Matematika | Felsőoktatás » Matematika

Matematika Egyváltozós valós függvények Egyértelmű leképzés - A halmaz minden eleméhez B halmaz egyetlen elemét rendelem: AB Kölcsönösen egyértelmű leképzés - A halmaz minden eleméhez B halmaz egyetlen elemét rendeljük - B minden eleme ki van jelölve a hozzárendelés során - A különböző elemeihez B-nek különböző elemeit rendeljük. A B A B Függvény definíciója Legyen X és Y (nem üres halmaz) ≠ 0 Az X halmazon értelmezett Y-beli értékeket felvevő f függvény alatt az f:x  y egyértelmű leképezést értjük. X: Y: az f függvény értelmezési tartománya, jele: D f (Domain) az f függvény képhalmaza Y-nak leképezésre került részhalmazát f értékkészletének nevezzük (azon elemek halmaza, melyek leképezéssel kijelölésre kerülnek) R f (Range) Ha x, y  R, akkor f-et egy változós függvénynek nevezzük. A függvénynél a leképezési szabályt általában képlettel adjuk meg: - f:xf(x) - f(x) = A aD f

-hez rendelt értéket f(a)-val jelöljük és a-beli függvényértéknek (helyettesítési értéknek) nevezzük. X Y a f (a) Valós függvény ábrázolása derékszögű koordináta rendszerben történik. A függvény adott, ha az értelmezési tartomány és a leképezési szabály ismert. Ha az értelmezési tartományt nem adjuk meg, akkor az értelmezési tartomány a valós számok azon legbővebb részhalmaza, ahol a leképezési szabályt definiáló képlet értelmezve van. 1. oldal Matematika Nevezetes tulajdonságok Korlátosság Az f függvény korlátos, az I  D f intervallumban, ha megadható K 1 K 2 R úgy, hogy x  I esetén K 1 f(x)K 2 Ha csak K 1 adható meg, akkor f alulról, ha csak K 2 , akkor f felülről korlátos. Pl.: - f(x) = sinx korlátos (-1f(x)1) 2 - f(x) = x alulról korlátos (0x2) Monotonitás Az f függvény szigorúan monoton növekvő az I  D f -ban, ha x 1 <x 2 ; x 1 , x 2 I esetén f(x 1 )<f(x 2 ).

Az f függvény szigorúan monoton csökkenő az I  D f -ban, ha x 1 <x 2 ; x 1 , x 2 I esetén f(x 1 )>f(x 2 ). Y y x x x1 x2 x1 x2 I I Ha a függvényértékeknél az egyenlőséget is megengedjük a függvény monoton növekvőnek, vagy monoton csökkenőnek nevezzük. Párosság Az f függvény páros, ha az értelmezési tartománya szimmetrikus az origóra és xD f esetén f(-x)=f(x) Az f függvény páratlan, ha az értelmezési tartománya szimmetrikus az origóra és xD f esetén f(-x)=-f(x) Pl. - f(x) = sin x páratlan függvény - f(x) = cos x páros függvény Függvény képe Az (x;f(x)), xD f pontok összességét a síkbeli derékszögű koordináta rendszerben az f függvény képének (görbéjének) nevezzük. x A görbe egyenlete: y = f(x) y A páros függvény képe szimmetrikus az y tengelyre, a páratlan függvény képe szimmetrikus az origóra. 2. oldal Matematika Periodikus függvény Az f függvény periodikus, ha van p  0,

pR szám, hogy xD f esetén x+p, x-p D f f(x) = f (x+p). A legkisebb p>0 számot az f periódusának (alapperiódus) nevezzük. Pl. - f(x) = sin x 2 π szerint periódikus - f(x) = tg x π szerint periódikus Nevezetes pontok Zérushely Az a  D f az f függvény zérushelye, ha f(a) = 0. Az a pont környezete Az a pont körüli szimmetrikus intervallum. a-δ a a+δ Helyi maximum-minimum Az f függvénynek a-ban helyi (lokális) maximuma van, ha a-nak van olyan D f -beli U környezete, hogy tetszőleges xU (xa) esetén f(x)<f(a). y y = f(x) a Az f függvénynek b-ben helyi (lokális) minimuma van, ha b-nek van olyan D f -beli U környezete, hogy tetszőleges xU (xb) esetén f(x)>f(b). x y y = f(x) b Konvex (domború) függvény Az f függvény konvex, az ID f intervallumban, ha minden x 1 <x 2 ; x 1 ;x 2 I esetén a görbe pontjai az (x 1 ;f(x 1 )) és (x 2 , f(x 2 )) pontokat összekötő húr alatt helyezkednek el. Az f függvény

konkáv, az ID f intervallumban, ha minden x 1 <x 2 ; x 1 ;x 2 I esetén a görbe pontjai az (x 1 ;f(x 1 )) és (x 2 , f(x 2 )) pontokat összekötő húr fölött helyezkednek el. 3. oldal y x konkáv konvex y = f(x) x 1 f(x 1 ) x1 x 2 f(x 2 ) x2 x Matematika Összetett függvény f és g függvények összetételén azt a h függvényt értjük, amelyet a h(x)=f(g(x)) utasítással értelmezzük xD g esetén, amelyre g(x)D f f: külső függvény g: belső függvény pl. h(x) = ln 1/x D g = R{0} D f = R+ D h = R+ f g Inverz függvény X Y f f(x) x Legyen f kölcsönösen egyértelmű leképezéssel definiált függvény. Az f függvény inverzfüggvénye (f 1 ) az a függvény, amelynek értelmezési tartománya az f függvény értékkészlete, értékkészlete az f függvény értelmezési tartománya és f –1(f(x))=x xD f . f -1 Az inverz függvény kapcsolata kölcsönös pl. f(x)=ax és f(x)=log a x Az inverz függvénypár grafikonja az y=x

egyenesre nézve egymás tükörképe. Arkusz függvények arcsinx Ha -1≤x≤1 akkor az arcsinx azt az y számot jelenti (ívmértékben) amelyre -π/2 ≤ y ≤ π/2 és siny = x arcsinx függvény Az arcusszinusz függvény az a függvény, amelynek D f =[-1;1], R f =[-π/2;π/2] és xarcsinx (xD f ) y y π/2 y=arcsinx x -π/2 x π/2 -1 1 - korlátos - szigorúan monoton növekvő - páratlan arccosx Ha -1≤x≤1 akkor az arccosx azt az y számot jelenti (ívmértékben) amelyre 0 ≤ y ≤ π és cosy = x arccosx függvény Az arcuscoszinusz függvény az a függvény, amelynek D f =[-1;1], R f =[0;π] és xarccosx (xD f ) y y π y=arccosx x x π π x -1 - korlátos 4. oldal 1 Matematika - szigorúan monoton csökkenő 5. oldal Matematika arctgx Tetszőleges xR esetén arctgx azt az y számot jelenti (ívmértékben), amelyre -π/2 ≤ y ≤ π/2 és tg y = x. arctgx függvény Az a az a függvény, amelynek D f =R, R f =]-π/2;π/2 [ és

xarctgx (xD f ) y y π/2 y=arctgx x x -π/2 - korlátos - szigorúan monoton növekvő - páratlan Ha egy függvény egy ID f intervallumban szigorúan monoton itt létezik az inverzfüggvénye (elégséges feltétel) Határérték Végtelen számsorozatok Ha a pozitív egész számokhoz egy-egy valós számot rendelünk végtelen számsorozatot kapunk a 1 , a 2 , a 3 , (a n ): az egész sorozatot jelenti; a n : általános tag pl.: a n = 2 + 1/n (elemeit úgy kapom meg, hogy n helyébe 1-et, 2-t, írok) ε = 1/100 |a n -2| = |2+1/n-2| = 1/n<1/100 100<n a 101. Elemtől kezdve az eltérés 1/100-nál kisebb (a 101. a küszöbindex) Az (a n ) sorozatnak a határértéke AR, ha minden ε>0 van n 0 Z+, hogy n> n 0 esetén (n Z+) az |a n -A|< ε. Jelölése: lim a n = A pl.: lim (2+1/n)=2 n∞ n∞ ↓ 0 + + Az (a n ) sorozat határértéke ∞, ha minden p Z esetén van n 0 Z+, hogy n>n 0 (nZ+) esetén a n >p Az (a n ) sorozat

határértéke -∞, ha a (-a n ) sorozat határértéke +∞. Jelölése: lim a n = +∞ pl.: lim (n2)=2 n∞ n∞ - M = 100 n2>100 n>10 - M = 10000 n2>10000 n>100 - az 1;-1; 1;-1; sorozatnak nincs határértéke. 6. oldal Matematika Konvergencia, divergencia Az (a n ) sorozatot konvergensnek nevezzük, ha van véges határértéke, és divergens, ha nincs határértéke vagy a határértéke ∞. Példák: a n =1/(2n-1) lim 1 =0 (11; 2n-1∞) n∞ 2n-1 lim -n2+3 n∞ 2n-1 = lim n∞ -n + 3/n 2 – 1/n = -∞ (-n-∞; 3/n0 (22; 1/n0 -∞) 2) Függvény határértéke Legyen f egy függvény. Minden D f -beli x 1 , x 2 , sorozathoz készíthetünk egy másik sorozatot, az f(x 1 ), f(x 2 ), függvényértékek sorozatát f(x) = x n = 1/n f(x n )= x2+1 2x+3 D f = R{-3/2} x n D f (1/n)2+1 2(1/n)+3 = +∞ 2 lim 1+n n+∞2n+3n2 = +∞ (1+n)2 / n2 (2+3n)/ n x n 0 = 1+n2 2n+3n2 n = 1, 2, 0 1 2 lim 1/n + 1 1 n+∞ 2/n + 3 = 3 0 3

Megmutatható lenne, hogy bármely (x n )0 esetén (f(x n ))1/3, ilyenkor azt mondjuk, az f függvény határértéke a 0-ban 1/3. Véges helyen vett határérték Legyen f függvény értelmezve a hely valamely környezetében (esetleg a-ban nem) azt mondjuk, hogy az f függvénynek az a helyen a határértéke A véges szám, ha bármely a-hoz tartó (x n ) esetén az (f(x n )) határértéke A (x n D f {a} n=1, 2, ) Jelölése: lim f(x) = A Pl.: lim x2 + 1 = 1 xa x0 2x + 3 3 Véges helyen vett végtelen határérték Legyen f függvény értelmezve a hely valamely környezetében (esetleg a-ban nem). Az f függvénynek a helyen a határértéke plusz végtelen, ha bármely a-hoz tartó (x n ) esetén az (f(x n )) határértéke plusz végtelen (x n D f {a} n=1, 2, ) Legyen f függvény értelmezve a hely valamely környezetében (esetleg a-ban nem). Az f függvénynek a helyen a határértéke mínusz végtelen, ha bármely a-hoz tartó (x n ) esetén az (f(x n ))

határértéke mínusz végtelen (x n D f {a} n=1, 2, ) Jelölése: lim f(x) = +∞ lim f(x)= -∞ xa xa 7. oldal Matematika Néhány kiszámításra vonatkozó tétel Jelölje: lim f(x) = A lim g(x)= B xa 1. xa A,BR cR lim c f(x) = c A 2. lim (f(x)+g(x)) = A+B xa xa 3. lim f(x)•g(x) = A•B xa 4. lim f(x) g(x) = A/B, ha B≠0 xa +∞ vagy -∞ az osztás előjelszabálya szerint, ha A≠0; B=0 határozatlan alakú határérték, ha A=B=0 (átalakítás után tudjuk, csak meghatározni a határértékét) Jobboldali és baloldali határérték Ha határérték korábbi két definíciója, az x n >a elemű sorozatokra teljesül csak, akkor jobboldali határértékről beszélünk. Ha határérték korábbi két definíciója, az x n <a elemű sorozatokra teljesül csak, akkor baloldali határértékről beszélünk. Jelölése: lim f(x) = jobboldali lim f(x)= baloldali határérték + - xa Pl.: xa lim 1/x = +∞ x0 + lim 1/x = -∞ x0

- f-nek csak akkor van határértéke, a-ban, ha a jobboldali és a baloldali határértékek léteznek és megegyeznek egymással, a közös érték a határérték a-ban. Nevezetes határérték: lim sinx = 1 x0 x D f = R {-2} Pl.: f(x) = 1 x+2 lim x-2 1 =+∞ -2 0 -2 0 + x+2 0+ lim x-2 1 =-∞ - x+2 0- 8. oldal Matematika Végtelenben vett határérték Legyen az f értelmezési tartománya felülről nem korlátos halmaz, azt mondjuk az f függvénynek a plusz végtelenben a határértéke az AR szám, ha bármely plusz végtelenhez tartó (x n ) (x n D f ) esetén az (f(x n )) határértéke A. Legyen az f értelmezési tartománya felülről nem korlátos halmaz, azt mondjuk az f függvénynek a plusz végtelenben a határértéke az +∞ szám, ha bármely plusz végtelenhez tartó (x n ) (x n D f ) esetén az (f(x n )) határértéke +∞. Legyen az f értelmezési tartománya felülről nem korlátos halmaz, azt mondjuk az f függvénynek a plusz

végtelenben a határértéke az -∞ szám, ha bármely plusz végtelenhez tartó (x n ) (x n D f ) esetén az (f(x n )) határértéke -∞. A mínusz végtelenben vett határérték a fentihez hasonlóan definiálható, ha az f értelmezési tartománya alulról nem korlátos. Jelölése: lim f(x) = +∞ lim f(x)= +∞ x+∞ x-∞ -∞ -∞ A A Határérték kizsámítására vonatkozó néhány tétel Jelölje: lim g(x) =+∞ vagy -∞ lim f(x) =+∞ vagy -∞ lim h(x) =c cR xa 1. 2. xa lim (f(x)+h(x)) = lim f(x) xa xa xa lim f(x)•h(x) = +∞ vagy -∞ a szorzás előjelszabálya szerint xa 3. lim (f(x)+h(x)) = +∞, ha mindkettő +∞-hez tart -∞, ha mindkettő -∞-hez tart határozatlan alakú, ha az egyik +∞-hez és másik -∞-hez tart lim f(x)•g(x) = +∞ vagy -∞ a szorzás előjelszabálya szerint xa 4. xa 5. lim h(x) =0 (ha c≠0) f(x) 6. lim f(x) = határozatlan alakú határérték xa g(x) Megjegyzés: - a határérték kiszámítására

vonatkozó tételek végtelenben vett határérték (jobboldali és baloldali esetén is) esetén is igazak - az úgynevezett határozatlan alakú határértékek: +∞ -∞; 0∞; ∞ / ∞; 1∞, 00; 0 / ∞ kiszámításához a függvényeket át kell alakítanunk azonos átalakításokkal úgy, hogy már valamelyik tétel alkalmazásával kiszámítható legyen a határérték. Pl.: lim (1+1/n)n = ℮ (Euler-féle szám) xa n+∞ 9. oldal Matematika Példák: f(x) = (x+3)2≠0 x≠0 5x (x+3)2 D f = R{-3} +∞ lim x+∞ 5x (x+3)2 5 = lim x+∞ 5x x +6x+9 2 = lim x+∞ 5 x+6+9/x =0 +∞ (a határértéket a két legnagyobb fokszámú tag hányadosa határozza meg +∞ 5 lim 5x = lim 5x = lim 5 =0 x-∞ x-∞ x-∞ 2 2 (x+3) x +6x+9 x+6+9/x -∞ -15 lim x-3 + -15 = -∞ 5x x-3 (x+3)2 0 5x lim + - = -∞ (x+3)2 0- 10. oldal Matematika Folytonosság fogalma  Egy függvény folytonosságáról ott van értelme beszélni, ahol a

függvény értelmezve van. Az f függvény az aD f helyen folytonos, ha lim f (x) = f(a) xa Ha egy függvény D f minden pontjában folytonos, akkor azt mondjuk az f függvény folytonos függvény. Differenciálszámítás Differenciahányados  Legyen f függvény értelmezve az x 1 ≠x 2 helyeken. Az f(x 2 ) - f(x 1 ) hányadost az x2 - x1 f függvény x 1 és x 2 helyekhez tartozó differencia hányadosának nevezzük. Jelölése: Δf / Δx Differenciálhányados  Az f függvény differenciálható, az aD f pontban (helyen), ha az x és a helyekhez tartozó differenciahányadosnak létezik és véges a lim f(x) - f(a) határxa x–a érték, ezt a véges értéket az f függvény a-hoz tartozó differenciálhányadosának nevezzük. Jelölése: df dx x=a Például: f(x)=x2 differenciálható-e az a=2-ben lim x2 – 4 = lim (x+2)(x-2) =4 x2 x2 x–2 (x-2) mivel véges értéket kaptunk differenciálható az x=2 helyen Derivált függvény  Jelölje AD f A≠ Ø

azt a halmazt, amely pontjaiban f differenciálható. Azt a függvényt amelynek értelmezési tartománya A halmaz és A pontjaihoz a pontokhoz tartozó differenciálhányadosokat rendeli az f függvény derivált függvényének röviden deriváltjának nevezzük Jelölése: f ’(x) (olvasd: f vesszős x) Differenciálási szabályok (tételek) 1. Legyen f és g differenciálható függvény, cR a. (f+g)’ = f ’ + g’ b. (c•f)’ = c•f ’ c. (f•g)’ = f ’g + f g’ d. (f/g) = f ’g – f g’ g2 11. oldal Matematika 2. Fontosabb elemi függvények deriváltjai (c)’ =0 (xn)’ = n xn-1 (ax)’ = axln a x (e )’ = ex (log a x)’ = 1 a>0; a≠1 (x ln a) (ln x)’ = 1/x (sin x)’ = cos x (cos x)’ = -sin x (tg x)’ = 1 / cos2x (ctg x)’ = -1 / sin2x (arcsinx)’= 1 √(1-x2) (arccosx)’= -1 √(1-x2) (arctgx)’ = 1 1+x2 Példák f(x) f ’(x) x3 + √(x) + 2 / x2 = x3 + x1/2 + 2 x -2 3 x2 + ½ x -1/2 – 4 x –3 log 2 x + 3x – 2 tgx 1 1 x ln2 +

3xln3 – 2 cos2x ex•sin x ex•sin x + ex•cos x 2 1+x 2x•tg x – (1+x2) •1/cos2x tg x tg2x –2/3 -5/3 -2/3 arctg x = x •arctg x 1 -2/3 x arctg x + x 3 1+x2 √(x2) 3. Összetett függvény differenciálási szabálya (láncszabály) (ha g differenciálható x helyen és f a g(x) helen) (f(g(x)))’ = f ’(g(x))•g’(x) df/dx = df/dy•dy/dx Példák f(x) f ’(x) Cos (3x2-1) -sin(3x2-1)•6x √(x3-3x2+2)= (x3-3x2+2)1/2 ½(x3-3x2+2)-1/2•(3x2-6x) tg4(6x+2) 4 tg3 (6x+2)• arctg e1-x 1 1+( e1-x)2 •e1-x •(-1) 12. oldal 1 cos2(6x+2) •6 Matematika A differenciahányados és differenciálhányados geometriai jelentése y=f(x) f(x 2 )-f(x 1 ) tgα = (f(x 2 )-f(x 1 )) /( x 2 -x 1) x 2 -x 1 α Az x 1 és x 2 helyekhez tartozó differencia hányados az (x 1 ;f x 1 ) , (x 2 ;f x 2 ) pontokat összekötő szelő iránytangense y=f(x) x Ha az f függvény differenciálható az aD f pontban, akkor az f függvény görbéjének az a pontban van érintője,

méghozzá az az egyenes, amelynek iránytangense f ’(a) Az érintő egyenlete: y-f(a) = f ’(a)(x-a) a 13. oldal Matematika Magasabbrendű deriváltak  Az f ’(x) derivált függvényét az f függvény második deriváltjának nevezzük. Jelölése: f”(x) vagy d2f / dx2 Hasonlóan értelmezzük az f függvény harmadik, negyedik deriváltját: Jelölése: f(n)(x) vagy dnf / dxn ( f”’(x), f(4)(x) ) Pl.: f(x)=sinx f’(x)=cosx f”(x)=-sinx Folytonosság és differenciálhatóság kapcsolata Ha f függvény differenciálható a  D f helyen akkor a-ban folytonos. (A folytonosságból nem feltétlenül következik a differenciálhatóság) Pl.: x, ha x≥0 f(x) = |x| = -x, ha x<0 f(x) folytonos x = 0-ban Δf Δx = Δf lim x0 + lim x0 x-0 x-0 -x-0 x-0 f(x)-f(0) x-0 = - =1 ha x≥0 = -1 ha x<0 0-ban nem létezik határérték, azaz a füg- Δx Δf =1 Δx = -1 vény nem differenciálható 0-ban. ≠ Differenciálható függvények vizsgálata

Tételek 1. Ha az f függvény differenciálható az I intervallumban és f’(x) > 0 itt, akkor az f függvény szigorúan monoton növekvő I-ben. Ha az f függvény differenciálható az I intervallumban és f’(x) < 0 itt, akkor az f függvény szigorúan monoton csökkenő I-ben. 2. Ha f függvény differenciálható az a  D f helyen és f-nek itt helyi szélsőértéke van, akkor az f’(a) = 0 (szükséges feltétel) Pl.: y y=x2 f(x)=x2 x=0-ban helyi minimuma van f’(x)=2x f’(0)=0 x y y=x7 f(x)=x7 f’(x)=7x6=0 x=0, de itt nincs szélső értéke! x 3. Ha f függvény differenciálható az a-t tartalmazó valamely környezetben f’(a)=0 és f’(a)-ban előjelet vált, akkor az a-ban f függvénynek szélsőértékhelye van. Mégpedig helyi maximuma, ha pozitívból vált negatívba, és helyi minimuma, ha negatívból vált pozitívba (elégséges feltétel) Pl.: f(x)=x2 f’(x)=2x x=0 (itt lehet szélsőértéke ez a kritikus hely vagy stacionális pont x

x<0 0 x>0 f’ 0 + f Helyi minimum 14. oldal Matematika 4. Ha f függvény kétszer differenciálható (szigorúan) konvex Ha f függvény kétszer differenciálható (szigorúan) konkáv 5. Ha f függvény kétszer differenciálható a (szükséges feltétel) Pl.: f(x)=x4 f’(x)=4x3 y y=x4 az I intervallumban és f”(x)>0 itt az f függvény I-ben az I intervallumban és f”(x)<0 itt az f függvény I-ben  D f helyen és a-ban inflexiós pontja van akkor f’”(a)=0 f”(x)=12x2 f”(0)=0, de 0-ban nincs inflexiós pont x 6. Ha f függvény kétszer differenciálható egy a-t tartalmazó intervallumban f”(a)=0 és f”(a)-ban előjelet vált, akkor a-ban inflexiós pont van. (elégséges feltétel) f’(x)=7x6 f”(x)=42x5 Pl.: f(x) = x7 x x<0 0 x>0 f” 0 + f Inflexiós pont   Függvénymenet-vizsgálat 1. D f meghatározás (megtudjuk hány határértéket kell számolni) 2. Határérték számítás (szakadási helyeknél jobb és

baloldali, + és - ∞-ben) Zérushelyek 3. Paritás vizsgálat (ha D f szimmetrikus az origóra) 4. Helyi szélsőértékhelyek meghatározása (f’(x) segítségével) 5. Inflexiós pontok megkeresése (f”(x) segítségével) 6. Görbe megrajzolása 7. R f megállapítása Pl. végezzünk teljes függvényvizsgálatot az f(x)=2x3 – 24x függvénynél 1. D f = R 2. lim (2x3 – 24x) = lim 2x(x2 – 12) =+∞ x+∞ x+∞ 3 lim (2x – 24x) x-∞ = lim 2x(x2 – 12) =-∞ x-∞ 3. Zérushely: 2x3 – 24x=0 2x(x2 – 12)=0 x=0 x2=12 x = 2√3 4. D f szimmetrikus az origóra f(-x)=2(-x)3+24x = -2x3+24x = -(2x3-24x) = -f(x) páratlan 5. f’(x) = 6 x2-24 = 0 x2 = 4 x = 2 x x<-2 -2 -2<x<2 2 x>2 f’ + 0 0 + f Helyi Helyi maximum minimum (ha f’ folytonos egy intervallumban előjelét egyetlen érték kiszámításával határozhatjuk meg) f(-2)=32 f(2)=16-48=-32 6. f”(x) = 12x = 0 x=0 x x<0 x=0 x>0 f” 0 + f Inflexiós pont   7. y 32 x -2 2 8. R

f = R 15. oldal Matematika A gazdasági életben gyakrabban előforduló néhány függvény x: C(x) R(x) P(x) TC termelt mennyiség költség függvény árbevétel függvény profit függvény teljes költség Egyensúlyi pont (cost) (revenuve) (profit) = R(x) – C(X) = FC + VC R(x) = C(x) Pl.: Egy egyetemen speciális kurzust indítanak. A tandíj 60$/fő, az egyetem saját kiadásai kalkulálásánál azt kapta, hogy a fix költség 600$ és a hallgatók számától függő költség 20$. Mennyi hallgatót kell felvenni, hogy a tanfolyam ne legyen ráfizetéses? C(x) = 600+20 x R(x) = 60 x P(x) = 60x – (600+20x) Egyensúlyi ponthoz tartozó hallgatólétszám: 600+20x=60x 600=40x Legalább 15 hallgatót kel felvenni, hogy a tanfolyam ne legyen ráfizetéses x=15 Pl.: Profit függvény P(x)= 200+480x-2x2 x: termelt mennyiség db száma Milyen termelés mellett lesz maximális a profit? D P = [0;+∞[ P’(x) = 480-4x=0 480-4x = 0 120 = x x 0≤x X=120 120<x f’ +

0 f Helyi maximum A profit 120 db termelése esetén lesz maximális Átlagköltség függvény: Átlagbevétel függvény: Átlagprofit függvény: AC = C(x) / x AR = R(x) / x AP = P(x) / x lim xa y f(x) - f(a) x-a = f ’(a) ∆f = f(x)-f(a) lim f(a+∆x) – f(a) = f ’(a) xa ∆x x a x=a+∆x Mondhatjuk: ∆f = f(a+∆x) – f(a) ≈ f ’(a) ∆x ∆x Y ε x ∆f ≈ f ’(a)·∆x differenciál véges növekmény tétele, ha ∆x kicsi Pl.: f(x)=x3 f ’(x) = 3x2 ∆f ≈ f ’(4)·0,01 = 0,48 Egységnyi termelésnövekedés esetén mennyit változik a költség, a bevétel és a profit! ∆C = C(x+1) – C(x) ≈ C ’(x)·∆x = C ’(x) Határköltség függvény MC = C’(x) (Marginal cost) Határbevétel függvény MR = R’(x) Határprofit függvény MP = P’(x) 16. oldal Matematika Pl.: Tegyük fel, hogy egy kerékpárokat gyártó cég fix költsége heti 50 E $, változó költsége 25$ kerékpáronként Extra költsége: x: heti termelés (db)

C(x) = 50 000 + 25x + 0,001x2 Mennyi a költségnövekedés egységnyi termelésnövekedés esetén heti 100 db, illetve heti 10 000 db kerékpár gyártása esetén? MC = C’(x) = 25+0,002x MC = C’(100) = 25,2 $ MC = C’(10000) = 45 $ A költségnövekedés más-más termelési szint esetén különböző Milyen hatással van a költségfüggvényre, ha a 100 db-os termelést kettővel csökkentjük? ∆x = -2 ∆C ≈ C’(100)(-2) = -50,4 Pl.: Az átlagköltség függvény: AC = 100/x + 2 Mutassuk meg, hogy egységnyi termelésnövekedés minden termelői szinten 2 egységnyi növekedést jelent. AC = C(x) / x C(x) = x·AC = 100+2x MC = C’(x) = 2 x értékétől függetlenül a költségnövekedés mindig 2 egység - 2/ f(x) = e x 2 függvény függvénymenet-vizsgálata 1. D f = R - 2/ 2. Zérushelye: f(x) = e x 2 csak pozitív értéket vehet fel, ezért nincs zérushelye - 2/ - 2/ 3. lim e x 2 = 0 lim ex 2=0 (-x2/2 -∞) x+∞ x-∞ 4. D f szimmetrikus az origóra -(-

2 / - 2/ f(-x)= e x) 2 = e x 2 páros -x 2 / 2 - 2/ 5. f ’ (x) = e – (-1/2 2x) = -x e x 2 = 0 x x<0 f’ + f x=0 x=0 x>0 0 Helyi maximum f(0)=1 -x 2 / 2 -x 2 / 2 -x 2 / 2 - 2/ 2 -x 2 / 2 6. f”(x) = - e – x (-x e ) = -e +x e = e x 2(-1+x2) - 2/ e x 2(-1+x2) = 0 -1+x2 = 0 x2 = 1 x =  1 x x<-1 x=1 -1<x<1 x=1 f” + 0 0 f Inflexiós Inflexiós   pont pont F(-1) = f(1) = e –1/2 = 1/ √e ≈ 0,6 7. y x -1 1 8. R f = ]0;1] 17. oldal 1<x +  Matematika Integrálszámítás Határozatlan integrál  Az F(x) a f(x) függvény primitív függvénye, az IR-ben, ha F I-ben folytonos és belsejében F’(x)=f(x). Példa: F(x) = x3 f(x) = x2 F’(x)=f(x) 3 G(x) = x3 -4 G’(x)= x2 = f(x) 3 Ha f(x) függvénynek I-ben van primitív függvénye akkor végtelen sok van, ha ezek egyike F(x) akkor a primitív függvények F(x)+C, ahol C tetszőleges valós szám.  Az f(x) függvény határozatlan integrálja alatt a primitív függvényei nem

üres halmazát értjük. Jelölése: ∫ f(x)dx = F(x) + C f(x): integrandus x: integrációs változó Tulajdonságai Ha f-nek és g-nek van primitív függvénye és „a” tetszőleges konstans: ∫a·f(x)dx = a∫f(x)dx ∫(f(x)+g(x))dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx Alapintegrálok ∫xndx = xn+1 n+1 x x ∫a dx = a /lna + C ∫cosx dx = sinx + C ∫1/cos2x dx = tgx +C acsinx +C ∫1/√(1-x2) dx = -arccosx +C ∫1/x dx = ln(x)+C ∫ex dx = ex + C ∫sinx dx = -cosx + C ∫1/sin2x dx = -ctgx +C arctgx + C ∫1/(1+x2) dx = -arctgx + C Integrálási módszerek 1. Speciális alakú összetett függvények Legyen F(x) az f(x) primitív függvénye a. ∫f(ax+b)dx =F(ax+b) + C a, b  R a≠0 a Példa: ∫e2 dx = e2x/2 + C ∫sin2x dx = -cos2x/2 + C 1 dx = ln|6-5x| + C -5 6-5x 2 1 dx = 2 dx = 2 arctg3x +C 2 2 9x +1 (3x) +1 3 -1 1 dx= dx = ∫ (x+1)-1 dx = (x+1) = 1 +C 1 (x+1)2 -1 x+1 x2+2x+1 b. fα+1 α Legyen f differenciálható egy I intervallumban, akkor ∫f (x)·f ’(x)dx= α+1

+ C Példa: ∫12x(6x2+5)4dx = (6x2+5)5 f’ f 5 x2 dx = x2(x3+2) -1/5dx= 1∫ 3x2(x3+2) -1/5dx= 1 (x3+2) 4/5 +C = 5 x3+2 3 3 4/5 = 5 5 (x3+2)4 12 18. oldal Matematika cosx dx = cosx·(sinx)-4dx= (sinx)-3 + C = -1 +C sin4x -3 3sin3x c. Legyen f differenciálható egy I intervallumban, ekkor f’(x)dx = ln|f(x)|+C f(x) Példa 2x dx = 1 10x dx = ln|5x2+2| + C 5x2+2 5 5x2+2 1 dx = 1/x dx = ln|lnx| + C x·lnx lnx ex dx = = ln|1+ ex| + C x 1+e d. Ha g differenciálható I-ben és f primitív függvénye F, akkor ∫f(g(x))·g’(x)dx=F(g(x))+C Példa 2 2 2 ∫x·e-x dx = -1/2∫-2x·e-x dx=1/2e-x +C ∫ctgx dx = cosx dx = ln|sinx| + C sinx x+arctgx dx = x + 1 ·arctgx 1+x2 1+x2 1+x2 = 1· 2x dx + arctg2x = 2 1+x2 2 = 1ln(1+x2)+arctg2x + C 2 2 1 dx= dx = arctg(x+1) + C 1 x2+2x+2 (x+1)2+1 2. Parciális deriválás Ha f és g differenciálhat I-ben, f ’ és g’ folytonos itt, akkor ∫f’(x)·g(x)dx=f(x)·g(x) - ∫f(x)·g’(x)dx Alaptípusok eax+b Pn(x) sin(ax+b) dx ahol

Pn(x) n-edfokú polinóm cos(ax+b) f’ g Példa xcosx dx = sinxsinx = xsinx + cosx + C ∫ ∫ g f’ g’(x)= 1 f(x)=sinx Alaptípusok ln Kx (arcsinx) K ahol Pn(x) n-edfokú polinóm KZ+ Pn(x) (arccosx) K dx K (arctgx) (arcctgx)K f’ g 2 Példa x arctgx dx = x /2 arctgx - ∫ x2/2·1/(1+x2) dx = x2/2 arctgx – 1/2∫(x2+1)-1 dx = ∫ (x2+1) 1/2∫x2/(1 + x2) dx =x2/2 arctgx – 1/2∫(1-1/(x2 + 1))dx = x2/2 arctgx – ½(x-arctg x)+C Speciális eset: 0-d fokú polinóm ln Kx ln Kx K (arcsinx) (arcsinx) K K = 1· (arccosx) K dx (arccosx) dx (arctgx) K (arctgx) K (arcctgx)K (arcctgx)K f’ g Példa ln2x dx = 1·ln2x dx =x·ln2xx·1/x dx = xln2x –x+C ∫ ∫ ∫ 19. oldal Matematika Határozatlan integrálszámítás gazdasági alkalmazása 1. MP = 600-4x Határozza meg a profitfüggvényt, ha 100 egység vesztesége van a vállalatnak, ha nincs termelés. MP = P’(x) ∫MP dx = ∫(600-4x)dx = 600x – 4x2/2 + C = 600x - 2x2+C = P(x) és P(0) = -100 = C P(x) = 600x- 2x2

– 100 2. Egy vállalat bevételi változás függvénye (MR) 500-0,6x. Határozza meg a bevételi függvényt MR = R’(x) és R(0)= 0 (ez mindig fennáll) R(x) = ∫MRdx = ∫(500-0,6x)dx = 500x – 0,6x2/2 +C= R(x) és R(0)=0 R(x) = 500x-0,3x2 Határozott integrál  Legyen az f függvény az [a,b]-ban korlátos, osszuk fel az [a,b]-t n részre osztópontokkal: x 0 =a<x 1 <<x n =b az i-edik intervallum hossza: Δi = x i -x i-1 i=1, 2 n. n Jelölje c i az i-edik intervallum egy tetszőleges pontját, a Σ f(c i )Δi összeget ezen felosztáshoz i=1 tartozó Riemann-féle integrál közelítő összegnek nevezzük. f(c 1 ) f(c 2 ) c1 a c2 x1 x2 Δi b n lim Σ f(c i )Δi határérték létezik és véges, azt mondjuk az f függvény az [a,b]-n in- Ha a n+∞ i=1 tegrálható, ezt a véges összeget az f függvény [a,b]-n vett Riemann integrálljának nevezzük. Jelölése a ∫ f(x)dx (integrál a-tól b-ig f(x) dx) b Tétel: Ha f az [a,b]-ban folytonos

ott integrálható (elégséges feltétel) Newton-Leibniz tétel Ha f függvény integrálható az [a,b]-ban és F(x) egy primitív függvénye akkor a Ha f függvény integrálható az [a,b]-ban és F(x) egy primitív függvénye akkor ∫ f(x)dx = F(b)-F(a) b b  F(b) – F(a) = [F(x)] a 1 1 Például: ∫ 3 4 (x -2)dx = [x /4 – 2x] 0 = ¼ - 2 = -7/4 0 Legfontosabb tulajdonságai 1. b b ∫ cf(x)dx = c ∫ f(x)dx a 2. b ∫ a 3. a ∫ a f(x)dx = 0 a b 4. b (f(x)+g(x)dx)= ∫ f(x)dx+ ∫ a a 5. b ∫ a a c f(x)dx = b ∫ g(x)dx ∫ b f(x)dx + ∫f(x)dx a c 20. oldal a f(x)dx = - ∫ b f(x)dx + Matematika F(x) kiszámításához a szokásos integrálási képleteket használjuk. Parciális integrálás határozott integrálokra b b b a a a ∫ f’(x)g(x) dx = [f(x)·g(x)] - ∫f(x)·g’(x) Példák: 2 2 2 1 1 1 ∫2x2+1dx = ∫(2x+1/x)dx = [x2+ln|x| ] x 5 5 ∫ = 4+ln2 – (1+ln1) = 3+ln2 5 5 x-3 dx =

∫(x-3)1/2dx = [(x-3)3/2·2/3] = [2/3 3 3 3 2 ∫ 3x 3x2+1dx=1 0 2 3 (x-3)3 ] 3 2 = 2 (√8) = 4√2 3 3 2 3 3 2x-1 dx= ∫(2x-1)(x2-x-2)-2 dx = (x2-x-2)-1 = -1 2 2 1 2 (x -x-2) -1 x -x-2 1 1 π/2 2 ∫6x(3x2+1)1/2 dx = 1 [(3x2+1)3/2 2/3] = 1 [ 0 0 2 3 π/2 ∫ xcosxdx = [xsinx] 0 0 π/2 -∫sinxdx = π sinπ/2 – [-cosx] 0 2 (3x2+1)3 ] = 1 (√133 – 1) 0 3 3 = -1/4 + (-1/2) = -3/4 1 π/2 0 = π + cosπ/2 – cos0 = π - 1 2 2 f = sinx g’=1 2 2 1 1 ∫(x2+2)lnx dx = [(x3/3+2x)lnx] 2 - ∫(x3/3+2x)1/x dx = (8/3+4)ln2-(1/3+2)ln1 1 2 ∫(x2/3+2) dx = 1 2 = 20/3 ln2 – [(x3/9+2x)] 20/3 ln2 – (8/9+4-1/9-2) = 20/3 ln2 – 25/9 1 A határozott integrál geometriai jelentése Ha f(x)≥0 az [a,b]-ban és f itt integrálható akkor az y=f(x) görbe az x tengely és az x=a, x=b egyenesek által határolt síkrész területe (görbe alatti terület y = f(x) b T = ∫f(x)dx a a Például b Határozza meg f(x)=x2 esetén a görbe alatti területet

[0,1]-ban 1 1 0 0 T = ∫x2dx = [x3/3] = 1/3 ha f(x) ≤ 0 [0,1]-ban akkor a görbe alatti terület: b T = |∫f(x)dx| a 21. oldal Matematika Az integrálszámítás középértéktétele b Ha egy f függvény folytonos az [a,b]-ban, akkor van olyan c[a,b], hogy f(c) = ∫f(x)dx. 1 b-a a Megjegyzés: Az f(C) értéket az f függvény [a,b]-beli középértékének (átlag) nevezzük Y b f(x)(b-a) = ∫fx(dx) a a c b x Példa: Mennyi az f(x)=8-x2 függvény középértéke a [0,2]-ban 2 2 0 0 f(c) = 1/2∫(8- x2)dx = 1/2[8x - x3/3] = 1/2(16-8/3) = 1/2·40/8 = 20/3 Improprius integrál - véges intervallumban integrálandó függvény véges sok helyen nem folytonos de ezekben a pontokban a jobb illetve baloldali határérték létezik - véges intervallum egy vagy több pontjában f függvény nem korlátos 1 pl. ∫1/(1-x) az x=1-ben a függvény nem korlátos ezért improprius integrál 0 - az intervallum nem véges határú Integrálás végtelen

határú intervallumban 1. [a,+∞[  Ha a tetszőleges a < b esetén f integrálható és b lim ∫f(x)dx határérték létezik és véges b+∞ a +∞ +∞ b azt mondjuk, hogy az ∫f(x)dx improprius interál konvergens és értéke: ∫(fx)dx=lim ∫f(x)dx a 2. b+∞ a a ]-∞,b] b  Ha a tetszőleges a < b esetén f integrálható és [a,b]-ben lim ∫f(x)dx határérték létezik és véges a-∞ a b b b -∞ a-∞ a azt mondjuk, hogy az ∫f(x)dx improprius interál konvergens és értéke: ∫(fx)dx= lim ∫f(x)dx -∞  Ha az improprius integrál nem konvergens akkor divergensnek nevezzük.  [F(x)](b) = lim F(b) – F(a) +∞ a b+∞ b [F(x)] = F(b) – lim F(a) a-∞ -∞ Példák +∞ +∞ +∞ 1 1 1 ∫1/x2 dx = [x-1/-1](b) = [-1/x] 2. +∞ +∞ 1 1 = lim 1/b – 1 = -1 b+∞ ∫1/x dx = [ln|x| ](b) = lim ln|b| - ln1 = +∞ 3. +∞ ∫ 4 divergens b+∞ 1 +∞ 1/x +∞ xlnx dx = ∫ lnx dx

= [ln|lnx| ] = lim ln|lnb| - ln|ln4| = +∞ divergens 4 4 b+∞ 22. oldal Matematika 4. x 1 1 1 1 2 2 2 -2 2 -2 2 -1 2 (1+x ) dx = x(1+x ) dx = ½ 2x(1+x ) dx = ½[(1+x ) /-1] = ½[-1/(1+x )] = ∫ ∫ ∫ 1 -∞ -∞ -∞ -∞ -∞ 2 = ½(-1/2+ lim 1/(1+a )) = -1/4 a-∞ 3. ]-∞, ∞[ c -∞  Ha tetszőleges c  R esetén ∫f(x)dx és ∫f(x)dx improprius integrál konvergens akkor -∞ c +∞ az ∫f(x)dx improprius integrált konvergensnek nevezzük, amely értéke: -∞ +∞ c +∞ -∞ -∞ c ∫f(x)dx = ∫f(x)dx + ∫f(x)dx Megjegyzés +∞ Ha valamelyik tag nem divergens akkor az ∫f(x)dx is divergens -∞ Példa 5. +∞ ∫ 1 c +∞ c +∞ 1+x2 dx = ∫ 1/(1+x2)dx + ∫1/(1+x2) dx = [arctgx] +[arctgx] = arctgc – lim arctga + limarctgb - arctgc -∞ -∞ c -∞ c a-∞ b+∞ = π/2+π/2 = π 1 Mutassuk meg, hogy az f(x) = (x+1)2 görbe alatti terület első síknegyedbe eső részének területe véges. Y +∞ 1 =

lim 1 +1=1 +∞ (x+1)-1 2 b+∞ -1 b+1 T = ∫ (x+1) dx = 0 x Ismétlő példák 23. oldal Matematika Kétváltozós valós függvények Fogalma: {x;y | xR; yR} Jelöljük a rendezett valós számpárok halmazát R2 2  Ha xR z  R, x, z nem üres halmazok. Kétváltozós valós függvény alatt az f:xz egyértelmű leképzést értjük. Az x halmazt f függvény értelmezési tartományának nevezzük. jelölése: D f Z-nek leképezéssel kijelölt részét f függvény értékkészletének nevezzük. A z-nek az (a,b)x párhoz rendelt elemét f(a;b)-vel jelöljük és az f kétváltozós függvény P(a;b) pontbeli helyettesítési értékének (függvényértékének) nevezzük (f(P)) A függvény megadása Általában képlettel történik: (x;y)f (x;y) f (x;y) = képlet Például: f (x;y) = 4-x2-y2 Határozzuk meg az x-y párok azon legbővebb halmazát, ahol a függvény értelmezve van: 4-x2-y2≥0 y 4≥x2+y2 Df x 2 Mekkora a függvényérték a P(1;-1)

helyen: f(1;-1) = 4-1-1 = √2 Szemléltetés A D f minden (x;y)-hez ábrázoljuk a térbeli derékszögű koordináta rendszerben a P(x;y;f(x;y)) pontokat, ezen pontok összességét nevezem az f két változós függvény képének. az f függvény képe általában egy felület. z P(x;y;f(x;y)) y (x;y) x Alapfogalmak Korlátosság  Legyen A  D f  R2 Az f kétváltozós függvény korlátos az A halmazon, ha megadható K 1 , K 2 R úgy, hogy bármely (x;y)A esetén K 1 ≤ f (x;y) ≤ K 2 . Folytonosság  Az f kétváltozós függvény folytonos az (x 0 ;y 0 )  D f pontban, ha bármely ε > 0-hoz megadható δ > 0 úgy, hogy |f (x;y) – f (x 0 ;y 0 )|< ε, ha (x-x 0 )2 + (y-y 0 )2 < δ. P 0 (x 0 ;y 0 ) δ sugarú környezete  Azon P(x;y) pontok halmazát, amelyekre (x-x 0 )2 + (y-y 0 )2 < δ teljesül a P 0 (x 0 ;y 0 ) δ sugarú környezetének nevezzük. z y P 0 (x 0 ;y 0 ) y P(x;y) 24. oldal Matematika Kétváltozós függvények

differenciálása (parciális derivált)  Legyen g(x) = f (x;y 0 ). A g(x) függvény x 0 -beli differenciálhányadosát az f kétváltozós függvény P 0 (x 0 ;y 0 )-beli x-szerint parciális differenciálhányadosának nevezzük. Ha g(x) differenciálható x 0 -ban akkor az f kétváltozós függvény x szerint parciálisan differenciálható a P 0 (x 0 ;y 0 )-ban.  Legyen h(y) = f (x 0 ;y). A h(x) függvény y 0 -beli differenciálhányadosát az f kétváltozós függvény P 0 (x 0 ;y 0 )-beli y-szerint parciális differenciálhányadosának nevezzük. Ha h(y) differenciálható y 0 -ban akkor az f kétváltozós függvény y szerint parciálisan differenciálható a P 0 (x 0 ;y 0 )-ban. lim f (x 0 + Δx;y 0 ) – f(x 0 ;y 0 ) Δx0 Δx lim f (x 0 ;y 0 + Δy) – f(x 0 ;y 0 ) Δy0 Δy  Legyen az f kétváltozós függvény az A  D f minden pontjában x-szerint parciálisan differenciálható. Azt a függvényt, ami az A halmaz minden pontjához a pontokbeli

x-szerinti parciális deriváltakat rendeli az f elsőrendű x-szerinti parciális derivált függvényének (röviden deriváltjának) nevezzük.  Legyen az f kétváltozós függvény az A  D f minden pontjában y-szerint parciálisan differenciálható. Azt a függvényt, ami az A halmaz minden pontjához a pontokbeli y-szerinti parciális deriváltakat rendeli az f elsőrendű y-szerinti parciális derivált függvényének (röviden deriváltjának) nevezzük. Jelölése: f x’ , f’y , vagy f f x y Technikailag f x’ esetén a deriválást x-szerint végezzük, y-t konstansként kezeljük. f y’ esetén a deriválást y-szerint végezzük, x-t konstansként kezeljük. Például: 1. f (x;y) = 2xy2 + ex/y f ’x = 2y2 + ex/y f y’ = 2x2y + ex/yx(-1)y-2 y 2. g(x;y) = x g’y = xylnx g’x =yx y-1 x 3. h(x;y) = e tg(x+2y) h’y = ex 1/cos2(x+2y) 2 h’x = extg(x+2y) + ex 1/cos2(x+2y) Magasabbrendű parciális deriváltak  Ha az elsőrendű parciális deriváltak

differenciálható függvények, akkor ezek x, illetve yszerinti parciális deriváltjait az f függvény másodrendű parciális deriváltjainak nevezzük. Hasonlóan értelmezhető a magasabbrendű derivált függvények. Jelölése: 2 2 ” , f”yy , tiszta másodrendű parciális deriváltak f xx vagy f f 2 2 ” , f”yx , vegyes másodrendű parciális deriváltak f xy x y Például: ” = 0 + 1/y ex/y 1/y = 1/y 2 ex/y 1. f xx Tétel ” és f”yx létezik és folytonos egy P 0 pontban, akkor itt f”xy (x 0 ;y 0 ) =”f yx (x 0 ;y 0 ) Ha f xy Szélsőérték számítás z Legyen f függvény értelmezve a P 0 (x 0 ;y 0 ) valamely δ sugarú környezetében. Az f függvénynek a P 0 (x 0 ;y 0 ) pontban helyi minimuma van, f(x;y) y ha bármely δ sugarú környezetben lévő P(x;y) pont esetén f(x;y)> f(x 0 ;y 0 ) f(x 0 ;y 0 ) Az f függvénynek a P 0 (x 0 ;y 0 ) pontban helyi maximuma van, ha bármely δ sugarú környezetben lévő P(x;y) pont esetén f(x;y)<f(x 0 ;y 0

) P(x;y) x P(x 0 ;y 0 ) 25. oldal Matematika Tétel (szükséges feltétel) Ha az f függvény x és y szerint parciálisan deriválható a P 0 (x 0 ;y 0 ) pontban és itt helyi maximuma vagy minimuma van akkor az f x’(x 0 ;y 0 )=0, ’f y (x 0 ;y 0 )=0. Tétel (elégséges feltétel) Tegyük fel, hogy a másodrendű deriváltak léteznek és folytonosak P 0 (x 0 ;y 0 ) pontban is és ’ f x (x 0 ;y 0 )=0, f’y (x 0 ;y 0 )=0. ” yy (x 0 ;y 0 ) – ”(f xy (x 0 ;y 0 ))2 > 0, akkor (x 0 ;y 0 )-ban helyi szélsőérték Ha a D(x 0 ;y 0 ) = f”xx (x 0 ;y 0 )·f van, mégpedig helyi maximum,”ha f xx (x 0 ;y 0 )<0 illetve helyi minimum,” ha f xx (x 0 ;y 0 )>0 Ha D(x 0 ;y 0 )<0, akkor a P 0 (x 0 ;y 0 ) pontban nincs helyi szélsőérték. A P 0 pont nyeregpont Ha D(x 0 ;y 0 )=0, akkor más módszerekhez kell folyamodni. Például Határozzuk meg, hogy hol vannak az f(x;y) = x3-3xy+y3 függvénynek helyi szélsőértékei! f x’ = 3x2 – 3y f’y = -3x + 3y2 y

= x2 -3x + 3x4 = 0 -3x(1-x3) = 0 3x2 – 3y = 0 -3x + 3y2 = 0 x=0 x=1 Stacionárius pontok: (0;) és (1;) ” = 6x f xx f yy” = 6y y=0 y=1 ” = f”yx = -3 f xy ” (0;0) = f”yx (0;0) = -3 ” (0;0) = 0 f xx f yy” (0;0) = 0 f xy 2 D(0;0) = 0·0-(-3) = -9 Mivel –9 < 0, a (0;0) pontban nincs szélsőérték, a (0;0) pont nyeregpont ” (1;1) = 6 ” (1;1) = f”yx (1;1) = -3 f xx f yy” (1;1) = 6 f xy 2 D(1;1) = 6·6-(-3) = 27 Mivel 27 > 0, ezért az (1;1) pontban van szélsőérték, mégpedig, mivel f xx” (1;1) = 6>0 ezért helyi minimum van, amely értéke: f(1;1) = 1-3+1= -1. Gazdasági alkalmazása Egy vállalat kétféle terméket állít elő A-t és B-t, A-ból x egységnyit, B-ből y egységnyit. A termelésnél a napi költség: C(x;y) = 0,04x2+0,01xy+0,01y2+4x+2y+500. A terméket 15$-ért, B terméket 9$-ért adják el. Határozzuk meg, hogy milyen termékösszetétel esetén lesz maximális a profit R(x;y)=15x+9y

P(x;y)=R(x;y)-C(x;y)=11x+7y-0,04x2-0,01xy-0,01y2-500 x>0; y>0 P x’ = 11-0,08x-0,01y P y’ = 7-0,01x-0,02y P x’ = 0 0,08x+0,01y=11 0,01x+0,02y=7 -0,16-0,02y=-22 -0,15x=-15 8+0,01y=11 ·(-2) 0,01y=3 x=100 y=300 Stacionárius pont: (100;300) ” = -0,08 P xx ” = -0,02 P yy ” = -0,01 P xy D(100;300) =(-0,08)(-0,02)-(-0,01)2 = 0,0016-0,0001=0,0015>0 ” <0 helyi maximuma van. Akkor lesz A függvénynek a (100;300) pontban van szélsőértéke, mivel a P xx maximális a profit, ha az A termékből 100 a B termékből 300 egységnyit termelnek. A maximális profit mértéke P(100;300) = 1100. 26. oldal Matematika Kétváltozós függvények integrálása - Kettős integrál  A sík véges sok görbe által határolt részét síkbeli tartománynak nevezzük.  A síkbeli tartományt nyíltnak nevezzük, ha a határoló görbék pontjai nem tartoznak hozzá a tartományhoz és zártnak, ha hozzátartoznak.  A síkbeli tartományt korlátosnak nevezzük,

ha megadható olyan téglalap, hogy a tartomány minden pontja a téglalap belső pontja. A síkbeli tartomány átmérője alatt pontjai távolságának maximumát értjük. Jele: δ(A)   Az A tartomány n részes felosztása alatt az A = A2 A 1 UA 2 UUA n felosztást értjük, ahol a résztartományoknak csak a A1 határoló görbékkel lehet közös pontjuk (Fn) An  A n {Fn} felosztássorozat minden határon túlfinomodó, ha n+∞ esetén a leghosszabb átmérő is 0-hoz tart. (max (δ(A n ))0, ha n+∞)  Legyen az f kétváltozós függvény korlátos a korlátos és zárt T síkbeli tartományban. Vegyük a T tartomány n részes felosztását T = T 1 UT 2 UUT n . Válasszunk minden T i Z=f(x;y) résztartományban egy tetszőleges (x i ;y i ) pontot, feltéve, hogy a T i tartományok területei léteznek: t(T i ). (nem deffiniáljuk, n f(x 1 ;y 1 ) f(x 2 ;y 2 ) hogy ez mit jelent) a ∑ f(x i ;y i )t(T i ) összeget az f kétváltozós i=1 (x 1 ;y 1 )T 1 függvény

ezen felosztásához összegének nevezzük. T 2 (x 2 ;y 2 ) tartozó integrálközelítő  Ha tetszőleges minden határon túlfinomodó felosztássorozat esetén az integrálközelítő összegek ugyanazon véges értékhez tartanak, akkor azt mondjuk, hogy az f kétváltozós függvény integrálható a T tartományon és a kettős integrál értéke ezzel a véges értékkel egyenlő. n Azaz: lim ∑ f(x i ;y i )t(T i ) határérték létezik és véges. n+∞i=1 (max(δ(T i )0) Jelölés: ∫ ∫f(x;y)dT olvasd: kettős integrál a T tartományon f(x;y)dT T Geometriai jelentése Ha f integrálható a T tartományon és f(x;y)≥0 itt, akkor ∫ ∫f(x;y)dT integrál a T tartomány és T A felület neki megfelelő darabja közötti függvényrész neki megfelelő térfogatát adja. Integrálhatóság feltételei Szükséges feltétel: f(x;y) korlátos legyen T-ben Elégséges feltétel: f(x;y) folytonos legyen T-ben (több feltétel is van) A kettős integrál

alapvető tulajdonságai (tételek) Ha f és g integrálható T tartományon és cR, akkor f+g és c·f is integrálható, mégpedig: ∫ ∫(f(x;y)+g(x;y))dT= ∫ ∫f(x;y)dT + ∫ ∫g(x;y)dT T T T ∫ ∫cf(x;y) =c ∫ ∫f(x;y)dT T T 27. oldal Matematika A kettős integrál kiszámítása (tétel) Legyen T egy téglalap tartomány T{(x;y)|a≤x≤b;c≤y≤d} d c a b Tegyük fel, hogy f integrálható T tartományban d ∫ ∫f(x;y)dT = ∫ T c b b d a a c ( ∫ f(x;y)dx)dy = ∫ ( ∫ f(x;y)dy)dx ha a belső integrálok a rögzített változó (ami nem az integrációs változó) minden lehetséges értékénél léteznek. Kiszámítás: - mindig a belső integrált számítjuk ki először, a nem integrációs változót konstansként kezelve - a határok behelyettesítése után egyváltozós függvényt kapunk, amit integrálunk a másik változó szerint Például T ∫ ∫(x2;y2x)dT T{(x;y)|0≤x≤1;0≤y≤2} 2 T 2 ∫ ( ∫ (x2;y2x)dx)dy = ∫

[x3/3+ y2·x2/2] dy = 1 2 1 1 2 2 3 (1/3+1/2y )dy = [1/3y+1/2 y /3] = 2/3+8/6 = 2 ∫ 0 0 0 0 0 xy2 ∫∫ 1+x2 dT 2 0 T{(x;y)|0≤x≤2;-1≤y≤1} T 2 1 xy2 dy)dx = 1+x2 -1 ∫ (∫ 0 2 2 ∫ 0 x y3 1 [ 1+x2 3 ] dx = -1 2 ∫ 0 x 2 1 ( 1+x2 (1/3+1/3))dx= · 3 2 2 2x ∫ 1+x2 dx = 0 2 [1/3ln(1+x )] = 1/3(ln5-ln1) = 1/3ln5 0 A kettős integrál definiálható tetszőleges görbék által határolt T tartomány esetén is, de ezekkel nem foglalkozunk. 28. oldal