Matematika | Középiskola » Matematika emelt szintű írásbeli érettségi vizsga megoldással II., 2012

ÉRETTSÉGI VIZSGA 2012. május 8 Azonosító jel: Matematika MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2012. május 8 8:00 Az írásbeli vizsga időtartama: 240 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM emelt szint írásbeli vizsga 0911 Matematika emelt szint írásbeli vizsga 0911 Azonosító jel: 2 / 24 2012. május 8 Matematika emelt szint Azonosító jel: Fontos tudnivalók 1. A feladatok megoldására 240 perc fordítható, az idő leteltével a munkát be kell fejeznie 2. A feladatok megoldási sorrendje tetszőleges 3. A II részben kitűzött öt feladat közül csak négyet kell megoldania A nem választott feladat sorszámát írja be a dolgozat befejezésekor az alábbi négyzetbe! Ha a javító tanár számára nem derül ki egyértelműen, hogy melyik feladat értékelését nem kéri, akkor a 9. feladatra nem kap pontot 4. A feladatok megoldásához szöveges adatok tárolására és megjelenítésére nem

alkalmas zsebszámológépet és bármilyen négyjegyű függvénytáblázatot használhat, más elektronikus vagy írásos segédeszköz használata tilos! 5. A feladatok megoldásához alkalmazott gondolatmenetét minden esetben írja le, mert a feladatra adható pontszám jelentős része erre jár! 6. Ügyeljen arra, hogy a lényegesebb részszámítások is nyomon követhetők legyenek! 7. A feladatok megoldásánál használt tételek közül az iskolában tanult, névvel ellátott tételeket (pl Pitagorasz-tétel, magasság-tétel) nem kell pontosan megfogalmazva kimondania, elég csak a tétel megnevezését említenie, de az alkalmazhatóságát röviden indokolnia kell. Egyéb tétel(ek)re való hivatkozás csak akkor fogadható el teljes értékűnek, ha az állítást minden feltételével együtt pontosan mondja ki (bizonyítás nélkül), és az adott problémában az alkalmazhatóságát indokolja. 8. A feladatok végeredményét (a feltett kérdésre adandó választ)

szöveges megfogalmazásban is közölje! 9. A dolgozatot tollal írja, de az ábrákat ceruzával is rajzolhatja Az ábrákon kívül ceruzával írt részeket a javító tanár nem értékelheti. Ha valamilyen megoldást vagy megoldásrészletet áthúz, akkor az nem értékelhető 10. Minden feladatnál csak egyféle megoldás értékelhető Több megoldási próbálkozás esetén egyértelműen jelölje, hogy melyiket tartja érvényesnek! 11. Kérjük, hogy a szürkített téglalapokba semmit ne írjon! írásbeli vizsga 0911 3 / 24 2012. május 8 Matematika emelt szint Azonosító jel: I. 1. Egy háromszög a, b és c oldalairól tudjuk, hogy: c = 2b ; a 2 + b2 = 4 ; a 2 − b2 = 2 . a) b) c) Mekkorák a háromszög oldalai? Mekkorák a háromszög szögei? Mekkora a beírt körének sugara? Az eredmények pontos értékét adja meg! írásbeli vizsga 0911 4 / 24 a) 4 pont b) 5 pont c) 4 pont Ö.: 13 pont 2012. május 8 Matematika emelt szint

írásbeli vizsga 0911 Azonosító jel: 5 / 24 2012. május 8 Matematika emelt szint Azonosító jel: 2. a) Egy szabályos dobókockával kétszer dobunk, és a kapott számokat a dobás sorrendjében beírjuk a 8a567b hatjegyű számban az a és a b helyére. Mennyi annak a valószínűsége, hogy az így kapott hatjegyű szám minden számjegye különböző? b) Megadunk négy halmazt: Az A halmaz elemei a héttel osztható pozitív kétjegyű számok. A B halmaz elemei a 29 kétjegyű pozitív többszörösei. A C halmaz elemei mindazok a pozitív kétjegyű számok, amelyeknél a 11-gyel nagyobb szám négyzetszám. A D halmaz elemei mindazok a pozitív kétjegyű számok, amelyeknél a 13-mal kisebb szám négyzetszám. b1) Hány elemű az A ∪ C halmaz? b2) Hány elemű a B ∩ D halmaz? b3) Melyek azok a kétjegyű pozitív egészek, amelyek a fenti négy halmaz közül pontosan kettőnek az elemei? írásbeli vizsga 0911 6 / 24 a) 4 pont b) 8 pont Ö.: 12

pont 2012. május 8 Matematika emelt szint írásbeli vizsga 0911 Azonosító jel: 7 / 24 2012. május 8 Matematika emelt szint 3. Azonosító jel: Egy kerek dobozban piros, egy másik, ugyanilyen dobozban pedig kék címkéjű csomagolt sajtok vannak. A 6-6 egyforma méretű, egymástól nem megkülönböztethető sajt szelet teljesen kitölti az egyes dobozokat. A dobozok tartalmát kiöntjük az asztalra Hány különböző elrendezésben tehetünk vissza ebből a 12 darab sajtból 6 darabot az egyik dobozba címkéjükkel felfelé? (Két elrendezést különbözőnek tekintünk, ha azok forgatással nem vihetők egymásba.) Ö.: írásbeli vizsga 0911 8 / 24 12 pont 2012. május 8 Matematika emelt szint írásbeli vizsga 0911 Azonosító jel: 9 / 24 2012. május 8 Azonosító jel: Matematika emelt szint 4. 1 1 1 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ K ⋅ 2 n −1 , n ∈ N + sorozat. 7 7 7 7 Melyik az a legnagyobb n természetes szám, amelyre a n > 49 −50

? a) Adott az b) Adott a an = 1 1 1 1 + 3 + 5 + K + 2 n −1 , n ∈ N + sorozat. 7 7 7 7 Számítsa ki a lim bn határértéket! bn = n ∞ írásbeli vizsga 0911 10 / 24 a) 10 pont b) 4 pont Ö.: 14 pont 2012. május 8 Matematika emelt szint írásbeli vizsga 0911 Azonosító jel: 11 / 24 2012. május 8 Matematika emelt szint Azonosító jel: II. Az 5-9. feladatok közül tetszés szerint választott négyet kell megoldania, a kihagyott feladat sorszámát írja be a 3. oldalon található üres négyzetbe! 5. a) A derékszögű koordináta-rendszerben adott egy téglalap, amelynek csúcsai: A ( 0 ; 0 ), B ( 4 ; 0 ) , C ( 4 ; 1 ) és D ( 0 ; 1 ) . Véletlenszerűen kiválasztjuk a téglalap egy belső P ( x ; y ) pontját. 1 1 Mennyi annak a valószínűsége, hogy y ≤ x + ? 3 2 b) Marci a farsangi rendezvényre kibocsátott 200 darab tombolajegyből 4-et vásárolt. A tombolán 10 nyereménytárgyat sorsolnak ki Minden tombolajeggyel legfeljebb

egy tárgyat lehet nyerni. b1) Mennyi annak a valószínűsége, hogy Marci pontosan egy tárgyat nyer a tombolán? b2) Mennyi annak a valószínűsége, hogy Marci nyer a tombolán? Az eredményeket – a közbülsőket is – négy tizedesjegyre kerekítve számolja ki! írásbeli vizsga 0911 12 / 24 a) 5 pont b1) 5 pont b2) 6 pont Ö.: 16 pont 2012. május 8 Matematika emelt szint írásbeli vizsga 0911 Azonosító jel: 13 / 24 2012. május 8 Matematika emelt szint Azonosító jel: Az 5-9. feladatok közül tetszés szerint választott négyet kell megoldania, a kihagyott feladat sorszámát írja be a 3. oldalon található üres négyzetbe! 6. Az f : R R, f ( x ) = ax 2 + bx + c másodfokú függvény grafikonjának tengelypontja a T ( 4 ; 2 ) pont, és a P ( 2 ; 0 ) pont is illeszkedik a grafikonra. a) Számítsa ki az a, b, c együtthatók értékét! b) Írja fel a grafikon 3 abszcisszájú pontjába húzható érintő egyenletét! c) Számítsa ki

az f grafikonja és az x tengely által határolt tartomány területet! írásbeli vizsga 0911 14 / 24 a) 6 pont b) 5 pont c) 5 pont Ö.: 16 pont 2012. május 8 Matematika emelt szint írásbeli vizsga 0911 Azonosító jel: 15 / 24 2012. május 8 Azonosító jel: Matematika emelt szint Az 5-9. feladatok közül tetszés szerint választott négyet kell megoldania, a kihagyott feladat sorszámát írja be a 3. oldalon található üres négyzetbe! 7. Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán: ⎛ log 3 x ⎞ ⎟ 6 ⋅ ⎜3 ⎟ ⎜ ⎠ ⎝ log x 3 ⎛ 2⎞ = ⎜x ⎟ ⎝ ⎠ log x 3 − 6075 . Ö.: írásbeli vizsga 0911 16 / 24 16 pont 2012. május 8 Matematika emelt szint írásbeli vizsga 0911 Azonosító jel: 17 / 24 2012. május 8 Matematika emelt szint Azonosító jel: Az 5-9. feladatok közül tetszés szerint választott négyet kell megoldania, a kihagyott feladat sorszámát írja be a 3. oldalon

található üres négyzetbe! 8. Egy cég három városban nyitott fiókot. A kőszegi fiókban dolgozók átlagéletkora 37 év, a tatai fiókban dolgozóké 23 év, a füredi fiókban dolgozóké pedig 41 év. Három alkalommal szerveztek tanulmányutat a cégnél. Ezeken az utakon csak a cégnél dolgozók vettek részt, és mindenki elment azokra a tanulmányi utakra, amelyekre beosztották. Az egyes utakra a két-két kijelölt fiók minden munkatársát beosztották Az első utat a kőszegi és a tatai fiók munkatársainak szervezték. Ezen az úton a résztvevők átlagéletkora 29 év volt A második úton – amelyen a kőszegi és a füredi fiókban dolgozók vettek részt – a résztvevők átlagéletkora 39,5 év volt. A harmadik tanulmányúton a tatai és a füredi fiók munkatársai vettek részt Ezen az úton a résztvevők átlagéletkora 33 év volt Mennyi az átlagéletkora a cég összes dolgozójának? Ö.: írásbeli vizsga 0911 18 / 24 16 pont 2012. május

8 Matematika emelt szint írásbeli vizsga 0911 Azonosító jel: 19 / 24 2012. május 8 Matematika emelt szint Azonosító jel: Az 5-9. feladatok közül tetszés szerint választott négyet kell megoldania, a kihagyott feladat sorszámát írja be a 3. oldalon található üres négyzetbe! 9. Egy képzőművészeti galéria új kiállítótermet nyitott gyermekek számára. A terem alakja egy négyzet alapú egyenes gúla, melynek belső méretei: az alapél 12 méter, az oldalél 10 méter. Az egyik kiállító művész azt kérte, hogy a kiállítás kivitelezője ragasszon az oldalfalakra körbe az alapélekkel párhuzamos keskeny színes csíkot (vonalat), amelyre majd a kiírásokat elhelyezik. A színes vonalak vízszintes, képzeletbeli síkja éppen felezte a kiállítótér térfogatát. a) Mekkora a színes vonalak összes hossza? Milyen magasan helyezkedik el a padló síkja felett a képzeletbeli felezősík? A kiállítás megnyitására a hangmérnök

úgy helyezte el a terem legmagasabb pontjáról belógatott mikrofont, hogy az minden oldalfaltól és a padlótól is azonos távolságra legyen. b) Milyen hosszú volt a belógató vezeték, ha a mikrofon és a rögzítés méretétől eltekintünk? (Válaszait cm pontossággal adja meg!) írásbeli vizsga 0911 20 / 24 a) 9 pont b) 7 pont Ö.: 16 pont 2012. május 8 Matematika emelt szint írásbeli vizsga 0911 Azonosító jel: 21 / 24 2012. május 8 Matematika emelt szint írásbeli vizsga 0911 Azonosító jel: 22 / 24 2012. május 8 Matematika emelt szint írásbeli vizsga 0911 Azonosító jel: 23 / 24 2012. május 8 Azonosító jel: Matematika emelt szint elért maximális elért maximális pontszám pontszám pontszám pontszám 1. 13 2. 12 51 3. 12 4. 14 16 16 64 16 16 ← nem választott feladat Az írásbeli vizsgarész pontszáma 115 a feladat sorszáma I. rész II. rész dátum javító tanár

elért pontszám egész számra kerekítve programba beírt egész pontszám I. rész II. rész írásbeli vizsga 0911 javító tanár jegyző dátum dátum 24 / 24 2012. május 8 ÉRETTSÉGI VIZSGA 2012. május 8 Matematika emelt szint Javítási-értékelési útmutató 0911 MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM Matematika emelt szint Javítási-értékelési útmutató Fontos tudnivalók Formai előírások: 1. A dolgozatot a vizsgázó által használt színűtől eltérő színű tollal kell javítani, és a tanári gyakorlatnak megfelelően jelölni a hibákat, hiányokat stb. 2. A feladatok mellett található szürke téglalapok közül az elsőben a feladatra adható maximális pontszám van, a javító által adott pontszám a mellette levő téglalapba kerül. 3. Kifogástalan megoldás esetén elég a maximális

pontszám beírása a megfelelő téglalapokba. 4. Hiányos/hibás megoldás esetén kérjük, hogy az egyes részpontszámokat is írja rá a dolgozatra. Tartalmi kérések: 1. Egyes feladatoknál több megoldás pontozását is megadtuk Amennyiben azoktól eltérő megoldás születik, keresse meg ezen megoldásoknak az útmutató egyes részleteivel egyenértékű részeit, és ennek alapján pontozzon. 2. A pontozási útmutató pontjai tovább bonthatók Az adható pontszámok azonban csak egész pontok lehetnek. 3. Nyilvánvalóan helyes gondolatmenet és végeredmény esetén maximális pontszám adható akkor is, ha a leírás az útmutatóban szereplőnél kevésbé részletezett. 4. Ha a megoldásban számolási hiba, pontatlanság van, akkor csak arra a részre nem jár pont, ahol a tanuló a hibát elkövette. Ha a hibás részeredménnyel helyes gondolatmenet alapján tovább dolgozik, és a megoldandó probléma lényegében nem változik meg, akkor a következő

részpontszámokat meg kell adni. 5. Elvi hibát követően egy gondolati egységen belül (ezeket az útmutatóban kettős vonal jelzi) a formálisan helyes matematikai lépésekre sem jár pont. Ha azonban a tanuló az elvi hibával kapott rossz eredménnyel, mint kiinduló adattal helyesen számol tovább a következő gondolati egységben vagy részkérdésben, akkor erre a részre kapja meg a maximális pontot, ha a megoldandó probléma lényegében nem változik meg. 6. Ha a megoldási útmutatóban zárójelben szerepel egy megjegyzés vagy mértékegység, akkor ennek hiánya esetén is teljes értékű a megoldás. 7. Egy feladatra adott többféle helyes megoldási próbálkozás közül a vizsgázó által megjelölt változat értékelhető. 8. A megoldásokért jutalompont (az adott feladatra vagy feladatrészre előírt maximális pontszámot meghaladó pont) nem adható. 9. Az olyan részszámításokért, részlépésekért nem jár pontlevonás, melyek hibásak, de

amelyeket a feladat megoldásához a vizsgázó ténylegesen nem használ fel. 10. A vizsgafeladatsor II részében kitűzött 5 feladat közül csak 4 feladat megoldása értékelhető. A vizsgázó az erre a célra szolgáló négyzetben – feltehetőleg – megjelölte annak a feladatnak a sorszámát, amelynek értékelése nem fog beszámítani az összpontszámába. Ennek megfelelően a megjelölt feladatra esetlegesen adott megoldást nem is kell javítani. Ha mégsem derül ki egyértelműen, hogy a vizsgázó melyik feladat értékelését nem kéri, akkor automatikusan a kitűzött sorrend szerinti legutolsó feladat lesz az, amelyet nem kell értékelni. írásbeli vizsga 0911 2 / 17 2012. május 8 Matematika emelt szint Javítási-értékelési útmutató I. 1. a) A második két egyenlet által alkotott egyenletrendszerből kiszámítható a és b értéke. A két egyenlet megfelelő oldalait összeadva kapjuk, hogy 2a 2 = 6 , azaz a = 3 (a > 0). 2 pont Az a

értékéért. b 2 = 4 − 3 = 1 , azaz b = 1 . 1 pont A b értékéért. c = 2 . (A háromszög oldalai hosszúságúak.) 3 ; 1 és 2 egység Összesen: 1 pont A c értékéért. 4 pont 1. b) 2 1 pont Mivel 12 + 3 = 22 , a Pitagorasz-tétel megfordítása alapján 1 pont a háromszög derékszögű, a leghosszabb oldallal, a 1 pont c-vel szemben van a 90°-os szög. 1 sin β = , tehát β = 30o , 1 pont 2 1 pont így α = 60o . Összesen: 5 pont Megjegyzés: Ha az oldalak alapján felismeri, hogy 60º-os derékszögű háromszögről van szó, de nem részletezi az indoklást,a teljes pontszámot kapja. 1. c) A beírt kör sugara kiszámítható a terület és a kerület t felének hányadosaként: r = . k 2 A háromszög területe a két befogó szorzatának fele: 1⋅ 3 3 . = 2 2 3 3 ⎛ 3 −1⎞ 2 ⎜= ⎟. r= = 2 ⎟⎠ 1 + 2 + 3 3 + 3 ⎜⎝ 2 Összesen: írásbeli vizsga 0911 3 / 17 Akkor is jár ez a pont, ha ez a gondolat csak 1 pont a megoldás során jelenik

meg. 1 pont 2 pont Ha a végeredményt csak közelítő értékkel adja 4 pont meg, akkor legfeljebb 3 pontot kap. 2012. május 8 Matematika emelt szint Javítási-értékelési útmutató 2. a) Kockával kétszer dobva 36-féleképpen lehetne (azonos valószínűséggel) a és b helyét kitölteni. A dobás eredményei között csak az 1, a 2, a 3 és a 4 fordulhat elő. (Az a-t ezekből 4, a b-t már csak 3-féleképpen kaphatjuk,) vagyis a kedvező kitöltések száma 3 ⋅ 4 = 12 . 12 1 = . A keresett valószínűség: 36 3 Összesen: 1 pont 1 pont 1 pont 1 pont 4 pont 2. b) Felsoroljuk a négy halmaz elemeit: A = { 14; 21; 28; 35; 42; 49; 56; 63; 70; 77; 84; 91; 98 } . ( A = 13.) 1 pont B = { 29; 58; 87 }, 1 pont C = { 14; 25; 38; 53; 70; 89 }, 1 pont D = {13; 14; 17; 22; 29; 38; 49; 62; 77; 94} . 1 pont b1) Az A ∪ C elemszáma 17. (A 6 elemű C 1 pont halmaznak és a 13 elemű A halmaznak pontosan két közös eleme van.) b2) A B ∩ D elemszáma 1.(A B és a D

halmaznak 1 pont csak a 29 a közös eleme.) b3) Felsoroljuk mindazokat a pozitív kétjegyű egészeket, amelyek a négy vizsgált halmazból 2 pont pontosan kettőnek az elemei: 29; 38; 49; 70; 77. Összesen: 8 pont Megjegyzések: 1. Ha a b1) és b2) kérdésre azért rossz a válasz, mert az A, a B, a C és/vagy a D halmazok elemeit rosszul sorolta fel, de a hibásan megadott halmazával a halmazműveletet helyesen értelmezte, az 1-1 pont jár. 2. Ha a b3) kérdésre adott válasz egy elemben tér el a helyestől, 2 pont helyett 1 pont adható. 3. Ha a b3) kérdésre adott válasza azért rossz, mert rosszul adta meg az A, a B, a C és/vagy a D halmaz elemeit, újabb pontot ne veszítsen. 4. Ha a vizsgázó megoldásában nem a fenti utat választja (nem sorolja fel az A-D halmazok elemeit), teljes pontszámot kellően indokolt megoldásra kapjon. Indoklás nélküli válaszok esetén megoldására 8 helyett legfeljebb 3 pontot kaphat. írásbeli vizsga 0911 4 / 17 2012. május

8 Matematika emelt szint Javítási-értékelési útmutató 3. Ha csak egyféle színűt rakunk vissza: 2 lehetőség. Ha mind a két szín szerepel: 1 piros és 5 kék visszarakásakor 1 lehetőség van, (hiszen az öt egyforma mindig egymás mellett lesz). 2 piros és 4 kék visszarakásakor 3 lehetőség van, hiszen a 2 egyszínűt vagy egymás mellé rakjuk, vagy egy, illetve kettő másik választja el őket. 3 piros és 3 kék visszarakásakor 4 lehetőség van, hiszen a 3 egyszínűt vagy egymás mellé rakjuk, vagy egy-egy, illetve kettő-egy másik választja el őket (ez utóbbi kétféleképpen lehetséges): P P P P K K K K P P K K P K K P P K P K P P K 1 pont 2 pont 1 pont Csak 1 vagy 2 jó lehetőség megadása 2 pont (számbavétele) 1 pont. Hiányos indoklás 1 pont. Csak a helyes válasz 1 pont esetén jár az 1 pont. Csak 1 jó lehetőség megadása (számbavétele) 0 pont, 2 pont 2 vagy 3 jó lehetőség megadása (számbavétele) 1 pont. Hiányos

indoklás 1 pont. K 4 piros és 2 kék visszarakásakor 3 lehetőség van. Az indoklás megegyezik a 2 + 4 esettel. Ezek a pontok járnak, ha azért hibás a válasza, mert a 2+4 és/vagy 5 piros és 1 kék visszarakásakor 1 lehetőség. 1 pont az 1+5 esetet rosszul Az indoklás megegyezik az 1 + 5 esettel. számolta ki. Összesen 14-féle elhelyezkedés lehetséges. 1 pont Összesen: 12 pont Megjegyzések: 1. Az eredmény jó rajzzal is indokolható 2. Ha a vizsgázó kiszámolja, hogy hány lehetőség van a 6 piros, 5 piros – 1 kék, 4 piros – 2 kék, 3 piros – 3 kék esetben az elrendezésekre (és ezt helyesen is adja meg), majd az egészet megszorozza 2-vel, mert fordítva is lehet, akkor a 3 piros – 3 kék eseteket kétszer számolja, és ezért 2 pontot elveszít. írásbeli vizsga 0911 5 / 17 1 pont 2012. május 8 Matematika emelt szint Javítási-értékelési útmutató 4. a) 1 1 1 1 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ K ⋅ 2 n−1 = 1+3+5+K+(2 n−1) 7 7 7 7 7 A 7

kitevője egy számtani sorozat első n tagjának összege, amelynek első tagja 1, a különbsége 2. 1 an = (1+ 2 n−1) n 7 2 1 an = n 2 7 1 Vizsgálandó az n 2 > 49 −50 egyenlőtlenség. 7 1 1 Mivel 49 = 7 2 , megoldandó az n 2 > 100 . 7 7 an = 1 pont 1 pont 1 pont 1 pont 1 pont 1 pont 2 1 pont 7 n < 7100 . Az x a 7 x függvény szigorú monoton növekedése 1 pont miatt 1 pont n 2 < 100 . A 100-nál kisebb legnagyobb négyzetszám a 81. A feltételeknek megfelelő legnagyobb természetes 1 pont szám a 9. Összesen: 10 pont 4. b) első megoldás Az bn egy olyan mértani sorozat első n tagjának az 1 összege, amelynek az első tagja 7 1 és a hányadosa 2 . 7 A lim bn annak a mértani sornak az összege (s), n ∞ 1 és a 7 1 b Mivel q < 1 , s = = 7 1− q 1− 1 72 7 . A keresett határérték 48 amelyben az első tag b = q= Akkor is jár ez a 2 pont, ha ezek a gondolatok csak a megoldás során jelennek meg. 1 pont 1 . 72 ⎛ 7 ⎞ ⎜= ⎟ ⎝ 48

⎠ 1 pont 1 pont Összesen: írásbeli vizsga 0911 1 pont 6 / 17 4 pont 2012. május 8 Matematika emelt szint Javítási-értékelési útmutató 4. b) második megoldás Az bn egy olyan mértani sorozat első n tagjának az 1 összege, amelynek az első tagja 7 1 és a hányadosa 2 . 7 1 1− n 1 1 1 1 1 49 bn = + 3 + 5 + K + 2 n−1 = ⋅ 7 7 7 7 7 1− 1 49 7 ⎛ 1 ⎞ ⋅ ⎜1 − n ⎟ . bn = 48 ⎝ 49 ⎠ 7 lim bn = n∞ 48 Összesen: írásbeli vizsga 0911 7 / 17 1 pont Akkor is jár ez a 2 pont, ha ezek a gondolatok csak a megoldás során jelennek meg. 1 pont 1 pont 1 pont 4 pont 2012. május 8 Matematika emelt szint Javítási-értékelési útmutató II. 5. a) y 1 D A 1 C B x 1 1 ⎛ 1⎞ x + egyenes az y tengelyt a ⎜ 0; ⎟ , 3 2 ⎝ 2⎠ ⎛3 ⎞ az y = 1 egyenest a ⎜ ; 1⎟ pontban metszi. ⎝2 ⎠ 1 1 A megfelelő P pontok a téglalapnak az y = x + 3 2 egyenes alatti részéből kerülhetnek ki. 1 3 ⋅ 29 Ennek a résznek a területe:

T jó = 4 − 2 2 = . 2 8 (A geometriai valószínűség kiszámítása szerint) a 29 29 keresett valószínűség P = 8 = (= 0,90625) . 4 32 Összesen: Az y = 1 pont 1 pont 1 pont 1 pont 1 pont 5 pont 5. b1) első megoldás Marci a 4 szelvényét a 200 jegyből ⎛ 200 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ -féleképpen vehette meg. ⎝ 4 ⎠ 1 pont A 200 tombolajegy között 10 nyerő szelvény van és 190 nem nyerő. Marci akkor nyer 1 tárgyat, ha a négy szelvénye közül pontosan egy van a 10 nyerő között, a másik három pedig a 190 nem nyerő között van. ⎛10 ⎞ ⎛190 ⎞ ⎟⎟ -féleképpen lehetséges. Ez ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎝1⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎛10 ⎞ ⎛190 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎟ 1 ⎠ ⎝ 3 ⎟⎠ ⎝ A keresett valószínűség: ≈ 0,1739. ⎛ 200 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ 4 ⎠ Összesen: írásbeli vizsga 0911 8 / 17 Akkor is jár ez a pont, ha ez a gondolat csak 1 pont a megoldás során jelenik meg. 2 pont 1 pont 5 pont 2012. május 8 Matematika

emelt szint Javítási-értékelési útmutató 5. b1) második megoldás A 200 jegyből a 10 nyerő szelvényt ⎛ 200 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ -féleképpen húzhatják ki. ⎝ 10 ⎠ 1 pont A 200 tombolajegyből 4 van Marcinál, és 196 nincs nála. Marci akkor nyer 1 tárgyat, ha a 10 nyerő szelvény közül pontosan egy van nála, a további 9 pedig a 196 többi szelvény közül való. ⎛ 4 ⎞ ⎛196 ⎞ ⎟⎟ A kedvező esetek száma tehát: ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ 1 9 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ 4 ⎞ ⎛196 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎟ 1 ⎠ ⎝ 9 ⎟⎠ ⎝ A keresett valószínűség: ≈ 0,1739. ⎛ 200 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ 10 ⎠ Összesen: Akkor is jár ez a pont, ha ez a gondolat csak 1 pont a megoldás során jelenik meg. 2 pont 1 pont 5 pont 5. b2) első megoldás A keresett esemény helyett az ellentett (komplementer) esemény valószínűségét számítjuk ki. A Marci nyert a tombolán esemény ellentett eseménye az, hogy Marci nem nyert a tombolán. Ez úgy

volt lehetséges, hogy mind a 4 szelvénye a 190 nem nyerő szelvény közül való volt. Az összes egyenlően valószínű kimenetelek száma ⎛ 200 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ 4 ⎠ ⎛190 ⎞ ⎟⎟ . Ezek közül a kedvezők száma ⎜⎜ ⎝ 4 ⎠ Annak valószínűsége, hogy Marci nem nyert a ⎛190 ⎞ ⎜⎜ ⎟ 4 ⎟⎠ ⎝ (≈ 0,8132) . tombolán ⎛ 200 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ 4 ⎠ Annak valószínűsége, hogy Marci nyert a tombolán ⎛190 ⎞ ⎜⎜ ⎟ 4 ⎟⎠ ⎝ 1− ≈ 0,1868. ⎛ 200 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ 4 ⎠ Összesen: írásbeli vizsga 0911 9 / 17 1 pont Akkor is jár ez a 2 pont, ha ezek a gondolatok csak a megoldás során jelennek meg. 1 pont 1 pont 1 pont 1 pont 1 pont 6 pont 2012. május 8 Matematika emelt szint Javítási-értékelési útmutató 5. b2) második megoldás Marci a 10 nyeremény közül 1, 2, 3 vagy 4-et nyerhetett. Annak valószínűsége, hogy egy szelvénye nyert ⎛10 ⎞ ⎛190 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ 1

⎠ ⎝ 3 ⎠ ≈ 0,1739. ⎛ 200 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ 4 ⎠ Annak valószínűsége, hogy két szelvénye nyert ⎛10 ⎞ ⎛190 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ≈ 0,0125. ⎛ 200 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ 4 ⎠ Annak valószínűsége, hogy három szelvénye nyert ⎛10 ⎞ ⎛190 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ 3 ⎠ ⎝ 1 ⎠ ≈ 0,0004. ⎛ 200 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ 4 ⎠ Annak valószínűsége, hogy négy szelvénye nyert ⎛10 ⎞ ⎛190 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ 4 ⎠ ⎝ 0 ⎠ ≈ 0,0000. ⎛ 200 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ 4 ⎠ Akkor is jár ez a pont, ha ez a gondolat csak 1 pont a megoldás során jelenik meg. 1 pont 1 pont 1 pont 1 pont Annak valószínűsége, hogy Marci nyert a tombolán, 1 pont ezen négy valószínűség összege 0,1868. Összesen: 6 pont Ha az b1) második megoldásában leírt eseménytérrel dolgozik, vagyis azt vizsgálja, hogy a 10 nyerő szelvény közül 1, 2, 3 vagy 4 darab lehetett Marcié, akkor a

keresett valószínűséget az alábbi összeg adja meg: ⎛ 4 ⎞ ⎛196 ⎞ ⎛ 4 ⎞ ⎛196 ⎞ ⎛ 4 ⎞ ⎛196 ⎞ ⎛ 4 ⎞ ⎛196 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝1⎠ ⎝ 9 ⎠ ⎝ 2⎠ ⎝ 8 ⎠ ⎝ 3⎠ ⎝ 7 ⎠ ⎝ 4⎠ ⎝ 6 ⎠ . ⎛ 200 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ 10 ⎠ írásbeli vizsga 0911 10 / 17 2012. május 8 Matematika emelt szint Javítási-értékelési útmutató 6. a) első megoldás A tengelypont koordinátái alapján f grafikonjának 2 egyenlete: y = a( x − 4) + 2 . P is illeszkedik a grafikonra, ezért 4a + 2 = 0 , 1 ahonnan a = − . 2 1 1 2 Így f ( x ) = − ( x − 4) + 2 = − x 2 + 4 x − 6 , 2 2 ahonnan b = 4 , c = −6 . Összesen: 2 pont 1 pont 1 pont 1 pont 1 pont 6 pont 6. a) második megoldás Az f grafikonja parabola, keressük az egyenletét y = ax 2 + bx + c alakban. A tengelypont T ( 4 ; 2 ) koordinátái kielégítik ezt az

egyenletet: 16a + 4b + c = 2 . (1) Az ismert parabolapont P( 2 ; 0 ) koordinátái kielégítik a parabola egyenletét: 4a + 2b + c = 0. (2) Parabolánk szimmetriatengelye az x = 4 egyenes, ezért az adott P parabolapont tükörképe, az R ( 6 ; 0) pont is illeszkedik a grafikonra. Ezért: 36a + 6b + c = 0. (3) Megoldva az (1)-(2)-(3) egyenletrendszert: 1 a = − ; b = 4; c = −6. 2 Összesen: írásbeli vizsga 0911 11 / 17 1 pont 1 pont 1 pont 3 pont 6 pont 2012. május 8 Matematika emelt szint Javítási-értékelési útmutató 6. b) A megfelelő érintő iránytangense f deriváltjának az x = 3 helyen felvett értéke. f ′( x ) = − x + 4 , így m = f ′(3) = 1 . Az y = x + d egyenletű érintő illeszkedik f grafikonjának 3 abszcisszájú pontjára, amelynek 3 második koordinátája f (3) = . 2 3 Ezt felhasználva d = − . 2 3 Az érintő egyenlete: y = x − . 2 Összesen: Akkor is jár ez a pont, ha ez a gondolat csak 1 pont a megoldás során jelenik

meg. 1 pont 1 pont 1 pont 1 pont 5 pont 6. c) f zérushelyei 2 és 6, ezért a keresett terület: 6 6 ⎞ ⎛ 1 T = ∫ f ( x )dx = ∫ ⎜ − x 2 + 4 x − 6 ⎟dx = 2 ⎠ 2 2⎝ 1 pont 1 pont 6 ⎡ 1 ⎤ = ⎢− x 3 + 2 x 2 − 6 x ⎥ = 6 ⎣ ⎦2 1 pont ⎞ ⎛ 4 = (− 36 + 72 − 36) − ⎜ − + 8 − 12 ⎟ . ⎠ ⎝ 3 16 T= . 3 1 pont 1 pont Összesen: írásbeli vizsga 0911 12 / 17 5 pont 2012. május 8 Matematika emelt szint Javítási-értékelési útmutató 7. Ezt a pontot akkor is megkapja a vizsgázó, ha 1 pont az eredeti egyenletbe behelyettesítve ellenőrzi a gyököket. 1 pont A logaritmus értelmezése miatt x > 0 . (3 ) = x (x ) = (x ) log 3 x log 3 x 2 log 3 x log 3 x log 3 x 2 1 pont Legyen y = x log3 x (, ahol y > 0 ). 1 pont Ekkor az egyenlet 6 y = y − 6075 , vagyis y 2 − 6 y − 6075 = 0 . 1 pont 2 A gyökök: y1 = −75 , amely nem megoldása az eredeti egyenletnek, és y 2 = 81 . Az y lehetséges értékéből x

log 3 x = 81 , és innen log 3 x log3 x = log 3 81 = 4. ( ) 1 pont 1 pont 1 pont 2 pont (A hatvány logaritmusára vonatkozó azonosság 2 alapján:) (log 3 x ) = 4 . 1 pont Ha log 3 x = 2 , 1 pont akkor x1 = 3 = 9 . 1 pont Ha log 3 x = −2 , 1 pont 2 1 . 1 pont 9 Mind a két szám megoldása az eredeti egyenletnek. 1 pont Összesen: 16 pont akkor x 2 = 3 − 2 = írásbeli vizsga 0911 13 / 17 2012. május 8 Matematika emelt szint Javítási-értékelési útmutató 8. Legyen a kőszegi K csoport taglétszáma: k; a tatai T csoporté: t; míg a füredi F csoporté: f. Jelölje továbbá a K csoport tagjai életkorának összegét S k ; a T csoportét S t ; míg az F csoportét S f . Akkor is jár ez a 2 pont, ha ezek a gondolatok 2 pont csak a megoldás során jelennek meg. Ekkor a következő egyenleteket lehet felírni a megadott adatokkal: S k = 37k ; 1 pont S t = 23 t ; 1 pont S f = 41 f ; 1 pont S k + S t = 29(k + t ) ; 1 pont A feladat

megoldásához e három összefüggésből 1 pont kettő is elegendő, ezért 1 pont bármelyik kettő felírása is 3 pontot ér. S k + S f = 39,5(k + f ) ; S t + S f = 33(t + f ) . Az első három összefüggést behelyettesítjük a következő három egyenletbe: 1 pont 4 37k + 23t = 29(k + t ) , azaz t = k . 3 5 37k + 41 f = 39,5(k + f ) , azaz f = k . 1 pont 3 4 23t + 41 f = 33(t + f ) , azaz t = f . 1 pont 5 S k + St + S f Az összes dolgozó átlagéletkora: . 1 pont k +t + f Ezekből t és f kifejezhető k segítségével, és akkor a következőt kapjuk a keresett átlagra: 4 5 92 205 37 k + 23 ⋅ k + 41 ⋅ k 37 + + 2 pont 3 3 = 3 3 = 4 5 4 k+ k+ k 3 3 37 + 99 136 = = = 34 . 1 pont 4 4 A cég összes dolgozójának átlagéletkora 34 év. 1 pont Összesen: 16 pont írásbeli vizsga 0911 14 / 17 A feladat megoldásához e három összefüggésből kettő is elegendő, ezért bármelyik kettő felírása is 3 pontot ér. Ha a háromismeretlenes egyenletrendszerben egy

konkrét számhármassal számolva helyes eredményt kap, de nem bizonyítja, hogy ugyanerre az eredményre jutna minden gyök esetén, 2 pontot veszít. 2012. május 8 Matematika emelt szint Javítási-értékelési útmutató 9. a) E x J A I K G H D M 10 C F B 12 Az ábra jelöléseivel a GHIJE gúla hasonló az ABCDE gúlához. V ABCDE = 2 , ezért a megfelelő szakaszok aránya VGHIJE AB FE 3 (pl.): = = 2. GH KE AB 12 GH = 3 = 3 (≈ 9,524) . 2 2 48 4 ⋅GH = 3 (≈ 38,10). 2 A színes vonalak összhossza: 38,10 m. Pitagorasz tétele alapján az ABD derékszögű háromszögben: BD = 12 2 . FB = 6 2 Pitagorasz tétele alapján az FBE derékszögű ( ) L 1 pont 2 pont 1 pont 1 pont háromszögben: (FE ) = 10 2 − 6 2 . 1 pont FE = 28 = 2 7 ≈ 5,29 1 pont 2 2 ( KE = ) ⎞ 28 ⎛ 2 7 ⎜= ⎟ ≈ 4 , 2 ⎟ 3 2 ⎜⎝ 3 2 ⎠ 1 pont 3 ⎞ 2 −1 28 ⎛ ⎜ = 28 ⋅ ⎟ ≈ 1 , 09 ⎜ ⎟ 3 3 2 2 ⎝ ⎠ A térfogatot felező sík 1,09 m

távolságra van a terem padlójától. Összesen: FK = FE − KE = 28 − írásbeli vizsga 0911 15 / 17 1 pont 9 pont 2012. május 8 Matematika emelt szint Javítási-értékelési útmutató 9. b) első megoldás E N 2 2 r P r 6 6 O r M 6 F A mikrofont a gúlába írt gömb O középpontjába kell elhelyezni. Az ábrán az EL és az EM az oldallapok magassága. Pitagorasz tétele alapján az ELC derékszögű 2 háromszögben: (EL ) = 10 2 − 6 2 , ahonnan EL = 8 . Mivel külső pontból a körhöz húzott érintőszakaszok hossza egyenlő, így MF = MN = 6 , és NE = 2 . Pitagorasz-tétele alapján az OEN derékszögű 2 2 2 háromszögben: (OE ) = (ON ) + ( NE ) . ( ) 2 L 1 pont 1 pont 1 pont 1 pont 1 pont 28 − r = r 2 + 2 2 6 (≈ 2,27 ) r= 7 A mikrofon távolsága az E ponttól: EO = EF − OF = 5,29 − 2,27 = 3,02 méter. 1 pont 1 pont Összesen: írásbeli vizsga 0911 6 16 / 17 7 pont 2012. május 8 Matematika emelt szint

Javítási-értékelési útmutató 9. b) második megoldás A mikrofont az O pontba kell elhelyezni. Ennek a pontnak a távolsága a gúla lapjaitól legyen x (méter). Az ábrán az EL az EBC oldallap magassága. Az O pontot összekötve az ABCDE gúla csúcsaival, öt gúlára bontjuk az ABCDE gúlát. Írjuk fel az ABCDE gúla térfogatát az öt gúla térfogatának összegeként. Az ABEO, a BCEO, a DCEO és az ADEO gúlák egybevágóak. Térfogatuk egyenlő (1) V ABCDE = V ABCDO + 4 ⋅ VBCEO AB 2 ⋅ EF 144 ⋅ 28 = = 48 ⋅ 28 . 3 3 AB 2 ⋅ x 144 ⋅ x VABCDO = = = 48 x . 3 3 T ⋅x V BCEO = BCE . A BCE háromszög BC oldalához 3 tartozó magasságát a BEL derékszögű háromszögből 1 pont 1 pont VABCDE = számolva: EL = 10 2 − 6 2 = 8 . BC ⋅ EL 12 ⋅ 8 TBCE = = = 48. 2 2 T ⋅ x 48 ⋅ .x = = 16 x . Ezért V BCEO = BCE 3 3 A térfogatokra kapott kifejezéseket az (1) egyenlőségbe beírva: 48 ⋅ 28 = 48 x + 4 ⋅ 16 x = 112 x , 1 pont 1 pont 1 pont 1

pont 6 7 ≈ 2,27 (m). 7 A mikrofon távolsága az E ponttól: EO = EF − OF = 5,29 − 2,27 = 3,02 méter. ahonnan x = 1 pont Összesen: írásbeli vizsga 0911 17 / 17 7 pont 2012. május 8