Építészet | Felsőoktatás » Tárcsák, faltartók vizsgálata

TÁRCSÁK, FALTARTÓK VIZSGÁLATA Vasbeton felületszerkezetek vasalása A vasbeton felületszerkezetek vasalásának meghatározása a következő elvi problémák tisztázását igényli: a szerkezetek gyakorlati méretezésére használt módszerek, méretezési táblázatok a szerkezet igénybevételeinek nagyságát és eloszlását idealizált anyagú szerkezet feltételezésével adják meg, ezzel szemben a vasbetonszerkezetek már a használati állapotban sem tökéletesen felelnek meg ezeknek a feltételeknek, a teherbírás határa felé közeledve pedig ezektől lényegesen eltérő viselkedést mutatnak. A vasbetonszerkezetek elnevezéséből is világosan kitűnik, hogy nem homogén anyagúak, a szerkezetben elhelyezett vasalás, ill. a repedezettség hatása miatt nem tekinthetők izotropnak sem, a terhelés különböző fázisaiban különböző mértékben eltér a viselkedésük a Hooke-törvényt követő rugalmas anyagokétól is. Ezek az eltérések nem

befolyásolják az igénybevétel-eloszlást, ha a szerkezet statikailag határozott erőjátékú, ha viszont nem az, akkor igen. A statikai határozottság a felületszerkezetek körében is értelmezhető: az a szerkezet statikailag határozott, amelynek a feszültségállapotát a statikai egyensúlyi feltételek teljesen meghatározzák Ilyen felületszerkezetek az elhanyagolható hajlító merevséggel bíró, megfelelően megtámasztott héjak A lemezek, tárcsák és a nem tisztán membrán-erőjátékú héjak viszont mind statikailag határozatlan erőjátékú szerkezetek. A szerkezet inhomogenitásából származó eltérések figyelembevételének általános módszere a homogenizálás, amit kevésbé "tudományos" hangzású, de a művelet lényegét jól érzékeltető szóval elkenésnek is nevezhetünk. A homogenizálás legismertebb példája éppen a vasbeton szerkezetek körében található: az ideális keresztmetszeti jellemzők alkalmazása. Itt az

acélbetéteket a keresztmetszeti húzómerevség szempontjából egyenértékű betonkeresztmetszettel helyettesítjük. A homogenizálást elvben más keresztmetszeti jellemzők figyelembevételével is végezhetjük, így pl értelmezhető a nyomóteherbírás szempontjából egyenértékű keresztmetszet stb A lemezek és tárcsák igénybevétel-eloszlását a felületelemre ható erők egyensúlyának feltételei nem teszik matematikailag és statikailag egyértelművé, ezért a megoldáshoz az igénybevételekhez tartozó alakváltozások összeférhetőségének feltételeit is fel kell használnunk. Ezek a szerkezetek tehát statikailag határozatlan erőjátékúak Amennyiben a vizsgált lemez- vagy tárcsaszerkezet viselkedését várhatóan jelentősen módosítják az említett eltérések, az elöljáróban említett egyszerűsítő feltételezések alapján számított igénybevételeket csak tájékoztató értékként kezelhetjük, pontosabb igényű vizsgálat

esetén figyelembe kell vennünk a módosítások hatását. Ez azért sem egyszerű feladat, mert a tájékoztató értékekben tükröződő viselkedésétől való eltérés a szerkezetre ható terhek növekedtével - pontosabban a teherbírás relatív kihasználtsága növekedtével egyre jelentősebb. Az izotróp rugalmas tárcsák, ill. lemezek elmélete viszonylag csekély hibával írja le az átlagos vasalású, repedésmentes vasbeton tárcsák, ill. lemezek teher alatti viselkedését Ennek alapvetően az a magyarázata, hogy ezeknek a szerkezeteknek az első feszültségállapotbeli keresztmetszeti jellemzői nem sokban különböznek a teljes betonkeresztmetszet alapján, az acélbetétek elhagyásával számított keresztmetszeti jellemzőktől. A beton és az acél rugalmassági modulusának aránya lényegesen kisebb, mint a húzószilárdságaik aránya, így némi egyszerűsítéssel azt mondhatjuk, hogy kis acélkeresztmetszet viszonylag nagy betonke- 1

resztmetszet hiányzó húzószilárdságát képes pótolni, és az a vasmennyiség, amely elegendő a teherbírás megjavítására, még nem sok vizet zavar a szerkezetnek abban az állapotában, amikor a húzószilárdság pótlására statikailag nincsen szükség. Lényegesen változik a helyzet, ha a beton megreped, hiszen ekkor a berepedt keresztmetszetben a húzóerő egésze az acélbetétekre hárul. Az acél szilárdságilag alkalmas ennek a húzóerőnek a felvételére, de lényegesen nagyobb nyúlások felléptével, mintha az igénybevételt a teljes keresztmetszet viselné. Ezt szemléletesen úgy értelmezhetjük, hogy a berepedt keresztmetszetek környezetében jelentősen lecsökken a szerkezet merevsége. Ennek a csökkenésnek lényegesen nagyobb az egész szerkezet globális viselkedésére vonatkozó hatása, mint azt a berepedt és a repedetlen zónák területének aránya alapján feltételezhetnénk, mert a repedések a legnagyobb igénybevételek helyén

keletkeznek, azaz a legnagyobb fajlagos alakváltozások helyén a legnagyobb a merevségcsökkenés is. Ezzel függ össze pl az, hogy a vasbeton lemezek teherbírásának teljes kihasználtságához tartozó alakváltozás- és igénybevétel-eloszlásra vonatkozóan a valóságoshoz sokkal közelebb álló képet kaphatunk a merev-képlékeny anyagtulajdonságot feltételező számítási modell alapján, mint a homogén, izotrop, rugalmas lemezek elmélete alapján. A kereskedelmi forgalomban sok olyan program és programrendszer található, amelyek az ismertető szerint a vasbeton sajátos tulajdonságainak figyelembevételére is alkalmas eljárásokat, speciális vasbeton lemez-, tárcsa-, esetleg héjvasalásokat elkészítő eljárásokat tartalmaznak. Ezek egy része csak az izotróp rugalmas anyag feltételezésével végzett igénybevétel-számításhoz készített "rátétprogramot" tartalmaz az igénybevételek felvételére alkalmas hálós vasalás

keresztmetszeti mennyiségének - és esetleg elrendezésének - meghatározására, másik része többlépcsős számítási eljárással figyelembe veszi a maximális igénybevételek helyén elinduló repedezettség módosító hatását is az igénybevételek alakulásában Ezeknek a programoknak a használata valóban jelentősen megkönnyítheti a vasbeton felületszerkezetek erőtani tervezésének munkáját, de olyan programot, amely egy vasbeton felületszerkezet lehetséges terheléstörténetének minden fázisában a valósággal kielégítő egyezésben álló képet adna a szerkezet viselkedéséről, a kereskedelmi forgalomban egyelőre nem lehet találni. A trajektóriális vasalás A felületszerkezetek vasalásának kialakításával kapcsolatban elsődlegesen ugyanannak az alapelvnek kell érvényesülnie, mint a vasbetonszerkezeteknél általában: a vasalást elsősorban a beton alacsony húzószilárdságának kompenzálására használjuk, ezért ott kell

vasalást elhelyezni, ahol a beton húzószilárdságát meghaladó nagyságú húzófeszültségek felléptére számítunk, és olyan irányban, amilyen irányban a húzófeszültségek működnek. Ennek az elvnek legteljesebben az ú.n trajektóriális vasalás felelne meg Ha a felület igénybevétel-komponensei alapján meghatározzuk az igénybevételi főirányokat, (héjaknál és tárcsáknál a főfeszültségi metszeterők, lemezeknél a főnyomatékok irányát,) ezek az irányok a felületen ortogonális trajektória rendszert rajzolnak ki. Az igénybevételekből számítható legnagyobb húzófeszültségek - amennyiben húzás lép fel, - minden pontban valamelyik trajektória irányában keletkeznek, ezek a vonalak tehát a leghatékonyabb vasvezetés irányait mutatják. Azt a vasalási rendszert nevezzük trajektóriális vasalásnak, amely a felület minden pontjában követi az igénybevételi főirányokat. Elvben a trajektóriális vasalási rendszer adja a

felületszerkezetek legtakarékosabb vasalását, mert csak olyan irányban helyezünk el vasalást, amilyen irányban húzás fellép, és 2 minél jobban eltér a vasalás iránya a megfelelő trajektória iránytól, annál inkább el kell térnie az alkalmazott vasalás teljes mennyiségének az erőtanilag szükséges legkisebb vasmennyiségtől. A trajektóriális vasalás alkalmazásának azonban lényeges elvi és gyakorlati korlátai vannak. Elvi korlátozást jelent az, hogy a szerkezeteket általában nem egyetlen teherelrendezés figyelembevételével méretezzük, és az eltérő teherelrendezésekhez eltérő igénybevétel-eloszlások, eltérő trajektória irányok tartozhatnak. Ebből az következik, hogy a trajektória irányokat követő vasalást csak akkor alkalmazhatjuk, ha a szerkezet terhei túlnyomóan állandó elrendezésű terhek, ill. olyan helyeken, ahol az esetleges terhekből származó igénybevételek nem módosítják számottevően a húzási

trajektória irányokat (Voltaképpen a hajlított gerendák nyomatéki vasalása is felfogható az utübbi feltétel figyelembevételével elhelyezett trajektóriális vasalásnak, mert a gerenda húzott övében a trajektóriairányok változó terhek esetén sem változnak számottevő mértékben.) Ennél az elvi korlátnál sokkal erősebb korlátozást jelent a többnyire görbevonalú trajektóriák irányát követő vasak kialakításának, összeszerelésének komplikáltsága és hoszszadalmassága. Azokban a műszaki feladatokban, ahol a számítási eredmények ortogonális trajektória rendszerrel szemléltethetők, gyakran társul a trajektória-képhez az a sajátság, hogy az ábrázolt fizikai mennyiségből képezhető valamilyen függvénynek (pl. áramvonalak esetén az átáramló folyadéksebességnek) egy trajektória vonalakkal határolt keresztmetszetén vett integrálja állandó. Ezt az ún fluxus-tulajdonságot gyakran a fő-igénybevételi trajektória

rendszer trajektória vonalaira is - teljesen megalapozatlanul - érvényesnek szokták tekinteni, pl. azt feltételezve, hogy egy-egy ilyen trajektória vonalakkal határolt tartományt egy-egy trajektória irányú vasbetéthez rendelve vasbetétekben állandó nagyságú húzóerő vehető figyelembe. Ez azonban korántsem igaz, mert egyszerűen konstruálható olyan főfeszültségi trajektória rendszer is, amelyben a főfeszültség a trajektória mentén előjelet vált Ez tovább növeli a trajektóriális vasalás alkalmazásával kapcsolatos gondokat A fentiek miatt a trajektóriális vasalást ritkán szokták alkalmazni. Helyette az ún vegyes vasalási rendszerer alkalmazása terjedt el, amelynek szerkesztési elve az, hogy "alapvasalásként" a szerkezet alakjához legjobban igazodó hálós elrendezésű vasalást alkalmazunk, amelyet a legnagyobb igénybevételek helyén a fő-igénybevételi trajektóriákat többékevésbé követő vasalással egészítünk

ki. A gyakorlatban előforduló méretezési feladatok többségénél a felület egészén két egymásra merőleges irányban futó, hálós elrendezésű vasalást szoktak alkalmazni. Hálós vasalások méretezési elve Vizsgáljuk az alábbiakban azt a kérdést, hogyan állapítható meg egy tárcsa ismert feszültségállapotú helyén a szükséges vasmennyiség, ha feltesszük, hogy a vasalást adott, egymásra merőleges x és y irányú hálóban helyezzük el. Legyenek a tárcsa metszeterői az x y koordinátarendszerben Nx, Ny és Nxy metszeterők, amelyhez a síkbeli feszültségállapot ismert összefüggéseivel meghatározhatók az N1 és N2 főfeszültségi metszeterők, továbbá az 1. főiránynak az x pozitív irányával bezárt szöge, amelyet -val jelölünk. 3 Nxy Nxy Ny N2 Nx , Ny Nx N1 Ha N1 < 0, azaz mindkét főfeszültség nyomás, a feladat értelmetlen, mert nincsen szükség húzásra méretezett vasalásra. Ilyenkor a tárcsában

elhelyezendő vasalás mennyiségét a vonatkozó szerkesztési szabályokban meghatározott minimális vasszázalék és vasátmérő, ill. legnagyobb vastávolság figyelembevételével állapíthatjuk meg Tételezzük fel a továbbiakban, hogy N1 > 0, N2 < 0, azaz az egyik főfeszültségi metszeterő húzás, a másik pedig nyomás. A megfelelő Mohr-kör megrajzolásával belátható, hogy mindenképpen ez a helyzet áll elő, ha Nx és Ny előjele ellentétes, de önmagában az, hogy Nx és Ny előjele megegyezik, nem jelenti azt, hogy a főfeszültségi metszeterők is azonos előjelűek (lásd pl. a mellékelt ábrán) A vasbeton tárcsa akkor tekinthető repedésmentesnek, ha a betonban fellépő húzófeszültség sehol nem haladja meg a beton húzószilárdságát. (Pontosabban, ha a vizsgálat időpontjáig fellépő húzófeszültségek korábban sem haladták meg sehol a húzószilárdságot) Mivel a tárcsa berepedetlen állapotában a vasalás nem befolyásolja

lényegesen a betonfeszültségek nagyságát, feltehetjük, hogy az első repedések akkor és ott jelennek meg, amikor és ahol a homogénnak tekintett tárcsában N1/t értéke eléri a húzószilárdság értékét, (ahol t a tárcsa vastagságát jelöli). A repedésvonalak a fő-húzófeszültség irányára merőlegesen alakulnak ki A vasbeton alapgondolatából elindulva, a feladatunk tehát az, hogy az x és y irányban futó acélbetétek olyan elrendezését - átmérőjét és vastávolságait - adjuk meg, amely lehetővé teszi, hogy a kialakult repedések ellenére az anyagi folytonosságot a repedést keresztező acélbetétek segítségével fenntartsuk. A megoldást az teszi nehézzé, hogy a repedés megnyílása nyilvánvalóan meggátolható akkor is, ha a keresztező acélbetétek nem pontosan merőlegesek a repedésre, de az is nyilvánvaló, hogy a "hatékonyságuk" függ a keresztezés szögétől, mert minél erősebben eltér ez a szög a

derékszögtől, annál több keresztező acélbetét szükséges ugyanannak a gátló hatásnak az elérésére. Az előre fölvett vasalásirányok miatt foglalkoznunk kell tehát a nem-merőleges vasalás hatékonyságának a kérdésével Egymástól eltérő szilárdságtani és képlékenységtani megfontolásokon alapuló kiindulási feltételezésekkel végzett levezetésekkel többé-kevésbé eltérő eredményeket kapunk a szükséges vasmennyiség növekedésének és a leghatékonyabb vasalásiránytól való eltérés szögének kapcsolatára, de ezeket az eltérések abba a nagyságrendbe esnek, amit már megszokhattuk az ideális és a valóságos szerkezeti anyag, szerkezetalak stb. összevetésénél 4  a b Legyen tehát a vasalásunk olyan, amelynek iránya - szerelési okok, ill. egyéb megfontolások miatt - eltér a leghatékonyabb vasalásiránytól, amely az ábrán piros vonallal ábrázolt repedésre merőleges (a ábra) Jelölje  szög a

leghatékonyabb iránytól való eltérés szögét (b ábra) Annak, hogy a repedés megnyílásának a gátlása szempontjából a leghatékonyabb a repedésre merőleges vasalásirány, szemléletes geometriai magyarázatát is lehet adni. Az egymástól b távolságban futó betétek akkor keresztezik a repedést a legsűrűbben, ha az éppen merőlegesen fut a betétek irányára. Ekkor a vasalásban figyelembe vehető legnagyobb fajlagos húzóerő H eff = H 0 = A s f ys /b. A merőlegestől  szöggel eltérő irányban futó vasalás esetén viszont a keresztező betétek távolsága a repedés vonalában mérve b/cos-ra nő, azaz a repedés kinyílását gátló vasalásnak a repedés hossza szerinti fajlagos mennyisége cos-szorosára csökken, emiatt csökken a repedést áthidaló vasalás által képviselt hatékony H eff húzóerő is. Ha a hatékony húzóerőt a repedésen átfutó acélbetétek keresztmetszeti területének a repedéshossz szerint fajlagosított

értékével arányosnak tekintjük, H eff -re a következő képletet kapjuk: H eff = H 0 = A s f ys cos/b A képlet szerint a  ferdeséggel futó vasalás hatékonysági tényezője ψ = cos β Ahhoz azonban, hogy a feszültségi főiránytól eltérő irányban futtatott acélbetétek hatékonyságát ilyen feltételezés szerint vegyük figyelembe, hozzátartozik az a kiegészítő feltételezés, hogy ezek az acélbetétek beállnak, azaz a keresztező repedés környezetében úgy hajlanak meg, hogy a repedés vonalában arra merőlegesen futnak.  5 Ezt a feltételezést vékony acélbetétek és nagy repedéstágasság esetén a kísérletek többé-kevésbé alá is támasztják, mert a repedés megnyílásakor az elváló felületek általában a repedés irányára merőlegesen távolodnak el egymástól, de a gyakorlatban alkalmazott átmérők és elfogadható repedéstágasság esetén ez a beállás nemigen alakul ki. Ez azt jelenti, hogy a húzási

főiránnyal  szöget bezáró A s keresztmetszeti területű acélbetét "hatékony keresztmetszete" kisebb mint A s , a keresztező vasalás  hatékonysági tényezője kisebb mint cos. A hatékonysági tényezőnek a beállás elmaradása miatti csökkenését közelítőleg úgy vehetjük figyelembe, hogy az acélkeresztmetszetben az egytengelyű húzófeszültség mellett nyírófeszültséget is feltételezünk, és alkalmazzuk a betét megfolyására az acélanyagnál szokásos Huber-Mises-Hencky folyási feltételt. N  Q H Jelölje a húzási főiránnyal  szöget bezáró acélbetétekben a főhúzás irányában figyelembe vehető - egyelőre ismeretlen nagyságú - húzóerőt az imént bevezetett jelölésnek megfelelően (b/cos)H eff . Egyszerű vektorfelbontással az adódik, hogy ekkor az acélbetétben működő N "valódi" normálerő és Q nyíróerő nagysága N = (b/cos)H eff cos, Q = (b/cos)H eff sin. A

keresztmetszetben egyenletes normál- és nyírófeszültségeloszlást feltételezve  = (b/cos)H eff cos/ A s ,  = (b/cos)H eff sin/ A s . Ezeket a feszültségeket (f sy - nal az acél folyáshatárának a számítási értékét jelölve,) az egytengelyű húzás és nyírás esetére vonatkozó (2 + 32 )1/2 = f sy Huber-Mises-Hencky folyási feltételbe behelyettesítve, rendezés után azt kapjuk, hogy H eff = A s f sy cos / b(cos2 + 3 sin2)1/2. azaz vasalás figyelembe vehető fajlagos húzóereje a főirányban H eff = H 0 [ cos/ (cos2 + 3 sin2)1/2], A leghatékonyabb iránytól való eltérés figyelembevételére szolgáló  hatékonysági tényezőt cos helyett 6  = cos / (cos2 + 3 sin2)1/2 értékűre kell felvenni. Egyszerű vizsgálat bizonyítja, hogy a fenti feltételezés-rendszer szerint jó közelítéssel izotróp húzási teherbírást tulajdoníthatunk a derékszögű hálós vasalásnak, ha mindkét

irányban azonos A s területű, azonos b távolságban futó acélbetétekből áll. Ekkor az egyik vasalási iránnyal párhuzamos repedés esetén csak az erre merőleges vasalás húzóereje érvényesül, - a hatékonysági tényezők 1 és 0 vagy 0 és 1, - a vasalási irányokkal 450-ot bezáró repedés esetén pedig mindkét irányú vasalásra 0.5 hatékonysági tényező, vagyis összegükre pontosan 1 adódik a fenti képletekből. A közbenső irányokban a két hatékonysági tényező összege a biztonság javára tér el 1-től, de az eltérés maximuma alig több mint 6% A húzási főiránytól való eltérés hatásának egyszerűbb figyelembevételére gyakran használják a  = cos/ (cos2 + 3 sin2)1/2 hatékonysági tényező helyett a  = cos2 tényezőt. Ennek "elméleti" háttere csupán annyi, hogy 0, 45o és 90o esetén ugyanazt az értéket adja, mint az előző kifejezés, viszont sokkal egyszerűbb vele számolni A ψ = cos2

hatékonysági tényező alkalmazásával az azonos fajlagos vaskeresztmetszetű merőleges háló húzási teherbírása pontosan izotrópra adódik. Van egy további tulajdonság is, ami vonzóvá teszi a  = cos2 a hatékonysági tényező alkalmazását. Ha kéttengelyű húzás esetén a húzási főirányokban futó vasalást a szilárdság teljes kihasználtságra méretezzük, a teljes vasalás hatékony húzóerejére ennek a hatékonysági tényezővel minden repedésirány esetén pontosan akkora érték adódik, amekkora normálerőt a síkbeli feszültségállapot összefüggései alapján a két főirányban működő húzóerő alapján számíthatunk. Azaz a vasalásunk formálisan minden repedésirányban teljes kihasználtságot mutat Némileg eltérő struktúrájú képlet vezethető le -re, ha figyelembe vesszük, hogy a nyíróerő az acélbetétet a repedés két oldalán ellenkező irányban hozzányomja a betonhoz, és amikor az így kialakuló nyomás

eléri a beton nyomószilárdságát, a betonban lokális morzsolódás, az acélbetétben hajlítás lép fel, (aminek végső következménye az acélbetét beállása). A betonban fekvő acélbetét nyomatékra történő megfolyását okozó nyíróerőt a gyengébb szilárdságú anyagba ágyazott nagyobb szilárdságú d átmérőjű csap teherbírására adódó Q 0 =d2 (f sy f c / 3)1/2 értékkel felvéve olyan hatékonysági tényezőt vezethetünk le, amely a beton szilárdságának a hatását is tükrözi. Kivételes esetekben - leggyakrabban ferde lemezhidak vasalásánál - a szerelési kényszerek miatt olyan hálós vasalást szoktak alkalmazni, amelynek vasalási irányai a derékszögtől különböznek. Az elmondottak alapján belátható, hogy néhány fokos eltérés a derékszögtől még nem okoz a derékszögű hálós vasaláshoz képest jelentős módosulást a különböző alaprajzi irányokban fölvett metszetekben figyelembe vehető húzási teherbírás

eltéréseiben, de erősebb ferdeség esetén ezek az eltérések nagyságrendivé válhatnak, ezért az erős ferdeségű hálós vasalás alkalmazását célszerű elkerülni. A ferde háló alkalmazásának az a hátránya, hogy a vasak kielégítő hatékonyságúak a metszés hegyesebb szögtartományába eső normálisok irányába eső húzások felvételében, viszont sokkal kisebb a hatékonyságuk a tompaszög szögfelezőirányához közeli irányokba eső húzás felvételében. 7 Vasbeton faltartók Faltartóknak (deep beams, wandartige Träger) azokat a legtöbbször téglalap alakú, sík középfelületű, síkjukban terhelt vasbeton szerkezeteket nevezzük, amelyek a terheiket a gerendákhoz hasonlóan továbbítják a támaszaikra, ám a tartómagasság és a támaszköz aránya nagyobb annál, hogy a terhekből keletkező feszültségek eloszlását, ill. az alakváltozásokat a gerendák elméletében használt feltételezések alkalmazásával kielégítő

pontossággal meghatározhassuk A hasonló kialakítású és terhelésű, ám a téglalap alaktól különböző formájú szerkezetekre inkább a vasbeton tárcsa elnevezést szokták alkalmazni A gyakorlatban egyaránt gyakran alkalmaznak kéttámaszú és folytatólagos többtámaszú faltartókat. Ezek megtámasztása vagy közvetlen, vagy közvetett megtámasztás Közvetlen megtámasztáson azt értjük, hogy a faltartó az alsó peremének egy-egy szakaszán merev alátámasztó szerkezetre fekszik fel, közvetett megtámasztáson pedig azt, hogy a faltartó egyegy függőleges keresztmetszete mentén csatlakozik a megtámasztó szerkezethez. Ez a kétféle megtámasztás a gerendáknál is létezik, de gerendáknál az alátámasztás-típusok közti eltérés hatása más, mint a faltartóknál. A faltartók általában nagy terhelésű szerkezetek. Terheik szerint meg szoktunk különböztetni az éleik mentén (legtöbbször egyenletesen) megoszló teherrel, ill.

koncentrált teherrel terhelt faltartókat, ill a felső élükön vagy az alsó élükön terhelt faltartókat Speciális esetben előfordulhatnak ú.n belső terhelésű faltartók is Ezt a megkülönböztetést az indokolja, hogy sokkal erősebb eltérések a vannak különböző terhelésű faltartók igénybevétel-eloszlásai közt, mint amilyen eltérések az analóg terhelésű gerendák esetében megmutatkoznak. Ezek közül a legjellemzőbb a faltartó hossztengelyére merőleges irányú feszültségek, amelyek részletes vizsgálata gerendák esetén általában mellőzhető. Voltaképpen nincsen éles határ a téglalap keresztmetszetű hajlított vasbeton gerendák és a vasbeton faltartók között: ha a gerenda magasságát - a támaszköz (vagy támaszközök) változatlanul hagyásával fokozatosan növeljük, erőjátéka egyre inkább eltér az elemi hajlításelméletben feltételezett erőjátéktól, a szerkezet egyre inkább faltartónak minősül. Vizsgáljuk

meg, hogy miért válik ennek során elfogadhatatlanná az a feltételezés, hogy a szerkezet úgy viseli a terhét, mint ahogy azt az elemi hajlításelmélet leírja. Vegyük szemügyre egy a felső peremén egyenletesen megoszló teherrel terhelt, repedetlen kéttámaszú faltartó középső keresztmetszetében keletkező normálfeszültségek diagramját. (Ilyen diagramokat egyszerűen készíthetünk véges elemes programok alkalmazásával) 8 A diagram két jellemzőjét elemi egyensúlyi megfontolások alapján meg tudjuk mondani: - a diagram húzófeszültségeket ábrázoló részének görbe alatti területe azonos nagyságú a nyomófeszültségeket ábrázoló rész görbe alatti területével; - a húzó és nyomófeszültségek eredőjének z távolságát a húzó- vagy a nyomófeszültségek eredőjével megszorozva a nyomatékábra maximális nyomatéka adódik. A Bernoulli-Navier hipotézis szerinti feszültségeloszlás esetén ez a z távolság a

tartómagasság kétharmada, esetünkben azonban lényegesen kevesebb annál. A húzófeszültségek eredőjeként adó H húzóerő ezért nagyobb a Bernoulli-Navier hipotézis alapján számítható húzóerőnél Ha a szükséges nyomatéki vasalást ezzel a húzóerővel arányosnak tekintjük, ebből az következik, hogy a faltartóban elhelyezendő hosszvasalás teljes mennyisége nagyobb annál, amit a gerendák nyomatéki méretezésére alkalmas módszer alapján számíthatunk. A húzott zóna magassága az elemi hajlításelmélet szerint a tartómagasság fele, esetünkben azonban kisebb ennél, vagyis a megnövekedett húzóerő kisebb felületen oszlik meg. Figyelembe véve még azt is, hogy a feszültségdiagramnak a húzófeszültségek zónájába eső szakasza konkáv görbe alatti területet határol, nyilvánvaló, hogy a maximális húzófeszültség értéke lényegesen nagyobb a hipotézis alapján számítható szélsőszál feszültségnél. Összegezve azt

állapíthatjuk meg, hogy az elemi hajlításelmélet feltételezései alapján számított húzóerő a biztonság kárára tér el a ténylegestől, még inkább a biztonság kárára tér el az elemi hajlításelmélet alapján számított maximális húzófeszültség a ténylegestől. Ugyancsak a biztonság kárára közelíti a támaszkörnyéki keresztmetszetekben fellépő maximális nyírófeszültség értékét az elemi rúdelmélet feltételezései alapján adódó parabolamegoszlás maximuma, és egyre inkább a hajlításból származó feszültségek nagyságrendjébe kerülnek a hagyományos gerendavizsgálatokban csekély szerepük miatt figyelmen kívül hagyott keresztirányú normálfeszültségek is. Addig, amíg ezek az eltérések csak néhány százalékos módosulást jelentenek, az elhanyagolásuk nem növeli számottevően a tönkremenetel kockázatát. Ezzel magyarázható, hogy a szokásos magasság/támaszköz arányok esetén komolyabb fenntartások

nélkül alkalmazza a gyakorlat az elemi hajlításelmélet összefüggéseit a gerendák és keretek igénybevételeinek és feszültségeinek számítására, de ugyanezzel magyarázható az is, hogy a tervezési gyakorlatban a magasság/támaszköz arányokkal csak kivételes esetekben térnek el a szokásos méretarányoktól. A vasbeton faltartók feszültségvizsgálatának gyakorlati módszerei A faltartók feszültségeinek és alakváltozásainak valóban részletes vizsgálatára a tárcsák elméletén alapuló eljárásokat lehet alkalmazni. A gyakorlati tervezés során általában megelégszünk jelentős egyszerűsítéseket és elhanyagolásokat tartalmazó közelítő módszerekkel is. Ennek alapvetően az az oka, hogy a vasbeton faltartók viselkedése való- 9 ságban lényegesen eltér az idealizált anyagú tárcsákétól, sőt, az eltérés függ a tárcsára ható teher nagyságától, ill. a tárcsára a vizsgálat időpontjáig felkerült legnagyobb teher

nagyságától, ennek a figyelembevétele azonban a gyakorlatban nehezen alkalmazható hosszadalmas számítást igényelne. Az egyszerűsítés elméleti alapját a de Saint-Venant elv adja, amelynek alkalmazhatóságát a tárcsák elméletén alapuló részletes vizsgálattal, vagy akár a szerkezeteken végzett feszültség- és alakváltozás-mérésekkel is igazolni lehet. A de Saint-Venant-elv azt mondja ki, hogy egy homogén, izotróp anyagú prizmatikus test homloklapját terhelő egyensúlyi erőrendszer olyan feszültségeket kelt a testben, amelyek a homloklaptól a keresztmetszet legnagyobb méretét meghaladó távolságban gyakorlatilag elhanyagolhatók. Ezt az elvet első lépésben azzal egészíthetjük ki, hogy amennyiben a homloklapot terhelő erőrendszer nem egyensúlyi erőrendszer, az általa keltett feszültségek eloszlását az említett távolságon túl az elemi hajlításelméletben feltételezett, legegyszerűbb eloszlással azonosnak tekinthetjük. A de

Saint-Venant elv következetes alkalmazásával be lehet látni, hogy állandó, téglalap keresztmetszetű, homogén és izotrop rugalmas anyagú gerendáknak az elemi hajlításelmélet alapján számított feszültségei és alakváltozásai csak a megtámasztások helyétől és a koncentrált terhek támadáspontjától mintegy tartómagasságnyi távolságon belül térnek olyan mértékben el a valóságos feszültségektől és alakváltozásoktól, hogy ezt a gyakorlati méretezés során figyelembe kelljen venni. Ennek az elvnek a alkalmazása érvényesül a vasbeton rúdszerkezetek gyakorlati méretezésének abban az alapelvében, amely szerint e szerkezetek elemeit ú.n "B" típusú és "D" (a német nyelvű szakirodalomban "S") típusú szakaszok összességének tekintjük (angolul: "B": beam= gerenda, "D" disc=tárcsa, németül "B": Balken = gerenda, "S": Scheibe = tárcsa). A "B" típusú

szakaszokon belül elfogadjuk a méretezés alapjául a gerendák elméletével adódó feszültségeket és alakváltozásokat, míg a "D" (vagy "S") típusú szakaszokon ezektől eltérő feszültség- és alakváltozás-eloszlás alapján méretezünk. Jellemző esete a "D" típusú szakaszok méretezésének a lágyvasalású, ill. a feszített gerendák tartóvégvizsgálata, amelynek során az elemi hajlításelméletben feltételezettektől nyilvánvalóan eltérő feszültségeloszlások figyelembevételével ellenőrizzük a beton teherbírását, ill. határozzuk meg a szükséges vasmennyiségeket. Az állandó keresztmetszetű gerendákat, ill. faltartókat prizmatikus testeknek tekintve, az elvhez fűzött kiegészítés alapján a faltartók jelentős részénél közvetlenül ki lehet jelölni olyan szakaszokat, (az ábrákon a fehéren maradó szakaszokat,) ahol az elemi gerendaelmélet kellően pontos feszültségeloszlásokat szolgáltat.

(A fölső, gerenda-szerű tárcsánál ez szinte az egész tartóhossz, az alsónál viszont szinte eltűnik, ami jól mutatja a tartómagasság meghatározó szerepét a viselkedésben.) A gerendaelmélet felől indulva azokat a gerendákat nevezzük faltartóknak, amelyek túlnyomórészt vagy teljes egészükben "D" típusú szakaszokból tevődnek össze, a tárcsaelmélet felől indulva azokat a tárcsákat nevezhetjük gerendáknak, amelyek túlnyomórészt "B" típusú szakaszokból tevődnek össze. 10 A "D" típusú szakaszok feszültségeloszlásának a vizsgálatát nagyon megkönnyítené, ha találnánk olyan tárcsamegoldásokat, amelyek nem a terhektől és a megtámasztásoktól egyaránt függő "teljes" feszültségeloszlást, hanem csak a "helyi" jellegzetességeket mutatná meg. A de Saint-Venant elv alapján nyilvánvaló ugyanis, hogy pl a fenti ábra jobb oldali "D" tartományában elhanyagolható

a megfogás körülményeinek módosító hatása, a bal oldali "D" tartományban viszont érdektelen, hogy a jobb szélen működő koncentrált teher a valóságban milyen szélességű peremszakaszon oszlik meg. Az ilyen "helyi" jellegzetességeket mutató tárcsamegoldások előállítására a szuperpozició elvén van is lehetőség. Egyszerű megfontolásokkal vissza lehet következtetni olyan speciális tárcsaterhekre, amelyekhez pontos tárcsamegoldásként adódnak az elemi hajlításelmélet által szolgáltatott megoldások. Ha pl a koncentrált peremterhek és reakciók helyett azokkal azonos eredőjű, a tárcsa magassága mentén parabola-megoszlást mutató vonalterheket veszünk fel, pontos tárcsamegoldásként a rúdmegoldásnál feltételezett lineáris normálfeszültség- és parabolikus csúsztatófeszültség-megoszlás adódik. A "helyi" jellegzetességeket tükröző tárcsamegoldások ezért olyan "különbségi"

feszültségeloszlások, amelyeket egymással ellentett eredőjű koncentrált peremerő, ill. parabola megoszlású vonalteher kelt a tárcsában (lásd az ábrát). Mivel az ilyen teherrendszer egyensúlyi erőrendszert alkot, a "különbségi" feszültségeloszlások valóban "helyi" eltéréseket mutatnak, mert a tárcsamagasságnál távolabbi pontokban a de Saint-Venant elv szerint már elhanyagolhatóak. A szakirodalomban számos helyen megtalálható "különbségi típusmegoldások" alkalmazásával a gyakorlatban előforduló "D" tartományok legtöbbjének "helyi" jellegzetességét kielégítő részletességgel meg lehet vizsgálni ezen az elven a "teljes" tárcsamegoldás előállítása nélkül is. 11 A faltartók erőtani méretezése A faltartók gyakorlati méretezésére két alapelveiben különböző módszer terjedt el a gyakorlatban: a rugalmas tárcsák megoldásain alapuló, ill. a

nagyléptékű (általában 1:1 léptékű) vasbeton modellkísérletek eredményein alapuló módszer. A metszeterő-diagramok alkalmazása A rugalmas tárcsák megoldásán alapuló méretezési módszer alapgondolata az, hogy a gyakorlatban nem kell a vizsgált faltartó minden pontjában pontosan ismernünk a metszeterők nagyságát, többnyire elegendő, hogy a legnagyobb igénybevételek helyével, nagyságával és az igénybevételek változását jellegében jól mutató diagramokkal tisztában legyünk. Néhány egyszerű megfontolás és célszerűen összeállított méretezési táblázat segítségével ez a gyakorlati feladatok többségében elérhető. Az elemi hajlításelmélet alkalmazásával meghatározott feszültségeloszlás viszonylag kevés információ alapján módosítható úgy, hogy jó közelítéssel az a feszültségeloszlás álljon elő amelyet a rugalmas tárcsamegoldás szolgáltatna. Ezeket az információkat megfelelő számú tárcsamegoldás

kiszámításával össze lehet gyűjteni, amit már jóval az elektronikus számítógépek megjelenése előtt elvégezték. A számítások azt mutatták, hogy a tárcsamegoldások legerősebben a hajlító nyomatékokhoz tartozó feszültségek esetén térnek el az elemi rúdelmélet által szolgáltatott feszültségeloszlástól, mégpedig olymódon, hogy mind a maximális feszültségek, mind pedig az alkalmazandó vasalás keresztmetszeti mennyiségét meghatározó húzóerő nagyságát illetően a biztonság kárára szolgáló közelítést jelent a Bernoulli-Navier hipotézis szerinti egyenes vonalú feszültségdiagram alkalmazása. Ugyancsak a biztonság kárára szolgáló közelítés, ha a nyíróerőkhöz tartozó nyírófeszültségek eloszlását a Zsuravszkij-féle képletnek megfelelő másodfokú parabola-diagram szerint tételezzük fel, különösen akkor, ha a faltartót nem a függőleges pereméhez csatlakozó szerkezeti elemmel, (oszloppal, keresztező

tárcsával,) hanem az alsó pereméhez csatlakozó szerkezettel támasztjuk meg. A feszültségeloszlások alakulását a legjelentősebben a magasság/támaszköz arány, az alátámasztás-szélesség/támaszköz viszonyszám és az befolyásolja, hogy melyik peremén kapja meg a terhét a faltartó. A gerendaelmélet szerinti eloszlástól való eltérések figyelembevételére szolgáló számadatokat különböző részletességű méretezési táblázatokban dolgozták fel A faltartó tartótengelyére merőleges metszetekben fellépő metszeterők vetületi és nyomatéki eredői egy olyan gerenda nyíróerőinek és nyomatékainak tekinthetők, - nevezzük ezt a gerendát helyettesítő gerendának, - amelynek a megtámasztási rendszere azonos, terhei pedig statikailag egyenértékűek a faltartó megtámasztási rendszerével, ill. terheivel Kézenfekvő az a feltételezés, hogy az említett metszeterők maximumai is a helyettesítő gerenda nyíróerő- és

nyomatékábrájának maximumainál lépnek fel, sőt, több-kevesebb eltéréssel a faltartó keresztmetszet különböző magasságaiban működő normál- és csúsztatóerők hosszirányú változása is a megfelelő igénybevételi ábra lefutását követi. Ha tehát valamilyen méretezési táblázat elegendő adatot tartalmaz ahhoz, hogy a keresztmetszeti normálmetszeterők ábráját a nyomatéki maximumok helyén, a fajlagos csúsztatóerők ábráját a nyíróerő-maximumok helyén megszerkesszük, ezek és az igénybevételi ábrák alapján a faltartó tetszőleges helyén elfogadható becslést tudunk adni ennek a két metszeterőnek az értékére. 12 A szakirodalomban fellelhető táblázatok a különböző magasság/támaszköz, ill. alátámasztási szélesség/támaszköz arányokhoz, általában a következő adatokat adják meg, egyenletesen megoszló teher, ill. támaszközépi koncentrált teher esetére: kéttámaszú faltartó középső

keresztmetszetében, ill. többtámaszú faltartónak a helyettesítő gerenda maximális nyomatékaihoz tartozó keresztmetszeteiben - a keresztmetszeti húzó- és nyomóerő eredőjének a magasságát, - a maximális feszültségek helyét és nagyságát; az alátámasztott szakasz végén fekvő keresztmetszetben - a maximális csúsztatófeszültség helyét és nagyságát. Ezek az adatok - a gerendaelmélet összefüggéseinek figyelembevételével - elegendőek ahhoz, hogy a keresztmetszetekben fellépő metszeterők közelítő diagramjait elkészítsük. A faltartó tengelyével párhuzamos metszetekben működő normálfeszültségek maximumai az alátámasztások, ill. a terhek helyén lépnek fel, ezek lefutására a legegyszerűbb feltételezéseken alapuló diagramokat szokták használni A táblázatokat általában úgy használják, hogy első lépésben a gerendák elméletének módszereivel meghatározzák a faltartó nyomatéki és nyíróerő-ábráját, mintha

közönséges gerendát vizsgálnánk, majd a nyomatékokhoz és a nyíróerőkhöz tartozó feszültségeloszlást a táblázati adatok segítségével veszik fel. Ezt követően - táblázati adatok segítségével vagy más, egyszerűen végrehajtható módszerrel fel kell venni a keresztirányú feszültségek diagramjait is Az így kapott közelítő feszültségeloszlás szolgál a betonnyomások ellenőrzésére és a keresztmetszeti vasalások megállapítására A betonnyomásokat a nyomó főfeszültségek és a határfeszültség összevetésével ellenőrzik. A faltartóban fellépő húzások felvételére a legkézenfekvőbbnek az látszik, ha vasvezetéssel követjük a húzás főfeszültségek irányát, és a teljes húzást a vasalással vesszük fel. Az ilyen vasalást trajektóriális vasalásnak nevezzük A trajektóriális vasalás alkalmazásának elvi és gyakorlati akadályai vannak. Elvi akadályt jelent, hogy a faltartó terhei között változó

elrendezésű esetleges terhek is lehetnek, amelyek változóvá teszik a főfeszültségi irányokat. Ez azt jelenti, hogy ideális trajektóriális vasalást csak olyan tárcsán képzelhetünk el, amelyet változatlan elrendezésű teher terhel, de csak akkor, ha feltesszük, hogy a teherintenzitás változása során a főfeszültségi irányok változatlanok maradnak. Mivel azonban a vasbeton viselkedésében már viszonylag alacsony kihasználtságnál is erős anyagi nemlinearitás mutatkozik meg a repedések megjelenése miatt, ez a feltételezés nem állja meg a helyét. Sokkal súlyosabban esik a latba az elvi akadályoknál, hogy a trajektóriairányokban futó vasalás szerelése nagyon bonyolult és hosszadalmas, gyakorlatilag kivihetetlen feladat. Így még a "trajektóriális" vasalásnak nevezett vasalási rendszer is csak nagy vonalakban és csak a legnagyobb húzások helyén követi a húzás főfeszültségek irányát, ill. a húzások felvételéhez

szükséges vasmennyiség változását Kivitelezési szempontból a legegyszerűbb, ezért a leggyakoribb a hálós vasalás alkalmazása, a leghatékonyabb pedig az ú.n vegyes vasalásé Ez olyan hálós vasalás, amelyet a legnagyobb húzások helyén a főfeszültségi trajektória irányába eső vasalás egészít ki. A helyettesítő gerenda alkalmazása A rugalmas tárcsamegoldásokon alapuló méretezési eljárásaival szemben - mint már korábban említettük, - számos kifogás támasztható. A modellalkotásban rejlő bizony- 13 talanság azonban a gerenda-megoldások alkalmazását is problematikussá teheti statikailag határozatlan megtámasztás, pl. többtámaszú folytatólagos faltartók esetén A statikailag határozatlan tartók határozatlanságának feloldására a gyakorlatban alkalmazott módszerek a törzstartó átvágási helyeire vonatkozó alakváltozás-kompatibilitási feltételekben csak a nyomatékokhoz tartozó hajlítási alakváltozásokat

veszik figyelembe, magas gerincű gerendáknál viszont (a faltartók ilyennek foghatók fel) legalább ilyen befolyással van az igénybevétel-eloszlásra a nyírási alakváltozás és a keresztirányú összenyomódás is. Ezek figyelmen kívül hagyása miatt már a kiindulásként felvett gerenda-igénybevételek is tetemes hibát tartalmazhatnak. Ezt a hibát csak tetézi az, hogy a repedések helyén módosul a tárcsa merevsége, így a feltételezett homogenitás és az izotrópia illuzórikussá válik. A vasbeton faltartókon végzett nagyléptékű modellkísérletek eredményei azt mutatták meg, hogy a feszültségeloszlásoknak a rugalmasságtani megoldásoktól való eltávolodása már a használati terhek szintjén elég jelentős ahhoz, hogy a különbségeket már a szerkezettervezés alapelvében figyelembe vegyük. Mégpedig azzal, hogy a vasalás olyan kialakítását tűzzük ki feladatul, amely - természetesen a megvalósíthatóság korlátjain belül - a

leghatékonyabban késlelteti a tárcsában óhatatlanul kialakuló repedések megnyílását. Ez a követelmény általában összhangban van a teherbírási követelménnyel is, de jobban szolgálja a használhatóság általános követelményeit, ha a következő szempontok szerint kialakított vasalás akár el is tér a teherbírás szempontjából optimális elrendezéstől - A vasbeton tárcsákban - a tárcsaelmélet alapfeltételezéseivel ellentétben - jelentős feszültségkülönbségek alakulhatnak ki a vastagság mentén. A bedolgozás és a szilárdulás tipikus körülményeinek analízise azt mutatja, hogy ha ilyen feszültségkülönbség alakul ki, a tényleges feszültségek a tárcsa határfelületének közelében a húzások, a belsejében a nyomások irányában térnek el az elméleti értékektől. Az ilyen feszültségkülönbségek kellemetlen hatásainak elkerülése érdekében célszerű kétoldali hálót alkalmazni minden olyan tárcsában, amelynek a

vastagsága egynél több vasháló elhelyezését lehetővé teszi. A tárcsa peremein peremlezáró vasalással kell gondoskodni a kétoldali háló együttdolgozásáról - Ahhoz, hogy a kétoldali háló kellő hatékonysággal gátolja a húzófeszültségekből származó repedések megjelenését, ill. megnyílását, olyan hálót célszerű alkalmazni, amelyben a vasbetétek távolsága nem haladja lényegesen meg a tárcsa vastagságát. Gyakorlatilag alkalmatlan a repedezettség alakulásának kedvező befolyásolására az a háló, amelyben az acélbetétek távolsága meghaladja a tárcsavastagság kétszeresét. A faltartók méretezett vasalásai a következők: a rúdszerű hajlításhoz tartozó hosszvasalás, a rúdszerű nyíráshoz tartozó hálós vasalás, az ún. felfüggesztő vasalás és az ún. hasító tárcsaerők felvételére szolgáló vasalás A hosszvasalás és a nyírási vasalás szükséges mennyiségének a meghatározására alkalmazzák a

szakasz címében szereplő helyettesítő gerendát. A helyettesítő gerenda a faltartóval azonos vastagságú, megtámasztású és terhelésű gerenda, amelynek h magasságát közvetlen alátámasztású, az alsó élükön terhelt kéttámaszú faltartóknál a következő képlettel vehetjük fel: h = 0.315 ( L + H ), ha H < L, ill. h = 0.630 L, ha H > L , alsó élükön terhelt többtámaszú faltartóknál h a következő képlet adja: h = 0.220 ( L + 15H ), ha H < L, ill h = 0.550 L, ha H > L , ahol L a faltartó támaszköze, H pedig a teljes magassága. 14 A hosszvasalást úgy kell meghatározni, mintha egy h magasságú közönséges vasbeton gerendát méreteznénk, a vasalás elrendezésére vonatkozóan viszont a következő előírások tekintendők irányadónak. - a pozitív nyomatéki vasalást a H magasság alsó ötödében egyenletesen elosztva az egész támaszközön végig kell vezetni, és a támasz tengelyvonalán túl le kell

horgonyozni. A lehorgonyzásnál kerülni kell a függőleges kampózást, ehelyett olyan vízszintes hajlítás alkalmazandó, hogy a hosszvas körbefogja a támasz fölötti nyomott betonzónát; - a negatív nyomatéki vasalás 0.5 (L/H - 1) hányadát a negatív nyomatéki tartományban a a H magasság felső ötödében egyenletesen elosztva kell elhelyezni (és azon túl lehorgonyozni,) a maradék hányadot a magasság közbenső háromötödében egyenletesen elosztva a csatlakozó támaszok teljes hosszán végig kell vezetni; - a fentiekben - és a továbbiakban is H helyett mindenütt L értendő, ha H > L . Az alkalmazott hosszvasalásba nem szabad beszámítani a szerkesztési szabály szerint lehelyezendő hálóvasalást. A faltartó gerendaszerű nyírásvizsgálata ugyancsak a helyettesítő gerendán végezhető el: a maximális nyíróerőt húzóerőként felvenni képes vasmennyiséget vízszintesen is, függőlegesen is el kell helyezni a támasz melletti 0.3L

szélességű 05H magasságú háló formájában. Ennek a hálónak a vasmennyiségébe sem szabad szabad beszámítani a szerkesztési szabály szerint lehelyezendő hálóvasalást Ha a faltartó a felső éle mentén terhelt, a vizsgálat menete ugyanez, de a tényleges teherelrendezés helyett elegendő a teherrel azonos eredőjű egyenletesen megoszló terhet figyelembe venni. Ha a faltartó közvetett alátámasztású, a hosszvasak számításának és elrendezésének eljárása a korábbiakkal egyező, a nyírási vasalást alkotó hálót viszont a faltartónak attól az élétől kell indítani, amelyen a teher működik. Ha a faltartónak mindkét éle terhelt, a nyírási vasalást adó hálót az élterhek arányában kettébontva kell az alsó, ill. a felső éltől indítva elhelyezni. A felfüggesztő vasalást a faltartó felületén elképzelt leszakadási vonal alapján kell felvenni. Az alsó élen terhelt faltartók valószínű leszakadási vonalait 45-60o-os

vonalak alkotják. A felfüggesztő vasalást általában a legcélszerűbb függőleges vasakkal kialakítani, a vasakat a feltételezett leszakadási vonalakon túli zónában le kell horgonyozni A hasító tárcsatóerők a koncentrált támaszerők környezetében, a támaszfelület szélességének megfelelő magasság fölött jelentkezhetnek, nagyságuk általában a koncentrált erők harmada és kétharmada közötti érték. Az ilyen nagyságú erő felvételére alkalmas vasalást a faltartó közbenső háromötödében kell elhelyezni, de ebbe a vasalásba be lehet számítani az ide eső nyírási háló vízszintes vasainak a területét is. A faltartók és tárcsák tervezésekor mindig szem előtt kell tartani, hogy ezek a szerkezetek a saját síkjukban alakváltozásokat keltő hatásokkal szemben nagyon merevek. Különösen fontos ennek a figyelembevétele olyankor, amikor a faltartó megtámasztása statikailag határozatlan. Egy megfelelő vastagságú

többtámaszú faltartó valamely pontján a teljes elmozdulás nagyobb része származhat a faltartó támaszainak a megsüllyedéséből, mint a faltartó rugalmas alakváltozásaiból. Teljesen irreális támaszerő-arányok adódhatnak ezért pl olyan számításból, amely a faltartót folyatólagos többtámaszú gerendaként modellezi, és a támaszerőket a folytatólagos többtámaszú gerendák vizsgálatára kidolgozott módszer (pl. az ún 15 Clapeyron-egyenletek) gépies alkalmazásával vagy ilyen elven készült méretezési táblázat adatainak felhasználásával határozza meg. Ezt a nehézséget általában úgy hidalják át, hogy a statikai határozatlanság feloldásárat több eltérő feltételezésen alapuló számítást is végeznek. Ezek egyike pl az a feltételezés, (amely a valósághoz sokkal közelebb állhat, mint a "hagyományos érelmezésű" folytatólagos többtámaszú gerendamodell,) hogy a faltartó végtelen merev, az

alátámasztások pedig egymással azonos - vagy egymástól az alapozási körülmények különbözőségét tükröző módon eltérő - keménységű rugók. Ilyenkor a szerkezeti vasalás méretezésére, ill a feszültségek ellenőrzésére a helyileg kedvezőtlenebb értéket szolgáltató eredményeket szokták használni 16 A feszültségfüggvény polár-koordinátarendszerben A Descartes-féle koordinátarendszerben értelmezett metszeterők és a feszültségfüggvény közismert kapcsolata a következő: Nx  2F , y 2 Ny  2F , x 2 N xy   2F . xy A kapcsolat mögött az a felismerés áll, hogy a felületén terheletlen tárcsa metszeterőinek deriváltjai közt a N y N xy N x N xy   0,  0 x y y x ún. Cauchy-féle egyensúlyi differenciálegyenlet-rendszer olyan kapcsolat teljesülését írja elő, amely a Descartes-féle koordinátarendszerben értelmezett tetszőleges függvény másodrendű

parciális deriváltjai között automatikusan teljesül. Kevésbé közismert, hogy az r, polár-koordináta rendszerben értelmezett metszeterők és az ugyanebben a koordinátarendszerben felvett függvények megfelelő deriváltjai között analóg kapcsolat áll fenn. A kapcsolat egyik egyenletére közvetlenül rávezethet bennünket az a megfigyelés, hogy a feszültségfüggvény második iránymenti deriváltja a derivált irányára merőleges normálisú metszeten működő normál-metszeterő: ha az irány x, akkor N y , ha az irány y, akkor N x . Ilyen iránymenti második derivált polár-koordináta rendszerben az r szerinti második derivált, az erre merőleges irány a  irány, vagyis 2F N  2 . r A másik normál-metszeterő és a feszültségfüggvény kapcsolatának felírásához célszerű felidéznünk a Laplace-operátor polár-koordinátás alakját:  2 1  1 2   , r 2 r r r 2  2 továbbá azt, hogy

geometriai értelmezése szerint a Laplace-operátor két egymásra merőleges második iránymenti derivált összegét jelöli ki. A  irányhoz tartozó második iránymenti deriváltat ezért az operátor második és harmadik tagja képviseli, így N r és a feszültségfüggvény kapcsolata a következő: 1 F 1  2 F  Nr  . r r r 2  2 A legnehezebb helyzetben a harmadik kapcsolat felállításakor vagyunk, mert dimenzióra helyes r és  irányú "vegyes" derivált képezhető úgy is, hogy előbb r szerint deriválunk majd a  szerinti deriváltat osztjuk r-rel, de fordított sorrendben is, és az eredmény nem ugyanaz. Az egyensúlyi egyenletek alapján ellenőrizhető, hogy csak az utóbbi sorrend ad helyes, eredményt, azaz 1 2F 1 F   1 F  N r       2 .  r  r   r r r  17 Körszimmetrikus peremterhű kör- és körgyűrű-tárcsák közismert megoldásai

Körszimmetria esetén a tárcsák Airy-féle differenciálegyenletében szereplő Laplaceoperátor a következő közönséges (azaz nem parciális) differenciáloperátorrá egyszerűsödik: ~    drd    1r drd  1r drd  r drd   2 2 Az átalakítás jelentősége az, hogy ezáltal a kéttagú kifejezés egyetlen taggá vonható össze, ugyanígy egyetlen taggá lehet összevonni a  F   0 Airy-féle differenciálegyenlet körszimmetrikus megoldásaira vonatkozó ~~  F   0 közönséges negyedrendű differenciálegyenletben szereplő tagokat: 1 d  d  1 d  dF    r  0 r r dr  dr  r dr  dr    Ennek a változó együtthatójú differenciálegyenletnek az általános megoldása lépésenkénti integrálással közvetlenül felírható. Eredményül a következőt kapjuk: F  C1 r 2 ln r   C2 r 2  C 3 ln r   C 4 amelyből a

metszeterők az alábbi képletekkel számíthatók: Nr  1 dF 1  C1 1  2 ln r   2 C 2  C 3 2 r dr r d2 F 1 N   C1  3  2 ln r   2 C2  C3 2 2 r dr N r  0 A képletekből azonnal megállapítható, hogy C 4 értéke indifferens a mechanikai értelmezés szempontjából, a körszimmetrikus terhelésű kör- és körgyűrű tárcsák megoldásainak feszültségfüggvénye a C 1 , C 2 , C 3 konstansok megfelelő felvételével származtatható. Fontos gyakorlati alkalmazásai vannak az alábbi megoldásoknak. Köralakú tárcsa konstans p normális irányú peremteherrel terhelve. 18 A peremükön konstans normális irányú teherrel terhelt állandó vastagságú, egyszeresen összefüggő (azaz áttörések nélküli) tárcsák az alakjuktól függetlenül hidrosztatikus feszültségállapotban vannak. Egyszerűen ellenőrizhető a feszültségfüggvény és a metszeterők kapcsolata alapján, hogy az N r  N  p

metszeterő-rendszerhez tartozó feszültségfüggvény: F pr2 2 azaz hidrosztatikus feszültségállapotot leíró feszültségfüggvényt C 1 = C 3 = 0 felvételével szolgáltat az általános megoldás. A metszeterők alapján  r    p 1    Et A sugárirányú elmozdulást u-val jelölve u p a 1    r , Et a más elmozdulás-komponens nem alakul ki. (Figyelemre méltó, hogy az origót a körtárcsa középpontjából a középfelület tetszőleges pontjába áthelyezve az elmozdulást leíró függvény alakja változatlan marad. Ez a sajátság a homogén alakváltozás-állapot jellemzője) Körgyűrű-alakú tárcsa az r = b peremén p = const. normális irányú peremteherrel terhelve Ennek a tárcsának a feszültségfüggvényét úgy kapjuk meg, az általános megoldásból, ha C 1 értékét önkényesen 0-ra vesszük fel, C 2 és C 3 megfelelő felvételével pedig biztosítjuk, hogy N r az r = a peremen 0, az r = b

peremen pedig p legyen. A feszültségfüggvény: F p a2 b2 b2  a2 1 r 2  r   2  ln    a  2 a A metszeterők: p b2  a2  Nr  2 1   b  a2  r 2  19 N  p b2 b2  a2  a2  1  2   r  A peremelmozdulások a metszeterők alapján kiszámíthatók: u a  a   a   a 2 p a b2 N   a  Et E t b 2  a 2   b2      ub  1    1     2 E t b 2  a 2   a  p a b2 Ha 0 < h = b-a << a, akkor ezek a megoldásfüggvények közelítenek a síkjában terhelt, a sugarú, A = t * h keresztmetszeti területű gyűrű alakú rúd elemi úton felírható megoldásaihoz: Nr  p ra ba N  p a pa  ba h p a2 p a2  u . E t  b  a E A A gyakorlatban ezeket a képleteket úgy szokták használni, hogy a-nak a gyűrű középkörét [esetünkben az (a+b)/2 értéket] tekintik,

és a terhet is ezen a körön megoszlónak tételezik fel. Ha b , akkor a középpontja körüli a sugarú kör-áttörés vonalában p radiális teherrel terhelt végtelen kiterjedésű tárcsa megoldásának feszültségfüggvényét egyetlen tag alakjában kapjuk:  r F  p a 2 ln   ,  a amelyből a metszeterők: a2 a2 , . N   p  r2 r2 A peremeltolódást legegyszerűbben   peremértéke alapján határozhatjuk meg: Nr  p u a  a   a   p a 1    a N   a    N r  a     Et Et Közelítő méretellenőrzésnél jól használható a végtelen kiterjedésűnek tekintett tárcsa merevítő hatásával azonos merevítő hatású a sugarú peremgyűrű, amelynek "egyenértékű" keresztmetszeti területe a fenti képlet alapján 20 A at 1 Ugyanezt a feszültségfüggvényt használhatjuk arra, hogy egy hidrosztatikus feszültségállapotban lévő tárcsa

belsejében létesített kör alakú áttörés feszültségmódosító hatását figyelembe vegyük. Ha az áttörés sugara a tárcsa méreteihez képest kicsiny, feltehetjük, hogy a feszültségállapot az áttörés középpontjától távolodva az eredeti hidrosztatikus feszültségállapothoz tart. A módosult feszültségállapotot leíró feszültségfüggvény az áttörés középpontjához rögzített polár-koordináta rendszerben a következő: 1  r  F  N  r 2  a 2 ln   r  a  a  2 ahol N a hidrosztatikus állapot főfeszültsége. A képletet a hidrosztatikus feszültségállapot feszültségfüggvénye és az imént vizsgált feszültségfüggvény olyan kombinációjaként írtuk fel, hogy abból az áttörés szabad peremén zérusra adódjék a radiális metszeterő. Ugyanitt a gyűrűirányú metszeterő 2N értékűre növekszik. Hasonló képlet írható fel arra az esetre is, ha az áttörést végtelen merev

zárvány tölti ki. Az előbbi két feszültségfüggvénynek ekkor olyan kombinációját kell venni, amelyhez az r = a helyen zérus értékű radiális elmozdulás adódik Ennek a képletnek a levezetését az olvasóra bízzuk Figyelemre méltó, hogy a fenti megoldások egyikében sem használtuk a körszimmetrikus általános megoldásban C 1 együtthatójú megoldásrészt, mert C 1 -et önkényesen 0-nak tekintettük, holott a peremfeltételek C 1 tetszőleges értéke esetén is teljesíthetők lennének. Ennek az a magyarázata, hogy a C 1 0 esethez tartozó metszeterők csak olyan esetben szerepelnek, amikor a feszültségekhez tartozó elmozdulások körszimmetriája csak ezek figyelembevételével teljesülhet. Az r = a és az r = b peremekre felírt fizikai peremfeltételek és az Airy-féle differenciálegyenlet teljesülését nem változtatja meg, ha a feszültségállapothoz szuperponáljuk az Nr  N  2 2 4M  2  r  r a b  b 

 a ln    b 2 ln    2 ln     a  a  b B  r 2 2 4M  2  r  r a b  b   b  a 2   a 2 ln    b 2 ln    2 ln     a  b  a B  r N r  0 metszeterő-rendszert. Meg lehet mutatni, hogy egy tetszőleges  irányú metszet mentén az így szuperponált N  metszeterők eredője egy M nagyságú nyomaték, ha 2  b B   b 2  a 2   4 a 2 b 2 ln 2    a 21 Mechanikai tartalmát tekintve ez a metszeterő-rendszer az M keresztmetszeti nyomatékhoz tartozó feszültségeket adja meg, ha a körgyűrű-tárcsát b-a magasságú, (b+a)/2 sugarú gyűrű alakú rúdnak tekintjük. A szuperpozíció tehát egy M nagyságú "sajátnyomaték" feszültségállapotának hozzáadásával módosítja az eredeti feszültségállapotot Ha (b+a)/2 >> (b-a), akkor N  megoszlása az elemi szilárdságtanban

feltételezett lineáris feszültségmegoszláshoz közelálló. Köralakú áttörések és merev zárványok További fontos gyakorlati alkalmazására adnak lehetőséget a tárcsákon létesített áttörések, merev csővezeték-átvezetések stb. zavaró hatásának a vizsgálatában azok az analitikus tárcsamegoldások, amelyeket homogén feszültségállapotú végtelen tárcsán feltételezett kör alakú áttörés, ill. merev zárvány hatására vonatkozóan vezettek le Ezeket a megoldásoknak az előállítását viszonylag egyszerűvé teszi annak a tapasztalati ténynek a közvetlen figyelembevétele, hogy a feszültségállapot érzékelhető zavarai csak a zavart okozó köralakú áttörés vagy zárvány környezetében jelentkeznek, vagyis a zavartalan homogén feszültségállapottól való eltéréseket olyan függvények írják le, amelyek a kör középpontjában elhelyezett polárkoordináta rendszer polársugarának növekedésével a nullához tartanak.

Gyakran felmerülő kérdés a tárcsák – pl. medencefalak, faltartó-szerű pincefalalk stb – tervezésekor, hogy hogyan zavarja meg a szerkezet erőjátékát, ha azon valamilyen áttörést létesítünk, legtöbbször a keresztező vezetékek, szerkezeti elemek átvezetése céljából. Ennek a kérdésnek a tisztázásához az átvezetendő szerkezet jellegének és méreteinek a függvényében eltérő módszerek alkalmazhatók. Áttörésnek azokat az átvezetéseket nevezzük, anyag töltené ki, amelynek a teherviselésben játszott szerepétől teljesen el is tekinthetünk. Azt tételezhetjük tehát fel, hogy az áttörés peremén kilépő tárcsa-igénybevételek nagysága zérus. Merev zárványnak azokat az átvezetéseket nevezzük amelyek úgy tekinthetők, mintha az átvezetés helyét az eredeti tárcsa merevségénél lényegesen merevebb anyag töltené ki, amelynek ezért a deformációi a környező tárcsa-deformációkhoz képest kicsinyek Az

egyszerűség kedvéért azt tételezhetjük fel, hogy a zárvány abszolút merev. A gyakorlatban néha nehéz egy átvezetésről eldönteni, hogy az inkább az áttöréshez, vagy inkább a merev zárványhoz közelebb álló feszültségmódosulást okoz-e, ilyenkor a legbölcsebb mindkét szélsőséges esetre megvizsgálni a szerkezetet. Mind az áttörés, mind pedig a merev zárvány mindig feszültségkoncentrációt okoz, így elhelyezésénél törekednünk kell arra, hogy lehetőleg ne kerüljön feszültségkoncentráció, pl. koncentrált teher, ill. alátámasztás közelébe A feszültségkoncentráció általában annál erősebb, minél kevésbé lekerekített az áttörés vagy merev zárvány alakja Vasbeton felületszerkezetekben a feszültségkoncentráció a repedések alacsony teherszinten történő megjelenését, acélszerkezetekben fokozott fáradásérzékenységet okoz. Ahol ez problémát jelent, törekedni kell olyan alak és merevség biztosítására,

amely a feszültségek legkisebb koncentrációját okozza. Ezért alkalmaznak a fontos tartószerkezeti szerepű felületeken (pl tartók gerinclemezén, tartályok bebúvó nyílásainál, repülőgépablakoknál stb) szinte mindig kör alakú, vagy erősen lekerekített áttöréseket, átvezetéseket. Ugyancsak a feszültségnövekedés mérséklését szolgálják azok a merevítő keretek és átmeneti zónák, amelyeket az átvezetések körül ki szoktak alakítani. A vasbeton tárcsák vastagságánál kisebb méretű áttörés vagy merev zárvány hatásainak figyelembevételétől - hacsak nem valamilyen feszültségkoncentráció helyén létesítik, - el lehet tekinteni. 22 Azoknak az átvezetéseknek a vizsgálatánál, amelyek átmérője (ill. körtől különböző alakú átvezetésnél a befoglaló kör átmérője) lényegesen kisebb a tárcsa jellemző méreteinél, elfogadható az a feltételezés, hogy az átvezetés hatása csak lokálisan változtatja meg

az áttörés figyelembevétele nélkül kiszámítható tárcsa-igénybevételeket. Ezt a módosító hatást ilyenkor azonosnak tekinthetjük azzal a módósító hatással, amelyet az átvezetés egy végtelen kiterjedésű tárcsán okozna ha az az átvezetés helyén az áttörés figyelembevétele nélkül számított metszeterőkkel jellemezhető homogén feszültségállapotban lenne. Az átvezetések feszültségmódosító hatásának lokális jellege miatt ezzel a módszerrel több átvezetés együttes hatása külön-külön vehető figyelembe, ha elegendően távol fekszenek egymástól. Az alábbi vizsgálat szerint célszerű, ha ez a távolság a befoglaló kör átmérőjének legalább háromszorosa, de inkább ennél nagyobb. Az alábbi ábra az N x = konstans, N y = N xy = 0 homogén, egytengelyű feszültségállapotban lévő végtelen tárcsán létesített R sugarú áttörés okozta zavar jellemző diagramjait mutatja. A metszeterő-rendszert annak a

követelménynek a figyelembevételével lehet levezetni, hogy a kompatibilitási differenciálegyenlet kétszeres tükörszimmetriát mutató megoldása által kijelölt normál- és csúsztató metszeterőknek zérus értéket kell felvenniük a metszetkör vonalában. A teljes megoldást két tagból elő lehet állítani Ezek egyike egy konstans egytengelyű feszültségállapotot jelöl ki, a másik pedig olyat, amely az áttörés helyétől távolodva zérushoz tart. A kör középpontjához rögzített, x kezdőirányú polár-koordináta rendszerben értelmezett metszeterők képletei – N-nel a zavartalan egytengelyű feszültségállapot x irányú metszeterőjét jelölve - az alábbiak: Nr  N 2  R 2  4 R 2 3R 4 1  2  1  2  4 r r   r 23    cos 2  ,     R 2  3R 4  1  2  1  4  cos 2  , r     r 2 4 2R 3R  N N r   1  2  4  sin

2 , 2 r r  ahol a képletek természetesen csak r > R esetre érvényesek. A képletek azt mutatják, hogy a zavar következtében fellépő legnagyobb metszeterő az eredetileg N nagyságú húzás háromszorosa, ami közvetlenül az áttörés határán lép fel, az egytengelyű húzásra merőleges átmérő végpontjaiban. a legnagyobb nyomás az erre merőleges átmérő végpontjaiban működik, értéke –N. E a képletsor alapján a szuperpozició alkalmazásával meghatározhatjuk az N metszeterővel jellemzett hidrosztatikus feszültségállapotban lévő tárcsán létrejövő zavar képletét is. Ez a zavar nyilván körszimmetrikus, ezért N rθ = 0, és a normál-metszeterők nem függnek θtól:  R2   R2     r > R. N r  N 1  2  , N   N 1  2  ; r  r    N  N 2 A képletek azt mutatják, hogy hidrosztatikus feszültségállapot esetén a zavar következtében fellépő legnagyobb

metszeterő az áttörés peremén működő gyűrűirányú metszeterő, amelynek értéke kétszerese a zavartalan állapotban fellépő metszeterőknek. Mindkét megoldás említésre méltó sajátsága az, hogy ha a legnagyobb metszeterő irányára merőleges vonal mentén összegezzük a normálfeszültségeket, ugyanakkora eredőt kapunk, mint az áttörés nélküli tárcsán. Ez szemléletesen úgy fogalmazható meg, hogy amennyiben a kiinduló N metszeterő húzás, a húzások felvételéhez a zavart állapotban ugyanannyi vasat kell a metszeten átvezetnünk, mint korábban, azaz a vasalás - legalább is elvben - kialakítható az áttörést keresztező vasak "elhúzásával": Ennek a problémának mintegy komplementere az a feladat, hogy hogyan zavarja meg a homogén feszültségállapotú végtelen tárcsa metszeterőit. Ezeket a metszeterőket annak a követelménynek a figyelembevételével lehet meghatározni, hogy a merev zárvány peremén az

elmozdulásnak zérus értékűnek kell lennie. Mivel ez a feltétel nem közvetlenül a metszeterők nagyságára vonatkozó feltétel, a metszeterők képletébe belekerül a harántkontrakciós állandó is. 24