Informatika | Középiskola » Számábrázolás, aritmetika

Informatika alapjai-1 Bevezetés, számábrázolás 1/7 Bevezetés Nem törekszünk pontos definíciókra! Információ: a valóság képe Információ lehet: - kép (rajz, fénykép) - szöveg (beszéd, írás) - zene (Ez milyen valóság képe? Megjelenhet információ, mint a tudat képe, informatikai szempontból ekkor tudatunk a valóság) - ember által nem olvashatóan tárolt - általában elektronikus- információ: számítógép memóriájában, műveleti egységeiben. Valóság leképezése: pl. fényképezés, valaminek a leírása (Elképzelt valóság leképezése: az összes tervezés) Valóság visszaállítása: tervek megvalósítása, pl. CNC szerszámgép programmal egy munkadarab elkészítése, vagy zene lejátszása hangszeren. Informatika: Az információ létrehozása, feldolgozása, továbbítása. Ebbe nagyon sok minden beletartozik, pl. telefon, rádió, TV Szűkebben az, ami technikai értelemben az információhoz tartozik Általában leszűkítik a

digitális információ kezelésére, azon belül is a számítógépes információkezelésre. Számábrázolás, aritmetikai műveletek (Szám: valamilyen mennyiség reprezentációja, tipikus információ) Általánosan u.n helyértékes ábrázolás Mindennapi életben: Egész szám: 10.000000 lakos Tizedes szám: 1,86m magas. Előjeles szám: -12°C Alapvető ábrázolási forma: szabad formátumú [előjeles] [tizedes] decimális szám: N = −123,45 = ( −1) ∗ (1*100 + 2 10 + 3 1 + 4 1 / 10 + 5 1 / 100) = (−1) ∗ (110 2 + 2 101 + 3 10 0 + 4 10 −1 + 5 10 −2 ) Általánosan: k N = ± ∑ di *10i i=− j Informatika alapjai-1 Bevezetés, számábrázolás 2/7 k: egész jegyek száma j: tizedesjegyek száma. j és k az ábrázolni kívánt számtól függ. Gyakran a jegyek száma kötött. Például Autó napi Km számláló 00000.0999999 Pénzügyi elszámolásokban gyakran 2 tizedesjegy. Exponenciális (tudományos) forma”: N * 10e N: Az előzőekben megismert

decimális szám e: exponens. Főleg akkor használják, ha a szám túl nagy vagy túl kicsi, és nem fér el a rendelkezésre álló helyen. Gyakran használt esete: Normalizált exponens, például 1 <= N < 10. Bármilyen szám normalizálható. Szokásos megadás: 123,45 = 1,2345E2 = 1,2345*102 Tipikus példa: Kicsit jobb kalkulátor (pl. 10 jegyű) Ha a szám nem fér el 10 jegyen, átvált exponenciális formára. A programok numerikus kimeneti adatainál is ezt a módszert használják, hacsak nincs másképpen beállítva. Más számrendszerek A számrendszer alapja nem csak 10 lehet. Mellette a leggyakoribb a 2, de bináris adatok ábrázolására gyakran használnak hexadecimális számokat (16-os számrendszer, a számjegyek: 1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F), régebben gyakori volt az oktális számábrázolás (8-as számrendszer, a számjegyek: 0,1,2,3,4,5,6,7). A számrendszer jelölhető a szám után indexben: 1A516 (számítástechnikában 1A5h vagy $1A5) 1728

Számrendszerek közötti konverzió: Másik számrendszerből decimálisba A. a definíció alapján 1A516 = 1 * 162 + 10 161 + 5 160 = 256 + 160 +5 = 421 1728 = 1 * 82 + 7 81 + 2 80 = 64 + 56 + 2 = 122 B. Vesszük a legnagyobb jegyet Ha van még jegy, az eddigi összeget szorozzuk a számrendszer alapjával, és hozzáadjuk a következő jegyet. Ez csak egész számok esetén működik: 1A516 : 1 * 16 + A = 26 26 * 16 + 5 = 421. Informatika alapjai-1 Bevezetés, számábrázolás 3/7 Decimálisból másik számrendszerbe A.1 Felírjuk a másik számrendszer alapjának hatványait addig, amíg nem nagyobb, mint a konvertálandó szám. Megpróbáljuk osztani a számot a másik számrendszer alapjának legnagyobb „beleférő” hatványával. A hányados a számjegy, a maradékot továbbosztjuk a következő „beleférő” hatvánnyal. ezt addig ismételjük, amíg a szám el nem fogy Pl. Mennyi 332 oktálisan? 8 hatványai: 512, 64, 8, 1 332 : 64 = 5, marad 12 12 : 8 =

1, marad 4 4 : 1 = 4, marad 0 – kész 332 = 64*5 + 81 + 14 = 5148 A.2 Decimálisból binárisba (Mivel a hatvánnyal történő osztás eredménye csak 0 vagy 1 lehet, az osztás helyett kivonás alkalmazható) Megpróbáljuk kivonni a másik számrendszer alapjának hatványait a számból. Pl. mennyi 332 binárisan? 2 hatványai: 512, 256, 128, 64, 32, 16, 8, 4, 2, 1 332 – 256 = 76 76 – 64 = 12 12 – 8 = 4 4–4=0 Kész. 332 = 256+64+8+4 332 = 256*1+1280+641+320+160+81+41+20+10 = 1010011002 Hexadecimálisan először négyesével csoportosítjuk a bináris számot, majd a 4-es csoportot egy hexadecimális jegyként adjuk meg: 332 = 1 0100 1100 = 1 4 C mert egy hexadecimális számjegy 4 bináris számjegynek felel meg (1100 = 12 = Ch). Oktálisan először hármasával csoportosítjuk, majd a 3-as csoportot egy oktális jegyként adjuk meg: 332 = 101 001 100 = 5 1 4 mert egy oktális számjegy 3 bináris számjegynek felel meg. B. A számot elosztjuk a másik számrendszer

alapjával A maradék a legkisebb számjegy, a hányadost újra osztjuk, a maradék a következő számjegy, és így tovább, míg a szám el nem fogy. 332 átalakítása oktálisra: 332 : 8 = 41, marad 4 41 : 8 = 5, marad 1. 5 : 8 = 0, marad 5. Kész, mert elfogyott! 333 = 5148 Ez binárisan: 5 1 4 101 001 100 Informatika alapjai-1 Bevezetés, számábrázolás 4/7 mert egy oktális számjegy pont 3 bináris számjegynek felel meg. Természetesen az eredmény ugyanaz, mint korábban. (Figyelem: az osztási maradékokat fordított sorrendben kellett venni!) Bináris számábrázolás Elektronikus digitális eszközökben gyakorlatilag mindig bináris számábrázolást alkalmaznak. Az alkalmazott elemek kétállapotúak, ez a két állapot reprezentálja a 0 és 1 számjegyet (bitet). A gépi bináris számábrázolás formátuma többé-kevésbé kötött, azaz a szám ábrázolására használt bitek száma meghatározott. Az IBM találta ki sok-sok évvel ezelőtt a Byte (8

bites adat egység) fogalmát. Manapság a számokat általában n * 8 biten ábrázolják. A szokásos formák: Hossz Pozitív neve Előjeles neve 8 Byte Short integer 16 Word Small integer 32 Long word Long Integer vagy csak Integer 64 Int64 32 Single float 64 Double float 80 Extended float (belső műveletvégzési formátum) 80 Ten bytes 10 vagy 20 jegyű BCD szám. BCD számábrázolás 4 biten ábrázolunk egy decimális számjegyet. 1000 0101 0111 0001BCD = 8571 (1000 = 8, 0101 = 5, 0111 = 7, 0001 = 1) Előnyök pénzügyi számításoknál: - nem kell Decimális/bináris konverzió - a tizedes számokat pontosan meg lehet adni. Már az 1/10 sem adható meg pontosan binárisan (mert 10 törzstényezős felbontása 5*2)! 8 bites bináris tört ábrázolás esetén: 0.0001100 = 009375 < 01 0.0001101 = 01015625 > 01 Bináris számábrázolási lehetőségek: Előjel néküli egész n −1 N = ∑ bi * 2i i =0 n −1 N = ∑ bi * 2i i =0 N: a szám bi az i. bináris jegy

Példa: 10102 = 23 * 1 + 22 0 + 21 1 + 20 0 = 10 Előjeles egész A legnagyobb bit az előjel: 0 pozitív, 1 negatív. Két lehetőség: abszolutértékes Példa: 1 010 = (-1) * (22 0 + 21 1 + 20 0) = -2 vagy Kettes komplemens Informatika alapjai-1 Bevezetés, számábrázolás 5/7 n−2 N = −bn −1 * 2 n −1 + ∑ bi 2i i=0 2 Például n = 4-re: N = −b3 * 8 + ∑ bi 2i i =0 Bit 3 Súly -8 2 4 1 2 Kód Szám 0111 0110 0101 0100 0011 0010 0001 0000 1111 1110 1101 1100 1011 1010 1001 1000 +7 +6 +5 +4 +3 +2 +1 0 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 0 1 A számtartomány -8 . +7 A negatív számkör a pozitív számkör folyatása egy 4 bites lefelé számlálón. Hasonlít egy decimális számkerekes számlálóhoz, amelyiket visszafelé tekerve 00 után 99 jelenik meg: 02 01 00 99 98 A kettes komplemens ábrázolás előnye: az összeadást (kivonást) előjeltől függetlenül lehet elvégezni: +3 0011 +6 0110 +3 0011 -3 1101 +2 0010 -3 1101 -6 1010 -2 1110 +5 0101 +3

0011 -3 1101 -5 1011 Bináris összeadás ugyanúgy jegyenként átvitellel, mint a decimális esetben Az összeadási tábla: 0+0 = 0 0+1 = 1 1+0 = 1 1+ 1 = 0, marad 1 Előjelváltás kettes komplemens számon: A szám bitjeit megfodítjuk, és hozzáadunk 1-et. Pl: +4 0100 -4 1100 -4 1011 +1 1100 +4 0011 +1 0100 Bináris törtábrázolás Általában előjeles, a tizedesvessző az előjel után van. Pl: 0,1011 =1/2 + 0/4 + 1/8 + 1/16 = 11/16 = +0,6875 Informatika alapjai-1 Bevezetés, számábrázolás 6/7 (a negatív számok ekkor is kettes komplemensben szoktak lenni). Előny: a szorzás művelet nem csordul túl, ha a szorzó és szorzandó abszolut értéke kisebb, mint 1. Úgynevezett jelfeldolgozó processzorokban használják Lebegőpontos számábrázolás Amint azt már láttuk, az exponenciális számábrázolásnak három összetevője van: M mantissza és E exponens, amihez hozzájön a szám S előjele. Bináris esetben: N = S * M 2E A számítástechnikában

az ennek megfelelő belső ábrázolási módot lebegőpontosnak nevezik. A számítógépekben alkalmazott lebegőpontos ábrázolást szabványosították egy IEEE szabványban. A továbbiakban csak ezzel foglalkozunk Adatok tárolására 32 bites vagy 64 bites formátumot alkalmaznak, melyek csak a mantissza és exponens bitszámában különböznek: 32 bites ábrázolás: EEEEEEEE MMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMM S Bitszám 1 8 23 Bitpozíció 31 30 23 22 0 64 bites ábrázolás: S EEEEEEEEEEE MMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMM Bitszám 1 11 52 BitPozíció 63 62 52 51 0 Az ábrázolás összetevői: • Az előjel + vagy – • Az exponens -128.127, ill -10241023 Ha E = -128/-1024, vagy E=127/1023, ezek kivételek. A kivételeken belül a következők kezelhetők: o nagyon kis számok, bennük a 0 (ezeket normalizált alakban nem lehetne megadni) o + és – végtelen o sőt: nem számok is értelmezhetők (angolul „Not a number”). • A Mantissza normalizált: 1

<= M < 2, ezért legnagyobb bitje mindig 1, amit nem is ábrázolunk (úgynevezett rejtett mantissza). Így az ábrázolható számtartományok: Típus Tartomány Értékes jegyek Méret -45 38 Single 1.5 x 10 34 x 10 7-8 32 Double 5.0 x 10-324 17 x 10308 15-16 64 Megjegyezzük, hogy a Double módban leírható szám nagyságrendei sokkal nagyobbak, mint a természetben leírható nagyságrendek, például, mint a világegyetemben lévő atomok száma: Informatika alapjai-1 Bevezetés, számábrázolás 7/7 Atoms in the Universe 10 estimates the number of atoms in our galaxy to be in the area of 1068 and, if dark and exotic matter are considered, then their numbers are possibly close to 1069. There is a wide range of estimates given for the number of galaxies in the universe. Some put the number in the very low 100 billions, others bring it much closer to the one trillion mark. The size of other galaxies range from one million to hundreds of billions of stars. The mass of

some of the largest galaxies is trillions of times the mass of our sun. Again, it is supposed that much of this mass consists of dark and exotic matter. If we consider our galaxy to be of average size, and use the highest estimates for both the number of atoms in our galaxy and the total number of galaxies, then the universe would contain about one trillion times the number of atoms as our galaxy. Since our galaxy probably has no more than 1069 atoms, this would mean that at most the universe contains 1069 x 1012 atoms in all. This works out to be just under 1081 If we use lower estimates for the number of atoms in our galaxy and total number of galaxies, then the total number of atoms would be as much as 20 times less, or within the area of 1079. Hence, "atoms in the universe" belongs on this page which spans from 1078 to just under 1081. 66