Matematika | Tanulmányok, esszék » Dr. Gausz Tamás - Koordináta rendszerek és forgatások

Dr. Gausz Tamás Koordináta rendszerek és forgatások Budapest, 2016 Tartalomjegyzék Bevezetés 1 I. Az ELTOLT-FÖLD és a TEST koordináta rendszer 3 II. Elforgatások – orientáció 5 II.1 II.2 II.3 II.4 II.5 III. Rész-elforgatások Az elforgatások további tulajdonságai Az Euler paraméterek és a kvaterniók További elforgatási módszerek, következtetés Kitekintés – tenzorok Koordináta rendszerek és elforgatások III.1 III.2 III.3 III.4 III.5 III.6 III.7 III.8 III.9 A FÖLDHÖZ RÖGZÍTETT, az ELTOLT-FÖLD, a TEST és a FŐROTOR koordináta rendszer Kapcsolat az ELOLT-FÖLD és a TEST koordináta rendszer között Kapcsolat a TEST és a FŐROTOR koordináta rendszer között A SZÉL, a STABILITÁSI és a TEST koordináta rendszer, valamint a kapcsolat köztük Az ELTOLT-FÖLD és a SZÉL koordináta rendszer közötti kapcsolat A FŐROTOR és a FORGÓ koordináta rendszer, valamint a kapcsolat köztük A FORGÓ és a LAPÁT koordináta rendszer,

valamint a kapcsolat köztük A TEST, az OLDALT FORDÍTOTT, a FAROKROTOR és a FORGÓ-FAROKROTOR koordináta rendszer, valamint a kapcsolat köztük A FORGÓ-FAROKROTOR, a FAROKROTOR-LAPÁTSEGÉD és a FAROKROTOR-LAPÁT koordináta rendszer, valamint a kapcsolat köztük 5 12 17 23 24 25 26 29 30 32 35 36 37 39 41 Jelölésjegyzék 44 Irodalomjegyzék 45 Bevezetés A repülésmechanikai vizsgálatokban – gyakran – merevnek feltételezett repülőgéppel, illetve szintén merevnek feltételezett repülőgép részekkel – például helikopter rotorlapát – foglalkozunk. Ezekhez a merev testekhez rendre koordináta rendszereket kapcsolunk A merev testhez mereven rögzített koordináta rendszerben maga a merev test nyilvánvalóan mozdulatlan, illetve a test és a hozzá kapcsolt koordináta rendszer együtt mozog. Ezek szerint a merev test és a hozzá kapcsolt koordináta rendszer között kölcsönösen egyértelmű kapcsolat van. Ezért a következő, kinematikai

vizsgálatokban általában a koordináta rendszereket valamint a köztük fennálló kapcsolatot – alapvetően az elforgatást – tárgyaljuk. Az általunk vizsgált területen, merev testekhez mereven rögzített koordináta rendszerek esetében a kapcsolat lehet eltolás és elforgatás. Az eltolással az egyszerűsége miatt külön nem foglalkozunk, ebben a munkában a közös kezdőpontú koordináta rendszerek esetében értelmezhető elforgatással foglalkozunk. Az általunk definiált valamennyi koordináta rendszer Descartes féle, jobbsodrású rendszer. Az ezek tengelyeit kifeszítő bázisvektorok ortonormáltak A koordináta rendszerek kitűzése nem csak az általunk javasolt módon törtéhet – azonban feltétlenül definiálni kell őket és ebben a munkában, mi az egyes koordináta rendszereket a következőkben részletezettek szerint határozzuk meg, illetve a további vizsgálatokban ehhez a rendhez tartjuk magunkat! A munkában előforduló vektorok

alapesetben oszlop vektorok – sor vektort transzponálással kapunk. A vektor transzponáltját a jobb felső indexben egy nagy „T” betű jelöli A merev testek kinematikájának tárgyalásában előfordul rotáció és orientáció. A rotáció, a mi értelmezésünkben az egyetlen koordináta rendszerben különböző helyzeteket elfoglaló merev test elfordulását jelenti. Orientációnak viszont egy koordináta rendszer egy másik, viszonyítási rendszernek tekintett koordináta rendszerhez képesti elfordulását nevezünk. A rotációval például a robottechnikai vizsgálatokban vagy a számítógépes grafikában találkozhatunk. A repülésmechanikában viszont alapvetően az orientáció fordul elő. Ezért a következőkben a „forgatás” szót az orientációról írottak értelmében használjuk. Fontos leszögezni, hogy egy, adott rotációnak a neki megfelelő orientáció éppen az inverze. Az anyagban viszonylag sok összefüggés, képlet fordul elő, ezek

közül soknak nem szerepel a részletes levezetése – ezért is meg azért, mert hiba vagy elírás – gondos munka ellenére is – bárhol előfordulhat a Tisztelt Érdeklődőnek, alkalmazás előtt minden képletet önállóan ellenőriznie kell! 1 Ez a munka – jóllehet a legtöbb eleme önállóan is megállja a helyét – voltaképpen a [G2] függelékének tekinthető. Ennek megfelelően, a fontosabb jelölések esetében figyelembe vettük a [G2]-ben használt jelöléseket 2 I. Az ELTOLT-FÖLD és a TEST koordináta rendszer A munkában szereplő koordináta rendszerek rendszerezett bemutatása később következik – itt csak az ELTOLT-FÖLD és a TEST koordináta rendszert vezetjük be, mert az elforgatásokat egy példa kidolgozásával vezetjük be – ebben a példában a fenti két koordináta rendszert használjuk fel. Tűzzük ki először a FÖLDHÖZ RÖGZÍTETT koordináta rendszert (III.1 ábra, baloldal) Ezt tekintjük közelítőleg inercia

rendszernek, ez lesz tehát – más, további anyagokban – a dinamikai vizsgálatok kiinduló pontja Ezt a koordináta rendszert itt a teljesség kedvéért adjuk meg. A FÖLDHÖZ RÖGZÍTETT koordináta rendszer z E tengelye az alkalmas helyen a Földhöz rögzített „O” pontból indul, és függőlegesen lefele mutat. Az xE és az yE tengely egy, vízszintes síkban fekszik és a három tengely jobbsodrású koordináta rendszert alkot (III.1 ábra, baloldal) Az ELTOLT-FÖLD koordináta rendszer tengelyei a FÖLDHÖZ RÖGZÍTETT rendszer tengelyeivel mindig párhuzamosak maradnak, de ennek a rendszernek az origója (a „HR” pont) a repülőgéppel – adott esetben forgószárnyas repülőgéppel – együtt mozog. Ez a mozgás az a transzlációs mozgás, ami a repülőgép haladó mozgását jelenti. Ha lehetőség van rá, akkor a „HR” pontot a repülőgép – autogíró, helikopter – súlypontjába helyezzük (III1 ábra, jobboldal) A „HR” pont egyébként a

TEST koordináta rendszer (III.2 ábra – az ábrán egyébként sematikusan egy egyrotoros, farokrotoros helikopter látható) origója is. Pontosan ezért jellemzi a repülőgép – autogíró, helikopter – orientációját a TEST koordináta rendszernek az ELTOLT-FÖLD koordináta rendszerhez viszonyított elfordulása. A TEST koordináta rendszer origója tehát a „HR” pont (például a főrotor gépszerkezettani forgástengelyének egy pontja) , innen indul előrefelé az xB tengely – ez a tengely például a törzs építési vízszintesével lehet párhuzamos. Az yB tengely a közelítő szimmetria síkra – helikoptereknek nagyon ritkán van szimmetria síkja – merőlegesen, a repülési irány szerint jobbra mutat Végül a z B tengely az előző két tengellyel jobb rendszert alkot Ez, egyébként azt jelenti, hogy a z B tengely például függeszkedésben közelítőleg lefele mutat Figyelem: a definícióban a jobb rendszer szerepel, a „lefele” csak egy, az

elképzelés kialakítását segítő megjegyzés! 3 I. Az ELTOLT FÖLD és a TEST koordináta rendszer A TEST koordináta rendszert mereven rögzítjük a repülőgép – autogíró, helikopter – törzséhez, ebben a rendszerben tehát a merev repülőgép egészét mozdulatlannak tekintjük, jóllehet más vizsgálatokban a repülőgép egyes részei – például a rotorlapátok – mozognak. A merev repülőgép mozdulatlanságát kimondó feltételezés az alapja annak, hogy ebben a rendszerben a tehetetlenségi és deviációs nyomatékok állandóak legyenek – ez pedig a mozgásegyenletek felírásánál különösen fontos. I.1 ábra: az ELTOLT-FÖLD és a TEST koordináta rendszer Az ELTOLT-FÖLD és a TEST koordináta rendszer közötti kapcsolatot a II. pontban ismertetjük részletesen. A két koordináta rendszer origója a közös „HR” pont Az ELTOLT-FÖLD rendszerből először a z0 = z1 tengely körül a ψ irányszöggel, másodszor az y1 = y2 tengely

körül a ϑ bólintási szöggel és végül harmadszor az x2 = xB tengely körül, a γ bedöntési szöggel forgatva jutunk a TEST koordináta rendszerbe. A rész elforgatások, és ezzel a teljes folyamat például az I1 vagy a II1, II2, II3 és a II4 ábra alapján követhető nyomon. Ebben a pontban tehát kiemeltük az ELTOLT-FÖLD és a TEST koordináta rendszert azért, hogy ezt a példát használhassuk a II. pontban A III pontban, a koordináta rendszerek definiálása és a forgatások vizsgálata következik – ebben, a teljesség érdekében a példa koordináta rendszereket is beillesztjük a sorba. (Ez néhány ismétlést eredményez majd.) 4 II. Elforgatások – orientáció Ebben a pontban az elforgatásokkal foglalkozunk – a bevezetőben leírtak szerint mi az orientációt vizsgáljuk. Felhívjuk a figyelmet arra, hogy a vonatkozó szakirodalomban igen gyakran a rotációval foglalkoznak. A két eljárás nagyon hasonló (az egyik a másik inverze), éppen

ezért különösen ügyelni kell arra, hogy melyik eljárást alkalmazzuk. A matematikában a G gömböt önmagába képező, egybevágósági transzformációk csoportját O(3 )-nak hívjuk. Ezen belül a G gömböt helyben hagyó mozgatások egy részcsoportot alkotnak, ennek neve: térbeli forgás csoport -- jele: SO(3 ) A repülésmechanikában kiemelten fontosak a vektor jellegű mennyiségek – mint például a súly, a sebesség, a nyomaték, az erő és így tovább. A vektorokat irányított, térbeli, egyenes szakaszokkal ábrázolhatjuk. Az irányítás alatt vagy valamely térbeli irányt, vagy, valamely forgásirányt értünk. A vektorok, mint fizikai mennyiségek az esetleges koordináta rendszerektől függetlenül léteznek – azonban egy vektor, különböző koordináta rendszerekben különböző összetevőkkel rendelkezik. Ebben a pontban a vektorok egyik koordináta rendszerből egy másik, közös kezdőpontú, de elforgatott koordináta rendszerbe történő

transzformálásával foglalkozunk. Ez azt jelenti, hogy keressük azt az eljárást, ahogyan az egyik koordináta rendszerben adott összetevőket egy másik, közös kezdőpontú, de elforgatott koordináta rendszerbe átszámíthatjuk. Az átszámítást nevezzük forgatásnak, de hangsúlyozzuk, hogy nem a vektort forgatjuk (gondoljunk csak bele: van-e valamilyen értelme például a súlyerő elforgatásának, amikor az mindig függőlegesen, lefele irányul), hanem az adott vektor összetevőit keressük egy másik – más orientációjú – koordináta rendszerben. Az ilyen értelemben vett elforgatást homogén, lineáris leképezéssel valósítjuk meg II.1 Rész-elforgatások Egy merev testet egy pozíciójából valamely pontja körül egy másik, tetszőleges pozíciójába elforgatni három, egymás utáni, egymástól különböző tengely körüli elforgatással lehet. Ennek megfelelően a térbeli elforgatások három, független paraméterrel rendelkeznek –

legyenek ezek most az egymás után következő elforgatási szögek A rész-elforgatásokat egy konkrét példán mutatjuk be: keressük a kapcsolatot az ELTOLT-FÖLD és a TEST koordináta rendszer (I.1 ábra) között E két koordináta rendszer közös origója a „HR” pont A példában a repülés mechanikában igen gyakran használt sorrendet követjük: először a z0 = z1 tengely körül a ψ irányszöggel, másodszor az y1 = y2 tengely körül a ϑ bólintási szöggel és végül harmadszor az x2 = xB tengely körül, a γ bedöntési szöggel forgatunk. 5 II. Elforgatások - orientáció II.1 ábra: Rész elforgatás a z0 tengely körül Az első rész-elforgatást a II.1 ábrán tüntettük fel Azt állítjuk, hogy a két rendszer közötti kapcsolatot a (II1) kifejezés szerinti, homogén lineáris leképezés írja le:  cosψ r = A1,0 r , ahol : A1,0 =  − sinψ  0 1 0 sinψ cosψ 0 0 0  ; 1  (II.1) Tekintsük az r vektort.

Ez a vektor, akár kitűzünk, akár nem tűzünk ki koordináta rendszert, létezik. A koordináta rendszer kitűzése, felrajzolása után viszont értelmezhet0 jük az r vektor összetevőit, komponenseit. Ebben az értelemben az r jelenti, az ELTOLT-FÖLD koordináta rendszer szerinti összetevőkkel felírt r vektort. Hasonlókép1 pen az r jelenti, az „1” jelű, segéd koordináta rendszer szerinti összetevőkkel felírt r 0 1 vektort. Az r és az r tehát ugyanaz a vektor, de más-más koordináta rendszer szerinti összetevőkkel felírva. II.2 ábra: Rész elforgatás a z0 tengely körül 0 1 Keressük a kapcsolatot az r és az r összetevői között – ezek az összetevők is láthatók egyébként a II.2 ábrán Illetve a II2 ábrán nem látható a II1 ábrán feltüntetett z0 = z1 tengely, mivel az, az ábra síkjára merőleges. 6 II. Elforgatások - orientáció Egyszerű geometriai megfontolások alapján kaphatjuk meg a keresett kapcsolati

egyenleteket: rx1 = cosψ rx0 + sinψ ry0 + 0 rz0 ry1 = − sinψ rx0 + cosψ ry0 + 0 rz0 ; rz1 = 0 rx0 + 0 ry0 (II.2) + 1 rz0 Innen már következik, hogy a kapcsolat valóban (II.1) szerint írható fel, illetve, hogy a homogén, lineáris leképezést megvalósító mátrix, A1,0 tényleg a (II.1)-ben részletezett mátrix. A vektoroknál a koordináta rendszert jobb, felső indexszel jelöltük A leképezési, elforgatási mátrixnak a kételemű, jobb alsó indexének első eleme a cél koordináta rendszert, a második pedig a kiinduló koordináta rendszert jelzi. Az indexeléssel általában is ezt a konvenciót követjük! Megjegyezzük, hogy más kapcsolatok vizsgálatánál, ha az ottani „ z ” tengely körüli rész-elforgatást tekintjük, akkor formailag ugyanezzel a kifejezéssel számolunk, mindössze az ott használt szöget írjuk át. Illetve a következő, két rész-elforgatást is, adott esetben felhasználjuk majd más elforgatásoknál is. Vizsgáljuk

most az y1 = y2 tengely körül a ϑ bólintási szöggel történő elforgatást. Ez a II.3 ábrán látható: II.3 ábra: Rész elforgatás az y1 tengely körül Az első rész-elforgatásnál követett megfontolások alapján – ezeket már nem részletezzük – felírható a vektor összetevők közötti kapcsolat, illetve ennek alapján a kapcsolati egyenlet (a „2”-es jelű koordináta rendszer, az „1”-hez hasonlóan, segéd koordináta rendszer): cos ϑ 0 − sin ϑ  r = A2,1 r , ahol : A2,1 =  0 1 0  ;  sin ϑ 0 cos ϑ  2 1 7 (II.3) II. Elforgatások - orientáció II.4 ábra: Rész elforgatás az x2 tengely körül Tekintsük végül a harmadik, a γ bedöntési szöggel, az x2 = xB tengely körüli rész elforgatást. Itt is a két, korábbi rész-elforgatásnál követett eljárást választva, a kapcsolati egyenlet az alábbi lesz: r = AB ,2 r , ahol : AB ,2 B 2 0 1  = 0 cos γ 0 − sin γ 0  sin γ

 ; cos γ  (II.4) A három rész-elforgatás egymás utáni alkalmazásával eljutunk a kezdetben kitűzött példa szerinti kapcsolati egyenlethez: ( ) ( ) ( ) B 2 1 0 0 r = AB ,2 r = AB ,2 A2,1 r = AB ,2  A2,1 A1,0 r  = AB ,2 A2,1 A1,0 r   ; 0 B legyen: AB ,0 := AB ,2 A2,1 A1,0 ezzel: r = AB ,0 r (II.5) A (II.5) kifejezés második sorának jobboldalán áll tehát a végeredmény: az a homogén, lineáris leképezés, amivel az adott vektor egyik koordináta rendszerbeli rendezőit egy másik koordináta rendszerbe számíthatjuk át. Természetesen ez a kijelentés igaz a (II1), a (II.3) és a (II4) kifejezésre is – csak ezek rész-elforgatások (síkbeli elforgatásnak is tekinthetők), a (II5) egy térbeli forgatás –az SO(3 ) térbeli forgás csoport eleme Már itt leszögezzük, hogy a (II.5)-ben szereplő négy mátrix mindegyike forgatási mátrix, illetve a forgatási mátrixok szorzata mindig forgatási mátrixot eredményez – ez a

csoport szorzásra vonatkozó zártságát jelenti. Egyszerű számolással is belátható, hogy a (II.5)-ben szereplő négy mátrix mindegyikére igaz, hogy: A1,0 A1,0 = E , T A2,1 A2,1 = E , T AB ,2 AB ,2 = E , T 8 AB ,0 AB ,0 = E ; T (II.6) II. Elforgatások - orientáció Ez pedig azt jelenti, hogy minden forgatási mátrix inverze a transzponáltja, vagyis a visszaforgatás egyszerűen számolható: r = A1,0 r 1 0 r = A2,1 r 2 és r = A1,0 r 1 ; és r = A2,1 r 2 ; 0 1 T 1 T r = AB ,2 r 2 és r = AB ,2 r B ; r = AB ,0 r 0 és r = AB ,0 r B ; B B 2 T 0 T (II.7) Végezzük el a (II.5)-ben kijelölt háromtagú mátrixszorzást, eredményül kapjuk, hogy: AB ,0 c ϑ cψ c ϑ sψ − sϑ    =  − c γ sψ + s γ s ϑ cψ c γ cψ + s γ s ϑ sψ s γ c ϑ  ;  s γ sψ + c γ s ϑ cψ − s γ cψ + c γ s ϑ sψ c γ c ϑ  ahol (a rövidebb írás miatt): c γ = cos γ , cψ = cosψ és cϑ = cos ϑ ; s γ =

sin γ , sψ = sinψ és s ϑ = sin ϑ ; (II.8) A fenti három, egymás utáni rész elforgatás csak egy, a lehetséges sorrendek közül. Az [I5] „A” mellékletében például 12 féle elforgatási sorrend szerint összeállított forgatási mátrix található. Határozzuk meg még az ω szögsebességet, a TEST koordináta rendszerben. A rész elforgatások sorrendjében visszafelé haladva, a II.1, II3 és II4 ábra alapján írhatjuk: ω xB  γɺ  γɺ − ψɺ sin ϑ 0 0     B        B ɺ ɺ ω = ω y  =  0  + AB ,2 ϑ  + AB ,2 A2,1  0  =  ϑ cos γ + ψɺ cos ϑ sin γ  ; ω zB   0   0  ψɺ   − ϑɺ sin γ + ψɺ cos ϑ cos γ    (II.9) A repülés mechanikai feladatok megoldásakor a perdület megmaradás alapján felírt mozgásegyenletekből a (II.9)-beli szögsebesség összetevőket ( ω xB , ω yB és ω zB )

határozzuk meg. A repülőgép orientációjának megállapításához a ψ , a ϑ és a γ szög meghatározására van szükség A (II9), a rész szögsebességekre (ψɺ , ϑɺ és γɺ ) nézve inhomogén, lineáris, algebrai egyenlet, melyből a szögsebesség összetevőket ( ω xB , ω yB és ω zB ) ismertnek véve a rész szögsebességek kifejezhetők: ( ω xB + tanϑ ω yB sin γ + ω zB cos γ  γɺ  θɺ  =  ω yB cos γ − ω zB sin γ    B B ψɺ   ω y sin γ + ω z cos γ / cos ϑ ( ) ) ;   (II.10) Az orientációs szögeket ezután a rész szögsebességek (ψɺ , ϑɺ és γɺ ) idő szerinti integ- rálásával számíthatjuk. A (II10)-ből azonban látható, hogy ez módszer a ϑ = ± ( π 2 ) 9 II. Elforgatások - orientáció ϑ = ± 900 szögértékeknél nem működik, hiszen ekkor a (II.10) jobb oldali vektorának első elemében – a tangens függvény tulajdonságai miatt –

szakadás áll elő, a harmadik elem pedig végtelen lesz. Ezt az esetet az angol nyelvű szakirodalom „gimbal lock”-nak nevezi, illetve szabadságfok elvesztéseként is értelmezhetjük A (II.8)-ban szereplő, forgatási mátrix ugyanis a ϑ = π 2 esetben az alábbi alakot ölti (a ϑ = − π 2 esetben hasonló eredményre juthatunk): 0 0   AB ,0 =  − c γ sψ + s γ cψ c γ cψ + s γ sψ  s γ sψ + c γ cψ − s γ cψ + c γ sψ illetve, a lehetséges átalakítások után: AB ,0 −1 0  , 0   −1  0 0 0   =  sin ( γ −ψ ) cos ( γ −ψ ) 0  =  sin κ cos ( γ −ψ ) − sin ( γ −ψ ) 0   cos κ   ha ϑ = 0 cos κ − sin κ π 2 ; −1 0  , 0  ha ϑ = π 2 ; Vezessük be a κ = γ −ψ új szög-jelölést. Ennek alapján belátható, hogy a ϑ = π 2 (vagy a ϑ = − π 2 ) esetben az AB ,0 forgatási mátrix erre az esetre vonatkozó, speciális alakja

kettő helyett csak egyetlen paramétertől függ, amit szabadságfok vesztésként értelmezhetünk. (Ez lehet a „lock” szó magyarázata) Ezt a problémát többféleképpen lehet kezelni. Mi itt, [I1] nyomán két lehetőségre mutatunk rá Az első szerint, ha a pályaszög értéke közel −900 vagy 900 , akkor (II10)-ben a tan ϑ és cos ϑ számértékét a pontos érték helyett valamely, megfelelő közelítő értékkel helyettesítjük. Ez nyilvánvalóan elhanyagolás, csak kevésbé igényes számolásokban engedhető meg A másik lehetőség, amit a II.3 pontban ismertetünk is, a kvaterniók alkalmazásán alapul. Ez matematikailag korrekt út ugyan, de az orientációs szögeket e módszer alkalmazása esetén is a (II11) – (II14) egyenletekből számolhatjuk, ahol szintén adódnak nehézségek Adott esetben tehát az elforgatási szögeket (az orientációt) az AB ,0 forgatási mátrix egyes elemeinek felhasználásával számítjuk. A példát – melynek

elvei általánosan érvényesek és minden hasonló esetben értelemszerűen alkalmazhatók – folytatva, tekintsük a szóban forgó forgatási mátrix [(II.8) egyenlet] első sorának harmadik elemét (feltesszük, hogy a forgatási mátrix elemeinek számértéke ismert): a13 = − sin ϑ innen: ϑ1 = arcsin ( − a13 ) , − π 2 ≤ ϑ1 ≤ π 2 ; (II.11) Ezzel a bólintási szöget matematikailag korrekt módon határoztuk meg, mivel az inverz szinusz függvény értelmezési tartománya a [ − π 2, π 2] (  −900 , 900  ) intervallum. 10 II. Elforgatások - orientáció Ez azonban – a bólintási szög fizikai ok nélküli korlátozását jelenti – ez a repülés mechanikában nem fogadható el, mert a repülőgépek bólintási szöge a [ −π , π ] (  −1800 ,1800  ) tartományban változhat. Ennek megfelelően a ϑ1 bólintási szög mellett figyelembe kell vennünk egy ϑ2 bólintási szöget is, amelyet ϑ1 ismeretében, az

alábbi módon számolhatunk:  π − ϑ1 ha ϑ1 ≥ 0 ; −π − ϑ1 ha ϑ1 < 0 ϑ2 =  (II.12) A (II.12) kifejezéssel számított második bólintási szög szinusza egyenlő az első bólintás szög szinuszával, tehát a (II11) egyenletet mindkét bólintási szög kielégíti A következő számításokban felhasználjuk a szignum függvényt, amivel a cos ϑ1 és cos ϑ2 függvény előjelét határozzuk meg A ψ irányszög számításának érdekében tekintsük a forgatási mátrix első sorának második és első elemét: a12 = cos ϑ sinψ és a11 = cos ϑ cosψ , innen: ψ 1 = arctan 2 ( sgn ( cos (ϑ1 ) ) a12 ,sgn ( cos (ϑ1 ) ) a11 ) ; ψ 2 = arctan 2 ( sgn ( cos (ϑ2 ) ) a12 ,sgn ( cos (ϑ2 ) ) a11 ) ; (II.13) A (II.13) szerint tehát kiszámíthatjuk a ψ 1 és ψ 2 irányszöget A kétargumentumú árkusz tangens függvényből a [ −π , π ] (vagy a [ 0, 2π ] ) tartománybeli bármely szög egyértelműen meghatározható, de nyomatékosan

hangsúlyozzuk, hogy az argumentumok előjelére feltétlenül szükség van! Ennek érdekében alkalmaztuk a szignum függvényt. Végeredményben ezzel a teljes körülfordulást számolhatjuk, illetve fizikai szempontból is pontosan erre a tartományra van szükségünk. A forgatási mátrix harmadik oszlop második és harmadik elemének a felhasználásával a γ 1 és a γ 2 bedöntési szöget határozhatjuk meg: a23 = sin γ cos ϑ és a33 = cos γ cos ϑ , innen: γ 1 = arctan 2 ( sgn ( cos (ϑ1 ) ) a23 ,sgn ( cos (ϑ1 ) ) a33 ) γ 2 = arctan 2 ( sgn ( cos (ϑ2 ) ) a23 , sgn ( cos (ϑ2 ) ) a33 ) ; (II.14) A kétargumentumú árkusz tangens függvényből, a korábban már leírtak szerint a [ −π , π ] tartománybeli bármely szög egyértelműen meghatározható. Ez a számolás tehát szintén maradéktalanul megfelelő, de itt is feltétlenül figyelembe kell venni a cos ϑ1 és a cos ϑ2 függvény előjelét. 11 II. Elforgatások - orientáció Ezzel két

orientációs szög-hármas ( [ϑ1 ,ψ 1 , γ 1 ] és [ϑ2 ,ψ 2 , γ 2 ] ) áll a rendelkezésünkre. Az ezek felhasználásával számolt egyik, illetve másik forgatási mátrix elemei – a számolási pontosságon belül – azonosak. Innen tekintve tehát a két szög-hármas ekvivalens A forgatási mátrixból, matematikai szempontból ennyit lehet kiszámolni. A tényleges repülés mechanikai számolások szerint valamelyik szög-hármas megfelelő, csak az a kérdés, hogy hogyan lehet ezt a két rendelkezésre álló hármas közül kiválasztani. Repülés mechanikai alapon feltehető, hogy egy repülőgép orientációs szögei megfelelően sima módon változnak, biztosan nem tartalmaznak ugrást. Ezért azt javasoljuk, hogy meg kell vizsgálni a már rendelkezésre álló orientációs szögek sorozatát és azt a szög hármast kell választani, amelyik ennek, az orientációs szög sorozatnak a folytatása lehet. Vagyis a több, lehetséges matematikai megoldás

közül a számunkra elfogadhatót fizikai alapon választhatjuk ki. II.2 Az elforgatások további tulajdonságai A következőkben – bizonyítás nélkül – összefoglaljuk a forgatási mátrixok legfontosabb tulajdonságait. Figyelem, bár a következőkben példaként a (II5)-ben definiált forgatási mátrixszal számolunk, de ezek a tulajdonságok minden forgatási mátrixra igazak! 0 Legyen adva egy r vektor az ELTOLT-FÖLD koordináta rendszerben. (Ennek a vektornak a megadása azt jelenti, hogy megadjuk a vektor három összetevőjét, amit össze0 foglalóan r -lal jelölünk.) Ennek a vektornak az összetevőit keressük a TEST koordináta B rendszerben – ezt jelöljük az r összefoglaló szimbólummal. Megismételjük (II5) végeredményként tekinthető részét, amely szerint azt állítjuk, hogy a keresett transzformáció a (II5) összefüggéssel határozható meg: r = AB ,0 r ; B 0 (II.5/a) Már korábban, a (II.5) tárgyalásakor leszögeztük és itt

megismételjük: a forgatási mátrixok szorzata mindig forgatási mátrixot eredményez – ez a szorzásra vonatkozó zártságot jelenti A vektoroknál a jobb, felső indexszel jelöljük azt, hogy a szóban forgó vektor összetevői melyik koordináta rendszerben adottak. A transzformációt az AB ,0 mátrix írja le – a mátrixnál a jobb alsó indexek jelölik, hogy a mátrix a „0” rendszerből a „B” rendszerbe transzformál. A (II.5) összefüggés egy homogén, lineáris leképezés, és mint ilyen kölcsönösen egyértelmű (szürjektív és injektív, tehát bijektív) Ebből következik, hogy bár a forgatási mátrix meghatározására több módszer is létezik, de a végeredmény, bármely módszert 12 II. Elforgatások - orientáció használjuk is, azonos! Ezek szerint egy, konkrét esetre érvényes AB ,0 mátrix elemeinek számértéke, a kiszámolás módszerétől függetlenül ugyanaz lesz. Megállapítjuk, hogy a forgatási mátrixok valóselemű

(szükségképpen kvadratikus) unitér mátrixok, azaz ortogonális mátrixok. Ezért egy (bármely) forgatási mátrix inverze egyenlő a transzponáltjával (ezt már korábban, a (II.6) és (II7) kifejezés tárgyalásánál is kimondtuk): −1 −1 −1 AB ,0 r = AB ,0 AB ,0 r = Er r = AB ,0 r B −1 0 0 0 de r = A0, B r ; tehát: 0 B −1 B A0, B = AB ,0 = AB ,0 AB ,0 AB ,0 = E és r = AB ,0 r = AB ,0 r ; T 0 T B T B (II.15) A fenti állításban benne foglaltatik, hogy egy forgatási mátrix determinánsának számértéke jobbrendszerben +1, a forgatási mátrix adjungáltja pedig éppen a transzponáltjával egyenlő (hiszen az inverz egyenlő az adjungált osztva a determinánssal). A példaként tekintett forgatási mátrixot részletesen a (II.8) kifejezéssel írtuk fel; ott a mátrix elemek az orientációs szögek függvényeinek kombinációiként álltak elő. Vezessük be a mátrix elemekre az alábbi összefoglaló jelölést:  a11 AB ,0 :=

 a21  a31 a12 a22 a32 a13  a23  ; a33  (II.16) Tekintsük a II.5 ábrát Ezen az ELTOLT-FÖLD koordináta rendszer x0 tengelyét kijelölő i egység vektort, illetve e vektor TEST koordináta rendszerbeli rendezőit ( ixB , i yB és izB ) tüntettük fel. Az i rendezői az ELTOLT-FÖLD koordináta rendszerben: i = [1 0 0] . T II.5 ábra: Egységvektor az ELTOLT-FÖLD és a TEST koordináta rendszerben Egyszerűen belátható, hogy a (II.16) első oszlopának elemei rendre a II5 ábrán látható rendezőkkel azonosak ( a11 = ixB , a21 = i yB és a31 = izB ) Illetve ennek analógiájára ki- 13 II. Elforgatások - orientáció mondhatjuk, hogy a12 = jxB , a22 = j yB és a32 = jzB ; továbbá a13 = k xB , a23 = k yB és a33 = k zB . Ezzel a példaként tekintett forgatási mátrix így is irható: B AB ,0 = i j B ixB  B k  = i yB izB  jxB j yB jzB k xB   k yB  ; k zB  (II.17) Ez tehát azt jelenti,

hogy az AB ,0 forgatási mátrix oszlopvektorai rendre az ELTOLTFÖLD koordináta rendszer (a kiinduló rendszer) egység vektorainak vetületei. Válaszszunk egy tengelyt az ELTOLT-FÖLD koordináta rendszerből (például x0 ) és egy tengelyt a TEST koordináta rendszerből (például xB ) E két tengely pontosan egy síkot határoz meg, illetve a két tengely közbezárt szögének koszinusza éppen a tekintett mátrix elem (például az x0 és az xB közbezárt szögének koszinusza az ixB ). Másik példaként tekintsük a jzB -t: ez az y0 és a z B tengelyek által közbezárt szög koszinusza A (II.17) tehát a szakirodalomban irány-koszinuszoknak nevezett mennyiségekből épül fel. Ezért az ilyen mátrixokat irány-koszinusz mátrixnak is nevezik (DCM – Direction Cosine Matrix). Nyilvánvaló, hogy – mivel a kiinduló egységvektorok ortonormált rendszert alkottak B B B – a koordináta rendszer forgatása ezen nem változtat, vagyis i j k  is

ortonormált rendszer. Ezek szerint a (II17) két, különböző oszlopvektorának skalár szorzata nulla – ez három, algebrai egyenletet jelent. Másrészt az ortogonalitás miatt, két oszlopvektor megfelelő sorrendben vett vektori szorzata a harmadik oszlop vektort adja. Ez újabb három algebrai egyenletet szolgáltat Végeredményben a 9 irány koszinusz mellett találtunk 6 kiegészítő egyenletet, tehát valóban 3, a merev test forgatását jellemző 3 szabadsági fok számával azonos számú, szabad paraméter marad! Belátható, hogy az oszlopvektorok skalár és vektori szorzataira kimondott állítások a sorvektorokra is igazak – hiszen a forgatási mátrix transzponáltja is forgatási mátrix. A forgatási mátrixnak van egy, a +1 sajátértékhez tartozó sajátvektora – ez a pillanatnyi forgástengely, illetve ezért ez a sajátvektor sajátvektora az inverz forgatásnak is: AB ,0 v = 1 ⋅ v és A0, B v = AB ,0 v = 1⋅ v ; T (II.18) Egy merev test

általános elforgatását a pillanatnyi forgástengely és az elforgatási szög megadásával is meghatározhatjuk. A forgástengely a forgatási mátrix +1 sajátértékhez tartozó sajátvektora (II.18) A forgástengelyt tehát (II18) megfelelő átrendezésével és az egységmátrix beírásával az alábbi, homogén, lineáris algebrai egyenlet szerint számolhatjuk: 14 II. Elforgatások - orientáció ( ) AB ,0 v = 1⋅ v AB ,0 − E v = 0 , a triviálistól különböző megoldás pontosan akkor létezik, ha: ( ) det AB ,0 − E = 0 ; (II.19) A (II.19)-ből látható, hogy a sajátvektor összetevőit a leképezés nem változtatja meg – ez a forgástengely esetében nyilvánvaló. A (II19)-et a (II5)-tel összevetve azt állapíthatjuk meg, hogy a sajátvektor rendezőinek számértéke mindkét rendszerben azonos, ezért a jobb felső, a koordináta rendszert jelölő indexet elhagytuk. Írjuk ki (II.19)-et részletesen: ( a11 − 1)   a21 

a31 a12 ( a22 − 1) a32   v x  0   a23   v y  = 0  ; ( a33 − 1)  v z  0  a13 (II.20) A (II.20) homogén, lineáris, algebrai egyenlet-rendszer Ennek a triviálistól (azonosan nulla) különböző megoldása akkor és csak akkor létezik, ha az együttható-mátrix determinánsa nulla – ez pedig a „forgatási mátrix mínusz egység mátrixokra” teljesül. A nulla determináns esetén viszont a homogén, lineáris algebrai egyenlet-rendszernek végtelen sok, a triviálistól különböző megoldása van. Tekintsük a (II.20) szerinti részletes felírás alapján kiszámolt, aldeterminánsokból képzett mátrixot:  ( a22 − 1)( a33 − 1) − a32 a23   a23 a31 − a21 ( a33 − 1)   a21a32 − a31 ( a22 − 1)       a32 a13 − a12 ( a33 − 1)  ( a11 − 1)( a33 − 1) − a31a13   a31a12 − a32 ( a11 − 1)

  ;    a21a13 − a23 ( a11 − 1)  ( a11 − 1)( a22 − 1) − a12 a21     a12 a23 − a13 ( a22 − 1)  (II.21) Mivel a triviálistól különböző megoldás arányos a megfelelő aldeterminánssal, azért a sajátvektorra nézve az alábbi három arányosság írható fel: ( a22 − 1)( a33 − 1) − a32 a23  :  a23 a31 − a21 ( a33 − 1)  :  a21a32 − a31 ( a22 − 1)  = v x : v y : v z  a32 a13 − a12 ( a33 − 1)  : ( a11 − 1)( a33 − 1) − a31a13  :  a31a12 − a32 ( a11 − 1)  = v x : v y : v z ; (II.22)  a12 a23 − a13 ( a22 − 1)  :  a21a13 − a23 ( a11 − 1)  : ( a11 − 1)( a22 − 1) − a12 a21  = v x : v y : v z A (II.22) alapján felírható, legegyszerűbben kapható megoldások: v x = ( a22 − 1)( a33 − 1) − a32 a23  , v y =  a23 a31 − a21 ( a33 − 1)

 , v z =  a21a32 − a31 ( a22 − 1)  v′x =  a32 a13 − a12 ( a33 − 1)  , v′y = ( a11 − 1)( a33 − 1) − a31a13  , v′z =  a31a12 − a32 ( a11 − 1)  ; (II.23) v′′x =  a12 a23 − a13 ( a22 − 1)  , v′′y =  a21a13 − a23 ( a11 − 1)  , v′′z = ( a11 − 1)( a22 − 1) − a12 a21  15 II. Elforgatások - orientáció Azt állítjuk, hogy mindhárom megoldás ugyanazt a forgástengelyt jelöli ki. Számítsuk át a (II.23)-ből adódó, mindhárom sajátvektort egységnyi hosszúságúra Akkor, néhány, kivételes esetben – a számítási pontosságon belül – mindhárom vektor azonos lesz; általában azonban a három közül kettő azonos és a harmadik a két azonossal ellentétes értelmű lesz (a harmadik, normált sajátvektor összetevőit ellenkező előjellel véve a két azonos vektor összetevőit kapjuk). Ez azt jelenti, hogy a forgatási

mátrixból általában nem tudjuk meghatározni a forgásirányt – ehhez további, repülés mechanikai feltétel szükséges. Ez a kettősség analóg az orientációs szögeknél már bemutatott két, lehetséges szög-hármassal. Illetve a későbbiekben (II3 pont) bevezetett Euler paraméterek esetében is látható lesz az előjelben megnyilvánuló kettősség. Legyen a forgástengely körüli elforgatás szöge α . Ezt a szöget a forgatási mátrix nyomának (spurjának) felhasználásával számíthatjuk (vigyázat: az elforgatási szögre általában két lehetséges érték adódik; α 2 = −α1 ): ( ) Sp AB ,0 = a11 + a22 + a33 = 1 + 2 cos α α = arccos ( ) Sp AB ,0 − 1 2 , 0 ≤α ≤π ; (II.24) Számítsuk ki a forgástengelyt kijelölő, normált (egység) vektort: t = v v . A forgástengelyt kijelölő egység vektor ( t = t x t y t z  ) és az elforgatási szög ( α ) ismeretében a forgatási mátrix elemei az alábbi módon írhatók fel

(figyelem, vizsgálni kell, hogy a kiválasztott sajátvektor az α1 vagy az α 2 = −α1 elforgatási szöghöz tartozik-e, vagyis az T aktuális forgásirány pozitív, vagy negatív-e): a11 = cos α + t x2 (1 − cos α ) ; a12 = t xt y (1 − cos α ) +t z sin α ; a13 = t x t z (1 − cos α ) − t y sin α ; a21 = t x t y (1 − cos α ) − t z sin α ; a22 = cos α + t y2 (1 − cos α ) ; a23 = t y t z (1 − cos α ) + t x sin α ; a31 = t x t z (1 − cos α ) + t y sin α ; a32 = t y t z (1 − cos α ) − t x sin α ; a33 = cos α + t z2 (1 − cos α ) ; (II.25) A (II.25) kifejezés a klasszikus Rodrigues paraméterekkel (ezt Gibbs vektornak is nevezik), a (II5)-nek megfelelően, de elemenként felírt forgatási mátrix Az elforgatási szög és a sajátvektor – szám négyes – természetes úton vezet el a kvaterniók (quaterniók) bevezetéséhez és alkalmazásához. Ezek a szám négyesek, azaz kvaterniók tartalmazzák ugyanis az elforgatási szöget

és a forgástengelyt kijelölő számhármast. 16 II. Elforgatások - orientáció II.3 Az Euler paraméterek és a kvaterniók A II.1 pontbeli példát az Euler szögek ( γ – bedöntési szög, ϑ – pályaszög és ψ – irányszög) felhasználásával építettük fel Ezekkel meghatározhatók az Euler paraméterek, melyek általános alakjában kétféle előjel szerepel: e0 = ± cos ( γ 2 ) cos (ϑ 2 ) cos (ψ 2 ) + sin ( γ 2 ) sin (ϑ 2 ) sin (ψ 2 )  e1 = ± sin ( γ 2 ) cos (ϑ 2 ) cos (ψ 2 ) − cos ( γ 2 ) sin (ϑ 2 ) sin (ψ 2 )  ; e2 = ±  cos ( γ 2 ) sin (ϑ 2 ) cos (ψ 2 ) + sin ( γ 2 ) cos (ϑ 2 ) sin (ψ 2 )  (II.26) e3 = ± cos ( γ 2 ) cos (ϑ 2 ) sin (ψ 2 ) − sin ( γ 2 ) sin (ϑ 2 ) cos (ψ 2 )  Rögzítjük, hogy a következőkben a (II.26) szerinti paramétereknek csak a pozitív előjelű változatával foglalkozunk A (II8)-ban felírt forgatási mátrixot ezen paraméterekkel, az alábbi

módon írhatjuk fel: AB ,0 e02 + e12 − e22 − e32  =  2 ( e1e2 − e0 e3 )  2 ( e0 e2 + e1e3 )  2 ( e1e2 + e0 e3 ) e −e +e −e 2 ( e2 e3 − e0 e1 ) 2 0 2 1 2 2 2 3 2 ( e1e3 − e0 e2 )   2 ( e2 e3 + e0 e1 )  ; e02 − e12 − e22 + e32  (II.27) Az elforgatások felépítésében – napjainkban – egyre nagyobb teret hódítanak az egység kvaterniók. E pont első részében egy általános (tetszőleges) elforgatást három, egymástól különböző tengely körüli, speciális rész-elforgatás kombinációjával írtunk fel Ugyanezt a tetszőleges elforgatást úgy is megvalósíthatjuk, ha a merev testhez rögzített koordináta rendszert a pillanatnyi forgástengely körül, a kívánt szöggel elforgatjuk. A forgatást leíró kvaternió képzetes elemei (vektor része) a forgástengelyt jelölik ki, a valós részt pedig az elforgatási szög függvényeként (a szög felének a koszinusza) határozzuk meg. A kvaterniókat csak a

legszükségesebb mértékben mutatjuk be – az érdeklődő Olvasó figyelmébe a vonatkozó szakirodalmat ajánljuk. Annál is inkább, hiszen a kvaterniók számos más tudományterületen (pl. kvantum mechanika) is igen fontos szerepet játszanak! Egy kvaternió, vagy szám-négyes a komplex számok általánosításának is tekinthető (hiperkomplex szám); bevezetésként a Hamilton féle alakban írjuk fel: q = q0 + q1 i + q2 j + q3 k , ahol: q0 , q1 , q2 és q3 ∈ℜ ( valós szám ) ; (II.28) Az i , a j és a k képzetes egység három (új) bázis vektornak is tekinthető, és így a kvaterniót a valós számkör kiterjesztésével nyerjük (a kvaterniók ferde testet alkotnak). A képzetes egységekre vagy bázis vektorokra igaz, hogy: i 2 = j 2 = k 2 = ijk = −1, ij = k , ji = − k , jk = i, kj = −i, ki = j , ik = − j 17 ; (II.29) II. Elforgatások - orientáció Definiáljuk az összeadást. Két kvaternió összege: p + q = ( p0 + p1i + p2 j + p3

k ) + ( q0 + q1i + q2 j + q3 k ) = = ( p0 + q0 ) + ( p1 + q1 ) i + ( p2 + q2 ) j + ( p3 + q3 ) k ; (II.30) Hasonlóképpen definiáljuk két kvaternió szorzatát, (itt tekintetbe kell venni a (II.29)ban leírt összefüggéseket): p q = ( p0 + p1i + p2 j + p3 k ) ( q0 + q1i + q2 j + q3k ) = = ( p0 q0 − p1q1 − p2 q2 − p3 q3 ) + ( p0 q1 + p1q0 + p2 q3 − p3 q2 ) i + + ( p0 q2 − p1q3 + p2 q0 + p3 q1 ) j + ( p0 q3 + p1q2 − p2 q1 + p3 q0 ) k ; (II.31) A kvaternió szorzat nem kommutatív, azaz q1 q2 ≠ q2 q1 (egyenlőség csak speciális esetekben lehetséges). Az asszociativitás viszont teljesül, azaz: q1 ( q2 q3 ) = ( q1 q2 ) q3 . A kvaternió konjugáltja: ⌢ q = q0 − q1 i − q2 j − q3 k ; (II.32) A kvaternió és konjugáltjának szorzata (a lehetséges egyszerűsítések elvégzése után): ⌢ q q = q0 q0 + q1q1 + q2 q2 + q3 q3 ; (II.33) A kvaternió és konjugáltja szorzatának négyzetgyöke a kvaternió hosszúsága (normája vagy nagysága): ⌢

q = + q q = + q0 q0 + q1q1 + q2 q2 + q3 q3 ; (II.34) A kvaterniót írhatjuk Hamilton féle alakban ((II.35) második tagja), skalár-vektor alakban ((II.35) harmadik tagja) és szám-négyesként ((II35) negyedik tagja): q = q0 + q1 i + q2 j + q3 k = ( q0 , v ) = {q0 , q1 , q2 , q3} ; (II.35) Az elforgatásokban – mint már említettük – az egységnyi hosszúságú, tehát az egység kvaterniónak ( q = 1 ) van fontos szerepe, ezt Euler féle alakban is felírhatjuk (a t a forgástengely irányvektora, v -ből származtatjuk, úgy, hogy egységvektort kapjunk): qe = e t α ( q⌢ e ) ⌢ t α −α ) = e −t α , qe qe = e ( =1 ; (II.36) Az Euler paraméterek segítségével írhatjuk fel a számunkra fontos, az elforgatásban kulcsszerepet betöltő egység kvaterniót (Hamilton féle alakban, skalár-vektor alakban és szám-négyesként): qe = e0 + e1 i + e2 j + e3 k = ( e0 , e ) = {e0 , e1 , e2 , e3} ; (II.37) Az orientáció pillanatnyi forgástengelye egy

vektor, amelyet az Euler paraméterek a határoznak meg: 18 II. Elforgatások - orientáció ( tehát: t = e1 i + e2 j + e3 k e1 : v x = e2 : v y = e3 : v z ) ; (II.38) Ha a forgatási mátrix elemeit számszerűen ismerjük, akkor ezekből az elemekből, (II.27) alapján a forgatási (egység) kvaternió elemeit az alábbi módon számolhatjuk (ennek során figyelni kell arra, hogy az egyes esetekben, a nevezőkben szereplő tényező ne legyen nulla – ezért négy esetet kell megkülönböztetnünk): ha e0 ≠ 0, akkor : a11 + a22 + a33 + 1 a −a a −a a −a , e1 = 23 32 , e2 = 31 13 , e3 = 12 21 ; 2 4e0 4e0 4e0 e0 = (II.39) ha e1 ≠ 0, akkor : a11 − a22 − a33 + 1 a +a a −a a +a , e2 = 12 21 , e3 = 31 13 , e0 = 23 32 ; 2 4e1 4e1 4e1 e1 = (II.40) ha e2 ≠ 0, akkor : − a11 + a22 − a33 + 1 a +a a −a a +a , e3 = 23 32 , e0 = 31 13 , e1 = 12 21 ; 2 4e2 4e2 4e2 e2 = (II.41) ha e3 ≠ 0, akkor : − a11 − a22 + a33 + 1 a +a a +a a −a , e0 = 12 21 ,

e1 = 13 31 , e2 = 23 32 ; 2 4e3 4e3 4e3 e3 = (II.42) Tekintsük most a vizsgálatunk kulcs elemét, az elforgatást. Annak érdekében, hogy a 0 3 dimenziós vektorokat kvaternióval szorozhassunk, egészítsük ki az r vektort nulla valós résszel, vagyis legyen ez egy tiszta kvaternió. Akkor a példa elforgatás – amit mátrixos alakban a (II5)-tel adtunk meg – a (II37)-tel definiált egység kvaternióval az alábbi módon írható fel: ( 0, r ) = q⌢ ( 0, r ) B 0 e (II.43) qe ; ⌢ 0 B A (II.43) egyenletet a szakirodalomban megszokott ( r = qe r qe ) helyett kissé más – véleményünk szerint korrekt – formában írtuk fel, azért, hogy hangsúlyozzuk: a szorzat mindhárom tagja és az eredmény is kvaternió. Ez azt jelenti, hogy a kiinduló és transzformált vektort egyaránt tiszta kvaternióként (amelynek valós része nulla) írjuk fel, illetve ebben az összefüggésben így számolunk vele – a (II31)-ben részletezett szorzatot számoljuk. ⌢

Szorozzuk meg (II.43)-t balról a qe kvaternióval, jobbról pedig a konjugáltjával ( qe ) és vegyük tekintetbe, hogy az egység kvaternió esetében a kvaternió és konjugáltjának ⌢ ⌢ szorzata egy: qe qe = qe qe = 1 . Ennek alapján pontosan az inverz transzformációt kapjuk: qe ( 0, r ) B ⌢ ⌢ qe = qe qe ( 0, r ) 0 ( ) ⌢ 0 qe qe = 0, r ; 19 (II.44) II. Elforgatások - orientáció A (II.43) egyenletet a (II5)-tel összevetve azt látjuk, hogy a kvaterniók alkalmazásakor, a forgatási mátrix 9 eleme helyett csak négy elemet kell tárolni, illetve ennyi elemmel kell számolni Adott esetben ez előny lehet, bár nem árt figyelembe venni azt is, hogy a kvaternió szorzás (pl. (II31) szerint) több műveletből áll, mint egy egyszerű szorzás Tekintsünk egy u vektort, amelyet a p egység kvaternió a v vektorba visz át: ( 0, v ) = p⌢ ( 0, u ) p röviden: v = p⌢ u p ; (II.45) Tekintsünk most a v vektort, amelyet a q egység kvaternió a w

vektorba visz át: ( 0, w ) = q⌢ ( 0, v ) ⌢ ⌢ = (q p) ⌢ q=q ( p⌢ ( 0, u ) p ) q= ( 0, u ) ( p q ) = ( p q ) ( 0, u ) ( p q ) ; (II.46) ; A (II.46) felírásánál figyelembe vettük, hogy a transzponált kvaterniók szorzata az eredeti kvaterniók felcserélt sorrendű szorzatának transzponáltja. A (II43)-mal definiált forgatást felépíthetjük három, rész-forgatás kombinációjaként is. Ennek érdekében vezessük be a következő, három egység kvaterniót: qψ = cos (ψ 2 ) + 0 ⋅ i + 0 ⋅ j + sin (ψ 2 ) ⋅ k ; (II.47) qϑ = cos (ϑ 2 ) + 0 ⋅ i + sin (ϑ 2 ) ⋅ j + 0 ⋅ k ; (II.48) qγ = cos ( γ 2 ) + sin ( γ 2 ) ⋅ i + 0 ⋅ j + 0 ⋅ k ; (II.49) A három, egység kvaternió egymás utáni alkalmazásával pontosan a (II.43) kifejezéshez jutunk: ( 0, r ) = q⌢ B γ {q⌢ = ( qψ qϑ qγ ) ϑ  q⌢ψ  ( 0, r ) 0 ( 0, r ) ( q 0 ψ qψ  qϑ  } qγ = qϑ qγ ) ; (II.50) Határozzuk meg, (II.31) alapján, (II29)

felhasználásával a (II47), (II48) és (II49) figyelembe vételével a (II50)-ben felírt három egység kvaternió szorzatát: ψ ψ  qψ qϑ qγ =  cos + sin 2 2  = cos (ψ 2 ) cos (ϑ 2 ) cos ( γ ϑ ϑ   γ γ    k   cos + sin j   cos + sin i  = 2 2   2 2    2 ) + sin (ψ 2 ) sin (ϑ 2 ) sin ( γ 2 ) + + ( cos (ψ 2 ) cos (ϑ 2 ) sin ( γ 2 ) − sin (ψ 2 ) sin (ϑ 2 ) cos ( γ 2 ) ) i + ( cos (ψ 2 ) sin (ϑ 2 ) cos ( γ 2 ) + sin (ψ 2 ) cos (ϑ 2 ) sin ( γ 2 ) ) j ; (II.51) + ( sin (ψ 2 ) cos (ϑ 2 ) cos ( γ 2 ) − cos (ψ 2 ) sin (ϑ 2 ) sin ( γ 2 ) ) k A szorzás eredményét (II.26)-tal összevetve látjuk, hogy a három rész forgatás eredményeként kapott egység kvaternió a pozitív előjellel vett Euler tényezőkből épül fel, 20 II. Elforgatások - orientáció vagyis az eredmény pontosan megfelelő: qe = qψ qϑ qγ . Ennek a számolásnak az alapján részben láthatjuk az egymásnak

megfelelő rész-elforgatások és az egység kvaternióval történő elforgatások ekvivalenciáját. Illetve, a (II50)-nel adott eljárás bármely más forgatásra is alkalmazható, mindössze a vizsgált elforgatás paramétereit kell értelemszerűen beírni. Az orientáció folyamatában, az orientációs szögek időbeli változásának figyelemmel kísérése az egyik fő feladatunk, ezt a (II.10) közönséges differenciálegyenlet rendszer kapcsán már vizsgáltuk. A részletes levezetést mellőzve (az pl [I4]-ben megtalálható) állítjuk, hogy a forgatási (egység) kvaternió alkalmazásakor ezt a vizsgálatot az alábbi, kvaternió – differenciálegyenlet alkalmazásával végezhetjük el: qɺe = (1 2 ) qe qω ; (II.52) A (II.52) kifejezésben a qω tiszta kvaternió (a valós része nulla) a TEST koordináta rendszerbeli szögsebesség összetevőkből áll: ( qω = 0, ω B ) = {0, ω B x } , ω yB , ω zB ; (II.53) Fejtsük ki a (II.52)-ben tömör

formában felírt kvaternió szorzatot: ( ) 1 1 qe qω = ( e0 + e1i + e2 j + e3k ) ω xB i + ω yB j + ω zB k = 2 2 1 1 = − e1ω xB + e2ω yB + e3ω zB + e0ω xB − e3ω yB + e2ω zB i + 2 2 1 1 + e0ω yB − e1ω zB + e3ω xB j + e0ω zB + e1ω yB − e2ω xB k ; 2 2 qɺe = ( ) ( ) ( ) ( ) (II.54) Végeredményben tehát, a kvaternió összetevőinek idő szerinti változása: ( eɺ0 = − e1ω xB + e2ω yB + e3ω zB ( = (e ω = (e ω eɺ1 = e0ω xB − e3ω yB + e2ω zB eɺ2 eɺ3 0 B y − e1ω zB + e3ω xB 0 B z + e1ω yB − e2ω xB ) ) ) ) 2; 2; 2; (II.55) 2; A (II.55) szerinti részletes felírást a szakirodalomban mátrix vektor alakban is megadják – ebben, természetesen 4 x 4-es mátrix, illetve 4 dimenziós vektor szerepel: 0 eɺ0   B  eɺ  1 ω 1 Qɺ =   =  xB eɺ2  2 ω y  B    eɺ3  ω z −ω xB −ω yB 0 ω zB −ω zB 0 ω yB −ω xB −ω zB  e0   −ω

yB   e1  1 = A Q; ω xB  e2  2 ω   0   e3  21 (II.56) II. Elforgatások - orientáció A numerikus számolások során, különböző okokból hiba keletkezik. Ez, különösen hosszabb szimulációk esetén korrigálandó. Erre a korrekcióra nyújt lehetőséget az a tény, hogy a számolás során az aktuális orientációt leíró kvaterniónak egységnyinek kell lennie, illetve – a számítási pontosságon belül – mindvégig egységnyinek kell maradnia. Ezzel rendeződik az a kérdés is, hogy az általános forgatás 3 szabadságfokot jelent – ezzel szemben egy kvaterniónak 4 eleme van, kell tehát egy, kiegészítő, feltételi egyenlet. Ezért, például [I1] a konkrét számolást az alábbi korrekcióval javasolja: eɺ0 = − ( ) 1 e1ω xB + e2ω yB + e3ω zB + k λ e0 ; 2 ( ) ( ) ( ) 1 e0ω xB − e3ω yB + e2ω zB + k λ e1 ; 2 1 eɺ2 = e0ω yB − e1ω zB + e3ω xB + k λ e2 ; 2 ; 1 B B B eɺ3 = e0ω

z + e1ω y − e2ω x + k λ e3 ; 2 ahol: eɺ1 = (II.57) λ = 1 − ( e02 + e12 + e22 + e32 ) és k ∆t ≤ 1 , itt ∆t az idő-lépés; A (II.57) szerinti számolásban szereplő k tényezőt a k ≤ 1 ∆t feltétel mellett meg kell választani – a választás a megengedett tartományban tetszőleges. A vonatkozó szakirodalom szerint a túl nagy k numerikus instabilitáshoz vezethet, ha viszont k értéke túl kicsi, akkor a kvaternió egységtől való jelentősebb eltérése is előfordulhat. A (II.57) alkalmazása nem kötelező: amennyiben a szimuláció során arra lehetőség van, akkor a (II.55)-tel vagy (II56)-tal számolt kvaterniót minden számítási lépésben a saját hosszával normálni lehet, ezzel direkt módon alkalmazzuk az egység-feltételt. Voltaképpen ez a legjobb megoldás, csak nem mindig alkalmazható Az eddigiekben egy teljes rendszert igyekeztünk felépíteni, ahol a szimulációk során előforduló, legfontosabb esetek szerepelnek. Talán a

legfontosabb az orientációs szögek idősorának meghatározása. Első lépésben (II55) vagy (II56) és az „egység feltétel” illetve (II.57) segítségével a kvaterniók időbeli változását számolhatjuk Az adott pillanatbeli kvaternió ismeretében, (II.27) szerint meghatározhatjuk a forgatási mátrixot Ennek tulajdonképpen csak azok az elemei szükségesek, amelyek a (II11), (II13) és (II14) kifejezésben előfordulnak – eme elemek segítségével a már említett (II11), (II13) és (II14) kifejezésekből az orientációs szögek meghatározhatók Ügyelni kell azonban arra, hogy az orientációs szögek két lehetséges szög-hármasa közül azt válasszuk, amelyik a szimuláció során előálló idő-sorba illeszkedik! A kvaternióval történő számolások legfontosabbika a kvaternió szorzás, amit a (II.31) kifejezéssel írtunk le. A szakirodalomban erre a szorzásra gyakran mondják, hogy bonyolult, illetve helyette egy egyszerű szám szorzatból,

valamint a szorzandó kvaterniók vektor részéből adódó vektorok skalár és vektori szorzatából felépített kifejezést vezet22 II. Elforgatások - orientáció nek be. Numerikus szimuláció számára azonban a (II31) alapján a legegyszerűbb, ha egy függvényt (eljárást) definiálunk, olyat, mint ami példaként a II.1 táblázatban látható: II.1 Táblázat – kvaternió szorzás FUNCTION kvaternio szorzat ( p() , q() , szor() ) szor(0)=p(0)*q(0) – p(1)q(1) – p(2)q(2) – p(3)q(3) szor(1)=p(0)*q(1) + p(1)q(0) + p(2)q(3) – p(3)q(2) szor(2)=p(0)*q(2) – p(1)q(3) + p(2)q(0) + p(3)q(1) szor(3)=p(0)*q(3) + p(1)q(2) – p(2)q(1) + p(3)q(0) END FUNCTION A p és a q kvaterniót, ebben a sorrendben összeszorozva eredményül a szor kvaterniót kapjuk. Ennek valós része a szor ( 0 ) , képzetes részei pedig rendre a szor (1) szor ( 2 ) és a szor ( 3) : p q = szor ( 0 ) + szor (1) i + szor ( 2 ) j + szor ( 3) k ; A fenti eljárással tetszőleges szorzat

(például (II.50)-beli rész szorzatok, vagy (II52) szerinti idő szerinti deriváltak, stb.) számolható, de ügyelni kell arra, hogy a szorzótényezőket a megfelelő (helyes) sorrendben írjuk be Véleményünk szerint ez egy, nagyon fontos eljárás, amire egy program fejlesztése esetén minden bizonnyal szükség lesz. II.4 További elforgatási módszerek, következtetés Ebben a pontban, részletes vizsgálat nélkül, nem törekedve a teljességre, csak megemlítünk további, elforgatási vagy az orientáció vizsgálatára alkalmazott módszereket. A korábban már bemutatott irány-koszinusz mátrix (DCM – Direction Cosine Matrix) módszer gyakorlati alkalmazásakor tekintetbe kell venni, hogy a mátrix 9 elemére 6 skalár egyenletet írhatunk, illetve kell felírnunk – tehát végül 3 szabad paraméter marad, ami pontosan megfelel a merev test forgómozgás 3 szabadságfokának. De ez a számítás így – véleményünk szerint – meglehetősen nehézkes,

jóllehet korlátozás nélkül alkalmazható, a számolás során nem lép fel szingularitás. A gyakorlat számára kidolgozták a redukált irány koszinusz mátrix módszert is (RDCM – Reduced Direction Cosine Matrix), ahol a forgatási mátrixot alkotó harmadik oszlopvektor az első két, irány koszinuszokból álló oszlopvektor vektori szorzataként számítandó. Ekkor a mátrixban csak 6 független paraméter van és csak 3 skalár egyenletet kell figyelembe venni. ( A három skalár egyenlet az oszlopvektorok páronként vett skalárszorzata egyenlő nulla feltételből adódik) Ez a számítás szintén korlátozás nélkül alkalmazható 23 II. Elforgatások - orientáció Az [I8] – többek között – bemutatja a módosított Rodrigues eljárást (MRP – Modified Rodrigues Parameters), amelyet a pillanatnyi forgástengelyt kijelölő normált sajátvektor és az elforgatási szög negyedével definiál. Ez az eljárás szinguláris ha az elforgatási szög

értéke ±2π ( ±3600 ). Bonyolítja az eljárást, hogy a forgatásokhoz egy „árnyék” halmaz is hozzárendelhető – adott esetben éppen az árnyék halmazzal kell számolni. Az eddig ismertetett számításokban árkusz szinusz, árkusz koszinusz és árkusz tangens függvény is előfordul. A kétargumentumú árkusz tangens függvény minden szempontból megfelel – lefedi a teljes körülfordulást Problémát jelent, hogy egyes esetekben nem ismerjük az argumentumok előjelét. Viszont az árkusz szinusz és az árkusz koszinusz függvény csak fél körülfordulást fed le, ezért vagy korlátozzuk a vizsgált szögeket, vagy kiegészítjük a megoldást, hogy a teljes körülfordulást kísérhessük figyelemmel. A kiegészítés – véleményük szerint – kötelező, mert enélkül a repülőgép mozgása lenne korlátozva, ami nem felel meg a valóságnak! A kiegészítés esetében azonban két megoldást kapunk, amelyeket vizsgálni kell, hogy melyik az

elfogadható közülük. Tekintetbe véve az eddig tárgyalt tényeket, az a véleményünk, hogy az orientáció folyamatát alapvetően és általában a (II.10) közönséges differenciálegyenlet rendszer segítségével célszerű követni, illetve vizsgálni A további lehetőségek közül egyet (pl kvaterniók módszere) pedig akkor kell alkalmazni, ha a (II.10) szingulárishoz közeli helyzethez vezetne. Ezen a szinguláris részen a kiegészítő módszer alkalmazásával juthatunk át, és utána ismét a (II10) alkalmazását célszerű folytatni II.5 Kitekintés – tenzorok Az eddigiekben a vektorok összetevőinek koordináta rendszerek közötti átszámításával foglalkoztunk. Egyes számításokban azonban szükséges például a tehetetlenségi tenzor mátrixának egy koordináta rendszerből egy másik rendszerbe történő átszámítása. Ezzel foglalkozunk ebben a pontban. A tenzor szigorúan véve egy matematikai objektum, mi azonban itt a fizikai, a

mérnöki oldal néhány vonatkozását emeljük csak ki. Tekintsük először a skalár mennyiségeket (például a tömeg) – ezek nulladrendű vagy nullaindexes tenzorok, mivel nincs indexük abban az értelemben, mint a vektor mennyiségeknek (például a sebesség), melyeknek egy indexük van. Ezért a vektorok elsőrendű vagy egyindexes tenzorok. A műszaki tudományokban jól ismert a feszültség tenzor (valójában ebből a mennyiségből származik az elnevezés: tenzió tenzor) Ezt egy mátrixszal adhatjuk meg – így ez másodrendű vagy kétindexes tenzor A tenzorok indexek szerinti besorolása folytatható (nulla index – skalár, egy index – vektor, két index – mátrix), három, négy, stb. indexes tenzorok is előfordulnak – ezeket azonban már alapvetően indexes alakkal írjuk le 24 II. Elforgatások - orientáció Legyen egy merev test – melyhez a TEST koordináta rendszert rögzítjük – tehetetlenségi tenzorának mátrixa (a főátlóban az

indexben jelzett tengelyre vonatkozó tehetetlenségi nyomaték, a többi helyen az index-párban jelzett tengelyekre vonatkozó deviációs nyomaték látható – ezeket az [I1], [I3], [I5] vagy [I9] írja le részletesen):  θ xB  B Θ =  − DyxB  − DzxB  − DxyB − DxzB   − DyzB  ; θ zB  θ yB −D B zy (II.58) A teljesség kedvéért érdemes megjegyezni, hogy a (II.58)-cal adott, a tehetetlenségi tenzor mátrixa szimmetrikus, ezért három különböző, valós sajátértéke és a hozzájuk tartozó sajátvektora van – ezek jelölik ki a főtehetetlenségi irányokat. Ha ezeket választanánk a testhez rögzített koordináta rendszer tengelyeinek, akkor a deviációs nyomatékok azonosan nullák lennének A gyakorlatban sokszor sikerül ezekhez közeli, ortogonális tengely rendszert választani – ebben az esetben a deviációs nyomatékok szerepe kicsi, mérlegelhető a számításból történő kihagyásuk. A test

perdületét a TEST koordináta rendszerben a tehetetlenségi tenzor mátrixának és a test szögsebességének szorzataként számíthatjuk: π B = ΘB ω B ; (II.59) Transzformáljuk ezt a perdületet (II.5) illetve (II5/a) szerint az ELTOLT-FÖLD koordináta rendszerbe, helyettesítsük be a TEST rendszerbeli perdület helyére (II59)-et, illetve végül számoljuk az ELTOLT-FÖLD koordináta rendszerbeli szögsebességgel: ( π = AB ,0 π = AB ,0 Θ ω 0 T B T B B )= A T B ,0 Θ B (A ) ω ; 0 B ,0 (II.60) A (II.60)-beli számolásokban kihasználtuk, hogy ezek a szorzatok asszociatívak Végeredményben felírható, hogy: ( ) π = Θ ω = AB ,0 Θ AB ,0 ω ⇒ Θ = AB ,0 Θ AB ,0 ; 0 0 0 T B 0 0 T B (II.61) Ezzel rendelkezésünkre áll az az összefüggés, amelynek értelemszerű alkalmazásával kétindexes tenzorok elemeit számolhatjuk át az egyik koordináta rendszerből egy másik koordináta rendszerbe. 25 III. Koordináta rendszerek

és elforgatások III.1 A FÖLDHÖZ RÖGZÍTETT, az ELTOLT-FÖLD, a TEST és a FŐROTOR koordináta rendszer A következőkben felsoroljuk és definiáljuk azokat a koordináta rendszereket, amelyekkel e munkában foglalkozunk, illetve meghatározzuk a számunkra fontos elforgatásokat is. Az I. pontban már rögzítettük, hogy az itt szereplő koordináta rendszerek mindegyike Descartes féle, jobbsodrású rendszer. Az általunk definiált koordináta rendszerek tengelyeit kifeszítő bázisvektorok ortonormáltak A koordináta rendszerek kitűzése nem csak az általunk javasolt módon törtéhet – azonban feltétlenül definiálni kell őket és ebben a munkában, mi az egyes koordináta rendszereket a következőkben részletezettek szerint határozzuk meg, illetve a további vizsgálatokban ehhez a rendhez tartjuk magunkat! Hangsúlyozzuk, hogy egy-egy koordináta rendszer nem csak három pozitív irányt, de három pozitív elfordulást is kijelöl! Ezeket a pozitív

elfordulási irányokat az III.1 ábrán külön is feltüntettük. A három + három pozitivitás feletethető meg a merev test általában hat szabadságfokának: a három lehetséges elmozdulásnak, illetve a három lehetséges elfordulásnak. III.1 ábra: A FÖLDHÖZ RÖGZÍTETT (E) és az ELTOLT-FÖLD (0) koordináta rendszer Legyen az első a FÖLDHÖZ RÖGZÍTETT koordináta rendszert (III.1 ábra, baloldal) Ezt tekintjük közelítőleg inercia rendszernek, ez lesz tehát – más, további anyagokban – a dinamikai vizsgálatok kiinduló pontja. A kinematikai kérdések esetében nyilvánvalóan mindegy, hogy egy koordináta rendszer inercia rendszer-e, vagy sem. 26 III. Koordináta rendszerek és elforgatások A FÖLDHÖZ RÖGZÍTETT koordináta rendszer z E tengelye az alkalmas helyen a Földhöz rögzített „O” pontból indul, és függőlegesen lefele mutat. Az xE és az yE tengely egy, vízszintes síkban fekszik és a három tengely jobbsodrású koordináta

rendszert alkot. Az ELTOLT-FÖLD koordináta rendszer tengelyei a FÖLDHÖZ RÖGZÍTETT koordináta rendszer tengelyeivel mindig párhuzamosak maradnak, de ennek a rendszernek az origója (a „HR” pont) a repülőgéppel – adott esetben forgószárnyas repülőgéppel – együtt mozog. Ez a mozgás az a transzlációs mozgás, ami a repülőgép haladó mozgását jelenti. Ha lehetőség van rá, akkor a „HR” pontot a repülőgép – autogíró, helikopter – súlypontjába helyezzük. A „HR” pont egyébként a TEST koordináta rendszer (III.2 ábra – az ábrán, sematikusan egy egyrotoros, farokrotoros helikopter látható) origója is Pontosan ezért jellemzi a repülőgép – autogíró, helikopter – orientációját a test koordináta rendszernek az eltoltFöld koordináta rendszerhez viszonyított elfordulása. III.2 ábra: A TEST (B) és a FŐROTOR (MR) koordináta rendszer A III.2 ábrán a pozitív forgásirányokat csak a TEST koordináta rendszerben

tüntettük fel, a többi rendszerben ez, külön megadás helyett a jobbmenetes csavarszabály alkalmazásával egyszerűen meghatározható. Illetve az ábrán feltüntetett mindhárom elforgatás a pozitív forgásirányba történt. Nyilvánvalóan, a valóságban például a főrotor balra – jobbra döntéséhez akár pozitív, akár negatív szög is tartozhat, aszerint, hogy az oldaldöntést milyen fizikai megfontolások alapján állítják be. A TEST koordináta rendszer origója tehát a „HR” pont (például a főrotor gépszerkezettani forgástengelyének egy pontja) , innen indul előrefelé az xB tengely – ez a tengely 27 III. Koordináta rendszerek és elforgatások például a törzs építési vízszintesével lehet párhuzamos. Az yB tengely a közelítő szimmetria síkra – helikoptereknek nagyon ritkán van szimmetria síkja - merőlegesen, a repülési irány szerint jobbra mutat Végül a z B tengely az előző két tengellyel jobb rendszert alkot.

Ez, egyébként azt jelenti, hogy a z B tengely például függeszkedésben közelítőleg lefele mutat. Figyelem: a definícióban a jobb rendszer szerepel, a „lefele” csak egy, az elképzelés kialakítását segítő megjegyzés! A TEST koordináta rendszert mereven rögzítjük a repülőgép – autogíró, helikopter – törzséhez, ebben a rendszerben tehát a merev repülőgép egészét mozdulatlannak tekintjük. Jóllehet más vizsgálatokban a repülőgép egyes részei – például a rotorlapátok – mozognak A merev repülőgép mozdulatlanságát kimondó feltételezés az alapja annak, hogy ebben a rendszerben a tehetetlenségi és deviációs nyomatékok állandóak legyenek – ez pedig a mozgásegyenletek felírásánál különösen fontos. ( ) A III.2 ábrán látható még az x* ; y ; z úgynevezett FEJTETŐRE FORDÍTOTT koordináta rendszer. Ehhez úgy jutunk el, hogy a TEST koordináta rendszert az yB tengely körül addig fogatjuk, amíg a z *

tengely a z B tengellyel pontosan ellentétes irányba, azaz közelítőleg felfelé nem mutat, az origót pedig – és ezzel az egész, elforgatott rendszert önmagával párhuzamosan – az „MR” pontba toljuk át. Ezek szerint a yB tengely és az y* tengely egymással párhuzamosak és az x tengely az xB tengellyel ellentétesen, hátrafele mutat. Harmadikként az ( xMR ; yMR ; zMR ) , FŐROTOR koordináta rendszert definiáljuk (ez is az I.2 ábrán látható) Ez a koordináta rendszer a FEJTETŐRE FORDÍTOTT koordináta rendszerből származtatható. A FEJTETŐRE FORDÍTOTT koordináta rendszert először fordítsuk el az y* tengely körül, ϕ EH szöggel – az I.2 ábrán a pozitív forgásiránynak megfelelően forgattunk. A tényleges helikopterek esetében ez a szög a konstrukcióból következően adott, értéke és előjele a konkrét gép adata. Tervezés esetén pedig – különböző megfontolások, illetve számítások alapján – értékét és előjelét a

konstruktőr határozza meg A forgatás eredményeképpen a z * tengely az III.2 ábrán feltüntetett, szagga* tott vonallal jelölt z ′ tengelybe, az x tengelyt pedig a szintén szaggatott vonallal jelölt x′ tengelybe megy át. Ez tehát a rotortengely előre – hátra billentését jelenti Másodszorra fordítsuk el a „vesszős” rendszert az x′ tengely körül, ϕ BJ szöggel. Ez a rotortengely balra – jobbra történő billentését jelenti. Illetve ezzel az elforgatással a z * ból a zMR tengelyhez jutunk, ez a főrotor gépszerkezettani forgástengelye. Az elforgatások eredményeképpen megkaptuk az ( xMR ; yMR ; zMR ) FŐROTOR koordináta rendszert. Ennek xMR tengelye hátrafelé mutat, nagyvonalúan azt mondhatjuk, hogy ez a tengely az „MR” pontra valamint a faroktartóra támaszkodik. Az yMR tengely a repülési irány szerint jobbra mutat 28 III. Koordináta rendszerek és elforgatások A főrotor gépszerkezettani tengely előre – hátra,

illetve a bal – jobb billentési szöge általában kicsi, ezért és az egyszerűség kedvéért a fenti két forgatástól gyakran eltekintenek és a FEJTETŐRE FORDÍTOTT koordináta rendszert tekintik a FŐROTOR koordináta rendszernek. Autogíróknál, illetve tengelydöntéses kormányzásnál e két szög, a kormányzásnak megfelelően változik III.2 Kapcsolat az ELOLT-FÖLD és a TEST koordináta rendszer között Az ELTOLT-FÖLD és a TEST koordináta rendszer közötti kapcsolatot a II. pontban bemutatott rész elforgatások kapcsán részletesen ismertettük A két koordináta rendszer origója a közös „HR” pont. Az ELTOLT-FÖLD rendszerből a z0 = z1 tengely körül a ψ irányszöggel, másodszor az y1 = y2 tengely körül a ϑ bólintási szöggel és végül harmadszor az x2 = xB tengely körül, a γ bedöntési szöggel forgatva jutunk a TEST koordináta rendszerbe. A rész elforgatások, és ezzel a teljes folyamat például a I1 vagy a II1, II.2, II3 és

II4 ábra alapján követhető nyomon A jobb áttekinthetőség érdekében megismételjük az I1 ábrát: I.1 ábra: az ELTOLT-FÖLD és a TEST koordináta rendszer A transzformációs – forgatási – összefüggés (ezt csak megismételjük): r = AB ,0 r B 0 és r = AB ,0 r ; 0 T B (II.5/a) ahol: AB ,0 c ϑ cψ   =  − c γ sψ + s γ s ϑ cψ  s γ sψ + c γ s ϑ cψ c ϑ sψ c γ cψ + s γ s ϑ sψ − s γ cψ + c γ s ϑ sψ 29 − sϑ  s γ c ϑ  ; c γ c ϑ  (II.8) III. Koordináta rendszerek és elforgatások A (II.5/a) szerinti elforgatást kvaternióval is meghatároztuk, ismét megismételjük a II pontban meghatározott összefüggést: ( 0, r ) = q⌢ ( 0, r ) B 0 e (II.43) qe ; Fontos, ezért megismételjük, hogy az orientáció számítás alapvetően a (II.10) szerint történhet – a szinguláris helyeket például a kvaterniók alkalmazásával hidalva át. Legyen adva a kiinduló helyzet (a t = 0

pillanatban legyen ϑ0 , ψ 0 , γ 0 a kezdeti értékhármas) Ennek, valamint a (II10)-beli idő szerinti deriváltak figyelembe vételével számítható a repülőgép egy t időpillanatbeli orientációja: t t t ϑ ( t ) = ϑ0 + ∫ ϑɺ (τ ) dτ , ψ ( t ) = ψ 0 + ∫ψɺ (τ ) dτ , γ ( t ) = γ 0 + ∫ γɺ (τ ) dτ 0 0 ; (III.1) 0 Az elmozdulás számításához tegyük fel, hogy ismert a repülőgép (helikopter, autogíró) sebessége (az idő függvényében), a TEST koordináta rendszerben. Számítsuk át ezt a sebességet az ELTOLT-FÖLD rendszerbe: V B (t ) ⇒ V 0 ( t ) = ATB ,0V B ( t ) ; (III.2) Tekintsük a FÖLDHÖZ RÖGZÍTETT koordináta rendszert! Ennek tengelyei rendre az xE , yE és a z E - az e tengelyek mentén mérhető elmozdulásokat az orientáció számításánál bemutatott, idő szerinti integrálással határozhatjuk meg: t xE ( t ) = xE 0 + ∫ Vx0 (τ ) dτ , 0 t t 0 0 yE ( t ) = yE 0 + ∫ Vy0 (τ ) dτ , zE ( t ) = zE 0

+ ∫ Vz0 (τ ) dτ ; (III.3) Így tehát, a (III.3) és (III1) segítségével a repülőgép elmozdulása és elfordulása nyomon követhető Nyilvánvaló, hogy az itt bemutatott, kinematikai számítások bemenő jellemzőit (a ϑɺ (τ ) ,ψɺ (τ ) , γɺ (τ ) és a Vx0 (τ ) , Vy0 (τ ) , Vz0 (τ ) időfüggvényeket) a repülőgép (helikopter, autogíró) kinetikai vizsgálatából, azaz mozgásegyenleteinek megoldásából nyerjük. III.3 Kapcsolat a TEST és a FŐROTOR koordináta rendszer között A két koordináta rendszert ábrázoltuk már a III.2 ábrán – ezért itt megismételjük ezt az ábrát. A két koordináta rendszer origója különböző („HR” illetve „MR” pont), de, merev test, repülőgép, helikopter vagy autogíró esetén, egymáshoz képest nem mozdulnak el. Az origók egymáshoz viszonyított helyzete valamint a rotor főtengely előre-hátra döntés szöge ( ϕ EH ), illetve a jobbra-balra döntés szöge ( ϕ BJ ) tervezési adat –

kivéve a már korábban is említett tengelydöntéses kormányzást, ahol a fenti két szög korlátozott tartományban változik. 30 III. Koordináta rendszerek és elforgatások Az eltolások figyelembe vétele nem túlságosan bonyolult, ezzel itt nem is foglalkozunk. Első lépésben határozzuk meg a fejtetőre fordítás mátrixát: r = A*, B r , * B A*, B  −1 0 0  =  0 1 0  ;  0 0 −1 (III.9) A (III.9)-cel felírt forgatás kvaternióval az alábbi módon határozható meg: ( 0, r ) = q⌢ ( 0, r ) B * q*, B ; *, B ahol: ( mert q*, B = 0 + 0 i + 1 j + 0 k (III.10) cos 900 = 0 és sin 900 = 1) ; (III.11) ( − j )( rx i )( j ) = = [ rx 0 0] , TEST Gyakorló példaként tekintsük a (II.29) felhasználásával kiszámolt ( − j )( rx ij ) = ( − j )( rx k ) = −rx jk = − rx i szorzatot. Ezek szerint az r koordináta rendszerben értelmezett csak B ,T xB irányú összetevőjű vektort a q*,B kvaternióval

történő, (III.10) szerinti forgatás az r = [ − rx *,T 0 0] -ba viszi át, ami a pél- da vektor FEJTETŐRE FORDÍTOTT koordináta rendszerben értelmezett összetevőkkel történő felírása. Gyakorlásképpen kiszámolhatjuk, hogy ( − j ) ry j ( j ) = ry j és ( − j ) ⋅ ( ) ( ) ( rz k )( j ) = − ( rz k ) , vagyis a számolásunk minden tekintetben helyes eredményt szolgáltat. Ezután következik először az y* tengely körül a ϕ EH szöggel, majd az x′ tengely körül a ϕ BJ szöggel történő elforgatás – így érkezünk a főrotor (MR) koordináta rendszerbe. Az eredő forgatási mátrix: r MR = AMR , B r , B AMR , B  − cos ϕ EH =  − sin ϕ BJ sin ϕ EH  − cos ϕ BJ sin ϕ EH 0 cos ϕ BJ − sin ϕ BJ sin ϕ EH  − sin ϕ BJ cos ϕ EH  ; − cos ϕ BJ cos ϕ EH  (III.12) A (III.12)-ben adott forgatás kvaternióval számolva az alábbi módon írható: ( 0, r ) = q⌢ MR MR , B ( 0, r ) B qMR ,

B ; (III.13) ahol: qMR , B = q*, B qEH qBJ ; illetve: qEH = cos (ϕ EH 2 ) + 0 i + sin (ϕ EH 2 ) j + 0 k és qBJ = cos (ϕ BJ 2 ) + sin (ϕ BJ 2 ) i + 0 j + 0 k ; A (III.13)-et a rend kedvéért adtuk meg, a szorzatot nem számoljuk ki zárt alakban, mivel ebben az esetben a kvaterniókkal történő számolást csak ritkán alkalmazzák. Egyszerűbb számításokban felteszik, hogy a főrotor tengelye nincs sem előre-hátra, sem jobbra-balra döntve, azaz ϕ EH = ϕ BJ = 0 . Ekkor a (III12)-ben szereplő forgatási mátrix a (III9)-ben megadott forgatási mátrixba megy át 31 III. Koordináta rendszerek és elforgatások III.4 A SZÉL, a STABILITÁSI és a TEST koordináta rendszer, valamint a kapcsolat köztük A SZÉL koordináta rendszer (III.3 ábra – x A ; y A ; z A ) legfontosabb ismérve az, hogy a repülési sebesség vektora ( V ) az xA tengelyre illeszkedik Ezért a repülési sebességnek – ebben a koordináta rendszerben – csak xA irányú összetevője

van, illetve ez az összetevő mindig pozitív (legalább nem negatív). Az y A és a z A tengelyt pedig úgy választjuk, hogy jobbsodrású rendszer legyen, illetve a csúszási szöggel, illetve az állásszöggel történő elforgatás után éppen a TEST koordináta rendszerhez jussunk el. Megjegyezzük, hogy egyes repülés mechanikai feladatokban használják a STABILITÁSI koordináta rendszert. Ez is látható a III3 ábrán, ez az a köztes koordináta rendszer, melyet a szél koordináta rendszerből, a β csúszási szöggel történő elforgatás után kapunk. A III.3 ábrán látható tehát a SZÉL koordináta rendszer, amelynek bevezetése az aërodinamikai számítások szempontjából fontos. Induljunk ki a szél koordináta rendszerből Első lépésben forgassuk el a kiinduló koordináta rendszert z A = z S tengely körül, a β csúszási szöggel Ezzel eljutunk a STABILITÁSInak (S) nevezett koordináta rendszerhez. Ezt az yS = yB tengely körül forgassunk el az

α állásszöggel – így jutunk el a TEST koordináta rendszerhez. III.3 ábra: A TEST, a SZÉL és a STABILITÁSI koordináta rendszer A második pontban bemutatott rész-elforgatások módszerével, a III.3 ábrán adott rész-elforgatások szerint a transzformáció a két rendszer között: V = AB , A V ; B A (III.14) ahol: 32 III. Koordináta rendszerek és elforgatások cos α cos β cos α sin β AB , A =  − sin β cos β  sin α cos β sin α sin β VxB   V cos α cos β    B V = VyB  =  − V sin β  ; VzB   V sin α cos β    − sin α  V  A 0  és V =  0  , illetve:  0  cos α  Határozzuk meg a (III.14) szerinti elforgatást a kvaterniók segítségével is Ennek érdekében vezessük be a rész elforgatásokból következő kvaterniókat: qβ = cos ( β 2 ) + 0 i + 0 j + sin ( β 2 ) k és qα = cos (α 2 ) + 0 i + sin (α 2 ) j + 0 k

; (III.15) Bár a numerikus számoláshoz nem lenne feltétlenül szükséges, hiszen a kvaternió szorzási modult megfelelő módon – többször – alkalmazhatnánk, de számoljuk ki a (III.15)-beli két kvaternió szorzatát: qB , A = qβ qα = = cos ( β 2 ) cos (α 2 ) − sin ( β 2 ) sin (α 2 ) i + + cos ( β 2 ) sin (α 2 ) j + sin ( β 2 ) cos (α 2 ) k ; (III.16) Ezzel a (III.14) szerinti forgatás, kvaternióval az alábbi módon számolható: ( 0,V ) = q⌢ ( 0,V ) B A B, A qB , A ; (III.17) Tegyük fel, hogy adottak a repülési sebesség TEST koordináta rendszerbeli összetevői. Ezek ismeretében a csúszási szög ( β ):  π − β1 ha β1 ≥ 0 ; −π − β1 ha β1 < 0 β1 = arcsin (VyB V ) , − π 2 ≤ β1 ≤ π 2 és β 2 =  (III.18) A csúszási szögre két értéket kapunk, ez ismét az árkusz függvények miatt adódik így. Választani a két érték közül azt kell, amelyik a korábbi csúszási szögek idősorához

illeszkedik. Az állásszöget ( α ) a repülési sebesség vektorának test koordináta rendszerbeli, xB illetve z B szerinti vetületeiből, kétargumentumú árkusz tangens függvény segítségével határozzuk meg – erre ismét két értéket kapunk: ( ) α1,2 = arctan sgn ( cos ( β1,2 ) ) VzB ,sgn ( cos ( β1,2 ) ) VxB ; (III.19) A (III.15) és a (III16) összefüggések „működésének” szemléltetésére néhány példaszámolást végeztünk el – ezeket az alábbi táblázatban tüntettük fel: 33 III. Koordináta rendszerek és elforgatások III.1 Táblázat – példaszámolás eredményei Bemenő adatok Eredmények α β β1 β2 α1 α2 VxB , VyB ,VzB 15 -15 15 -15 115 15 115 15 15 15 -15 -15 15 115 115 -115 15 15 -15 -15 15 65 65 -65 165 165 -165 -165 165 115 115 -115 15 -15 15 -15 115 -165 -65 -165 -165 165 -165 165 -65 15 115 15 azonosak! azonosak! azonosak! azonosak! azonosak! azonosak! azonosak! azonosak! A fenti táblázatban csak

néhány, de jellemzőnek mondható példa esetet vizsgáltunk meg. Az első négy számítási sorban (sárga színnel kiemelve) a mérsékeltnek mondható, pozitív és negatív állásszögek és csúszási szögek szerepelnek. Ekkor a számított szögek közül az első („1”-es indexű szög készlet) számítási eredmények bizonyulnak megfelelőnek. (Ezt itt könnyű megítélni, hiszen ismerjük a kiinduló állásszöget és csúszási szöget!) Az ötödik számítási sorban extrém nagy ( 900 -nál nagyobb) állásszögű esetet vizsgálunk. Ebben az esetben is az első („1”-es indexű szög készlet) számítási eredmények bizonyulnak megfelelőnek A hatodik, hetedik és nyolcadik sorban különböző állásszögek mellett extrém nagy ( 900 -nál nagyobb vagy −900 -nál kisebb) csúszási szögek állnak. Ekkor a második („2”-es indexű szög készlet) szögek a megfelelőek. Megállapíthatjuk, hogy a normál repülési állapotokban – vagyis elég

sok esetben – az „1”-es indexű megoldás pár felel meg ( α1 , β1 ), de van olyan eset is, amikor a „2”-es indexű megoldás pár ( α 2 , β 2 ) adja a keresett állásszöget és csúszási szöget. Merevszárnyú repülőgépeknél a második eset valóban ritkának tekinthető, de például a helikopterek esetében, amelyek minden további nélkül repülhetnek oldalt, vagy oldalt – (és kissé) hátrafelé ezt a lehetőséget feltétlenül szerepeltetni kell a számításban. A példaszámolás lezárásként felhívjuk a figyelmet arra, hogy a III.1 táblázat utolsó oszlopában, a VxB , VyB , VzB cím-cella alatt az „azonosak!” szó szerepel. Ez azt jelenti, hogy a cím-cellában felsorolt sebesség összetevőket a (III.14) kifejezés utolsó összefüggés-sora szerint mindkét szög-készletre kiszámoltuk és eredményül azt kaptuk, hogy ezek a sebesség összetevők azonosak. Ez azt jelenti, hogy tisztán matematikai alapon nem dönthető el, hogy

melyik szög-készlet a megfelelő A választáshoz kiegészítő feltételre van szükség. Ez pedig a következő: elvárható, hogy az állásszög (és a csúszási szög is) ne ugrásszerűen változzon, azért a két szög-készlet közül azt kell választani, amelyik a megelőző állásszögek, illetve csúszási szögek idősorához illeszkedik 34 III. Koordináta rendszerek és elforgatások III.5 Az ELTOLT-FÖLD és a SZÉL koordináta rendszer közötti kapcsolat A repülés mechanikai számításokban – egyes esetekben - szükség lehet az ELTOLTFÖLD és a SZÉL koordináta rendszer közötti kapcsolatra. III.4 ábra: A ELTOLT-FÖLD (0) és a SZÉL (A) koordináta rendszer Ez az elforgatás a szögek elnevezésének kivételével azonos az ELTOLT-FÖLD és a TEST koordináta rendszer közötti elforgatással. Ezért, a III2 pontbeli képletekben a szögek jelöléseit értelemszerűen átírva az ezt az elforgatást leíró képleteket kapjuk: r = A A,0 r A 0

és r = A A,0 r ; 0 T A (III.20) ahol (a szinuszt „s”-sel, a koszinuszt „c” betűvel jelöltük): c ϑA cψ A c ϑA sψ A   A A,0 =  − c γ A sψ A + s γ A s ϑA cψ A c γ A cψ A + s γ A s ϑA sψ A  s γ A sψ A + c γ A s ϑA cψ A − s γ A cψ A + c γ A s ϑA sψ A − s ϑA  s γ A c ϑA  ; c γ A c ϑA  (III.21) Határozzuk meg a II pont alapján a forgatáshoz tartozó kvaterniót. Kövessük a (II51) meghatározásakor alkalmazott módszert: ψ ψ   ϑ ϑ  qψ A qϑ A qγ A =  cos A + sin A k   cos A + sin A 2 2   2 2  = cos (ψ A 2 ) cos (ϑ A 2 ) cos ( γ A 2 ) + sin (ψ A 2 ) sin (ϑ A γ γ    j   cos A + sin A i  = 2 2    2 ) sin ( γ A 2 ) + + ( cos (ψ A 2 ) cos (ϑ A 2 ) sin ( γ A 2 ) − sin (ψ A 2 ) sin (ϑA 2 ) cos ( γ A 2 ) ) i + ( cos (ψ A 2 ) sin (ϑ A 2 ) cos ( γ A 2 ) + sin (ψ A 2 ) cos (ϑ A 2 ) sin ( γ A 2 ) ) j + ( sin (ψ A 2 ) cos (ϑA 2 )

cos ( γ A 2 ) − cos (ψ A 2 ) sin (ϑA 2 ) sin ( γ A 2 ) ) k 35 ; (III.22) III. Koordináta rendszerek és elforgatások III.6 A FŐROTOR és a FORGÓ koordináta rendszer, valamint a kapcsolat köztük III.5 ábra: A FŐROTOR (MR) és a FORGÓ (F) koordináta rendszer A III.5 ábrán a FŐROTOR és a FORGÓ koordináta rendszer látható A zMR és a z F tengely azonos, az xF és az yF tengely az xMR − yMR tengelyek által kifeszített síkban van és a főrotorral együtt forog. Illetve – ha a matató mozgástól eltekintünk – a kiválasztott rotorlapát hossztengelye ( xL ) általában az xF tengely felett (elég ritkán alatta) fut. A FORGÓ koordináta rendszert a FŐROTOR koordináta rendszerből a ψ MR , azimút szöggel történő elforgatással származtatjuk. A rotorlapátok helyzetét, a főtengely körüli keringő mozgásuk során az azimút szög jellemzi. Az általában folyamatosan változó azimút szöget tehát a főrotor szögsebességének

felhasználásával lehet meghatározni. Ez az elforgatás formailag megfelel a II. pontbeli, II1 ábrán látható elforgatásnak A (II.1) kifejezés szerint, a III4 ábrán látható azimút szöget írva be, kapjuk: r = AF , MR r F MR , ahol : AF , MR  cosψ MR =  − sinψ MR  0 sinψ MR cosψ MR 0 0 0  ; 1  (III.23) Határozzuk meg a (III.23) szerinti elforgatást a kvaternió segítségével is Ennek érdekében vezessük be az alábbi kvaterniót: qF , MR = cos (ψ MR 2 ) + 0 i + 0 j + sin (ψ MR 2 ) k ; (III.24) Ezzel a (III.23) szerinti forgatás, kvaternióval az alábbi módon számolható: ( 0, r ) = q⌢ F ( 0, r ) MR F , MR qF , MR ; (III.25) 36 III. Koordináta rendszerek és elforgatások III.7 A FORGÓ és a LAPÁT koordináta rendszer, valamint a kapcsolat köztük III.6 ábra: A FORGÓ (F) és a LAPÁT (L) koordináta rendszer A lapáthoz rögzített koordináta rendszer a III.6 ábrán látható, és az xL

tengelye a rotorlapát hossztengelyének tekinthető egyenes. Ezt az egyenest a konkrét rotorlapát ismeretében lehet pontosan kijelölni Az yL tengely a csapkodó csukló tengelye, a β L szöggel jellemzett csapkodó mozgás ekörül a tengely körüli elfordulásként értelmezhető. A z L tengely a két előzőleg bemutatott tengellyel ortogonális jobbrendszert alkot, illetve, egyúttal a matató csukló tengelyének is tekinthető. A matató mozgást a δ L szöggel jellemezzük A LAPÁThoz rögzített koordináta rendszer origója az „LT” pont, ide az „MR” pontból, az xF tengely mentén, „e” eltolással jutunk el. Ezt a távolságot a csapkodó csukló széthelyezési távolságának nevezzük. Ez az eltolás – a forgó koordináta rendszerben – állandó. Az elforgatás forgatási mátrixszal felírva az alábbi alakot ölti: r = AL , F r , ahol : AL, F L F  cos δ L cos β L =  − sin δ L cos β L  sin β L sin δ L cos δ L 0 − cos

δ L sin β L  sin δ L sin β L  ;  cos β L (III.26) A forgószárnyas repülőgépek esetében, a csapkodó mozgást nagyon gyakran vizsgálják úgy, hogy a matató mozgástól eltekintenek (ez a δ L = 0 feltételt jelenti). 37 III. Koordináta rendszerek és elforgatások Ebben az esetben (III.26) a következő, egyszerűbb formában írható: r = AL , F r , ahol : AL, F L F  cos β L =  0  sin β L 0 − sin β L  1 0  ; 0 cos β L  (III.27) Határozzuk meg a (III.26) szerinti elforgatást a kvaterniók segítségével is Ennek érdekében vezessük be a rész elforgatásokból következő kvaterniókat: qβ L = cos ( β L 2 ) + 0 i + sin ( β L 2 ) j + 0 k és qδ L = cos (δ L 2 ) + 0 i + 0 j + sin (δ L 2 ) k , végeredményben: qL , F = qβ L qδ L = cos ( β L 2 ) cos (δ L 2 ) + sin ( β L 2 ) sin (δ L 2 ) i + + sin ( β L 2 ) cos (δ L 2 ) j + cos ( β L 2 ) sin (δ L 2 ) k ; (III.28) Ezzel a (III.26)

szerinti forgatás, kvaternióval az alábbi módon számolható: ( 0, r ) = q⌢ ( 0, r ) LT MR qL , F ; L,F (III.29) Tekintsük a rotorlapátra ható súlyerőt – ezt az ELTOLT-FÖLD koordináta rendszerben célszerű megadni: G L = [ 0 0 mL g ] ; 0,T (III.30) Számítsuk ki ennek az erőnek az összetevőit a LAPÁT koordináta rendszerben. Vigyük végig a számolást lépésenként, alkalmazzuk először a forgatási mátrixokat: G L = AB ,0 G L , G L = AMR , B G L , G L = AF , MR G L , G L = AL , F G L 0 B MR ( B ( ( F ⇒ G L = AL , F AF , MR AMR , B AB ,0 G L L 0 MR L F ))) ( ) = AL , F AF , MR AMR , B AB ,0 G L 0 ; végeredményben: G L = AL ,0 G L , ahol: AL ,0 = AL, F AF ,MR AMR , B AB ,0 ; L 0 (III.31) Megismételjük, hogy az eredő forgatási mátrix ( AL ,0 ) – mivel az forgatási mátrixok szorzata – maga is forgatási mátrix. Azt is érdemes megjegyezni, hogy ezt, az eredő forgatási mátrixot zárt alakban egyáltalán nem

célszerű kiszámolni Amennyiben erre a szükség lenne, akkor a numerikus számolást lépésenként célszerű felépíteni. Vigyük végig a fenti számolást, kvaterniók alkalmazásával: ( 0, G ) = q⌢ ( 0, G ) q , ( 0, G ) = q⌢ ( 0, G ) q ( 0, G ) = q⌢ ( 0, G ) q , ( 0, G ) = q⌢ ( 0, G ) B MR 0 e F e MR azaz: L L, F MR , B L F , MR ( 0, G ) = q⌢ B MR , B F , MR (  ⌢  ⌢  0,  qF , MR  0, qMR , B   F L,F ( 0, ( q⌢ (0, G ) q )) 0 e 38 e ; qL , F )  qMR , B  qF , MR   qL , F ;   III. Koordináta rendszerek és elforgatások Végeredményben: ( 0, G ) = q⌢ ( 0, G ) L 0 L ,0 qL ,0 , ahol: qL ,0 = qe qMR , B qF , MR qL , F ; (III.32) Más transzformációk esetében célszerű a fenti példa menetét értelemszerűen követni, illetve itt is érvényes az a megjegyzés, ami szerint, numerikus számolásnál a lépésenkénti szorzást célszerű végrehajtani – zárt alakú

összefüggésre törekedni nem érdemes! III.8 A TEST, az OLDALT FORDÍTOTT, a FAROKROTOR és a FORGÓ-FAROKROTOR koordináta rendszer, valamint a kapcsolat köztük III.7 ábra: A TEST (B) és a FAROKROTOR (TR) koordináta rendszer A III.7 ábrán – viszonyítási alapként – a TEST koordináta rendszert is feltüntettük A III.7 ábrán látható még az ( x′; y′; z ′ ) úgynevezett OLDALT-FORDÍTOT koordináta rendszer Ezt, az OLDALT-FORDÍTOT koordináta rendszert úgy kapjuk, hogy a test koordináta rendszert önmagával párhuzamosan eltoljuk a „TR” pontba, és az x′ tengely körül, pozitív értelemben 900 -kal elforgatjuk. Ezért az x′ tengelye párhuzamos az xB tengelylyel Az eltolások figyelembe vétele itt sem bonyolult, ezzel ezért nem foglalkozunk. Első lépésben határozzuk meg az oldalra fordítás mátrixát: r ′ = A, B r , B 1 0 0  A, B = 0 0 1  ; 0 −1 0  (III.33) A (III.33) ban felírt forgatásról

megállapítható, hogy a TEST rendszerbeli x irányú vektor összetevőt változatlanul hagyja, a TEST rendszerbeli y irányú vektor összetevőt 39 III. Koordináta rendszerek és elforgatások az OLDALT-FORDÍTOT rendszerben − z irányba fordítja és a TEST rendszerbeli z irányú vektor összetevőt az OLDALT-FORDÍTOT rendszerben y irányba fordítja. Ez pedig pontosan az, amit a közvetlen szemlélet alapján elvárunk. A (III.33)-mal felírt forgatás kvaternióval az alábbi módon határozható meg: ( 0, r′ ) = q⌢ ( 0, r ) B , B (III.34) q, B ; ahol: q*, B = cos 450 + sin 450 i + 0 j + 0 k ≅ 0.7071 + 07071 i ; (III.35) A farokrotorokat – általában – előre – hátra döntéssel, illetve emeléssel – süllyesztéssel építik be. Az előre – hátra döntést az ε EH szög, az emelést – süllyesztést az ε SE szög jellemzi Először az y′ tengely körül forgatunk el ε EH szöggel, majd az elforgatott rendszert az x (itt már x = xTR

) tengelye körül ε SE szöggel forgatjuk el Ezzel kapjuk az ( xTR ; yTR ; zTR ) , FAROKROTOR koordináta rendszert. A két elforgatást pontosan úgy kell megválasztani, hogy a zTR koordináta tengely a farokrotor gépszerkezettani forgástengelye legyen. Így érkezünk a FAROKROTOR (TR) koordináta rendszerbe Az eredő forgatási mátrix: r TR = ATR , B r , B ATR , B  cos ε EH =  sin ε SE sin ε EH cos ε SE sin ε EH sin ε EH  cos ε SE  ; − sin ε SE  0 − sin ε SE cos ε EH − cos ε SE cos ε EH (III.36) A (III.36)-ban adott forgatás kvaternióval számolva az alábbi módon írható: ( 0, r ) = q⌢ TR ( 0, r ) B TR , B qTR , B ; (III.37) ahol: qTR , B = q, B qEH qSE ; illetve: qEH = cos ( ε EH 2 ) + 0 i + sin ( ε EH 2 ) j + 0 k és qSE = cos ( ε SE 2 ) + sin ( ε SE 2 ) i + 0 j + 0 k ; A FORGÓ-FAROKROTOR koordináta rendszert a FAROKROTOR koordináta rendszerből kapjuk: a közös zTR = zTF tengely körül ψ

TR , a farokrotor azimút szögével forgatunk, úgy, hogy az xTF tengely a kiválasztott farokrotor lapáttal együtt forogjon (III.8 ábra). Ez az elforgatás (is) formailag megfelel a II. pontbeli, II1 ábrán látható elforgatásnak A (II.1) kifejezés szerint, a III8 ábrán látható farokrotor-lapát azimút szöget írva be, kapjuk: r TF = ATF ,TR r , ahol : ATF ,TR TR  cosψ TR =  − sinψ TR  0 40 sinψ TR cosψ TR 0 0 0  ; 1  (III.38) III. Koordináta rendszerek és elforgatások III.8 ábra: A FAROKROTOR (TR) és a FORGÓ-FAROKROTOR (TF) koordináta rendszer Határozzuk meg a (III.38) szerinti elforgatást kvaternió segítségével is Ennek érdekében vezessük be az alábbi kvaterniót: qTF ,TR = cos (ψ TR 2 ) + 0 i + 0 j + sin (ψ TR 2 ) k ; (III.39) Ezzel a (III.38) szerinti forgatás, kvaternióval az alábbi módon számolható: ( 0, r ) = q⌢ TF TF ,TR ( 0, r ) TR qTF ,TR ; (III.40) A FORGÓ-FAROKROTOR

koordináta rendszer tehát a farokrotor gépszerkezettani forgástengelye körül ( zTF = zTS ), a farokrotor lapáttal együtt forog, úgy, hogy az x*FL tengelyt (ez a farokrotor lapát hossztengelye) szemléletesen az xTF tengely árnyékaként (vetületeként) tekinthetjük. III.9 A FORGÓ-FAROKROTOR, a FAROKROTOR-LAPÁTSEGÉD és a FAROKROTOR-LAPÁT koordináta rendszer, valamint a kapcsolat köztük A farokrotorok agyrészén kialakított csapkodó mozgást lehetővé tévő csapágyazást rendszerint a [G2] III.4 ábráján látható módon, „ferdén” alakítják ki Ennek célja egyébként a [G2]-ben leírt, csapkodás kompenzálás megvalósítása A csapkodó mozgást megengedő csapágyazás tengelyének ferdeségét jellemző szöget a [G2]-ben egyszerűen δ − val , itt δ TL -lel jelöltük. Emiatt, a ferde tengely miatt vezetjük be a FAROKROTORLAPÁT-SEGÉD koordináta rendszert: ez a III9 ábrán látható ( xTS ; yTS ; zTS ) Ezt a koor- dináta rendszert úgy

kapjuk, hogy az ( xTF ; yTF ; zTF ) , a farokrotorral együttforgó koordi- 41 III. Koordináta rendszerek és elforgatások náta rendszert a zTF = zTS tengely körül δ TL állandó szöggel elforgatjuk. Ezzel érjük el, hogy az yTS tengely éppen a csapkodó mozgás tengelye legyen. III.9 ábra: A FORGÓ-FAROKROTOR (TF) és a FAROKROTOR-LAPÁT-SEGÉD (TS) koordináta rendszer Megjegyezzük, hogy a III.9 ábrán a δ TL szöget pozitív értelemben vettük fel, miközben a farokrotor forgásirányát éppen negatívra választottuk Ez megfelel a [G2] szerinti „jó” farokrotor forgásiránynak, illetve a [G2] III.4 ábráján látható elrendezésnek Ez az elforgatás (is) formailag megfelel a II. pontbeli, II1 ábrán látható elforgatásnak A (II.1) kifejezés szerint, a III9 ábrán látható δ TL szöget írva be, kapjuk: r TS = ATS ,TF r , ahol : ATS ,TF TF  cos δ TS =  − sin δTS  0 sin δ TS cos δ TS 0 0 0  ; 1  (III.41)

Határozzuk meg a (III.41) szerinti elforgatást kvaternió segítségével is Ennek érdekében vezessük be az alábbi kvaterniót: qTS ,TF = cos (δ TS 2 ) + 0 i + 0 j + sin (δ TS 2 ) k ; (III.42) Ezzel a (III.41) szerinti forgatás, kvaternióval az alábbi módon számolható: ( 0, r ) = q⌢ TS TS ,TF ( 0, r ) TF qTS ,TF ; (III.43) A farokrotor csapkodó mozgását az yFL = yTS tengely körüli, βTL szöggel történő elfordulás jellemzi. Az ( xFL ; yFL ; zFL ) , a FAROKROTOR LAPÁThoz kötött koordináta rendszerhez tehát a FAROKROTOR-LAPÁT-SEGÉD koordináta rendszerből indulva, βTL szöggel történő elforgatással jutunk el (III.10 ábra) 42 III. Koordináta rendszerek és elforgatások III.10 ábra: A FAROKROTOR-LAPÁT-SEGÉD (TS) és a FAROKROTOR-LAPÁT (FL) koordináta rendszer Tekintsük a III.10 ábrán látható xFL − yFL tengelyek által meghatározott síkot Ebben a síkban helyezkedik el – közelítőleg δ TL szöggel elforgatva –

az x*FL , a lapát hossztengelye. Ez tehát a farokrotor lapátok aktuális síkja, amely sík, a csapkodó mozgás miatt nem merőleges a zTR = zTF = zTS , gépszerkezettani forgástengelyre. Ez az elforgatás formailag megfelel a II. pontbeli, II3 ábrán látható elforgatásnak A (II.3) kifejezés szerint, a III10 ábrán látható βTL szöget írva be, kapjuk: r FL = AFL ,TS r , ahol : AFL,TS TS  cos βTL =  0  sin βTL 0 − sin βTL  1 0  ; 0 cos βTL  (III.44) Határozzuk meg a (III.44) szerinti elforgatást kvaternió segítségével is Ennek érdekében vezessük be az alábbi kvaterniót: qFL,TS = cos ( sin βTL 2 ) + 0 i + sin ( sin βTL 2 ) j + 0 k ; (III.45) Ezzel a (III.44) szerinti forgatás, kvaternióval az alábbi módon számolható: ( 0, r ) = q⌢ FL ( 0, r ) TS FL ,TS qFL ,TS ; (III.46) 43 Jelölésjegyzék Koordináta rendszerek ( xE ; y E ; z E ) a FÖLDHÖZ RÖGZÍTETT koordináta rendszer (III.1 ábra); ( x0

; y0 ; z0 ) az ELTOLT-FÖLD koordináta rendszer (I.1 és III1 ábra); ( xB ; y B ; z B ) a TEST koordináta rendszer (I.1 és III2 ábra); ( xA ; yA ; z A ) a SZÉL koordináta rendszer (III.3 és III4 ábra); a STABILITÁSI koordináta rendszer; ( xS ; yS ; zS ) ( xMR ; yMR ; zMR ) a FŐROTOR koordináta rendszer (III.2 és III5 ábra); ( xF ; y F ; z F ) a főrotorral együtt FORGÓ koordináta rendszer (III.5 ábra); ( xL ; y L ; z L ) a főrotor LAPÁThoz rögzített koordináta rendszer (III.6 ábra); (x ; y ;z ) * * * a FEJTETŐRE fordított (segéd) koordináta rendszer (III.2 ábra); ( x′; y′; z′ ) ( xTR ; yTR ; zTR ) ( xTF ; yTF ; zTF ) ( xTS ; yTS ; zTS ) ( xFL ; yFL ; zFL ) az OLDALT FORDÍTOTT (segéd) koordináta rendszer (III.7 ábra); x*FL a farokrotor lapát hossztengelye (III.10 ábra); a FAROKROTOR koordináta rendszer (III.7 ábra); a FORGÓ-FAROKROTOR koordináta rendszer (III.8 ábra); a FAROKROTOR-LAPÁT-SEGÉD koordináta rendszer (III.9 ábra); a

FAROKROTOR-LAPÁT koordináta rendszer (III.10 ábra); A vektoroknál a jobb, felső indexszel jelöljük azt, hogy a szóban forgó vektor összetevői melyik koordináta rendszerben adottak. Továbbá a jobb felső indexbe írt „T” betű jelenti a vektor transzponáltját. A leképezési, elforgatási mátrixnak a kételemű, jobb alsó indexének első eleme a cél koordináta rendszert, a második pedig a kiinduló koordináta rendszert jelzi. Például: az ELTOLT-FÖLD-ből a TEST koordináta rendszerbe történő transzformációt az AB ,0 mátrix írja le – a jobb alsó index jelöli, hogy a mátrix a „0” rendszerből a „B” rendszerbe transzformál. 44 Irodalomjegyzék Az általánosabb művek tekintetében [G2] irodalomjegyzékére támaszkodunk, azt külön nem ismételjük meg. [G1] [G2] [G3] [G4] [G5] [G6] [G7] GAUSZ, T.: Aeroelasztikus jelenségek és dinamikai terhelés, wwwdoksihu, 2015 GAUSZ, T.: Autogírók és helikopterek, wwwdoksihu, 2015 GAUSZ,

T.: Áramlástan, wwwdoksihu, 2012 GAUSZ, T.: Bevezetés a forgószárnyak aërodinamikájába, wwwdoksihu, 2015 GAUSZ, T.: Légcsavarok, wwwdoksihu, 2015 GAUSZ, T.: Légerő vándorlás, stabilitás és kormányzás, wwwdoksihu, 2006 GAUSZ, T.: Örvénykönyv, wwwdoksihu, 2013 Jelen munka anyagához ajánlott irodalom [I1] [I2] [I3] [I4] [I5] [I6] [I7] [I8] [I9] [I10] Allerton, D.: Principles of Flight Simulation, John Wiley Ltd, ISBN: 978-0-47075436-8, 2009 Altmann, S.L: Rotations, Quaternions and Double Groups, Oxford Science Publications, 1986 Goldstein, H. - Poole, C – Safko, J: Classical Mechanics, Addison-Wesley, 2000 Graf, B.: Quaternion and Dynamics, http://arxivorg/abs/08112889v1 Jazar, R.N: Advanced Dynamics, John Willey & Sons, 2011 Juhász, I.-Lajos, S: Számítógépes grafika, Miskolci Egyetem, GIK, 2007 Pissanetzky, S.: Rigid Body Kinematics and C++ Code, 2005 Schaub, H. – Junkins, JL: Matlab Toolbox for Rigid Body Kinematics, AAS 99130, AAS Publications

Office, 1999 Symon, K.R: Mechanics, Addison-Wesley, 1960 Tóth, Sz.Á: Kvaterniók, ELTE-TTK, Budapest, 2010 45