Informatika | Grafika » Szabó-Takács - Számítógépi grafika elemei

Számítógépi grafika elemei Bevezető tantárgy az informatikus könyvtáros hallgatók szakirányú képzéséhez Verziószám 1.0 (azaz vázlat) Szabó József, Takács Margit Debreceni Egyetem Informatikai Kar, 2008. 1 Lektorálta: (Ez az internetes példány még nem lektorált, vázlat) 2 Előszó 2008 szeptemberében az informatikus könyvtáros alapképzéses (BSc) hallgatóknál akkreditálva lett egy weblapkészítő szakirány. Ezeknek a hallgatóknak alapozó tárgya egy egyféléves számítógépi grafika, egy bepillantás vagy bevezetés. Heti 2 óra előadás és 2 óra gyakorlat. Az előadó, Szabó József abban a helyzetben volt, hogy ő tanította első éven a matematikát, egy bölcsésznek is megérthető matematikát. Tehát pontosan ismert volt, hogy a hallgatóknak mit kellene tudni és mit nem, Ezen kívül a hallgatóság nem volt éppen a legeminensebb matematikából a középiskolai tanulmányok során sem, sőt volt néhány hallgató, aki

nem is érettségizett matematikából. Ehelyett érettségizett informatikából vagy latinból Mindezekért a kurzus első része a középiskolából az egykor hozandó, de ma már nem hozott ismereteket eleveníti fel, ismétli át, és részben ki is bővíti. A második részben kap helyet a hagyományosan számítógépi grafika néhány egyszerű témaköre, beleértve a görbe és felület ábrázolási kérdések elvét, a térbeli alakzatok síkra való leképezését és a vizualitást fokozó ábrázolási módszereket is, amilyen pl. a láthatóság szerinti (takart vonalas) vagy árnyalatos ábrázolás. A harmadik témakörbe bepillantást nyertünk az AutoCAD-be és a gyakorlaton tucatnyi grafikus logót elemeztünk és szerkesztettünk, amelyek létező intézmények logói. Egy fejezet tárgyalja röviden a reliefperspektívát, amely olya vizuális valóság geometriai hátterét jeleni, amelyben az ember a vizuális terekben, oszlopcsarnokokban járhat, bolyonghat.

Az utolsó fejezet a fényképezésről szól. A kultúrtörténeti ismereten túl a hangsúly a digitális fényképezőgépek fontosabb részeiről és a kapcsolódó szoftverekről szól. A jegyzet létrejöttében fontos szerepe volt Takács Margitnak, az egyik csoport gyakorlatvezetőjének, aki óráról órára írta a jegyzetet, és már az első vizsgakor is a hallgatók rendelkezésére állt sok fejezet. Nem tekintjük a jegyzetet véglegesnek, ezért is szerepel a címben, hogy 1. verzió, azaz vázlat Minden megjegyzést jó szívvel fogadunk. Debrecen, 2009. január A szerzők 3 Tartalom Tartalom Előszó . 3 Tartalom . 4 Geometriai alapfogalmak . 5 Geometriai szerkesztés. 5 Geometriai objektum egyenlete . 6 Az egyenes . 6 A kör. 10 Forgáskúp metszete síkkal . 12 Ellipszis . 13 Az ellipszis paraméteres egyenletrendszere. 16 Parabola és hiperbola . 16 A görbe. 20 Egyszerű kinematikai görbék egyenletének felállítása . 21 Egyenesen gördülő kör. 21

Körön gördülő kör. 26 Interpoláció, approximáció. 29 Érintő egyenes, érintő vektor, simulókör . 29 Egyszerű görbeinterpoláció. 31 Bézier-spline. 34 B-spline . 37 Tér leképezése síkra . 43 Az ábrázoló geometria fogalma, szerepe, módszere . 43 Parallel-projekció . 45 Axonometria. 47 A végtelentávoli elemek, homogén koordináták. 52 Centrális projekció . 57 A láthatóság szerinti ábrázolás. 59 Relief perspektíva. 62 Komputergrafikai vonatkozások . 69 AutoCAD elemei. 70 Fényképezés . 73 A fényképezés és a fényképezőgép. 73 Digitális fényképezőgép; működése, használata, tesztelése. 80 Az érzékelő. 83 Szoftver a gépben . 84 Szoftver a képfeldolgozáshoz. 84 Az optika pontosságáról . 85 4 Geometriai alapfogalmak Geometriai szerkesztés Euklidesz i.e 300 körül az Elemek munkájában megfogalmazta a szerkesztés fogalmát A szerkesztésnek vannak eszközei, vannak az eszközök használatára vonatkozó szabályok,

és van egy geometriai rendszer, a maga törvényszerűségeivel. Ez a szerkesztés tere Euklidész1 eszközei az egyélű, korlátlan hosszúságú vonalzó, a másik a kétágú körző2, amely akármeddig becsukódik és akármeddig kinyílik. A geometria az akkor még egyedül létező un. euklideszi geometria Ezt tanulják ma a középiskolákban is Az eszközökkel az alábbi tevékenységet lehetett végezni: Két adott pontot egyenessel összekötni, Adott pont, mint középpont körül adott ponton át a körzővel kört rajzolni Maga a szerkesztés az alábbi mozzanatokból áll: Megszerkesztett pont két egyenes metszéspontja, kör és egyenes metszéspontja, két kör metszéspontja. Szerkesztés alatt pedig azt értik, hogy adatokból (pontok, szakaszok, egyenesek, körök stb.) az előbb leírtak alkalmazásával véges számú lépést hajtunk végre. Egy valami megszerkeszthető, ha az adatokból véges sok szerkesztési lépéssel az eredmény (=a valami) megkapható

Vannak nevezetes szerkesztési problémák. Ilyen pl adott szög harmadának a megszerkesztése Egy másik, hogy szerkesszünk négyzetet, amelynek kerülete vagy területe egyenlő egy adott kör területével. Az 1800-as évek közepéig egyiket sem tudták megoldani, de attól kezdve tudják, hogy nem lehet a feladatot megoldani De nem lehet olyan egyenlőszárú háromszöget sem szerkeszteni, amelynek az egyik szöge (legyen az alapon lévő) 20º-os Sokáig probléma volt a vonalzó hossza. Ezt a Desargues (dézárg) -tétellel ki lehet küszöbölni Egymástól távoli (akár a rajlapra sem eső) pontokat is össze lehet kötni pár centis vonalzóval. Még tovább volt problémás a körző nyílása. Ezt csak az 1920-as években egy japán oldotta meg úgy, hogy kimutatta, miszerint az un. rozsdás körzővel (korlátozott a kör sugara) is megoldhatók azok a feladatok, amelyek Euklidész végtelen nyílású körzőjével megoldhatók A számítógépek és a grafikus

eszközökkel való rajzolás a szerkeszthetőség határait megnövelték. Velük a műszaki élet számára fontos és nagyon pontos szerkesztéseket lehet végezni Az algoritmusokat átvehetjük a hagyományos szerkesztésekből. A pont nulla dimenziós, nincs kiterjedése. De ha szerkesztünk, akkor már látni kell 1 szögperc alatt kezdi az átlagos szemű ember a pontokat külön látni. Ez azt jelenti, hogy ha két nulla kiterjedésű pont 007 cm-re van egymástól, akkor kezdjük őket 25 cm-ről kettőnek látni. Az egyenes egy dimenziós, nincs 1 A szövegszerkesztő az Eukleidész nevet fogadta el. Olyan nevű görög személy is volt, drámaíró A matematikus az Euklidész 2 Hjemslev a XX. században háromlábú körzőre is dolgozott ki szerkesztéseket 5 π vastagsága. Emlékezzünk vissza, hogy ∫ sin xdx = 2 , pontosan. Ugyanakkor a π-t számokkal 0 nem tudjuk leírni. Ha az integrál felső határa 314, mondjuk 20 tizedes jegyre, az sem lesz kerek

kettő. A számítógép a valós számoknak olykor csak egy véges tizedes jegyeivel számol. Ezért egy pont egy egyenesre nem úgy esik, hogy az egyenes egyenletét nullává teszi, hanem attól picivel eltér. 0000001 cm-es pontosságot könnyű elérni Ezt lefordítva az ember szemére: amikor az ember számára két pont már összefolyik, a két pontot összekötő szakaszon a számítógép még több ezer pontot figyelembe tud venni. Geometriai objektum egyenlete A pontnak a síkon két koordinátája van: x és y. Egy geometriai objektum azon pontok öszszessége, amelyek koordinátái kielégítik az egyenletet Ebben az értelemben az objektum lehet függvény grafikonja is, meg nem is. Erre majd bőven látunk példát A középiskolából hozzuk, hogy 2 x − y + 4 = 0 egyenletet kielégítő pontok egyenest alkotnak. Rendezés után y = 2 x + 4 egyenletet kapjuk, és ez függvény. Az x = 0 is egyenes, az y-tengely egyenlete, ez azonban nem függvény. Az egyenes

Tétel: Minden egyenes egyenlete leírható A⋅ x + B ⋅ y + C = 0 alakban, ahol az A és B értékeknek legalább az egyike nem 0. Minden ilyen egyenlet egy egyenes egyenlete. Számpéldával illusztráljuk: Két pont meghatároz egy egyenest: Legyenek a pontok L(3;5) M(5;4). Az egyenesnek mindkettő pontja, ezért kielégítik az egyenletet A ⋅ x1 + B ⋅ y1 = −C A ⋅ x 2 + B ⋅ y 2 = −C 3⋅ A + 5⋅ B + C = 0 5⋅ A + 4⋅ B + C = 0 Az A, B és C értékeket kell meghatározni. Mindkét pont illeszkedik az egyenesre Az egyenletrendszer alapmátrixának és bővített mátrixának a rangja kettő, ezért az egyenletrendszer megoldható. A Cramer szabállyal dolgozunk Ami az alapmátrixon kívülre esik az paraméter Ez most a C. x1 y1 3 5 = = −13 ≠ 0 x2 y2 5 4 −C 5 3 −C −C 4 5 −C C 2C A= = ; B= = −13 −13 −13 −13 Tehát A, B, C egy konstans szorzó erejéig meghatározhatók: 6 C 2C , , C ) = (C , 2C , − 13C ) = (1, 2, − 13) −13 −13 Az

egyenes egyenlete tehát x + 2 y = 13. Ez tényleg jó, mert 3 + 2*5 = 13, és 5 +24 = 13, vagyis mindkét pont illeszkedik is az egyenesre. ( Egyéb egyenes-egyenletek Tétel:: Az y tengellyel nem párhuzamos, m iránytangensű, az y tengelyen b tengelymetszetet adó egyenes egyenlete y = m ⋅ x + b . Az a tény, hogy az egyenes nem párhuzamos az y tengellyel, biztosítja, hogy van az egyenesnek iránytangense, és metszi az y tengelyt, tehát ad tengelymetszetet az y tengelyen. Ennek értelmében y = mx+b egyenlet az y-tengellyel nem párhuzamos egyenes egyenlete. (Az A ⋅ x + B ⋅ y + C = 0 egyenlet általánosabb egyenlet. Ennél az egyenletnél az y tengellyel való párhuzamosság annyit jelent, hogy x=konstans és y akármilyen lehet.) Az egyenes vektori egyenlete: y A 1 B X b a 1 x Az A és B pont meghatároz egy egyenest. A pontokhoz az a és b vektor mutat Ha az a vektorhoz hozzáadjuk a b-a vektor t-szeresét, az egyenes bármely pontjába eljutunk Ha t=0, akkor

éppen az A pontot kapjuk Ha t=1, akkor pedig a B pontot A b-a vektor az egyenes irányvektora. Szokás a helyvektorokat r betűvel jelölni, az irányvektort v-vel, a paramétert tvel Így az egyenes vektori egyenlete: r = r0 + v ⋅ t Ezt kiírhatjuk egyenletrendszer formájában is, azaz koordinátákra kibontva: x(t ) = x0 + t ( x1 − x0 ) y (t ) = y0 + t ( y1 − y0 ) Ahol a kezdőpont koordinátái x0 , y0 , a végponté pedig x1 , y1 . A t konkrét értékére megkapjuk az AB egyenes egy pontját Ez az egyenes egyenlet éppen olyan általános, mint az Ax+By+C=0 egyenlet. 7 Példa: Írjuk fel a korábban már szerepelt L(3;5) és M(5;4). Pontokra illeszkedő egyenes paraméteres egyenletrendszerét. x(t ) = x0 + t ( x1 − x0 ) = 3 + t (5 − 3) = 3 + 2t y (t ) = y0 + t ( y1 − y0 ) = 5 + t (4 − 5) = 5 − t Röviden tehát: x = 3+ 2⋅t y = 5−t Ha az egyenletrendszerből a t-t kiküszöböljük (elimináljuk, eltüntetjük), akkor megkapjuk az általános

egyenletet. Mindkét egyenletből kifejezzük t-t x −3 , illetve a másodikból t = 5 − y . Az elsőből t = 2 Ezek egyenlők, ezért x−3 = 5 − y ⇒ x + 2 y − 13 = 0 2 Az egyenes iránytényezős egyenlete A középiskolában mindenki tanulta, hogy az ( x1 , y1 ) és ( x2 , y2 ) pontokra illeszkedő egyenes egyenlete y −y ( y − y1 ) = m( x − x1 ), ahol m = 2 1 x2 − x1 Az m az iránytényező, az egyenes x tengellyel bezárt szögének tangense. Hesse féle normálalak: Az Ax + By +C =0 egyenletben az egyenes normálvektora az (A,B) Az L(3;5) és M(5;4) pontokra illeszkedő egyenes egyenlete x + 2y -13 = 0. Az L-ből M-be mutató vektor, az egyenes irányvektora v(5-3,4-5) = v(2,-1). Ez kapcsolatba hozható az egyenes általános egyenletével is Az előbb számoltuk ki A-t és B-t, miközben a C paraméter volt Azt kaptuk, hogy C 2C . Vegyük az (A,B)-nek, mint vektornak az v(2,-1) irányvektorral a skaláA= , B= −13 −13 C 2C 2C − 2C *2 + *(−1) = = 0 ,

azaz a két vektor merőleges egymásra. ris szorzatát. Ez −13 −13 −13 Az egyenes Ax + By +C = 0 egyenletében szereplő A és B az egyenes normálvektorának két koordinátája. A normálvektor akármilyen hosszú lehet A Hesse-féle egyenletben azonban egségnyi hosszúságú, és ebből több hasznos dolog származik. 8 Normírozzuk hát az Ax + By +C = 0 Ez azt jelenti, hogy végig osztjuk a normálvektor jelenlegi hosszával., azaz A2 + B 2 -tel, tehát a Hesse-féle normálalak: A B C x+ y+ =0 A2 + B 2 A2 + B 2 A2 + B 2 Igazoljuk, hogy egyenesünk normálvektora valóban egségnyi hosszúságú. A távolságkereséshez érdemes a Hesse-féle normálalakot használni: Milyen távol van az egyenestől egy pont? Ha P(x,y) a sík tetszőleges pontja, a P pontnak az egyenestől mért távolsága d=|A*x+By-C| Példa: a P(-5;10) pontnak a 3x-4y=20 egyenestől mért távolságát ennek alapján úgy határozhatjuk meg, hogy az egyenletet végigosztjuk az n(3;-4)

normálvektor hosszával, így az egyenes normálvektora egységvektor lesz: |n|=(3²+(-4)²)½=5, 3/5*x-4/5y-4=0, Majd ennek a bal oldalába helyettesítve a P pont koordinátáit, a keresett távolságot nyerjük: d=|3/5*(-5)-4/510-4|=15. Tengelymetszetes alak: Ha az egyenes az x tengelyt az (a, 0) pontban y tengelyt a (0, b) pontban metszi, akkor az egyenes tengelymetszetes alakját a következőképpen írhatjuk fel: x y + = 1. a b 6,5 13 Egyenletünk: x + 2y -13 = 0. 13 x = 0 => y = = 6,5 2 y = 0 => x = 13 x y x 2y + = + = 1 => 2 ⋅ y + x = 13 13 6,5 13 13 9 A kör A kör a síkon adott ponttól adott egyenlő távolságra lévő pontok mértani helye. y 1 P(x,y) y r x x 1 A középponti helyzetű r sugarú körvonal egyenlete: x 2 + y 2 = r 2 A kör belsejét azok a pontok alkotják, amely koordinátáira x 2 + y 2 < r 2 áll fenn. A körön kívülre esnek: r 2 < x 2 + y 2 A körlapot így írhatjuk le: azon pontokból áll, amelyek

koordinátáira x 2 + y 2 ≤ r 2 y r (u,v) 1 1 x (u;v) középpontú r sugarú kör egyenlete: ( x − u )2 + ( y − v )2 = r 2 x2 − 2 ⋅ x ⋅ u + u 2 + y2 + v2 − 2 ⋅ y ⋅ v = r 2 Példa: Az x 2 − 3 ⋅ x + y 2 + 5 ⋅ x + 9 = 0 egyenlet milyen alakzatnak az egyenlete? x2 − 3⋅ x + y2 + 5 ⋅ x + 9 = 0 x2 + 2 ⋅ x + y2 + 9 = 0 10 (x + 1)2 − 1 + y 2 + 9 = 0 2 ( x + 1) + y 2 = −8 = (i 2 2) 2 ⇒ azaz képzetes sugarú kör (elsőfajú képzetes kör) A kör paraméteres egyenletrendszere: x = r ⋅ cos t y = r ⋅ sin t y x = cos t r y = sin t r P(rcost,rsint) r t x x2 = cos 2 t r2 y2 = sin 2 t 2 r x2 y2 + = cos 2 t + sin 2 t = 1 r2 r2 x2 + y2 = r 2 Emlékeztetőül: x 2 + y 2 = r 2 nem függvény, mert y 2 = r 2 − x 2 , azaz y = r 2 − x 2 , és a gyökvonással a körív alsó felét elvesztettük. r (t ) = e1 ⋅ r ⋅ cos t + e2 ⋅ r ⋅ sin t függvény, mert egy t-hez egy függvényérték tartozik. Az e1, e2 az x

és az y tengelyek egységvektorai. A képlet leírja az egész kört 0≤t≤360°=2π Kör érintője: Érintő: a húr határértéke. (Def.: Az an sorozat konvergens és határértéke az A szám, ha bármely ε (0<ε) számhoz van olyan N pozitív szám, hogy a sorozat minden N-nél nagyobb indexű tagja az A szám ε sugarú környezetébe esik.) 11 A a B3 F3 A3 B2 F2 a3 B1 F1 O A2 a2 A1 a1 Az A pontban az e érintő lesz az a1, a2, a3 szelők határértéke. A szelők felezőmerőlegese átmegy a kör középpontján. Az AA1 ívet az OF1 egyenes felezi, a metszéspont B1 Az A1, A2, A3 sorozat tart A-hoz, és előtte van „félúton” a B1, B2, B3 sorozat, tehát ez is A-hoz tart. A szelő és a felezőmerőleges mindig derékszöget zár be, tehát a szögek sorozata egy konstans sorozat, határértéke maga a konstans, tehát derékszög. A komputergrafikában is, de a mindennapi életben is jelentősek a kúpszeletek. Az ismereteket csak forgáskúp

síkmetszeteire tárgyaljuk. Forgáskúp metszete síkkal: Tétel (Dandelin-tétel): A forgáskúp csúcsán át nem haladó, sík a kúpfelületet ellipszisben, parabolában, vagy hiperbolában metszi aszerint, hogy a sík egy alkotóval sem, egy alkotóval vagy két alkotóval párhuzamos. (A kör az ellipszis speciális esete, egyenlők a tengelyei) A síkmetszet fókusza az a pont , ahol a kúp és a sík által határolt tartomány beírt gömbje érinti a síkot. 12 ellipszis parabola hiperbola Ha a metsző sík a kúp csúcsán megy át, akkor a síkmetszet metsző vagy egybeeső egyenespár. Az összes kúpszelet leírható a következő egyenlettel: a ⋅ x 2 + b ⋅ x ⋅ y + c ⋅ y 2 + d ⋅ x + e ⋅ z + f = 0 , ahol a, b, c nem mind zéró (lehet kör, ellipszis, parabola, hiperbola, egyenespár (egybeeső, képzetes) egyenlete) Példa: egybeeső egyenespárok: x 2 = 0 , azaz x ⋅ x = 0 Egyenespár: x2 − y 2 = 0 (x − y ) ⋅ (x + y ) = 0 (hol az egyik, hol a

másik nulla, valós egyenespár) Képzetes egyenespár: x2 + y2 = 0 (x − i ⋅ y ) ⋅ (x + i ⋅ y ) = 0 (képzetes egyenespár)3 ( x + 1) 2 + y 2 = −8 = (i 2 2) 2 egyenlet pedig egy képzetes sugarú, ún. elsőfajú képzetes kör Ellipszis Def.: Olyan pontok mértani helye a síkon, amelyeknek két adott ponttól mért távolságának az összege állandó. Az ellipszis pontjait úgy szerkeszthetjük meg, hogy a 2a-ból veszek egy adott hosszt és körzök az egyik fókusz körül, a maradék hosszal pedig a másik fókusz körül körzök. Ahol a két kör metszi egymást ott lesz az ellipszis pontja. 3 Vannak képzetes kúpok is. Azok síkmetszetei képzetesek Most láttunk képzetes egyenespárt és képzetes kört is. 13 2c r1 r2 r1 r2 a b c F1 c r1 + r2 = 2 ⋅ a b-re r1=r2, ezért a fókuszok távolságára: c2 = a2 − b2 Középponti helyzetű ellipszis egyenlete: r2 r1 y x F1 c c F2 r1 + r2 = 2 ⋅ a r12 = y 2 + (c − x ) => r1 = y 2 +

(c − x ) r2 = y 2 + (c + x ) 2 r1 + r2 = 2 2 y 2 + (c − x ) + y 2 + (c + x ) = 2 ⋅ a 2 y 2 + (c + x ) = 2 ⋅ a − y 2 + (c − x ) 2 2 2 /()² 14 F2 y 2 + (c + x ) = 4 ⋅ a 2 + y 2 + (c − x ) − 4 ⋅ a ⋅ y 2 + (c − x ) 2 2 2 ⋅ x ⋅ c = 4 ⋅ a 2 − 2 ⋅ x ⋅ c − 4 ⋅ a ⋅ y 2 + (c − x ) 2 2 4 ⋅ a 2 − 4 ⋅ x ⋅ c − 4 ⋅ a ⋅ y 2 + (c − x ) = 0 2 a 2 − x ⋅ c − a ⋅ y 2 + (c − x ) = 0 2 a 2 − x ⋅ c = a ⋅ y 2 + (c − x ) 2 /()² a 4 + x 2 ⋅ c 2 − 2 ⋅ a 2 ⋅ x ⋅ c = a 2 (y 2 + c 2 + x 2 − 2 ⋅ c ⋅ x ) a4 + x2 ⋅ c2 − 2 ⋅ a2 ⋅ x ⋅ c = a2 ⋅ y2 + a2 ⋅ c2 + a2 ⋅ x2 − 2 ⋅ a2 ⋅ x ⋅ c /+ 2 ⋅ a 2 ⋅ x ⋅ c a4 + x2 ⋅ c2 = a2 ⋅ y2 + a2 ⋅ c2 + a2 ⋅ x2 c2 = a2 − b2 a4 + x2 ⋅ a2 − x2 ⋅ b2 = a2 ⋅ y 2 + a4 − a2 ⋅ b2 + a2 ⋅ x2 − x 2 ⋅ b 2 = a 2 ⋅ y 2 − a 2 ⋅ b 2 /*(-1) x 2 ⋅ b 2 = −a 2 ⋅ y 2 + a 2 ⋅ b 2 b2 ⋅ x2 + a2 ⋅ y 2 = a2 ⋅ b2

/: a 2 ⋅ b 2 x2 y2 + =1 a2 b2 Ha az ellipszis középpontja nem az origó, de a tengelyek párhuzamosak a koordinátarendszer tengelyeivel: ( x − u )2 + ( y − v ) 2 a2 b2 =1 (C(u;v) középpontú ellipszis) Ellipszispontok szerkesztése: Adott az ellipszis a és b tengelye, szerkesszünk ellipszispontot! 15 y y P(x,y) t x a x b Thalesz kört írunk a tengelyek fölé (a kis és a nagy tengelynyi sugárral). Tetszőleges egyenest húzunk a középpontból, kijelöljük a körökkel való metszéspontokat. Ezeken át a tengelyekkel párhuzamos egyeneseket húzunk. Ezek P metszéspontja lesz az ellipszis egy pontja Az ellipszis paraméteres egyenletrendszere: x(t ) = a ⋅ cos t y (t ) = b ⋅ sin t x(t ) = cos t a y (t ) = sin t b 2 2 x(t ) y (t ) + 2 =1 a2 b (x,y) b t a Így eljutottunk az ellipszis paraméteres egyenletéhez. Parabola és hiperbola 16 Parabola: A síkon egy ponttól és egy egyenestől egyenlő távolságra lévő pontok halmaza. (A

parabola azoknak a kör-középpontoknak a mértani helye, amelyek a fókuszon átmennek, és a vezéregyenest érintik) Parabola egyenlete: d p a t F y2 = 2⋅ p ⋅ x 17 y x y=x² Bármely két kör hasonló, és bármely két parabola is hasonló. Két ellipszis akkor hasonló, ha a tengelyek arány egyenlő. Hiperbola: Olyan pontok mértani helye a síkon, amelyeknek két adott ponttól mért távolságának a különbsége állandó. F1 a a 18 F2 Egyenlete: x2 y 2 − =1 a 2 b2 (ált. iskolában a fordított arányossága képeként tanították) Elforgatva: 1 y= x x⋅ y =1 19 A görbe A görbe analitikusan vektor skalár függvény. A t1t2 szakasz minden pontját leképezzük a síkra úgy, hogy a szakasz egy t pontjához hozzárendelünk egy r(t) vektort (pontot). Ezekből az r(t) vektorokból (pontokból) összeáll egy görbe: r=r(t). r(t1) r(t) r(t2) t1 t t2 x(t ) = a11 ⋅ t 3 + a12 ⋅ t 2 + a13 ⋅ t + a14 y (t ) = a 21 ⋅ t 3 + a 22 ⋅

t 2 + a 23 ⋅ t + a 24 0≤t≤1 (görbét akkor kapjuk meg, ha az a-kat ismerem és a t 0-tól 1-ig fut.) A görbe szintetikusan egy egydimenziós kontinuum 20 Egyszerű kinematikai görbék egyenletének felállítása Egyenesen gördülő kör Egy egyenesen csúszás nélkül gördülő kör egy meghatározott pontja által leírt görbét cikloisnak nevezzük. A pont és a kör kölcsönös helyzetétől függően háromféle görbét/cikloist kaphatunk: 1. ha a pont a körvonalon van, akkor közönséges/csúcsos cikloist, 2. ha a pont a kör területén belül helyezkedik el, akkor nyújtott cikloist, 3. ha a pont a kör területén kivül helyezkedik el, akkor hurkolt cikloist Az első esetben adva van egy r sugarú kör és azon egy Q pont. A kört egy egyenes görgetjük A gördülés kezdetén a kör az Q pontban érinti az egyenest. Ha a gördülés csúszásmentes, és a kör egy későbbi helyzetében a kezdeti érintési pont (Q) aktuális helyzetét Q jelöli,

akkor szükségképpen QP=QP, ahol P’ jelöli az aktuális érintési pontot, QP pedig a kör megfelelő ívének hosszát. Ezt úgy is fogalmazhatjuk, hogy a kezdeti Q érintési pont annyit fordul el a körön, amennyit az érintési pont vízszintesen halad az egyenesen. Mindezek figyelembe vételével a Q’ pont koordinátáit kell meghatározni! 21 O O t rcost t Q P rsint K r Q P 22 Q’ pont koordinátái: x(t ) = QP − QK QP = r ⋅ t QO = r QK sin t = => QK = QO⋅ sin t QO QK = r ⋅ sin t x(t ) = r ⋅ t − r ⋅ sin t y (t ) = O P − O K O P = r O K => O K = QO⋅ cos t QO O K = r ⋅ cos t r(t) => x(t ) = r ⋅ t − r ⋅ sin t y (t ) = r − r ⋅ cos t cos t = y (t ) = r − r ⋅ cos t A másik két esetben a mozgó pont nem a körvonalon van, hanem a körlapon belül vagy kívül helyezkedik el. Ennek a P pontnak a kör középpontjától (O) mért távolsága R A P pont a körrel együtt gördül, akkor e mozgás során hurkolt,

vagy nyújtott cikloist ír le, attól függően, hogy R > r, vagy R < r teljesül, ahol r a kör sugara. A feladat ezekben az esetekben is a Q’ pont koordinátáinak a meghatározása. 23 O O t r Q dcost Q P K P1 L dsint P 24 x(t ) = KL − P L KL = QP = r ⋅ t x(t ) = r ⋅ t − d ⋅ sin t O P = d sin t = P L O P = P L d => P L = d ⋅ sin t y (t ) = O P1 − O L y (t ) = r − d ⋅ cos t O P1 = r cos t = O L O P = O L d => O L = d ⋅ cos t r(t) => x(t ) = r ⋅ t − d ⋅ sin t y (t ) = r − d ⋅ cos t 25 Körön gördülő kör P d dsinfi Q fi dcosfi K (r1+r2)sint O t (r1+r2)cost r1 L Kis kör gördül a nagy körön, és a kis körre rá van kötve a P pont. (Ha r2<0, akkor a kis kör a nagy körben van.) 26 r2 Q Z P Ha egy kör kerületén csúszásmentesen gördítünk egy másik kört, amihez egy pontot rögzítünk, akkor a pont által leírt görbét epicikloisnak nevezzük. Az episikloisnál is

három lehetőségünk van: a pont a körvonalon van, vagy a kör területén belül vagy kívül helyezkedik el Feladatunk ebben az esetben is a P’ pont koordinátáinak a meghatározása. x(t ) = OL + LZ OQ = r1 + r2 cos t = OL OQ = OL r1 + r2 => OL = (r1 + r2 ) ⋅ cos t x(t ) = (r1 + r2 ) ⋅ cos t + d ⋅ cos fi Q P = d LZ = Q K cos fi = Q K Q P = Q K d => Q K = d ⋅ cos fi y (t ) = ZK + KP ZK = LQ sin t = LQ OQ sin fi = = KP Q P LQ r1 + r2 = KP d y (t ) = (r1 + r2 ) ⋅ sin t + d ⋅ sin fi => LQ = (r1 + r2 ) ⋅ sin t => KP = d ⋅ sin fi ϕ = tr1 / r2 + t = t (1 + r1 / r2 ) r(t) => x(t ) = (r1 + r2 ) cos t + d cos ϕ y (t ) = (r1 + r2 ) sin t + d sin ϕ Példa: Mindkép esetet megprogramozzuk a gyakorlaton. Igen sok esztétikailag is érdekes rajzot kapunk 27 28 Interpoláció, approximáció Érintő egyenes, érintő vektor, simulókör A görbét egy pontjában vizsgálva felmerülhet az a kérdés, hogy mi az illető

pontban a görbe iránya. Ha egy mozgó testet valamilyen erő pályára kényszerít, az erő megszűntével a test egyenes vonalú pályán folytatja útját. A görbe egy P pontjában a görbe irányán annak az egyenesvonalú pályának az irányát értjük, amelyen a görbe mentén mozgó test a P ponttól kezdve haladna tovább, ha éppen a P pontban szűnne meg a ráható erő. Geometriailag ez az irány a P pontbeli érintő iránya. Geometriailag értelmezve a görbe P pontbeli érintője: A görbe egy P pontját összekötve egy tetszőleges P1 pontjával a görbe húrjait kapjuk. Ha a P1 pont a görbén tart a P-hez, a PP1 egyenesek határhelyzetét a P pontbeli érintőnek nevezzük. Feladat : Számítsuk ki 30°-nál a kör érintőjét! r 30° f Az érintő a szelő határhelyzete, ezért a kör egyenletrendszerét deriválni kell. x(t ) = r ⋅ cos t y (t ) = r ⋅ sin t a => ֹ x (t ) = r ⋅ cos t y (t ) = r ⋅ sin t e A sugár és az érintő

derékszöget zár be. (Be kell bizonyítani) Két vektor skaláris szorzata nulla, ha merőlegesek egymásra: r ⋅ f = 0 = r ⋅ f ⋅ cos α 29 a ⋅ e = r ⋅ cos t ⋅ r ⋅ sin t − r ⋅ sin t ⋅ r ⋅ cos t = 0 a(ax;ay) a ⋅ e = a x ⋅ ex + a y ⋅ e y e(ex;ez) Mekkora a hossza a kört érintő vektornak? r 2 ⋅ cos 2 t + r 2 ⋅ sin 2 t = r => olyan hosszú lesz az érintő vektor, mint a kör sugara. Így, ha van egy körünk, amit belülről érint egy másik kör: (2a és a sugarúak), akkor az egyik körről nem tudunk átmenni a másik körívére megállás nélkül, mert egy pillanat alatt kellene a kormányt átállítani, hogy ne az eredeti körön haladjunk tovább. a a Simulókör: A görbe M pontjához tartozó görbületi körnek nevezzük az M-en és a görbe két hozzá közeli N és P pontján átmenő kör határhelyzetét, ha N->M és P->M. Ez átmegy a szóbanforgó görbeponton, és ott ugyanaz az 1. és 2 deriváltja, mint a

görbének, tehát az érintési pontban a görbéhez különösen jól simul Ezért a görbületi kört simulókörnek is nevezzük 30 Egyszerű görbeinterpoláció A P(x,y)=0 egyenlettel adott görbét - ahol P az x, y koordinátáktól függő kétváltozós polinom - algebrai görbének nevezzük, ha a változók algebrai műveletekkel, azaz az összeadás, kivonás, szorzás, osztás műveletével kapcsolódnak össze. Ilyenek pl. 5x +2xy+7=0, y=1/x , 2x+3y-9=0, y 2 − 6 x = 0, x 2 + y 2 − 16 = 0 Egyenest két pont határozza meg: P1(x1;y1) , P2(x2;y2), y-nal párhuzamos tengelyű parabolát három P1(x1;y1), P2(x2;y2), P3(x3;y3) P1 P2 y (t ) = y1 + t ⋅ ( y 2 − y1 ) x(t ) = x1 + t ⋅ (x2 − x1 ) x(t ) = t P3 P1 y(t) =a⋅t2 +b⋅t +c P2 31 Interpoláció, approximáció (Ha ez koordinátarendszerben lennének, akkor a regresszió analízis segítségével meg tudnánk határozni a közelítő egyenest.) Approximáció => közelítés; ismeretlen

mennyiségnek közelítő pontossággal történő meghatározására szolgáló eljárás (a görbe, amit a pontokhoz kreálunk, közel menjen a pontokhoz.) Interpoláció esetén a görbe áthalad az adott pontokon. Azaz, amennyiben elvárjuk azt, hogy az illesztett görbe átmenjen minden kontrollponton, akkor interpolációs eljárásról beszélünk. Az approximációs módszerek esetében ez nem mindig áll fent, csak azt tudják garantálni, hogy nagyjából követni fogják az általuk kijelölt irányvonalat Vagyis a kontroll pontsorozat között fog áthaladni nagy valószínűséggel a görbe Adott négy pont P0, P1, P2, P3 (kontroll pontok). Ezeket a pontokat összekötő szakaszok alkotta poligont, kontroll poligonnak hívják. P1 P2 P0 P3 Görbe fogalma: Menger Dimenzió (Uriszon): A pont 0 dimenziós, egy alakzat n dimenziós, ha azt egy n-1 dimenziós alakzat kettébontja, de egy n-2 dimenziós alakzat már nem. Menger definíciója szerint: a görbe egydimenziós

kontinuum. => hézagtalanul vannak ezek a pontok. Másik meghatározás: Jordan-féle görbe fogalom: A t1t2 szakasz minden pontját leképezzük a síkra úgy, hogy a szakasz egy t pontjához hozzárendelünk egy r(t) vektort (pontot). Ezekből az r(t) vektorokból (pontokból) összeáll egy görbe: r=r(t). 32 t1 t t2 Vektor skalár függvény r(t) x(t ) = a11 ⋅ t 3 + a12 ⋅ t 2 + a13 ⋅ t + a14 y (t ) = a 21 ⋅ t 3 + a 22 ⋅ t 2 + a 23 ⋅ t + a 24 0≤t≤1 (görbét akkor kapjuk meg, ha az a-kat ismerem és a t 0-tól 1-ig fut.) Mikor oldható meg egy lineáris egyenletrendszer? T: A lineáris egyenletrendszer pontosan akkor oldható meg, ha az alapmátrix rangja megegyezik a kibővített mátrix rangjával. Egy egyenletrendszert megoldhatunk a Cramer szabálylyal és Gauss-féle eliminációval x0 = a14 x3 = a11 + a12 + a13 + x0 < = ezt a görbét szeretném m egkapni (u1,v1) érintővektor K (x1,y1) L (x2,y2) (u2,v2) érintővektor x(t ) = a11 ⋅ t 3 +

a12 ⋅ t 2 + a13 ⋅ t + a14 y (t ) = a 21 ⋅ t 3 + a 22 ⋅ t 2 + a 23 ⋅ t + a 24 Az érintő a szelő határhelyzete. Az érintőt úgy kapjuk meg, hogy a görbét differenciálni kell x(t ) = 3 ⋅ a11 ⋅ t 2 + 2 ⋅ a12 ⋅ t + a13 . y (t ) = 3 ⋅ a 21 ⋅ t 2 + 2 ⋅ a 22 ⋅ t + a 23 . 33 K(x1,y1) => érintő vektor: (u1,v1) L(x2,y2) => érintő vektor: (u2,v2) t=0 x(0 ) = x1 = a14 t=1 x1 = a14 u1 = a13 x(1) = x 2 = a11 + a12 + a13 + x1 t=0 x 2 = a11 + a12 + a13 + x1 = a11 + a12 + u1 + x1 u 2 = 3 ⋅ a11 + 2 ⋅ a12 + u1 x(0) = u1 = a13 t=1 a11 + a12 = x 2 − u1 − x1 x(1) = u 2 = 3 ⋅ a11 + 2 ⋅ a12 + u1 3 ⋅ a11 + 2 ⋅ a12 = u1 − u1 . . Ezt kell megoldani 2 ⋅ a11 + 2 ⋅ a12 = 2 ⋅ x 2 − 2 ⋅ u1 − 2 ⋅ x1 3 ⋅ a11 + 2 ⋅ a12 = u1 − u1 a11 = u 2 + u1 − 2 ⋅ x 2 + 2 ⋅ x1 a12 = x 2 − u1 − x1 − u 2 − u1 + 2 ⋅ x 2 − 2 ⋅ x1 a12 = 3 ⋅ x 2 − 2 ⋅ u1 − 3 ⋅ x1 − u 2 A görbe nagysága attól függ, hogy az

érintő milyen nagy. Bézier-spline 34 (A spline eredetileg a hajóépítők által használt „flexibilis vonalzót”, gyakorlatilag egy hajlékony, rugalmas acélpálcát jelentett.) Pascal-féle háromszög: (binomiális együtthatók vannak benne) (a+b)0= 1 1 (a+b) = 1a + 1b (a+b)2= 1a2 + 2ab + 1b2 (a+b)3=1a3 + 3a2b + 3ab2 + 1b3 1 1 1 1 1 2 3 1 3 1 P1(x1;y1) P2(x2;y2) P0(x0;y0) t=0 P3(x3;y3) t=1 x(t ) = (1 − t ) ⋅ x0 + 3 ⋅ t ⋅ (1 − t ) ⋅ x1 + 3 ⋅ t 2 ⋅ (1 − t ) ⋅ x 2 + t 3 ⋅ x3 3 2 y (t ) = (1 − t ) ⋅ y 0 + 3 ⋅ t ⋅ (1 − t ) ⋅ y1 + 3 ⋅ t 2 ⋅ (1 − t ) ⋅ y 2 + t 3 ⋅ y 3 3 t=0 => 2 x(0) = x0 y (0) = y 0 (Első pontban kezdődik) t=1 => x(1) = x3 y (1) = y 3 (4. pontban fejeződik be Mi van közbe?) Nézzük meg az érintőjét: 35 [ + 3 ⋅ [1 ⋅ (1 − t ) ] + t ⋅ (1 − t ) ⋅ 2 ⋅ (− 1)]⋅ y [ + 3 ⋅ [2t ⋅ (1 − t ) + t ] ⋅ (− 1)]⋅ y x(t ) = −3(1 − t ) ⋅ x 0 + 3 ⋅ 1 ⋅

(1 − t ) + t ⋅ (1 − t ) ⋅ 2 ⋅ (− 1) ⋅ x1 + 3 ⋅ 2t ⋅ (1 − t ) + t 2 ⋅ (− 1) ⋅ x 2 + 3 ⋅ t 2 ⋅ x3 . 2 y (t ) = −3(1 − t ) ⋅ y 0 . 2 2 2 1 2 2 + 3 ⋅ t 2 ⋅ y3 t=0 => x(0) = −3 ⋅ x0 + 3 ⋅ x1 = 3 ⋅ ( x1 − x0 ) . y (0 ) = −3 ⋅ y 0 + 3 ⋅ y1 = 3 ⋅ ( y1 − y 0 ) (Az érintő háromszorosa a P0P1 szakasznak) . t=1 => x(1) = −3 ⋅ x 2 + 3 ⋅ x3 = 3 ⋅ ( x3 − x 2 ) . y (1) = −3 ⋅ y 2 + 3 ⋅ y 3 = 3 ⋅ ( y 3 − y 2 ) (Az érintő háromszorosa a P2P3 szakasznak) . Ha P1 és P2 pontokat változtatom, akkor a görbe alakja is változik. Ez a görbe egyenlet kezelhetetlen lesz, ha túl sok pont van megadva (a fokszám igen magas lesz, többet kell számolni.) Másik hátránya, ha a görbéhez újabb pontot adunk, akkor az egész „beleremeg”, azaz az egész görbe alakja változik. A Bézier-görbe nemcsak a kontroll pontok konvex burkából nem lép ki, hanem a háromszögekből sem. Összefoglalva: A

görbe a kezdőpontból indul ki és a végpontba ér be. A görbe kezdő érintője szintén a kezdőpontból indul ki és hossza háromszorosa az első és második pont által meghatározott vektor hosszának. Végpontbeli érintője az utolsó és utolsó előtti pont által meghatározott vektor háromszorosa Bézier-görbe tulajdonsága: A Bézier-görbe nem lép ki a háromszögekből 36 Ez a görbe egyenlet kezelhetetlen lesz, ha túl sok pont van megadva (a fokszám igen magas lesz, többet kell számolni). Másik hátránya, ha a görbéhez újabb pontot adunk, akkor az egész „beleremeg”, azaz az egész görbe alakja változik és más lesz az érintője. B-spline 37 A Bézier-görbe hibáinak kiküszöbölésére létrehozták a B-spline-t. A cél az, hogy pontok hozzáadásával a görbe ne „remegjen bele”. Sok pont esetén se legyen túl magas a fokszám. Az előzőekhez hasonlóan a pontok koordinátáit meg kell szorozni bizonyos együtthatókkal,

súlyokkal, majd össze kell adni Kérdés, hogy mik legyenek ezek az együtthatók? Van 4 pontunk: P0, P1, P2, P3 P1 P2 P0 t=0 P3 t=1 x(t ) = B0 ⋅ x 0 + B1 ⋅ x1 + B2 ⋅ x 2 + B3 ⋅ x3 B0 (t ) = (1 − t ) / 6 3 ( ) B1 (1) = 1 + 3 ⋅ (1 − t ) + 3 ⋅ t ⋅ (1 − t ) / 6 B2 (t ) = 1 + 3 ⋅ t + 3 ⋅ (1 − t ) ⋅ t 2 / 6 B3 (t ) = t 3 / 6 ( 2 ) B1 B2 B0 B3 0 1 t=0 38 x0 2 x + ⋅ x1 + 2 = (x 0 + 4 ⋅ x1 + x 2 ) / 6 6 3 6 y0 2 y y (0 ) = + ⋅ y1 + 2 = ( y 0 + 4 ⋅ y1 + y 2 ) / 6 6 3 6 x(0 ) = x1 F Sx x2 x0 S x = ( x0 + x1 + x 2 ) / 3 Fx = (S x + x1 ) / 2 = (x 0 + 4 ⋅ x1 + x 2 ) / 6 A görbe kezdő pontja: Vesszük az első három pontból alkotott háromszöget. Ebben a háromszögben a súlypont és a második pont közötti szakasz felezőpontja lesz a görbe kezdő pontja t=1 x(1) = x x1 2 + ⋅ x 2 + 3 = ( x1 + 4 ⋅ x 2 + x3 ) / 6 6 3 6 y (1) = y y1 2 + ⋅ y 2 + 3 = ( y1 + 4 ⋅ y 2 + y 3 ) / 6 6 3 6 A görbe végpontja: Vesszük a

második, harmadik és negyedik pontból (x1, x2, x3) alkotott háromszöget. Ebben a háromszögben a súlypont és a második pont (x2) közötti szakasz felezőpontja lesz a görbe végpontja 39 P1 P2 P0 t=0 P3 t=1 Érintő: B0 (t ) = 3 ⋅ (1 − t ) / 6 = (1 − t ) / 2 2 ( 2 ) B1 (t ) = − 1 + (1 − t ) − 2 ⋅ t ⋅ (1 − t ) / 2 B2 (t ) = 3 − 3 ⋅ t 2 + 3 ⋅ 2 ⋅ t ⋅ (1 − t ) / 6 = 1 − t 2 + 2 ⋅ t ⋅ (1 − t ) / 2 B3 (t ) = 3 ⋅ t 2 / 6 = t 2 / 2 ( 2 ) ( ) t=0 . 1 1 x(0 ) = − ⋅ x0 + ⋅ x 2 = ( x 2 − x0 ) / 2 2 2 . 1 1 y (0) = − ⋅ y 0 + ⋅ y 2 = ( y 2 − y 0 ) / 2 2 2 t=1 . 1 1 x(1) = − ⋅ x1 + ⋅ x3 = ( x3 − x1 ) / 2 2 2 . 1 1 y (1) = − ⋅ y1 + ⋅ y 3 = ( y 3 − y1 ) / 2 2 2 40 (Tehát az érintővektor hossza fele akkora, mint az első és harmadik pontokat összekötő szakasz.) A simulókörök megegyeznek a csatlakozásokban, azaz a görbénél nem csak a kezdő és végpont egyezik meg, hanem a simuló

kör is. Összefoglalva: A görbe kezdő pontja: Vesszük az első három pontból alkotott háromszöget. Ebben a háromszögben a súlypont és a második pont közötti szakasz felezőpontja lesz a görbe kezdő pontja. A görbe végpontja: vesszük az utolsó három pontból alkotott háromszöget. Ebben a háromszögben a súlypont és az utolsó előtti pont közötti szakasz felezőpontja lesz a görbe végpontja B-spline tulajdonsága: Ha hozzáadok egy pontot, akkor a görbe nem remeg bele, azaz az érintők és a görbe pontjai sem változnak. A B-spline görbe sem lép ki a háromszögekből, azaz a konvex burkán belül van. Hogy lehetne az első ponthoz toldani a görbét? A görbe első pontja az első három pontból alkotott háromszögben a súlypont és a második pont közötti szakasz felezőpontja. Ha azt szeretném ,hogy a kezdőpontból induljon a görbe, akkor a P0P1 szakaszt tükrözni kell a P0 pontra. Így kapunk egy P1’ P0P1 elfajuló háromszöget (egy

szakaszt), aminek a súlypontja a szakasz középpontja, azaz a P0 pont, és akkor innen indul a görbe. 41 P2 P3 P1 P0 Hogy csatlakoznak a B-spline görbe pontjai? Háromféle csatlakozás van: • Egyszerűen cak csatlakoznak • Csatlakoznak és az érintő egyenes is megegyezik • Csatlakoznak és az érintővektor is megegyezik => ez esetben a simulókör is megegyezik Hogy lehet zárt B-spline görbét készíteni? Be kell venni az első és utolsó pontokat is, így további háromszögek jönnek létre, amiben a súlyvonal harmadoló pontja lesz a görbe újabb pontja. P2 P1 P3 P0 P4 42 Tér leképezése síkra Az ábrázoló geometria fogalma, szerepe, módszere h C Vvégtelen P A P A Vvégtelen Egy 2 m magas ember mikor kezdi látni a horizonton az árbocot? A C B (itt kezdem látni az árbocot) => Ez a Föld 43 AC=2 m (magas ember) (A horizont olyan magasan van, mint ahogy a szeme van az embernek.) AB=? AC ⋅ AD = AB 2 (érintő mértani

közepe a szellődaraboknak) 2 ⋅ (2 ⋅ r + 2 ) = 2 ⋅ (40000000 / π + 2 ) = 80000000 / π + 4 AB = 80000000 / π + 4 = 5046 => Tehát a horizont kb. 10 km-re van 44 Parallel-projekció Leképezés vetítéssel: 1. párhuzamos vetítés 2. középpontos vetítés Párhuzamos vetítés 1853-ban Pohlka azt mondta, hogy a következő rajz hasonló a kocka valamely parallel/párhuzamos vetületéhez. => Ha csak szemléltetni akarunk akkor ez pontosan elegendő. => erre is igaz (ezt egy osztrák ember bizonyította be 1858-ban) 45 A teret le akarom képezni egy adott irányú vektorral párhuzamosan (z, y) síkra vetítek. Vetítő sugár: v. z, nü C1 i(x0,y0,z0) P(x,y,z) v p y,kszi P(kszi,nü) nü z0 y0 kszi x0 x v: v(t ) = p + i ⋅ t x(t ) = x + x0 ⋅ t = 0 => t = − x x0 y (t ) = y + y 0 ⋅ t y =ξ = y − x⋅ y0 x0 z (t ) = z + z 0 ⋅ t z =η = z − x⋅ z0 x0 Teret síkra vetítem: Tér i Sík (x,y,z) (ξ,η) ξ = y − x⋅

η = z − x⋅ i(x0,y0,z0) vektorral végezve a leképezést y0 x0 z0 x0 46 Axonometria Transzformációk (síkban) P(x,y) P’(x’,y’) Lehetőségek: 1. 2. x = x + d1 y = y + d 2 (d1,d2) irányú eltolás x = x ⋅ cos α − y ⋅ sin α y = x ⋅ sin α + y ⋅ cos α Óramutató járásával ellentétes irányú, α szöggel való elforgatás y (0,1) cos? ? -sin? ? cos? (1,0) => α szöggel elforgatva: x = 1 ⋅ cos α − 0 ⋅ sin α = cos α y = 1 ⋅ sin α + 0 ⋅ cos α = sin α (0,1) => α szöggel elforgatva: x = 0 ⋅ cos α − 1 ⋅ sin α = − sin α y = 0 ⋅ sin α + 1 ⋅ cos α = cos α 47 sin? (1,0) x 1 0 =1 0 1 cos α sin α − sin α =1 cos α Azokat a kvadratikus mátrixokat, amelyeknek az értéke nem nulla reguláris mátrixoknak nevezzük. Ezek dimenzió tartó leképezések (síkot síkba, teret térbe képeznek) Azokat a mátrixokat, amelyeknél az oszlopok négyzetösszege egy és a kombinációs szorzatának az

összege nulla, ortogonális mátrixoknak nevezzük. Ezek mérettartó leképezéseket, transzformációkat hoznak létre. Ha a determináns értéke -1, akkor tükrözésről van szó. eltolás elforgatás affinitás 3. Hasonlóság Ha ki tudok emelni a mátrixból egy számot és a maradék ortogonális lesz, akkor hasonlóságról, vagyis nagyításról, vagy kicsinyítésről van szó. Például: 6 ⋅ cos α 6 ⋅ sin α − 6 ⋅ sin α 6 ⋅ cos α x = 6 ⋅ ( x ⋅ cos α − y ⋅ sin α ) y = 6 ⋅ (x ⋅ cos α + y ⋅ sin α ) 48 4. Affinitás x = a11 ⋅ x + a12 ⋅ y a11 a12 y = a12 ⋅ x + a 22 ⋅ y a 21 a 22 ≠0 => reguláris a mátrix Az ilyen leképezés egyenest egyenesbe, párhuzamost párhuzamosba visz át. Ezt a leképezést affinitásnak nevezzük. 1 1 Térben P(x,y,z) P’(x’,y’,z’) (teret térbe képez le) z z w P(x,y,z) P(x,y,z) v y u x x 49 y x = u ⋅ x = a11 ⋅ x + a12 ⋅ y + a13 ⋅ z a11 a12 a13 y =

v ⋅ y = a 21 ⋅ x + a 22 ⋅ y + a 23 ⋅ z a 21 a31 a 22 a32 a 23 ≠ 0 a 33 z = w ⋅ z = a31 ⋅ x + a32 ⋅ y + a33 ⋅ z Egy kockát parallelepipedonra képez. (minden oldala parallelogramma) x = a11 ⋅ x + a12 ⋅ y + a13 ⋅ z y = a 21 ⋅ x + a 22 ⋅ y + a 23 ⋅ z x = a11 ⋅ x + a12 ⋅ y + a13 ⋅ z + ox ha a mátrix rangja 2 y = a 21 ⋅ x + a 22 ⋅ y + a 23 ⋅ z + oy z = a31 ⋅ x + a32 ⋅ y + a33 ⋅ z Mert a (a31 a32 (a 21 a 22 a23 ) mátrix a33 ) mátrix többszöröse (x’,y’) a képernyő koordinátái, (ox, oy) a képernyőn lehet mozgatni az origót Mit csinál az origóval? O(0,0,0) => O’(0,0) (helyben hagyja az origót) Ex(1,0,0) => Ex’(a11, a21) Ey(0,1,0) => Ey’(a12, a22) Ez(0,0,1) => Ez’(a13, a23) 50 a (-20,-15) (0,25) Ez (ox,oy) (30,-10) Ey Ex Ex’(-20, -15) Ez’(30,-10) Ez’(0,25) x = −20 ⋅ x + 30 ⋅ y + 0 ⋅ z + ox y = −15 ⋅ x − 10 ⋅ y + 25 ⋅ z + oy Az affinitás osztóviszony tartó

leképezés. 1853-ban Pohlke kimondta, hogy egy térbeli alakzat axonometrikus képe mindig hasonló a térbeli alakzat valamely párhuzamos vetületéhez. 51 A végtelentávoli elemek, homogén koordináták Egy egyenest egy pont két félegyenesre bont. O A Az egyik félegyenes az O-tól jobbra eső a másik félegyenes az O-tól balra eső. Az A és a B pont egy félegyenesen van, ha az A és B pontokat összekötő szakasz nem tartalmazza az O pontot. Az A és a B pont különböző félegyenesen van, ha az A és B pontokat öszszekötő szakasz tartalmazza az O pontot C P e A P A kört leképezzük az egyenesre: A C pontot összekötöm a kör egy P pontját. Az így kapott egyenest meghosszabbítom, ami metszeni fogja e egyenest, ezáltal megkapjuk a P’ pontot. Ezt a kör többi pontjával is elvégezhetjük, kivéve a C pontot. A C pontnak ugyanis nincs ilyen pontpárja az e egyenesen. A C pontban húzott egyenes a többi egyenesek (a C pont és a kör többi

pontjai által meghatározott egyenesek) határértéke, azaz ez az egyenes a kör C pontba húzott érintője. A C pontba húzott érintő párhuzamos az e egyenessel Párhuzamos egyeneseknek van metszéspontja, ez a végtelen távoli pont. Az A pont a kört két részre osztja, ez az AC és a CA körívek. 52 2 1 y = x +1 y = x+2 x − y = −1 x − y = −2 Számítsuk ki a metszés pontjukat! Ez egy egyenletrendszer. Az egyenletrendszer akkor oldható meg, ha az alapmátrix rangja megegyezik a kibővített mátrix rangjával. 1 −1 Ennek a mátrixnak a rangja 1 1 −1 Nem lehet megoldani. 1 −1 −1 Ennek a mátrixnak a rangja 2 1 −1 − 2 Bevezetjük a homogén koordinátákat x1 λ ⋅ x1 = x3 λ ⋅ x3 λ ⋅ x2 x y= 2 = x 3 λ ⋅ x3 x= P(x,y)=P(x1, x2, x3) Ha x3≠0 => vissza lehet írni Descart koordinátákba. Ha x3=0 => nem lehet visszaírni Descart koordinátákba. x1 − x 2 + x3 = 0 x1 − x 2 + 2 ⋅ x3 = 0 három ismeretlenes egyenletrendszer

Ebből kiválasztok egy el nem tűnő részt, ez a − x2 − x2 53 x3 2 ⋅ x3 − x 2 + x 3 = −t − x 2 + 2 ⋅ x3 = −t −1 1 = −2 + 1 = −1 −1 2 x2 = −t 1 −t 2 −1 koordintákra x3 = −1 − t −1 − t −1 = −t =t −1 = x1=t ; x2=t ; x3=0 => nem írható át Descartes 0 =0 −1 Példaképpen Euklideszi síkon: P(x, y) Homogén koordinátákkal: P(x1, x2, x3) x=x1/x3 ; y=x2/x3 (a, b, 0) => végtelen távoli pontot jelenti. A projektív egyenest a zárt körrel lehet jellemezni (ezt két pont osztja ketté). Itt nincs konvex fogalom. y x Számítsuk ki a parabola végtelen távoli pontjainak koordinátáit! 54 y = x2 x 2 x12 = x3 x32 x 2 ⋅ x3 = x12 (ebből ki lehet számolni a végtelen távoli pontokat) x3 = 0 x 2 ⋅ 0 = x12 =>(0,x2,0) => Tehát egy végtelen távoli pont van. Az y-tengely egyenlete x + 0*y +0 =0, azaz mint egyenest az (1,0,0) számhármassal jellemezhetjük. Erre illeszkedik a (0,1,0) végtelentávoli

pont, mivel 1*0 + 01 +00=0. A kibővített euklideszi síkon a parabola tengelyével párhuzamos egyeneseknek két közös pontja van a parabolával. Számítsuk ki a hiperbola végtelen távoli pontjainak koordinátáit! b b a 55 F2 x2 y2 − =1 a2 b2 b2 ⋅ x2 − a2 ⋅ y 2 = a2 ⋅ b2 b 2 ⋅ x12 − a 2 ⋅ x 22 = a 2 ⋅ b 2 ⋅ x32 b 2 ⋅ x12 − a 2 ⋅ x 22 = 0 (b ⋅ x1 − a ⋅ x 2 ) ⋅ (b ⋅ x1 + a ⋅ x 2 ) = 0 => ez két egyenes egyenlete b ⋅ x1 − a ⋅ x 2 = 0 b ⋅ x1 + a ⋅ x 2 = 0 b ⋅ x1 = a ⋅ x 2 b ⋅ x1 = −a ⋅ x 2 b⋅ x − a⋅ y = 0 b⋅ x + a⋅ y = 0 y= b ⋅x a b y =− ⋅x a A kör metszéspontja a végtelen távoli egyenessel a kör végtelen távoli pontja. x2 + y2 = r 2 x12 + x 22 = x32 ⋅ r 2 x12 + x 22 = 0 (i,1,0) (1,i,0) (Minden koordináta nem lehet nulla, mert, akkor az minden pontra illeszkedne.) Ha egy nem elfajult másodrendű görbe átmegy ezen a két ponton, akkor az a görbe kör, ezért ezeket

abszolút képzetes körpontoknak nevezik. Akármekkora sugara van a körnek, és akárhol van a kör, ezen a két ponton átmegy 56 Centrális projekció Egyképsíkos ábrázolási mód. Adott egy képsík (y,z) és egy rá nem illeszkedő pont (a centrum) A képsíkon a centrum merőleges vetületével és az ún distanciával dolgozunk z, nü C1 d C(x0,y0,z0) P(kszi,nü) P(x,y,z) y,kszi Z T x (PC-t összekötöm és TZ-t is. TZ elmetszi az y tengelyt => ebből a pontból párhuzamost húzok z-vel és ez elmetszi a PC egyenest, ott lesz a P’ pont) CP: x(t)=0 x(t ) = x 0 + t ⋅ ( x0 − x ) t=0 => c pont ; t=1 C1 pont y (t ) = y 0 + t ⋅ ( y 0 − y ) Ez az egyenlet vetít. Hol áll meg a vetítősugár? z (t ) = z 0 + t ⋅ ( z 0 − z ) (x(t)=0) => t=− x0 x0 = x0 − x x − x0 y (t ) = ξ = y 0 + x0 ⋅ ( y0 − y ) x − x0 z (t ) = η = z 0 + x0 ⋅ (z 0 − z ) x − x0 Így lehet készíteni egy centrális projekciót. A

fényképezőgépet egyenesen tartom, és a tengelyét középre irányítom => ennek felel meg a centrális vetítés 57 Csavarvonal ábrázolása: x(t ) = r ⋅ cos t y (t ) = r ⋅ sin t z (t ) = t ⋅ k Pl.: k=1/10 0≤t≤2π (ez az egyetlen olyan térgörbe, amelynek görbülete és torziója pontról pontra állandó, ezért önmagában elmozgatható. A síkon ilyen a kör és az egyenes) 58 A láthatóság szerinti ábrázolás Poliéder: síklapok által határolt test, amely nem tartalmaz teljes egyenest. Konvex: bármely két belső pontját összekötő szakasznak minden pontja a síkidomon/testen belül van. (görbére is bevezethető a konvex fogalom => x2 konvex) y y=x^2 =>konvex fgv. x y=-x^2 =>konkáv fgv. Ha van egy konvex poliéderem, és annak egy lapját veszem, akkor a poliéder összes lapja azon az oldalon van. Kifelé mutató normál vektor: vektori szorzat eredménye ez a vektor. Egy vektornak van hoszsza, állása és iránya a, b

vektorok: a × b : a ⋅ b ⋅ sin (ab ) < => hossza a × b ⊥ a, b => állása a × b , a , b jobb sodrású vektorhármas => iránya a (a1,a2,a3) b (b1,b2,b3) (i,j,k) => ez a bázis (egységvektorok) i a × b = a1 b1 j a2 b2 k a3 = i ⋅ (a 2 ⋅ b3 − a3 ⋅ b2 ) − j ⋅ (a1 ⋅ b3 − a3 ⋅ b1 ) + k ⋅ (a1 ⋅ b2 − a 2 ⋅ b3 ) b3 59 n a c a ⋅ n = a ⋅ n ⋅ cos ϕ = a1 ⋅ n1 + a 2 ⋅ n2 + a 3 ⋅ n3 P1(p1,q1,r1) P2(p2,q2,r2) . . . P8(p8,q8,r8) A kocka: első lap áll 1., 2, 3, 4, csúcsokból, ebből legyártjuk az n vektort úgy, hogy 1 és 2 vektornak és az 1. és 4 vektornak a vektori szorzatát vesszük Ezt minden lapnál megcsináljuk, csak azokat a lapokat kell figyelembe venni, amelyeknél a vektoriális szorzat pozitív, a negatív eredményekre nem kell figyelni. Érdemes megcsinálni a kifelé mutató normálvektort, mert amely lapokra ez negatív az nem játszik bele a láthatóságba. p P Raszteres kép: Síklapok vannak. Veszi

a p élt ezen a P pontot, és a centrumot összeköti a P ponttal Ha ez a szakasz metszi a lapot akkor nem rajzolja meg P-t, ha nem akkor megrajzolja a P pontot. Ezt megcsinálja az adott él minden raszterpontjára. 60 Z-puffer algoritmus: Ez van benne az AutoCAD-ben is. y x z C? Csak háromszögek vannak. Azokat az alakzatokat, amik nem háromszögek, azokat felbontja háromszögekre, mert ezek konvexek. Egymást ezek nem metszik Minden laphoz tartozik egy érték (ez egymás előttiséget jelent). y 3 v etü let 2 5 x 4 1 Ha a képernyőre kell rajzolni, akkor előbb az 5-t, majd a 4-t rajzolja meg. Majd következik a 3 megrajzolása, ekkor a 4 egy része kitakart lesz. Majd a 2 és az 1 kerül megrajzolásra, amik kitakarják a 2 és a 3 egy részét. Ha mindezt rajzgéppel csinálom a sorrend fordítva lesz (1, 2.) 61 Relief perspektíva A gyakorlati perspektíva egy speciális centrális projekció. Olyan, mint az a fénykép, amelyik függőleges géptartás

mellett készült. Van egy vízszintes sík Mindent arra helyezünk A képsík pedig függőleges. Ezt tanulja minden gyerek rajzórán A relief perspektíva egy speciális térbeli leképezés, centrális kollineáció a neve. Térbeli alakzathoz térbelit rendel A 19 század végén alkották meg Az első neve színpadi perspektíva volt És először a színházakban alkalmazták A berendezése egy alapsíkból áll, arra rakunk mindent. A fix síkja erre merőleges Van egy centrum is. A szemléltető ábrán a vízszintes alapsíkra merőleges a p fix sík A végtelentávoli sík megfelelője a p-vel párhuzamos W sík, a végtelentávoli pontok reliefje erre esik. A p ettől d távolságra van A p-től balra eső féltér ebbe a d szélességű sávba képeződik le. Ezt a d értéket, az W és p távolságát reliefmélységnek nevezzük A d reliefmélységnyire a C centrumtól van egy másik sík, az e, eltűnési sík. Amely pont erre esik, annak a reliefje végtelentávoli

pont lesz. W p e K2 CW C" C Ce h Pr Pr Ar P L C Pr=Ar a z h y A T K1 x d d Egy szakaszt állítottunk az alapsíkra merőlegesen. A szakasz A pontja van az alapsíkon, P a másik végpontja Az alapsík és a fix sík csatlakozásánál felvettünk egy koordináta rendszert illetve annak az axonometrikus képét. Megszerkesztjük az AP szakasz képét, amelyet majd AP-vel jelölünk. A-ból merőlegest húzunk p-re Ez T-ben metszi az alapvonalat A merőleges iránypontja CΩ Tehát az A képe a T CΩ egyenes és AC metszéspontja lesz. Mivel AP a fix síkot a végtelenben metszi, az alapsíkra merőleges irányban, ezért P az A-ből induló AP-vel párhuzamos egyenes és a PC egyenes metszéspontja lesz. A színházban a színpad az ábrán lévő ferde sík, vagyis annak a π-hez közeli része. Ott a reliefmélység akár 100 méternél is több lehet, és akkor elviselhető a színpad ferdesége. A lényeg tehát az, hogy az utca házai egy bizonyos

torzításban, de térben jelennek meg, amelyeket a színész meg tud kerülni, végig tud sétálni az utcán. A látvány akkor lenne igazán élethű, ha a leképezés a színészre is hatna, de azt ne zsugorítsuk össze se magasságában, se vastagsá- 62 gában. A könyv írójának emlékezetes élménye volt a Bohémélet operának a díszletét látni 2008-ban Debrecenben a Légy jó mindhalálig díszlete volt egy igen jól sikerült reliefalkalmazás. A reliefperspektíváról az elméleti háttérről bővebben olvashat Szabó József Lineáris leképezések az ábrázoló geometriában, informatikusoknak is könyvből (Kossuth egyetemi Kiadó, Debrecen 2009 ) A reliefperspektívát gyakran alkalmazzák a képzőművészetben. Ezekre mutatunk néhány konkrét esetet A Bécsi Műszaki Egyetem Geometriai Intézetében található egy korai reliefmodell. A teljesen kézzel készített modell egy oszlopcsarnokot ábrázol. A relief matematikai kidolgozása az 19 század

végén történt. A modell adatait egy tábla rögzíti Az oszlopcsarnokot egy téglatest alakú dobozban helyezték el Jól látható az alapsík megemelése és a másik három lap összetartása is A doboz első lapja a képsík Mögötte 350 mm-re (ez a reliefmélység) van az iránysík, azon futnak össze a doboz mélységi párhuzamos élei. A centrum a képsík előtt 590 mm-re van és a talppontja (két piros fonal metszéspontja, amely a felvételen nem látszik, de tudjuk, hogy az vetületben az egyenesen hátra futó élek metszéspontja.) Tehát a relief a térbeli alakzatot ismét térbelibe viszi át. Akár a térbeli alakzatot, akár a reliefjét nézzük a reliefperspektíva centrumából, a látvány ugyanaz A színházban házak, utcák reliefjét el lehet készíteni, a színész körbe járhatja a tárgyakat, elbújhat, belemehet. A színpad pedig fel van emelve, ferdén. A színházi alkalmazásokon kívül van még szobrászati alkalmazása is. Természetesen

nem szerkesztett dolgokról van szó, hanem művészi belelátásból, elképzelésből. Wialiczkán (vialicska) a sóbányában Krakkó mellett két reliefet is láthatunk. 63 Az első igen nagy reliefmélységű. Hogy relief, abból is lehet látni, hogy a hátsó alakok egyre kisebbek. A jelenet azt ábrázolja, hogy egy sóbányász a bányában talált gyűrűt szent Kingának, a bánya védőszentjének ajándékozza A másik sófaragás, a bibliai kivonulást ábrázolja. A reliefmélység kicsi, mégis jól kiemelkednek az alakok, hiszen erős, kontúros árnyékokat is látunk a képen A Szent család kivonulása Egyiptomba Debrecenben is találunk reliefeket. A Megyeháza kapualjában balra van egy régi, nagyon szép munka. A jobboldali modern, mai alkotás, de témája 1000 évvel előzi meg amazt 64 65 A legszebb magyar relief Budapesten a Kossuth Lajos utcában van. Az Erzsébet hídnak fordulva bal oldalt A Ferenciek terén van egy templom, annak a falán

van A fénykép az utca túloldaláról készült délután 5 órakor, 2005 májusában, amikor már besütött az utcába a Nap és jól érvényesülnek az árnyékok is. A relief az 1838-as nagy dunai árvíznek és Wesselényi Miklós hősiességének állít emléket 66 Szép reliefet látunk az Egri vár bejáratánál is. A reliefmélység itt is elég kicsi 67 Aprólékosan kidolgozott kínai reliefekett mutatunk a következő fényképeken: 68 Komputergrafikai vonatkozások A reliefek, relief-makettek előállítása nem egyszerű dolog. Láthatjuk, hogy egy olyan egyszerű poliédernek, mint a kocka, a reliefje egyáltalán nem szabályos, két egybevágó lapja sincs Jó lenne, ha ezt gépesíteni tudnánk. Az a célunk, hogy a ponthalmazokkal leírható modellekhez előállítsuk a reliefet definiáló ponthalmazt, egy másik térbeli objektumot Erről részletes információt, a leképezés analitikus levezetését is, kaphatunk az előbb hivatkozott

könyvben. Nem régen feltalálták a 3D-printert is A Drezdai Műszaki egyetem Geometriai Intézetében készült egy római templom relief makettje A modell gipszből és vízből készült. Végül egy szilárdító matt lakk felületi kezelést kapott A modell nincs dobozba zárva, minden oldalról megnézhető. A frontális fényképen nagyon szépen látszik a fény játéka és a templom belső terének szerkezete , 69 AutoCAD elemei A CAD betűszó Computer Aided Design rövidítése. Ez kapott egy auto jelzést, ami közvetlen ember-gép kapcsolatra utal. Magyarul Automatizált Műszaki Tervezésnek hívják, de inkább mindenki csak AutoCAD-ként beszél róla. 1982-ben jelent meg először az 1.0 verziójal A 26-os verzió (1987) lehetővé tette bizonyos 3D modellek megjelenítését. Eddig 8 verzió jelent meg, és ekkor áttértek az egész számokra 1992 nyarán jelent meg a 12. verzió és ez volt az első Windows változat (addig DOS-ban futott) Nagyon nagy és

rendkívül hasznos, értékes, és szinte hibátlan a szoftver Matematikailag is teljesen korrekt. Pont ekkor Paderbornban voltam 3 hónapig és az egyetemen is reklámozták az AutoCAD 14 -et Egy példány ára éppen az alapfelszereltségű Volkswagen Golf III árával volt egyenlő. 2000-től az évszámhoz kötik a verziót Az AutoCAD sok felhasználói program alapeleme. Ezek a programok úgy néznek ki, hogy adott egy AutoCAD, és arra épül pl az építészet, géptervezés, térinformatika vagy pl. Rostockban a hajógyártás, de még az is felaprózva Mi csak olyan elemeket tanulunk, amelyekkel pl. logókat lehet szépen tervezni és megrajzolni Néhány parancs ezek közül: (mert aztán kedvet lehet hozzá kapni, igen jó a legördülő menüje) limits : Ezzel a paranccsal beállíthatjuk a rajzunk határait. grid: megjeleníti a rácspontokat 10, vagy egyéb szabályozható felosztásban osnap : a rajzolás nem szemre megy. Ezzel beállíthatunk több hivatkozást Pl

metszéspont, merőleges, vonal vége, középpontja, mintegy tucatnyi esetet. aperture: szorosan kapcsolódik az előzőhöz, a célzó négyzet oldalának hosszát állíthatjuk be. line : töröttvonal rajzolására való A töröttvonalat c-vel tudom zárni, u-val az utolsó szakaszt visszatörölni. Relatív elmozdulást így hozhatok létre: @345<30, ami azt jelenti, hogy a szakasz hossza 345 egység lesz és a vízszinteshez pozitív félegyeneshez képest 30 fokos szögben fut. Vagy így: @46,79, ami azt jelenti, hogy a szakasz pillanatnyi helyétől jobbra 46, felfele 79 egységet megy. circle: kört rajzol sok fajta adatból trim: vonalas ábrát vághatunk vele. Először a vágó élt kell megadni, aztán a levágandó részre kell kattintani. extend: ezzel szakaszt tudunk kiegészíteni, meghosszabbítani egy megadott határig. Ezt a határt kell először megadni, másodjára pedig a kiegészítendő elemre kell kattintani. copy Az objektumot megjelöljük kerettel

vagy rámutatással. Ki kell választani egy referenciapontot és utána azt, hogy az hová kerüljön Lehetőség van arra is, hogy akárhány másolatot készítsünk a parancs egyszeri meghívásával is. move: Olyan, mint a copy, de a megjelölt objektumot csak elmozgatja. color: Megadja a színpalettát. Arról megválaszthatjuk a következő rajzelem színét hatch: Tartományokat lehet mintával kitölteni vagy színezni. Néhány tucat minta áll rendelkezésre A mintákat paraméterezni is lehet style: A betű stílusának, fontkészletének megadására szolgál. Legalább 50 fontkészlet áll rendelkezésre A standard lényegében csak a betűk vázát tartalmazza, de ezt a betűformát veszi fel hibátlanul a Word és majd illeszt rá szplájnt a betűformák szerinttext: arra alkalmas, hogy szöveget írjunk fel valahová. 70 erase: kijelölt rajzelemet törölhetünk vele. zoom: rajzot nagyít vagy kicsinyít. Megadhatjuk a nagyítás arányszámát is Pl 05 felére

kicsinyít pline: polilájnt, töröttvonalat rajzol. Ez egy elem és nem sok független szakasz összefűzve pedit: polijájn szerkesztésére való. A polilájn lényegében a kontrollpontokat jelenti save at: A rajzfájl mentésére való, de a szoftver sok mentési lehetőséget felkínál. A dxf formátumban való kimentés jól feldolgozható a Word-del A régebbi Word azonban nemérti a fiatalabb dxf-fájlt, és erre ügyeljünk. Ha a Word-ben nincs dxf szűrő, illesszük hozzá a fált Logók: (ezek valóságos logók) TU-München, Math. TU-München Geom. új TU-Dresden Math. TU-München, Geom. régi TU-Wien Geometrie Szabó József A háromszög beírt körének középpontját a szögfelezők metszéspontja adja, sugarát pedig az egyik oldaltól való távolsága adja. Ez a kör nagyon pontos, hiszen a festék nem folyik át 71 A következő három ábra összetartozó. Malfatti feladata: Malfatti problémája a következő. Ha adott egy háromszög alakú

márványlap, hogyan lehet belőle arányosan a legnagyobb területű három korongot kivágni? Az arányosan azt jelenti, hogy a kivágott korongok összterületének és a háromszög területének az aránya a lehető legnagyobb legyen. A feladat a 18 századból való Malfatti csak egyenlőoldalú háromszögre adott megoldást. Ez három egyenlő korong, a középső fenti ábra Egyszer 60 év múlva valaki elővette a feladatot, utánaszámolt és megállapította, hogy Malfattinak nem volt igaza. A jobb felső ábra három befestett körének az összterülete több. De az általános háromszög esete megoldatlan maradt. Ma már az általános háromszögre is van megoldás A megoldás kulcsa pedig az informatikából ismert un. mohó algoritmus Ekkor a háromszögben elhelyezzük a legnagyobb kört. Másodikként a maradékban elhelyezhető legnagyobb kört vesszük, és éppen így a harmadikot. Ez a jobb alsó ábrán látható 72 Fényképezés Az alábbi rész saját

tapasztalaton túl nagymértékben támaszkodik internetes ismeretekre is. De magam is fényképezek immár közel 50 éve. A fényképezés és a fényképezőgép. A fényképezés egyrészt tudományosan (fizika, kémia, matematika, informatika) megalapozott fizikai leképezése a valóságos világ tárgyainak egy síkkal egyenértékű felületre, másrészt egy önálló művészeti terület több önálló ággal (természet, ipar, divat, riport, portré stb.) Ibn Al-Haitman arab tudós 997-ben írt Opticae Thesaurus című könyvében beszámol a camera obscuráról. A reneszánsz korában sokakat foglalkoztatott ez a bárki által elkészíthető, egyszerű optikai eszköz, például Leonardo da Vincit is. Ha teljesen elsötétítünk, egy szobát (ezt belülről nézhetjük), de fúrunk az ajtajára egy pici lyukat, a lyukon a szemközti falra vetítődik a külvilág fordított állású, színes képe. Ha doboz falára vetítjük, akkor kívülről nézhetjük, ha a

lyukkal szemközti oldal egy áttetsző anyagból van Magyarországon Egerben a főiskola tetején működik camera obscura; az alatta elterülő város képét vetíti egy tükörre és a tükör tovább egy asztalra. A fényképezés előtti időkben a camera obscurát, mint rajzolási segédeszközt, és mint fizikai, csillagászati eszközt tartották számon. Amint azt a középkori arab tudós, Alhazan leírásaiból tudjuk, a lyukkamerát már a 11. században is ismerték és használták, de igazán csak a reneszánsz idején vált népszerűvé. Az 1400-as évektől elterjedt a művészetben a perspektíva ábrázolásának igénye. A perspektíva törvényeinek tapasztalati felfedezésére remek eszköznek bizonyult a lyukkamera. A fejlettebb változatokban prizmák, lencsék és tükrök segítségével papírlapra vetítették a képet (Eger), így rögtön a rajzolás is megkezdődhetett. Több festőről is beigazolódott, hogy szinte tökéletesen élethű tájképük

úgy készült, hogy segítségül camera obscurát használtak. Szívesen alkalmazta ezt a trükköt például Canaletto (1632-75) velencei festő is, akinek vázlatait ma is őrzik a Velencei Akadémián. Ezek olyan kisebb darabokból állnak, amelyeket egyenként egy lyukkamera segítségével rajzolt meg, majd összeillesztve a darabokat, tökéletesen perspektivikus képeket kapott Lyukkamerát használt a híres németalföldi festõ, Vermeer is. Több képét összehasonlítva még azt a szobát is rekonstruálni tudták, amely valamikor műterméül szolgált. A Vermeer művészetét kutató egyik művészettörténész hat kép alapján igazolta, hogy mind a hat festmény nézőpontja a szobának ugyanarra a részére esik, sőt, a vetítősugarak által meghatározott falra vetülő kép mérete is megegyezik a festmények méretével. 73 Canaletto festménye A camera obscura által rajzolt kép rögzítésére kitaláltak kémiai eljárást is. Ma már a fotó fogalom,

teljesen más jelentéstartalommal bír Kezdetben a fotó nem akart többnek látszani, mint precíz leképező eszköz, ami azonban pl a fotogrammetriában a fénykép legfontosabb tulajdonsága. Csupán a XIX-XX század fordulóján kezdték egyre szélesebb (és magasabb) körben művészetnek elismerni, ezért csak a XX. század elején vált a hatodik művészeti ággá (Egy órával ezelőtt kapott príma primisszima díjat egy magyar fotós; 2008. 12 05) Bárki tapasztalhatja, hogy ha egy ezüst tárgy hosszabb ideig fénynek van kitéve, ott, ahol a fény éri megfeketedik. Ha pedig dobozba zárjuk, akkor nem Ha a fényt irányítjuk, akkor ott feketedik meg, pl. egy ezüst lap, tálca, ahol a fény éri A fényt lehet irányítani. A fénnyel való rajzolás szava görög erdetű A φως (fosz) fényt, fotont jelent, a γραφις (grafisz) rajzolást, és ebből jött a fotogáfia Felfedezték az ezüstbromidot. A felfedezést Daguerre pártfogója, Arago, aki 1839. január

7-én jelentette be a Francia Akadémián Miután a francia állam a találmányt életjáradék fejében megváltotta, a világnak ajándékozta, hogy bárki szabadon foglalkozhasson a fényképezéssel (Hasonlóan kapta meg a világ ingyenesen az internetet, és korábban az eszperantó mesterséges nyelvet) 1839. augusztus 19-én Daguerre részletesen ismertette a vegyi eljárást, a „dagerrotípia” készítését 1840-ben, már több mint 20 nyelven jelent meg leírás róla, többek között magyarul is Petőfi Sándorról is készült dagerrotípia valamikor 1849 július 31-e előtt. 74 Kezdetben a felvételek ezüstlemezre (dagerrotípia), majd az előhívási és képrögzítési technikák, eljárások fejlődésével rengeteg különböző sikeres illetve kevésbé sikeres módon 1888-ig szinte kizárólag azonnal papírra, vagy üveglemezre készültek. Üveglemezt ma is használnak egyes fotogrammetriai feladatok kapcsán. Celluloid filmet csak később

készítettek, színeset pedig először 1935-ben a Kodak cég gyártott és kodachrome néven hozta forgalomba Hiteles . dagerrotípia Petőfi Sándorról Kezdetben igen fáradságos volt a fényképezés. Olykor 6-8 óra megvilágítás kellett a képhez Megszületett az objektív, a fényképezőgép lencserendszere. Eztán már 10-20 perc alatt elkészült a felvétel A lencsék alkalmazása azonban magával hozta a lencsék torzításait, leképezési hibáit is A problémára Petzval József 1840-ben szerkesztett objektívje (ez a mai modern objektívek őse, a nagy fényereje mellett a lencsehibákat is remekül korrigálta) jelentett megoldást, amely annyira jól sikerült, hogy a világon csupán egy tökéletesebb képet alkotó lencserendszer létezik, az 1902-ben szabadalmaztatott és ma is használatos Tessar objektív. Ez eredendően négy speciális lencséből van összeragasztva Az 1888-ban készült eszköz lencséje jól látható. A harmonikás részben megy a

fény, és a hátsó falon látszik az ajtószerű szerkezet. Egy áttetsző lapon lehetett látni a képet és annak élességét. A lap helyett betették a fényérzékeny anyaggal bevont lapot, rendszerint üveget, kazettát Ekkor a fényképész az objektívet már befogta a kezével, vagy egyéb módon eltakarta és felszólította a fénykép alanyát, hogy pár percig maradjon nyugton. Hamarosan készültek művészi felvételek is. A baloldali kép Ch Darwin (1809-1882) fényképe Nem tudom, hogy a felvétel mikor készült, de korábban, mint az előző képen szereplő kamerát elkészítették, mert akkor már Darwin nem élt. Vegyük észre a kép élességét és azt, hogy a képen semmi zavaró tárgy nincs; csak a személy a fontos. 75 A jobboldali kép egy-két éves, digitális kép. Öreg, ráncos kéz tart a kezében egy nagyon régi képet, egy családi képet. Ezeken túl semmi sincs a képen csak feketeség Nem látjuk a személyt, de lelkünkben

kiegészítjük a képet, és hozzágondoljuk azt a sok évtizedet, ami most a képet néző ráncos kezű személyben lejátszódik, átéli azt az időt, amíg a szülők ölében ülő csecsemőből, bizonyára saját magából, aggastyán lett. Mai szemmel nézve Darwin portréján két súlyos hiba van. A fejtető majdnem kilóg a képből A másik az, hogy nincs előtte tér, neki megy a kép határának. A fej fényképe, a fényviszonyok nagyon jók, de a környezet határai nem jók (Az sem kizárt persze, hogy a fényképész nem úgy vágta körbe a képet, ahogyan itt látjuk, de így volt a Wikipediában) A hagyományos fényképezőgép egy viszonylag könnyű kis doboz, amelynek elején van az objektív, hátuljában pedig a film. Az objektív lencséi a filmre fókuszálják a fényt, a zár pedig megakadályozza, hogy a kép elkészítése előtt fény érje a nyersanyagot. A mechanika lehetővé teszi a film továbbítását, valamint a rekesz és az expozíciós

idő beállítását. 76 Ez az egyik leghíresebb és legdrágább fényképezőgép. A világhírű magyar származású fotoriporter, Robert Capa fél évszázaddal ezelőtt, 1954. május 25-én hunyt el. A múlt század számtalan csataterén készített művészi képeivel a háború minden szenvedését és hősiességét sikerült ábrázolnia Pacifista nézetei ellenére folyamatosan járta a háborús övezeteket: „A békeszeretet valójában mit sem jelent, ha nem ismerjük a háború borzalmait” – mondta. A riportképek készítését nagymértékben segítette a megbízható, könnyű (alig fél kg) fényképezőgép. A háború után a győztes hatalmak a vesztesektől kárpótlást kértek. Magyarországtól sok mezőgazdasági terméket De pl Németországtól, tudomásom szerint, valahány évre a Leica tervezőjét is 1963-ban, használtan vásároltam a Zorkij 5 fényképezőgépet Nagy hasonlóságot mutat a Leica-val. A filmet mindkettőn a hátlap

levétele nélkül kell behelyezni. Az alja ugyanúgy záródik, a felhúzás karral és ugyanott történik Van távolságmérő, amelynek egyik eleme a keresőben van, 77 a másik a jobboldali kis kerek lyuk. Ami ennél a két modellnél eltérés, az az, hogy a Zorkij objektívje bedugható, így a gép 3-4 cm-rel laposabb. Az előző fejezetekben röviden szó volt a panoráma leképezésről is. Annak a „képsíkja” henger Ezt fényképező géppel is megvalósították Ezt látjuk a baloldali képen Jobbra pedig sztereo fényképezőgépet látunk Egymástól 65 cm-re (ennyi az átlagos szemtávolság) két, azonos beállítású objektívvel készül a felvételpár, amit aztán sztereonézőbe téve térhatásúnak látunk. Most megnézünk egy „felvágott” fényképezőgépet. Az objektív több lencséből áll, néha 9-10-ből is. Fontos, hogy legyen köztük aszférikus lencse is, vagyis olyan, amelyik a lencse széleinél fellépő torzítást korrigálja. A

lencsének van átmérője és fókusztávolsága A fókusztávolság és a lencseátmérő hányadosát blendének nevezik Erős az objektív, ha ez a szám kicsi, kivételesen akár 2.0 alatti is lehet, de már a 28 vagy 35 78 is nagyon jó, erős objektív. A gép, amit látunk, egy tükörreflexes gép, ami azt jelenti, hogy a zárszerkezete egy felcsapódó tükör, aminek a felcsapódási ideje egy-két ezred másodperc, vagy néhány perc is lehet. Ezen a gépen a tükörre eső kép felfelé tovább vetül Bejárja a pentaprizma oldallapjait és egy nézőkében, keresőben beállíthatjuk a leendő felvétel határait. Ebben a keresőben látott képről dönthetjük el, hogy felvételünk éles lesz-e. Az élességet sokszor motívumok fedésével, színekkel is segítik Ez a kereső igen pontos, mert a kép már az objektíven át érkezik, meg. Sok gépnél ez nem így van A tükör mögött egy szürkés téglalapot látunk, az a film vagy digitális gépeknél az

érzékelő. Ha mindent rendben találtunk megnyomjuk az exponáló gombot, a tükör felpattan és beengedi a fényt a megadott ideig Ezt a filmet (24 vagy 36 filmkockából áll) aztán előhívjuk vagy előhívatjuk. A kép a filmen tárolható illetve róla nagyítások készülhetnek. A film különféle érzékenységű lehet A 17 Dines kemény precíz, nyári napsütés kell hozzá A 30-nál nagyobb érzékenységű lágy, puha Portrék készítésére igen jó. Az értékek a fényérzékeny anyag szemcseméretéből adódnak Fontos, hogy a fényképezőgépen be tudjuk állítani az élességet, az exponálási időt, és a blendét, rekeszt. 79 Digitális fényképezőgép; működése, használata, tesztelése Az utolsó kép, a felvágott fényképező gép, digitális gép volt. Felületes megközelítéssel azt lehet mondani, hogy a fényérzékeny film helyett tegyünk bele digitális képérzékelőt, pici szkennert. A digitális fényképezőgép legalább három

fontos részből áll. 1. Egy jó és sokoldalú lencserendszerből, objektívből Ez lehet akár a korábbi filmes fényképezőgép objektívje is, ha az lecsavarható a régiről és felcsavarható a digitálisra. 2. Áll a film helyett egy képérzékelőből 3. És áll egy szoftverből, ami a fizikailag érzékelt képből az ember számára is látható képet létrehozza Ide sorolom azt a szoftvert is, ami a fényképezést segíti Objektív Az objektív sok lencséből áll. A lencse erőssége fel van rajta tüntetve 2-3 körüli érték már igen jó. Az objektív zoomolásra is alkalmas 3-5-szörös zoomolás mindennapi, de vannal 1220- szoros zoomolásúak isA maximális zoomban az objektív fényereje csökken, a számérték nagyobb lesz, hiszen nagyobb fókusztávolságot kell kb. ugyanakkora átmérővel osztani 4-5 körüli érték jó zoom objektívre utal. Vannak kompakt és nem kompakt gépek. Az objektívek megoldása eltérő A kompakt objektívje nem

cserélhető (persze nincs egybeöntve a géppel), a vezérlése a gépen keresztül történik, a nem kompaktnál hagyományosan, csavaró mozdulattal lehet beállítani a zoomot és az élességet. Három, ma már üzletben, első kézből nem vásárolható fényképezőgépet látunk. 5 évesnél egy sem idősebb és már mindegyik helyett újabb van. A digitális fényképezőgép informatikai eszköz, és úgy is fejlődik. Bal felső Canon Ixus 50, amatőr maroknyi gép, elfér a zsebben, príma eszköz. Jobbra fent Canon S3, félprofi. Mindent lehet rajta állítani, akár a Holdat, messze lévő tárgyakat is fényképezhetünk vele, és nagyon közelieket is. Canon EOS 1. Profi, tükörreflexes gép 80 A felső kép Canon Ixus 50-nel készült. A Canon EOS 1 és szinte minden gép képes sorozat felvételekre és hosszú időkre is. És egyszer elkapja a villámlást is 81 Két Canon S3 kép. Az első egy légy feje; internetről Az alsó saját felvétel a

Holdról 82 Az érzékelő A kompakt gépek kicsik, az érzékelőjük is kis alakú, 1/2.5 négyzethüvelyk, azaz kb 1 cm 2 területű a legtöbb érzékelő Ezen ma 8 megapixel információt fel tudnak venni és abból majdnem A3 méretű (420*297) képet lehet csinálni elég jó minőségben. Az érzékelő mikrolencsékből vagy azzal egyenértékű négyzetes elemekből áll. A mikrolencsék átmérője 20 mikronnál nem nagyobb. A hajszál merőleges metszete 70 mikron átmérőjű Ez a nevezhetnénk akár mini-szkennernek is, színvak A fénynek nyomása van (ezt demonstrálja az, hogy az üstökös csóvája a Naptól mindig elfele áll. A fényt egy második lépcsőben Red, Green, Blue elemekre bontják. Összevetik a szomszédsági értékekkel és így végül összeáll egy kettes számrendszeri táblázat. Az „összevetik” egy-egy fotocég saját kutatása Az érzékelő - CCD - így néz ki:( A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából.) Csillagászati

célokra kiváló ultraibolya és látható tartományban érzékeny CCD. Töltésléptetés a CCD-ben (animáció) A CCD (Charge-coupled Device, azaz töltés-csatolt eszköz) a fényt elektronikus jelekké alakító eszköz, mely egymáshoz csatolt kondenzátorokból álló integrált áramkört tartalmaz. Külső áramkör segítségével minden kondenzátor képes átadni a töltését a szomszédjának, így kiolvasható a kép. A CCD-ket a digitális fényképezés, csillagászat területén, videokamerákban és optikai szkennerekben alkalmazzák A csillagászatban részben fényességmérésre, optikai és UV-spektroszkópiára és nagysebességű technikáknál alkalmazzák 83 Szoftver a gépben A leggyakoribb érzékelő a CCD, a tükörreflexes gépekben pedig CMOS. A CMOS majdnem akkora, mint a hagyományos filmkocka, vele akár 40 megapixelessé is lehet fejleszteni a gépet. A CCD méretét tört számmal szokták megadni 8 megapixelig elég nagy az 1/25 ˝ Mivel 1

hüvelyk durván 2.5 cm, így ez a kompakt gépekbe rakott érzékelő kb 1 négyzetcentiméter Az általam ismert legnagyobb 1.6 négyzetcentiméter Első lépésben van egy minden információt pixelenként tartalmazó kép. A drágább kompaktok, de inkább félprofik ezt az általában raw kiterjesztésű nyers képet is kiadják Aztán a szoftver létrehoz különféle minőségű képfájlokat, általában jpg kiterjesztéssel. Ilyeneket, mint szuper finom, finom, normál. A Word szövegszerkesztő az utóbbiakat ismeri és felveszi Újabban a beépített szoftverek is egyre többet tudnak. Figyelembe tudják venni a villanófény távolságát, beltéri, tengerparti, havas táj, napnyugta, arcfigyelés, lombos erdő, tűzijáték, éjszakai felvétel, sorozatfelvétel, panorámakép stb. Van még olyan is, hogy, ha a képen néhány személy van, akkor azok jó megvilágítását figyelni tudja. A gépek többségében van képstabilizátor, hardveresen vagy szoftveresen. Tehát

ez a maroknyi fényképezőgép intelligens tudással rendelkezik Szoftver a képfeldolgozáshoz A vásárolt fényképezőgéppel adnak egy szoftvert is. Már ezzel sok mindent lehet csinálni Ez az én szülőházam. Amíg megvolt nem készült róla fénykép. De egy néprajzi könyvben volt több ház. Azokból én összeraktam ezt a házat Az ablaka pont ennyi és pont ilyen. Az ajtóban egy tonett széken üldögélt nagyapám. A lábazata téglasorokból állt, teteje nádtetős, a tűzfala deszka, alul cserépsor, de a gerincén zsindely volt. Így volt a villanyvezeték is. Azon a dupla ajtón lehetett bemenni kocsival. És volt ott egy fa is. De ez nem az én szülőházam, csak pont ilyen volt az is 84 Mindezeket a fényképezőgéphez kapott szoftverrel el lehetett érni, de vannak igen nagy „mindentudó” szoftverek is, amelyekkel élni és visszaélni is lehet. Az optika pontosságáról Nagyon fontos, hogy gépünk optikája ne nagyon torzítson.

Készítettünk AutoCAD-del, tehát pontosan, egy négyzetrácsot. Ezt lefényképeztük szemközti helyzetben Ezt a jpg raszterképet bevittük a szövegszerkesztőbe és ott a szövegszerkesztő szakaszrajzolójával a lehető legtávolabbi pontok felhasználásával megrajzoltunk egy négyzetet. Kívánatos, hogy ezek a vonalak ne nagyon térjenek el a rács egyeneseitől. Ezek után meghúztuk a négyzet átlóit Ezek nagyon szépen szedik össze a raszterkép hálójának metszéspontjait. A csúcseredmény az ahogyan a két átló középen metszi egymást, a középső kis négyzetben. 85 Ha a rácsot oldalról fényképezzük le, akkor képet kaphatunk a távlati torzításról is. Ha ezek az ellenőrzések elég jók, akkor kijelenthetjük, hogy a fényképezőgépünk leképezése egyenestartó. De nem biztos, hogy centrális projekciót ad Van azonban egy tétel, amellyel azt is megnézhetjük, hogy gépünk mennyire ad centrális projekciót. Tétel: (Szabó-tétel)4

A rajzon a térbeli tengelykereszt centrál-axonometriáját látjuk O az origó, Ex , E y , Ez az egységpontok, Vx ,Vy ,Vz az iránypontok, azaz a végtelentávoli pontok képei. Látjuk még a rajzon az egységkocka képét is, az iránypontok pedig össze vannak kötve, és így egy háromszög csúcsai. Egy ilyen rajz akkor és csakis akkor centrális projekciója a térbeli derékszögű, egyenlőegységű tengelykeresztnek, ha rá az ábra alatti képlet teljesül Vz Vy Vx Ez Ey Ex O ⎛ OEx ⎞ ⎛ OE y ⎜ ⎟ : ⎜⎜ E V ⎝ x x ⎠ ⎝ E yVy 2 ⎞ ⎟⎟ ⎠ 2 2 ⎛ OEz ⎞ :⎜ ⎟ = tan(VyVxVz ) : tan(VxVyVz ) : tan(VyVzVx ) E V ⎝ z z⎠ Ez egy sok szakember által igen egyszerűnek mondott feltétel, amiért a lábjegyzetben citált dolgozatra igen sok kapcsolódó cikk, komputergrafikai alkalmazás született. A mi példánkban vettünk egy 50 cm élű kockát és ezt lefényképeztük. A fényképet bevittük a számítógép olyan képolvasójába,

amelyben le tudtuk olvasni a megjelölt csúcsok képének koordinátáit. Az 1 pont az origó, 2, 3, 4 az egységpontok Az 5 és 6 birtokában kiszámíthatjuk az iránypontokat, az iránypontok háromszögéből pedig a tangenseket A képletet részletesen kiírva három összefüggést kapunk. Biztosak lehetünk benne, hogy az 44 A cikk J.Szabó, H Stachel, H Vogel: Ein Satz über die Zentralaxonometrie Sitzungsber, Abt II österr Akad. Wiss, Math-Naturw Kl 203, 3-11 (1994) adatokkal jelent meg és nagy visszhangot váltott ki Eleinte Szabó-Stachel-Vogel tételként, kritériumként emlegették. Míg végül H Stachel On Arne Dür’s Equation Conserning Central Axonometries . J Geometry Graphics 8 (2004), No 2 215-224cikkében először, és aztán több előadásában Szabó tételnek, Szabó kritériumnak nevezte. 86 egyenletek nem teljesülnek, mivel az informatikában egy valós összefüggésben 0 nem szokott kijönni. Vagyis a gépünk objektívje annál jobb, minél

inkább teljesülnek az egyenletek Ha pl mindhárom eltérésben 1-nél kisebb, az már szuper, hiszen a pontok koordinátái ezres nagyságrendűek, és abban az 1 csak 0.1%-os hiba 5 6 3 2 4 1 Egyéb leképezések Panorámakép Az első kép panorámakép. Ez egy képsorozat eredménye, amikor fényképezőgépünkkel körbefordulunk Ehhez fontos az állvány, mert egyébként nem tudjuk majd a képeket csatlakoztatni Számítógépes szoftverek segítik a felvételek egységbe alakítását A felvételen vegyük észre, hogy pl. az ereszvonalak, vagy a ház gerince negy egyenesek és mindkét irányban öszszetartók 87 Haloptika Ez egy rendkívül nagy nyílású, görbevonalú leképezés. Egy különleges objektívvel lehet elérni A felvételt Glaeser bécsi professzor készítette egy balatonföldvári konferencián A felvételen a fényképező személynek az árnyéka is látszik. 88