Matematika | Középiskola » Az érintőnégyszög tétele

Converted by an unregistered version of HTMLtoRTF Converter 2.0 Please register: www.sautincom/orderhtm (this message is omitted in registered version) Bizonyítsa be, hogy egy síknégyszög akkor és csak akkor érintõnégyszög, ha két-két szemközti oldalának összege egyenlõ! Definíció: Azokat a konvex négyszögeket, amelynek oldalai egy körnek érintõi, érintõnégyszögeknek nevezzük. Az érintõnégyszögek belsejébe érintõ kört szerkeszthetünk. Belsõ szögeinek szögfelezõi egy pontban, a beírt kör középpontjában metszik egymást. A tétel két állítást tartalmaz: 1. Ha egy négyszög érintõnégyszög, akkor szemközti oldalainak összege egyenlõ 2. Ha egy négyszög szemközti oldalainak összege egyenlõ, akkor az a négyszög érintõnégyszög. 1. Elsõként az elsõ állítást bizonyítjuk Tudjuk, hogy egy körhöz külsõ pontból húzott érintõszakaszok hossza egyenlõ. Ezért a mellékelt ábra jelöléseit használva: AE = AH = a; BE

= BF = b; CF = CG = c; DH = DG = d. Így: AD + BC = (a + d) + (b + c), AB + CD = (a + b) +(c + d) Tehát: AD + BC = AB + CD Ezt kellett bizonyítani. 2. Bebizonyítható a tétel megfordítása is: ha egy négyszög szemközti oldalainak összege egyenlõ, akkor az a négyszög érintõnégyszög, tehát van oldalait érintõ kör. Legyen adott az ABCD négyszög, amelyre teljesül, hogy a szemközti oldalainak összege egyenlõ. A mellékelt ábra jelöléseivel: AB + CD = BC + AD Minden konvex négyszögbe lehet olyan kört szerkeszteni, amely érinti három oldalegyenesét. Tételezzük fel, hogy az ABCD négyszög nem paralelogramma, azaz van két nem párhuzamos oldala. Legyen ez a mellékelt ábra szerint az AD és BC oldal Az A és B csúcsok szögfelezõi kimetszik azt az O pontot, amely körül biztosan húzható olyan kör, amelyik érinti az AB, BC és az AD oldalakat. Indirekt módon fogjuk bizonyítani a tétel megfordítását! Tegyük fel, hogy ez az O középpontú kör

nem érinti a negyedik DC oldalt. Ekkor két lehetõség van: DC oldal vagy metszi a kört, vagy a körön kívül halad. Converted by an unregistered version of HTMLtoRTF Converter 2.0 Please register: www.sautincom/orderhtm (this message is omitted in registered version) Mindkét esetben lehet húzni a DC oldallal egy DC párhuzamost, amely érinti a kört. Az eredeti négyszögrõl, feltételeztük, hogy szemközti oldalainak összege AB + CD = BC + AD Az új ABCD érintõnégyszög és az eredeti ABCD négyszög oldalait vizsgálva, megállapíthatjuk a következõ egyenlõtlenségeket: DC > DC, hiszen az AD és BC szárak nem párhuzamosak, hanem összetartók. Másrészt BC és AD Ha tehát az AB + CD = BC + AD egyenlõségben jobb oldalon a BC és AD szakaszok helyére hosszabb, baloldalon a CD szakasz helyére a rövidebb CD írjuk, a baloldalt csökkentettük a jobb oldalt növeltük, tehát: AB + CD DC , hiszen az AD és BC szárak nem párhuzamosak, hanem

összetartók. Másrészt BC > BC és AD > AD Ha tehát az AB + CD = BC + AD egyenlõségben jobb oldalon a BC és AD szakaszok helyére rövidebb, baloldalon a CD szakasz helyére a nagyobb CD írjuk, a baloldalt növeltük, a jobb oldalt csökkentettük, tehát: AB + CD > BC + AD Mindkét esetben ellentmondásra jutottunk, hiszen az ABCD érintõnégyszög lévén, reá AB + CD = BC + AD egyenlõségnek teljesülnie kell. Ebbõl következik, hogy az a kiindulási feltevésünk volt helytelen, nevezetesen az, hogy bár az ABCD négyszög szemközti oldalainak összege egyenlõ, mégsem érintõnégyszög. Ebben az indirekt bizonyításban kihasználtuk, hogy az ABCD négyszög nem paralelogramma. A tétel megfordítása természetesen akkor is igaz, ha az ABCD négyszög paralelogramma, mert ha teljesül rá, hogy szemközti (és egyenlõ) oldalainak összege megegyezik, akkor az csak rombusz lehet. Ennek belsõ szögfelezõi pedig egy pontban metszik egymást, tehát

érintõnégyszög Nevezetes négyszögek közül érintõnégyszög a négyzet, a rombusz és a deltoid. Könnyû belátni, hogy a szimmetrikus trapéz nem minden esetben lehet érintõnégyszög. "Sejthetõ", hogy ha a trapéz túl "alacsony", vagy ha túl "magas", akkor nem lehet érintõnégyszög, nem lehet beírt kört szerkeszteni. A szimmetrikus trapéz csak abban az esetben érintõnégyszög, ha magassága mértani közepe párhuzamos oldalai hosszának. Ezt a következõ módon lehet bizonyítani Rajzoljunk egy kört és szerkesszünk köréje egy tetszõleges szimmetrikus trapézt. A mellékelt ábra jelölései szerint: AB = 2a; BC = AD = a + b; DC = 2c Az MBC derékszögû háromszögre felírva Pitagorasz tételét: Converted by an unregistered version of HTMLtoRTF Converter 2.0 Please register: www.sautincom/orderhtm (this message is omitted in registered version) m2 = (a + b)2 - (a - b)2. Zárójeleket felbonva: m2 = a2 + 2ab + b2 - a2

+ 2ab - b2 = 2a * 2b Azaz: m2 = AB * CD, ami éppen azt jelenti, hogy a szimmetrikus trapéz magassága mértani közepe a párhuzamos oldalak hosszának. Ez az összefüggés az ACD háromszög alapján is bizonyítható. Mivel a trapéz A és D csúcsainál lévõ szögek összege 180°, másrészt AC és DC szögfelezõk, ezért az ACD háromszögben az A és D csúcsnál lévõ szögek összege 90°. Ebbõl következik, hogy az ACD háromszög derékszögû, amelynek átfogóhoz tartozó magassága a kör sugara (r) mértani közepe az átfogó (a trapéz AD szára) két szeletének. Eszerint: r2 = ab Ezt 4-gyel szorozva (2r)2 = 2a * 2b. Ez éppen az állítás, hiszen 2r = m. Feladat: (Összefoglaló feladatgyûjtemény 1959. feladat) Igazolja, hogy ha egy szimmetrikus trapéz magassága mértani közepe az alapoknak (párhuzamos oldalaknak), akkor a trapéz érintõnégyszög. Megjegyzés: Ez a fenti állítás megfordítása. Megoldás: Az ABCD szimmetrikus trapéz magasságát

a C csúcsból meghúzva, kapjuk az MBC derékszögû háromszöget. Írjuk fel rá a Pitagorasz tételt: m2 = b2 - (a - c)2 / 4 A feladat feltétele szerint m2 = ac, ezért ezt az összefüggést a következõ alakba írhatjuk: ac + (a2 - 2ac + c2) / 4 = b2 Közös nevezõre hozás után: [(a + c) / 2]2 = b2 Mindkét oldalból négyzetgyököt vonva és 2-vel átszorozva: a + c = 2b Ez éppen azt jelenti, hogy a szemközti oldalak hosszainak összege egyenlõ, tehát a szimmetrikus trapéz ebben az esetben érintõnégyszög. fel | vissza | fõmenü