Matematika | Felsőoktatás » Parciális differenciálegyenletek

Par iális Dieren iálegyenletek Néhány elemi példa (2007, 0. verzió) Tartalomjegyzék 1. A par iális derivált fogalma 1 2. A par iális dieren iálegyenlet fogalma 2 3. Néhány elemi úton megoldható PDE 4 1.1 Többváltozós, R érték¶ függvények 1.2 Többváltozós, R m érték¶ függvények 3.1 3.2 3.3 3.4 Példa: Példa: Példa: Példa: ux = 0. uxy = 0. uxy + 2xuy = 0. a rezg® húr . 4. Par iális dieren iálrgyenletrendszerek 1 2 4 4 6 8 10 4.1 Példa: ux = 0; uy = 0 10 4.2 Példa: ux = f (x; y); uy = g(x; y) 10 4.3 Példa: ux = f (x; y; u); uy = g(x; y; u) 14 1. A par iális derivált fogalma 1.1 Többváltozós, R érték¶ függvények Jelölje fe1 ; :::; en g az R n kanonikus bázisát, U  R n, és x 2 U . Dení ió (Többváltozós, valós érték¶

függvény par iális deriváltjai) Legyen Az f : U ! R n-változós R érték¶ függvény i-edik par iális deriváltja az x pontban a f f (x + tei ) : (x) = lim i t!0 x t f (x) (1) határérték, feltéve, hogy ez a határérték létezik. Geometriai interpretá ió. Vizsgáljuk meg, hogy mi a geometriai jelentése a bevezetett par iális deriváltaknak. Ehhez válasszuk a legegyszer¶bb esetet, amikoris n = 2, azaz f egy kétváltozós függvény. Legyen az x = (x1 ; x2 ) az értelmezési tartomány egy pontja. Az x + te1 = (x1 ; x2 ) + t(1; 0) = (x1 + t; x2 ) (2) illetve az x + te2 = (x1 ; x2 ) + t(0; 1) = (x1 ; x2 + t) (3) az értelmezési tartomány két görbéje. Ezek átmennek az x ponton Az els®t piros, a másodikat kék szaggatott vonalak jelölik. Ezek után tekintsük az f által meghatárott felületet. Az x-hez tartozik egy felületi pont. Ezen keresztül halad a (2) és (3)-nak megfelel® felületi görbe. Az (2)-höz tartozót piros, a (3)-hoz tartozó

felületi görbéket kék folyamatos vonal jelöli. Ezen görbék érint®jének (piros illetve kék nyilak) a meredeksége nem más, mint az els® illeve második par iális derivált. u x2 x x1 1 1.2 Többváltozós, Rm érték¶ függvények Komponensfüggvények . Legyen U  R n . Ha f : U ! R m egy n-változós R m érték¶ függvény, akkor minden x 2 U pontban az f (x) koordinátáit rendre f 1 (x), ., f m (x)-szel jelölve azt kapjuk, hogy
f (x) = f 1 (x); :::; f m (x) : (4) E szerint az f meghatároz m darab U -n értelmezett valós függvényt: f i , i = 1; :::; m. Ez természetesen fordítva is igaz, ha veszünk m darab U -n értelmezett valós érték¶ függvényt, akkor az (4) formula által deniált f egy n-változós R m érték¶ függvény lesz. Példa. Ha f : R 2 ! R 3 , ahol f (x1 ; x2 ) =: x1 + x2 ; x1 x2 ; f 1 (x1 ; x2 ) = x1 +x2 ; f 2 (x1 ; x2 ) = x1 x2 ;
: sin(x1 x2 ) f 3 (x1 ; x2 ) = sin(x1 x2 ): Dení ió (Többváltozós, vektor

érték¶ függvény par iális deriváltjai) Legyen Az f : U ! R m n-változós vektor érték¶ függvény, ahol
f koordinatafüggvényeit f j -vel jelöljük, azaz f (x) = f 1(x); :::; f m (x) : Ekkor: f j f j (x + tei ) f j (x) : (x) = lim (5) t!0 xi t határérték, feltéve, hogy ez a határérték létezik. Példa. Ha f : R 2 ! R 3 , ahol f (x1 ; x2 ) =: x1 + x2 ; x1 x2 ; f 1 (x1 ; x2 ) = 1; x1 f 1 (x1 ; x2 ) = 1; x2 f 2 (x1 ; x2 ) = x2 ; x1 f 2 (x1 ; x2 ) = x1 ; x2 sin(x1 x2 ) f 3 (x1 ; x2 ) = x2 x1 f 3 (x1 ; x2 ) = x1 x2
: os(x1 x2 ) os(x1 x2 ) 2. A par iális dieren iálegyenlet fogalma A par iális dieren iálegyenlet és egyenletrendszerek fogalmát - akár sak azt a közönséges dieren iálegyenletek esetén az els® félévben tettük - teljes pontossággal nem deniáljuk, supán sak körülírjuk. Ha par iális dieren iálegyenleteket és egyenletrendszereket vizsgálunk, akkor olyan egyenleteket illetve egyenletrendszereket vizsgálunk

melyekben valamilyen ismeretlen függvény par iális deriváltjaira vonatkozó ismeretünk van (egyenlet illetve egyenletrendszer, plusz esetlegesen megfelel® kezdeti érték feltétel), és szerentnénk meghatározni a feltételeknek eleget tev® megoldást. Az egyenletben illetve az egyenletrendszerben el®forduló legmagasabb 2 deriváltnak a rendjét az egyenlet (egyenletrendszer) rendjének nevezzük. Egy els®rend¶ (impli it) egyenlet: F (x1 ; :::; xn ; u; u1 ; :::; un ) = 0 aminek egy megoldása az olyan u : D( R n) ! R függvény, amelyre teljesül az   u u F x1 ; :::; xn ; u(x); ; :::; 0 x1 xn egyenlet. Egy k-ad rend¶ (impli it) egyenlet: F (x1 ; :::; xn ; u; u1 ; :::; un ; :::; ui1 :::ik ) = 0; aminek egy megoldása az u : D( R n ) ! R függvény, amire teljesül az  F u u ku x1 ; :::; xn ; u(x); ; :::; ; :::; x1 xn xi1 :::xik   0: Kezdeti érték probléma (Cau hy feladat). Itt olyan u(x) megoldásokat keresünk, ami illeszkedik egy

rögzített (az ábrán piros) P 2 R n+1 pontra, azaz amennyiben P koordinátáit (x0 ; u0 )-nal jelöljük, akkor az u(x) eleget tesz az u(x0 ) = u0 feltételnek. u P (x 0 ; u 0 ) x0 x Peremérték probléma: Egy T tartományon keressük a par iális dieren- iálegyenlet olyan megoldásait, mely értéke el®re megadott a T peremén (pirossal jelölt). u x 3 3. Néhány elemi úton megoldható PDE 3.1 Példa: ux = 0. Tekintsük a lehet® legegyszer¶bb egyenletet: u x (6) =0 egyenletet. Az egyenletetb®l adódik, hogy az u(x; y) függvény - rögzített y értékek melllett - nem függ az x változótól, azaz konstans. Természetesen ez a konstans más és más y értékek mellett más és más szám lehet. Ezek szerint u(x; y ) = (y ): Egy tetsz®leges (y) függvényhez tartozó megoldás (a kezdeti érték pirossal): u (y ) x Az fenti ábrán jól látható, hogy a x-tengely irányában a függvény értéke nem változik, azaz konstans. 3.2 Példa: uxy =

0. Tekintsük a 2u xy egyenletet. Az egyenletet  x  u y (7) =0  =0 formába írva adódik, hogy a u y függvény - rögzített y értékek melllett - nem függ az x változótól, azaz konstans. Természetesen ez a konstans más és más y értékek mellett más és más szám lehet. Ezek szerint u y = (y ): Rögzített x-e mentén integrálva az y szerint adódik, hogy a megoldás: Z u(x; y ) = (y )dy + C1 (x) = C1 (x) + C2 (y ): (8) Tehát az (7) minden megoldása (8) alakú. Megfordítva: minden (8) alakú u(x; y ) megoldása (7)-nek, tehát (8) az egyenletrendszer általános megoldás. Tetsz®leges C1 (x) és C2 (y) függvényekhez tartozó megoldások (a kezdeti értékeket meghatározó görbék pirossal): 4 u 2 (y ) y 1 (x) x Amint látható, a különböz®, de rögzített x értékekhez tartozó görbék (az ábrán kék színnel) egymás eltoltjai, azaz sak egy konstansban különböznek. Hasonlóan, a különböz® rögzített y

értékekhez tartozó görbék (az ábrán piros színnel) egymás eltoltjai azaz szintén sak egy konstansban különbözhetnek. Feladat Határozzuk meg (7) egyenletnek olyan u(x; y) megoldását, melyre az igaz, hogy u(0; y ) = y 2 : u(x; 0) = sin x; (9) Megoldás: A (7) egyenletnek az általános megoldását (8)-ban már megad- tuk. Most meg kell határozni a C1 (x) és C2 (y) függvényeket úgy, hogy (9) feltérteleknek az u(x; y) megfeleljen. Az általános alakba a két feltételt behelyettesítve adódik: u(x; 0) = C1 (x) + C2 (0) = sin x u(0; y ) = C1 (0) + C2 (y ) = y 2 A látható, hogy a C1 (x) = sin x és a C2 (y) = y2 függvényekhez tartozó u(x; y) = sin x + y2 egy, a feltételeknek megfelel® megoldása az egyenletnek. 4 3 2 1 0 -1 -2 -6 -4 -2 0 0 2 4 1 0,5 2 1,5 y 6 x Ez a konkrét példa is jól szemlélteti, hogy a megfelel® paramétervonalak (a pirosak illetve a kékek) egymás eltoltjai. 5 3.3 Példa: uxy + 2xuy = 0. Tekintsük a 2u

xy + 2x u y (10) =0 egyenletet. Rögzített y érték mellett legyen v(x) := uy (x; y) A (10) egyenlet alapján dv dx azaz + 2xv = 0; dv dx 2xv: = Ez egy szeparábilis közönséges dieren iálegyenlet, aminek a megoldása: Z 1 v ln Z dv = xdx; 2 x2 + C jvj = x2 v (x) = C0 e : Természetesen, a különbüz® y-nokhoz tartozó C0 "konstans" más és más lehet, így az adódik, hogy igazából C0 = C0 (y) és u y = C0 (y )e x2 : Rögzített x-ek mellett integrálva a fenti egyenl®séget kapjuk az u(x; y ) = e azaz x2 u(x; y ) = e Z C0 (y )dy + C1 (x); x2 (11) C2 (y ) + C1 (x): Tehát az (10) minden megoldása (11) alakú. Megfordítva: minden (11) alakú u(x; y) megoldása (10)-nek, tehát (11) az egyenletrendszer általános megoldása, ahogy ezt számolással könnyen leellen®rizhetjük. Feladat: az általános alak ismeretében keressük meg (10) egyenlet azon u(x; y ) megoldását, amire igaz, hogy u(x; =2) = u(0; y ) = x2

: (12) (13) os y; Megoldás: Behelyettesítve (11)-be és (13) peremfeltételt véve: u(0; y ) = e0 C2 (y ) + C1 (0) = C2 (y ) + C1 (0) = 2 adódik, amib®l y = =2 helyettesítéssel adódik, hogy u(0; =2) = C2 (=2) + C1 (0) = 0 6 os y Jelöljük a C1 (0) értékét a-val, ahol a 2 R . Ekkor tehát C2 (y ) = os y (14) a: Behelyettesítve a (12) peremfeltételbe x2 = 2 u(x; =2) = ex C2 (=2) + C1 (x) = = adódik, amib®l ex e 2 x2 os(=2) ( a
+C1 (x) a) + C1 (x) 2 C1 (x) = aex 2: (15) +x Ezek szerint a (12) és (13) peremfeltételeknek eleget tev® u(x; y) megoldás: 2 u(x; y ) = ex C2 (y ) + C1 (x) 2 = ex = ex 2 os y a os y + x
2 +ae x2 2 +x 3 2 1 0 1 0,8 0,6 0,4 x 0,2 -1 6 4 2 y 0 -2 -4 -6 0 Bár ennek a megoldásnak az alakja is hasonlít az el®z® pédában adott egyenlet konkrét példájának alakjához, jól lehet látni a különbséget: itt a megfelel® paramétervonalak nem lesznek egymás eltoltjai. 7 3.4

Példa: a rezg® húr Jelölje u(x; t) a húr x pontjának t id®ben az egyensúlyi pontjához képest mer®leges irányú kitérésnek nagyságát: u(x) x Ha az anyag homogén a kitérés pedig ki si, akkor a utt a2 uxx = (16) másodrend¶ par iális dieren iálegyenlet írja le a húr rezgését. DAlamber módszer Az általános megoldás megadásához vezessük be az  és  mennyiségeket, ahol  = x at;  = x + at: (17) Az (u; t) helyett használható a most bevezetett (; ) a rendszer paraméterezésére. Ekkor x= + Ha az 2 ; t= U (;  ) = u x(;  ); t(;  )
  2a = u :  +   2 ; függvény par iális deriváltjait meghatározzuk, akkor u ux = x  + ut t  ux = 1 ut 2  2a 1 2a és így u = =  x (ux )x  1 2 1 4 uxx +  = 1 4 uxx 1 t + (ux )t  uxt 4a 1 2 utt 1  4a  1 2a 1 utx 4a2  x (ut )x  t + (ut )t   utt a Ezek szerint a (17) egyenlet u =0 (18) formába írható. Az ilyen

típusú dieren iálegyenlettel a 32-es pédában ( sak ott a változókat x és y, itt pedig  és  jelöli). Ezek szerint a (18) általános megoldása u(;  ) = f ( ) + g ( ): 8 alakú, ahol f és g tetsz®lege (dieren iálható) függvény lehet. Ennek alapján az (16) általános megoldása: u(x; t) = f (x (19) at) + g (x + at): Cau hy probléma Tegyük fel, hogy a t = 0 id®pillanatban tudjuk, hogy a húr alakját, azaz adott x pont helyét a (x) függvény, ugyanebben az id®pillanatban az x pont sebességét pedig a (x) függvény írja le. Határozzuk meg azt az u(x; y) megoldását a (16) egyenletnek, mely teljesíti ezeket a peremfeltételeket! A (16) egyenlethez tartozó Cau hy probléma tehát a u t=0 = (x); ut t=0 = (20) (x) peremfeltételek írják le. A megoldás (19)-b®l adódó általános alakja alapján u ut t=0 = t=0 = (x) = f (x) + g (x) (21) a f 0 (x) + a g 0 (x) (x) = Ennek megoldásával adódik, hogy f (x) = 1 2 1 (x) g (x)

= (x) Z x 2a 0 f (x) = (y ) dy + C = 1 2 (x) + 1 2a Z x 0 1 2 (x) + (y ) dy 1 Z 2a x 0 (y ) dy + C C amib®l azt kapjuk, hogy u(x; t) = f (x = (x at) + g (x + at) at) + (x + at) 2 9 + 1 Z x+at 2a x at (y )dy 4. Par iális dieren iálrgyenletrendszerek A gyakorlati életben lejátszódó folyamatok meggyelésével gyakran juthatunk olyan problémával, amikor a folyamatot leíró, illetve származtató ismeretlen függvényre és annak par iális deriváltjaira nem sak egy, hanem kett®, esetleg mégtöbb egyenlet ír el® feltételt. Az ílyen rendszereket par iális differen iálrgyenletrendszereknek nevezzük 4.1 Példa: ux = 0; uy = 0. Tekintsük a legegyszer¶bb egyenletet: u x u y = 0; (22) =0 egyenletrendszert. Az egyenletetekb®l az adódik, hogy az u(x; y) függvény rögzített y értékek mellett - nem függ az x-t®l, rögzített x értékek melllett nem függ az y-tól, azaz konstans Ezek szerint a megoldás u(x; y ) = : Egy

tetsz®leges -hez tartozó megoldásfüggvény (a kezdeti érték pirossal): u x 4.2 Példa: ux = f (x; y ); uy = g (x; y ). A vizsgált egyenlettípust a ux = f (x; y ); uy = g (x; y ) (23) els®rend¶ egyenletrendszerrel írhatjuk le, ahol f; g : U ( R 2 ) ! R két differen iálható függvény. Keressük tehát azt az u = u(x; y) dieren iálható függvényt, melyre igaz, hogy az x irányú változását az f m az y irányú változását a g függvény írja le. Ez az egyenletrendszer nem minden esetben oldható meg. Ennek az az oka, hogy - amennyiben létezik a feladatnak megoldása -, akkor az f és a g függvények között bizonyos összefüggésnek kell teljesülnie. Ha ugyanis a feladatnak van megoldása, azaz létezik az u(x; y) kétszer folytonosan differen iálható függvény amire teljesülnek a fenti egyenletek, akkor a vegyes par iális deriváltak megegyeznek: uxy = 10 uyx (24) azaz  uy x =  ux y (25) A (25) egyenletbe a (23)-t

felhasználva az ux és uy helyére behelyettesíthetjük af f és g függvényeket, és kapjuk a f g (x; y ) = (x; y ) y x (26) egyenlet. Ez tehát a megoldhatóság egy szükséges feltétele Ezek szerint ha azt akarjuk, hogy a (23) egyenlet megoldható legyen, akkor nem választhatjuk tetsz®legesen az f és g függvényeket. Mi a helyzet akkor, ha olyan egyenletrendszerünk van, ahol a (26) feltétel teljesül? Ahogy azt a következ® tételb®l láthatjuk, ha ez a feltétel teljesül, akkor minden kezdeti értékhez van megoldás. 1 Tétel. Tegyük fel, hogy f; g : R 2 ! R két folytonosan dieren iálható függvény, és eleget tesz a (26) egyenletnek a (x0 ; y0 ) egy környezetében. Ekkor tetsz®leges u0 2 R esetén létezik olyan u függvény az (x0 ; y0 ) egy környezetében, hogy 8 > < u0 = u(x0 ; y0 ) > : Bizonyítás. ux = f (x; y ) uy = g (x; y ) A tétel bizonyítását úgy végezzük, hogy meghatározzuk az u megoldást, azaz megmondjuk, hogy

hogyan kell meghatározni tetsz®leges (x; y ) esetén a hozzá tartozó u(x; y ) értéket: u u0 u(x; y ) =? y (x0 ; y0 ) (x; y ) x A megoldás során azt használjuk fel, hogy az ismeretlen u(x; y) függvényr®l a következ®ket tudjuk: 1. Tudjuk, hogy az (x0 ; y0 ) pontban mi a függvényérték: u(x0 ; y0 ) = u0 ; 2. Tudjuk, hogy rögzített y értékek mellett hogyan változik (hogyan n® vagy sökken) az u értéke, hiszen ilyen irányba R az u deriváltja ismert: ux = f . Így rögzített y értékek mentén u = f dx 11 3. Tudjuk, hogy rögzített x értékek mellett hogyan változik (hogyan n® vagy sökken) az u értéke, hiszen ilyen irányba R az u deriváltja ismert: uy = g . Így rögzített x értékek mentén u = gdy Ezek után határozzuk meg az (x; y) pontbeli függvényértéket a következ® módon: 1. lépés: Deniáljuk az u-t az (x0 ; y0 ) az u(x0 ; y0 ) = u0 -lal: u u0 y (x0 ; y0 ) x 2. lépés: Mivel tudjuk, hogy a rögzített y0 mellett

hogyan változik az u, azaz mi az ux : (ux = f ), így meghatározhatjuk az u értékét az (x; y0 ) pontok mentén: Z : u(x; y0 ) = u0 + x x0 f (t; y0 )dt u u0 x= u f u(x; y0 ) y Rx = z0 + x 0 f dx (x0 ; y0 ) (x; y0 ) x 3. lépés: Rögzített x mellett az u változását az uy adja, ami az uy = g formula miatt adott, így meghatározhatjuk az u értékét az (x; y) pontok mentén (most az x-et rögzítettük): : u(x; y ) = u(x; y0 ) + = u0 + Z x x0 Z y y0 g (x; s)ds f (t; y0 )dt + 12 Z y y0 g (x; s)ds (27) u u0 u y u = u(x; y0 ) Ry + y 0 gdy y (x; y ) (x0 ; y0 ) (x; y0 ) x Az így kapott u(x; y) függvényre teljesül, hogy  az (x0 ; y0)-ban felvett értéke az adott u0 , hiszen u(x0 ; y0 ) = u0 +  Z x0 x0 f (t; y0 )dt + Z y0 y0 g (x; s)ds = u0 + 0 + 0 = u0 Az y -szerinti par iális derivéltra adódik, hogy uy (x; y ) = y u0 +y Z x x0 f (t; y0 )dt+y Z y y0 g (x; s)dy = 0+0+g (x; y ) = g (x; y ) hiszen az els® két nem

függ az y-tól.  Az, hogy ux = f minden (x; y) pontban nem teljesen automatikus. Ezt ugyanis a konstruk ió miatt sak az (x; y0 ) pontokban tudjuk az u-ról. Ennek a tulajdonságnak a megmutatásához kell felhasználni a (26) egyenletet. Ha megvizsgáljuk a y ! ux f (x; y ) rögzített x értékek mellet, akkor (26)-b®l azt kapjuk, hogy a deriváltja azonosan nulla, azaz konstans ez a függvény. Másrészt az y = y0 -ban nulla. Ezek szerint ux f (x; y)  0, azaz ux Példa 1. Tekintsük az ux =  f (x; y) x3 y; uy = xy 3 (28) egyenletrendszert! Ebben a konkrét példában : : f = x3 y; g = xy 3 A (26) feltétel ellen®rzéséhez a megfelel® par iális deriváltakat kiszámolva azt kapjuk, hogy f y = x3 ; g x = y3 ) f y g 6= x így a megoldás létezésének (26) szükséges feltételének a rendszer nem tesz eleget, aminek alapján ki tudjuk jelenteni, hogy a (28) egyenletrendszernek ni s megoldása. 13 Példa 2. Tekintsük az ux 2 = 6(xy + x

); uy = 3x 2 (29) egyenletrendszert! Amennyiben létezik, adjuk meg az egyenletrendszer azon u(x; y) mgoldását, melyre u(0; 1) = 2! Megoldás. x0 Ebben a példában y0 = 0; u0 = 1; = 2; f 2 = 6(xy + x ); g = 3x 2; A (26) feltétel ellen®rzéséhez a megfelel® par iális deriváltakat kiszámolva azt kapjuk, hogy f y g x = 6x; f y ) = 6x = g x az egyenletrendszernek a 1 tétel értelmében van olyan megoldása, amire igaz, hogy u(0; 1) = 2. Ezt a megoldást meghatározhatjuk a (28) formulába történ® helyettesítéssel: uy (x; y ) = u0 + Z x Z y f (t; y0 )dt + g (x; s)ds x0 y0 Z x Z y 2 2 =2+ 6(t + t )dt + 3x ds 0 =2+6 t2  2 =2+6 + x2 3 2 1 h i 2 y + 3x s 3 0 1   2 3 x 0 t3 + = f (x; y; u); uy 6 3 = 2 + 2x + 3x 4.3 Példa: ux x 2y = 2 + 03 3  2 + 3x (y 1) g (x; y; u). Az el®z® példához hasonló, de annál áltakánosabb esetetet kapunk, ha az f; g folytonosan dieren iálható függvények

háromváltozósak, és keressük azt az u(x; y ) kétváltozós függvényt, melyre ( ux = f (x; y; u); uy = g (x; y; u): (30) Hasonlóan az el®z® esethez, itt sem lehet tetsz®leges az f és a g, amennyiben van az egyenletrendszernek megoldása. Ha ugyanis van az egyenletrendszernek egy u(x; y) megoldása, akkor a másodrend¶ vegyes par iális deriváltak egyenl®ségéb®l adódik, hogy uxy = f f u (x; y; u(x; y )) + (x; y; u(x; y )) (x; y ) y z y = g u g (x; y; u(x; y )) + (x; y; u(x; y )) (x; y ) x z x jj uxy 14 Mivel itt még nem sak az f illetve a g szerepel, ez még nem túl hasznos ebben a formában. Viszont az (30) eredeti egyenleteket felhasználva adódik, hogy amennyiben van megoldás, akkor az f f (x; y; u(x; y )) + (x; y; u(x; y ))
g (x; y; u(x; y )) y z g g = (x; y; u(x; y )) + (x; y; u(x; y ))
f (x; y; u(x; y )) x z Ezek szerint ha létezik megoldás, akkor az f y + f
g z = g x + g
f z (31) egyenletnek

teljesülnie kell a megoldás pontjaiban. Ha ráadásul a (31) feltétel minden (x; y; u) pontra teljesül, akkor minden kezdeti értékhez létezik megoldás: 2 Tétel. Legyenek az f és g függvények az R 3 egy nyílt U környezetében deniáltak. Ekkor minden (x0 ; y0 ; u0 ) 2 U -re pontosan akkor létezik az (x0 ; y0 ) környezetében deniált olyan u(x; y) függvény, melyre 8 > < u0 = u(x0 ; y0 ); > : ux = f (x; y; u(x; y )); uy = g (x; y; u(x; y )); ha a (31) feltétel az U -n azonosan teljesül. 15