Fizika | Áramlástan » Lohász-Régert - Turbulencia és modellezése tanulói jegyzet

zi ó Turbulencia és modellezése jegyzet ha áz sz la ná t la v tra e r Lohász Máté Márton, Régert Tamás Áramlástan Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Budapest, 2010. tavasz já t V Frissítve: 2010. október 13 Sa c Copyright 2010 - Lohász Máté Márton, Régert Tamás Tartalomjegyzék . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 1 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 4 2. Statisztikai leírásmód 2.1 Statisztikai szemlélet 2.11 Determinisztikus folyamat miért lehet véletlenszerű? 2.2 Statisztikai megvalósulások jelölése 2.3 Valószínűségszámítás ismétlés 2.31 Sűrűség függvény 2.32 Várható érték 2.33 Fontos tulajdonság a linearitás 2.34 Ingadozás átlaga zérus 2.35 A Reynolds átlag csak egyszer hat 2.36 Reynolds

felbontás 2.37 Szórás 2.38 n-ed rendű centrális momentumok 2.39 Normál eloszlás 2.310 Torzultság (Skewness) 2.311 Lapultság (flatness, kurtosis) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 5 5 6 6 6 6 7 7 7 7 7 7 8 8 8 ó 1. Bevezetés 1.1 Turbulens áramlások tulajdonságai 1.11 Nagy Reynolds szám esetén lép föl 1.12 Rendezetlen és kaotikus 1.13 3D jelenség 1.14 Instacionárius 1.15 Örvényes 1.16 Kontinuum jelenség 1.17 Disszipatív 1.18 Diffúzív 1.19 Sok skála folytonosan van jelen 1.110 Történelme van, tehát a turbulencia nem létezik 1.2 Jelölések 1.21 A Navier-Stokes egyenlet példája . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . zi ha áz sz la ná t la v tra e r V já t Sa c Copyright 2010 - Lohász Máté Márton, Régert Tamás i ii . . va. . . . . . . . . . . 8 8 . . . . . . . . . 10 10 11 12 12 12 12 12 13 zi ó 2.4 Ergodicitás hipotézis 2.5 Statisztikai és időátlag kapcsolata 2.6 Többváltozós valószínűségek, sűrűségfüggvények (feltételes lószínűség) . 2.61 Feltételes valószínűség sűrűség függvény 2.7 Korrelációs függvények 2.71 Példa1 2.72 Példa2 2.8 Integrál léptékek 2.81 Hosszléptékek 2.82 Időlépték 2.9 Taylor-féle fagyott örvény hipotézis 3. Reynolds egyenlet 14 ha áz sz la ná t la v tra e r 4. A Reynolds feszültség tenzor tulajdonságai 4.1 Szimmetrikus

4.2 Feszültség típusok 4.21 A turbulens kinetikus energia 4.22 Motivációs példa 4.3 Anizotrópia 4.31 Reynolds feszültség tenzor saját koordináta rendszerben 4.32 A Reynolds feszültség tenzor szimmetrikus áramlásra és 2D-re . 4.33 Lumley háromszög (1978) já t V 5. A Reynolds feszültség tenzor és k transzport egyenlete 5.1 Az átlagsebesség mozgási energiájának transzport egyenlete 5.2 Reynolds feszültség transzport egyenlet 5.21 Viszkózus tag 5.22 k transzport egyenlet 5.23 Produkció 5.24 A sebesség-nyomásgradiens tenzor 5.3 A transzport tagok 5.4 A nyomás hatásai 6. A turbulencia léptékei 6.1 Az energia kaszkád 6.2 A Kolmogorov hipotézisek 6.3 Az energia spektrum 6.31 Egy modell

spektrum Sa c Copyright 2010 - Lohász Máté Márton, Régert Tamás TARTALOMJEGYZÉK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 16 16 16 17 19 20 . 20 . 21 . . . . . . . . 24 25 26 26 26 27 27 27 28 29 . 29 . 30 . 33 . 33 TARTALOMJEGYZÉK iii 33 7. Önhasonlóság 35 8. Határréteg egyenlet 36 9. Szabad nyíróréteg áramlások 9.1 Hengeres szabadsugár 9.11 Energia mérleg 9.2 Sík keveredési réteg 9.3 Sík nyom 9.4 Axiszimmetrikus nyom 9.5 Homogén nyírás 9.6 Rács turbulencia . . . . . . . 39 39 45 50 53 54 57 60 . . . . . 62 62 64 64 65 70 . . . . . . . 71 71 72 72 72 74 74 75 . . . . . . . 76 76 77 79 79 80 80 82 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ha áz sz la ná t la v tra e r V 11. A koherens struktúra koncepció 11.1 Áramlások lokális jellemzése 11.2 Koherens struktúra, örvény detektálás 11.21 Örvényesség 11.22 Diszkrimináns kritérium 11.23 Q kritérium 11.24 λ2 kritérium 11.25 Kritériumok és a koherencia . . . . . . . . . . . . . . 12. A RANS modellezés 12.1 Örvényviszkozitás modell 12.11 Az összefüggés lokális 12.12 Az összefüggés lineáris 12.2 Az örvényviszkozitás meghatározása 12.21 keveredési úthossz modell 12.22 k-epszilon modell 12.23 A k-epszilon modell tulajdonságai já t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ó . . . . . . . zi . . . . . . .

10. Fali áramlások 10.1 Csatorna áramlás 10.11 Az átlagsebesség profil 10.12 A faltörvény 10.13 Sebesség defekt függvény 10.14 A logaritmikus faltörvény tulajdonságai Sa c Copyright 2010 - Lohász Máté Márton, Régert Tamás 6.4 A spektrum Reynolds szám függése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . já t V ha áz sz la ná t la v tra e r zi ó 13. A nagy örvény szimuláció 13.1 DNS

13.2 A nagy örvény szimuláció alapgondolata 13.3 A LES egyenlet levezetése 13.31 A szűrés 13.32 A szűrt egyenlet 13.33 Örvény viszkozitás modell 13.34 Méret hasonlóság (scale similarity) modell 13.35 A dinamikus modellezés 13.36 Numerikus szempontok 13.4 Permfeltételek 13.41 Periodikus perem 13.42 Belépő perem 13.43 Fali perem 13.44 Példa szükséges cellaszámra Sa c Copyright 2010 - Lohász Máté Márton, Régert Tamás TARTALOMJEGYZÉK 86 86 87 87 87 91 91 92 93 94 95 95 95 96 96 1. fejezet zi ó Bevezetés ha áz sz la ná t la v tra e r E tárgy keretein belül végig a ρ = konst. és a ν = konst feltevéssel élünk, így nem lesz szó a sűrűség különbség keltette turbulenciáról se, és a turbulencia és lökéshullámok kölcsönhatásáról se. Ezenkívül a térerő

hatásától is eltekintünk, ha nincs szabad vízfelszín akkor potenciális erőtérben ez nem csökkenti az általánosságot. A turbulenciát matematikai értelemben eddig nem sikerült definiálni, habár stabilitás elmélet jellegű definiciót talán bonyolult eszközrendszerrel lehetne adni. Ennek ellenére mérnöki szempontból általában könnyen el tudjuk dönteni, hogy turbulens vagy lamináris áramlásról van-e szó. 1.1 Turbulens áramlások tulajdonságai V Alábbiakban összefoglaljuk néhány fontos tulajdonságát a turbulens áramlásoknak, melyek szinte definicióként is alkalmazhatóak. Ezek némelyikét a kurzus során részletesebben és világosabban is tárgyalunk majd, ha meg lesz hozzá az eszközrendszer. 1.11 Nagy Reynolds szám esetén lép föl já t Mivel a Reynolds szám (Re) a tehetetlenségi és a viszkózus (súrlódásól származó) erők hányadosaként is értelmezhető, így turbulens áramlás olyan ahol a tehetetlenségi erők

dominálnak a súrlódási erők felett. Ezzel szemben súrlódás mentes áramlásnál nem beszélünk turbulenciáról. Sa c Copyright 2010 - Lohász Máté Márton, Régert Tamás 1 1. FEJEZET BEVEZETÉS 2 ó Ez a tulajdonság tulajdonképpen azt jelenti, hogy a folyamat nagyon érzékeny a kezdeti és/vagy peremfeltételekre. A megnevezés a dinamikus rendszerek elméletéből jön, a turbulenciát is próbálják ilyen szemmel nézni ámde, mivel itt végtelen dimenziós térrel állunk szemben a kezelés sokkal nehezebb így komolyabb eredményeket nem sikerült ezidáig elérni. Tulajdonképpen ez lehetne a turbulencia definiciója, ha pontosan meg tudnánk fogalmazni milyen téren értjük a stabilitást. Mindenesetre, ahogy látni fogjuk ez a szemlélet segít világosan elkülöníteni az instacioner lamináris áramlást a turbulenstől. zi 1.13 3D jelenség ha áz sz la ná t la v tra e r A 3D térben lezajló turbulens áramlás lényegét tekintve

különbözik a 2D térben létrejövőtől, mivel az örvényesség csak 3D áramlás esetén növekedhet a tér belsejében az örvényesség megnyúlása következtében. Ezt akár az áramlástanban tanult Helmholtz II. tétel segítségével is beláthatjuk, ha 2D az áramlás egy zárt örvényvonal által közbezárt felület állandó, így a tétel szerint az átlagos örvényesség is, míg egy áramlással egyirányú örvénycső csak 3D-ben létezhet (az örvényesség 2D-ben mindig az invariáns irányba mutat). Ezen örvénycsőnek változhat a keresztmetszete, így növekedhet az örvényesség is Ez fontos szerepet kap turbulens áramlásokban, így mérnöki szempontól azt mondhatjuk, hogy csak 3D-s turbulencia van. 1.14 Instacionárius A turbulencia mindig időfüggő jelenség, ahogy ezt korábban is tanultuk. V 1.15 Örvényes Turbulens áramlásban örvényesség mindig jelen van. 1.16 Kontinuum jelenség já t Fontos tulajdonság, hogy a

turbulencia leírható a kontinuum hipotézisen alapuló Navier-Stokes egyenlettel, ellentétben azzal a korábban tett feltevéssel szemben, hogy a turbulencia a molekuláris szintről táplálkozik. Ennek a tulajdonságnak fontos következménye, hogy a Navier-Stokes egyenleten alapuló numerikus szimulációkkal (DNS=Direct Numerical Simulation) a turbulencia tanulmányozható Sa c Copyright 2010 - Lohász Máté Márton, Régert Tamás 1.12 Rendezetlen és kaotikus 1. FEJEZET BEVEZETÉS 3 1.17 Disszipatív 1.18 Diffúzív ha áz sz la ná t la v tra e r 1.19 Sok skála folytonosan van jelen zi ó A turbulens áramlásokban az impulzus vagy bármilyen skalár keveredése felerősödik, hasonlóan mintha a megfelelő vezetési tényező (pl. viszkozitás az impulzusra, hővezetési tényező a hőmérsékletre) megnőne, de ennek nem anyagtulajdonságbeli hanem áramlástani okai vannak, azaz a turbulencia növeli a keveredést Általunk már korábbról ismert

példa erre, hogy megnő a csősúrlódási (hőátadási) 64 0,316 tényező ha lamináris áramlásból turbulensbe térünk át (λ = Re , Re0.25 ) A turbulens áramlásban mindig sok skálájú mozgás van jelen, ezek folyamatosan egymásba alakulnak, így világosan elkülönül egy hangszer hangjától, ahol al- és felharmonikusok dominálnak. 1.110 Történelme van, tehát a turbulencia nem létezik Mivel a turbulens áramlás az előzményektől (mind időben, mind térben) függ, így mindig csak az adott turbulenciáról lehet beszélni, ennek ellenére lehet és érdemes a turbulens áramlásokat osztályozni (fali turbulencia, szabad nyiróréteg turbulencia stb.) V 1.2 Jelölések já t A koordináta rendszert a másol is megszokott módon : x1 , x2 , x3 vagy máskor x, y, z, a sebességeket egyrészt u1 , u2 , u3 , vagy máskor u, v, w-vel jelöljük. A koordináta rendszert, ha konkrét áramlásról van szó úgy választjuk, hogy az első koordináta

irány a fő áramlás iránya, a második pedig ennek a gradiensével párhuzamos (a kettő egymásra merőleges), a harmadik irányt pedig a jobbsodrású koordináta rendszer adja. Tipikus alkalmazási példa a fal melletti áramlás, ahol x az áramlás iránya és u az ez-irányú sebesség, y a faltól mért távolság és v az ez-irányú sebesség, z és w pedig ezekre merőleges. Sa c Copyright 2010 - Lohász Máté Márton, Régert Tamás Az áramlásban a mozgási energia a súrlódás következtében folyamatosan hővé alakul, így zárt rendszer energia bevitel nélkül idővel nyugalomba kerül. Ez a tulajdonság megkülönbözteti a turbulenciát a hullámmozgásoktól. 1. FEJEZET BEVEZETÉS 4 1.21 A Navier-Stokes egyenlet példája ∂ρ + div(ρv) = 0 ∂t (1.1) divv = 0 (1.2) ha ρ = konst., akkor  ∂ 2 vx ∂ 2 vx ∂ 2 vx + + ∂x2 ∂y 2 ∂z 2  (1.3) zi ∂vx ∂vx ∂vx ∂vx 1 ∂p + vx + vy + vz =− +ν ∂t ∂x ∂y ∂z ρ ∂x

ó A mozgás egyenlet x komponense: Vezessük be a következő egyszerűsítő jelöléseket a parciális deriváltakra: ha áz sz la ná t la v tra e r ∂ ∂t ∂ def = ∂xi def ∂t = (1.4) ∂i (1.5) Továbbá vezessük be az Einstein-féle összegzési konvenciót, miszerint ha két azonos index szerepel egy szorzatban akkor arra az indexre a tér dimenzióinak megfelelő számban összegezni kell, például: def ai bi = 3 X ai bi (1.6) i=1 V Ezen szabályok együttes alkalmazásával a kontinuitás egyenlet rendkívül egyszerűen írható (a sebességek jelölésénél pedig, ahogy korábban említettük áttérünk az ui jelölésre): ∂i ui = 0 (1.7) já t A Navier-Stokes egyenletek még nagyobb mértékben egyszerűsödnek, mivel mindhárom komponens együtt írható: 1 ∂t ui + uj ∂j ui = − ∂i p + ν∂j ∂j ui ρ (1.8) Az elkövetkező órákon meg fogjuk látni, hogy ezen egyszerűsítő jelölések még fontosabbá válnak, mivel

jelentősen bonyolultabb, hosszabb egyenleteket fogunk levezetni, elemezni. Sa c Copyright 2010 - Lohász Máté Márton, Régert Tamás A kontinuitás egyenletet a következő alakban tanultuk: 2. fejezet zi ó Statisztikai leírásmód ha áz sz la ná t la v tra e r Alapáramlástanban a turbulens áramlásokat időátlagukkal és az attól való eltéréssel (ingadozással) jellemeztük. Az időátlagolás definíciója zavarossá válhat – sok esetben – ha az áramlás statisztikai értelemben nem stacioner. – Turbulens csőáramlás (Re >> 2300), amit pl. egy dugattyús szivattyú hoz létre, azaz van egy a turbulens ingadozásoktól elkülönülő instacinaritás. – Henger körüli áramlás Re = 105 esetén, szabályszerűen leváló (St = 0.2) örvénysor alakul, amely azonban turbulens. Ilyen esetekben nehéz szétválasztani a „sima” instacionaritást és a turbulenciát. 2.1 Statisztikai szemlélet V A turbulens áramlást mint

statisztikus jelenséget tekinthetjük, ha bevezetjük a különböző kísérletek fogalmát. Például ugyanazt az áramlást vizsgálhatunk a szélcsatornában az év különböző napjain, például egy Re = 105 -s henger körüli áramlást Ha mindig ugyanazt a kísérletet is végezzük az eredmény statisztikai jelleget mutat. já t 2.11 Determinisztikus folyamat miért lehet véletlenszerű? Fölmerül a kérdés, ha pontosan ugyanazt a kísérletet végezzük el, miért különbözhet az eredmény miközben a leíró N-S egyenletrendszer teljesen determinisztikus. A válasz a turbulencia kaotikus tulajdonságában rejlik, mivel praktikusan soha nem adható meg teljesen azonos kezdeti és/vagy peremfeltétel a megoldás más Sa c Copyright 2010 - Lohász Máté Márton, Régert Tamás 5 2. FEJEZET STATISZTIKAI LEÍRÁSMÓD 6 2.2 Statisztikai megvalósulások jelölése A korábban leírtaknak megfelelően egy statisztikai változó így írható: ó ϕ =

ϕ(x, y, z, t, i) (2.1) zi ahol i a megvalósulás sorszáma. ha áz sz la ná t la v tra e r 2.3 Valószínűségszámítás ismétlés 2.31 Sűrűség függvény Valószínűségi változó sűrűség függvényéről beszélünk. f (ϕ) (2.2) Megmutatja mennyi a valószínűsége, ϕ egy adott értékének. A sűrűség függvény normált tulajdonsága: Z ∞ f (ϕ) dϕ = 1 (2.3) −∞ 2.32 Várható érték Z ∞ V ϕ(x, y, z, t) = Átlag    ϕ(x, y, z, t) f ϕ(x, y, z, t) já t Ingadozás  dϕ (2.4) −∞ N 1 X ϕ(x, y, z, t, i) N ∞ N i=1 ϕ(x, y, z, t) = lim Sa c Copyright 2010 - Lohász Máté Márton, Régert Tamás lesz és mivel a rendszer nagyon érzékeny a perem és/vagy kezdeti feltételekre a megvalósulások teljesen letérnek egymástól, statisztikailag leírhatóak. RAJZ ARRÓL, HOGY MIKÉNT FÜGG A PROFIL CSŐÁRAMLÁSBAN A BELÉPŐ PEREMTŐL LAMINÁRIS ÉS TURBULENS ESETBEN (2.5) Az aktuális érték átlagtól

való eltérését ingadozásnak nevezzük : def ϕ0 = ϕ − ϕ (2.6) 2. FEJEZET STATISZTIKAI LEÍRÁSMÓD 7 2.33 Fontos tulajdonság a linearitás (2.7) Ez a tulajdonság azért fontos, mivel az integrálás és a deriválás is lineáris operátor, így felcserélhető az átlag képzéssel. Ezt sokat fogjuk használni egyenletek levezetésénél. 2.34 Ingadozás átlaga zérus ϕ0 = 0 ó (2.8) ha áz sz la ná t la v tra e r ϕ =ϕ zi 2.35 A Reynolds átlag csak egyszer hat (2.9) 2.36 Reynolds felbontás Mivel a statisztikai átlagot az turbulenciakutatásban más néven Reynolds átlagnak is hívják, így be lehet vezetni az un. Reynolds felbontás, ahol tetszőleges mennyiséget átlag és ingadozás összegeként állítjuk elő ϕ = ϕ + ϕ0 (2.10) 2.37 Szórás q ϕ02 = ϕrms σϕ = (2.11) V 2.38 n-ed rendű centrális momentumok já t Példák Sa c Copyright 2010 - Lohász Máté Márton, Régert Tamás aϕ + bψ = aϕ + bψ µϕn =

ϕ0n Z ∞ = (ϕ0 )n f (ϕ) dϕ (2.12) −∞ µ0 = 1 µ1 = 0 µ2 = σ 2 (2.13) (2.14) (2.15) 2. FEJEZET STATISZTIKAI LEÍRÁSMÓD 8 2.39 Normál eloszlás 2 (2.16) 2.310 Torzultság (Skewness) Sk = µ3 σ3 (2.17) zi 2.311 Lapultság (flatness, kurtosis) ó RAJZ normál eloszláshoz képest Az eloszlás szimmetriától való eltérését mutatja. µ4 (2.18) σ4 Az eloszlás a normál eloszláshoz képesti lapultságát mutatja. A normál eloszlás lapultsága F l = 3 RAJZ, normálhoz képest. ha áz sz la ná t la v tra e r Fl = 2.4 Ergodicitás hipotézis V Az idő vagy térbeli és a statisztikai átlagok (momentumok) megegyeznek. Azt feltételezik, hogy egy statisztikailag stacioner áramlás minden statisztikai jellemzője megegyezik, mind ha eseményeket veszünk, mind ha hosszú idősort tekintünk Hasonlóan tekinthető a statisztikailag homogén irányt tartalmazó áramlásnál a térbeli átlag. Ezt a hipotézist eddig nem sikerült

bizonyítani, de ellenérv és ellenpélda se létezik. 2.5 Statisztikai és időátlag kapcsolata já t Mivel a gyakorlatban ritkán tudunk valódi statisztikai átlagot meghatározni, és helyette az ergodicitás feltevésével időbeli átlagot használunk, vizsgáljuk meg, hogy mennyire közelíti az időbeli átlag a statisztikai átlagot az átlagolási idő függvényében. Azt várjuk, hogy végtelen hosszú átlag visszaadja a statisztikai átlagot, de praktikusan fontos kérdés milyen hosszan kell átlagolni, hogy pontos eredményt kapjunk. Természetesen csak statisztikailag stacioner (∂t ϕ = 0) áramlásra lehet időbeli átlaggal meghatározni az átlagot. Sa c Copyright 2010 - Lohász Máté Márton, Régert Tamás (ϕ−ϕ ) 1 2 f (ϕ) = √ e σϕ 2πσϕ 2. FEJEZET STATISZTIKAI LEÍRÁSMÓD 9 Definiáljuk az időbeli átlagot: Z 1 T ϕ̂ = ϕ dt (2.19) T 0 Vegyük ennek statisztikai átlagát ! Z 1 T (T ) ϕ̂ = ϕ dt = ϕ (2.20) T 0 Mivel a

statisztikai átlag időfüggetlen. Tehát az időbeli átlag várható értéke a statisztikai átlag. Ez megnyugtató eredmény, de vizsgáljuk meg mekkora a becslés szórása. ó = 1 T 2 T Z zi  ϕ0 dt 0 ha áz sz la ná t la v tra e r σϕ̂2 (T ) 1 = T2 Z T ϕ0 (t1 )dt1 0 Z T ϕ0 (t2 )dt2 (2.21) 0 Vezessünk be az időbeli korrelációs függvényt: ρϕ (τ ) = ϕ0 (t)ϕ0 (t + τ ) σϕ2 (2.22) A stacionaritás miatt ∂t ρ = 0 ezért hagyható el a t argumentum. Ennek behelyettesítésével és további átalakításokkal kapjuk : ! Z |τ | σϕ T 1− ρϕ (τ )dτ (2.23) σϕ̂(T ) = T −T T V Definiáljuk továbbá az integrál időléptéket: Z ∞ |ρ(τ )|dτ Θ= (2.24) −∞ já t ha az integrál konvergál. Így a következő képletet kapjuk: Sa c Copyright 2010 - Lohász Máté Márton, Régert Tamás (T ) def σϕ̂(T ) ≤ Θ T !1/2 σϕ (2.25) Ez azt jelenti, hogy ha statisztikai átlagot egy T hosszú

időátlaggal közelítjük, akkor ezen közelítés szórása, arányos a közelítendő mennyiség szórásával (σϕ ) és a jellemző integrál időléptékének és az átlagolási idő hányadosának gyökével. 2. FEJEZET STATISZTIKAI LEÍRÁSMÓD 10 Legyenek ϕ, ψ valószínűségi változók, ez esetben beszélhetünk ezen változók együttes valószínűségéről, azaz ezen számpár valószínűségi eloszlásáról. Ilyen esetben lényeges tulajdonság, hogy ezek a valószínűségi változók (esetünkben turbulens áramlási jellemzők) függenek-e egymástól vagy függetlenek. Ha függetlenek akkor az együttes sűrűség függvény a következőképpen számolható fϕψ (ϕ, ψ) = fϕ (ϕ)fψ (ψ) ó (2.26) zi RAJZ FÜGGŐRŐL, FÜGGETLENRŐL (Kontúr ábra) 2.61 Feltételes valószínűség sűrűség függvény def fϕψ (ϕ, ψ) fψ (ψ) ha áz sz la ná t la v tra e r fϕ|ψ (ϕ|ψ) = (2.27) já t V Turbulens

áramlásoknál mindkét esetnek jelentősége van, tipikusan egy pontban a különböző sebességkomponensek egymástól függenek, így érdemes együttes sűrűségfüggvényüket vizsgálni. Az együttes sűrűségfüggvény bepillantást adhat a turbulencia szerkezetére, például ha u0 és v 0 együttes sűrűség függvényének valamilyen speciális értéknél van maximuma, az azt jelentheti, hogy az ingadozásoknak valamilyen speciális szerkezet van, például egy tipikus irányú örvény elhaladása során keletkeznek. A feltételes valószínűség szintén fontos a turbulencia kutatásban, talán egyik legszebb példa erre egy fal melletti határréteg ahol a fal hatása okozza a turbulenciát, de távolabb lamináris az áramlás. A két részt egy időben változó felület választja el, így a határfelület közelében olykor turbulens olykor lamináris az áramlás. Ha ilyen esetben nem alkalmaznánk a áramlás turbulens vagy lamináris voltára

vonatkozó feltételt például olyan átlagot kapnánk, amely egyik áramlási állapotra se jellemző, így célszerűbb a két állapotnak megfelelő átlagot meghatározni és ezeket tekinteni. Tehát olyan esetekben alkalmazunk praktikusan feltételes átlagot, amikor arra számítunk, hogy bizonyos paraméter jelentős hatással van a vizsgálni kívánt paraméterre. Ahogy a későbbiekben látni fogjuk nagy szerepet tulajdonítunk az örvényeknek, így szokás külön vizsgálni az örvények keltette turbulens jelenségeket, megfelelő feltételek felhasználásával. Például csatornában az örvények valószínűsége, és a feltételes áramlás irányú átlagsebesség látható. Sa c Copyright 2010 - Lohász Máté Márton, Régert Tamás 2.6 Többváltozós valószínűségek, sűrűségfüggvények (feltételes valószínűség) 11 ó 2.1 ábra Feltételes valószínűség és átlag zi 2.7 Korrelációs függvények ha áz sz la ná t la v

tra e r A feltételes valószínűségek témakörében felvethetjük azt a kérdést is, függetleneke a turbulens jellemzők ha térben vagy időben távoli jellemzőt vizsgálunk. Vizsgáljuk azt a feltételes valószínűséget például, hogy független-e a ϕ(x, y, z, t) a ϕ(x, y, z, t + τ ) mennyiségtől. Ilyen jellegű kérdésekkel foglalkozik a korrelációs függvény. Először definiáljuk a következő kovariancia függvényt Rϕψ (x, y, z, t, δx, δy, δz, τ ) = ϕ0 (x, y, z, t)ψ 0 (x + δx, y + δy, z + δz, t + τ ) (2.28) Ha ϕ és ψ különböző jellemzők, akkor kereszt kovarianciáról beszélünk, ha azonos akkor autokovarianciáról. Például: Rϕϕ (x, y, z, t,0,0,0, τ ) (2.29) V időbeli autokovariancia függvénye ϕ-nek. Ha dimenziótlan jellemzőt akarunk kapni, akkor bevezetjük a korrelációs függvényt. ρϕψ (x, y, z, t, δx, δy, δz, τ ) = Rϕψ σϕ(x,y,z,t) σψ(x+δx,y+δy,z+δz,t+τ ) (2.30) já t Ha δx, δy,

δz, τ -t nullának választjuk, akkor két változó azonos pontban vett korrelációját kapjuk, ami azt fejezi ki, hogy lineáris-e a kapcsolat a két változó között, konyha nyelven úgy mondhatjuk mekkora a kapcsolat a két változó között. Ha ψ értékének más pontokbeli értékéhez vizsgáljuk ϕ kapcsolatát, akkor arról kaphatunk képet, miképpen változik ez a kapcsolat a távolság (térben és/vagy időben) növekedésével. Sa c Copyright 2010 - Lohász Máté Márton, Régert Tamás 2. FEJEZET STATISZTIKAI LEÍRÁSMÓD 2. FEJEZET STATISZTIKAI LEÍRÁSMÓD 12 2.71 Példa1 2.72 Példa2 ρ(x, y, z, t,0,0,0, τ )-t használtuk az időlépték definíciójánál. ó 2.8 Integrál léptékek 2.81 Hosszléptékek zi Vegyünk egy tetszőleges irányú ei egységvektort, ekkor a vektor irányában lévő integrál hosszléptéket a következőképpen definiálhatjuk. +∞ ha áz sz la ná t la v tra e r (e) Lϕψ (x, y, z, t) Z ρϕψ (x, y, z,

t, ex s, ey s, ez s, 0) = ds (2.31) −∞ Általában az egységvektornak koordináta irányokat választunk, például a z irányú hosszlépték. Z +∞ (z) Lϕψ (x, y, z, t) = ρϕψ (x, y, z, t,0,0, s, 0) ds (2.32) −∞ já t V Ez a hossz jellemzi egyszerűsítve a z irányú korrelációs függvényt, és nagyságrendileg megmutatja, milyen z távolságban tekinthetőek a turbulens jellemzők egymástól függetlennek. Más néven milyen távolságon belül függenek a változók egymástól. Előbbinek fontos alkalmazása lesz a homogén irányok periodicitással való modellezése a turbulencia numerikus szimulációjában, ennek segítségével tudjuk megválasztani a periodicitás távolságát. RAJZ (szimulációs videó) henger mögötti örvénysorról. Örvény leválás henger mögött (DNS Re = 100) A másodikat fogjuk alkalmazni, mikor meg akarjuk becsülni milyen nagyságrendű struktúrák vannak a turbulens áramlásban, hogy ezek segítségével

becsülhessük többek között az energetikai viszonyokat. 2.82 Időlépték Hasonlóan a hosszléptékhez definiálhatjuk az integrál időléptéket. Z +∞ Tϕψ (x, y, z, t) = ρϕψ (x, y, z, t,0,0,0, τ ) dτ Sa c Copyright 2010 - Lohász Máté Márton, Régert Tamás Az Rui uj (x, y, z, t,0,0,0,0) tenzor a Reynolds feszültség tenzor. −∞ (2.33) 2. FEJEZET STATISZTIKAI LEÍRÁSMÓD 13 Az előző fejezetben ezt Θ-val jelöltük, mert ott T az átlagolási időt jelentette. ha áz sz la ná t la v tra e r Lx = T U zi ó Gyakorlati szempontból legkönnyebben az időbeli korrelációs függvényt (és vele együtt az integrál időléptéket) lehet meghatározni, mivel elegendő hozzá egy adott pontban finom időfelbontással mérni az adott jellemzőt, ez pedig megtehető általában hődróttal. Ellenben pl a turbulencia modellt használó számításoknál a hosszléptékre van szükség, így érdemes lenne módszert találni ennek

becslésére az időlépték ismeretében. Taylor azt a javaslatot tett, hogy képzeljük el az örvényeket megfagyottnak amelyek pusztán az átlagsebességgel (U ) repülnek tova, ezen feltételezéssel becsülhetővé válik az áramlás irányú hosszlépték. (2.34) já t V A valóság természetesen nem ilyen, mivel az örvények folyamatosan egymással kölcsönhatásban vannak és deformálódnak, mozognak, de az előbbi nagyságrendi becslésre jól használható. Sa c Copyright 2010 - Lohász Máté Márton, Régert Tamás 2.9 Taylor-féle fagyott örvény hipotézis 3. fejezet zi ó Reynolds egyenlet ha áz sz la ná t la v tra e r Ismétlésként és gyakorlásképpen levezetjük a Reynolds egyenlet rendszert. Elsőként a kontinuitás egyenletet Reynolds átlagoljuk ∂i ui = 0 (3.1) Reynolds átlagolva ezt az egyenletet és felhasználva, hogy a deriválás lineáris operátor (2.7 egyenlet) és, hogy az ingadozások Reynolds átlaga zérus (28

egyenlet) és, hogy Reynolds átlagolt mennyiség Reynolds átlaga önmaga (29 egyenlet) ∂i ui = = = = 0 = ∂i ui ∂i ui + u0i ∂i ui ∂i ui (3.2) já t V Teljesen hasonlóan eljárva átlagolható a mozgásegyenlet is attól az egy kivételtől eltekintve, hogy a konvektív tag nem lineáris. A következőekben ennek átalakítását ismertetjük. Sa c Copyright 2010 - Lohász Máté Márton, Régert Tamás 14 3. FEJEZET REYNOLDS EGYENLET = = ∂j (uj ui ) = ∂j uj ui zi = uj ∂j ui + ∂j u0i u0j ó = ∂j (uj + u0j )(ui + u0i )   0 0 0 0 = ∂j uj ui + ui uj + uj ui + uj ui   = ∂j uj ui + u0j u0i   = ∂j uj ui + ∂j u0j u0i (3.3) ha áz sz la ná t la v tra e r Ez alapján a Reynolds átlagolt mozgás egyenlet a következő alakú lesz: 1 ∂t ui + uj ∂j ui = − ∂i p + ν∂j ∂j ui − ∂j u0i u0j ρ (3.4) Az egyenlet ismét nagyon hasonlít az eredeti egyenlethez Reynolds átlagolt változókkal felírva, de a nemlinearitás

miatt megjelenik egy tag a jobb oldalon amelyet a Reynolds feszültség tenzor divergenciájának nevezünk. Így a Reynolds feszültség tenzor a következő: u0i u0j (3.5) V valójában ennek ρ szorosa lenne a feszültség tenzor, de mindkét alakot szokás Reynolds feszültség tenzornak nevezni. Így az előbb definiált Reynolds feszültség tenzorral együtt felírhatjuk, milyen (felületi) feszültségek divergenciái hozzák létre az átlagsebesség gyorsulását. 1 − p δij + ν∂j ui − u0i u0j ρ (3.6) já t ahol δij a Kronecker delta szimbólum. Előzetesen érdemes megjegyezni, hogy az úgynevezett Reynolds átlagolt turbulencia modellezésnél ezt az egyenletet oldjuk meg oly módon, hogy a Reynolds feszültség tenzort modellezzük a rendelkezésre álló átlagolt mennyiségek segítségével. Sa c Copyright 2010 - Lohász Máté Márton, Régert Tamás uj ∂j ui 15 4. fejezet zi ó A Reynolds feszültség tenzor tulajdonságai ha áz sz la ná

t la v tra e r Ebben a fejezetben a Reynolds feszültség tenzor tulajdonságait vizsgáljuk. 4.1 Szimmetrikus Első tulajdonságként a már tanult szimmetriát ellenőrizzük. Mivel a szorzás kommutatív művelet, így u0i u0j = u0j u0i (4.1) tehát a Reynolds feszültség tenzor szimmetrikus. 4.2 Feszültség típusok V A feszültség tenzor átlójában és azon kívül lévő feszültségek komponenseket a következő képpen nevezzük: – Normál feszültségek vannak az átlóban. u0i u0j ha i = j – Nyíró feszültségek vannak az átlón kívül. u0i u0j ha i 6= j já t 4.21 A turbulens kinetikus energia A Reynolds feszültség tenzor első skalár invariánsának felét, mivel az ingadozó sebességek tömegegységre jutó mozgási energiája, így turbulens kinetikus energiának nevezzük és k-val jelöljük. !
1 0 0 1 02 = u + v 02 + w02 (4.2) k = ui ui 2 2 Sa c Copyright 2010 - Lohász Máté Márton, Régert Tamás 16 4. FEJEZET A REYNOLDS

FESZÜLTSÉG TENZOR TULAJDONSÁGAI 17 ha áz sz la ná t la v tra e r zi ó Vegyünk egy gyakran vizsgált alkalmazások szempontjából is nagyon fontos tudományosság szintjére egyszerűsített áramlást, és nézzük meg milyen ezen áramlás esetén a Reynolds feszültség tenzor. Tekintsünk két végtelen méretű egymással párhuzamos álló lapot, áramoljon a két lap között statisztikailag stacioner módon az általunk vizsgált newtoni folyadék, olyan Reynolds számmal, hogy az áramlás turbulens legyen (lásd 4.1 ábra) Ez esetben mérésekből vagy direkt numerikus szimulációból (kellően alacsony Reynolds szám esetén szimulálható ezen áramlási eset) ismert a Reynolds feszültség tenzor komponenseinek eloszlása az y koordináta mentén (lásd 4.2) Ezen az ábrán megfigyelhetjük, hogy a Reynolds 4.1 ábra Vázlat csatorna áramlásra já t V feszültség tenzor mennyire anizotróp (azaz mennyire irányfüggőek az értékek). Felmerülhet a

kérdés hogyan lehetne ezt az anizotrópiát jellemezni és van-e valamilyen fizikai szabályszerűség a komponensek között, lehet-e szemléletes geometriai reprezentációt adni. Megfigyelhetjük például, hogy az áramlás irányú sebességingadozás (u02 ) sokkal nagyobb mint a másik két ingadozás komponens A fal közvetlen közelében a falra merőleges sebességkomponens ingadozása (v 02 ) máshogy viselkedik, mint a fallal párhuzamos, keresztirányú sebesség ingadozás (v 02 ). Ez utóbbi jelenséget megpróbáljuk egyszerű megfontolással magyarázni Sa c Copyright 2010 - Lohász Máté Márton, Régert Tamás 4.22 Motivációs példa ó zi ha áz sz la ná t la v tra e r 4.2 ábra Reynolds feszültségek csatornában A Reynolds feszültség tenzor normál komponenseinek fal-közeli viselkedése Írjuk fel a sebességkomponensek ingadozását a faltól távolodva Taylor sorba. u0 = a1 + b1 y + c1 y 2 + . v 0 = a2 + b2 y + c2 y 2 + . w 0 = a3 + b 3

y + c3 y 2 + . (4.3) (4.4) (4.5) Legelemibb megfontolásunk a tapadási törvény (ui = 0, ha y = 0), ez alapján, ha a sebesség 0 akkor az ingadozása is: a1 = a2 = a3 = 0 (4.6) V Írjuk fel továbbá a kontinuitás egyenletet az ingadozó komponensekre (lásd 2.8 egyenlet) a falnál (y = 0): ∂x u0 + ∂y v 0 + ∂z w0 = 0 (4.7) mivel a x és a z irány a fal síkjában van, így ebben az irányokban a deriváltak zérus értékűek, így: ∂y v 0 = 0 (4.8) já t amiből viszont b2 = 0 következik. Ennek segítségével a három normál irányú Reynolds feszültség tenzor komponens sorfejtésének első tagjai a következőképpen alakulnak. Sa c Copyright 2010 - Lohász Máté Márton, Régert Tamás 4. FEJEZET A REYNOLDS FESZÜLTSÉG TENZOR TULAJDONSÁGAI 18 u02 = b21 y 2 + . v 02 = c22 y 4 + . w02 = b23 y 2 + . (4.9) (4.10) (4.11) 4. FEJEZET A REYNOLDS FESZÜLTSÉG TENZOR TULAJDONSÁGAI 19 Ezzel megmagyaráztuk miért indul laposabban a v 02

görbéje a falnál. Ebben a fejezetben a Reynolds feszültség tenzor anizotrópiáját fogjuk jellemezni. Előszöris képezzük a Reynolds feszültség tenzor deviátor részét, ezt nevezzük anizotrópia tenzornak: 1 def aij = u0i u0j − u0l u0l δij (4.12) 3 |{z} ó 2k u0i u0j u0i u0j − 23 kδij aij 1 = 0 0 − δij = = 2k 3 ul ul u0l u0l def ha áz sz la ná t la v tra e r bij zi Ezt tovább elosztva a feszültségtenzor nyomával (2k = u0j u0j ) kapjuk a normált anizotrópia tenzort. (4.13) Az anizotrópia tenzor segítségével újra fölírhatjuk a Reynolds egyenlet feszültség tenzorát a következőképpen rendezve. 1 2 − p δij − kδij − aij + 2νsij | {z } ρ 3 {z } | (4.14) − ρ1 pmod δij ahol 1 (∂i uj + ∂j ui ) (4.15) 2 a derivált tenzor szimmetrikus része. Fenti felbontás azért érdekes, mert különválasztottuk a gömbtenzor részt, melyet a pmod a turbulens kinetikus energiával megváltoztatott nyomás jellemez és a deviátor

részt. sij is deviátor jellegű tenzor ugyanis a nyoma zérus, mivel def V sij = 1 = 0 sll = (∂l ul + ∂l ul ) |{z} 2 (4.16) kont. já t a kontinuitás miatt zérus. Mint azt numerikus áramlástanból tudhatjuk, összenyomhatatlan áramlásban a nyomás pusztán a kontinuitás kielégítésében játszik szerepet, így dinamikailag csak a két utolsó tag számít. Azaz dinamikailag az anizotrópia tenzor és a deformáció fontos (a következőekben látjuk majd, hogy energetikai szerepe is csak ennek a két tagnak van). Sa c Copyright 2010 - Lohász Máté Márton, Régert Tamás 4.3 Anizotrópia 4. FEJEZET A REYNOLDS FESZÜLTSÉG TENZOR TULAJDONSÁGAI 20 Ha a Reynolds feszültség tenzort a saját koordináta rendszerében írjuk fel, akkor nyilván csak az átlóban van nem zérus elem.   u02 0 0   I (4.17) u0i u0j =  0 u02 0  II 02 0 0 uIII zi ó Érdemes megfigyelni, hogy a sajátirányok merőlegesek, mivel a tenzor szimmetrikus. Így

a diagonizált alak pusztán koordináta rendszer elforgatással keletkezik Pozitív szemidefinit ha áz sz la ná t la v tra e r Ezen alakból világosan látszik, hogy a tenzor pozitív szemidefinit, mivel az átló minden eleme nagyobb vagy egyenlő nullánál. 02 02 u02 I , uII , uIII ≥ 0 (4.18) 4.32 A Reynolds feszültség tenzor szimmetrikus áramlásra és 2D-re A mérnöki gyakorlatban gyakran fordul elő áramlás szimmetrikus tartományon, így érdemes megvizsgálni, milyen speciális tulajdonsága van a Reynolds feszültség tenzornak a szimmetria síkban. A turbulencia könnyebb megértése érdekében gyakran vizsgálunk 2D áramlásokat, szintén fontos tudnunk ilyenkor hogyan alakul a Reynolds feszültség tenzor. V Szimmetrikus tartomány Ha az áramlási tartományuk szimmetrikus és élünk az ergodicitás hipotézisével, akkor a következő sűrűségfüggvény is tükör szimmetrikus: já t f (x, y, z, u, v, w, t) = f (x, y, −z, u, v, −w, t)

(4.19) Ez alapján a középsíkban: Sa c Copyright 2010 - Lohász Máté Márton, Régert Tamás 4.31 Reynolds feszültség tenzor saját koordináta rendszerben f (x, y,0, u, v, w, t) = f (x, y,0, u, v, −w, t) a sebességeloszlás sűrűségfüggvény szimmetrikus w-ben. Ez alapján: (4.20) 4. FEJEZET A REYNOLDS FESZÜLTSÉG TENZOR TULAJDONSÁGAI 21 w v 0 w0 = 0 = 0 = 0 (4.21) (4.22) (4.23) így a Reynolds feszültség tenzor:  u02 u0 v 0 0 u0i u0j = u0 v 0 v 02 0  0 0 w02  ó (4.24) zi 2D áramlás A 2D áramlásban z-től függetelen a sűrűségfüggvény, tehát: ha áz sz la ná t la v tra e r f (x, y, z, u, v, w, t) = f (x, y, z, u, v, −w, t) ∀z (4.25) 4.33 Lumley háromszög (1978) Lumley javasolta a normált anizotrópia tenzor grafikus árbrázolását, mivel a tenzor deviátoros (zérus a nyoma), így két invariansávál jellemezhető:   6η 2 = bij bji = −2IIb = tr(BB) (4.26) 6ξ 3 = bij bjk bki = 3IIIb (4.27) V

Lumley eredetileg a második és harmadik skalár invariánst (IIb , IIIb ) használta, de az η, ξ változók használatával könnyebb dolgozni, mivel így a pozitív szemidefinitség által kijelölt tartomány két oldala egyenes lesz. Ezt az alakot látjuk a 43 ábrán Ezen az ábrán könnyen elhelyezhetjük a speciális Reynolds feszültség tenzor eseteit A Reynolds feszültség tenzort érdemes továbbá az által definiált kvadratikus alak szintfelületének alakjával is jellemezni. Mivel a tenzor pozitív szemidefinit, így ezek a szintfelületek mindig ellipszoidok, csak az alakjuk változik. já t xi bij xj = C (4.28) Célszerűen mindig a saját koordináta rendszerben ábrázoljuk az ellipszoidot. 1C Sa c Copyright 2010 - Lohász Máté Márton, Régert Tamás u0 w0 Egy komponensű turbulencia. Az ellipszoid egy vonal. Növény analógia : hagymaszár ó zi ha áz sz la ná t la v tra e r V já t Sa c Copyright 2010 - Lohász Máté Márton, Régert

Tamás 4. FEJEZET A REYNOLDS FESZÜLTSÉG TENZOR TULAJDONSÁGAI 22 4.3 ábra Lumley háromszög 4. FEJEZET A REYNOLDS FESZÜLTSÉG TENZOR TULAJDONSÁGAI 23 2C Izotróp A turbulencia izotróp. Az ellipszoid egy gömb Növény analógia: dinnye Axiszimmetrikus ξ < 0, a háromszög bal oldala. Növény analógia: patisszon ∗ Ezen belül ha két komponensű akkor korong, a háromszög bal felső ha áz sz la ná t la v tra e r korong csúcsa. ó  zi lapos já t V hosszúkás  ξ > 0, a háromszög jobb oldala. A fali határréteg majdnem ilyen Növény analógia: uborka. Sa c Copyright 2010 - Lohász Máté Márton, Régert Tamás Két komponensű turbulencia. Az ellipszoid egy ellipszis. A Lumley háromszög „teteje” 5. fejezet zi ó A Reynolds feszültség tenzor és k transzport egyenlete ha áz sz la ná t la v tra e r Ebben a fejezetben néhány transzport egyenletet vezetünk le, amint azt később látni fogjuk ezen egyenletek új

ismereteket nyújtanak majd a turbulens áramlások energetikai viszonyairól, ezen felül a Reynolds feszültség tenzor transzport egyenlete segíteni fog a Reynolds egyenlet lezárásában. Hogy a levezetések menetét könnyen összefoglalhassuk bevezetjük az NavierStokes (NS) operátort, amely valójában a momentum egyenletet jelöli. 1 def N S(ui ) = ∂t ui + uj ∂j ui = − ∂i p + ν∂j sij ρ | {z } (5.1) ∂j tij Ezzel a jelölésrendszerrel, nagyon tömören leírható a Reynolds egyenlet levezetése: V N S(ui ) ∂t ui + uj ∂j ui (5.2) 1 = ∂j − p δij + νs ij − u0i u0j ρ {z } | h i (5.3) Tij Definiáljuk a mozgási energiát: 1 ui ui 2 Majd írjuk fel a Reynolds felbontást fölhasználva: já t def Sa c Copyright 2010 - Lohász Máté Márton, Régert Tamás E = 1 1 ui ui = (ui + u0i )(ui + u0i ) 2 2 1 (ui ui + 2u0i ui + u0i u0i ) = 2 E = 24 (5.4) (5.5) (5.6) Végül nézzük ennek Reynolds átlagát: 1 E = (ui ui ) + k (5.7) 2

Láthatjuk, hogy az ‘össz’ mozgási energia átlaga az átlagsebesség mozgási energiája és ingadozó sebesség mozgási energiájának átlaga. Jelöljük az előbbi tagot Ê-vel. ó 5.1 Az átlagsebesség mozgási energiájának transzport egyenlete zi Az alábbi szabály szerint levezethetünk Ê-re vonatkozó mozgásegyenletet. ha áz sz la ná t la v tra e r N S(ui ) ui szorzat deriválás ∂t Ê + uj ∂j Ê = ui ∂j Tij = = ∂j (ui Tij ) − Tij ∂j ui (5.8) (5.9) (5.10) Ez utóbbi alak azért fontos, mivel az első tagja divergencia, azaz térfogatra integrálva felületi integrállá alakítható és így látható, hogy csak a peremi jelenségek hatását fejezi ki. Például egy periodikus áramlás esetén az ilyen tagok nullává válnak Így belátható, hogy a turbulencia helyi jelenségeiben csak a további tag(ok) számítanak. Írjuk ki a nem divergenciás tagot részletesen: 1 ∂t Ê + uj ∂j Ê = ∂j (ui Tij ) + p δij ∂j ui

−νsij ∂j ui + u0i u0j ∂j ui (5.11) ρ | {z } =0 V A deformációs és Reynolds feszültség tenzoros tag átalakítható (MAGYARÁZAT KELL!! !): ∂t Ê + uj ∂j Ê = ∂j (ui Tij ) − 2νsij sij + aij sij | {z } | {z } | {z } transzport disszipáció (5.12) produkció já t Mátrixos írásmóddal (Frobenius belső szorzat) S : A = tr(S T · A) = tr(S · AT ), így belátható, hogy tr(S T · (A + AT )/2) = tr(S T · A)/2 + tr(S T · AT )/2. A máT sodik tagban átvíve a transzponáltat az elsőre: tr(S T · AT )/2 = tr(S T · A)/2 = = tr(S · A)/2 és mivel S szimmetrikus, így tr(S T · (A + AT )/2) = tr(S T · A). Azonos érvelés igaz az utolsó tagra, szimmetrikus tenzor és a sebesség derivált tenzor Frobenius szorzata, ezek után a gömb tenzorral vett szorzatot kell még elemezni: kδij sij . Összefoglalva megállapíthatjuk, hogy a lokális egyensúlyban csak a Reynolds feszültség tenzor anizotrópiája és az átlagsebesség deformációja számít.

Sa c Copyright 2010 - Lohász Máté Márton, Régert Tamás 5. FEJEZET A REYNOLDS FESZÜLTSÉG TENZOR ÉS K TRANSZPORT EGYENLETE25 5. FEJEZET A REYNOLDS FESZÜLTSÉG TENZOR ÉS K TRANSZPORT EGYENLETE26 Az alábbi szabállyal levezethető a Reynolds feszültség tenzorra egy transzportegyenlet: (N S(ui ) − N S(ui ) )u0j + (N S(uj ) − N S(uj ) )u0i (5.13) amely a következő alakot ölti: ∂t u0i u0j + ul ∂l u0i u0j = −∂l u0i u0j u0l + Pij + Πij + ν[u0i ∂l ∂l u0j + u0j ∂l ∂l u0i ] (5.14) (5.15) zi 1 Πij = − ui ∂j p0 + uj ∂i p0 ρ a sebesség-nyomásgradiens tenzor, és ó ahol ha áz sz la ná t la v tra e r Pij = −u0i u0l ∂l uj − u0j u0l ∂l ui (5.16) a produkció tenzor. 5.21 Viszkózus tag Bontsuk a viszkózus tagot két részre: ν[u0i ∂l ∂l u0j + u0j ∂l ∂l u0i ] = −εij + ∂l (ν∂l u0i u0j ) | {z } (5.17) (ν) −Tlij itt def εij = 2ν∂l u0i ∂l u0j (5.18) ezt disszipációs tenzornak nevezzük. Ez a

tag az energia hővé alakulását fejezi ki V 5.22 k transzport egyenlet já t A különböző tagok elemzéséhez előbb célszerű ennek az egyenlet nyomának a felét venni. Az egyenlet nyomának fele a k transzport egyenlete lesz " #  p0  ∂t k + uj ∂j k = −aij sij + ∂j u0j + k 0 − νu0i s0ij − |{z} ε (5.19) | {z } ρ disszipáció produkció | {z } Sa c Copyright 2010 - Lohász Máté Márton, Régert Tamás 5.2 Reynolds feszültség transzport egyenlet transzport ahol def ε= 1 εii = 2νs0ij s0ij 2 (5.20) 5. FEJEZET A REYNOLDS FESZÜLTSÉG TENZOR ÉS K TRANSZPORT EGYENLETE27 5.23 Produkció Az alapjellemzőket tartalmazza. Nyoma a következő: (5.21) Ez azonos a Ê egyenletben lévő produkció tag kétszeresével, csak itt ellentétes előjellel kerül elő. A k transzport egyenletben pont ez a tag fog majd előfordulni ó 5.24 A sebesség-nyomásgradiens tenzor (p) Πij = Rij − ∂l Tlij ahol zi A

sebesség-nyomásgradiens tenzort érdemes fölbontani két részre: p0 0 s ρ ij amit nyomás-deformáció tenzornak hívnak. Ezen kívül ha áz sz la ná t la v tra e r def (p) def Tlij = (5.22) Rij = (5.23) 1 0 0 1 ui p δjl + u0j p0 δil ρ ρ (5.24) amit nyomás transzport tagnak hívnak. Rii = p0 0 s =0 ρ ii (5.25) V így nem jelenik meg a k egyenletben, tehát a csak az irányok közötti transzportot okoz, így redisztribúció tenzornak nevezik. 5.3 A transzport tagok Bevezetjük a következő harmadrendű tenzort: def (p) (ν) (u) ahol já t Tlij = Tlij + Tlij + Tlij Sa c Copyright 2010 - Lohász Máté Márton, Régert Tamás Pii = −2u0i u0l ∂l ui (u) def Tlij = u0l u0i u0j (5.26) (5.27) 5. FEJEZET A REYNOLDS FESZÜLTSÉG TENZOR ÉS K TRANSZPORT EGYENLETE28 Először is vezessünk le egyenletet a nyomásingadozásra a következő módon:   (5.28) ∂i N S(ui ) − N S(ui ) A kontinuitást is felhasználva a következő

egyenletet kapjuk: h i ∂l ∂l p0 = −ρ∂i ∂j ui u0j + uj u0i + u0i u0j + u0i u0j | {z } | {z } I. (5.29) ó II. zi mivel ez az egyenlet lineáris, így a megoldása előáll különböző rész jobb oldalak megoldásaként és a homogén Laplace egyenlet megoldásaként: ha áz sz la ná t la v tra e r ∂l ∂l p0r = −ρ∂i ∂j (I.) ∂l ∂l p0s = −ρ∂i ∂j (II.) ∂l ∂l p0h = 0 (5.30) (5.31) (5.32) p0r a gyors nyomástag, itt a sebesség fluktuációk lineárisan szerepelnek, gyorsnak hívják, mivel ez a tag gyorsan reagál a jellemzők lokális változására. p0s a lassú nyomás tag, itt a sebesség fluktuációk nemlineárisan szerepelnek, lassúnak hívják, mivel a reakciónak egy időbeli késleltetése van. A p0h homogén tag a peremfeltételek hatását veszi, figyelembe, így pl a fali visszhang is ebben tagban jelentkezik. Ezek összegeként áll elő a nyomásingadozás: p0 = p0r + p0s + p0h (5.33) V A nyomás nem lokális jellemző,

de csak hosszlépték távolságra hat. ZZZ h ρ 0 0 p ul = ∂i ∂j ui (x? )u0j (x? )u0l (x) + uj (x? )u0i (x? )u0l (x) + 4π i d3 x? (5.34) +u0i (x? )u0j (x? )u0l (x) |x − x? | já t mivel u0i (x? )u0l (x) egy térbeli korrelációs függvény. Tehát ezek alapján elvileg is lehetetlen bármiféle lokális turbulencia modell, viszont jó hír, hogy a nyomás hatása is a hosszlépték méretére van korlátozva. A nyomás szerepét és viselkedését azért fontos látunk, mivel előfordul a sebességnyomásgradiens tenzor mindkét tagjában. Ennek a transzport tagja lényegét tekintve a k transzport egyenletben is előfordul Sa c Copyright 2010 - Lohász Máté Márton, Régert Tamás 5.4 A nyomás hatásai 6. fejezet zi ó A turbulencia léptékei V ha áz sz la ná t la v tra e r Ebben a fejezetben a korábbiakhoz képest új szempontból vizsgáljuk a turbulenciát, mégpedig olyan szempontból, hogy az ingadozások milyen léptékekhez tartoznak. Korábban

már definiáltuk az integrál hosszléptéket, de emlékezhetünk, hogy ez a térbeli korrelációs függvénynek csak egy speciális paramétere. Ha megfigyeljük például a 61 ábrán látható nyíróréteget, vagy akár tanulmányozzuk egy híd pillérei mögött az áramlást megfigyelhetjük, hogy sokféle méretű struktúra van folyamatosan jelen. A nagyobb struktúrák eközben tartalmazhatják a kisebbeket Egyik fő eredményünk az lesz, hogy az energia a nagy léptékeken keletkezik, a 6.1 ábra Szabad nyíróréteg vizualizációja já t közepes létékeken veszteség nélkül halad át és a kis léptékeken alakul hővé. 6.1 Az energia kaszkád Sa c Copyright 2010 - Lohász Máté Márton, Régert Tamás Tekintsünk egy nagy Reynolds számú áramlást, melynek tipikus sebessége U és tipikus léptéke L. 29 6. FEJEZET A TURBULENCIA LÉPTÉKEI 30 Az első feltevésünk, hogy a turbulencia különböző méretű örvényekként fogható fel. Az

örvény definícióját itt még nem adjuk meg, nagyjából együtt mozgó l méretű folyadékcsomagot értünk rajta. Tehát az örvény: – tipikus sebessége: u(l) – időléptéke: τ (l) = l/u(l) ha áz sz la ná t la v tra e r zi ó A legnagyobb örvények méretét jelölje l0 , amely összevethető az áramlás L léptékével. Ezen örvények tipikus sebessége u0 = u0 (l0 ) ami pedig az áramlás turbulens intenzitásával mérhető össze (u = (2/3k)1/2 ), ami pedig az áramlás tipikus sebességével U arányos. Így a Re0 = u0 l0 /ν Reynolds szám is nagy, így ezen a léptéken elhanyagolható a viszkozitás hatása. Richardson véleménye szerint, mivel a viszkozitásnak nincs szerep, így ezek az örvények instabilak és kisebbekre esnek szét, ahova mozgási energiájukat is magukkal viszik. Majd a keletkezett örvények úgyszintén, míg el nem érkezünk egy olyan örvény Reynolds számhoz (Re(l) = u(l)l/ν), ahol már stabilak az örvények a

viszkozitás miatt és eldisszipálják a mozgási energiát. A koncepció leglényegesebb pontja, hogy a disszipáció a sor legkisebb méretű végén van. Ellenben az ε disszipáció mértékét a folyamat első léptéke szabja meg, amely a nagy örvényeket jelenti. A nagy örvények energiája u20 és ennek időléptéke τ0 = l0 /u0 , így az energiaáram u20 /τ0 = u30 /l0 értékkel skálázható Azaz ε u30 /l0 -al skálázódik, de független ν-től. Ez mérésekben is megfigyelhető 6.2 A Kolmogorov hipotézisek já t V Az előzőeken felül még jó néhány kérdés megválaszolatlanul maradt, a turbulencia léptékeivel kapcsolatban. Mekkorák a disszipatív örvények, l növekedésével, hogy változnak a megfelelő sebesség (u(l)) és időléptékek (τ (l)). Ezekre a kérdésekre ad választ Kolmogorov három hipotézise, például kiderül, hogy l csökkenésével együtt u(l) és τ (l) is csökken. Az első hipotézis szerint a kis léptékek

izotropak, azaz habár a nagy örvények a különböző peremfeltételek miatt anizotropak, a kaszkádban ez az anizotrópia csökken és kis örvények esetére teljesen megszűnik, ez kimondva: Hipotézis (Kolmogorov lokális izotrópia hipotézise). Megfelelően magas Reynolds szám esetén, a kis-léptékű turbulens mozgások statisztikailag izotropok Sa c Copyright 2010 - Lohász Máté Márton, Régert Tamás – mérete: l Hogy pontosan milyen méreteket értünk kis lépték alatt azt célszerű definiálni, vezessük be lEI léptéket amely alatt a lokális izotrópia fennáll. Tehát l > lEI nagy örvények anizotrópok és a l < lEI örvények izotrópok. 31 A gondolatot továbbvíve feltehető az is, hogy irányfüggésen túl a nagy léptékeknek egyáltalán nincs hatásuk a kis léptékekre, így a kis léptékek bármely statisztikái univerzálisak vagyis hasonlóak. Kérdés, hogy milyen paraméterektől függhet ez az univerzális állapot. Az

energia kaszkád két fő folyamata az energia transzfer és a viszkózus disszipáció Tehát vegyük egyik paraméterként azt az energia rátát amely a nagy skáláktól érkezik és jelöljük TEI -vel. A viszkózus disszipációt pedig jellemezzük a kinematikai viszkozitással ν. Mint ahogy korábban láttuk a disszipációt az energia ráta szabja meg, tehát ezek a mennyiségek közel azonosak: ε ≈ TEI . Így a hipotézis a következőképpen fogalmazható meg: zi ó Hipotézis (Kolmogorov első hasonlósági hipotézise). Minden megfelelően magas Reynolds számú turbulens áramlásban a kis mozgások (l < lEI )) statisztikáinak univerzális az alakja, amely csak ε-tól és ν-től függ. ha áz sz la ná t la v tra e r Az l < lEI mérettartományt univerzális egyensúlyi tartománynak nevezzük, mivel a l/u(l) időlépték kicsi a l0 /u0 időléptékhez képest, így a kis örvények hamar követik a nagy örvények változását, és dinamikusan

előáll a TEI által megszabott egyensúly. Az ε és a ν paraméterek segítségével egyértelműen (konstans szorzótól eltekintve) egy hossz, sebesség és időlépték képezhető. η = (ν 3 /ε)1/4 uη = (εν)1/4 τη = (ν/ε)1/2 (6.1) (6.2) (6.3) V Ezek a Kolmogorov skálák jellemzik a kis disszipatív örvényeket. Ezt egyrészt onnan látjuk, hogy a belőlük képzett Reynolds szám egységnyi (ηuη /ν = 1) és kaszkád addig tart, amíg megfelelően kicsi nem lesz a Reynolds szám, hogy stabilizálja az örvényeket. Másrészt a disszipációt felírva : ε = ν(uη /η)2 = ν/τη2 (6.4) já t látszik, hogy (uη /η) = 1/τη adja a disszipatív skála sebesség gradiensét. Nézzük meg miért is hívjuk ‘hasonlósági hipotézisnek’ és ‘univerzális alaknak’ az előzőeket. Ha Kolmogorov skálával dimenziótlanított sebességet tekintünk a Kolmogorov skálával dimenziótlan távolság függvényében láthatjuk, hogy ez nem függhet ε

és ν paraméterektől, mivel a kettőből nem képezhető dimenziótlan mennyiség, tehát bármely ‘közeli’ pontban azonos függvényt kapunk. Sa c Copyright 2010 - Lohász Máté Márton, Régert Tamás 6. FEJEZET A TURBULENCIA LÉPTÉKEI u/uη (l/lη ) = f (ε, ν) = konst. (6.5) Nagy Reynold szám esetén a kis léptékekkel dimenziótlanítva minden sebesség mező statisztikailag azonos. 6. FEJEZET A TURBULENCIA LÉPTÉKEI 32 η/l0 ∼ Re−3/4 uη /u0 ∼ Re−1/4 τη /τ0 ∼ Re−1/2 (6.6) (6.7) (6.8) ó Látható, hogy η/l0 csökken a Reynolds szám növelésével, tehát nagy Reynolds szám esetén van egy olyan l tartomány, hogy l0  l  η. Feltehető, hogy ebben a tartományban olyan nagy a Reynolds szám (lu(l)/ν), hogy a viszkozitásnak nincs szerepe. Ez alapján kimondhatjuk a harmadik hipotézist zi Hipotézis (Kolmogorov második hasonlósági hipotézise). Minden turbulens áramlásban megfelelően magas Reynolds szám esetén az l

léptékű mozgások statisztikáit függetlenül ν-től egyedül ε határozza meg, amennyiben l az l0  l  η tartományba esik. V ha áz sz la ná t la v tra e r Érdemes bevezetni egy lDI hosszat, oly módon, hogy az előző hipotézist a l0 > > l > lDI módon írhassuk. Ez a skála két részre bontja az univerzális egyensúlyi tartományt (l < lEI ), a tehetetlenségi tartományra (lEI > l > lDI ) és a disszipációs tartományra (l < lDI ). A viszkozitásnak csak disszipációs tartományban van szerepe, itt játszódik le a disszipáció teljes egészében. A KÖVETKEZŐ ábrán a különböző skálák és tartományok láthatóak. Az energia fő tömege a 61 l0 < l < 6l0 tartományban van, ezt energiát tartalmazó tartománynak nevezzük A betűk jelentése a következő I= inercia, E= energia, D= disszipációs, a hosszléptékek nevei a két oldal alapján vannak definiálva. Pusztán ε használatával nem lehet hossz-,

sebesség- és időléptéket definiálni, de egy l hosszléptékhez meg lehet határozni ε és l segítségével sebesség és időléptéket: u(l) = (εl)1/3 = uη (l/η)1/3 ∼ u0 (l/l0 )1/3 τ (l) = (l2 /ε)1/3 = τη (l/η)2/3 ∼ τ0 (l/l0 )2/3 (6.9) (6.10) já t Ennek következmény, hogy a tehetetlenségi tartományban a sebesség és idő léptékek a hosszléptékkel egyszerre csökkennek. Az energia kaszkádban lényeges szerepe van a T (l) energia áramnak, amely a l-nél nagyobb skálákról az l-nél kisebb skálája szállítja a mozgási energiát. T (l) u(l)2 /τ (l)-el skálázható. Mivel Sa c Copyright 2010 - Lohász Máté Márton, Régert Tamás A nagy léptékek és Kolmogorov léptéket aránya is számolható, ha figyelembe vesszük, hogy ε ∼ u30 /l0 . u(l)2 /τ (l) = ε (6.11) T (l) is l-től független és ε-al megegyező. Az energia ráta minden skálán azonos: TEI ≡ T (lEI ) = T (l) = TDI ≡ T (lDI ) = ε (6.12) 6. FEJEZET A

TURBULENCIA LÉPTÉKEI 33 6.3 Az energia spektrum Rij (xl , rm , t) = ui (xl )uj (xl + rm , t) Z Z Z +∞ 1 e−ıκl rm Rij (rm , t) drm Φij (κl , t) = (2π)3 −∞ (6.13) (6.14) (6.15) ó Ezek segítségével az energia spektrum definiálható: Z Z Z +∞ 1 E(κ, t) = Φii (κm , t)δ(|κm | − κ) dκm −∞ 2 ha áz sz la ná t la v tra e r zi Emlékeztetőül jegyezzük meg, hogy a hullámszám és a lépték között a következő összefüggés van: κ = 2π/l (6.16) Ennek segítségével felírható a κa és a κb hullámszám közé eső energia: Z κb E(κ) dκ kκa ,κb = (6.17) κa Bebizonyítható, hogy a κa és a κb hullámszám közé eső disszipáció a következőképpen írható: Z κb εκa ,κb = 2νκ2 E(κ) dκ (6.18) κa V Az első Kolmogorov hipotézisből következik, hogy a spektrum ε és ν, a második hipotézisből következik, hogy a tehetetlenségi tartományban pusztán ε függvénye, így itt csak a következő alakú

lehet: E(κ) = Cε2/3 κ−5/3 (6.19) 6.31 Egy modell spektrum já t E(κ) = Cε2/3 κ−5/3 fL (κL)fη (κη) 6.4 A spektrum Reynolds szám függése Sa c Copyright 2010 - Lohász Máté Márton, Régert Tamás Vezessük be újfent a térbeli korrelációs függvényt és annak spektrális változatát: (6.20) ha áz sz la ná t la v tra e r zi ó 34 já t V 6.2 ábra Spektrum a nagy léptékkel dimenziótlanítva Sa c Copyright 2010 - Lohász Máté Márton, Régert Tamás 6. FEJEZET A TURBULENCIA LÉPTÉKEI 6.3 ábra Spektrum a Kolmogorov léptékkel dimenziótlanítva 7. fejezet zi ó Önhasonlóság ha áz sz la ná t la v tra e r A turbulens áramlások mint láttuk a nagy léptékekben esetről esetre változóak, csak a kis léptékekben figyelhető meg bizonyos univerzalitás. Így érdemes a turbulens áramlások gyakran előforduló építőköveit egyesével megismerni Az elkövetkező fejezetekben ezzel foglalkozunk Ezek az

építőkövek 2D áramlások lesznek, attól eltekintve, hogy bizonyos jelenségek csak 3D átlag áramkép esetén jönnek elő. Az önhasonlóság koncepcióját egy kétváltozós Q(x, y) függvényen mutatjuk be. x függvényében definiálhatjuk a függő Q mennyiséget skálázó Q0 (x) és a független y mennyiséget skálázó δ(x) jellemző változókat. Így a következő dimenziótlan mennyiségeket vezethetjük be: y δ(x) def Q(x, y) Q̃(ξ, x) = Q0 (x) def ξ = (7.1) (7.2) V ha Q̃(ξ, x) független x-től tehát Q̃(ξ, x) = Q̂(ξ) (7.3) já t akkor Q(x, y)-et önhasonlónak nevezzük. Ekkor Q(x, y) a Q0 (x), δ(x) és a Q̂(ξ) egyváltozós függvények segítségével kifejezhető. Néhány dolgot még érdemes megjegyezni : – Q0 (x)-t és δ(x)-t jól kell megválasztani. def Q(x,y)−Q∞ (x) Q0 (x) – Általánosabb esetben Q̃(ξ, x) = formációhoz. Sa c Copyright 2010 - Lohász Máté Márton, Régert Tamás alakot kell használni a

transz- – Néha csak egy adott x érték halmazra igaz az önhasonlóság 35 8. fejezet zi ó Határréteg egyenlet ha áz sz la ná t la v tra e r Statisztikailag 2D és stacioner áramlások esetén, ahol egyértelműen kijelölhető az áramlás iránya (x), melynek irányában a változások kisebbek mint az y irányban a kontinuitás és a momentum egyenletek egyszerűbben írhatóak. Ilyen tipikus áramlási esetek láthatóak a 81 ábrán Minden egyes áramlásra bevezethető egy δ(x) jellemző szélesség, egy Uc jellemző konvekciós sebesség és egy Us jellemző sebesség különbség. Az előbb bevezetett határréteg közelítésben tehát az egyenletek a következő alakot öltik: ∂x u + ∂y v = 0 (8.1) 1 u ∂x u + v ∂y u = − ∂x p + {ν∂x ∂x u } + ν∂y ∂y u − ∂x u02 − ∂y u0 v 0 (8.2) ρ 1 02 {u ∂x v } + {v ∂y v } = − ∂y p + {ν∂x ∂x v } + {ν∂y ∂y v } − {∂x u0 v 0 } − ∂(8.3) yv ρ V A kapcsos

zárójelben { } lévő tagok a határréteg megközelítésben elhanyagolhatóak. Így az y irányú momentum egyenlet a következő alakot veszi: 1 ∂y p + ∂y v 02 = 0 ρ (8.4) já t A távoltéri nyomást p0 -val jelölve és figyelembe véve, hogy a távol-térben v 02 = 0 az egyenlet kiintegrálható, a nyomás kifejezhető: p p0 = − v 02 ρ ρ (8.5) Ez alapján fölírható a nyomás áramlás irányú deriváltja: Sa c Copyright 2010 - Lohász Máté Márton, Régert Tamás 1 1 ∂x p = dx p 0 − ∂x v 02 ρ ρ 36 (8.6) já t V ha áz sz la ná t la v tra e r zi ó 37 Sa c Copyright 2010 - Lohász Máté Márton, Régert Tamás 8. FEJEZET HATÁRRÉTEG EGYENLET 8.1 ábra Turbulens áramlási alapesetek 38 zi ó Ennek felhasználásával az x irányú momentum egyenlet a következőképpen alakul: 1 u ∂x u + v ∂y u = − dx p 0 + ν∂y ∂y u − ∂y u0 v 0 − ∂x u02 − v 02 (8.7) ρ A viszkózus tag szabad nyírórétegekben

elhanyagolható, de fali határrétegben nagy szerepet kap, mivel itt sokkal nagyobb az átlagsebesség deriváltja. Mivel az utolsó a Reynolds feszültség komponensek különbségének áramlási irányú deriváltja így az a lamináris nagyságrendi becslés elmélete alapján el lehet hagyni, habár turbulens esetben ez a tag a többi nagyságrendjének kb. 10%-át teszi ki Így ha állandó a távol-téri sebesség (így a nyomás se változik) a következő alakot kapjuk: u ∂x u + v ∂y u = ν∂y ∂y u − ∂y u0 v 0 (8.8) já t V ha áz sz la ná t la v tra e r Láthatjuk, hogy az u0 v 0 Reynolds nyírófeszültségnek van fontos szerepe. Sa c Copyright 2010 - Lohász Máté Márton, Régert Tamás 8. FEJEZET HATÁRRÉTEG EGYENLET 9. fejezet zi ó Szabad nyíróréteg áramlások ha áz sz la ná t la v tra e r Az önhasonlóság és a határréteg egyenlet alkalmazhatóságára elsőként nézzük a hengeres szabadsugár áramlást, hogy alakulnak a

viszonyok. 9.1 Hengeres szabadsugár Mérésekből a következőt találjuk (9.1 ábra), ha megfelelően távol vagyunk a befúvástól ( x/d > 30) a profilokat dimenziótlanítva egybeesnek (92 ábra) A dimenziótlanításra U0 (x) és r05 (x)-t használjuk def U0 (x) = u (x, r = 0) def u (x, r = r0.5 (x)) = U0 /2 (9.1) (9.2) V Az önhasonló profil definíciója akkor lesz egyértelmű, ha megadjuk U0 (x) és r0.5 (x) függvényeket is Mérések alapján (93 ábra) U0 (x)-ra a következőt találjuk: B UJ = (9.3) U0 (x) (x − x0 )/d ahol UJ a szabadsugár sebessége a belépés helyén. A széttartási arány: def S = dx r0.5 (9.4) já t azaz kisérletek alapján r0.5 (x): r0.5 (x) = S(x − x0 ) Sa c Copyright 2010 - Lohász Máté Márton, Régert Tamás (9.5) Ez az eredmény egyébként a határréteg egyenlet segítségével következik a sebesség profilok önhasonlóságából. 39 ha áz sz la ná t la v tra e r zi ó 40 já t V 9.1 ábra

Hengeres szabadsugár axiális sebességprofilok Sa c Copyright 2010 - Lohász Máté Márton, Régert Tamás 9. FEJEZET SZABAD NYÍRÓRÉTEG ÁRAMLÁSOK ha áz sz la ná t la v tra e r zi ó 41 9.2 ábra Hengeres szabadsugár dimenziótlan axiális sebességprofilok Tehát a hengeres szabadsugár önhasonló a következő skálázás alapján: r def ξ = (9.6) r0.5 r def η = (9.7) x − x0 u (x, r) (9.8) f (η) = f˘(ξ) = U0 (x) V Az önhasonló sebességprofil látható a 9.4 ábrán Integrál megmaradási tételek já t Bebizonyítható (lásd pl. áramlástan alapjai könyv), hogy hengeres szabadsugárban állandó az áramlás irányú impulzus: Z ∞ 2 ξf (ξ)2 dξ (9.9) Ṁ = 2πρ(r0.5 U0 ) Sa c Copyright 2010 - Lohász Máté Márton, Régert Tamás 9. FEJEZET SZABAD NYÍRÓRÉTEG ÁRAMLÁSOK 0 dx Ṁ = 0 (9.10) Ez alapján mivel az integrál az önhasonlóság szerint x-től függetelen, (r0.5 U0 )2 is x-től független kell, hogy legyen. Tehát

a széttartási arány (S) állandósága és U0 V ha áz sz la ná t la v tra e r zi ó 42 já t 9.3 ábra Hengeres szabadsugár maximális axiális sebességek Sa c Copyright 2010 - Lohász Máté Márton, Régert Tamás 9. FEJEZET SZABAD NYÍRÓRÉTEG ÁRAMLÁSOK V ha áz sz la ná t la v tra e r zi ó 43 9.4 ábra Hengeres szabadsugár axiális sebességprofil já t Sa c Copyright 2010 - Lohász Máté Márton, Régert Tamás 9. FEJEZET SZABAD NYÍRÓRÉTEG ÁRAMLÁSOK 9. FEJEZET SZABAD NYÍRÓRÉTEG ÁRAMLÁSOK 44 Re0 = U0 (x)r0.5 (x) = konst. ν (9.11) Ettől függetlenül természetesen vizsgálhatunk különböző Reynolds számú szabadsugarakat, azt találjuk, hogy B és S közelítőleg független a Reynolds számtól. (9.12) (9.13) ó S ≈ 0.98 B ≈ 6 ha áz sz la ná t la v tra e r zi Természetesen tudjuk, hogy a Reynolds szám függvényében több-kevesebb kis léptékű struktúra van, de a nagy skálák Reynolds szám

függetlenek. A radiális sebesség is önhasonló a 9.5 ábra alapján Megfigyelhetjük, hogy a szélén magával ragadás, középen meg kiszorítás van. V 9.5 ábra Hengeres szabadsugár dimenziótlan radiális sebességprofil Reynolds feszültségek já t A Reynolds feszültségek is önhasonlóak és Reynolds szám függetlenek. A tengely környékén megfigyelhetjük a függvények páros-páratlan tulajdonságát és, hogy v 0 és w0 azonossá válik. Középen az áramlási irányú ingadozásnak u0 nincs maximuma Sa c Copyright 2010 - Lohász Máté Márton, Régert Tamás hiperbolikus x függése összefügg egymással. Ez alapján szintén belátható, hogy a lokális Reynolds szám állandó egy adott hengeres szabadsugáron belül: ha áz sz la ná t la v tra e r zi ó 45 9.6 ábra Hengeres szabadsugár dimenziótlan Reynolds feszültségprofil 9.11 Energia mérleg A 9.10 ábrán az turbulens kinetikus energia mérlegegyenletének tagjai látszanak

dimenziótlanítva, azaz önhasonló módon. Habár az eredmény bizonytalansága jelentős, pár megfigyelés tehető : – A disszipáció dominálja a szabadsugarat. V – A produkció maximuma r/r0,5 = 0,6-nál van, ahol P/ε értéke: 0,8. já t – A sugár szélén P/ε nullához tart, itt a transzport tart egyensúlyt a disszipációval. Sa c Copyright 2010 - Lohász Máté Márton, Régert Tamás 9. FEJEZET SZABAD NYÍRÓRÉTEG ÁRAMLÁSOK ha áz sz la ná t la v tra e r zi ó 46 já t V 9.7 ábra Hengeres szabadsugár dimenziótlan turbulencia profil Sa c Copyright 2010 - Lohász Máté Márton, Régert Tamás 9. FEJEZET SZABAD NYÍRÓRÉTEG ÁRAMLÁSOK V ha áz sz la ná t la v tra e r zi ó 47 já t 9.8 ábra Hengeres szabadsugár dimenziótlan nyírófeszültség és korreláció profil Sa c Copyright 2010 - Lohász Máté Márton, Régert Tamás 9. FEJEZET SZABAD NYÍRÓRÉTEG ÁRAMLÁSOK ha áz sz la ná t la v tra e r zi ó 48

já t V 9.9 ábra Hengeres szabadsugár dimenziótlan hosszlépték profil Sa c Copyright 2010 - Lohász Máté Márton, Régert Tamás 9. FEJEZET SZABAD NYÍRÓRÉTEG ÁRAMLÁSOK V ha áz sz la ná t la v tra e r zi ó 49 já t 9.10 ábra Hengeres szabadsugár dimenziótlan (U0 és r0,5 ) energia mérleg Sa c Copyright 2010 - Lohász Máté Márton, Régert Tamás 9. FEJEZET SZABAD NYÍRÓRÉTEG ÁRAMLÁSOK 9. FEJEZET SZABAD NYÍRÓRÉTEG ÁRAMLÁSOK 50 ó zi ha áz sz la ná t la v tra e r já t V 9.11 ábra A sík keveredési réteg létékeinek definiciói 9.12 ábra A sík keveredési réteg dimenziótlan sebességprofil Sa c Copyright 2010 - Lohász Máté Márton, Régert Tamás 9.2 Sík keveredési réteg ha áz sz la ná t la v tra e r zi ó 51 já t V 9.13 ábra A sík keveredési réteg széttartása Sa c Copyright 2010 - Lohász Máté Márton, Régert Tamás 9. FEJEZET SZABAD NYÍRÓRÉTEG ÁRAMLÁSOK V ha áz sz la ná t la

v tra e r zi ó 52 9.14 ábra A sík keveredési réteg széttartása já t Sa c Copyright 2010 - Lohász Máté Márton, Régert Tamás 9. FEJEZET SZABAD NYÍRÓRÉTEG ÁRAMLÁSOK 9. FEJEZET SZABAD NYÍRÓRÉTEG ÁRAMLÁSOK 53 ó zi ha áz sz la ná t la v tra e r já t V 9.15 ábra A sík nyom dimenziótlan sebesség Sa c Copyright 2010 - Lohász Máté Márton, Régert Tamás 9.3 Sík nyom 9. FEJEZET SZABAD NYÍRÓRÉTEG ÁRAMLÁSOK 54 ó zi ha áz sz la ná t la v tra e r já t V 9.16 ábra Axiszimmetrikus nyom dimenziótlan sebesség Sa c Copyright 2010 - Lohász Máté Márton, Régert Tamás 9.4 Axiszimmetrikus nyom ha áz sz la ná t la v tra e r zi ó 55 já t V 9.17 ábra Axiszimmetrikus nyom dimenziótlan Reynolds feszültsé tenzor Sa c Copyright 2010 - Lohász Máté Márton, Régert Tamás 9. FEJEZET SZABAD NYÍRÓRÉTEG ÁRAMLÁSOK V ha áz sz la ná t la v tra e r zi ó 56 9.18 ábra Axiszimmetrikus nyom energia

mérleg já t Sa c Copyright 2010 - Lohász Máté Márton, Régert Tamás 9. FEJEZET SZABAD NYÍRÓRÉTEG ÁRAMLÁSOK 9. FEJEZET SZABAD NYÍRÓRÉTEG ÁRAMLÁSOK 57 V ha áz sz la ná t la v tra e r zi ó A mechanizmusok pontosabb elkülönítése végett érdemes olyan áramlást tekinteni ahol elhanyagolható a transzport. Homogén nyíróáramlásban csak egy konstans S = ∂y u van jelen. Szélcsatornában előállítható a 919 ábrán látható lineáris sebesség profil, amelyben a mennyiségek ugyan áramlás irányában változnak, de egy átlagsebességgel együtt-mozgó rendszerben már nem. A Reynolds feszültség tenzor komponensei láthatóak a 9.20 ábrán 9.19 ábra Homogén nyírás definíciója já t Megfigyelhető, ha a mennyiségeket S és k-val skálázzuk önhasonlóvá válnak. A 9.1 táblázatban látjuk az önhasonló értékeket A Reynolds feszültség komponensek önhasonlóak, tehát állandó az anizotrópia A turbulens időlépték nem

változik jelentősen, az átlagáramkép időléptékétől S függ A hosszlépték növekszik abszolút értékben, de skálázva szintén állandó marad. A homogén nyírás esetére a következő alakot ölti a turbulens kinetikus energia transzport, vagy más néven mérleg egyenlete: Sa c Copyright 2010 - Lohász Máté Márton, Régert Tamás 9.5 Homogén nyírás dt k = P − ε (9.14) zi ó 58 ha áz sz la ná t la v tra e r 9.20 ábra Homogén nyírás dimenziótlan Reynolds feszültségek átalakítva : mivel τ k és P ε τ P dt k = − 1 k ε állandó így az egyenlet időben integrálható:   t k(t) = k(0)e τ mivel P ε P −1 ε (9.15) (9.16) ≈ 1,7, azaz nagyobb mint egy k időben exponenciálisan növekszik, vele def já t V együtt a ε és a hosszlépték (L = k 3/2 /ε = k 1/2 /τ ) is. Sa c Copyright 2010 - Lohász Máté Márton, Régert Tamás 9. FEJEZET SZABAD NYÍRÓRÉTEG ÁRAMLÁSOK zi ó 59 mérés 1.

mérés 2. DNS 1,04 0,37 0,58 0,28 0,45 6,5 1,8 4,0 0,62 1,07 0,37 0,56 0,28 0,45 6,18 1,7 4,0 0,66 1,06 0,32 0,62 0,33 0,57 4,3 1,4 3,7 0,86 ha áz sz la ná t la v tra e r u02 /k v 02 /k w02 /k u0 v 0 /k ρuv Sk/ε P/ε L11 S/k 0,5 L11 /(k 1,5 /ε) já t V 9.1 táblázat Homogén nyírás önhasonló paraméterei Sa c Copyright 2010 - Lohász Máté Márton, Régert Tamás 9. FEJEZET SZABAD NYÍRÓRÉTEG ÁRAMLÁSOK 9. FEJEZET SZABAD NYÍRÓRÉTEG ÁRAMLÁSOK 60 Ha nyírás zérus akkor a homogén turbulencia időben elhal, mivel nulla a produkció (P = −aij sij ). Rácson átáramló állandó sebességű áramlással lehet ezt a jelenséget kísérletileg leginkább modellezni. Ha a rács mindkét áramlásra merőleges irányban azonos struktúrájú, mint a 921 ábrán, akkor a v 0 és a w0 mennyiség közel azonos a rács után, a u0 1/2 10%-al nagyobb mint a másik két komponens (9.22 ábra) A kísérlet szerint k a következőképpen alakul: (9.17) ó

 x − x −n k 0 =A 2 U0 M ha áz sz la ná t la v tra e r zi itt x0 a virtuális origó és M a rács paramétere. n értéke a mérések alapján 1,3 körül található. Átlagsebességgel (U0 ) együtt mozgó koordináta rendszerben a következőképpen írható:  t −n (9.18) k(t) = k0 t0 A k mérlegegyenlet ez esetben még egyszerűbb: dt k = −ε (9.19) így a disszipáció időbeni alakulása: ε(t) = ε0  t −n−1 t0 (9.20) já t V −n − 1 -es kitevő szerint alakul. Hasonlóan származtatható a hosszlépték, vagy az időlépték. Sa c Copyright 2010 - Lohász Máté Márton, Régert Tamás 9.6 Rács turbulencia zi ó 61 já t V ha áz sz la ná t la v tra e r 9.21 ábra Rács turbulencia definíciója Sa c Copyright 2010 - Lohász Máté Márton, Régert Tamás 9. FEJEZET SZABAD NYÍRÓRÉTEG ÁRAMLÁSOK 9.22 ábra Rács turbulencia Reynolds feszültség tenzor 10. fejezet zi ó Fali áramlások ha áz sz la ná t la v

tra e r A fallal határolt áramlások, fali nyírórétegek (határrétegek) rengeteg alkalmazásban fordulnak elő. Csatorna, cső vagy határréteg áramlást vizsgálva fontos általános tulajdonságokat ismerhetünk meg mivel a fal közeli viselkedése közel univerzális 10.1 Csatorna áramlás Az áramlást mindössze a Reynolds szám (Reb ) jellemzi amelyet gyakran az átlagsebességgel definiálnak ( Ubν2δ ) : 1 Ub = δ def Z δ u dy (10.1) 0 def def U0 δ . ν V vagy szokás használni a maximális sebességet is (U0 = u (δ)). Azaz Re0 = Reb > 1800 esetén az áramlás turbulens. Az áramlás irányú momentum egyenlet a következő alakot ölti: 1 0 = νd2y2 u − dy u0 v 0 − ∂x p | {z } | {z } ρ dy τl (10.2) dy τt já t mivel kialakult az áramlás, így az utolsó tag közönséges deriváltként is írható például a fali nyomást alapul véve dx pw . Ebből belátható, hogy az össz-csúsztató feszültség τ = τl + τt a

következőképpen alakul:  y τ (y) = τw 1 − (10.3) δ Sa c Copyright 2010 - Lohász Máté Márton, Régert Tamás itt τw a fali csúsztató feszültség. 62 ó 63 já t V ha áz sz la ná t la v tra e r zi 10.1 ábra Csuszatófeszültség eloszlás csatorna áramlásban 10.2 ábra A lamináris és a turbulens csuszatófeszültség eloszlás arányai csatorna áramlásban Sa c Copyright 2010 - Lohász Máté Márton, Régert Tamás 10. FEJEZET FALI ÁRAMLÁSOK 10. FEJEZET FALI ÁRAMLÁSOK 64 A csatorna áramlás egyértelműen jellemezhető a ρ, ν anyagjellemzőkkel a csatorna méretének felével δ és a létrejövő nyomásgradienssel. A nyomásgradiens helyett írhatjuk a súrlódási sebességet (uτ ) is, mivel: s r τw δ def uτ = = − d x pw (10.4) ρ ρ def uτ δ ν = δ δν függ- ó Így az y pozíció függő átlagsebesség profil a y/δ és a Reτ = vényeként általánosan a következőképpen írható: ha áz sz la

ná t la v tra e r zi y u = uτ F0 ( , Reτ ) (10.5) δ E helyett általában a dinamikailag fontosabb (mind a viszkózus feszültségben, mind a turbulencia produkciójában megjelenik) sebesség gradiensre írhatjuk a következő általános képletet: uτ  y y  , (10.6) dy u = Φ y δν δ itt áttértünk a fali és nagy létékkel származtatott relatív faltávolságokra, természetesen ez ekvivalens mintha Reτ -t használnánk, amely a két hosszlépték lépték viszonya. 10.12 A faltörvény já t V Prandtl feltette, hogy a fal közelében csak a viszkózus skála számít azaz: uτ  y  y  δ esetén. (10.7) dy u = ΦI y δν Vezessük be a fali léptékek segítségével a 2+ -os a dimenziótlan mennyiségeket: u def u+ = (10.8) uτ y def y+ = (10.9) δν (10.10) Így a sebesség függvény a következő alakra integrálható: Sa c Copyright 2010 - Lohász Máté Márton, Régert Tamás 10.11 Az átlagsebesség profil u+ = fw (y + ) + (10.11) + aminek a

legfontosabb üzenete, hogy u pusztán y -tól függ y  δ esetén. Mérések igazolják ezt a feltevést ráadásul általánosabb határrétegek esetén is 10. FEJEZET FALI ÁRAMLÁSOK 65 Viszkózus alapréteg Mivel a fal közelében csak τl jelentős, így könnyen kijön, hogy: (10.12) ez y + < 5-re nagyon jó közelítés. A logaritmikus faltörvény 1 κ y  δ és y +  1 esetén zi ΦI = ó A belső rétegben (y  δ), de faltól távolabb, már a viszkozitásnak sincs szerepe, így ΦI konstans lehet csak: (10.13) ha áz sz la ná t la v tra e r ez alapján a sebességprofilt kiintegrálva kapjuk a logaritmikus faltörvényt : u+ = 1 ln(y + ) + B κ (10.14) ahol mérések alapján κ ≈ 0,41 és B ≈ 5,2. 10.13 Sebesség defekt függvény A külső rétegben Φ pusztán y/δ-tól függ. Tartományok Hely Belső réteg Viszkózus fali réteg Viszkózus alapréteg Külső réteg Átfedés Logaritmikus ftv. Buffer zóna y < 0,1δ y + < 50

y+ < 5 y + > 50 y + > 50 és y < 0,1δ y + > 30 és y < 0,3δ 5 < y + < 30 já t V Tartomány Sa c Copyright 2010 - Lohász Máté Márton, Régert Tamás u+ = y + Definíció u -t csak uτ és y + határozza meg, U0 -tól és δ-tól függetle A csúsztató feszültség viszkózus része fontos. A Reynolds feszültség elhanyagolható τl -hez képest A viszkozitás direkt hatásai elhanyagolhatóak. 10.1 táblázat A fali áramlás tartományai Igaz a log tv. V ha áz sz la ná t la v tra e r zi ó 66 já t 10.3 ábra A csatorna áramlás tartományai Re szám függvényében Sa c Copyright 2010 - Lohász Máté Márton, Régert Tamás 10. FEJEZET FALI ÁRAMLÁSOK 10. FEJEZET FALI ÁRAMLÁSOK 67 Csúsztató feszültség függvény def Cf = τw 1 ρU02 2 τw 1 ρUb2 2 Reynolds feszültség tenzor = 2(uτ /U0 )2 (10.15) = 2(uτ /Ub )2 (10.16) ó def cf = ha áz sz la ná t la v tra e r zi A 10.4 ábrán látható a

Reynolds feszültség tenzor eloszlása a csatorna keresztmetszete mentén Ha ugyanezt a profilt a turbulens kinetikus energiával dimenziótlanítjuk a logaritmikus rétegben (50δν < y < 0,1δ) közelítőleg önhasonlóság figyelhető meg (10.5 ábra) u0i u0j /k közel állandó itt, emellett a P/ε arány is és a Sk/ε (10.6 ábra) úgyszintén Az u0i u0j /k értékek közel azonosak a homogén nyírás esetén tapasztaltakkal, P/ε egyensúlyban van és a viszkózus és a turbulens transzport kisebb az előbbieknél. A csatorna középtengelyén, mivel mind a nyírás, mind a Reynolds feszültség zérus, így a produkció is az. Erről az értékről növekszik a logaritmikus faltörvény tartományáig. A fal közeli réteg y + függését már korábban tárgyaltuk (10.7 ábra) Turbulens kinetikus energia mérleg já t V A 10.8 ábrán látható a turbulens kinetikus energia mérlegegyenlete A produkció y + = 12-nél éri el a maximumát, belátható, hogy

pontosan ott, ahol a viszkózus és a turbulens feszültség azonos értékű. Ezen a környéken a produkció sokkal nagyobb mint a disszipáció (P/ε ≈ 1,8) és a többlet energia elszállítódik a fal és a logaritmikus tartomány felé. A nyomás transzport kicsi, de turbulens transzport mindkét irányba jelentős. A viszkózus transzport a fal felé szállítja az energiát A disszipáció a falnál a legnagyobb, annak ellenére, hogy itt nincs ingadozó sebesség, ellenben a nyírás ingadozás nagy. A disszipációt itt a viszkózus transzport egyensúlyozza ki: ε = νd2y2 k ha y = 0 (10.17) Sa c Copyright 2010 - Lohász Máté Márton, Régert Tamás Szokás definiálnia a súrlódási tényezőt az átlag (Ub ) vagy a maximális sebességgel (U0 ): ha áz sz la ná t la v tra e r zi ó 68 já t V 10.4 ábra A Reynolds feszültség a tenzor csatorna keresztmetszetben Sa c Copyright 2010 - Lohász Máté Márton, Régert Tamás 10. FEJEZET FALI

ÁRAMLÁSOK 10.5 ábra A Reynolds feszültség a tenzor csatorna keresztmetszetben a turbulens kinetikus energiával dimenziótlanítva ha áz sz la ná t la v tra e r zi ó 69 já t V 10.6 ábra A k mérleg egyenlet tagjai csatornaáramlás esetén Sa c Copyright 2010 - Lohász Máté Márton, Régert Tamás 10. FEJEZET FALI ÁRAMLÁSOK 10.7 ábra A csatornaáramlás tartományai Re szám függvényében ha áz sz la ná t la v tra e r zi ó 70 10.8 ábra A csatornaáramlás tartományai Re szám függvényében 10.14 A logaritmikus faltörvény tulajdonságai A nyírás állandó: S = dy + u+ = dy u = uτ κy 1 κy + (10.18) (10.19) V A produkció és a disszipáció közel azonos: P≈ε (10.20) A normalizált Reynolds feszültség közel konstans: já t −u0 v 0 ≈ 0,3 (10.21) k Mivel kialakult 2D áramlás esetén P = Su0 v 0 , így a turbulencia és a nyírás időskálájának aránya a következőképpen írható, és így konstans. Sa

c Copyright 2010 - Lohász Máté Márton, Régert Tamás 10. FEJEZET FALI ÁRAMLÁSOK k u0 v 0 P ≈3 ε (10.22) 11. fejezet zi ó A koherens struktúra koncepció ha áz sz la ná t la v tra e r A koherens struktúra koncepció szerint a turbulencia nem pusztán véletlenszerű jelenség, hanem a turbulns ingadozások jelentős részét áramlási struktúrák mozgásaként képzelhetjük el. Így a Reynolds felbontás helyett egy hármas felbontást definiálunk, ahol tulajdonképpen az ingadozást bontjuk úgynevezett koherens és háttér turbulencia részekre. ϕ = ϕ + ϕ0ch + ϕ0bg (11.1) V ϕ0ch a koherens részt jelenti, míg ϕ0bg a turbulens hátteret. E szerint a megközelítés szerint a koherens résznek van fontosabb szerepe a turbulencia leírásában és egyben ezt a részt könyebb megérteni, befolyásolni. A koherens név onnan származik, hogy olyan struktúrákat keresünk amelyek a Kolmogorov skálákhoz mérve nagyok és hosszú ideig

megtartják főbb tulajdonságaikat. Sok turbulens áramlásokat megfigyelve intuitíve arra jutottak, hogy az áramlásban lévő forgó struktúrák azaok amelyek hosszú ideig eggyüt mozognak. Később látni fogjuk, hogy ez a megérzés többé-kevéssé igaznak bizonyult, azaz örvények a koherens stuktúrák. 11.1 Áramlások lokális jellemzése já t Áramlástanból már tanultuk, hogy a sebességmezőt egy pont környezetében a sebességvektor derivált tenzorával lehet jellemezni, így a pont környezében a sebesség egy totális deriváltként írható fel. ui (xl + δxj ) = ui (xl ) + ∂j ui δxj Sa c Copyright 2010 - Lohász Máté Márton, Régert Tamás def (11.2) Szintén tanultuk, hogy a derivált tenzort (Aij = ∂i uj ) érdemes három részre felbontani, elsőként szimmetrikus (Sij = 1/2(∂i uj + ∂j ui )) és antiszimmetrikus (Ωij = 1/2(∂i uj − ∂j ui )) részre bontjuk. Elvileg a szimmetrikus részt még tovább 71 72 s˙i (t)

= ∂j ui si (t) ó bonthatnánk a nyomára és a deviátor részére, de mivel összenyomható áramlásokat vizsgálunk, így a nyom zérus. A felbontás azért érdekes, mivel Ωij a forgásnak felel meg, Sij pedig a deformációnak Ez alapján logikus például, hogy a Navier-Stokes egyenletben a viszkozus erők Sij függvényeként irhatóak, ugyanis a folyadék forgása következtében nem keletkezik súrlódási erő. Ωij hatása forgásnak felel meg, mivel Ωji δxl egy kereszt szorzat ω × δx formájában írható fel aminek eredménye egy ω-ra és x merőleges sebességváltozás. A derivált tenzor ismeretében meghatározhatóak egy pont közelében az áramvonalak viselkedése. Legyen az áramvonal lokális Lagrange-i koordinátája s(t), ennek időbeli deriváltja megegyezik a lokális Euler-i sebességgel, azaz: (11.3) ha áz sz la ná t la v tra e r zi Ha egy pontban ∂j ui állandónak tekintjük, akkor ez egy közönséges előpsrendű lineáris

differenciál egyenlet rendszer, ennek megoldásainak viszgálatához érdemes a derivált tenzort saját koordináta rendszerében tekinteni. A saját koordináta rendszerbeli viselkedést a sajátértékek helyett a tenzor skalár invariánsaival is lehet jellemezni. P = −Aii (11.4) 1 2 1 (11.5) P − Aik Aki Q = 2 2 1 1 R = − P 3 + P Q − − Aik Akn Ani (11.6) 3 3 Összenyomhatatlan áramlásra P = 0, így a lokális áramképeket pusztán Q és R segítségével jellemezni lehet. A 111 ábrán látható milyen értékekhez milyen áramkép tartozik. 11.2 Koherens struktúra, örvény detektálás V 11.21 Örvényesség já t Eleinte a nagy örvényességű zónákat tekintették koherens struktúráknak, ez a megközelítés sok hasznos eredményt szolgáltatott szabad nyírórétegek viszgálatánál. Azonban a későbbiekben felismerték, hogy fallal határolt áramlások esetén a fal melletti nagy nyírás, nagy örvényességgel is együtt így ez a változó nem

használható koherens struktúrák detektálására. 11.22 Diszkrimináns kritérium Sa c Copyright 2010 - Lohász Máté Márton, Régert Tamás 11. FEJEZET A KOHERENS STRUKTÚRA KONCEPCIÓ A diszkrimináns módszernél abból indultak ki, hogy ha a lokális áramképben forgás van jelen akkor örvényről van szó, így a derivált tenzor diszkriminánsát tekin- ó zi ha áz sz la ná t la v tra e r V já t Sa c Copyright 2010 - Lohász Máté Márton, Régert Tamás 11. FEJEZET A KOHERENS STRUKTÚRA KONCEPCIÓ 11.1 ábra Lokális áramképek a Q-R síkban 73 11. FEJEZET A KOHERENS STRUKTÚRA KONCEPCIÓ 74 tik ami: 27 2 R + Q3 4 módon számítható, a D = 0 görbe a 11.1 ábrán látható (11.7) 11.23 Q kritérium ha áz sz la ná t la v tra e r zi ó Egy további koncepció szerint a Q > 0 tartományt tekintik örvénynek, ez látható, hogy a D > 0 tartomány részhalmaza, tehát szigorúbb kritérium. Részletesebben megérthetjük a Q > 0

feltétle jelentését, ha Q-t Sij és Ωij függvényeként írjuk összenyomhatatlan áramlásra:  1 (11.8) Q = − Sij Sij − Ωij Ωij 2 Ez alapján a képlet alapján láthatjuk, hogy Q > 0 forgás dominálta áramlást jelent. (Tetszőleges Bij Bij mennyiség a Bi j mennyiség Frobenius normájának négyzete) http://en.wikipediaorg/wiki/Frobenius norm További érdekesség, hogy a nyomásra vonatkozó Poisson egyenlet forrástagja a Q. ∂j ∂j p = ρQ (11.9) Ebből láthatjuk, hogy a Q által detektál örvények lokális nyomáscsökkenést okoznak. 11.24 λ2 kritérium já t V Ebben a módszerben az alapfeltevés az, hogy az örvények nyomáscsökkenést okoznak. Tehát a síkbeli nyomásminimumokat keressük, mivel az örvények hosszúkásak (a forgás irányában elnyúltak) így síkbeli nyomásminimumokat kell keresni Ezen felül azt is kikötjök, hogy a instacior nyirás miatti nyomásminimumok nem érdekelnek és továbbá , hogy a viszkozus

hatásokat szintén kihagyjuk a levezetés során. A Navier-Stokes egyenlet gradiensét véve, majd ennek szimmetrikus részét véve és az előbbiek alapján az instacioner és a viszkozus tagokat kihúzva a következő egyenletet kapjuk: 1 Ωik Ωkj + Sik Skj = − ∂i ∂j p ρ (11.10) Tehát a nyomás Hesse mátrixa a fentiek szerint számítható, ennek segítségével eldönthető, hogy lokális síkbeli minimumról van-e szó. Belátható, hogy amennyiben a mátrix nagyság szerint rendezett sajátértékeiből a második (λ2 ) negatív akkor van síkebeli minimuma a nyomásnak, így λ2 < 0 zónákat is tekinthetjük örvénynek. Sa c Copyright 2010 - Lohász Máté Márton, Régert Tamás D= 11. FEJEZET A KOHERENS STRUKTÚRA KONCEPCIÓ 75 já t V ha áz sz la ná t la v tra e r zi ó A fentieken túl még jó pár kritérium létezik, ezek közül elméleti szempontből jelentős egy a folyadékok Lagrange-i trajektoriája alapján javasolt, mivel

ez a kritérium közvetlenül a folyadékcsomag koherenciáját ellenőrzi, azaz, hogy közeli folyadékrészek milyen hossazn maradnak együtt. Az eredeti kritérium használta egyenlőre nehézkes, de ezen gondolat menet alapján ellenőrizték le, hogy a Q kritérium mennyiben különbözik a D-től. Belátható, hogy Q > esetén a D > 0 képest a forgás mellett az is biztosított, hogy az örvény koherens marad. Sa c Copyright 2010 - Lohász Máté Márton, Régert Tamás 11.25 Kritériumok és a koherencia 12. fejezet zi ó A RANS modellezés ha áz sz la ná t la v tra e r A Reynolds átlagolt modellezés (RANS=Reynolds Averaged Navier-Stokes) az a turbulencia modellezési fajta, amelyet még manapság is leggyakrabban használnak az ipari gyakorlatban. Ebben a megközelítésben az a cél, hogy a Reynolds átlagolt mennyiségeget meg tudjuk határozni. Ennek módja, hogy numerikusan megoldjuk a már korábban levezetett RANS egyenletet. Ahogy azt láttuk ez

az egyenlet a konvektív tag nemlinearitása miatt nem képez zárt rendszert, megjelenik a Reynolds feszültség tenzor, amely új változó a Reynolds átlagolt sebességkomponensekhez (ui ) és a nyomáshoz (p ) képest. 12.1 Örvényviszkozitás modell já t V Tehát összefoglalva a RANS modellezés feladta a Reynolds feszültség tenzor (u0i u0j ) modellezése a számítani kívánt mennyiségek segítségével (ui , p ). Esetleg új közbülső mennyiségeket fogunk definiálni amelyeket szintén számítunk Mivel korábban már láttuk hogy a turbulencia egyik legfontosabb tulajdonsága mérnöki szemmel az, hogy növeli a diffúziót, a modellezésnek érdemes erre fokuszálnia. Továbbá analógiát fedezhetünk föl a kinetikus gázelmélet molekulái és a turbulens áramlás folyadékcsomagjai között. Ezt az analógiát már közel száz éve megtették, annak ellenére, hogy nem volt olyan tiszta képük a koherens struktúrák mibenlétéről mint manapság. Mi

már láthattuk a koherens struktúra koncepció alkalmazásaiban, hogy a sebességingadozások nagyrészt megérhetőek a struktúrák sebességmezőjeként, mozgásaként. A kinetikus gázelmélet alapján a viszkózus feszültség tenzor felírható a deformáció tenzor skalár szorosaként, amely skalárt dinamikai viszkozitásnak nevezünk, ha tömegegységre vesszük, akkor: Sa c Copyright 2010 - Lohász Máté Márton, Régert Tamás Φij = 2νSij 76 (12.1) 12. FEJEZET A RANS MODELLEZÉS 77 2 u0i u0j − kδij = −2νt Sij 3 (12.2) ó A határréteg egyenletben láttuk, hogy pusztán a u0 v 0 tagnak van szerepe, ezért ezt érdemes külön kiírni: u0 v 0 = −νt dy u (12.3) def u0 v 0 dy u (12.4) ha áz sz la ná t la v tra e r νtd = − zi Ílyen egyszerű esetben akár definiálhatnánk a turbulens viszkozitást ezzel a képlettel és csak az maradna a kérdés, hogyan lehetne az értékét modellezni: A következőekben nézzük meg valójában

mit is tételeztünk fel ezzel a modellel és milyen esetekben helytálló a feltevés. 12.11 Az összefüggés lokális já t V Az első fontos tulajdonsága a modellnek, hogy lokális turbulenciát feltételez, azaz a Reynolds feszültség tenzort a vele azonos pontban lévő áramlási állapotból számolja, konkrétan a deformáció tenzorból. Először lássunk egy példát miért nem igaz ez a feltevés. Készíthető olyan szélcsatorna amelyben a deformáció egy áramvonal mentén lépcsősen változik, egy ilyen látható a 12.1 ábrán A belépésnél lévő rács közel homogén turbulenciát kelt, Sa c Copyright 2010 - Lohász Máté Márton, Régert Tamás Ennek alapján modellezhetjük a Reynolds feszültség tenzort is egy turbulens viszkozitás (νt ) bevezetésével, de mivel a Reynolds feszültség tenzor nyoma a turbulens kinetikus energia kétszerese és a deformáció tenzor nyoma a kontinuitás miatt zérus, így csak az anizotrópia tenzort

modellezhetjük eképpen: 12.1 ábra Hossz mentén lépcsősen változó deformációt létrehozó szélcsatorna 12. FEJEZET A RANS MODELLEZÉS 78 ó zi ha áz sz la ná t la v tra e r 12.2 ábra Hossz mentén lépcsősen változó deformációt létrehozó szélcsatornában az anizotrópia alakulása já t V hogy a turbulencia a konfúzorban a hossz mentén fokozatosan anizotroppá válik, majd a konfúzort elhagyva fokozatosan ismét visszatér az izotrop állapot felé. Klasszikusan ez az a jelenség amit lokális modellünk nem tud előrejelezni, mivel a modell szerint a turbulencia anizotrópiája minden egyes pontban megegyezik a deformáció anizotrópiájával, azaz az összefüggés lokális. A mérésekből látjuk, hogy a valóságban az anizotrópia lassan követi a deformáció tenzort. Ennek a hibának az oka a kinetikus gázelmélettel való összevetés alapján látszik: Molekuláris szinten a deformáció időléptéke sokkal nagyobb mint a

feszültségek kialakulása, azaz jól használható egy lokális modell. A turbulenciában ezzel szemben a turbulens időlétékek, akár még nagyobbak is lehetnek a deformáció időléptékénél. Korábbiakban láttuk, hogy tipikusan: Sa c Copyright 2010 - Lohász Máté Márton, Régert Tamás amely a korábban tanultak alapján elkezd lecsengeni. Ahogy a konfúzorba ér a folyadék onnantól folyamatosan az áramvonal mentén állandó deformáció állapotba kerül. A konfúzort elhagyva a deformáció ismét nullára csökken Ebben a szélcsatornában mért anizotrópia tenzor eloszlás látható a 122 ábrán Megfigyelhető, k ε 1 S ≈3 (12.5) 79 12.12 Az összefüggés lineáris ó Azaz a turbulencia lassan követi a deformációt, ahogy ezt láttuk. Fölmerül a kérdés miért használunk akkor ilyen modellt. A gyakorlatban előforduló áramlások esetében ritka, hogy gyorsan változik a deformáció, például a határréteg közelítésben

feltettük, hogy az áramlás irányában minden mennyiség lassan változik. Ilyen esetekben a lokális folyamtok jellemzőek és jól működhet a modell. Ha a lokális folyamatok a jellemzőek akkor a produkció és disszipáció közel azonos (P ≈ ε), például a fali határrétegek logaritmikus tartományában. Ellenpéldaképp mondható az előzőhöz hasonló, korábban tanult homogén nyírás (P > ε), vagy a csillapodó turbulencia (P = 0 és ε > 0). ha áz sz la ná t la v tra e r zi Az örvényviszkozitás modell második tulajdonsága, hogy lineáris kapcsolatot tételez fel a deformáció és a Reynolds feszültség tenzor között. Ezzel ellentétes viselkedést figyelhetünk meg homogén nyíró áramlásban Ott egyedül az Sxy komponens nem nulla, de korábbiakból tudjuk, hogy a hosszirányú ingadozás nagyobb mint a gradiens irányú (u02 > v 02 ). Ezt a viselkedést más néven úgy is mondhatjuk, hogy a deformáció Sij és az anizotrópia

tenzor aij nem egy irányba mutat. Az okokat keresve ismét a gázelmélethez lehet viszonyítani, ahol a feszültségtenzor anizotrópiája kicsi és jól működik a lineáris kapcsolat. Turbulens áramlásokban ezzel szemben jelentős az anizotrópia, például homogén nyírás esetén: − u0 v 0 ≈ 0,5 2 k 3 (12.6) V azaz a diagonálison kívüli elem fele egy tipikus átlóbeli elemnek. A modell ezen gyengéje az előzővel ellentétben azonban könnyen feloldható, mindössze nemlineáris modellt kell használni az anizotrópia tenzor kiszámításához, erre egy példa lehet: 1 2 δij ) aij = −2νt Sij + νt2 (Sik Ωkj − Ωik Skj ) + νt3 (Sik Skj − Skk 2 (12.7) já t 12.2 Az örvényviszkozitás meghatározása Amennyiben az örvényviszkozitás modellt elfogadtuk, a turbulencia modellezési feladatunk az örvényviszkozitás meghatározására redukálódott. Itt is követhetjük a kinetikus gázelmélet gondolatmenetét részben. Ezek alapján a

kinematikai viszkozitás egy úthossz (l0 ) és az ahhoz kapcsolódó sebességingadozásból (u0 ) számolható νt ∼ l 0 u 0 (12.8) Sa c Copyright 2010 - Lohász Máté Márton, Régert Tamás 12. FEJEZET A RANS MODELLEZÉS 12. FEJEZET A RANS MODELLEZÉS 80 A Prandtl-féle keveredési úthossz modellben a hossz a keveredési úthossz (l0 = = lm ). A sebességingadozás, azzal a feltevéssel számítható, hogy a keveredési úthossz távolságot megtevő folyadékrész megőrzi sebességét, így a következőképpen számítható: u0 = lm dy u (12.9) ó Természetesen ez a modell csak fal mellett alkalmazható, ennek általánosítását adta Smagorinsky: p (12.10) u0 = lm 2Sij Sij ha áz sz la ná t la v tra e r zi miszerint a sebességderivált helyett, a deformáció normáját vesszük. Egy másik megközelítés szerint amelyet Baldwin-Lomax modellnek is neveznek az örvényesség normáját érdemes használni: p u0 = lm 2Ωij Ωij (12.11) Ezen modelleknek

az a hiányossága továbbra is megmarad, hogy elő kell írni a keveredési úthossz térbeli eloszlását (lm = lm (xi )), ami jelentősen rontja a modell általánosságát. Ezen hiányosság ellenére a Baldwin-Lomax modellt még mindig használják, ha egyszerű modellre van szűkség és jól definiált faltávolság segítségével megadható a keveredési úthossz térbeli eloszlása, például forgógépek optimalizálásánál. 12.22 k-epszilon modell V Próbáljunk olyan modellt találni amelynél megszűnik a jellemző hossz ad-hoc jellege, ez esetben a sebességingadozást is célszerű lenne a hossztól függetlenül kifejezni. A sebességingadozás jellemzésére érdemes a turbulens kinetikus energia négyzetgyökét használni, mivel arról a korábbiakban már sok megfigyelést tettünk és transzport/mérleg egyenletet tudtunk rá levezetni. √ (12.12) u0 ∼ k já t Érdemes lenne ezek alapján a hosszléptékre is transzportegyenletet felírni, ezt

korábban meg is tették, de később rájöttek, hogy érdemesebb ε-al dolgozni, az úgyis szorosan összefügg a hosszléptékkel az energia kaszkád koncepció alapján (l0 ∼ 3/2 ∼ k ε ). Itt érdemes megfigyelni, hogy ezen feltevés P ≈ ε esetén áll fönn Ezek alapján a következőképpen írható az örvényviszkozitás: Sa c Copyright 2010 - Lohász Máté Márton, Régert Tamás 12.21 keveredési úthossz modell νt = Cν k2 ε (12.13) 12. FEJEZET A RANS MODELLEZÉS 81 k modell-egyenlet zi ó A korábbiakban levezettük a k transzportegyenletét, nézzük meg mely tagok azok amelyeket nem ismerünk. Az egyenlet bal oldalán áll k lokális és konvektív változása, ezek számíthatók, mivel a sebességet természetesen ismerni fogjuk és k-ra oldjuk meg az egyenletet, tehát az lesz a változónk. A produkció a Reynolds feszültség ismeretében számítható P = −aij Sij = 2νt Sij Sij (12.14) ha áz sz la ná t la v tra e r Érdemes

megfigyelni, hogy ez a tag ebben a közelítésben mindig pozitív, mivel Sij Sij egy négyzetszám és νt > 0. A disszipációra (ε) külön egyenletet tervezünk megoldani, tehát szintén ismertnek tekinthető A transzport tagot ellenben modelleznünk kell. A különböző skalár mennyiségek molekuláris transzportjához hasonlítva, gradiens diffúziós hipotézissel élhetünk : Tj = νt ∂j k σk (12.15) Itt a diffúziós tényezőt a momentum diffúziós tényező νt alapján σk Schmidt szám jellegű mennyiséggel átszámítva közelítjük. Összefoglalva: ν  t ∂t k + uj ∂j k = 2νt Sij Sij − ε − ∂j ∂j k (12.16) σk V itt természetesen k-ra nem kell összegezni. epszilon modell-egyenlet A disszipációt kétféle oldalról nézhetjük: já t – A nagy léptékek oldaláról, az energia kaszkád alapján, a léptékek közötti energia áram – A kis léptékek oldaláról a kis léptékeken való hővé alakulás Ugyan az utóbbi

megközelítés alapján tudnánk egyenletet levezetni ε = νs0ij s0ij re, de ez fizikailag nehezen követhető így inkább a nagy léptékek oldaláról szokás Sa c Copyright 2010 - Lohász Máté Márton, Régert Tamás ahol Cν az arányossághoz tartozó meghatározandó konstans. így persze elvileg bonyolultabb lett a feladat, mert egy változó helyett kettőt kell meghatároznunk, de abban bízunk, hogy ezt a két változó jobban fizikai, így könnyebb meghatározni. 82 közelíteni. Így a disszipációra pusztán analógia alapján a k egyenlethez hasonlóan írjuk föl: ν  ε ε t ∂t ε + uj ∂j ε = C1ε P − C2ε ε − ∂j ∂j ε (12.17) k k σε A baloldalra írtunk lokális és konvektív változást, a jobb oldalon a produkciót és disszipációt kε segítségével a helyes dimenzióra váltottuk át és C1ε -t és C2ε -t használjuk további korrekcióra. A transzport tagot szintén gradiens diffúziós hipotézissel írtuk σε Schmidt

szám felhasználásával ó A standard modell konstansai = = = = = 0,09 1,44 1,92 1 1,3 ha áz sz la ná t la v tra e r Cν C1ε C2ε σk σε zi A modell egyenletek konstansaira az eredeti verzióban a következő értékeket javasolták: (12.18) (12.19) (12.20) (12.21) (12.22) 12.23 A k-epszilon modell tulajdonságai Ebben a fejezetben néhány speciális esetben nézzük meg milyen megoldásokat ad az egyenletrendszer. Ezen elemzésben vizsgáljuk először a homogén turbulencia esetét, ekkor az egyenletrendszer a következő alakot ölti: V dt k = P − ε ε ε dt ε = C1ε P − C2ε ε k k (12.23) (12.24) Csillapodó turbulencia já t Csillapodó turbulencia esetén P = 0 így az egyenletrendszer könnyen megoldható: !−n t k(t) = k0 (12.25) t0 !−n−1 t (12.26) ε(t) = ε0 t0 Sa c Copyright 2010 - Lohász Máté Márton, Régert Tamás 12. FEJEZET A RANS MODELLEZÉS 12. FEJEZET A RANS MODELLEZÉS 83 ahogy a mérési eredmények

ismertetésénél is láttuk, itt azonban most ε-ra szóló egyenletből kijön n értéke is: 1 C2ε − 1 (12.27) azaz C2ε a turbulencia csillapodásához köthető együttható az ε egyenletben. zi Érdemes k és ε egyenletet egymással elosztani : !

P k dt = C2ε − 1 − C1ε − 1 ε ε ó Homogén nyírás (12.28) ha áz sz la ná t la v tra e r Ahogy korábban láttuk homogén nyírás esetén a turbulencia önhasonló, így a bal oldal zérus ez alapján a produkció és a disszipáció aránya kifejezhető: P C2ε − 1 = ε C1ε − 1 sztand. mod = 2,1 > 1,7 (12.29) azaz a standard modell együtthatók alapján a produkció és a disszipáció arányát homogén nyírás esetére túlbecsüljük. Mindenesetre láthattuk, hogy C2ε a produkció és a disszipáció arányát szabályozza Az epszilon egyenlet relaxációs tulajdonsága Ebben a fejezetben az ε egyenlet egy további tulajdonságát fogjuk megismerni. Először definiáljuk

turbulencia frekvenciáját: def V ω= ε k (12.30) já t ezt más néven (a definíció alapján) specifikus disszipációnak is szokás nevezni. Nyilvánvaló, hogy ezt a mennyiséget is használhatnánk egy turbulencia modell második egyenletének ε-hoz hasonlóan (látjuk majd, hogy szokás is használni). Tekintsünk egy nagyon egyszerű modellt ω-ra: Sa c Copyright 2010 - Lohász Máté Márton, Régert Tamás n= ω= S β (12.31) ahol β = 3 egy konstans. Ez modell egy algebrai modell, azaz pusztán lokális jellemző alapján adja meg ω értékét A modell annyiban logikus, hogy logaritmikus ≈ 3. faltörvény tartományában láttuk, hogy Sk ε 84 Ez a modell ellenben csillapodó turbulenciában rossz, mivel S = 0, ezzel szemben ε 6= 0 a modellel ellentétben, ugyanis ε > 0 okozza a turbulencia csil= 6, azaz a konstans függés helyes, de lapodását. Homogén nyírás esetén Sk ε β = 3 6= 6 érték helytelen. Próbáljunk az algebrai modell

helyett egy differenciálegyenletet írni amely relaxál a korábbi egyenlet felé: ! 2 S (12.32) dt ω 2 = −αω ω 2 − 2 β zi ó Látjuk, hogy ez alapján az egyenlet alapján (ω = Sβ )2 felé konvergál a megoldás αω frekvenciával. Ha ezt az egyenletet átírjuk ε változó, az látjuk, hogy a homogén turbulenciára vonatkozó ε egyenletet kapjuk a következő konstansokkal: ha áz sz la ná t la v tra e r α = 2(C2ε − 1) #1/2 " C2ε − 1 β = Cν (C1ε − 1) (12.33) (12.34) A logaritmikus tartományban V A modell egyenletek vizsgálata a logaritmikus tartományban azért különösen érdekes, mivel itt kap szerepet az ε egyenletben szereplő transzport tag. Ennek a tagnak fontos szerepe van abban is hogy sima megoldása legyen az egyenleteknek, a peremfeltételek hatása érződjön a számítási tartomány belsejében is, ne csak az áramvonalak mentén. Ha nagy Reynolds számú kialakult csatorna áramlást tekintünk a modell

egyenletrendszerünk a következő alakra egyszerűsödik: ! νt dy k (12.35) 0 = P − ε + dy σk ! ε ε νt 0 = C1ε P − C2ε ε + dy dy ε (12.36) k k σε já t Ha a logaritmikus tartományra fokuszálunk, ahol mint korábban láttuk P ≈ ≈ ε az egyenletrendszer tovább egyszerűsödik. A k egyenletben a diffúziós tag zérus, azaz k konstans a logaritmikus tartományban, ez a mérési eredményekkel közelítőleg egyezik is. Az ε egyenletben a P ≈ ε egy −(C2ε − C2ε ε2 /k) mértékű nyelőt eredményez, amely y − 2 szerint alakul. Ezt egyenlíti ki ε diffúziója SOK MINDEN HIÁNYZIK! A sebességderivált a logaritmikus faltörvény részében: Sa c Copyright 2010 - Lohász Máté Márton, Régert Tamás 12. FEJEZET A RANS MODELLEZÉS 12. FEJEZET A RANS MODELLEZÉS 1 κy (12.37) A produkció így: 1 κy (12.38) já t V ha áz sz la ná t la v tra e r zi ó P = dy u = Sa c Copyright 2010 - Lohász Máté Márton, Régert Tamás dy

u = 85 13. fejezet zi ó A nagy örvény szimuláció ha áz sz la ná t la v tra e r Ebben a fejezetben megismerkedünk a nagy örvény szimuláció alapgondolatával. A nagy örvény szimuláció az angol Large-Eddy Simulation magyar fordítása melynek rövidítése LES a magyar „köznyelvben” is használatos. Ez a megközelítés az előző fejezetben tárgyal RANS modellezéshez képest annyiban más, hogy ahogy a módszer neve is mutatja, nagyrészt turbulencia szimulációról és nem modellezésről van szó. 13.1 DNS já t V A turbulencia teljes szimulációját közvetlen numerikus szimulációnak nevezzük (angolul Direct Numerical Simulation, rövidítve DNS). Ebben a megközelítésben arról van szó, hogy a Navier-Stokes egyenletet numerikusan megoldjuk. Ahogy korábban láttuk, mivel a turbulencia kontinuum jelenség, ezért az egyenlet megoldásával pontosan a turbulens áramlást kapjuk. A probléma a numerikus megoldásban rejlik, ugyanis ahogy

szintén korábban láttuk, a turbulencia nagy létékei (l0 ), amely tipikusan a számítási tartomány léptékével egy nagyságrendbe esik, vagy némely esetben előírja a számítási tartomány méretét (pl. homogén izotrop turbulencia, korábban pl. a csillapodó turbulencia volt ilyen) és a legkisebb azaz a Kolmogorov lépték aránya erősen Reynolds szám függő. Ez azért érdekes mivel ez az arány arányos szükséges cellák számával, azaz a véges számítási kapacitás (mivel a számítások parallelizáció foka tipikusan kisebb mint 100%, így végtelen sok számítógép se segítene) miatt csak kis Reynolds számú turbulens áramlások számíthatóak közvetlen módon. Ugyan nyilvánvaló, érdemes megjegyezni, hogy a szimulációt mindig 3D-ben időfüggő módon végezzük és ha statisztikai átlagokra van szükségünk ezt időbeli átlagolással és homogén irányokban történő átlagolással közelítjük (az ergodicitás

feltételezésével). Így a szimuláció hossza is nyilván jelentős, sok időléptéknyi adatra van szükségünk pontos átlagok képzéséhez, Sa c Copyright 2010 - Lohász Máté Márton, Régert Tamás 86 13. FEJEZET A NAGY ÖRVÉNY SZIMULÁCIÓ 87 ahogy ezt korábban láttuk. ha áz sz la ná t la v tra e r zi ó A nagy örvény szimuláció a közvetlen numerikus szimuláció és Reynolds átlagolt modellezés előnyeit próbálja ötvözni, emellett a hátrányokat is sikerül ötvöznie. A megközelítés alapgondolata, hogy az energia kaszkád koncepció helyes és minden esetben alkalmazható az a megközelítés, hogy egy bizonyos mérettartomány alatt a turbulencia közel univerzális. Ezek alapján az javasoljuk, hogy a nagy örvényeket (Large-Eddy) szimuláljuk és csak a kisebbeket modellezzük, mivel azokat jóval könnyebb. Így a nehezen modellezhető nagy léptékeket szimuláljuk, tehát az eredmény pontosabb lesz, kicsiket modellezzük,

tehát nem kell a Kolmogorov létékek felbontására is képes finom hálón számolnunk, így a szimulációnk olcsóbb lesz. A hátrányok is természetesen megjelennek, az eredmény nem lesz tökéletes, de jóval lassabb, drágább lesz mint egy RANS. Ezek után nézzük meg, hogyan vezethető le a megoldandó egyenlet. 13.3 A LES egyenlet levezetése 13.31 A szűrés A nagy örvény szimuláció alapegyenletét hagyományosan a Navier-Stokes egyenlet térbeli szűrésével állítják elő, mi is ezt az utat követjük itt, lássuk hogyan simítható térben egy áramlási mennyiség. Definiáljuk az átlagolást a következőképpen: Z def hϕi (xj , t) = G∆ (ri ; xj ) ϕ(xj − ri , t)dri (13.1) V já t V ami egy G∆ , egy ∆ tipikus szélességű magfüggvénnyel képzett konvolúciós integrál, melyben V a teljes vizsgált tartomány, ahol ϕ(xj , t) értelmezve van. Itt G∆ -ra igaz, hogy az első változóban kompakt tartójú (matematikailag kevésbé

szabatosan: a nem nulla értékkészletű tartománya zárt). Ezen felül, hogy egy konstans függvény szűrtje önmaga legyen, a következőnek is igaznak kell lennie. Z G∆ (ri ; xj )dri = 1 (13.2) V Ha G∆ (ri ; xj ) homogén (a második változóban) és izotrop (az első változóban) azaz csak ri abszolút értéke számít a függvényben, azaz G∆ (|ri |) egyváltozós függvény. Pár tipikusan használható ilyen magfüggvény látható a 131 ábrán Sa c Copyright 2010 - Lohász Máté Márton, Régert Tamás 13.2 A nagy örvény szimuláció alapgondolata V ha áz sz la ná t la v tra e r zi ó 88 já t 13.1 ábra Néhány tipikus szűrésre használt magfüggvény Sa c Copyright 2010 - Lohász Máté Márton, Régert Tamás 13. FEJEZET A NAGY ÖRVÉNY SZIMULÁCIÓ 13. FEJEZET A NAGY ÖRVÉNY SZIMULÁCIÓ 89 V ha áz sz la ná t la v tra e r zi ó Megfigyelhetjük, hogy általános esetben (pl. az ábrán), az ingadozást szűrve nem

kapunk azonosan nullát. Ez például egy jelentős eltérés a Reynolds átlagoló operátorhoz viszonyítva, ahol sokszor kihasználtuk azt a tulajdonságot ami ebből következett, hogy a jelet másodszori átlagolása már hatástalan (ϕ = ϕ ) A magfügg- já t 13.2 ábra A szűrés hatása egy térbeli sebességeloszláson vényt spektrálisan is szokás definiálni és/vagy vizsgálni, mivel fontos látnunk azt a tulajdonságát, hogy egy bizonyos méretnél kisebb struktúrákat kiszűr. Ez utóbbi tulajdonság megfigyelhető a turbulencia energia spektrumát összehasonlítva a szűrt sebességmezőből képezett energiaspektrummal. Egy ilyen összehasonlítás Sa c Copyright 2010 - Lohász Máté Márton, Régert Tamás A simítás hatását jeleníti meg egy sebességkomponens értékén a 13.2 ábra Ugyanezen az ábrán látható a következőképpen definiált az átlagoláshoz tartozó fluktuáció: def ϕe = ϕ − hϕi (13.3) V ha áz sz la ná t la

v tra e r zi ó 90 já t 13.3 ábra A szűrés hatása egy analitikus spektrumon Sa c Copyright 2010 - Lohász Máté Márton, Régert Tamás 13. FEJEZET A NAGY ÖRVÉNY SZIMULÁCIÓ 91 látható a 13.3 ábrán Láthatjuk, hogy az amúgy is kis energia tartalmú mozgások kiszűrésre kerültek. A korábbi kaszkádos gondolatmenet alapján azt szokták javasolni, hogy helyezzük a szűrőnk vágási hullámhosszát a spektrum inerciális tartományába, mert így válik egyszerűvé a levágott örvények modellezése A spektrum vizsgálatával úgy tűnik, hogy ha az energia 80%-át szimuláljuk, körülbelül akkor járunk el az előbbiek szerint. 13.32 A szűrt egyenlet zi ó Ha az előbbi említett homogén, izotrop szűrőt használjuk, akkor az operátorunk kommutálni fog a deriválással és így a Navier-Stokes egyenlet szűrt alakja a következő: ∂i hui i = 0 ha áz sz la ná t la v tra e r 1 ∂t hui i + huj i ∂j hui i = − hpi + ν∂j

∂j hui i − ∂j τij ρ (13.4) (13.5) ahol τij a háló méret alatti (Sub Grid Scale, rövidítve SGS) feszültség tenzor, melynek neve még azokból az időkből származik, amikor a szűrű azonos volt a numerikus hálóval. Értéke a következő: def τij = hui uj i − hui i huj i (13.6) Ez az egyenlet formálisan teljesen megegyezik a Reynolds átlagolt NavierStokes egyenlettel, csak a modellezendő feszültség tenzor (τij ) jelentése lényegesen más. 13.33 Örvény viszkozitás modell V A leszűrt kis méretű örvényeket célszerű ismét örvény viszkozitás modellel megközelíteni: 1 τij − τkk δij = −2νt hsij i 3 (13.7) já t Smagorinsky modell Az örvényviszkozitást a Smagorinsky modellel szokás közelíteni: Sa c Copyright 2010 - Lohász Máté Márton, Régert Tamás 13. FEJEZET A NAGY ÖRVÉNY SZIMULÁCIÓ ahol νt = (Cs ∆)2 | hSi | def | hSi | = p 2sij sij (13.8) (13.9) 13. FEJEZET A NAGY ÖRVÉNY SZIMULÁCIÓ

92 A Smagorinsky modell hibái zi ó A Smagorinsky konstans  A konstans értékét többféleképpen meg lehet határozni. Egyik lehetőség egy modellspektrum alapján a 80%-os felbontott energiára törekedve, a lényegileg másik megoldás, pedig konkrét áramlást kiszámolni és megnézni mely értékkel kapjuk a legjobb eredményt. Sajnos ezzel a két módszerrel nem azonos értéket szokás kapni, sőt a második módszer eredménye áramlás függő. Különböző érték megfelelő csatorna áramlás és csillapodó turbulencia szimulációjához ha áz sz la ná t la v tra e r A Smagorinsky modell hibái leginkább onnan származnak, hogy míg egy modell célja a szűrőméret alatti folyamatok modellezése ehhez a deformáció tenzor „egészét” veszi figyelembe, azaz nem csak a kis léptékeket, hanem a nagy léptékű deformáció is jelentősen számít, így például lamináris cső vagy csatornaáramlásban is nagy mértékű turbulens

viszkozitást jelez, főként a fal mellett. Turbulens fal melletti áramlásoknál ezt a hibát különböző csillapító függvények segítségével redukálják, de ennek ellenére lamináris turbulens átcsapás modellezésére a modell alkalmatlan, mivel lamináris áramlásban is SGS feszültséget ad. Teljesen turbulens áramlásoknál mint korábban írtuk áramlásfüggő a megfelelő Cs érték azaz összetett áramlásokban nyílván hibás eredményre vezet. 13.34 Méret hasonlóság (scale similarity) modell V Ebben a modellben azt a feltevést tesszük, hogy az SGS feszültség tenzor közelíthető úgy is ha a feszültség tenzort a simított (számolt) sebességmező alapján számoljuk, azaz: def (13.10) τij = hhui i huj ii − hhui ii hhuj ii já t Ez a modell ugyan nagyon logikusnak és egyszerűnek tűnik azonban használatához explicite szűrni kell az eredmény sebességmezőt, ezen felül a tapasztalatok alapján nem eléggé disszipatív,

azaz nem nyeli el a nagy skálákról az inerciális tartományon keresztül érkező energiát, így az a számításban akkumulálódhat. Ennek a modellnek elméleti előnye, hogy a kis skálák alapján próbálja a kiszűrteket modellezni, így nem érzékeny a nagy léptékeken zajló folyamatokra, ami a Smagorinsky modell egy komoly hiányossága volt. Sa c Copyright 2010 - Lohász Máté Márton, Régert Tamás a deformáció egy normája. és Cs az úgynevezett Smagorinsky konstans, mely a modell egyetlen paramétere. Valójában természetesen a ∆ is a felhasználó által megadandó paraméter, elvileg a korábbiak alapján az áramlás közelítő ismeretében a 80%-os szabály alapján írjuk elő. 13. FEJEZET A NAGY ÖRVÉNY SZIMULÁCIÓ 93 A méret hasonlóság modellhez hasonlóan ebben a megközelítésben is a cél, hogy a kis léptékek segítségével próbáljuk modellezni a kiszűrt mennyiségeket. Itt ebből a célból definiálunk egy újabb

szűrés operátort (b 2), mely csak a szűrő méretében tér el az előzőtől. A szűrők és a megfelelő méretek a következőképpen állnak párban: hϕi ← ∆ b ϕ b ← ∆ (13.11) ó (13.12) ha áz sz la ná t la v tra e r ∆-nél nagyobb zi b > ∆. Legyen a továbbiakban ∆ Ennek segítségével ϕ a következőképpen bontható fel:   c c ϕ= hϕi + hϕi − hϕi + ϕe |{z} | {z } ∆|{z} alatti b (13.13) b és ∆ közötti ∆ Ez alapján láthatjuk, hogy három léptékre tudtuk bontani a változónkat. A hϕi − c a legkisebb felbontott skálát jelenti. − hϕi Nézzük meg hogyan alakul ez a mennyiség, ha két szűrőt azonosnak vesszük b (∆ = ∆). c = hϕi − hhϕii = hϕei (13.14) hϕi − hϕi {z } | hϕ−hϕii Ez alapján láthatjuk, hogy a legkisebb felbontott skála (az egyenlet bal oldala) azonos a legnagyobb fel nem bontott skálával (az egyenlet jobb oldala). Így célszerűnek tűnik a legkisebb felbontott

skála segítségével modellt készíteni Definiáljuk a két skála SGS feszültségeit: def V τij = hui uj i − hui i huj i def dd Tij = hu i uj i − hui ihuj i (13.15) (13.16) Ezekre a mennyiségekre levezethető a Germano azonosság. já t Germano azonosság dd Lij = Tij − τc ij = hui i huj i − hui ihuj i amely csupa számítható mennyiséget tartalmaz. Sa c Copyright 2010 - Lohász Máté Márton, Régert Tamás 13.35 A dinamikus modellezés (13.17) 13. FEJEZET A NAGY ÖRVÉNY SZIMULÁCIÓ 94 Dinamikus Smagorinsky modell ha áz sz la ná t la v tra e r zi ó 1 def τijd = τij − τkk δij = −2Cs ∆2 | hSi | hsij i (13.18) 3 1 def c hs d b 2 |hSi| Tijd = Tij − Tkk δij = −2Cs ∆ (13.19) ij i 3 Ezeket a modell egyenleteket beírhatjuk a Germano azonosságba, ez alapján Cs re hat egyenletet kapunk, Lilly javaslata alapján azt követeljük megy, hogy a hat egyenlet a legkisebb négyzetek értelmében legkisebb hibát tartalmazzon. Így

explicit képlet adható Cs kiszámítására A módszer így időről időre, pontról-pontra meghatározza Cs értékét és azzal végzi a szimulációt. Ennek előnye, hogy lamináris áramlásban a kívánt Cs = 0 előállhat A módszer praktikus alkalmazásánál stabilitási problémát jelent, hogy Cs negatív értéket is felvehet, ezért ekkor nullára szokás vágni, vagy ennek kiküszöbölése érdekében Cs értékét esetleges homogén irányok mentén vagy áramvonal mentén átlagolják. 13.36 Numerikus szempontok já t V A RANS egyenletre vonatkozó numerikus áramlástani megfontolások alapján tudhatjuk, hogy egy adott numerikus séma esetén az áramlás sajátosságai alapján választható meg az optimális numerikus háló. Annak ellenőrzésére, hogy megfelelő hálót használunk-e legjobb módszer az eredmény összevetése egy lényegesen sűrűbb háló eredményével, mivel a praktikusan használt numerikus módszerek esetén végtelen

sűrű hálón a differenciál egyenlet tökéletes megoldását kaphatnánk (persze itt kerekítési hibáktól pl. eltekintünk) Nagy örvény szimulációra esetén azonban sokkal óvatosabbnak kell lennünk a háló sűrítésével, mivel tudatosan használunk a DNS-hez képest jóval durvább hálót. Ezen felül hagyományosan a szűrőméretet a háló mérettel azonos méretűre szokták venni (innen a Sub Grid kifejezés), ez esetben azonban azonban a háló sűrítése a megoldandó egyenlet megváltoztatását is jelenti. A numerikus megoldás pontosságát ezek alapján nyilván a szűrőméret és a hálóméret arányának (∆/h) növelésével lehet csak vizsgálni. Tipikus eredmény, hogy körülbelül ∆/h = 4 esetén ad egy másodrendű séma elfogadható hibájú (1 − 5%) eredményt. Robusztus kódokban másodrendű séma tűnik a leghatékonyabbnak a számítási erőforrás igény, pontosság arányt tekintve így érdemes ezt az értéket

figyelembe venni. Ha ezt az eredményt összevetjük a hagyományosan használt ∆/h = 1 értékkel erősen csodálkozhatunk, miért tudtak mégis elfogadható eredményeket elérni. Sa c Copyright 2010 - Lohász Máté Márton, Régert Tamás Ha feltételezzük, hogy mindkét léptékű SGS feszültséget a Smagorinsky modellel határozzuk meg, az a következőképpen néz ki: 95 A válasz abban rejlik, hogy a numerikus hiba se sokkal rosszabb mint egy SGS modell, azaz numerikus megoldás hibája is a kis örvényeket modellezi. Ha ezt figyelembe vesszük, egyértelművé válik, hogy nem akarunk ∆/h = 4t használni, mivel annak erőforrás igénye közel 100(!)-szoros, azaz egy év alatt vagy 3 nap alatt kapunk eredményt. 13.4 Permfeltételek ó 13.41 Periodikus perem ha áz sz la ná t la v tra e r zi Akadémia tesztesetekben és az átlagáramkép szempontjából 2D áramlások esetén a homogén irányokban periodikus peremfeltételt szokás használni. Ezen

peremeknél az aránylag triviális numerikus implementáláson túl az egyetlen kérdés milyen távolságra legyenek a periodikus peremek. Mivel a valóságban nincs periodicitás az áramlásban ezért olyan nagy távolságot kell választani, amely garantálja, hogy a megoldás se legyen ilyen. A hosszlépték kétszeresére érdemes így elhelyezni a peremfeltételeket. 13.42 Belépő perem A belépő peremfeltételek megadása a RANS-hoz képest jelentősen komolyabb problémát okoz, mivel nem elég pusztán a Reynolds feszültség tenzor komponenseinek megadás, hanem a turbulens áramlási struktúrák időbeli lefutását kell megadni. Ezért a következő jól használható módszereket használják Külön segéd számítás V A legpontosabb módszer, ha külön áramlás irányában is periodikus szimulációt futtatunk és ennek eredményét írjuk elő. Az eredmény visszaforgatása já t Az előbbivel analóg de hatékonyabb megoldás (ráadásul pl.

vastagodó határrétegek esetén az előbbi módszer nem is alkalmazható közvetlenül), ha számítás belépés közeli zónája alapján generáljuk a belépő peremet valamilyen geometriai transzformációt is segítségül hívva. Szintetikus örvények generálása Sa c Copyright 2010 - Lohász Máté Márton, Régert Tamás 13. FEJEZET A NAGY ÖRVÉNY SZIMULÁCIÓ Szintén alkalmazható módszer, ha tényleges örvényeknek megfelelő áramképet írunk elő a belépésnél. Természetesen ennek közelítenie kell az előírt Reynolds 13. FEJEZET A NAGY ÖRVÉNY SZIMULÁCIÓ 96 feszültség tenzor és hosszlépték eloszlást. A fali peremfeltétel klasszikus LES számítás esetén triviálisan a súrlódásmentes fali perem, azonban mivel a turbulencia skálái a fal közelében kicsik, így szükséges szűrő azaz hálóméretről érdemes beszélni. Így a következő méretek szükségesek körülbelül: ó (13.20) (13.21) (13.22) zi y+ ≈ 1 x+

≈ 50 z + ≈ 10 − 20 ha áz sz la ná t la v tra e r Ennek oka a turbulens struktúrák méretében rejlik, láttuk, hogy a struktúrák hosszanti elrendeződésüek, ezért nincs szükség hosszanti irányban olyan finom felbontásra mint kereszt irányban. 13.44 Példa szükséges cellaszámra já t V Pl. 403 elég homogén turbulenciára Sa c Copyright 2010 - Lohász Máté Márton, Régert Tamás 13.43 Fali perem já t Sa ó zi ha áz sz la ná t la v tra e r V c Copyright 2010 - Lohász Máté Márton, Régert Tamás Irodalomjegyzék 97