Matematika | Felsőoktatás » PSZF Módszertan szigorlat elmélet, 2004

1 A1. Határérték, sorozatok, sorok Függvények határértéke A sorozat fogalma és tulajdonságai. Konvergens sorozatok A monotonitás, konvergencia és korlátosság kapcsolata. Műveleti tételek Tágabb értelemben konvergens sorozatok Függvény határértéke véges helyen és végtelenben. Tágabb értelemben vett határérték Műveleti tételek Sorozat: ha egy függvény értelmezési tartománya N vagy annak részhalmaza, akkor a függvény értékeket természetes sorrendben sorozatnak nevezzük. Számsorozat: az a sorozat, melynek értékei valós számok. Monotonitás: - mivel a sorozatok elemeinek van szomszédja: - ha an>an+1 (n∈N) ⇒ (an) monoton csökken - ha an≥an+1 (n∈N) ⇒ (an) monoton nem nő vagy tágabb értelemben monoton csökken - az (an) sorozat korlátos, ha elemeinek halmaza korlátos Konvergencia: - az an sorozat konvergál (tart) A-hoz, ha bárhogyan is jelölök ki az A-nak egy környezetét, valamilyen n0 indextől kezdve a sorozat minden

tagja e környezeten belül van - az ilyen sorozatokat konvergens sorozatoknak nevezzük, ellentéte: divergens - jelölése: an A vagy lim an=A - ahol A az an sorozat határértéke - egy sorozatnak legföljebb 1 határétéke lehet - Minden konvergens sorozat korlátos. - de fordítva nem igaz, tehát a korlátos sorozatok nem biztos, hogy konvergensek! - A monoton korlátos sorozatok konvergensek. Műveletek sorozatokkal: - Ha (an) sorozat tart 0-hoz és (bn) korlátos, akkor an⋅bn sorozat is tart 0-hoz. (lim(anbn)=0) - Ha (an)A és (bn)B, ⇒ az (can) bármely c ∈ R esetén; (an±bn); (an⋅bn) és B≠0 esetén an sorozat is bn konvergens lim( ca n ) = cA lim( a n ± bn ) = A ± B ( ) - és lim a ⋅ b = A ⋅ B n n  an  A lim  = b B  n - Rendőr-elv: Ha (an)A és (bn)A és an ≤ cn ≤ bn , akkor (cn)A Tágabb értelemben konvergens sorozatok: (an) számsorozat tágabb értelemben vett határéréke + (-) végtelen, ha minden P ∈ R+ számhoz

létzik olyan n0 ∈ N+ küszöbszám, hogy n>n0 esetén an>P (an<P)  ∞ q> 1 1 q= 1 n  - limq =  q∈R 0 q < 1   divergens q ≤ -1  - Ha (an) korlátos számsorozat és lim bn=+ Függvények határértéke: ∞  an  b   = 0 ; és an >0 esetén lim n  = + ∞  bn   an  , ⇒ bn ≠0 esetén lim 2 - Legyen f értelmezve az a hely egy környezetében (a-ban nem feltétlenül). Ha bármely xna (xn∈Df; xn≠a) ( ) esetén f ( x n ) sorozat konvergens és tart A-hoz, akkor azt mondjuk, hogy f-nek az a-ban van határértéke és az A. f (x) = A - Jelölése: lim a vagy lim f ( x ) = A x a - Legyen f értelmezve a jobboldali környezetében (a-ban nem feltétlenül). Ha bármely x na (xn∈Df; xn>a) esetén f (x) = ( f ( x n ) ) A, akkor azt mondjuk, hogy f-nek a-ban létezik a jobboldali határértéke: xlim a+ 0 - Ha a∈Df és a-ban létezik f-nek határértéke és A lim f ( x ) = f ( a

) akkor az f folytonos a-ban. a sin x ex − 1 = 1 és lim = 1 x 0 x 0 x x - lim f ( x) = c -  g( x) = x   h( x) = sin x l( x) = e x  függvények mindenütt folytonosak - Ha f-nek és g-nek az a helyen van határértéke, akkor f+g; f-g; f⋅g és f/g (lim g(x)≠0) függvényeknek is létezik határértéke és lim f ( x) ± g( x) = lim f ( x) ± lim g( x) a a a lim f ( x) ⋅ g( x) = lim f ( x) ⋅ lim g( x) a a a f ( x) f ( x) lim = lim a g( x) a g( x ) - Következménye: Ha f és g folytonos a-ban, akkor f ± g; f⋅g és f/g (g(a)≠0) is folytonos - ha g folytonos a-ban és f folytonos g(a)-ban, akkor f o g folytonos a-ban - Legyen f egy függvény, amelynek a-ban létezik a határértéke. Ha lim f ( x ) > c ahol c ∈R, ⇒ a-nak van a olyan K környezete, hogy f(x)>c, x∈K∩Df {a} - Legyen f olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya felülről nem korlátos halmaz. Ha minden olyan (x n) számsorozat esetén, amelyre xn+

(xn∈Df) igaz, hogy f(xn)A, ⇒ azt mondjuk, hogy f-nek létezik határértéke a plusz végtelenben és az A-val egyenlő. Tágabb értelemben vett határérték: - Legyen f értelmezve az a hely egy környezetében (a-ban nem feltétlenül). Akkor mondjuk, hogy f-nek az a helyen a határértéke plusz végtelenben, ha minden olyan (x n).sorozat esetén, amelyre xna (xn∈Df{a}) igaz, hogy f(xn) + ∞ Sorok: ∞ - A Σan végtelen sor összegén a részletösszegek sorozatának határértékét értjük, ha az létezik - Σan végtelen sor konvergens és összege A valós szám, ha az (sn) sorozat konvergens és határértéke A. ∞ - ∑ n= 0 a1 ⋅ q n = a1 , ha q < 1 1− q - Legyen (an) számsorozat. Ha létezik olyan q ∈ ]0;1[ valós szám, amelyre teljesül, hogy an+ 1 < q an (n ∈ N + ) , ⇒ a Σan végtelen sor konvergens. - A Σan végtelen sort abszolút konvergensnek nevezzük, ha a tagok abszolút értékéből képezett ∑ a n sor konvergens.

Egyébként csak feltételesen konvergens - Legyen (cn) számsorozat c0 ∈R. Hatvánsornak nevezzük azt a végtelen sort, amelynek n-edik részletösszege: sn = c0 + c1 x + c2 x 2 + .+ cn x n 3 A2. A differenciálhányados és parciális derivált fogalma, függvényvizsgálat A differenciálhányados fogalma és geometriai jelentése. A folytonosság és differenciálhatóság kapcsolata Differenciálási szabályok. Magasabb rendű deriváltak Differenciálható függvények vizsgálata (monotonitás, szélsőérték, konvex- konkávitás, inflexiós pont) y f Q(x+h;f(x+h)) f(x+h) P(x;f(x)) sz f(x) x h x+h x Differenciálhányados: f ′ ( x ) = lim f (x + h) − f (x ) df ( x ) = lim = lim h 0 dx h x a f ( x ) − f (a ) x− a - Azt a függvényt, amelynek értelmezési tartománya azon pontok halmaza, ahol f differenciálható és a függvényérték f differenciálhányadosa, az f differenciálhányados vagy derivált függvényének nevezzük - f

differenciálható az A halmazon, ha f differenciálható A minden pontjában (A∈Df;). - Zárt intervallumon belül differenciálás: belül differenciálható, a végpontokban pedig jobbról illetve balról differenciálható - jobbról derivált jelölése: lim h 0+ 0 f (x + h) − f (x ) ′ = f + (x ) h - Ha a∈Df és a-ban létezik f-nek határértéke és lim f ( x ) = f ( a ) akkor az f folytonos a-ban. a - ha f differenciálható az x helyen, akkor ott folytonos (de fordítva nem igaz!) Differenciálási szabályok: - ha f és g differenciálható az x helyen, akkor f±g; f⋅g; f/g [g(x)≠0] is differenciálható és ( f ( x) ± g ( x)) ′ = f ′ ( x) ± g ′ ( x) ( f ( x ) ⋅ g ( x )) ′ = f ′ ( x ) ⋅ g( x ) + g ′ ( x ) ⋅ ( c ⋅ f ( x) ) ′ = c ⋅ f ′ ( x)  f ( x)     g( x)  ′ = f ( x) f ′ ( x) ⋅ g ( x) − f ( x) ⋅ g ′ ( x) g 2 ( x) - ha g differenciálható x helyen és f differenciálható g(x) helyen, akkor f o

g differenciálható az x helyen és ( f ( g( x ) ) ) ′ = f ′ ( g( x ) ) ⋅ g ′ ( x ) Magasabb rendű deriváltak: - Ha f függvény f’ deriváltfüggvénye differenciálható x0-ban, akkor (f’)’(x0) -t f második deriváltjának nevezzük - Nulladik derivált: f(0)=f (önmaga) - n-edik derivált (ha létezik): f(n)=(f(n-1))’ Parciális derivált: - Ha (a,b) ∈ Df és belső pont és az f(a,y) a b pontban és f(x,b) az a pontban differenciálható, akkor azt mondjuk, hogy f parciálisan differenciálható az (a,b) pontban és ezek a differenciálhányadosok a parciális deriváltak. Függvényvizsgálat: - Lokális (pontbeli) növekedés: az f függvény az x0 pontban lokálisan növekszik, ha létezik δ>0 úgy, hogy f(x)<f(x0), ha x0-δ<x>x0 és f(x0)<f(x), ha x0<x<x0+δ - Legyen I nyílt intervallum része Df-nek; f akkor és csak akkor lokálisan növekedő I minden pontjában, ha monoton növekszik I-n a) ha f differenciálható a-ban és

f’(a)>0 akkor f szigorúan növekszik a-ban f’(a)<0 akkor f szigorúan csökken a-ban 4 b) ha f differenciálható a-ban és ha f növekszik a-ban akkor f’(a)≥0; ha f csökken a-ban akkor f’(a)≤0 - ha f differenciálható [a;b]-n, akkor a) f akkor és csak akkor növekedik (csökken) az [a;b]-n, ha f’(x)≥0 (ha f’(x)≤0) x∈[a;b] esetén b) f akkor és csak akkor állandó valamely I ⊂ [a;b] intervallumon, ha ott f’(x)=0 c) f’(x)≥0 (f’(x)≤0) és nincs olyan részintervallum, ahol f’(x)=0 (azaz csak pontokban lehet nulla a derivált), akkor f szigorúan monoton növekedik (csökken) az [a;b] intervallumon Szélsőérték: - ha f differenciálható a-ban; illetve a belső pontja a Df-nek és az a f-nek szélsőértékhelye, akkor f’(a)=0 (szükséges, de nem elégséges feltétel) (az értelmezési tartomány végein lehetnek szélsőértékek) - ha f differenciálható a-ban és annak környezetében és: ha a Df-nek belső pontja; illetve

f’(a)=0 és f’ az a-ban előjelet vált, akkor a f-nek szélsőértékhelye ha pozitívból lesz negatív, akkor maximumhely; ha negatívból lesz pozitív, akkor minimumhely (elégséges, de nem szükséges feltétel) h- a f kétszer differenciálható a-ban és: f’(a)=0 és f’’(a)>0 (<0), akkor a minimumhelye (maximumhelye) f-nek Konvex/konkáv függvény: - legyen f differenciálható [a;b]-ben; akkor mondjuk, hogy f konvex (konkáv) [a;b]-ben, ha bármely x0∈[a;b] esetén f(x)>f(x0)+f’(x0)⋅(x-x0) (f(x)<f(x0)+f’(x0)⋅(x-x0)), ha x≠x0 és x∈[a;b] ha ≥ illetve ≤ megengedett, akkor tágabb értelemben konvex/konkáv függvényről beszélünk - ha f kétszer differenciálható [a;b]-ben, akkor a) f akkor és csak akkor konvex (konkáv), ha f’’(x)≥0 (≤0) b) f’’(x)=0 x∈I⊂[a;b] akkor és csak akkor, ha itt f lineáris c) f’’(x)≥0 (f’’(x)≤0) és nincs olyan részintervallum, ahol f’’(x)=0 lenne, akkor f szigorúan

konvex (konkáv) - ha f a-ban differenciálható és a-nak van olyan környezete, hogy a-tól balra konvex (konkáv) és a-tól jobbra konkáv (konvex) akkor a inflexiós pontja f-nek ha f kétszer differenciálható és f’ előjelet vált, akkor ott inflexiós pont van A3. Határozatlan integrál A primitív függvény és határozatlan integrál fogalma. Az eloszlás- és sűrűségfüggvény kapcsolata Alapintegrálok. Integrálási szabályok, módszerek (egyszerű módszerek, helyettesítéses és parciális integrálás) - Azt mondjuk, hogy a F függvény az I intervallumon f-nek primitív függvénye, ha F folytonos I-n és F’(x)=f(x) az I belső pontjaiban - Ha f-nek I-n F0 primitív függvénye, akkor végtelen sok primitív függvénye van és ezek: F(x)=F 0(x)+C alakúak, ahol c∈R - Ha f-nek van primitív függvénye I-n, akkor a primitív függvények halmazát f határozatlan integráljának nevezzük. - Ha f folytonos I-n és F’(x)=f(x) az I belső pontjaiban,

akkor ∫ f ( x ) dx = { F( x ) + C C ∈ R} , Elemi függvények primitív függvényei: xα + 1 + C , ha α≠ -1 és x>0 α + 1 ∫ x α dx = ∫ 1 dx = ln x + C , ha x≠0 x ∫ sin x dx = ∫ cos x dx = − cos x + C sin x + C 5 ∫ ∫ 1 cos 2 x 1 sin 2 x ∫e x dx = tg x + C dx = − ctg x + C dx = e x + C ax + C ln a Integrálszámítási szabályok: ∫a 1) 2) 3) x dx = ∫ (f + g) = ∫ f +∫ ∫ (c ⋅ f) = c ⋅ ∫ f ∫ f ( ax + b) dx = g 1 ⋅ F ( ax + b) + C a f ′ ( x) dx = ln f ( x ) + C f ( x) f n+ 1 ( x) n f ( x ) ⋅ f ′ ( x )dx = + C , n≠ −1 n+ 1 4) ∫ 5) ∫ 6) ∫ f′ ⋅ g= f⋅g− ∫ f ⋅ g ′ (Parciális integrálás) 7) Integrálás helyettesítéssel Ha g: I⊂ Rg és g differenciálható és g integrálható és F(x) az f(x) primitív függvénye I intervallumon, akkor [ F( g ( t )) ] ′ = f ( g ( t )) ⋅ g ′ ( t ), g(t) ∈ I Eloszlás és sűrűségfüggvény kapcsolata: (folytonos

valószínűségi változó esetén) x F( x; y) = ∫ y ∫ f ( u; v)dvdu −∞ −∞ f ( x; y) = Fxy ′′ ( x; y) f1 ( x ) = ∞ ∫ f ( x; y) dy ∞ ∫ f ( x; y)dx f 2 ( y) = −∞ −∞ F1 ( x) = lim F( x; y) y ∞ F2 ( y) = lim F( x; y) x ∞ y x F1 ( x) = ∫ f1 ( u)du −∞ f1 ( x) = F1′ ( x) F2 ( y) = ∫ f 2 ( v)dv −∞ f 2 ( y) = F2′ ( y) A4. Határozott integrál Kétszeres integrál A határozott integrál fogalma és tulajdonságai. Newton-Leibniz formula Közelítő integrálási módszerek (téglalap-, trapéz- és Simpson-szabály). Improprius integrál Az integrálszámítás alkalmazásai (terület- és térfogatszámítás, valószínűségszámítás). Kétszeres integrál - Azt mondjuk, hogy a F függvény az I intervallumon f-nek primitív függvénye, ha F folytonos I-n és F’(x)=f(x) az I belső pontjaiban 6 Határozott integrál: - Legyen f az [a,b] intervallumon korlátos; Osszuk fel az [a,b] intervallumot n

részre: a=x0<x1<x2<<xn=b Minden részintervallumon kiválasztunk egy pontot: x1*; x2; xn n ∑ ∗ Képezzük az s n = k= 1 ( ) f x ∗k ⋅ ( x k − x k − 1 ) összeget Ha a felosztás finomításával ez az összeg a felosztás módjától és a *-os pontok választásától függetlenül egy adott számhoz konvergál, akkor azt mondjuk, hogy az f függvény integrálható az [a,b] intervallumon és integrálja ez a határérték. - Ha f monoton és korlátos [a,b] intervallumon (lehet szakaszonként is monoton), akkor f [a,b]-n integrálható - Ha f folytonos [a,b]-n, akkor f [a,b]-n integrálható, ahol a és b az integrál határai. Határozott integrál tulajdonságai: - Legyen f és g integrálható [a,b]-n, ekkor: b  ∫ c ⋅ f ( x ) dx = b c⋅ a b  ∫ [ f ( x) + a ∫ f ( x ) dx = −∫ a a  a g ( x ) ] dx = b  ∫ f ( x) dx ∫ f ( x ) dx = b ∫ a b f ( x )dx +∫ g ( x ) dx a a f ( x ) dx b 0 a ∫ c b f (

x ) dx =  f integrálható [a,b]-n és [b,c]-n, ekkor f integrálható [a,c]-n is és a ∫ c f ( x ) dx + a ∫ f ( x ) dx b  legyen f folytonos [a,b]-n; m legyen f(x) minimuma, M legyen f(x) maximuma, ekkor: m ⋅ ( b − a) ≤ b ∫ f (x)dx ≤ M ⋅ ( b − a) a van olyan c, amelyre: c ⋅ ( b − a ) = b ∫ f ( x) dx = f ( ξ ) ⋅ ( b − a) , ahol c=f(ξ) a (egzisztencia-tétel, azaz létezik ilyen c, de nem tudni, hogy hol van) Közelítő integrálási módszerek (téglalap, trapéz és Simpson-szabály (parabolaívek)) Integrál függvény, Newton-Leibniz formula: b ∫ Ha f integrálható az [a,b] intervallumon, ⇒ f ( x )dx = G (b) ( x ∈ [ a , b] ) függvényt f a integrálfüggvényének nevezzük b ∫ a f ( x )dx = F (b) − F (a ) = [ Fba ] (a határozott integrált Newton-Leibniz-képlet segítségével úgy számítjuk ki, hogy megkeressük az f egy primitív függvényét, F-et, és a felső határ helyettesítési

értékéből kivonjuk az alsó határ helyettesítési értékét) Improprius integrál: - Az improprius integrál az integrál fogalmának kiterjesztése azokra az esetekre, amikor: ∞ 1. az integrációs intervallum végtelen: ∫ a f = lim b = ∞∫ b f , ha létezik a 7 b - 2. az [a,b] véges intervallumban az f nem korlátos ∫ a b− ε f = lim ε = 0∫ f , ha létezik a Kétváltozós függvények integrálása: - Ha f>0 és korlátos a T={(x,y)|a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d} tartományon, mekkora az f alatti terület? d - a síkmetszetek területe: T = ∫ f ( x 0 , y)dy = q(x) c b - a térfogat: V = ∫ a q ( x ) dx ∫= b d ∫ f ( x , y ) dy dx ⇒ f-nek a T tartományhoz tartozó kettős integrálja a c - az integrálás sorrendje felcserélhető - a konstans szorzó kiemelhető és tagonként is integrálható a kettős integrál - Eloszlás és sűrűségfüggvény : (folytonos valószínűségi változó esetén) - várható

érték, szórás, kovariacnia, korreláció, regressziószámítás A5. Pénzügyi és gazdasági számítások Kamatos kamat számítás, diszkontálás. Nominális, effektív és konform kamatlábak Folytonos kamatozás Az infláció figyelembevétele. Járadékszámítás (gyüjtő- és törlesztőjáradék) Beruházás Beruházásgazdaságossági mutatók. Kamatos kamat számítása: k0 tőke; n évre; I% kamat (-láb); mekkora az n. év végén kn felnövekedett érték? - jelölések: I% kamat ⇒ i=I/100 r=1+I (kamattényező, felnövekedési együttható) év év vége elej e 1. k0 k0+k0⋅ I év /100=k0⋅(1+i) =k0⋅r 2. k0⋅r k0⋅r⋅(1+i)=k0 év ⋅r2 n n. k0⋅r k0⋅rn1 év -1 ⋅(1+i)=k0⋅rn n kn=k0⋅r Diszkontálás: k0 = kn r n = k n ⋅ v n , ahol v=1/r (diszkonttényező) 1.év végén: k0⋅r = k0⋅(1+i) k0 = k1 = k 1 ⋅ v = k 1 ⋅ ( 1 − d ) , ahol d=D/100 (diszkontláb) r Effektív, folytonos, nominális és konform kamatláb:   I =

évi effektív (tényleges) kamatláb =   1 + j  m m  − 1 ⋅ 100  m = évi tőkésítések száma, j = J/100, J = nominális kamatláb = 100 ⋅ m( m 1 + i − 1) ∞ Ha m ⇒ I= (ej-1)*100 (folytonos kamatozás) A J/m kamatlábat az I kamatláb m részidőszakra osztásához tartozó komform kamatlábnak nevezzük. 8 Infláció: Általában I% évi kamatláb és F%-os évi árszínvonal-emelkedés esetén tőkénk vásárlóértéke I    1+  100    1+ F   100  n  1+ i  =    1+ f  n szeresére növekedik Járadék: meghatározott időközönként ugyanazt az összeget kapjuk vagy fizetjük (törlesztő vagy gyűjtő) - feltétel: járadékköz = kamatidő és minden alkalommal azonos összeg (annuitás 1 év: a) 1. Gyűjtő: 1 2 a a 3 . n-1 a . a n n+1 (1) Sn a ar 2 . ar n-1 ar ar n S (n1) = a ⋅ r ⋅ 2. Törlesztő: (1) Vn 1 a av av2 avn 2 a rn − 1 ⇒ 1 időszakkal az

utolsó befizetés után r− 1 3 . n-1 a . a n v= a . Vn(1) = a ⋅ v ⋅ Beruházás: 1 r vn − 1 1 − vn ⇒ 1 időszakkal az első befizetés előtt = a⋅ v⋅ v− 1 1− v B1 B2 B3 . Bn H1 H2 . Hn-1 Hn B = beruházott összeg, H = hozam B1 + B 2 ⋅ v + B 3 ⋅ v 2 + L+ B n ⋅ v n− 1 ≤ H 1 ⋅ v + H 2 ⋅ v 2 + L+ H n ⋅ v n n ∑ i= 1 i Hi ⋅ v − n ∑ i= 1 B i ⋅ v i− 1 = E  E= nettó jelenérték - Megtérülési ráta: R = ∑ Hi ⋅ vi ∑ B i ⋅ v i− 1 - ha E=0, a megtérülési ráta R=1 A6. Valószínűségszámítás elemei A valószínűség fogalma és axiómái. A klasszikus valószínűségi mező Feltételes valószínűség fogalma A teljes valószínűség tétele, a Bayes tétel és főbb alkalmazási területeik. A valószínűség fogalma Definíció: Ha egy kísérletet azonos körülmények között n-szer, egymástól függetlenül végrehajtunk, n hosszúságú kísérletsorozatról beszélünk.

Tegyük fel, hogy a megfigyelt A esemény az n kísérletből kA-szor következett be! Ekkor a kA számot az A esemény gyakoriságának; a kA hányadost pedig az A esemény relatív gyakoriságának n nevezzük. Azt a számértéket, amely körül a véletlen esemény relatív gyakorisága statisztikus ingadozást mutat, az illető esemény valószínűségének nevezzük. A valószínűség axiómái Adott H eseménytér minden A ⊂ H eseményéhez hozzárendelt P(A) valós szám eleget tesz a következő axiómáknak: 9 I. Minden A esemény valószínűségére teljesül a 0 ≤ P(A) összefüggés II. A biztos esemény valószínűsége 1, azaz P(H) = 1 III. Ha A és B egymást kizáró események, azaz A∩B=∅, akkor P(A∪B) = P(A) + P(B) A valószínűségek klasszikus kombinatorikus kiszámítási módja Tétel: Legyen a H eseménytér elemi eseményeinek száma n és tegyük fel, hogy mindegyik egyenlő valószínűséggel következik be. Ha egy A esemény pontosan k

elemi esemény összegeként írható fel, akkor P( A ) = k (klasszikus képlet) n Feltételes valószínűség és események függetlensége A feltételes valószínűség fogalma Definíció: Ha az A és B a H eseménytér két eseménye és P(B)≠0, akkor a P( A ∩ B) P AB = P( B) hányadost az A eseménynek a B eseményre vonatkoztatott feltételes valószínűségének nevezzük. Teljes valószínűség tétele: Ha a H eseménytér B1, B2, Bn eseményei teljes eseményrendszert alkotnak és P(Bk)>0 (k=1,2n), akkor bármely a H-hoz tartozó A esemény valószínűsége: ( ) P( A ) = n ∑ P ( A B k ) ⋅ P( B k ) k= 1 Bayes-tétel: Ha a H eseménytér B1, B2, Bn eseményei teljes eseményrendszert alkotnak és P(Bk)>0 (k=1,2n), akkor bármely a H-hoz tartozó, pozitív valószínűségű A eseményre igaz, hogy P ( Bk A) = P ( A Bk ) ⋅ P ( Bk ) n ∑ P( A B ) ⋅ P( B ) i= 1 i ( k = 1,2, n ) i (A megvalósulásában mekkora valószínűséggel

játszott közre egy teljes esemény valamennyi eseménye - hívják még az „okok valószínűsége tételnek”) A7. Valószínűségi változó típusai Exponenciális- és Poisson- eloszlás A diszkrét és folytonos eloszlású valószínűségi változó. Az eloszlás, a sűrűségfüggvény és az eloszlásfüggvény kapcsolatrendszere. Az Exponenciális és a Poisson eloszlás fogalma, kapcsolatuk, paramétereik jelentései és főbb alkalmazási területeik. A valószínűségi változó fogalma Egy kísérlethez tartozó H eseménytéren értelmezzünk egy tetszőleges valós értékű ξ függvényt, vagyis minden h kimenetelhez rendeljünk egy ξ(h) valós számot. Ezt a függvényt valószínűségi változónak nevezzük Ha ξ valószínűségi változó lehetséges értékeinek száma véges vagy megszámlálhatóan végtelen halmazt alkotnak, akkor diszkrét eloszlású valószínűségi változóról beszélünk. Ha F eloszlás függvényhez található olyan

legfeljebb véges számú pont kivételével folytonos f függvény, amelyre x F( x) = ∫ f ( t )dt , ⇒ folytonos eloszlású valószínűségű változóról beszélünk és f a sűrűségfv. −∞ Az eloszlásfüggvény és tulajdonságai Ha ξ lehetséges értékei x1, x2, akkor a P(ξ=x1), P(ξ=x2) valószínűségek halmazát a ξ valószínűségi változó valószínűség-eloszlásának nevezzük. Legyen ξ valamely kísérlethez tartozó valószínűségi változó és F a valós számok halmazán értelmezett függvény F minden x∈R-hez hozzárendeli a ξ<x esemény bekövetkezésének valószínűségét F:F(x) = P (ξ<x) Az F függvényt a ξ valószínűségi változó eloszlásfüggvényének nevezzük. Ha F eloszlásfüggvény, akkor a) F monoton nem csökken b) lim F(x) = 1 ; lim F(x) = 0 ∞ −∞ c) F balról folytonos Ha F a ξ valószínűségi változó eloszlásfüggvénye, ⇒ P (a≤ξ<b) = F(b) - F(a) 10 A sűrűségfüggvény és

tulajdonságai Ha a ξ folytonos valószínűségi változó eloszlásfüggvénye F, ⇒ az f: f(x) = F’(x) függvényt a ξ sűrűségfüggvényének nevezzük. Ha valamely ξ folytonos valószínűségi változónak f a sűrűségfüggvénye, akkor a) f(x) ≥ 0 x∈Df ∞ ∫ f ( x)dx = 1 b) −∞ x ∫ f ( t )dt = c) F( x) x∈R −∞ b d) ∫ f ( x) dx = P (a≤ξ<b) a A Poisson-eloszlás A ξ valószínűségi változó Poisson-eloszlású, ha lehetséges értékei a 0,1,2n, számok és valószínűségeloszlása: P( ξ = k ) = λ k −λ e k! ahol λ>0 és k=0,1,n A ξ Poisson-eloszlású valószínűségi változó várható értéke és szórása M (ξ ) = λ D( ξ ) = λ Alkalmazási terület: 1. olyan esetek, amikor bizonyos egymás után következő időpillanatokban események történnek és mindegyik esemény megtörténtét egyetlen időpont jelzi, akkor valamely időintervallumban bekövetkező események száma közelítőleg

Poisson-eloszlású. (telefonközpontba érkező hívások száma) 2. Egy tartományba eső pontok számát vizsgáljuk és a tartományba esés valószínűsége csak a tartomány mértékétől függ. Az exponenciális eloszlás f(x) λ x A ξ valószínűségi változót exponenciális eloszlásúnak nevezzük, ha sűrűségfüggvénye:  λ ⋅ e − λ x ha 0 ≤ x f : f ( x) =   0 ha x < 0 ahol a λ számot (λ>0) az eloszlás paraméterének nevezzük.  1 − e − λ x ha F: F( x) =  Az eloszlásfüggvény:  0 ha Az exponenciális eloszlás várható értéke és szórása: M( ξ ) = D( ξ ) = F(x) 0< x x≤ 0 1 x 1 λ Alkalmazási terület: olyankor, amikor ξ valószínűségi változó valamely A esemény bekövetkezéséig eltelt időtartamot jelöli és az események bekövetkezésének esélye adott x hosszúságú időintervallumon független annak kezdetétől. (radioaktív bomlás) A8. Becslő formulák a

valószínűségszámításban A Markov és Csebisev egyenlőtlenség az alkalmazási lehetőségek felsorolásával. Bernoulli kísérletsorozat fogalma és a nagy számok törvényének Bernoulli alakja. A nagy számok törvényének gyakorlati és elméleti jelentősége. 11 Markov- és Csebisev-egyenlőtlenség Markov-egyenlőtlenség: Az η valószínűségi változó legyen nemnegatív és létezzen a várható értéke! Mivel η≥0 ⇒ M(η)≥0. Legyen a > 0 tetszőleges. Ekkor: P( η ≥ a ) ≤ M( η ) a 1 t ha a = tM(η ) és t > 0 ⇒ P (η ≥ t ⋅ M (η )) ≤ (aszimmetrikus intervallumra ad becslést) Csebisev-egyenlőtlenség: Legyen ξ olyan valószínűségi változó, amelynek létezik a várható értéke és a szórása. ( ) Ekkor tetszőleges t>0 esetén: P ξ − M( ξ ) ≥ tD( ξ ) ≤ 1 D( ξ ) > 0 t2 Alkamazási terület: akkor használjuk, ha csak a szórást ismerjük és az eloszlást nem. Megbecsülhető vele egy adott

intervallumba esés valószínűsége. Statisztika: ha intervallumbecslést végzünk és a sokaság várható értékét akarjuk megbecsülni és nem normális eloszlásnál kis mintát vettük vagy ismeretlen a sokság eloszlása a konfidenciaintervallum meghatározására használjuk. A Csebisev-egyenlőtlenség azt mutatja meg, hogy az intervallumba esés valószínűsége legalább 1-α ( 1 − α = 1 − A nagy számok törvényének Bernoulli-féle alakja Egy kísérletet n-szer függetlenül elvégzünk A esemény gyakorisága: ξ =0,1n, relatív gyakorisága: ξ n 1 ) t2 , és P(A)=p  ξ  pq P − p ≥ ε ≤  n  nε 2 − (megmutatja ε>0 hibakorlátot megadva hány kísérletet kell elvégezni, hogy adott p valószínűség kívánt pontosságú legyen) − A véletlen jelenséggel kapcsolatos valószínűség-eloszlás tulajdonságai annál jobban kidomborodnak, minél szélesebb körű megfigyelésre támaszkodunk. − Egy hosszú

kísérletsorozat után a relatív gyakoriságnak a vizsgált A esemény P(A) valószínűségétől akármilyen kis korlátnál nagyobb eltérése nagyon valószínűtlen A9. Sűrűségfüggvény és tulajdonságai Gyakorisági sorok grafikus ábrázolás A folytonos eloszlású valószínűségi változó és a sűrűségfüggvény tulajdonságai. A mennyiségi sorok típusa és ábrázolásuk. A sűrűségfüggvény és tulajdonságai Ha F eloszlás függvényhez található olyan legfeljebb véges számú pont kivételével folytonos f függvény, amelyre x F( x) = ∫ f ( t )dt , ⇒ folytonos eloszlású valószínűségű változóról beszélünk és f a sűrűségfv. −∞ Ha a ξ folytonos valószínűségi változó eloszlásfüggvénye F, ⇒ az f: f(x) = F’(x) függvényt a ξ sűrűségfüggvényének nevezzük. Ha valamely ξ folytonos valószínűségi változónak f a sűrűségfüggvénye, akkor a) f(x) ≥ 0 x∈Df ∞ ∫ f ( x)dx = 1 b) −∞ x c) ∫

f ( t )dt = F( x) x∈R −∞ b d) ∫ a f ( x )dx = P ( a ≤ ξ < b ) 12 Ha valamely f, legfeljebb véges számú hely kivételével folytonos függvény rendelkezik az előző tételbeli a) és b) tulajdonságokkal, akkor egy folytonos valószínűségi változó sűrűségfüggvényének tekinthető. A mennyiségi ismérv szerinti elemzés Mennyiségi ismérv: az egyedek számszerűen mérhető (megszámlálható) tulajdonságai A mennyiségi ismérv fajtái: Diszkrét: csak véges vagy megszámlálhatóan végtelen egymástól jól elkülönülő értéket vehet fel Folytonos: egy adott intervallumon belül bármilyen értéket felvehet Változók: a mennyiségi ismérvek Ismérvértékek: a mennyiségi ismérvek lehetséges kiementelei Gyakorisági sorok Gyakorisági sor: a sokaság mennyiségi ismérv szerinti csoportosításának eredménye, ahol Ci osztályok a mennyiségi ismérv lehetséges értékeinek részhalmazai Gyakoriság: azt mutatja, hogy a mennyiségi

ismérv szerint képzett egy-egy osztályba (osztályközbe) a sokaságnak hány egysége tartozik − összegük mindig egyenlő a sokaság elemszámával Relatív gyakoriság: azt mutatja, hogy a mennyiségi ismérv szerint képzett egy-egy osztályba (osztályközbe) a sokaságnak hányad része (hány százaléka) tartozik − összegük mindig 1-gyel egyenlő Gyakorisági eloszlás: az osztályok egyetlen ismérvértékből állnak Gyakorisági megoszlás: az osztályok több ismérvértékből állnak Ism érvé rték XI G ya k or is ág fi f1 f2 fi fk N Az osztályk özök alsó felső határa Gyak orisá g fi X1 X1a - X1f f1 X2 X2a - X2f f2 XI Xia - Xif fi Xk Xka - Xkf fk Öss Összesen N zese n Relatív gyakorisági sor: gi -k sora Kumulálás: a gyakoriságok (relatív gyakoriságok) halmozott összeadása Kumulált gyakoriságok (relatív gyakoriságok): azt mutatják, hogy az adott osztályköz felső határának megfelelő és annál kisebb ismérvértékek

hányszor (milyen arányban) fordulnak elő (jele: fi’ illetve gi’) Lefelé kumulált gyakoriságok: azt mutatják, hogy az adott osztályköz alsó határánál nagyobb ismérvértékek hányszor (milyen arányban) fordulnak elő (jele: fi” illetve gi”) Értékösszegsor: a mennyiségi ismérv alapján kialakított osztályokhoz (osztályközökhöz) az azokba tartozó egységek ismérvértékeinek összegét rendeli Értékösszeg (Si): a vizsgált mennyiségi ismérv értékeinek egyes osztályokon (osztályközökön) belüli összegei Ismé Ért Az Érték rvért ék osztál össze ék öss yközö g Xi zeg k Si Si alsó felső határa X1 S1 X1a - S1 X2 S2 X1f S2 X2a - Xi Si X2f SI 13 Xk Sk Xia Sk Xif Xka Xkf Össz S Össze S esen sen Relatív értékösszeg: olyan megoszlási viszonyszám, amely az egyes osztályok (osztályközök) értékösszegét a teljes értékösszeghez viszonyítja Zi = k Si ∑ i= 1 = Si Si S értékösszegsorból és

relatív értékösszegsorból is képezhető kumulált illetve lefelé kumulált sor A mennyiségii sorok grafikus ábrázolása Bot-ábra: kevés értéket felvevő diszkrét mennyiségi ismérvek ábrázolására Hisztogram: hézagmentesen egymás mellé illesztett téglalapok − osztályközös gyakorisági sorok ábrázolására − kumulált gyakorisági sorok is ábrázolhatóak − a különböző osztályközhosszúságokkal képzett gyakorisági sor ábrázolásánál az egységnyi  fi  g   illetve relatív gyakoriságokat  i  ábrázoljuk  hi   hi  osztályközhosszúságra jutó gyakoriságokat  Sűrűséghisztogram: relatív gyakoriságok ábrázolva úgy, hogy az osztályköz az egyég Eloszlásfüggvény: a kumulált relatív gyakoriságok ábrázolására monoton növekvő függvény Gyakorisági poligon: az osztályközepeknél felmért gyakoriságok pontjait összekötő, egyenes szakaszokból álló vonaldiagram f f xi xi f

xi A10. Valószínűségi változó paraméterei Statisztikai helyzet mutatók, szóródási mutatók Az aszimmetria mérőszámai. Milyen előnyei illetve hátrányai vannak a valószínűségi változó paraméterekkel való jellemzésének az eloszlásfüggvénnyel való jellemzéssel szemben? A várható érték, a szórás, a medián és a kvantilisek. Helyzetmutatók. Szóródási mutatók A valószínűségi változó néhány jellemzője Valamely ξ valószínűségi változó mediánja, med (ξ) az a valós szám, amelyre P( ξ < med( ξ ) ) ≤ 1 és 2 P( ξ ≤ med( ξ ) ) ≥ P( ξ < med( ξ ) ) = F( med( ξ ) ) = 1 2 1 2 ha ξ diszkrét; ha ξ folytonos módusz: ha a ξ diszkrét lehetséges értékek közül az, amelynek a legnagyobb valószínűsége ha ξ folytonos a sűrűségfüggvény maximumhelye. P ξ ≤ xq ≥ q Legyen 0<q<1. Azt az xq számot, amely eleget tesz diszkrét eloszlás esetén a P ξ < x q ≤ q egyenlőtlenségeknek,

folytonos eloszlás esetén az F x q = P ξ < x q = q egyenletnek, a ξ valószínűségi változó q-kvantilisének nevezzük. ( ( ) ( ) ) ( ) 14 Várható érték Diszkrét: ξ, lehetséges értékei x1, x2 ⇒ M(ξ ) = ∑ P( ξ i = xi ) ⋅ xi = ha ξ folytonos valószínűségi változó és sűrűségfüggvénye f, ⇒ M ( ξ ) = ∑ i pi xi , ∞ ∫ x ⋅ f ( x)dx −∞ Szórás [ D 2 ( ξ ) = M ξ − M( ξ )  ] 2  , ha létezik, ⇒ D( ξ ) = [  ξ − M( ξ ) M  ] 2  a ξ valószínűségi változó szórása. Helyzetmutatók Módusz: az az érték, amelyik a legáltalánosabb, amelyik tipikus a sokaságban − Eloszlás módusza: a leggyakrabban előforduló ismérvérték, ha van ilyen − más néven tipikus érték − Gyakorisági megoszlás nyers módusza: a gyakorisági poligon maximumhelye − Folytonos mennyiségi ismérv módusza: osztályközös gyakorisági sor alapján becsüljük − az az

osztályköz tartalmazza, amelyben az egységnyi osztályközhosszúságra jutó gyakoriság a legnagyobb = modális osztályköz − nyers módusz: a modális osztályköz közepe − becslés: Mo = mo + k1 ⋅h= k1 + k 2 = mo + f mo − f mo − 1 ⋅h − f mo − 1 ) + ( f mo + 1 − f mo ) ( f mo Medián: a mennyiségi ismérvnek az az értéke, amelynél ugyanannyi kisebb, mint nagyobb érték fordul elő − Ismérvértékek rangsorából: − páratlan elemszám esetén: (N+1)/2 -dik elem − páros elemszám esetén: a két középső ismérvérték számtani átlaga − Osztályközös gyakorisági sorból: becsléssel − mediánt tartalmazó osztályköz: fi′− 1 ≤ N f′ ≥ N 2 i 2 − becslés: N 2 Me = me + − f me ′ −1 f me ⋅h Átlag: az ismérvértékek összegének és a sokaság elemszámának hányadosa (számtani átlag) N X= ∑ k i= 1 Xi = N ∑ i= 1 fi ⋅ X i k ∑ i= 1 fi − megoszlásból: osztályközepekkel való

becsléssel − értékösszegsorból: súlyozott harmonikus átlag k Xh = ∑ i= 1 k Si Si i= 1 X i ∑ Kvantilisek: ha a rangsorba rendezett sokaságot egy X ismérvérték q:(1-q) arányban osztja ketté, akkor ezt az ismérvértéket q-ad rendű vagy q-adik kvantilisnek nevezzük − Tercilisek, Kvartilisek, Kvintilisek, Decilisek, Percentilisek 15 − rangsorból: Q j = X m + t ⋅ ( X m+ 1 − X m ) k  j   j  m =  ⋅ ( N + 1)  t =  ⋅ ( N + 1)  k  k  − osztályközös gyakorisági sorból: becsléssel j k Q j = ai + ⋅ N − f i′− 1 ⋅ hi fi k Szóródási mutatók Szóródás: azonos fajta számszerű adatok különbözősége Szóródás mérése: az ismérvértékek valamely középértéktől vett eltérései vagy egymás közti különbségei alapján − Szóródás abszolút mutatói - mértékegységgel rendelkeznek − Szóródás relatív mutatói - mértékegységtől elvonatkoztatott mérőszámok

Szóródás terjedelme: az előforduló legnagyobb és legkisebb ismérvérték különbsége R = X max − X min Átlagos eltérés: az ismérvértékek számtani átlagtól vett eltérései abszolút értékének számtani átlaga N δ = ∑ N Xi − X i= 1 = N ∑ i= 1 di N − azt fejezi ki, hogy az egyes ismérvértékek átlagosan mennyivel térnek el a számtani átlagtól − gyakorisági sorból súlyozott formában: k ∑ i= 1 δ = k ∑ fi ⋅ X i − X = k ∑ i= 1 fi ⋅ d i i= 1 k fi − relatív gyakoriságokból: δ = ∑ fi ∑ gi ⋅ Xi − X = i= 1 k i= 1 k ∑ i= 1 gi ⋅ d i Szórás: az egyes értékek számtani átlagától vett eltérések négyzetes átlaga N σ = ∑ i= 1 ( X i − X) N 2 ∑ i= 1 = N d 2i N − azt fejezi ki, hogy az egyes ismérvértékek átlagosan mennyivel térnek el az átlagtól − gyakorisági sorból súlyozott formában: k σ = ∑ i= 1 ( fi ⋅ X i − X ) k 2 = k ∑

i= 1 ∑ i= 1 f i ⋅ d 2i k ∑ fi i= 1 − relatív gyakoriságokból: σ = k ∑ i= 1 fi ( gi ⋅ Xi − X ) 2 = k ∑ i= 1 g i ⋅ d i2 Szórásnégyzet (variancia): σ2 Eltérésnégyzetösszeg: SS = N ∑ i= 1 ( X i − X) 2 = N ∑ i= 1 ( fi ⋅ X i − X ) 2 Szórás tulajdonságai: − ha az ismérvértékekhez hozzáadunk egy állandót, a szórás nem változik − ha az ismérvértékeket megszorozzuk egy B állandóval, a szorás |B|-szeresére változik 16 Átlagos különbség (Gini): az ismérvértékek egymástól számított különbségei abszolút értékének számtani átlaga N N ∑∑ G= i = 1 j= 1 Xi − X j N 2 k 2 k ∑∑ = i = 1 j= 1 fi ⋅ f j ⋅ Xi − X j 2 N2 − azt fejezi ki, hogy az egyes ismérvértékek átlagosan mennyivel térnek el egymástól Realtív szórás: megmutatja, hogy a szórás az átlagnak hányad része (mértékegységtől elvonatkoztatott) σ V= X Az aszimmetria mérőszámai

Egymóduszú gyakorisági sorok: poligonjának egy helyi maximuma van Pearson-féle mutatószám: a számtani átlag és a módusz nagyságrendi viszonyán alapul X − Mo A= σ − bal oldali aszimmetria esetén A>0 − jobb oldali aszimmetria esetén A<0 − abszolút értékének nincs felső korlátja F-mutató: az alsó és felső kvartilis mediántól való eltérésének egymáshoz viszonyított nagyságán alapul F= ( Q3 − ( Q3 − Me) − ( Me − Q 1 ) Me) + ( Me − Q1 ) − bal oldali aszimmetria esetén F>0 − jobb oldali aszimmetria esetén F<0 − korlátja: |F|≤1 A koncentráció elemzése Koncentráció: az a jelenség, hogy a sokasághoz tartozó teljes értékösszeg jelentős része a sokaság kevés egységére összpontosul − a relatív gyakoriságok és a relatív értékösszegek összehasonlításával mutatható ki − ha gi és Zi értékei megegyeznek, akkor nincs koncentráció Lorenz-görbe: egy egységnyi oldalú négyzetben

elhelyezett vonaldiagram, amely a kumulált relatív gyakoriságok (gi’) függvényében ábrázolja a relatív értékösszegeket (Zi’) − görbe pontjai: P(gi’,Zi’) − minél távolabb esik a görbe az átlótól, annál nagyobb fokú a koncentráció − Koncentrációs terület: a Lorenz-görbe és az átló által bezárt terület − Koncentrációs együttható: a koncentrációs terület aránya a háromszög területéhez illetve: K= G 2X − korlátja: 0≤K≤1, koncentráció hiánya esetén: K=0 A11. Valószínűségi változó Diszkrét eloszlások Kumulált gyakorisági sor, értékösszegsor Eloszlásfüggvény és tulajdonságai. A valószínűségi változó fogalma és típusai A diszkrét egyenletes, a binomiális, a hipergeometrikus és a geometriai eloszlások és paramétereik. Az eloszlásfüggvény és tulajdonságai Kumulált gyakorisági sor, értékössszegsor. A valószínűségi változó fogalma Egy kísérlethez tartozó H eseménytéren

értelmezzünk egy tetszőleges valós értékű ξ függvényt, vagyis minden h kimenetelhez rendeljünk egy ξ(h) valós számot. Ezt a függvényt valószínűségi változónak nevezzük Ha ξ valószínűségi változó lehetséges értékeinek száma véges vagy megszámlálhatóan végtelen halmazt alkotnak, akkor diszkrét eloszlású valószínűségi változóról beszélünk. 17 Ha F eloszlás függvényhez található olyan legfeljebb véges számú pont kivételével folytonos f függvény, amelyre x F( x) = ∫ f ( t )dt , ⇒ folytonos eloszlású valószínűségű változóról beszélünk és f a sűrűségfv. −∞ Az eloszlásfüggvény és tulajdonságai Ha ξ lehetséges értékei x1, x2, akkor a P(ξ=x1), P(ξ=x2) valószínűségek halmazát a ξ valószínűségi változó valószínűség-eloszlásának nevezzük. Legyen ξ valamely kísérlethez tartozó valószínűségi változó és F a valós számok halmazán értelmezett függvény F minden

x∈R-hez hozzárendeli a ξ<x esemény bekövetkezésének valószínűségét F:F(x) = P (ξ<x) Az F függvényt a ξ valószínűségi változó eloszlásfüggvényének nevezzük. Ha F eloszlásfüggvény, akkor a) F monoton nem csökken b) lim F(x) = 1 ; lim F(x) = 0 ∞ −∞ c) F balról folytonos − Ha F a ξ valószínűségi változó eloszlásfüggvénye, ⇒ P (a≤ξ<b) = F(b) - F(a) Diszkrét eloszlások Karakterisztikus:  1, ha A bekövetkezik ξ=  0, ha A nem következik be M( ξ ) = p D( ξ ) = pq Binomiális:  n k n− k P( ξ = k) =   pq  k M( ξ ) = np D( ξ ) = npq Hipergeometrikus:  M   N − M     k n− k  p k = P( ξ = k ) =  N    k M( ξ ) = np D 2 ( ξ ) = npq ⋅ Poisson: N− n N−1 p k = P( ξ = k ) = M( ξ ) = λ D( ξ ) = λ λk −λ e k! 18 Geometriai: p k = P( ξ = k ) = q k − 1 ⋅ p 1 M( ξ ) = p D( ξ ) = q p Kumulált gyakorisági

sorok Gyakorisági sor: a sokaság mennyiségi ismérv szerinti csoportosításának eredménye, ahol Ci osztályok a mennyiségi ismérv lehetséges értékeinek részhalmazai Ism Gya Az Gya érvé kori osztályk kori rték ság özök ság Xi fi alsó - fi felső határa X1 f1 X1a - X1f f1 X2 f2 X2a - X2f f2 Xi fi Xia - Xif fi Xk fk Xka - Xkf fk Öss N Összese N zese n n Gyakoriság: azt mutatja, hogy a mennyiségi ismérv szerint képzett egy-egy osztályba (osztályközbe) a sokaságnak hány egysége tartozik Kumulálás: a gyakoriságok (relatív gyakoriságok) halmozott összeadása Kumulált gyakoriságok (relatív gyakoriságok): azt mutatják, hogy az adott osztályköz felső határának megfelelő és annál kisebb ismérvértékek hányszor (milyen arányban) fordulnak elő (jele: fi’ illetve gi’) Lefelé kumulált gyakoriságok: azt mutatják, hogy az adott osztályköz alsó határánál nagyobb ismérvértékek hányszor (milyen arányban) fordulnak elő

(jele: fi” illetve gi”) Értékösszegsor: a mennyiségi ismérv alapján kialakított osztályokhoz (osztályközökhöz) az azokba tartozó egységek ismérvértékeinek összegét rendeli Értékösszeg (Si): a vizsgált mennyiségi ismérv értékeinek egyes osztályokon (osztályközökön) belüli összegei Ismér Érté Az Értékö vérté köss osztál sszeg k zeg yközö Si Xi Si k alsó felső határa X1 S1 X1a S1 X2 S2 X1f S2 X2a Xi Si X2f Si Xk Sk Xia Sk Xif Xka Xkf Össze S Össze S sen sen Relatív értékösszeg: olyan megoszlási viszonyszám, amely az egyes osztályok (osztályközök) értékösszegét a teljes értékösszeghez viszonyítja 19 Zi = Si = k ∑ i= 1 Si Si S értékösszegsorból és relatív értékösszegsorból is képezhető kumulált illetve lefelé kumulált sor A12. A sokaság több ismérv szerinti vizsgálata Kontingencia-táblázatok elemzése, társadalmi-gazdasági összefüggések vizsgálata. A sztochasztikus

kapcsolat fogalma és típusai. A kombinációs táblák (a sztochasztikus kapcsolatok) elemzése Függvényszerű kapcsolat: ha az egyik ismérv szerinti hovatartozás (ismérvváltozat) egyértelműen meghatározza a másik ismérv szerinti hovatartozást (ismérvváltozatot) (pl: születési év életkor) Függetlenség: ha az egyik ismérv szerinti hovatartozás (ismérvváltozat) ismerete semmiféle információt nem ad a másik ismérv szerinti hovatartozásról (ismérvváltozatról) Sztochasztikus kapcsolat: ha az ismérvek között tendenciaszerű összefüggést észlelünk, ha az egyed egyik ismérv szerinti hovatartozásából csupán a másik ismérv szerinti hovatartozás valószínűsége határozható meg − például: vállalkozás árbevétele és jövedelmezősége − a kapcsolatot annál lazábbnak nevezzük, minél közelebb van a függetlenséghez és annál szorosabbnak, minél közelebb áll a függvényszerű kapcsolathoz Ismérvek fajtája szerint: −

Asszociációs kapcsolat: az egymással kapcsolatban álló ismérvek minőségi vagy területi ismérvek − Vegyes kapcsolat: az egyik ismérv minőségi vagy területi ismérv, a másik ismérv mennyiségi ismérv − Korrelációs kapcsolat: mindkét vizsgált ismérv mennyiségi ismérv Ismérvek hatása szerint: − Ok-okozati kapcsolat: az egyik ismérv az ok, a másik az okozat, vagyis az egyik független a másik függő változó − Kölcsönhatás − Közvetett kapcsolat: az ismérvek között kizárólag azért tapasztalható összefüggés, mert azokat közös tényezők befolyásolják elemzés kiindulópontja: a sokaságnak a vizsgált ismérvek szerinti kombinatív csoportosítása ⇒ Kombinációs vagy kontingenciatábla D C1D C2D ∑ ismé CjD CtD j rv E ismé rv C1E f11 f12 f1 C2E f1j f1t f2 f21 f22 CiE f2j f2t fi CsE fs fi1 fi2 fij fit fs1 fs2 fsj fst f f2 N ∑ f1 ft j i összefüggések: s ∑ i= 1 s ∑ i= 1

t ∑ f ij = f • j f i• = t ∑ j= 1 j= 1 f• j = s f ij = f i• t ∑∑ i = 1 j= 1 f ij = N 20 − Peremgyakoriságok: f i• f• j − Együttes gyakoriságok: f ij − Együttes megoszlási viszonyszámok (relatív gyakoriságok): f − Perem megoszlási viszonyszámok: i• N f ij N f• j N Az asszociáció szorosságának mérése Yule-féle asszociációs együttható − csak ha mindkét ismérv alternatív f11 ⋅ f 22 − f12 ⋅ f 21 f11 ⋅ f 22 + f12 ⋅ f 21 Y= − megállapítható: − 1 ≤ Y ≤ 1 − függetlenség esetén Y=0 − függvényszerű kapcsolat esetén |Y|=1 − sztochasztikus kapcsolat esetén 0<|Y|<1 − ha abszolút értéke 0-hoz áll közel, akkor laza, ha 1-hez, akkor szoros sztochasztikus kapcsolat áll fenn Csuprov-féle és Cramer-féle asszociációs együtthatók − mindkettő alapgondolata a függetlenség feltételezésével számított gyakoriságok: f ij* = f i• ⋅ f • j N − az E és D

ismérvek akkor függetlenek, ha f ij* = f ij minden (i;j) esetben * Khi-négyzet ( χ 2 ): az f ij tényleges és f ij feltételezett gyakoriságok eltérésének mérésére szolgál χ 2 = s t ∑∑ (f ij 0≤ χ 2 ) 2 f ij* i = 1 j= 1 korlátai: − f ij* ≤ N ⋅ ( x − 1) x = min( s; t ) ha a két ismérv független: χ 2 = 0 ha függvényszerű a kapcsolat: χ 2 = N ⋅ ( s − 1) Csuprov-féle asszociációs együttható T= χ 2 N⋅ s− 1⋅ t − 1 − korlátja: 0≤T≤1 − függetlenség esetén: T=0 − maximális értéke, ha s≠t s− 1 Tmax = 4 s ≤ t illetve reciproka ha t− 1 Cramer-féle asszociációs együttható C= { s = t} χ2 N ⋅ ( x − 1) x = min( s; t ) C= s> t T Tmax − asszociációs összefüggések térbeli vagy időbeli összehasonlítására szolgál − korlátja: 0≤C≤1 − ha s=t ⇒ T=C A vegyes kapcsolat elemzése Vegyes kapcsolat: a sztochasztikus kapcsolatnak az a típusa, amelyben az ok (a

független változó) szerepét minőségi (vagy területi) ismérv, az okozat (a függő változó) szerepét mennyiségi ismérv tölti be D C1D C2D ∑ minőségi CjD CMD j ismérv 21 X mennyisé gi ismérv C1X C2X CiX CkX f11 f12 f1 f1j f1M f2 f21 f22 f2j f2M fi fk fi1 fi2 fij fiM fk1 fk2 fkj fkM N N 1 N2 ∑ Nj NM i Részátlagok: a minőségi ismérv szerint csoportosított sokaságban az egyes részsokaságokra számított átlagok Nj Xj = ∑ i= 1 X ij = Nj Sj Nj Főátlag: a fősokaságra vonatkozó átlag M Nj ∑∑ X= j= 1 i = 1 N = N M ∑ X ij j= 1 ∑ Sj = N M ∑ Nj ⋅ Xj j= 1 M ∑ j= 1 = Nj Sj j= 1 M S ∑ j= 1 j Nj a két ismérv függetlensége esetén: X j -k egyenlőek, azaz X j = X minden j-re ha a részátlagok jelentősen eltérnek egymástól és a főátlagtól, akkor van kapcsolat az osztályozás alapját képező minőségi ismérv és mennyiségi ismérv között

Szóródásszámítás -vegyes kapcsolat szorosságának mérésére − Részsokaságon belüli szórás (részszórás): a részsokaságokra vonatkozó szórás − Teljes szórás: a fősokaságra vonatkozó szórás Átlagtól való eltérés: − Teljes eltérés: adott ismérvérték és a főátlag közötti eltérés d ij = X ij − X − Belső eltérés: adott j-edik részsokasághoz tartozó ismérvérték és j-edik részátlag közötti eltérés Bij = X ij − X j − Külső eltérés: j-edik részátlag és a főátlag eltérése Kj = X − Xj − összefüggés: d ij = B ij + K j adott Xij érték főátlagtól való eltérését okozhatja: − a részsokaságon belül különbözőek lehetnek az ismérvértékek ⇒ Bij eltérés − a részátlagok eltérnek egymástól ⇒ Kj eltérés (csoportosító ismérv hatása) Teljes szórás: − teljes eltérések alapján M Nj ∑∑ σ = j= 1 i = 1 ( ) X ij − X N M Nj 2 ∑∑ = j= 1 i = 1 d 2ij N

Részszórás (részsokaságon belüli szórás): − belső eltérések alapján 22 Nj σ j ( X ij − X j ) ∑ i= 1 = Nj 2 ∑ i= 1 = Nj Bij2 Nj Belső szórás: − részszórások négyzetének a sokaság egészére vonatkozó átlaga M ∑ σ B σ j= 1 = 2 j M Nj ∑∑ ⋅ Nj j= 1i = 1 = N ( X ij − X j ) M Nj 2 ∑∑ = N j= 1i = 1 N B2ij Külső szórás: − külső eltérések alapján M ∑ σ K j= 1 = ( Nj ⋅ Xj − X N ) M 2 ∑ j= 1 = N j ⋅ K 2j M ∑ j= 1 Nj összefüggés: σ 2 = σ 2K + σ 2B − Teljes eltérés-négyzetösszeg: SS − Belső eltérés-négyzetösszeg: SSB − Külső eltérés-négyzetösszeg: SSK − összefüggés: SS=SSB + SSK Fősokaságra vonatkozó teljes szórás: M Nj ∑∑ σ = j= 1 i = 1 ( X ij − X) N 2 = σ 2 B + σ 2 K Vegyes kapcsolat szorosságának mérése: − ha X j -k egyenlőek, akkor σ 2K = 0 , a két ismérv között nincs kapcsolat (de nem jelenti, hogy

függetlenek!) − ha X ij = X j akkor σ 2B = 0 , az ismérvértékek szóródása teljes egészében a csoportosító ismérv következménye − ha 0 < σ 2K < σ 2 , akkor sztochasztikus kapcsolat van Szórásnégyzet-hányados: a mennyiségi ismérv szórásnégyzetének a minőségi ismérv által megmagyarázott hányada H2 = σ σ 2 K 2 = 1− σ σ 2 B 2 = SS K SS B = 1− SS SS − korlátja: 0≤H2≤1 − százalékos forma − ha H2=0, akkor a két ismérv között nincs kapcsolat − ha H2=1, akkor a kapcsolat függvényszerű − ha 0<H2<1, akkor a két ismérv kapcsolata sztochasztikus Szóráshányados: a vegyes kapcsolat szorosságának mérőszáma (H) A korreláció elemzése csoportosított adatokból kiindulva Korrelációs tábla: statisztikai tábla, amely a sokaság egységeinek mennyiségi ismérvek szerinti kombinatív osztályozását tartalmazza Y C1Y C2Y ∑ X CjY CMY j C f11 f12 f1 X f1j f1M f2 1 C f21 f22 X f2j f2M fi

2 23 fk C fi1 fi2 X fij fiM i C X fk1 fk2 k fkj fkM f f2 N ∑ f1 fM j i az X az ok szerepét játszó mennyiségi ismérv, Y pedig az okozat Pozitív korreláció: az X nagyobb értékeihez általában Y nagyobb értékei, illetve X kisebb értékeihez Y kisebb értékei tartoznak Negatív korreláció: az X nagyobb értékeihez általában Y kisebb értékei, illetve X kisebb értékeihez Y nagyobb értékei tartoznak Tapasztalati regressziófüggvény: az X ismérv alapján képzett CiX osztályok halmazán értelmezett függvény, amely CiX -hez az Y i részátlagot rendeli ⇒ Y változó X változóra vonatkozó (X szerinti) tapasztalati regressziófüggvénye − a két ismérv közötti kapcsolatra vonatkozó információkat egy statisztikai sorba sűríti − ábrázolása: pontdiagram és vonaldiagram közös koordináta-rendszerben Korreláció szorosságának mérése: ha az osztályozást X ismérv szerinti végezzük, Y értékeihez

háromféle szórásnégyzet kapcsolódik: σ 2B( Y ) ⇒ Y belső szórásnégyzete σ 2 K( Y) σ 2 (Y) ⇒ Y külső szórásnégyzete ⇒ Y teljes szórásnégyzete összefüggés: σ (2Y ) = σ 2B( Y ) + σ 2K( Y ) Determinációs hányados: megmutatja, hogy X ismérv mekkora hányadát magyarázza meg Y szórásnégyzetének H (2Y X ) = 2 K(Y) σ (2Y ) σ ⇒ Y a „szóródó”, X a csoportosító ismérv − százalékos formában Korrelációs hányados 2 K( Y ) σ 2( Y ) σ H ( Y X) = − korlátja: 0≤H(Y|X)≤1 − függvényszerű kapcsolat esetén: H(Y|X) = 1 − korreláció hiánya esetén: H(Y|X) =0 − korreláció esetén: 0< H(Y|X) <1 ha az oksági kapcsolat nem egyirányú, kiszámítható H 2( X Y ) = 2 K( X ) σ 2( X) σ ⇒ H ( X Y) = 2 K( X ) σ (2X ) σ ha X és Y között a kapcsolat sztochasztikus, akkor H(Y|X) ≠ H(X|Y) ha az ismérvek függetlenek, akkor H(Y|X) = H(X|Y) =0 ha H(X|Y) =0, akkor az ismérvek korrelálatlanok

függvényszerű kapcsolat esetén: H(Y|X) = H(X|Y) =1 A13. Indexszámítás Érték-, ár- és volumenindex Mire használhatók az indexszámok? Érték-, ár- és volumenindex. Összefüggések Az indexek súlyozásának problémái. Keresztezett formulák Árollók, cserearányindexek Fogyasztói árindex Területi indexek Az indexszám fogalma közvetlenül nem összesíthető adatokra vonatkozó átlagos változás meghatározásához − az ár, mint közös jellemző segítségével értékben lehetséges a vizsgálat 24 − érték = mennyiség x egységár − értékadatok összeadhatóak Aggregálás: értékben való összesítés Aggregátum: összesített értékadat Indexszám: a közvetlenül nem összesíthető, de valamilyen szempontból összetartozó adatok átlagos változását mutató összetett összehasonlító viszonyszám (pl: Értékeken alapuló indexek) Érték-, ár- és volumenindex-számítás Egyedi indexek: a termékekre számított dinamikus

viszonyszámok jelölések: − egységár p − mennyiség q − érték v = p⋅q − bázisidőszak 0 − tárgy- (beszámolási) időszak 1 Egyedi értékindex: iv = v 1 q 1 p1 = v0 q 0p0 Egyedi árindex: ip = p1 p0 Egyedi volumenindex: iq = q1 q0 Indexszám számítása aggregát formában Értékindex: a termékek vagy termékcsoportok meghatározott körére vonatkozó érték átlagos változását fejezi ki Iv = ∑ ∑ v1 v0 = ∑ q 1p1 ∑ q 0p0 − két tényező befolyásolja: − a termékek árváltozása − a termékek mennyiségváltozása Árindex: a különböző termékek, árucikkek, szolgáltatások árainak átlagos változását, az árszínvonal alakulását fejezi ki − a két aggregátum csak az árakban tér el egymástól − a mennyiség mindkét időszakra azonos, csak a súlyszám szerepét tölti be − kétféle árindex-számítás: − Bázisidőszaki súlyozású (q0): I (p0) = ∑ ∑ q 0 p1 q 0p0 − Tárgyidőszaki

súlyozású (q1): I (p1) = ∑ ∑ q 1 p1 q 1p 0 Volumenindex: különböző termékek volumenének átlagos változását mutatja meg − az aggregátumok csak a mennyiségi adatokban térnek el egymástól − kétféle volumenindex-számítás: − Bázisidőszaki súlyozású (p0): I (q0) = ∑ ∑ q 1p 0 q 0p0 25 − Tárgyidőszaki súlyozású (p1): I (q1) = ∑ ∑ q 1 p1 q 0 p1 Laspeyres-féle indexek: bázisidőszaki súlyozású indexek Paasche-féle indexek: tárgyidőszaki súlyozású indexek Az indexek súlyozása Aggregát formában: − attól függően, hogy az árak vagy a mennyiség változását akarjuk kimutatni, Ip -nél q, Iq -nál p volt a súly Átlagformáknál: − a súly mindig valamilyen aggregátum (p⋅q) értékadat valós és fiktív adatokkal is történhet a súlyozás a bázis- és tárgyidőszaki súlyozású indexek értékei nem egyeznek meg − ok: az egyedi volumen- és árindexek közötti sztochasztikus kapcsolat (többnyire

negatív korreláció) − egy-egy termék áremelkedése az adott termék eladott mennyiségének csökkenését okozza − nagyobb ip értékhez kisebb iq érték tartozik és viszont − azon termékek aránya nő, amelyeknél i q > I q és azoké csökken, amelyeknél i q < I q − ezért a bázissúlyozású index számszerű értéke magasabb, mint a tárgyidőszaki súlyozásúé I (p0) > I (p1) I q( 0) > I q(1) Keresztezett indexformulák − a két alapforma átlagolásával keletkeznek − Fisher-féle keresztezett formula: a kétféle súlyozású index mértani átlaga − Árindex: I (pF) = ∑ ∑ q 0 p1 q 0p0 ⋅ ∑ ∑ ( F) − Volumenindex: I q q 1p1 q 1p 0 = ∑ ∑ = I (p0) ⋅ I (p1) q 1p 0 q 0p0 ⋅ ∑ ∑ q 1 p1 q 0 p1 = I q( 0) ⋅ I q(1) − Marshall-Edgeworth-Bowley-féle formula: a súlyszámokat átlagolják − Indexpróbák: indexekkel szembeni követelmények − Összemérhetőségi próba − Időpróba − Tényezőpróba

− Arányossági próba − Láncpróba Összefüggések az indexszámításban Az indexszámok közötti összefüggések − mivel p⋅q=v iv = i p ⋅ iq − az értékindex egyenlő az ár- és volumenindex szorzatával, ha azok eltérő súlyozásúak I v = I (p1) ⋅ I (q0) = I v = I (p0) ⋅ I (q1) = I v = I (pF) ⋅ I (qF) = ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ q 1p 0 = q 1p 0 ∑ q 0 p 0 q 0 p1 ∑ q 1p1 ⋅ = q 0 p 0 ∑ q 0 p1 ∑ q 0 p1 ⋅ ∑ q 1p1 ∑ q 0 p 0 ∑ q 1p 0 q 1p1 ⋅ ∑ q 1p1 ∑ q 0p0 ∑ q 1p1 ∑ q 0p0 ∑ q 1p 0 ⋅ ∑ ⋅ ∑ q 0p0 ∑ q 1p1 q 0 p1 = ∑ q 1p1 ∑ q 0p0 26 Deflálás: folyóáras aggregátum árindexszel való osztása ⇒ az árváltozás kiszűrése I q( 0) = Iv I p(1) I q(1) = Iv I p( 0) Az aggregátumok közötti összefüggések − aggregátumok különbségeinek vizsgálata ⇒ közgazdasági elemzés − Értékváltozás: Kv − Árak változása: Kp − Mennyiség változása: Kq Kv = − ( 0) számításuk: K q K (p1)

− összefüggés: ∑ q 1p1 − ∑ q 0 p 0 = ∑ q 1p 0 − ∑ q 0 p 0 = ∑ q 1p1 − ∑ q 1p 0 Kv = K q(1) K (p0) ∑ q 1p1 − ∑ q 0 p 0 = ∑ q 1p1 − ∑ q 0 p1 = ∑ q 0 p1 − ∑ q 0 p 0 K v = K (q0) + K (p1) K v = K (p0) + K (q1) − a volumenváltozás és az árváltozás hatásának számszerűsítése a kétféle bontással általában eltér egymástól! Csoportosított sokaságra számított indexek − szükséges lehet az érték-, ár- és volumenindexek csoportonkénti kiszámítására − Részindexek: egyes csoportokra kapott indexek I j ( ) − Főindex: az összes termékre vonatkozó index − számítható: M ∑ I= j= 1 M ∑ j= 1 M ∑ Aj = Bj M ∑ Bj ⋅ Ij j= 1 M ∑ j= 1 = Bj (I) Aj j= 1 M A ∑ j= 1 j Ij − korlátai: a megfelelő főindexek az árucsoportokra számított részindexek közé esnek Az indexszámok gyakorlati alkalmazása − 1. Értékindexek alkalmazása: árbevétel, forgalom, fogyasztás stb

változásának vizsgálatára − 2. Árindexek alkalmazása: Fogyasztói árindex: az infláció általános mérőszáma, a lakosság által vásárolt fogyasztási cikkek, szolgáltatások árainak átlagos változását fejezi ki − „fogyasztói kosár” ∼ kb.1800 termék, szolgáltatás ⇒ árait figyelik havonta többször is ⇒ számtani átlagát súlyozzák a háztartások fogyasztási szerkezetével − a reprezentánsok egyedi árindexeinek súlyozott átlaga (bázissúlyozású, éven belül változatlan súlyozással, Laspeyres-típusú árindex) − három fokozata: − termékek és szolgáltatások részletes csoportjai (160) − összegzőcsoportok (40) − főcsoportok (8-10) − közzététele: − előző év hasonló hónapjához, előző év decemberéhez és a közvetlenül megelőző hónaphoz viszonyítva Indexálás: a különféle jellegű ki- vagy befizetési kötelezettségeket (például: bérek) az inflációhoz igazítják Árolló: megmutatja,

hogy valamilyen bevételt biztosító termékek bázisidőszakival azonos volumenéért a tárgyidőszakban mennyivel nagyobb vagy kisebb volumenű másféle termék kapható cserébe − Agrárolló: a mezőgazdasági termékek értékesítési árindexének és a mezőgazdaságban felhasznált iparcikkek beszerzési árindexének hányadosa − Cserearány-mutatók: a gazdálkodó szervezetek által eladott termékek árindexét viszonyítja a vásárolt termékek árindexéhez − Cserearányindex: külkereskedelmi cserearány mutatója - az adott ország által exportált és importált termékek árindexeinek hányadosa 3. Volumenindexek alkalmazása: − például: fogyasztás reálértékének vagy a reálkeresetek alakulása 27 Területi indexek Területi index: területi összehasonlítás eredményeként kapott indexek − Területi volumenindex: azt fejezi ki, hogy az összehasonlítandó területeken a termelés, értékesítés mennyisége hányszorosa, hányad része

az összehasonlítás alapjául szolgáló terület termelésének, értékesítésének − Területi árindex: azt mutatja meg, hogy az egyik területen kialakult árszínvonal milyen arányban áll a másik terület árszínvonalával Jelölés: 0 illetve 1 ⇒ területek azonosítására Felcserélési próba: A/B relációjú összehasonlítás eredménye reciprokviszonyban kell legyen a B/A relációjú összehasonlítás eredményével Tranzitivitás követelménye: két terület összehasonlítása a közvetett összehasonlítással azonos eredményt kell adjon mivel a különböző súlyozású indexformák között jelentős eltérés lehet ⇒ Fisher-formula javasolt − Területi árindex: I Fp ( A/ B) = ∑ ∑ q BpA q BpB ⋅ ∑ ∑ − Területi volumenindex: I qF( A/ B) = ∑ ∑ qA pB q BpB ⋅ q A pA qA pB ∑ ∑ q A pA q B pA − legfontosabb alkalmazási terület: nemzetközi összehasonlítás − az árindex a két ország valutái

vásárlóerejének arányát fejezi ki a vizsgált termék vonatkozásában A14. Standardizálás Heterogén sokaság vizsgálata. Az összetett intenzitási viszonyszámok (főátlagok) különbségének felbontása összetevőire. Indexszámítás standardizálás alapján (hányadosfelbontás) Alkalmazási területek A standardizálás módszere Statisztikai sokaság: a megfigyelés tárgyát képező egyedek összessége − alkothatják: élőlények, tárgyak, szervezetek, képzett egységek ha a sokaság heterogén, akkor valamilyen jelenség színvonalának elemzéséhez a vizsgálatot a heterogenitást előidéző ismérv megfelelő homogén csoportjaira is el kell végezni − az átlagos színvonalat kifejező mutatókat befolyásolja: − milyen az egyes csoportokban a vizsgált színvonal nagysága − milyen a sokaság szerkezete, összetétele térbeli változások ⇒ eltérések (különbségek) vizsgálata időbeli változások ⇒ arányok (hányadosok) vizsgálata

Standardizálás módszere: a térben (illetve időben) eltérő összetett intenzitási viszonyszámok (főátlagok) közötti különbséget (vagy hányadost) összetevőkre (illetve tényezőkre) bontjuk Kőrösy József alkalmazta először − egy-egy tényező hatásának elemzésekor a másik tényezőt standardnak (állandónak) tételezte fel − térbeli összehasonlítás: mennyivel térnek el egy másik, azonos módon csoportosított statisztikai sokaság összetett intenzitási viszonyszámától − időbeli elemzés: az összetett intenzitási viszonyszám hány %-kal változott az egyik időszakról a másikra különbségek: k j = V j1 − V j0 ⇒ egyes csoportokra K = V1 − V0 ⇒ teljes sokaságra hányadosok: Vj1 ij = ⇒ egyes csoportokra V j0 I= V1 V0 ⇒ teljes sokaságra A felbontás: a K’ illetve I’ a megfelelő részviszonyszámok közötti különbségeknek, illetve a hányadosaiknak a két összetett viszonyszám különbségére illetve

hányadosára gyakorolt hatását mutatja 28 a K’’ illetve I’’ pedig a két sokaság eltérő összetételének a két összetett viszonyszám különbségére illetve hányadosára gyakorolt hatását mutatja teljesülnie kell, hogy: K’ + K’’ = K illetve I’ ⋅ I’’ = I a különbségfelbontást elsősorban térbeli, a hányadosfelbontást pedig időbeli összehasonlításnál használjuk Az összetett intenzitási viszonyszámok (főátlagok) különbségének felbontása összetevőire − az intenzitási viszonyszámok: Vj = ∑ ∑ Aj ∑ = Bj B j ⋅ Vj ∑ Bj (j=0 vagy 1) A részviszonyszámok (részátlagok) különbözőségének hatása − a részviszonyszámok különbözőségének hatását (K’) úgy mutatjuk ki, hogy mindkét összetett intenzitási viszonyszámot standard (állandó) összetétellel számítjuk ki − Részhatáskülönbség: azt fejezi ki, hogy csupán a megfelelő részviszonyszámok eltérése milyen hatást

gyakorolt az összetett intenzitási viszonyszámok eltérésére K ′ = ∑ − korlátja: k j(min) < K ′ < k j(max) Az összetétel különbözőségének hatása B st ⋅ V1 ∑ Bst − ∑ Bst ⋅ V0 ∑ Bst = ∑ Bst ⋅ k ∑ Bst − az összetétel különbözőségének hatását (K’’) úgy mutatjuk ki, hogy mindkét összetett intenzitási viszonyszámot standard (állandó) részviszonyszámok feltételezésével számítjuk ki K ′′ = ∑ B1 ⋅ Vst ∑ B1 ∑ − B 0 ⋅ Vst ∑ B0 − Összetételhatás-különbség: azt fejezi ki, hogy csupán az összetétel különbözősége milyen hatást gyakorolt az összetett intenzitási viszonyszámok eltérésére − ha K’ számításánál B ország a standard, akkor K’’ számításánál A országot kell standardnak venni (és fordítva)  K ′ + K ′′ =    ∑ B ⋅V ∑B ∑ B ⋅V − ∑B     1 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 ∑ B ⋅ V − ∑ B

⋅ V  + ∑B ∑ B  ∑ B ⋅ V  = ∑ B ⋅ V − − ∑ B  ∑ B 0 1 0 0 1 1 = V1 − V 0 = K 0 Indexszámítás standardizálás alapján (hányadosfelbontás) − ha a tényleges, illetve a standardizált összetett intenzitási viszonyszámok hányadosát képezzük, összehasonlító dinamikus viszonyszámokat kapunk, amelyeket indexeknek nevezünk A főátlagindex Főátlagindex: a tényleges összetett intenzitási viszonyszámok hányadosa − azt fejezi ki, hogy az intenzitási viszonyszámmal kifejezhető átlagos színvonal hogyan változott egyik (bázis-) időszakról a másik (tárgy-) időszakra I= − számítása: = V1 = V0 ∑ ∑ A1 B1 :∑ ∑ ∑ BV : ∑ B V ∑B ∑B 1 1 0 0 1 0 A0 B0 = ∑ ∑ A1 A0 :∑ ∑ B1 B0 = − nagyságát két tényező befolyásolja: − az intenzitási részviszonyszámok változása − az eltérő színvonallal jellemzett sokaság szerkezetének, összetételének változása

29 A részátlagindex Részátlagindex: a részviszonyszámok változásának az összetett viszonyszám változására gyakorolt hatását fejezi ki − a standard összetétellel számított hányados (I’) − mindig a tárgyidőszak tényleges összetételét tekintjük standardnak (B st=B1) − számítása: I′ = V1 V st = ∑ B1V1 : ∑ B1V0 = ∑ ∑ B1 ∑ B1 ∑ B1 V1 B1 V0 = ∑ B1V0 ⋅ i = ∑ ∑ B1V0 ∑ A1 A1 i k orlátja: i j(min) < I ′ < i j(max) Az összetételhatás indexe Összetételhatás-index: megmutatja, hogy a részsokaság összetételében bekövetkezett változás milyen hatást gyakorolt az összetett intenzitási viszonyszám változására − a standard részviszonyszámokkal számított hányados (I’’) − mindig a bázisidőszak részviszonyszámát vesszük standardnak (Vst=V0) − számítása: I ′′ = V st = V0 ∑ BV : ∑ B V ∑B ∑B 1 0 0 0 1 0 − ha I’ -t tárgyidőszaki összetétellel és I’’ -t

bázisidőszaki intenzitási részviszonyszámokkal számítottuk:  ∑ B1V1 ∑ B1V0    ⋅ I ′ ⋅ I ′′ =  :  ∑ B B ∑ 1   1  ∑ B1V1 : ∑ B0V0 = V 1 = I = ∑ B1 ∑ B0 V 0 ∑ BV : ∑ B V ∑B ∑B 1 0 0 0 1 0  =   Alkalmazási területek gazdaságstatisztika, népességstatisztika például: munka termelékenységének, születési és halálozási arányszámok, átlagos bérek, jövedelmek és árak statisztikai elemzéséhez Az átlagbérek időbeli változásának vizsgálata az átlagbérek időbeli változását általában állománycsoportonként, szakmánként, területi egységenként vizsgáljuk, ezek együttes átlagos változását indexmódszerrel elemezhetjük Az átlagárak időbeli változásának vizsgálata térbeli és időbeli változás is számítható Egyedi (elemi) ár: egy adott minőségű termék vagy szolgáltatás meghatározott körülmények között történt adásvétele során a

termék vagy szolgáltatás egy egységéért fizetett pénzösszeg Átlagár: bizonyos okok miatt különböző elemi árak átlaga − az átlagár csak homogén csoportba tartozó és természetes mértékegységben összesíthető termékek, szolgáltatások körére értelmezhető! − számítása: p= ∑ ∑ v q = ∑ q⋅ p = ∑ ∑q ∑ − Főátlagindex: I = p1 p0 v v p 30 I′ = p1 = p st − Részátlagindex: = ∑ ∑ ∑ q1 ⋅ p1 ∑ q1 q1 ⋅ p1 ( q1 ⋅ p1 ) : p1 p0 : ∑ q1 ⋅ p0 ∑ q1 ∑ ∑ q1 ⋅ p1 q1 ⋅ p0 = p ∑ (q ⋅ p ) ⋅ p ∑ q⋅p 1 = = 1 0 0 1 0 − Összetételhatás-index: I ′′ = p st = p0 ∑ q1 ⋅ p0 ∑ q0 ⋅ p0 : ∑ q1 ∑ q0 − összefüggés: I = I ′ ⋅ I ′′ − feltétele: a változatlannak tekintett tényezőt ellentétes időszakból válasszuk A15. Mintavétel Visszatevéses és visszatevés nélküli mintvétel ismert összetételű sokaságból. Binomiális és

hipergeometriai eloszlás fogalma. Véletlen mintavételi eljárások (Független, azonos eloszlású minta, egyszerű véletlen minta, rétegzett minta, csoportos és többlépcsős minta) A mintavétel néhány gyakorlati kérdése. A mintajellemzők fontosabb tulajdonságai. Alapfogalmak, jelölések, gyakorlati kérdések − A részleges adatgyűjtés egyik módja a reprezentatív megfigyelés vagy mintavétel. − Célja: valamely sokaság egy részének megfigyelése révén következtetéseket tudjunk levonni a sokaság egészére, annak jellemzőire, összetételére vonatkozóan. − A mintavétel tervezésénél két egymásnak ellentmondó követelmény van a pontosság és az olcsóság, melyek figyelembevétel befolyásolja a mintaelemek kiválasztási eljárását. − Alapsokaság: az a sokaság, amelyre a mintavétel segítségével következtetni szeretnénk − Mintasokaság: az alapsokaság azon része, amely alapján a következtetéseket levonjuk − Mintavételi

keret: egyenként tartalmazza a vizsgálni kívánt sokaság elemeit, mégpedig mindegyiket és mindegyiket csak egyszer − mintaelemek kiválasztása: − Visszatevéssel − Visszatevés nélkül − függetlenség: − Végtelen sokaság ⇒ akár visszatevéssel, akár visszatevés nélkül független mintaelemeket kapunk − Véges sokaság ⇒ csak a visszatevéses mintavétel eredményez független mintaelemek Véletlen mintavételi eljárások − Független azonos eloszlású minta: homogén és végtelen sokaságból veszünk véletlen mintát (visszatevéssel vagy visszatevés nélkül), illetve amikor véges sokaságból visszatevéssel választunk mintaelemeket − Egyszerű véletlen mintavétel: homogén, véges elemszámú sokaságból visszatevés nélkül választunk, elemenként egyenlő valószínűséggel − Szisztematikus mintavétel: a sokaságot valamilyen szempont szerint sorba rendezzük majd k=[N/n] -edik elemeket kiválasztjuk − Rétegzett mintavétel: a

vizsgált ismérv szempontjából heterogén sokaságot több homogén (minél kisebb szórású) részsokaságra bontjuk úgy, hogy a csoportok kiadják a teljes sokaságot, továbbá egyetlen sokasági elem se tartozzon két vagy több csoportba; az egyes rétegeken belül a minta elemeinek kiválasztása egyszerű véletlen mintavétellel történik − Arányos elosztás − Nem arányos elosztás − Egyenletes elosztás: minden egyes rétegbe azonos számú mintaelem kerül − Neyman-féle optimális eloszlás: a nagyobb szórású rétegből aránylag nagyobb, a kisebb szórásúból pedig kisebb mintát veszünk, így kedvezőbb tulajdonságú mintát kapunk − Csoportos mintavétel: a homogén sokaság elemeinek csoportjai közül egyszerű véletlen mintát veszünk, majd a kiválasztott csoportokon belül minden egyes egyedet megfigyelünk − Többlépcsős mintavétel: az egyszerű véletlen mintavételt többször ismételjük egymás után 31 A mintajellemzők

fontosabb tulajdonságai − Mintaátlag standard hibája: megmutatja, hogy mekkora a mintaátlagok sokasági várható értéktől való átlagos (négyzetes) eltérésének várható értéke − a reprezentatív megfigyelés hibája − Korrekciós tényező: egyszerű véletlen mintavétel esetén alkalmazzuk − standard hiba kiszámításánál − Mintaátlag eloszlása: − normális eloszlású sokaság esetén a mintaátlag is normális eloszlású − nem ismert eloszlású sokaság és nagy minta esetén a mintaátlag közelítőleg normális eloszlású − nem ismert eloszlású sokaság és kis minta esetén a mintaátlag eloszlása függ a sokaság eloszlásától Mintavétel: eljárás, amelynek eredményeképpen véletlen mintát kapok − legyen N számú egyed, amelyből M számú jelzett (valamilyen módon megkülönböztetett), ebből n darabos mintát véve mi a valószínűsége, hogy a mintában k darab jelzett van (k≤n) és (k≤M)  n M ⋅(NM− )

 n k nk−   ⋅ n =   pq  k N  k  k n−k − visszatevéssel a valószínűség: q = jelzett, p = nem jelzett kihúzásának valószínűsége 32 − visszatevés nélkül a valószínűség:  N − M  M   ⋅   nk−   k   N   n A binomiális eloszlás A ξ valószínűségi változót binomiális eloszlásúnak mondjuk, ha a ξ lehetséges értékei 0,1,2n és  n k n− k P( ξ = k) =   pq  k ahol 0<p<1; k=0,1,n és q = 1-p M( ξ ) = np D( ξ ) = npq 33 A hipergeometrikus eloszlás A ξ valószínűségi változót hipergeometrikus eloszlásnak mondjuk, ha a ξ lehetséges értékei 0,1,2n és az n, M, N pozitív egész számokra fennáll: n ≤M≤N  M  N − M     k  n− k  P( ξ = k ) =  N    k (k=0,1,2n) M( ξ ) = np D 2 ( ξ ) = npq ⋅ N− n N−1 A16. Statisztikai becslések Becslési

alapfogalmak. A becslőfüggvény tulajdonságai A becslőfüggvényekkel szemben támasztott követelmények. A pontbecslés módszerei Alapfogalmak  függvényét értjük, amelynek Becslőfüggvény: a ξ1, ξ2 ξn mintaelemek olyan n-változós Θ Θ ( ξ1 , ξ2 ,ξn ) értéke a sokaság valamely Θ paraméterének mintából történő becslésére szolgál Tapasztalati szórásnégyzet: n (s ) * 2 = ∑ i= 1 ( x i − x) 2 n Korrigált tapasztalati szórásnégyzet: n s2 = ∑ i= 1 ( x i − x) 2 n− 1 Pontbecslés: az az érték, amit a becslőfüggvény egyetlen n elemű mintához egyetlen értékként rendel Intervallumbecslés: egyetlen minta alapján olyan intervallumot határozunk meg, amely előre megadott (nagy) valószínűséggel tartalmazza az ismeretlen sokasági jellemzőt − Konfidencia-, vagy megbízhatósági intervallum A becslőfüggvényekkel szemben támasztott követelmények Torzítatlanság: a becslőfüggvény várható

értéke megegyezik a becsülni kívánt sokasági jellemző értékével Aszimptotikus torzítatlanság: a minta elemszámának növelésével a becsülni kívánt paraméter és a becslőfüggvény várható értékének különbsége egyre kisebb lesz Konzisztencia: a mintanagyság minden határon túl történő növelése esetén annak a valószínűsége, hogy a becsülni kívánt paraméter és a becslőfüggvény eltérése kisebb egy ε számnál, =1 Hatásosság: az a becslőfüggvény hatásosabb, amelynek szórása kisebb Elégségesség: minden, mintából nyerhető információt tartalmaz A pontbecslés módszerei A becslés során egyetlen n elemű minta alapján egyetlenegy étéket is adhatunk az ismeretlen sokasági jellemzőre. Potbecslés pl: ha a sokaság várható értéke a mintaátlaggal (x ) egyenlő, ha a sokasági arány a mintabeli aránnyal egyenlő. A17. Normális eloszlás Sűrűségfüggvény és eloszlásfüggvény, a paraméterek jelentése. Standard

normális eloszlás Kétdimenziós normális eloszlás sűrűségfüggvénye. 34 A normális eloszlás ξ normális eloszlású valószínűségi változót, ha sűrűségfüggvénye: 1 f : f ( x) = σ − ( x − m) 2 2 e 2σ ⋅ 2π ahol m tetszőleges valós szám és σ>0 f(x) m-σ x m+σ m=Mó Az eloszlásfüggvény: x 1 F: F( x) = σ ⋅ 2π ∫ − ( t − m) 2 2 e 2σ dt −∞ M(ξ)=m, D(ξ)=σ F(x) 1 1/ 2 x m Standard normális eloszlás esetén m=0 és σ=1 A standard normális eloszlás sűrűségfüggvénye: 1 ϕ ( x) = 2π ϕ (x) x2 2 x 1 -1 ⋅e − A standard normális eloszlás eloszlásfüggvénye: 1 Φ ( x) = 2π Φ (x) x ∫e ⋅ − t2 2 dt −∞ 1 1/ 2 x Kapcsolat a normális és a standard normális eloszlás között:  x − m F( x) = Φ    σ  Standard normális eloszlás negatív értékekre: Φ ( − x) = 1 − Φ ( x) Kétdimenziós normális eloszlás A ξ és η valószínűségi

változók együttes eloszlása normális, ha együttes sűrűségfüggvényük f : f ( x, y ) = − 1 2π ⋅ σ 1 ⋅ σ 2 ⋅ 1 − r 2 ⋅  ( x − m1 ) 2 ( x − m1 )( y − m2 ) + ( y − m2 ) 2  ⋅ − 2 r⋅  2 σ 1⋅σ 2 2 1− r  σ 1 σ 22  ⋅e ( 1 2 ) ahol m1 és m2 valós számok, σ1 és σ2 pozitívak, valamint -1<r<1 A fenti formulával definiált együttes eloszlás peremeloszlásai normálisak: M( ξ ) = m1 D( ξ ) = σ 1 M( η ) = m 2 D( η ) = σ 2 Ha ξ és η a fenti sűrűségfüggvénnyel jellemzett normális együttes eloszlást alkotó valószínűségi változók, akkor korrelációjuk: (ξ,η) = r (ha korrelálatlanok, függetlenek is és viszont) 35 Ha ξ és η együttes eloszlása normális, akkor a regressziós függvények lineárisak: m1 ( x) = m 2 + r ⋅ σ1 ( x − m1 ) σ2 x∈ R m 2 ( y ) = m1 + r ⋅ σ2 ( y − m2 ) σ1 y∈ R A18. Intervallum becslés Centrális határeloszlástétel.

Sokasági paraméterek becslése FAE, EV és rétegzett mintából Minta elemszámának meghatározása. A centrális határeloszlás-tétel Ha a ξ1, ξ2 ξn azonos várható értékű és szórású független valószínűségi változók, M(ξi)=m és D(ξi)=σ (i=1,2 σ ξ + ξ 2 + + ξ n n), ⇒ η n = 1 számtani közepüknek várható értéke és szórása n n m Ekkor a ξ n = ξ1 + ξ 2 + + ξ n − nm valószínűségi változó várható értéke és szórása: M=0, σ=1 σ n Centrális határeloszlás-tétel: Ha ξ1, ξ2 ξn, azonos eloszlású független valószínűségi változók, M(ξi)=m és D(ξi)=σ (i=1,2), ⇒ η n = ξ 1 + ξ 2 + + ξ n − nm σ n valószínűségi változók eloszlásfüggvényei olyan sorozatot alkotnak, amely minden x pontban a standard normális eloszlásfüggvényhez tart:  ξ + ξ + + ξ n − nm  lim P( η n < x ) = lim P  1 2 < x = Φ ( x ) n ∞   σ n n ∞ − (Mivel ξi (i=1,2n),

eloszlásáról semmit sem tudunk, η eloszlása sem ismert. A centrális határeloszlás tétel szerint elég nagy n esetén η közelítőleg standard normális eloszlású) n n Intervallumbecslés Intervallumbecslés: egyetlen minta alapján olyan intervallumot határozunk meg, amely előre megadott (nagy) valószínűséggel tartalmazza az ismeretlen sokasági jellemzőt ez a konfidencia-intervallum Hibahatár (maximális hiba): azt mutatja meg, hogy a becslés során 1-α valószínűséggel ∆-nál kevesebbet tévedünk a becslés pontosságát a minta elemszámának növelésével vagy a megbízhatósági szint csökkentésével javíthatjuk Független azonos eloszlású minta: homogén és végtelen sokaságból veszünk véletlen mintát (visszatevéssel vagy visszatevés nélkül), illetve amikor véges sokaságból visszatevéssel választunk mintaelemeket 1-α Z1 Z2 Egyszerű véletlen mintavétel: homogén, véges elemszámú sokaságból visszatevés nélkül

választunk, elemenként egyenlő valószínűséggel Sokaság várható értékének becslése (FAE minta esetén) Normális eloszlású sokaság, ha a sokaság szórása (σ) ismert − Z standard normális eloszlás − y tengelyre szimmetrikus ⇒ (-z; +z) Normális eloszlású sokaság, ha a sokaság szórása (σ) nem ismert − a szórást a mintából korrigált tapasztalati szórással kell becsülni − Student-féle t-eloszlás − szabadsági fok: n-1 − szimmetrikus az y tengelyre − n>100 esetén Z-hez közelít Nem normális eloszlású sokaság, ha nagy mintát vettünk − a mintaátlag a centrális határeloszlás tétele miatt közelítőleg normális eloszlású − attól függően, hogy ismert-e a sokasági szórás: Z-, illetve t-eloszlás Nem normális, de ismert eloszlású sokaság esetén, ha kis mintát vettünk, illetve ismeretlen eloszlású sokaság esetén − a minta átlag eloszlásáról semmit sem tudunk, ⇒ a konfidenciaintervallum

meghatározása Csebisev-vel 36 − Csebisev-egyenlőtlenség alapján az intervallumba esés valószínűsége legalább 1-α ( 1 − α = 1 − 1 ) t2 (EVM minta esetén): a standard hiba n ⋅ 1− N korrekciós tényezővel módosul Sokasági értékösszeg becslése a sokasági várható értékre adott konfidenciaintervallum határait megszorozzuk N-nel Sokasági arány becslése − a sokaságot valamely minőségi vagy mennyiségi ismérv alapján két csoportba soroljuk és az egyes csoportokba esés valószínűségét akarjuk meghatározni − feltételezzük, hogy FAE minta áll rendelkezésre − binomiális eloszlás, de a gyakorlatban (nagy elemszám esetén) jól közelíthető normális eloszlással − EVM minta esetén: a standard hiba n ⋅ 1− N korrekciós tényezővel módosul Sokasági szórásnégyzet becslése − torzítatlan becslést eredményező korrigált tapasztalati szórásnégyzet alapján − khí-négyzet eloszlás − szabadsági fok: n-1

− csak pozitív értékekre értelmezett − balról aszimmetrikus A konfidenciaintervallum meghatározása rétegzett mintavétel esetén Rétegzett mintavétel: a vizsgált ismérv szempontjából heterogén sokaságot több homogén (minél kisebb szórású) részsokaságra bontjuk úgy, hogy a csoportok kiadják a teljes sokaságot, továbbá egyetlen sokasági elem se tartozzon két vagy több csoportba; az egyes rétegeken belül a minta elemeinek kiválasztása egyszerű véletlen mintavétellel történik − rétegek száma: M − Arányos elosztás − Nem arányos elosztás − Egyenletes elosztás: minden egyes rétegbe azonos számú mintaelem kerül − Neyman-féle optimális eloszlás: a nagyobb szórású rétegből aránylag nagyobb, a kisebb szórásúból pedig kisebb mintát veszünk, így kedvezőbb tulajdonságú mintát kapunk Várható érték becslése: − Nem arányos elosztás: a sokasági várható érték becslőfüggvényét a mintaátlagoknak a

sokasági rétegarányokkal súlyozott átlaga adja − Arányos elosztás: a becslőfüggvény a rétegátlagoknak a mintabeli rétegarányokkal súlyozott számtani átlaga rétegzett mintavétel standard hibája kisebb, mint az egyszerű véletlen mintavételé Értékösszegbecslés: a sokasági várható értékre adott konfidenciaintervallum határait meg kell szorozni N-nel Aránybecslés: a sokasági arány becslőfüggvénye a mintabeli arányok súlyozott átlaga A minta elemszámának meghatározása − Megbízhatósági szint: 1-α − Pontosság: ∆ − a mintaelemszám négyzetesen arányos a megbízhatósággal és a sokasági szórással, fordítottan arányos a hibahatár négyzetével (pontosság) − Azonos pontossági és megbízhatósági feltételek mellett nagyobb mintára van szükségünk, ha véges sokaságból visszatevéssel választunk (FAE), mintha visszatevés nélkül (EV) A19. Hipotézis vizsgálat alapjai χ2 eloszlás. A hipotézisvizsgálattal

kapcsolatos fogalmak ismertetése A hipotézisvizsgálat során elkövethető hibák. A hipotézisvizsgálat gondolatmenete általánosságban A khinégyzet-eloszlás Ha a ξ1, ξ2 ξn valószínűségi változók függetlenek, standard normális eloszlásúak, ⇒ χ 2 = ξ + ξ + + ξ = 2 1 2 2 2 n n ∑ i= 1 ξ i 2 valószínűségi változót n-szabadságfokú χ2 -eloszlásúnak nevezzük. A hipotézisvizsgálat alapfogalmai Hipotézis: egy vagy több sokaságra vonatkozó állítás, feltevés 37 vonatkozhat egy vagy több sokaság eloszlására vagy az eloszlás egy vagy több paraméterére Nullhipotézis és Alternatív hipotézis: a hipotézis matematikai megfogalmazása egymást kölcsönösen kizárják Egyszerű hipotézis: állítás egyenlőség formájában Összetett hipotézis: több önálló hipotézis összessége Statisztikai próba: olyan eljárás, amely során a mintából származó információk alapján döntünk a nullhipotézis

elfogadásáról vagy elutasításáról a hipotézisvizsgálat eszköze Próbafüggvény: mintaelemek olyan függvénye, amelynek valószínűségeloszlása a nullhipotézis helyességének feltételezése, a sokaságra tett bizonyos kikötések és a mintavétel adott módja mellett egyértelműen meghatározható Elfogadási illetve Elutasítási vagy kritikus tartomány − két, egymást át nem fedő tartomány − a próbafüggvény értéke a nullhipotézis elfogadása esetén előre megadott nagy valószínűséggel az elfogadási tartományba esik ⇒ tartomány határainak meghatározása Szignifikancia szint: a próbafüggvény kritikus tartományba esésének valószínűsége, jele: α Egyoldali kritikus tartomány: az ellenhipotézisben a nullhipotézishez képest egy meghatározott irányú eltérést írunk fel Kétoldali kritikus tartomány: a nullhipotézisben megfogalmazott állítástól való bármilyen irányú eltérés érdekel Kritikus érték: az elfogadási

és kritikus tartományt elválasztó értékek A hipotézisvizsgálat során elkövethető hibák Elsőfajú hiba: a nullhipotézis helyes és a próbafüggvény adott mintából számított értéke mégis a kritikus tartományba esik − elkövetésének valószínűsége: α − próba megbízhatósági szintje: 1-α Másodfajú hiba: nullhipotézis nem áll fenn és a próbafüggvény mintából számított értéke mégis az elfogadási tartományba esik − elkövetésének valószínűsége: β − próba ereje: 1-β az α csökkentése esetén megnő a β elkövetésének valószínűsége A statisztikai hipotézisvizsgálat menete − 1.nullhipotézis és alternatív hipotézis megfogalmazása − 2. próbafüggvény megkeresése − 3. szignifikanciaszint megválasztása − 4. mintavétel végrehajtása, mintajellemzők értékének meghatározása, próbafüggvény számszerű értékének kiszámítása − 5. próbafüggvény lehetséges értéktartományának

felosztása elfogadási és visszautasítási tartományra − 6. hipotézisről döntés − feltétel: egy vagy több azonos eloszlású, független elemekből álló minta − egyszerű véletlen minta kis kiválasztási arány esetén FAE-nak tekinthető Paraméteres statisztikai próbák: alkalmazásuk csak előírt eloszlású statisztikai sokaság esetén lehetséges Nemparaméteres statisztikai próbák: bármely eloszlású sokaság esetén alkalmazhatóak A20. Egy és kétmintás statisztikai próbák Egymintás és kétmintás statisztikai próbák: várható értékre, sokasági szórásra, és sokasági arányra vonatkozó próbák. Egyoldali és kétoldali statisztikai próba Egymintás és kétmintás statisztikai próba Egymintás statisztikai próbák Várható értékkel kapcsolatos próbák Egymintás Z-próba − ha a sokaság normális eloszlású és a sokaság σ szórása ismert − alternatív hipotézis: µ < m0 ⇒ jobboldali kritikus tartomány [ Z α ;

∞ [ − µ ≠ m0 ⇒ kétoldali kritikus tartomány [Z ;Z ] α 2 1− α 2 38 − µ > m0 ⇒ baloldali kritikus tartomány ] − ∞ ; Z1− α ] − használható akkor is, ha egy véges szórású, tetszőleges eloszlású sokaságból nagy elemszámú független mintát veszünk (centrális határeloszlás tétele miatt) − felhasználjuk a σ lehetséges mintákból számított korrigált empírikus szórást Egymintás t-próba − a sokasági eloszlás szórását nem kell ismernünk, de a sokaság eloszlásának normálisnak kell lennie − szabadsági fok: n-1 Sokasági szórásra vonatkozó próba − a sokaság normális eloszlású − khí-négyzet eloszlás − szabadsági fok: n-1 Sokasági arányszámmal (valószínűséggel) kapcsolatos próba − P annak a valószínűsége, hogy egy egyedet véletlenszerűen kiválasztva az rendelkezik az adott tulajdonsággal − Z-próbafüggvény Kétmintás statisztikai próbák − a két sokaságot két

véletlen és független mintának kell képviselnie Két sokasági várható érték különbségének vizsgálata Kétmintás Z-próba − mindkét sokaság normális eloszlású és ismerjük a sokasági szórásokat − ha nem ismerjük a sokasági szórásokat, akkor azokat a mintából becsüljük és kellően nagy minta esetén szintén Z-eloszlással számolunk Kétmintás t-próba − kis minták esetén − feltétel: − normális eloszlású alapsokaság − az ismeretlen sokasági szórások azonossága feltételezhető ⇒ F-próba! − Student-féle t-eloszlás, szabadságfok: n1 + n2 -2 Két sokasági arányra (valószínűségre) vonatkozó próba − két nagy minta ⇒ kétmintás Z-próba Két sokasági szórás egyezőségére vonatkozó próba − a sokaság eloszlásának normálisnak kell lennie − F-próba − szabadsági fokok: szf1 = n1 -1 és szf2 = n2 -1 A21. Valószínűségi változók függetlensége Függetlenségvizsgálat, variancia analízis

Illeszkedés vizsgálat Valószínűségi változók függetlenségének definíciója (kapcsolat az események függetlenségével). Függetlenség eldöntése a gyakorlatban diszkrét és folytonos változók esetén. A függetlenségvizsgálat és a variancia analízis gondolatmenetének kifejtése. Az illeszkedésvizsgálat lényege és gyakorlati alkalmazása Az ismertetett hipotézisvizsgálati eljárások alkalmazásának feltételei. Egy kísérlethez tartozó H eseménytéren értelmezzünk egy tetszőleges valós értékű ξ függvényt, vagyis minden h kimenetelhez rendeljünk egy ξ(h) valós számot. Ezt a függvényt valószínűségi változónak nevezzük Valószínűségi változók függetlensége A ξ és η valószínűségi változókat egymástól függetleneknek nevezzük, ha együttes eloszlásfüggvényük egyenlő a perem-eloszlásfüggvények szorzatával. Képletben: F( x; y) = P( ξ < x; η < y) = P ( ξ < x) ⋅ P ( η < y) = F1 ( x) ⋅ F2 (

y) ((x,y) ∈ R2) Ha ξ és η függetlenek, akkor tetszés szerinti a<b; c<d számpárok esetén: P (a≤ξ<b; c≤η<d) = P (a≤ξ<b) ⋅ P (c≤η<d) A ξ és η diszkrét valószínűségi változók akkor és csak akkor függetlenek, ha minden lehetséges (x i, yj) értékpárra P (ξ=xi; η=yj) = P (ξ=xi) ⋅ P (η=yj) A ξ és η folytonos valószínűségi változók akkor és csak akkor függetlenek, ha a sűrűségfüggvényekre is fennáll az ún. szorzási szabály: f (x,y) = f1(x) ⋅ f2(y) ((x,y) ∈ R2) − Ha ξ és η függetlenek, ⇒ M (ξη) = M (ξ) ⋅ M (η) (amennyiben ezek a várható értékek léteznek) − Következménye: Ha ξ és η függetlenek, akkor cov (ξ,η) = R (ξ,η) = 0 39 Illeszkedésvizsgálat egy valószínűségi változó eloszlására vonatkozó állítás vagy feltételezés ellenőrzése Tiszta illeszkedésvizsgálat: a feltételezett eloszlás egyértelműen meghatározott (típusa és paraméterei rögzítettek)

Becsléses illeszkedésvizsgálat: eloszlásnak csak a típusa ismert, a paramétereket a mintából becsüljük − alternatív hipotézis: létezik olyan i, amelyre P(Xi) ≠ Pi − nagy minta ⇒ khí-négyzet eloszlás − szabadságfok: k-b-1 (b: becsült paraméterek száma) − követelmény: a legkisebb feltételezett gyakoriság legalább 5 legyen − jobboldali kritikus tartomány Függetlenségvizsgálat − azon nullhipotézis ellenőrzésére szolgál, hogy két ismérv független egymástól − illeszkedésvizsgálat speciális esete − alternatív hipotézis: nem függetlenek egymástól van olyan i és j, amelyre Pij ≠ Pi• ⋅ P• j Tiszta függetlenségvizsgálat: khí-négyzet eloszlás, szabadságfok: s⋅t-1 Becsléses függetlenségvizsgálat: khí-négyzet eloszlás, szabadságfok: (s-1)⋅(t-1) jobboldali kritikus tartomány Varianciananalízis − annak a nullhipotézisnek az ellenőrzésére szolgál, hogy kettőnél több azonos szórású, normális

eloszlású valószínűségi változónak azonos-e a várható értéke is − A próba végrehajtásához szükség van min. 1 nominális mérési skálán és egy arányskálán mért ismérvre − vegyes kapcsolat fennállásának tesztelése − M db egymástól független sokaság, amelyekből FAE mintát veszünk − alternatív hipotézis: a µj sokasági átlagoknak nem mindegyike esik egybe µ-vel − ha igaz ⇒ a két ismérv között sztochasztikus kapcsolat áll fenn − jobboldali kritikus tartomány − teljes eltérés-négyzetösszeg − külső eltérés-négyzetösszeg − belső eltérés-négyzetösszeg − F-próba, szabadságfok: M-1, (n-M) A22. Valószínűségi vektorváltozó kovarianciája, korrelációs együttható Kétváltozós korrelációszámítás Kovariancia, korrelációs együttható, korrelálatlanság és függetlenség kapcsolata. A kapcsolat kimutatásának egyszerűbb eszközei. A szorossági mérőszámok képzésének gondolatmenete A

kovariancia, a lineáris korrelációs együttható és a rangkorrelációs együttható. Egy kísérlethez tartozó H eseménytéren értelmezzünk egy tetszőleges valós értékű ξ függvényt, vagyis minden h kimenetelhez rendeljünk egy ξ(h) valós számot. Ezt a függvényt valószínűségi változónak nevezzük Kovariancia és korrelációs együttható Ha létezik a ξ és az η valószínűségi változók várható értéke (⇒ létezik a ξ+η valószínűségi változó várható értéke is), akkor ξ és az η kovarianciája: cov(ξ , η ) = M (ξ η ) − M (ξ ) M (η ) cov( ξ , η ) Ha a ξ és η valószínűségi változóknak létezik a szórásuk, akkor az R( ξ , η ) = számot a ξ és az η D( ξ ) D( η ) korrelációs együtthatójának nevezzük. Ha η=aξ, azaz a kapcsolat függvényszerű: ha a > 0 1 R( ξ , η ) =   − 1 ha a < 0 Ha ξ és η korrelációs együtthatója létezik és R (ξ,η) = 0 ⇒ ξ és az η valószínűségi

változók korrelálatlanok. 40 Valószínűségi változók függetlensége A ξ és η valószínűségi változókat egymástól függetleneknek nevezzük, ha együttes eloszlásfüggvényük egyenlő a perem-eloszlásfüggvények szorzatával. Képletben: F( x; y) = P( ξ < x; η < y) = P ( ξ < x) ⋅ P ( η < y) = F1 ( x) ⋅ F2 ( y) ((x,y) ∈ R2) − Ha ξ és η függetlenek, ⇒ M (ξη) = M (ξ) ⋅ M (η) (amennyiben ezek a várható értékek léteznek) − Következménye: Ha ξ és η függetlenek, akkor cov (ξ,η) = R (ξ,η) = 0 A kombinációs táblák (a sztochasztikus kapcsolatok) elemzése teljes körűen ismert sokaság esetén Sztochasztikus kapcsolat: ha az ismérvek között tendenciaszerű összefüggést észlelünk, ha az egyed egyik ismérv szerinti hovatartozásából csupán a másik ismérv szerinti hovatartozás valószínűsége határozható meg − például: vállalkozás árbevétele és jövedelmezősége − Ismérvek fajtája

szerint: − Asszociációs kapcsolat: az egymással kapcsolatban álló ismérvek minőségi vagy területi ismérvek − Vegyes kapcsolat: az egyik ismérv minőségi vagy területi ismérv, a másik ismérv mennyiségi ismérv − Korrelációs kapcsolat: mindkét vizsgált ismérv mennyiségi ismérv − elemzés kiindulópontja: a sokaságnak a vizsgált ismérvek szerinti kombinatív csoportosítása ⇒ Kombinációs vagy kontingenciatábla Az asszociáció szorosságának mérése − Yule-féle asszociációs együttható − Csuprov-féle és Cramer-féle asszociációs együtthatók A vegyes kapcsolat elemzése − Szórásnégyzet-hányados: ha 0<H2<1, akkor a két ismérv kapcsolata sztochasztikus − Szóráshányados: a vegyes kapcsolat szorosságának mérőszáma (H) A korreláció elemzése csoportosított adatokból kiindulva Pozitív korreláció: az X nagyobb értékeihez általában Y nagyobb értékei, illetve X kisebb értékeihez Y kisebb értékei

tartoznak Negatív korreláció: az X nagyobb értékeihez általában Y kisebb értékei, illetve X kisebb értékeihez Y nagyobb értékei tartoznak Tapasztalati regressziófüggvény: az X ismérvhez (vagy x alapján képzett osztályokhoz) az Y i részátlagot rendeli Korreláció szorosságának mérése: Determinációs hányados: megmutatja, hogy X ismérv mekkora hányadát magyarázza meg Y szórásnégyzetének H (2Y X ) = 2 K(Y) σ (2Y ) σ ⇒ Y a „szóródó”, X a csoportosító ismérv Korrelációs hányados: H ( Y X) = 2 K( Y ) σ 2( Y ) σ korreláció esetén: 0< H(Y|X) <1 Mennyiségi ismérvek közötti sztochasztikus kapcsolatok elemzése minta alapján Korreláció számítás − célja: a változók közötti kapcsolat intenzitásának és irányának mérése − feltételezés: a változók együttes eloszlása normális eloszlást követ Kovariancia: az eltérésszorzatok számtani átlaga, amely az együttes szóródás nagyságrendjét

jellemzi. − előjele mutatja a kapcsolat irányát (pozitív: x növekedésével y is nő) − a sokaság elemszámától független − nagysága az ismérvek szóródásától és a kapcsolat szorosságától függ − a két ismérv függetlensége esetén Cxy = 0 (de C=0 -ból nem következik az ismérvek függetlensége) − ha Cxy ≠ 0, ⇒ értéke nem csak a kapcsolat szorosságától, hanem a mennyiségi ismérvek dimenziójától is függ Lineáris korrelációs együttható: a sztochasztikus kapcsolatok szorosságának mérésére szolgáló dimenzió nélküli C mérőszám: r = σ xσ y − az xi és yi értékek szorzatának kovarianciája akkor maximális, ha a két adatsor között lineáris kapcsolat áll fenn C = σ xσ y − lineáris függvénykapcsolat esetén: 41 − függvényszerű kapcsolat: C = σ xσ y ⇒ r = ± 1 − függetlenség esetén C= 0 ⇒ r= 0 − sztochasztikus kapcsolat − 1< r < 1 Rangkorrelációs együttható: a nem vagy

csak nehezen mérhető ismérvek kapcsolatának vizsgálatára alkalmas ⇒ rangsor szükséges hozzá számítása: ρ = 1− d i = xi − yi 6 ⋅ ∑ d i2 n ⋅ ( n 2 − 1) A23. Kétváltozós regresszió számítás Feltételes várható érték. Első- és másodfajú regressziós függvény Kétváltozós lineáris regresszió Tapasztalati regresszió. Legkisebb négyzetek módszere Paraméterek becslése Eredmények értelmezése Egy kísérlethez tartozó H eseménytéren értelmezzünk egy tetszőleges valós értékű ξ függvényt, vagyis minden h kimenetelhez rendeljünk egy ξ(h) valós számot. Ezt a függvényt valószínűségi változónak nevezzük Feltételes várható érték, regressziós függvény A ξ diszkrét valószínűségi változó η=yj feltétel melletti várható értékén az M ξ η = y k = M ξ y k = ∑ x i ⋅ P ξ = x i η = y k összeget értjük. ( ) ( ) ( i ) A ξ folytonos valószínűségi változó η=y feltételre vonatkozó

feltételes sűrűségfüggvényén az f ( x, y) f xy = f 2 ( y) ≠ 0; x ∈ R f 2 ( y) ( ) ( ) függvényt értjük. ( ) ( ) ∞ A ξ-nek η=y -ra vonatkozó feltételes várható értéke M ξ η = y = M ξ y = ( ) Hasonlóan f y x = f ( x, y) ( f1 ( x ) ≠ f1 ( x ) ∫ x ⋅ f ( x y) dx −∞ ∞ 0; y ∈ R ) és M( η ξ = x) = M( η x) = ∫ y ⋅ f ( y x) dy −∞ − Az m2 (y) = M (ξ|η=y) fv.-t a ξ valószínűségi változó η-ra vonatkozó elsőfajú regressziós függvényének, az m1 (x) = M (η|ξ=x) fv.-t az η valószínűségi változó ξ-re vonatkozó elsőfajú regressziós függvényének nevezzük. − Ha g tetszés szerinti, minden valós számra értelmezett, véges számú pont kivételével folytonos függvény, ⇒ [ ] 2  ≥ M m 2 ( η ) − ξ  [ ] 2  ≥ M m1 ( ξ ) − η  M g( η ) − ξ  M g( ξ ) − η  [ ] 2  [ ] 2  − Egy bizonyos

függvényosztályon belül talált regressziós függvényt másodfajú regressziós függvénynek nevezzük. Kétváltozós regressziószámítás − mennyiségi ismérvek közötti összefüggés vizsgálata matematikai statisztikai módszerekkel − regressziószámítás: az összefüggésekben levő sztochasztikus tendenciát vizsgálja és a kapcsolat természetét valamilyen függvénnyel írja le − Tapasztalati regressziófüggvény: az X ismérvhez (vagy x alapján képzett osztályokhoz) az Y i részátlagot rendeli − Ábrázolása (pontdiagrammon) segítséget nyújt a regresszió-függvény kiválasztásához, amely lineáris, hatványkitevős, exponenciális, parabolikus és hiperbolikus lehet Kétváltozós lineáris regresszió = Elméleti regresszió Y = β 0 + β 1X + ε − függvény: 42 − ahol: Y = eredmény változó X = magyarázó változó ε = véletlen tényező β 0 és β 1 = regressziós együtthatók Elméleti regresszió közelítése

(becslés konkrét mintából) = Analitikus regressziószámítás y = b0 + b1 x ↓ ↓ β0 β1 Legkisebb négyzetek módszere a különböző függvények (függvénytípusok) közül azt keressük melyek a lehető legjobban illeszkednek ∑ (y − y i ) min. y i = a mintából megfigyelt értékek, yi =becsült értékek 2 i az a legjobb függvény, ahol a regressziós függvényt és a tényleges értékek különbségének négyzete a legkisebb Paraméterek meghatározásának módszerei: Normálegyenletek Transzformált normálegyenletek Mátrixalgebrai megoldás Az eredmények értelmezése kétváltozós lineáris regresszió esetén: a becslőfüggvény: y = b0 + b1 ⋅ x b0 paraméter az x = 0 helyen felvett függvényérték figyelni kell, hogy van-e közgazdasági értelme b1 paraméter az x változó regressziós együtthatója − az egyenes meredekségét meghatározó iránytangens − megmutatja, hogy az X egységnyi változása átlagosan mekkora

változást okoz Y változóban − előjele megegyezik a lineáris korrelációs együttható előjeléve (ha b1 pozitív, ⇒ a két ismérv közötti kapcsolat is pozitív) A24. Statisztikai következtetések a kétváltozós lineáris regresszió alapján Nemlineáris regresszió Regressziós modell feltételrendszere. A becslés pontossága Paraméterek intervallumbecslése Becslés eredményének ellenőrzése. Parabolikus, hatványkitevős, exponenciális regressziófüggvény regressziószámítás: az összefüggésekben levő sztochasztikus tendenciát vizsgálja és a kapcsolat természetét valamilyen függvénnyel írja le mennyiségi ismérvek közötti összefüggés vizsgálata matematikai statisztikai módszerekkel Analitikus regressziószámítás: az elméleti regresszió becslése minta alapján Regressziós modell feltételrendszere = standard lineáris modell függvény: Y = β 0 + β 1 X + ε ahol: Y = eredmény változó X = magyarázó változó ε = véletlen

tényező β 0 és β 1 = regressziós együtthatók β 0 + β 1 X = X hatása feltételes eloszlás: Yi = Y X i = β 0 + β 1 X i + ε i i = 1 n feltételek: ε 1 , ε 2  normális eloszlású, egymástól független változók, amelyek várható értéke: M( ε ) = 0 és varianciája: D 2 ( ε ) = σ 2 43 korrelálatlanok, azaz ( cov ε i ; ε j )=0 i≠ j a hibatényezők feltételes várható értéke az X minden rögzített értékére nézve nullával egyenlő, varianciájuk állandó és korrelálatlanok Regressziós becslés pontssága A regressziós becslés során elkövetett hibák okai: − az együtthatók standard hibája: A mintából számított regressziós paraméterek szóródnak az elméleti érték körül − a vizsgált ismérvek között sztochasztikus kapcsolat van A regressziós becslés abszolút hibája: se = ∑ e2 n− 2 e = a maradék tag szórása − kifejezi, hogy a regressziós becslések átlagosan mennyivel térnek el az

eredményváltozó értékeitől − a korrelációs együttható felhasználásával is meghatározható A regressziós becslés relatív hibája: Ve = se y − kifejezi, hogy a regressziós becslések átlagosan hány %-kal térnek el az eredményváltozó értékeitől − minél kisebb a relatív hiba, annál jobb a közelítés, általában 10%-ig fogadjuk el a függvényt A regressziófüggvény paramétereinek intervallumbecslése Intervallumbecslés: egyetlen minta alapján olyan intervallumot határozunk meg, amely előre megadott (nagy) valószínűséggel tartalmazza az ismeretlen sokasági jellemzőt ez a konfidencia-intervallum n-2 szabadságfokú t-eloszlás A regressziófüggvény eredményeinek hipozézis-ellenőrzése β 1 regressziós együttható tesztelése − vizsgáljuk, hogy szignifikáns-e a β 1 regressziós együttható − n-2 szabadságfokú t eloszlás − ha a nullhipotézis fennáll, akkor a regressziót tagadjuk, azaz nem áll fenn a lineáris

regresszió Regressziós függvény tesztelése (variancia-analízis) − yi érékeinek átlagtól való eltérése két komponenssel magyarázható, egyrészt a becsült regressziófüggvény szóródásával, másrészt a maradéktag ingadozásával (= SSE = reziduális négyzetösszeg) − Ha SSE ≠ 0, ⇒ a két ismérv között sztochasztikus kapcsolat áll fenn. Szórá Eltérés Szabad snégy négyzetös ságfok zet szeg forrás a 1( y − y ) 2 Küls Regre SSR = ∑ ő sszió szór ásnég yzet 2 Bels Marad SSE = n-2 ∑ ( y − y ) ő ékszór ingad ás- ozás nég yzet Telj Teljes SST = n-1 ( y − y) 2 ∑ es szór ásnég yzet 44 Becslés SS sz.fok kapcsolatuk: SST = SSR+SSE F-próba: SSR F= 1 SSE n− 2 szabadságfokok: 1, n-2 ha a nullhipotézist elutasítjuk, azt állíthatjuk, hogy a regressziós függvény jól írja le a kapcsolatot Determinációs együttható − megmutatja a regresszió által megmagyarázott eltérés-négyzetösszegnek az y teljes

eltérés-négyzetösszegéhez való arányát - x y szórását hány %-ban határozza meg − négyzetgyöke a korrelációs együttható Nem lineális regressziófüggvények − Az ábrázolása (pontdiagrammon) segítséget nyújt a regresszió-függvény kiválasztásához, amely hatványkitevős, exponenciális, parabolikus és hiperbolikus lehet − Parabolikus regressziófüggvény: elsősorban valamely meghatározott x értékhez (max) tartozó függvényérték kiszámításához használjuk fel. − Hatványkitevős regressziófüggvény: az x és y értékek logaritmusai között van lineáris kapcsolat − regressziós együtthatója a rugalmassági együtthatóval azonos: megmutatja, hogy 1%-kal nagyobb x értékhez hány %-kal nagyobb vagy kisebb y érték tartozik (ha b1 ≥ 1, ⇒ rugalmas) − a rugalmasság független a hatótényező nagyságától, a függvény minden pontján állandó − Exponenciális regressziófüggvény: lineáris összefüggés a függő

változó logaritmusa és az x váltózó között − olyan esetekben alkalmazzák, amikor az Y ismérv növekedése arányos az adott helyen felvett érékével − b1 megmutatja, hogy a tényezőváltozó egységnyi növekedése hányszorosára változtatja az eredményvátlozó értékét A25. A többváltozós regressziószámítás A háromváltozós lineáris regressziófüggvény. A legkisebb négyzetek módszerének tulajdonságai A többváltozós lineáris regressziófüggvény paramétereinek intervallumbecslése és értelmezése. A regressziófüggvény eredményeinek ellenőrzése. A variancia-analízis alkalmazása a regressziószámításban regressziószámítás: az összefüggésekben levő sztochasztikus tendenciát vizsgálja és a kapcsolat természetét valamilyen függvénnyel írja le mennyiségi ismérvek közötti összefüggés vizsgálata matematikai statisztikai módszerekkel Háromváltozós lineáris regressziósfüggvény A többváltozós

regresszióanalízis segítségével több ismérv eredményváltozóra gyakorolt hatását vizsgáljuk cél: a mennyiségi ismérvek közötti összefüggések tendenciájának vizsgálata Standard lineáris regresszió: az Y eredményváltozó érétke valószínűségi változó, de a magyarázóváltozók értékei ismertek Feltétel: a minta elemeinek száma nagyobb legyen, mint a regressziós együtthatók száma (hogy a normálegyenletek függetlenek egyenletrendszert alkossanak) megoldható: normálegyenletekkel, vagy mátrixalgebrai műveletekkel Paraméterek értelmezése Parciális regressziós együttható (b1 és b2): egy adott tényezőváltozó egységnyi növekedése mekkora változást okoz az eredményváltozó becsült értékében, miközben a másik tényezőváltozó értéke változatlan. b0: az x1 =x2=0 helyen vett függvényérték, ha ott értelmezve van Parciális rugalmassági együttható: egy adott tényezőváltozó egységnyi relatív változása milyen

relatív változást eredményez az y-ban, a másik változó változatlan színvonala mellett. Legkisebb négyzetek módszerének tulajdonságai A módszerrel kapott regressziós együtthatók a sokasági paraméterek legjobb lineáris becslései. Ez azt jelenti, hogy a lineáris becslések közül a legkisebb négyzetek módszere a legkisebb paraméterbecslések szórása, vagyis a standard hiba. 45 ε A regressziófüggvény paramétereinek intervallumbecslése Feltétel: i eloszlása N ( 0, σ 2 ) − Mivel a szórás nem ismert ezért, se kell becsülni, amely n-m-1 szabadságfokú t-eloszlást alkot − Nagy minta esetén t-eloszlás helyett standard normális eloszlás is használható A regressziófüggvény eredményeinek ellenőrzése: − Paraméterek hipotézis-ellenőrzése: azt vizsgáljuk, hogy a magyarázóváltozók szignifikáns kapcsolatban vannak-e az eredményváltozóval. − kétoldalú t-próba n-m-1 szabadságfokkal (n: megfigyelések száma, m:

tényezőváltozók száma) − ha a nullhipotézist fogadjuk, el az azt jelenti hogy az i-edik magyarázóváltozó nincs szignifikáns kapcsolatban az eredményváltozóval, ezért célszerű kihagyni a modellből. Varianciaanalízis alkalmazása a többváltozós regressziószámításban: − alternatívhipotézis: a modellben van szignifikáns paraméter − F próba, szabadságfokok: m, n-m-1 (n: megfigyelések száma, m: tényezőváltozók száma) Többszörös determinációs együttható (R2): − az eltérés-négyzetösszegek hányadosaként határozható meg. 0 és 1 közé esik − kifejezi, hogy a modellben lévő magyarázóváltozók mennyiben magyarázzák meg az eredményváltozó szóródását. A26. A többváltozós korrelációszámítás Páronkénti korrelációs együttható. Parciális korrelációs együttható Többszörös korrelációs és determinációs együttható. Korrelációszámítás célja: a változók közötti kapcsolat intenzitásának és

irányának mérése A többváltozós korrelációszámítás célja: a többváltozós korreláció szorosságának mérése. Feltétel: minden változót valószínűségi változónak tekintünk. Páronkénti korrelációs együttható: 2-2 változó közötti kapcsolat szorosságát mérjük, a többváltozós kapcsolatot kétváltozós kapcsolatra redukáljuk és lineáris korrelációs együtthatókat számolunk. − R korrelációs mátrixba rendezzük a lineáris korrelációs együtthatókat. − használunk továbbá variancia-kovariancia mártixot is valamint S mátrixot, amely a változók szórásából áll. − végül lineáris korrelációs együtthatókat számítunk Parciális korrelációs együttható: a többi változótól nem tekintünk el, de hatásukat kiszűrjük kiszámítható: − Y és X1 közötti kapcsolat szorossága, ha X2 hatását kiszűrjük − Y és X2 közötti kapcsolat szorossága, ha X1 hatását kiszűrjük − a két tényező közötti

parciális korrelációs együttható a parciális korrelációs együtthatók lényegesen lazább kapcsolatot mutatnak, mint a páronkétni korrelációs együtthatók. Ok: a páronkénti kapcsolatot a 3 változó hatása felerősíti Többszörös korrelációs együttható:  kapcsolatának szorosságát méri. az Y eredményváltozó és az X1,., Xn magyarázóváltozók alapján becsült y Többszörös determinációs együttható (R2): − Többszörös korrelációs együttható négyzeteként és az eltérés-négyzetösszegek hányadosaként határozható meg. 0 és 1 közé esik − kifejezi, hogy a modellben lévő magyarázóváltozók mennyiben magyarázzák meg az eredményváltozó szóródását. Multikorrelalítás: ha a tényezőváltozók között függvényszerű kapcsolat áll fenn − a csökkenti becslés értékét, bizonytalanságok okoz − általában a többszörös determinációs együtthatónak van egy olyan hányada, amit a tényezőváltozók

együttesen határoznak meg. 46 − mérésére ezért a többszörös determinációs együttható és a tényezőváltozók által magyarázott részkülönbségét használjuk. A27. Idősorok elemzése és az alapirányzat kimutatása Az idősorok elemzése egyszerűbb eszközökkel (dinamikus viszonyszámok, grafikus ábrázolás, átlagok). Az idősorok összetevőinek ismertetése. Az összetevők kapcsolódási módja Trendszámítás Idősorok: a társadalmi-gazdasági jelenségek egymástól egyenlő távolságra levő időpontokban, illetve időszakokban megfigyelt értékei idősorokat alkotnak Állapotidősor: álló sokaságok időbeli változását mutatja Tartamidősor: mozgó sokaságok időbeli alakulálását mutatja Dinamikus viszonyszámok: az összehasonlítás tárgyát képező tárgyidőszak és az összehasonlítás alapjául szolgáló bázisidőszak adatának hányadosa Bázisviszonyszámok: az idősor egyes adatainak a bázisul választott időszak

(időpont) adatához viszonyított aránya bt = Yt Yb (t=1,2n) Láncviszonyszámok: az idősor egyes adatainak a közvetlenül megelőző időszak (időpont) adatához viszonyított aránya lt = Yt Yt − 1 (t=2,n) Az idősorok grafikus ábrázolása Vonaldiagram − a vízszintes tengelyen az időszakok (időpontok) a függőlegesen az idősor adatai − tartamidősorok: a megfelelő intervallum közepén mérjük fel − állapotidősorok: a intervallum megfelelő szélén mérjük fel − a bázisviszonyszámok alapján is készíthető (arányok megegyeznek az eredeti adatok arányaival) Idősorok elemzése átlagokkal Idősorok átlagos értéke: Tartamidősorok: adatai összegezhetőek, ezért átlagolásukra a számtani átlagot használjuk n Y= ∑ t= 1 Yt n Állapotidősorok: két-két időpont közötti időszakokra számított átlagos állományok számtani átlaga = Kronologikus átlag Yk = Y1 + 2 n− 1 ∑ t= 2 Yt + Yn 2 n− 1 Idősorok átlagos

változása: Abszolút változás: két egymást követő időszak (időpont) adatának különbsége Fejlődés átlagos mértéke: az időszakról időszakra bekövetkező átlagos abszolút változást mutatja a jelenség mértékegységében d= Yn − Y1 n− 1 Relatív változás: valamely időszak (időpont) adatának a megelőző időszak (időpont) adatához viszonyított aránya Fejlődés átlagos üteme: az időszakról időszakra bekövetkező átlagos relatív változás l= n− 1 b n = n− 1 Yn Y1 47 Idősorok összetevői − Trend vagy alapirányzat: az idősorban hosszabb időszakon át tartósan érvényesülő tendencia − periodikus ingadozás: az idősorban rendszeresen ismétlődő hullámzást jelent − Szezonális vagy idényszerű hullámzás − gazdasági ciklus − véletlenszerű ingadozások − Strukturális törések: egyszerű kiugró értékek (háború) ⇒ célszerű kihagyni őket Összetevők kapcsolódási módja − Az idősorok

elemzésének alapvető feladata a komponensek elkülönítése − Additív kapcsolat: az idősor adatai a komponensek összegeként adódnak − a véletlen komponens várható értékét 0-nak feltételezzük − Multiplikatív kapcsolat Trendszámítás − feladata: az alapirányzat kimutatása, a véletlen ingadozás hatásának kiszűrése − Grafikus becslés: az első és utolsó év adatit összekötjük egy egyenessel − Mozgóátlagolással: tagszámát úgy kell megválasztani, hogy az a perióduson belüli szakaszok számával azonos, vagy annak egész számú többszöröse legyen − ha a tagszám páros centírozás is szükséges − Analitikus trendszámítás: a trendet valamilyen regressziófüggvénnyel határozzuk meg − Lineáris trend: ha az időegységenként bekövetkezett változás egyenletes − Exponenciális trend: ha az időegységenként bekövetkezett változás közel azonos százalékkal nő − Parabolikus trend: ha az idősorban irányvonal

változást tapasztalunk A28. A szezonhatás vizsgálata, előrejelzés A szezonhatás kimutatása. Szezonális eltérések számítása Szezonindexek számítása Előrejelzés az eredmények alapján. A szezonhatás vizsgálatakor arra keressük a választ, hogy a szezonalitás milyen mértékben vagy arányban téríti el az idősor értékét az alapirányzattól. Vizsgálatánál ki kell szűrni a trend- és véletlen hatást Additív kapcsolat esetén a szezonhatás a trendtől való abszolút eltérés, Multiplikatív kapcsolat esetén a trendtől való relatív eltérés formájában jelentkezik. A szezonális eltérések számítása Additív összefüggés, lineáris trend: yij = y ij + s j + v ij , i = 1,.,p , j = 1,,m kiszámítjuk az egyedi szezonális eltéréseket, majd minden periódusból vesszük a j-edik eltérést, és ezek számtani átlagát képezzük, kiszűrve a véletlen hatást. p yij − y ij = s j + v ij , majd sj = ∑ (y ij i= 1 − y ij

). p Amennyiben nem teljesül, hogy a szezonális eltérések összege, illetve átlaga nulla, akkor korrigálni kell őket, az s j értékekből le kell vonni a nyers szezonális eltérések átlagát. A szezonális eltérések kifejezik, hogy az adott szezonban a szezonhatás miatt az idősor értéke átlagosan mennyivel magasabb vagy alacsonyabb a trend szerinti értéknél. Szezonindexek számítása Multiplikatív összefüggés, exponenciális trend: yij = y ij ⋅ s j ⋅ vij , A trenhatás kiszűrésére az idősor megfigyelt értékeit rendre elosztjuk a trendértékekkel: * yij y ij * = s *j ⋅ v ij A kapott hányadosok az egyedi szezonindexek, melyekből minden periódusban választjuk a j-ediket, és ezek mértani átlagát képezzük, a véletlen hatás kiszűrésére: 48 s *j = m p ∏ j= 1 yij y ij , amennyiben mozgóátlagolással képzett trendértékeknél a véletlen hatást nem tudtuk kiszűrni teljes egészében, akkor a szezonindexeket

korrigáljuk a nyers szezonindexek mértani átlagával való osztás segítségével. A szezonindexek azt fejezik ki, hogy az adott szezonban a szezonhatás miatt az idősor értéke átlagosan hányszorosa az alapirányzat szerinti értéknek. Előrejelzés az eredmények alapján Az idősorok extrapolációja a gazdasági előrejelzések (prognosztikák) statisztikai módszertanának jelentős eleme. Az extrapoláció egyik legegyszerűbb módja a fejlődés átlagos mértéke (d) és a fejlődés átlagos üteme (l) mutatók alkalmazása. Lineáris extrapolációval: y (′n + k ) = y n + ( k − 1) ⋅ d , illetve y(′n + k ) = y1 + ( n + k − 1) ⋅ d Exponenciális extrapolációval: y (′n + k ) = y n ⋅ l ( k − 1) , illetve y (′n + k ) = y1 ⋅ l ( n + k − 1) A két adat alapján történő becslés eredménye félrevezető is lehet, megbízhatóbb előrejelzést végezhetünk a trendfüggvénnyel meghatározott alapirányzat alapján. Az extrapolációt a

kívánt időszakhoz tartozó t érték behelyettesítésével kaphatjuk. Ha az idősor tartalmaz szezonális ingadozást, akkor az extrapolációnál azt is figyelembe kell venni. vagyis Additív kapcsolat esetén: y (′n + k ) = y ( n + k ) j + s *j Multiplikatív kapcsolat esetén: y(′n + k ) = y ( n + k ) j ⋅ s *j Óvakodni kell az előrejelzések mechanikus alkalmazásától. Megbízható előrejelzést csak akkor tudunk adni, ha az alapirányzatot, a múltbeli tendenciát megbízható adatokat tartalmazó, kellően hosszú idősorok alapján állítottuk fel. B1. Mátrixaritmetika – lineáris tér Műveletek mátrixokkal – speciális mátrixok – vektorok Lineáris tér, altér. Gazdasági alkalmazások 49 Definíció: Mátrixnak nevezzük bármilyen m∗n számú aij (i = 1, . m ; j = 1, n) mennyiség alábbiak szerinti elrendezését:  a11 a  21     am1 a12 a1n   a2n      amn   a22 am 2 ai j a mátrix

általános eleme, a mátrix i-edik sorának és j-edik oszlopának kereszteződésében álló elem Mátrix jele: A Tetszőleges A mátrix oszlopainak és sorainak felcserélésével nyert mátrix, az illető mátrix transzponáltja: A* Speciális mátrixok 1) Oszlopvektor: egyetlen oszlopból álló (n∗1 típusú) mátrix  a1  a  a =  2  = [ a1      an  a2  an ] * 2) Sorvektor: egyetlen sorból álló (1⋅n típusú) mátrix a * = [ a1 a2  an ] 3) Kvadratikus mátrix: n∗n típusú mátrix (más néven négyzetes) ai i elemei alkotják a mátrix főátlóját vagy fődiagonálisát, an1 ; . ;a1n a mellékátlóját 4) Diagonális mátrix: azok a speciális kvadratikus mátrixok, amelyekben a főátlón kívül álló elemek mindegyike 0. jele: < a1, . , an >, ahol ai = aii 5) Háromszög vagy trianguláris mátrix: az olyan kvadratikus mátrixok, amelyekben vagy a főátló feletti vagy a főátló alatti elemek mind 0.

(alsó illetve felső háromszögmátrix) 6) Szimmetrikus mátrix: az A kvadratikus mátrix, amelynél a főátlóhoz képest szimmetrikusan elhelyezkedő elemek egyenlőek (ai j = aji ; A = A*) 7) Ferdén szimmetrikus mátrix, ha az A kvadratikus mátrix minden ai j elemére igaz, hogy ai j = -aji . Műveletek mátrixokkal Két azonos típusú A és B mátrix között az =, <, >, ≤, ≥ relációk valamelyikére áll fenn, ha az illető reláció, elemről elemre érvényes, azaz bármely lehetséges i, j index esetén aij és bij között az illető reláció teljesül. Mátrixok összegzése Definíció: A = [aij] (n x m) és B = [bij] (n x m) ⇒ A + B := [aij + bij] (n x m); ∀ (i,j) − konformábilisak alak szerint elvégezhető a művelet 3  − 2 − 3  2  0 0  − 1 0 +  1  0  =  0 0 = O − például:    − 5  0 5  0  0 0 Mátrix skalárral való szorzása Tetszőleges m∗n

típusú A= [ aij ] mátrixnak valamely λ skalárral (valós számmal való szorzatán azt az m∗n-es C= [ cij ] mátrixot értjük, amelynek minden elemére igaz, hogy cij = λ∗ aij λ∗[ aij ] = [ λ∗aij ] Tulajdonságai: 1. ha λ =1 1∗A = A 2. ha λ =−1 −1∗A = −A , −A mátrix A ellentettje 3. A+ (-1) ∗B összeadás eredménye olyan mátrix, amelynek minden eleme az A és B mátrixok megfelelő elemeinek különbsége. Ezt az összeget A és B különbségének nevezzük A+(-1) ∗B=A−B 4. A+(-A) = 0 5. ha λ =0 λ∗A = 0 (nullmátrix) kommutativitás: A+B = B+A λ∗A = A∗λ mátrixösszeadás: asszociatív művelet: (A+B)+C = A+(B+C) 50 mátrix skalárral való szorzása: vegyes asszociativitás: ( λ∗µ ) ∗A = λ∗ ( µ∗A ) disztributivitás: λ∗( A+B ) = λ∗A + λ∗B és ( λ+µ ) ∗A = λ∗A + µ∗A transzponálás és az összeadás, illetve a transzponálás és a skalárral való szorzás sorrendje felcserélhető: ( A+B )* = A +

B( λ∗A) = λ∗A Lineáris kombináció: Adott m∗n típusú A1 ; A2 , . Ak mátrixokat rendre megszorozzuk a tetszőleges λ1; λ2; λk skalárral, majd az így kapott szorzatokat összeadva a λ1A1 + λ2A2 + . + λkAk = Σ λi Ai kifejezésen megfelelő m∗n - es mátrixhoz jutunk, melyet az A1 ; A2 ; . ; Ak mátrixok lineáris kombinációjának nevezzük A λ1A1 + λ2A2 + . + λkAk lineáris kombinációt az A1 ; A2 ; ; Ak mátrixok konvex lineáris kombinációjának nevezzük, ha a benne szereplő skalárok nem negatívak és az összegük 1. Szorzás, hatványozás: Két n elemű a és b vektor skaláris szorzatán azt a valós számot értjük, amelyet úgy kapunk, hogy a és b azonos indexű komponenseit összeszorozzuk, s a kapott értékeket összeadjuk. (a*⋅b = b⋅a = Σ ai⋅bi = Σ ai⋅bi ) a*⋅1 = Σ ai 1: összegző vektor Az m∗p típusú A = [ ai j ] mátrix és a p∗n típusú B = [ bi j ] mátrix szorzatán azt az m ∗ n típusú C = [ ci j ] mátrixot

értjük, amelynek bármely i, j indexű eleme az A mátrix i-edik sorvektorának és a B mátrix j-edik oszlopvektorának a skaláris szorzata. cij = [ai1 = [ai1 ⋅ b1 j ai 2  b1 j  b  2j  aip ] ⋅   =       b pj  ai 2 ⋅ b2 j  aip ⋅ b pj ] = ∑ aik ⋅ bkj Tulajdonságai: A∗0=0∗A=0 A∗En =E n∗A=A − asszociatív: (A∗B) ∗C = A∗(B∗C) feltéve, ha A∗B és B∗C szorzás elvégezhetőek − vegyes asszociativitás: λ∗(A∗B) = (λ∗A) ∗B − disztributivitás: A∗(B+C) = A∗B + A∗C és (A+B) ∗C = A∗C + B∗C − transzponált: (A∗B)* = B ∗ A Lineáris tér: Az L halmazt lineáris térnek vagy vektortérnek nevezzük a valós számok halmaza felett, ha: A 1, Bármely két a, b L-beli elemhez egyértelműen hozzá van rendelve az L halmaznak egy a+b-vel jelölt eleme, amelyet a és b összegének nevezzük. 2 , Az összeadás kommutatív, azaz a+b = b+a 3 , Az összeadás asszociatív, azaz

(a+b)+c = a+(b+c) 4 , Van az L-ben olyan 0-val jelölt zéruselem, hogy a+0 = a, minden elem esetén igaz 5 , Minden L-beli a elemnek van olyan (-a)-val jelölt L-beli ellentettje, amelyre a+(-a)=0 B 1, Bármely a L-beli elemhez e λ valós számhoz egyértelműen hozzá van rendelve az L halmaznak egy λ∗a-val jelölt eleme, amelyet az a λ skalárral vett szorzatának nevezünk. 2, A skalárral való szorzás kommutatív, azaz λ∗a = a∗λ 3, A skalárral való szorzás asszociatív, azaz λ∗ (µ∗a) = (λ∗µ)∗a 4, Minden a L-beli elemre igaz, hogy 1∗a = a C 1, A skalárral való szorzás a skalár összeadásra nézve disztributív, azaz (λ+µ)∗a = λ∗a + µ∗a 2, A skalárral való szorzás az L-beli összeadásra nézve disztributív, azaz λ∗(a+b) = λ∗a + λ∗b 51 Az R feletti L lineáris tér olyan L (nem üres) részhalmazát, amely az L-ben definiált összeadás és skalárral való szorzás műveletére nézve maga is lineáris teret alkot, az L

tér L alterének nevezzük. B2. Vektorrendszer rangja, dimenzió, bázis Lineáris függetlenség, kompatibilitás, bázis, bázisra vonatkozó koordináták, dimenzió. Az Ln lineáris tér a1 ; a2 ; . ; ak vektorait lineárisan függetleneknek nevezzük, ha lineáris kombinációjukként a 0 vektor csak triviális módon állítható elő, azaz, ha a λ1a1 ; λ2a2 ; . ; λkak = Σ λiai összefüggés csak λ1 = λ2 = = λk = 0 esetén áll fenn. Az Ln lineáris tér a1 ; a2 ; . ; ak vektorait lineárisan összefüggőknek nevzzük, ha lineáris kombinációjukként a 0 vektor nemcsak triviális módon állítható elő, azaz, ha találhatók olyan λ1 ; λ2 ; . ; λk skalárok, amelyeknek nem mindegyike 0 és λ1a1 ; λ2a2 ; . ; λkak = Σ λiai Egy vektorrendszer akkor és csak akkor lineárisan összefüggő, ha van olyan eleme, amely előállítható a többi elem lineáris kombinációjaként. Egy vektort kompatíbilisnek nevezünk valamely vektorrendszerrel, ha kifejezhető a

vektorrendszer lineáris kombinációjaként. Tehát b kompatíbilis az a1 ; a2 ; ; ak vektorrendszerrel, ha találhatók olyan λ1 ; λ2 ; . ; λk skalárok, hogy b = λ1a1 ; λ2a2 ; ; λkak = Σ λiai Ha az a1 ; a2 ; . ; ak vektorok lineárisan függetlenek, de az a1 ; a2 ; ; ak ; b vektorrendszer lineárisan összefüggő, akkor b kifejezhető az a1 ; a2 ; . ; ak vektorok lineáris kombinációjaként Bázis: A lineáris tér egy lineárisan független elemekből álló generátorrenszerét bázisnak nevezzük. Egy lineáris tér a1 ; a2 ; . ; an elemei akkor és csak akkor alkotnak bázist, ha a vektortér tetszőleges a vektora egyértelműen előállítható az a1 ; a2 ; . ; an vektorok lineáris kombinációjaként Legyen a1 ; a2 ; . ; ak az L lineáris tér egy bázisa A tér tetszőleges a vektorának b = λ1a1 ; λ2a2 ; ; λnan előállításában szereplő λ1 ; λ2 ; . ; λn skalárokat az a vektor ai bázisra vonatkozó koordinátáinak nevezzük Az L lineáris tér

dimenziója n, ha van L-nek n elemű bázisa. A nulltér dimenziója 0 Az L lineáris tér dimenziója α , ha L-nek nincs véges bázisa. Az n dimenziós L lineáris tér L alterének k dimenziójára igaz, hogy k≤n. Tetszőleges vektorrendszer esetében a rendszerből kiválasztható lineárisan független vektorok maximális számát a vektorrendszer rangjának nevezzük. Ha az a1 ; a2 ; . ; ak vektorrendszer rangja r, akkor az általa generált altér dimenziója is r Bármely mátrix oszlopterének dimenziója egyenlő a mátrix sorvektorterének dimenziójával. Az A oszlop-, illetve sorvektorterének dimenzióját a mátrix rangjának nevezzük: r(A) Az n-edrendű kvadratikus mátrixot nem - szingulárisnak nevezzük, ha a rangja n. Ha a rangja kisebb, mint n, akkor szingulárisnak mondjuk. Az a1 ; a2 ; . ; ak vektorrendszert az L lineáris tér véges generátorrendszerének nevezzük, ha az általuk generált altér L. B3. Elemi bázistranszformáció és alkalmazásai Elemi

bázistranszformáció, rang, kompatibilitás, mátrix inverze, egyenletrendszer megoldása (általános-, bázismegoldás). Általános bázistranszformáció(?) Ha az L lineáris tér egyik bázisáról egy másikra térünk át, akkor bázistranszformációról beszélünk. A bázistranszformációnak azt a legegyszerűbb esetét, amikor a bázisvektorok közül csak egy vektort cserélünk ki, azaz a két bázis csak egy vektorban különbözik, elemi bázistranszformációnak vagy elemi transzformációnak nevezzük. Legyen b1 ; b2 ; . ; bn az Ln egy bázisa, továbbá 0 ≠ c ∈ Ln e bázisra vonatkozó koordinátái: c1 ; c2 ; . ; cn Ha ck ≠ 0, akkor a b1 ; b2 ; ; bk-1 ; c ; bk+1 ; bn vektorok szintén bázist alkotnak Ln 52 Rang: A vektorrendszer rangjának megállapításához a vektorrendszerben található lineárisan független vektorok maximális számát kell meghatározni. Ezt elemi transzformációval tesszük Kompatíbilitás: Egy b vektor komatíbilis az a1

; a2 ; . ; ak vektorok által generált altérrel, ha b eleme ennek az altérnek, azaz b felírható az a1 ; a2 ; . ; an vektorok lineáris kombinációjaként Mátrix inverze: Az A mátrixnak akkor és csak akkor létezik jobb oldali inverze, ha az A mátrix sorvektorai lineárisan függetlenek. A B mátrixnak akkor és csak akkor létezik bal oldali inverze, ha az B mátrix oszlopvektorai lineárisan függetlenek. Valamely A mátrixnak akkor és csak akkor létezik egyszerre jobb- és bal oldali inverze, ha A nem szinguláris mátrix. Ebben az esetben a két inverz egyértelműen meghatározott és egymással egyenlő Tulajdonságai: 1. ha A és B két azonos rendű, nem szinguláris mátrix: akkor (A∗B)-1 = B-1∗ A-1 2. (A∗B∗C) -1 = C -1 ∗ B -1 ∗ A -1 Lineáris egyenletrendszer megoldása: Az x1 ; x2 ; . ; xk ismeretleneket tartalmazó a11 x1 + a12 x2 + . + a1k xk = b1 a21 x1 + a22 x2 + . + a2k xk = b2 : an1 x1 + an2 x2 + . + ank xk = bn lineáris egyenletek véges

halmazát lineáris egyenletrendszernek nevezzük.  a11 a A =  21     an1 a12 a22 an 2  a1k   a2k       ank   x1  x  X =  2 b =      xk   b1  b   2      bn  Az egyenletrendszer ebből: A∗x = b A : az egyenletrendszer együttható mátrixa Ha b = 0 homogén egyenletrendszer Ha b ≠ 0 inhomogén egyenletrendszer Megoldása: Az egyenletrendszert megoldani annyit jelent, mint meghatározni azon x vektorok halmazát, amelyek kielégítik az A∗x = b Ha az x vektorok halmaza is üres inkonzisztens az egyenletrendszer, ellenkező esetben konzisztens. Annak szükséges és elégséges feltétele, hogy az A∗x = b egyenletrendszernek legyen megoldása az, hogy b kompatíbilis legyen az A mátrix oszlopvektorterével. Általános megoldás: Tegyük fel, hogy A∗x = b egyenletrendszer megoldható; A mátrix rangja r, és A első r oszlopvektora

lineárisan független. 53  xr x=    xs xr = d - D∗xs xs ∈ Rs (szabad) B4. Lineáris programozás Feladattípusok, standard és kanonikus alakok. Optimális termékválaszték és a táplálkozási feladat Lehetséges bázistranszformáció, lehetséges megoldások halmaza. Grafikus megoldás Speciális esetek Feladattípusok: a, Normál feladat A∗x≤b x≥0 f(x) = z = c* ∗ x max b≥0 b, Módosított normál feladat: A 1 ∗ x ≤ b1 A2 ∗ x = b2 x≥0 f(x) = c* ∗ x max b1,2 ≥ 0 c, Általános feladat: A 1 ∗ x ≤ b1 x≥0 A2 ∗ x = b2 A3 ∗ x ≥ b3 b1,2,3 ≥ 0 f(x) = c* ∗ x max Standard alak: Mindhárom feladattípus az alábbi alakba hozható: A∗x≤b c* ∗ x max x≥0 ahol a jobboldali b elemei negatívok is lehetnek. Kanoniskus alak: csak egyenleteket tartalmaz. A∗x ≤ b x;s ≥ 0 z = c* ∗ x + 0 ∗ s max Lehetséges bázistranszformáció: α : generáló elem csak pozitív szám lehet β : ha az adott (j-edik) oszlop

pozitív elemével osztjuk a b oszlopainak megfelelő elemeit, generáló elemnek az oszlop azon elemét választjuk, amelyre ez a hányados a legkisebb. Az α, és β tulajdonságokkal rendelkező elemi bázistranszformációt lehetséges bázistranszformációnak nevezzük. 54 Lehetséges bázismegoldások: Ha egy egyenletrendszer bázismegoldásában kevesebb 0-tól különböző elem van, mint az együttható mátrix rangja (a bázismegoldást adó táblázat jobb oldalán 0 is előfordul), akkor degenerált bázismegoldásról beszélünk.  x Az [ A; E ] ⋅   = b egyenletrendszer bázismegoldásai közül azokat, amelyeknek nincs negatív komponense, u   lehetséges bázismegoldásoknak nevezzük.  x Az   lehetséges bázismegoldásaiból adódó x vektor az A ∗ x ≤ b , x ≥ 0 egyenlőtlenség rendszer  u lehetséges bázismegoldása vagy bázismegoldása: Triviális bázismegoldás: egy normál feladatnak az x = 0 megoldást

nevezzük. [ x* ; u ] = [ 0 ; 0 ; . ; 0 ; b1 ; ; bm ] x = 0 b = u Normál feladatnak mindig van bázismegoldása ( az x = 0 mindig megoldás) Az LP feladat akkor nem degenerált, ha az adott feladatra az egyik lehetséges bázismegoldása sem degenerált. Lehetséges megoldások halmaza: Az A ∗ x ≤ b , x ≥ 0 egyenlőtlenség-rendszert kielégítő x vektort a standard feladat lehetséges megoldásának, ezen vektorok L halmazát a lehetséges megoldások halmazának nevezzük. Az f célfüggvény Értelmezési Tartománya a lehetséges megoldások halmaza (D f = L). Ha f-nek van maximuma, akkor azt az x , amelynél f maximális, optimális megoldásnak nevezzük és x0 -val jelöljük. Több optimális megoldás is lehet. Az n komponensű vektorok egy nemüres F halmazát konvexnek nevezzük, ha bármely két x1 ∈ F és x2 ∈ F vektor esetén ezek bármely konvex lineáris kombinációja is benne van F-ben: λ x1 + (1 − λ)x2 ∈ F, 0 ≤ λ ≤ 1, x1 ≠ x2 Az üres és

egyértelmű halmazt konvexnek tekintjük. Legyen F az n komponensű vektoroknak egy konvex halmaza. Az x ∈ F vektort az F halmaz extremális pontjának nevezzük, ha x nem lehet egyetlen olyan szakasznak sem a belső pontja, amely benne van F-ben. Az A ∗ x ≤ b , x ≥ 0 standard feladat megoldásainak a halmaza konvex. Grafikus megoldás: Ha az egyenlőtlenségrendszerben szereplő x ismeretlenekből csak kettő van, akkor a feladatot grafikusan is meg lehet oldani. Az A ∗ x ≤ b , x ≥ 0 egyenlőtlenség-rendszer tetszés szerinti x lehetséges megoldásához tartozó eltérésvektornak azt az u vektort nevezzük, amelyre A∗x + u = b. Egy F vektorhalmaz akkor korlátos, ha van olyan k vektor, hogy minden a* = [ a1, a2 , . , an ] ∈ F vektorra  ai  ≤ ki (i = 1, . , n) Speciális esetek: B5. Normál feladat megoldása szimplex módszerrel Induló tábla, algoritmus és annak indoklása, alternatív optimum, degeneráció, ciklus, nem korlátos esetek. Ax ≤ b f (

x ) = c * x max normál feladat és a hozzá tartozó 55  x [A, E]  = b  u egyenletrendszernél lényeges feltétel, hogy a jobb oldalon nem állhat negatív szám, tehát b > 0. Feltéve, hogy az A mátrix m×n-es az induló tábla: x1 u1 a11 u2 a21  u am x2 xn b a12 a1n b1 a22 a2n b2  am am bm m 2 1 n -z c1 c2 cn 0 Lehetséges bázistranszformáció: a) a generálóelem csak pozitív szám lehet b) ha az adott (j-edik) oszlop pozitív elemeivel osztjuk a b oszlopainak megfelelő elemeit, generáló elemnek az oszlop azon elemét kell választani, amelyre ez a hányados a legkisebb. (szűk keresztmetszet) c) generáló elemet pozitív cj elem felett kell választani ahhoz, hogy az új bázisnál a célfüggvény értéke nagyobb legyen. (ha 0 felett választunk, akkor a célfüggvény értéke nem változik, negatív elem felett, viszont csökken a célfüggvény értéke). A standard feladat lehetséges bázismegoldásai a lehetséges

megoldások halmazának extremális pontjai, és fordítva. Minden extremális pont bázismegoldása a feladatnak Ha valamely bázistáblázat a standard feladat lehetséges bázismegoldását adja, akkor lehetséges elemi bázistranszformáció segítségével véges sok lépésben el lehet jutni bármely más lehetséges bázismegoldást adó bázistáblázathoz. x1* u1 A11 u2 A21 -z c1* x2* A12 A22 c2* b b1 b2 0 u1* x1 A11-1 u2 A21 A11-1 -z c1* A11-1 x2* A11-1 A12 A22-A111 A12 c2*c1A11-1 A12 b A11-1b1 b2A21A11 -1 b1 c1*A11 -1 b1 Ha nem degenerált normál feladatról van szó és elemi bázistranszformációkat hajtottunk végre, akkor a jobb oldalon az utolsó sort kivéve pozitív elemeket kapunk. Ekkor táblánk bázismegoldása: −1  x 1   A11 b x=   =    0  0  0  0   u=   =  −1   u 2   b 2 − A 21 A11 b  Ha a Ax ≤ b f ( x ) = c * x max x > 0 normál feladatnak van x lehetséges megoldása

és A-nak van olyan aj oszlopvektora, amelynek nincsenek pozitív komponensei, akkor 1. az x j-edik komponensét tetszés szerint növelve megoldás marad 2. cj > 0 esetén az f a lehetséges megoldások halmazán nem korlátos 56 Ha x01, x02, , x0k optimális megoldásai egy LP feladatnak (alternatív optimumok), akkor bármely konvex lineáris kombinációjuk is az. Egy adott LP feladatnak csak akkor lehet több optimális megoldása, ha a duál feladat optimális megoldása degenerált. B6. A kétfázisú szimplex algoritmus Módosított normál feladat, lehetséges megoldás létezésének feltétele, a megoldás két fázisa. Általános feladat 1. Módosított normál feladat A1 x = b 1 A2 x ≤ b 2 f ( x ) = c * x max x > 0, b1 > 0, b2 > 0 u1 vektornál kalappal jelezzük, hogy egyenletrendszerhez tartozik, így komponensei csak zérusok lehetnek. Ennek alapján felírható az indulótábla: x* A1 A2 b1 b2 c* 1*A1 0 0 1 u u2 −z − z Az eredeti

módosított normál feladatnak akkor és csak akkor van lehetséges megoldása, ha az f maximális értéke 1*b1 . A lehetséges megoldások halmazát L jelölje Az alsó sorban lévő f célfüggvényt másodlagos célfüggvénynek nevezzük. Az első fázis elvégzése után elhagyható 1 A11 u x1* x2* A12 b b1 u2 A21 − z1*A11 A22 1* A12 b2 0 1 * u x2* x1 u2 − z -1* A11A11-1 1*A12-1 A11A11-1 A12 Amennyiben a duál feladat optimális megoldására nincs szükség, a kalapos oszlopok elhagyhatók. 2. Általános feladat A1 x = b 1 A2 x ≤ b 2 A3 x ≥ b 3 f ( x ) = c * x max b1 > 0, b2 > 0, b3 > 0 x > 0, x* v* 57 u1 u2 u 3 −z − z A1 A2 0 b1 b2 0 A3 b3 -E c* 1*A1+1A3 0* -1* 0 1*b1+1b3 Az indulótábla felírása után a módosított normál feladat eljárása – kétfázisú szimplex módszer – követhető. B7. A dualitás A probléma megfogalmazása, gazdasági tartalma. A “gyenge” dualitási

tétel és következményei A probléma megfogalmazása: Egy olyan termékválasztékot kell meghatároznunk, ahol az adott erőforrás kapacitások mellett maximális a nyereség. Ez a probléma egy standard feladathoz vezet: b≥0 A∗x ≤ b c* ∗ x max Felmerül a következő kérdés: ha valaki az erőforrásokat akarná bérbevenni vagy megvásárolni, milyen árajánlattal élhet. erőforrás - egységár: y* = [ y1 ; y2 ; . ; ym ] ; a felvásárlónak a g(y) = b1 ∗ y1 + . + bm ∗ ym = b* ∗ y Hogy az árai versenyképesek legyenek: függvény értékeinek csökkentésére kell törekednie. a11 ∗ y1 + a21 ∗ y2 + . + am1 ∗ ym ≥ c1 : a1n ∗ y1 + a2n ∗ y2 + . + amn ∗ ym ≥ cn Ezek alapján: A* ∗ y ≥ c y≥0 g(y) = b* ∗ y min A duál feladat y0 megoldásának komponenseit az erőforrások elszámolható árainak vagy árnyékárainak is nevezhetjük. Definíció: A∗x ≤ b c* ∗ x max b ≥ 0 és az A* ∗ y ≥ c b* ∗ y min y≥0 feladatok

egymásnak duáljai. A kiinduló feladatot primál feladatnak, a belőle származtatott feladatot duál feladatnak nevezzük. A maximum feladat eltérésvektorát u - val, a minimum feladatét w - vel jelöljük: A∗x+u = b A* ∗ y − w = c A "gyenge" dualitási tétel: Ha az A∗x ≤ b x ≥ 0 és az A* ∗ y ≥ c ƒ(x) = c* ∗ x max g(y) = b* ∗ y min y≥0 duál feladatpárnál x illetve y (y-on) lehetséges megoldás, akkor ƒ(x) ≤ g(y) Következménye: 58 1. Ha a primál feladatnak van megoldása és ƒ célfüggvénye nem korlátos felülről, akkor a duál feladatnak nincs lehetséges megoldása. Ha a duál feladat g célfüggvénye nem korlátos alulról, akkor a primál feladatnak nincs lehetséges megoldása 2. Ha a primál feladat ƒ célfüggvényének értéke valamely x0 helyen megegyezik a duál feladat g célfüggvényének valamely y0 helyen felvett értékével ƒ(x0) = g(y0) , akkor ƒ(x0) az ƒ-nek maximuma, g(y0) g-nek a minimuma. Tehát

x0 a primál , y0 a duál feladat optimális megoldása. B8. Posztoptimális analízis Az ellenőrzési módszer, variánsszámítás, érzékenységvizsgálat. Ellenőrzés elemi bázis transzformáció ellenőrzése volt-e hiba?, bármelyik táblázatot ellenőrizhetjük, célszerű az utolsót. körbeírás: 1) indulótáblához képest a helyén maradt ahhoz képest átellenesen írunk 2) ami elmozdult mellé vagy fölé írunk 3) minden más helyre 0 számolás módja: b oszlopa: jobb fül+sorok×felső fül (skaláris szorzat) -z oszlopa: alsó fül-bal fül×oszlopok sarokban: kétféleképpen számítható Variánsszámítás Ha a kezdeti feltételeket, technológia viszonylagos állandósága mellett megváltoztatjuk kell-e új programot készíteni? Nem kell új programot készíteni, ellenőrzés módszerével megoldható. Érzékenység vizsgálat Hogyan módosíthatjuk a célfüggvény együtthatóit úgy, hogy az optimális megoldás ne változzék. Meddig

változtathatjuk a kapacitásvektor komponenseit, hogy az optimális megoldás bázisa ne változzék. Az ilyen jellegű vizsgálatokat érzékenységvizsgálatoknak nevezzük. mindig optimális táblához kapcsolódik! B1 U1 U2 . Um -Z Bopt. U1 x3 Un x1 x2 x3 x4 A ij c1 c2 c3 c4 b1 b2 . bm x1 . x4 x2 0 -Z A ij Z Megváltozott tegyük fel, hogy α  β  xo =    0   γ  ⇒ optimális termelési program kiolvasható belõle, hogy x3 nincs a programban Vizsgáljuk, hogy ci és bj komponensek milyen korlátok között mozoghatnak, ha az optimális program változatlan 59 feltétele: ≤ O * (alsó sor) és ≥ O* (jobboldali oszlop) azaz az optimális tábla peremein ne legyen jelváltás ha szûk határok között: arra a komponensre érzékeny ha tág határok között: arra a komponensre érzéketlen Tétel I. Zo állandó a) Bázisban nem levõ xi (azaz xo -ban 0 szerepel, példában az x3) esetén ⇒ ci legfeljebb wi -vel

növelhető y b) Ahol o -ban 0 szerepel, azaz Uj a primál Bázisban van ⇒ bj maximum Uj -vel (kihasználatlan kapacitás) csökkenthetõ De vigyázni b)-nél: általános feladat uˆ j v j ş ≥ ş ⇒ − v j − vel ş = ş azaz itt vj kapacitáshiányt jelent két lehetõség: (1) vj -t elõjelesen kezelve ⇒ K− − v j (2) vj ≥0 -t hozzáadva ⇒ K+ v j { } ( ) II. Zo változik a) Bázisban levõ xi esetén ⇒ ellenõrzés ci -vel, mint ismeretlennel b) j-dik feltétel esetén ⇒ ellenõrzés bj -vel, mint ismeretlennel és számolni kell, hogy ≤ O* ≥ O* legyen [ alsófül] − [ ] [ számolás módja: ] opt. * balfül ⋅ Aij ≤ O  jo   fel  bb  + Aopt. ⋅  sõ  ≥ O*   ij    fül  fül [] bal fület sorvektorrá alakítjuk; a felsõ fület pedig oszlopvektorrá ugyanaz, mint az ellenõrzésnél! De vigyázni az egyenlõségeknél (azaz v j nélküli û j -k) ⇒ ezekre a ≤0 nem

vonatkozik 60 B9. Paraméter alkalmazása LP feladatban Az általános illetve lineáris eset a probléma megfogalmazás szintjén. A lineáris célfüggvényparaméteres eset részletezése. Karakterisztikus intervallum és pont Alternatív megoldások Paraméter korlátozása Def.: Az x≥0, T1≤t≤T2, Ax≤b, f(x,t)=(c*+rt)xmax alakú (illetve ilyen alakúra hozható) feladatokat (egyparaméteres) célfüggvény-parametrikus programozási feladatnak nevezzük. lehetséges megoldást tartalmazó tábla kell hozzá (L≠∅) a) Alapfeladat ≤ 5  x≥ O 4 x1 + ≤ 6 Z = 2 x1 + 3x 2 + 6x 3 max. 2x 2 + x2 + 2x 3 4x 3 tegyük fel, hogy a célegyütthatók a termékegységek hozamai célfüggvény: nyereségmaximalizálás b) Parametrikus probléma célegyütthatók kicserélése függvényekre ( ) Z = ( 2 + t ) x1 + 3 − 21 t x 2 + 6x 3 max. t∈ R c) Korlátozott parametrikus probléma például: ne legyen veszteség 2+ t ≥ 0 3− 1t 2 ≥ 0 −2≤

t≤ 6 α ≤ t≤ β Parametrikus modell A  b c   -ben függvények vannak ha b -ben: jobboldal-parametrikus feladat ⇒ a duál célfüggvény-parametrikus feladat ha c -ben: célfüggvény-parametrikus feladat ⇒ csak ezzel foglalkozunk ha a függvények egyváltozós lineáris függvények ⇒ egyparaméteres lineáris modell tömbösítve: ( ) Z = c * + r ⋅ t ⋅ x max. t∈R α ≤ t≤ β vagy ahol: r * ⇒ a t együtthatóit gyûjti magában B1 x1 x2 x3 . xn U1 U2 . Um A -Zc c1 c2 c3 . cn -Z= + -Zt r1 r2 r3 . rn b1 b2 . bm 0 0 Definíció: Karakterisztikus intervallum az az intervallum, amelyen belül az optimális megoldás struktúrája azonos (azaz t függvényében nem változik) t 1< t < t 2 ahol t1 és t2 karakterisztikus pontok ⇒ ezekben a pontokban változhat az optimális megoldás struktúrája a karakterisztikus pontokkal együtt az intervallum: t 1 ≤ t ≤ t 2 (a ±∞ nem karakterisztikus pont!) Parametrikus feladat

algebrai elrendezése 61 B1 x1 u1 0 u2 1 u3 1 -Zc 1 -Zt 1 azaz x2 1 4 2 12 0 6 1 0 0 0 c * = [1;1] r * = [1;0] a táblából Z kiolvasása: Z = − ( − Zc ) + ( − ( − Z t ) ) Lehetséges megoldást tartalmazó tábla optimális megoldást tartalmaz-e? ⇒ blokkosított feltétel: c * + r ⋅ t ≤ O 1) − ha ∃ r j = 0 és c j > 0 akkor nincs olyan t amivel optimális megoldás lehetne! − ha lehet: tovább kell lépni − ha nincs a ij > 0 , amivel tovább lehetne lépni ⇒ pech 2) − legyen:  − c j t alsó : = max  rj < 0  r  j     − c j t felsõ : = min  rj > 0  r  j    és − például: -Zc -2 1 2 -3 -Zt 2 -0,5 -2 6 ahol 2 1 alsó rj< 0 ⇒ ahol 1 0,5 felső rj> 0 ⇒ Lehetséges esetek: a) ha minden r j < 0 ⇒ t alsó ≤ t [ < ∞ ] b) ha minden r j > 0 ⇒ [ − ∞ < ] t ≤ t felsõ c) ha r j vegyesen van ⇒ t alsó ≤ t ≤ t felsõ d) emellett

a korlátozásra figyelni kell mindhárom esetben! − Megjegyzés: Ha létezik r j = 0 és a) c j > 0 ⇒ nem létezik olyan t, amivel optimális megoldás lehetne b) c j = 0 ⇒ karakterisztikus intervallum, minden pontban végtelen sok optimális megoldás van c) c j < 0 ⇒ felette a ij ??? (mit tegyünk?) 3) ? ← t n ≤ t ≤ t n+ 1 ? 62 − − − − felfelé illetve lefelé „kilépés” ⇒ új karakterisztikus pontok kialakítása „felfelé kilépés” technikája: a felső korlát oszlopában generáló elemet választunk (α és β szerint) ha létezik a ij > 0 ⇒ új tábla − ha nincs a ij > 0 ⇒ t n+ 1 ≤ t esetén a célfüggvény nem korlátos L-en Parametrikus feladat grafikus megoldása - Példa ≤ 4   x1 + ≤ 12  x ≥ O x1 ≤ 6  Z = ( 1 + t ) x 1 + x 2 max. x2 2x 2 feladat: t függvényében adjuk meg az optimális megoldások struktúráját x 2 4 P 2 P1 P3 L≠ ∅ 1 x1 1 6 extremális pont: lehetséges

bázismegoldás − ha van optimális megoldás, akkor az valamelyik extremális ponttal van kapcsolatban legyen ( 1 + t ) x1 + x 2 : = C ⇒ tetszőleges szintvonal ekkor a meredekség: x 2 = ( − 1 − t ) x1 + C Az optimális megoldás a) P1 -gyel kapcsolatos 0≤ − t − 1< ∞ ⇒ − ∞ < t≤ −1 − ha t= -1 ⇒ alternatív optimum b) P2 -vel kapcsolatos − 21 ≤ − t − 1 < 0 ⇒ − 1< t ≤ − 1 2 − mivel a P2P3 szakasz meredeksége − ha t= − − 1 2 1 ⇒ alternatív optimum 2 − illetve t= -1 ⇒ ismét az előző alternatív optimum c) P3 -mal kapcsolatos − ∞ < − t − 1≤ − − ha t= − 1 2 ⇒ − 21 ≤ t < ∞ 1 ⇒ újra az előző alternatív optimum 2 B10. Hiperbolikus programozás Definíció: A⋅ x ≤ b f ( x) = } x≥ O c* ⋅ x + α * d ⋅x+ β max.  h( x)  : =  g( x)   − nem lineáris célfüggvény Feltevések: 1) ∀ x ∈ L ⇒ g(x) ≠ 0 2) tegyük fel, hogy ∀

x ∈ L ⇒ g(x)>0 63 3) ha f(x) min. ⇒ (-1)⋅h(x) (2) miatt 4) c* és d legyenek lineárisan függetlenek ⇒ ∃ / λ ⇒ λ⋅d* = c Megjegyzés: árbevétel ⇒ max. ráfordítás ⇒ min. ⇒ profitindex = árbevétel / ráfordítás ⇒ max Definíció: x ∈ L esetén: c* ⋅ x + α = 0 d* ⋅ x + β = 0 -nak 1) csak egy megoldása van, ha a feltevések helyesek 2) ez a megoldás az egyenletrendszer pólusa - jelölése: x p − speciális eset: x ∈ L 2 esetén (kétdimenzióban)  c1 ⋅ x 1 + c 2 ⋅ x 2 + α = 0     d1 ⋅ x1 + d2⋅ x2 + β = 0 − ha c* és d nem függetlenek: α=β esetén végtelen sok megoldás van α≠β esetén nincs megoldás Tétel: ha x ∈ L 2 1) egyenesek ⇒ kóták 2) x p -n átmenő egyenesek (nem párhuzamosak) 3) a pólus körüli forgatásra a célfüggvény érték monoton változik Megjegyzés: x p ∉ L ⇒ ekkor a nevező nulla lenne (g(x)=0 ⇒ 1.feltevéssel ütközik) nincs megoldása Grafikus

megoldás lépései: 1) x ∈ L 2 2) f ( x) = c* ⋅ x + α d* ⋅ x + β tegyük fel, hogy i) ∃/ λ ⇒ λ ⋅ d = c ii) max./ min ∀ x ∈ L ⇒ d * ⋅x + β > 0 (algebrai megoldásnál fontos, grafikusnál nem igazán fontos) 64 c* ⋅ x + α = 0 3)  megoldása: xpólus{ ∉ L} * d ⋅ x + β = 0 4) ha létezik optimális megoldás, akkor az extremális ponttal van kapcsolatban - szintvonalak (kóták) értéke a pólus körüli forgatásra monoton − meg kell keresni a minimum forgatási irányát ⇒ itt: óramutató járásával egyezően − ahol az extremális pontot érinti ⇒ optimum: pl.: x o = [ 3;5] * 2 ⋅ 3 + 12 ⋅ 5 + 14 16 = = 1,778 2⋅ 3+ 7⋅5+ 4 9 Megjegyzés: ha a kóta két extremális pont közelében halad el, lehet, hogy az ábrán egy egyenesbe esnek, pedig nem vagy fordítva ⇒ ki kell számolni abban a két extremális pontban a függvényértéket és ha egyenlőek ⇒ alternatív optimum ha nem egyenlőek ⇒ a

kettő közül csak egy optimális Zo = Példa 1) 2) x1 + 2 x1 − f ( x) = x2 x2 ≤ 2  x≥ O ≤ 1  x1 + 2 x 2 max. x2 + 1  x1  x =   ∈ L2  x2  − nevező az L-en pozitív ⇒ 1) 2) és előjelkikötés alapján 65 − Pólus:  x1 + 2 x 2 = 0   x2 + 1 = 0 x1 = 2 x2 = − 1 2  xp =    − 1 − Grafikus megoldás: x2 Zmax=3/2 2 (0;2) (1;1) 1 (1/2;0) (0;0) -1 x1 1/2 2 x p (2;-1) (1) (2) − célfüggvény értékei: f ( 0) = 0 ( f [ 1;1] * ) = 23 66 − az optimális megoldás:  1 xo =    1  0 Uo =    0 3 Zo = 2 Algebrai megoldás két módszer: 1) HP visszavezetése LP-re (kézi számolással nem könnyű) 2) Martos-módszer HP visszavezetése LP-re HP: A⋅x ≤ b f ( x) = } x≥ O * c ⋅x+ α max. d* ⋅ x + β − fontos, hogy b -re nincs előjelkikötés! ⇒ standard feltételrendszer − itt a jelirányra kell figyelni, azaz hogy mindig ≤

álljon LP: új ismeretlen bevezetése a célfüggvény nevezőjébe: 1 t: = * d ⋅x+ β tegyük fel, hogy ∀x ∈L régi ismeretlen kiiktatása szükséges: Feltételekből: U A⋅ x≤ b ⋅t A⋅ x⋅ t ≤ b⋅ t (mivel t>0, a jelállás nem fordul meg) Célfüggvényből: ( ) 1 f ( x) = c* ⋅ x + α ⋅ max. d ⋅x+ β  := t f ( x ) = c ⋅ x ⋅ t + α ⋅ t max. * esetén d * ⋅ x + β > 0 ⇒ t> 0 67 legyen ≥0 ≥0 ≥0 x ⋅ t := y U⋅ t = w ekkor: (nincs köze a duálproblémához!) A⋅ y − b⋅ t ≤ 0 ( ) f ( x) = f y = c * ⋅ y + α ⋅ t max. a feltételrendszert átrendeztük a baloldalra, hogy a szimplex tábla jobb oszlopában ne legyen negatív szám új ismeretlen definícióját átalakítva: 1 t: = * ⇒ d* ⋅ x ⋅ t + β t = 1 ⇒ d ⋅ y + β t = 1 d ⋅ x+ β Összefoglalás: HP } x≥ O A⋅x ≤ b c* ⋅ x + α f ( x) = d* ⋅ x + β max. felhasználva, hogy: ∀ x ∈ L d * d * ⋅

x + β 1 ⋅ x + β LP (új feltételrendszer) A ⋅ y − b ⋅ t ≤ O   y≥ O d* ⋅ y + β t = 1   ( ) f y = c * ⋅ y + α t max. ha LP optimális megoldása: t o − nál: yo wo ( ) f y o : = Zo akkor a HP optimális megoldása (y és w definíciója alapján): xo = 1 ⋅y to o Uo = 1 ⋅ wo to f ( x o ) = Zo Martos módszer } A⋅ x ≤ b x ≥ O f ( x) = * c ⋅x+ α z = 1 max . * z2 d ⋅x+ β 1) ∃/ λ ⇒ λ ⋅ d = c 2) ∀ x ∈ L ⇒ d * ⋅x + β > 0 3) b≥0 4) ell. hogy max feladat-e u x* A b 68 -z1 c* -z2 d* t* -α -β t*=(c⋅β)-(α⋅d) generáló elem választás t* szerint 1) ha ∃tj>0 és ∃aij>0 ⇒ szűk keresztmetszetnél továbblépni 2) ha ∃tj>0 és ∃aij≤0 ⇒ a célfüggvény nem korlátos L-en 3) ha ∀t j≤0 ⇒ optimális tábla • ∀t j<0 ⇒ egy optimális megoldás van • ha ∃tj=0 és ∃aij>0 ⇒ alternatív optimum • ha ∃tj=0 és ∀ aij<0 ⇒ végtelen sok

optimális megoldás van B11. Szállítási feladat LP modell, disztribúciós módszer, alternatív optimum, degeneráció, korlátozó feltételek. Gyakorlati alkalmazás Nagy mennyiségű homogén termék szállításakor az optimális szállítás megvalósításának céljai lehetnek: szállítási költségek minimalizálása szállítási távolság minimalizálása szállítási idő minimalizálása A feladat általános megfogalmazása: m számú Feladóhely, Fi (i=1,2,,m) és n számú rendeltetési hely Rj (j=1,2,,n) az i-edik feladóhelyről a j-edik rendeltetési helyre szállított mennyiség X ij Szállítási mátrix R1 R2 Rn F x11 x12 x1n f1 1 F x21 x22 x2n f2 2  F xm xm m 1  xm fm 2 n r1 r2 rn fi : az i-edik feladóhelyen rendelkezésre álló szállításra váró homogén termék rj : a j-edik rendelői igény cij : egységnyi árunak az i-edik feladóhelyről j-edik rendeltetési helyre történő szállítási költsége f : készletvektor m ∑

n ∑ fi = i= 1 rj j= 1 r* : igényvektor A problémát lineáris programozási feladattá kell átalakítani, Módosított normál feladattá, melynek célfüggvénye minimum Költségmátrix R1 R2 Rn F1 c11 c12 c1n F2 c21 c22 c2n  Fm cm cm cm 1 2 n 1. Szállítási feladat megoldása szimplex módszerrel Kizárólag egyenlőségeket tartalmazó módosított normál feladat: (egyenletek az igényekre és a szállítható mennyiségekre) xij > 0 (i=1,2,,m és j=1,2,,n) 69 x11+x12++x1n x21+x22++x2n xm1+xm2+.+xmn x11 +x21 +xm1 =r1 x12 +x22 +xm2 x1n +x2n = f1 = f2 = fm =r2 +xmn =rn K=z=c11*x11+c12x12++cmnxmn min Az induló szimplex tábla felírása után az összes egyenlet beírásával kapott egyenletrendszer az optimális megoldást adja. Megoldása manuálisan hosszú és bonyolult, ezért főleg gépesítve alkalmazzák. 2. Disztribúciós módszer Tétel: Ha a feladóhelyek száma m és a rendeltetési helyek száma n, akkor az (m+n)×(m*n)-es A

együtthatómátrix rangja m+n-1. Ezt a számot kritikus számnak nevezzük Tétel: az Ax = b , x ≥ 0 K(x) = c*xmin szállítási feladatnak létezik lehetséges bázismegoldása. Célfüggvénye korlátos a lehetséges megoldások halmazán. Definició: Azokat a cijelemeket, amelyekhez a bázisban lévő aij vektorok tartoznak kötött elemnek, a többit szabad elemnek nevezzük. A megoldás menete Korda-Vogel módszerrel: minden sorból levonjuk a legkisebb költségelemet, majd minden oszlopból is levonjuk a legkisebb költségelemet (nullákra programozunk) minden sorban és oszlopban meghatározzuk a legkisebb költségelemek különbségét (differenciaképzés) abban a sorban vagy oszlopban programozunk, ahol a differencia a legnagyobb – egyenlők esetén pedig ott, ahol a legnagyobb az elszállítható készlet. Az optimalitás ellenőrzése: ellenőrizendő táblából a kötött helyeket kiírjuk egyik potenciálhoz tetszés szerinti értéket rendelünk (pl.0-t)

ui+vj=cij – kötött hely költségeleme – potenciálok kiszámítása szabad helyeken lévő költségelemek kiszámítása (szabad helyen lévő költségelem mínusz a hozzá tartozó potenciálok összege) Ha valamely helyen pozitív érték van és arra programozunk, akkor ez költségnövekedést, míg negatív érték van az költségcsökkenést eredményez. A 0 helyre történő programozás nem okoz változást, ilyenkor a szállítási feladatnak alternatív optimuma van. A program javítása – Hurok módszer: „szabad helyről indulva, kötött helynél 90°-os fordulattal” a program addig nem optimális, amíg a szabad helyeken csak pozitív költségek nem állnak Névleges állomás beiktatása: annak érdekében, hogy az összes szállítható mennyiség megegyezzen az összes szállítandó mennyiséggel, ilyenkor lesznek megrendelők (feladók) akik teljes egészében nem kapják meg rendelt mennyiségüket. Szállítási feladat kapacitáskorlátokkal: a.)

xij=0 az i-edik feladó a j-edik megrendelőnek nem szállít, kizárjuk a szállításból ⇒ nagy ktg beírásával cij=M, ahol az M∞ b.) xij < k (konstans) felső korlát a szállításban, ilyenkor a teljes felső korlátot (k mennyiséget) kap c.) xij > k legalább k mennyiséget kell szállítani, ilyenkor a komplementerét vesszük és azt szállítjuk Definició: A C költségmátrix elemeinek ci1j1, ci1j2, ci2j2, , cikj1 sorozata hurkot alkot, ha C egyetlen sorában illetve oszlopában sincs a sorozatnak kettőnél több eleme. A sorozat elemei a hurok csúcspontjai 70 Tétel: Bármely hurok elemeihez tartozó aij vektorok lineárisan függő rendszert alkotnak. Ha egy vektort elhagyunk, közülük, lineárisan független vektorrendszert kapunk. Tétel: Ha egy m×n-es disztribúciós táblázatban m+m-1 számú kötött elem van, akkor minden szabad elemhez létezik egy és csak egy olyan hurok, amelynek egyik csúcspontja a szabad elem, a többi csúcspont pedig

kötött elem. Tétel: Az optimális program szempontjából bármely szállítási feladat változatlan marad, ha a költségmátrix bármely sorának vagy oszlopának elemeit ugyanazzal a számmal növeljük, vagy csökkentjük, csupán a célfüggvény optimális értéke változik meg. Tétel: Egy disztribúciós tábla akkor és csak akkor optimális, ha a ∆ mátrixnak a programban nem szerepelő szabad eleméhez tartozó δij komponensei nem negatívak a programban szereplő szabad elemekhez tartozó komponensei nem pozitívak B14. Az informatika alapjai, mértékei - információ, adat, hír, hírfolyam - kód, kódolás. Gazdasági és számítástechnikai kódok, kódszabványok - vonalkódok - számrendszerek - kapacitás, felbontás, sebesség stb. (bit, byte, dpi, cps) mértékegységek Néhány jellemző adat és ezek jelentősége egy rendszer kialakításában - gazdasági rendszer, informatikai rendszer, adatfeldolgozás. A számítógép helye és szerepe a

gazdasági rendszerekben Információ: új ismeret, mely kétséget oszlat el, bizonytalanságot szüntet meg. Adat: formalizált, rögzített ismeret (az ismeret szintaxisa). Hír: közlésre szánt, ill. mozgásban lévő ismeret Hírfolyamat: (hírlánc) Csatorna Adó Átalakító (modulátor) Visszaalakító (demodulátor) Vevő Zaj A zajt ki kell szűrni, távol kell tartani semlegesíteni kell (elszigetelés, izolálás pl. fénykábellel) A kommunikáció fajtái: − egyirányú, − félduplex: felváltva adnak, − duplex: minkét irányban ad és vesz egyidőben. Kód: egyezményes jelsorozat, melyet az élet (gazdasági rendszer) objektumainak, eseményeinek, jelenségeinek (vagy más jelsorozatnak) megfeleltetnek; egyezményes jelsorozat: − a jeleknek közösen, előre meghatározott és egyértelmű intervallumát használják, − formai szabályt jelent (szintaxist), ahogyan a jelsorozatot ki kell alakítani; megfeleltetés: az egyes objektumok milyen

jelsorozatnak felelnek meg, azaz egy tartalmi (értelmi, szemantikai) szabály, amely meghahározza az objektum és a jelsorozat közötti általános összefüggést (függvénynek is tekinthető). Kódolás: az adott kódrendszerhez rendelt szabályok alkalmazása, azaz az adott objektum leképezése kóddá. Dekódolás: az a lépés, melynek során az objektumot határozzuk meg (a kódból), vagyis a szabályok fordított alkalmazása (inverz függvény). A számjegyek, betűk, írásjelek és egyéb jelek (összefoglaló néven karakterek) számítógépes ábrázolására bináris kódokat használunk. Mivel megelégszenek 256 ábrázolható karakterrel, ezért 1 karakter 1 byte-on ábrázolható Fontos, hogy egy byte-on belül egy adott bitkombináció ugyanazt a karaktert jelentse az egyes rendszerekben. Ezt biztosítják a kódszabványok. Ezek − az angol ABC kis- és nagybetűit, − a decimális (tízes számrendszerbeli) számjegyeket, − speciális karaktereket (pl.

írásjeleket), − adatátviteli vezérlőjeleket (vezérlőkaraktereket) tartalmaznak. Ma 2 fő számítógépes szabvány létezik: 71 1. EBCDIC (Extended Binary Coded Decimal Interchange Code): közép- és nagygépeken használják (amelyeken BCD /Binary Coded Decimal=binárisan kódolt decimális/típusú decimális számábrázolás van); 2. ASCII (American Standard Code for Information Interchange): PC-k (Personal Computer=személyi számítógép) dolgoznak vele. Gazdasági kódok Mágneses és optikai kódok, vonalkódok A kódolás ill. a dekódolás technikai megvalósításától függően beszélhetünk mágneses és optikai kódokról Mágneses kódok: különböző mágneses állapot felel meg az egyes jeleknek, pl. mágneses adathordozókon 2 féle állapot van a zérusok és az egyesek rögzítésére (kódolására). Optikai kódok: adott felületre bizonyos eljárással felvitt jelek, melyeket opikai jelolvasók segítségével dekódolnak, pl. CD-ROM (Compact

Disk) esetében ezüst felületre lézerrel viszik fel az adatokat, amit a meghajtó (CD-ROM driver) optikai módon olvas, optikai jelfelismerők: − optikai jelfelismerő (OMR): jel meglétét vagy nem létét ismeri fel (pl. totószelvénynél); − optikai karakterfelismerő (OCR): szabványos módon írott (nyomtatott) szöveget ismer fel (pl. űrlapok gépbe vitelére használják). Vonalkód: speciális optikai kód, a kereskedelemben használják. Leolvasását vonalkódolvasóval végzik (pl egységár meghatározása). Számrendszerek Az adatok tárolásának és továbbításának számítógépes környezetben 2 féle módja van: − digitális: (digit=szám, számjegy) számokkal való. Pontos, megbízható − analóg: arányos; a tárolandó mennyiséggel arányos mennyiséget képeznek. Hátránya: nagy (sok "helyet" foglal), pontossága behatárolt. A mai számítógépek digitális rendszerűek. A 2-es, a 8-as, ill a 16-os számrendszert használják A 2-es

számrendszer jelentősége: számjegyei: 0, 1, az adatokat így (pl. mágneses) jelek meglétével, ill nem létével lehet ábrázolni (lásd.: Neumann-elvek) Előnye: könnyű, megbízható A 2-es alapú (bináris) számrendszer a számítógépek működésének alapja. Egy szám kifejezésének általános képlete: n ∑ ki*Ai , ahol i= -m − A: a számrendszer alapja, − k: számjegy, − i: a helyiérték pozíciója (futó index), − m: törtszámjegyek száma, − n: egész számjegyek száma. Az oktális (8-as) számrendszerben 8 (0-7), a hexadecimálisban (16-os) 16 (0-15) számjegy van. A 16-os számrendszerben a 9-nél nagyobb számjegyeket a következő betűkkel helyettesítik: A=10, B=11, C=12, D=13, E=14, F=15. Kapacitás, felbontás, sebesség stb. (bit, byte, dpi, cps,) mértékegységek Néhány jellemző adat és ezek jelentősége egy rendszer kialakításában 1. − − − − − Kapacitás: bit: egy bináris számjegy (0 v. 1) tárolására alkalmas

byte: 8 bit (B) KB (Kilo Byte): 1024 B, 210 B MB (Mega Byte): 1024 KB, 220 B GB (Giga Byte): 1024 MB, 230 B 2. Felbontás: DPI (Dot Per Inch): a képfelbontás finomsága, ~600 jó (nyomtatók) képernyők: CGA 200X300 (képpont) EGA (External ) VGA (Very high ) SVGA (Super Very high ) 1024X1280 72 3. Sebesség: MPIS: millió művelet/perc, ált. 2 MPIS Mhz (MegaHerz): 1 másodperc (s) alatt leadott órajelek száma, 100-233 Ns (Nano secundum, 10-9 s): memória egységek gyorsasága 60-70 Ns kép/s: megjelenítés gyorsasága, 25-50 kép/s karakter/perc: printer, 300 kar/p cps (character per second): karakter/másodperc, 30-50 A winchester-kapacitás korlátozza a tárolható adatok mennyiségét. A mai alkalmazások nagy kapacitású háttértárolókat igényelnek, pl. mozgókép és hang (multimédia), adatbázisok (GB nagyságrend érdemes) A felbontás a látott kép minőségét határozza meg. A grafikus kezelői felületek fejlődése miatt ajánlatos színes monitort

használni min. 640X480-as felbontásban és egy gyors (PCI-s) vezérlőkártyát A sebesség a legfontosabb tényező. Ezt több tényező befolyásolja: a processzor (CPU) teljesítménye, a szoftver hatékonysága, a döntő viszont a háttértárak elérési sebessége. Érdemes winchestert vagy min 8-szoros CD-ROM meghajtót használni A műveletek nagy száma miatt gyors CPU is kell, 586-osnál gyengébbel nem szabad kezdeni. Gazdasági rendszer, informatikai rendszer, adatfeldolgozás. Aszámítógép helye és szerepe a gazdasági rendszerekben Információs rendszer: összefüggő, működő rendszer. Adatfeldolgozás: − információgyűjtés, − rendszerezés, − feldolgozás, − tárolás, − megjelenítés. Gazdasági rendszer: Bemenet Információ Feldolgozott adat Kimenet Gazdasági rendszer Inforáció Adatfeldolgozó rendszer B15. Neumann elvek A számítógép felépítése, logikai működése Hardver - Neumann elvek, jelentősége és hatása a

számítástechnika fejlődésére - hardver - központi egység: processzor, memória és típusai, órajel. Regiszter, cache, puffer, megszakítás stb fogalmak - perifériák: input, output háttértárak - jellemző adatok: kapacitás, felbontás, sebesség stb. a számítógép működés logikai sémája, program fogalma, utasítások végrehajtása utalás a Neumann elvekre Neumann-elvek, jelentősége és hatása a számítástechnika fejlűdésére 1. Soros működésű, teljesen elektronikus számítógép A gép egyszerre csak 1 művelettel foglalkozik és csak ezt az 1-et hajtja végre, de mindezt rendkívül gyorsan, elektronikus sebességgel. 2. A kettes számrendszer használata 3. Belső memória (tároló) alkalmazása A számítógép gyors működése miatt nincs szükség arra, hogy minden egyes lépés után az ember beavatkozzon a feldolgozás menetébe. Neumann un belső memória kialakítását javasolta, amelyben a részeredmények tárolhatók, és így a gép

valamilyen műveletsorozatot mint egy automata tud elvégezni. 4. Tárolt program elve Ez a legjelentősebb Neumann kimutatta, hogy a számítások menetét megvalósító utasítások mint számok fejezhetők ki, azaz adatként kezelhetők. Így ezek éppúgy a belső memóriában tárolhatók, mint bármely más adat. 5. Univerzális gép A számítógép képes a legkülönbözőbb feladatok elvégzésére Az 1930-as években A M Turing angol matematikus kimutatta, hogy az olyan számítógép, amely képes néhány alapvető művelet végrehajtására, elvileg bármilyen számítási feladat megoldására alkalmas. Ezzel az alaptételével Neumann javasolta, hogy a számítógépek ilyen "Turing" gépek legyenek. Hardware (hardver, "kemény áru", a gép "teste"): a gép fizikai felépítése, elektronikai, mechanikai elemeinek összessége. 73 Központi egység: processzor (CPU): a gép "agya", az összes tevékenységet irányítja;

memória és típusai: a CPU számára közvetlenül hozzáférhető elektronikus tárolóhely. Programokat, adatokat tárol (Neumann-elvek). A DOS számára csak 640 KB-nyi memória kezelhető közvetlenül, az un felső memória (High Memory) csak memóriamanagerek segítségével érhető el. Típusai: − expanded (EMS): több program képes vele együttműködni, de bonyolultabb, lassabb. Több megoldása van, nem szabványos. − extended (XMS): újabb, modernebb típusú hardware-t használ. Nagy sebességű, szabványos Felépítését tekintve: − 32 bites, − 32 bites EDO, − 36 bites órajel: elektromos impulzus, az órajelgenerátor adja ki, a CPU műveletvégzésének alapegysége, a CPU 1 elemi műveletet több órajel alatt hajt végre; regiszter: közvetlenül hozzáférhető, gyors működésű tároló egység, "rekesz". Több ilyen van, a legfontosabbak: Akkumulator: a műveletvégzés idejére tárolja az adatokat (operandusokat),

utasítás-számláló: a következő utasításra (annak címére) mutat, bázisregiszter: a memóriacímeket ehhez viszonyítják; puffer: tárolóhely, a blokkokban beolvasott adatokat tárolja, így a lassú háttértárolókhoz kevesebbszer kell fordulni. Ez gyorsítja a rendszer működését; cache: memória, gyorsítótár. Egy adat beolvasásánál a körülötte lévő cluster-eket is beolvassuk, mert nagy valószínűséggel a közelebbi adatokat kell legközelebb feldolgozni; megszakítás: olyan események, melyek befolyásolják a folyamatok működését. − perifériák megszakításai − belsô hardware megszakítások − utasítás-végrehajtási hibák − hardware hibák − software megszakítások Az egyes megszakításokhoz priorítások vannak rendelve, így egy magasabb priorítású megszakítás megszakíthatja egy kisebb priorítású végrehajtását (kiszolgálását). Megszakítás kiszolgálása: 1, A futó folyamat végrehajtása megszakad, a

vezérlést az operációs rendszer kapja meg. 2, A megszakított folyamat állapota elmentésre kerül. 3, A vezérlést a megszakítást kiszolgáló rutin kapja meg, melynek címe a megszakítási vektortáblában található. 4, Az elmentett állapot visszaállítása után a megszakított folyamat folytatja a müködését. Maszkolható megszakításnak azt a megszakítást nevezzük, mely programból letiltható. stb. fogalmak 1. Perifériák − input: adatbeviteli egységek − billentyűzet, − mutató egységek: − egér − track ball − fényceruza − botkormány − vonalkódolvasó − optikai jelolvasók − képdigitalizáló egységek (pl. scanner) − microfon − output: − képernyő: − katódsugárcsöves (CRT) − folyadékkristályos (LCD) − nyomtató (printer; papír alapú) 74 − működési elv szerint: − mechanikus − nem mechanikus − 1 munkafázisban nyomtatott egység szerint: − pont: mátrix, tintasugaras, 300 dpi, 30-50 cps −

karakter − sor − lap: lézer, 600-1200 dpi, 20 lap/perc − plotter: rajzgép − hangszóró, fülhallgató − microfilm háttértárak: Hosszabb időre szükséges adatokat lehet rajtuk tárolni, mert az operatív memóriában (RAM-ban) lévő adatok (és programok) a feszültség megszünte után elvesznek. Mágneses és optikai formájuk létezik A mágnesesnél 2 féle elv alakult ki: mágnesszalagos: adathordozó: mágnesszalag. Az adatokat 9 sávon tárolják, a 9-iken a paritásbitek vannak Az adatokat blokkonként viszik át. A blokkok között gap-ek (hézagok, közök) vannak Az adatokat pufferelni kell (az adatokhoz "egyedileg" nehezen lehet hozzáférni, ezért csoportosan kell beolvasni őket, és nagyobb mennyiségben /pufferben/ kell tárolni). Ma csak biztonsági tárként vagy archiválásra használják mágneslemezes: adathordozó: mágneses lemez, ill. lemezek Felépítésük: szektor: a sáv egy szelete, fix számú byte-tal (általában 512 Byte),

cluster: az adattárolás és adatátvitel egysége (2, 4, 8 szektor), sáv (track): a lemezfelületen 1 (logikai) koncentrikus kör, cilinder: több lemeznél az összes adattároló felület azonos sávjai. 3 típus: − cserélhető lemezköteges – streamer − Előnye: cserélhető, ezért kapacitásuk végtelennek tekinthető. Az adatrögzítés sávokon történt Minden egyes lemezhez 1 író-olvasó fej tartozik, ez mikronnyi távolságra van a lemeztől. Sebessége: 2400-3000 fordulat/perc – kis elérési idő, microsekundum-okban (ms) mérhető. − hajlékonylemezes – floppy − 3 szabvány volt (az utóbbi 2 terjedt el): − 8" − 5,25" – 360KB; 1,2MB, − 3,5" – 720KB; 1,44MB. − Egyéb jellemzők: − oldalak szerint: − SS (Single Sided)-egyoldalas, − DS (Double Sided)-kétoldalas, − adatsűrűség szerint: − SD (Single Density): egyszeres, − DD (Double Density): kétszeres, − HD (High Density): magas. − Sebessége: 300

fordulat/perc. − Ma 3,25-ös, 1,44 MB-os, DS, HD. merevlemezes – winchester vagy Hard Disk (HD) Fixen beépített háttértároló. Gyorsabb és egyszerűbb a pozicionáls. FAT – File Allocation Table: az állományhelyet és a tárolót kapcsolja össze. Kapacitása és átviteli sebessége nagyságrendekkel nagyobb: ma 2-3 GigaByte, elérési sebesség (fejmozgás és leolvasás ideje): 8-15 ms. Optikai: CD-ROM (Compact Disk-Read Only Memory), 75 alapelve: lézerrel ezüstrétegre viszik fel az adatokat. Kis területen nagy mennyiségű adat tárolható (600-700MB). 2. Jellemző adatok Kapacitás: − bit: egy bináris számjegy (0 v. 1) tárolására alkalmas − byte: 8 bit (B) − KB (Kilo Byte): 1024 B, 210 B − MB (Mega Byte): 1024 KB, 220 B − GB (Giga Byte): 1024 MB, 230 B Felbontás: DPI (Dot Per Inch): a képfelbontás finomsága, ~600 jó (nyomtatók) képernyők: CGA 200X300 (képpont) EGA (External ) VGA (Very high ) SVGA (Super Very high ) 1024X1280

Sebesség: MPIS: millió művelet/perc, ált. 2 MPIS Mhz (MegaHerz): 1 másodperc (s) alatt leadott órajelek száma, 100-233 Ns (Nano secundum, 10-9 s): memória egységek gyorsasága 60-70 Ns kép/s: megjelenítés gyorsasága, 25-50 kép/s karakter/perc: printer, 300 kar/p cps (character per second): karakter/másodperc, 30-50 A számítógép-működés logikai sémája, program fogalma, utasítások végrehajtása, utalás a Neumannelvekre A számítógép bemenetekből (adatok) feldolgozás útján állítja elő az eredményeket, amiket tárol és/vagy (azonnal) megjelenít kimenetekként. A feldolgozást programok által végzi Program: műveletsorozat, a számítógép (elektronikus) állapotváltozásainak folyamata, melyet a számítógép tárol (az adatokkal azonos módon, binárisan, memóriában, 1., 2, 3, 4 elv, ) Az ALU utasításkészlete gépi utasításokból, azaz elemi műveletekből (AND, OR, XOR, bitléptetés, bitforgatás stb) áll. A legbonyolultabb program

is felépíthető ilyen elemi műveletek sorozatából (univerzális gép, 5. elv) A gépi utasítás műveleti kódból és operandusból (vagy annak memóriacíméből) épül fel Utasítások végrehajtása A gép a következő utasítás címét kiolvassa az utasításszámlálóból (soros működés, 1. elv), a vezérlőegység beállítja az utasításszámláló új tartalmát, a következő utasítás címét. A processzor az adott címen megtalálja az utasítást. A vezérlőegység utasításértelmezője (dekódolója) megállapítja, hogy milyen műveletet kell elvégezni az operandusokon. Az ALU elvégzi a műveletet Ezután a "ciklus" kezdődik elölről B16. Számítógép üzemmódjai Hálózatok jellemzői - alapfogalmak, kategorizálás - batch, real-time, interaktivitás - on-line, off-line - multi programming, multi tasking, time sharing - kategorizálás, típusok, topológia, átviteli jellemzők - a hálózatok alapelemei, fogalmak - repeater, router,

bridge, server/client architektúrák, termináltípusok, protokoll fogalma, szabványok, az OSI lényege - világhálózatok: internet és használata Alapfogalmak, kategorizálás Alapfogalmak Hozzáférési módok batch: kötegelt feldolgozás, az alkalmazók kötegekbe (batch) csoportosították a munkáikat, majd azt átadták a számítógépet üzemeltető operátornak; interaktivitás: a felhasználó állandó, folyamatos kapcsolatban áll a végrehajtás alatt álló programmal. A rendszer terminálon (billentyűzet + képernyő) keresztül vezérelhető; 76 real-time: valós idejű feldolgozás, a reagálás sebességét, a munka elvégzését szigorú időkorlát köti; on-line: a feldolgozás eredményétől függően a felhasználó rögtön dönteni tud a következő lépésről (mert a parancsok azonnal végrehajtódnak, interaktív rendszerekre/feldolgozásra jellemző); off-line: a felhasználók el vannak választva a géptől (csak a gépkezelő férhet hozzá

munkavezérlő nyelven, JLC-n, a kötegelt feldolgozás sajátja); multiprogramming: multiprogramozás, alapelve a kényszerű várakozási idők kihasználása úgy, hogy a központi egység idejét kapcsolgatjuk a tárban lévő ˝kész˝ állapotú programok között, valamilyen ütemezési stratégiával; multitasking: többfeladatos, egy-egy felhasználó egyszerre több folyamatot (process) tud futtatni; time-sharing: időosztásos mód, egyidejűleg több felhasználó (multiuser rendszerek) számára teszi lehetővé a számítógépes rendszer igénybevételét a központi egység idejének megosztásával (ütemezési stratégia). Kategorizálás az alábbiak szerint − rendszer (gép) elérésének módja: kötegelt, interaktív, valós idejű; − on-line, off-line; − multiprogramming, multitasking, time sharing. Hálózatok Kategorizálás, típusok, topológia, átviteli jellemzők Hálózat: fizikailag összekapcsolt géprendszer. Részei − központi gép: server;

− terminálok: client-ek. A server típusa lehet file-server Egyszerű adathozzáférést biztosít, adatokat továbbít. print-server Egyéb erőforrást biztosít. adatbázis-server Az adatbázis-kezelést végzi, programokat biztosít, a terminálokon csak felhasználói programokat futtatnak. Kiterjedés szerinti csoportosítás 1. LAN - Local Area Network − helyi hálózat; − általában terminálokkal működik; − egy-egy felhasználói rendszerre kialakított rendszer. 2. MAN - Metropolitan Area Network − (nagy)városi hálózat; − általában kábeles (optikai) összeköttetésű; − különböző típusú rendszerek összeköttetése is lehetséges. 3. WAN - Wide Area Network − nagytávolságú hálózat; − távközlési vonalon összekötve. Összeköttetés módja, átviteli közeg szerint 1. Kábeles − sodort érpáras összeköttetés; − koaxikális kábel átviteli sebessége és zavarérzékenysége rossz, viszont olcsó; − optikai kábel

(üvegszál) átviteli sebessége és zavarérzékenysége jó, érős mágneses, elektromos tér esetén jól használható (erőművek); − telefonvezeték; 2. Vezeték nélküli − fény, lézer hatótávolsága és biztonsága gyenge; − rádiójelek, (hullámok, általában mikrohullámok); − műholdas összeköttetés mikrohullámok és műhold mint átjátszóállomás. 77 Topológia szerint 1. Csillaghálózat A rendszerhez közvetlenül kapcsolódik minden client. 2. Gyűrűs Az egyes állomások egymással állnak kapcsolatban, összeköttetésük közvetett. 3. Sín Minden client a sínre kapcsolódik. Minden user között közvetlen kapcsolat van > szükséges a userek azonosítása. 4. Fa A központi serverhez kapcsolódnak helyi serverek, és azokhoz kapcsolódnak a userek. Hálózatok alapelemei, fogalmak Továbbító egységek repeater: erősítő, jelismétlő. Vezetékes hálózatokban 200-500 méteres szegmensek, köztük repeater-ek vannak; router:

forgalomirányító. Hálózaton belüli adatforgalmat szabályozza - optimális út keresése, átirányítás stb; bridge: a különböző protokollal rendelkező hálózatok összekapcsolását biztosítja. Nyílt rendszerek: különböző gépek, programok, protokollok összekapcsolása bridge segítségével. gateway: a nagygép és a helyi hálózatok/felhasználók közötti kapcsolatot biztosítja. Terminálok fajtái 1. buta terminálok : csak billentyűzettel, képernyővel, esetleg floppy-val rendelkeznek Erős központi gép szükséges ellátásukhoz. Pl bolti pénztárgép; 2. inteligens hálózatok/terminálok: önálló műveletvégzésre alkalmasak Két állapotban működhetnek: − on-line: hálózatra kapcsolva, − off-line: önállóan; 3. egyenrangú gépek: Egymás adatbázisait (osztott adatbázisok) és erőforrásait használhatják Protokoll: hálózaton folyó munka és jelek továbbításának szabványa. Vezérlőjelek, válaszfeldolgozás,

adattovábbítás, lezárás > általában ˝csomag˝-okban. A hálózattervezést struktúrált módon kell megvalósítani. A tervezés egyszerűsítése érdekében rétegek szükségesek. Ezek jól definiált szolgáltatásokat nyújtanak a felső rétegnek, (eltakarják azok megvalósításának részleteit). Server/client architektúrák: Hálózati architektúrák: rétegek és protokollok halmaza. Szabványok (LAN-ok): IEEE 802: helyi hálózati szabványgyűjtemény részei: 1. 8021: bevezetés, interfész-primitívek (interfész: csatoló, csomagkapcsoló; primitívek: a szolgálat formális leírását lehetővé tevő műveletek halmaza) meghatározása; 2. 8022: adatkapcsolati réteg felső részének definiálása (LLC protokoll); 3. 8023: (vastag) Ethernet (CSMA/CD protokoll: csatornafigyelő, többszörös hozzáférés ütközésérzékeléssel); 4. 8024: vezérjeles (vezérjel /token/: az adatforgalmat vezérli, ˝akinél˝ ez van, az adhat) sín; 5. 8025:

vezérjeles gyűrű A hálózatba kapcsolt különböző típusú gépek közötti kommunikáció során gondot okozhat, hogy ha a felhasználó termináltípusát a távoli gép nem támogatja. Ezért célszerű definiálni a hálózatban használt terminál viselkedését Ezt a definiált hálózati terminált nevezzük virtuális terminálnak. Ez is egyfajta szabványnak tekinthető 78 Az OSI (nyílt rendszerek összekapcsolása) lényege (alapelvek): 1. A rétegek különböző absztrakciós szinteket képviseljenek 2. Minden réteg feladata jól definiált legyen 3. Minimális információ-csere a réteghatárokon 4. A rétegek számának célszerű megválasztása 5. Nemzetközileg elfogadott szabványok kialakítására törekedni világ-hálózatok: internet és használata Világhálózatok: az egész világra kiterjednek, kontinensek közötti információ-áramlást tesznek lehetővé. Rengeteg alhálózatból (LAN-ból, MAN-ból, WAN-ból) állnak, és többféle

protokoll működik rajtuk. Az Internet a TCP/IP protokollokkal üzemelő helyi hálózatok világméretű szuperhálózata (egy óriási WAN). A TCP/IP egy kommunikációs protokoll, amely igazából egy kiterjedt protokollcsaládot takar. − bejelentkezés egy távoli gépre (regisztrált felhasználó, munkavégzés): telnet hostname.domain name A TELNET az Internet virtuális terminál protokollja. − elektronikus levelezés (e-mail): más felhasználókkal való kapcsolattartás legtipikusabb formája. Címzés: user name@host.domain, ahol user name: felhasználó azonosítója (neve), host: (távoli) gép, domain: domain név, általában a legnagyobb egységre utal (országra, államra, pl. Magyarország: hu); − hírcsoportok: pl. UseNet, Fidonet, speciális software-kkel elérhető publikus levelezőrendszer Szeparált un newsgroup-jai: − ALT: alternatív (pl. zene, filmek, könyvek), − BIZ: üzleti hírek, hirdetések, − COMP: számítástechnika, − SOC: nemzeti

csatornák; − állomány-hozzáférés: állományok felkutatása és letöltése: − FTP: szabad letöltés, konkrét állomány keresése. Elérés: ANONYMOUS v FTP, lehetősgek: fel-/letöltés, up-/download, − GOPHER: tartalom szerinti böngészés, altalános téma, pl. telnet gopher marssztakihu, − WWW (World Wide Web): hipermédia-dokumentumok, legnépszerűbb alkalmazás: Netscape; − WAIS: szöveges adatbázisokat kínál; − IRC: beszélgetőhálózat, lehetőségek: − nyelvválasztás: Choose a language!, − fellépés a (magyar) csatornára: /join #magyar, − lelépés: /leave #magyar, − adott user Internet-címének lekérdezése: /whois username, − csatornák listája: /list, − átlépés új server-re: /server új server címe; − segédprogramok: − hostok lekérdezése keresése: whois[-h host] text, − dmain v. host név átfordítása IP címmé: nslookup/dig [server] host, − diagnosztikai program: ping, ha az ezáltal kiküldött csomagokat

visszakapjuk, akkor a kapcsolat fennáll, − távoli gépen dolgozó user-ek inforrmációi: finger, − közvetlen, valós idejű párbeszédes kapcsolat 2 felhasználó között: talk user@host. B17. Szoftverek kategorizálása - rendszer szoftverek - operációs rendszerek - utility-k - fejlesztő rendszerek - alkalmazói szoftverek - általános célú felhasználói szoftverek - adatbázis kezelő rendszerek - célszoftverek, szakértői rendszerek, “áruszoftver” - VIR integrált programcsomagok és moduljai - egyedi fejlesztésű szoftverek 1. Kategorizálás 79 Szoftware (szoftver, "puha áru", a gép "lelke"): a gép műküdését biztosító programok csoportja vagy összessége. Kategóriái: Operációs rendszerek A gép alapvető működését biztosító programcsomagok. Fejlesztő rendszerek Azon programozók eszköze, akik felhasználói programot írnak. Editor: szövegszerkesztő, ezzel írják a forrásprogramot. Compiler:

programfordító, a forrásprogramot gépi kóddá alakítja (0-k és 1-esek megfelelő sorozatává). Interpreter: értelmezőprogram, utasításonként fordít és azonnal futtat. Linkage editor: különböző programrészeket összekapcsol, rendez. Loader: betöltőprogram. Debugger: nyomkövető, a program vizsgálatára alkalmas, segít felderíteni a hibákat. Általános célú felhasználói szoftverek Szövegszerkesztők: az irodai munkát könnyítik meg (levelek, szerződések stb. gépelése, formázása) Adatbáziskezelők: nagy tömegű adatok feldolgozását teszik lehetővé. Adatbázisokat használnak Célszoftverek, szakértői rendszerek, "áruszoftver" Célszoftverek: speciális tervező vagy szervező rendszerek. Szakértői rendszerek: nagy tudást és gyors döntést igénylő feladatok megoldását segítik. Ennek megfelelően adatbázisból (adatok összessége) és tudásbázisból (szabályok, törvényszerűségek, tételek összessége) állnak.

"Áruszoftverek": speciális szakmai programok. Paraméterezhetők, több helyen is felhasználhatók VIR integrált programcsomagok és moduljai Vállalati Információs Rendszer, vásárolt rendszer, terjedőben van. Előnyei: − azonnal használatba vehető, − felhasználói tapasztalatokra (is) épül, − kipróbált (hibátlan), − szakmai szempontból is hibátlan, a szakma csúcsteljesítménye, − naprakész. Hátrányai: − a cégek idegenkednek tőle, − a cégnek át kell szerveznie működését, meg kell változtatni szokásokat (alkalmazkodnia kell), − esetenként kényszerítő eszköz (pl.: határidők) Ezek elkerülését célozza a paraméterezhetőség: bizonyos határok között a felhasználó testre szabhatja. Szolgáltatási háttér: − segítség, tanácsadó szolgálat, − felhasználói igényeket beépítik a rendszerbe, − jogszabály-követést is kínálnak (azonnal, jogilag naprakész). Moduljai: − pénzügy, − számvitel, −

termelés-irányítás, − logisztika, − készletgazdálkodás, − erőforrás-gazdálkodás. Adatbázisokat használnak. Képviselőik: − SCALA (európai, közepes vállalatok), − PLATINUM (amerikai, közepes vállalatok), − SAP (nagyvállalkozások), − SUN SYSTEM (közepes vállalkozások). − URSA MAJOR (kis és közepes vállalkozások), − MÉRLEG-LIKVID (magyar), − KOBRA (magyar), 80 Egyedi fejlesztésű szoftverek Előnyei: − testre szabott, − a rendszer alkalmazkodik a felhasználóhoz. Hátránya: − felhasználói igények távol állhatnak a kész programtól (információ-csorbulás), − esetlegesek szakmailag ("eldurranhat"), − programozás-technikailag is hibás lehet, − hosszú fejlesztési idő, − jogszabálykövetés nincs beépítve. Létrehozatala: felhasználó definiálja igényeit -> logikai modell (rendszerszervező) -> fizikai modell (programozó). Munkafolyamatai: − adatszervezés: - file-tervezés, -

adattárolás tervezése, - felhasználói adatkapcsolatok (Input/Output, I/O); − folyamattervezés: - munkafolyamatok megtervezése, - algoritmus, - üzemeltetési módok (üzemmódok, lásd: B/16. tétel), - hardware, software; − dialógustervezés: annak a módszernek a megtervezése, amivel a felhasználó kommunikál a rendszerrel. B18. Operációs rendszerek - definíció, funkció - alapvető kezelő eljárások, a gép irányítása - erőforrások elosztás, kezelés - munkák ütemezése, programok futtatása - felhasználó és gép közötti kapcsolat - tipikus operációs rendszerek és ezek jellemzői - DOS - WIN NT - struktúra, kezelő felületek, parancskészlet PC-s környezetben Operációs rendszerek Definíció: A gép alapvető működését biztosító szoftverek összessége. Funkció: − erőforrások elosztása és kezelése, − működés (programok) ütemezése, − alapvető felhasználóval való kommunikáció biztosítása. Típusai: Alap: egy gép

működését vezérli, az alapvető funkciókat látja el. Utility-k: "extrákat" nyújtanak, a felhasználó munkáját segítik. Hálózati: kiegészítő, az alap operációs rendszerre épül (van, amely mindkettőt tartalmazza). A hálózati funkciókat látja el (protokollok, forgalomirányítás, kapcsolat felépítés stb.) Struktúra, kezelő felületek, parancskészlet PC-s környezetben Struktúra Kezelő felület 81 Az a "valami", amit a felhasználó lát a gépből. Legfontosabb feladata a felhasználóval való kommunikáció biztosítása. 2 fajtája létezik: karakteres: régebbi, kevésbé felhasználóbarát (elavult), parancsok, menük, grafikus: fejlet, felhasználóbarát, ikonok. Parancskészlet PC-s környezetben (DOS) A gép bekapcsolása után a DOS COMAND.COM nevű file-ja (programja) automatikusan működésbe lép, és betölti a memóriába a legfontosabb un. belső parancsokat Ezek: CD: aktuális könyvtár megváltoztatása,

COPY: állományok másolása, DEL: állományok törlése, DIR: aktuális könyvtár listázása, MD: könyvtár létrehozása, RD: könyvtár törlése. A ritkábban igényelt feladatok ellátására szolgálnak a külső parancsok. Ezek EXE vagy COM kiterjesztésű, végrehajtható állományok. (CHKDSKCOM: lemez ellenőrzése, COMPCOM: könyvtárak összehasonlítása) A .BAT kiterjesztéssel jelölt parancsállományok soronként 1 utasítást tartalmazó szöveges állományok Kitüntetett szerepű az AUTOEXEC.BAT file, melynek parancsai az operációs rendszer minden indulásakor automatikusan hajtódnak vágre. Egyes parancsok után a végrehajtás módját meghatározó paraméterek adhatók meg, általában törtvonallal (/) elválasztva az utasítástól. 2 parancs – a DOSSHELL és az EDIT – funkciói menüből hívhatók. Parancs törlése <ESC> Parancs (program) felfüggesztése <CTRL>-S vagy <PAUSE> Parancs megszakítása <CTRL>C vagy

<CTRL>-<BREAK> A DOS emlékszik az utoljára kiadott parancsra, így annak szövegét a következő utasítás begépelésekor újra felhasználhatjuk. 1 karakter másolása az előző parancsból <F1> vagy <CURSOR RIGHT (jobbra nyíl)> Másolás a megadott karakterig <F2>-karakter Összes hátralévő karakter másolása <F3> Törlés a megadott karakterig <F4>-karakter Előző parancs helyettesítése a frissen beírttal, végrehajtás nélkül <F5> B19. A programok kezelői felületei - parancsvezérlés - parancsok szerkezete, formája, parancsnyelv - paraméterek - végrehajtás - menüvezérlés - menük típusa -egyszerű, hierarchikus -PullDown -PopUp - ikonvezérlés (grafikus) - grafikus felületek objektumai - objektumok alapvető jellemzői - felhasználóbarátság: módszerek és eszközök - HELP-ek 1. Parancs-, menü- és ikonvezérlés 1.1 Parancsvezérlés: parancsokat, illetve végrehajtható állományok neveit kell

begépelni a funkciók végrehajtása érdekében. Nehézkes, kényelmetlen nem felhasználóbarát 1.2 Menüvezérlés: az összes parancs menüből (speciális listából) elérhető és aktíválható A parancsok paraméterezését is lehetővé teszi. Könnyű kezelni, és eligazodni, mert a parancsok funkció szerint rendezettek (pl: FILE menü -> file kezelő parancsok). 82 1.3 Ikonvezérlés: az előbbi 2 karakteres, míg ez grafikus kezelői felületet biztosít Az ikon egy kis ábra, mely az adott funkciót jelképezi. Aktíválásához általában egérrel kell "rákattintani" 2. Fogalmak 2.1 Pull-down, pop-up menük Pull-down menü: legördülő, lenyíló menü. Csak a menü neve látható (így kevesebb helyet foglal a képernyőn), ezt kiválasztva (pl. rákattintva) láthatóvá válnak a menüpontok ( a funkciók), legördül a menü Pop-up menü: felbukkanó menü. Helyzetérzékeny (az adott helyzettől, eseményektől függő) menü, elvileg a

képernyőn bárhol felbukkanhat. Általában egy objektumhoz kötődik, a funkciók az objektummal kapcsolatos lehetőségeket, segítséget nyújtanak. − − − − − − − − − − 2.2 Gombok, ablakok és típusaik Gombok: az ablakokhoz több gomb tartozik. Ezek egyszerű funkciókat valósítanak meg Típusaik: vezérlő menü gombja: (az ablak bal felső sarkában) rákattintva 1 menü jelenik meg, mely az ablak méretezésére, elhelyezésére, bezárására, az ablakok közti váltásra vonatkozó lehetőségeket tartalmaz. ikon méret gomb: (jobb felső sarokban, lefelé mutató háromszög) az ablakot ikon méretűvé csukja. teljes méret gomb: (jobb felső sarokban, felfelé mutató mutató háromszög) az ablakot teljes méretűvé nyitja. közbülső méret gomb: (jobb felső sarokban, fel-le mutató háromszögek) csak teljes méretű ablaknál működik. gördítősáv gombjai: (alsó szél balra jobbra, jobb szél föl le mutató nyilak) ha az ablak kis

mérete miatt nem látjuk az összes alkalmazást, a teljes tartalmát, ezekkel mozoghatunk benne balra, jobbra, föl, le. parancsgombok: műveletek azonnali elindítására vagy megszakítására szolgálnak párbeszédpanelekben (pl.: OK, Mégsem, Súgó). Ablakok: a kezelői felület alapegysége az ablak. Ablak technika: általában egy ablak - egy alkalmazás, az alkalmazások ablakokban működnek. Típusaik: alkalmazás ablak: a programok ablaka. Címsora alatt 1 menüsort tartalmaz Tartalmazhat dokumentum ablakot vagy ablakokat (pl.: World for Windows), ill programcsoport ablakokat (pl: Programkezelő) dokumentum ablak: párhuzamosan több dokumentum (objektum) kezelésére alkalmasak; az egyes objektumok külön kezelhetőek. programcsoport ablak: formailag hasonlóak a dokumentum ablakokhoz. A futtatható programok (alkalmazások) ikonjait tartalmazzák. párbeszédpanel ablaka: a rendszerrel való kommunikáció eszközei. B20. Grafikus operációs rendszerek, a Windows

jellemzői - a WINDOWS lényege, filozófiája, funkciói, alapelemei - az objektum orientáltság és az esemény vezérlés kifejeződése a WINDOWS-ban - fogalmak - pull-down, pop-up menük, - ablakok, gombok és típusaik - a 3.x verzió: operációs rendszer bővítés - a WIN 95, WIN NT: önálló operációs rendszer A WINDOWS lényege, filozófiája, funkciói alapelemei Lényege: az egyes alkalmazáscsoportokat egy egységben, ablakban jeleníti meg, az alkalmazásokat grafikus felületen, ikonvezérelt módon lehet aktivizálni. Filozófiája: a munkát a "fogalmi gondolkodás" szintjére emeli, ezzel termelékenyebbé teszi. Funkciói: mint másodlagos operációs rendszeri réteg: erőforrás elosztás programok futtatásának szervezése (ütemezés) felhasználói kapcsolat fő funkciók: alkalmazások kezelése, futtatása - Programkezelő (Program Manager) file-ok és háttértárak kezelése - Filekezelő (File Manager) nyomtatás - Nyomtatásvezérlő (Print

Manager) 83 "egyéb" rendszerprogramok - Rendszer (Main) segédprogramok - Kellékek (Accessories) játékok - Játékok (Games) automatikus futtatás a rendszer beindításakor - Automatikus indítás (Start Up) installált funkciók - Alkalmazások (Applications) Alapelvei: − egységesítés − objektum orientáltság: tömb: az azonos típusú adatok fizikailag is együtt kezelt halmaza - ha együtt akarnak logikailag összetartozó, de különböző típusú adatokat nyilvántartani rekordot kapunk Az objektum orientáltság lényege az, hogy az adatok, s az őket kezelő eljárások, függvények egységet alkotnak. Az objektum felépítése hasonlít a rekordéhoz, de vannak benne "eljárás-mezők", "függvény-mezők", ezeket hívjuk metódusoknak. − projekt szemléletű nem egy fizikai egységet képez, hanem több különböző feladatra szakosodott, de logikailag összefüggő részből áll. − Esemény vezéreltség az

eseményvezéreltség azt jelenti, hogy a rendszer csak az események bekövetkezésére reagál Fogalmak Pull-down, pop-up menük Pull-down menü: legördülő, lenyíló menü. Csak a menü neve látható (így kevesebb helyet foglal a képernyőn), ezt kiválasztva (pl. rákattintva) láthatóvá válnak a menüpontok ( a funkciók), legördül a menü Pop-up menü: felbukkanó menü. Helyzetérzékeny (az adott helyzettől, eseményektől függő) menü, elvileg a képernyőn bárhol felbukkanhat. Általában egy objektumhoz kötődik, a funkciók az objektummal kapcsolatos lehetőségeket, segítséget nyújtanak. − − − − − − − − − − Gombok, ablakok és típusaik Gombok: az ablakokhoz több gomb tartozik. Ezek egyszerű funkciókat valósítanak meg Típusaik: vezérlő menü gombja: (az ablak bal felső sarkában) rákattintva 1 menü jelenik meg, mely az ablak méretezésére, elhelyezésére, bezárására, az ablakok közti váltásra vonatkozó

lehetőségeket tartalmaz. ikon méret gomb: (jobb felső sarokban, lefelé mutató háromszög) az ablakot ikon méretűvé csukja. teljes méret gomb: (jobb felső sarokban, felfelé mutató mutató háromszög) az ablakot teljes méretűvé nyitja. közbülső méret gomb: (jobb felső sarokban, fel-le mutató háromszögek) csak teljes méretű ablaknál működik. gördítősáv gombjai: (alsó szél balra jobbra, jobb szél föl le mutató nyilak) ha az ablak kis mérete miatt nem látjuk az összes alkalmazást, a teljes tartalmát, ezekkel mozoghatunk benne balra, jobbra, föl, le. parancsgombok: műveletek azonnali elindítására vagy megszakítására szolgálnak párbeszédpanelekben (pl.: OK, Mégsem, Súgó). Ablakok: a kezelői felület alapegysége az ablak. Ablak technika: általában egy ablak - egy alkalmazás, az alkalmazások ablakokban működnek. Típusaik: alkalmazás ablak: a programok ablaka. Címsora alatt 1 menüsort tartalmaz Tartalmazhat dokumentum ablakot

vagy ablakokat (pl.: Word for Windows), ill programcsoport ablakokat (pl: Programkezelő) dokumentum ablak: párhuzamosan több dokumentum (objektum) kezelésére alkalmasak; az egyes objektumok külön kezelhetőek. programcsoport ablak: formailag hasonlóak a dokumentum ablakokhoz. A futtatható programok (alkalmazások) ikonjait tartalmazzák. párbeszédpanel ablaka: a rendszerrel való kommunikáció eszközei. A 3.x verzió és a WIN 95 Windows 3.x Az alacsony szintű rendszerhívásokat nem hajtja végre, ezért másodlagos operációs rendszeri réteg. Egyben "látja" az egész memóriát (a DOS-nak a 640 KB mindig egyfajta korlát maradt). Képes a memória méreténél nagyobb programokat futtatni (virtuális memória a winchesteren). Egyidejűleg több alkalmazás futtatására képes (multitasking). Grafikus felhasználói felület - ikonok -> ikonvezérlés felhasználói felülete: - vizuálisan megjelenő, információkat hordozó részből, s - egy

kezelési technikából áll. 84 WIN 95 Operációs rendszer. Átvette a Windows 3x lényegét filozófiáját, alapelveit Funkciókban sokkal gazdagabb B21. Struktúrált feladatmegoldás Objektum és esemény - a feladatmegoldás általános menete, modularitás és strukturáltság - a feladat (program) struktúrák alapelemei, összekapcsolásuk - objektum orientáltság (szemlélet) lényege, az objektum fogalma és jellemzői - az esemény fogalma és kezelése a programokban, eseményvezérlés - on-line help, helyzetérzékenység - az elvek érvényesülése WINDOWS környezetben A feladatmegoldás általános menete, modularitás és struktúráltság A feladatokat részfeladatokra kell bontani. Modularitás (moduláris programozás): a nagyméretű programok átláthatatlanság miatt a programokat modulokra (részekre) osztják, a feladatot fokozatosan alapegységekre bontják. A végső állapotot nem érdemes tovább bontani, ezek az alapvető (“elemi”) műveletek

az algoritmusok. A strukturált programozás elődje Strukturáltság (strukturált programozás): alapvető építőkövekből, meghatározott szabály szerint építik fel az algoritmusokat (program javítás, szabályozás). A feladat-(program-) struktúrák alapelemei, összekapcsolásuk Program: algoritmus leképezése számítógépes műveletsorrá. A programozás algoritmus-tervezésből (logikai) és program megírásából (fizikai) áll. Algoritmus: a megoldáshoz vezető véges számú elemi lépés logikai sorozata. Előírás, módszer a feladat megoldására. A feladat lépésekre bontása Az algoritmusok típuselemekből (vezérlési szerkezetekből) épülnek fel: - szekvencia: az elemi lépések egyértelműen, egymás után következnek, azaz egyértelmű a lépések menete. - elágazás: döntés (1 bites, igen v. nem), feltételtől függ - szelekció: az elágazás összetett esete, egyszerre végrehajtott több bites döntés; - iteráció (ciklus): 1 művelet

vagy műveletsor többszöri (lényegében) változatlan formában történő megismétlése (pl. egész számok összeadása 1-től 100-ig) Fajtái: - feltétlen ciklus: adott 1 konkrét szám, hogy hányszor ismételje meg a műveletet. - feltételes ciklus: valamilyen esemény (feltétel) bekövetkezésétől függ, hogy el kell-e végezni a műveletsort, ez az esemény változó formát ölt. Lehet: -ismétlő feltételű. elöltesztelő ciklus: a feltételt a ciklus elején vizsgálja, részei: ciklusfej (feltétel vizsgálata), ciklustörzs (utasítások, mindaddig ismétlődik, amíg a fejben a feltétel igaz), ciklusláb; -vég feltételű, hátultesztelő: a feltételt a ciklus végén vizsgálja. Ezzel a 3 algoritmuselemmel minden feladat elvégezhető. Eljáráshívás: adott utasítássorozatot többször végre kell hajtani, de máshol és más értékkel. Egy ilyen önállóan kezelhető programrészlet v. programcsoport a szükséges helyen meghívható

(végrehajtatható) 1 bemenete és 1 kimenete lehet. Az algoritmus-tervezést különböző grafikus és szöveges algoritmus-leíró eszközök segítik. Grafikus: Chapin ábra, struktogram: dobozokat használ folyamatábra, blokk-diagramm: nyilak mutatják a műveletvégzés sorrendjét Jackson ábra Szöveges: pszeudo kód: az algoritmus (program) emberi nyelvhez “közel” álló leírása A struktúráit programozás igényeinek a Chapin-ábra felel meg legjobban: szekvencia, elágazás, elöltesztelő iteráció, hátultesztelő Objektum orientáltság, (szemlélet) lényege, az objektum fogalma és jellemzői Lényege: az adatok és az őket kezelő eljárások, függvények egységet alkotnak. Ez az egység az objektum (az objektum fogalma elválaszthatatlan a fogalom lényegétől). Jellemzői: − egységbe zárás: az adatok és az eljárások (metódusok) egységként történő kezelése, − öröklés: az objektumok egymásból levezethetők, öröklik azon objektumok

adatszerkezeteit és függvényeit, amelyeket a kérdéses objektum definiálásához már felhasználtunk (top-down –"fentről le" feladatmegoldás), 85 − többrétűség (polimorfizmus): ezáltal azonos néven többféle függvény definiálható (így az azonos feladatot ellátó, de más típusokon műveletet végző függvények azonos néven szerepelhetnek). Az esemény fogalma és kezelése a programokban, eseményvezérlés Esemény: a rendszerben bekövetkező változás. Kezelése: a hozzá tertozó eljárás végrehajtása Eseményvezérlés: események bekövetkezése által lehet a rendszert csak reakciókra (funkciók elvégzésére) kényszeríteni. On-line help, helyzetérzékenység Az adott (aktuális) helyzetnek megfelelő tevékenység, esemény lehetősége, felkínálása (esetleg megvalósítása). Helyzetérzékeny help: pl, hiba esetén tájékoztat annak okáról, és tipp(ek)et ad a javításra. WINDOWS-ban pl, a pop-up (felbukkanó) menü,

ami az adott objektummal végezhető műveleteket (tevékenységeket) kínálja fel. Az elvek érvényesülése WINDOWS környezetben Objektum orientáltság: minden "dolgot" egységként kezel (ablakok, ikonok, képek, szöveg(részék) stb.) és mindegyikkel meghatározott műveletek végezhetők. Pl WINWORD-ben, ha kijelölünk 1 képet, akkor a program formázására, átalakítására felkínálja a Rajzoló eszköztárát (ikonjait). Eseményvezérlés: tevékenységet mindig eseménnyel (állapotváltozással) lehet kezdeményezni, ez leggyakrabban (valamilyen) "kattintás", de lehet pl. "húzás" v parancs begépelése stb B22. A szövegfeldolgozás alapelvei, stratégiái, alapfogalmai, funkciói - a szövegfeldolgozás feladata, alkalmazási körei - stratégia - “készrebevitel” - kiadvány - kategóriák - szöveg-egységek és műveletek - logikai - fizikai - formázási, szerkesztési lehetőségek a WINWORD-ben - Különleges

szolgáltatások: tartalomjegyzék, tárgymutató, helyesírás ellenőrzés, szótagolás, grafika A szövegfeldolgozás feladata, alkalmazási körei Feladata az írásmunka könnyítése, a dokumentum jó minőségének, szép külalakjának biztosítása. Alaklmazási körei: − levelek, − szerződések, − könyvek, − tudományos értekezések, tanulmányok gépelése, szerkesztése, formázása. Stratégia "Formázott bevitel" Begépelés és szerkesztés egyidejűleg. Előnye: nyomtatásra kész végleges szöveget kapunk Hátránya: begépeléskor a formátum elemek beállítására is figyelemmel kell lenni, és javításkor esetleg a formátumot is "javítani kell". Kiadvány A begépelés, a javítás (korrektúra) és a szerkesztés különválasztása. Az első fázis a nyers szöveg kialakítása, a második a szerkesztés, a nyomdai forma kialakítása. Kategóriák Szolgáltatás és felhasználási terület szerint: Programszerkesztők

Egyszerűek. Egyszerű, gyors adatbevitel ASCII vezérlőjelek Szerény formátumkialakítási képesség Eredmény: ASCII szövegfájl, DOS-sal is kezelhető, proporcionális: a betűk és a szóköz szélessége azonos. Alkalmazási kör: forrásprogramok, egyszerű levelek, gyors jelentések, feljegyzések, emlékeztetők. Reprezentánsai: PE2, Norton Editor, Turbo Editor, Kedit, Sidekick stb. 86 Irodai szövegszerkesztők Dokumentum-szerkesztők, levélszerkesztők. Igényesebbek, gazdag formátum-kialakítási lehetőségek, speciális funkciók. Speciális vezérlőjelek (csak a szerkesztőprogram ismeri) Kényelmes begépelni és javítani Alkalmazási kör: gyorsan elkészítendő, de igényes levelek, szerződések, bonyolultabb formai szerkezetű írások, kisebb kiadványok stb. Előfordulásai: News, WordPerfect, Word Kiadványszerkesztők Professzionálisak, nyomdai szövegfeldolgozók. Hangsúly a formázáson van Gyenge szövegbeviteli képesség A nyomdai művelet

előtt alakítják ki a rendkívül igényes formát. Sokoldalúak, fejlettek, felhasználói igényeket messzemenően kielégítik. Alkalmazási kör: kiadás, kiadványok, könyvek nyomdai előkészítése Szövegegységek és műveletek Logikai (fogalmi) − karakter (jel): a legkisebb egység − szó: két szóköz vagy írásjel között álló karaktersorozat. Felismerik a szövegszerkesztők, kezelik, pl sorkizárás, helyettesítés, helyesírás. − bekezdés (paragraph): 2 "ENTER" közötti önálló szövegegység, amelyre egységes formátum- beállítás adható. − lap (page): − képernyőlap: esetleges, beállításfüggő − nyomtatási oldal: valójában ez a lap − hasáb (column): oszlopos elrendezés 1 oszlopa − szakasz (section): "fejezet", önálló formázási lehetőség − dokumentum (document): legnagyobb zárt alapegység, "könyv". Fizikai (formai) − karakter (jel): a legkisebb egység − sor: bal- és jobboldali

szövegszél (margó) közötti karaktersorozat. Automatikus sorváltás: word wrap − bekezdés (paragraph): 2 "ENTER" közötti önálló szövegegység, amelyre egységes formátum- beállítás adható. − blokk: kijelölt szövegrész. − lap (page): − képernyőlap: esetleges, beállításfüggő − nyomtatási oldal: valójában ez a lap − hasáb (column): oszlopos elrendezés 1 oszlopa − szakasz (section): "fejezet", önálló formázási lehetőség − dokumentum (document): legnagyobb zárt alapegység, "könyv". Formázási, szerkesztési lehetőségek a WINWORD-ben Formázás (Formátum menü): − Betű − Betűtípus, Stílus, Méret, Téköz és pozíció − Bekezdés − Behúzás, Térköz, Szövegbeosztás, Tabulátorok − Szegély és árnyékolás − Hasábok − Kisbetű/nagybetű − Iniciálé − Felsorolás és számozás − Címsorszámozás − Gyorsformázás − Stílustár − Stílus − Keret − Kép −

Grafikai objektum Szerkesztés (Szerkesztés menü): 87 Visszavonás, Ismét, Kivágás, Beillesztés, Irányított beillesztés, Törlés, Mindent kijelöl, Keresés, Csere, Ugrás, Gyorsszöveg, Könyvjelző, Csatolások, Objektum Különleges szolgáltatások: tártalomjegyték, tárgymutató, helyesírás-ellenőrzés, szótagolás, grafika Fej- és lábléckészítés, Automatikus oldalszámozás, Lábjegyzet készítése, hivatkozások, Automatikus tárgymutató és tartalomjegyzék készítése, Külső, nem szöveges objektumok fogadása, beillesztése (ezt érdemes "irányított"-tal végrehajtani), Űrlapkészítés és felhasználás, Táblázatkészítés és –kezelés, Helyesírás-ellenőrzés, Szótagolás, elválasztás (automatikusan is!), Korrektúra, Körlevél, boríték és címke készítése, Számolás, Rendezés, Képletszerkesztés B23. A táblázat-kezelés filozófiája, alapelvei Az Excel funkciói, függvényei - a táblázatkezelők

feladata, kialakulása, fejlődése (visi-calc, LOTUS-SIMPHONY-QUATTRO, EXCEL) - a táblázatkezelés lényege, alapfogalmai, egységei - munkalap, cella, relatív és abszolút cím, tartomány, képlet - több dimenziós tábla, munkafüzet - a táblázatkezelési műveletek, az EXCEL menürendszere - függvények és alkalmazásuk, különös tekintettel a gazdasági-pénzügyi feladatokra - az EXCEL különleges szolgáltatásai: szövegszerkesztés, diagramszerkesztés, “varázslók”, solver A táblázatkezelők feladata, kialakulása, fejlődése (visi-calc, LOTUS-SIMPHONY-QUATTRO, EXCEL) A táblázatkezelők feladata a problémamegoldás. Adott szakterületek művelői tevékenységének támogatására jöttek létre ezek a speciális szoftverek. Az 1980-as években jelentek meg, az 1 a LOTUS volt Ez volt a legelterjedtebb. Népszerű volt még a QUATTRO Ezeknek WINDOWS-os alkalmazása is létezik Az EXCEL táblázatkezelőt a MICROSOFT cég fejlesztette ki. A

táblázatkezelés lényege, alapfogalmai, egységei Olyan tevékenységeket támogatnak. ahol a felhasználói adatok táblázatos formába - sorokba és oszlopokba rendezhetők 2.1 Munkalap, cella, relatív és abszolút cím, tartomány, képlet A munkalap: a táblázat, egy hatalmas állomány, egy nagy négyzetrács; mely esetenként több ezer (akár több, mint tízezer) sort és néhány száz oszlopot tartalmaz. Cella: a munkalap egy adategység tárolására szolgáló eleme. Egy-egy sor és oszlop kereszteződésében helyezkedik el ezért a sor számával és az oszlop betűjelével jelölik. Relatív cím: ha egy cellában szereplő képletet átmásolunk egy másik cellába. akkor a tényleges elmozdulás figyelembe vételével a képletben szereplő cellahivatkozások "átcímződnek. Abszolút cím: az így címzett cella címe a másolásnál nem változik. Jele a megfelelő címrész elé tett “$” jel Tartomány: cellák egy részhalmaz. A munkalapnak egy

négyszögletes területe, mely kijelölve tartalmazza azokat a cellákat, amelyeknek az a közös vonása, hogy egyenrangú résztvevői valamely műveletnek. Képlet: azt írja le, hogy egy eredmény kialakításában milyen cellák vesznek részt. s milyen műveletek kötik össze őket. Több dimenziós tábla, munkafüzet Több dimenziós tábla: több munkalap összessége. Munkafüzet: munkalapok alkotják. A táblázatkezelők előnyei és alkalmazási lehetőségei, elsősorban gazdasági-pénzügyi területen Előnyei: - Felhasználói: sorba, oszlopba rendezés (áttekinthető; felhasználóbarát). - Számítástechnikai előny: az adat helye egyértelmű, az adat megcímezhető, így könnyű összefüggéseket meghatározni (pl. képleteket) Előnyösen alkalmazhatók akkor, ha azonos tartalmú feladatot sokszor kell változó adattartalom mellett megoldani (ilyen például a gazdasági kalkuláció). Előfordulhat azonban olyan eset is, hogy nem ismerjük a megoldáshoz

vezető egyértelmű eljárást. Ilyenkor az alapadatok szisztematikus változtatásával próbálkozásos úton (un iterációval) keressük a megoldást. Ebben az esetben is hasznosak lehetnek a táblázatkezelők Táblázatkezelési műveletek, az EXCEL menürendszere A táblázatkezelő segítségével mechanikus, munkaigényes számolási feladatok oldhatók meg. A cellába közvetlenül írhatunk be adatokat (ENTER-rel lezárva). Ezek háromféle tulajdonságúk lehetnek: 88 - Numerikus adatok. - Szöveg. - Dátum. A cellába származtatott adatok is kerülhetnek. Ezeket valamilyen képlet segítségével állíthatjuk elő (célszenű + jellel kezdeni). Egy cellát a szerkesztőléc segítségével is kitölthetünk A menük formája a WINDOWS-ban megszokott, azaz legördülő menük, ahol a megfelelő menüpontra kattintással aktivizáljuk a tevékenységet. - a menüpont melletti nyíl további almenüt jelent, - a három pont további információ-megadás

szükségletére utal, - a jobb oldalra írt billentyűkombináció (pl. CTRL+C) arra utal hogy a jelzett menüpont ezzel a billentyűkombinációval is aktivizálható. Az EXCEL főmenüje a következő: A többi menüpont szerepe a WINDOWS alkalmazás egységesítési törekvéseinek megfelelően alapvetően hasonlít a WINDOWS-ban eddig megismert hasonló nevű menükhöz (A leggyakoribb műveleteket az eszközsor ikonjaival hajthatjuk végre.) Fájl menü: A legördülő menü első három része a már megszokott file-kezelés funkcióinak ellátására szolgál, azaz megnyitások, mentések, stb. A következő menürész a nyomtatáshoz és a nyomtatóhoz tartozó beállításokat tartalmazza, végül a négy legutoljára megnyitott állomány nevét tartalmazza, az utolsó menüpont a kilépés az EXCEL-ből. Szerkesztés menü: Az első két menüpont az utolsó művelet visszavonására, illetve ismétlésére vonatkozik. A következő menűrész a kijelölt táblarészek

mozgatására vagy másolására vonatkozik. A Kitöltés menüpont funkciói több cella azonos, vagy sorozattal megadható kitöltésére vonatkoznak. A Tartalom törlése menüponthoz tartozik egy almenü Itt a cellatartalom- törlés lehetséges esetei vannak felsorolva, a sorok és oszlopok esetleges törlése a következő almenüponttal történik. Nézet menü: Itt állíthatjuk be a képernyő fejlécén, illetve munka közben megjelenő eszközkészleteket. A “kipipált” menüpontok az érvényes beállításokat jelentik. (On/Off kapcsolók) Az eszköztárak beállításához további információs ablakok jelennek meg a menüpont kiválasztásakor. Beszúrás menü: A menüpont funkciója különböző információk, munkalap részek, (cella. sor, , stb), illetve más eszközök által előállított objektumok beszúrása. Formátum menü: Az itt felsorolt menüpontok a cella, illetve a táblázat egy sorának vagy oszlopának, vagy egy teljes lapnak a

formázására vonatkoznak. Adatok, Eszközök menü: 89 Grafikonkészítés: 5. Függvények és alkalmazásulk, különös tekintettel a gazdasági-pénzügyi feladatokra A táblázatkezelő függvényei olyan beépített eljárások, melyek az adatok kiválasztott, vagy megadott halmazán elvégeznek egy műveletet, vagy műveletsort. Az EXCEL függvényeit az ellátott feladat szerint csoportosíthatjuk Megkülönböztetünk: matematikai, statisztikai, pénzügyi, dátum és idő, kereső, egyéb függvényeket. A függvény bemenő adatai, alapadatai alkotják a függvény argumentumát. Ilyen adatok lehetnek számok, cellahivatkozások, tartomány, stb A függvény által előállított új érték a függvényérték. A függvényekkel kétféleképpen dolgozhatunk: - A megfelelő cellába "=" jel után írjuk a függvény nevét, majd zárójelbe az argumentumát. - Függvényvarázslóval: ezzel aktivizálni tudjuk a megfelelő függvényt, és segít a

paraméterek beállításában is. Felkínálja a várható eredményt is, még mielőtt beírná a célcellába. Ikonja: A függvény kiválasztása után a gombra kattintunk. A kiválasztott függvénynek megfelelően azután felkínálja a lehetőségei az egyes a argumentum értékek megadására. Amikor minden argumentum érték bekerült a függvényvarázslóba, ellenőrizhetjük a függvényértéket, majd a függvényvarázslót a nyomógombbal lezárjuk. Matematikai függvények: =GYÖK, =INT, =HATVÁNY, =KEREK, =SZORZAT, =SIN, =COS, =TAN Statisztikai függvények Közös jellemzőjük, hogy argumentumukban az értékeket felsorolással, rámutatással is megadhatjuk, de kijelölhetjük az adattartományt, vagy hivatkozhatunk rá névvel is. =ÁTLAG Számadataink számtani átlagát határozhatjuk meg a segítségével. Formátuma: =ÁTLAG(szám1;szám2;.) =MÉRTANI.KÖZÉP Számadataink mértani átlagát határozhatjuk meg a segítségével Formátuma:

=MÉRTANI.KÖZÉP(szám1;szám2;) =HARM.KÖZÉP Számadataink harmonikus átlagát határozhatjuk meg a segítségével Formátuma: =HARM.KÖZÉP(szám1;szám2;) =SZÓRÁS Számadataink szórását határozhatjuk meg a segítségével. Formátuma: =SZÓRÁS(szám1;szám2;) =DARAB Adataink számát határozhatjuk meg a segítségével. Formátuma: =DARAB(szám1;szám2;) =MAX Egy legfeljebb 30 tagú adat halmaz elemei közül a legnagyobbat adja meg. Formátuma: =MAX(szám1;szám2;.) =MIN Egy legfeljebb 30 tagú adat halmaz elemei közül a legkisebbet adja meg. Formátuma: =MIN(szám1;szám2;.) =MEDIÁN Egy legfeljebb 30 tagú adat halmaz elemeinek mediánját határozza meg. Formátuma: =MEDIÁN(szám1;szám2;.) =MODUSZ Egy legfeljebb 30 tagú adat halmaz elemeinek moduszát határozza meg. Formátuma: =MODUSZ(szám1;szám2;.) =GYAKORISÁG (statisztikai) függvényt fogjuk használni. Formátuma: =GYAKORISÁG(adattömb;csoport tömb) (A csoport tömb az osztályközök tömbjének

felső határokat tartalmazó oszlopát jelenti.) Pénzügyi függvények =JBÉ (Jövőbeni érték), =MÉ (Mai érték), =NMÉ (Nettó mai érték), =RÉSZLET, =LCSA Kereső függvények =FKERES Egy táblázat első oszlopában keres egy megadott értéket. =VKERES Egy táblázat első sorában keres egy megadott értéket. 6. Az EXCEL különleges szolgáltatásai: szövegkezelés, diagramszerkesztés, "varázslók", solver Szövegszerkesztés: balra, középre, jobbra igazítás ikonjai: a megfelelő ikonra kattintva, a cellába írt szöveg a kiválasztott helyre igazodik. Ha több cella fölött állítunk középre, jelöljük ki azokat a cellákat, melyek együttesének közepén álljon a felirat, használjuk a ikont. 90 "Diagram- (grafikon ) varázsló " Diagramszerkesztés: grafikusan is ábrázolhatjuk - A táblázatok adatait - az adatbázisokban az egyedeket jellemző tulajdonságok értékeit. Menete: - Telöljük kí (együtt) a szükséges

adatokat. - Válasszuk ki az eszköztárból a következő ikont: . Ez az un ‘grafikonvarázsló” - A grafikon helyének a kijelölése a munkalapon. - A helyet kijelölve megjelenik a Diagramvarázsló első párbeszédablaka, a kívánt tartományok kiselölésére. - Az adatokat ellenőrizve, (és szükség esetén javítva) kattintsunk a gombra. - A megjelenő következő párbeszédablakban a grafikonhoz alap megjelenési formát választhatunk. - A következő párbeszédablak a grafikon megjelenési formáját finomítja tovább. - Feliratok beállítása, pontosítása - A grafikon cím- és tengelyfeliratainak megadása. - kattintás a gombra. "Diagram- (grafikon ) varázsló ": lásd: előbb. "Függvényvarázsló": statisztikai elemzésekhez szükséges függvények. Solver: mat.-stat és lineáris programozási feladat megoldó Lehetőség van lineáris programozási (operációkutatási, optimalizálási) feladatok megoldására. B24. Az

adatmodellek típusai, alapfogalmai, jellemzői - az ETK és relációs adatmodell - a modellek tervezési szintjei - koncepcionális - logikai - hozzáférési - tárolási - egyed, tulajdonság, kapcsolat, reláció, domain, relationship, azonosító, gyengén jellemző tulajdonság - modellek és fogalmak megfeleltetése - modellek leképezése, adatbáziskezelők Az ETK és a relációs modell E: egyed, T: tulajdonság, K: kapcsolat, a hálós modellben jelent meg először. Az egyedek közötti kapcsolatot fizikailag létesítik. (Logikailag a rekordoknak több megelőzője és rákövetkezője lehet) Relációs modell: matematikai relációs műveletek. Halmazműveletekkel kezeli az adathalmazt és táblázatos formában szemlélteti, ezért áttekinthetőbb. Az adatbáziskezelők alapja A modellek tervezési szintje: Koncepcionális (fogalmi): adatok, adatszerkezetek valósághűen való tükrözése. Tartalmazhat m:n fokú (hálós) kapcsolatot, redundanciát. Logikai: A valós

világnak a feladat megoldása céljából megfigyelt, vizsgált adatainak szerkezetét, az adatok kapcsolódási pontjait és sokaságát leíró módszert adatmodellezésnek, az adatmodellezés végén kapott eredményt pedig logikai adatmodellnek nevezzük. hozáférési: kik, milyen munkát végezhetnek (utóbbi: jogosultság) a rendszeren. Tárolási (fizikai): a kialakított kapcsolatokat a táblák leírásával (oszlopok jellemzői: kulcs-e, hossz/méret, típus) együtt tárolja az adatbázis. Adatokkal való feltöltés Egyed, tulajdonság, kapcsolat, reláció, domain, relationship, azonosító, gyengén jellemző tulajdonság Egyed: objektum (tárgy, személy esemény, jelenség), melyet adatok sorával jellemezhetünk. Egyedelőfordulás: egyed konkrét megjelenése. Egyedtípus: azonos tulajdonságokkal leírható egedelőfordulások halmaza, kategória. Tulajdonság: az egyed 1 jellemzője, mely az egyedet a többitől megkülönbözteti, vagy azonos kategóriába

sorolja. 91 Tulajdonságérték: tulajdonság konkrét megjelenése, mennyiségileg, minőségileg kifejezett tulajdonság. Kapcsolat: egyedek között létező tartós, állandó viszony. Kapcsolati fok ("kapcsolattípus"): - Egy - egy (1:1) fokú kapcsolat. Az egyik egyedhalmaz minden eleméhez a másik egyedhalmaz egy előfordulása kapcsolódhat. - Egy - több (1:N) fokú kapcsolat. Egy egyedhalmaz minden előfordulásához a másik egyedhalmaz több előfordulása is kapcsolódhat. - Több - több (N:M) fokú kapcsolat. az egyik egyedhalmaz minden eleméhez a másik egyedhalmaz több előfordulása kapcsolódhat, de ez a kitétel a két adott egyedhalmazra vonatkozóan megfordítva is igaz. Az N:M fokú kapcsolat az adatbázis kezelő rendszerekben nem használható, ezért azt egy kapcsoló egyedtípus beiktatásával két 1:N fokú kapcsolatra bontjuk. Kapcsolat-előfordulás: 2 egyed előfordulásainak összerendelése. Kapcsolattípus (relationship): egyedek

közötti kapcsolat-szabály. Ezeknek 2 szintje van: − típus: azonos jellemzők halmaza, általános összerendelési szabály, − előfordulás (érték): egyedi, konkrét. Reláció: tulajdonságok közötti összefüggést fejez ki. Több tulajdonsághalmaz Descartes-féle szorzatának valósághű, létező részhalmaza. Domain: tartomány, oszlop a táblázatban. Modellek és fogalmak megfeleltetése − Egyedelőfordulás – sor, − Egyedtípus – tábla, − Tulajdonság-előfordulás – oszlop, domain, − Tulajdondág-előfordulás – egy "cella", érték, − Kapcsolattípus – kapcsolómezők biztosítják 2 tábla között, − Kapcsolat-előfordulás – 2 sor tartós viszonya. Kapcsolat-előfordulás, kapcsolattípus logikai úton valósul meg. Modellek leképezése, adatbáziskezelők A modellezett szerkezetbe foglalt adathalmazokat eleinte adatbankoknak később adatbázisoknak nevezték. A hierarchikus modell Az adatokat fákban tárolja. A fák

egy-egy szögpontja, a szegmens (segment) adatokat és további szegmensekre utaló mutatókat tartalmaz. A fák gyökérelemei állományokba vannak szervezve Az egyes nézetek (view-k, virtuálisak, látszólagosak, azaz nem áll mögöttük önállóan létező adattartalom) a számukra érzékeny szegmenseket (sensitive segment) látják. A hálós struktúrájú feladatok leírására csak korlátozottan alkalmas, ilyen esetekben a lekérdezés hatékonysága erősen függ az adatbázis struktúrájától. Képviselője az IBM által készített IMS Ma már nem használatos a modell A hálós modell A CODASYL, bizottság által létrehozott DBTG (Data Base Task Group) jelentései (1969-1971) hozták létre a terminológiai és metodológiai alapot. A DBTG jelentés terminológiai javaslatai: séma: a teljes logikai struktúra; alséma: az egy nézet által látott adatbázisrész logikai struktúráját írja le; DDL (Data Definition Language): adatleíró nyelv, séma-,

alsémaleírások; DML (Data Manipulation Language): adatmanipuláló nyelv, lekérdezések, adatváltoztatások nyelve. Metodológiai újítások: Set: rekordokból álló kétszintű fa, melynek gyökéreleme a tulajdonos (owner), levelei a tagok: (members). Egy rekord lehet az egyik set-ben tulajdonos, egy másikban tag. Egy rekord több set-ben is lehet tag A set-ek segítségével a legbonyolultabb hálós, kapcsolatok is leírhatók. Terület (area): együtt kezelendő adatok halmaza. Reprezentánsa az IDMS (Integrated Data Management system), mely rendelkezik a set-ek tagjainak rendezéséről, a rekordok elhelyezéséről, indextáblák készítéséről. DML-ként a DBTG jelentés a COBOL nyelvet javasolta A COBOL-t felváltotta a PLI, majd más interaktív felhasználói felület. A relációs modell Ötlete Codd 1970-es cikkéből származik. A számítógépek kapacitásának, sebességének növekednie kellett ahhoz, hogy hatékonyan lehessen használni. A reláció egy

táblázat. Oszlopai a tulajdonságok (domain), sorai az n-esek (tuple) Hagyományosan: sor=rekord, oszlop=mező (field). Követelmények (feltételek): ne legyenek megegyező sorok vagy oszlopok, továbbá a sorok és az oszlopok sorrendje ne hordozzon információt. 92 kulcs: az a mező vagy mezőkészlet, mely a sort (a sor többi elemét) egyértelműen meghatározza. Karbantartási anomáliák és információveszteségek elkerülése (redundancia megszüntetése, konzisztencia= következetesség biztosítása) végett a relációkat célszerű normalizálni. A nornalizálás lépései a normai formákon át vezetnek. Minden reláció felbontható normalizált relációkra ezt a műveletet nevezzük dekonpozíciónak A relációk exakt matematikai eszközökkel kezelhetőek (halmazműveleteken alapuló relációs algebra, relációs kalkulus). Képviselői: FoxPro, DBASE, Clipper, ACCESS. Napjainkban szinte kizárólag e modell alapján készülnek adatbázis-kezelő

rendszerek. B25. Normalizálás Logikai és fizikai adatmodell Kapcsolatuk és kezelésük - belső függések alapesetei - határozatlan és jól meghatározott relációk; normálformák - fizikai adatmodell és leképezése; adatbázis - az adatmodellek szerkezeti elemei - kapcsolati fok, kapcsolat jellege - kapcsolat megvalósítása ACCESS-ben l. Belső függések alapesetei Funkcionális függés: az egyik tulajdonságtípus bármely értékéhez a másik tulajdonságtípusnak csakis egy értéke rendelhető hozzá (az egyiktől funkcionálisan függ a másik). Kölcsönös funkcionális függés: ha a funkcionális függés megfordítva is igaz. Funkcionális függetlenség: funkcionális függés a 2 tulajdonságtípus között nem áll fenn. 2. Normálformák, részleges és tranzitív függés, 3NF Az adatfeldolgozó információs rendszer megvalósítása során felmérjük a rendszer szempontjából lényeges, a rendszer működését leíró adatok körét. Ezen adatoknak

a későbbi feldolgozásokhoz optimális elhelyezési módját megadó módszert normalizálásnak nevezzük. Részleges funkcionális függés: a függő tulajdonságtípus az összetett azonosító tulajdonságtípus egy rész tulajdonságától függ funkcionálisan. Tranzitív (belső) funkcionális függés: egy egyedtípuson, belül egy leíró tulajdonságtípus konkrét értékei meghatároznak más leíró tulajdonságértéke(ke)t. Normálformák (logikai adatmodell): 0NF - Egy reláció nem tartalmazhat két azonos sort (hiszen két egyed-előfordulás legalább egy tulajdonságtípus konkrét-értékében eltér egymástól). - A reláció sorainak sorrendje lényegtelen. (Az egyedtípus egyed-előfordulásainak sorrendjéről var szó) - A reláció oszlopainak sorrendje lényegtelen. (Az egyedtípus tulajdonságtípusainak sorrendje nem bír jelentőséggel) - A reláció konkrét soraira (egyed-előfordulásokra) azonosító egyedtípusok) konkrét értekével

hivatkozhatunk. Egy relációban két oszlop neve nem lehet megegyező. - A reláció oszlopaira (tulajdonságtípusaira) az oszlopok nevével hivatkozhatunk. Egy relációban két oszlop neve nem lehet megegyező. 1NF - 0NF teljesül - A reláció minden tulajdonsága funkcionálisan függ az azonosítótól (azaz a reláció nem tartalma ismétlődő tartományt.) 2NF - 1NF teljesül. - A reláció nem tartalmaz részleges funkcionális függésben lévő tulajdonságtípusokat (azaz nem tartalmaz olyan tulajdonságtípust, amily funkcionálisan függ az azonosító részétől). 3NF: - 2NF teljesül. - A reláció nem tartalmaz tranzitív funkcionális függésben lévő tulajdonságtípusokat. (azaz nem tartalmaz olyan tulajdonságtípust, amely- funkcionálisan függ valamely más, az azonosítóban nem szereplő tulajdonságtípustól). Ha egy relációra teljesül az XNF, akkor X. normálformában van 3. Feltételes és alternatív függés 93 Feltételes függés: a

meghatározó tulajdonságtól függően létezik vagy sem a függés. Pl Dolgozók táblában létezik egy Jogosítvány logikai (igen v. nem) mező, ami ha igaz, akkor a Jogosítványok táblában a Jogosítványszám mezőben a dolgozó jogosítványának száma szerepel. (A Dolgozókód és a Jogosítványszám között van feltételes függés.) Alternatív függés: a meghatározó tulajdonság értékei meghatározzák egy tulajdonság értékeit, létét egymást kizáró módon. 4. Logikai adatmodell, adatszerkezeti ábra és értelmezése, szerkezeti alapelemek 4.1 Logikai adatmodell: A valós világnak a feladat megoldása céljából megfigyelt vizsgált adatainak szerkezetét az adatok kacsolódási pontjait és sokaságát leíró módszert adatmodellezésnek, az adatmodellezés végén kapott eredményt pedig logikai adatmodellnek nevezzük. 4.1 Adtaszerkezeti ábra és értelmezése Az adatbázis egyedei közötti kapcsolatok vizuális megjelenítése, erre alkalmazott

grafikus megoldás. Ezt kidolgozója után Bachman diagrammnak más néven a adatszerkezeti: (LDS) ábrának szokás nevezni. Az egyedtípus neveit "dobozok"-ba szokás írni és a dobozokat összekötő vonalak jelzik a kapcsolatokat. A kapcsolat típusát “tyúkláb” használatával jelzik: 4.3 Szerkezeti alapelemek Egyszerű hierarchia 1 Owner 1 Member pl.: SzervezetDolgozó Összetett (többszörös) hierarchia pl.: Dolgozó1 Owner Gyerek ill. Nyelvtudás Több Member Többszintű hierarchia pl.: Szervezet1 Owner DolgozóGyerek Owner+ Member 1 Member Többszörös tagsági viszony (hálót leképező elem) Több Owner pl.: DolgozóNyelv-Nyelvtudás 1 Member Többszörös kapcsolat 1 Owner 1 Member Közös kapcsolat 1 Owner Több Member Önmagába visszamutató kapcsolat Jellemzők: − Egyszerű hierarchia: fölé-, és alárendeltségi szint − Többszintű hierarchia: a középső egyed az egyik kapcsolatban member, a másikban owner − Többszörös

kapcsolat: két egyed között két vagy több kapcsolat jön létre − Közös kapcsolat: egy owner a két memberhez egy tulajdonságon keresztül kapcsolódik − Önmagába visszamutató kapcsolat: egy táblán belül a sorok összerendelése ⇒ nehezen valósítható meg, ezért le kell bontani kettős vagy többszörös kapcsolatokká − Opcionális kapcsolat: pl. a háztartás előforduláshoz kötelező a személy előfordulás (folytonos vonal), fordítva ez nem igaz (opcionális, szaggatott). − Kizáró vagy jellegű opcionális kapcsolat: Az owner (Vállalat) egyedhez vagy az egyik (Földrajzi cím) vagy a másik (Postafiókcím) tartozik. B26. Adatbáziskezelő rendszerek Az adatbáziskezelés funkciói - az adatbáziskezelő rendszerek típusai, legfontosabb jellemzőik - az adatbáziskezelés funkciói konkrét adatbáziskezelő rendszerben (ACCESSS) - tábla - lekérdezés - űrlap - jelentés 94 Adatbáziskezelő rendszerek típusai, legfontosabb jellemzői A

különféle adatbáziskezelő rendszerek különböző szintű támogatási nyújtanak az adatmodell fizikai leképezésére. Egyes adatbáziskezelő nyelvek sémaleíró rendszere teszi ezt lehetővé; más esetekben segédprogramok állnak rendelkezésre, megint más környezetben parancsok biztosítják táblázataink megalkotását, módosítását. A korszerű adatbáziskezelő rendszereket olyan kezelői felülettel egészítették ki, melyek grafikus és adatbáziskezelői szabvány objektumokon keresztül teszik lehetővé az adatfeldolgozó alkalmazások elkészítését. A relációs adatbázisba a kapcsolatok nem épülnek be, csupán ezek lehetősége biztosított a kapcsoló tulajdonságtípusok segítségével (a gyenge redundancia alapján). A kapcsolatok leírására és tárolására egyszerűbb eszközök (pl.: dBASE, CLIPPER) esetében algoritmikus utasítások szolgálnak, komolyabb relációs adatbázis kezelők esetében az adatbázis belső leíró része

tartalmazza a szerkezet és a kapcsolatok teljes leírását. Az adatbáziskezelés funkciói a Microsoft Acces 2.0-ban 1. Adatbázis létrehozása, kezelése : Az adatbázis nem más mint olyan táblák halmaza, melyek között valamilyen kapcsolatrendszert definiálunk. Az Access-ben az adatbázisokat fizikailag háttértárolókon hozzuk létre, ahol minden egyes adatbázis egy-egy .MDB kiterjesztésű fájl lesz Az adatbázis táblák, lekérdezések, űrlapok, jelentések, makrók és modulok halmaza fizikailag egyetlenegy fájlba, az adatbázisfájlba vannak összeszervezve (általában ennek a fájlnak a kiterjesztése: .MDB) Természetesen az adatbázisban elhelyezkedő komponensek bármikor módosíthatók, karbantarthatók, törölhetők, sőt szükség esetén új elemeket is felvehetünk. 2. Tábla létrehozása, kezelése : A tábla oszlopait mezőknek, míg a sorokat rekordoknak nevezzük Egy táblán belül minden mezőnek-egyedi neve van, és a rekordok azonos

szerkezetűek. Ez azt jelenti, hogy miden rekord ugyanazon mezők halmazából épül fel, valamint tábla szinten, minden rekordra, az egyes mezőkben tárolt információ típusa rögzített. 3. Lekérdezés: A lekérdezés nem más, mint egy egyszerűbb vagy összetettebb kritériumokat tartalmazó kérdésmegfogalmazás, melynek segítségével információkat tudunk visszanyerni az adatbázisból. Az adatokat akár egy, vagy több táblából válogathatjuk össze. Ha az adatokat több táblából gyűjtjük, akkor a táblákat össze kell kapcsolnunk. 4. Rekordforma tervezés: Az űrlapokat egy adatbázisban lévő adatok szép, kultúrált megjelenítésére, valamint adatbevitelre és adatmódosításra használjuk. Fontos jellemzője, hogy mindig egy rekord megjelenítését tervezzük, és például képernyő esetén külön ikonokat helyezünk el a rekordok közötti mozgásokra. Az űrlapokat meg kell tervezni. Ez a tervezési munka bonyolult és időigényes A tervezés

során döntjük el, hogy az egyes adatok hol, és milyen formában jelenjenek meg az űrlapon. 5. Nyomtatás tervezés: Jelentésekkel, könnyen és gyorsan tudunk adatokat, információkat nyomtatóra küldeni és kinyomtatni. A jelentések előnye, hogy segítségükkel listákat készíthetünk Ennek lényege, hogy az Access figyeli bizonyos általunk megadott adat vagy adatok megváltozását, és ennek függvényében rész-; ill. végösszeg gyűjtést és nyomtatást végez. B27. Az űrlap és jelentés fogalma az ACCESS-ben A szerkesztés alapelvei és módszerei - az adatbevitel intelligens megoldása: űrlap - fej/tétel tábla (fő- és segédűrlap) megoldása, szinkronitás - felhasználói igényekre szabott output: jelentés - többszintű összegfokozatok megjelenése és kezelése a jelentésekben Rekordforma tervezés, (Űrlap (Form)): Az űrlapokat egy adatbázisban lévő adatok szép, kultúrált megjelenítésére, valamint adatbevitelre és adatmódosításra

használjuk. Fontos jellemzője, hogy mindig egy rekord (egy egyed-előfordulás) megjelenítését tervezzük, és például képernyő esetén külön ikonokat helyezünk el a rekordok közötti mozgásokra. Az űrlapok talán az adatbázisok legfontosabb építőkövei, mivel a felhasználók döntő többsége űrlapokon keresztül „látja” és használja az adatbázis táblákat. Az űrlapokat meg kell tervezni Ez a tervezési munka bonyolult és időigényes A tervezés során döntjük el, hogy az egyes adatok hol, és milyen formában jelenjenek meg az űrlapon. Az egyes adatmezőkhöz különböző tulajdonságokat (pl. szín, betűtípus, stb) és tevékenységeket (pl adatellenőrzés) rendelhetünk, de elhelyezhetünk pl. képeket fotókat is A legtöbb űrlapot képernyőn történő megjelenítésre készítjük, de lehet nyomtatóra is tervezni. Az űrlap az „előretolt frontvonal”, a háttérben az űrlaphoz mindig egy táblát, vagy lekérdezést kapcsolunk.

Segédűrlap - definíció és leírás A segédűrlap egy űrlapon lévő másik űrlap. Az elsődleges űrlap a főűrlap, az azon belüli űrlap a segédűrlap Az űrlap/segédűrlap kombinációt gyakran hierarchikus vagy szülő/gyermek kapcsolatú űrlapnak nevezik. 95 A segédűrlap különösen akkor hatékony, amikor a táblák és lekérdezések adatait egy-a-többhöz kapcsolattal szeretnénk megjeleníteni. Készíthetünk például segédűrlappal rendelkező űrlapot a Kategóriák tábla és a Termékek tábla adatainak megjelenítésére. A Kategóriák tábla adatai képviselik a kapcsolat "egy" oldalát, a Termékek tábla adatai pedig a "több" oldalt - minden kategóriához több termék is tartozhat. A főűrlap és a segédűrlap oly módon vannak összekapcsolva, hogy a segédűrlap csak a főűrlap aktuális rekordjához tartozó rekordokat mutatja. Amikor például a főűrlap aktuális rekordja az Italok kategória, a segédűrlap csak

az Italok kategóriához tartozó termékeket jeleníti meg. Jelentés - definíció és leírás A jelentések segítségével tetszetős nyomtatott formát lehet adni az adatoknak. A jelentésen belül mindennek megadhatjuk a méretét és a megjelenési formáját, így az információt abban a formában lehet megjeleníteni, ahogyan azt a végleges formában, nyomtatásban látni szeretnénk. A jelentés információtartalmának legnagyobb része a jelentés adatainak alapját képező alaptáblákból, lekérdezésekből és SQL utasításokból származik. Az információ többi része magában a jelentésben található A jelentés és rekordforrása között grafikus objektumokkal (ún. vezérlőelemekkel) hozzuk létre a kapcsolatot A jelentéseken használható vezérlőelemek közé tartoznak a beviteli mezők, amelyek nevek és számok megjelenítésére szolgálnak, a címkék, melyekkel leíró szöveget jeleníthetünk meg, és vonalak, melyeket az adatok grafikus

kiemelésére és szervezésére, vagy a jelentés küllemének javítására használunk. Többszintű összegfokozatok megjelenése és kezelése a jelentésekben A jelentések „erőssége”, hogy segítségükkel kontrolfokozatos (összegfokozatos, kontrolváltásos) listákat készíthetünk. Ennek lényege, hogy az Access figyeli bizonyos általunk megadott adat vagy adatok megváltozását, és ennek függvényében rész-, ill. végösszeg gyűjtést és nyomtatást végez Rekordcsoportból vagy az összes rekordból összeg, illetve átlag számítása jelentésben 1. Nyissuk meg a jelentést Tervező nézetben 2. Adjunk hozzá egy számított beviteli mezőt néhány szakaszhoz az alábbiak közül: • Ha egy rekordcsoport összegét vagy átlagát szeretnénk kiszámolni, akkor adjunk egy beviteli mezőt a csoportfejhez, illetve a csoportlábhoz, • Ha az összes rekordból szeretnénk összeget vagy átlagot számolni, akkor a beviteli mezőt a jelentésfejben vagy a

jelentéslábban helyezzük el. 3. A tulajdonságlap megjelenítéséhez biztosítsuk jelöljük ki a beviteli mezőt, majd kattintsunk az eszköztár Tulajdonságok gombjára. 4. Tegyük az alábbiak egyikét: • A Mező vagy kifejezés (ControlSource) tulajdonságmezőben az összeg kiszámításához írjunk be egy Sum függvényt, az átlag kiszámításához pedig egy Avg függvényt használó kifejezést. • A Szerkesztés gombra kattintva indítsuk el a Kifejezésszerkesztőt, és hozzuk létre a kifejezést. B28. Adatbiztonság, adatvédelem, ellenőrzés - az adatvédelem és adatbiztonság területei - adatintegritás - illetékesség - adatvédelem kérdései egy és többfelhasználós környezetben - adatbázisok és a hálózatok védelmi problémái és megoldásuk - az adatvédelem módszerei: mentés/visszatöltés, naplózás, tükrözés Az adatvédelem kérdései az adatbázisokban és a hálózatokon Integritás 96 Sértetlenség, épség. Az adatok

adathordozók fizikai sérülés elleni védelme Körültekintő, hozzáértő kezelés Előírások, szabályzatok készítése és betartása (betartatása). Illetékesség A felhasználó mihez férhet hozzá, és azzal mit csinálhat (ki, mivel, mit). Ehhez azonosítani kell a fel-használót, ennek módjai: − jelszóvédelem, − fizikai azonosító (kártya), − személyi jellemzők (pl.: ujj- vagy tenyérlenyomat, recehártya erezet) Hozzáférés-védelem: a rendszernek azt is számon kell tartania, hogy a jogos felhasználók hatásköre mire terjed ki. A felhasználó által működtetett ún. ügynök folyamatok hatáskörét a hozzáférési mátrix szabja meg Ennek elemei akár ügynökökhöz, akár adatokhoz kötötten tárolhatók. Az illetéktelenek kiszűrésének további módja az adatvédelem. Az adatvédelem területei: ügyviteli, fizikai, hardveres, szoftveres Ügyviteli: a követendő biztonságtechnikai szabályokat, kötelező viselkedési módokat,

továbbá a kötelező dokumentálás rendjét írja elő (elsősorban a felelőség kérdését szabályozza). Fizikai: az adatokhoz való illetéktelen hozzáférést fizikailag próbálja megakadályozni (pl.: zárt, őrzött számítóközpont). Hardveres: csak az férhet a rendszer adataihoz, szolgáltatásaihoz, aki rendelkezik a megfelelő hardver-elemmel: egyáltalán összeköttetésben áll a rendszerrel, továbbá pl.: van dekódere, ill kártyája a belépéshez Szoftveres (algoritmikus): olyan algoritmusok összessége, mely az adatvédelem követelményeinek megfelel. − Rejtjelezés (kódolás, transzformálás), üzenethitelesítés: lehetővé teszi az adatok védetlen közegen való továbbítását. − Felhasználó-azonosítás: a rendszert használó személyek egyértelmű azonosítására szolgál (ugyanez a feladata számítógépek kapcsolata esetén a partner-azonosításnak). − Hozzáférés-védelem: megakadályozza a jogos felhasználót abban, hogy

hatáskörét túllépje. − Digitális kézjegy: az elküldött üzenetek letagadását akadályozza meg. Adatvédelmi eljárások és módszerek: szünetmentes tápegység, tükörwinchester, másolatok, naplózás . Szünetmentes tápegység: áramkimaradás esetén is üzemel, így nem áll le a gép, és nem veszik e az addigi (előző mentés óta végzett ) munka. Tükörwinchester: egy másik adattárolót is alkalmaznak, amelyen ugyanazokat az adatokat tárolják, mint az elsőn (pl.: C: és D:) Célja: ha az egyiken meghibásodik egy adat, akkor a másikról rekonstruálható legyen Másolatok (backup): biztonsági másolatok, az eredeti meghibásodásakor, ill. adatvesztéskor veszik hasznát (pl: a WINWORD bizonyos időközönként menti az aktuális dokumentumot). Naplózás: a naplóban azt tartják nyílván, hogy ki, mikor, milyen módosításokat hajtott végre. Ezzel egyrészt a hibák felelőseit akarják megtalálni, másrészt a dátum alapján vissza lehet

keresni az elveszett vagy meghibásodott adatokat (utolsó hibátlan állapotukat, pl.: a tükörwinchesteren), ill lehet tudni, hogy mettől kell javítani az adatokat. Az adatellenőrzés lehetőségei, típusai bevitelkor és a feldolgozás során. CDV Egyéni, emberi: nehézkes, nem biztos. Szoftveres: megbízható, gyors, "segítőkész". Meg lehet határozni a beviendő adatok típusát, formátumát, szűrőfeltételeket lehet alkalmazni. Pl: ACCESS-ben űrlapok készítésénél. Ezen kívül a táblaadatok feldolgozása, megjelenítése során lehet rendelkezni arról, hogy érvénytelen adatok ne kerülhessenek be egy-egy mezőbe, netán adatbevitelkor bizonyos mezők kezdőértékeket kapjanak. A "Hivatkozási integritás megőrzése" opció: amikor ezt a lehetőséget választjuk, az Access bizonyos "biztonsági rendszabályokat" léptet életbe, ha a két összekapcsolt tábla bármelyikét módosítjuk: − Ha új rekordot írunk be a

kapcsolt táblába, akkor a kapcsolt mezőbe írt adatnak párja kell legyen az elsődleges táblában is. − Az elsődleges táblából nem lehet kitörölni olyan rekordot, amelyhez kapcsolt rekord vagy rekordok tartoznak a kapcsolt táblában. Ha ezeket a szabályokat megszegjük, az Access hibaüzenetet küld és a módosítást nem engedi végrehajtani