Matematika | Felsőoktatás » Wettl Ferenc - Mátrixok algebrája

Mátrixok algebrája Wettl Ferenc 2016. február 29 Wettl Ferenc Mátrixok algebrája 2016. február 29 1 / 54 1 2 Tartalom Mátrixm¶veletek Elemenkénti mátrixm¶veletek Mátrixszorzás Blokkmátrixok Mátrixszorzás alkalmazásai Bázisfelbontás Elemi mátrixok Vektorokra particionált mátrixok M¶veleti tulajdonságok Alapm¶veletek Inverz M¶veletek speciális mátrixokkal LU-felbontás Wettl Ferenc Mátrixok algebrája 2016. február 29 2 / 54 1 2 Mátrixm¶veletek Mátrixm¶veletek Elemenkénti mátrixm¶veletek Mátrixszorzás Blokkmátrixok Mátrixszorzás alkalmazásai Bázisfelbontás Elemi mátrixok Vektorokra particionált mátrixok M¶veleti tulajdonságok Alapm¶veletek Inverz M¶veletek speciális mátrixokkal LU-felbontás Wettl Ferenc Mátrixok algebrája 2016. február 29 3 / 54 1 2 Mátrixm¶veletek Elemenkénti mátrixm¶veletek Mátrixm¶veletek Elemenkénti mátrixm¶veletek Mátrixszorzás Blokkmátrixok Mátrixszorzás

alkalmazásai Bázisfelbontás Elemi mátrixok Vektorokra particionált mátrixok M¶veleti tulajdonságok Alapm¶veletek Inverz M¶veletek speciális mátrixokkal LU-felbontás Wettl Ferenc Mátrixok algebrája 2016. február 29 4 / 54 Mátrixm¶veletek Elemenkénti mátrixm¶veletek Elemenkénti mátrixm¶veletek D mátrixok összege: A + B = [aij ] + [bij ] := [aij + bij ] D zérusmátrix D mátrix skalárszorosa: c A = c [aij ] := [caij ] D mátrixok lineáris kombinációja Wettl Ferenc Mátrixok algebrája 2016. február 29 5 / 54 1 2 Mátrixm¶veletek Mátrixszorzás Mátrixm¶veletek Elemenkénti mátrixm¶veletek Mátrixszorzás Blokkmátrixok Mátrixszorzás alkalmazásai Bázisfelbontás Elemi mátrixok Vektorokra particionált mátrixok M¶veleti tulajdonságok Alapm¶veletek Inverz M¶veletek speciális mátrixokkal LU-felbontás Wettl Ferenc Mátrixok algebrája 2016. február 29 6 / 54 Mátrixm¶veletek Mátrixszorzás Lineáris

helyettesítések kompozíciója Tekintsük a következ® két lineáris helyettesítést: a = 5x + y + 4z x = 7s + 30k b = 4x + 4y + 2z és y = 24s + 105k c = 4x + 2y + 4z z = 8s + 40k Írjuk át táblázatba fejléccel: x y z a 5 1 4 b 4 4 2 c 4 2 4 s k x 7 30 y 24 105 z 8 40 (1) (2) A két lineáris helyettesítés egymásutánja ekvivalens az a = 91s + 415k b = 140s + 620k c = 108s + 490k Wettl Ferenc Mátrixok algebrája 2016. február 29 7 / 54 Mátrixm¶veletek Mátrixszorzás Lineáris helyettesítések kompozíciója x y z a 5 1 4 b 4 4 2 c 4 2 4 Wettl Ferenc s k x 7 30 y 24 105 z 8 40 s k a 91 415 b 140 620 c 108 490 Mátrixok algebrája 2016. február 29 8 / 54 Mátrixm¶veletek Mátrixszorzás Mátrixszorzás         ai 1 ai 2 1 2 . . btj          . ait      cij = Wettl Ferenc bj bj cij t X k =1 A B m×s t ×n feltéve, hogy s=t C = AB típusa

m×n aik bkj = ai ∗ · b∗j Mátrixok algebrája 2016. február 29 9 / 54 1 2 Mátrixm¶veletek Blokkmátrixok Mátrixm¶veletek Elemenkénti mátrixm¶veletek Mátrixszorzás Blokkmátrixok Mátrixszorzás alkalmazásai Bázisfelbontás Elemi mátrixok Vektorokra particionált mátrixok M¶veleti tulajdonságok Alapm¶veletek Inverz M¶veletek speciális mátrixokkal LU-felbontás Wettl Ferenc Mátrixok algebrája 2016. február 29 10 / 54 Mátrixm¶veletek Blokkmátrixok Blokkmátrixok Á Blokkmátrixok skalárral való szorzása és két azonos módon particionált blokkmátrix összeadása blokkonként is elvégezhet®, azaz c [Aij ] := [c Aij ], [Aij ] + [Bij ] := [Aij + Bij ]. Á Ha A = [Aik ]m×t , B = [Bkj ]t ×n két blokkmátrix, és minden k -ra az Aik blokk oszlopainak száma megegyezik Bkj sorainak számával, akkor a C = AB szorzat kiszámítható a szorzási szabály blokkokra való alkalmazásával t X Cij = Aik Bkj . k =1 Wettl Ferenc

Mátrixok algebrája 2016. február 29 11 / 54 Mátrixm¶veletek Blokkmátrixok Blokkmátrixok Példa (M¶veletek blokkmátrixokkal) 1 0 1 1 1 1 4 2 1 1 1 2 + 1 1 . 0 3 1 0 1 6 0      Elvégezhet®k a m¶veletek? Wettl Ferenc Mátrixok algebrája 2016. február 29 12 / 54 Mátrixm¶veletek Blokkmátrixok Blokkmátrixok                1 1 1 0 1 1 4  2 1     1 2 1 1      + 1 0 3  1 0 1 6   1      1 3 7 6 0 9     0    1 0 [1] [4] + 1 1   1 0 1 + 1 0         2    +  1 = 1   2 1 1 1   2 1 1 1   0 1 6 0 + + 0 3 1 1 0 3 2 1               2 6 1  2  1 4 2 6 = 3 5 + 1 1 = 4 6  = 4 6 Wettl Ferenc Mátrixok algebrája    7 9 7 2016. február 29 13 / 54 1 2 Mátrixm¶veletek Mátrixszorzás alkalmazásai

Mátrixm¶veletek Elemenkénti mátrixm¶veletek Mátrixszorzás Blokkmátrixok Mátrixszorzás alkalmazásai Bázisfelbontás Elemi mátrixok Vektorokra particionált mátrixok M¶veleti tulajdonságok Alapm¶veletek Inverz M¶veletek speciális mátrixokkal LU-felbontás Wettl Ferenc Mátrixok algebrája 2016. február 29 14 / 54 Mátrixm¶veletek Mátrixszorzás alkalmazásai Skaláris és diadikus szorzat, lineáris egyenletrendszer Á Skaláris szorzat: a b = a · b = a b + a b + . + an bn , T 1 1 2 2 Á Diadikus szorzat: u u    uv =   .  v  T 1  2  .  um uv u v   1 v 2 . 1 1 vn =  . 1  2  . u m v1 uv uv 1 2 2 2 . . . . . . u m v2 . u vn u vn   1  2 .  .  um vn Á Lineáris egyenletrendszer mátrixszorzatos alakja: Ax = b, szimultán egyenletrendszerek: AX = B. Á Lineáris helyettesítés mátrixszorzatos alakja: b = Ax Wettl Ferenc Mátrixok algebrája 2016.

február 29 15 / 54 Mátrixm¶veletek Mátrixszorzás alkalmazásai Mátrixszorzés és lineáris kommbináció T Mátrixszorzás és lineáris kombináció: A m × n-es mátrix, x n-dimenziós, y m-dimenziós vektor. Ekkor az Ax szorzat az A oszlopvektorainak a∗ x + a∗ x + · · · + a∗n xn 1 1 2 2 lineáris kombinációját, míg az yT A szorzat az A sorvektorainak a ∗ y + a ∗ y + · · · + am∗ ym 1 1 2 2 lineáris kombinációját adja. Wettl Ferenc Mátrixok algebrája 2016. február 29 16 / 54 Mátrixm¶veletek Mátrixszorzás alkalmazásai Báziscsere D Legyen B = { b1 , b2 , . , bn } és C = { c1 , c2 , , cn } az Fn két bázisa. A B bázisról a C -re való áttérés mátrixa: AC←B = [ [b ]C | [b ]C | · · · | [bn ]C ] 1 2 T Koordináták változása báziscserénél: [v]C = AC←B [v]B összefüggés. Wettl Ferenc Mátrixok algebrája 2016. február 29 17 / 54 1 2 Mátrixm¶veletek Bázisfelbontás

Mátrixm¶veletek Elemenkénti mátrixm¶veletek Mátrixszorzás Blokkmátrixok Mátrixszorzás alkalmazásai Bázisfelbontás Elemi mátrixok Vektorokra particionált mátrixok M¶veleti tulajdonságok Alapm¶veletek Inverz M¶veletek speciális mátrixokkal LU-felbontás Wettl Ferenc Mátrixok algebrája 2016. február 29 18 / 54 Mátrixm¶veletek Bázisfelbontás Bázisfelbontás Á Am×n mátrix redukált lépcs®s alakjának nemzérus soraiból álló r × n-es részmátrixát R (r = r(A)), R f®oszlopainak megfelel® A-beli oszlopok alkotta m × r -es részmátrixot B. Ekkor az R mátrix j -edik oszlopa megegyezik az A mátrix j -edik oszlopának a B oszlopai alkotta bázisban felírt koordinátás alakjával. Képletben: A∗j = BR∗j , azaz A = BR. Wettl Ferenc Mátrixok algebrája 2016. február 29 19 / 54 Mátrixm¶veletek Bázisfelbontás Bázisfelbontás 5 1 2 3 4 2 . P A = 2 4 8 6 1 2 7 0 −11 M     1 2 3 4 5 1 2 0 7 17 2 =⇒

0 0 1 −1 −4 . A = 2 4 8 6 1 2 7 0 −11 0 0 0 0 0   E mátrix els® két sora alkotja az R mátrixot, az A mátrix els® és harmadik oszlopa a B mátrixot, így a felbontás  1 3  5 1 2 3 4 1 2 0 7 17     2 = 2 8 = BR. A= 2 4 8 6 0 0 1 −1 −4 1 7 1 2 7 0 −11  Wettl Ferenc    Mátrixok algebrája 2016. február 29 20 / 54 1 2 Mátrixm¶veletek Elemi mátrixok Mátrixm¶veletek Elemenkénti mátrixm¶veletek Mátrixszorzás Blokkmátrixok Mátrixszorzás alkalmazásai Bázisfelbontás Elemi mátrixok Vektorokra particionált mátrixok M¶veleti tulajdonságok Alapm¶veletek Inverz M¶veletek speciális mátrixokkal LU-felbontás Wettl Ferenc Mátrixok algebrája 2016. február 29 21 / 54 Mátrixm¶veletek Elemi mátrixok Elemi mátrixok D Az In egységmátrixon végrehajtott egyetlen elemi sorm¶velettel kapott mátrixot elemi mátrixnak nevezzük.       P 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 2 0 1 0 0 0

0 1 0 0   0 0 1 0 , 1 0 0 0 0 5 0 0   0 0 1 0 , 0 0 0 1 0 1 0 0   0 0 1 0 , 0 0 0 1 0 1 0 0   0 0 1 0 . 0 0 0 1 T Legyen E az az elemi mátrix, melyet Im -b®l egy elemi sorm¶velettel kapunk. Ha ugyanezt a sorm¶veletet egy tetsz®leges m × n-es A mátrixra alkalmazzuk, akkor eredményül az EA mátrixot kapjuk. Wettl Ferenc Mátrixok algebrája 2016. február 29 22 / 54 Mátrixm¶veletek Elemi mátrixok Elemi mátrixok P a a a   a  = a a   a  a a  , a a a      1 0 0 0 a a a a 0 5 0 0 a  a  5a    = 5a   0 0 1 0 a   a a a , a a a 0 0 0 1 a      1 0 2 0 a a a + 2a a + 2a 0 1 0 0 a   a  a a   = , 0 0 1 0 a    a a a 0 0 0 1 a a a a 0 0  0 1  0 1 0 0 0 0 1 0 1 a11  0  a21  0 a31 0 a41  11

Wettl Ferenc 12   41 42 22 21 22 32 31 32 42 11 12 12 11  12 21 22 21 22 31 32 31 32 41 42 41 42 11 12 21 22 21 22 31 32 31 32 41 42 41 42 Mátrixok algebrája 11 31 12 32 2016. február 29 23 / 54 1 2 Mátrixm¶veletek Vektorokra particionált mátrixok Mátrixm¶veletek Elemenkénti mátrixm¶veletek Mátrixszorzás Blokkmátrixok Mátrixszorzás alkalmazásai Bázisfelbontás Elemi mátrixok Vektorokra particionált mátrixok M¶veleti tulajdonságok Alapm¶veletek Inverz M¶veletek speciális mátrixokkal LU-felbontás Wettl Ferenc Mátrixok algebrája 2016. február 29 24 / 54 Mátrixm¶veletek Vektorokra particionált mátrixok Sorvektorok · oszlopvektorok = m×1 m×n 1×n a∗  a ∗   AB =   .  b∗  .  am∗  1 2 1 Wettl Ferenc a ∗ b∗    a ∗ b∗ . b∗n =   . am ∗ b ∗   1 1 2 1 1 Mátrixok algebrája a ∗ b∗ a ∗ b∗

. . am∗ b∗ 1 2 2 2 a ∗ b∗n a ∗ b∗n   .  . . .  . am∗ b∗n . . 2 1  2 2016. február 29 25 / 54 Mátrixm¶veletek Vektorokra particionált mátrixok Mátrix · oszlopvektorok = 1×1 1×n C = AB = A b∗ 1×n  Wettl Ferenc 1 b∗ 2 . b∗n  =  Mátrixok algebrája Ab∗ 1 Ab∗ 2 . Ab∗n 2016. február 29  26 / 54 Mátrixm¶veletek Vektorokra particionált mátrixok Sorvektorok · mátrix = m×1 1×1 m×1 a∗ a ∗B  a∗   a ∗B     C = AB =   .  B =    .   .  am∗ am∗ B  1  2 Wettl Ferenc Mátrixok algebrája  1  2 2016. február 29 27 / 54 Mátrixm¶veletek Vektorokra particionált mátrixok Oszlopvektorok · sorvektorok = 1×t AB = + t ×1  a∗ 1 . a∗t   b∗ 1 +   .  = a∗1 b1∗ + a∗2 b2∗ + · · · + a∗t bt ∗ bt ∗ E felbontásban az AB mátrixot diádok

összegére bontottuk!           1 1    0 1 2  0  1  2   −2 0 = 1 1 + −2 0 + 1 1 3 4 5 3 4 5 1 1         0 0 −2 0 2 2 0 2 = + + = . 3 3 −8 0 5 5 0 8 Wettl Ferenc Mátrixok algebrája 2016. február 29 28 / 54 Mátrixm¶veletek Vektorokra particionált mátrixok Szorzat oszlopai és sorai T Az AB mátrix minden oszlopa az A oszlopainak lineáris kombinációja, és minden sora a B sorainak lineáris kombinációja. K r(AB) ⩽ min(r(A), r(B)) Wettl Ferenc Mátrixok algebrája 2016. február 29 29 / 54 1 2 M¶veleti tulajdonságok Mátrixm¶veletek Elemenkénti mátrixm¶veletek Mátrixszorzás Blokkmátrixok Mátrixszorzás alkalmazásai Bázisfelbontás Elemi mátrixok Vektorokra particionált mátrixok M¶veleti tulajdonságok Alapm¶veletek Inverz M¶veletek speciális mátrixokkal LU-felbontás Wettl Ferenc Mátrixok algebrája 2016. február 29 30 / 54 1 2 M¶veleti tulajdonságok Alapm¶veletek

Mátrixm¶veletek Elemenkénti mátrixm¶veletek Mátrixszorzás Blokkmátrixok Mátrixszorzás alkalmazásai Bázisfelbontás Elemi mátrixok Vektorokra particionált mátrixok M¶veleti tulajdonságok Alapm¶veletek Inverz M¶veletek speciális mátrixokkal LU-felbontás Wettl Ferenc Mátrixok algebrája 2016. február 29 31 / 54 M¶veleti tulajdonságok Alapm¶veletek Szorzás !! A mátrixszorzás nem kommutatív, azaz AB = BA nem áll fenn bármely két összeszorozható mátrixra. !! Ha AB = AC, akkor az A 6= O feltétel kevés ahhoz, hogy a B = C következtetésre jussunk. !! Az AB = O egyenl®ségb®l nem következik, hogy A vagy B a nullmátrix. csoportosíthatóság, asszociativitás Á A(BC) = (AB)C Á A(B + C) = AB + AC disztributivitás Á (A + B)C = AC + BC disztributivitás Á (c A)B = c (AB) = A(c B) Á Am×n On×t = Om×t szorzás nullmátrixszal Á Im Am×n = Am×n In = Am×n szorzás egységmátrixszal Wettl Ferenc Mátrixok algebrája 2016. február 29

32 / 54 M¶veleti tulajdonságok Alapm¶veletek Hatványozás Á Ak Am = Ak +m , Á (Ak )m = Akm , m Ak A0 = Ak +0 = Ak Wettl Ferenc A = In , 0 Mátrixok algebrája 2016. február 29 33 / 54 M¶veleti tulajdonságok Alapm¶veletek Transzponálás Á (AT )T = A, Á (A + C)T = AT + CT , Á (c A)T = c AT , Á (AB)T = BT AT . A T B T (AB)T B A AB Wettl Ferenc Mátrixok algebrája 2016. február 29 34 / 54 1 2 M¶veleti tulajdonságok Inverz Mátrixm¶veletek Elemenkénti mátrixm¶veletek Mátrixszorzás Blokkmátrixok Mátrixszorzás alkalmazásai Bázisfelbontás Elemi mátrixok Vektorokra particionált mátrixok M¶veleti tulajdonságok Alapm¶veletek Inverz M¶veletek speciális mátrixokkal LU-felbontás Wettl Ferenc Mátrixok algebrája 2016. február 29 35 / 54 M¶veleti tulajdonságok Inverz Osztás m A mátrixszorzás nem kommutatív ezért az AX = B és az YA = B egyenletek megoldása különböz® is lehet. D Balról és jobbról

való osztás (az egyik jele , a másiké /). AX = B YA = B P =⇒ X = AB =⇒ Y = B/A  1 2 2 3 -  1 2 3 4 ,   1 2 3 2 = , mert 3 4 −1 0 Wettl Ferenc B balról osztva A-val, B jobbról osztva A-val.   1 2 1 0 = , mert 2 3 −1 2   Mátrixok algebrája  1 2 2 3  1 0 −1 2 3 2 1 2 = −1 0 3 4  1 2 1 2 = 2 3 3 4        2016. február 29 és 36 / 54 M¶veleti tulajdonságok Inverz Inverz D A ∈ Fn×n . A invertálható, ha létezik olyan B mátrix, melyre AB = BA = In . A B mátrixot A inverzének nevezzük, és A−1 -nel jelöljük. A nem invertálható mátrixot szingulárisnak nevezzük. D Egy négyzetes A mátrixot nilpotensnek nevezünk, ha van olyan k pozitív egész, hogy Ak = O. Á I − A inverze nilpotens A esetén: Ak = O (I − A)−1 = I + A + A2 + . + Ak −1 B (I − A)(I + A + A2 + . + Ak −1 ) = I + A + A2 + . + Ak −1 − A − A2 − − Ak −1 − Ak = I − Ak =I Wettl Ferenc

Mátrixok algebrája 2016. február 29 37 / 54 M¶veleti tulajdonságok Inverz Inverz kiszámítása Á Minden elemi mátrix invertálható, nevezetesen egy sorm¶velet elemi mátrixának inverze megegyezik a sorm¶velet inverzének elemi mátrixával. T A négyzetes A mátrix pontosan akkor invertálható, ha létezik olyan B mátrix, hogy az AB = I és a BA = I feltételek egyike teljesül. Ha ilyen B mátrix létezik, az egyértelm¶. Á A négyzetes A mátrix invertálható, ha az [A|I] mátrix elemi sorm¶veletekkel [I|B] alakra hozható, ekkor A inverze B. Ha A redukált lépcs®s alakja nem az I mátrix, akkor A nem invertálható. B Az AX = I tekinthet® szimultán egyenletrendszernek, amelyet az [A|I] ⇒ [I|B] átalakítással oldunk meg! Wettl Ferenc Mátrixok algebrája 2016. február 29 38 / 54 M¶veleti tulajdonságok Inverz Inverz kiszámítása P Számítsuk ki az 1 2 3  A = 2 3 4 3 4 6   mátrix inverzét! M A kiküszöböléssel

oszloponként haladva:    1 2 3 1 0 0 2 3 4 0 1 0 ⇒ 0 3 4 6 0 0 1 0  1 0 −1 −3 2 0 1 2 2 0 0 1 1 −1 −2 Tehát Wettl Ferenc 1  2 1 0 0 −1 −2 −2 −3  −2 −3 1 0 ⇒ 0 1 1 0 0 −2 0 ⇒ 0 1 0 0 0 1 0 1  3  −2 A−1 =  0 0 1 3 −2. 1 −2 1 Mátrixok algebrája  0 1 0 3 −2 1 −2 1  2016. február 29 39 / 54 M¶veleti tulajdonságok Inverz Szorzat inverze B B− 1 AB B − A− 1 A Wettl Ferenc 1 A− 1 Mátrixok algebrája 2016. február 29 40 / 54 M¶veleti tulajdonságok Inverz Inverz tulajdonságai Tétel A és B n × n-es invertálható mátrixok, c 6= 0 skalár, k pozitív egész.
−1 = A, A−1 invertálható, és inverze A−1 1 − 1 c A invertálható, és inverze c A , AB invertálható, és inverze B−1 A−1 ,
−1
k Ak invertálható, és inverze Ak = A−1 , deníció szerint

ezt értjük A−k -n, A invertálható, és A T Wettl Ferenc T
−1 = A−1
T Mátrixok algebrája . 2016. február 29 41 / 54 M¶veleti tulajdonságok Inverz Inverz és az egyenletrendszerek Tétel A n × n-es mátrix. Ekvivalensek: A invertálható; az AX = B mátrixegyenlet bármely n × t -es B mátrixra egyértelm¶en megoldható; az Ax = b egyenletrendszer bármely n dimenziós b vektorra egyértelm¶en megoldható; a homogén lineáris Ax = 0 egyenletrendszernek a triviális x = 0 az egyetlen megoldása; A redukált lépcs®s alakja I; A el®áll elemi mátrixok szorzataként. Wettl Ferenc Mátrixok algebrája 2016. február 29 42 / 54 M¶veleti tulajdonságok Inverz Invertálhatóság Tétel A invertálható; A oszlopvektorai lineárisan függetlenek; A oszlopvektorai bázist alkotnak Rn -ben; A sorvektorai lineárisan függetlenek; A sorvektorai bázist alkotnak Rn -ben; r(A) = n. Wettl Ferenc Mátrixok algebrája 2016. február 29 43 / 54

M¶veleti tulajdonságok Inverz Szingularitás Tétel A szinguláris (azaz nem invertálható); A oszlopvektorai lineárisan összefügg®k; az A oszlopvektorai által kifeszített altér dimenziója kisebb n-nél; A sorvektorai lineárisan összefügg®k; az A sorvektorai által kifeszített altér dimenziója kisebb n-nél; A bármely lépcs®s alakjának (így redukált lépcs®s alakjának is) van zérus sora; r(A) < n. Wettl Ferenc Mátrixok algebrája 2016. február 29 44 / 54 M¶veleti tulajdonságok Inverz Báziscsere T B = { b1 , b2 , . , bn } és C = { c1 , c2 , , cn } az Rn két bázisa 1 Ekkor X− = In . C ←B = YB ←C , azaz XC ←B YB ←C      1 1 1 P R3 egy B = {b1 , b2 , b3 } bázisában: i = 1 , j = 2 , k = 3 . 1 B 2 B 4 B Írjuk fel B bázisvektorainak standard bázisbeli koordinátás alakját! M A B ← E áttérés mátrixa, azaz   1 1 1 XB←E = 1 2 3. 1 2 4 Az inverz oszlopvektorai adják a B

vektorainak E -beli alakját. −1 1 1 1 1 1 2 3 YE←B = X− = B←E 1 2 4  Wettl Ferenc Mátrixok algebrája 2 −2 1 3 −2. = −1 0 −1 1   2016. február 29 45 / 54 1 2 M¶veleti tulajdonságok M¶veletek speciális mátrixokkal Mátrixm¶veletek Elemenkénti mátrixm¶veletek Mátrixszorzás Blokkmátrixok Mátrixszorzás alkalmazásai Bázisfelbontás Elemi mátrixok Vektorokra particionált mátrixok M¶veleti tulajdonságok Alapm¶veletek Inverz M¶veletek speciális mátrixokkal LU-felbontás Wettl Ferenc Mátrixok algebrája 2016. február 29 46 / 54 M¶veleti tulajdonságok M¶veletek speciális mátrixokkal Speciális mátrixok D A diagonális mátrixok sorainak permutációjával kapott mátrixot kígyónak (más néven transzverzálisnak) nevezzük, speciálisan az egységmátrixból ugyanígy kapott mátrixot permutáló mátrixnak (más néven permutációmátrixnak) hívjuk. Á Bármely két azonos méret¶

permutáló mátrix szorzata és egy permutáló mátrix bármely egész kitev®s hatványa permutáló mátrix. Á Permutáló mátrix inverze megegyezik a transzponáltjával, azaz ha P permutáló mátrix, akkor P−1 = PT .      1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0     P PPT =  0 0 1 0 0 0 1 0 = 0 0 1 0. 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 Wettl Ferenc Mátrixok algebrája 2016. február 29 47 / 54 M¶veleti tulajdonságok M¶veletek speciális mátrixokkal Speciális mátrixok Á Fels® háromszögmátrixok összege, szorzata, és invertálható fels® háromszögmátrix inverze fels® háromszögmátrix. Analóg tétel igaz az alsó háromszögmátrixokra is. Egy háromszögmátrix pontosan akkor invertálható, ha f®átlóbeli elemeinek egyike sem zérus. Á Szimmetrikus mátrixok összege, skalárszorosa, inverze szimmetrikus. Ferdén szimmetrikus mátrixok összege, skalárszorosa, inverze ferdén

szimmetrikus. és egy ferdén Á Minden négyzetes mátrix el®áll egy szimmetrikus  1 1 T szimmetrikus mátrix összegeként: A = A+A + A − AT . |2 {z } |2 {z } szimmetrikus ferdén szimm. Á Az A A és az AA mátrixok tetsz®leges A mátrix esetén szimmetrikusak. T Wettl Ferenc T Mátrixok algebrája 2016. február 29 48 / 54 M¶veleti tulajdonságok M¶veletek speciális mátrixokkal Gyorsszorzás  Strassen-formulák Á Legyen A, B és C is 2 × 2-es. A C = AB szorzás elvégezhet® a következ® formulákkal: d = (a + a )(b + b ) d = (a + a )b d = a (b − b ) d = a (−b + b ) d = (a + a )b d = (−a + a )(b + b ) d = (a − a )(b + b ) 1 11 22 2 21 22 3 11 4 22 5 22 21 12 11 12 22 11 11 11 6 7 12 11 11 21 12 22 = d1 + d4 − d5 + d7 = d2 + d4 = d3 + d5 = d1 + d3 − d2 + d6 22 21 22 c c c c 11 21 12 22 m A standard mátrixszorzás m¶veletigénye 2n3 − n2 (n3 szorzás, n3 − n2 összeadás), ennek blokkmátrixokra

rekurzívan cnlog2 7 ≤ cn2.81 m cn2.376 (Coppersmith és Winograd, 1990) m Lebeg®pontos számokra numerikusan instabil Wettl Ferenc Mátrixok algebrája 2016. február 29 49 / 54 1 2 M¶veleti tulajdonságok LU-felbontás Mátrixm¶veletek Elemenkénti mátrixm¶veletek Mátrixszorzás Blokkmátrixok Mátrixszorzás alkalmazásai Bázisfelbontás Elemi mátrixok Vektorokra particionált mátrixok M¶veleti tulajdonságok Alapm¶veletek Inverz M¶veletek speciális mátrixokkal LU-felbontás Wettl Ferenc Mátrixok algebrája 2016. február 29 50 / 54 M¶veleti tulajdonságok LU-felbontás LU-felbontás D A = LU LU-felbontás, ha L alsó egység háromszögmátrix, U fels® háromszögmátrix.      0 1 1 0 b c = m nincs mindig: 1 0 a 1 0 d m Invertálható mátrixra egyértelm¶, különben nem feltétlenül: 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 = 0 1 0 0 0 0 0 a 1 0 0 0 0 0 0      m Mátrixinvertálás LU-felbontással: A = LU,

azaz LUX = I megoldása: AX = I ⇐⇒ LY = I, UX = Y. Wettl Ferenc Mátrixok algebrája 2016. február 29 51 / 54 M¶veleti tulajdonságok LU-felbontás LU memóriahasználata  1 0 0  4 1 2   4.00 1.00 2.00  1 0 2 4 1 4.00 1.00 1 1 2 4 2.00 1.00 2.00 4.00 0  0 4 1 ⇓  1 1/2 ⇓ 1  2  4.00 1.00 2.00 0 0 7/2 0 3.50 0.00 1 2 4  0.50 1.00 2.00 4.00 4.00 1.00 2.00  0.50 3.50 0.00 0.25 1.75 3.50 4.00 1.00 2.00  0.50 3.50 0.00 0.50 3.50 1 ⇓  1 1/2 1/4 1 1/2  ⇓ 0  0 4 1 2 1 0 0 7/2 0  1 7/4 7/2 0   ⇓    ⇓ 0  0 4 1 2 1 0 0 7/2 0  1 0 7/2 1/4 1/2 Wettl Ferenc 0  Mátrixok algebrája  0.25  2016. február 29 52 / 54 M¶veleti tulajdonságok LU-felbontás PLU-felbontás D PA = LU, azaz A = PT LU, P permutáló. m

nem csak négyzet alakúakra értelmezhet® 0 1 0 1 0 1 1 2 = 0 0 1  0 2 3 1 0 0 1/2     0 1 0 1 = 0 0 1  0 1 0 0 1/2   0 1 0 2 3 0 0 1 1 0 0  / 1 2   0  2 3 1 0 1 1  /2 m Egyenletrendszer megoldása PLU-val: Ax = b ⇐⇒ PAx = Pb ⇐⇒ LUx = Pb ⇐⇒ Ly = Pb és Ux = y Wettl Ferenc Mátrixok algebrája 2016. február 29 53 / 54 M¶veleti tulajdonságok LU-felbontás PLU       8 −4 4 −8 4 8 −4 −1 6 1 −7 4 3 3 4 −8 4  6 3 −9 6    1/4  2   1 4 4 −7 5 2  1 4 4 −7 5 2  3  4 −8 4 6 1 −7 4 8 −4 1  -1/4 1 −1 4 2 −5 3   4 3 −6 8 6 −8 3 −6 8 6 −8 4 4 3/4 0 −5 0 5 1  4 3 1/4 2  1  -1/4 4  3/4 −8 4  8 −4 0 5 4 3   1/4  2 4  3/4 1 −1   1 0 −5 -1/4 6 3 −9 2/3 0  6 −8 4  8 −4 0 5 4 3

  1/4  2 4  3/4 0 −5   1 1 −1 -1/4 6 3 −9 2/3 0  6 −8 4  8 −4 6 3 −9 0 5 2/3 0 6   0 −5  1 −1       −1 6 1 −7 4 1 0 0 0 4 −8 4 8 −4 0 1 0 0  1 4 4 −7 5  1/4 1 0 0 0 6 3 −9 6       0 0 0 1  4 −8 4 8 −4 =  3/4 0 1 0 0 0 5 0 −5 . 1 0 0 0 3 −6 8 6 −8 −1/4 2/3 0 1 0 0 0 1 −1 0 0 1 0 Wettl Ferenc Mátrixok algebrája 2016. február 29 54 / 54