Gazdasági Ismeretek | Pénzügy » Kosztopulosz Andreász - Vállalati pénzügyek I.

SZEGEDI TUDOMÁNYEGYETEM GAZDASÁGTUDOMÁNYI KAR TÁVOKTATÁS Kosztopulosz Andreász VÁLLALATI PÉNZÜGYEK I. 62/2009 Bevezető és módszertani útmutató a „Vállalati pénzügyek” jegyzethez „A pénz hasonlít egy olyan hatodik érzékhez, amely nélkül nem vagy képes tökéletesen használni a többi ötöt.” Sommerset Maugham A tankönyv a vállalati szintű pénzügyi döntések elméleti és gyakorlati összefüggéseibe nyújt bevezetést. Ezek a pénzügyi döntések két nagy kérdéskör problémáinak megoldását célozzák. Egyrészt a pénzügyi vezetőnek meg kell határoznia, hogy milyen eszközöket kell a vállalatnak megszereznie és működtetnie a célok elérése érdekében. Másrészt arról kell döntést hoznia, hogy honnan teremtse elő a szükséges forrásokat az eszközök megszerzéséhez és működtetéséhez. A jegyzet az elsőnek említett kérdéskörre, a beruházások, befektetések területére fókuszál. (A második

kérdéskörrel pedig a következő félév anyaga foglalkozik) Az anyagot négy nagy részre, ún. modulra bontva tárgyaljuk Az első, bevezető modul témája: a vállalatok vagyona, valamint ezzel összefüggésben a pénzügyi döntések tartalma és célja. Megtudjuk belőle, hogy alapvetően mire irányul a vállalati pénzügyi vezető munkája A második modulban a vállalati pénzügyek egyik lépten-nyomon alkalmazott technikájával a pénz időértékének kezelésével ismerkedünk meg, melynek segítségével a különböző időpontokban esedékes pénzáramokat tudjuk közös nevezőre hozni. A harmadik modulban a vállalati pénzügyek kockázati alapelvéből kiindulva a pénzáramok kockázata, a kockázat számszerűsítése és a pénzügyi eszközök árazása kerül terítékre. A negyedik és egyben záró modul a beruházások témakörével foglalkozik. Szó lesz a beruházási pénzáramok becsléséről, majd megismerkedünk a különféle beruházás

gazdaságossági számításokkal, melyek eszközül szolgálhatnak a beruházásokkal összefüggő döntési szituációkban hozott optimális döntésekhez. A négy modul elmélyült tanulmányozásával az Olvasó képes lesz arra, hogy pénzügyi vezetőként megalapozott döntéseket hozzon a vállalat értékének növelése érdekében. A tankönyv egy „e-jegyzet”, melyben igyekeztünk minél jobban kihasználni az elektronikus technológia nyújtotta lehetőségeket azzal a céllal, hogy módszertani szempontból segítséget nyújtson az anyag minél hatékonyabb elsajátításában. A tantárgyra jellemző (elsőre talán sokak számárai idegennek tűnő) matematizált, formulákra építő megközelítést rengeteg szám- és esetpéldával próbáltuk érthetőbbé, megfoghatóbbá tenni. A jobb megértést szolgálja a sok ábra, mely a vizualizáció révén talán megkönnyítheti a leírtak megértését és megjegyzését. A szövegközi utalások lehetővé

teszik, hogy visszakanyarodjunk vagy előre ugorjuk az anyagban olyan pontokhoz, amik valamilyen módon kapcsolódnak az adott kérdéskörhöz. Az egyes fejezetek végén önellenőrző kérdéseket talál az olvasó, melyek a távoktatási módszertan alapvető elemeként biztosítják, hogy a hallgató maga is mérni tudja, hogy áll az anyag elsajátításának folyamatában. Minden fejezethez egy-egy internetes link kapcsolódik, mely a tárgyalt témakörhöz kötődő cikkhez, vagy az ismereteket bővítő más jellegű internetes tartalomhoz vezeti el az Olvasót. Az itt található szövegekben a néha elszigeteltnek tűnő anyagrészek élő, gyakorlati környezetben, közegben bukkannak fel, és összefüggéseket, alkalmazási lehetőségeket villanthatnak fel. A szövegben található számpéldák megértése, elsajátítása illetve az önellenőrző feladatok megoldása nagy segítséget nyújt a tantárgy egyik fő céljaként kitűzött önálló feladatmegoldás

gyakorlásához. További lehetőséget kínál a feladatok megoldásában való jártasság megszerzéséhez a tankönyv végén található feladatgyűjtemény több mint 50 példája. A feladatgyűjteményhez megoldókulcsot, kamat-, diszkont- és annuitástényező táblázatot mellékeltünk. Ezek szintén segítenek az önellenőrzésben, és természetesen akkor is, ha valaki elakad a feladatok önálló megoldása közben. Maugham idézett gondolatához visszakanyarodva: reméljük, hogy ez a jegyzet hozzásegíti az Olvasót a nélkülözhetetlen hatodik érzék használatához Tartalomjegyzék I. modul A vállalkozások vagyona, tőkéje és a vállalkozások pénzügyi döntései. 2 A vállalkozás vagyona, az anyagi és nem anyagi természetű vagyonelemek bemutatása és csoportosítása. 1. A vállalkozás vagyona 2. Befektetett eszközök 3. Forgóeszközök 2 2 4 6 A tőke fogalma és szerkezete, a tőkeelemek csoportosítása. Tőkeáttétel és nettó

forgótőke. 1. A tőke fogalma 2. A tőke szerkezete 3. A saját tőke jellemzői 4. Az idegen tőke jellemzői 5. A tőkeáttétel 6. A nettó forgótőke 9 9 9 10 11 11 12 3. fejezet A pénzügyi döntések tartalma, típusai és célja. 1. A pénzügyi döntések tartalma 2. A pénzügyi döntések csoportosítása 3. A pénzügyi döntések célja 4. Mi határozza meg a cég piaci értékét? 15 15 15 16 18 II. modul A pénz időértéke. 22 1. fejezet A pénz időértékének fogalma, okai. A jelen- és jövőérték-számítások technikájának megismerése. 1. A pénz időértékének fogalma 2. Jövőérték-számítás 3. Jelenérték-számítás 22 22 23 25 2. fejezet Jövőérték-számítás a gyakorlatban: kamatszámítás. 1. Egyszerű kamat – kamatos kamat 2. Névleges kamat – effektív kamat 3. Nominális kamat – reálkamat 4. Bruttó kamat – nettó kamat 28 28 29 30 31 3. fejezet Speciális pénzáramok jelenértéke: örökjáradék,

annuitás. 1. Örökjáradékok jelenértéke 2. Annuitások jelenértéke 34 34 35 1. fejezet 2. fejezet III. modul A pénzáramok kockázata. 40 1. fejezet A kockázat fogalma, mérése. Az eszközök egyedi és piaci kockázata A portfólió fogalma, kockázata és a diverzifikációban rejlő lehetőségek. 1. A kockázat fogalma 2. A várható hozam számszerűsítése 3. A kockázat számszerűsítése 4. Egyedi és piaci kockázat 5. A diverzifikáció 40 40 40 42 42 43 2. fejezet A portfólió kockázatának meghatározása a gyakorlatban. 46 1. A hozamok közötti együttmozgás meghatározása 46 2. A portfólió kockázatának meghatározása 47 3. A diverzifikáció révén elérhető kockázatcsökkenés mértéke és a korreláció közötti összefüggés 49 3. fejezet Az optimális portfólió kiválasztása. 53 1. A hatékony portfóliók 53 2. A hatékony portfóliók készlete a kockázatos és kockázatmentes eszközök körében 54 3. Az optimális

portfólió meghatározása a kockázatos és a kockázatmentes pénzügyi eszközök világában 56 4. fejezet A tőkepiaci árazás alapjai és a kockázati prémium fogalma. A kötvények és a részvények befektetői értékelése. 1. A piaci portfólió 2. Az egyedi eszközök piaci kockázata 3. A kockázati prémium 4. Mitől függ a kockázati prémium nagysága? 5. „Nincsen ingyen ebéd” 6. A teljes kockázat felbontása piaci és egyedi kockázatra 60 60 61 62 62 63 65 IV. modul A beruházási döntések 68 1. fejezet A beruházások általános jellemzői és a beruházásokkal kapcsolatos döntési problémák. A pénzáramlások típusai és a becslésük során figyelembe veendő alapelvek. 1. A beruházás fogalma és céljai 2. A beruházások közös jellemzői 3. Beruházásokkal kapcsolatos döntési helyzetek 4. A beruházással összefüggő pénzáramlás 5. A pénzáramok becslése során alkalmazandó alapelvek 6. A pénzáramlások típusai 68 68

69 69 69 70 72 A beruházás gazdaságossági számítások és döntési kritériumok: statikus mutatók (megtérülési idő, átlagos jövedelmezőség). 1. A beruházás gazdaságossági számítások típusai 2. A megtérülési idő 3. A beruházás átlagos jövedelmezősége 75 75 75 77 2. fejezet 3. fejezet 4. fejezet 5. fejezet 6. fejezet Beruházás-értékelés a nettó jelenérték módszer és jövedelmezőségi index alkalmazásával 1. A beruházás nettó jelenértékének fogalma 2. A jövedelmezőségi index 3. Kiegészítés: az eszközök piaci értéke (kötvény és részvény) A belső megtérülési ráta 1. A belső megtérülési ráta fogalma 2. A belső megtérülési ráta alkalmazásával kapcsolatos problémák 80 80 83 85 91 91 92 A stratégiai nettó jelenérték: beruházás-értékelés reálopciós megközelítésben 1. A stratégiai nettó jelenérték fogalma 2. A reálopciók értékelése 97 97 99 A beruházások kockázatának

elemzése 1. A „mi lenne, ha” típusú elemzések 2. A fedezeti pont elemzés 3. Biztos (kockázatmentes) egyenértékesek kiszámítása 101 101 103 104 Gyakorló feladatok A gyakorló feladatok megoldásai 106 116 1. melléklet A kamattényezők táblázata 2. melléklet A diszkonttényezők táblázata 3. melléklet A (szokásos) annuitástényezők táblázata 122 123 124 Dr. Kosztopulosz Andreász: „Vállalati pénzügyek” jegyzet – elektronikus változat a távoktatásos képzés számára 2009. január 1 I. modul 1. fejezet A vállalkozások vagyona, tőkéje és a vállalkozások pénzügyi döntései. A vállalkozás vagyona, az anyagi és nem anyagi természetű vagyonelemek bemutatása és csoportosítása. A vállalkozás vezetőinek célja és feladata, hogy a vállalkozás vagyonát gyarapítsák. Milyen elemekből tevődik össze ez a vagyon? A fejezetben megismerkedünk a vállalkozás vagyonelemeinek egy elterjedt és a számvitelben is

használatos csoportosításával. 1. A vállalkozás vagyona Minden olyan anyagi és nem anyagi természetű dolgot, aminek piaci értéke van, és pénzre, árura vagy szolgáltatásra cserélhető, vagyonnak tekintünk. A vállalkozás vagyonelemeit másként a vállalkozás eszközeinek is szokás nevezni. A vállalat vagyonának alakulásáról a vállalat számviteli mérlege (1.1 ábra) 1.1 ábra A Zwack Unicum Nyrt 2003 december 31-ei fordulónappal készített mérlege 2 A vállalat eszközei konkrét megjelenésüket illetően sokfélék lehetnek: ölthetnek anyagi és nem anyagi formát, vagy lehetnek pénzügyi eszközök. Az anyagi természetű vagyonelemeket reáleszközöknek hívjuk. A nem anyagi természetű vagyonelemek az úgynevezett immateriális javak. Minden cég vagyonának egy része különféle pénzügyi eszközökben testesül meg. A vagyoneszközök aszerint, hogy bennük a tőke huzamosabban vagy rövid ideig van lekötve, lehetnek befektetett

eszközök és forgóeszközök. 3 2. Befektetett eszközök A befektetett eszközök közé azok a vagyonfajták tartoznak, amelyek tartósan, azaz egy évet meghaladó időtartamban szolgálják a vállalkozás tevékenységét (1.2 ábra) Ezekben az eszközökben a tőke hosszabb ideig marad lekötve. A számvitelről szóló 2000: C tv szerint a befektetett eszközök körébe soroljuk • az immateriális javakat, • a tárgyi eszközöket és • a befektetett pénzügyi eszközöket, amint az a következő ábrán is nyomon követhető. Az immateriális javak azok a vállalkozási tevékenységet közvetlenül és tartósan szolgáló, forgalomképes, nem anyagi természetű eszközök, amelyek vagyoni értékkel rendelkeznek. Ilyen eszközök: • a vagyoni értékű jogok (pl. bérleti jog, koncessziós jog, védjegy), • a szellemi termékek (pl. találmány, szabadalom, ipari minta, szerzői jogvédelemben részesülő alkotások), • az üzleti vagy cégérték, és

• az alapítás és az átszervezés költségei. Az üzleti vagy cégérték (angol kifejezéssel: goodwill) Az üzleti vagy cégérték pénzértékben csak akkor fejezhető ki, ha a céget eladják. Üzleti érték csak akkor keletkezik, ha a vállalkozásért fizetett ellenérték meghaladja a cég eszközeinek kötelezettségekkel csökkentett értékét. Tegyük fel, hogy az eladásra kerülő vállalkozás – számviteli törvényben megkövetelt értékelési előírások szerint megállapított – eszközeinek értéke 59 millió Ft, összes kötelezettségeinek összege 32 millió Ft. A vevő a megvásárolt cégért 30 millió Ft-ot hajlandó fizetni Van cégérték, és ha igen, mekkora értéket ismert el a vevő a vételárban? Az eladott cég eszközeinek kötelezettségekkel csökkentett értéke: 59 – 32 = 27 millió Ft. A cégérték a cégért fizetett ellenérték és az eladásra kerülő cég eszközeinek kötelezettségekkel csökkentett értéke közötti

különbözet, amennyiben az nem negatív. A példánkban 30 – 27 = 3 millió Ft. Miből adódik a cégérték, azaz miért hajlandó a vállalkozás megvásárlója 27 millió Ft-nál többet is fizetni? Ennek sokféle oka lehet: magyarázhatjuk például a már kivívott üzleti hírnévvel, vagy a jövőbeli növekedési lehetőségek értékével, amely nem feltétlenül tükröződik a számviteli előírások alapján számolt eszközértékben. 4 1.2 ábra A tartós befektetések körébe tartozó vagyoneszközök A TARTÓS BEFEKTETÉSEK KÖRÉBE TARTOZÓ VAGYONESZKÖZÖK Bérleti jog Vagyoni értékű jogok Védjegy Találmány Szabadalom Szellemi termékek IMMATERIÁLIS JAVAK Ipari minta Szerzői jogvédelemben részesülő javak Üzleti vagy cégérték Alapítás, átszervezés aktivált értéke Kísérleti fejlesztés aktivált értéke Termőföld vagy más földterület Erdő Ingatlanok Építési telek Építmény, épület TÁRGYI ESZKÖZÖK Műszaki

berendezések, gépek Ingó dolgok Járművek Üzemi, üzleti felszerelés ÉRTÉKPAPÍROK Tárgyi eszköz minden, a vállalkozási tevékenységet a vállalkozó minősítése szerint tartósan szolgáló, anyagi természetű eszköz. Az eszköz tartóssága arra utal, hogy az eszköz hasznos élettartama az egy évet meghaladja. A tárgyi eszközök közé soroljuk 5 • • • • az ingatlanokat (pl. termőföld, erdő, építési telek, építmény, épület stb) a műszaki berendezéseket, gépeket a járműveket az egyéb üzemi, üzleti felszereléseket. A befektetett pénzügyi eszközök körébe soroljuk: a hosszú (azaz az 1 évnél hosszabb) távra lekötött bankbetéteket, éven túli lejáratú (más vállalat, állam stb. által kibocsátott) kötvényeket, hosszú távú célokat szolgáló üzletrészeket, részesedéseket, részvényeket. 1.3 ábra A vállalat forgóeszközei körébe tartozó vagyoneszközök A VÁLLALAT FORGÓESZKÖZEI Anyagok

Befejezetlen termelés Félkész termékek KÉSZLETEK Növendék-, hízó-, egyéb állatok Késztermékek Áruk KÖVETELÉSEK Vevők és más követelések ÉRTÉKPAPÍROK Éven belüli eladásra vásárolt kötvények, részvények és egyéb értékpapírok PÉNZESZKÖZÖK Készpénz, csekkek, bankbetétek 3. Forgóeszközök A forgóeszközök körébe ezzel szemben azok a vagyonfajták tartoznak, amelyek 1 évnél rövidebb ideig szolgálják a vállalkozás tevékenységét (1.3 ábra) A forgóeszközök eszerint viszonylag rövidebb időn belül hasznosításra kerülnek, felszabadulnak, megtérülnek. Az ábrán is látható, hogy a forgóeszközök csoportjába tartoznak a számviteli törvény szerint • a készletek (pl. vásárolt anyagok, áruk, illetve saját előállítású félkész termékek valamint eladásra váró késztermékek stb.) • a követelések (pl. vevői kintlevőségek stb) • a forgatási céllal tartott értékpapírok (átmeneti, nem

tartós befektetésként vásárolt kötvények, kincstárjegyek, tulajdoni részesedést jelentő befektetések), és • a pénzeszközök (készpénz illetve számlapénz, az elektronikus pénzeszközök és a csekkek). 6 A forgóeszközök között megkülönböztethetünk tartósan lekötött és átmenetileg lekötött, folyó forgóeszközöket. A forgóeszközök a termelés folyamatában állandó körforgást végeznek, amit az 1.4 ábra szemléltet A körforgásban résztvevő forgóeszközök külső formájukat állandóan változtatják, bizonyos mennyiségük a termelési ciklus egymást követő szakaszaiban folyamatosan jelen van. A folyamatos termelés biztosításához nélkülözhetetlen a forgóeszközök meghatározott nagyságának állandó készletben tartása. A termelés bővülése gyakran ezen eszközök növekedésével is jár. A forgóeszközöknek ezt az állandóan megkövetelt nagyságát nevezzük tartós forgóeszköz lekötésnek. A

forgóeszközök fennmaradó részének nagysága a gazdaság ciklikussága, valamint a termelés és az értékesítés szezonalitása, illetve előre kiszámíthatatlan tényezők következtében véletlenszerűen ingadozik. A forgóeszközök ezen csoportját nevezzük átmenetileg szükséges, vagy folyó forgóeszköz lekötésnek. 1.4 ábra A forgóeszközök körforgása PÉNZ 5. fázis Követelések behajtása 1. fázis Az alapanyagok, áruk beszerzése Kötelezettségek keletkezése 4. fázis Értékesítés, hozzáadott érték és költségek felmerülése, követelések keletkezése 2. fázis Befejezetlen termelés, félkész termékek, hozzáadott érték és költségek felmerülése 3. fázis Késztermék előállítása, további költségek felmerülése ÖNELLENŐRZŐ KÉRDÉSEK: 1. Mit jelent a vállalkozás vagyonának fogalma? 2. Milyen konkrét formákban jelenhetnek meg a vállalkozás vagyoneszközei? 3. Sorolja fel a befektetett eszközök három fő

csoportját! 4. Hogyan határozzuk meg a forgóeszközök fogalmát? 7 5. Melyek a forgóeszközök körforgásának fő fázisai? 6. A következő eszközök közül melyek reáleszközök? a.) részvény b.) vállalati kötvény c.) szabadalom d.) saját váltó e.) személygépkocsi f.) a vállalat folyószámlájának egyenlege g.) alapanyagkészletek h.) a vállalat beszerzési és értékesítési osztálya munkatársainak tapasztalata Megoldás c.) e) g) h) Bővítse ismereteit az alábbi cikk elolvasásával! Láthatatlan vagyonelemek a mérlegben 8 I. modul 2. fejezet A vállalkozások vagyona, tőkéje és a vállalkozások pénzügyi döntései. A tőke fogalma és szerkezete, a tőkeelemek csoportosítása. Tőkeáttétel és nettó forgótőke. A vállalkozás vagyonát vizsgálhatjuk, csoportosíthatjuk aszerint is, hogy milyen forrásból származnak a különböző vagyonelemek. A fejezetben megismerkedünk a tőkeelemek csoportosításával, és megtudjuk,

hogyan jellemezhető a vállalkozás tőkeszerkezete két alapvető mutatószám, a tőkeáttétel és a nettó forgótőke segítségével. 1. A tőke fogalma Minden üzleti vállalkozás létrehozásához és folyamatos működtetéséhez, azaz a tevékenység folytatásához szükséges eszközök megszerzéséhez, a munkaerő biztosításához, a vállalkozás növekedéséhez és életképességének fenntartásához tőkére van szükség. A tőkének elsősorban pénz formában kell rendelkezésre állnia, mivel csak ekkor van lehetőség szabadon dönteni a felhasználásáról. A nem pénzformában rendelkezésre bocsátott vagyont apportnak nevezzük. 2. A tőke szerkezete A tőke azonban azt is kifejezi, hogy milyen forrásból származik a vállalkozás vagyona. A pénz, a tőke megszerzése számtalanféle módon és formában történhet, leggyakrabban azonban két alapvető forrásból származik: a vállalkozás alapítóitól, tulajdonosaitól és a különféle

hitelezőktől. (A vállalkozás tőkéjének sajátos forrása lehetnek a különféle támogatások is.) Az alapítóktól, tulajdonosoktól származó tőke körébe soroljuk a nyereséges működés során képződött tőkeforrásokat is, amelyeket a tulajdonosok nem vonnak ki a vállalkozásból. Az alapítóktól, tulajdonosoktól származó tőkeelemeket saját tőkének, a különféle hitelezőktől szerzett tőkeelemeket pedig idegen tőkének (vagy más néven kötelezettségeknek) nevezzük (1.5 ábra) 9 1.5 ábra A tőke szerkezete TŐKESZERKEZET SAJÁT TŐKE Alapítói tőke Tőketartalék IDEGEN TŐKE Eredménytartalék Tárgyévi mérleg szerinti eredmény Hosszú lejáratú Rövid lejáratú Bankkölcsön Hitelkeret Kötvénytartozás Szállítói Egyéb hitel hitelek Egyéb hitelek 3. A saját tőke jellemzői Fontos tudni, hogy a saját tőkével finanszírozott vagyon nem képezi a tulajdonosok magánvagyonát, és nem is válik a tagok közös

vagyonává. A tulajdonosok által szolgáltatott pénzbeli hozzájárulásból vásárolt, továbbá az apportként átengedett vagyoni eszközök a társaságnak mint sajátos jogalanynak a tulajdonába mennek át. Így aztán az üzletrész átruházása nem érinti az azzal finanszírozott vagyon tulajdonjogi helyzetét, mivel a tulajdonos nem a vagyont, hanem csupán az üzletrész által megtestesített jogokat ruházza át. A vagyon továbbra is a gazdasági társaság tulajdonát képezi. A tag, vagy a tulajdonos az általa szolgáltatott vagyoni hozzájárulást – néhány ritka kivételtől eltekintve – nem mondhatja fel és nem követelheti vissza. • • • • Az 1.5 ábráról látható, hogy a saját tőke alkotóelemei: az alapítói tőke (más néven: jegyzett tőke vagy alaptőke) a tőketartalék az eredménytartalék (mely főként a korábbi működés ki nem vont nyereségeinek összegét mutatja) a tárgyévi mérleg szerinti eredmény (mely az adott év

során megtermelt és a vállalkozásnál maradó nyereség/veszteség értékét mutatja). 10 • • • • • A saját tőke nagyon fontos szerepet tölt be a vállalkozás életében, mivel a saját tőke a vállalkozás indítása során a vállalatalapítás jogszabályi előfeltétele lehet, nagysága árulkodik a vállalat méretéről, tőkeerejéről, összege jelentős mértékben meghatározza a vállalkozás önfinanszírozó képességét, befolyásolhatja az idegen tőkével történő finanszírozás lehetőségét formálja a vállalkozás külső érintettjeinek a vállalkozáshoz fűződő bizalmi viszonyát. 4. Az idegen tőke jellemzői Az idegen tőke elnevezés arra utal, hogy a tőke szolgáltatója a vállalkozásban nem szerez tulajdonosi jogosítványokat – és néhány kivételtől eltekintve – közvetlenül nem vesz részt a vállalkozás irányításában. Az idegen tőke a vállalkozásban visszterhes finanszírozási forrást testesít meg,

ami annyit tesz, hogy a forrást nyújtó személy vagy intézmény előre rögzített feltételek mellett fix összegű kamat és tőketörlesztő-részletekre, vagy egyéb vállalati teljesítésre (pl. vevői előlegek esetén árkedvezmény) jogosult a vállalattal szemben, melynek eredményeként hitelezői viszony jön létre a finanszírozó és a vállalkozás között. Mivel az átadott tőkét valamilyen konstrukcióban a későbbiek során vissza kell fizetni, azaz a forrás használata valamilyen futamidőhöz kötött. Noha a finanszírozó sok esetben különféle követelményekhez kötheti a hitel folyósítását, tulajdonosi beleszólása nincs a vállalkozás működtetésébe. Lényeges különbség az is, hogy a hitelezőt mindenekelőtt a vállalkozás (vagy a vállalkozó) hitelképessége érdekli és a vállalat üzletmenetének sikerétől függetlenül tart igényt az előre rögzített fix összegű vállalati kifizetésekre, ezzel szemben részesedési

viszony esetén a befektető a vállalkozás minél jövedelmezőbb működésében érdekelt. Az idegen tőkét megtestesítő kötelezettségek lehetnek hosszú illetve rövid lejáratúak, aszerint hogy a visszafizetési kötelezettség éven túl vagy éven belül áll fenn. Az idegen tőke származhat pénzügyi kapcsolatokból, ha azt valamilyen hitelezési jogügylet keretében hitelintézet vagy más szervezet, személy szolgáltatja (bankkölcsön, hitelkeret, lízing, kötvénytartozás stb.) Az előbbiek mellett származhatnak kötelezettségek olyan együttműködésekből is, amelyek a szállítókkal vagy esetleg a vevőkkel az árupiacon kialakulnak. Ezen kívül, minthogy a munkabéreket és az adókat jellemzően utólag fizeti meg a vállalkozás, így ezek is (túlnyomó részben rövid lejáratú) kötelezettség formájában biztosítanak átmeneti forrást a vállalkozás számára. 5. A tőkeáttétel A vállalkozók szívesen finanszírozzák tevékenységüket

saját tőkével, de a növekedéshez, a kecsegtető piaci lehetőségek kihasználásához gyakran van szükség az idegen források igénybe vételére, vagyis például hitelfelvételre vagy különböző eszközök lízingjére. Az olyan tőkeszerkezetet, amely a saját tőkén kívül idegen tőkét is tartalmaz, pénzügyi tőkeáttételes tőkeszerkezetnek nevezzük. A pénzügyi tőkeáttételt a fix kötelezettségek felmerülésével járó idegen tőke bevonása idézi elő. Tipikusan fix költségű finanszírozási forrás a hitel, de ide sorolható a pénzügyi lízing is. Ezen források bevonása lehetővé teszi, hogy nőjön a tulajdonosok jövedelme. Ezzel egyidejűleg azonban megnövekszik a kamatfizetés és adózás előtti nyereség azon minimális szintje, amely a nagyobb fix pénzügyi kötelezettségek teljesítéséhez szükséges, azaz növeli a fizetésképtelenség kockázatát. Ezen túlmenően a nagyobb tőkeáttétel megnöveli a tulajdonosok

jövedelmének változékonyságát is. Vagyis: a nagyobb tőkeáttétel növeli a vállalat pénzügyi kockázatát 11 A tőkeáttétel növeli a cég kockázatát Tételezzük fel, hogy egy vállalat adó- és kamatfizetés előtti eredménye 20 millió Ft. A cég éves szinten 3 millió Ft kamatot kell fizetnie a hitelei után. A cég 16% adót fizet és 10 üzletrésze van Vizsgáljuk meg, hogyan alakulna a tulajdonosok jövedelme, ha az adó- és kamatfizetés előtti jövedelem 10%-kal több illetve kevesebb lenne! Megnevezés Adó- és kamatfizetés előtti nyereség -Kamat Adózás előtti nyereség -Adó (16%) Adózott nyereség Egy üzletrészre jutó jövedelem %-os változás 10%-os forgalomcsökkenés Kiinduló állapot 10%-os forgalomnövekedés %-os változás -10% 18.000000 20.000000 22.000000 +10% 3.000000 15.000000 2.400000 12.600000 3.000000 17.000000 2.720000 14.280000 3.000000 19.000000 3.040000 15.960000 1.260000 1.428000 1.596000 -12% +12%

Látható tehát, hogy az adó- és kamatfizetés előtti jövedelem 10%-os változása ennél nagyobb, 12%-os csökkenést ill. növekedést idézett elő az tulajdonosok jövedelmében Ezt a felnagyító hatást nevezzük tulajdonképpen pénzügyi tőkeáttételnek. 6. A nettó forgótőke Az eszközök finanszírozása, így a forgóeszközöké is, történhet saját tőkével vagy idegen tőkével, amely lejárata szerint lehet hosszú vagy rövid lejáratú. A forgóeszközök rendeltetésszerű finanszírozási forrásai a rövid lejáratú kötelezettségek. A rövid lejáratú forrásokkal nem finanszírozott forgóeszközök finanszírozási forrásaként csak a saját tőke illetve a hosszú lejáratú idegen tőke jöhet szóba. Az 16 ábrán jól nyomon követhető, hogy a nettó forgótőke definíció szerint a forgóeszközök és a rövid lejáratú kötelezettségek különbsége. A nettó forgótőke szükséglet nagysága függ többek között a folytatott

vállalkozási tevékenység típusától. Egy termelő tevékenységet folytató vállalkozó esetén ritkán sikerül a folyó források szintjén tartani a forgóeszközöket. Ezzel szemben egy bolti kiskereskedelmet folytató vállalkozó igyekszik áruját minél rövidebb idő alatt készpénzért eladni, így kisebb lehet a nettó forgótőke szükséglet. 12 1.6 ábra A nettó forgótőke értelmezése Vagyonszerkezet Tőkeszerkezet BEFEKTETETT ESZKÖZÖK HOSSZÚ LEJÁRATÚ FORRÁSOK (Saját tőke + hosszú lejáratú kötelezettségek) NETTÓ FORGÓTŐKE FORGÓESZKÖZÖK RÖVID LEJÁRATÚ KÖTELEZETTSÉGEK ÖNELLENŐRZŐ KÉRDÉSEK: 1. Mi lehet a tőke két alapvető forrása? 2. Mit jelent az apport kifejezés? 3. Miért tölt be fontos szerepet a vállalkozás életében a saját tőke? 4. Mit takar a tőkeáttételes tőkeszerkezet fogalma? 5. Hogyan határozható meg a nettó forgótőke? 6. Mit jelent az az állítás, hogy a nagyobb tőkeáttétel növeli a

vállalat pénzügyi kockázatát? 7. Egy vállalat várható árbevétele 100000EFt, a változó költségek az árbevétel 60%-át teszik ki, a fix költségek várható összege 10.000EFt A vállalat tőkeszerkezete: beruházási hitel 90.000EFt, kamatláb 20%, tulajdonosi tőke 60000EFt, 5db üzletrész A társasági adó nagysága 16%. Mennyivel változik az egy üzletrészre jutó jövedelem nagysága, ha a vállalat árbevétele 10%kal csökken? 13 Megoldás: Megnevezés Kiinduló állapot Nettó árbevétel -Változó költségek (60%) -Fix költségek Adó- és kamatfizetés előtti nyereség -Kamat (90.000Eft x 20%) Adózás előtti nyereség -Adó (16%) Adózott nyereség Egy üzletrészre jutó jövedelem (5 db üzletrész) 100.000EFt 60.000EFt 10.000EFt 10%-os forgalomnövekedés 90.000EFt 54.000EFt 10.000EFt 30.000EFt 26.000EFt 18.000EFt 12.000EFt 1.920EFt 10.080EFt 18.000EFt 8.000EFt 1.280EFt 6.720EFt 2.016EFt 1.344EFt %-os változás -10% -33% Tehát

az egy üzletrészre jutó jövedelem 10%-nál jóval nagyobb mértékben, kb. 33%-kal csökken. Bővítse ismereteit az alábbi cikk elolvasásával! Jelentős tőkecsökkenés a Győri Keksznél 14 I. modul A vállalkozások vagyona, tőkéje és a vállalkozások pénzügyi döntései. 3. fejezet A pénzügyi döntések tartalma, típusai és célja A vállalatok azzal a céllal folytatják üzleti tevékenységüket, hogy nyereséget érjenek el és a cég vagyona ezáltal növekedjék. A cél elérése érdekében az üzletmenettel kapcsolatosan napról napra számtalan döntést kell meghozni. Szinte kivétel nélkül minden üzleti döntésnek közvetve vagy közvetlenül van valamilyen pénzügyi kihatása. A fejezetben megismerkedünk a pénzügyi döntések különböző fajtáival, és azzal, hogy milyen célok vezérelhetik a vállalkozás vezetőit a döntések meghozatala során. 1. A pénzügyi döntések tartalma A vállalatok azzal a céllal folytatják üzleti

tevékenységüket, hogy nyereséget érjenek el és a cég vagyona ezáltal növekedjék. A cél elérése érdekében az üzletmenettel kapcsolatosan napról napra számtalan döntést kell meghozni. Szinte kivétel nélkül minden üzleti döntésnek közvetve vagy közvetlenül van valamilyen pénzügyi kihatása. A pénzügyi döntéseket az jellemzi, hogy valamiféle változást idéznek elő a cégek eszközeiben, forrásaiban, vagy egyidejűleg mindkettőben, így aztán a pénzügyi döntések eredményei a vállalati mérlegben tükröződnek. A mérleg tulajdonképpen a vállalkozás befektetési és finanszírozási tevékenységéről készített pillanatfelvétel. A sokszínű pénzügyi döntéseket aszerint csoportosíthatjuk, hogy • a vállalat eszközeiben vagy forrásaiban idéznek-e elő változást (vagy mindkettőben), illetve • a vállalat tartós vagy rövid élettartamú eszközeire és/vagy forrásaira gyakorolnak-e hatást 2. A pénzügyi döntések

csoportosítása Az eszközlekötési döntések a cég eszközeinek nagyságára vagy szerkezetére irányulnak, azaz elsősorban az eszközoldalt célozzák. Ilyen döntés például egy licenc megvásárlása, vagy a házipénztárban tartandó készpénzkészlet nagyságának meghatározása. Ezzel szemben a forrásbevonási döntések során a mérleg forrás oldalát tartjuk szem előtt, és ennek során alakul ki és módosul a vállalatok tőkeszerkezete. Ilyen döntésre példa lehet egy bankhitel felvétele vagy a szállítók irányában a fizetési határidő meghosszabbításának kezdeményezése. A hosszú távú döntések hosszú távra (egy évnél hosszabb időtávra) határozzák meg a vállalat működésének feltételeit. A rövid távú döntések ezzel ellentétben csupán rövid távon (azaz egy éven belül) befolyásolják a vállalkozás tevékenységét. A kétféle szempontot egyidejűleg figyelembe véve összesen négy kategóriába sorolhatjuk a

pénzügyi döntéseket, ahogy ez az 1.7 ábrán is látható 15 1.7 ábra A pénzügyi döntések csoportosítása Eszközlekötési döntések Forrásbevonási döntések Eszközök Források Hosszú távú döntések Befektetett eszközök (A) Saját tőke Hosszú lejáratú kötelezettségek (B) Rövid távú döntések Forgóeszközök (C) Rövid lejáratú kötelezettségek (D) A hosszú távú eszközlekötési döntések (más néven: befektetések) során arról dönt a vállalkozás, hogy milyen fajta hosszú élettartamú eszközökbe, mikor és milyen összegben hajtson végre befektetéseket (A). A befektetési döntések során az a cél, hogy olyan eszközökre tegyen szert a vállalkozás, amelyek működtetése révén növelhető a vállalat értéke. A beruházás fogalma ennél egy szűkebb kategóriát ölel fel, és a befektetés egy olyan fajtáját jelenti, amelynek során a pénzt valamilyen anyagi vagy nem anyagi eszköz, tehát reáljószág

megvásárlására fordítják, kizárva ebből a körből az úgynevezett pénzügyi befektetések lehetőségét. A hosszú távú forrásbevonási (vagy finanszírozási) döntések során arról dönt a vállalkozás, hogy milyen típusú finanszírozási forrásokkal teremtse meg a működés hosszú távú fedezetét (B). A hosszú távú finanszírozási döntések általános célja a szükséges források előteremtése elkerülve, hogy a feltétlenül szükségesnél magasabb forrásköltség felmerülését. A rövid távú eszközlekötési döntések a forgóeszközök szerkezetét és nagyságát befolyásolják (C), azaz milyen készletállomány mellett működjön a vállalat, milyen feltételeket biztosítson a vevők számára az értékesítés során illetve, hogy mennyi pénzeszközt tartson készpénzben. Az effajta döntések célja általánosan a zavartalan napi működés lehetőségének megteremtése lehet. A rövid távú forrásbevonási döntések során

a vállalkozás a rövid lejáratú források igénybevételéről határoz (D). A rövid távú eszközlekötési és forrásbevonási döntések a gyakorlatban szorosan összekapcsolódnak, ezért szokás a mindkettőt magába foglaló forgótőke menedzsment néven utalni a vállalkozások ilyen irányú tevékenységére. 3. A pénzügyi döntések célja A pénzügyi döntések célja a nagyobb méretű és a kisvállalatok esetén nem feltétlenül egyezik. A nagyvállalatok rendszerint részvénytársaságként működnek, tulajdonosaik közvetlenül nem vesznek részt a napi üzleti döntésekben. A társaság ehelyett alkalmazottakat foglalkoztat, akik a tulajdonosok érdekeit képviselik, és ez az érdek a vagyon gyarapodásához kötődik. A vállalat részvényei forognak a szervezett és nyilvános részvénypiacokon, ahol az értékük piaci árfolyamok formájában folyamatosan lemérődik. A pénzügyi döntések céljának meghatározása ebben az esetben

egyértelmű: az a jó pénzügyi döntés, amely növeli a részvény piaci értékét. A nagyvállalatok pénzügyi vezetői tehát pénzügyi döntéseik meghozatala során a részvényesek vagyonának maximalizálását tekintik iránytűnek. A kisvállalatok esetén a tulajdonos gyakran egyúttal a vállalat vezetőségének is tagja. A vállalat üzletrészei nincsenek (nem is lehetnek) bevezetve a tőzsdére, így nem állnak rendelkezésre megbízható és könnyen elérhető információk a kisvállalatok piaci értékéről. A 16 pénzügyi döntések célját ez esetben befolyásolja a vállalkozás működtetésének stratégiai célja is. Ebből a szempontból két alapvető vállalkozási típus különböztethető meg Az úgynevezett életmód-vállalkozásoknak az a fő törekvésük, hogy a tulajdonosok számára elfogadható életvitelt biztosítsanak, nagyobb kockázatok és gyors növekedési kilátások nélkül. Általában a vállalkozások 90-95 százaléka

tekinthető életmód-vállalkozásnak. A kisvállalkozások 5-10 százaléka áll a vállalkozói spektrum másik szélén, ezek az úgynevezett nagy növekedési potenciállal rendelkező cégek, őket szokás gazelláknak is nevezni. Példák különböző stratégiájú vállalkozásokra 1. Életmód-vállalkozás: A Manna Bt-t egy háziorvos alapította 1994-ben Budapesten, amikor az orvosnő felismerte, hogy számára több lehetőséget kínál a házi orvoslás vállalkozói formája. Kollégái és barátai bátorítása ellenére nehezen szánta rá magát a több felelősséget, másfajta gondolkodást is követelő életformára. Fennállása óta sikeresen működik Van egy alkalmazottja, az asszisztense. Külső tanácsadót vesz igénybe a könyvelésre Terjeszkedni nem akar A gyógyításból szeretne élni továbbra is. (Forrás: Vecsenyi János: Vállalkozás. Az ötlettől az újrakezdésig Aula Kiadó, 2003, Budapest, 55-56 o.) 2. Gazella-vállalkozások: Ebbe a

csoportba tartozik többek között a Kész Kft, amely egy szegedi építőipari kisvállalkozásból lett az egyik legnagyobb magyar építőipari nagyvállalat. A Béres Rt. Béres József kutatási eredményeit ültette át a gyakorlatba, és tette az egyik legfontosabb piaci szereplővé. Forrás: Vecsenyi J.: Vállalkozás Az ötlettől az újrakezdésig Aula Kiadó, 2003, Budapest, 65 o Az életmód-vállalkozásoknál a pénzügyi döntések alapvető célja, hogy a cég annyi jövedelmet termeljen, amennyi elegendő a vállalkozásban résztvevők megélhetéséhez. Az effajta vállalkozásoknál a cég eladása mint stratégiai cél, leggyakrabban nem jön számításba. Velük ellentétben azonban a gazellák szeme előtt stratégiai célként egy sikeres nagy vállalkozás képe lebeg, és többnyire attól sem zárkóznak el, hogy a céget a fejlődés egy pontján részben vagy egészben egy befektető számára értékesítsék. Minthogy az értékesítés pillanatában

a cég értéke valamilyen módon meg fog határozódni, ezen vállalkozások pénzügyi döntéseik során a vállalkozás értékének maximalizálását tekintik alapvető célnak, ami tulajdonképpen összhangban van a nagyvállalatok pénzügyi vezetőinek alapvető célkitűzésével. A továbbiakban vállalkozás vagyonának maximalizálását tekintjük a pénzügyi döntések alapvető céljának. 17 4. Mi határozza meg a cég piaci értékét? Amennyiben célnak a vagyonmaximalizálást tekintjük, tisztában kell lennünk azokkal a módszerekkel, amelyek segítségével a vállalkozás piaci értéke meghatározható, illetőleg azokkal a tényezőkkel, amelyek a vállalat piaci értékét befolyásolhatják. A cég piaci értékét befolyásoló tényezőket az 1.8 ábrán mutatjuk be, ahol a piaci érték meghatározását mutató V=S+B összefüggésben a V (value) jelenti a cég értékét, az S a részvényeinek az összértékét (stock), a B pedig az általa

kibocsátott kötvények (bond) értékét. Az 18 ábrából láthatjuk, hogy a remélt pénzáramlások nagyságának, időzítésének és kockázatosságának kölcsönhatása, amit a pénzügyi piacok érzékelnek, befolyásolja a keresleti és kínálati görbéket, amelyek meghatározzák a pénzügyi eszközök – így a részvények, kötvények – értékét. Az 1.8 ábrával kapcsolatosan meg kell említenünk azt is, hogy a külső tényezők nagyon fontosak, de a menedzsment által csak kis mértékben és csak közvetetten befolyásolhatók, például lobbizással a kormánynál vagy a képviselőknél, esetleg piaci pozícionálással. Ezzel szemben a stratégiai döntések közvetlenül a menedzsment felügyelete alatt állnak. Csak azok a menedzsment döntések fognak kedvező fogadtatásra találni a pénzügyi piacokon, amelyek a cég értékének növekedéséhez vezetnek. Így egy cég piaci értékét alapvetően a tulajdonosokat a jövőben várhatóan

megillető pénzáramok (angol kifejezéssel: cash-flow) nagysága, időbeli alakulása és kockázatossága befolyásolja. 18 1.8 ábra A vállalat piaci értékét meghatározó tényezők Külső környezet 1. Pénzügyi piacok 2. Kormányzati előírások és szabályozások 3. Adóstruktúra 4. Versenytársak 5. Általános üzleti feltételek 6. Világgazdaság 7. Egyebek A menedzsment által felügyelt és politikai stratégiai döntések 1. Ajánlott termék vagy szolgáltatás tipusok 2. Marketing és termelési rendszerek 3. Befektetési politikák 4. Felhasznált hitel mennyiség 5. Osztalék politika 6. Forgótőke politikák 7. Foglalkoztatási politikák Pénzáramlások 1. Erõforrások megszerzése 1. Nagyság 2. Időzítés 3. A remélt pénzáramlások kockázatossága 2. Erõforrások menedzselése 3. Erõforrások finanszírozása A cég értékének maximálása A pénzügyi piacok általi V=S+B felértékelés Forrás: Pinches, G. E (1990):

Essentials of Financial Management Harper & Row, New York A cash-flow a pénzforrások képződésének és felhasználódásának folyamata egy adott időszak alatt, azaz a tényleges pénzbevételek és pénzkiáramlások különbségével egyezik meg. A cash-flow azért jut központi szerephez, mivel csak a pénzt lehet elkölteni. Egy vállalkozás pénzügyi szempontból akkor tekinthető egészségesnek, ha képes elegendő pénzt megtermelni ahhoz, hogy a hitelezőinek, szállítóinak, alkalmazottainak és tulajdonosainak fizetni tudjon. A számviteli nyereség ezzel szemben nem jelent ténylegesen elkölthető pénzt. A vállalkozás értéke nemcsak a pénzáramok nagyságától, hanem azok várható esedékességétől és kockázatosságától is, azaz befolyásolja a pénz időértéke és a kockázat alapelve is. Az időértéket és a kockázatot meghatározó összefüggésekkel részletesen foglalkozunk a későbbiekben. 19 ÖNELLENŐRZŐ KÉRDÉSEK: 1.

Hogyan csoportosíthatók a pénzügyi döntések? 2. Mi lehet a fő cél a hosszú távú forrásbevonási döntéseknél? 3. Mi lehet a rövid távú eszközlekötési döntések célja? 4. Milyen típusú döntések kapcsolódnak össze a forgótőke-menedzsment során? 5. Általában mi az életmód-vállalkozások fő törekvése? 6. Alapvetően mi befolyásolja egy cég piaci értékét? 7. Mi a pénzügyi döntések célja? a.) A versenytársak legyőzése b.) A piaci részesedés növelése c.) Az árbevétel maximalizálása d.) A részvényesek vagyonának maximalizálása Megoldás: d.) 8. Egészítse ki a megfelelő kifejezéssel! Egy cég részvényeinek piaci értékét alapvetően a részvényeseket megillető .-k nagysága, időbeli alakulása és kockázatossága befolyásolja. Megoldás: cash flow 9. Hogyan határozható meg a cash flow értéke? Megoldás: A tényleges pénzbevételek és a tényleges pénzkiáramlások különbségével egyezik meg. 10. Határozza

meg az alábbi döntések típusát! a.) részesedés szerzése egy kft-ben b.) vállalat által történő kötvénykibocsátás c.) fizetési határidők meghatározása a vevők irányában d.) váltó elfogadása a vevőtől e.) raktári alapanyagkészlet nagyságának meghatározása f.) ingatlanberuházás megvalósítása hitelből g.) váltókiállítás a vállalat szállítója részére h.) tőkeemelés új részvények nyilvános kibocsátásával i.) tőkeemelés tulajdonosok gépapportjával j.) előleg elfogadása a vevőtől 20 Megoldás: a: hosszú távú – eszközlekötési b: hosszú távú – finanszírozási c: rövid távú – eszközlekötési d: rövid távú – eszközlekötési e: rövid távú – eszközlekötési f: hosszú távú – eszközlekötési/finanszírozási g: rövid távú – finanszírozási h: hosszú távú – finanszírozási i: hosszú távú – eszközlekötési/finanszírozási j: rövid távú – finanszírozási

Bővítse ismereteit az alábbi cikk elolvasásával! Hasznos tippek cégvásárláshoz 21 II. modul A pénz időértéke 1. fejezet A pénz időértékének fogalma, okai A jelen- és jövőérték-számítások technikájának megismerése. Az idő pénz – szoktuk mondani. Ez a bölcsesség a pénzügyekben is felbukkan: itt a pénz időértékének hívjuk ezt a fontos alapelvet. A fejezetben megtudjuk, hogyan kell a pénzügyekben a különböző időpontokban esedékes pénzösszegeket közös nevezőre hozni. 1. A pénz időértékének fogalma A pénz időértéke, vagyis az a megfigyelés, hogy a pénzünk nem ugyanannyit ér ma, holnap vagy holnapután, a pénzügyek egyik legfontosabb alapfogalma. A pénznek időértéke van: ezt azt jelenti, hogy egy mai biztos 100 forint többet ér, mint egy holnap biztosan rendelkezésre álló 100 forint. A mai pénzösszeg több ok miatt is értékesebb a holnapi ugyanakkora pénzösszegnél: • a ma rendelkezésre álló

pénzösszeg már ma elfogyasztható; • a ma rendelkezésre álló pénzösszeg befektethető, és a befektetés eredményeként jövedelemre tehetünk szert (például kamatra, osztalékra vagy árfolyamnyereségre). A bankbetét értéke Tegyük fel például, hogy rendelkezünk 100.000 Ft-tal A bankunknál pénzünket 5 százalékos éves kamatozás mellett tudjuk elhelyezni. Ha a 100000 Ft-unkat a banknál fialtatjuk, egy év múlva 105.000 Ft-hoz tudunk hozzájutni, azaz 5000 Ft jövedelemhez jutunk kamat formájában 100000 Ftunk tehát egy év múlva 105000 Ft-ot ér, és üzleti alapon nem is lennénk hajlandóak a mai 100000 Ftunkat elcserélni 105000 Ft-nál kisebb összegre, ha az csak egy évvel később áll rendelkezésre Ha viszont a pénz nem ugyanannyit ér különböző időpontokban, akkor a különböző időpontokban esedékes pénzösszegeket közvetlenül nem adhatjuk össze, nem vonhatjuk ki egymásból, mint ahogyan a banánt sem adhatjuk össze a

naranccsal. Egy pénzösszegről nem elég tudni a nagyságát, a rendelkezésre állásának időpontját is ismernünk kell ahhoz, hogy értékelni tudjuk. Valamilyen módszert, eljárást kell találnunk ahhoz, hogy a különböző időpontokban esedékes pénzösszegeket közös nevezőre hozva dolgozni tudjunk velük. A legkézenfekvőbb megoldás, ha a különböző időpontban esedékes pénzösszegeket egyetlen közös időpontra számítjuk át egy alkalmas kamatláb segítségével. Ennek megfelelően két alapvető módszer is létezik a probléma megoldására, az egyik: a jövőérték-számítás, a másik: a jelenérték-számítás technikája. 22 2. Jövőérték-számítás A jövőérték-számítás során a különböző időpontokban esedékes pénzösszegeket egy közös, jövőbeli időpontra számoljuk át. A jövőérték tehát megmutatja, hogy a ma befektetett pénzösszeg mekkora összegre gyarapodik egy előre meghatározott időtartam végére egy

megfelelő kamatláb alkalmazása mellett. A pénz jövőértékét tulajdonképpen kamatszámítással határozzuk meg. A jövőérték meghatározása: FV = C0 (1 + r ) , ahol n FV: a jelenbeli pénzösszeg jövőértéke (FV: future value) C0: a jelenbeli pénzösszeg, pl. 100000 Ft r: a kamatláb, pl. 10%=0,1 n: az évek (periódusok) száma, pl. 5 év A jövőérték alakulása A fenti példában valójában a mai 100.000 Ft jövőértékét határoztuk meg az egy évvel későbbi időpontra vonatkozóan, 5% kamat mellett, és az 105.000 Ft-ra adódott Nézzük most meg, hogyan változna a mai 100.000 Ft-unk értéke távolabb tekintünk a jövőbe, azaz mennyi lesz a 100.000 Ft-unk jövőértéke 1, 2, 3, 4 és 5 év múlva? A kamatláb legyen most 10% Év 1 2 3 4 5 Év eleji pénzösszeg 100.000 Ft 110.000 Ft 121.000 Ft 133.100 Ft 146.410 Ft Az adott évben kapott kamat 10.000 Ft 11.000 Ft 12.100 Ft 13.310 Ft 14.641 Ft Év végi pénzösszeg 110.000 Ft 121.000 Ft 133.100 Ft

146.410 Ft 161.051 Ft A mai 100.000 Ft jövőértéke 5 év múlva, 10%-os kamatláb mellett: 100.000(1+0,1)5 = 161051 Ft, ahogy az a fenti táblázatból is kiolvasható Nézzük meg grafikusan is, hogyan alakult a 100.000Ft jövőértéke 10 és 15%-os kamatláb mellett (2.1 ábra)! 23 2.1 ábra 100000 Ft jövőértéke 1600000 1400000 r = 15% 1200000 Ft 1000000 800000 r = 10% 600000 400000 200000 0 0 5 10 15 20 évek C0 =? idő (évek, periódusok száma) 0. • • 1. 2. 3. n. Tehát bármely adott mai pénzösszeg jövőbeli értékét két tényező határozza meg: a kamatláb nagysága, és az évek (periódusok) száma. Egy induló pénzösszeg annál többet ér, minél nagyobb a kamatláb és minél hosszabb ideig kamatozik. A 21 ábrán jól látható, hogy a jövőérték az idő múlásával egyre gyorsabban növekszik, mivel a kamatszámítás alapjául szolgáló tőke maga is folyamatosan növekszik. A jövőérték kamattényező-táblázat

segítségével is meghatározható (már amennyiben rendelkezésünkre áll ilyen táblázat). A kamattényező-táblázatból egyszerűen kiolvasható, hogy mekkora 1 Ft jelenbeli pénzösszeg jövőértéke r kamatláb és n periódus esetén. A kamattényező-táblázatban a sorokban a periódusok száma (n) az oszlopokban pedig az alkalmazott kamatlábak (r) vannak feltüntetve. A kamattényező-értéke pedig koordinátamódszerrel (azaz megkeresve a megfelelő sor és oszlop metszéspontjában lévő értéket) olvasható ki a táblázatból A jövőérték ezt követően egy egyszerű szorzás segítségével számolható ki. A jövőérték meghatározása kamattényező-táblázattal: Jövőbeli érték = Mai érték ⋅ Kamattényező r,n 24 3. Jelenérték-számítás A jelenérték-számítás logikája a jövőérték-számítás fordítottja: itt arra a kérdésre keressük a választ, hogy valamely a jövőben esedékes pénzösszeg mennyit ér ma. A

jelenérték-számítás során a különböző időpontban esedékes pénzösszegeket a mai időpontra számoljuk át. A jelenérték tehát megmutatja egy jövőbeli időpontban esedékes pénzösszeg mai értékét, másként fogalmazva: azt az összeget, amennyit ma kellene befektetni ahhoz, hogy a jövőértéke éppen az az esedékes pénzösszeg legyen. A pénz jelenértékét diszkontálással határozzuk meg. (A gyakorlatban gyakrabban alkalmazzuk a jelenértékszámítást a jövőérték-számításnál, mivel egy döntési szituációban számunkra érdekesebb az, hogy most mennyit ér a döntésük nyomán a jövőben előálló pénzáram. Ezért a későbbiek során a jelenérték-számítás módszerére támaszkodunk majd.) A jelenérték képlete: ⎡ 1 ⎤ ⎥ , ahol PV = Cn ⎢ n ⎢⎣ (1 + r ) ⎥⎦ PV: a jövőbeli pénzösszeg jelenértéke Cn: az n év (periódus) múlva esedékes pénzösszeg, pl. 161051 Ft r: a kamatláb, pl. 10%=0,1 n: az évek

(periódusok) száma, pl. 5 év Jelenérték-számítás A jövőérték-számítás során használt példa adatait alapul véve, az 5 év múlva esedékes 161.051 Ft jelenértéke 10%-os kamatláb mellett 100.000 Ft, hiszen 100000 Ft-ot kell befektetni ahhoz, hogy pénzünk 10% kamatozással mellett 5 év alatt 161.051 Ft-ra növekedjék Az 5 év múlva esedékes 161.051 Ft jelenértéke 10%-os kamatláb mellett a képlet szerint: 161.051/(1+0,1)5 = 100000 Ft, ahogy az a fenti példában is adódott C0=? Cn idő (évek, periódusok száma) 0. 1. 2. 3. n. Nézzük most meg, hogyan alakul 100.000 Ft jelenértéke, ha az összeg egyre később esedékes és a diszkontáláshoz használt kamatláb 5%, 10%, 15% (2.2 ábra)! 25 2.2 ábra 100000 Ft jelenértéke 120000 100000 Ft 80000 5% 60000 10% 40000 15% 20000 0 0 2 4 6 évek 8 10 12 A jelenérték tehát kisebb az n év múlva esedékes összegnél, és minél nagyobb a diszkontáláshoz használt kamatláb

(az úgynevezett diszkontráta), illetve minél messzebb van a jelentől az esedékesség, annál kisebb a jelenérték. A jelenérték diszkonttényező-táblázat segítségével is meghatározható (már amennyiben rendelkezésünkre áll ilyen táblázat). A diszkonttényező-táblázatból egyszerűen kiolvasható, hogy mekkora 1 Ft jövőbeli pénzösszeg jelenbeli értéke r kamatláb és n periódus esetén. (A diszkonttényező tulajdonképpen a megfelelő kamattényező inverze) A diszkonttényező-táblázatban a sorokban a periódusok száma (n) az oszlopokban pedig az alkalmazott kamatlábak (r) vannak feltüntetve. A diszkonttényező-értéke pedig koordinátamódszerrel (azaz megkeresve a megfelelő sor és oszlop metszéspontjában lévő értéket) olvasható ki a táblázatból. A jelenérték ezt követően egy egyszerű szorzás segítségével számolható ki. A jelenérték meghatározása diszkonttényező-táblázattal: Mai érték = Jövőbeli érték ⋅

Diszkonttényező r,n ÖNELLENŐRZŐ KÉRDÉSEK: 1. Mit jelent a pénz időértékének elve? 2. Mit mutat meg a kamattényező értéke? 3. Mit mutat meg a diszkonttényező értéke? 4. Mekkora lesz 2 MFt befektetésünk értéke öt év múlva, ha az éves kamatláb 10%? a.) 3 MFt b.) 3,22 MFt 26 c.) 4,56 MFt d.) 10 MFt e.) a megadott adatokból nem állapítható meg Megoldás: b.) 5. Mennyit ér ma a 4 év múlva esedékes 2 MFt, ha az elvárt éves hozam 8%? a.) 1,21 MFt b.) 1,35 MFt c.) 1,47 MFt d.) 1,59 MFt e.) a megadott adatokból nem állapítható meg Megoldás: c.) Bővítse ismereteit az alábbi cikk elolvasásával! Jelenérték-számítás hiánya a MÁV tendernél 27 II. modul A pénz időértéke 2. fejezet Jövőérték-számítás a gyakorlatban: kamatszámítás A jövőérték-számítás elméleti módszere tulajdonképpen a kamatszámítás gyakorlatához kötődik a legszorosabban. A fejezetben a kamatszámítás során leggyakrabban használt

fogalmakat, technikákat vesszük sorra egy-egy fogalompár köré rendezve. 1. Egyszerű kamat – kamatos kamat Egyszerű kamatozás során azt feltételezzük, hogy az időszakosan elszámolt kamatot nem számítják hozzá a betét értékéhez a kamatszámítás során, azaz periódusról periódusra mindig csak az induló betétösszeg kamatozik. Ennek megfelelően a betét időbeli gyarapodása lineáris növekedést fog mutatni, a betét jövőbeli értéke az alábbiak szerint határozható meg: A jövőbeli érték meghatározása egyszerű kamatozás esetén: Jövőbeli érték = C0 (1 + r ⋅ n ) , ahol C0 a jelenbeli pénzösszeg, pl. 100000 Ft r: a kamatláb, pl. 10%=0,1 n: az évek (periódusok) száma, pl. 5 év Az egyszerű kamatszámítást éven túl nem alkalmazzák a gyakorlatban. A leggyakrabban az éven belüli futamidejű konstrukcióknál találkozhatunk ezzel a technikával. Ekkor tulajdonképpen az időarányos kamat meghatározásáról van szó (pl.

negyedéves kamat, féléves kamat stb.) A képletben ez úgy jelentkezik, hogy az időtartamot kifejező n helyébe a tört időszak hosszát helyettesítjük be (pl. negyedév esetén n=0,25) Egyszerű kamatozás 3 MFt-ot helyezünk el egy bankbetétben, melyre a bank 4%-os éves kamatot ígér. A kamatokat negyedévente írják jóvá. Mekkora lesz befektetésünk értéke a harmadik negyedév végén, ha a bank egyszerű kamatszámítást alkalmaz? Mivel egyszerű kamatozásról van szó, az egyes negyedévekben elszámolt kamatot nem számítják hozzá az induló betét értékéhez, hanem rendre csak a 3MFt kamatozik. A képlet alapján n helyébe 0,75-öt kell helyettesíteni, hiszen három negyedéven át kamatoztatjuk betétünket, azaz 3MFt ⋅ (1 + 0, 04 ⋅ 0, 75 ) = 3MFt ⋅ 1, 03 = 3.090000Ft Tehát negyedévenként 30000 Ft kamatot számolnak el a részünkre, a három negyedév alatt összesen 90.000Ft kamatot Abban az esetben, ha a bank az elszámolt kamat

összegével megnöveli a betétként elhelyezett tőként nagyságát, tőkésítésről beszélünk. Tőkésítés esetén a kamatszámítás alapjául szolgáló betétünk időszakról időszakra növekedni fog a jóváírt kamatok értékével, így a következő időszakban a tőkésített kamat is kamatozni fog. Ezt a módszert kamatos kamatszámításnak nevezzük, és alkalmazása esetén betétünk értéke exponenciálisan fog növekedni. A jövőérték-számítás már közölt formulája kamatos kamatszámítást feltételez 28 Kamatos kamat tört évre 3MFt-ot helyezünk el egy bankbetétben, amelyre a bank 4%-os éves kamatot ígér. A bank az időarányosan jelszámolt kamat negyedévente történő tőkésítését vállalja. Mekkora lesz befektetésünk értéke a harmadik negyedév végén? A példában negyedéves tőkésítést vállalt a bank, ez azt jelenti, hogy az időarányosan egy negyedévre járó 1%-nyi kamatot jóváírja a betét értékében, így

a következő negyedévben a kamattal növelt összeg kamatozik tovább. A jövőérték-számítás képletében r=1%, n=3, hiszen három periódusról van szó, ezért a betét értéke: 3MFt ⋅ (1 + 0, 01) = 3.090903Ft, tehát némileg meghaladja (903 Ft-tal) az egyszerű kamatozás 3 esetén kapott összeget. Éven túli konstrukciókban a kamatos kamatozás módszere használatos. Gyakori eset azonban, hogy a befektetés időtávja egy vagy több teljes évből és egy tört évből tevődik össze (pl. 2 és fél év) Ilyenkor elvileg a kamatos kamatozás használható lenne (a képletben n helyébe 2,5-öt helyettesítve), de a bankbetétek kamatszámításánál leggyakrabban vegyes kamatozást alkalmaznak. Ez azt jelenti, hogy az egész évekre a kamatos kamatozást, a tört évre pedig az egyszerű kamatszámítást alkalmazzák. Vegyes kamatozás 5 MFt-ot helyezünk el egy bankbetétben, melyre a bank 8% éves kamatot ígér. Mekkora lesz bankbetétünk értéke 2 év 3

hónap múlva? Vegyes kamatozást feltételezve, két év múlva betétünk értéke egész évekre a kamatos kamatozást alkalmazva: 5MFt ⋅ (1 + 0, 08 ) = 5.832000Ft lesz 2 Az utolsó három hónapos periódusra (tört év) a bank egyszerű kamatszámítást alkalmaz, azaz a negyedévre járó 2%-os időarányos kamatot fogja elszámolni. A betét időszak végi értéke eszerint: 5.832000Ft ⋅ (1 + 0, 08 ⋅ 0, 25 ) = 5948640Ft Abban az esetben, ha a teljes 2 év 3 hónapra kamatos kamatozást feltételeztünk volna, a befektetésünk értékére: 5MFt ⋅ (1 + 0, 08 ) 2,25 = 5. 945 295,62 Ft, ami némileg kisebb, mint a vegyes kamatozás esetén számolt érték. 2. Névleges kamat – effektív kamat Láttuk, hogy a betéti konstrukciók esetén a befektetés értékének növekedése függ attól, hogy az időarányosan elszámolt kamatot milyen gyakran tőkésítik: ugyanaz a kinyilvánított vagy névleges évi 12%-os kamat eltérő növekedést eredményez betétünk

értékében, ha féléves vagy ha negyedéves tőkésítést ígér a bank. Féléves tőkésítés esetén egy év alatt két alkalommal, az egyes félévek végén tőkésítik az időarányos fél évre járó kamatot, negyedéves tőkésítés esetén évente négy alkalommal tőkésítik a negyedévre járó időarányos kamatot. Ahhoz, hogy a két konstrukciót össze tudjuk hasonlítani, meg kell határoznunk, hogy az egyes konstrukciók esetén mekkora a betét éves növekedési üteme, azaz mekkora a tényleges vagy effektív kamatláb. 29 A nominális kamatról effektív kamatra való áttérés képlete: m k⎞ ⎛ reff . = ⎜1 + ⎟ − 1 , ahol ⎝ m⎠ reff.: az éves effektív kamatláb k: az éves névleges (nominális) kamat m: az évenkénti tőkésítések száma. Effektív kamatláb gyakori tőkésítés mellett Az éves nominális kamatláb legyen 12%. Számítsuk ki, mekkora az elérhető éves effektív kamatláb, ha a kamatokat félévente,

negyedévente, havonta, hetente, naponta tőkésítik! A tőkésítés A tőkésítés alapjául gyakorisága szolgáló m időszak hossza 1 év 1 fél év 2 negyed év 4 egy hónap 12 egy hét 52 egy nap 365 A tőkésítés alapjául szolgáló időszakra jutó időarányos kamatláb (%) k/m 12 12/2=6 12/4=3 12/12=2 12/52=0,23 12/365=0,03 1 Ft összegű betét Éves effektív jövőértéke 1 év kamatláb múlva (Ft) (1+k/m)m-1 m (1+k/m) 1,12 1,062=1,1236 1,034=1,1255 1,0112=1,1268 1,002352=1,1273 1,0003365=1,1275 12% 12,36% 12,55% 12,68% 12,73% 12,75% Látható, hogy az éves effektív kamatláb nagysága a tőkésítések gyakoriságának növekedésével párhuzamos nő, de ez a növekedés csökkenő mértékű. 3. Nominális kamat – reálkamat A nominális kamat megmutatja, hogy miként változik a betétünk forintnagysága, de önmagában nem árul el semmit a vásárlóértékben bekövetkezett változásról. Amennyiben arra vagyunk kíváncsiak, hogy miként

változott betétünk vásárlóértéke, úgy az inflációs hatástól meg kell tisztítanunk a nominális kamatlábat. Az így nyert kamatlábat, reálkamatlábnak nevezzük. A betét nominális értékének változása tehát a reálkamat szerinti növekedésből és az inflációt kompenzáló növekedésből tevődik össze, tehát a nominális kamatláb az alábbi módon határozódik meg: A nominális és a reálkamatláb közti összefüggés: 1 + rnom. = (1 + rreál ) ⋅ (1 + i ) rnom.: az éves nominális kamatláb, rreál : az éves reálkamatláb i: az éves inflációs ráta. Innen átrendezéssel kapjuk a reálkamatlábat meghatározó összefüggést: 30 rreál = rnom. − i . 1+ i A fenti (keretes) összefüggést másként átrendezve adódik a rreál = rnom. − i − rreál ⋅ i összefüggés, ahol az utolsó tag (amennyiben az inflációs ráta moderált nagyságú) közelítő számításokban elhanyagolható, ekképpen a formula a rreál ≈ rnom. −

i összefüggésre egyszerűsödik. Amennyiben gyorsan (pl fejben) szeretnénk meghatározni a reálkamatláb (közelítő) nagyságát, a nominális kamatláb és az inflációs ráta különbségeként is becsülhetjük. A reálkamatláb közelítő formulája rreál ≈ rnom. − i , ahol rreál : az éves reálkamatláb rnom.: az éves nominális kamatláb, i: az éves inflációs ráta. Reálkamatláb Tegyük fel, hogy az éves nominális kamatláb 7,12%, az éves inflációs ráta pedig 3%. Mekkora a reálkamatláb? A teljesen pontos módszert használva r − i 0,0712 − 0,03 rreál = nom. = = 0,04 azaz 4%-os reálkamatlábat kapunk. 1+ i 1 + 0,03 A közelítő számítás eredményeként rnom– i = 7,12%-3% = 4,12% adódik, azaz a módszer felülbecsli a reálkamatláb tényleges nagyságát. 4. Bruttó kamat – nettó kamat A nominális kamatlábbal számolt betétérték nem jelent a befektető számára rendelkezésre is álló jövedelmet, hiszen rendszerint a kapott

kamat után adózni is kell. A befektetőt pedig a befektetési döntésnél elsősorban a rendelkezésre álló, adózás utáni kamatjövedelem érdekli, mely a nettó kamatláb alapján határozható meg. A nettó kamatláb a bruttó kamatláb adótól megtisztított része, képletszerűen az alábbi formulával számolható ki. A nettó kamatláb kiszámítása: rnettó = rbruttó ⋅ (1 − T ) rnettó: az éves nettó kamatláb rbruttó: az éves bruttó kamatláb T: a kamatra kivetett adó mértéke 31 Nettó kamatláb Egy betéti konstrukció meghirdetett éves kamatlába 8,5%. A kamatadó nagysága 20% Mekkora a nettó kamatláb? A képlet alapján rnettó = rbruttó ⋅ (1 − T ) = 8, 5% ⋅ (1 − 0, 2 ) = 6,8%. Az éves nettó kamatláb nagysága: 6,8% ÖNELLENŐRZŐ KÉRDÉSEK: 1. Egyszerű kamatozás vagy kamatos kamatozás mellett több a jövőérték a.) éven túl b.) éven belül? Megoldás: a.) kamatos; b) egyszerű 2. 1MFt-ot helyezünk el egy

bankbetétben, melyre a bank 6% éves kamatot ígér Mekkora lesz bankbetétünk értéke 1 év 4 hónap múlva, ha a bank a vegyes kamatozás módszerét alkalmazza? a.) 1,2 MFt b.) 1,75 MFt c.) 1,081 MFt d.) 1,81 MFt Megoldás: c.) 3. Mekkora az effektív kamatláb, ha az éves névleges kamatláb 24%, és a bank havonta tőkésít? a.) 24% b.) 26,82% c.) 27,13% d.) a megadott adatokból nem állapítható meg Megoldás: b.) 4. Tegyük fel, hogy a nominális kamatláb mértéke meghaladja az inflációs ráta értékét Hogyan változik a reálkamatláb, ha mind a nominális kamatláb, mind pedig az inflációs ráta ugyanannyi % ponttal nő? Megoldás: csökken 5. Egy betéti konstrukciónál a bank éves 12%-os névleges kamatot hirdet, havi tőkésítéssel A kamatadó mértéke 20%. Mekkora éves nettó kamatlábbal számolhatnak a befektetők? a.) 9,6% b.) 10,14% c.) 12% d.) 12,68% Megoldás: b.) 32 6. Határozza meg az 1 Ft értékű, n perióduson keresztül járó

szokásos annuitás jövőbeli értékét! Megoldás: Annuitástényezőr,n/Diszkonttényezőr,n=FVIFAr,n 7. Határozza meg az 1 Ft értékű, n perióduson keresztül járó esedékes annuitás jövőbeli értékét! Megoldás: vagy: (Annuitástényezőr,n-1+1)/Diszkonttényezőr,n vagy: FVIFAr,n+1-1 Bővítse ismereteit az alábbi cikk elolvasásával! Elolvad a reálkamat 33 II. modul A pénz időértéke 3. fejezet Speciális pénzáramok jelenértéke: örökjáradék, annuitás A jelenérték-számítás segítségével most már közös nevezőre tudjuk hozni a különböző időpontokban esedékes pénzáramlás-sorozatokat (cash-flow-kat), így ezek – a jelenértékükön – összeadhatóvá, kivonható, összehasonlíthatóvá válnak. Két pénzáramlás-sorozatot akkor tekintünk egyenértékűnek, ha jelenérték-összegük megegyezik. A fejezetben áttekintjük a módszer néhány speciális alkalmazását. 1. Örökjáradékok jelenértéke Örökjáradéknak

nevezzük azt a végtelen tagú fizetési sorozatot, mely azonos időközönként (pl. évente) azonos összegű kifizetéseket biztosít Egy örökjáradék jelenértékét a fenti elv alkalmazásával úgy számolhatjuk ki, hogy a járadék minden egyes kifizetésének kiszámítjuk a jelenértékét, és ezeket az értékeket összeadjuk. Ez a végtelen összeg – tulajdonképpen egy mértani sor – zárt formára hozva egyszerűen meghatározható. Az örökjáradék jelenértékének képlete: C , ahol r C: az évente kifizetett összeg, r: a diszkontáláshoz használt kamatláb. Örökjáradék jelenértéke Tegyük fel, hogy egy licenc után évente 1.000000 Ft díjat kell fizetni Ha a kamatláb 10%, mennyi a licenc értéke? A licenc tulajdonképpen pénzügyi szempontból egy örökjáradéknak tekinthető, ami évente 1.000000 Ft cash-flow-t biztosít a tulajdonosának Ezen cash-flow jelenértéke 10% kamatláb mellett a fenti képletet alkalmazva: 1.000000/0,10=10000000

Ft A licenc értéke tehát 10.000000 Ft Egyenletes ütemben növekvő örökjáradékról akkor beszélünk, ha a rendszeres időközönként biztosított kifizetések összege az első kifizetéstől kezdve egyenletesen növekszik. Az egyenletes ütemben növekvő örökjáradék jelenértékének képlete: C , ahol r−g C: az első év végén kifizetett összeg, r: a diszkontáláshoz használt kamatláb. g: a növekedés üteme 34 Ez tehát a következő pénzáramlás sorozatot jelenti: C, C(1+g), C(1+g)2, C(1+g)3, C(1+g)4, és így tovább a végtelenségig. (Az összegző képlet alkalmazásának feltétele az r>g reláció fennállása, ellenkező esetben a jelenérték minden határon túl nő.) Növekvő örökjáradék jelenértéke Térjünk vissza az előző példánkhoz, és tegyük fel azt is, hogy az infláció miatt a licencdíj összege az első kifizetést követően évente 5%-kal nő. (Ez a következő cash-flow-t jelenti: 1.000000Ft, 1050000Ft,

1102500Ft, stb) Mennyit érne ebben az esetben a licenc? Alkalmazva képletet: 1.000000/(0,1 – 0,05) = 20000000Ft adódik a licenc értékére 2. Annuitások jelenértéke Annuitásról akkor beszélünk, ha járadékunk rendszeres időközönként (pl. évente) azonos összegű kifizetést ígér, de nem örökké, csupán meghatározott ideig (pl. 20 éven keresztül). Az annuitás két típusa a szokásos annuitás és az esedékes annuitás Szokásos annuitás esetén a kifizetések a periódus végéhez rendelhetők hozzá. Az esedékes (vagy más néven: előleges) annuitásoknál viszont a kifizetések a periódusok elején jelentkeznek. A szokásos annuitás jelenértékének képlete: 1 ⎡ ⎢1 − + n (1 r ) C⎢ ⎢ r ⎢ ⎣ ⎤ ⎥ ⎥ , ahol ⎥ ⎥ ⎦ C: az évente kifizetett összeg, r: a diszkontáláshoz használt kamatláb, n: a periódusok száma, ameddig az annuitás kifizetést biztosít. Szokásos annuitás jelenértéke Tegyük fel, hogy példánkban a

licencdíj nem örökre, hanem csak a szabadalmi védettség lejáratáig jár, amiből még 5 év van hátra. Ekkor az 1000000 Ft-os licencdíjra csupán 5 alkalommal tarthatunk igényt. A kamatláb továbbra is 10%, a licencdíjak összege most nem változik Mekkora ekkor a licenc értéke? Alkalmazva a képletet: 1 ⎞ ⎛ ⎜ 1 − 1,15 ⎟ ⎟ = kb. 3791000 Ft adódik 1.000000 ⎜ ⎜ 0,1 ⎟ ⎜ ⎝ ⎟ ⎠ A szokásos annuitás jelenértéke annuitástényező-táblázat segítségével is meghatározható (már amennyiben rendelkezésünkre áll ilyen táblázat). Az annuitástényezőtáblázatból egyszerűen kiolvasható, hogy mekkora az 1 Ft rendszeres periódusonkénti 35 kifizetés-sorozat jelenbeli értéke r kamatláb és n periódus esetén. Az annuitástényezőtáblázatban a sorokban a periódusok száma (n) az oszlopokban pedig az alkalmazott kamatlábak (r) vannak feltüntetve. Az annuitástényező-értéke pedig koordinátamódszerrel (azaz megkeresve a

megfelelő sor és oszlop metszéspontjában lévő értéket) olvasható ki a táblázatból. A jelenérték ezt követően egy egyszerű szorzás segítségével számolható ki: A szokásos annuitás jelenérték-összegének meghatározása annuitástényezőtáblázattal: Jelenérték = Járadék összege × Annuitástényező r,n Esedékes annuitás esetén a jelenérték kiszámításához felhasználható a szokásos annuitás képlete, vagy az annuitástényező-táblázat egy kis korrekcióval: a periódusszámot eggyel csökkentenünk kell, a tényező értékét viszont eggyel növelnünk kell. Az esedékes annuitás jelenérték-összegének meghatározása annuitástényezőtáblázattal: Jelenérték = Járadék összege × ( Annuitástényező r,n −1 + 1) Ingatlan bérleti díjának jelenérték-összege Tegyük fel, hogy egy ingatlan bérleti díját havonta kell fizetnünk, melynek értéke 150.000 Ft Mekkora jelenbeli egyösszegű kifizetéssel egyenértékű a

kifizetett bérleti díjak sorozata attól függően, hogy havonta előre kell fizetni, vagy minden hónap végén válik esedékessé a bérleti díj. A pénz időértékét kifejező éves kamatláb 24%. A periódus most egy hónapot jelent, és mivel 1 évet vizsgálunk a periódusok száma, n=12. A kamatláb érvényességi időtartama viszont 1 év, ezt havi kamatlábra kell átszámolni. Éven belül egyszerű lineáris időarányosítást szoktunk alkalmazni, ezért a havi kamatláb 24%/12=2%-nak vehető. Havi utólagos fizetésnél (ez szokásos annuitást jelent) az annuitástényező értéke a táblázatból az n=12 sor és r=2% oszlop metszéspontjában található érték, azaz: 10,5753, vagyis az annuitás jelenértéke: 150.000Ft ⋅ 10, 5753 = 1586295Ft Hó eleji fizetésnél (ami esedékes annuitásnak feleltethető meg) az annuitástényező meghatározásához a periódusszámot csökkenteni kell eggyel, azaz n=11, az annuitástényező táblázatbeli értékéhez

pedig 1-et hozzá kell adni, azaz a bérleti díj sorozat jelenértéke: 150.000Ft ⋅ ( 9, 7868 + 1) = 1618020Ft Az esedékes annuitás jelenértéke mindig nagyobb, mint az azonos paraméterű szokásos annuitás jelenértéke. Az annuitás-számítások egyik jellemző gyakorlati alkalmazása a hitelkonstrukciókkal kapcsolatos különféle számításokhoz kötődik. Gyakran találkozunk ugyanis különféle annuitásos hiteleknél (pl. lakáshitel, fogyasztási hitelek) az úgynevezett hitelkonstrukciókkal, melyekre az jellemző, hogy kialakításuknál a törlesztő összegek periódusról periódusra megegyeznek (pl. minden hónapban azonos nagyságú összeget kell törleszteni). Az ilyen hiteleknél a törlesztő összegek sorozata tulajdonképpen egy annuitás, és a hitelkamat valamint a futamidő függvényében úgy határozzák meg a nagyságukat, hogy a törlesztőösszeg-sorozat jelenértéke megegyezzen a folyósított hitel nagyságával. A kérdés tehát most

fordítva vetődik fel: ismert jelenértékhez mekkora összegű pénzáramlás-sorozat tartozik. A következő komplex példa segítségével jobban megérthető a megközelítés logikája 36 Kedvezményes kamatozású hitel Egy autószalon a forgalom növelése érdekében a Peugeot206 modellre a következő fizetési feltételeket dolgozta ki: „Hitelkonstrukció”: a vevők részére 2 millió Ft kedvezményes kölcsönt nyújtanak 18%-os éves kamat mellett, és a kölcsönt 15 hónap alatt, egyenlő részletekben kell visszafizetni. „Árelőny”: a vevő 100ezer Ft engedményt kap a listaárból. Melyik konstrukció előnyösebb az autószalon részére, ha a fogyasztási hitelek éves kamata 24% körül van? (Éven belül egyszerű lineáris időarányosítással számoljuk ki a törtidőszaki kamatot.) A hitelkonstrukció azért jelent kedvezményt a vevő számára, mert a felajánlott kamat alacsonyabb a piaci kamatnál. Első lépésként határozzuk meg, hogy a

felkínált konstrukció elfogadása esetén mekkora lesz a törlesztő összeg nagysága. A törlesztő összegek sorozata egy annuitás, ahol a periódusok száma 15, az 1 hónap terjedelmű periódusra vonatkozó kamatláb pedig 18%/12=1,5%. A szokásos annuitás képletébe behelyettesítve a következő összefüggés írható fel a törlesztő összeg (C) nagyságára: 1 ⎤ ⎡ 1 ⎞ ⎛ 1− n ⎥ ⎢1 − ⎜ 15 ⎟ (1 + r ) ⎥ ⎝ 1, 015 ⎠ = C ⋅ 13, 3432 , ahonnan 2.000000 = C ⎢ = C⋅ ⎢ ⎥ r 0, 015 ⎢ ⎢⎣ ⎥ ⎥⎦ C=149.889 Ft Havonta a vevőnek 149.889 Ft-ot kell kifizetnie Mekkora ezen pénzáramlás-sorozat jelenértéke a piaci viszonyok szerint? A piaci kamatláb éves szinten 24%, ez havi 2%-os kamatnak felel meg: emellett kell tehát értékelnünk a hitelkonstrukció igénybe vételével létrejövő annuitást. A megfelelő annuitás tényező kiolvasható az annuitás táblázatból: az n=15 sor és az r=2% oszlop metszéspontjában szereplő

érték a 12,8493. Ezzel számolva a kedvezményes hitelkonstrukció jelenértéke: 149.889Ft ⋅ 12,8492 = 1925969Ft Ez a szalon számára 2.000000Ft – 1925969Ft = 74031Ft ráfordítást jelent, míg az árelőnykonstrukciónál a ráfordítás értéke az árkedvezmény 100000 Ft-os összege Az autószalon számára tehát egyértelműen a kedvezményes hitel a kedvezőbb konstrukció. Az annuitásos hitelkonstrukciók egyik lényeges jellemzője, hogy a futamidő elején a törlesztő összegekben a kamattörlesztés a domináns, a tőke visszafizetése – érdemben – a futamidő végéhez közeledvén gyorsul fel. A 23 ábrán egy magas kamattal terhelt, hosszú lejáratú hitel esetében követhető nyomon a fennálló adósság csökkenésének időbeli alakulása, valamint a törlesztő összeg összetételének változása. 37 2.3 ábra A hosszú lejáratú annuitásos hitel törlesztőösszegének összetevői 1200000,00 1000000,00 Fennálló adósság

Kamatfizetés Adósságtörlesztés 800000,00 Fizetendô összeg 600000,00 400000,00 Fizetendő összeg: 350.868 Ft/év 200000,00 19 95 19 96 19 97 19 98 19 99 20 00 20 01 20 02 20 03 20 04 20 05 20 06 20 07 20 08 20 09 20 10 20 11 20 12 20 13 20 14 20 15 0,00 Induló év: 1995. Futamidő: 20 év Folyósított hitelösszeg : 1000000 Ft Hitelkamat: évi 35% Annuitásos hitelkonstrukció esetén, év végi törlesztő összeg fizetés mellett az éves fizetési kötelezettség: 350.868 Ft A fennálló hiteladósság érdemi csökkenése kb. 15 év múltán, 2010 körül kezdődik meg Az is lehetséges, hogy az annuitás összege az első kifizetést követően évente adott ütemben nő. Ezt a pénzáramlás sorozatot hívjuk egyenletes ütemben növekvő annuitásnak Az egyenletes ütemben növekvő annuitás jelenértékének képlete: C ⋅ (1 + g) n C r −g − , ahol r−g (1 + r) n C: az első évben kifizetett összeg, r: a diszkontáláshoz használt kamatláb, g: a

növekedés üteme (g nem lehet egyenlő r-rel). n: a periódusok száma, ameddig az annuitás kifizetést biztosít. Amennyiben r = g, a képlet egyszerűsödik az n⋅C formára. 1+ r Növekvő tagú annuitás jelenértéke Tegyük fel, hogy korábbi licencdíjas a még 5 évig járó licencdíjak összegébe beleszámoljuk az 5%-os éves inflációt az első kifizetést követően. Ebben az esetben mekkora lesz a licenc jelenértéke? Behelyettesítve a fenti képletbe kapjuk, hogy 1.000000 ⋅ (1 + 0, 05)5 1.000000 0,1 − 0, 05 − = kb. 4150600 Ft a licenc értéke 0,1 − 0, 05 (1 + 0,1)5 38 ÖNELLENŐRZŐ KÉRDÉSEK: 1. Milyen típusú pénzáramlás-sorozatot értünk örökjáradék alatt? 2. Milyen típusú pénzáramlás-sorozat az annuitás? 3. Mi az annuitás két válfaja? 4. Barátja kér Öntől 1 millió Ft-ot, amelyek nem fog visszafizetni Cserébe azt ajánlja, hogy minden év végén fizet Önnek 100.000 Ft-ot, először 1 év múlva, egészen az ő vagy az

Ön haláláig. Elfogadja-e az ajánlatot, ha a piacon jelenleg érvényes 10%-os éves kamatot változatlannak gondolja? a.) igen b.) nem c.) a megadott adatokból nem állapítható meg Megoldás: b.) 5. Lakáshitelt szeretnénk felvenni A hitel futamideje 10 év, a felvett összeg 8000000 Ft A hitel kamatlába évi 8%. A törlesztés havonta történik, egyenlő nagyságú összegekben Mekkora lesz a havi törlesztés (kamat + tőke) összege? Megoldás. A hiteltörlesztés tulajdonképpen egy olyan annuitásnak tekinthető, amely havonta azonos nagyságú összegek kifizetését ígért. Ezen annuitás jelenértéke éppen a hitelösszeg, azaz 8.000000 Ft Az annuitás futamideje összesen 10 X 12 hónap, azaz 120 perióduson keresztül fogunk törleszteni. A periódusra jutó kamatláb, azaz a havi kamatláb 8% / 12 = 0,66% Helyettesítsünk be az annuitás jelenértékét leíró képletbe: 1 ⎡ ⎤ ⎢1 − 1 + 0, 0066 120 ⎥ ( ) ⎥ 8.000000 , innen kell meghatároznunk C-t, a

havi törlesztést C⎢ = ⎢ ⎥ 0, 0066 ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ Elvégezve a számolást, kapjuk, hogy C = 96.724 Ft, azaz ennyi a havi törlesztés összege Bővítse ismereteit az alábbi cikk elolvasásával! Lakásért életjáradék 39 III. modul A pénzáramok kockázata 1. fejezet A kockázat fogalma, mérése. Az eszközök egyedi és piaci kockázata A portfólió fogalma, kockázata és a diverzifikációban rejlő lehetőségek. A kockázat a pénzügyek alapfogalma. Minden döntésünket bizonytalan környezetben hozzuk, ezért számolnunk kell azzal, hogy döntéseink kimenetele eltérhet attól, amit elérni szerettünk volna. A fejezetben megismerkedünk azzal, hogyan mérhetjük a kockázatot és a kockázat csökkentésének lehetőségét. 1. A kockázat fogalma Hétköznapi szóhasználatunkban a kockázat valami „negatívat” jelent: rendszerint a veszteség lehetőségét értjük alatta. A pénzügyekben használatos kockázatfogalom leginkább talán a

kifejezés kínai nyelvű megfelelőjén keresztül ragadható meg. A kínai nyelvben a kockázatot két szimbólum jelöli (3.1 ábra) 3.1 ábra A kockázat fogalma a kínai írás szimbólumaival Forrás: Damodaran, A. (2006): A befektetések értékelése, Panem Kiadó, Bp, 61 o Az első szimbólum jelentése: veszély, a másodiké: lehetőség. A kockázatban tehát egyidejűleg van jelen a nyereség és a veszteség lehetősége. Kockázat alatt eszerint azt értjük, hogy a döntéseink jövőbeli tényleges kimenetele (pl. befektetéseink jövőbeni ténylegesen elért hozama) pozitív vagy negatív irányban eltérhet a várt kimeneteltől (pl. a várt, becsült hozamtól). Mivel a legritkább esetben fordul elő az, hogy valamilyen jövőbeli esemény bekövetkezésében biztosak lehetnénk, a kockázat döntéseink során lépten-nyomon felbukkan. A pénzügyekben a kockázat fontosságát azzal is hangsúlyozni szoktuk, hogy alapelvként fogadjuk el: egységnyi biztos

pénzösszeg értékesebb, mint egységnyi kockázatos pénzösszeg. A különböző befektetési és finanszírozási lehetőségek kockázatának felmérése a pénzügyi döntések nélkülözhetetlen eleme. Ahhoz azonban, hogy a kockázatot be tudjuk vonni az elemzéseinkbe, valahogy számszerűsítenünk kell. A kockázat méréséhez a valószínűségszámítás eszköztárát kell bevetnünk. 2. A várható hozam számszerűsítése Valószínűségen egy konkrét esemény (kimenetel) bekövetkezésének esélyét értjük. Ha lehetetlen az esemény bekövetkezése, a valószínűsége 0-nak tekinthető, ha az esemény biztosan bekövetkezik, a valószínűsége 1 vagy 100%. Valamely konkrét esemény bekövetkezésének valószínűsége e két szélső érték közé esik. Annak a valószínűsége, hogy egy szabályos kockával 6-ost dobunk, 1/6, vagy 16,67%. A pénzügyekben ezeket a 40 valószínűségeket általában hasonló események múltbeli kimeneteleinek

tanulmányozásával határozzuk meg. A kockázat definíciójában szerepel az ún. várható kimenetel meghatározása Egy befektetés várható hozama a lehetséges kimenetelek, azaz a lehetséges hozamok és azok valószínűségeinek figyelembe vételével határozható meg. A várható hozam képlete: E ( r ) = p1r1 + p 2 r2 + p3r3 + K + p n rn , ahol E(r): a várható hozam p1, p2, p3, , pn: a különböző lehetséges kimenetelek valószínűségei r1, r2, r3, , rn: a különböző lehetséges hozamok. Esernyőgyár és kirándulóhajó projekt várható hozama Képzeljük el, hogy két projektbe történő befektetésről szeretnénk döntést hozni, és mindenekelőtt a befektetés várható hozamát szeretnénk meghatározni. Az első projekt egy kirándulóhajó üzemeltetését foglalja magába, a másik egy esernyőgyár beindítását. Mindkét befektetés hozama nagy mértékben függ az időjárástól. Felvettük a kapcsolatot egy meteorológiai vállalkozással,

amely a következő előrejelzést adta: hűvös, csapadékos nyár – valószínűsége: 25% sok napsütés, kevés eső – valószínűsége: 50% kánikula csapadék nélkül – valószínűsége: 25%. Úgy becsüljük, hogy amennyiben a nyár hűvös, és csapadékos lesz, a kirándulóhajó-projekttől 6% hozamra számíthatunk. Ha sok napsütés és kevés eső lesz, nagyobb lesz az érdeklődés, így akár 10% hozamot is elérhetünk. Kánikula esetén tolongani fognak a vendégek, a hozam 30%-os lesz Ezzel szemben az esernyőgyár hozamai másként alakulnak. Kánikulában nem fogy az esernyő, a projekt hozama ekkor 10%. Sok napsütés és kevés eső esetén a hozam nagyobb lesz, 13% Legjobban azonban a hűvös, csapadékos nyárnak örülünk, ugyanis a hozam ekkor 20% lesz. Mekkora két befektetés várható hozama? Foglaljuk össze a lehetséges kimenetelek és a valószínűségeket egy táblázatban! Kimenetel hűvös, csapadékos nyár sok napsütés, kevés eső

kánikula csapadék nélkül Valószínűség 25% 50% 25% Hozamok kirándulóhajó esernyőgyár 6% 20% 10% 13% 30% 10% A kirándulóhajó-projekt várható hozama: E(r) = 0,25·6% +0,50·10% + 0,25·30% = 14% Az esernyőgyár-projekt várható hozama: E(r) = 0,25·20% +0,50·13% + 0,25·10% = 14% Mindkét projekt várható hozama 14%. 41 3. A kockázat számszerűsítése A fenti példában mindkét befektetés várható hozama megegyezett. A két projekt hozamainak alakulása ennek ellenére nagyon különböző, és nem csupán azért, mert a hozamok ellentétesen alakulnak. A kirándulóhajó-projekt hozamai ugyanis szélsőségesebbek, mint az esernyőgyár hozamai. A hozamok ezen változékonyságán, várható érték körüli ingadozásán keresztül számszerűsítjük a kockázatot. A kockázat tehát a tényleges hozamok szóródásától függ, mérőszáma a hozamok statisztikai szórása. A hozamok szórásának (σ, a görög szigma betű) a képlete: σ = p1

( r1 − E ( r ) ) + p 2 ( r2 − E ( r ) ) + p3 ( r3 − E ( r ) ) + K + p n ( rn − E ( r ) ) , ahol 2 2 2 2 σ : a szórás (mértékegysége: %) E(r): a várható hozam p1, p2, p3, , pn: a különböző lehetséges kimenetelek valószínűségei r1, r2, r3, , rn: a különböző lehetséges hozamok. Esernyőgyár és kirándulóhajó projekt várható hozama Folytassuk elkezdett példánkat! Az összehasonlítás érdekében számoljuk ki a két projekt szórását! A kirándulóhajó-projekt hozamainak szórása: σ2 = 0,25·(6% – 14%)2 + 0,50·(10% – 14%)2 + 0,25·(30% – 14%)2 = 88 %2 σ = 9,38% Az esernyőgyár-projekt hozamainak szórása: σ2 = 0,25·(20% – 14%)2 + 0,50·(13% – 14%)2 + 0,25·(10% – 14%)2 = 13,5 %2 σ = 3,67% Az esernyőgyár-projekt hozamai jóval kisebb mértékben szóródnak a 14%-os várható hozam körül, tehát ezen projekt kevésbé kockázatos. 4. Egyedi és piaci kockázat A különféle befektetések teljes kockázatát két

részre oszthatjuk: egyedi kockázatra és piaci kockázatra. Az egyedi kockázat abból fakad, hogy vannak olyan kockázati források, amelyek kizárólag az adott vállalatra (adott projektre), esetleg annak közvetlen környezetére hatnak. Ilyen tényezők lehetnek a menedzsment döntéseivel összefüggő kockázatot, környezetvédelmi előírások, szállítókkal és vevőkkel kapcsolatos veszélyek stb. A piaci kockázat abból ered, hogy vannak a gazdaság egészére kiterjedő kockázati források, amelyek többé-kevésbé egyaránt hatnak valamennyi vállalatra (valamennyi projektre). Piaci kockázatot jelent az infláció, az adórendszer változás, természeti katasztrófák stb. 42 5. A diverzifikáció Egy racionális befektető a kockázat csökkentése érdekében nem csak egyféle eszközt vásárol, hanem különböző eszközök között osztja meg pénzét, azaz nem tesz minden tojást egy kosárba. Amikor a befektetők azért vásárolnak különböző

hozam-kockázat jellemzőkkel rendelkező eszközöket, hogy csökkentsék a kockázatot, úgy mondjuk, hogy diverzifikálják a befektetéseiket. A diverzifikáció révén képesek vagyunk csökkenteni, esetleg ki is küszöbölni az egyedi kockázatot. A piaci kockázat azonban nagyjából hasonlóan hat minden eszközre, emiatt nem csökkenthető: ez egyben a diverzifikáció korlátját is jelenti (3.2 ábra) 3.2 ábra A diverzifikáció révén elérhető kockázatcsökkenés Kockázat (σ) teljes kockázat egyedi kockázat piaci kockázat 5 10 15 20 A portfólióban szereplő értékpapírok száma A diverzifikációval elérhető kockázatcsökkenés következtében nem az egyedi befektetés hozama és kockázata az igazán izgalmas a befektető számára, hanem a portfólió hozama és kockázata. A portfólió vagyonösszetételt jelent, azaz bizonyos típusú eszközök (pl részvények) együttesét jelöli. A diverzifikáció révén elérhető

kockázatcsökkenés tulajdonképpen azt jelenti, hogy a portfólió kockázata (szórása) az esetek túlnyomó többségében kisebb, mint amekkora a portfóliót alkotó egyedi eszközök átlagos kockázata alapján adódna. A portfólió hozama és kockázata. 43 Ha egy befektető csak egyféle projektbe fektethet be egyszerre, és a befektető kerüli a kockázatot, akkor az esernyőgyár-projektet fogja előnyben részesíteni, biztosítva ezzel a maga számára 14% hozamot, 3,67%-os szórás mellett. Vizsgáljuk meg azonban azt a lehetőséget, hogy a befektető egyidejűleg fekteti pénzét valamilyen arányban a kirándulóhajó és az esernyőgyár projektekbe! Tegyük fel, hogy egy befektető egyszerre invesztál tőkét mindkét projektbe úgy, hogy pénze egynegyedét a kirándulóhajó-projektbe fekteti, háromnegyedét pedig az esernyőgyár-projektbe. A portfólió tehát 25%-ban kirándulóhajóból és 75%ban esernyőgyárból áll Ekkor minden kimenetel

esetén a befektető a két projekt egyedi hozamainak a részarányok szerint súlyozott átlagát fogja elérni. Foglaljuk a már ismert módon táblázatba a portfólió hozamait! Kimenetel hűvös, csapadékos nyár sok napsütés, kevés eső kánikula csapadék nélkül Valószínűség 25% 50% 25% A portfólió hozama (25% kirándulóhajó – 75% esernyőgyár) 0,25·6% + 0,75·20% = 16,50% 0,25·10% + 0,75·13% = 12,25% 0,25·30% + 0,75·10% = 15,00% A portfólió várható hozama természetesen továbbra is 14% lesz (hiszen a portfólió mindkét alkotóelemének ekkora a várható hozama). Számoljuk ki azonban képletünk alkalmazásával a portfólió szórását! Az 25%-ban kirándulóhajóból és 75%-ban esernyőgyárból álló projekt hozamainak szórása: σ2 = 0,25·(16,5% – 14%)2 + 0,50·(12,25% – 14%)2 + 0,25·(15% – 14%)2 = 3,34 %2 σ = 1,83% (Ha a portfólió kockázata a hozamhoz hasonlóan átlagolódna, akkor a fenti portfólió átlagos kockázata:

0,25·9,38% + 0,75·3,67% = 5,1%-ra jönne ki. Ennél a portfólió kockázata lényegesen kisebb!) Vagyis, amennyiben a befektető a diverzifikáció mellett dönt, akkor ugyanakkora hozamot akár fele akkora kockázat mellett is biztosíthat magának! A diverzifikálható kockázatot példánkban az időjárás jelentette, ami ellentétesen hatott a két projektből realizálódó hozamokra. (Bizonyos esetekben a kockázat teljesen ki is küszöbölhető, amit a következő leckében alaposabban is körüljárunk.) Az okos befektető tehát nem tesz minden tojást egy kosárba. Őt az érdekli, hogy a különböző értékpapírok hogyan hatnak a portfólió egészének kockázatára. A jól diverzifikált portfólió kockázata nem tartalmaz egyedi kockázatot, hanem kizárólag piaci kockázatból áll. ÖNELLENŐRZŐ KÉRDÉSEK 1. Igaz vagy hamis? Egy beruházás annál kockázatosabb, minél nagyobb valószínűséggel lesz veszteséges. Megoldás: hamis 2. Fogalmazza meg a

vállalati pénzügyek kockázati alapelvét! 3. Milyen statisztikai mérőszámmal számszerűsítjük a kockázatot? 44 4. Döntse el az alábbi két állításról, igaz-e vagy sem! A piaci kockázat egy adott cégre, esetleg egy adott ágazatra jelent veszélyt. Megoldás: hamis A kamatlábak változása az egyedi kockázat tényezője. Megoldás: hamis 5. Mit jelent a diverzifikáció kifejezés? 6. Mekkora lenne a portfólió hozama és kockázata, ha a befektető pénzét 50-50% arányban osztaná meg a kirándulóhajó-projekt és az esernyő-projekt között? Megoldás: A portfólió várható hozama most is 14% lesz. Ebben az esetben az egyes kimenetelekhez tartozó hozamok az egyedi hozamok számtani átlagaként fognak adódni, ahogy ezt a következő táblázat mutatja. Kimenetel Valószínűség hűvös, csapadékos nyár sok napsütés, kevés eső kánikula csapadék nélkül 25% 50% 25% A portfólió hozama (50% kirándulóhajó – 50% esernyőgyár)

0,50·6% + 0,50·20% = 13,0% 0,50·10% + 0,50·13% = 11,5% 0,50·30% + 0,50·10% = 20,0% Az 50%-ban kirándulóhajóból és 50%-ban esernyőgyárból álló projekt hozamainak szórása: σ2 = 0,25·(13% – 14%)2 + 0,50·(11,5% – 14%)2 + 0,25·(20% – 14%)2 = 12,38 %2 σ = 3,52%, ami nem sokkal kisebb, mint a kizárólag kirándulóhajót tartalmazó befektetés kockázata. Bővítse ismereteit az alábbi cikk elolvasásával! Jól hozhat a bátorság 45 III. modul A pénzáramok kockázata 2. fejezet A portfólió kockázatának meghatározása a gyakorlatban. Az előző fejezetben megismertük az egyedi pénzügyi eszközök hozamának és kockázatának mérését. A portfóliók kockázatának meghatározása egy kicsit bonyolultabb feladat Ennek oka, hogy a portfólió kockázata nemcsak a portfóliót alkotó értékpapírok egyedi szórásának nagyságától függ, hanem attól is, hogy az egyes értékpapírok hozamai között milyen a kapcsolat, mennyire

hajlamosak az együttmozgásra. A leckében ezt a témát járjuk alaposabban körül. 1. A hozamok közötti együttmozgás meghatározása Mint azt az előző fejezetben szereplő példában is láthattunk a portfólió kockázata eltérően a portfólió várható hozamától az esetek túlnyomó többségében nem az átlagos kockázat, hanem annál kisebb érték: ez a diverzifikáció mögött meghúzódó alapvető megfigyelés. Hogyan számszerűsíthető ez a kockázat? A példában szerencsénk volt: ismertük az egyes kimeneteleket és a valószínűség-eloszlást, így portfólió szinten is meghatározhatók voltak az egyes hozamok. Mi a helyzet azonban akkor, ha – mint az oly gyakran előfordul – a portfóliót alkotó értékpapírok hozamát és szórását ismerjük? Ez önmagában kevés volna, szükségünk van még valamire: az egyes értékpapírok hozamának együttmozgásának abszolút mértékét kifejező kovariancia nagyságára vagy az ugyanezt

relatív módon kifejező korrelációs együttható értékére. A kovariancia meghatározásához vissza kell nyúlnunk az egyes értékpapírok lehetséges hozamaihoz és a valószínűség-eloszláshoz. Ezek ismeretében a kovariancia az alábbi módon határozható meg: Az értékpapírok hozamai közti kovariancia meghatározása: ( ( )) ( r − E ( r )) + p ( r − E ( r )) ( r ( r − E ( r )) ( r − E ( r )) , ahol σ AB = p1 r1A − E r A + K + pn A n B 1 B 2 A B n A 2 A B 2 ( )) + K − E rB B σAB: az A és B értékpapír hozamai közti kovariancia (mértékegysége: %2) E(r): a várható hozam p1, p2, , pn: a különböző lehetséges kimenetelek valószínűségei rA1, rA2, , rAn: az egyes kimenetelekhez tartozó lehetséges hozamok az A értékpapír esetén E(rA): az A értékpapír várható hozama rB1, rB2, , rBn: az egyes kimenetelekhez tartozó lehetséges hozamok a B értékpapír esetén E(rB): a B értékpapír várható hozama.

Esernyőgyár és kiránduló hajó projekt hozamainak kovarianciája Emlékeztetőül tekintsük meg a lehetséges kimeneteleket és az ezekhez tartozó hozamokat a két projekt esetében! 46 Kimenetel hűvös, csapadékos nyár sok napsütés, kevés eső kánikula csapadék nélkül Valószínűség 25% 50% 25% Hozamok kirándulóhajó esernyőgyár 6% 20% 10% 13% 30% 10% Mindkét projekt várható hozama 14%-ra adódott. A két projekt hozamai közötti kovariancia fenti képlet alapján az alábbi módon számítható ki: 0, 25 ( 6% − 14% )( 20% − 14% ) + 0, 5 (10% − 14% )(13% − 14% ) + +0, 25 ( 30% − 14% )(10% − 14% ) = −26% 2 A negatív előjel arra utal, hogy a két projekt hozamai ellentétes irányban mozognak. Szintén az értékpapírok hozamainak együttmozgását számszerűsíti a korrelációs együttható, amely a két értékpapír hozama közti kapcsolat irányát és szorosságát relatív módon fejezi ki. A korrelációs együttható

(ρ, a görög rhó betű) meghatározása: ρAB = σ AB , ahol σA ⋅ σB ρAB: az A és B értékpapír hozamai közti korreláció nagysága σAB: az A és B értékpapír hozamai közti kovariancia σA: az A értékpapír hozamának szórása σB: a B értékpapír hozamának szórása A korrelációs együttható értéke (-1) és (+1) közé esik. A (+1) érték tökéletesen pozitív, a (-1) érték tökéletesen negatív kapcsolatot jelez. A 0 érték arra utal, hogy a két értékpapír hozamai egymástól függetlenül változnak. Esernyőgyár és kiránduló hajó projekt hozamai közötti korreláció Korábbi számításaink alapján a kirándulóhajó-projekt hozamának szórása 9,38%-ra, az esernyőgyár-projekt hozamának szórása pedig 3,67%-ra adódott, míg a kovariancia értéke -26%2 volt. Ilyen adatok mellett a hozamok közötti korrelációs együttható értéke: −26% 2 ρ= = −0, 7553 , ami erős negatív irányú kapcsolat meglétére utal. 9,38%

⋅ 3, 67% 2. A portfólió kockázatának meghatározása A portfólió kockázatának meghatározásához ismernünk kell a portfólió értékének százalékos összetételét, a portfóliót alkotó értékpapírok hozamának szórásait és páronként a 47 portfóliót alkotó értékpapírok hozamainak együttmozgását (azaz a kovarianciákat vagy a korrelációs együtthatókat). Az N féle értékpapírból álló portfólió szórásnégyzete, amennyiben a portfóliót alkotó értékpapírok hozamainak kovarianciáit ismerjük az alábbi módon számolható ki. A portfólió szórásnégyzete a kovarianciák ismeretében: N N σ p2 = ∑∑ x i x j σij , ahol i =1 j=1 N: a portfólióban szereplő értékpapírok száma σ2p: az N féle értékpapírból összeállított portfólió szórásnégyzete x1, x2, xN: a portfóliót alkotó N féle értékpapír részaránya a portfólióban (a súlyok összege természetesen minden esetben =1) σij: az i. és a j

értékpapír hozamai közti kovariancia A formulába történő behelyettesítés során két megjegyzést kell figyelembe venni: 1. Mit jelent az, ha az indexek ugyanarra az értékpapírra vonatkoznak (azaz a értékpapír hozamának önmagával alkotott kovarianciája szerepel)? Értelmezésünk szerint ilyenkor a kovariancia helyébe az adott értékpapír hozamának varianciáját kell behelyettesíteni, azaz σii= σi2. 2. A kovariancia szimmetrikus i-re és j-re, ez azt jelenti, hogy σij = σji A portfólió kockázata, vagy szórása a szórásnégyzet négyzetgyökeként adódik. A képletben jobb oldalon szereplő összeadandók a részvényhozamok ún. varianciakovariancia mátrixából származtathatók A variancia-kovariancia mátrix főátlójában a portfóliót alkotó részvények varianciája szerepelnek, míg a főátlóra szimmetrikus mátrix többi elemét a részvényhozamok páronként képzett kovariancia alkotják (3.1 táblázat) 3.1 táblázat A

variancia-kovariancia mátrix ⎛ σ12 ⎜ ⎜ σ12 ⎜ σ13 ⎜ ⎜ M ⎜σ ⎝ 1n σ12 σ 22 σ 23 M σ 2n σ13 σ23 σ32 M σ3n K σ1n ⎞ ⎟ K σ2n ⎟ K σ3n ⎟ ⎟ O M ⎟ K σ 2n ⎟⎠ A képlet kis átalakítással akkor is használható, amennyiben nem a kovarianciákat, hanem a korrelációs együtthatókat ismerjük, hiszen a szórások és a korrelációk ismeretében meghatározhatók a kovarianciák, ezt követően pedig elvégezhetjük a képletbe történő behelyettesítést. 48 A kovariancia és a korrelációs együttható közötti összefüggés: σ AB = ρAB ⋅ σA ⋅ σB , ahol σAB: A és B értékpapír hozamának kovarianciája ρAB: A és B értékpapír hozamai közti korrelációs együttható σA: A értékpapír hozamának szórása σB: B értékpapír hozamának szórása Két értékpapírból álló portfólió kockázata Ismerkedjünk meg a képlet működésével az N=2 esetben, azaz akkor, ha portfóliónkat csupán kétféle

értékpapírból állítjuk össze. Vizsgáljuk meg újra azt a lehetőséget, hogy a befektető egyidejűleg fekteti pénzét valamilyen arányban a kirándulóhajó és az esernyőgyár projektekbe! Tegyük fel ismét, hogy egy befektető egyszerre invesztál tőkét mindkét projektbe úgy, hogy pénze egynegyedét a kirándulóhajó-projektbe fekteti, háromnegyedét pedig az esernyőgyár-projektbe. A portfólió tehát 25%-ban kirándulóhajóból és 75%-ban esernyőgyárból áll, azaz x1=0,25 és x2=0,75. A szórások értéke: σ1=9,38% (kirándulóhajó) és σ2=3,67% (esernyőgyár). A két értékpapír hozamai közötti kovariancia értéke: σ12= – 26%2. Végezzük el a behelyettesítést az N=2 esetben! σ 2p = 2 2 ∑∑ x x σ i =1 j=1 i j ij = x1 x1σ11 + x1 x 2 σ12 + x 2 x1σ 21 + x 2 x 2 σ 22 . A képlet alkalmazásához tett első megjegyzés értelmében σ11=σ12, azaz 88%2 és σ22= σ22, azaz 13,5%2. A második megjegyzés értelmében σ12= σ21,

azaz a két középső tag összevonható A két elemű portfólió szórása tehát az alábbi módon fejezhető ki: σ 2p = x12 σ12 + 2x1 x 2 σ12 + x 22 σ 22 . Behelyettesítéssel kapjuk a portfólió szórásnégyzetét: σp2 = 0,252·88 %2 + 2·0,25·0,75·(-26 %2) + 0,752·13,5 %2 = 3,34 %2 A portfólió szórása (kockázata): σ 2p = 3, 34% 2 = 1,83%, éppúgy, mint a kimenetelekre épülő számolás esetén volt. (Ugyanez a korrelációs együttható alapján is kiszámolható lett volna, hiszen σ 2p = x12 σ12 + 2x1 x 2 ρ12 σ1σ 2 + x 22 σ 22 . ) 3. A diverzifikáció révén elérhető kockázatcsökkenés mértéke és a korreláció közötti összefüggés A diverzifikáció révén elérhető kockázatcsökkenés mértéke a korrelációs együttható nagyságától függ. A két értékpapír közötti diverzifikáció kockázatcsökkentési lehetőségeit foglalja össze a 3.2 táblázat 3.2 táblázat A korrelációs együttható nagysága és a

diverzifikáció révén elérhető kockázatcsökkenés 49 A korrelációs együttható A diverzifikáció révén elérhető kockázatcsökkenés nagysága A diverzifikáció nem csökkenti a kockázatot, a portfólió kockázata a két részvény egyedi kockázatának súlyozott számtani átlaga. A kockázat nem diverzifikációval, hanem úgy ρ = +1 minimalizálható, ha az alacsonyabb kockázatú értékpapírba fektetünk. A diverzifikáció révén a portfólió kockázata az átlagos kockázat alá csökken, de a kockázat teljes mértékben nem küszöbölhető -1 < ρ < +1 ki. A diverzifikáció révén a portfólió kockázata az átlagos kockázat alá csökken, és létezik olyan portfólió összeállítás, amely teljes ρ = -1 mértékben kiküszöböli a kockázatot. A 3.1 táblázatból látható, hogy amennyiben a két értékpapír hozamai közötti korreláció kisebb mint 1, akkor a befektetés két értékpapír közötti megosztásával a

befektetés kockázata az átlagos kockázat alá csökkenthető. Hogy milyen mértékben csökken a befektetés kockázata az átlagos kockázat alá, az a portfólió összetételétől, azaz az egyes értékpapírok részarányától függ. Amennyiben a korrelációs együttható értéke kisebb mint 1, meghatározható az a portfólió összetétel, ami minimalizálja a kockázatot. Két értékpapírba történő befektetés esetén a minimális kockázatú portfólió összetétele (amennyiben a hozamok közötti korreláció kisebb mint 1) σ22 − σ12 σ12 − σ12 x1 = 2 és x 2 = 1 − x1 = 2 , ahol σ1 + σ22 − 2σ12 σ1 + σ22 − 2σ12 x1: az első értékpapír portfólión belüli részaránya x2: a második értékpapír portfólión belüli részaránya (természetesen x1+x2=1) σ1: az első értékpapír hozamának szórása σ2: a második értékpapír hozamának szórása σ12: a két értékpapír hozama közti kovariancia A képlet abban a speciális esetben

is alkalmazható, ha a két értékpapír hozama közötti korreláció -1. Ekkor a formula az alábbi alakra egyszerűsíthető: σ2 σ1 x1 = és x 2 = 1 − x1 = . σ1 + σ2 σ1 + σ2 50 A minimális kockázatú portfólió Nézzük meg, hogyan kellene kialakítani az kirándulóhajó-esernyőgyár portfóliót, ha minimalizálni szeretnénk a kockázatot! Mivel a korrelációs együttható értéke kisebb mint 1 (ρ = -0,7553), ezért a kockázat minimalizálásához a diverzifikáción keresztül vezet az út, azaz használható a fenti összefüggés: 13, 5 − ( −26) x kirándulóhajó = =0,2573 és x esernyőgyár = 1 − 0, 2573 = 0, 7427. 88 + 13, 5 − 2 ⋅ ( −26) Vagyis a befektetni tervezett összeg 25,73%-át a kirándulóhajó-projektben, míg 74,26%-át az esernyőgyár-projektben kell elhelyezni, ha minimalizálni szeretnénk a kockázatot. Az így kialakított portfólió szórása: 2 σp = 0,25732·88 %2 + 2·0,2573·0,7427·(-26 %2) + 0,74272·13,5 %2 =

3,3355 %2 σminimális = 1,8263 % Tekintve, hogy az egyedi szórások súlyozott számtani átlaga: σátlagos =0,2573 ⋅ 9,38%+0,7427 ⋅ 3,67%=5,1392% , a diverzifikáció révén láthatóan jelentős mértékben sikerült csökkenteni a kockázatot. A gyakorlatban az értékpapírok kockázatát és hozamának korrelációját a múltbeli tényadatként összegyűjtött napi vagy heti hozamok alapján szoktuk becsülni statisztikai becslőmódszerek alkalmazásával. ÖNELLENŐRZŐ KÉRDÉSEK 1. Milyen mutatószámokkal számszerűsíthetjük az értékpapírok hozamainak együttmozgását? 2. Igaz vagy hamis? Ha két értékpapír hozamának kovarianciája zérus, akkor valamelyiknek a szórása biztosan zéró. Megoldás: hamis Ha két értékpapír hozama közti korreláció zéró, akkor a portfólió megfelelő összeállításával a kockázat kiküszöbölhető. Megoldás: hamis Ha két értékpapír hozamának korrelációs együtthatója -1, akkor mindig képezhető

belőlük zérus szórású portfólió. Megoldás: igaz Ha az értékpapír-hozamok tökéletesen pozitívan korrelálnak, akkor a diverzifikáció nem csökkenti a kockázatot. 51 Megoldás: igaz A portfólió szórása mindig kisebb alkotóelemei szórásának súlyozott átlagánál. Megoldás: hamis 3. Az A és B részvényről a következő információkkal rendelkezünk Az A részvény hozamának szórása 8%, a B részvényé 12%. A hozamok közötti korrelációs együttható: 0,25 Határozza meg a minimális kockázatú portfólió százalékos összetételét! Megoldás: Először is határozzuk meg a két részvény hozamainak kovarianciáját! σ AB = ρAB ⋅ σA ⋅ σB = 0, 25 ⋅ 8% ⋅ 12% = 24% 2 Ezt helyettesítsük be a minimális kockázatú portfólió összetételét meghatározó képletbe! 122 − 24 xA = 2 =0,75 és x B = 1 − 0, 75 = 0, 25. 8 + 122 − 2 ⋅ 24 Tehát a portfóliót 75%-ban A részvényből, 25%-ban B részvényből kell

összeállítani, ha minimalizálni akarjuk a kockázatot. Bővítse ismereteit az alábbi cikk elolvasásával! Nyugdíjpénztárak diverzifikációs stratégiái 52 III. modul A pénzáramok kockázata 3. fejezet Az optimális portfólió kiválasztása. Már akár két értékpapírból is elvileg végtelen számú portfólió állítható össze, tetszőlegesen változtatva az egyes értékpapírok arányát a portfólióban. Ezekkel a portfóliókkal a kockázat és hozam kombinációs meglehetősen széles választéka érhető el a befektetők számára. Hogyan választanak a befektetők a lehetőségek közül? A fejezetben megismerjük az optimális befektetési döntés logikáját a kockázatos és a kockázatmentes eszközök világában. 1. A hatékony portfóliók A portfóliók különböznek egymástól abban a tekintetben, hogy mekkora a várható hozamuk illetve mekkora a kockázatuk. A befektetők számára a számtalan portfólió közül valójában csak a

hatékony portfóliók lesznek fontosak. Azokat a portfóliókat nevezzük hatékonynak, • amelyek adott kockázat mellett a legnagyobb hozamot ígérik, ugyanakkor • a várható hozam adott szintjét a legkisebb kockázat mellett valósítják meg. Normál körülmények között maximális hozamot minimális kockázattal nem lehet elérni, hozam és kockázat között egy bizonyos átváltás van. A befektetőnek így aztán az a célja, hogy a hozam és a kockázat viszonyát optimalizálja a saját preferenciái alapján. A racionális befektetők a hatékony portfóliók közül fogják kiválasztani a számukra legmegfelelőbbet attól függően, hogy mennyire idegenkednek a kockázattól. A kockázattól jobban idegenkedők a hatékony portfóliók közül az alacsonyabb kockázat-hozamot reprezentáló portfóliók közül választanak; azok pedig, akik kockázattűrőbbek, a magasabb hozam reményében a nagyobb kockázatú portfóliók közül választanak. 3.3 ábra A

lehetséges és a hatékony portfóliók halmaza a kockázatos pénzügyi eszközök körében Hozam maximális hozam minimális kockázat A B E D C Kockázat 53 A 3.3 ábrán szemléltetjük a lehetséges és a hatékony portfóliók halmazát a kockázatos pénzügyi eszközök világában. Az összes elérhető kockázatos eszközökből összeállítható lehetséges portfóliók halmaza egy esernyő alakú síkidom: a befektető ezen felület pontjai által reprezentált hozam-kockázat párok közül választhat. Könnyen látható, hogy ezen halmaz belső pontjai, mint például az E pont, nem lehetnek hatékonyak, hiszen akár felettük, akár tőlük balra elhelyezkedő portfóliók kedvezőbb befektetési lehetőségeket képviselnek. (A felettük lévők magasabb hozamot ígérnek változatlan kockázat mellett, a balra lévők pedig ugyanazt a hozamígéretet alacsonyabb kockázat mellett biztosítják.) Valójában ezen logika szerint csak a bal felső (vagy

észak-nyugati) határvonal által reprezentált portfóliók lehetnek hatékonyak, azaz a globálisan maximális hozamot biztosító A pont által képviselt portfólió és a globálisan minimális kockázatú befektetési lehetőséget szimbolizáló D pont közötti (megvastagított) határvonalon pontjai. (A B ponttal jelölt portfólió nem hatékony, mert bár nincs más olyan befektetési lehetőség, mely ugyanakkor kockázat mellett magasabb hozamot biztosítana, de létezik olyan, amely ugyanakkora hozamot alacsonyabb kockázat mellett képvisel. Úgyszintén nem lehet hatékony a C ponttal jelölt portfólió, mert bár igaz, hogy nincs olyan másik portfólió, amely ugyanakkora hozamot alacsonyabb kockázat mellett ígérne, azonban van olyan, ami ugyanakkora kockázat mellett ígér nagyobb hozamot. A B és C pontok esetén tehát a hatékonyság fogalmában megkövetelt feltételek közül csakis az egyik áll fenn. Mindez rámutat arra a követelményre, hogy csupán a

mindkét feltételt egyidejűleg teljesítő pontok képviselhetnek hatékony portfóliókat!) A befektetők az optimális portfóliót a hatékony portfóliók készletéből (A-D észak-keleti határvonal) fogják választani. 2. A hatékony portfóliók készlete a kockázatos és kockázatmentes eszközök körében Gyökeres változást hoz a hatékony portfóliók elhelyezkedésére nézve, ha az elemzésbe a kockázatmentes eszközt is bevonjuk: azaz ha a befektető állami kibocsátású kincstárjegybe is befektethet (itt gyakorlatilag nincs nemfizetési kockázat), illetve a kockázatmentes kamatláb mellett felvett hitelből is vásárolhat kockázatos pénzügyi eszközöket. A 3.4 ábrán a kockázatmentes eszköz a kockázat-hozam koordinátarendszerben a hozam tengelyen helyezkedik el (hiszen hozama, rf, biztos, azaz a hozam szórása zérus). Ha egy kockázatos eszközökből összeállított portfóliót kombinálunk a kockázatmentes eszközbe történő valamilyen

arányú befektetéssel, akkor az így kialakított vegyes portfóliók egy egyenes mentén fognak elhelyezkedni a hozam-kockázat koordináta-rendszerben, mivel ilyen esetben a vegyes portfólió szórása a kockázatos eszköz szórásának arányos része. Amennyiben a kockázatos eszközök vizsgált kombinációját a P pont reprezentálja, a kockázatos és kockázatmentes eszközökből kialakítható kombinációk az rf – P egyenes pontjai lesznek. (Jelesül, a P ponttól balra esők kockázatmentes eszközbe való befektetéssel, a P ponttól jobbra esők hitelfelvétellel valósíthatók meg, lásd az alábbi példát.) Kockázatos és kockázatmentes eszköz kombinációi Tegyük fel, hogy a kockázatos eszközökből kialakított portfólió hozama 12%, szórása: 28%. A kockázatmentesnek tekinthető hozam, amely mellett nemcsak befektethetünk, hanem hitelt is vehetünk fel, legyen 6%. Mekkora a 75%-ban kockázatos, 25%-ban kockázatmentes eszközből összeállított

portfólió hozama és szórása? A hozam az alkotóelemek hozamainak súlyozott számtani átlagaként adódik: 0, 75 ⋅ 12% + 0, 25 ⋅ 6% = 10, 5%. A kockázat kiszámítása most is a kételemű portfólióknál megismert képlet szerint számítható: σ 2p = x12 σ12 + 2x1 x 2 σ12 + x 22 σ 22 , ahol most egyfelől a kockázatmentes eszköz szórása zéró (a kockázatmentesség éppen ezt jelenti), azaz σ2=0, másrészről – minthogy a kockázatos eszköz 54 hozamalakulásától függetlenül a kockázatmentes eszköz hozama biztos (azaz változatlan) – a kovariancia is (és a korrelációs együttható is) zérus: σ12= 0. Ezek miatt az összefüggés leegyszerűsödik a következő formára: σ 2p = x12 σ12 , azaz σ p = x1σ1 , vagyis a vegyes portfólió szórása a kockázatos eszköz szórásának arányos része. Számszerűen: a portfólió szórása = 0,75·28% = 21% Amennyiben a befektető hitelfelvétellel növeli a kockázatos eszközökbe történő

befektetésre rendelkezésre álló pénzét (ezt hívjuk befektetői tőkeáttételnek), növelheti a befektetés révén elérhető várható hozamát és természetesen a kockázatot is. Tegyük fel, hogy a befektető saját pénze 50%-ának megfelelő összegben hitelt vesz fel, és ebből is kockázatos eszközt vásárol. Mekkora az így megvalósított befektetés hozama és kockázata? Amennyiben összes saját pénzét kockázatos eszközbe fekteti a befektető, akkor x1=1. Ha a befektetett összeget hitelből 50%-kal növeli, akkor x1=1,5 lesz. (Formálisan természetesen ez azt jelenti, hogy x2= – 0,5, hiszen x1+x2=1. Tehát a negatív súlyarány hitelfelvételt jelent) Ekkor tehát a fenti összefüggések szerint: rp = x1 r1 = 1, 5 ⋅ 12% = 18% és σ p = x1σ1 = 1, 5 ⋅ 28% = 42%. Tehát a befektető tőkeáttétellel akár 18%-os várható hozamot is megcélozhat. Ennek az akciónak természetesen a kockázata is magasabb, 42%. 3.4 ábra A hatékony portfóliók

halmaza a kockázatos és kockázatmentes pénzügyi eszközök körében Hozam Érintési pont M A kockázatmentes eszköz P (kockázatos portfólió) rf D Kockázat A kockázatos és kockázatmentes eszközök világában a hatékony portfóliókat reprezentáló pontok szintén egy egyenesen fognak elhelyezkedni, méghozzá a kockázatmentes eszközt jelképező rf pontból a kockázatos eszközök A–D hatékony frontjához húzható érintő egyenesen. A 34 ábrán az érintési pont az M pont, a hatékony portfóliók pedig a kivastagított rf – M egyenes mentén helyezkednek el. Ez az egyenes ugyanis a legmeredekebb (azaz az adott kockázat mellett a legmagasabb hozamot biztosító) a lehetséges portfóliók egyenesei közül. Ezt a kitüntetett helyzetű egyenest hívjuk tőkepiaci egyenesnek 55 3. Az optimális portfólió meghatározása a kockázatos és a kockázatmentes pénzügyi eszközök világában A racionális befektető számára az optimális

portfólió összetétele attól függ, hogy egyéni preferenciái alapján miként viszonyul a kockázathoz. Ezt az attitűdöt fejezik ki a befektető közömbösségi görbéi, melyek a 3.5 ábrán az U1, U2, U3-mal jelölt görbék A befektető számára azonos hasznosságot jelentő portfóliók hozam-kockázat párjai helyezkednek el egy adott közömbösségi görbén. A görbék pozitív meredekségűek (hiszen magasabb kockázatért a racionális befektető pozitív hozamkompenzációt vár) és a diverzifikációs hatás miatt alulról konvexek. Minél inkább elutasítja személyes preferenciái miatt a kockázatot a befektető, annál meredekebb közömbösségi görbék jellemezik az attitűdjét (lásd a 3.5 ábra felső és alsó része közötti különbséget!) A közömbösségi görbék egymással párhuzamosan futnak, és a magasabban fekvő közömbösségi görbe portfóliói nagyobb hasznosságot eredményeznek a befektető számára (azaz U2 kedvezőbb, mint U1;

és U3 kedvezőbb, mint U2). 3.5 ábra Az optimális portfólió a kockázatos és kockázatmentes eszközök világában két különböző kockázati attitűd esetén a.) a kockázattól jobban idegenkedő befektető (meredekebb közömbösségi görbék) Hozam U3 U2 U1 A M rf O1 D Kockázat 56 b.) a kockázattól kevésbé idegenkedő befektető (laposabb közömbösségi görbék) U3 Hozam U2 U1 O2 A M rf D Kockázat Az optimális választást jelentő portfólió szükségképpen a hatékony portfóliók közül kerül ki, ezek közül is a legnagyobb hasznosságot eredményező, legmagasabban fekvő közömbösségi görbére illeszkedő pont lesz. Ez geometriailag a hatékony portfóliókat reprezentáló egyenes és az érintő helyzetű közömbösségi görbe (U2) közös érintési pontját, azaz (a felső ábrán) O1-et illetve (az alsó ábrán) O2-t jelenti. Az optimális választás sajátossága, hogy minden befektető saját személyes

preferenciáitól függetlenül ugyanazt a portfóliót fogja választani a kockázatos eszközök közül (a rajzon ezt reprezentálja az M pont), majd személyes preferenciáinak megfelelően kombinálja ezt a kockázatos portfóliót a kockázatmentes eszközbe történő befektetéssel, esetleg hitelfelvétellel. A 35 ábra felső részén megjelenített kockázatelutasító befektető befektetni szándékozott pénzének nagyobb részét kockázatmentes eszközbe fekteti, az alsó részen látható kevésbé kockázatelutasító befektető viszont még hitelt is felvesz, hogy növelje tétjét a kockázatos eszközben. 57 ÖNELLENŐRZŐ KÉRDÉSEK 1. Mit jelent a hatékony portfólió fogalma? 2. Igaz vagy hamis? Ha egy P portfólióhoz képest nincs olyan lehetséges portfólió, amely adott hozamot kisebb kockázat mellett biztosítana, akkor a P portfólió hatékony. Megoldás: hamis Egy tetszőleges kockázatos eszközökből képzett portfólió és a kockázatmentes

eszköz kombinációjával tetszőlegesen magas várható hozamú hatékony portfólió előállítható. Megoldás: igaz Ha két értékpapír hozamának korrelációs együtthatója -1, akkor mindig képezhető belőlük zérus szórású portfólió. Megoldás: igaz 3. Melyik portfólió nem hatékony az alábbiak közül? Portfólió Várható hozam (%) Szórás (%) A 11 18 B 13,25 16 C 15 20 Megoldás: Az A nem lehet hatékony, hiszen a B portfólió magasabb hozamot biztosít alacsonyabb kockázat mellett! 4. Az alábbi négy portfólió közül mely esetben lesz a portfólió szórása a két értékpapír szórásának számtani átlaga? a.) 50% kincstárjegy, 50% A részvény, b.) 50% A részvény, 50% B részvény, A és B hozamai tökéletes pozitív korrelációban vannak, c.) 50% A részvény, 50% C részvény, a hozamok korrelálatlanok, d.) 50% A részvény, 50% D részvény, a hozamok tökéletes negatív korrelációban vannak Helyes válasz: a.) és b) 5. Hogyan

határozná meg a tőkepiaci egyenes fogalmát? 6. Hol helyezkednek el az egyedi kockázatos eszközök hozam-kockázat párjai a tőkepiaci egyeneshez képest? Megoldás: Mindig alatta, mivel a tőkepiaci egyenes hatékony portfóliókat reprezentál, és egy egyedi kockázatos eszköz önmagában sosem lehet hatékony portfólió. 58 7. Tekintsük az alábbi portfóliókat! Portfólió Várható hozam (%) Szórás (%) A 10 23 B 12,5 21 C 15 25 D 16 29 E 17 29 F 18 32 G 18 35 H 20 45 a.) Melyek a nem hatékony portfóliók? b.) Ha kölcsönnyújtás illetve hitelfelvétel nem lehetséges és legfeljebb 25%, illetve 45% szórást vagyunk hajlandók vállalni, mekkora az elérhető legnagyobb hozam? c.) Ha kölcsönt nyújthatunk, illetve hitelt vehetünk fel 12% kockázatmentes kamatláb mellett, melyik a legjobb portfólió? d.) A legjobb portfóliót optimális kockázatoseszköz-kombinációként értelmezve írja fel a tőkepiaci egyenes egyenletét! Megoldás: a) A, D, G

portfólió b) ha σmax=25%, max. hozam: 15% (C portfólió) ha σmax=45%, max. hozam: 20% (H portfólió) c) F portfólió, az egyenes meredeksége maximális, meredekség=(18-12)/32=0,1875 d) rp= 12 + 0,1875σp Bővítse ismereteit az alábbi cikk elolvasásával! A racionális befektető kockázatkerülő 59 III. modul A pénzáramok kockázata 4. fejezet A tőkepiaci árazás alapjai és a kockázati prémium fogalma. A kötvények és a részvények befektetői értékelése. „Nincs ingyen ebéd”. A kifejezés onnan ered, hogy egy étterem ingyen ebédet hirdetett a korabeli Angliában. A betérő vendégeknek azonban kötelezően italt is kellett fogyasztaniuk, és így tehát szó sem volt potya étkezésről. A pénzügyekben ez az alapelv azt jelenti, hogy a többlethozamért kockázatot kell vállalni. A fejezetben az alapelv szellemében megismerjük, hogyan határozódnak meg a tőkepiacokon az egyensúlyi árak. 1. A piaci portfólió Az előző fejezet egyik

fontos megállapítása, hogy a hozamok, szórások és kovarianciák tekintetében azonos információkkal rendelkező befektetők számára a kockázatos eszközök optimális kombinációja azonos lesz. Minden befektető a kockázatos értékpapírok között azonos relatív arányban osztja szét a befektetésre szánt összeget, majd ezt kiegészíti a megfelelő arányú kockázatmentes befektetéssel, esetleg hitelfelvétellel annak érdekében, hogy a kockázat és hozam személy szerint preferált együttesét elérje. A kockázatos pénzügyi eszközök optimális kombinációja meghatározható anélkül, hogy ismernénk a befektetők kockázatra és hozamra vonatkozó egyéni preferenciáit. Mit tudunk erről az érintő helyzetű (az előző fejezet 3.4 ábráján M-mel jelölt) mindenki számára közös, kockázatos pénzügyi eszközökből képzett optimális portfólióról? Könnyen belátható, hogy – amennyiben az értékpapír-piac egyensúlyban van – minden

kockázatos értékpapírnak szerepelnie kell az M érintő portfólióban. (Ha egy értékpapír nem szerepelne benne, az azt jelentené, hogy a piac nem támasztana keresletet az adott értékpapír iránt, ekkor viszont a kereslet-kínálat törvénye szerint esnék az ára. Egy kellően alacsony árfolyamon azonban ismét kívánatossá válna a befektetők számára.) Ezt a kitüntetett portfóliót piaci portfóliónak nevezzük. Az összes piacon forgó kockázatos pénzügyi eszközt magában foglaló piaci portfólióban az egyes értékpapírok részaránya megegyezik az adott értékpapír relatív piaci értékével, azaz az adott értékpapír piaci árfolyama és piacon forgó mennyisége szorzataként adódó piaci értéke és az összes piacon forgó értékpapír összesített piaci értéke (ez utóbbit hívjuk piaci kapitalizációnak) hányadosával. A piaci portfólió összetétele Tegyük fel, hogy a piacon három értékpapír forog, melyek kereskedelme a

következő adatokkal jellemezhető. Az „A” értékpapír forgalomban lévő mennyisége: 1500 db, piaci árfolyama 1200Ft; a „B” értékpapír forgalomban lévő mennyisége: 800 db, piaci árfolyama 4000Ft; a „C” értékpapír forgalomban lévő mennyisége: 2500 db, piaci árfolyama 2000Ft. Határozzuk meg a piaci portfólió összetételét, feltéve, hogy a piac egyensúlyban van! Először is számítsuk ki a három piacon forgó értékpapír piaci értékét: A értékpapír: 1500·1200Ft = 1.800000Ft B értékpapír: 800·3900Ft = 3.200000Ft C értékpapír: 2500·2000Ft = 5.000000Ft Ezt követően ezek összegeként meghatározhatjuk „mini” piacunkon az összes ott forgó értékpapír összesített piaci értékét, azaz a piaci kapitalizációt: 1.800000Ft+3200000Ft+5000000Ft = 10000000Ft 60 A piaci portfólió összetétele pedig úgy alakul, hogy az egyes értékpapírok részaránya megegyezik az adott értékpapír relatív piaci értékével, azaz:

A értékpapír relatív piaci értéke 1800000 = = 0,18 azaz a piaci portfólióbeli aránya 18%, 10000000 B értékpapír relatív piaci értéke 3200000 = = 0, 32 azaz a piaci portfólióbeli aránya 32%, 10000000 C értékpapír relatív piaci értéke 5000000 = = 0, 50 azaz a piaci portfólióbeli aránya 50%. 10000000 2. Az egyedi eszközök piaci kockázata Az előző fejezetben láttuk, hogy a befektetőt az érdekli, hogy az egyes befektetési eszközök milyen mértékben járulnak hozzá a portfólió kockázatához, nem pedig az, hogy milyen kockázatos általában az adott eszköz, mivel az egyedi kockázat diverzifikációval kiküszöbölhető. A racionális (portfólióban gondolkodó) befektetőt csak azt foglalkoztatja, hogy mekkora az adott eszköz piaci kockázata, ami tulajdonképpen azt jelenti, hogy milyen érzékenyen reagál a piaci mozgásokra. Ezt az érzékenységet kifejező számot bétának (β) nevezzük. Amennyiben egy adott befektetési eszköz

bétája 1,5, akkor az azt jelenti, hogy ha a piaci árfolyamok átlagosan 1%-kal emelkednek, akkor az adott eszköz árfolyama 1,5%-kal nő. Az egyes értékpapíroknak a piaci portfólió hozamának szórásához való hozzájárulása a piaci portfólióval való kovarianciájuk nagyságától függ, és ezt a hozzájárulást a piaci portfólió varianciájának arányában fejezhetjük ki. (Ez utóbbi állításnak részletes levezetését mellőzzük.) Az egyedi értékpapír piaci kockázata: βi = σim , ahol σ 2m βi: a vizsgált egyedi értékpapír piaci kockázata (bétája) σim: a vizsgált egyedi értékpapír hozamának kovarianciája a piaci portfólió hozamával σm2: a piaci portfólió hozamának varianciája (szórásnégyzete). • • • • • Mit jelez a befektető számára a béta értéke? Ha β>1, akkor a befektetés „felnagyítja” a piac mozgásait (hozama nagyobb mértékben mozdul el, mint a piaci hozam) Ha 0<β<1, akkor a

befektetés „tompítja” a piac mozgásait (hozama kisebb mértékben változik, mint a piaci hozam) Ha β<0, a befektetés hozama a piac hozamával ellentétesen mozog Az összes részvény átlagos bétája 1, vagyis a piaci portfólió bétája 1 A kockázatmentes portfólió bétája 0. 61 3. A kockázati prémium Sok-sok befektető egyéni döntései nyomán alakul ki a piacon az egyes tőkejószágok ára és hozama. A befektetők nem pusztán az izgalomért vállalják a kockázatot: a többletkockázat vállalásáért többlethozamot várnak. A kockázati prémium a befektetéstől elvárt hozam és az a kockázatmenetes kamatláb közti különbség. A kockázatmentes kamatláb a többé-kevésbé kockázatmentesnek tekinthető eszköz hozama. Ilyennek szoktuk tekinteni a megfelelő lejáratú diszkont kincstárjegy hozamát. (Ezen a honlapon tájékozódhat a hazai állampapír hozamokról). A múltbeli adatok tanulmányozásával megfigyelhető a kockázati

prémiumok alakulása a különböző típusú befektetési eszközöknél (3.3 táblázat) 3.3 táblázat A diszkont kincstárjegyek, államkötvények, vállalati kötvények és részvények átlagos hozama 1926-1994 között az USÁ-ban (százalék) Portfólió Diszkont kincstárjegy Államkötvény Vállalati kötvény Részvény Kisvállalati részvény Átlagos éves hozam (nominális) 3,7 5,2 5,7 12,2 17,4 Átlagos éves hozam (reál) 0,6 2,1 2,7 8,9 13,9 Átlagos kockázati prémium (a diszkont kincstárjegy hozama) felett) 0 1,4 2,0 8,4 13,7 Forrás: Brealey, R. A – Myers, S C: Modern vállalati pénzügyek, Panem, Budapest, 1999, 140 o Megjegyzés: a reálhozam abban különbözik a nominális hozamtól, hogy ki van szűrve belőle az infláció hatása. 4. Mitől függ a kockázati prémium nagysága? Bárkiben felvetődhet a kérdés: mekkora és mitől függ az egyes pénzügyi eszközök kockázati prémium nagysága? Erre a kérdésre adja meg a választ a

pénzügyek egyik talán legfontosabb összefüggése, a tőkepiaci eszközök árazási modellje (capital asset pricing model, CAPM), melyet az 1960as évek közepén dolgozott ki három amerikai közgazdász, William Sharpe, John Lintner és Jack Treynor. A modell érvényességi feltételei az alábbiakban foglalhatók össze: Tökéletes verseny a tőkepiacon: a befektetők árelfogadók, nem tesznek stratégiai • lépéseket az árfolyamok megváltoztatására Az információk költségmentesen és azonnal elérhetők mindenki számára • Nincsenek adók és tranzakciós költségek • Egyperiódusos modell: az összes befektető a portfólió hozamát és szórását egyetlen • periódusra becsüli A befektetők kockázatkerülők: a hozam-szórás optimalizálására törekszenek • A befektetési eszközök köre a pénzügyi eszközökre korlátozódik, melyek korlátlanul • oszthatóak A kockázatmentes kamatláb minden befektető számára azonos, amely mellett

bárki • kölcsönt nyújthat és hitelt vehet fel A befektetők várakozásai homogének, azonos információs halmazon nyugszanak • (azonosan ítélik meg a hozamokat, szórásokat és a kovarianciákat) 62 A modell szerint egyensúlyi állapotban az egyedi befektetési eszközök várható kockázati prémiuma arányos az adott egyedi eszköz bétájának nagyságával, azaz: a befektetési eszköz várható kockázati díja megegyezik az eszköz bétájának és a piaci hozam kockázatmentes hozamon felüli részének szorzatával. A tőkepiaci eszközök árazási modellje (CAPM): r − rf = β ( rm − rf ) , vagy átrendezve: r = rf + β ( rm − rf ) , ahol r: az egyedi befektetési eszköz egyensúlyi hozama rm: a piaci hozam nagysága rf: a kockázatmentes hozam nagysága, β: az egyedi befektetési eszköz piaci kockázata Kockázati prémium meghatározása Tegyük fel, hogy A részvény szórása 16%, és a becslések szerint a piaci portfólió hozamával való

korrelációja 0,25. Mekkora a részvény egyensúlyi várható hozama, ha a piaci portfólió hozama 12%, hozamának szórása 10%, és a kockázatmentes kamatláb 7%? A CAPM alkalmazásához első lépésben meg kell határoznunk A részvény β-ját. Ehhez ki kell számítanunk a részvény kovarianciáját a piaci portfólióval, ami a korrelációs együttható ismeretében könnyen adódik: σ AM = ρAM σ A σ M = 0, 25 ⋅ 16% ⋅ 10% = 40% 2 ⋅ Behelyettesítve a β formulájába, kapjuk, hogy σ 40 β A = AM = 2 = 0, 4. 2 σM 10 Ezt követően alkalmazható a tőkepiaci javak árazási modellje a részvény egyensúlyi hozamának meghatározására: rA = rf + β A ( rM − rf ) = 7% + 0, 4 ⋅ (12% − 7% ) = 9%. Tehát az A részvény egyensúlyi hozama a CAPM szerint 9%. „Nincs ingyen ebéd!” 5. „Nincsen ingyen ebéd” A tőkepiaci eszközök árazási modelljében megfogalmazott lineáris kapcsolatot egy grafikonon is ábrázolhatjuk: csak azoknak a befektetési

eszközöknek a hozama arányos a 63 kockázatukkal, amelyek az ábrázolt egyenesen fekszenek (3.6 ábra) Az egyenes a kockázatmentes kamatlábtól indul (a kockázatmentes eszköz hozama biztos, ezért bétája 0) és átmegy a piaci hozamot jelölő M ponton (a piaci hozamhoz a β = 1 érték tartozik). Ez az egyenes az ún. értékpapír-piaci egyenes Egyensúly esetén egyetlen befektetési eszköz sem lehet az értékpapír-piaci egyenes alatt vagy felett. Az „A”-val jelölt befektetési eszközt senki sem szeretné megvásárolni, mivel elérhető olyan eszköz is, amely ugyanekkora kockázat mellett nagyobb hozamot biztosít. Az ilyen eszközök alacsony kereslete miatt az aktuálisnál nagyobb hozamot kell biztosítaniuk (felülértékelt). A „B”-vel jelölt eszközt viszont eladni nem hajlandók a tulajdonosaik, ezért túlkereslet fog mutatkozni irántuk, és ennek következtében hozamuk várhatóan csökkenni fog (alulértékelt). Következésképpen

egyensúlyi állapotban minden egyes befektetési eszköznek az értékpapír-piaci egyenesen kell lennie. Vagyis: nincsen ingyen ebéd, azaz csak úgy lehetséges magasabb hozamot elérni, ha hajlandóak vagyunk a nagyobb kockázat vállalására is. 3.6 ábra Az értékpapír-piaci egyenes a tőkepiaci eszköz hozama értékpapír-piaci egyenes „B” rm M „A” rf 0 1 a tőkepiaci eszköz bétája 64 6. A teljes kockázat felbontása piaci és egyedi kockázatra A bétákat felhasználhatjuk arra is, hogy a pénzügyi eszközök teljes kockázatát piaci és egyedi kockázatra bontsuk. A teljes kockázat felbontása egyedi eszközök esetén: σ teljes = 2 2 β2 σM + σegyedi , ahol σteljes: az adott pénzügyi eszköz teljes kockázata σegyedi: az adott pénzügyi eszköz egyedi kockázata β: az adott pénzügyi eszköz piaci kockázata (bétája) σM: a piaci portfólió hozamának szórása A képlet alapján rendszerint a teljes és a piaci kockázat

ismeretében határozzuk meg az egyedi kockázatot. A pénzügyi eszközök piaci és egyedi kockázatait felhasználva a belőlük összeállított portfólióra vonatkozóan is fel tudjuk bontani a teljes kockázatot egyedi és piaci részre. A teljes kockázat felbontása most is a fenti σ teljes = 2 β2p σ 2M + σegyedi összefüggés alapján történhet, előtte azonban meg kell határozni a portfólió β-ját és egyedi kockázatát. Ehhez a portfóliót alkotó pénzügyi eszközök bétáit és egyedi kockázatait kell felhasználni. A portfólió piaci kockázata a portfóliót alkotó értékpapírok bétáinak súlyozott számtani átlaga. A portfólió piaci kockázata: N βp = ∑ x i βi , ahol i =1 βp: a portfólió piaci kockázata xi: a portfóliót alkotó i-edik értékpapír részaránya a portfólióban βi: a portfóliót alkotó i-edik értékpapír piaci kockázata Mivel a portfóliót alkotó értékpapír egyedi kockázatai egymástól függetlenek,

azaz az egyedi kockázatok között nincs korreláció, ezért a portfólió egyedi szórása a portfóliót alkotó értékpapírok egyedi szórásainak részaránnyal súlyozott négyzetes átlagaként adódik. A portfólió egyedi kockázata: σ Ep = N ∑x σ i =1 2 i 2 Ei , ahol σEp: a portfólió egyedi kockázata xi: a portfóliót alkotó i-edik értékpapír részaránya a portfólióban σEi: a portfóliót alkotó i-edik értékpapír egyedi kockázata 65 A teljes kockázat felbontása egyedi és piaci kockázatra Egy portfóliót alkotó 3 részvényre vonatkozó információk az alábbiak: Részvény Részesedés a Szórás % portfólióból A 0,20 24 B 0,35 35 C 0,45 28 A piaci portfólió hozamának szórása 20%. Számítsuk ki a portfólió piaci és egyedi kockázatát! Béta 0,8 1,4 0,5 Először is határozzuk meg a portfólió piaci kockázatát (β-ját) a portfóliót alkotó részvények piaci kockázatainak súlyozott számtani átlagaként! β

p = x A β A + x B β B + x C βC = 0, 2 ⋅ 0,8 + 0, 35 ⋅ 1, 4 + 0, 45 ⋅ 0, 5 = 0,875. Ez azt jelenti, hogy a portfólió teljes szórásnégyzetéből (400%2) a piaci kockázati tényezőknek betudható rész: β2p σ 2M = 0,8752 ⋅ 400% 2 = 306, 25% 2. A portfólió egyedi kockázatának meghatározásához először a részvények egyedi kockázatát határozzuk meg a teljes szórásnégyzetből kiindulva maradékelven. Az A részvény egyedi szórásának négyzete: 2 σ 2A − β A2 σ M = 242 − 0,82 ⋅ 202 = 320 . A B részvény egyedi szórásának négyzete: σ 2B − β 2B σ 2M = 352 − 1, 42 ⋅ 202 = 441. A C részvény egyedi szórásának négyzete: 2 σC2 − βC2 σ M = 282 − 0, 52 ⋅ 20 2 = 684. A portfólió egyedi kockázata a fentiek szerint a portfóliót alkotó értékpapírok egyedi szórásainak részaránnyal súlyozott négyzetes átlagaként adódik: σ Ep = 0, 22 ⋅ 320 + 0, 352 ⋅ 441 + 0, 452 ⋅ 684 = 205, 3325 ≈ 14, 33% ÖNELLENŐRZŐ

KÉRDÉSEK 1. Mi az a piaci portfólió? 2. Mit mutat meg az értékpapírok β mutatója? 3. Hogyan határozható meg egy értékpapír kockázati prémiuma? 4. Sorolja fel a tőkepiaci eszközök árazási modelljének alapfeltevéseit! 5. Hogyan határozódik meg az értékpapírok kockázati prémiuma a CAPM szerint? 6. Milyen két változó közti kapcsolatot fejez ki az értékpapír-piaci egyenes? 7. Igaz vagy hamis? A piaci portfólió a piacon levő összes értékpapírból tartalmaz valamennyit. Megoldás: hamis Egy részvény piaci kockázatától függ az, hogy mennyivel járul hozzá egy jól diverzifikált portfólió kockázatához. 66 Megoldás: igaz Ha egy jól diverzifikált portfólió bétája 2, akkor kockázata kétszerese a piaci portfólió kockázatának. Megoldás: igaz A CAPM szerint a kockázatmentes befektetés kockázati prémiuma zérus. Megoldás: igaz A tőkepiaci árfolyamok modellje azt állítja, hogy ha található egy olyan befektetés,

amelynek bétája negatív, akkor ennek várható hozama alacsonyabb, mint a kockázatmentes befektetések hozama. Megoldás: igaz Ha egy pénzügyi eszköz bétája negatív, akkor a piaci portfólióval alkotott kovarianciája is biztosan negatív. Megoldás: igaz A tőkepiaci eszközök árazási modellje azt is állítja, hogy egy részvény várható hozama ugyanakkora, mint azé a portfólióé, amelyben β a piaci portfólióba történő befektetések aránya, és 1-β arányban kockázatmentes eszközbe fektetünk be. Megoldás: igaz Alulértékelt (árfolyamú) részvénynél a kockázat-hozam pontpár az értékpapír-piaci egyenes alatt fekszik. Megoldás: hamis 8. Kockázatosságuk szerint állítsa sorrendbe az alábbi értékpapírokat! Kezdje a legkevésbé kockázatossal! a.) részvény b.) államkötvény c.) kincstárjegy d.) vállalati kötvény e.) kisvállalati részvény Megoldás: c<b<d<a<e 9. Válassza ki a helyes állítást! Egy jól

diverzifikált portfólió hozamának szórása (a) csak a portfóliót alkotó értékpapírok piaci kockázatától függ (b) csak a portfóliót alkotó értékpapírok és a piaci hozam korrelációjától függ (c) a portfóliót alkotó értékpapírok egyedi és piaci kockázatától függ (d) csak a portfóliót alkotó értékpapírok egyedi kockázatától függ Megoldás: a.) Bővítse ismereteit az alábbi cikk elolvasásával! Ingyen ebéd, feketeleves? 67 IV. modul A beruházási döntések 1. fejezet A beruházások általános jellemzői és a beruházásokkal kapcsolatos döntési problémák. A pénzáramlások típusai és a becslésük során figyelembe veendő alapelvek. A vállalkozások különböző reáleszközökbe fektetik be a pénzüket (ezt nevezzük beruházásnak), és mindig olyan eszközök után kutatnak, amelyek számukra értékesebbek, mint mások számára. Ahhoz, hogy ez a keresés végül eredményes lehessen, ki is kell tudnunk

választani a jó beruházásokat. A fejezetben megismerjük a beruházás-értékelés általános összefüggéseit 1. A beruházás fogalma és céljai Beruházás alatt a hosszú élettartamú eszközökkel kapcsolatos tőkekiadásokat értünk. A beruházás olyan gazdasági tevékenység, melynek hasznai csak a jövőben fognak jelentkezni, és nem közvetlenül térülnek meg. A beruházások irányulhatnak tárgyi eszközök megszerzésére (pl. egy új gyártósor beszerzése) és lehetnek immateriális beruházások (ilyen pl. a kutatás-fejlesztési tevékenység) (A pénzügyi eszközök megszerzésére irányuló döntéseket az előbbiektől való megkülönböztetés céljával befektetéseknek szoktuk nevezni.) A vállalkozások többféle célt szem előtt tartva dönthetnek a beruházások végrehajtásáról: • létesítő beruházás: a vállalkozás alapítása esetén a tevékenység megkezdéséhez szükségek eszközök megszerzése; • pótló beruházás:

a meglevő termelési kapacitás fenntartása érdekében az elhasználódott vagy elavult berendezést ki kell cserélni, de célozhat költségcsökkentést is; • bővítő beruházás: a bevételek növelése érdekében a termelésnövekedés műszakitechnikai feltételeit biztosítja; • diverzifikációs célú beruházás: a vállalkozás kilép az addigi tevékenységi köréből új tevékenység, új termék, új piac irányában; • egyéb beruházás: természetesen más okok is szolgálhatnak beruházások alapjául, például a megváltozott jogszabályoknak vagy környezetvédelmi előírásoknak való megfelelés igénye. 68 2. A beruházások közös jellemzői Beruházásról dönteni nagy felelősséggel járó munka, amely gondos mérlegelést igényel. A beruházások közös jellemzőit az alábbiakban foglalhatjuk össze: • jelentős pénzkiadással járnak; • a beruházás révén képződő hozamok időben később jelentkeznek és teljes

bizonyossággal nem ismertek (ez kockázatot jelent!); • hosszú időre meghatározzák a cég műszaki-technológiai jellemzőit, gazdasági és pénzügyi helyzetét; • a rossz beruházási döntések sok esetben visszafordíthatatlanok, vagy csak tetemes költségekkel korrigálhatók. 3. Beruházásokkal kapcsolatos döntési helyzetek A beruházási javaslatok elemzésére többféle döntési helyzetben lehet szükség. A legalapvetőbb beruházási probléma, hogy érdemes-e megvalósítani egy adott beruházást. Azokat a beruházási javaslatokat kell elfogadni, amelyek alkalmasak arra, hogy növeljék a vállalkozás értékét. Egy következő döntési helyzetben azt kell mérlegelni, hogy több azonos célt szolgáló beruházási alternatívát kell megvizsgálni. Ilyenkor valamilyen elfogadható kritérium alapján kell a legkedvezőbbet kiválasztani. A harmadik döntési szituációban több ígéretes párhuzamosan megvalósítható beruházási javaslatunk van,

azonban nem áll rendelkezésünkre annyi tőke, amennyi az összes egyidejű kivitelezéséhez szükségeltetne. Ilyen esetben feladatunk az, hogy a megvalósításra kerülő beruházások optimális kombinációját határozzuk meg. Végül az is elképzelhető, hogy a döntéshozónak arról kell határoznia, hogy meddig érdemes egy beruházást változatlan formában üzemeltetni, és mikorra kell a pótlást időzíteni. A fenti döntési problémák megoldásához szolgáltatnak eszközt a beruházás gazdaságossági számítások, melyekkel a következő fejezetekben ismerkedhetünk meg alaposabban. 4. A beruházással összefüggő pénzáramlás Ahhoz tehát, hogy a beruházásokat értékelni tudjuk, először is meg kell becsülnünk a beruházás üzembe helyezése következtében létrejövő pénzáramlásokat, mivel egy eszköz piaci értéke az eszköz révén képződő jövőbeli pénzáramlások jelenértékeként határozható meg. A beruházással kapcsolatos

cash-flow különböző időpontokban felmerülő pénzbevételeket és pénzkiadásokat jelent. Ez a cash-flow három részre osztható: • kezdeti pénzáram (C0): a beruházás eldöntésétől az üzembe helyezésig felmerült beruházási kiadások tartoznak ide (pl. az új eszköz beszerzési ára, szállítási és beszerelési költségek stb.) • működési pénzáram (C1, C2, , Cn-1): a beruházás élettartama alatt képződő cash-flow • végső pénzáram (Cn): mivel a beruházás élettartama nem végtelen, előrejelzést kell készíteni arról, hogy a beruházás befejeződésével, felszámolásával kapcsolatosan milyen cash-flow-val lehet számolni (ide tartozik például: az eszköz értékesítéséből származó bevétel, vagy, ha vannak ilyenek, a helyreállítás költségei). 69 Ha a pénzáramlás elemek előjelét tekintjük (+: pénzbevétel, -: pénzkiadás), akkor többféle sémát is megadhatunk. Konvencionális pénzáramlás esetén a

kezdeti pénzkiáramlást követően pozitív cash-flow képződik. Sok beruházás produkál azonban nem konvencionális pénzáramlást. Konvencionális és nem konvencionális pénzáramlások −++++++ −−−++++ −++−++− −+++++− −−−−−−− konvencionális pénzáramlás nem konvencionális pénzáramlások: kutatás-fejlesztési projekt, ahol az első években csak kiadások keletkeznek kiskereskedelem vagy vendéglátás: időről időre valamilyen felújítást, átalakítás, stílusváltást kell végrehajtani pl. bányászat: a projekt lezárulásakor helyreállítási kötelezettség keletkezik jogszabályi vagy környezetvédelmi előírásoknak való megfelelést célzó beruházás (pl. egy szűrő felszerelése és használata, amely folyamatosan kiadásokat jelent) 5. A pénzáramok becslése során alkalmazandó alapelvek A pénzáramok becslése során a megalapozott döntés érdekében szem előtt kell tartanunk néhány fontos és

általánosan elfogadott alapelvet. A beruházások értékelésénél csak az adózás utáni, ténylegesen befolyt illetve kifizetett pénzáramok számítanak Az értékelés során nem a számviteli kategóriákat (eredmény, költség stb.) kell alkalmazni, hanem a tényleges pénzmozgásokat kell figyelembe venni. Ez praktikusan azt jelenti például, hogy az értékcsökkenési leírást, ami nem jár a vállalkozás számára pénzkiadással (holott az adózás előtti eredményt csökkenti), hozzá kell számolni a beruházási cash-flow-hoz. Ezeket a pénzmozgásokat abban az időpontban kell kimutatnunk, amikor azok ténylegesen felmerülnek. A pénzáramokat azért célszerű adózás utáni bázison mérni, mivel az adó ugyanis egyrészről tényleges pénzkiadást jelent, másrészről a beruházást magát is adózott pénzből valósítjuk meg. A pénzáramokat növekményi alapon kell figyelembe venni. A beruházás értékét azok a pótlólagos pénzáramlások

adják, amelyek a javaslat elfogadásából következnek. Ezért minden olyan pénzáramlás tételt, amely a beruházás elfogadásával összefüggésben valamilyen változást hoz a vállalkozás cash-flowjában, számításba kell venni. Ezzel szemben azokat a pénzáramlás tételeket, amelyek nem a beruházás elfogadásának következtében állnak elő, figyelmen kívül kell hagyni. A beruházás valamennyi közvetett hatását is figyelembe kell venni. Ez a második alapelv következménye. Gyakran előfordul, hogy a beruházásnak valamilyen közvetett hatást gyakorol a vállalkozás más egységeinél. (Pl új termék bevezetésénél figyelembe kell venni, hogy esetleg a régebben értékesített termékek egy részét szorítja ki a piacról.) 70 Nem szabad megfeledkezni a saját erőforrások (tőke, munkaerő, ingatlanok stb.) haszonáldozatáról sem. Amikor kiadásról beszélünk, általában olyan költségekre gondolunk, amit ténylegesen ki kell fizetni. Az

erőforrások költsége akkor is lényeges lehet, ha pénz nem cserél gazdát, hanem valamilyen haszonról való lemondást, valamilyen haszon feláldozását jelenti. Például ha irodaként valaki a saját üresen álló ingatlanát akarja felhasználni, akkor ezen hasznosítással elesik attól a havi 50.000 Ft-tól, amennyiért az ingatlant ki lehetne adni Az erőforrás tehát nem ingyenes, van alternatív hasznosítási lehetősége, és ebből következően van haszonáldozat költsége (angolul: opportunity cost) is. A haszonáldozat költség tulajdonképpen az a pénzösszeg, amit akkor kapna a cég, ha a beruházási javaslatot elutasítaná, és az erőforrást a lehető leggyümölcsözőbb módon használná fel valami másra. Vegyük számításba a beruházás nettó forgótőke igényét is! A legtöbb projekt pótlólagos forgótőke igényt is támaszt. Ezt az igényt figyelembe kell venni a pénzáramlások előrejelzésénél. Másrészről, a projekt

élettartamának végén ez a forgótőke általában felszabadul, és ekkor azt bevételként lehet kezelni. A már kifizetett kiadásokat el kell felejteni. Ezek körébe olyan kiadások tartoznak, amelyek már korábban felmerültek, és a projekt elfogadása vagy elvetése semmilyen hatást nem gyakorol rájuk, így a megítélés szempontjából irrelevánsak. Felejtsük el a már kifizetett kiadásokat! Erről a tényről gyakran megfeledkezünk. 1971-ben például a Lockheed állami garanciát kért egy bankkölcsönre a TriStar típusú repülőgép fejlesztésének folytatására. A Lockheed és támogatói azzal érveltek, hogy örültség lenne abbahagyni egy olyan projektet, amelyre már majdnem 1 milliárd dollárt költöttek. A Lockheed ellenzői viszont azt mondták, hogy az lenne őrültség, ha folytatnának egy olyan projektet, amelyiknél ennyi pénz elköltése után sincs kilátás a megfelelő nyereség elérésére. Mindkét csoport ugyanabba a csapdába esett:

az 1 milliárd dollárt már nem lehetett visszaszerezni, ezért nem volt jelentősége a döntés szempontjából. Forrás: Brealey, R. A – Myers, S C: Modern vállalati pénzügyek, Panem, Budapest, 1999, 113 o A finanszírozási költségeket figyelmen kívül kell hagyni. A finanszírozási költségek leggyakrabban osztalék (részesedés) vagy kamat formájában felmerülő kifizetéseket jelentenek a tulajdonosok vagy a hitelezők irányában, akik a forrásokat biztosítják a beruházás megvalósításához. A finanszírozási költségektől azért kell eltekinteni, mert a beruházások értékelése során azt igyekszünk felmérni, hogy mennyi pénzjövedelmet termel az adott eszköz. Először tehát azt döntjük el, érdemes lenne-e saját tőkéből megvalósítani a beruházást, vagyis arról határozunk: hogyan költsük el a pénzt. Ha érdemes, akkor ezt követően arról kell majd döntenünk, hogyan szerezzük meg a pénzt a beruházásra: ez a

finanszírozási döntés. A számításoknál az inflációt következetesen kell tekintetbe venni. Alapvetően két lehetőségünk van a befektetésből származó pénzáramok kiszámítására: vagy változatlan vagy folyó áron becsüljük a tételeket. A változatlan áras értékelés esetén az inflációtól megtisztított, úgynevezett reálhozamokat kell alapul venni, folyó áron történő értékelés esetén viszont a nominálisan számolt rátákat. 71 6. A pénzáramlások típusai A fentiek figyelembe vételével a kezdő pénzáram az alábbi fő elemekből tevődik össze: + A beruházás révén létrejövő eszköz bekerülési ára + A tőkésíthető kiadások (pl. szállítási, alapozási, szerelési költség stb) + A beruházás nettó forgótőke szükséglete + Meglévő saját erőforrások haszonáldozata – A beruházás során lecserélt régi eszközök értékesítésének bevétele (ha van ilyen) ± Eszközcsere esetén esetlegesen

fellépő adóhatás = Kezdő pénzáram Eszközcsere esetén akkor jelentkezik az ún. adóhatás, ha a lecserélt, régi eszköz eladása nem a könyv szerinti értéken történt. Amennyiben a könyv szerinti érték alacsonyabb, mint az értékesítés során realizált piaci érték, akkor adóztatható jövedelem és ennek nyomán adófizetési kötelezettség keletkezik. Ha viszont a könyv szerinti érték magasabb, mint a piaci érték, akkor a cég szintjén adómegtakarítás keletkezik. Mindkét esetben az adó alapja a két érték közti eltérés. A működési pénzáramok becslése során a beruházás következményeképp a vállalkozás cash-flow áramában fellépő változást igyekszünk az üzembe helyezést követő időszak periódusaira vonatkozóan számszerűsíteni. Bármely periódus (pl év) működési pénzáramát az alábbi séma szerint írhatjuk fel: + Árbevétel – Folyó működési költségek – Értékcsökkenési leírás = Adózás előtti

eredmény – Társasági adó = Adózás utáni eredmény + Értékcsökkenési leírás = Folyó működésből származó pénzáram ± Forgótőke változás = A periódus működési pénzárama A végső pénzáram meghatározásakor azt becsüljük, hogy a beruházás lezárása után mekkora cash flow szabadul fel. A visszanyert pénzösszeg leggyakrabban a felszabaduló tárgyi és immateriális eszközök értékesítéséből (az esetlegesen fellépő adóhatást figyelembe véve!) illetve a felszabaduló forgótőkéből származik. 72 ÖNELLENŐRZŐ KÉRDÉSEK: 1. Mit jelent a beruházás fogalma? 2. Sorolja fel, általában milyen célok vezérlik a beruházások megvalósítását! 3. Melyek a beruházások közös jellemzői? 4. Mit jelent a nem konvencionális pénzáram fogalma? 5. Ismertesse a pénzáramok becslése során alkalmazandó alapelveket! 6. Mely tényezőket vehetjük figyelembe egy új üzem létesítésére vonatkozó beruházási javaslat

elemzésekor a pénzáramlások becslése során? A terület a vállalat tulajdonában van, de a régi épületeket le kell bontani. a.) a terület és a régi épületek piaci értéke, b.) a bontási és területrendezési költségek, c.) az elmúlt évben épült új bevezető út költségei, d.) az új üzem jövőbeli amortizációja, e.) a jövőbeni amortizációból eredő vállalati adócsökkenés, f.) a készletekbe történő induló befektetés, g.) az új üzem létesítésére vonatkozóan korábban készített műszaki tervekre már kifizetett összegek h.) vállalati reprezentációs költség üzemre jutó arányos összege Megoldás: a, b, e, f 7. Melyik állítás a helyes? Egy beruházás működési pénzáramlásának számítása során nem vesszük figyelembe: a.) a folyó működési költségeket b.) a folyó működési költségek adóhatását c.) az amortizációt d.) az amortizáció adóhatását Megoldás: c.) 8. Egy vállalat új üzemcsarnokának

beruházási igénye 100 MFt, amit 10 év alatt, lineárisan lehet leírni. A működés során tervezett árbevétel az első évben 40 MFt, amely a tervek szerint évi 10 MFt-tal növelhető. A folyó ráfordítások értéke az első évben 20 MFt, amely évi 5 MFttal fog várhatóan emelkedni A szükséges forgótőkeigény induláskor 10 MFt, a későbbiekben az egyes évek végén az adott évi árbevétel felére fog rúgni. A vállalat a harmadik év végén a gyárat (befektetett tárgyi eszközök + forgóeszközök) mindösszesen 100 MFt-ért tudja értékesíteni. A vállalat nyereségét 16%-os adó terheli Írjuk fel a vállalat pénzáramlását! Vegye figyelembe szokásos feltételezéseinket, és az egyes évek pénzáramlásait az adott évek végéhez rendelje hozzá! 73 Megoldás: Év + Árbevétel – Folyó működési költségek – Értékcsökkenési leírás = Adózás előtti eredmény – Társasági adó = Adózás utáni eredmény +

Értékcsökkenési leírás = Folyó működésből származó pénzáram ± Forgótőke változás = A periódus működési pénzárama 0. -110 1. 40 20 2. 50 25 3. 60 30 10 10 1,6 8,4 10 18,4 10 15 2,4 12,6 10 22,6 10 20 3,2 16,8 10 26,8 -10 8,4 -5 17,6 -5 121,8* * A gyár értékesítésekor a tárgyi eszközök könyv szerinti értéke: 70 MFt, a forgótőke-állomány könyv szerinti értéke 30 MFt. Mivel az értékesítés ellenértéke 100 MFt, ezért az eladás nyilvánvalóan könyv szerinti értéken történt, az adóhatás zérus. Bővítse ismereteit az alábbi cikk elolvasásával! Látszat és igazság 74 IV. modul A beruházási döntések 2. fejezet A beruházás gazdaságossági számítások és döntési kritériumok: statikus mutatók (megtérülési idő, átlagos jövedelmezőség). Az előző fejezetben megadtunk néhány jellemző szituációt, melyek beruházásokkal kapcsolatos döntési helyzetek voltak. Ebben és a következő

fejezetben megismerjük azokat a leggyakrabban használt módszereket, melyek segítségével ezekben a szituációkban pénzügyi értelemben megalapozott döntéseket tudunk hozni. 1. A beruházás gazdaságossági számítások típusai A beruházás gazdaságossági számítások olyan eljárások, amelyekkel a beruházási javaslatokról számszerűsíthető kritériumok formájában lehet döntéseket hozni. Ezek a számítások két csoportba sorolhatók. Az első csoportba azok a számítások tartoznak, amelyek nem veszik figyelembe a pénz időértékét. Ezek a statikus számítások A statikus számítások körében a megtérülési idő illetve az átlagos jövedelmezőség mutatóját említhetjük mint a két legismertebb módszert. A második csoportba pedig azok az eljárások sorolhatók, amelyek számításba veszik a pénz időértékét is. Ezek a dinamikus számítások A leggyakrabban alkalmazott dinamikus számítások a nettó jelenérték, a belső

megtérülési ráta vagy a jövedelmezőségi index meghatározására épülnek. 2. A megtérülési idő A vállalakozások gyakran elvárják, hogy induló befektetésük meghatározott időn belül megtérüljön. Egy beruházás megtérülési idejét úgy kapjuk meg, hogy megszámoljuk, hány év alatt éri el a beruházás révén képződő összes várható nettó jövedelem az eredeti befektetés összegét. A megtérülési idő: t = ? , ahol t C 0 + ∑ Ci = 0 . i =1 Amennyiben a várható jövedelmek minden évben megegyeznek, akkor: Kezdő befektetés összege Megtérülési idő = . Várható évi jövedelem A mutató mértékegysége: az év. Ha a megtérülési idő mutató segítségével szeretnénk egy beruházási javaslatról eldönteni, hogy érdemes-e elfogadni, akkor meg kell határoznunk egy általunk megkövetelt (maximálisan megengedhető) megtérülési időt. A javaslat akkor fogadható el, ha a kiszámított megtérülési idő rövidebb, mint a

megkövetelt megtérülési idő. Ha több beruházási javaslatot kell rangsorolnunk, akkor pedig azt preferáljuk, amelynek rövidebb a megtérülési ideje. 75 A megtérülési idő kiszámítása Tegyük fel, hogy egy új üzletet szeretnénk nyitni. Az üzletnyitás 10 millió Ft-ot igényel, és éves szinten 3 millió Ft pénzjövedelmet termel. A vállalkozás tulajdonosai elvárják, hogy a cég beruházásai 3 év alatt térüljenek meg. Fogadjuk-e el a javaslatot? A képlet szerint az üzlet megtérülési ideje 10 millió Ft / 3 millió Ft/év = 3,33 év, ami több, mint 3 év, azaz a beruházási javaslat elvetendő. Mennyi lenne a megtérülési idő, ha minden egyéb változatlansága mellett az üzlet várható jövedelme az 1. évben: 3 MFt, a 2 évben: 3 MFt, a 3 évben: 4 MFt és az 5 évben: 5 MFt lenne? Világos, hogy a 3. év végére még nem éri el az üzlet kumulált várható jövedelme (2+3+4=9) a kezdő befektetés összegét, viszont a 4. év

végére már meghaladja azt (2+3+4+5=14) Valahol 3 és 4 év között lesz a megtérülési idő. Ha feltételezzük, hogy a jövedelem képződése az év során egyenletes, akkor a 4. év 1/5-e alatt képződik meg a 10 MFt-os kezdő befektetés összegének még hiányzó 1 millió Ft-ja. A megtérülési idő tehát: 3,2 év A megtérülési idő alkalmazásának vannak előnyei és hátrányai (4.1 táblázat) 4.1 táblázat A megtérülési idő mutató előnyei és hátrányai Előnyök Hátrányok egyszerű kiszámítani szubjektív alapon hoz döntést könnyű megérteni nem számol a megtérülési idő után képződő pénzáramokkal információt nyújt a beruházás kockázatáról nem veszi figyelembe a pénz időértékét előnyben részesíti a likviditást a távlati szempontok háttérbe szorulnak A megtérülési idő mutató egyik hátránya, hogy nem veszi figyelembe a pénz időértékét. Létezik a gyakorlatban a mutatónak egy továbbfejlesztett

változata, mely éppen ezt a hiányosságot igyekszik kiküszöbölni: ez a diszkontált megtérülési idő mutatója. A diszkontált megtérülési idő mutatója arra a kérdésre ad választ, hogy milyen időtáv alatt téríti meg a beruházás várható jövedelmeinek jelenértéke az eredeti befektetés összegét. A diszkontált megtérülési idő: t = ? , ahol t C0 + ∑ i =1 Ci (1 + r ) i = 0. A mutató mértékegysége: az év. 76 A diszkontált megtérülési idő meghatározása Tegyük fel, hogy egy beruházás megvalósításához 20,5 MFt kezdeti pénzbefektetés szükséges, és várhatóan évente 5 MFt pénzjövedelmet termel a vállalkozás számára. Mekkora a diszkontált megtérülési idő, ha a pénz időértékét kifejező diszkontráta 7%? Ha a beruházás a diszkontált megtérülést figyelembe véve t év alatt megtérül, akkor a t év 5 MFt-os várható jövedelemárama egy t tagú annuitás, melynek jelenérték-összege meghaladja a

20,5 MFt-ot, azaz 20, 5 < 5 ⋅ Annuitástényező 7%,t , vagyis olyan annuitástényezőt kell keresnünk, amely nagyobb, mint 4,1. Az annuitástényező-táblázatban a 7%-os oszlopban lefele mozogva az 5 évhez tartozó sorban találjuk meg a keresett értéket, tehát a diszkontált megtérülési idő 5 év. 3. A beruházás átlagos jövedelmezősége Vannak olyan vállalkozások, amelyek úgy döntenek a beruházási javaslatokról, hogy megnézik az átlagos jövedelmezőségüket. A beruházás átlagos jövedelmezőségét úgy lehet kiszámítani, hogy a megvalósításából származó várható számviteli nyereség éves átlagát elosztjuk a beruházás átlagos könyv szerinti értékével. A beruházás átlagos könyv szerinti értékét – minthogy állapotidősorról van szó – módszertani szempontból leghelyesebb a kronologikus átlag módszerével mérni, hiszen az állapotidősor y1, y2, y3, , yn adataiból történő számtani átlag számításakor az

egyes időpontokban megfigyelt értékek összegének és így számtani átlaguknak sincs közgazdasági tartalma. Ilyen esetben úgy szoktunk eljárni, hogy az átlagszámítást visszavezetjük tartamidősor átlagának számítására. Két szomszédos időpont esetén az átlagos állománynagyságot, a nyitó- és záróállomány átlagát vesszük a két szomszédos időpont által meghatározott időszakaszban. Ezeket az átlagokat átlagolva kapjuk meg a kronologikus átlagot (ỹkron.), amennyiben az időszakaszok egyenlő hosszúságúak: y1 + y 2 y 2 + y3 y + yn y1 y + + K + n −1 + y 2 + y3 + K + y n −1 + n 2 2 2 2 . (Ismeretes a y% kron. = = 2 n −1 n −1 mutatónak olyan változata is, melyben egyszerűen a beruházás kezdő tőkeszükségletéhez viszonyítjuk az éves átlagos jövedelmet.) A beruházás átlagos jövedelmezősége: Átlagos jövedelmezőség = Várható éves átlagos számviteli nyereség A beruházás átlagos könyv szer int i értéke A

mutató mértékegysége: %. Ha az átlagos jövedelmezőség mutatójának segítségével szeretnénk egy beruházási javaslatról eldönteni, hogy érdemes-e elfogadni, akkor meg kell határoznunk egy általunk minimálisan megkövetelt jövedelmezőségi szintet. A javaslat akkor fogadható el, ha a beruházási javaslat kiszámított átlagos jövedelmezősége meghaladja a megkövetelt jövedelmezőségi szintet. Ha több beruházási javaslatot kell rangsorolnunk, akkor pedig azt preferáljuk, amelynek magasabb az átlagos jövedelmezősége. 77 Az átlagos jövedelmezőség kiszámítása Tegyük fel, hogy egy napkollektor felszerelését fontolgatjuk, mely 20 millió Ft befektetést igényel, és 10 éven keresztül képes energiával ellátni vállalkozásunkat. A napkollektor beüzemelésével elérhető megtakarítás az energiaköltségekben a 10 év alatt egyenletesen nő 2 millió Ft-ról 3 millió Ft-ra. Amennyiben a tulajdonosok 20%-os átlagos

jövedelmezőséget várnak el minimálisan a beruházásoktól, döntsünk-e a napkollektor üzembe helyezése mellett? Mivel a 20 millió Ft értékű beruházás 10 év alatt íródik nullára (az állapotidősor elemei: 20,18, 16, , 2, 0 – összesen 11 elem, azaz n=11) az átlagos könyv szerinti értéke a kronologikus átlag módszerével számolva 10 millió Ft. A számviteli nyereségünk évente átlagosan 2,5 millió Ft-tal lesz több az energiaköltség-megtakarítás következtében. A beruházás átlagos jövedelmezősége így 2,5 millió Ft / 10 millió Ft, azaz 25%-ra adódik, ami meghaladja az elvárt 20%-os szintet, azaz a javaslat elfogadandó. A beruházás átlagos jövedelmezőségén alapuló módszernek szintén vannak előnyei is, és hátrányai is (4.2 táblázat) 4.2 táblázat Az átlagos jövedelmezőség mutató előnyei és hátrányai Előnyök Hátrányok egyszerű kiszámítani szubjektív alapon hoz döntést könnyű megérteni nem veszi

figyelembe a pénz időértékét a megtérülési időtől eltérően a jövedelmeket a beruházás teljes élettartamára vonatkozóan figyelembe veszi nem a tényleges pénzáramokkal számol, hanem számviteli kategóriákkal számol, ami sokszor félrevezető ÖNELLENŐRZŐ KÉRDÉSEK 1. Mi a különbség a statikus és a dinamikus beruházás értékelési eljárások között? 2. Sorolja fel a megtérülési idő mutató előnyeit és hátrányait! 3. Igaz vagy hamis? Előfordulhat, hogy egy beruházásnak több megtérülési ideje is van. Megoldás: igaz, ha negatív és pozitív pénzáramlásokat hoz – azaz nem konvencionális pénzáramlással jellemezhető A diszkontált megtérülési idő sosem lehet hosszabb, mint az egyszerű megtérülési idő. Megoldás: hamis 4. Ismertesse az átlagos jövedelmezőség mutató alkalmazásának előnyeit és hátrányait! 78 Bővítse ismereteit az alábbi cikk elolvasásával! A megtérülési időt gyakran alkalmazzák:

79 IV. modul A beruházási döntések 3. fejezet Beruházás-értékelés a nettó jelenérték módszer és jövedelmezőségi index alkalmazásával A dinamikus mutatók közös sajátossága, hogy figyelembe veszik a pénz időértékét is, ebből a szempontból tehát használatuk korrektebbnek tekinthető, mint a statikus mutatókra alapozott döntés. A fejezetben megismerjük a legfontosabb dinamikus mutatószám, a nettó jelenérték fogalmát, alkalmazásának szabályait, illetve a vele közeli rokonságban álló jövedelmezőségi index mutatóját. 1. A beruházás nettó jelenértékének fogalma A nettó jelenértéket úgy kapjuk meg, hogy a beruházás teljes élettartama során képződő pénzáramlások jelenérték-összegéből levonjuk a kezdő pénzkiadás összegét. A beruházás nettó jelenértéke azt mutatja meg, hogy mennyivel változik a vállalkozás értéke a beruházás elfogadásának következtében. A nettó jelenérték mutató

használata nem korlátozódik a beruházás-értékelés területére, hiszen ez a formula használatos általában véve az eszközök piaci értékének meghatározására is. A beruházás nettó jelenértéke: NPV = − C0 + C3 C1 C2 Cn −1 Cn + + +K+ + , ahol 2 3 n −1 n (1 + r ) (1 + r ) (1 + r ) (1 + r ) (1 + r ) C0: a kezdő pénzáramlás összege C1, C2, C3, , Cn-1: a beruházás hasznos élettartama során évente képződő működési pénzáramlás-sorozat, Cn: a végső pénzáram r: a hasonló kockázatú beruházásoktól a piacon általánosan elvárt éves hozam, n: a beruházás teljes élettartamának hossza (években). A mutató mértékegysége: Ft. A nettó jelenérték szabály alkalmazása esetén azok a beruházások fogadhatók el, amelyek nettó jelenértéke pozitív: NPV>0. Ha több beruházási javaslatot kell rangsorolnunk, akkor pedig azt preferáljuk, amelynek nagyobb a nettó jelenértéke. A nettó jelenérték kiszámítása Tegyük fel,

hogy egy új gépsor megvásárlásáról kell döntenünk. A gépsor ára: 5 millió Ft, és ha beüzemelnénk, azzal 5 éven át évi 1,5 millió Ft-tal növekedne a vállalkozás pénzjövedelme. A hasonló kockázatú beruházásoktól 10% hozamot várnak el a befektetők a piacon. Belevágjunk-e a beruházásba? Számoljuk ki a beruházás nettó jelenértékét a képletünk segítségével! 1, 5 1, 5 1, 5 1, 5 1, 5 −5+ + + + + = kb. 686500 Ft 2 3 4 (1 + 0,1) (1 + 0,1) (1 + 0,1) (1 + 0,1) (1 + 0,1)5 adódik a beruházás nettó jelenértékeként, ami pozitív lévén, a beruházás megvalósítása mellett szól. 80 Vannak olyan döntési szituációk, amelyekben a nettó jelenértéken alapuló egyszerű értékelés („valósítsunk meg egy beruházást, ha pozitív a nettó jelenértéke”) nem célravezető. Problémák adódhatnak például az eltérő élettartamú, egymást kölcsönösen kizáró beruházási javaslatok közti választás szituációjában,

vagy, amikor a beruházás optimális időzítéséről kell döntést hozni, illetve abban az esetben, ha a rendelkezésre álló tőkéből nem valósítható meg az összes beruházási javaslat, és rangsorolni vagyunk kénytelenek. Az alábbi két példa az első kettőnek említett probléma lényegét és megoldását szemlélteti, a tőkekorláttal a fejezet későbbi részében, a jövedelmezőségi indexnél térünk ki. Döntés eltérő élettartamú, egymást kölcsönösen kizáró beruházásokról Tegyük fel, hogy a vállalatnak két gyártósor közül kell választania. A két gyártósor kapacitása megegyezik, és ugyanazt a termelési feladatot képesek ellátni. Az A gyártósor ára 30 millió Ft és 5 év az élettartama, működtetése évi 10 millió Ft-ba kerül. A B gyártósor egy olcsóbb típus, bekerülési értéke 20 millió Ft, viszont csak 3 évig használható, és drágább a fenntartása: évi 15 millió Ft-ba kerül. Melyik gyártósort

válassza a vállalat? Mivel a két gyártósor ugyanazt a terméket készíti (az a beruházás bevételi sarokszámai a két alternatíva esetén megegyeznek), a döntést a költségek összehasonlításával hozhatjuk meg. A költségek jelenértékére (ha a pénz időértékét kifejező ráta 8%) az alábbi értéket adódnak: Gyártósor A B Most +30 +20 Költségek (MFt) 2 év 3 év múlva múlva +10 +10 +15 +15 1 év múlva +10 +15 4 év múlva +10 5 év múlva +10 A költségek jelenértékösszege (MFt), ha r=8% 69,93 58,66 A nettójelenérték-szabály mechanikus alkalmazásával a B gyártósort kellene választanunk, hiszen költségeinek jelenérték-összege kisebb. Nem szabad megfeledkeznünk azonban arról sem, hogy a B gépet két évvel hamarabb kell kicserélni! A két gyártósor közötti mai választásunk hatással van a jövőbeli beruházási döntésekre is. Ezért a B gyártósor, amelynél a költségek jelenértéke 58,66 MFt és ez négy

időszakra oszlik meg, nem feltétlenül jobb, mint a vele versenyző 69,93 MFt jelenbeli költséggel jellemezhető A gyártósor, amelynél a költségek hat időszakra oszlanak meg. A korrekt összehasonlítás érdekében át kell számítanunk a költségek összjelenértékét egy évre jutó költségre. Ezt az egyenértékű éves költséget éves költség-egyenértékesnek hívjuk. Olyan annuitást keresünk tehát, amelynek hossza megegyezik a beruházás élettartamával, jelenértéke pedig az adott diszkontráta mellett egyenlő a költségek jelenérték-öszegével. Az A gyártósor esetén az éves költség-egyenértékes az alábbi módon határozható meg: ( ) 69, 93 MFt = Éves költség-egyenértékes A ⋅ Annuitástényező8% ,5 év = 3, 9927 , ahonnan Éves költség egyenértékes A = Gyártósor A Éves költségegyenértékes 69, 93 MFt 3, 9927 = 17, 51 MFt. Költségek (MFt) 2 év 3 év 4 év múlva múlva múlva Most 1 év múlva +30 +10 +10

+10 +17,51 +17,51 +17,51 5 év múlva A költségek jelenérték-összege (MFt), ha r=8% +10 +10 69,93 +17,51 +17,51 69,93 A B gyártósor esetén az éves költség-egyenértékes az alábbi módon határozható meg: ( ) 58, 66 MFt = Éves költség-egyenértékes B ⋅ Annuitástényező8% ,3 év = 2, 5771 , ahonnan 81 Éves költség egyenértékes B = Gyártósor B 58, 66 MFt 2, 5771 = 22, 76 MFt. Költségek (MFt) 2 év 3 év múlva múlva Most 1 év múlva +20 +15 +15 +15 58,66 +22,76 +22,76 +22,76 58,66 Éves költségegyenértékes 4 év múlva 5 év múlva A költségek jelenérték-összege (MFt), ha r=8% Látható, hogy az A gyártósor a kedvezőbb, mivel az értékének megfelelő éves költsége, 17,51 MFt, alacsonyabb, mint a B gyártósor 22,76 MFt-os éves költsége. A szabály tehát eltérő élettartamú beruházási javaslatok esetén úgy hangzik, hogy válasszuk azt az alternatívát, amelyikre az éves

költség-egyenértékes a legalacsonyabb. A beruházás optimális időzítése Ha egy beruházási javaslatnak pozitív a nettó jelenértéke, még nem feltétlenül jelenti azt, hogy legjobb most azonnal megvalósítani, esetleg kedvezőbb várni, és csak később belevágni a megvalósításba. Hasonlóan, egy ma még negatív nettó jelenértékű projekt a későbbiek során esetleg vonzó lehetőséggé válhat. Tehát minden beruházási döntés valójában két, egymást kizáró lehetőséget foglal magában: most csináljuk meg, vagy halasszuk későbbre a beruházást. A befektetés optimális időzítése egyszerű akkor, ha nincs bizonytalanság. Először meg kell határozni azokat az időpontokat, amelyek a beruházás kezdeteként szóba jöhetnek, majd az adott időpontokra vonatkozóan kiszámoljuk a nettó jelenértéket. Ezeket diszkontálva a jelenben összehasonlítjuk, és azt választjuk, amelynél a legnagyobb a mai érték. Tegyük fel, hogy egy

halastavon gazdálkodunk, és azt szeretnénk meghatározni: mikor érdemes lehalászni a tavat. Ha várunk, a hal eladási ára emelkedik, és a halak is növekednek, igaz egyre csökkenő ütemben. Legyen a lehalászott hal nettó értéke a különböző jövőbeli időpontokban a következő: Lehalászás éve 0 1 2 3 4 5 6 Nettó folyó áras érték (MFt) 100 128,8 155 178,8 200 218,8 236,7 +28,8 +20,3 +15,4 +11,9 +9,4 +8,2 Változás (%) Látható, hogy halasztva a lehalászást több pénzhez jutunk, persze az értékek összehasonlítását csak jelenértékre átszámítva végezhetjük el. A különböző időpontokban történő lehalászás esetén 10%-os diszkontráta mellett a nettó jelenérték a következőképpen alakul: Lehalászás éve 0 1 2 3 4 5 6 Nettó jelenérték (MFt) 100 117 128 134,4 136,6 135,8 133,6 A negyedik évet megelőzően a folyó áras érték évente 10%-nál jobban nő, emiatt a nettó jelenérték

növekszik, az ötödik évtől a folyó áras érték növekedése 10% alá csökken, azaz az érték növekedése elmarad a tőke költsége mögött, ami a nettó jelenérték csökkenését eredményezi. Ezért aztán a lehalászást a negyedik évre érdemes időzíteni. (A valóságban az időzítés problémája bonyolultabb: minél hamarabb lehalásszuk a tavat, annál hamarabb kezd a következő telepítés növekedni! Amennyiben ráadásul bizonytalansággal is kell számolni, a probléma lényegesen összetettebbé válik.) 82 Bár szinte minden szakember egyetért abban, hogy a nettó jelenérték szabály alkalmazása biztosítja a leginkább a fő pénzügyi cél megvalósulását, azaz a vállalat értékének maximalizálását, ennek a mutatónak is vannak előnyei mellett hátrányai is (4.3 táblázat). 4.3 táblázat A nettó jelenérték mutató előnyei és hátrányai Előnyök Hátrányok figyelembe veszi a pénzáramok nagyságát és azok időbeli

alakulását is a beruházás teljes élettartama alatt nehéz meghatározni a diszkontáláshoz használható rátát, becslést kell alkalmazni, ami teret engedhet a menedzserek szubjektivitásának objektív mutató (nem egy szubjektív alapon meghatározott értékhez, hanem zérushoz viszonyít) a jövőbeni pénzáramokat csak becsülni tudjuk, ez is teret adhat a szubjektivitásnak (természetesen ez más mutatókra is ugyanúgy érvényes) rendelkezik az összeadhatóság tulajdonságával erőforrás-korlát esetén nem feltétlenül vezet jó döntéshez hatékonyabb és megbízhatóbb, mint gyakran alkalmazott vetélytársai (megtérülési idő, belső megtérülési ráta stb.) „most vagy soha” jellegű döntést tételez fel, sokszor pedig érdemes megvárni az esetleges kedvezőbb helyzetet, a teljesebb informáltságot kiválóan alkalmas a „fejőstehén” illetve (műszaki) költségcsökkentő jellegű beruházási projektek értékelésére nem veszi

figyelembe a beruházási projektben rejlő jövőbeli lehetőségek értékét illetve a vállalatvezetés döntési rugalmasságát A nettójelenérték-módszer továbbfejlesztése a beruházási projektben rejlő jövőbeli lehetőségek értékének megragadásával és beépítésével a stratégiai nettó jelenérték meghatározására irányul. Ezzel az érdekes módszerrel a következő fejezetben ismerkedünk meg. 2. A jövedelmezőségi index A jövedelmezőségi index olyan mutató, amely a beruházás révén képződő jövedelmek jelenérték-összegét a kezdő pénzáram arányában fejezi ki. A jövedelmezőségi index tehát úgy is értelmezhető, mint az eredetileg befektetett összeg egy forintjára jutó jelenérték hozam. (Ilyen értelemben a különbség típusú nettó jelenértékkel szemben a jövedelmezőségi index hányados típusú, relatív mutató.) 83 A jövedelmezőségi index: PI = C3 C1 C2 Cn −1 Cn + + +K+ + 2 3 n −1 n (1 + r ) (1 +

r ) (1 + r ) (1 + r ) (1 + r ) C0 , ahol PI (profitability index): a jövedelmezőségi index C0: a kezdő pénzáramlás összege C1, C2, C3, , Cn-1: a beruházás hasznos élettartama során évente képződő működési pénzáramlás-sorozat, Cn: a végső pénzáram r: a hasonló kockázatú beruházásoktól általánosan elvárt hozam, n: a beruházás teljes élettartama. A mutató mértékegysége: arányszám A jövedelmezőségi index alapján azokat a beruházások kell elfogadnunk, amelyek jövedelmezőségi indexe meghaladja az 1-et, azaz PI>1 Rangsorolás esetén a nagyobb jövedelmezőségi indexű beruházási javaslatot részesítjük előnyben. A jövedelmezőségi index meghatározása Tegyük fel, hogy egy csomagológép beszerzését tervezzük. A gép bekerülési költsége szállítással, üzembe helyezéssel együtt 30.000000 Ft, és 10 éven keresztül évi 5000000 Ft pénzjövedelmet biztosít a vállalkozás számára. A hasonló kockázatú

befektetésektől általánosan elvárt hozam 10%. Ilyen feltételek esetén fogadjuk-e el a beruházási javaslatot? A 10 éven keresztül esedékes 5.000000Ft (mint annuitás) pénzáramlás sorozat jelenértéke 10%os kamatláb mellett 30725000Ft A jövedelmezőségi index értéke 30725000Ft / 30000000Ft = 1,02. Ami – ugyan minimálisan, de – nagyobb, mint 1, tehát a beruházást érdemes megvalósítani Említettük, hogy erőforráskorlátos szituációban, azaz akkor. amikor egy meghatározott nagyságú pénzösszeg sorsáról, legjobb felhasználásáról kell döntenünk, a nettójelenérték-szabály alkalmazása nem feltétlenül vezet jó döntésekhez. Amikor tehát a vállalkozások nem rendelkeznek az összes pénzügyileg életképes beruházás javaslat megvalósításához elegendő tőkével, akkor azokat kell kiválasztani, amelyek együttesen a legnagyobb nettó jelenértéket adják. Ilyen döntési helyzetekben a jövedelmezőségi mutatóra alapozzuk a

döntést, az alábbi lépéseket követve: 1. Ki kell számítani minden egyes beruházási javaslat jövedelmezőségi indexét 2. A jövedelmezőségi indexek alapján rangsorolni kell a javaslatokat a legmagasabbtól a legalacsonyabbig. 3. A legnagyobb jövedelmezőségi indexűn kezdve addig lépegetünk lefelé a listán újabb és újabb javaslatokat bevonva a programba, amíg a rendelkezésre álló tőke ki nem merül. 84 Beruházási javaslatok rangsorolása tőkekorlát esetén Tegyük fel, hogy a vállalatnak az alábbi három beruházási lehetősége van: Projekt A B C Most -20 -10 -10 Pénzáramlás (MFt) 1 év múlva 2 év múlva 60 10 10 40 10 30 3 év múlva 20 15 20 Nettó jelenérték (MFt), ha r=12% 55,78 41,49 37,08 A nettó jelenérték alapján mindhárom projekt kedvezőnek tűnik, de tegyük fel, hogy a vállalat mindösszesen 20 millió dollárt szán új beruházásokra. Ebben az esetben mindhárom beruházást egyszerre nem tudja megvalósítani

a vállalat. Nem járnánk el helyesen, ha az egyedi nettó jelenértékre alapozva a döntést az A projekt mellett döntenénk, hiszen a B-t és C-t egyszerre megvalósítva jobban nőne a vállat értéke. Tőkekorlát esetén a jövedelmezőségi index használata a célravezető, mely a három projektnél a következők szerint alakul: Projekt A B C Kezdőtőke-igény (MFt) 20 10 10 Nettó jelenérték (MFt) 55,78 41,49 37,08 Jövedelmezőségi index 3,79 5,15 4,71 A B projekt jövedelmezőségi indexe a legnagyobb, ezt követi a C projekt, és a legnagyobb nettó jelenértékű A projekt jövedelmezőségi indexe a legalacsonyabb. A vállalat a beruházási keretből megvalósíthatja a B és C projektet egyidejűleg (elvetve az A-t), ez lesz tehát az optimális program. (A jövedelmezőségi indexen alapuló rangsorolás csak abban az esetben működik jól, ha egyetlen erőforrásunk korlátos. Összetettebb problémák esetén a lineáris programozás módszere

alkalmazható) A jövedelmezőségi index viszonylag ritkábban használatos mutató, melynek előnyeit és hátrányait a 4.4 táblázatban foglaltuk össze 4.4 táblázat A jövedelmezőségi index előnyei és hátrányai Előnyök Hátrányok viszonylag egyszerű kiszámítani az értelmezése (hasonlóan a nettó jelenértékhez) nem feltétlenül kézenfekvő erőforrás korlát esetén jobb döntésre vezet, mint a nettó jelenérték a döntés továbbra is problematikus, ha az erőforrások nem csak egyetlen periódusban korlátozottak 3. Kiegészítés: az eszközök piaci értéke (kötvény és részvény) A nettó jelenértéket használata nem korlátozódik a beruházásértékelés területére, hanem általában véve az eszközök piaci értékelésének alapformulája. Az eszközöket tehát 85 leggyakrabban nem a bekerülési értékükön értékeljük, hanem az eszközhöz kapcsolható jövőbeli pénzáramlásoknak a befektető által elvárt

hozammal diszkontált jelenértékösszegeként határozzuk meg. Ezt az értéket piaci értéknek nevezzük (FOGALOMTÁR: piaci érték). Az eszközök piaci értékének képlete: Az eszköz piaci értéke = C3 C1 C2 Cn , ahol + + +K + 2 3 n (1 + r ) (1 + r ) (1 + r ) (1 + r ) C1, C2, C3, , Cn: az eszköz hasznos élettartama során évente képződő pénzáramlás-sorozat, r: a hasonló kockázatú befektetésektől általánosan elvárt hozam, n: az eszköz hasznos élettartama. Az eszközök piaci értékének meghatározása minden eszközre érvényes, így a kötvényekre és a részvényekre is. Klasszikus formájában a kötvényt hitelviszonyt megtestesítő, hosszabb lejáratú, jellemzően fix kamatozású értékpapírként határozhatjuk meg. Ennek a definíciónak számunkra a továbbiakban nem a jogi, hanem a pénzügyi vonatkozásai lesznek érdekesek. A hitelviszony jelleg, valamint a fix kamatozás együttesen eredményezi, hogy a kötvényt az általa ígért

pénzáramlással azonosítjuk. A kötvény piaci árfolyama eszerint a kötvény cash-flow-jának (kamatfizetéseinek és tőketörlesztéseinek) jelenérték-összege. A kötvény piaci árfolyama: A kötvény árfolyama = Kamat Kamat Kamat Kamat Névérték + + +K + + , ahol 2 3 n n (1 + r ) (1 + r ) (1 + r ) (1 + r ) (1 + r ) r: a hasonló kockázatú kötvények piaci hozama, n: a kötvény futamideje. A képletből látható, hogy amennyiben a piaci hozam nő, a kötvények árfolyama csökken, és amennyiben a piaci hozam csökken, a kötvények árfolyama nő. A részvény – a kötvénnyel szemben – tulajdonosi jogokat megtestesítő értékpapír, mely szavazati jogokat és az a vállalat nyereségéből fizetett osztalékokra való jogosultságot testesít meg. A részvény tehát pénzügyi szempontból a jövőbeli osztalékok végtelen sorozatát ígéri, ezek jelenérték-összegeként határozható meg a piaci értéke, árfolyama. Amennyiben ezen osztalékok

sorozatát egy stabil ütemben évről évre növekvőnek tekintjük, úgy a részvény árfolyama úgy határozható meg, mint egy növekvő örökjáradék jelenértéke. A részvény piaci árfolyama: A részvény árfolyama = Osztalék , ahol r −g r: a hasonló kockázatú részvényektől elvárt hozam, g: az osztalékok éves növekedési üteme. 86 A részvényárfolyamok nagyságát tehát alapvetően négy tényező határozza meg: A várható növekedési ráta. A befektető annál magasabb árat hajlandó fizetni egy részvényért, minél magasabb a hosszú távon fenntartható osztalék növekedési rátája. A várható osztalék nagysága. Ha minden egyéb azonos, akkor a befektető többet hajlandó fizetni a magasabb osztalékot fizető részvényért. A kockázat mértéke. A befektetők a kisebb kockázatot jelentő részvényeket részesítik előnyben, tehát azt, amelynek árfolyamai kisebb ingadozást mutatnak. A piaci kamatláb szintje. A befektető

többet hajlandó fizetni a részvényért, ha alacsonyabb a kamatláb. (Az eszközök befektetői értékelésével részletesebben is foglalkozunk a következő félévben.) ÖNELLENŐRZŐ KÉRDÉSEK 1. Hogyan határozható meg egy beruházási javaslat nettó jelenértéke? 2. Milyen diszkontráta mellett számolná ki egy projekt nettó jelenértékét? 3. Mikor fogadunk el egy beruházási javaslatot a nettó jelenérték kritérium mellett? 4. Ha egy projekt NPV-je zéró, mekkora a diszkontált megtérülési ideje? Megoldás: a projekt teljes élettartamával egyezik meg 5. Milyen esetekben nem orientál helyesen az egyszerű nettó jelenérték kritérium? 6. Hogyan határozható meg a jövedelmezőségi index? 7. Egy beruházás nettó jelenértéke 200 EFt, a beruházott összeg 500 EFt Mekkora a jövedelmezőségi index? a.) 0,4 b.) 1,4 c.) 0,6 d.) 1,5 Megoldás: b.) 8. Igaz vagy hamis? Ha A beruházásnak nagyobb a jövedelmezőségi indexe, mint B beruházásnak, akkor

A nettó jelenértéke meghaladja B nettó jelenértékét. Megoldás: hamis 9. Válassza ki a helyes megoldást! Az A projekt jövedelmezőségi indexe 0,5, a B projekté 0,7; a B projekt a nagyobb volumenű. A pótlólagos pénzáramlás jövedelmezőségi indexe 1,3. Melyiket fogadja el a vállalat, ha a két projekt egymást kölcsönösen kizárja? a.) El kell fogadnia az A projektet b.) El kell fogadnia a B projektet c.) Nem szabad elfogadnia egyiket sem d.) Nem állapítható meg Megoldás: c.) 87 10. Tegyük fel, hogy ki kell cserélni egy elhasználódott gépet A vállalat két alternatíva közül választhat. Vásárol egy 5 éves élettartamú A eszközt 24 MFt-ért, amelynek az éves üzemeltetési költsége 6 MFt, vagy vesz egy azonos kapacitású, de 4 éves élettartamú B gépet 15 MFt-ért, amelynek az évi üzemeltetési költsége 8 MFt. Melyik alternatíva jobb, ha figyelembe vesszük a két gép eltérő élettartamát is, és a pénz időértékét

kifejező diszkontráta 10%? Megoldás: A választást nem a nettó jelenértékre, hanem az éves költség-egyenértékesre kell alapozni. Az A gép költségeinek jelenérték-összege: 24MFt+6MFt·(Annuitástényező10%, 5 év = 3,7908) = 46,745MFt. 46, 745MFt Egyenértékű éves költség A = = 12,330MFt. 3, 791 A B gép költségeinek jelenérték-összege: 15MFt+8MFt·(Annuitástényező10%, 4 év = 3,1699) = 40,359MFt. 40,359MFt Egyenértékű éves költség B = = 12, 732MFt. 3,1699 A beruházások eltérő élettartamát is tükröző éves költség-egyenértékesek alapján az A gép beállítása a vonzóbb alternatíva (annak ellenére, hogy a költségek jelenérték-összege itt összességében több). 11. Egy vállalat menedzsmentje az alábbi beruházási lehetőségekből kíván egy optimális beruházási programot összeállítani, figyelembe véve, hogy az éves beruházási keretösszeg 1100 MFt: Projekt Kezdő tőkebefektetés (MFt) A B C D E F G H 350

300 400 200 250 150 100 100 A projekt jelenértéke (PV) nettó jelenértéke (NPV) 423,5 73,5 366 66 460 60 250 50 300 50 175 25 118 18 80 -20 Pénzügyi vezetőként mely beruházási javaslatok elfogadását javasolná a menedzsment számára? Megoldás: A projekteket a jövedelmezőségi index alapján rangsorolva, majd folyamatosan összegezve a szükséges kezdő tőkebefektetéseket és a nettó jelenértéket az alábbi táblázathoz jutunk: 88 Projekt D B A E G F C A projekt Kezdő nettó tőkebefektetés jelenértéke jelenértéke (MFt) (PV) (NPV) 200 250 50 300 366 66 350 423,5 73,5 250 300 50 100 118 18 150 175 25 400 460 60 PI 1,25 1,22 1,21 1,20 1,18 1,17 1,15 Kumulatív kezdő tőke NPV (MFt) 200 50 500 116 850 189,5 1100 239,5 1200 257,5 1350 282,5 1750 342,5 A H beruházás jövedelmezőségi indexe kisebb, mint 1: ez a javaslat mindenképpen elvetendő. Látható, hogy a 4 legnagyobb jövedelmezőségi indexű D, B, A, E projekt valósítható meg az 1100

MFt-os büdzséből (és ezzel ki is merítjük a keretet), így ezen 4 projekt megvalósítása javasolható. A 4 projekt összegzett NPV-je 239,5 MFt 12. Egy befektető 2315 Ft-os árfolyamon vásárolt egy részvényt, a vállalat következő évi várható osztaléka 125 Ft részvényenként, s az osztalékok évi 10%-os növekedése reálisnak tekinthető. Mekkora évi hozamot biztosít a részvény a tulajdonos számára? Megoldás: Alkalmazva a részvény árfolyamát meghatározó képletünket, a következő összefüggést írhatjuk fel: 125 Ft , ahonnan 2.315 Ft = r − 10% r= 125 Ft + 10% = kb.15, 4% 2.315 Ft 13. Egy, a jelenben 100Ft-ot érő eszköz ára évente várhatóan 20Ft-tal nő 10%-os kamatláb esetén hány év múlva érdemes értékesíteni? a.) 3,5 b.) 4,5 c.) 5,5 d.) 6,5 e.) 7,5 Megoldás: c.) 14. Egy részvény egy év múlva 100Ft osztalékot fog fizetni Az osztalék az első 10 évben nem változik, ezt követően várhatóan évi 3%-kal nő. Mekkora

a részvény piaci értéke 12%-os piaci kamatláb esetén (egészre kerekítve)? a.) 875 b.) 933 c.) 1 000 d.) 1 111 e.) 1 144 Megoldás: b.) 89 Bővítse ismereteit az alábbi anyag elolvasásával! A Pénzügyminisztérium honlapján az „Elemzőknek” oldal módszertani blokkjában segédletet találunk a pályázatok esetén alkalmazandó jelenérték-számításhoz. 90 IV. modul A beruházási döntések 4. fejezet A belső megtérülési ráta A belső megtérülési ráta a nettó jelenérték mellett a másik legnépszerűbb, leggyakrabban alkalmazott dinamikus mutatószám. Ezt a népszerűséget részben az magyarázhatja, hogy kiszámításához nincs szükség a hasonló kockázatú beruházásoktól a piac által általánosan elvárt hozam ismeretére, aminek meghatározása a nettójelenérték-módszer alkalmazásának egyik fő bizonytalansági tényezője. Sajnos azonban alkalmazása nem mindig problémamentes. A fejezetben megismerjük a mutatószámra

épülő beruházás-értékelési módszer előnyeit és hátrányait. 1. A belső megtérülési ráta fogalma A belső megtérülési ráta az a kamatláb, amellyel diszkontálva a beruházás nettó jelenértéke éppen zéróra adódik. Meghatározása közelítéssel vagy számítógép segítségével (pl. az Excel BMR-függvénye) történhet A belső megtérülési ráta: ΙRR = ? 0 = − C0 + C3 C1 C2 Cn −1 Cn , ahol + + +K+ + 2 3 n −1 n 1 + IRR (1 + IRR ) (1 + IRR ) (1 + IRR ) (1 + IRR ) IRR (internal rate of return): a belső megtérülési ráta (az egyenlet megoldásaként adódik); C0: a kezdő pénzáramlás összege C1, C2, C3, , Cn-1: a beruházás hasznos élettartama során évente képződő működési pénzáramlás-sorozat, Cn: a végső pénzáram n: a beruházás teljes élettartama. A mutató mértékegysége: %. A belső megtérülési ráta szabály alapján azok a beruházások fogadhatók el, amelyek belső megtérülési rátája magasabb, mint

a beruházástól elvárt hozam (vagy a tőkeköltség). Több beruházási javaslat rangsorolása esetén a magasabb belső megtérülési rátával jellemezhetőt részesítjük előnyben. A belső megtérülési ráta meghatározása Tegyük fel, hogy egy ingatlan megvásárlásáról kell döntést hoznunk. Az ingatlan ára 30 millió Ft, és évi 10 millió Ft pénzjövedelmet termel 4 éven keresztül. A tőke költsége 10% Érdemes-e ilyen feltételek mellett megvásárolni az ingatlant? A képletünk segítségével az alábbi összefüggést tudjuk felírni a belső megtérülési rátára vonatkozóan: 10.000000 10000000 10000000 10000000 0 = −30.000000 + + + + . 1 + IRR (1 + IRR )2 (1 + IRR )3 (1 + IRR )4 91 A kifejezés tulajdonképpen egy negyedfokú egyenlet, melynek megoldóképletét nem ismerjük, ezért – ha számítógép nem áll rendelkezésünkre – valamilyen közelítő, becslő eljárást kell alkalmaznunk. Ez lehet például a lineáris

interpoláció módszere. Minthogy a képződő jövedelem egy négytagú annuitás, ezért az összefüggés annuitástényező segítségével is felírható: 30.000000 = 10000000 ⋅ Annuitástényező r,4 év , azaz az n=4 sorban keressük a 3-as értéket az annuitástényezők táblázatában. Ilyen annuitástényező a táblázatunkban nem szerepel Az r=12%-nál 3,0373-as értéket találunk, az r=13%-nál pedig 2,9745-ös értéket. Vagyis az IRR 12% és 13% közé esik. A beruházás nettó jelenértéke r=12% ráta mellett: NPVr=12% = 3,0373·10.000000 – 30000000 = 373000 Ft A beruházás nettó jelenértéke r=13% ráta mellett: NPVr=13% = 2,9745·10.000000 – 30000000 = -255000 Ft Feltételezve, hogy az NPV az r függvényében közelítőleg lineárisan csökken 373.000Ft-ról -255000 Ft-ra, miközben az r 12%-ról 13%-ra nő, a zérus NPV-hez tartozó IRR közelítő értéke az alábbi módon határozható meg: 373.000 IRR ≈ 12% + = 12,59% , ami két tizedesre

megegyezik az Excel által szolgáltatott 373.000 + 255000 közelítő értékkel. Mivel ez magasabb, mint a 10%-os tőkeköltség, ezért érdemes belevágnunk a beruházásba. 2. A belső megtérülési ráta alkalmazásával kapcsolatos problémák A belső megtérülési ráta a nettó jelenérték mellett a másik legnépszerűbb, leggyakrabban alkalmazott mutató. Ezt a népszerűséget részben az magyarázhatja, hogy kiszámításához nincs szükség a hasonló kockázatú beruházásoktól a piac által általánosan elvárt hozam ismeretére, aminek meghatározása a nettójelenérték-módszer alkalmazásának egyik fő bizonytalansági tényezője. (Természetesen a belső megtérülési rátán alapuló értékeléshez is kell ismernünk kell az elvárt hozamot, tehát ez az előny csak látszólagos!) Sajnos azonban a belső kamatláb alkalmazása több problémát is felvet. Gondot okozhatnak az alkalmazás során a nem konvencionális pénzáramlássorozatok.

Egyrészről, ha a pénzáramlások többször váltanak előjelet a beruházás élettartama alatt, akkor több olyan ráta létezik, amely mellett a nettó jelenérték nulla.(Sőt, az is elképzelhető, hogy nincsen belső megtérülési ráta, mert a projekt pénzáramainak jelenértékösszege mindig pozitív.) Másrészről az ún hitelfelvétel típusú pénzáramlások esetén a kritériumot fordítva kell alkalmazni, és azokat a javaslatokat kell elfogadni, amelyeknél az IRR kisebb, mint a tőkeköltség. Nem konvencionális pénzáramlások versus IRR 1. Tegyük fel, hogy egy beruházás megvalósítása 100 MFt kezdeti tőkekiadást feltételezve, az első évben 280 MFt jövedelmet, a második évben 225 MFt veszteséget, a harmadik évben pedig ismét 45 MFt jövedelmet termel. A tőke költsége 40% Milyen döntést hoznánk a belső megtérülési ráta alapján? Ennek a nem konvencionális pénzáramlás-sorozatnak a nettó jelenértéke 0, a diszkontálás során

akár 30%-os, akár 100%-os vagy 150%-os rátát használunk, tehát három (pozitív, valós) IRR is van! Ez az eredmény nem orientál bennünket egyértelműen a döntés során. (A nettójelenérték-módszer egyértelmű választ ad a problémára: az NPV=1,6 MFt, tehát el kell fogadni a beruházási javaslatot.) 2. Egy döntési szituációban a javaslatban szereplő pénzáramlás két elemből áll: az 1 évben +100 MFt, a 2. évben: -120 MFt A tőkeköltség 15% Milyen döntést hozzunk a javaslat elfogadásáról? 92 A pénzáramlás belső megtérülési rátája 20%, ami magasabb, mint a tőkeköltség. Mechanikusan alkalmazva az IRR kritériumot elfogadnánk a javaslatot, ha azonban figyelembe vesszük, hogy jelen példában hitelfelvétel típusú pénzáramlás szerepel (először van pénzbeáramlás – „hitelfelvétel”, majd utána pénzkiáramlás – „hitelvisszafizetés”) a magas belső megtérülési ráta éppen arra utal, hogy nem szabad elfogadni

a javaslatot. Ez ugyanis tulajdonképpen azt jelenti, hogy a projekt „többet visz, mint amennyit hoz”. (A javaslat nettó jelenértéke 15% mellett -4,35 MFt, ez alapján teljesen egyértelmű, hogy el kell utasítani a javaslatot.) Nem jól orientál a belső megtérülési ráta akkor sem, ha eltérő méretű, egymást kölcsönösen kizáró beruházási javaslatokat kell rangsorolni, mivel a belső megtérülési ráta százalékos mutató lévén, nem érzékeli a nyereség abszolút nagyságát („sok kicsi sokra megy”). Döntés eltérő volumenű, egymást kölcsönösen kizáró beruházásokról Tegyük fel, hogy két alternatív beruházás közül kell választanunk, melyek főbb adatai az alábbiak: Beruházási Pénzáramlások (MFt) NPV (MFt), ha IRR javaslat r=10% Most 1 év múlva A projekt -100 132 32% 20 B projekt -200 253 27% 30 Ha a döntést a belső megtérülési ráta alapján hozzuk meg, az A projekt mellett döntenénk. A mutató azonban

érzéketlen a beruházások nagyságrendjére, méretére, hiszen ha a B projektet választanánk 30 MFt-tal lennénk gazdagabbak! A kisebb beruházások viszonylagos hatékonysága félrevezető lehet, ezért az ilyen esetben nem célszerű közvetlen módon alkalmazni a belső megtérülési rátán alapuló módszert. Kis módosítással azonban a belső megtérülési ráta mégis bevethető Gondolkodjunk egy kicsit más módon! Kiszámítva az IRR-t, látjuk, hogy elvileg mindkét projekt megvalósítható, hiszen a kapott IRR-ek meghaladják a 10%-os tőkeköltséget. Tegyük fel úgy a kérdést, ha megvalósítjuk a magasabb belső megtérülési rátájú, de kisebb volumenű A projektet, nem lenne érdemes további tőkét befektetni a nagyobb volumenű beruházás megvalósítása érdekében? Ehhez további 100MFt-ot kellene befektetni, és ennek eredményeként 1 év múlva 121 MFt többletjövedelmet realizálhatnánk. Ennek a hipotetikus növelő projektnek a belső

megtérülési rátája 21%, ami meghaladja a 10%-os küszöbrátát, tehát érdemes lenne megvalósítani. Ez azt jelenti, hogy nem a kisebb volumenű A projektet, hanem a nagyobb volumenű B-t kell elfogadni. A belső megtérülési ráta és a nettójelenérték-módszer eltérően rangsorolhat akkor is, ha a beruházás pénzáramainak időbeli szerkezete nagyon eltérő. Döntés eltérő időbeli szerkezetű pénzáramokkal jellemezhető, egymást kölcsönösen kizáró beruházásokról Tegyük fel, hogy a vállalat az A és B projektjavaslatok közül csak az egyiket választhatja. Pénzáramlás (MFt) Beruházási javaslat A projekt B projekt Most 1 év múlva 2 év múlva 3 év múlva 4 év múlva 5 év múlva IRR -20000 -20000 +20000 +1500 +1500 +1500 +1500 +1500 +1500 +1500 +1500 +30000 19,57% 13,94% NPV (MFt), ha r=10% 2504 3382 93 20000 "B" projekt 15000 NPV 10000 11,41% "A" projekt IRR = 19,57% 5000 0 0,00% -5000 r

5,00% 10,00% 15,00% 20,00% 25,00% IRR = 13,94% -10000 Látható, hogy az A projekt belső megtérülési rátája a nagyobb, viszont a B projekt esetében nagyobb a nettó jelenérték. Észrevehető, hogy a B projekt NPV-je mindaddig magasabb, amíg a pénz időértékét kifejező ráta 11,41%-nál alacsonyabb. Az IRR most azért félrevezető, mert a B projektből származó pénzbevétel meghatározó része később jelentkezik, később térül meg a B beruházás. Ezért van az, hogy amikor a diszkontráta alacsony, akkor a B projekt NPV-je magasabb; amikor pedig a diszkontráta magas, akkor az A projekt NPV-je a magasabb. Ha a tőke költsége 11,41%-nál magasabb lenne, a befektetők többre értékelnék a korábban megtérülő A projektet. Példánkban viszont a tőkeköltség viszonylag alacsony, akkor a befektetők viszonylag magas árat fognak fizetni a hosszabb megtérülésű beruházásokért is. (Amennyiben a pótlólagos pénzáramlás módszerével

egészítjük ki a belső megtérülési ráta kritérium alkalmazását, akárcsak az előző példában, most is a helyes döntésre jutunk.) Összegezve az eddig megállapítottakat, a belső megtérülési ráta kritérium előnyeit és hátulütőit a 4.5 táblázatban foglaltuk össze 94 4.5 táblázat A belső megtérülési ráta mutató előnyei és hátrányai Előnyök Hátrányok nem konvencionális pénzáramlások esetén figyelembe veszi a pénzáramok nagyságát és azok előfordulhat, hogy több különböző kamatláb időbeli alakulását is a beruházás teljes mellett is zéró lesz a jelenérték, és értelmezési élettartama alatt problémák is adódhatnak kiszámításához nem kell ismerni a hasonló kockázatú befektetésektől elvárt hozam értékét (a döntéshez persze meg kell határozni)) eltérő nagyságrendű beruházási projektek közötti választás esetén félrevezető, ugyanis %-os mutató lévén érzéketlen a projekt

nagyságrendjére sokan úgy érzik, hogy könnyen értelmezni a beruházás megtérülési rátáját, mint a nettó jelenértékét időben eltérő szerkezetű pénzáramlások összehasonlítására alkalmatlan ÖNELLENŐRZŐ KÉRDÉSEK 1. Hogyan határozható meg egy projekt belső megtérülési rátája? 2. Hogyan hozunk döntést egy projekt elfogadásáról illetve elvetéséről a belső megtérülési ráta alapján? 3. Milyen problémák adódhatnak az IRR mutató alkalmazása során? 4. Igaz vagy hamis? Ha az IRR>r, akkor biztos, hogy NPV>0. Megoldás: hamis Két, egymást kölcsönösen kizáró, konvencionális pénzáramlással jellemezhető beruházási javaslat közül mindig a magasabb megtérülési rátájú beruházás valósítandó meg. Megoldás: hamis Az IRR mutató alkalmazásához nem kell ismerni a hasonló kockázatú projektektől a piacon általánosan elvárt hozamot. Megoldás: hamis 5. Számítsuk ki lineáris interpolációval annak a

beruházási projektnek a belső megtérülési rátáját, amelynek kezdő tőkeszükséglete15 MFt, és az előrejelzések szerint 5 éven keresztül évi 4 MFt pénzjövedelmet biztosít! Megoldás: A pénzjövedelmek 5 éves sorozata egy annuitás, tehát: 15 = 4 ⋅ Annuitástényező r,5 év , azaz az n=5 sorban keressük a 15/4=3,75 annuitástényezőt. r=10%nál 3,7908, r=11%-nál 3,6959 szerepel, tehát az IRR 10% és 11% között lesz r=10%-nál NPV=-15+4·3,7908=0,1632 r=11%-nál NPV=-15+4·3,6959=-0,2164. 95 Lineáris arányosítással: 0,1632 IRR ≈ 10% + = 10, 43% . 0,1632 + 0, 2164 6. Két beruházás pénzáramai az alábbiak: Pénzáramok (MFt) Most 1 év múlva 100 150 A 300 400 B Hogyan választana a két beruházás közül, ha a menedzsment ragaszkodik a belső megtérülési ráta alkalmazásához a beruházási döntéseknél? A tőkeköltség 10%. Projekt Megoldás: A két projekt eltérő nagyságrendű, ilyen esetben közvetlenül nem alkalmazható a

belső megtérülési ráta kritérium. (Az A projekt IRR-je 50%, a B projekté 33%, ez alapján elvileg bármelyik projekt megvalósítható, mivel a tőkeköltség 10%) Tegyük fel, hogy megvalósítjuk a kisebb volumenű A projektet. Érdemes lenne-e további tőkét befektetve a B projekt méretűre növelni a beruházást? A növelő projekt pénzáramai: most 200 MFt, 1 év múlva 250 MFt. A növelő projekt belső megtérülési rátája 25%, ami meghaladja a 10%-os tőkeköltséget, érdemes tehát megvalósítani. Mindezek alapján a B projekt megvalósítása javasolható (annak ellenére, hogy IRR-je alacsonyabb). Bővítse ismereteit az alábbi cikk elolvasásával! Ingatlanok befektetési céllal. 96 IV. modul A beruházási döntések 5. fejezet A stratégiai nettó jelenérték: beruházás-értékelés reálopciós megközelítésben A nettó jelenérték számítás módszerét csak a legutóbbi szűk két évtizedben érték igazán komoly bírálatok, amelyek

eredményeképpen azonban nem elvetésére, hanem továbbfejlesztésére, kiegészítésére került sor. A fejezetből megismerheti az ezen továbbfejlesztés eredményeként megszületett, reálopciós megközelítést alkalmazó stratégiai nettó jelenérték módszerét. 1. A stratégiai nettó jelenérték fogalma A nettó jelenérték számítás módszerét csak a legutóbbi szűk két évtizedben érték igazán komoly bírálatok, amelyek eredményeképpen azonban nem elvetésére, hanem továbbfejlesztésére, kiegészítésére került sor. A fő kifogás hagyományos alkalmazásával szemben az, hogy feltételezése szerint az eszközök tulajdonosai passzívan birtokolják eszközeiket. Másképpen fogalmazva, miközben méri a beruházással kapcsolatos döntés meghozójának érdemeit, nem számol a majdani menedzserek aktivitásával, nem tükrözi azt az értéket, amit ők „menetközben” tehetnek hozzá a projekthez. Így az NPV módszer nem igazán alkalmas

olyan projektek értékelésére, amelyek esetén jelentős szerephez jutnak a növekedési lehetőségek, az immateriális eszközök, valamint a bizonytalan kimenetelű kutatás-fejlesztési tevékenységek. Korunk gyors változásokkal, nagy bizonytalansággal illetve a rugalmasság és az innovációk felértékelődésével jellemezhető gazdasági környezetében egyre fontosabbá válik a vállalatvezetők számára az olyan beruházás értékelési eszközök és eljárások használata, amelyek megfelelően kezelik a bizonytalanságot és azt, hogy a vállalat képes reagálni az új információkra. Úgy tűnik, hogy a reálopciók feltárásán és értékelésén alapuló új megközelítés kecsegtet talán a legnagyobb sikerrel a kihívásokkal szemben Egy reáleszköz a megismert nettó jelenértéken kívül más értéket is hordozhat. Nevezetesen azt a lehetőséget, opciót hogy − „ha a dolgok kedvezően alakulnak” − dönthetünk az új helyzet

kihasználásáról, miközben az esetleges kedvezőtlen változások következményei alól mentesülünk. Az opció valami megtételére vonatkozó jog, illetve lehetőség, kötelezettség nélkül. Bizonytalansággal terhes világban a leglehetetlenebbnek tűnő opciónak is értéke van. Egy eszköz stratégiai nettó jelenértéke a fentiek alapján: az eredetileg tervezett használattól várható nettó jövedelmek jelenérték-összege plusz a kedvező esetben kihasználható opciók értéke. A 46 táblázat a legáltalánosabb reálopciókról nyújt áttekintést. 97 4.6 táblázat A leggyakrabban előforduló reálopciók A reálopció típusa Időzítési opció (option to defer) Szakaszos opció (time-to-build option, staged investment) A projekt-méret megváltoztatásának lehetősége: bővítés, szűkítés, bezárás és újraindítás (option to alter operating scale) Kiszállási opció (option to abandon) Átállási opció: az input- vagy

outputszerkezet rugalmas megválasztása (option to switch inputs or outputs) Az opció tartalma A menedzsmentnek lehetősége van egy értékes földterület vagy erőforrás megvételére. Várhat valameddig, hogy megfigyelje, vajon az output árak igazolják-e a beruházást. Az egymást követő jelentkező kiadásokkal jellemezhető szakaszos beruházás esetén lehetőség van a kiszállásra a folyamat közben, amennyiben kedvezőtlen új információk birtokába jut a vállalat. Minden szakasz a rákövetkező szakaszok értékére vonatkozó opciónak tekinthető, és összetett opcióként lehet értékelni Ha a piaci feltételek kedvezőbben alakulnak a vártnál, a vállalat bővítheti a termelés volumenét vagy felgyorsíthatja az erőforrás kiaknázását. Ellenkező esetben csökkentheti termelést. Ha indokolt, esetleg felfüggesztheti a termelést, majd újraindíthatja azt. Ha a piaci körülmények jelentősen megromlanak, a menedzsment végleg felszámolhatja a

projektet, és a tőkejószágokat valamint az egyéb eszközöket értékesíteti a másodpiacon Ha az árak vagy kereslet változnak, a menedzsment megváltoztathatja a termékszerkezetet, vagy éppen ugyanazokat a terméket más típusú inputokkal állíthatja elő. Növekedési opciók (growth options) Egy korábbi beruházás (pl. K+F, stratégiai célú felvásárlás, infrastruktúra-fejlesztés) előfeltétele más projekteknek, vagy egy láncszemet jelent egymással összefüggő projektek rendszerében. Ez a beruházás jövőbeni növekedési lehetőségeket nyithat meg (új termékek és termelési eljárások, új piacokra történő belépés stb.) Az opciók szinergiája (multiple interacting options) A valóságos projektek gyakran az opciók egy „készletét” foglalják magukban, amelyek együttes értéke nagyobb lehet, mint elszigetelten számított értékeik egyszerű összege Jellemző előfordulási területek - természeti erőforrások kitermelése -

ingatlanfejlesztés - mezőgazdaság stb. - K+F intenzív iparágak, különösen a gyógyszeripar - hosszadalmas fejlesztést igénylő tőkeigényes projektek - vállalkozások indítása stb. - természeti erőforrásokra épülő iparágak (pl. bányászat) - létesítmények tervezése és építése a ciklusokra érzékeny iparágakban - divatáruknál - fogyasztási célú termékeknél - kereskedelmi célú ingatlanoknál - tőkeigényes iparágakban (pl. repülőgépipar, vasút) - a pénzügyi szolgáltatásoknál - ismeretlen piacokra történő újtermék-bevezetéseknél A termékszerkezet rugalmassága: - bármely kis tételben eladott vagy változékony keresletű terméknél (pl. elektronikai árucikkek, játékok, autók stb.) A termelési folyamat rugalmassága: minden nyersanyag-feldolgozó létesítmény (pl. olaj, elektromos energia, vegyi anyagok stb.) - minden infrastruktúrára épülő vagy stratégiai iparágban, különösen a csúcstechnológiában, a

K+F-ben és olyan iparágakban, ahol a termékek, alkalmazások különböző generációi egyszerre vannak jelen - multinacionális tevékenységeknél - stratégiai célú felvásárlásoknál A valóságos projektek a legtöbb fenti iparágban. Forrás: Buzás N. (szerk): Innovációmenedzsment a gyakorlatban Akadémiai Kiadó, Budapest, 2007, 284 o 98 2. A reálopciók értékelése A reálopciók értékének meghatározása nem könnyű feladat, de több módszer is létezik az árazásra, melyek a pénzügyi opciók1 értékének meghatározására irányuló metodika adaptációit jelentik a reáleszközök mögött megbúvó opciók értékelésére. Az egyik legismertebb és leggyakrabban alkalmazott módszer: az úgynevezett Black-Scholes modell, mely öt, a mögöttes eszközzel és a pénzügyi piacokkal összefüggő tényezőre visszavezetve ad összefüggést egy pénzügyi opció lejárat előtti értékére.2 A következő példa egy szabadalom értékének

meghatározását szemlélteti nagy vonalakban. A példából kiviláglik, hogy milyen óriási különbség lehet a stratégiai és a statikus nettó jelenérték összegei között. Egy szabadalom értékének meghatározása: az Avonex példája. A Biogen egy biotechnológiai cég, amely egy Avonex nevű gyógyszer hatóanyagának szabadalmával rendelkezik. A gyógyszer a szklerózis multiplex kezelésére alkalmas és az FDA is elfogadta. A termék szabadalma exkluzív jogot biztosít a cégnek a termék fejlesztéséhez és értékesítéséhez egy meghatározott ideig. Ebbe kizárólag akkor fog belevágni a cég, ha a termék értékesítésből származó várható pénzáramlás jelenérték-összege meghaladja a fejlesztés költségeit, egyébként pedig dönthet a fejlesztés elvetése mellett is, ekkor nyilvánvalóan nem fognak további költségek felmerülni. Mindebből az következik, hogy a szabadalom tekinthető egy olyan vételi opciónak, ahol a mögöttes

eszköz tulajdonképpen maga a termék. Tegyük fel, hogy az Avonex szabadalmának értékét igyekszünk meghatározni, és a következő becslésekkel rendelkezünk az opcióárazási modell használatához. Egy friss belső elemzés szerint a potenciális piaci lehetőségek fényében a termékértékesítéssel összefüggő pénzáramlások várható jelenérték-összege 3 422 mrd dollár (a termékfejlesztés költségei nélkül). Ha ma dobnák piacra a terméket, a kereskedelmi forgalomba történő bevezetés egyszeri költsége 2 875 mrd dollárra lenne becsülhető. A vállalat gyógyszerére az elkövetkező 17 évben szabadalmi védettséget élvez, a hosszú távra szóló kockázatmentes kamatláb jelenleg 6,7% Mivel nehéz valószerűen szimulálni a pénzáramlásokat és a jelenértékeket, ezért a mögöttes eszköz értékváltozásait tükröző árkockázatot becsüljük a nyilvánosan kereskedett biotechnológiai cégek részvényértékének varianciájával,

ami a tőzsdei részvényárfolyam adatokból számolva példánkban 0,224-re adódik. Azt is feltételezzük, hogy a többletjövedelem csak a szabadalmi védettség időszakában keletkezik, ennek megszűnését követően a verseny következtében ez a lehetőség megszűnik. Amennyiben a bevezetés előnyösnek bizonyul, az ezzel kapcsolatos késlekedés a fentiek miatt költséges. A késlekedéssel összefüggő költség a többletjövedelem egy évre eső időarányos értékét teszi ki. Ilyen feltevések mellett a Black-Scholes formula alkalmazásával a szabadalom stratégiai értékére 907 millió dollár adódik, szemben a statikus NPV-re adódó 3 422$ - 2 875$ = 547 millió 1 A pénzügyi opciók pénzügyi termékekre (részvényekre, devizákra stb.) szóló vételi és eladási jogokat jelentenek. Az opció a tulajdonosa számára jogot biztosít arra, hogy előre meghatározott fix áron (ezt kötési vagy lehívási árnak nevezzük) megvegye vagy eladja az opció

tárgyának, az úgynevezett mögöttes eszköznek egy adott mennyiségét az opció lejáratának napján vagy azt megelőzően. Mivel az opció jog, de nem kötelezettség, az opció birtokosa dönthet úgy is, hogy nem hívja az opciót, hanem hagyja lejárni. Az opciókat két nagy csoportba soroljuk: megkülönböztetünk vételi és eladási opciókat. 2 Az opcióárazás kérdéskörének értelmes és követhető tárgyalása meghaladná a fejezet terjedelmi korlátait. Az érdeklődő olvasó élvezetes bevezetést olvashat a témába Brealey és Myers (2005) tankönyvének 21-22. fejezetében. 99 dolláros értékkel! Ráadásul a projekt opciós értéke az idő múlásával egy ideig nő, ezért úgy tűnik, a késlekedés költségei ellenére jobb várni egy ideig a piaci bevezetéssel. Minthogy azonban a késlekedés költsége nő, így egyre valószínűbb, hogy megéri lehívni az opciót, azaz belevágni a termékfejlesztésbe. A gyógyszeriparban a szabadalmi

védettség idejének letelte nem feltétlenül vezet a gazdasági profit megszűnéséhez. Ez nagyban köszönhető a termék iránti márkahűség kialakulásának Ez a specialitás is beépíthető a modellbe egyfelől a projekt pénzáramlásai jelenérték-összegének növelésével, másfelől a késlekedés költségeinek csökkentésével. Az eredő hatás az lesz, hogy a vállalat nagyobb valószínűséggel fog várni a piaci bevezetéssel, ezalatt igyekezni fog minél több információt összegyűjteni és minél jobban felmérni a piaci keresletet. Forrás: Damodaran, A. (2003): The Promise of Real Options, in: Stern, J M, Chew, D H Jr (eds): The Revolution in Corporate Finance, Blackwell Publishing, Oxford, 98. o ÖNELLENŐRZŐ KÉRDÉSEK 1. Mi indokolhatja a stratégiai nettó jelenérték mutató alkalmazását a beruházási projekteknél? 2. Soroljon fel néhány lehetséges reálopciót fajtát! 3. Igaz vagy hamis? A stratégiai nettó jelenérték több is és

kevesebb is lehet a nettó jelenértéknél. Megoldás: hamis Bővítse ismereteit az alábbi cikk elolvasásával! Bújtatott opciók a Stadler beruházásánál 100 IV. modul A beruházási döntések 6. fejezet A beruházások kockázatának elemzése Az eddigiek során azt tételeztük fel, hogy a beruházás pénzáramai eleve adottak és ismertek. Sajnos azonban az esetek túlnyomó többségében nem ez a helyzet. A beruházás pénzáramait csak becsülni tudjuk, ráadásul a beruházás külső feltételrendszere is bármikor megváltozhat. A beruházásból származó pénzáramlások tehát bizonytalanok, és ennek következménye a beruházások kockázata. A továbbiakban áttekintünk néhány módszert, amellyel a beruházások kockázata elemezhető. 1. A „mi lenne, ha” típusú elemzések Amikor egy beruházási javaslattal foglalkozunk, akkor a nettó jelenérték becslését az általunk készített cash flow előrejelzések alapján végezzük el. Ezen

alapeset megvizsgálását követően át kell tekinteni a jövőre vonatkozó különböző eltérő feltételezések hatását a becsléseinkre: azaz különféle forgatókönyveket kell készítenünk. Az alapeset mellett minimálisan általában két másik forgatókönyvet készítünk: egy pesszimista és egy optimista változatot. A „mi lenne, ha” típusú elemzéseknek többféle változatát ismerjük: az érzékenységi elemzést, a forgatókönyv elemzést és a szimulációt. Az érzékenységi elemzés Az érzékenységi elemzés a legegyszerűbb fajtája a „mi lenne, ha” típusú elemzéseknek. Ekkor egyetlen kulcsfontosságú paraméter hatását vizsgáljuk abban a tekintetben, hogy mennyire érzékenyen reagál a beruházás nettó jelenértéke a paraméter értékének megváltozására. Ilyen kulcsfontosságú paraméter lehet: • a piac nagysága, • a piaci részesedés, • az eladási ár, • a beruházás egyszeri ráfordításai, • a változó és

fix költségek növekedése, • a kivitelezési idő elhúzódása, vagy • az üzemelési idő lerövidülése • a beruházás maradványértéke a hasznos élettartam végén. Az érzékenységi elemzés pozitívuma, hogy rávilágít azokra a változókra, amelyekre a legnagyobb figyelmet kell fordítani. Amikor azt tapasztaljuk, hogy a becslésünkben szereplő nettó jelenérték különösen érzékenyen reagál egy változóra, akkor ezen paraméter értékét rendkívül gondosan kell előrejelezni, esetleg jobban el kell mélyednünk a változó értékét meghatározó tényezők feltárásában. Érzékenységi elemzés Tegyük fel, hogy egy beruházási javaslattal összefüggésben az alábbi adatok állnak rendelkezésére a beruházás nettó jelenértékét illetően egy-egy kulcsfontosságú paraméter különböző értékeinél: 101 Paraméter Eladási ár, Ft Piaci részesedés, % Változó ktg., Ft/db Fix ktg., millió Ft A paraméter értéke

Pesszimista 65.000 7 43.000 173 Alapeset 75.000 11 40.000 162 Optimista 80.000 15 32.000 143 Nettó jelenérték a paraméter különböző értékeinél (millió Ft) Pesszimista Alapeset Optimista -25,0 +150,2 +211,2 -93,2 +150,2 +441,2 +5,3 +150,2 +400,5 -52,1 +150,2 +112,1 Látható, hogy a kulcsfontosságú paraméterek közül a piaci részesedés változására reagál a legérzékenyebben a nettó jelenérték, célszerű tehát minél pontosabban becsülni az elért %-os piaci részesedést. Az is megállapítható az adatokból, hogy a változó költségek változására is érzékenyen reagál a nettó jelenérték, ám még a pesszimista becslés mellett is pozitív a nettó jelenérték. A forgatókönyv elemzés Az érzékenységi elemzés fontos hátránya, hogy az egyes változók hatását elszigetelten vizsgálja, holott ezen tényezők a legritkábban változnak egymástól függetlenül. A forgatókönyv (vagy: szcenárió-) elemzés mint a következő

vizsgálati módszer, kiküszöböli ezt a hiányosságot, mivel több tényező egyidejű megváltozásának hatását vizsgálja a nettó jelenérték alakulásával összefüggésben. Ezen módszer abból a szempontból is általánosabbnak tekinthető az érzékenységi elemzésnél, hogy általában többféle, minimálisan általában ötféle forgatókönyv összeállításán kell alapuljon. (Természetesen a változatok számának további növelésével az elemzés kezelhetetlenül elbonyolódhat.) Az elemzést célszerű a legrosszabb forgatókönyvvel kezdeni, ugyanis ez rávilágít a beruházás nyomán előálló nettó jelenértékek minimumára. Ha a különböző forgatókönyvek alapján kiszámított nettó jelenérték legtöbbje pozitív, akkor megerősítést kapunk a beruházási javaslat elfogadásához. A forgatókönyv elemzés hasznos, mert segít, hogy megbecsüljük egy beruházás potenciális kimeneteleit, arra azonban nem ad választ, hogyan

értékeljük ezeket a kimeneteleket. (Az Excel „Esetvizsgáló” bővítménye hasznos eszközt nyújt ilyen vizsgálatok elvégzéséhez.) A szimulációs megközelítés A forgatókönyv elemzés lehetővé teszi sok paraméter együttes változtatását, de nem teszi lehetővé nagy számú becslés elvégzését. Számítógéppel támogatott szimulációs módszerekkel ez a hátrány orvosolható. A szimulációs módszer azzal indul, hogy becslést adunk minden olyan változó valószínűségi eloszlására, amelyek hatással lehetnek a beruházás nettó jelenértékére. Az adatbevitelt követően a számítógép – figyelembe véve a valószínűségeket – véletlenszerűen kiválaszt minden paraméterhez egy értéket, és ezeket felhasználva kiszámolja a beruházás egy lehetséges jelenértékét. Ezt a kiválasztást több száz alkalommal elvégezve képes előállítani a nettó jelenérték valószínűségi eloszlását, illetve meghatározni annak

statisztikai jellemzőit. 102 2. A fedezeti pont elemzés A fedezeti pont elemzés logikája bizonyos szempontból ellentétes az érzékenység elemzésével. Itt ugyanis nem paraméter függvényében vizsgáljuk a beruházás nettó jelenértékét, hanem keressük a paraméter azon értékét, amely mellett a beruházás nettó jelenértéke zéró. Leggyakrabban ennek konkrét formája az, hogy mekkora az a minimális értékesítési forgalom, amely mellett a beruházás nettó jelenértéke 0, azaz meddig csökkenhet az értékesítés anélkül, hogy a beruházás veszteségessé ne válna. A pénzügyi fedezetet jelentő eladási forgalom: C0 1 FC + r 1− Q= (1 + r ) P − VC n , ahol Q: a pénzügyi fedezetet jelentős eladási forgalom (db), FC: a fix működési költségek éves összege, VC: a változó költségek értéke (Ft/db), P: a termék eladási egységára (Ft/db), C0: a kezdő tőkebefektetés összege, r. a hasonló kockázatú befektetésektől

általánosan elvárt hozam, n: a beruházás hasznos élettartama. Amennyiben úgy találjuk, hogy annak a valószínűsége, hogy az értékesítés a fedezeti pont alá esik, meghalad egy kritikus értéket, úgy a beruházás kockázatosnak minősíthető, és elfogadása vagy elvetése további vizsgálatot, elemzést követel meg. A pénzügyi fedezeti pont meghatározása Mennyi a pénzügyi fedezeti pontja az alábbi adatokkal jellemezhető beruházási projektnek? Eladási ár: 800 Ft/db Változó költség: 620 Ft/db Fix működési költség: 5.000000Ft/év Beruházási kiadás: 20.000000 Ft Hasznos élettartam: 8 év Hasonló kockázatú beruházások hozama: 12%. FC + r 1− Q= C0 1 (1 + r ) P − VC 20000000 1 1− 1,128 ≈ 50144 800 − 620 5000000 + 0,12 ⋅ n = A képlet alapján azt kapjuk, hogy ameddig nem esik 50.144 db alá az éves értékesítési forgalom, addig a beruházás jelenértéke pozitív marad. 103 3. Biztos (kockázatmentes)

egyenértékesek kiszámítása Egy kockázatos pénzáram biztos (kockázatmentes) egyenértékese az a biztosan rendelkezésre álló pénzösszeg, amit a döntéshozó egy adott időpontban hajlandó lenne elfogadni az ugyanabban az időpontban esedékes, ám kockázatos pénzösszeg helyett. A módszer alkalmazásakor a kockázatos pénzáramot egy átváltási faktor segítségével számítjuk át biztos pénzáramra. Az átváltási faktor értéke 0 és 1 közé esik A biztos egyenértékesek alkalmazásával lehetővé teszi, hogy a jelenérték számításánál elkülönítsük az idő és a kockázat hatását. Ezáltal a módszer biztosítja, hogy minden egyes időszak pénzáramlását a saját egyedi kockázatosságát értékelve váltsuk át biztos egyenértékesre. Minthogy a biztos egyenértékes kockázatmentes pénzáramlást jelent, a kockázatmentes kamatlábbal diszkontáljuk. Biztos egyenértékesek és átváltási faktorok meghatározása Egy két év

élettartamú projekt pénzáramlásaira a következő előrejelzést kaptuk: 110 MFt az első évben, és 121 MFt a második évben. A kockázatmentes kamatláb 5%, a piaci portfólió kockázati díja 10%, a projekt bétája pedig 0,5. Határozzuk meg a projekt jelenértékét egy állandó, a kockázatot is kifejező diszkontrátát használata mellett, a pénzáramlások biztos egyenértékeseit és az átváltási faktorokat! A CAPM modell segítségével meghatározható a kockázatot is kifejező diszkontráta: r = 5% + 0,5·10% = 10%. Ezzel a diszkontrátával számolva a projekt jelenértéke: PV = 110MFt/1,1 + 121MFt/1,12 = 200MFt. A biztos pénzáramokat a kockázatmentes rátával diszkontálva a jelenértékeket kell kapnunk, azaz Biztos egyenértékes1 110 = =100 , azaz az első évi pénzáram biztos egyenértékese 1,05 1,1 105MFt. Hasonló módon: Biztos egyenértékes 2 121 =100 , azaz a második évi pénzáram biztos egyenértékese 1,05 1,12 110,25 MFt. Az

átváltási faktorok az első évi pénzáramnál 105/110=0,95, a második évinél 110,25/121=0,91. 2 = ÖNELLENŐRZŐ KÉRDÉSEK 1. Melyik kockázatelemzési módszer maradt ki a felsorolásból? - forgatókönyv elemzés - szimulációs megközelítés - érzékenységi elemzés - biztos egyenértékesek módszere Megoldás: fedezeti pont elemzés 2. Ismertesse a „mi lenne, ha” elemzések típusait! 3. Mi az a pénzügyi fedezeti pont? 104 4. Milyen rátával diszkontáljuk a biztos egyenértékeseket? 5. Válassza ki a helyes választ! Az érzékenységvizsgálat korlátai közé tartozik, hogy a.) nem számol a vizsgált változók közötti együttmozgással b.) nem számol az infláció várható hatásaival c.) nem számol a készletértékelési módok közötti különbségekkel d.) csak az érzékenység százalékos mértékének vizsgálatára képes Megoldás: a.) Egy projekt pénzügyi értelemben vett fedezeti pontja annál az értékesítési forgalomnál

van, ahol a.) az adott évi pénzáramlás megegyezik 0-val b.) az adott évi pénzáramlás jelenértéke éppen 0 c.) a projekt nettó jelenértéke 0 d.) a projekt jelenértéke 0 Megoldás: c.) Egy projekt pénzügyi értelemben vett fedezeti pontja (nyereségküszöbe) ott van, ahol a.) az adott évi pénzáramlás megegyezik 0-val b.) az adott évi pénzáramlás jelenértéke éppen 0 c.) a projekt nettó jelenértéke 0 d.) a projekt jelenértéke 0 Megoldás: c.) 6. Határozza meg egy öt éven keresztül évi 100000 Ft pozitív cash flowt biztosító, de kockázatos beruházási projekt nettó jelenértékét, ha az egyes évekre vonatkozó átváltási faktorok értéke az alábbi. A kockázatmentes kamatláb 7% 1. év 2. év 3. év 4. év 5. év 0,9 0,8 0,65 0,5 0,4 Megoldás: NPV=0,9·100.000/1,07+0,8·100000/1,072+0,65·100000/1,073+0,5·100000/1,074+ +0,4·100.000/1,075=273710,8 Ft Bővítse ismereteit az alábbi cikk elolvasásával! Egy kockázatos projekt: a Wizz Air

story 105 GYAKORLÓ FELADATOK II. modul A pénz időértéke 1. Mennyi a 9 év múlva esedékes 374 Ft jelenértéke, ha a tőkeköltség 9%? 2. 232 Ft befektetés 312,18 Ft-ot eredményez 2 év múlva Mekkora az éves kamatláb? 3. Melyik betételhelyezés a legkedvezőbb egy éves futamidő esetén? a.) 100 Ft elhelyezése 12%-os kamatláb, évi egyszeri kamatfizetés mellett b.) 100 Ft elhelyezése 11,5%-os kamatláb, féléves kamatos kamatszámítás mellett c.) 100 Ft elhelyezése 11%-os kamatláb, havi kamatos kamatszámítás mellett 4. Határozza meg az egy év alatt esedékes 360 000 Ft jelenértékét 12%-os diszkontrátát feltételezve, ha a.) a teljes összeg az év első napján esedékes, b.) a teljes összeg az év utolsó napján esedékes, c.) az összeg havonta – minden hó utolsó napján – egyenlő részletekben esedékes, d.) az összeg havonta – minden hó első napján – egyenlő részletekben esedékes, e.) az összeg havonta – minden hó 15

napján – egyenlő részletekben esedékes! 5. Egy vállalat vezetősége az osztalékfizetéssel egyidőben bejelenti, hogy a korábban szokásos 100 Ft-tal szemben a következő évben kivételesen mindössze 50 Ft osztalékot fizet részvényenként. Határozza meg a részvény osztalékfizetés utáni árfolyamát 10%-os diszkontráta mellett, ha a.) a befektetők hisznek a csökkenés egyetlen évre szóló kivételes voltában, b.) a befektetők tartósnak feltételezik az 50%-os osztalékcsökkentést! 6. Mennyit ér az a n év lejáratú kötvény, amelynek névértéke C, éves kamatrátája k és a tőkét az utolsó év végén egy összegben fizetik vissza? A diszkontráta r. 7. Mekkora lesz tőkénk értéke az időszak végén, ha az elkövetkező 9 évben minden év végén 519 dollárt fektetünk be 13%-os kamatláb mellett? 8. Egy konstans, évi 519 dolláros járadék kilenc éven át – először 6 év múlva – évente esedékes. Határozza meg jelenértékét

13 %-os diszkontráta mellett! 9. Mekkora a törlesztő részlete annak a 2 év futamidejű, 1 millió Ft-os kölcsönnek, amit havonta, azonos nagyságú összeggel kell törleszteni? Az első részlet egy hónap múlva esedékes. Az éves kamatláb 24% A havi kamatlábat egyszerű arányosítással határozza meg! 10. Mekkora a törlesztő részlete annak a 3 év futamidejű, 1 millió Ft-os kölcsönnek, amit havonta, azonos nagyságú összeggel kell törleszteni? A törlesztés egy év türelmi idővel teljesítendő. A fizetések a hónap végén esedékesek Az éves kamatláb 24% a.) a kamatokat a türelmi idő alatt minden hónap végén fizetni kell, b.) a kamatokat a türelmi idő alatt nem kell fizetni 11. Egy alkalmazott 35 éves munkaviszony után nyugdíjba vonul Nyugdíjalapja 1,2 millió Ft Milyen összegű évi járadékra számíthat 15 éven keresztül, ha a kamatláb 12%. 106 12. Egy lakástulajdonos eddig havi 20 EFt-ért adta bérbe lakását, a bérleti

díjat hónap végén kellett fizetni. A tulajdonos úgy döntött, hogy ezt követően negyedévente előre kéri a három havi bérleti díjat. 24%-os évi kamatláb mellett mekkora az éves bérleti díj tőkeértéke a két esetben? 13. 5 év múlva 2,5 millió Ft-ra van szüksége Mekkora összeget kell elhelyeznie a bankban, ha évi 20%-os betéti kamatra számíthat? Mekkora összeget kellene minden év elején elhelyeznie, hogy ugyanezen célt elérje? 14. Egy család gyermekét 5 év múlva külföldi egyetemen szeretné taníttatni, amihez kb évi 8000 font szükséges. A család devizaszámláján jelenleg 10000 font van, amely után a bank évi 4 % kamatot fizet. A következő 5 évben évente hány fontot kell még elhelyezni a bankban, hogy a tanulmányokhoz szükséges anyagi fedezetet a család biztosítsa? A pénzáramok év végén esedékesek, a tanulmányi idő 4 év. 15. Egy befektetési társaság 20 éves lejáratú befektetési lehetőséget kínál Önnek, mely

szerint az első 5 évben 60 EFt-ot, a második 5 évben 30 EFt-ot, az utolsó 10 évben 20 EFt-ot fizetne a társaság évente. A kifizetések év végén esedékesek Mennyit hajlandó fizetni ezen befektetésért, ha az ön által megkövetelt hozam 12%. 16. Egy 3 éves élettartamú befektetés pénzáramai: 1 év végén 200EFt, 2 év végén 300EFt, 3 év végén 150 EFt. 15%-os kamatlábat feltételezve, milyen évi azonos összegű pénzáramlásokkal lenne egyenértékű a fenti szabálytalan pénzáram-sorozat? 107 III. modul A pénzáramok kockázata. 1. Egy három részvényből álló portfólió szórásnégyzetének kiszámításához töltse ki az alábbi rovatokat a szokásos jelölések alkalmazásával! 2. A és B értékpapírok hozamai közötti korreláció 0,2 A értékpapír hozamának szórása 12%, B értékpapír hozamának szórása 10%. Mennyi a szórása annak a portfóliónak, amely 30%ban A és 70%-ban B értékpapírból áll? 3. Az alábbi négy

portfólió közül mely esetben lesz a portfólió szórása a két értékpapír szórásának számtani átlaga? a.) 50% kincstárjegy, 50% A részvény, b.) 50% A részvény, 50% B részvény, A és B hozamai tökéletes pozitív korrelációban vannak, c.) 50% A részvény, 50% C részvény, a hozamok korrelálatlanok, d.) 50% A részvény, 50% D részvény, a hozamok tökéletes negatív korrelációban vannak 4. A és B részvény lehetséges hozamai az alábbiak: A gazdaság állapota Valószínűség Hozam A % Hozam B % Fellendülés 0.15 12 8 Normális 0.60 10 12 Recesszió 0.25 7 15 Határozza meg: a.) az A illetve B részvény várható hozamát és ennek szórását, b.) a 40%-ban A és 60%-ban B részvényből álló portfólió várható hozamát, a kovariancia, a korrelációs együttható és a szórás értékét, c.) az A és B részvény azon kombinációját, amely mellett a kockázat minimális, s a szórás értékét! 5. Az A, B és C értékpapírokra

vonatkozó információk az alábbiak: Értékpapír Szórás Korreláció % A B C A 12 1,00 -1,00 0,20 B 15 -1,00 1,00 0,60 C 10 0,20 0,60 1,00 a.) Mekkora a 30%-ban A és 70%-ban C részvényből álló portfólió szórása? b.) Mekkora a 30%-ban A, 30%-ban B és 40%-ban C részvényt tartalmazó portfólió szórása? c.) Milyen arányokban kellene A és B részvényekbe fektetni, hogy a portfólió szórása 0 legyen? 108 6. 30%-ban A, 50%-ban B és 20%-ban C értékpapírból összeállított portfólió kovarianciavariancia mátrixa az alábbi: Értékpapír Értékpapír A B C A 459 -211 112 B -211 312 215 C 112 215 179 a.) Mekkora a portfólió szórása? b.) Mekkora az egyes értékpapírok hozzájárulása a portfólió szórásához? c.) Mekkora A értékpapír szórása? 7. A és B részvény lehetséges hozamai a gazdaság állapotának függvényében: Gazdaság állapota Állapot Hozam (%) valószínűsége A B Recesszió 0,3 -10 10 Normál 0,4 20 10 Fellendülés

0,3 50 10 a.) Mekkora az egyes részvények várható hozama és a hozamok szórása? b.) Mekkora a két részvény közötti korreláció és kovariancia? c.) Mekkora a két részvényből egyenlő arányban összeállított portfólió várható hozama és a hozam szórása? 8. Y és Z részvényekre vonatkozó információk: Várható hozam: Y: 5%, Z: 10% Szórás: Y: 10%, Z: 20% Kovariancia: 10% a.) Ha az Y és Z részvényekből képzett portfólió varianciája minimális, mekkora a portfólió várható hozama? b.) Ha a két részvény közötti kovariancia -200%2, milyen súlyarányok esetén lenne a portfólió szórása minimális, és mekkora lenne? 9. Két részvény várható hozama és a hozamok varianciája: Várható hozam: A: 20%, B: 30%. Variancia: A: 1000%2, B: 2000%2. a.) Számítsa ki a 60%-ban A és 40%-ban B részvényből álló portfólió várható hozamát és a hozamok szórását, ha a részvények hozamai közötti korrelációs együttható -0,5! b.)

Hogyan alakul a portfólió hozama és kockázata, ha a korrelációs együtható értéke -0,6? 10. Két részvény lehetséges hozamainak és a hozamok valószínűségének adatai az alábbiak: Valószínűség X várható hozam(%) Y várható hozam(%) 0,1 -10 2 0,2 10 7 0,4 15 12 0,2 20 15 0,1 40 16 a.) Mekkora a két részvény várható hozama? b.) Mekkora a részvények hozamainak szórása? c.) Melyik részvény a kockázatosabb? 109 d.) Mekkora egy 40%-ban X és 60%-ban Y részvényt tartalmazó portfólió várható hozama és a hozamok szórása? 11. Tekintsük az alábbi portfóliókat! Portfólió Várható hozam (%) Szórás (%) A 10 23 B 12,5 21 C 15 25 D 16 29 E 17 29 F 18 32 G 18 35 H 20 45 a.) Ábrázolja az egyes portfóliókat a szórás-hozam koordinátarendszerben! b.) Melyek a nem hatékony portfóliók? c.) Ha kölcsönnyújtás illetve hitelfelvétel nem lehetséges és legfeljebb 25%, illetve 45% szórást vagyunk hajlandók vállalni, mekkora az

elérhető legnagyobb hozam? d.) Ha kölcsönt nyújthatunk, illetve hitelt vehetünk fel 12% kockázatmentes kamatláb mellett, melyik a legjobb portfólió? e.) A fenti feltétel és 25% illetve 45% szórás vállalása esetén mi az optimális stratégia, illetve mekkora a maximálisan elérhető hozam? f.) A legjobb portfóliót piaci portfólióként értelmezve írja fel a tőkepiaci egyenes egyenletét! 12. Néhány befektetési lehetőségről és a piaci portfólióról az alábbi információk állnak rendelkezésre! Várható hozam(%) Korreláció a piaci Szórás(%) portfólióval „A” részvény 0,723 20 „B” részvény 0,346 25 Kockázatmentes 7 befektetés Piaci portfólió 15 12 a.) Számítsa ki az „A” és „B” részvény bétáját! b.) Feltételezve, hogy a CAPM érvényes, mekkora hozam várható el „A” és „B” részvénytől? c.) Mekkora „A” illetve „B” részvény egyedi kockázata? Az „A” illetve „B” részvény varianciájának

mekkora hányada magyarázható a piaci mozgásokkal? 13. Mekkora az alábbi táblázatban szereplő részvények bétája? Részvény Várható részvényhozam, ha a Várható részvényhozam, ha a piaci hozam -10% piaci hozam +10% A 0 +20 B -20 +20 C -30 0 D +15 +15 E +10 -10 110 14. Egy portfólió 10 részvényből áll, amelyek mindegyikének egyforma a súlya a portfólióban. Ötnek a bétája 1,2, ötnek pedig 1,4 Mekkora a portfólió bétája? a.) 1,3 b.) Nagyobb, mint 1,3, mert a portfólió nem tökéletesen diverzifikált c.) Kisebb, mint 1,3, mert a diverzifikáció csökkenti a bétát 15. A piaci hozam szórása 20% a.) Mekkora egy jól diverzifikált portfólió hozamának szórása, ha bétája 1,3? b.) Mekkora egy jól diverzifikált portfólió hozamának szórása, ha bétája nulla? c.) Mekkora egy jól diverzifikált portfólió bétája, ha hozamának szórása 15%? d.) Mekkora egy gyengén diverzifikált portfólió bétája, ha hozamának szórása 20%?

16. A CAPM szerint egy 1,5 bétájú kockázatos befektetés egyensúlyi hozama: a.) a kockázatos befektetés hozamának 1,5-szerese b.) a piaci hozam 1,5-szerese c.) megegyezik a kockázatmentes hozam, valamint a piaci és a kockázatmentes hozam különbsége 1,5-szeresének összegével d.) meghatározásához ismernünk kell a befektetés varianciáját vagy szórását is 17. Ha a piaci portfólió hozamingadozása (szórása) 2-szerese a P portfólió hozamingadozásának, akkor a P portfólió bétája: a.) = 2 b.) = 0,5 c.) 1 d.) semmit sem mondhatunk a bétáról 18. Különböző befektetésekkel kapcsolatos információk: Piaci kockázat Befektetés Várható hozam Hozamok Korrelációs (béta) % szórása % együttható a piaci portfólióval A részvény 15 1,0 1,5 B részvény 15 8 0,5 C részvény 10 2 0,5 Piaci portfólió 10 4 Kockázatmentes 5 0 a.) Feltételezve az értékpapír-piaci egyenesben foglalt összefüggések érvényességét, töltse ki a táblázat

hiányzó adatait! b.) Értékelje a 3 részvény teljesítményét! 19. H és G részvényre vonatkozó információk: Várható hozam: H: 14,9%, G: 12,8% Béta-koefficiens: H: 1,05, G: 0,95 A kockázatmentes kamatláb 10%, a piaci portfólió várható hozama 15%. a.) A befektetők milyen hozamot követelhetnek meg H, illetve G részvénytől? b.) Rajzolja fel az értékpapír-piaci egyenest, és helyezze el a koordináta-rendszerben a H és G részvényt! 111 20. Három részvényre vonatkozó információ: Részvény Béta Egyedi kockázat % Portfólión belüli súly % A 1,1 7,0 20 B 0,8 2,3 50 C 1,0 10,0 30 A piaci portfólió várható hozama 13%, szórása 18%, a kockázatmentes kamatláb 5%. a.) Mekkora a portfólió egyensúlyi várható hozama? b.) Mekkora a portfólió szórása? 21. A részvény bétája 0,8, várható hozama 16%, B részvény bétája 1,5, várható hozama 23% Mekkorának kell lennie a piaci portfólió és a kockázatmentes befektetés hozamának,

ha a CAPM feltételezései érvényesek? 22. Egy portfóliót alkotó 5 részvényre vonatkozó információk: Részvény Részesedés a Szórás % Béta portfólióból A 0,10 22 0,9 B 0,30 30 1,3 C 0,25 24 0,7 D 0,20 20 0,8 E 0,15 25 1,2 A kockázatmentes kamatláb 8%, a piaci portfólió várható hozama 14%, a hozam szórása 20%. a.) Mekkora a portfólió várható hozama és bétája, feltételezve a CAPM feltételeinek érvényesülését? b.) Számítsa ki a portfólió piaci és egyedi kockázatát! c.) Határozza meg, hogy B és C értékpapírok hozamának szórásaiból mekkora hányad tulajdonítható a piaci mozgásoknak! 23. X részvény lehetséges hozamaira vonatkozó információk: Gazdaság állapota Hozamok Piaci portfólió valószínűsége hozama % Visszaesés 0,1 -20 Stagnálás 0,4 5 Normál 0,4 20 Fellendülés 0,1 30 A kockázatmentes kamatláb 7%. Határozza meg: a.) a piaci portfólió várható hozamát, b.) piaci portfólió hozamának szórását, c.) X

részvény várható hozamát és ennek szórását, d.) az X részvény és a piaci portfólió közötti kovarianciát! e.) Írja fel az értékpapír-piaci egyenes képletét! f.) Mekkora X részvénynek a CAPM szerinti elvárt hozama? X részvény hozama % -30 0 40 40 112 24. C és D részvényre vonatkozó információk: Befektetés Szórás % Korrelációs együttható a piaci portfólióval 0,9 0,4 C részvény 15 D részvény 24 Piaci portfólió 9 a.) Mekkora C és D részvény bétája? b.) Melyik részvény kockázata nagyobb egy diverzifikált portfólióban, illetve egy nem diverzifikált portfólióban? 113 IV. modul A beruházási döntések 1. Tekintsük az alábbi projekteket! Projekt Pénzáramlás 0. év 1. év 2. év 3. év 4. év A -5000 +1000 +1000 +3000 0 B -1000 0 +1000 +2000 +3000 C -5000 +1000 +1000 +4000 +6000 a.) Mekkora az egyes projektek megtérülési ideje? b.) Ha az elfogadható maximális megtérülési idő 2 illetve 3 év, akkor melyik

projekt fogadható el? c.) Mekkora az egyes projektek esetében a NPV, ha a tőke haszonáldozat-költsége 10%? d.) Ha a tőkeköltség 10%, mekkora a diszkontált megtérülési idő az egyes projektek vonatkozásában, s melyik projekt fogadható el 2 illetve 3 év maximális megtérülési idő mellett? 2. Egy gépberuházás megvalósítása 5 millió Ft-ot igényel A gép várható élettartama 5 év, értékcsökkenését lineáris módszerrel számolják el. A beruházás következtében képződő pénzügyileg realizált adózás előtti eredmény az elkövetkező 5 évben az alábbi: 2.5, 3, 32, 35 és 3 millió Ft. Mekkora a beruházás könyv szerinti átlagos hozama? Igazak-e az alábbi állítások? a.) Az átlagos jövedelmezőség számítása során a később esedékes bevételek túl nagy súllyal kerülnek figyelembevételre. b.) Ha a vállalatok beruházási döntéseiknél a könyv szerinti átlagos jövedelmezőséget használják fel, akkor a sikeres

vállalatok hajlamosak lesznek túl sok beruházási javaslatot elfogadni. 3. Határozza meg a belső megtérülési rátáját annak a beruházásnak, amely a következő pénzáramlással jellemezhető! 0. év 1. év 2. év -6750 4500 18000 4. Határozza meg a belső megtérülési rátáját annak a beruházásnak, mely 15 millió Ft befektetést igényel, és az elkövetkező 5 évben 5 millió Ft-os pénzáramlást eredményez! 5. Egy projekt a következő pénzáramlással jellemezhető: 0. év 1. év +5000 +4000 a.) Határozza meg a belső megtérülési rátát! b.) A tőke haszonáldozat-költsége 10% Megvalósítja-e a projektet? 2. év -11000 6. Projekt Pénzáramlás 0. év 1. év 2. év A -4000 +2420 +2928,2 B -2000 +1310 +1716,1 a.) Ha a tőkeköltség 8%, mekkora a NPV az egyes projektek vonatkozásában? b.) Az IRR-szabály alkalmazása esetén melyik projekt kerülne megvalósításra, ha: 1.) egyszerre mindkettő megvalósítható, 2.) csak az egyik valósítható

meg? IRR % 21 31 114 c.) Mekkora az „A” befektetés megvalósítása esetén szükséges 2000 Ft pótlólagos befektetés nettó jelenértéke? 7. Mely befektetési lehetőségeket választaná, ha 100 EFt állna rendelkezésére? Projekt Beruházási költség NPV A 10000 5000 B 5000 5000 C 90000 10000 D 60000 15000 E 75000 15000 F 15000 3000 8. Egy projekt megvalósítása 100 millió Ft beruházást igényel A beruházás 10 éven át 30 millió Ft adózás utáni pénzáramlást eredményez, ezután 1 Ft eszmei értéken lehet eladni. A projekt nettó jelenértéke 26 millió Ft. Határozza meg: a.) a jövedelmezőségi indexet és a projekttől elvárt hozam értékét, b.) a projekt belső megtérülési rátáját, c.) a projekt diszkontált megtérülési idejét! 9. A beruházásértékelés során a jövedelmezőségi index: a.) mindig ugyanazt a sorrendet adja, mint a nettó jelenérték mutatója, b.) a projektek elfogadásának vagy elvetésének tekintetében

ugyanazt az eredményt adja, mint a nettó jelenérték mutató, c.) nem veszi figyelembe a projektek pénzáramlásának időértékét, d.) több értéket is felvehet, ha a projekt pénzáramlásában többszöri előjelváltás van 10. Válassza ki a hamis választ! Ha a jövedelmezőségi index nagyobb 1-nél, akkor: a.) a nettó jelenérték nagyobb, mint nulla, b.) az értékelésnél használt elvárt hozam megegyezik a belső megtérülési rátával, c.) a projekt pénzáramlásainak jelenértéke nagyobb, mint a szükséges beruházás értéke, d.) a beruházás mind nominál, mind diszkontált értéken biztos, hogy megtérül 11. Egymást kölcsönösen kizáró projektek pénzáramlásai az alábbiak: Projekt 0. év 1. év 2. év 3. év A -100 +110 +121 B -160 +110 +121 +133 A tőkeköltség 10% a.) Határozza meg a projektekre vonatkozóan a NPV-t! b.) Számítsa ki mindkét projektre az egyenértékes évi állandó pénzáramlás értékét! 12. A vállalat egyik

berendezésének kicserélését vizsgálja Mind a régi, mind az új gép ugyanazt a feladatot képes ellátni. A régi gép üzemeltetési költsége évi 400EFt, az új gépé 200EFt Az új gép beszerzési költsége 1 millió Ft. Az új gépet 5 évig tudjuk használni, ennyi idő alatt gyorsított amortizáció mellett írjuk le a következő kulcsok szerint: 25, 25, 25, 15, 10%. A régi gép könyv szerinti értéke 375EFt, amit 3 év alatt lineárisan amortizálunk, de a gép összesen 4 évig képes működni. A vállalati adókulcs 20% A tőke alternatívaköltsége 10%. Kicseréljük-e a gépet? 115 A GYAKORLÓ FELADATOK MEGOLDÁSAI II. modul A pénz időértéke Jelölések: PVIFAr,n=annuitástényezőr,n FVIFAr,n=az annuitástényező jövőértéke=annuitástényezőr,n/diszkonttényezőr,n 1. PV=172 2. r=16% 3. a: 100x1,12=112Ft (legkedvezőbb), b: 100x(1+0,115/2)2=111,8Ft, c: 100x(1+0,11/12)12=111,6Ft 4. a: 360000Ft, b: 360000/1,12=321429Ft, c:

30000x(PVIFA1,12=11,255)=337650Ft, d: 30000x(PVIFA1,12=10,368+1)=341040Ft, e: 341040/1,005=339343Ft 5. a: (100/0,1+50)/1,1=954,55Ft b: 50/0,1=500Ft 6. PV=C/(1+r)n+k·C·((1/r)-(1/r·(1+r)n)) 7. FV=519·(FVIFA13,9=15,416)=8000Ft 8. PV=8000/1,1314=1446Ft 9. 1000000=Törlesztés·(PVIFA2,24=18,914) Törlesztés=52871Ft 10. a: 1000000=Törlesztés·(PVIFA2,24=18,914) Törlesztés=52817Ft b: 1000000·1,24=Törlesztés·(PVIFA2,24=18,914) Törlesztés=65560Ft 11. 1,2millió=C·(PVIFA12,15=6,811) C(Évi járadék)=176186Ft 12. Havi utólagos fizetés: PV=20000·(PVIFA2,12=10,575)=211500 Negyedéves előre fizetés: PV=60000·(PVIFA6,4=2,673+1)=220380 13. PV=2,5mill/1,25=1004823 2,5mill.=C·(FVIFA20,5=9,93-1) C=279955 14. PV(5 év végén)=8000·(PVIFA4,4=3,63)=29040 10000·1,045=12170 29040-12170=16870=C·(FVIFA4,5=5,416) C=3115 15. PV(1-5 év)=60·(PVIFA12,5=3,605)=216,3 PV(6-10. év)=(30·3,605)/1,125=61,367 PV(11-20. év)=(20·(PVIFA12,10=5,65))1,1210=36,383 PV=314,05 16.

PV=200/1,15+300/1,152+150/1,153=499,5 499,5=C·(PVIFA15,3=2,283) C=218,791 116 III. modul A pénzáramok kockázata. 1. A variancia-kovariancia mátrix 3 részvény esetén: x12σ12 x1x2σ12 x2x1σ21 x22σ22 x3x1σ31 x3x2σ32 x1x3σ13 x2x3σ23 x32σ32 2. σp2=72,04%2, σp=8,49% 3. a, b 4. a) A részvény: várható hozam 9,55%, szórás 1,627% B részvény: várható hozam 12,15%, szórás 2,151% b) portfólió várható hozam 11,11%, kovariancia -3,3825%2, szórás 0,683%, korrelációs együttható -0,9665 c.) xA=(σB2-σAB)/(σA2+σB2-2σAB)=57,05% xB=42,95% 5. a) σp =8,49% b) σp =6,65% c) xA=55,6%, xB=44,4% 6. a) σp =10,94% b.) A: 0,3·(0,3·459+0,5·(-211)+0,2·112)=16,38 B: 0,5·(0,3·(-211)+0,5·312+0,2·215)=67,85 C: 0,2·(0,3·112+0,5·215+0,2·179)=35,38 c.) 21,42% 7. a) Hozam: A:20%, B:10%, Szórás: A:23,24%, B:0% b.) 0% c.) Hozam: 15%, Szórás: 11,62% 8. a) xy=(202-10)/(102+202-2·10)=81,25% xz=18,75% Portfólió hozama: 5,9375% b.)

xy=(202-(-200))/(102+202-2·(-200))=66,67% xz=33,33% Portfólió szórása: 0%, tökéletesen negatív korreláció 9. a) Portfólió hozama: 24%, szórása: 18,55% b.) Portfólió hozama: 24%, szórása: 16,51% 10. a) Hozam: X: 15%, Y: 11% b.) Szórás: X: 11,62%, Y: 4,17% c.) Relatív szórás: X: 0,775, Y: 0,379 d.) Hozam: 12,6%, Szórás: 6,96% 117 11. b) A, D, G portfólió c) ha σmax=25%, max. hozam: 15% (C portfólió) ha σmax=45%, max. hozam: 20% (H portfólió) d) F portfólió, tőkeallokációs egyenes meredeksége maximális, meredekség: m=(18-12)/32=0,1875 e) ha σmax=25%, 7/32 hitelnyújtás, 25/32 F portfólió, hozam: 16,6875% ha σmax=45%, 13/32 hitelfelvétel, 45/32 F portfólió, hozam: 20,4375% f) rp= 12+0,1875σp 12. a) A: σAM=0,723·20·12=173,52 βA=173,52/122=1,205 B: σBM=0,346·25·12=103,8 βB=103,8/122=0,721 b) A: 7+(15-7) 1,205=16,64% B: 7+(15-7) 0,721=12,768% c) A: σEA2=202-1,2052·122=190,91 σEA=13,82% R2=(1,2052·122)/202=52,27% B:

σEB2=252-0,7212·122=550,14 σEB=23,46% R2=(0,7212·122)/252=11,98% 13. A: +20-0/+10-(-10)=1 B: +20-(-20)0/+10-(-10)=2 C: 0-(-30)/+10-(-10)=1,5 D: +15-(+15)/+10-(-10)=0 E: -10-(+10)/+10-(-10)=-1 14. a) 15. a) 26% b) 0% c) 0,75 d) <1 (A gyengén diverzifikált protfólióban a piaci kockázat mellett egyedi kockázat is van. A szórás a teljes kockázatot méri: ez a feladatban megadott gyengén diverzifikált portfóliónál megegyezik a piac kockázatával. Ez csak úgy lehetséges, ha a gyengén diverzifikált portfólió kockázatának piaci része kisebb, mint a piac egészének kockázata. Ebből viszont következik, hogy a gyengén diverzifikált portfólió bétája kisebb, mint 1 - ugyanis a portfólió kockázatának piaci része a bétával arányos.) 16. c) 17. d) 18. a) A részvény: szórás 6%, B részvény: béta 1, C részvény: korrelációs együttható 1 b.) CAPM szerint egyensúlyi hozam: A 12,5%, B 10%, C 7,5%, mindhárom részvény alulértékelt 19. a) CAPM

szerint egyensúlyi hozam: H 15,25%, G 14,75% b.) mindkét részvény túlértékelt 20. a) Portfólió bétája: 0,92, egyensúlyi hozam: 12,36% b.) Szórás 16,93% 21. Piaci portfólió hozama: 18%, kockázatmentes befektetés hozama: 8% 118 22. a) Portfólió bétája: 0,995, hozama: 13,97% b.) Piaci kockázat: 396,01 Egyedi kockázat: 52,3725 c.) B: 75,1%, C: 34% 23. a) 11% b.) 13,38% c.) 17%, szórás: 24,52% d.) 17,69%2 e.) ri=7+4·βi f.) 14% 24. a) C: 1,5 D: 1,067 b.) C részvény diverzifikált portfolióban kockázatosabb, D részvény nem diverzifikált portfolióban kockázatosabb (Nem diverzifikált portfólióban a részvény kockázatosságát a teljes kockázat = szórás méri: ez a D részvénynél nagyobb. Diverzifikált portfólió esetén a piaci portfólióval számított kovariancia a meghatározó. A kovariancia a béta és a piaci portfólió varianciájának szorzata, ez a szorzat a nagyobb bétájú részvénynél nagyobb, ez pedig a C részvény.) 119

IV. modul A beruházási döntések 1. a) A: 3 év, B: 2 év, C: 2+((5-2)/(6-2))=2,75 év b) max. 2 év: B, max 3 év: A, B, C c) A: NPV=-5000+100/1,1+1000/1,12+3000/1,13=-1011 B: NPV=+3378 C: NPV=+3839 d.) A: sosem térül meg B: PV1.év=0, PV1-2év=0+1000/1,12=826, PV1-3év=0+826+2000/1,13=2329, Diszkontált megtérülési idő=2+((1000-826)/(2329-826))=2,12 év C: 3,06 év max. 2 év: egyik sem, max 3 év: B 2. Könyv szerinti átlagos jövedelmezőség=((1,5+2+2,2+2,5+2)/5)/(((5/2)+4+3+2+1+(0/2))/5)=81,6% a) igaz, b) hamis 3. 0= -6750+(4500/IRR)+(18000/(1+IRR)2) IRR=100% 4. 0= -15000+5000·AnnuitástényezőIRR,5 AnnuitástényezőIRR,5=3 ha IRR=19%: NPV=+290, ha IRR=20%: NPV= -45 IRR=19+290/(290+45)=19,87% 5. a) 0=+5000+(4000/(1+IRR))+(-11000/(1+IRR)2) IRR=13,6% b) Bár IRR>r, NPV= -454,5. Nem konvencionális pénzáramlás! 6. a) A: NPV=751,2 B: NPV=684,2 b) (1) A: IRR=21%>r=8% B: IRR=31%>r=8%, mindkettő megvalósítandó (2) Pótlólagos befektetés(A-B): -2000,

+1110, +1212,1 IRR=10,4%>r=8%, tehát a nagyobb (A) beruházás valósítandó meg c) NPVA-B=751,2-684,2=67 7. PIA=1,5 PIB=2 PiC=1,11 PID=1,25 PIE=1,2 PIF=1,2 Megvalósítandó: B, A, D, F 8. a) PI=1,26 PV=126=30 Annuitástényezőr,10 Annuitástényezőr,10=4,2 r=19,97% b) NPV=0= -100+30·AnnuitástényezőIRR,10 AnnuitástényezőIRR,10=3,33 IRR=27,32% c) 6,03 év 9. b) 10. b) 11. a) A: NPV=+100 B: NPV=+140 b) A: 100/(Annuitástényező10,2=1,736)=57,6 B: 140/(Annuitástényező10,3=2,487)=56,29 A a megvalósítandó 120 12. Új gép: Beruházási kiadás PV= 1000 Működtetési ktg. PV=200·(1-0,2)·( Annuitástényező10,5=3,791)=606,56 Amortizáció adómegtakarítás PV=250·0,2·(Annuitástényező10,3=2,487)+150·0,2/1,14+100·0,2/1,15=157,26 PV=1000+606,56-157,26=1449,3 Régi gép: Beruházási kiadás PV=0 Működtetési ktg. PV=400·(1-0,2)·(Annuitástényező10,4=3,17)=1014,4 Amortizáció adómegtakarítás PV=125·0,2·( Annuitástényező 10,3=2,487)=62,175

PV=1014,4-62,175=952,225 Éves költség-egyenértékes: Új: 1449,3/( Annuitástényező 10,5=3,791)=382,3 > Régi: 952,225/(Annuitástényező 10,4=3,17)=300,4 Nem érdemes a cserét végrehajtani! 121 1. melléklet A kamattényezők táblázata Kamattényező-táblázat: 1 Ft jövőértéke különböző kamatlábak (oszlopok) és különböző periódusszám (sorok) mellett r/n 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10% 11% 12% 13% 14% 15% 16% 17% 18% 19% 20% 1 1,0100 1,0200 1,0300 1,0400 1% 2% 3% 1,0500 1,0600 1,0700 1,0800 1,0900 1,1000 1,1100 1,1200 1,1300 1,1400 1,1500 1,1600 1,1700 1,1800 1,1900 1,2000 2 1,0201 1,0404 1,0609 1,0816 1,1025 1,1236 1,1449 1,1664 1,1881 1,2100 1,2321 1,2544 1,2769 1,2996 1,3225 1,3456 1,3689 1,3924 1,4161 1,4400 3 1,0303 1,0612 1,0927 1,1249 1,1576 1,1910 1,2250 1,2597 1,2950 1,3310 1,3676 1,4049 1,4429 1,4815 1,5209 1,5609 1,6016 1,6430 1,6852 1,7280 4 1,0406 1,0824 1,1255 1,1699

1,2155 1,2625 1,3108 1,3605 1,4116 1,4641 1,5181 1,5735 1,6305 1,6890 1,7490 1,8106 1,8739 1,9388 2,0053 2,0736 5 1,0510 1,1041 1,1593 1,2167 1,2763 1,3382 1,4026 1,4693 1,5386 1,6105 1,6851 1,7623 1,8424 1,9254 2,0114 2,1003 2,1924 2,2878 2,3864 2,4883 6 1,0615 1,1262 1,1941 1,2653 1,3401 1,4185 1,5007 1,5869 1,6771 1,7716 1,8704 1,9738 2,0820 2,1950 2,3131 2,4364 2,5652 2,6996 2,8398 2,9860 7 1,0721 1,1487 1,2299 1,3159 1,4071 1,5036 1,6058 1,7138 1,8280 1,9487 2,0762 2,2107 2,3526 2,5023 2,6600 2,8262 3,0012 3,1855 3,3793 3,5832 8 1,0829 1,1717 1,2668 1,3686 1,4775 1,5938 1,7182 1,8509 1,9926 2,1436 2,3045 2,4760 2,6584 2,8526 3,0590 3,2784 3,5115 3,7589 4,0214 4,2998 9 1,0937 1,1951 1,3048 1,4233 1,5513 1,6895 1,8385 1,9990 2,1719 2,3579 2,5580 2,7731 3,0040 3,2519 3,5179 3,8030 4,1084 4,4355 4,7854 5,1598 10 1,1046 1,2190 1,3439 1,4802 1,6289 1,7908 1,9672 2,1589 2,3674

2,5937 2,8394 3,1058 3,3946 3,7072 4,0456 4,4114 4,8068 5,2338 5,6947 6,1917 11 1,1157 1,2434 1,3842 1,5395 1,7103 1,8983 2,1049 2,3316 2,5804 2,8531 3,1518 3,4785 3,8359 4,2262 4,6524 5,1173 5,6240 6,1759 6,7767 7,4301 12 1,1268 1,2682 1,4258 1,6010 1,7959 2,0122 2,2522 2,5182 2,8127 3,1384 3,4985 3,8960 4,3345 4,8179 5,3503 5,9360 6,5801 7,2876 8,0642 8,9161 13 1,1381 1,2936 1,4685 1,6651 1,8856 2,1329 2,4098 2,7196 3,0658 3,4523 3,8833 4,3635 4,8980 5,4924 6,1528 6,8858 7,6987 8,5994 9,5964 10,6993 14 1,1495 1,3195 1,5126 1,7317 1,9799 2,2609 2,5785 2,9372 3,3417 3,7975 4,3104 4,8871 5,5348 6,2613 7,0757 7,9875 9,0075 10,1472 11,4198 12,8392 15 1,1610 1,3459 1,5580 1,8009 2,0789 2,3966 2,7590 3,1722 3,6425 4,1772 4,7846 5,4736 6,2543 7,1379 8,1371 9,2655 10,5387 11,9737 13,5895 15,4070 16 1,1726 1,3728 1,6047 1,8730 2,1829 2,5404 2,9522 3,4259 3,9703 4,5950 5,3109 6,1304 7,0673

8,1372 9,3576 10,7480 12,3303 14,1290 16,1715 18,4884 17 1,1843 1,4002 1,6528 1,9479 2,2920 2,6928 3,1588 3,7000 4,3276 5,0545 5,8951 6,8660 7,9861 9,2765 10,7613 12,4677 14,4265 16,6722 19,2441 22,1861 18 1,1961 1,4282 1,7024 2,0258 2,4066 2,8543 3,3799 3,9960 4,7171 5,5599 6,5436 7,6900 9,0243 10,5752 12,3755 14,4625 16,8790 19,6733 22,9005 26,6233 19 1,2081 1,4568 1,7535 2,1068 2,5270 3,0256 3,6165 4,3157 5,1417 6,1159 7,2633 8,6128 10,1974 12,0557 14,2318 16,7765 19,7484 23,2144 27,2516 31,9480 20 1,2202 1,4859 1,8061 2,1911 2,6533 3,2071 3,8697 4,6610 5,6044 6,7275 8,0623 9,6463 11,5231 13,7435 16,3665 19,4608 23,1056 27,3930 32,4294 38,3376 21 1,2324 1,5157 1,8603 2,2788 2,7860 3,3996 4,1406 5,0338 6,1088 7,4002 8,9492 10,8038 13,0211 15,6676 18,8215 22,5745 27,0336 32,3238 38,5910 46,0051 22 1,2447 1,5460 1,9161 2,3699 2,9253 3,6035 4,4304 5,4365 6,6586 8,1403 9,9336 12,1003

14,7138 17,8610 21,6447 26,1864 31,6293 38,1421 45,9233 55,2061 23 1,2572 1,5769 1,9736 2,4647 3,0715 3,8197 4,7405 5,8715 7,2579 8,9543 11,0263 13,5523 16,6266 20,3616 24,8915 30,3762 37,0062 45,0076 54,6487 66,2474 24 1,2697 1,6084 2,0328 2,5633 3,2251 4,0489 5,0724 6,3412 7,9111 9,8497 12,2392 15,1786 18,7881 23,2122 28,6252 35,2364 43,2973 53,1090 65,0320 79,4968 25 1,2824 1,6406 2,0938 2,6658 3,3864 4,2919 5,4274 6,8485 8,6231 10,8347 13,5855 17,0001 21,2305 26,4619 32,9190 40,8742 50,6578 62,6686 77,3881 95,3962 30 1,3478 1,8114 2,4273 3,2434 4,3219 5,7435 7,6123 10,0627 13,2677 17,4494 22,8923 29,9599 39,1159 50,9502 66,2118 85,8499 111,0647 143,3706 184,6753 237,3763 40 1,4889 2,2080 3,2620 4,8010 7,0400 10,2857 14,9745 21,7245 31,4094 45,2593 65,0009 93,0510 132,7816 188,8835 267,8635 378,7212 533,8687 750,3783 1051,67 1469,77 50 1,6446 2,6916 4,3839 7,1067 11,4674 18,4202 29,4570

46,9016 74,3575 117,3909 184,5648 289,0022 450,7359 700,2330 1083,66 1670,70 2566,22 3927,36 5988,91 9100,44 122 2. melléklet A diszkonttényezők táblázata Diszkonttényező-táblázat: 1 Ft jelenértéke különböző kamatlábak (oszlopok) és különböző periódusszám (sorok) mellett r/n 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10% 11% 12% 13% 14% 15% 16% 17% 18% 19% 20% 1 0,9901 0,9804 0,9709 0,9615 1% 2% 3% 0,9524 0,9434 0,9346 0,9259 0,9174 0,9091 0,9009 0,8929 0,8850 0,8772 0,8696 0,8621 0,8547 0,8475 0,8403 0,8333 2 0,9803 0,9612 0,9426 0,9246 0,9070 0,8900 0,8734 0,8573 0,8417 0,8264 0,8116 0,7972 0,7831 0,7695 0,7561 0,7432 0,7305 0,7182 0,7062 0,6944 3 0,9706 0,9423 0,9151 0,8890 0,8638 0,8396 0,8163 0,7938 0,7722 0,7513 0,7312 0,7118 0,6931 0,6750 0,6575 0,6407 0,6244 0,6086 0,5934 0,5787 4 0,9610 0,9238 0,8885 0,8548 0,8227 0,7921 0,7629 0,7350 0,7084 0,6830 0,6587 0,6355 0,6133 0,5921

0,5718 0,5523 0,5337 0,5158 0,4987 0,4823 5 0,9515 0,9057 0,8626 0,8219 0,7835 0,7473 0,7130 0,6806 0,6499 0,6209 0,5935 0,5674 0,5428 0,5194 0,4972 0,4761 0,4561 0,4371 0,4190 0,4019 6 0,9420 0,8880 0,8375 0,7903 0,7462 0,7050 0,6663 0,6302 0,5963 0,5645 0,5346 0,5066 0,4803 0,4556 0,4323 0,4104 0,3898 0,3704 0,3521 0,3349 7 0,9327 0,8706 0,8131 0,7599 0,7107 0,6651 0,6227 0,5835 0,5470 0,5132 0,4817 0,4523 0,4251 0,3996 0,3759 0,3538 0,3332 0,3139 0,2959 0,2791 8 0,9235 0,8535 0,7894 0,7307 0,6768 0,6274 0,5820 0,5403 0,5019 0,4665 0,4339 0,4039 0,3762 0,3506 0,3269 0,3050 0,2848 0,2660 0,2487 0,2326 9 0,9143 0,8368 0,7664 0,7026 0,6446 0,5919 0,5439 0,5002 0,4604 0,4241 0,3909 0,3606 0,3329 0,3075 0,2843 0,2630 0,2434 0,2255 0,2090 0,1938 10 0,9053 0,8203 0,7441 0,6756 0,6139 0,5584 0,5083 0,4632 0,4224 0,3855 0,3522 0,3220 0,2946 0,2697 0,2472 0,2267 0,2080 0,1911 0,1756

0,1615 11 0,8963 0,8043 0,7224 0,6496 0,5847 0,5268 0,4751 0,4289 0,3875 0,3505 0,3173 0,2875 0,2607 0,2366 0,2149 0,1954 0,1778 0,1619 0,1476 0,1346 12 0,8874 0,7885 0,7014 0,6246 0,5568 0,4970 0,4440 0,3971 0,3555 0,3186 0,2858 0,2567 0,2307 0,2076 0,1869 0,1685 0,1520 0,1372 0,1240 0,1122 13 0,8787 0,7730 0,6810 0,6006 0,5303 0,4688 0,4150 0,3677 0,3262 0,2897 0,2575 0,2292 0,2042 0,1821 0,1625 0,1452 0,1299 0,1163 0,1042 0,0935 14 0,8700 0,7579 0,6611 0,5775 0,5051 0,4423 0,3878 0,3405 0,2992 0,2633 0,2320 0,2046 0,1807 0,1597 0,1413 0,1252 0,1110 0,0985 0,0876 0,0779 15 0,8613 0,7430 0,6419 0,5553 0,4810 0,4173 0,3624 0,3152 0,2745 0,2394 0,2090 0,1827 0,1599 0,1401 0,1229 0,1079 0,0949 0,0835 0,0736 0,0649 16 0,8528 0,7284 0,6232 0,5339 0,4581 0,3936 0,3387 0,2919 0,2519 0,2176 0,1883 0,1631 0,1415 0,1229 0,1069 0,0930 0,0811 0,0708 0,0618 0,0541 17 0,8444 0,7142 0,6050 0,5134

0,4363 0,3714 0,3166 0,2703 0,2311 0,1978 0,1696 0,1456 0,1252 0,1078 0,0929 0,0802 0,0693 0,0600 0,0520 0,0451 18 0,8360 0,7002 0,5874 0,4936 0,4155 0,3503 0,2959 0,2502 0,2120 0,1799 0,1528 0,1300 0,1108 0,0946 0,0808 0,0691 0,0592 0,0508 0,0437 0,0376 19 0,8277 0,6864 0,5703 0,4746 0,3957 0,3305 0,2765 0,2317 0,1945 0,1635 0,1377 0,1161 0,0981 0,0829 0,0703 0,0596 0,0506 0,0431 0,0367 0,0313 20 0,8195 0,6730 0,5537 0,4564 0,3769 0,3118 0,2584 0,2145 0,1784 0,1486 0,1240 0,1037 0,0868 0,0728 0,0611 0,0514 0,0433 0,0365 0,0308 0,0261 21 0,8114 0,6598 0,5375 0,4388 0,3589 0,2942 0,2415 0,1987 0,1637 0,1351 0,1117 0,0926 0,0768 0,0638 0,0531 0,0443 0,0370 0,0309 0,0259 0,0217 22 0,8034 0,6468 0,5219 0,4220 0,3418 0,2775 0,2257 0,1839 0,1502 0,1228 0,1007 0,0826 0,0680 0,0560 0,0462 0,0382 0,0316 0,0262 0,0218 0,0181 23 0,7954 0,6342 0,5067 0,4057 0,3256 0,2618 0,2109 0,1703 0,1378

0,1117 0,0907 0,0738 0,0601 0,0491 0,0402 0,0329 0,0270 0,0222 0,0183 0,0151 24 0,7876 0,6217 0,4919 0,3901 0,3101 0,2470 0,1971 0,1577 0,1264 0,1015 0,0817 0,0659 0,0532 0,0431 0,0349 0,0284 0,0231 0,0188 0,0154 0,0126 25 0,7798 0,6095 0,4776 0,3751 0,2953 0,2330 0,1842 0,1460 0,1160 0,0923 0,0736 0,0588 0,0471 0,0378 0,0304 0,0245 0,0197 0,0160 0,0129 0,0105 30 0,7419 0,5521 0,4120 0,3083 0,2314 0,1741 0,1314 0,0994 0,0754 0,0573 0,0437 0,0334 0,0256 0,0196 0,0151 0,0116 0,0090 0,0070 0,0054 0,0042 40 0,6717 0,4529 0,3066 0,2083 0,1420 0,0972 0,0668 0,0460 0,0318 0,0221 0,0154 0,0107 0,0075 0,0053 0,0037 0,0026 0,0019 0,0013 0,0010 0,0007 50 0,6080 0,3715 0,2281 0,1407 0,0872 0,0543 0,0339 0,0213 0,0134 0,0085 0,0054 0,0035 0,0022 0,0014 0,0009 0,0006 0,0004 0,0003 0,0002 0,0001 123 3. melléklet A (szokásos) annuitástényezők táblázata Szokásos annuitástényező-táblázat: 1

Ft rendszeres periódusonkénti (periódusvégi) kifizetés jelenértéke r/n 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10% 11% 12% 13% 14% 15% 16% 17% 18% 19% 20% 1 0,9901 0,9804 0,9709 0,9615 0,9524 0,9434 0,9346 0,9259 0,9174 0,9091 0,9009 0,8929 0,8850 0,8772 0,8696 0,8621 0,8547 0,8475 0,8403 0,8333 2 1,9704 1,9416 1,9135 1,8861 1,8594 1,8334 1,8080 1,7833 1,7591 1,7355 1,7125 1,6901 1,6681 1,6467 1,6257 1,6052 1,5852 1,5656 1,5465 1,5278 3 2,9410 2,8839 2,8286 2,7751 2,7232 2,6730 2,6243 2,5771 2,5313 2,4869 2,4437 2,4018 2,3612 2,3216 2,2832 2,2459 2,2096 2,1743 2,1399 2,1065 4 3,9020 3,8077 3,7171 3,6299 3,5460 3,4651 3,3872 3,3121 3,2397 3,1699 3,1024 3,0373 2,9745 2,9137 2,8550 2,7982 2,7432 2,6901 2,6386 2,5887 5 4,8534 4,7135 4,5797 4,4518 4,3295 4,2124 4,1002 3,9927 3,8897 3,7908 3,6959 3,6048 3,5172 3,4331 3,3522 3,2743 3,1993 3,1272 3,0576 2,9906 6 5,7955

5,6014 5,4172 5,2421 5,0757 4,9173 4,7665 4,6229 4,4859 4,3553 4,2305 4,1114 3,9975 3,8887 3,7845 3,6847 3,5892 3,4976 3,4098 3,3255 7 6,7282 6,4720 6,2303 6,0021 5,7864 5,5824 5,3893 5,2064 5,0330 4,8684 4,7122 4,5638 4,4226 4,2883 4,1604 4,0386 3,9224 3,8115 3,7057 3,6046 8 7,6517 7,3255 7,0197 6,7327 6,4632 6,2098 5,9713 5,7466 5,5348 5,3349 5,1461 4,9676 4,7988 4,6389 4,4873 4,3436 4,2072 4,0776 3,9544 3,8372 9 8,5660 8,1622 7,7861 7,4353 7,1078 6,8017 6,5152 6,2469 5,9952 5,7590 5,5370 5,3282 5,1317 4,9464 4,7716 4,6065 4,4506 4,3030 4,1633 4,0310 10 9,4713 8,9826 8,5302 8,1109 7,7217 7,3601 7,0236 6,7101 6,4177 6,1446 5,8892 5,6502 5,4262 5,2161 5,0188 4,8332 4,6586 4,4941 4,3389 4,1925 11 10,3676 9,7868 9,2526 8,7605 8,3064 7,8869 7,4987 7,1390 6,8052 6,4951 6,2065 5,9377 5,6869 5,4527 5,2337 5,0286 4,8364 4,6560 4,4865 4,3271 12 11,2551 10,5753 9,9540

9,3851 8,8633 8,3838 7,9427 7,5361 7,1607 6,8137 6,4924 6,1944 5,9176 5,6603 5,4206 5,1971 4,9884 4,7932 4,6105 4,4392 13 12,1337 11,3484 10,6350 9,9856 9,3936 8,8527 8,3577 7,9038 7,4869 7,1034 6,7499 6,4235 6,1218 5,8424 5,5831 5,3423 5,1183 4,9095 4,7147 4,5327 14 13,0037 12,1062 11,2961 10,5631 9,8986 9,2950 8,7455 8,2442 7,7862 7,3667 6,9819 6,6282 6,3025 6,0021 5,7245 5,4675 5,2293 5,0081 4,8023 4,6106 15 13,8651 12,8493 11,9379 11,1184 10,3797 9,7122 9,1079 8,5595 8,0607 7,6061 7,1909 6,8109 6,4624 6,1422 5,8474 5,5755 5,3242 5,0916 4,8759 4,6755 16 14,7179 13,5777 12,5611 11,6523 10,8378 10,1059 9,4466 8,8514 8,3126 7,8237 7,3792 6,9740 6,6039 6,2651 5,9542 5,6685 5,4053 5,1624 4,9377 4,7296 17 15,5623 14,2919 13,1661 12,1657 11,2741 10,4773 9,7632 9,1216 8,5436 8,0216 7,5488 7,1196 6,7291 6,3729 6,0472 5,7487 5,4746 5,2223 4,9897 4,7746 18 16,3983 14,9920

13,7535 12,6593 11,6896 10,8276 10,0591 9,3719 8,7556 8,2014 7,7016 7,2497 6,8399 6,4674 6,1280 5,8178 5,5339 5,2732 5,0333 4,8122 19 17,2260 15,6785 14,3238 13,1339 12,0853 11,1581 10,3356 9,6036 8,9501 8,3649 7,8393 7,3658 6,9380 6,5504 6,1982 5,8775 5,5845 5,3162 5,0700 4,8435 20 18,0456 16,3514 14,8775 13,5903 12,4622 11,4699 10,5940 9,8181 9,1285 8,5136 7,9633 7,4694 7,0248 6,6231 6,2593 5,9288 5,6278 5,3527 5,1009 4,8696 21 18,8570 17,0112 15,4150 14,0292 12,8212 11,7641 10,8355 10,0168 9,2922 8,6487 8,0751 7,5620 7,1016 6,6870 6,3125 5,9731 5,6648 5,3837 5,1268 4,8913 22 19,6604 17,6580 15,9369 14,4511 13,1630 12,0416 11,0612 10,2007 9,4424 8,7715 8,1757 7,6446 7,1695 6,7429 6,3587 6,0113 5,6964 5,4099 5,1486 4,9094 23 20,4558 18,2922 16,4436 14,8568 13,4886 12,3034 11,2722 10,3711 9,5802 8,8832 8,2664 7,7184 7,2297 6,7921 6,3988 6,0442 5,7234 5,4321 5,1668 4,9245

24 21,2434 18,9139 16,9355 15,2470 13,7986 12,5504 11,4693 10,5288 9,7066 8,9847 8,3481 7,7843 7,2829 6,8351 6,4338 6,0726 5,7465 5,4509 5,1822 4,9371 25 22,0232 19,5235 17,4131 15,6221 14,0939 12,7834 11,6536 10,6748 9,8226 9,0770 8,4217 7,8431 7,3300 6,8729 6,4641 6,0971 5,7662 5,4669 5,1951 4,9476 30 25,8077 22,3965 19,6004 17,2920 15,3725 13,7648 12,4090 11,2578 10,2737 9,4269 8,6938 8,0552 7,4957 7,0027 6,5660 6,1772 5,8294 5,5168 5,2347 4,9789 40 32,8347 27,3555 23,1148 19,7928 17,1591 15,0463 13,3317 11,9246 10,7574 9,7791 8,9511 8,2438 7,6344 7,1050 6,6418 6,2335 5,8713 5,5482 5,2582 4,9966 50 39,1961 31,4236 25,7298 21,4822 18,2559 15,7619 13,8007 12,2335 10,9617 9,9148 9,0417 8,3045 7,6752 7,1327 6,6605 6,2463 5,8801 5,5541 5,2623 4,9995 124