük a rendszert, és határozhatjuk meg mikro-jellemzőkből kiindulva a makro-jellemzők értékeit (Nyomószilárdság, Húzószilárdság, Rugalmassági modulus), díszlokáció környezetében a feszültségeloszlást (mi a dolgozatunkban csak ezen problémával foglalkoztunk). Minden szemcsének saját véges tömege, és forgással szembeni tehetetlensége van. A megoldás vagy

módszer alapelve Newton II törvénye, amelynek értelmében a szemcsék gyorsulása a rájuk ható erőkből bármely időpontban számítható, végesen kicsiny időközökkel lépkedve eredményhez juthatunk. Tehát a program a mechanika alaptörvényeire épülve t piciny iterációs időközönként minden szemcse mozgását külön-külön követi, minden ciklusban kiszámítja a szemcsékre ható kapcsolati erőket, melyből előállítható a szemcsék tömege (m) és inerciájuk () ismeretében az időlépés alatti átlagos sebesség (v), szögsebesség számítható Az iterációs időlépés t ismeretében a sebességek alapján a szemcsék új helyzete számítható XY. ábra Az F és M a szemcsére ható erő illetve nyomatékvektorok; a és  a szemcse gyorsulás illetve szöggyorsulás-vektora Két szemcse között átfedéssel jöhet létre kapcsolat, ezen kapcsolatokban nyomó illetve nyíróerőket adhatnak át. K. ábra A szemcsék között létrejövő

kapcsolat, T nyíróerő, illetve N normálerő komponensek A normál illetve nyíróerők növekménye a kapcsolati relatív normál- és érintőirányú elmozdulások (v n , v t ) növekményekből számítható, az alábbi összefüggések alapján: dN=k n dv n dT=k t dv t ahol a k n illetve k t merevségek lehetnek állandók, vagy függhetnek a relatív elmozdulásoktól vagy az időtől is. Így tehát a modellben meghatározott kapcsolatok nyomóerőt illetve nyíróerőt a Coulomb-féle súrlódási határig ( TNtg  ), így figyelembe vehető a kapcsolatok súrlódási teherbírása is. Két szemcse közötti kapcsolat akkor szűnik meg, ha a szemcsék között már nincsen átfedés A szemcsés anyagok szimulációs vizsgálatában alapvetően két eltérő numerikus modellről tudunk:  kvázistatikus modellek: egy vagy több szemcse egyensúlyi egyenleteinek felírásán alapulnak. A kapcsolatok merevségi jellemzőiből – megfelelő transzformációs

mátri10 Lyukkal gyengített tárcsa feszültségeloszlásának numerikus vizsgálata Nasztanovics Ferenc, Füstös Attila Konzulensek: Dr. Bagi Katalin Dr. Bojtár Imre xok segítségével – összeállítják a szemcsék illetve a halmaz merevségi mátrixát, majd az elmozdulás-módszerhez hasonlóan meghatározzák a szemcsék elmozdulásait.  dinamikus modellek: a halmaz időbeli viselkedését követik, az előbbiekben ismertetett módon a Newton-törvények alapján Vizsgálataink során a Cundall-féle dinamikus modellt használtuk. A modell a szemcséket végtelen merevnek feltételezi, rugalmas tulajdonságukat a kapcsolatok írják le. Az elvégzett kísérleteinkben az anyagi viselkedést a következő paraméterekkel adtuk meg, Gaálos [X] munkája alapján : (húzóerők ) (prop-al beállitott anyagjellemzők kellenek e) N mm 2 N Húzószilárdság mm 2 Nyomószilárdság 9,07 1,09 N Rugalmassági modulus mm 2 1100,00 Poisson-tényező 0.24 X. táblázat

Makro-anyagjellemzők értékei a fent említett munka alapján D min /D max : 1:6 szemeloszlasú halmaz alapján A diszkrét modellre alapuló számítógépes numerikus kísérleteinket az Itasca Consulting Group Inc. által kifejlesztett PFC2D 20-s verziójával készítettük Összehasonlító elemzés amely információt ad az (a, b, ) paraméterekkel meghatározott diszlokáció peremének feszültségállapotáról (hangsúlyozzuk, hogy még a peremen sem tudjuk csak bizonyos pontokban megállapítani a feszültségtenzor 3 elemét – csak olyen kivételes helyeken ahol tudjuk a főfeszültségek irányát) 11