Matematika | Felsőoktatás » Szabari Péterné - Biztosítási és pénzügyi matematika, aktuárius szakirány

Biztosítási és pénzügyi matematika, aktuárius szakirány Záróvizsga tételek Írta: Szabari Péterné 1. fejezet Szakmai törzsanyag 1.1 1 tétel Stacionárius folyamatok alapfogalmai, spektráls¶r¶ségfüggvény. Kötvények értéke és kockázata A stacionaritás alapötlete, hogy az a valószín¶ségi törvény, ami a folyamat viselkedését irányítja az id®vel ne változzon. 1.1 deníció Valószín¶ségi változók egy X1 , X2 , sorozatát id®sornak hívjuk, ha az index- paraméter id®ként is értelmezhet®. Általában az id®sor egymás utáni állapotai - akár jelent®sen - összefüggenek, ha az valamilyen jelenség id®beli fejl®dését írja le. A bizonyos értelemben stabil vagy stabilizálódott viselkedés¶ id®sort stacionáriusnak hívjuk. 1.2 deníció X1 , X2 , gyengén stacionárius, ha E(Xt ) konstans és cov(Xt , Xs ) = R(t − s) csak a t − s függvénye, azaz eltolásinvariáns. 1.3 deníció Az X1 , X2 , er®sen

stacionárius, ha véges dimenziós eloszlásai eltolásinvari- ánsak, azaz minden n és t1 , . , tn esetén (Xt1 , , Xtn ) ∼ (Xt1 +h , , Xtn +h ) 1.4 deníció X1 , X2 , k-adrendben stacionárius, ha a legfeljebb k-adrend¶ vegyes momen- tumai eltolásinvariánsak. Például X1 és X2 3 vegyes momentuma E(X1 X22 ) A gyengén stacionárius tulajdonság pontosan a másodrendben stacionárius tulajdonsággal megegyez®. Továbbá, ha er®sen stacionárius egy id®sor, akkor minden onárius, és Xt k -ra k -adrendben staci- eloszlása állandó. 1.5 deníció Az id®sor cov(X(t), X(s)) = R(t, s) kovarianciáit autokovariancia-függvénynek hívjuk. Stacionárius id®sorra R(t, s) = R(t−s), ami voltaképp egyváltozós, és R(0) = D2 X(t) = 2 σX . 1 1.6 deníció Az r(t) autokorreláció függvény stacionárius folyamatra: r(t) = R(t) R(0) = corr(X(h), X(t+ , ahol σX2 = D2 (X(h)) = D2 (X(t+h)) stacionárius esetben. Az r(t) = rt jelölés mellett az

autokorreláció mátrix: h)) = E((X(h)−E(X(h)))(X(h+t)−E(X(h+t)))) 2 σX Rk =  1 r1 r2   r1 1 r1   r1 1  r2  . . .  . . .  rk−1 rk−2 rk−3 ···  rk−1  rk−2    · · · rk−3  .    ··· 1 ··· 1.7 deníció Legyenek X, Y, Z valószín¶ségi változók, amelyekre X és Y Z -szerinti parciális kovarianciája cov(X, Y |Z) = E((X − E(X|Z))(Y − E(Y |Z))). X és Y Z -szerinti parciális cov(X,Y |Z) korrelációja pedig ρ(X, Y |Z) = (cov(X,X|Z)cov(Y,Y . |Z))1/2 A deníció hátterében az a motiváció áll, hogy a kovarianciával szemben, ami az X és Y közötti összefüggést mutatja meg nekünk, a parciális kovariancia szintén az összefüggés er®sségét fejezi ki, de akkor, ha Z -t ismerjük. 1.8 deníció Egy id®sor parciális autokorreláció-függvénye ρk = ρ(Xk+t , Xk |Xt+1 , , Xt+k−1 ) ∗ Rk (az összes köztes id®pontra van meggyelésünk). Itt ρk = det ,

ahol Rk∗ az Rk -ból kapható úgy, det Rk 2 2 −r1 hogy az utolsó sort az r1 , . , rk sorral helyettesítjük Ennek megfelel®en ρ1 = r1 és ρ2 = r1−r 2 . 1 1.9 állítás Az autokovariancia-függvény pozitív szemidenit, azaz minden t1 , . , tn id®pontra és α1 , , αn valós számokra Például az is el®fordulhat, hogy van egy minden egyes t n P n P αi αj R(|ti − tj |) ≥ 0 i=1 j=1 id®pontban torzítatlan becslésem, de összességében az autokovariancia függvény nem pozitív szemidenit. Ezért mégsem ezt a becslést választjuk, hanem egy olyat, amivel ugyan kapunk egy kis torzítást, de legalább pozitív szemidenit autokovarianciafüggvényünk lesz, más szóval nem lesz negatív a szórásnégyzet. A spektrum: Ha x(t) periodikus függvény p periódussal, azaz x(t) = x(t + kp) bármely k egészre és t valósra, akkor a Fourier felbontás: x(t) = ∞ X  an cos n=0 Legyen dn = 12 (an − ibn ), d0 = a0 és    2πn

2πn t + bn sin t p p d−n = 21 (an + ibn ). +∞ X x(t) = Ekkor dn eiλn t n=−∞ ahol λn = 2π n a szögfrekvencia, és p |dn | = p a2n + b2n az amplitúdó. Ha n® a peridódus hossza, 2π akkor csökken, így egyre közelebb kerülnek a szomszédos frekvenciák. Egy nem periodikus p 2 függvényre úgy is gondolhatunk, mint egy végtelen hosszú periódussal rendelkez® függvényre, ezért a frekvenciák távolsága 0, tehát a szumma integrálba megy át. Vágjuk le nevezzük x(t)-t a −T ≤ t ≤ T -ben, xT (t)-nek (T -vel és innen 2T hosszú periódusokkal terjesszük ki. Ezt majd tartani fogunk a végtelenbe). xT (t) = ∞ X an cos(λn t) + bn sin(λn t) = n=0 ahol λn = 2π n és 2T eiλn t -k xT (t)-re +∞ X van Fourier-felbontás: dn eiλn t n=−∞ RT ortogonálisak, azaz eiλn t eiλm t dt = 2T , ha λn = λm és egyébként 0. −T Átalakítások után a következ® kifejezést kaphatjuk: x(t) = +∞ X eiλn t pT

(λn )δλ n=−∞ RT x(u)e−iλn u du. −T Ez az összeg pedig a következ® integrál közelít® összege lesz, ha ahol δλ = λn − λn−1 , és pT (λ) = 1 2π T − ∞ és δλ − 0: Z+∞ x(t) = eiλt p(λ)dλ −∞ ahol p(λ) = 1 2π +∞ R x(u)e−iλu du. Ez a határátmenet azonban nem mindig végezhet® el, csak gyor- −∞ san lecseng® vagy korlátos tartójú függvényekre. Tehát a Fourier-transzformáltja. p(λ) persze pont az x(t) x(t) el®áll, mint egy p(λ) függvénynek inverz Fourier-transzformáltja. Az alábbi módon szokás felírni ezt: 1 x(t) = √ 2π Z+∞ G(λ)eiλt dλ, és −∞ 1 G(λ) = √ 2π Z+∞ x(t)e−iλt dt −∞ Ha nincs gyors lecsengés, akkor át kell írni az integrált mérték szerinti integrállá. Egy X(t) X(t, ω) = x(t) realizációja általában nem periodikus, és nem lecseng®, de +∞ R itλ megmutatható, hogy x(t) = e dΦ(λ) alakban már el®áll

(Fourier-Stieltjes-transzformáció). stacionárius folyamat −∞ A teljesítményt a következ® módon tudjuk értelmezni: Teljesítmény = ∞ P |dn |2 , vagyis az n=0 összteljesítmény az egyes frekvenciákhoz tartozó teljesítmények összege. Ha megjelenítjük a |dn |2 mennyiségeket a frekvencia függvényében, akkor diszkrét teljesítmény spektrumot kapunk. Most megnézzük, hogy mi van nem periodikus esetben: Legyen X(t) stacionárius folyamat. Ez minden ω -ra egy függvény. Tekintsük el®ször X(t) egy realizációját. Kérdés, hogy van-e ennek Fourier-sor (vagy integrál) felbontása Nincs, mivel 3 általában nem periodikus és nem lecseng®. Vágjuk le X(t)-t (−T, T )-ben, de most 0-val ter- jesszük ki, ne periodikusan. Ennek korlátos tartójúsága miatt már létezik Fourier-el®állítása: 1 XT (t) = √ 2π |GT (λ)|2 dλ-ra az XT (t) Z+∞ GT (λ)eiλt dλ, és −∞ úgy tekintünk, mint a összenergiájához. Most λ

és 1 GT (λ) = √ 2π λ + dλ 2 lim |GT (λ)| T −∞ Z+∞ XT (t)e−iλt dt −∞ közötti frekvenciájú tagok hozzájárulása nem létezik, hisz akkor Fourier-transzformált |GT (λ)|2 már véges 2T T −∞ lehet. Ha teljesül ez, akkor a limeszt teljesítménys¶r¶ségként interpretálhatjuk Viszont most is létezne. Inkánn vizsgáljuk meg a teljesítmény spektrumot, mert a lim csak egyetlen kiválasztott realizáció esetén kaptuk meg a határértéket, az egész folyamatra ez ω -nként változhat. Ezért el®bb a trajektóriákra átlagoljuk a szóbanforgó mennyiséget, s csak aztán vegyünk határértéket: 1.10 deníció Az X(t) teljesítmény spektrál-s¶r¶ségfüggvényének, vagy csak spektrumának a következ® függvényt nevezzük: |GT (λ)|2 ϕ(λ) = lim E T −∞ 2T Ez úgy interpretálható, hogy ϕ(λ)dλ a λ és λ + dλ közötti frekvenciájú tagok átlagos hozzá- járulása az összteljesítményhez. 1.11 tétel X(t) legyen

0 várható érték¶ stacionárius folyamat, ϕ(λ) spektráls¶r¶ségfügg- vénnyel és R(τ ) autokovariancia-függvénnyel. Ekkor ϕ(λ) az R(τ ) inverz Fourier-transzformáltja: 1 ϕ(λ) = 2π Z+∞ e−iλt R(t)dt −∞ A tétel valójában feltételt is nyújt arra vonatkozóan, hogy mikor létezik az s¶r¶ségfüggvénye, pontosan akkor, ha X(t) R(τ ) X(t) spektrál- autokovariancia-függvényének van Fourier- transzformáltja. Kötvények értéke és kockázata: Kötvény : A hitelviszonyt megtestesít® értékpapírok adott id®szakonkénti jövedelemre vonatkozó követelések. A kockázati tényez®k minimálisak mindaddig, amíg az értékpapír kibocsátója hitelképes. Az alapvet® x kamatozású értékpapír a kötvény A kötvény kölcsönmegállapodás keretében kibocsátott értékpapír. A megállapodás arra kötelezi a kibocsátót, hogy meghatározott id®pontokban meghatározott kizetéseket teljesítsen a kötvény tulajdonosának A

kötvény lejáratakor a kibocsátó kizeti a kötvénytulajdonos részére a kötvény névértékét. A névleges kamatláb a zetend® kamat meghatározására szolgál, az éves kamatzetés a névleges kamatláb és a névérték szorzata. Kötvénytípusok: 4 • Kamatszelvényes kötvények: A kötvény kibocsátója arra vállal garanciát, hogy adott id®pontokban a kötvény tulajdonosának kizeti a kötvény névértékének egy bizonyos százalékát (névleges kamatláb), lejáratkor (futamid® végén) pedig az utolsó kamatszelvény mellett a teljes névértéket is visszazeti. Ha a névérték egy részét már el®törlesztették, akkor a hátralév® kamatzetés mértéke csak a névérték még nem visszatörlesztett részére vonatkozik. • Lebeg® kamatozású kötvények: Úgy zet kamatot, hogy a kamatláb valamilyen jelenlegi piaci kamatlábhoz van kötve. Lebeg® kamatozásnál az a legnagyobb kockázat, hogy megváltozik a cég hitelképessége.

Bár a lebeg® kamatozású kötvény névleges kamatlába igazodik a piaci kamatlábak általános szintjének változásához, a cég pénzügyi helyzetében történt változásokhoz nem igazodik. • Elemi kötvények: Nincsenek kamatzetések, csupán a névértéket zeti vissza a kibocsátó a tulajdonosnak. Teljes hozamát az általa realizálható árfolyamnyereség adja Úgy is tekinthetünk rá, mintha egy kamatszelvényes kötvény lenne, 0% névleges kamatlábbal. Eladni csak névérték alatti áron lehet. • Államkötvények: Magyarországon az állam több futamid®re is bocsát ki kötvényeket. Az egy évnél rövidebb lejáratúakat diszkontkincstárjegyeknek nevezzük. Ezek után az állam nem zet kamatot, csak a névértéket kapjuk vissza. • Vállalati kötvények: Az államhoz hasonlóan a vállalatok is juthatnak pénzhez kötvények kibocsátásával. Magyarországon mondhatni nem létezik vállalati kötvénypiac Különböz® jogokat tartalmazó

kötvények: • Visszahívható kötvények: A kibocsátónak lehet®sége van, hogy már a kötvény futamidejének vége el®tt visszazesse a teljes névértéket. Ezáltal már nem kell több kamatszelvényt zetnie a kötvény tulajdonosának, tehát megsz¶nik a termék. Mivel ez a lehet®ség a kibocsátónak kedvez, a tulajdonosnak árt, ezért olcsóbban kell kínálnia, mint az azonos feltételekkel rendelkez® nem visszahívható kötvényt. • Visszaváltható kötvény: A kötvény tulajdonosa dönthet úgy, hogy a kibocsátó a lejárat el®tt zesse vissza a névértéket, ezzel sz¶njön meg a jöv®beli kamatzetés. Ez a tulajdonság a tulajdonosnak kedvez, tehát nyilván értékesebb egy ilyen kötvény, mint egy azonos paraméterekkel rendelkez® opciót nem tartalmazó kötvény. • Átváltható kötvények: Azt a lehet®séget biztosítja a tulajdonos számára, hogy a kötvényt átválthassa a cég meghatározott számú részvényére. Ez is egy a

tulajdonosnak kedvez® tulajdonság, tehát növeli a kötvény értékét. 5 A kötvények árazása : A kötvény értéke egyenl® a kamatszelvények jelenértéke + a névérték jelenértékével. Jelölje rt az eektív hozamot és Pt = T X t=1 yt Kamat (1 + r)t a loghozamot. + Névérték (1 + r)T , és Pt = T X Kamat · e−tyt + Névérték · e−T yT t=1 Amennyiben kockázatmentes kötvényr®l van szó, mint például egy államkötvény, a kockázatmentes hozamgörbe segítségével kell árazni. Ha a kötvény pénzáramlásai nem annyira biztonságosak, akkor a tulajdonosok magasabb hozamot várnak el t®le, tehát nagyobb hozammal kell diszkontálni. Ebb®l következik, hogy alacsonyabb lesz a kötvény értéke Kötvények hozama : A kötvény szelvényhozama csupán a kötvény által biztosított pénzbevételt méri a kötvényárfolyam százalékában, és nem vesz gyelembe semmilyen várható árfolyamnyereséget vagy veszteséget. •

Lejáratig számított hozam: Az a kamatláb, amellyel a kötvény pénzáramlásait diszkontálva épp a kötvény piaci árfolyamát kapjuk. Ez a kamatláb nem más, mint az az átlagos hozam, amit akkor érhetünk el, ha a kötvényt most megvesszük és a lejáratig tartjuk. A lejáratig számított hozam kiszámításához a diszkontrátára kell megoldanunk a kötvényárfolyam egyenletét, adott kötvényárfolyam esetén. • Visszahívásig számított hozam: Hasonlóan számítjuk, mint a lejáratig számított hozamot, azzal az eltéréssel, hogy a lejáratig hátralév® id® helyett a visszahívásig hátralév® id®vel számolunk, és a visszahívási árfolyam helyettesíti a névértéket. • Befektetési id®szakra számított hozam: A lejáratig számított hozammal ellentétben ez egy adott id®szakra számított ex post hozam, értéke attól függ, hogy az id®szak végén mennyi a kötvény piaci árfolyama. Például 100-ért vettünk egy kötvényt, ami

évi 8 kamatot zet, egy évig tartjuk és az év végén 104-et ér a piacon, majd eladjuk. Ekkor 8+104−100 100 HP R = = 12%. Kötvények kockázata : Kötvénytulajdonosként kétféle kockázatnak vagyunk kitéve: • Csökken a kötvényünk ára. (Ez csak akkor zavar minket, ha nem akarjuk lejáratig tartani) A kötvény árfolyam alakulása er®s összefüggésben van a kamatlábak alakulásával. Ezért a hozamgörbe változása nagymértékben kihat kötvényünk értékére. • A kötvény kibocsátója cs®dbe megy és nem zeti ki a további kamatokat illetve a t®két. 6 Kamatlábkockázat : A hozamgörbe megváltozására vett érzékenység a következ® félrugalmassággal kifejezhet®: T dP/P 1 X P V (CFt ) =− t dr 1 + r t=1 P Ezt az egyenletet módosított átlagid®nek hívjuk és maga az átlagid®, jele D. D∗ -al jelöljük, a szummás tag pedig Logkamatlábak esetén pedig ez a félrugalmasság D∗ − D. Maga az átlagid® a

pénzáramlások idejének egy súlyozott átlaga. Néhány tulajdonság az átlagid®re: • elemi kötvény átlagideje megegyezik a futamidejével • azonos lejárat esetén annak a kötvénynek nagyobb az átlagideje, amelyiknek alacsonyabb a névleges kamatlába • a kötvényportfólió átlagideje egyenl® a portfólióban szerepl® kötvények átlagidejének piaci értékkel súlyozott számtani átlagával • változó kamatozású kötvény átlagideje az aktuális kamatzetésig hátralév® id®vel azonos • az átlagid® formula csak vízszintes hozamgörbe mellett használható Az átlagid® csak a kismérték¶ kamatlábváltozások hatására bekövetkez® kötvényárfolyam változásokat írja le jól. Ahhoz, hogy a magasabb kamatlábváltozások hatását is gyelembe vegyük, szükségünk van a második deriváltra. Ez a konvexitás, vagy görbület: a kötvényárfolyam hozam szerinti második deriváltjának és az árfolyamnak a hányadosa. C=

T X t2 P V (CFt ) = D2 + V ar(t) t=1 ahol V ar(t) a kötvény kizetéseinek id®beli szóródását jelenti. Konvexitásra is igaz, hogy zárt a lineáris kombinációra nézve. A konvexitás pozitív tulajdonság, hiszen ha csökken a hozamgörbe, akkor sokat nyerünk, ha n®, akkor pedig keveset veszítünk. Tehát a konvexebb kötvénynek drágábbnak kell lennie Bázispontérték: hány Ft-tal változik meg a pozícióm értéke, ha a kamatláb 1 bázisponttal, azaz 0,01%-al változik. Hitelkockázat, avagy a nemzetés kockázata : Hogy ellensúlyozzák a nemzetés kockázatát, a vállalati kötvényeknek egy nemzetési prémiumot kell ajánlaniuk. A nemzetési prémium a vállalati kötvény ígért hozama és a vele mindenben megegyez®, de kockázatmentes államkötvény hozama közötti különbség. Ha a cég zet®képes marad, és valóban kizeti a befektet®nek az ígért pénzt, akkor a befektet® magasabb 7 lejáratig számított hozamot realizál, mint

amit államkötvény esetén realizálhatna. Ha azonban a kibocsátó cég cs®dbe megy, akkor a vállalati kötvény nagy valószín¶séggel alacsonyabb hozamot eredményez, mint az államkötvény. Tehát a vállalati kötvény kockázatosabb 1.2 2 tétel Egy és többdimenziós autoregresszív folyamatok (tulajdonságaik, becslések). Részvényárazási modellek. Az ε(t) folyamatot fehér zajnak nevezzük, ha E(ε(t)) = 0, ε(t) azonos eloszlású minden t-re és korrelálatlanok (nem feltétlen függetlenek). A fehér zaj autokovariancia-függvénye és R(τ ) = 0, ha R(0) = σ 2 τ ≥ 1. 1.12 deníció AR(1) Az X(t) els®rend¶ autoregresszió, ha X(t) = αX(t − 1) + σε ε(t) Az ε(t) független, azonos eloszlású valószín¶ségi változók, általában N (0, 1)-ek. E(X(t)) = 0 és X(t − 1) és ε(t) létezik stacionárius megoldás, akkor azaz 2 = σX σε2 1−α2 > 0. Így |α| ≥ 1 D2 X(t) = α2 D2 X(t − 1) + σε2 D2 ε(t).

függetlenek, ezért Ha 2 2 D2 X(t) = D2 X(t−1)-b®l következik, hogy σX = α 2 σX +σε2 , esetén nincs stacionárius megoldás (nem lenne véges, vagy nem lenne pozitív a szórásnégyzet). A független érték¶ zaj er®sen, a fehér zaj gyengén vagy másodrendben stacionárius. To+∞ P iλτ 1 1 σ2 vábbá ϕ(λ) = e R(τ ) = 2π R(0) = 2π , tehát a Fourier-transzformált konstans, így a 2π τ =−∞ spektrálmértéke minden frekvenciára azonos súlyt helyez. 1.13 állítás Ha |α| < 1, ε(t) fehér zaj, továbbá E(ε(t)2 ) < ∞, akkor létezik stacionárius megoldás. R(k) = cov(X(t), X(t + k)) = cov(X(t), αX(t + k − 1) + σε(t + k)) = αcov(X(t), X(t + k − 1)) = αR(k − 1), αk ami kielégíti a zaj nélküli rekurziót. Mivel σε2 , R(k) R(0) így 2 k R(k) = σX α = 1−α2 2 X(0) ∼ N (0, σX ), és az autokorreláció-függvény által az összes véges dimenziós eloszlás adott. és r(k) = = αk . 2 , R(0) = D2 X(t) =

σX A parciáis autokorreláció-függvény (PACF) Tegyük fel, hogy |α| < 1, ε(t) Ha ρ(k) = α, ha standard normális eloszlású, akkor k=1 és ρ(k) = 0, ha k ≥ 2. és iteráljuk az AR(1) egyenletet, ebb®l a következ®t fogjuk kapni: X(t) = ∞ X αu ε(t − u) u=0 AR(1) spektráls¶r¶ségfüggvénye: +∞ 0 P −iλt P 1 1 ϕ(λ) = 2π e R(t) = 2π e−iλt R(t) t=−∞ t=−∞ + 1 2π ∞ P t=0 e−iλt R(t) − R(0) = σε2 1 . 2π |1−αeiλ |2 1.14 deníció AR(2): Az X(t) folyamatot másodrend¶ autoregresszív folyamatnak nevezzük, ha X(t) = α1 X(t − 1) + α2 X(t − 2) + σε ε(t). 8 A karakterisztikus polinom legyyenek. A gyökök összege x2 − α 1 x − α 2 , α1 , melynek gyökei az egységkörön belül kell, hogy ebb®l rögtön következik, hogy a karakterisztikus polinomnak (ha gyökei valósak) az 1 illetve −2 < α1 < 2. −1 Ezen kívül helyen felvett értékeinek pozitívnak kell lenniük

(pozitív f®együttható miatt felfelé néz® parabola), amib®l adódik, hogy α2 + α1 < 1, valamint α2 − α1 < 1. Így az (α1 , α2 ) síkon ez utóbbi három egyenl®tlenség által meghatározott háromszögön belül lesznek a gyökök. Az autokovariancia-függvény függvény R(k) = α1 R(k − 1) + α2 R(k − 2), illetve az autokorreláció- r(k) = α1 r(k−1)+α2 r(k−2). A parciális autokorreláció-függvényre pedig ρ(1) = ρ(2) = α2 és ρ(k) = 0, ha α1 , 1−α2 k ≥ 3. 1.15 deníció AR(p): Az X(t) folyamatot p-edrend¶ autoregresszív folyamatnak nevezzük, ha X(t) = α1 X(t − 1) + α2 X(t − 2) + · · · + αp X(t − p) + σε ε(t) A karakterisztikus polinomja: P (x) = p P k=0 α ek xp−k , ahol α e0 = 1 és α ek = −αk . 1.16 tétel Az AR(p) egyenletnek pontosan akkor létezik eloszlását tekintve egyértelm¶, sta- cionárius megoldása, ha a karakterisztikus polinom gyökei az egységkörön belül vannak.

Ez a Gauss esetben er®sen stacionárius is. Nem stacionáriusan indított AR(p) pedig exponenciális sebességgel stacionarizálódik. 1.17 deníció B az eltolás vagy visszaléptetés operátor, ha BX(t) = X(t − 1), B 2 X(t) = X(t − 2) stb.  Ennek segítségével is felírható az autoregresszív folyamat: p P k=0 még a karakterisztikus polinomot így is felírni: α ek B k  X(t) = ε(t). Szokás p P α ek xk , erre igaz, hogy Pe(x) = xp P Pe(x) = 1 . x
k=0 Ennek gyökeinek az egységkörön kívül kell esniük. A spektrál-s¶r¶ségfüggvény a karakterisztikus polinommal kifejezve: 1 ϕ(λ) = σε2 2π 1 2. |P (eiλ | 1.18 állítás Stacionárius esetben a következ®k igazak az autokovariancia-függvényre: 1. R(0) = α1 R(1) + · · · + αp R(p) + σε2 2. R(τ ) = α1 R(τ − 1) + · · · + αp R(τ − p), ahol τ ≥ 1 Ezeket az egyenleteket nevezik Yule-Walker-egyenleteknek. Az AR(p) folyamat el®rejelzése a következ® módon végezhet®:

σεt , ezek szerint Xt = α1 Xt−1 + · · · + αp Xt−p + E(Xt |Xt−1 , Xt−2 , . ) = α1 Xt−1 + · · · + αp Xt−p + E(σεt |Xt−1 , Xt−2 , ), ahol ez az utolsó tag 0, mert a zaj jöv®je független a folyamat múltjától. A hiba szórásnégyzete D2 (Xt − E(Xt |Xt−1 , Xt−2 , . ) = D2 (σε εt ) = σε2 , Az AR(p) folyamatok paraméterbecslése : 9 és ez a legkisebb hibájú el®rejelzés. Els® a paraméterbecslés és csak utána következik a rendszelekció. A modellünk a következ®: X(t) = α1 X(t − 1) + · · · + αp X(t − p) + ε(t) Esetleg a várható érték sem 0, de ismeretlen konstans, (µ, α1 , . , αp , σε ) vannak, tehát Tegyük fel, hogy X(t) E(X(t)) = µ. P (z) = 1 − (α1 z + · · · + αp z p ) A modellparaméterek: gyökei az egységkörön belül stacionárius folyamat. Regresszióra hasonlít, de X(t) a függ® és a független változó is egyben (persze eltolással), így nem csak a változók,

hanem a meggyelések, esetek, sorok is korreláltak. A becslést nem, de a tulajdonságait, jóságát, eloszlását befolyásolja, a szokásos teszteket, kondenciaintervallumokat, szórásnégyzetet érvényteleníti. A legkisebb négyzetek módszere a regressziónak megfelel®n alkotható: X(t) = µ + α1 (X(t − 1) − µ) + · · · + αp (X(t − p) − µ) + ε(t) A következ® Q funkcionált kell minimalizálni: N X Q(µ, α1 , . , αp ) = ε(t) = t=p+1 Az ε2 (1), . , ε2 (p) N X 2 [X(t) − µ − α1 (X(t − 1) − µ) − · · · − αp (X(t − p) − µ)]2 t=p+1 tagokat ki kell hagyni, mert X(0), . , X(−p + 1) nem meggyelhet®. Nézzük most a likelihoodot Gauss generáló zaj esetén: El®ször AR(1)-re. Mivel µ) − α(X(t − 1) − µ) = ε(t) (X(t) − t ≥ 2-re X(1)-t®l  is, így T P f (x1 , . , xT ) = f (x1 )f (ε2 ) · · · f (εT ) és ez proporcionálisan f (x1 ) σT1−1 exp − 2σ1 2 ε2t . Ebb®l és ε(t)-k

függetlenek egymástól és ε ε felírható az adott kezd®érték melletti feltételes likelihood, azaz csak arányosan kapunk meg. Ez ugyanannak a t=2 f (X(2), . , X(T )|X(1)), amit Q funkcionálnak a minimalizálására vezet, mint a legkisebb négyzetek módszere. Ha a teljes (nem feltételes) likelihoodot nézzükk, akkor az viszont már nemlineáris legkisebb négyzetek módszerével kapható minimalizálásra vezet, viszont az eltérés a lineáristól kicsi, és nagyon gyorsan tart 0-hoz. Azt kapjuk, hogy µ̂ = X . A µ szerinti deriváltból kapott µ̂ az X -ra egyszer¶södött a véghatás elhanyagolásával. Írjuk ezt be az αj szerinti deriváltból adódó egyenletbe. Megint elhanyagolva a kezdeti hatást visszakapjuk a Yule-Walker egyenleteket a becsült autokovarianciákkal. R̂(j) = α̂1 R̂(j − 1) + · · · + α̂p R̂(j − p) ami mátrix alakban R̂p = R̂p α̂, ahol R̂p = (R̂1 , . , R̂p )T , α̂ = (α̂1 , , α̂p )T 10 és

R̂p =  R̂(0) R̂(1) . R̂(p − 1)B       R̂(1) R̂(0) . . . . . . . . . R̂(p − 1) R̂(p − 2) .   R̂(p − 2)    . .  .  R̂(0) Ezek az egyenletek azonosak a Yule-Walker egyenletekkel, amely az elméleti autokovariancia függvény összefüggését adja az elméleti paraméterekkel. A legkisebb négyzetek módszerével a következ®ket kapjuk: N −p 1 Q(µ̂, α̂1 , . , α̂p ) = N − 2p − 1 N − 2p − 1 A nevez® a meggyelések els® p elvész) és p+1 − σ̂ 2 = R̂(0) − r̂pT R̂p−1 r̂p = R̂(0) n o R̂(0) + α̂1 R̂(1) + · · · + α̂p R̂(p) a becsült paraméterek száma, mivel N −p meggyelés van (az becsült paraméter. A maximum likelihood becslés, ha ε (t)-t egy plussz ismeretlen paraméternek tekintjük, nem azonos a legkisebb négyzetek módszerével kapott becsléssel. σˆε 2 = A VAR modell: A g -változós 1 Q(µ̂, α̂1 , . , α̂p ) = R̂(0) + α̂1

R̂1 + · · · + α̂p R̂(p) N −p VAR(p) modell a következ® formulával adható meg: yt = φ0 + φ1 yt−1 + · · · + φp yt−p + ut ahol tag, yi , i = 0, 1, . , T egy g dimenziós stacionárius vektor folyamat, φi , i = 1, 2, . , p egy g × g méret¶ paraméter mátrix. Az ui φ0 egy g × 1-es konstans hibatagra a következ®k igazak: a várható értéke 0, nem tartalmaz autokorrelációt, de el®fordulhat benne egyidej¶ korreláció. Hátránya, hogy a változók növelésével kezelhetetlenül sok paraméter kerül a modellbe, valamint nagyon nehéz meghatározni a megfelel® késleltetési számot. A modell becslése : A VAR(p) modellt becsülhetjük legkisebb négyzetek módszerével, vagy maximum likelihood módon is. Ahhoz, hogy maximum likelihood becslést tudjunk használni, szükségünk van néhány feltételre az hibatagok eloszlásáról. Tegyük fel, hogy a hibatagok függetlenek, azonos eloszlásúak, többváltozós Gauss eloszlásúak,

0 várható értékkel és Ω kovarianciamátrixxal. Az yt feltételes eloszlása normális lesz. Ennek a normális eloszlásnak a paramétereit próbáljuk T P 1 megbecsülni. A hibatagok kovarianciamátrixának becslése: Ω̂ = ε̂t ε̂Tt . T t=1 Specikáció: a változók késleltetésszám meghatározása. A VAR modellben minden változó azonos késleltetésszámmal szerepel, aminek elméleti okai vannak. Kétféle módja van a késleltetésszám meghatározásának: 11 • Likelihood-arány teszt: a nullhipotézis szerint p0 , míg az ellenhipotézis szerint p1 > p0 . A hibatagokról tegyük fel, hogy normális eloszlásúak, ekkor a próbastatisztika a következ®: LR = T (log Ω̂0 − log Ω̂1 ), ahol Ω̂i a hibatagok becsült kovarianciamátrixa a null és χ2g2 (p1 −p0 az ellenhipotézis alatt. Ez a próbastatisztika eloszlású. Hátránya, hogy csak két lehetséges modell közötti döntést segíti el®re, de lehet, hogy valójában

egy harmadik modell a jó. • Információs kritériumok: háromféle van, jelölje  Akaike:  Schwarz/Bayes: log Ω̂ + k0 T  Hannan-Quinn: log Ω̂ + 2k0 T log Ω̂ + k0 az összes becsült paraméter számát: 2k0 T log(T ) log(log(T )) Impulzus válasz függvény : Felírása: a stacionárius VAR(p) modellnek létezik mozgóátlag reprezentációja, az ennek megfelel® VMA(∞) modell a következ®: yt = φ0 + ut + ψ1 ut−1 + · · · + ψs ut−s + · · · Ebb®l felírható a következ® mátrix:        i-edik változó s dyt+s dut = dy1,t+s du1,t dy2,t+s du1,t . . . dy1,t+s du2,t dy2,t+s du2,t . . . . dyg,t+s du1,t dyg,t+s du2,t . Ennek egy eleme mutatja hogy a korol az Ψs = j -edik . . . dy1,t+s dug,t dy2,t+s dug,t . . . dyg,t+s dug,t        változó egységnyi megváltozása milyen hatást gya- periódussal kés®bbi értékeire. Variancia felbontás : Az átlagos négyzetes hiba

segítségével kiszámolható, hogy a milyen arányban járul hozzá az s-periódusú j -edik ortogonalizált hibatag el®rejelzés átlagos négyzetes hibájához. s növeke- désével az átlagos négyzetes hiba tart a vektorfolyamat variancia-kovariancia mátrixához, ezért a variancia felbontás azt mutatja meg, hogy yi varianciájából mennyi uj következménye nagy s-re. Amit megkapunk az az, hogy az el®rejelzési hiba hány %-ban van a j -edik változóban. Granger-okság : Legyen kor y2 -nek y1 és y2 stacionárius. Ha egy meg kell el®znie a modellnek y1 -re y1 -et. y2 esemény okozója egy másik y1 Ez azt jelenti, hogy oksági viszony esetén vonatkozó el®rejelzését, amelyben 12 y2 eseménynek, ak- y2 javítja annak eddig nem szerepelt. Formálisan, y2 abban az esetben nem Granger-oka (y1,t , y1,t−1 , . ) y1n -nek minden s > 0-ra, ha az yt+s el®rejelzésnek az információn alapuló átlagos négyzetes hibája

megegyezik ugyanezen el®rejelzés (y1,t , y1,t−1 , . , y2,t , y2,t−1 , ) információn alapuló átlagos négyzetes hibájával. Késleltetésszám : Az autoregresszív folyamatoknál, hogy eldöntsük a késleltetésszámot a parciális autokorreláció függvényt kell nézni. Ha például a második vonal lóg ki utoljára a kondenciaintervallumból, akkor AR(2)-es modellet jó illeszteni. A VAR modellnél az információs kritériumokat nézzük meg, és az alapján döntünk, hogy milyen legyen a késleltetésszám. (Akaike, Schwartz-Bayesi, Hannan-Quinn). A stacionaritást a Dickey-Fuller teszt elvégzésével ellen®rizhetjük. Aminek nullhipotézise, hogy egységgyökfolyamatról van szó, tehát ha ezt elutasíthatjuk, akkor stacionárius a folyamatunk. Részvényárazási modellek: A részvény a részvénytársaság által kibocsátott tagsági és vagyoni jogokat megtestesít® értékpapír. A részvény névértéke a társaság jegyzett t®kéjének és a

forgalomban lév® részvények számának hányadosa. Nincs közgazdasági tartalma, mivel a részvények kibocsátása nem névértéken, hanem árfolyamon történik, és a részvények esetén nincs törlesztés, ami a névérték igazi értelmét adná. Az els®bbségi részvények fajtái: • osztalékels®bbségi részvény: osztalékot ®k is csak akkor kapnak, ha a társaság nyereséges, de elképzelhet®, hogy csak ®k kapnak, ha a nyereség kicsi. • szavazatels®bbségi részvény A részvény cash-owja egy valószín¶ségi változókból álló növekv® tagú örökjáradék. A részvény árfolyama ennek a jelenbeli egyenértékese Tehát a részvény értéke = a jöv®beli osztalékok jelenértéke. A részvényvásárláskor a befektetés id®tartama alatti osztalékok sorozatát + a befektetési id®szak alatti árfolyamnyereséget vásároljuk meg Egyik tényez® nagysága sem látható el®re pontosan. CAPM: Capital Asset Pricing Model: Intézményi

feltételei: (tökéletes piac) • nincsenek adók és tranzakciós költségek • az információszerzésnek nincs költsége • a kereskedés nyilvános • minden csere szabad (van rövidre eladás) 13 • minden értékpapír korlátlanul osztható • a hitelnyújtás- és felvétel rögzített kamatlábon történik A befektet®kre vonatkozó feltevések: • sok, piaci er®vel nem rendelkez® befektet® van • hasznosságfüggvényeik • racionálisak • várakozásaik homogének (ugyanaz lesz az érintési portfólió) • nincs egyéb forrásból származó jövedelmük a befektet®knek U (E(r), σ 2 ) alakúak A portfólió hozama a benne szerepl® papírok várható hozamának súlyozott számtani átlaga: E(Rp ) = N X wi E(ri ) i=1 ahol N a portfólióban szerepl® papírok száma, értékében és ri az i-edik wi az i-edik papír részaránya a portfólió piaci papír hozama. A portfólió varianciája: σp2 = N X N X

wi wj Covi,j = wT Cw i=1 j=1 A portfólió-választási probléma két kérdésre bontható: 1. Eszközallokációs döntés: a kockázatos rész összetétele 2. T®keallokációs döntés: kockázatos és kockázatmentes rész aránya 3. + Értékpapírkiválasztási döntés (tekinthet® az eszközallokáció nomításaként) Eszközallokációs döntés: Értékpapírok ábrázolása az egyenes tartalmazza a tökéletesen pozitív korrelációkat ciókat (ρ = −1) a következ® két egyenes: E(r) és (ρ = 1), σ térben. Az ®ket összeköt® a tökéletesen negatív korrelá- (Aértékpapír, (0, E(rp ))) és ((0, E(rp )), B értékpapír). Ezen háromszögön belüli rész pedig a tökéletlen korrelációkat tartalmazza. T®keallokációs döntés: Ugyanazen térben ábrázoljuk a t®keallokációs egyenest (CAL), amely rQ = αrp + (1 − α)rf , ahol rf a kockázatmentes értékpapír várható hozama. Ezen egyenes meredekségének mutatója a

Sharpe-mutató: S= 14 E(rp )−rf . σp A portfólióválasztási probléma optimumfeladata: Az eszközallokációs döntés lönböz® w min wT Cw úgy, hogy αwT r+(1−α)rf = µ. α,w meghatározása, míg a t®keallokációs döntés α megválasztása. Kü- µ-kre megoldva az eredmény a határportfóliók görbéje. Ha kockázatos és kockázatmen- tes eszköz is van, akkor a határportfóliók halmaza a t®keallokációs egyenes. A határportfólió tulajdonságai: • bármely határportfólió megkapható két különböz® határportfólió kombinációjaként • a határportfóliók Sharpe-mutató maximális • a kockázatmentes portfólió • az érintési portfólió (egy pont) olyan határportfólió, amely kizárólag kockázatos eszközökb®l áll (α = 0) határportfólió (α = 1). (a t®keallokációs egyenes és a csak kockázatos értékpapírokból létrehozott határportfóliók görbéjének metszéspontja) Következmények: •

Ha van érintési portfólió, bármely határportfólió el®állítható az értintési és a kockázatmentes kombinációjaként • Emiatt minden határportfólió kockázatos része azonos szerkezet¶ Hatékony portfóliók: az E(rY ) és σX ≤ σ Y , nincs olyan Y X portfólió hatékonyabb az Y portfóliónál, ha egyidej¶leg valamint legalább az egyik reláció szigorú. Az X E(rX ) ≥ portfólió hatékony, ha portfólió, ami nála hatékonyabb lenne. (A hatékony portfóliók a határportfóliók és letörölve bel®lük a lefelé görbül® részek.) Az optimális portfólió: a t®keallokációs egyenes és a közömbösségi görbék metszéspontja. A béta: Ha H határportfólió, akkor tetsz®leges E(rX ) = rf + A CovX,H az 2 σH X portfólió H -ra X portfólió várható hozamára: CovX,H (E(rH ) − rf ) 2 σH vonatkozó bétája (βX,H ). Végül tehát minden befektet® csak kockázatmentes eszközt és érintési portfóliót

tart. Ekkor egy befektet®t racionálisnak nevezünk A CAPM azt vizsgálja, hogy ha minden befektet® racionális, akkor mit lehet mondani az egyensúlyról. 1.19 tétel A CAPM állítása: Egyensúlyban a piaci portfólió hatékony (Piaci portfólió (M ) a t®keallokációs egyenes és a csak kockázatos értékpapírokból létrehozott határportfóliók görbéjének metszéspontja.) 15 Ennek a következménye, hogy egyensúlyban a piaci portfólió az érintési portfólió. T®kepiaci egyenesnek nevezzük a kockázatmentes értékpapír hozamát (a függ®leges tengelyen helyezkedik el) és M -et összeköt® egyenest.  E(rQ ) = rf + ( A t®kepiaci egyenes meredeksége Az értékpapír piaci egyenes: Az van) és M E(rM − rf σM  σQ E(rM −rf ) a kockázat egyensúlyi piaci ára. σM E(r) és β térben ábrázolva rf -et (a függ®leges egyenesen piaci portfóliót, majd ezeket összekötve kapjuk meg az értékpapír piaci egyenest. E(rX ) = rf +

(E(rM ) − rf )βX,M . A jól árazott értékpapírok rajta vannak az egyenesen, az alulárazottak felette vannak, a felülárazottak pedig alatta. A szórás a teljes kockázatot méri (CML), a béta csak a nem diverzikálható kockázatot méri (SML). A CAPM szerint csak a szisztematikus kockázat vállalásáért jár prémium Szisztematikus kockázat az, amit nem lehet diverzikációval megszüntetni (a gazdaság egészének m¶ködéséb®l fakad). Egyensúlyban a piaci portfólió hatékony, ezért ez az érintési portfólió is egyben. Ezek szerint mindenki a piaci portfólió és a kockázatmentes eszköz között osztja meg a vagyonát (CML). A jól ismert hozamegyenlettel minden értékpapír és portfólió várható hozama megadható (SML). Problémák a CAPM-el: • • Elméleti problémák:  túl sok racionalitást feltételez  csak a hozammal és a szórással foglalkozik  statikus és egyperiódusú  homogének a várakozások Gyakorlati

problémák:  nagyon sok adatot kell becsülni hozzá  a piaci portfólió megfoghatatlan  nem létezik kockázatmentes eszköz  a béta nem tökéletesen méri a kockázatot  adók hiánya Általános faktormodellek: Tegyük fel, hogy a hozamok alakulása leírható az alábbi lineáris modell segítségével: 16 ri = ai + bi1 F1 + · · · + bik Fk + εi F1 , . , Fk ahol közös tényez®k, faktorok, bij a j -edik faktorra való érzékenység, εi az egyedi (vállalat-specikus) kockázat. Az összefüggés nem a várható, hanem a tényleges hozamokra vonatkozik. Nem teszünk kikötést az eloszlásokra, csak annyit, hogy E(εi ) = 0, továbbá az εi egyedi kockázatok függetlenek egymástól és a faktoroktól, a faktorok is függetlenek egymástól. Az egyfaktoros modell, vagy indexmodell: egyetlen faktor egy jól diverzikálható piaci index, például Standard and Poors (SP). ri = αi + βi (rSP − rf ) + εi Egy értékpapír

kockázata: 2 σi2 = βi2 σSP +σε2i , és két értékpapír kovarianciája ezért Cov(ri , rj ) = 2 βi βj σSP . Faktorok lehetnek még: piaci index, ináció, hozamgörbe, devizaárfolyamok, GDP, munkanélküliség, olajár, ipari termelés, piaci volatilitás, siker, méret, t®keáttétel stb. Összességében szerény segítséget nyújt a modell az elvárt hozam meghatározásához. APT: Arbitrage Pricing Theory Ez egy alternatív elmélet a CAPM-el szemben. Az érvelés az egy ár törvényén alapul, arbitrázs kizárása Nincs szükség feltevésekkel élni a befektet®kr®l, helyette feltevés szükséges a hozamokat generáló folyamatról. A hozamokat az el®bb megismert faktormodell generálja Kell®en sok értékpapír van ahhoz, hogy létre lehessen hozni jól diverzikált portfóliókat. Egy portfólió (P ) jól diverzikált, ha benne az egyedi kockázatok elhanyagolhatóak. Ilyenkor az egyedi varianciák összege is elhanyagolható, ezért σP2 = k X

b2Pj σj2 j=1 ahol σj A a j -edik j -edik faktor szórása. faktorportfólió (F Pj ) olyan jól diverzikálható portfólió, melynek Fj -re vonatkozó bétája 1, a többi faktorra vonatkozó bétája pedig nulla. 1.20 tétel Minden jól diverzikált portfólió kockázati prémiuma megegyezik a faktorportfóliók kockázati prémiumainak bétákkal súlyozott összegével: E(rp ) − rf = k X bPj (E(rF Pj ) − rf ) j=1 Az indexmodellben a következ® összefüggést kapjuk, ha a zékenysége 0 és jól diverzikált: 17 P portfólió költsége 0, faktorér- E(rF P ) − rf = E(ri ) − rf βi A kockázat piaci ára a faktorportfólió kockázati prémiuma, vagyis az egységnyi kockázatra (bétára) jutó kockázati prémium. A CAPM és az APT összehasonlítása: CAPM APT Feltevések a befektet®kr®l és a piacról Feltevések a hozamokat generáló folyamatról Piaci egyensúly No-arbitrázs érvelés A hozamösszefüggés minden

értékpapírra A hozamösszefüggés minden jól diverzikáltra Rengeteg paraméter Kevesebb paraméter (faktormodell) Ha egy értékpapír félreárazott, minden Ha egy értékpapír félreárazott, elég egyes befektet¶ kis mérték¶ ha néhány befektet® észreveszi portfólió-kiigazítása szükséges az arbitrázslehet®séget, és az egyensúly helyreállításához a félreárazás megsz¶nik 1.3 3 tétel Id®sorok kointegrációja. Határid®s ügyletek használata és árazása Id®sorok kointegrációja: Tekintsük a legegyszer¶bb sztochasztikus trend modellt: yt = yt−1 + ut . 1.21 deníció Ha egy yt nem stacionárius id®sort d-szer dierenciálva (különbséget véve ∆yt ) stacionáriussá válik, akkor d rendben integráltnak nevezzük. Jelölése: yt ∼ I(d) Tehát ha yt ∼ I(d), akkor ∆d yt ∼ I(0). Az I(0) id®sorok stacionáriusak, az I(1) id®sorok már egy db egységgyököt tartalmaznak. 1.22 deníció Két id®sort akkor

nevezünk kointegráltnak, ha mindkett® I(1), de létezik egy olyan lineáris kombinációjuk, ami stacionárius. 1.23 deníció Általánosan: Két I(d) id®sort akkor nevezünk kointegráltnak, ha létezik olyan lineáris kombinációjuk, amely I(d − b), ahol d ≥ b > 0, azaz az integráltsági fok csökken. Példák a gazdaságból: • Tartós jövedelem modell: kointegráció van a jövedelem és a fogyasztás között • Pénz kereslet modell: kointegráció van a pénz, a jövedelem, az árak és a kamatlábak között • Termelés elmélet modell: kointegráció van a jövedelem, a fogyasztás és a befektetés között • Vásárló er® paritás: kointegráció van a nominális árfolyam és a külföldi és belföldi árak között 18 Korreláció kontra kointegráltság: Ha két részvény pozitívan korrelált, akkor áraik a legtöbb napon azonos irányban mozognak. De a pozitív korreláció nem mond semmit a két részvény hosszú távú

viselkedésér®l. Nincs garancia arra, hogy a részvény árak nem n®nek tovább és tovább hosszútávon, még ha majdnem minden nap azonos irányban mozognak is. Azonban, ha két részvény konintegrált és az is marad a jöv®ben, akkor az áruk nem fog valószín¶leg szétválni, mégha a napi hozamok nem is korreláltak. Hiba korrekciós modell: Legyen yt és xt két I(1) folyamat. Err®l a Dickey-Fuller teszt segítségével gy®z®dhetünk meg a gyakorlatban. A következ® modellt szeretnénk el®állítani: ∆yt = β1 ∆xt + β2 (yt−1 − γxt−1 ) + ut yb t − 1 − γxt−1 ahol tagot nevezzük hiba korrekciós tagnak. A módszer lépései: 1. Megbecsüljük a két változóból álló regressziót OLS becsléssel 2. Ha ennek a modellnek a hibatagja (ut ) stacionárius, akkor xt yt−1 = γxt−1 + ut−1 és yt kointegráltak. 3. Felépítjük az ECM modellt, OLS becsléssel el®állítjuk a regressziót ∆yt -b®l, ∆xt -b®l és ut−1

-b®l. Ezt a fajta módszert nevezik Engle-Granger két lépés módszernek. Arra kell gyelni, hogy az ut stacionaritását megvizsgáló tesztnél nem az alap kritikus értékeket kell használni. Hátrányai: • az egységgyök és kointegrációs tesztek kis er®vel bírnak véges mintákon • kénytelenek vagyunk kezelni a változók aszimmetrikusságát, miszerint, hogy valamelyik függ®, másikat magyarázó változónak használunk Johansen-féle módszer: A Johanson-módszerhez egy g változós VAR modellt kell készítenünk: yt = β1 yt−1 +2 yt−2 + · · · + βk yt−k + ut Ebb®l a következ® modellt gyártjuk le: ahol Π= ∆yt = Πyt−k + Γ1 ∆yt−1 + Γ2 ∆yt−2 + · · · + Γk−1 ∆yt−(k−1) + ut ! ! k i P P βi − Ig és Γi = βj − Ig . A Π a hosszú távú együttható j=1 már j=1 ∆yt−i = 0. 19 mátrix, amikor • Ha rang(Π) = 0, akkor nincs kointegráció. • Ha rang(Π) = g , akkor • Ha 0 <

rang(Π) < g , yt stacionárius. akkor kointegráció van. λ-t sajátértéknek hívjuk, ha Πc = λc egyenlet igaz rá, ahol Π g × g -es mátrix, c egy g × 1-es nem nulla vektor, és λ egy skalár. Ez az egyenlet úgy is felírható, hogy hogy legyen megoldás, teljesülnie kell, hogy (Π − λIg )c = 0. Ahhoz, det(Π − λIg ) 6= 0. Egy mátrix rangja egyenl® a nem nulla sajátértékeinek számával. Legyenek a sajátértékek λ1 ≥ λ2 ≥ · · · ≥ λg . Ha a változóink nem kointegráltak, akkor minden sajátérték nulláva egyenl®. A teszt statisztika az alábbi λnyom (r) = −T g X log(1 − λ̂i ) i=r+1 És A r×g r = 0, 1, . , g − 1 Π és a hipotézisek H0 H1 r=0 0<r≤g r=1 1<r≤g r=2 2<r≤g . . . . . . r =g−1 r=g mátrix a következ® szorzat alakban áll el®: méret¶ mátrixok. β Π = αβ T , tartalmazza a kointegráló vektorokat, ahol α g×r méret¶ és β α pedig a loadings-okat

minden kointegráló vektorhoz minden egyenletben. Határid®s ügyletek: A határid®s ügylet jogilag kötelez® érvény¶ adásvételi szerz®dés, amelyben a felek az ügyletkötés pillanatában kötelezettséget vállalnak meghatározott min®ség¶ és mennyiség¶ cikk el®re rögzített árfolyamon és meghatározott jöv®beli napon és helyen történ® adásvételére. Futures ügyletnek a t®zsdei határid®s ügyletet, forward ügyletnek a t®zsdén kívüli határid®s ügyletet nevezzük. Pozíciók: • Long: az alaptermék megvétele határid®re, az áremelkedésben érdekelt (hiszen ha emelkednek az árak, akkor az el®re rögzített ár, amin venni tudok, az olcsóbb) • Short: az alaptermék eladása határid®re, az árcsökkenésben érdekelt (hiszen ha csökkennek az árak, akkor az el®re rögzített ár, amin el tudom adni, az nagyobb) 20 A következ® termékek lehetnek: kockázatos alaptermék (U), kötvény vagy hitel (B) és határid®s

termék (F). A felvehet® pozíciók pedig: LU, SU, LB, SB, LF, SF Árazás arbitrázs stratégiával : A LB szintetikus el®állítása: vétel az azonnali piacon (LU) és eladás az egyéves határid®s piacon (SF). Tehát LU + SF = LB, ami kockázatmentes A befektetés implicit hozama: i = F/S − 1, ahol F a határid®s ügylet értéke, (prompt) ügylet értéke. Az arbitrázsmentesség feltétele, hogy i = rf . S az azonnali Amib®l azt kapjuk, hogy F = S(1 + rf ). Példa arbitrázsra: 1. Tegyük fel, hogy i = 30% > rf = 20%. Ekkor LU + SF + SB, SB a hitelfelvétel, LU + SF pedig szintetikus betételhelyezés. 2. Tegyük fel, hogy i = 20% < rf = 30%. Ekkor SU + LF + LB, LB a betételhelyezés, SU + LF pedig a szintetikus hitelfelvétel További összefüggések: • LU + SF = LB • SU + LF = SB • LF = LU + SB (hitelb®l történ® részvényvásárlás) • SF = SU + LB Az egyensúlyi határid®s árfolyam: • Osztalékot nem zet®

részvény esetén: • Osztalékot zet® részvény esetén: P V (DIV ) Általában és DIV FT = S(1 + rf )T FT = S ∗ (1 + rf )T vagy vagy FT = Serf T FT = S ∗ erf T , ahol S∗ = S − az osztalék nagysága. S ∗ = S − P V (bevétel) + P V (kiadás). A devizák határid®s ára: A határid®s hazai/külföldi deviza konverzió keretében jöv®beli hazait váltunk át jöv®beli külföldire, a jelenben rögzített kamatlábon. Kétféleképpen tehetünk szert el®re ismert árfolyamon 1 éves határid®re 1 külföldi devizára: • prompt külföldi deviza vásárlás + külföli devizabetét-elhelyezés: hazai0 − külf0 − külf1 • hazai devizabetét-elhelyezés + határid®s külföldi deviza vásárlás: hazai0 külf1 21 ← hazai1 − Az els® esetben nem kell most 1 külföldi devizát vásárolni, elég zát, hiszen ez T hogy lejáratkor 1/(1 + rkülf )T külföldi devi- id® alatt éppen 1 külföldi devizára kamatozódik fel.

A második esetben ahhoz, F hazai devizával rendelkezzünk, elégséges, ha a jelenben F/(1 + rhazai )T ha- zai devizánk van. Mivel a lejáratkor mindkét esetben 1 külföldi devizával rendelkezünk, a két megszerzési mód költségének azonosnak kell lenni: F S = (1 + rhazai )T (1 + rkülf )T ahol S a spot piaci árfolyam, F a határid®s árfolyam, rhazai a hazai deviza kamatláb és rkülf a külföldi deviza kamatláb. Ebb®l átrendezéssel kapjuk a határid®s devizaárfolyam képletét: F =S (1 + rhazai )T (1 + rkülf )T Ez a képlet is arbitrázsösszefüggésen alapszik, és fedezett kamatparitásnak is nevezik. A fedezetlen kamatparitás a várható prompt árfolyam és a határid®s devizaárfolyam kapcsolata F = E(S), ez nem arbitrázsösszefüggésen alapszik. Bid-oer árak: A bid=vételi, azt jelenti, hogy a bank megvesz t®lem devizát, az oer=eladási pedig azt jelenti, hogy a bank elad nekem devizát. Megint az arbitrázsmentességre

törekedve határozzuk meg az 1. Fbid < Foer , Foer és Fbid határid®s árfolyamokat. A feltételek: ami azt jelenti, hogy én kevesebbért tudjak csak eladni, mint amennyiért vettem. 2. Ne lehessen arbitrálni szintetikus LF-fel: szintetikus határid®s euro vásárlás (szint LF euro) = forinthitelb®l azonnali euro vásárlás (SB forint + LU euro) + euro betét képzés (LB euro). Az akció költsége: HU F0 ←− HU F1 − EU R1 (1+rHUF hitel ) Fmax = S(oer) (1+r euro betét )t t ↓ EU R0 Ezekb®l adódik, hogy Fbid ≤ Fmax . 3. Ne lehessen arbitrálni szintetikus SF-fel: szintetikus határid®s euro eladás (szint SF euro) = eurohitelb®l azonnali forint vásárlás (SB euro + SU euro) + forintbetét képzés (LB forint). Az akció költsége: HU F0 − HU F1 ←− EU R1 HUF betét ) Fmin = S(bid) (1+r (1+reuro hitel )t t ↑ EU R0 Ezekb®l adódik, hogy Foer ≥ Fmin 22 1.24 deníció Bázis: A rövidebb lejáratú határid®s

árfolyam és a hosszabb lejáratú határid®s árfolyam közti különbség: FT1 − FT2 . Szokták úgy is deniálni, hogy a határid®s és az azonnali ár közti különbség: S − F . F általában a futamid® függvényében növekv®, ezért a bázis negatív 1.25 deníció rés = − bázis Spekuláció a határid®s piacon: Legyen • Különbözeti pozíció: A FT1 − FT2 , • T1 T0 < T1 < T2 < T3 < T4 id®pontban eladok és a abban vagyunk érdekeltek, hogy Pillangó: A T1 id®pontban eladok, és T2 i1,2 • Kesely¶ (condor): A T3 Tekn®sbéka: A eladok és a i1,2 T1 csökkenjen. i2,3 T2 és id®pontban eladok, a csökkenjen és i3,4 T3 id®pontban (FT1 −FT2 )−(FT2 −FT3 ) = FT1 −2FT2 +FT3 , csökkenjen és id®pontban megint eladok. Ennek értéke: érdekeltek, hogy • T1 i1,2 id®pontban veszek. Ez a long bázis: id®pontban kétszer veszek és a megint eladok. Ez két különbözet különbözete: abban

vagyunk érdekeltek, hogy T2 emelkedjen. T3 id®pontokban veszek, majd a (FT1 − FT2 ) − (FT3 − FT4 ), abban vagyunk emelkedjen. id®pontban eladok, a T2 id®pontban veszek, a T3 id®pontban megint T4 id®pontban megint veszek. Értéke: (FT1 −FT4 )−(FT2 −FT3 ), abban vagyunk érdekeltek, hogy i1,4 csökkenjen és i2,3 emelkedjen. A határid®s pozíciók értéke: Független attól, hogy mennyit és milyen formában zet az alaptermék, a pillanatnyi határid®s árfolyam és az általunk rögzített vételár különböségének a kockázatmentes kamatlábbal számított jelenértéke. • A forward pozíció értéke: lejáratkor F −K f = P V (FT − K) = S − P V (K). A képlet jelentése, hogy nyereséget/veszteséget realizálunk, és ennek a jelenértéke a pozíció értéke. • A futures pozíció értéke: f = FT − K . Fedezeti ügyletek a határid®s piacon : • Fedezet a prompt piacon: Van két kockázatos eszközünk (A és

árváltozásának szórása, és sB B ), sA az alapeszköz a fedezeti eszköz árváltozásának szórása, valamint ρAB a két eszköz korrelációja. Tökéletes fedezetnek nevezzük a Long A + Short A pozíciót, míg keresztfedezetnek a Long A + Short B pozíciót. Tehát a Short hedge: 1 db Long A + db Short B, és a Long hedge: 1 db Short A + h db Long B. Az optimális fedezeti arány: 1 db alapeszközzel szemben hány darab fedezeti eszköznek kell állnia: A A h = ρAB σσBA B = βA/B B . 23 h h = ρAB ssBA , vagy • A Fedezet a forward piacon: Van egy kockázatos eszközünk és egy indexünk darab indexforwardot kell eladunk, ha az A Hány portfóliót szeretnénk fedezni. Ugyanannyit kell eladnunk, mintha a prompt piacon adnánk el. • M. ∆ = F/S = 1 Fedezet a futures piacon: Van két kockázatos eszközünk A és B. A fedezeti arány: h= A 1 βA/B B ∆ 1.4 4 tétel Egy- és többváltozós GARCH modellek (használatuk pénzügyi

modellezésben, tulajdonságaik, becslések). Opciók árazási modelljei Egyváltozós ARCH/GARCH modellek : A hagyományos id®sormodellek (ARMA stb) nem tudják reprodukálni a volatilitás klaszterez®désének jelenségét. Ha ezt gyelembe tudnánk venni, akkor pontosabb leírását tudnánk adni az áralakulásnak, pontosabb el®rejelzéseket is képesek lennénk adnia jöv®beli hozamok eloszlására (pl. kockázatkezelés) Ezt a jelenséget heteroszkedaszticitásnak nevezzük ARCH hatás: a volatilitás tömörülését nevezzük ennek, azaz ha ma nagy mozgás volt, akkor nagy valószín¶séggel holnap is nagy mozgás lesz. Az ARCH hatások létezését úgy lehet vizsgálni, hogy az id®sor négyzetében keresünk autokorrelációt. Ha van, akkor vannak ARCH hatások a folyamatban és érdemes a sima id®sormodellek helyett ARCH modellt használni. Egy hagyományos id®sormodell a következ®képpen néz ki: yt = c + φ1 yt−1 + · · · + ψ1 xt−1 + · · · + εt +

θ1 εt−1 + · · · | {z } {z } |{z} | {z } | autoregresszív tagok exogén változók hibatag MA tagok A modell feltevései, hogy lineáris modell legyen, a magyarázó változók legyenek lineárisan függetlenek, a magyarázó változók legyenek exogének, azaz nem korreláltak a hibataggal, és a hibatagok legyenek autokorreláltak és homoszkedasztikusak. Most az utolsó két feltétel nem teljesülése esetén nézzük meg, hogy milyen modellt is lehet illeszteni. Az ARCH(q) modell: Az εt hibatagoknak megengedjük, hogy eltér® szórásúak (heteroszke- dasztikusak) legyenek: yt = (. ) + εt εt = σt ηt várható érték-egyenlet (feltételes várható érték) ηt független azonos eloszlású, σt2 = a0 + a1 ε2t−1 + · · · + aq ε2t−q A hozamra ható εt E(η) = 0 és V ar(η) = 1 variancia egyenlet (feltételes) sokkok tehát továbbra is függetlenek, de már nem lesznek azonos el- oszlásúak, bár mindegyikük várható értéke 0, de a A

feltétel nélküli variancia a következ®: 2 σ = σt2 feltételes varianciájuk id®ben változik. a0 . A modell használhatóságának fel1−a1 −a2 −···−aq tétele, hogy ez a feltétel nélküli variancia pozitív legyen. A modell becslését ML módszerrel 24 végezzük, és az εt feltételes s¶r¶ségfüggvényét írjuk fel az kor alkalmazhatjuk szépen ezt a modellt, ha ηt {εt−1 , εt−2 . } eseményre nézve. Ak- normális eloszlású, ellenkez® esetben is lehet használni a becslést, de a standard hibák mások lesznek. A megkapott modellnek a reziduumai normálisak, akkor nincs ARCH hatás. A tapasztalat szerint a volatilitás perzisztens, azaz ha egyszer megn®, viszonylag hosszú ideig magas is marad. Ezért nagyon sok késleltetést kellene szerepeltetni az ARCH modellben, ilyenkor célszer¶ GARCH modellt használni A GARCH(1,1) modell gyakorlatilag megfelel az ARCH(∞) modellnek. A GARCH(p,q) modell a következ®képpen néz ki:

yt = (. ) + εt εt = σt ηt ahol ηt ∼ F AE(0, 1) 2 2 + · · · + bp σt−p σt2 = a0 + a1 ε2t−1 + · · · + aq ε2t−q + b1 σt−1 A legegyszer¶bb eset, a GARCH(1,1) az esetek többségében megfelel®. Az η -k (az ún. standardizált reziduumok) nem kell, hogy normálisak legyenek, lehetnek vastag szél¶ek (pl. t-eloszlásúak) is. Ezáltal a GARCH modellek nem csak a volatilitás klaszterez®dését sz¶rik ki, de képesek (többé-kevésbé) reprodukálni a vastag szélek jelenségét is. A VaR kiszámítása GARCH modell segítségével : Illesszünk AR(1) + GARCH(1,1) modellt a MOL hozamokra: yt = c + φyt−1 + εt εt = σt ηt ahol ηt ∼ N (0, 1) 2 σt2 = a0 + a1 ε2t−1 + b1 σt−1 A modell becslése során kiszámítható c, φ, a0 , a1 , b1 értéke. A reziduumokat megvizsgálva a Jarque-Bera teszt eredményeképpen láthatjuk, hogy messze vannak a normálistól, ez a feltételes vastag szélek stilizált ténye. Ezért próbáljunk

meg t-eloszlást illeszteni. A következ® modellt kapjuk: yt = c + φyt−1 + εt εt = σt ηt ahol ηt ∼ tν (0, 1) 2 σt2 = a0 + a1 ε2t−1 + b1 σt−1 25 A modell becslése során most is kiszámítható hozamok másnapi eloszlása c, φ, a0 , a1 , b1 , yT +1|T ∼ tν (c + φyT , σT +1 ). valamint ν értéke. A MOL Mind a várható érték, mind a varian- cia kiszámítható a modell becslésének eredményéb®l, tehát megkaphatjuk a másnapi hozamok eloszlását. Ebb®l a VaR a t-eloszlásfüggvény inverze felhasználásával numerikusan meghatározható A VaR értéke az • (1 − α)-adik kvantilis, α általában 95% vagy 99%: µT +1 + σT +1 N −1 (1 − α) q µT +1 + σT +1 ν−2 t−1 (1 − α) ν ν Normális eloszlás esetén: • t-eloszlás esetén: ahol ebben a példában µT +1 = c + φyt−1 . Többváltozós GARCH modellek (M-GARCH) : Akkor használjuk, ha sok eszközünk van, amit modellezni szeretnénk. Ebben a

modellben mostmár a varianciák mellett a kovarianciák is feltételesek lesznek. A feltételes kovarianciamátrixot jelölje Ht . A modell a következ®képpen néz ki: yt = µt (θ) + εt p εt = Ht lt ahol Ht pozitív denit, √ Ht ahol E(lt ) = 0 és V ar(lt ) = IS a Cholesky-felbontás segítségével állítható el®. A többváltozós GARCH modellek fajtái: VEC, BEKK, CCC, DCC stb. A VEC(1,1): A rendre legyenek vech operátor egy mátrixból vektort csinál a következ®képpen: a H1,1t , H1,2t , H2,1t , H2,2t , T vech(Ht ) = (H1,1t , H2,2t , H1,2t ) Ezután és mivel Ht egy kovarianciamátrix, ezért Ht elemei H1,2t = H2,1t . . A modell a következ®: vech(Ht ) = c + A · vech(εt−1 εTt−1 ) + G · vech(Ht−1 ) Ha a Ht mátrix S ×S -es, akkor a paraméterek száma S(S +1)(S(S +1)+1)/2, ami rengeteg. A DVEC(1,1): A VEC(1,1) rengeteg paraméterének csökkentésér®l szól. Felteszi, hogy az és a G A mátrixoknak csak a f®átlóiban

vannak elemek. Így a következ® modellt kapjuk: Ht = C ∗ + A∗ · εt−1 εTt−1 + G∗ Ht−1 ahol A∗ , C ∗ , G∗ , Ht−1 pozitív denit mátrixok. A CCC modell: (Konstans feltételes korreláció) Abból indul ki, hogy a feltételes korreláció konstans, azaz kapjuk: 26 Rt = R. Így a következ® modellt Ht = Dt RDt ahol p Dt = diag( hi,t ) A DCC modell: (Dinamikus feltételes korreláció) Ht = Dt Rt Dt A modell paramétereit ML módszerrel becsülhetjük. Két lépésb®l áll a becslés, el®ször is illesszünk skalár GARCH modellt, majd becsüljük a DCC-t a standardizált reziduálisokon. A DCC el®nye, hogy a paramétereinek száma O(S), hátránya, hogy azonos korrelációs struktúra lehet különböz® eszköz párok esetén. Az opciók árazási modelljei: A vételi opció (call) olyan kétoldalú ügylet, amelyben az egyik fél az opciós díj jelenbeli megzetése fejében jogot szerez arra, hogy egy meghatározott jöv®beli napon

valamely termék megadott mennyiségét el®re megállapított K árfolyamon, az ún. lehívási árfolyamon vagy kötési árfolyamon vehesse meg. Az opciós ügylet másik résztvev®jét, aki a díj ellenében kötelezettséget vállal, az opció kiírójának nevezik. Az opció tárgya szinte bármi lehet. A pénzügyi termékek közül a legfontosabbak: deviza, részvény, állampapír, bankbetét kamata illetve ezekre szóló határid®s pozíció is. Az opció lehívásának nevezik, ha az opció jogosultja él a jogával A tulajdonos három dolgot tehet az opciójával: 1. eladja a lejárat el®tt az akkor érvényes opciós díjnak megfelel® összegért 2. hagyja értéktelenül lejárni, ha lejáratkor az árfolyam alacsonyabb a lehívási árfolyamnál 3. lehívja Induláskor K c összeget zetett, amiért cserébe egy vételi jogot kapott, és a lejáratkor összeget zet, amiért cserébe egy részvényt kap. Eladási opció (put): a jogosult a díj ellenében

arra szerez jogot, hogy lejáratkor a lehívási árfolyamon adhassa el az opció tárgyául szolgáló árut az opció kiírójának. A jogosult eladhat K árfolyamon p díj ellenében, a kiírónak pedig vásárolnia kell két-két szerepl®je az alábbi 4 pozíció valamelyikében van: 1. LC (Long Call): vételi jog 2. SC (Short Call): eladási kötelezettség 3. LP (Long Put): eladási jog 4. SP (Short Put): vételi kötelezettség 27 K árfolyamon. A kétféle opció Bevett szóhasználat, hogy a jogosult long, a kötelezett short pozícióban van az opciós piacon. Az opciós piacon a vásárlással (long) a jogosultságot veszi meg, ami lehet vételi jog (call), vagy akár eladási jog is (put). Az opció tárgyának vételét az opciós piacon a long call, illetve short put jelenti - el®bbi esetben a vev®nek kedvére van az adott áron történ® vásárlás, utóbbi esetben egyáltalán nem. Az opciós ügyleteknél a lehívási árfolyamok rögzítettek, itt az

opció vásárlója által zetett díj nagyságának változása hozza összhangba a keresletet a kínálattal. Attól függ®en, hogy az adott árfolyam mellett ma nyereséggel, veszteséggel vagy hozzávet®legesen zérus eredménnyel lehetne érvényesíteni az opciós jogot, beszélnek • ITM (in-the-money) piacnál jobb • OTM (out-of-the-money) piacnál rosszabb és • ATM (at-the-money) piaccal egyez® opcióról. Az amerikai opció azt a jogot biztosítja a tulajdonosának, hogy a lejárati napon vagy az el®tt vásároljon (ha vételi opcióról van szó) vagy adjon el (ha eladási opcióról van szó). Az európai opciók esetében az opciót csak a lejárat napján lehet lehívni. Az amerikai opció általában értékesebb, mert több lehet®séget biztosít, mint az európai. Lejárat után már sem az amerikait, sem az európai opciót nem lehet lehívni. Az ázsiai opció azt jelenti, hogy a lejárati árfolyamot az opció élettartama alatti átlagos

árfolyam helyettesíti. Az opció értéke lejáratkor : Az opciós pozíció értéke már a megkötése pillanatában sem nulla, mivel szétválik a jog és a kötelezettség: a jog értéke sohasem lehet negatív, a kötelezettségé sohasem lehet pozitív. Emiatt van az opcióknál díjzetés. Vételi jog : A lejárat napján a K lehívási árfolyamú long call pozíció értéke: ( c= A K > ST 0, ha ST ≤ K ST − K, ha ST ≥ K esetben sem veszteséges a pozíció, hiszen nem vagyunk kötelesek lehívni az opciót. Amit ekkor bukunk, az a korábban kizetett opciós díj Az eladási kötelezettség (SC) értéke −c. Tehát LC: c = max(0, ST − K) SC: −c = − max(0, ST − K). Eladási jog : A lejárat napján a K lehívási árfolyamú long put pozíció értéke: ( K − ST , ha ST ≤ K 0, ha ST ≥ K p= A vételi kötelezettség (SP) értéke −p. Tehát 28 LP: p = max(0, K − ST ) SP: −p = − max(0, K − ST )

Nyereségküszöb: az a lejárati árfolyam, ahol sem a jogosult, sem a kötelezett nem nyer és nem veszít. Ekkor az árfolyamnyereség megegyezik a kizetett díj felkamatoztatott értékével A vételi jog nyereségküszöbe: ST = K + F V (c), az eladási jog nyereségküszöbe: ST = K − F V (p). Az opciók lejárat el®tti értéke: opcióérték = bels® érték (azonnali lehívás értéke) + id®érték (kamatérték + görbületi érték) európai call put alsó korlát max(0, St − P V (K)) max(0, P V (K) − St ) fels® korlát St P V (K) amerikai alsó korlát call put max(0, St − P V (K)) max(0, K − St ) St fels® korlát A call id®értéke minden pozitív, ezért K ceu = cam . Ha az alaptermék hozamot biztosít, akkor a call id®értéke is lehet negatív. Paritások: − F = S(1 + r)t • Az azonnali és határid®s piac között: LF = LU + SB • A határid®s és opciós piac között: (put-call paritás) LF = LC + SP • Az azonnali

és opciós piacok között: LB = LU + LP + SC • Az opciós piacok között (box-ügylet): − S−P V (K) = c−p − (S + p − c)(1 + r)t = K LF1 + SF2 = (LC1 + SP1 ) + (SC2 + LP2 ) − P V (K2 − K1 ) = c1 − p1 − c2 + p2 . Opciós stratégiák: • Terpesz: azonos K kötési árfolyamú és azonos T lejáratú vételi és eladási opciók egyidej¶ megvételét jelenti. A terpesz azoknak a befektet®knek hasznos stratégia, akik úgy gondolják, hogy a részvényárfolyamok lényegesen le fognak mozdulni, csak még nem tudják, milyen irányban. A terpesz gyakorlatilag a volatilitás megvételét jelenti Kizetése egy V bet¶ alakú függvény, aminek csúcsa • van. LP(K) + LC(K) Széles terpesz (tekn®): LP(K1 ) + LC(K2 ). A V bet¶t széthúzzuk és a kizetés függvény K1 • K -ban és K2 között a vízszintes egyenes. Er®söd® különbözet: LC(K1 ) + SC(K2 ) vagy LP(K1 ) + SP(K2 ). Alakja: tengely, aztán K1 -ig a vízszintes K2 -ig

lineárisan n®, majd utána egyenesben folytatódik. Motivációja lehet, hogy a befektet® az egyik opciót túlárazottnak gondolja a másikhoz képest. 29 • Gyengül® különbözet: SP(K1 ) + LP(K2 ) vagy SC(K1 ) + LC(K2 ). Alakja az er®söd® különbözet tükörképe. • Long pillangó: LC(K1 ) + 2 SC(K2 ) + LC(K3 ). A kizetésének alakja: tes tengely, aztán K2 -ig lineárisan n®, majd K3 -ig K1 -ig a vízszin- lineárisan csökken, utána megint a vízszintes tengelyen halad. Az opciók árazása : Binomiális opcióárazás : Tegyük fel, hogy a részvény árfolyama csak két lehetséges értéket vehet fel az opció lejáratakor, vagy egy adott szintre n®, vagy egy adott szintre csökken. n®, azaz Su lesz, és 1−q valószín¶séggel d-szeresére q valószín¶séggel csökken, vagyis Sd u szorosára lesz. Ez az értékelési megközelítés támaszkodik a replikálás elvére, miszerint két lehetséges év végi részvényérték

mellett a részvényportfólió kizetése replikálja, lemásolja a két vételi opció kizetését, és ezért ugyanazon piaci árat kell zetni érte. Tehát egy betét és egy részvény értékéb®l fogunk következtetni a származtatott termék értékére. A portfólió pénzáramlása = a származtatott termék pénzáramlásával, ezért a portfólió jelenlegi értéke = a származtatott termék jelenlegi értékével. Egyperiódusú binomiális modell: Legyen adott egy részvény, egy kötvény és egy S = 100, A részvény kezdeti értéke kamaláb rf = 25%, LC125 . egy év múlva vagy 200 lesz, vagy 50. A kockázatmentes amib®l 1 érték¶ kötvény 1 év múlva 1,25-öt fog érni. A long call opció értéke 1 év múlva vagy g u = max(200 − 125, 0) = 75 lesz, vagy pedig g d = max(50 − 125, 0) = 0 lesz. Mennyi lesz az opció értéke most (g)? A replikáló egyenletek a következ®ek: αSu + β(1 + rf ) = g u αSd + β(1 + rf ) = g d Ezeket megoldva

azt kapjuk, hogy α = g u −g d , valamint Su−Sd β = g u −αSu . Ezekb®l a portfólió 1+rf értéke: u d g −g g u − Su−Sd Su gu − gd g = V (α, β) = S+ Su − Sd 1 + rf A többperiódusú binomiális modelleknél ugyanezt a technikát kell alkalmazni visszafelé haladva, legvégül fogjuk megkapni g értékét. A Black-Scholes képlet: Az Xt legyen egy sztochasztikus folyamat, a paramétert®l függ® valószín¶ségi változó. Ha- tékony piacokon a napi loghozamok függetlenek és normális eloszlásúak. A kumulált loghozam 30 is normális: Y (t) = N (αt, σ 2 t), a jöv®beni árfolyam lognormális eloszlású: S(t) = S0 eY (t) . A normáis eloszlás felbontásának lépései: N (α, σ 2 ) = P N (α∆t, σ 2 ∆t) = [α∆t + σN (0, ∆t)], √ N (0, 1/n) = N (0, ∆t) = ∆tN (0, 1), így P N (α, σ 2 ) = X ahol ∆t = 1/n legyen. Ekkor ∆W = [α∆t + σ∆W ] 1.26 deníció A W (t) folytonos sztochasztikus folyamat

Wiener-folyamat, ha W (0) = 0, a W (t) eloszlása normális (0, t) paraméterekkel, és független növekmény¶. Ito-folyamat: X(t) Ito-folyamat, ha egy változó trendb®l és egy transzformált Wiener- folyamatból összetev®d® folyamat. dX = a(x, t)dt + b(x, t)dW Ha a és b konstans, akkor a folyamat általánosított Wiener-folyamat. A Black-Scholes-Merton modell: Háromféle termék van, egy kockázatmentes, egy kockázatos, és egy származtatott kockázatú T -termék. Például egy bankbetét, egy részvény, és egy vételi jog A kérdés, hogy mi a harmadik termék ára, ha ismerjük az els® két termék árfolyamalakulását? A T -termék azt jelenti, hogy a lejáratig, azaz a [0, T ] id®szakban nem involválnak pénzmozgást. E termék lejárat el®tti értéke a T id®pontbeli értékét®l függ. a forward, vagy az európai opció. Nem T -termék T -termék például az elemi kötvény, például a kamatozó kötvény, a futures, vagy az amerikai

opció. A lejárati érték függvény (G): Ha K egy korábban kötött forward ügylet rögzített árfolyama illetve az opció lehívási árfolyama. G(S) = ST − K G(S) = max(ST − K, 0) G(S) = max(K − ST , 0) A G függvényt kizárólag a t=T A transzformált Ito-folyamat • A • Ha a G(X, t) dX (G(X, t). teljes dierenciája: helyére id®pontra értelmezzük. adt + bdW -t dG(X, t) = Gx dX + Gt dt + 1/2Gxx b2 dt írunk: A geometriai Brown mozgás: Legyen dG = (Gt + aGx + 1/2b2 Gxx )dt + bGx dW X =S Ito-formulát a következ®t kapjuk: 31 és dS = µSdt + σSdW . Erre alkalmazva az dG(S, t) = (Gt + GS µS + 1/2GSS σ 2 S 2 )dt + GS σSdW A Black-Scholes modell: A modell A képlet pedig N2 = N (d2 ), P = e−r(T −t) , tehát P K = P V (K). N1 = N (d1 ) és √ d1 = log S/PL V (K) + 21 L és L = σ T − t, valamint d2 = d1 − L. Az N (d) annak c = SN1 − P KN2 . ahol P (t), S(t), g(t), az egyenlet gt = (g −gS S)r −1/2gSS σ 2 S 2 .

Ahol a valószín¶sége, hogy egy normális eloszlású számhalmazból véletlenül kiválasztott szám értéke kisebb, mint d. A képletben σ a részvény folytonosan számított éves hozamának szórása. A Black-Scholes modell feltevései: • Konstans kamatláb, és konstans volatilitás • Az alaptermék áralakulása geometriai Brown mozgást követ • Folyamatos a kereskedés • Bármilyen volumenben lehet kereskedni • Nincsenek adók és tranzakciós költségek A Black-Scholes formula is a replikálás elvén alapszik: veszünk csönözve P V (K)N (d2 ) N (d1 ) darab részvényt, köl- összeget. 1.5 5 tétel Wiener-folyamat: konstrukció, er®s Markov-tulajdonság. Az értékpapírok általános jellemz®i Csoportosításuk az általuk megtestesített jog, a futamid® és az általuk biztosított hozam szempontjából. Wiener-folyamat : 1.27 deníció A {W (t) : t ≥ 0} valós érték¶ sztochasztikus folyamat Wiener-folyamat x ∈ R

kezd®ponttal, ha • W(0) =x • független növekmény¶, azaz minden 0 ≤ t1 ≤ t2 ≤ . ≤ tn esetén W (tn )−W (tn−1 ), W (tn−1 )− W (tn−2 ), . , W (t2 ) − W (t1 ) függetlenek • stacionárius növekmény¶, azaz minden t ≥ 0 és h ≥ 0 esetén W (t + h) − W (t) ∼ N (0, h) • folytonos trajektóriájú, azaz t 7− W (t) 1 valószín¶séggel folytonos. 1.28 deníció Standard Wiener-folyamat: ugyanaz, mint a Wiener-folyamat, csak a 0-ból indul, azaz W (0) = 0. 32 1.29 tétel Lévy-konstrukció: A Wiener-folyamat létezik A lényeg, hogy töröttvonal trajektóriákkal rendelkez® folyamatok (Wn ) határértékeként kell el®állítani a Wiener-folyamatot, és 1 valószín¶ség¶ egyenletes konvergenciát bizonyítani. A paramétertartomány el®ször a • a Wn [0, 1] intevallum, majd ezt kiterjesztjük az egész számegyenesre: közelít® folyamat töréspontjai legyenek a Dn = k n : 0 ≤ k ≤ 2n halmaz elemei. Ezeket

diadikus törteknek hívjuk. • Dn • elemein lineáris interpoláció, ez lesz a közelít® folyamat, ami folytonos [0, 1]-en Interpoláció indukcióval: S∞ D = n=0 Dn . Tekintsük a {zt : t ∈ D} N (0, 1) getlen valószín¶ségi változók sorozatát. A két végpont legyen a következ®: W (1) = Z1 . A közbüls® 1. Minden 2. d ∈ Dn Dn -beli Zt -ket n − 1-ig és független W (s) − W (r)-t®l Az els® tag W -nek használják. kész a folyamat. Csináljuk meg a lineáris Mindkét tag eloszlása normális n-re: d ∈ Dn Dn−1 . W (d − 1 (0, 2n+1 ) Ekkor 1 ) 2n + W (d + 21n ) zd + n+1 2 2 2 interpolációja d szomszédos pontjaiban, W (d) = melyek Dn−1 elemei. paraméterekkel. Ezek továbbá függetlenek, valamint a két tag összege és különbsége is független egymástól és normális eloszlású (0, 21n ) paraméterekkel. d ∈ Dn {0}, akkor a W (d) − W (d − 21n -ek függetlenek, és Gauss-folyamatot alkotnak n P

folyamat, ha ci ξ(ti ) normális eloszlású. A diadikus pontok között az interpolációs i=1 függvény így nézzen ki: F0 (t) = És ha és (W (d) : d ∈ Dn ) és (zt : t ∈ D Dn ) függetlenek, vagy a W (d)-k megkonstruálásához Tegyük fel, hogy (ξ Gauss W (0) = 0 pontokon a folyamat pedig így nézzen ki: r < x < t ∈ Dn -re W (t) − W (s) ∼ N (0, t − s) csak a nem Tehát ha füg- n > 0,     z1 , ha t=1 0, ha t=0    lineáris, a többi diadikus pont között     2 akkor Fn (t) = 1 n+1 2 zt , 0,    lineáris, ha t ∈ Dn Dn−1 ha t ∈ Dn−1 a többi diadikus pont között 33 Ez a függvény folytonos veszünk független W : [0, ∞) − R [0, 1]-en, W1 , W2 , . n, d ∈ Dn -re W (d) = n P Fi (d) = ∞ P Fi (d). Ha i=0 i=0 standard Wienereket, és ezeket összeragasztjuk, akkor kész is a és minden folytonos Wiener-folyamat: btc−1 W (t) = Wbtc (t − btc) +

X Wi (1) i=0 1. A Wiener-folyamat folytonos 1.30 állítás 2. A trajektóriák 1 valószín¶séggel sehol sem dierenciálhatóak 3. Semmilyen intervallumon nem monoton 4. Kvadratikus variáció: Legyen s = t0,n < t1,n < · · · < tkn ,n = t, és lim maxi (ti+1,n − ti,n ) = n−∞ 0. Ekkor kn X L -ben (Wti+1,n − Wti,n )2 2 (t − s) i=1 5. Totális variáció: V ar[0,1] Wt = n P sup 0=t0 ≤···≤tn =1 j=1 Wtj − Wtj−1 = ∞. A Wiener-folyamat értelmezése ltrációban: A ltráció: egy d® (Ω, F, R) valószín¶ségi mez®n szokás értelmezni egy (Ft )t≥0 monoton növeke- σ -algebra családot. Ez azt tartalmazza, hogy melyek azok az események, amik bekövetkezését el tudjuk dönteni Legyen ξs t-ig. sztochasztikus folyamat. • F≤t = σ(ξs , s ≤ t): • F=t = σ(ξt ): a múltról hordoz információt a jelenr®l hordoz információt • F≥t = σ(ξs , s ≥ t): a jöv®r®l hordoz információt 1.31 deníció ξt

Markov-folyamat, ha minden A ∈ F≥t -re és minden B ∈ F≤t -re igaz az, hogy P (AB|F=t ) = P (A|F=t )P (B|F=t ) 1 valószín¶séggel. Azaz ha ismerjük a folyamat mostani értékét, akkor a múlt és a jöv® független egymástól. Vagy a múlt a jöv®re csak a jelen állapoton keresztül hat. Minden független növekmény¶ folyamat Markov 1.32 deníció A τ megállási id® Ft -re nézve, ha minden t-re {τ ≤ t} ∈ Ft Csak az eddigi információk alapján dönthetünk. A τ lehet akár ∞ is Például minden nemnegatív determinisztikus id® megállási id®, vagy például ha a folyamat elér egy adott szintet 34 1.33 deníció Fτ = {A : ∀t : A ∩ (τ ≤ t) ∈ Ft } megállított σ -algebra Ez a τ -ig összegy¶lt információkat tartalmazza. 1.34 deníció A (ξt , Ft ) adaptált folyamat, ha ξt Ft mérhet® F 0 (t) = σ(W (s) : s ≤ t). Erre T 0 F + (t) = F (s). Mivel F 0 ⊂ F + , Legyen továbbá a ltrációra a Wiener-folyamat adaptált.

Legyen ezért W (t) adaptált az F + -ra is. s>t 1.35 deníció Wiener-folyamat: A W Wiener folyamat az F ltrációban, ha • W0 = 0 és folytonos trajektóriájú • minden 0 ≤ s ≤ t-re Wt − Ws független az Fs σ -algebrától, és Wt − Ws ∼ N (0, t − s) 1.36 állítás Ha W Wiener-folyamat az els® deníció szerint, akkor (W, F + ) Wiener-folyamat a ltrációs deníció szerint. Ennek az állításnak a felhasználásával lehet a következ® tételt bebizonyítani. 1.37 tétel Er®s Markov tulajdonság: Legyen (W, F) Wiener-folyamat, τ megállási id® F -re nézve, ami 1 valószín¶séggel véges, továbbá Bt := Wt+τ − Wτ . Ekkor (B, G) Markov-folyamat, ahol Gt = Ft+τ . Ez a tétel röviden azt mondja, hogy B független mindent®l, ami τ -ig történt. Azaz a W Wiener-folyamat tetsz®leges megállási id®pontban a múltjától függetlenül újraindul. ft := 1.38 tétel Tükrözési elv: Legyen (W, F) Wiener-folyamat, és τ

megállási id®, valamint W f , F) Wiener-folyamat. Wt∧τ − (Wt − Wt∧τ ). Ekkor (W Ez azt jelenti, hogy ha a folyamat elér egy szintet (τ -ban érjük el), akkor a folyamat farkát (vagyis ami τ után jön) azt ha feltükrözöm erre a szintvonalra, akkor ismét Wiener-folyamatot kapok. A tükrözési elv alkalmazásai: • A maximum eloszlásának megállapítása: P ( max Ws > x). s∈[0,1] Ennek következménye, hogy a Wiener-folyamat minden szintet meglátogat majdnem biztosan. • A maximum és a végérték együttes eloszlása: P ( max Ws > x, W1 > y). s∈[0,1] • Mekkora eséllyel van nullhely egy adott intervallumban? • Szintelérési id® megállapítása: az ma = inf {t : Wt = a} Az értékpapírok általános jellemz®i : 35 P (∃s ∈ [a, b] , Ws = 0) eloszlása • Az értékpapír a kibocsátó egyoldalú kötelezettségvállalását tartalmazza. • A kibocsátó kötelezettségvállalása feltételhez nem kötött,

és azt tartalmazza, hogy a kibocsátó vagy az értékpapírban megnevezett más személy zetést teljesít a jogosult részére. • Az értékpapír nem kétoldú jogügylet, ez azt jelenti, hogy az értékpapírügylet létrejöttéhez elfogadásra nincs szükség. • Értékpapír kiállítható pénzkövetelésr®l, hitelviszonyról (például váltó, csekk, kötvény), tagsági részesedésr®l (például részvény, szövetkezeti üzletrész) vagy áruval kapcsolatos jogról (például közraktári jegy). • Kizárólag az olyan okirat tekinthet® értékpapírnak, amelyet valamely jogszabály annak min®sít, azaz csak jogszabály által nevesített értékpapírokat lehet kiállítani, kibocsátani. • Az értékpapírok a technikai fejl®dés következtében változatos formákban jelenhetnek meg, a papír alapú értékpapírok mellett dematerializált értékpapír kibocsátására is lehet®ség van. • Az értékpapírban szerepl® követelést

érvényesíteni, arról rendelkezni, azt megterhelni csak az értékpapír által, annak birtokában lehet. • Az értékpapírok jelent®ségét az adja, hogy átruházhatók, és az átruházáshoz speciális következmények f¶z®dnek. • Az értékpapírok csoportosítása az általuk megtestesített jog szerint : • Követelési jog:  Hitelpapírok: váltó, kötvény, kincstárjegy (a futamideje az 1 évet nem haladhatja meg), letéti jegy (a betét értékpapír formája, kölcsön a banknak, futamideje 3 év alatti), jelzáloglevél (forrást lehet vele kihelyezni, a biztosíték mögötte a ház)  Készpénzhelyettesít®: csekk (zetési felszólítás, a kibocsátó felszólítja a bankot, hogy a pénzt zesse ki annak, akinél a csekk van)  Befektetési jelleg¶ értékpapírok: befektetési jegy (a kibocsátó összegy¶jtse a kisebb befektetéseket, annyi pénzre jogosult, amennyi a befektetésb®l lett, kollektív befektetés kezelést jelent),

kockázati t®ke alapjegy (olyan, mint a befektetési jegy, van alapkezel® is, társasági vagyonrészeket vásárolnak, beleszólnak a vállalat irányításába) 36 • Tagsági jog: részvény: a tagsági jog és a tulajdonlás nem választható szét, részvényesi jogok névértékarányosan vannak. Tagsági jog a közgy¶lésen való részvétel joga, a vagyoni jog az osztalékjog, likvidációs hányadhoz való jog (a cég megsz¶nése esetén a hitelez®k kielégítése után a részvényre jutó arányos részt megkapja), szavazatels®bbségi részvény (vét® joga van) • Dologra vonatkozó tulajdonjog: közraktári jegy: kibocsátója a közraktár, letétre vesz árut és visszadja. A beraktározott áruk ellenében értékpapírt ad ki, ami a forgalomban helyettesíti a dolgot Mozgatás nélkül lehet megterhelni a dolgot Lehet árujegy vagy zálogjegy • Egyéb: kárpótlási jegy, ami állammal szembeni lejárat nélküli követelés. Az értékpapírok

csoportosítási futamid® és hozam szerint : • Kötvény: állam, önkormányzat, jogi személyiséggel rendelkez® gazdálkodó szervezetek, nemzetközi szervezetek bocsáthatják ki. A futamid® nem meghatározott, de lejárata van, legalább a bezett pénzt vissza kell zetni. • Kincstárjegy: állam bocsátja ki, legfeljebb 1 éves futamid®vel • Letéti jegy: csak hitelintézet bocsáthatja ki, maximum 3 éves futamid®vel, 10 év alatt évül el a követelés • Jelzáloglevél: jelzálog-hitelintézet bocsáthatja ki hosszú futamid®vel, ha baj van (felszámolás), a befektet®knek kedvez®bb ez, mint a kötvény • Kárpótlási jegy: kibocsátó a magyar állam, az 1938-tól a rendszerváltásig elszenvedett károkért részleges kártérítés, nem tudni mennyi az értéke, az államnak semmilyen ígérete nincs vele kapcsolatban, lejárata nincs • Befektetési jegy: portfólió kezelési megbízás el®re megszabott összeállítások közül, más

pénzével összevontan, elszámolási kötelezettség van. A végén annyit ad vissza, amennyi lett bel®le. Kibocsátó a befektetési alap, mellette áll a befektetési alapkezel® Lehet visszaváltható vagy nem visszaváltható, és nyílt vég¶ (nincs lejárata, bármikor visszaváltható nettó eszközértéken) vagy zárt vég¶ (határozott id®re jön létre, nincs kiszállás el®tte). • Kockázati t®ke alapjegy: Kockázati t®kealap a kibocsátója, zárt vég¶ minimum 6 évre szól. Olyan piacokon fektet be, ahova normális ember tuti nem Sokat lehet vele nyerni, de nagyot is lehet bukni. 5 év elteltével elévül a pénzkövetelés • Részvény: Osztalékjogot biztosít, valamint a likvidációs hányadhoz való jogot. 37 1.6 6 tétel Sztochasztikus integrál, kvadratikus variáció, Ito-formula. Csereügyletek használata és árazása 1.39 deníció Legyen X folyamat, F ltráció Az (X, F) martingál, ha X adaptált F -hez, E(|Xt |) < ∞ minden t

≥ 0 esetén és E(Xt |Fs ) = Xt∧s minden s, t ≥ 0-ra. A ltrációról mindig feltesszük, hogy teljesülnek rá a szokásos feltételek. Ha ben, akkor X martingál F esetén, és e jobbról P (X martingál F- teljessé tételében is. Ha a ltrációnk jobbról folytonos, akkor minden martingálnak van ún. cadlag változata Azaz létezik 0 X e, X hogy folytonos és balról határértékkel bír) e t = Xt ) = 1 P (X = 1. Az X minden t ≥ folyamatról mindig feltesszük, hogy cadlag. A konkrét martingáljainkra ez mindig automatikusan teljesül 1.40 deníció (M, F) martingál és τ F -megállási id® M τ a megállított folyamat, azaz Mtτ = Mt∧τ . Így (M τ , F) lesz a megállított martingál, ami tényleg martingál Az egyenletesen integrálhatóságot két ekvivalens módon lehet deniálni. 1.41 deníció Egyenletesen integrálhatóság: • A H valószín¶ségi változó család egyenletesen integrálható, ha minden ε > 0-hoz

létezik k , hogy E(|X| 1{|X|>k} ) < ε minden X ∈ H esetén. • H egyenletesen integrálható, ha sup E(|X|) < ∞ és minden ε > 0-hoz létezik δ > 0, hogy X∈H ha P (A) < δ , akkor E(|X| 1A ) < ε minden X ∈ H esetén. Egyenletesen integrálható családok: • Ha H egyenletesen integrálható és H0 = {X : létezik (Zn ) ⊂ H, Zn − X akkor • Ha H0 H 1 valószín¶séggel}, is egyenletesen integrálható. egyenletesen integrálható és H0 = {Z : létezik X ∈ H, |Z| ≤ |X|}, akkor H0 is egyenletesen integrálható. • Ha H • Ha H1 , H 2 egyenletesen integrálható, akkor cH = {cX : X ∈ H} egyenletesen integrálhatóak, akkor is egyenletesen integrálható. {X − Y : X ∈ H1 , Y ∈ H2 } is egyenletesen integrálható. • Legyen X ∈ L1 valószín¶ségi változó. Ekkor {E(X|A) : Aσ -algebra} egyenletesen integ- rálható. 1.42 deníció Az X folyamat a D osztályhoz tartozik, ha {Xτ : τ

megállási id®} egyenletesen integrálható. A D a Doob névre utal 38 1.43 deníció X a DL osztályba tartozik, ha tetsz®leges T > 0 számra X T D-beli, azaz minden T > 0-ra {XT ∧τ : τ megállási id®} egyenletesen integrálható. 1.44 deníció (M, F) lokális martingál, ha létezik τn megállási id® sorozat, amelyre τn % ∞ és Yt = Mt∧τn 1{τn >0} egyenletesen integrálható martingál minden n-re. Minden martingál egyben lokális martingál is. Az martingál, ha M lokális martingál pontosan akkor valódi DL-beli. 1.45 deníció Legyen f, fn : [0, ∞) − R fn − f lokálisan egyenletesen, ha minden t ∈ [0, ∞)-nek létezik U környezete, hogy U -n a konvergencia egyenletes. Legyen d egy távolságfogalom, méghozzá d(f, g) = sup e−x ∧ |f (x) − g(x)|. Ha fn − f x≥0 lokálisan egyenletesen akkor és csak akkor, ha d(fn , f ) − 0. 1.46 deníció Az Xn − X sztochasztikusan, ha minden ε > 0 esetén P (|Xn −

X| > ε) − 0 1.47 deníció Az X (n) − X sztochasztikus értelemben lokálisan egyenletesen, ha d(X (n) , X) − 0 sztochasztikusan. Jele: X (n) X ucp 1.48 állítás A következ®k ekvivalensek: • Az X (n) X . ucp • Minden T > 0-ra sup Xt (n) t∈[0,T ] − Xt − 0 sztochasztikusan. • Minden T, ε > 0-hoz létezik n0 , hogy n ≥ n0 esetén P ( sup Xt (n) t∈[0,T ] 1.49 deníció Z elemi folyamat, ha Zt = Ze0 1{t=0} + F%k -mérhet® és a %k -k megállási id®k. − Xt > ε) < ε. n P Zek 1{t>%k } . A Z0 F0 mérhet®, a Zek k=1 Ez egy olyan folyamat, amelynek trajektóriái lépcs®s függvények, az ugrások %1 , %2 , . -ben vannak, és balról folytonos függvények. Valamint a szakadási pontok száma közös korlát alatt marad. Az ugrások nagyságai fk -k. Z 1.50 állítás ξ közelíthet® elemi folyamatokkal, azaz létezik Z (n) elemi folyamatokból álló so- rozat, hogy Z (n) − ξ sztochasztikusan lokálisan

egyenletesen pontosan akkor, ha ξ balról folytonos, jobbról határértékkel bíró trajektóriákkal rendelkezik, és ξ adaptált. 1.51 deníció Legyen X adaptált, cadlag folyamat, Z elemi folyamat Ekkor Zs dXs = Z •X R n P az a folyamat, amelyre (Z • X)t = Zek (Xt − Xt∧%k ). Ez gyakorlatilag a növekmény értéke k=1 szorozva az intervallum elején felvett értékkel. 39 Ezen integrál tulajdonságai: • • Z •X ha bilineárisan függ X, Y • Z •X • Zt Az integrál értéke nem függ és X -t®l, adaptált és cadlag, akkor cadlag, és ha Legyen Z -t®l felbontásától, azaz X azaz jól deniált. (Z 0 + Z 00 ) • X = Z 0 • X + Z 00 • X , valamint Z • (X + Y ) = Z • X + Z • Y . folytonos, akkor (Z • X)τ = (Z • X)t∧τ . Z •X Ekkor Z •X is folytonos. (Z • X)τ = Z • X τ = R Zs 1{s≤τ } dXs . 1.52 deníció Legyen X adaptált cadlag folyamat, és ϕX (Z) = Z • X Ekkor X szerint lehet

integrálni, hogyha ϕX folytonos a tárgytéren és a képtéren is. Legyen amelyre F -re. D halmaz az elemi folyamatok halmaza, E halmaz a közelíthet® folyamatok halmaza, D ⊂ E , valamint legyen F a cadlag folyamatok halmaza, és a Az elemi folyamatok s¶r¶n vannak E -ben. Továbbá jelölje ϕX függvény, E -r®l képez %(X, Y ) = E(d(X, Y ))-t. 1.53 tétel Ha ϕ : D − F egyenletesen folytonos [(D, %D ), (F, %F )]-en és D s¶r¶ E -ben, akkor létezik pontosan egy folytonos ϕ0 : E − F úgy, hogy ϕ0|D = ϕ. 1.54 deníció Tegyük fel, hogy X szerint lehet integrálni és ξ egy közelíthet® folyamat Ekkor ξ•X = R ξs dXs = ucp − lim Z (n) • X , ahol Z (n) ξ . ucp n−∞ Az integrál értékének kiszámítása: Legyen σ véletlen felosztás (partíció), ha σ = {T1 ≤ T2 ≤ · · · ≤ Tn }, σn T0n és Ti -k végtelenül nomodó, azaz ha = 0. Továbbá Ytσ megállási id®knek egy véges sorozata, amire megállási id®k.

Legyen lim max Tkn = ∞, n−∞ P = Y0 1{t=0} + σ k k akkor  T1n ≤ T2n ≤ · · · ≤ Tknn , és n lim max (Tkn − Tk−1 ) = 0, ahol σn = n−∞ YTk 1{t∈(Tk ,Tk+1 ] . 1.55 tétel Tegyük fel, hogy X szerint lehet integrálni, és Y vagy adaptált cadlag vagy kö- zelíthet® folyamat. Ekkor Y− dX = ucp − lim Y σn • X , ahol (Y− )t = lim Y(t− n1 )∨0 és σn n−∞ n−∞ végtelenül nomodó. Az Y− csak átteszi a teli karikát az intervallum másik végére R Kvadratikus variáció : 1.56 deníció Tegyük fel, hogy X szerint lehet integrálni, ekkor X kvadratikus variációja [X], és [X]t = Xt2 − X02 − 2 Zt Xs−0 dXs 0 Tulajdonságok: 40 • [X]t ≥ 0 • [X]t és monoton növ® cadlag és adaptált 1.57 deníció Ha X, Y szerint lehet integrálni, akkor X és Y zárójele a következ®: Zt [X, Y ] = (XY )t − (XY )0 − Zt Xs−0 dYs − 0 Ys−0 dXs 0 Ez egy bilineáris leképezés. Tulajdonságok: • [X, Y

] = 14 ([X + Y ] − [X − Y ]) • [X ± Y, X ± Y ] = [X] ± 2 [X, Y ] + [Y ] • [X, Y ] korlátos változású, adaptált és cadlag. A Kunita-Watanabe egyenl®tlenség következménye a következ® összefüggés: legyen hozzá 0≤s≤t ([X, Y ]t − [X, Y ]s )2 ≤ ([X]t − [X]s )([Y ]t − [Y ]s ) 1.58 állítás Tegyük fel,hogy X folytonos trajektóriájú folyamat, korlátos változású és X sze- rint lehet integrálni. Ekkor [X] ≡ 0 és [X, Y ] = 0 tetsz®leges Y -ra, ami szerint lehet integrálni, valamint [X + Y ] = [Y ]. A folytonosság lényeges, hiszen például a Poisson-folyamat kvadratikus variációja nem nulla. Az Ito-formula: 1.59 tétel Tegyük fel, hogy X = (X (1) , X (2) , , X (n) ) n-dimenziós folyamat és X (i) -k folyto- nosak, valamint lehet szerintük integrálni. Legyen f : Rn − R kétszer folytonosan dierenciálható függvény Ekkor Zt f (Xt ) − f (X0 ) = 1 hf 0 (Xs , dXs i + 2 Zt tr(f 00 (Xs )d [X]s ) 0 0 ahol f 00 (Xs )

szimmetrikus mátrix érték¶ folyamat, és [X]i,j = X (i) , X (j) .   Részletesen kiírva: f (Xt ) − f (X0 ) = Zt X n 0 i=1 1 di f (Xs )dXs(i) + 2 Zt X n 0 41 i,j=1   di dj f (Xs )d X (i) , X (j) Az általános alak a következ®képpen néz ki: legyen f ∈ C2 és X n-dimenziós folyamat, amely szerint lehet integrálni. Zt f (Xt ) − f (X0 ) = 1 f 0 (Xs−0 dXs + 2 0 + ahol Zt tr(f 00 (Xs−0 d [X]s ) 0 1 ∆f (Xs ) − f 0 (Xb s − 0∆Xs − ∆XsT f 00 (Xs ∆Xs 2 0<s≤t X ∆Ys = Ys − Ys−0 . Csereügyletek használata és árazása A csereügyletben jöv®beni pénzáramlások cseréje történik el®re rögzített feltételek mellett. Ez a két értékpapírban rejl® cash ow közvetlen kicserélését jelenti. Ugyanígy swapról beszélünk, ha nem feltétlenül értékpapírokban megtestesül® cash owkat cserélnek el egymással Két alapvet® fajtája a kamatcsere és a devizacsere. Kamatcsere : Egy lebeg® kamatozású

hitel kamatzetési sorozatának elcserélése egy azonos devizában fennálló azonos összeg¶, ám x kamatozású hitel kamatzetéseire. A csereügylet célja lehet a mérleg átalakítása és egyéb komparatív el®nyök kihasználása. Példa mérleg átalakításra: Az egyik fél egy fejlesztési bank (A) 5 éves átlagidej¶ x 7% kamatozású kötvények kibocsátásából származó forrásokkal, eszközoldalon BUBOR-hoz kötött vállalkozási hitelekkel. A másik fél egy kereskedelmi bank (B) eszközei f®leg látra szóló lakossági betétek, forrásai lakás és autó hitelek 10 év körüli átlagid®vel. A swapban a x 6%-ot cseréljék BUBOR-ra A csereügylet pénzáramlása a következ®: 6% ← 7% ← A B BU BOR+1% BU BOR Az a kérdés, hogy miért pont BUBOR-ban és 6%-ban állapodnak meg. Komparatív el®nyök kihasználása: Egy speciális ablaktáblákat gyártó (A) és egy kerti bútorokat készít® (B) vállalat beruházásához hitelt

szeretne felvenni, amit bankjaiknál a következ® kondíciókkal tudnak megtenni, ahol a nanszírozási terveik miatt A változó, míg B x kamatozású hitelt szeretne: x változó A 5% LIBOR + 1% B 7% LIBOR + 2% 42 Külön-külön az összköltségük ugyanakkor 7% + LIBOR + 1% = LIBOR + 8%, 5% + LIBOR + 2% = LIBOR + 7%, így 1% egy csereügylettel hasznon osztozhat a két vállalat és a pénzügyi közvetít®. Mindkét fél az ellentétes hitelt veszi fel, a LIBOR-t cserélik el hogy a közvetít® haszna zetnie, mivel 0, 4% 0, 2% legyen. B-nek a 7 % a haszna, és A-nak LIBOR + 4, 5%-ra úgy, helyett evvel a cserével csak 1% helyett LIBOR + 0, 6%-ot 6, 6%-ot kell kell zetnie. A pénzáramlás a következ®: 4,4% 4,6% ← 5% ← ← A FI B LIBOR LIBOR LIBOR+2% Deviza csere : Az egyik devizában fennálló hitel (kötvény) cash owjának (kamatzetési sorozatának és jöv®beli törlesztésének) elcserélése egy

másik devizában fennálló hitel (kötvény) pénzáramlására. Mérleg átalakítása: Cross-currency swapok gyakori használói például az államadósság kezel® intézmények, így az ÁKK is • a magyar államadósság jelent®s részének (99%) forintban vagy euróban kell denominálva lennie • el®fordulnak el®nyös kibocsátási lehet®ségek egyéb piacokon is, például USA vagy Japán • az adósságkezel® kibocsát USD vagy YPN kötvényt, majd a kamatokat elcseréli EUR vagy HUF pénzáramlásokra Komparatív el®nyök: Két Franciaországban tevékenyked® leányvállalat, egy amerikai (A) és egy német (B) hitelt szeretne felvenni új beruházásához. Az anyacéggel való könnyebb elszámolás érdekében az amerikai USD, míg a német EUR devizában szeretne zetni. Bankjaik a következ® hiteleket ajánlják számukra: Külön-külön az összköltségük így 1% EUR USD A 4% 7% B 3% 5% 3%+7% = 10%, egy csereügylettel ugyanakkor 4%+5% =

9%, hasznon osztozhat a két vállalat és a pénzügyi közvetít®. Kérdés, hogy 1%U SD. 1%EU R = Mindkét fél a számára kedvez®tlen devizában denominált hitelt veszi fel, majd a kamatokat elcserélik. Tehát a vállalatok közvetít® megkapja a 0, 2% 0, 4%-ot takarítanak meg saját devizájukban, míg a jutalékát, ám ® futja az árfolyamkockázatot. Elképzelhet® olyan swap is, hogy valamelyik fél is fut árfolyamkockázatot. A csereügylet pénzáramlása a következ®: 43 2,6%EU R 4%EU R ← 4%EU R ← A ← FI B 6, 6%U SD 5%U SD 5%U SD A swap árazása - kamatcsere : A két láb felfogható úgy, mint egy-egy kötvény a névérték cseréje nélkül. Cél a x kamat megválasztása, hogy az üzlet a megkötés pillanatában 0 érték¶ legyen. Tehát olyan x kamat kell, ami mellett a két kötvény értéke azonos. A változó kötvény értéke kamatigazításkor 100% Így a x kamatláb (swap ráta) a x kötvény par

kamatlába. A swapok pénzáramlása általában féléves periódusú szokott lenni. A kötvénymódszer alkalmazására nézzünk egy példát. A swap x 10 % cseréje EURIBOR-ra, éppen a kamatcsere után. A swap két lábára tekinthetünk úgy, mint két kötvényre: swap swap kötvény kötvény t CF kap CF ad 1 8 2 r CF kap CF ad −10 8% 8 −10 −9, 26 E −10 9% E −10 −8, 42 3 E −10 10% E −10 −7, 51 4 E −10 11% E −10 −6, 59 5 E −10 12% −110 −62, 42 100+ E PV(ktv ad) −94, 19 100 A swap értéke tehát a két láb értékének különbsége, azaz 100 − 94, 19 = 5, 81. A forward módszer alkalmazása ugyanezen példán. A swap pénzáramlása minden évben felfogható egy-egy határid®s kamatlábmegállapodásként is: t CF kap CF ad r f CF kap FRA PV 1 8 −10 8% 8% 8 −2 −1, 85 2 E −10 9% 10, 01% 10, 01 0, 01 0, 01 3 E −10 10% 12, 03% 12, 03 2, 03 1, 52 4 E

−10 11% 14, 05% 14, 05 4, 05 2, 67 5 E −10 12% 16, 09% 16, 09 6, 09 3, 46 5, 81 A swap árazása - devizacsere Kötvénymódszerrel: EUR-CHF csere, EUR hozamgörbe vízszintes, az EUR/CHF árfolyam 1, 34, 5%-on, a hátralév® futamid® 3 év. 44 CHF hozamgörbe 3%-on CF kap CF ad 1 6 EUR −5 CHF 2 6 EUR −5 CHF 3 106 EUR −105 CHF 6 6 106 + 1,05 2 + 1,053 = 102, 72 EUR. 1,05 5 5 105 A CHF láb értéke: − − 1,03 2 − 1,033 = −105, 66 CHF. 1,03 1 Tehát a swap értéke: 102, 72 − 105, 66 = 23, 87 EUR. 1,34 Az EUR láb értéke: Forward módszerrel: A különböz® évi pénzáramlásokat egy-egy határid®s deviza vételnek tekintjük, az adott határid®s árfolyamon F CF kap CF ad t (EUR) (CHF) 1 6 2 3 váltjuk át: CF kap FRA PV F (EUR) (EUR) (EUR) −5 1, 31 −3, 8 2, 2 2, 09 6 −5 1, 29 −3, 88 2, 12 1, 93 106 −105 1, 26 −83, 01 22, 99 19, 86 23, 87 Az átváltást úgy végezzük el,

hogy például összege, azaz ismét 23, 87 1 −3, 8 = −5 1,31 . A swap értéke tehát a 3 jelenérték EUR. Egyéb csereügyletek : • CCIRS: kamat és devizacsere egyszerre, ahol egy devizában denominált x kamatot cserélnek egy másik devizában denominált változó kamatra. Például az ÁKK használ ilyen instrumentumokat is az adósságportfólióban a x-változó és a forint-euró arányok optimális szintre állítására. • FX-swap: két ellentétes irányú, egy azonnali és egy jöv®beni id®pontbeli deviza tranzakció. Tehát tulajdonképpen azonnali deviza vétel és határid®s eladás, azaz deviza fedezet melletti hitelfelvétel. Az FX-swap a pénzügyi szektor fontos része, mivel piaca sokkal likvidebb, mint a határid®s deviza piac A piaci szerepl®k gondolkodásában a határid®s devizaügyletek helyett az FX-swap tölti be a központi szerepet A legtöbb esetben határid®s deviza vásárlást is szintetikusan, FX-swap és prompt piaci vétel

segítségével valósítanak meg. • Credit default swap: egy kockázatos hitelt nyújtó bank (A) megállapodást köt egy másik pénzügyi intézménnyel (B). A swap egyik lábaként A rendszeres díjat zet B számára, a másik lábként A hitelének cs®dje esetén B kizet egy el®re megállapított összeget. Ez tulajdonképpen egy biztosítás hitelkockázatra. 45 • Total return swap: egy kockázatos hitelt nyújtó bank (A) megállapodást köt egy másik pénzügyi intézménnyel (B). A swap egyik lábaként A a hiteléb®l származó teljes jövedelmét (kamatok és lejáratkori hozam) kizeti B számára, a másik lábként B egy el®re meghatározott változó kamatot zet A-nak. Így a bank a hitelkockázatát cseréli kamatkockázatra Letéti követelmény: A futamid® alatt a swap értéke jelent®sen eltérhet 0-tól, ekkor az a fél, aki számára az érték negatív, letétet helyez el a partnerénél (nagyon kevés kivétel van) • a letét

biztosítékként m¶ködik a nemzetés kockázata ellen • a letétet kapó fél kamatot zet a partnerének • a letét szükségességét és mértékét gyakran, általában hetente vagy havonta felülvizsgálják A pénzügyi közvetít®k sedégkezhetnek mindkét fél számára el®nyös swap ügyletek létrehozásában. A nagy bankok jelen vannak a swap piacon, ahol egyik félként vesznek részt az ügyletekben, ám kell® swap esetén a pénzáramlásaik közel kinullázzák egymást (tehát gyakorlatilag partnerek, de tulajdonképpen közvetít®ként viselkednek). Ezen bankoknak köszönhet® a swap piac likviditása. 1.7 7 tétel Sztochasztikus dierenciálegyenletek, er®s és gyenge megoldás, eloszlásbeli és trajektóriánkénti unicitás. A biztosítás állami felügyelete Példák a biztosító részvénytársaság alapításának és m¶ködtetésének személyi feltételeire A biztosítás bizalmi ügylet jellege Sztochasztikus dierenciálegyenletek :

Az egyenletet jelöljük e(µ, σ)-val. Maga az egyenlet a következ®képpen néz ki: dXt = µ(t, Xt )dt + σ(t, Xt )dWt ahol µ és σ ltrációban, mérhet® függvények, X adaptált az ezek teljesülnek, akkor (Ω, (Ft )t≥0 , P ) F -hez, (X, W ) valószín¶ségi mez®, az integrálok léteznek és kielégíti az e(µ, σ) X W Wiener-folyamat az F eleget tesz az egyenletnek. Ha egyenletet. 1.60 deníció Az e(µ, σ) megoldása trajektóriánként egyértelm¶, ha (X, W ) és (X 0 , W ) meg- oldás (Ω, (Ft )t≥0 , P )-n és P (X0 = X00 ) = 1, akkor P (X = X 0 ) = 1, azaz X és X 0 megkülönböztethetetlenek. 46 1.61 deníció Az e(µ, σ) megoldása eloszlásban egyértelm¶, ha (X, W ) megoldás (Ω, (Ft )t≥0 , P )- n és (X 0 , W 0 ) megoldás (Ω0 , (F 0 t )t≥0 , P 0 )-n, és X0 = X10 eloszlásban, akkor X = X 0 eloszlásban, azaz P (X ∈ A) = P 0 (X 0 ∈ A) minden A ⊂ C(0, ∞) Borel-halmazra. 1.62 deníció (X, W ) er®s

megoldás, ha X adaptált F W,X0 -hoz, ahol FtW,X0 = σ(X0 , Ws : s ≤ t). Tanaka példája: Nézzük a következ® egyenletet: dXt = sign(Xt )dWt , és ekkor sign(Xt )dXt = dWt . Legyen Bt = Xt − X0 = Rt sign(Xs )dWs , B0 = 0 és [B]t = 0 Wiener-folyamat és Rt (sign(Xs ))2 ds = t, tehát B 0 Xt = Bt + X0 , tehát Wt := Rt sign(Xs )dXs . Ekkor a W Wiener-folyamat 0 és (X, W ) kielégíti a Tanaka-egyenletet. 1.63 tétel Tegyük fel, hogy az e(µ, σ) megoldása trajektóriánként egyértelm¶ Ekkor minden megoldás er®s és a megoldás eloszlásban egyértelm¶. 1.64 tétel Tegyük fel, hogy az e(µ, σ) megoldása eloszlásban egyértelm¶, akkor ha (X, W ) megoldás az (Ω, (Ft )t≥0 , P )-n, akkor X Markov-folyamat az F ltrációval. A ξt Markov-folyamat, ha minden A ∈ F≥t -re, és B ∈ F≤t -re P (AB|F=t ) = P (A|F=t )P (B|F=t ) 1 valószín¶séggel. Azaz a múlt és a jöv® feltételesen független egymástól Az az információt a

múltról, F=t a jelenr®l és A megoldás kanonikus alakja: F≥t F≤t tartalmazza a jöv®r®l.  Ω = C d1 +d2 ([0, ∞)) = C d1 ( 0, ∞)) × C d2 ([0, ∞)) , et = σ(Xs , Ws : s ≤ t), valamint Pe ahol d1 az X dimenziója, d2 a W dimenziója. Továbbá F et ((W 1 , W 2 )) = W 1 (t) és W ft ((W 1 , W 2 )) = W 2 (t). valószín¶ségi mérték. Jelölje X Legyen (X, W ) megoldás (Ω, (Ft )t≥0 , P )-n, és X, W e Fet , Pe)-n (X, e W f ) megoldás. P ((X, W ) ∈ A), ekkor (Ω, Tegyük fel, hogy eloszlása a Q. Legyen Pe(A) = 1.65 tétel Yamada-Watanabe-tétel: Ha e(µ, σ) megoldása trajektóriánként egyértelm¶, akkor • minden megoldás er®s • eloszlásbeli egyértelm¶ség is fennáll   • létezik F függvény, F : (Rd1 × C 0, ∞), Rd2 ) − (C 0, ∞), Rd1 ) , hogy F (X0 , W ) = X , ha létezik, akkor megoldás. 1.66 tétel Ha e(µ, σ) megoldása eloszlásban egyértelm¶ tetsz®leges kezdeti érték esetén, akkor a megoldás

Markov-folyamat. Martingál probléma: 47 1.67 deníció Lokális martingál: Az (M, F) lokális martingál, ha létezik τn megállási id® sorozat, amelyre τn % ∞ és Yt = Mt∧τn 1{τn >0} egyenletesen integrálható martingál minden n-re. Rt Rt e(µ, σ) megoldása az (X, B), azaz Mt = Xt −X0 − µ(Xs )ds = σ(Xs )dBs . Tegyük fel, hogy 0 Az M folytonos trajektóriájú lokális martingál, ami a 0-ból indu, és 0 [M ]t = Rt σ 2 (Xs )ds. Így 0 olyan folyamat, amire megszabadultunk a Wiener-folyamattól. Tegyük fel, hogy X M folytonos Rt 2 σ (Xs )ds. Ekkor a valószín¶ségi mez® kib®vítésse lokális martingál és teljesül, hogy [M ]t = 0 után létezik B , hogy (X, B) megoldása e(µ, σ)-nak. Eredetileg X az (Ω0 , (F 0 t )t≥0 , P 0 )-n Ω = Ω0 × Ω00 legyen P = P 0 × P 00 . és Ezen minden rajta van, folyamat a valószín¶ségi mez®nkön, ami független lokális martingál lesz Továbbá a Ω00 = C([0, ∞), R)

van. Legyen F 0 -t®l. Legyen B és B β is. Létezik Wiener- 0 Ft = F t ∨ σ(βs : s ≤ t). M F 0 -ben. β F -ben is Wiener-folyamat lesz. Legyen Bt = Rt 0 Ez a X a Wiener-mértékkel, így Wiener-folyamat. Kielégíti-e B az egyenletet: Rt 1 1 dMs + σ(Xs ) {σ(Xs )6=0} σ(Xs )dBs ≈ Mt , 0 rálunk, hanem valamit, ami néha 0-t is felvehet. Az ilyen X Rt 1{σ(Xs )=0} dβs . 0 mert nem 1-et integ- keresését martingál problémának szokás nevezni. A martingál probléma (M P (µ, σ en és X = ω ∈ Ω. Az e(µ, σ) ν(ω(0) = x) = 1 )). A megoldás egy valószín¶ségi mérték az Ω = C([0, ∞), R) - megoldása eloszlásban egyértelm¶ pontosan akkor, ha megoldása egyértelm¶ tetsz®leges Legyen 2 x M P (µ, σ 2 ) kezdeti érték mellett, azaz jóldeniált. valószín¶ségi mérték. ν megoldja az M P -t, ha • (C([0, ∞)), (Bt )t≥0 , ν) -n Xt (ω) = ω(t). • Mt = X t − X 0 − Rt µ(Xs ds lokális

martingál 0 • Mt2 − Rt σ 2 (Xs )ds lokális martingál. 0 Az M (M0 = 0) minden lokális martingál ha τn = inf {t : |Mt | > n} és E((Mt∧τn − Ms∧τn )1A ) = 0 A ∈ Bs -re és 0 ≤ s ≤ t -re. Itt az alaphalmaz egy véges, szeparábilis metrikus tér Nem kell minden A-ra, csak a elég. Ugyanígy elég Bs s, t-b®l generátorrendszerében lév®kre, ezért csak megszámlálható A-ra is megszámlálható sok. 1.68 tétel Legyen µ(t, Xt ) , σ(t, Xt ), B Wiener folyamat, és (Ω, (Ft )t≥0 , P ) Tegyük fel, hogy µ és σ eleget tesznek a következ®knek: • Lipschitz-feltétel: minden t ≥ 0 és x, y ∈ R esetén |µ(t, x) − µ(t, y)|2 + |σ(t, x) − σ(t, y)|2 ≤ KL |x − y|2 . 48 • Lineáris növekedési feltétel: |µ(t, x)|2 + |σ(t, x)|2 ≤ KN (1 + |x|2 ). Ekkor tetsz®leges ξ kezdeti értékhez létezik egyetlen X , hogy (X, B) megoldása e(µ, σ)-nak, és X0 = ξ . A biztosítás bizalmi ügylet jellege : A bizalom

nagyon fontos, hiszen a biztosító sok személyes dologról tud az ügyféllel kapcsolatban. A biztosító oldaláról: a biztosító elhiszi, hogy az ügyfél valós adatokat közöl és nem készül biztosítási csalásra. Az ügyfél részér®l pedig: el®re kell zetnie, egy esetleges kés®bbi szolgáltatásért, és megbíznak a biztosítóban, hogy nem megy cs®dbe, nem t¶nik el, valóban teljesíteni fog. A biztosítás bizalmi ügylet azért is, mert a szerz®dések tartama a szokásos üzletmenethez képest nagyon hosszú lehet Ezek alapján látható, hogy a biztosítási titok sokkal szélesebb kör¶, mint a banktitok. Ha ez kikerül, szinte bármit meg lehet tudni az ügyfélr®l A biztosítók állami felügyelete : A felügyelet az ügyfelek és a piac védelmében ellen®rzi a biztosítókat. A rendszerkockázat ellen is véd, hogy ne menjen tönkre az egész ágazat. A magyar biztosítás felügyelet 1987-ben alakult meg, ekkor a f® feladat az ügyfélvédelem

volt. Tehát azt ellen®rizték, hogy ha zetni kell, akkor képes legyen zetni a biztosító. Egészen az elmúlt másfél évig volt ez így, azóta er®södik a fogyasztóvédelmi funkció. A Felügyelet f®bb feladatai: • rendszerkockázat elkerülése • a piaci verseny tisztességes megtartása • a bizalom er®sítése • az ügyfelek védelme • a nemzetközi együttm¶ködés er®sítése stb. Országos határkör¶ szerv, melynek ellen®rzési és szabályozási tevékenységet is el kell látnia. Adatközlési kötelezettségek el®írásával kapcsolatban adhat csak ki rendeletet. Csak a törvény adhat feladatokat a szervezet részére, költségvetését csak az országgy¶lés bírálja. Döntését nem bírálja felül semmilyen szerv. Elnökét a köztársasági elnök nevezi ki, 2 alelnöke is van, ®ket az elnök javaslatára a miniszterelnök nevezi ki. És van a Pénzügyi Békéltet® Testület, itt az elnök nevezi ki a tagokat. Mindegyik

tisztvisel®t 6 évre nevezik ki Lemondásuk nem egyszer¶: felmentés, halál, összeférhetetlenség stb. A felügyelet számára nyilvánosságra hozatali kötelezettség: • a felügyelt szervezetek listája 49 • döntés elleni bírálat • elmarasztalásról szóló döntés • beszámoló • félévente kockázati jelentés stb. Tevékenységét egyedi és kontroll tevékenységgel végzi. Elemzéssel, negyedévenkénti adatkéréssel nézi meg, hogy van-e valami baj Ezenkívül átfogó ellen®rzés keretében a helyszínen vizsgálja meg a szervezeteket. Itt gyakorlatilag belenézhet bármibe Bíróságon lehet fellebbezni a felügyelet döntései ellen. Általában kártérítési perek ezek, de nagyon eltér®ek lehetnek Felügyeleti biztos: a felügyelet küldi ki, feladata, hogy helyreállítsa a jogszer¶ m¶ködést. Maximum 6 hónapra lehet kiküldeni. Beiktatásának fokozatai: 1. átveszi a cégmenedzsment döntését 2. a menedzsment bizonyos

döntéseket csak az ® ellenjegyzésével teljesíthet Ha nem jól végzi a munkáját a felügyeleti biztos, akkor evvel kárt okozhat a cégnek. Ha ezt sikerül kimutatni, akkor a bíróságon kell felelnie érte. Azonban a felügyeleti döntést a bírósági eljárás alatt is végre kell hajtani. A PSZÁF (Pénzügyi Szervezetek Állami Felügyelete) eljárásai: • engedélyezési eljárások • ellen®rzési eljárások: 3 évenkénti átfogó vizsgálat, célvizsgálatok, témavizsgálatok • fogyasztóvédelmi ellen®rzés • piacfelügyeleti eljárás: az engedély nélkül végzett tevékenységek megtalálása Pénzügyi Békéltet® Testület: Magyarországon nemrég indult, de Európában már régebben is voltak ilyen testületek. Célja, hogy egyezség alakuljon ki a szervzet és az ügyfél között Ha nem jön létre, akkor a testület határozatot hozhat. Elnöke a felügyelet elnökének számol be Közérdek¶ igényérvényesítés: ha a fogyasztók

érdekeit megsértik és nincs lehet®ség közvetlenül beavatkozni, akkor indíthat a fogyasztókért egy közös pert. A biztosítók rendszeres adatszolgáltatása: • éves jelentés • negyedévente felügyeleti jelentés • évente aktuáriusi jelentés 50 A felügyelet intézkedései: • Határozatban kötelezi a biztosítót döntések meghozatalára. • Felügyeleti bírság megzetésére kötelezi a biztosítót. Funkciója, hogy a bírság mértékével lássák, hogy mekkora hibát követtek el. Kezd a bírságnak elrettent® ereje lenni • Közgy¶lés, taggy¶lés összehívására kötelezheti a céget, ha úgy érzi, hogy nem tud egyénileg elérni semmit a menedzsmentnél. • Felfüggesztheti a részvénytársaság, egyesület osztalékzetését. • Kezdeményezheti meghatározott vezet®k felel®sségre vonását. • El®írhat szanálási terv, pénzügyi terv és pénzügyi helyreállítási terv benyújtását. • Egy termék

terjesztési engedélyét felfüggesztheti. • Korlátozhatja a szavatoló t®ke és a tartalék feletti rendelkezési jogot. • Megtilthatja az engedély nélkül m¶köd® dolgokat. • Közvetít®ket törölhet a nyilvántartásból. • Felügyeleti biztost rendelhet ki. • Állomány átruházására kötelezheti a biztosítót, ha van, aki átvegye. • Bizonyos tevékenység kiszervezését megtilthatja. • A tevékenységi engedélyt részben vagy egészben megszüntetheti. • Az alapítási engedélyt visszavonhatja. A Felügyelet felügyeleti díjat szed be, és abból nanszírozza m¶ködését. Biztosítási szükséghelyzet a következ®: • esedékes kötelezettségének 5 napon belül nem tesz eleget • tartalékai nem érik el a szükséges mértéket, és a fedezete nem elegend® • szanálási, pénzügyi tervét nem tudja a megfelel® id®n belül végrehajtani • különösen súlyos vészhelyzet, ami a szolgáltatások

biztosítását veszélyezteti. A biztosító alapításának és m¶ködésének személyi feltételei : Alapítás: kell hozzá alapítási és tevékenységi engedélyezés. A m¶ködés megkezdésének 4 kritériuma van: 51 • Alapító okirat • Üzleti terv: az a gazdasági terv, amiben leírja, hogy a következ® 3 évben milyen tevékenységet akar végezni, milyen volumenben, milyen haszonnal, költségekkel. • Pénzügyi feltételek: t®kekövetelmény megléte (szervezet felállításának költsége, biztosítás kockázataiból ered® költség) • Személyi és tárgyi feltételek Személyi feltételek: • Vezet® tisztségvisel®k részvénytársaságnál: igazgatóság és felügyel®bizottság. Ezt igazán a cégjog szabályozza. Ezek a társaság legf®bb stratégiai döntéshozói Az igazgatóság helyett lehet csak vezérigazgató. A felügyel®bizottság nem csak felügyeleti tevékenységet végez, a tulajdonos egy-két fontos döntési

kompetenciáját is átvállalja. Egyfajta irányítást is ellát magas összeg felett. Ilyen pozícióba szükséges a büntetlen el®élet, szakmai alkalmasság, 5 éves vezet®i gyakorlat, fels®fokú végzettség, és könyvvizsgáló nem lehet. • Ügyvezet®k: vezérigazgató és helyettesei. Ugyanazok a feltételek, és még munkaviszonyban kell állniuk a társasággal. • Egyéb vezet®k: az alábbiak kötelez®en kellenek egy biztosítónál, már az induláskor: vezet® aktuárius, vezet® jogtanácsos, számviteli rendért felel®s vezet®, bels® ellen®r, vezet® orvos, ha személybiztosítással foglalkozik. Vezet® aktuárius: szakirányú egyetemi végzettség, biztosításmatematikai képzettség, 5 éves szakmai gyakorlat, büntetlen el®élet stb. A jogásznál is hasonló elvárások Szakmai alkalmasság és üzleti megbízhatóság: jóüzleti hírnév. Nehezen ellen®rizhet® dolog ez. Nálunk a hatóság nem igazán tudja bizonyítani az ellenkez®jét,

ezért nem is mer fellépni Eszközök: önéletrajz, korábbi munkaadói nyilatkozat, felügyel® bizottság kérd®ívének kitöltése. Akit nem lehet ilyennek tekinteni: • egy cég felszámolásában része volt • megsértette a Bit-et és a legnagyobb bírságot szabta ki rá a hatóság 1.8 8 tétel A többdimenziós normális eloszlás paramétereinek becslése, rájuk vonatkozó hipotézisvizsgálat. A hatályos biztosítási törvény szerint milyen szervezeti formában lehet biztosítási tevékenységet végezni hazánkban, s melyek ezen biztosítói szervezeti formák alapvet® jellegzetességei? 52 A többdimenziós normális eloszlás : 1.69 deníció X p-dimenziós normális eloszlású, ha minden a ∈ Rp -re aT X normális elosz- lású. Jelölése: X ∼ Np (µ, Σ) µ = E(X) a várható érték vektor és Σ = E(X − µ)(X − µ)T a p(p+1 méret¶ szórásmátrix. 2 e = (X 1 , . , X n )T egy Np (µ, Σ) adatmátrix, ha minden i-re X i ∼ 1.70

deníció Az X Np (µ, Σ) eloszlású és függetlenek. 1.71 tétel S¶r¶ségfüggvény: Ha Σ pozitív , akkor fX (x) = |2πΣ|− 2 exp − 21 (x − µ)T · Σ−1 · 1  (x − µ). Paraméterbecslés : Legyen X 1 , X 2 , . , X n ∼ Np (µ, Σ) Tegyük fel, hogy Σ > 0, ekkor az n darab mintaelem likelihood függvénye: ( L(X, µ, Σ) = |2πΣ| −n 2 n 1X exp − (X i − µ)T · Σ−1 · (X i − µ) 2 i=1 Induljunk ki abból, hogy nem ismerjük sem µ-t, sem Σ-t. ) Átalakítások után a következ®t kapjuk a loglikelihoodra: l = log L = n  n log (2π)−1 · Σ−1 − tr Σ−1 (S + (X − µ)(X − µ)T 2 2 Ezt kell maximalizálnunk, amib®l kijön, hogy (X, S) µ és Σ ML-becslései µ̂ = X egy elégséges statisztika, és belátható, hogy teljes statisztika is. Az statisztika és torzítatlan becslése a µ-nek és a Σ-nak. és Σ̂ = S . n (X, n−1 S) Az elégséges Ezáltal hatásos becslés is lesz. 1.72

deníció Az (µ̂, Σ̂) hatásos becslés (µ, Σ)-ra, ha (µ, Σ) bármely f (µ, Σ) lineáris függvé- nyére f (µ̂, Σ̂) hatásos becslés. 1.73 deníció A d∗ megengedhet® µ-re, ha nem létezik olyan d becslés, hogy minden µ-re Eµ (||d∗ − µ||2 ) ≥ Eµ (||d − µ||2 ) és van olyan µ, hogy határozott az egyenl®tlenség. 1.74 állítás Stein-paradoxon: Ha p ≥ 3, akkor X nem megengedhet® a µ-re Hipotézisvizsgálat: Van összesen T (X1 , . , Xn ) p+ p(p+1) 2 ismeretlen paraméterünk, jó sokféle hipotézist vizsgálhatunk. Legyen minta. Eloszlása • Nullhipotézis • Ellenhipotézis ν -t®l függ. H0 : ν ∈ θ0 H1 : ν ∈ θ1 53 1.75 deníció H0 hipotézis H1 hipotézissel szembeni tesztelésére a valószín¶séghányados sta- tisztika a következ®: λ(X) = L∗0 ahol L∗i (x) = sup Li (ν, x) L∗1 ν∈θi Ha ez a statisztika elég nagy, akkor a próba helyett 2(l1∗ −2 log λ = − H0 -t fogadjuk el, ha

elég kicsi, akkor H1 -et. Gyakran ez l0∗ )-al dolgoznak. 1.76 deníció Az α-szint¶ valószín¶ség-hányados próba kritikus tartománya R = {x : λ(x) < c}, ha sup Pν (x ∈ R) = α. Ez az els®fajú hiba valószín¶sége ν∈θ0 1.77 tétel Ha θ0 , θ1 ⊆ Rq , a θ0 egy r-dimenziós altér, akkor ν ∈ θ0 és növekv® mintaelemszám esetén −2 log λ − χ2q−r . Speciális esetek: • Ha a Σ ismert, akkor H0 : µ = µ0 , −1 T −2 log λ = n(X −µ0 ) ·Σ és ekkor |θ0 | = 1. A próbastatisztika a következ® lesz: ·(X −µ0 ), ami Σ ismeretében kiszámítható. Ez a nullhipotézis 2 mellett χp eloszlású lesz. • H a Σ ismeretlen, akkor is H0 : µ = µ0 . próbastatisztika a következ® lesz: µ0 )T S −1 (X − µ0 ) F (p, n − p) • Legyen H0 : Σ = Σ0 és µ a a Σ−1 0 S H0 mellett ahol d = X − µ0 . A n−p (X p − mellett az eloszlású lesz. ismeretlen. A próbastatisztika: mellett Σ−1 0

S sajátértékeinek számtani közepe, és np(a − log(g) − 1) ≈ χ2q−r , Σ̂ = SddT , −2 log λ = n log(1 + dT S −1 d). A H0 n log Σ−1 0 S − np, azt várjuk, hogy H0 gyen A ahol q −2 log λ = ntr(Σ−1 0 S) − közel legyen az egységmátrixhoz. Le- g a mértani közepe. Ekkor −2 log λ = annak az altérnek a mérete, ahonnan a paramétereket választjuk. Az UIT-próba (Union intersection): X ∼ Np (µ, Σ), Ha minden R= S a akkor a ∈ Rp -re ya = aT X ∼ N (aT µ, aT Σa) a-ra H0,a : ya ∼ N (0, aT Σa) R0,a . a hipotézisünk. Tehát lesz. Ha H0 = ∩a H0,a . H0 : µ = 0, akkor A kritikus tartomány: Itt is 3 esetet vizsgálunk: • H0 : µ = µ0 és Σ ismert. Ebben az esetben az UIT próba ugyanaz lesz, mint a valószín¶ség hányados próba. • H0 : µ = µ0 és Σ ismeretlen. Ebben az esetben többdimenziós t-próbát, azaz Hotelling-féle T2 kapunk. • H0 : Σ = Σ0 és µ ismeretlen. A következ®

próbastatisztikát kapjuk: tunk el, ha ez nagyon kicsi, vagy nagyon nagy. 54 T n aaT ΣSa . 0a Akkor utasí- Várható értékek hipotézisvizsgálata: Van k darab mintánk, és H0 : µ1 = µ2 = · · · = µk , nek. Tovább tegyük fel, hogy er®s feltevés. Ha és Σ-t. Tehát H0 µ̂i = X i , Σ1 = Σ 2 = · · · = Σ k . azaz a minták várható értékei megegyez- A szórásmátrixok egyenl®sége egy nagyon H0 teljesül, akkor egyesíthetjük a mintát, és az egész mintából becsülhetjük µ-t esetében azonban a közös Speciálisan, ha k= µ̂ = X Σ-val és Σ̂ = S . Ha H0 nem teljesül, akkor más a helyzet, azaz Σ̂ = k P µi -k becslésére igaz, hogy ni Si , ahol n n = n1 + n2 + · · · + nk . i=1 2, akkor Behrens-Fisher-problémának nevezzük. A biztosítási tevékenység szervezeti formái : Szervezetek a biztosítási piacon: • Biztosító: minden tevékenységet végezhet. Biztosítási tevékenysége kizárólag

biztosító végezhet, és biztosító kizárólag biztosítási tevékenységet és ami ahhoz nagyon közel áll, azt végezhet. Ilyen például befektetési egységek kezelése, hitelnyújtás, egyéb banki tevékenységek, unit-linked biztosítás • Közvetít®k: kockázatot nem vállalhatnak • Szaktanácsadók: ®k nem is közvetíthetnek • Képviseletek: egyiket sem csinálhatja. Képviselik a társaságukat, piacot gyelnek Régen nagyon sok ilyen volt, aztán a biztosítók alapítottak maguknak. Például a japán biztosítóknak nincs képviselete Magyarországon, pedig nyugaton van A biztosítók fajtái: • Egyesületek: ez leginkább személyegyesít®, nonprot szervezet (a betett pénz nem protszerzésre megy, csak a tagoknak szolgáltat). Mi is léteznek ilyenek, a legjellemz®bb a mez®gazdaságban, hiszen az ilyen kockázatokat rendes biztosítók nehezen biztosítják. El®nye lehet még, hogy tényleg csak a szükséges költségeket számolják

fel, így olcsóbb, mint egy részvénytársaságnál vett biztosítás. Hátrányuk, hogy nem tudják porlasztani a kockázatukat és kicsi az alapvagyonuk. • Szövetkezetek: jellemz®je, hogy t®ke és személyegyesít®. Magyarországon nincsenek biztosító szövetkezetek, mert ez az intézeti forma félúton van a személyi egyesülés és a modern kori részvénytársaság között. Tehát létrehozni nem könnyebb egy ilyen intézeti formát, mint egy részvénytársaságot, de fenntartani macerásabb (például a kiválás nehézkesebb, s®t bizonyos esetekben nem is lehet). A törvénybe mégis bekerült, mert Európában egy elterjedt intézeti forma. • Részvénytársaság: legf®bb jellemz®je, hogy t®keegyesít®, mindenféle biztosítással foglalkozhat 55 1.9 9 tétel F®komponens- és faktoranalízis. Az életbiztosítás nemzetgazdasági funkciói, közvetlen és közvetett hatásai Ha p számú egymással korreláló változó közötti

kapcsolatrendszert vizsgáljuk, és egymással korrelálatlan változókká transzformáljuk az eredeti változókat, akkor f®komponens elemzésr®l beszélünk. Ha pedig statisztikai modell húzódik meg a változók kapcsolatrendszere mögött, és a modellben szerepl® közös és egyedi faktorok megmagyarázzák a változók kovarianciáját, akkor faktorelemzést végzünk. A meggyelt változók szórásfelbontását elvégezve, három összetev®t különböztetünk meg. Teljes variancia = közös variancia + egyedi variancia + hiba variancia • Közös variancia: több változó mögött fekszik egy közös faktor • Egyedi variancia: egy változó mögött egy faktor húzódik meg • Hiba variancia: mérési hiba A két módszer dönt®en ebben a felbontásban különbözik, mert f®komponenseket készítünk, ha a közös és egyedi varianciát együtt magyarázzuk, és faktorelemzést készítünk, ha csak a közös varianciát modellezzük. F®komponens

analízis : Az eljárás alapgondolata az, hogy az egymással páronként lineárisan korreláló változók együtteséb®l ortogonális transzformáció révén el®állítjuk a korrelálatlan f®komponenseket úgy, hogy az els® néhány komponens leírja a változók összes szórásnégyzetének elég nagy hányadát, és így alacsonyabb dimenzióba képezhetjük le meggyeléseinket. Célunk a dimenziócsökkentés mellett lehet az is, hogy közvetlenül nem mérhet® (látens) változókat állítsunk el®. Legyen µ)T ). X p-dimenziós Készítsük el a Σ valószín¶ségi változó, és spektrálfelbontását: E(X) = µ, ΓT · Σ · Γ valamint Σ = E((X − µ)(X − egy diagonális mátrix, ahol a f®átlóban λ1 ≥ · · · ≥ λp ≥ 0. Γ = (γ 1 , . , γ p ) és p P Σ · γ i = λi · γ i és γ i -k ortogonálisak, azaz γ Ti · γ i = δii . Ezekb®l azt kapjuk, hogy Σ = λi γ i γ Ti . λ1 , . , λp Σ sajátvektorai állnak, amikre

Továbbá i=1 Nézzük a következ® hozzárendelést: X 7− ΓT (X − µ) = Y . Ezt hívjuk f®komponens transz- Yi = γ Ti (X − µ)-t is egy p- dimenziós véletlen vektor. Tehát a f®komponensek el®állításához meg kell tudnunk becsülni λi formációnak, valamint és γi nevezzük i-edik f®komponensnek. Az Y mennyiségeket. 1.78 tétel 1. E(Yi ) = 0 és D2 (Yi ) = λi 2. Cov(Yi Yj ) = 0, ha i 6= j Pontosan ezt szerettük volna elérni a transzformációval 56 3. D2 (Y1 ) ≥ D2 (Y2 ) ≥ · · · ≥ D2 (Yp ) Azaz a közös szórásnégyzetb®l Y1 magyarázza a legtöbbet stb. p P 4. D2 (Yi ) = tr(Σ) i=1 p Q 5. D2 (Yi ) = det(Σ) i=1 1.79 állítás D2 (Y1 ) = max D2 (aT X). Gyakorlatilag aT Σa mennyiséget kell maximalizálnunk T a a=1 1.80 állítás D2 (Yk+1 ) = max D2 (aT X) és Cov(aT X, Yi ) = 0 minden i = 1, . k T a a 1.81 tétel Legyen σi2 (b) = min E(Xi − α − α,β p P vektorváltozónak. Ekkor a j=1 βj bTj X)2 ,

ahol bTj -ak transzformációi az eredeti -t a b0 = γ 1 , . , bk = γ k minimalizálja, és k rögzített szám σi2 (b) i=1 bj -knek Σ Kijön az, hogy k P sajátvektorainak kell lennie, azaz tékei. A következ® kifejezést kapjuk: p P σi2 (b) = tr(Σ) − i=1 tr(Σ) − k P p P λj = j=1 λj . k P j=1 Σbj = µj bj , és µj -k a Σ sajátér- µj . A minimum úgy érhet® el, hogy Ekkor a következ® hányadost szokták nézni: j=k+1 • λ1 +···+λk : ez mondja meg a magyarázott részt a teljes varianciából λ1 +···+λp • λk+1 +···+λp : ez pedig a nem magyarázott részt mutatja meg. λ1 +···+λp 1.82 állítás Ha X 1 , , X n egy Np (µ, Σ) adatmátrix, és a Σ sajátértékei különböz®ek, akkor λi és γ i maximum likelihood becslése S sajátértékei és sajátvektorai. 1.83 tétel √ 2. 1. √ n(λ̂(n) − λ) − Np (0, 2(ΓT ΣΓ)2 ) eloszlásban. n(γ̂ i − γ i ) − Np (0, Ui eloszlásban, ahol Ui

= P l6=i λl λi γ γT (λl −λi )2 l i . Faktoranalízis : Legyen X p-dimenziós vektor, és E(X) = µ valamint D2 (X) = Σ. Az X leírható egy faktormodellel, ha X = AF + W + µ ahol A p×k rögzített mátrix, F k -dimenziós véletlen vektor, W p-dimenziós véletlen vektor, és T E(F ) = E(W ) = 0, E(F F ) = Ik×k , E(W W T ) = Ψ, ahol Ψ diagonális mátrix, és E(F W T ) = 0. Az F a közös faktorok vektora, W az egyedi tényez®k vektora, és mátrix. 57 Aa hozzájárulás (loading) Felírható, hogy Xi = k P (aij Fj ) + Wi + µi . Az aij = Cov(Xi , Fj ) módon is felírható. Ebb®l j=1 Σ = AAT + Ψ. A f®átlóban lév® elemeket σii = D2 (Xi ) = k P a2ij + Ψii =: h2i + Ψii alakban j=1 írhatjuk, ahol h2i az i-edik kommunalitás, és Ψii az egyedi variancia. 1.84 állítás A faktormodell létezésének elégséges feltétele: Ha Σ = AAT + Ψ alakban írható és létezik az Ip×p ! A −AT Ψ−1 Ik×k

mátrix inverze, akkor létezik a k-faktormodell. A k faktormodell egyértelm¶sége : Σ = A · C · C T · A + Ψ alakban T e+W +µ el®áll. Nézzük most a faktormodellt: X = AF + W + µ = ACC F + W + µ = (AC)F e teljesíti, hogy E(FeFeT ) = Ik×k és E(Fe) = 0. Tehát a faktormodell nem egyértelm¶ és F Legyen C ortogonális és Fe = C T F . Ekkor látszik, hogy Leggyakrabban az a plussz feltétel, hogy legyen diagonális. Ha S AT Ψ−1 A = egyenletek száma − legyen diagonális vagy AT (diag(Σ))−1 A paraméterek száma, akkor ha több egyenlet van, mint ismeretlen, nem várható megoldás, ha S < 0, S > 0 , akkor akkor nem jóldeniált a modell, ekkor nem egyértelm¶ a megoldás. Átskálázásnál legyen DW + Dµ. Y = DX , ahol F Tehát átskálázásnál az D egy diagonális mátrix. Ebb®l Y = DX = (DA)F + faktormodell nem változik, azaz skálainvariáns. A faktormodell vizsgálata: Minimalizálni szeretnénk a következ®

kifejezést: Cov(Xi , Xj ) − Cov(X̂i , X̂j ) √ σii σjj X ij A minimumot csak akkor érhetjük el, ha k !2 faktormodellel dolgozunk. Ez a modell magya- rázza legjobban az eredeti kovarianciamátrixot. −1 ÂT Pˆsi  diagok P T nális. Azt szeretnénk, hogy S =  + Pˆsi legyen Ha  megvan, akkor Pˆsiii = sii − â2ij . A Paraméterek becslése: Keressük  és Ψ̂ valamilyen becsléseket, és legyen j=1 skálainvariancia miatt S helyett csupa 1-es szerepel. A feltétel R R tapasztalati korrelációs mátrixxal dolgozunk, használatakor, hogy ÂÂT R f®átlójában legyen diagonális. 1.85 tétel Joreskog-tétel: Tegyük fel, hogy Ψ > 0, ahol Ψ = E(W W T ), legyen továbbá S ∗ = Ψ− 2 SΨ− 2 . Ennek a spektrálfelbontása S ∗ = ΓΘΓT , és Θ-ban a sajátértékek vannak a f®átlóban 1 1 Ekkor a likelihood függvény maximum helye rögzített Ψ mellett és AT Ψ−1 A diagonális feltétellel 1 1 A = Ψ 2 A∗ ,

ahol A∗ = (Θ∗1 , . , Θ∗k ) és Θ∗i = ci γ i , ci = max(Θb i − 1, 0) 2 58 Az egyedi varianciák ismeretében is nehéz meghatározni De általában a A maximum likelihood becslését. Ψ (az egyedi variancia) ismeretlen. A Ψ-re egyenletet felírni a következ® módon lehet: 1.86 állítás Az  és Ψ̂ F minimumhelye és feltesszük, hogy Ψ > 0, ekkor diag(ÂÂT + Pˆsi − S) = 0. Itt F (A, Ψ) = tr(Σ−1 S)−log |Σ−1 S|−p, aminek a minimumhelye egyenl® a loglikelihood függvény minimumhelyével. F®faktor analízis : Legyen becslése. e h2i = max |rij |, j6=i ahol rij az R mátrix eleme. Eszerint e ii = 1 − e Ψ h2i a Ψii egy kiinduló p e alakba, ami szimmetrikus mátrix lesz, ezért R− Ψ e = P di γ γ T , ahol R-et átírjuk R− Ψ i i i=1 d1 ≥ · · · ≥ dp e mátrix sajátértékei és γ , . , γ R−Ψ 1 p az Feltesszük, hogy ha di -k pozitívak. − 21 di γ i , és ezekkel ai = k P Ψ̂ii = 1

− â2ij ≥ 0. Legyen a megfelel® ortonormált sajátvektorok. Â = (a1 , . , ak ) mátrix. A f®faktor analízis megengedhet®, Ekkor az unicitás feltétele arra módosul, hogy AAT legyen diagonális. j=1 Az országok politikai, gazdasági és pénzügyi kockázatát több szakért® különböz® módon és eltér® gyakorisággal méri, de feltételezhetjük, hogy létezik a háttérben egy közös ország-kockázat faktor, és publikált kockázati mértékek ennek hatását tükrözik. Például ilyenkor használhatunk f®faktor analízist. Hipotézisvizsgálat: A hipotézis Hk k faktormodell teljesül, ez a nullhipotézis. Ekkor a próbastatisztika ˆ −1 S sajátértékeinek (valószín¶ség hányados próba) −2 log λ = np(â − log ĝ − 1), ahol â a Sigma a számtani közepe, ha n − ∞-be, : a ĝ pedig ugyanezeknek a mértani közepe. Ha a Hk ahol s = 21 (p − k)2 − p+k . A 2 k =0 nem teljesül, akkor χ2s -hez, esetben a

nullhipotézis az, hogy nincsen közös faktor, azaz a koordináták függetlenek. A faktorok kiszámítása: Bartlett-féle becslés: Az fel, hogy A és Ψ becslése a mintaelemekb®l történik. Legyen T −1 A és Ψ ismertek. Ekkor F̂ = (A · Ψ · A) −1 T ·A ·Ψ −1 µ = 0. Tegyük · X . Ez gyakorlatilag a súlyozott legkisebb négyzetek módszere. A Thompson-féle becslés: F̂ = E(F |X) = (I + AT · Ψ−1 · A−1 ) · AT · Ψ−1 X . Az életbiztosítás nemzetgazdasági funkciói : Az életbiztosítás az egyén öngoskodásának egy lehetséges módja, az egyéni életpályán bekövetkez® legnagyobb veszély, a halál elleni védekezés egyik eszköze. (A halál elleni olyan védekezés, hogy a családtagok pénzügyi lehet®ségei ne romoljanak egy nem tervezett halál bekövetkeztekor Az egyéni életpálya: Az el®relátás általában minden embernél más és más, különböz® id®távokra szól. Abban azonban megegyezik, hogy mivel az

ember szinte minden cselekedetéhez 59 anyagi jelleg¶ er®forrásokra van szükség, ezért a hosszú távú pénzügyi el®relátás minden hosszú távú terv alapja. Az el®relátás az alábbi tényez®kt®l függ: • Szubjektív tényez®k: az emberek habitusa különböz® • Életkor: az életkor növekedésével egyre hosszabb id®re látunk el®re • Iskolázottság foka • Családi állapot: az egyedülállók kevésbé tör®dnek az el®relátással • Gazdasági helyzet • Történelmi helyzet • Civilizáció foka Az életpálya tervezésének alapja a várhatóan elég hosszú, az összes lehetséges f®bb életszakaszt magában foglaló standardizált életpálya kialakulása, illetve az, hogy a népesség jelent®s része elegend®en gazdag legyen (vagyis hogy kialakuljon a jelent®s középosztály). Az életpályavonal a következ®: atal egyedülálló − atal házas gyerek nélkül − atal házaspár, gyerekek − középkor¶

házaspár gyerekekkel − középkor¶ házaspár eltartott gyerekek nélkül − id®s házaspár − id®s, nem házas (özvegy) Az életpálya cash ow-ja egy inaktív, egy aktív és egy inaktív korszakból áll. Egy társadalom pénzügyileg akkor van rendben, ha munkaképes, átlagos hosszúságú életpályát befutó tagjai aktív életpályájuk során megkeresik az egész életpályájuk során felhasznált jövedelmet, s ezen felül annyit, hogy (rájuk es® mértékben) hozzá tudjanak járulni a társadalom munkaképtelen tagjainak ellátásához. Elvileg az életvagyonunk 0-ról indul az elején, és 0-ra esik vissza az életünk végére. A cash-ow szerkezete az életpálya során: A kimen® pénzáram szerkezete nagyon er®sen függ az egyén életpályájának aktuális szakaszától, társadalmi helyzetét®l és attól, hogy az egyén a lehetséges életpálya változatok melyikét éli. A bejöv® pénzáram f® tendenciája a kor el®rehaladtával: hitel

− munkajövedelem − t®kejövedelem (+ nyugdíj) − esetleg biztosításból származó jövedelem. A cash-ow-t fenyeget® veszélyek : Az életpálya cash-ow-jával szembeni követelmények: • minden pillanatban biztosítva legyen a likviditás, vagyis az egyén szükségleteinek nanszírozhatósága 60 • legyen fedezet a sz¶ken vett egyénen túlmutató célok (gondoskodás, örökhagyás, társadalommal szembeni egyéb kötelezettségek) teljesítésére is. • lehet®ség szerint el kell kerülni az életszínvonal nagy kilengéseit. A legfontosabb veszélyek: • halál • munkaképtelenné válás • a jövedelem termelésére való képtelenség • tartalékok elértéktelenedése, az életpályánk keretéül szolgáló intézményrendszer széthullása A halál elkerülhetetlen, tehát nem önmagában a bekövetkezése okoz problémát (legalábbis a hosszú távú pénzügyi tervezés szempontjából), hanem az, ha a halál nem a

megfelel® id®ben, vagyis nem a társadalmi átlag körül következik be. Ebb®l a szempontból kétfajta eltérés lehetséges: az átlagosnál kés®bbi, illetve az átlagosnál korábbi halál Az átlagosnál kés®bbi halál akkor okoz problémát, ha vagyonunkat az életpálya végére 0-ra akarjuk kifuttatni. Ekkor szükség van egy veszélyközösségre, ami a felhalmozott átlagos vagyonokat újra elosztja a még él®k között. Ennek megoldása a járadékbiztosítás, amivel az életbiztosítás foglalkozik. Ha valaki vagyont akar hátrahagyni, akkor annak hozadékából akármeddig élhet. Az átlagosnál korábbi halál esetében már dierenciáltabbá válik a kép: • körülbelül 30 és 50 éves kor között: Ebben az esetben a halál akkor következik be, amikor az egyén még nem zette vissza a társadalomnak az adósságát, de elkezdte annak törlesztését. Erre célszer¶ egy külön veszélyközösséget létrehozni Ez a haláleseti biztosításon belül

képzelhet® el. • 50 és 60 éves kor között: Ebben az esetben a társadalomnak az adósság már visszazetésre került, s az egyén épp elkezdte felhalmozni a nyugdíjravalót. A halál itt akkor okoz problémát, ha ilyen esetben is van ellátási kötelezettség Ekkor szintén a haláleseti biztosítás a megoldás. • 60 éves kortól kb 75 éves korig: Ez az eset a már tárgyalt hossú élettartam ellentéte, s így megoldása a járadékbiztosítás. A veszélyek anyagi következményei kivédésének legáltalánosabb eszköze a tartalék képzése. Annyira fontos eszköz, hogy ezzel minden mást helyettesíteni lehet. A felosztó-kirovó nyugdíjrendszerben megszerzett nyugdíjjogosultság is tekinthet® speciális tartaléknak, amit az állami intézményrendszer szilárdsága garantál. 61 A veszélyközösségek a hagyományos közösségeket váltják ki, s a nagyobb közösségekkel együtt át is veszik azok szerepét. A veszélyközösségnek a

nevében is benne van, hogy a korábbi természetes közösségeket váltja ki. Lényeges különbség, hogy azokhoz képest • a veszélyközösség egyetlen specializált feladatot lát el, • a veszélyközösség tagjai más vonatkozásban általában nem alkotnak közösséget, s®t nem is igen ismerik egymást • a veszélyközösségnek formalizált m¶ködési rendje van. A veszélyközösséget, mint virtuális közösséget napjainkban f®leg gazdasági (tehát önfenntartó, nyereségérdekelt) vállalkozásként szervezik, esetleg a még nagyobb közösség specializált intézményeként (TB). A biztosítás a veszélyközösség képzésének legfontosabb magánmódszere. Úgy is lehet mondani, hogy a biztosítás egyenl® a virtuális veszélyközösség révén megvalósuló kockázattranszfer Mind a veszélyközösségnek, mind a tartalékképzésnek az egyik legfontosabb funkciója, hogy váratlan események bekövetkezése esetén is kiegyenlített legyen a

cash ow, vagyis ekkor se kelljen az egyénnek az eredeti élettevét®l nagymértékben eltérnie. Vagyis lehet®vé teszik, hogy el®re eltervezhessük az életpályánkat, s ehhez a tervhez tartani tudjuk magunkat. 62 Kinek van érdeke az egyén életével Mi ez az érdek? Milyen módon A magán- valósítja meg? személybiztosítás kapcsolatban? Az egyén maga Az állam szerpe Az aktív korban meg- El®takarékosság: Megtakarítási jelleg¶ szerzett életszínvonal járadékbiztosítás; módozatok, tartása, ennek bizton- baleseti és rokkantsági járadékbiztosítás ságosság tétele; véde- biztosítás; egészség- baleset és betegség lem a keres®képtelen- biztosítás; államra biztosítás nyújtása ség ellen; munkaké- hagyatkozik; ismer®- önkéntes alapon pesség helyreállítá- sökre, rokonokra sának biztosítása hagyatkozik szociális nyugalom; redisztribúció; a redisztribóción ellátási kötelezett- kötelez®

el®gondoskodás; kívül mindent meg ségének menedszelése el®takarékosság; tud csinálni, ha a lakosság állapo- Ezeket külön álla- hagyják tának javítása révén mi rendszerben és a nemzetközi ver- piaci szerepl®k ré- senyképesség fenn- vén is megvalósíthatja. tartása, javítása Karitatív intézményekre hagyja Az egyént®l A keres® kiesése és Az egyén maga Vagy teljes egészében függ®k (gyer- keres®képtelensége gondoskodik, rá- vagy az államot meg, élettárs) esetén anyagi biztonság hagyja az államra, kiegészítve ismer®sökre, rokonokra oldja meg Akire hat az Az egyén kiesése Az egyén életére, Szinte kizárólag egyén élete esetén is pénzüknél testi épségére stb. magánbiztosítási (hitelez®, legyenek, illetve he- kötött biztosítás alapon - sokszor munkáltató) helyettesítési tudják révén. csoportos biztosítással. rövid id®n belül. Önkéntes társa-

Társadalmi egyenl®t- Önkéntes Nem sok - ® is dalmi szervez®- lenségek csökkentése redisztribúció támogathat ilyeneket Üzletrész átvétele, Magánbiztosítás Teljes egészében dések Üzleti partnerek személybiztosítás az ® üzlete nyújtása révén más üzleti el®ny megszerzése 63 A táblázatból látható, hogy az egyén saját érdekét nem mindig saját maga érvényesíti, illetve néhány esetben nemcsak az egyénnek van egyáltalán érdeke a saját életével kapcsolatban. Ha az egyén helyett valaki más jár el, annak optimális esetben az alábbi okai vannak: • jobban látják az egyén érdekeit, mint ® maga (például az állam korábban felismeri, s kötelez®vé teszi a nyugdíjcélú el®takarékoskodást) • ha nem közvetlenül az egyénnek van érdeke életével kapcsolatban, vagy az ® érdeke az életével kapcsolatban halványabb, mint másé (példáuel a munkáltató számára ® kulcsember, vagy a hitelez®

érdeke) • az egyén függ® helyzetben van (gyermek, eltartott, csökkent képesség¶) • az egyén id®nként felel®tlen Eddig az öngoskodó középosztálybeli embert tartottuk szem el®tt. Más rétegek öngosdoskodása némileg eltérhet ett®l: • Fels® rétegek: nincs szükségük a veszélyközösség által megvalósuló kockázattranszferre • Legalsó rétegek: nem tudnak gondoskodni magukról. A gondoskodás egy részét a középrétegek veszik át (karitatív intézmények és egyéni jótékonykodáson keresztül), hiszen nekik is érdekük, hogy ne terjesszenek járványokat, illetve hogy minél kevésbé rontsák az utcaképet. 1.10 10 tétel Periodogram a diszkrét spektrum becslésére. Spektráls¶r¶ségfüggvény becslése ablakolással, tulajdonságok. Milyen biztosításközvetít®i formákat határoz meg a hatályos biztosítási törvény, s ezen közvetít®i formáknak mik a f® jellegzetességei - a megbízást adó személye, az

értékesített termékek, a közvetít®i felel®sség és a közvetít®i díj szempontjából? A diszkrét spektrum becslése : 1.87 tétel X(t) legyen 0 várható érték¶, stacionárius folyamat, ϕ(λ) spektráls¶r¶ségfügg- vénnyel és R(τ ) autokovariancia-függvénnyel. Ekkor ϕ(λ) az R(τ ) Fourier-transzformáltja: (λ) = 1 2π +∞ R −∞ eiλt R(t)dt. A spektráls¶r¶ségfüggvényt becsüljük, ha létezik, illetve tiszta diszkrét spektrum esetén a K P frekvenciákat és az ugrások nagyságát. Harmonikus folyamat esetén, ha X(t) = Ai cos(λi t + φi (ω)), i= ahol Ai -k és λi -k konstansok, és a φi fázis egyenletes eloszlású valószín¶ségi változó (−π, π)-n. 64 Egy realisztikusabb modellt kapunk, ha a meggyeléshez hozzáadódó zajt is gyelembe vesszük, azaz X(t) = K X Ai cos(λi + φi (ω)) + εt i=1 Az ismeretlen paraméterek K, Ai , λi és σε2 . Ezt a cos-ra vonatkozü addíciós tétellel másképp is

felírhatjuk: X(t) = K X (ai cos λi t + bi sin λi t) + εt i=1 ahol ai = Ai cos φi bi = Ai sin φi . és λi -k Tételezzük fel, hogy Innen persze a priori ismeretek és Ai = ai -t, bi -t p a2i + b2i és   φi = arctan − abii . tekintsük a renszer paramétereinek. Ezek legkisebb négyzetes becslése a Q= N X ( Xt − t=1 K X )2 ai cos λi t + bi sin λi t i=1 kifejezés minimalizálását - tulajdonképpen egy lineáris regressziós feladat legkisebb négyzetes megoldását - jelenti. Ha Q-t lederiváljuk ai és bi szerint, akkor egy egyenletrendszert kapunk, aminek megoldásával a következ® becsléseket kapjuk: N 2 X Xt cos(λi t) âi = N t=1 és N 2 X b̂i = Xt sin(λi t) N t=1 Az ismeretlen frekvenciák esete : Ha a λi -k nem ismertek, akkor az X(t)-re vonatkozó lineáris feltétel, s így a standard leg- kisebb négyzetes módszert sem tudjuk alkalmazni.A frekvenciák keresése az ún periodogram függvénnyel lehetséges.

Tegyük fel, hogy megtippeljük ezt behelyettesítve az ismert Ha jól tippeltük meg Â21 = â21 + b̂21 λ1 λi -k λ1 értékét, legyen ez mondjuk esetén kiszámolt képletbe, elkészítjük az értékét, akkor a becslések közel lesznek az igazi amplitúdónégyzet nem lesz 0, mivel közel lesz az igazi messze van a valódi λ1 -t®l, 2 modellben, azaz Âi a λ̂1 â1 és b̂1 λ̂1 , majd becsléseket. a1 , b1 -hez, így a becsült A2i -hez. Ha azonban λ̂1 akkor egy olyan tag együtthatóját becsüljük, ami nincs is benne a frekvenciához tartozó amplitúdónégyzetet, azaz a 0-t becsüli, tehát a becslés 0 közeli lesz. Hogy ezt a hatás er®sítsük az amplitúdónégyzet helyett annak N -szeresét 2 becsüljük, így jobban kiugranak a csúcsok, más szóval azok a frekvenciák, amelyek valóban szerepelnek a modellben. 1.88 deníció Minden λ ∈ (−π, π)-re legyen az IN (λ) = (a(λ))2 + (b(λ))2 függvény az ún periodogram

függvény, ahol a(λ) = írva: IN (λ) = 2 N N P q 2 N N P t=1 Xt cos(λt) és b(λ) = 2 −iλt Xt e t=1 65 q 2 N N P t=1 Xt sin(λt). Másképpen Ezt a függvényt persze minden készletre. Nevezetesen a λ-ra nem tudjuk kiszámolni, csak egy diszkrét frekvencia- λp = 2π Np , (p = 0, 1, . , ( IN (λ) ∼ Most szeretnénk megkapni IN (λ)-t NP −1 1.89 Lemma IN (λ) = 2 N  2 frekvenciákra szokás kiszámítani. Ekkor 2 2 σX χ2 , ha p 6= 0, N2 2 2 2σX χ1 , ha p=0 N 2 vagy abban az esetben, amikor λ 6= p 2π . N R̂(τ ) cos(τ λ) τ =−(N −1) Megadjuk IN (λ) várható értékét, szórását és kovarianciáit. A Fejér-mag a következ®képpen értelmezhet®: 1 sin2 FN (ϑ) = 2π sin2 Ennek segítségével E(IN (λ)) = 2σε2 + π K P Nϑ 2
ϑ 2
A2i (FN (λ + λi ) + FN (λ − λi )). i=1 tékek elegend®en távol vannak egymástól, akkor a periodogram a ±λi Ha tehát a λi ér- pontokra koncentrált N

nagyságrend¶ 2π
(2k+1)π 2kπ 1 csúcsa van, gyorsan csökken, és -ben 0-t vesz fel, környékén pedig kis, O nagyN N N p pontokban ságrend¶ lokális maximumai vannak. Azonban a periodogramot csak a λp = 2π N A2 számítjuk ki. Ha az igazi λi pont egybeesik valamely λp -vel, akkor E(IN (λ))-nak N i nagysá2 Fejér-magok sorozata lesz. Az FN (ϑ) Fejér-féle magfüggvénynek a ϑ = 0-ban gú csúcsa lesz, ellenkez® esetben a csúcs jelent®sen megrövidülhet. A legrosszabb esetben el is veszíthetjük ezt a komponenst a vizsgálatok során. A Bartlett-tétel adja meg nekünk IN (λ) szórását és kovarianciáit. A spektráls¶r¶ségfüggvény becslése : Ha a modellünk az Xt = ∞ P gn εt−n alakot ölti, akkor általánosított lineáris modellnek nevez- n=0 +∞ P +∞ P |gn | < ∞, n=−∞ n=−∞ akkor létezik spektráls¶r¶ségfüggvény és folytonos is minden λ-ára. Továbbá láttuk, hogy a zük. Az εt kiterjeszthet® a negatív

félegyenesre is, ezáltal Xt = gn εt−n . Ha spektráls¶r¶ségfüggvény a következ® alakot veszi fel: +∞ 1 X ϕ(λ) = R(τ ) cos(τ λ) 2π τ =−∞ A spektráls¶r¶ségfüggvény becsléséhez írjuk be IN∗ (λ) = ϕ̂(λ) = ahol IN (λ) = 2 NP −1 R̂(τ ) cos(τ λ), R̂(τ )-t, ekkor +∞ 1 1 X R̂(τ ) cos(τ λ) = IN (λ) 2π τ =−∞ 4π amit az el®bb láttunk egy lemma során. τ =−(N −1) 66 Innen azt kapjuk IN∗ (λ) várható értékére, kihasználva, hogy Rπ R(τ ) = ϕθ cos(τ θ)dθ: −π E(IN∗ (λ)) = Speciálisan, ha Zπ FN (θ + λ) + FN (θ − λ) ϕ(θ) dθ = 2 Zπ ϕ(θ)FN (θ − qlambda)dθ −π −π ϕ(λ) ∗ Lipschitz-folytonos, akkor E(IN (λ)) = ϕ(λ) + O log N , ahol ez utóbbi N
tag a torzítás. 1.90 állítás 1. IN∗ (λ) nem konzisztens 2. λ függvényeként vadul uktuál Szeretnénk a fehér zaj és az általánosított lináris modell folytonos periodogramjai között +∞

+∞ R R g(u)eiλu du. g(u)Y (t − u)du, valamint legyen Γ(λ) = kapcsolatot teremteni. A lter X(t) = −∞ −∞ 2 Legyen továbbá ϕY (λ) az Y spektráls¶r¶ségfüggvénye, ekkor ϕX (λ) = ϕY (λ) |Γ(λ)| . Ha Y (t) = +∞ R iλt e dφY (λ), akkor −∞ ∗ IN,X (λ) ∼ |Γ(λ)|2 IN,ε (λ) és ϕX (λ) = |Γ(λ)|2 ϕε (λ) 1.91 tétel Legyen X(t) általánosított lináris folyamat olyan, hogy α > 0. Ekkor ∗ IN,X (λ) = és E(RN (λ)) = O 1 N 2α
+∞ P n=−∞ 2πϕ(λ) ∗ · IN,ε (λ) + RN (λ) σε2 λ szerint egyenletesen. 1.92 következmény Az IN,ε -t már jól ismerjük Aszimptotikusan az lenek és χ22 eloszlásúak ( IN,X (λp) ∼ 2πϕ(λp)χ22 , 4πϕ(λp)χ21 , Az ablakolási technika: Induljunk ki abból, hogy ϕ̂(λ) = autokovarianciát tartalmaz, ha
1 O N N = O(1), hogy |gn | |n|α < ∞, ahol akkor itt O 1 2π M P R̂(τ ) cos(τ λ), ahol változók függet- N 2 M < N − 1. Mivel ez M +1 τ

=−M ∗ IN,X (λ) N
M N ha p 6= 0, N2 ha p = 0 vagy IN,X (λp) 2πϕ(λp) autokovarianciát tartalmaz és emiatt a szórásnégyzet lesz durván a szórásnégyzet. Olyan M − ∞ ha N − ∞, de elég lassan ahhoz, hogy M N M -et kell választanunk, − 0 is teljesüljön. Így konzisztens és aszimptotikusan torzítatlan becslést kaphatunk. A kiindulási becslésünk speciális esetként is felfogható, az alábbi speciális eseteként: 67 1 ϕ̂(λ) = 2π N −1 X α(τ )R̂(τ ) cos(λτ ) τ =−(N −1) ahol ( α(τ ) = 1, ha τ ≤M 0, ha τ >M Ez átírható egy alternatív alakba úgy, mint egy súlyozott integrálja a periodogramnak. Tehát azt kapjuk, hogy Zπ ϕ̂(λ) = −π Azaz Rπ ϕ̂(λ) =  1 IN,X (θ)  2π   N −1 X τ =−(N −1) α(τ )e−iτ (λ−qtheta) dθ  ∗ IN,X (θ)W (λ − θ)dθ. −π 1.93 deníció Ezt a W (θ) függvényt hívjuk spektrális ablakfüggvénynek, a

Fourier-transzformáltja az α(τ ) "lag widow"nak. A kifejezésb®l látható, hogy redukálni a becsült autokovariancia függvény farkát ugyanazt az eektust adja, mint egy súlyozott integrálátlaggal kiszámítania uktuáló periodogramot. A legtöbb α(τ ) sorozatra W (θ) er®sen koncentrált a θ = 0-ra. Minél koncentráltabb, annál több farokkovarianciát veszünk gyelembe (nagyok a uktuációk). Bartlett eredménye, hogy W (θ) = FM (θ). Tehát a Fejér-mag egyenl® az ablakfüggvénnyel. Tulajdonságok: • WN (θ) ≥ 0 • Rπ minden N, θ-ra. WN (θ)dθ = 1 −π • Rπ WN2 (θ)dθ < ∞ −π • Minden ε>0 esetén WN (θ) − 0 egyenletesen ha N − ∞ minden |θ| > ε esetén. Biztosításközvetít®i formák: A biztosítási közvetítés szerz®dés létrehozására irányuló rendszeres tevékenység. A PSZÁF (Pénzügyi Szervezetek Állami Felügyelete) monja ki pontosan, hogy mit is jelent ez. Egy

tevékenységr®l úgy állapítja meg, hogy közvetít®i tevékenység-e, hogy ha beleillik a felsorolásba, akkor az, egyébként nem. Közvetít®i tevékenység feltétele: rendszeres és üzletszer¶ (ellenérték és nyereség végett) tevékenység. Rendszeresen folytatott gazdaságos tevékenység Kivételek: 68 • más szakmai tevékenység keretében nyújtott információ szolgáltatás • közrem¶ködés a követelések behajtásában • kárfelmérés, értékbecslés • biztosítás megkötésében nem való részvétel, de a kárrendezésben való közrem¶ködés A közvetít®knek két fajtája lehet, a függ® és a független közvetít®. A függ® közvetít® az ügynök. Egy biztosító termékeit, vagy több biztosító egymással nem verseng® termékeit értékesíti. Verseng® termékek azok, amelyek alkalmasak az ügyfél számára arra, hogy helyettesítsék egymást, és azonos ágazatba tartoznak. Minden más közvetít® függetlennek

min®sül. Kivétel: • Autókeresked®: a közvetítés kiegészít® tevékenységként kapcsolódik a f®tevékenységéhez. Ezen a személyen keresztül biztosítási díj nem áramolhat át. • Utazási szerz®dések: nem-élet, nem tartalmaz felel®sségi kockázatot, nem ez a f®tevékenység, a biztosítás kiegészítés, elvesztés, károsodás kockázatára terjed ki. Akkor nem min®sül közvetítésnek, ha az éves díj nem haladja meg a 120.000 Ft-ot, és a tartam nem haladja meg az 5 évet. Biztosítás közvetít®i tevékenységet csak a nyilvántartásban szerepl® személy végezhet. A nyilvántartást a Felügyelet hozta létre, a közvetít®ket a biztosítók teszik fel a listára. Akiket nem kell regiszterbe venni: • ha biztosító maga végzi a közvetítést • a biztosító munkavállalóit sem kell nyilvántartásba venni • ha kiegészít® tevékenységet végez egy közvetítéssel foglalkozó helyen (pl. titkárn®), de a vezet®ket kell

• a hitelintézettel és postával jogviszonyban álló személyeket stb. A közvetít®k feltételei: büntetlen el®élet, fels®fokú végzettség, hatósági vizsga. Ezek a bekerülés feltételei A többieknek megfelel® bels® képzésben kell részt venniük, a postán és a hitelintézetekben. Tájékoztatási kötelezettség: az ügyfél számára írásban történik, az van benne, hogy ki a közvetít®, milyen paraméterei vannak, függ® vagy független. Független közvetít®k: az alkusz és a többesügynök. Az alkusz az ügyfél érdekében jár el, a többes ügynök több biztosító egymással verseng® termékeit értékesíti. Szervezeti egységük lehet 69 részvénytársaság, vagy kft, szövetkezet. Ha nincs meg a megfelel® t®ke, visszavonják a m¶ködését A m¶ködéshez szükséges üzlethelyiség, a végzett tevékenység adatait tartalmazó leirat, adatszolgáltatási kötelezettség a felügyelet részére. Személyi feltételek: kell olyan

személy, aki a tevékenység irányítója (fels®fokú végzettség, 3 éves szakmai vezet® beosztás, vagy 5 éves egyéb jogviszony gyakorlattal a biztosítási területen, vagy középfokú végzettség és 7 éves gyakorlat, nem állhat biztosítóval semmilyen jogviszonyban, és a felügyelet nem szabott ki rá bírságot az elmúlt 5 évben, és nem volt bírósági ügye a pénzügyi szektorban). A cég feltétele: felel®sségbiztosítási kötelezettség. A független közvetít® a saját személyével felel. Az ügyfél pénzét elkülönített ügyfél számlákon kell tartani, másra nem használható fel. Alkusz: A maiaknak körülbelül csak az 1/3-a a klasszikus alkusz, a többi az többes ügynök. Tevékenysége: el®készíti a szerz®dés megkötését, meg is kötheti, ajánlatot tehet az ügyfél helyett, a kár intézését is csinálhatja, díjat is vehet át, a kockázat felmérésében is közrem¶ködik. A többes ügynök a kockázat felmérésében nem

vesz részt. Ügynök: egy biztosító bármely termékét értékesíti, ® is regiszterköteles. A szakképesítést maga a biztosító is oktathatja, és levizsgáztatja közvetít®it. Vezérügynök: valamilyen területet teljes egészében elvisz, csak egy biztosítóval állhat kapcsolatban, személyi feltételek ugyanazok, mint a függetlennél. Szaktanácsadók: Írásos megbízási szerz®dés alapján dolgoznak. Biztosítási szaktanácsot nyújtanak, és személyesen is közrem¶ködnek a végrehajtásban, megvalósításban. Szerz®dést nem közvetíthetnek. A felügyeletnél nyilvántartáshoz kötött, hogy kik végezhetnek ilyen tevékenységet Ugyanazok a személyi feltételek, de itt muszáj a fels®fokú végzettség 1.11 11 tétel Osztályozó módszerek alkalmazása, struktúra feltárása. El®zetesen ismert és ismeretlen alminták szeparálása Kötvényportfólió-kezelés matematikai modelljei Az osztályozó módszereket akkor alkalmazzuk, ha egy minta

elemeit el®zetesen ismert, vagy ismeretlen csoportokba szeretnénk sorolni. Ide tartozik a klaszterelemzés és a diszkriminancia analízis. A klaszterelemzés célja, hogy feltárja a mintában az egymáshoz leginkább hasonló egyedek csoportjait úgy, hogy a besorolás el®re nem ismert. A módszer tulajdonképpen heterogén sokaságot homogén részsokaságokra próbál bontani. Két f® fajtája van: hierarchikus és nemhierarchikus osztályozás Hierarchikus osztályozás esetén a mintában létez® csoportok száma el®zetesen nem ismert, míg nemhierarchikus osztályozás esetén el®zetes feltevésünk van a csoportok számára vonatkozóan (k -középpontú klaszterezés). Diszkriminancia elemzésnél a meggyelések szakmai megfontolások és/vagy statisztikai eljá- 70 rások (pl. klaszterezés) alapján már el®re csoportokba vannak sorolva Célunk az, hogy a meggyelt változók olyan lineáris kombinációját, ún diszkrimináló függvényt állítsunk el®,

amely a lehet® legjobban elkülöníti egymástól a csoportokat. Klaszterelemzés : Egymintás eset: van Az X 1, . , X n n darab p-dimenziós meggyelésünk és g csoportra akarjuk osztani ®ket. meggyelések függetlenek és f (x, θk ) k = 1, . , g s¶r¶ségfüggvény¶ek, csak a típusát nem ismerjük. A feladat: Legyen ck = {xi : γi = k}. γi = k jelentése az, hogy az Xi s¶r¶ségfüggvénye f (x, θk ). Legyen továbbá A likelihood függvény, amit maximalizálni kell, a következ®: Y L(γ, θ1 , . , θg ) = f (x, θ1 ) · · · · · x∈c1 Tegyük fel, hogy γ̂ , θ̂1 , . , θ̂g Y f (x, θg ) x∈cg a maximum likelihood becslés. Ennek megfelel®ne a partíció c1 , . , c g Normális eloszlás esetén: tehát f (x, θk ) ∼ Np (µk , Σk ). Ekkor a paraméterek maximum like- lihood becslése a következ® lesz: P µ̂k (γ) = γ adott és nk a ck -k x n Pk ( (x − µ̂k (γ)(x − µ̂k (γ))T Σ̂k = ahol x∈ck

x∈ck nk elemszáma. Hierarhikus módszerek: Hierarhikus osztályozás során el®ször egy megfelel® metrika (pl. négyzetes euklideszi távolság) segítségével meghatározzuk a meggyelések távolságát, majd kiválasztunk egy agglomerációs elvet, mely értelmezi két klaszter távolságát Kezdetben valamennyi meggyelés külön osztályt képez, majd lépésenként az a két klaszter összevonódik, melynek távolsága a legkisebb. A k -középpontú algoritmus pedig k számú kezd® klasztert alakít ki, besorolva ezekbe az egyedeket, és meghatározza a klaszterek középpontjai. Ezt követ®en az egyedeket átsorolja a legközelebbi középpontú klaszterbe, majd új középpontokat számol. Az eljárás addig folytatódik, amíg a klaszterek középpontja változik Problémát jelent, hogy a klaszterezés végeredménye egyáltalán nem egyértelm¶. Itt a legközelebbi szomszéd elvét részleteztük, de létezik a legtávolabbi szomszéd elve is.

Diszkriminancia analízis : Meggyeléseink nem homogének, ezért szakmai megfontolások és/vagy statisztikai eljárások alkalmazásával csoportosítottuk az egyedeket. Most azt vizsgáljuk, hogy melyik változó milyen szerepet játszik az adott, ismert csoportosításban. Célunk az, hogy a meggyelt 71 p számú változó olyan lineáris kombinációit állítsuk el®, amelyek a lehet® legjobban elkülönítik a g csoportot. Ha ezek a diszkrimináló függvények nem képesek a megadott felosztás teljes reprodukálására, akkor az eljárás megadja a függvények alapján javasolt csoportosítást. Van g darab csoportunk és van f1 , . , f g darab s¶r¶ségfüggvényünk, lehet, hogy ezek is- mertek, vagy csak a típusuk ismert. Feladat: Csináljunk (πi ) R1 ∪ · · · ∪ Rg = Rp halmazt, és ha x ∈ Ri , akkor az i-edik csoportba rakjuk. Az ilyen eljárást diszkriminancia szabálynak nevezzük 1.94 deníció Maximum likelihood diszkriminancia

szabály: x a πi -be tartozik, ha Li (x) = max Lj (x). 1≤j≤i 1.95 állítás Az alábbi állítások a maximum likelihood diszkriminancia szabályra igazak: • Legyen az eloszlásunk Np (µ, Σ), ahol Σ > 0. Ekkor az ML diszkriminancia szabály alapján x − πj , ha j minimalizálja (x − µi )T Σ−1 (x − µi )-t. • A g = 2 esetben, az x az 1-es csoportba (π1 ) sorolódik, ha αT (x − µ) > 0, ahol α = Σ−1 (µ1 − µ2 ) és µ = µ1 +µ2 2 Legyen egy a priori eloszlás . ρ1 , . , ρ g , ahol ρi annak a valószín¶sége, hogy valami az Li -be esik. 1.96 deníció Bayesi diszkriminancia szabály: x-et πj -be soroljuk, ha ρj Lj (x) maximális (A likelihood függvényeket súlyozzuk az a priori valószín¶ségekkel.) 1.97 deníció Randomizált diszkriminancia szabály: x-et a πj -be soroljuk Φj (x) valószín¶- séggel, ahol Φj -k nemnegatívak és összegük 1. πj -beli πi -be sorolásának valószín¶sége legyen pi,j ,

amire Z pi,j = A helyes döntés valószín¶sége pii , Φi (x)Lj (x)dx míg a hibás döntés valószín¶sége 1 − pii . 1.98 deníció A d diszkriminancia szabály nem rosszabb, mint d0 , ha pii ≥ p0ii minden i = 1, 2, . , g -re és jobb, ha létezik j0 , hogy pj0 j0 > p0j0 j0 1.99 deníció A d elfogadható, ha nem létezik nála jobb 1.100 tétel Minden Bayesi diszkriminancia szabály elfogadható Legyen cij annak a vesztesége, hogy πj -belit πi -be következ®: 72 sorolunk. Ekkor a veszteségfüggvény a ( K(i, j) = A rizikófüggvény legyen a következ®: P j 0, ha i=j cij , ha i 6= j R(d, j) = E(K(d(x), j)|πj ). A Bayesi rizikó: r(d, ρ) = bρj R(d, j). Itt a d(x) függvény azt adja meg, hogy a d diszkriminancia szabály alapján hova sorolódik az x meggyelés. 1.101 deníció Az elfogadhatóság egy másik megközelítése: d elfogadható, ha nem létezik d0 , hogy R(d0 , j) ≤ R(d, j) minden j -re és létezik j0 ,

hogy az egyenl®tlenség szigorúan teljesül rá. 1.102 deníció A Bayesi-szabály: Az x-et πj -be soroljuk, ha a P k6=i cik πk Lk (x) kifejezésnek. P i6=j cjk πk Lk (x) a minimuma i-ben Könnyen következik, hogy minden Bayesi-szabály elfogadható, és a Bayesi-szabály adja a minimális Bayesi-rizikót. 1.103 deníció Az i-edik diszkrimináns informáns Si (x), amire Si (x) = − Tehát oda sorolunk, ahova a legnagyobb értéket kapjuk. Tegyük fel, hogy a mintánk n1 , . , n g Np (µ, Σ). Legyenek a csoportok X 1, . , X g darab meggyelés. Legyenek π1 , . , π g , a tapasztalati közepek és P k6=i cik πk Lk (x). amelyekb®l van S1 , . , S g a ta- pasztalati szórásmátrixok. A tapasztalati maximum likelihood szabály szerint x-et g  g P P Xj) minimális, ahol S= πj -be soroljuk, ha (x−X j )T ·S −1 ·(x− ni Si /(n − g) i=1 az, hogy a valószín¶ség legyen ρ̂i = ni . A tapasztalati Bayesi szabály pedig és n = i=1

ni , és a likelihood függvénybe a megfelel® becsült értékek n kerülnek. Ez csak akkor használható, ha a minta reprezentatív, egyébként használhatatlan A Fisher-féle lineáris diszkriminancia függvény : A meggyelések p-dimenzósak. Próbáljuk meghatározni azt az a ∈ Rp -t, amelyre aT x 1- dimenziós. A csoportok közti négyzetösszeg osztva a csoportokon belüli négyzetösszeggel legyen maximális, ezt szeretnénk elérni. Legyen Xi az i-edik csoport átlaga, és X a közös átlag. A csoportok közötti négyzetösszeg a következ®: g X ( ni (aT (X i − X))2 = aT i= g X ) ni (X i − X)(X i − X)T a = aT Ba i=1 A csoportokon belüli négyzetösszeg pedig a következ®: g ni X X  T 2 a (Xij − X i ) = aT i=1 j=1 ( g ni X X i=1 j=1 73 ) T (Xij − X i )(Xij − X i ) a = aT W a A feladatunk tehát a következ®: aT Ba − max aT W a Ez a kifejezés nem más, mint a szabály az, hogy az amelyre i 6= j . Az x-et a-val a

πj -be W −1 B legnagyobb sajátértékhez tartozó sajátvektora. A soroljuk, ha aT x − aT X j < aT x − aT X i minden olyan i-re, meg tudjuk mondani, hogy mi a csoportok közti eltérés oka. Látni lehet, hogy melyik koordináták játszanak szerepet a különböz®ségben. 1.12 12 tétel Lineáris regresszió és logisztikus regresszió összevetése. Részvényportfólió kezelési módszerek, teljesítménymérés Lineáris regresszió : Többváltozós lineáris regressziós modellt írunk fel akkor, ha több független magyarázó változó lineáris kombinációjával becsüljük a magyarázni kívánt y változót. A modellünk a követ- kez®képpen néz ki: Y =X ·B+U ahol Y n×p-es, X n×q -as és B q×p-es. Az U ∼ Np (0, Σ) a hiba Legyen P = I −X(X T X)−1 X T 1.104 tétel Tegyük fel, hogy n ≥ p + q és rang(X) = q , ekkor B és Σ maximum likelihood becslése: B̂ = (X T X)−1 X T Y és Σ̂ = n1 Y T P Y . 1.105 állítás • E(B̂)

= B , tehát a becslés torzítatlan.l • E(Û ) = 0 • B̂ V és Û V vektorizáltak többdimenziós normális eloszlásúak, ahol a vektorizált annyit je- lent, hogy a mátrix oszlopait egymás alá írjuk. • B̂ független Û -tól, amib®l következik, hogy Σ̂-tól is független. • Cov(B̂ij , B̂kl ) = Σjl gik , ahol G = (X T X)−1 . • nΣ̂ ∼ Wp (Σ, n − q) Wishart-eloszlású. Hipotézisvizsgálatok : A nullhipotézis (B0 ) legyen az, hogy B1 = 0, azaz B els® hányados próbát csinálunk. Az ismeretlen paraméterek a B2 g sora egyenl® 0-val. Valószín¶ség- és a Σ. 1 1 1 l1∗ = − np log |2π| − n log Σ̂ − np 2 2 2 74 A likelihood függvényhez: Ha H0 teljesül, akkor Y = X(2) B2 + U , ekkor a tétel alapján: 1 1 e − 1 np l0∗ = np log |2π| − n log Σ 2 2 2 1 T e e e e = I−X(2) (X T X(2) )−1 X T .Ezekb®l ahol Σ az X(2) -vel és B2 -vel kapott becslés. Ekkor Σ = Y P Y , ahol P (2) (2) n |Σe | ∗ ∗ a

próbastatisztika: −2(l0 − l1 ) = n log . Ebb®l kijön az, hogy |Σ̂| 2 n λ = e Σ Σ̂ Y TPY = Y T P Y + Y T (Pe − P )Y 1.106 állítás λ n ∼ Λ(p, n−q, g), ami annyit jelent, hogy Y T P Y és Y T (Pe −P )Y függetlenek és 2 a megfelel® paraméter¶ Wishart-eloszlásúak. Ezt az eloszlást Wilks-lambda eloszlásnak nevezik 1.107 tétel B̂ a B -nek legkisebb négyzetes becslése a következ® értelemben: 1. B̂ minimalizálja az Û T Û -ot, azaz tetsz®leges Be -ra és Ue = Y − X Be -ra az Ue T Ue − Û T Û ≥ 0 2. B̂ minimalizálja a tr(Û T Û )-ot 3. B̂ minimalizálja a det(Û T Û ) kifejezést is A CB -t szeretnénk becsülni, és a becslést AY alakban keressük. 1.108 deníció D becsülhet® mátrix, ha létezik olyan A mátrix, amelyre E(AY ) = D 1.109 tétel Gauss-Markov-tétel: • A CB becsülhet®, ha C = AX valamely A-ra. Ha C = AX , akkor AY torzítatlan becslés CB -re. • Ha AY torzítatlan becslés CB -re, akkor A(I

− P ) mindig ugyanazt az A∗ -ot eredményezi. • Az A∗ Y a CB -nek a minimális szórású torzítatlan becslése abban az értelemben, hogy minden a1 , a2 vektorra aT1 A∗ Y a2 minimális szórású torzítatlan becslése aT1 CBa2 -nek. • Az A∗ Y = C B̂ . Eddig az U ∼ Np (0, Σ) olyan feladat, hogy U adatmátrix volt, és U sorai egymástól függetlenek voltak. Lehet sorai nem függetlenek. A modell ebben az esetben a következ®képpen fest: Y = XB + SU ahol U ∼ Np (0, Σ) és S n × m-es továbbra is legyen igaz, hogy ⊗ ismert mátrix. Feltesszük, hogy E(Y ) = XB . Ekkor az adódik, hogy a Kronecker-szorzatot jelenti. 75 Σ > 0 és G = SS T > 0, Cov((SU )V ) = G ⊗ Σ, ahol 1.110 deníció Legyen A m × n-es és B p × q -as Ekkor A és B Kronecker-szorzata a következ®: A ⊗ B =  a1n B    a21 B a22 B . a2n B   . . . .  . . .  am1 B am2 B . amn B       a11 B a12 B . Y V

∼ N ((XB)V , G ⊗ Σ). A kovarianciás összefüggésb®l azt kapjuk, hogy Fel lehet írni a meggyelések likelihood függvényét, mert a meggyelések normális eloszlásúak. felírható a maximum likelihood becslés YV B -re és Σ-ra segítségével. 1.111 tétel B és Σ maximum likelihood becslése a következ®: Σ̂ = n1 (Y − X B̂)T G−1 (Y − X B̂) és B̂ -ra teljesül, hogy X T G−1 X B̂ = X T G−1 Y . Logisztikus regresszió : Az általánosított lineáris modell (GLIM) speciális esete a lineáris regresszió, és a logisztikus regresszió is. A bináris ún logit modellt fogjuk vizsgálni most A logisztikus regresszió alkalmazási célját tekintve az osztályozó eljárások közé sorolható, mert akkor alkalmazzuk, ha el®re deniált, egymást kölcsönösen kizáró csoportok egyikébe soroljuk be a meggyeléseket a magyarázó változókból nyert információk alapján. Ha az eredményváltozónak több lehetséges kimenete van, akkor

polichotom logisztikus regresszióról beszélünk A logit modell akkor alkalmazható, ha az eredményváltozónak csak két, egymást kölcsönösen kizáró kategóriája van. Az eredményváltozó, Y 0-1 érték¶ bináris változó, ami azt fejezheti ki, hogy • a hitelt fölvev® ügyfél cs®dbe jut vagy törleszt • a páciens felgyógyul vagy nem éli túl a balesetet • a játékterembe belép® személy kockáztat vagy nem játszik A magyarázó változók között lehetnek nominális, ordinális vagy magasabb, intervallum és arány skálán mért változók is. A nominális vagy ordinális szinten mért x változók lehetséges értékei közül egyet (általában az els®t vagy az utolsót) rögzítjük, ezekhez viszonyítva becsüljük a függ® változóra gyakorolt hatást. Az y eredményváltozó kategóriáinak bekövetkezése az x csülhet® a hagyományos legkisebb négyzetek módszerével, az modellel az alábbi okok miatt: a dichotom követ. Az

y=1 varianciája: bekövetkezésének V ar(y) = p(1 − p). p y magyarázó változókból nem be- y = β0 + βx lineáris regressziós nem normális eloszlású, hanem binomiális eloszlást a valószín¶sége. Várható értéke: Így a variancia a 76 p E(y) = P (y = 1) = p valószín¶ségt®l függ, nem konstans. és A magyarázó változó egy egységnyi változása nem a teljes tartományon eredményez azonos változást y értékében. A lineáris regresszióva becsült érték nem feltétlenül esik a lumba, pedig az y=1 [0, 1] interval- bekövetkezésének valószín¶ségét becsüljük. Az említett problémák megoldása érdekében a Cox által javasolt logit transzformációt alkalmazunk, hogy • a becsült érték a • ne növekedjen/csökkenjen a széleken túl gyorsan, úgy, mint ahogy az a lineáris regresszi- [0, 1] tartományban maradjon, és óval történ® becslésnél el®fordul A logit transzformáció azt jelenti, hogy a

függ® változó helyett a hitel vissza nem zetés valószín¶ségének (p) és a törlesztés valószín¶ségének (1 − p) hányadosát logaritmáljuk, és erre illesztünk lineáris modellt:  log ahol p 1−p  = log it(p) = β0 + β1 x p az odds, és ennek logaritmusa, azaz az esély logaritmusa a logit. 1−p A logit modell paramétereinek becslése : Az egyenletben három ismeretlen van: p, β0 és β1 . Hogyan becsüljük annak valószín¶ségét, hogy az ügyfél hitelképes, a modell alapján inkább a hitelképesek csoportjába soroljuk-e? Mivel az y eloszlása nem ismert, a mintából a legvalószer¶bb (maximum likelihood) becslést végezzük el. Els® lépésben tekintsünk el az x adatoktól, csak az y = 1 és az y = 0 bekövetkezéseket ismerjük. A likelihood függvény a következ® lesz: L(p) = n Y pyi (1 − p)(1−yi ) i= Mivel az n számú meggyelésb®l k esetben y =1 és n−k ezért a relatív gyakorisággal történ®

becslés formuláját kapjuk: esetben p̂ = változót nem vonjuk be a modellbe, a kockázat (cs®d) valószín¶sége y =0 következett be, k . Ha tehát n x magyarázó k és n ismeretében könnyen kiszámolható. A klasszikációt úgy végezzük, hogy akire ennél nagyobb valószín¶séget becslünk, azt a kockázatosak közé soroljuk, az ennél kisebb érték¶ek pedig a másik kategóriába kerülnek. Ezt az eredményt úgy is értelmezhetjük, hogy minden egyes x értékhez egyetlen közös pi = π érték tartozik. Ez a feltevés a gyakorlatban általában nem igaz A tozik, ha az xi pi valószín¶ség vál- magyarázó változók értékeit gyelembe vesszük. Tipikus példaként említhet® a halálozási vagy az életben maradási valószín¶ség. Mindkett® függ az életkortól, életmódtól, vagyoni helyzett®l stb. Ha a bekövetkezési valószín¶ség becsléséhez a magyarázó változókat is bevonjuk a logit modellbe, a maximum likelihood

becslés jóval komplikáltabbá válik. 77  log p 1−p Ebb®l a becsült valószín¶ség:  p̂ = = β0 + β1 x1 + · · · + βp xp eβ0 +β1 x1 +···+βp xp , ahol 1+eβ0 +β1 x1 +···+βp xp p a β paraméterekkel becsült feltételes valószín¶ség. A regressziós paraméterek becsléséhez a likelihood függvény így néz ki: L(b0 , b1 , . , bp ) = n Y pyibi (1 − pib )(1−yi ) i=1 Mivel a b becslésekre nincs explicit formula, a számítógép számos lehetséges értéket be- helyettesít, hogy megtalálja azt az értékpárt, amelyre az iteratív Newton-Raphson eljárás. A becsült lést: b L(b) a maximumát felveszi. Ez az paraméterek felhasználásával p-re kapunk becs- log it(pi ) = b̂0 + b̂1 xi . A modell jóságát a Pearson-féle Khi-négyzet próbával ellen®rizhetjük. Részvényportfólió kezelési módszerek, teljesítménymérés : Részvényportfólió kezelési módszerek : A passzív stratégia jellemz®i: •

egy kiválasztott indexet próbál követni • nincs szüksége drága elemzésekre, mert nem érdeklik a kilátások, ezért olcsó • egyensúlyt kell találni az index pontos követése és az ehhez szükséges stratégia között • a követési hiba mértékét a passzív portfólió és az index hozamkülönbségeib®l számított szórással számoljuk Passzív indexkövet®s stratégiák: 1. Teljes replikáció: az index minden elemét tartalmazó portfólió kialakítása, költséges lehet, mert sok értékpapírból állhat az index 2. Kvadratikus optimalizáció: Az index legfontosabb részvényeinek és azok súlyának kiválasztása az index és a portfólió közötti négyzetes különbség minimalizálásával A portfólió elemszáma kevesebb, ezért olcsóbb is. Hátránya, hogy múltbeli adatokra épül 3. Mintavételi technika: Az indexben jelent®s súlyú értékpapírokon kívül a kisebb súlyú papírokból is válogat néhányat Ezek kiválasztása

például szektor, ország és kapitalizáció alapján történik úgy, hogy az indexet h¶en tükrözze. A másik két módszer között helyezkedik el a lefedettséget és a költséget tekintve Az aktív stratégia jellemz®i: 78 • az alapkezel®k nagy része nem tudja felülmúlni a referenciahozamot, de néhányuknak hosszabb távon is sikerül • az elemzések miatt drágább a passzív portfólió kezelésnél Aktív stratégiák: 1. Piaci id®zítéssel kapcsolatos technikák: lényege, hogy ha a portfólió kezel® emelkedésre számít, akkor részvényt vesz, ha esésre, akkor elad. Valójában a portfólió-eszközök közötti átrendezés (részvény - kincstárjegy, kötvény), csak részvény esetén béta alapú átrendezés. Az id®zítés történhet technikai és fundamentális alapon. A három legismertebb stratégia: (a) Vedd meg, és tartsd: gyakorlatilag passzív, statikus stratégia (b) Konstans arányú részvénykitettség: mivel a kötvények

értéke lényegében konstans, a t®zsdei emelkedés a portfólió részvényarányát növeli, esés csökkenti. Az arány fenntartaásához emelkedéskor a részvények eladása, eséskor vétele szükséges Emiatt ez a stratégia trend nélküli, volatilis piacokon hatékony. (c) Portfólióbiztosítás: Az el®z® stratégia ellenkez®je: emelked® piacon vesz, es® piacon elad. A trendet próbálja meglovagolni, ezért trendel® piacokon hatékonyabb 2. Részvényszelekciós stratégiák: fundamentális alapon próbálnak félreárazott stratégiákat találni. Ha a bels® értéket magasabbnak találják a piaci árnál, akkor vesznek A bels® érték megállapítása különböz® módszerek alapján történhet. Ilyen módszerek lehetnek például a jöv®beni pénzáramlások megbecslése (például P/E, ár/prot). 3. Struktúra és stratégia megváltoztatása: legegyszer¶bben a részvények iparági összetételének megváltoztatásán keresztül lehetséges A gazdaság

állapotától vagy kamatkörnyezett®l függ®en változtatják a szektorok súlyát a portfóióban. Ez a módszer egy felülr®l építkez® (top-down) technika, hisz el®ször a szektort és utána a részvényeket választják ki. Üzleti ciklus kezdeti szakaszában általában a szolgáltatók, ezután a fogyasztási javakat, kés®bb a t®ke-javakat el®állító, utoljára pedig a nyersanyagtermel® vállalatok szerepelnek jól. 4. Befektetési lozóán vagy stíluson alapuló stratégiák: itt általában a portfólió-kezel®k specialisták egy témában. 4 nagy csoportra oszthatjuk ezeket a portfólió-kezel®ket: (a) Értékalapú befektet®: alacsony P/E rátájú vállalatokat keresi, mert arra spekulál, hogy ezek megítélése (és ára) rossz és várhatóan javulni fog (b) Növekedésalapú befektet®: szintén a P/E rátá gyelik, de szerintük az eredmény növekedése miatti P/E csökkenést a piac az ár növekedésével fogja visszaállítani (c) El®z®

kett® kombinációja 79 (d) Kis kapitalizációjú részvénymenedzserek: csak kis t®keérték¶ vállalatok részvényeit vásárolják, mert ezek nincsenek benne az indexekben és ezért kevés elemz® követi. Emiatt több lehet®ség adódik a felülteljesítésre is. Aktív és passzív stratégiák kombinációja: például a passzívan kezelt portfóliókban lehetnek részportfóliók, amiket aktívan kezelnek ( a nagy portfóliót mag-portfóliónak, míg az aktívan kezelt részt szatelitportfóliónak is szokták hívni.) Teljesítménymérés : A befektetés hozamának mérése: Ha egyperiódusú a befektetés, a hozamszámítás nem okoz különösebb gondot. Egyszer¶en az eredetileg befektetett t®ke egy forintra jutó nyereségét kell számszer¶síteni, amely tartalmazza a pénzbevételeket is és az árfolyamnyereséget is. Részvényeknél a jövedelem osztalékból és árfolyamnyereségb®l származik, kötvényeknél pedig kamatzetésb®l és

árfolyamnyereségb®l Képlet: Összes jövedelem / Kezdeti befektetés összege Bonyolultabb, többperiódusú esetekben hasznos lehet a hozam meghatározásának egy másik módszere. A befektetés hozamát a pénzáramlások jelenértékéb®l számítjuk ki Nevezzük r-nek azt a hozamot, amely mellett a befektetésb®l származó összes pénzáramlás jelenértéke egyenl® a kezdeti befektetés értékével. Ezt az értéket a befektetés bels® megtérülési rátájának, vagy a befektetés forintsúlyozású hozamának nevezik. Azért forintsúlyozású, mert amikor több részvényünk van, az nagyobb hatással van az átlagos hozamra. Az id®átlagolású hozam módszere gyelmen kívül hagyja, hogy az egyes periódusokban mennyi részvényünk volt. Ez az átlagos hozam csak az egyes id®szakok hozamait veszi gyelembe, tekintet nélkül arra, hogy mekkora összegeket fektettek be az adott id®szakokban Mikor jó ®ket használni: • Forintsúlyozású: azért t¶nik

ez a jobbik mutatónak, mert minél több pénzt fektetünk be abban az id®szakban, amikor a hozamok magasabbak, annál több pénzünk lesz a végén. • Az id®súlyozású használata: számos fontos gyakorlati esetben a portfóliókezel® nem befolyásolhatja közvetlenül az értékpapír-befektetések id®zítését vagy a befektetett összegek nagyságát. A nyugdíjalapok menedzsmentje jó példa erre Az n periódusú befektetésekre a hozamok mértani átlagát a következ® formula adja meg, ahol legyen rG a kamatos kamatozással számolt átlagos növekedési ütem. 1 + rG = [(1 + r1 )(1 + r2 ) . (1 + rn )]1/n A számtani és a mértani átlag közötti különbség csak akkor nulla, ha az éves hozamok nem szóródnak. A mértani átlagnak gyelemreméltó jelentéstartalma van, hiszen pontosan azt a konstans hozamot jelenti, amennyit minden évben nyernünk kellett volna az elmúlt befektetési 80 id®szakban ahhoz, hogy ugyanakkora teljesítményt

érjünk el, mint az adott befektetéssel. A múltbeli teljesítmény kit¶n® mér®száma ez. Ha azonban gyelmünket a jöv®beli teljesítményre irányítjuk, akkor a számtani átlag a célszer¶ mér®szám, mert akkor ez a portfólió jöv®beli várható hozamának torzítatlan becslése. A teljesítményértékelés hagyományos elmélete: A hozamoknál gyelembe kell venni a kockázatokat is, csak azután lehet azokat értelmesen összehasonlítani. A kockázatok gyelembe vételének legegyszer¶bb és legnépszer¶bb módja, ha az adott hozamokat a hasonló kockázatú befektetési alapok hozamával hasonlítjuk össze. Ez a fajta értékelés félrevezet® lehet például akkor, amikor egy adott csoporton belül egyes menedzserek csak néhány kiválasztott befektetésre koncentrálnak, és emiatt a portfóliójellemz®k igazából nem hasonlíthatók össze. A kockázattal módosított teljesítményértékelés másik módszere a várható érték - variancia

kritériumra épít. Evvel kezdték el használni a CAPM-et teljesítményértékelésre Ez a módszer alapján a közel hatékony piacokon rendkívül nehéz feladatot ró az elemz®kre az az elvárás, hogy olyan sikeresen szerepeljenek, hogy a kutatási és tranzakciós költségek is megtérüljenek. Néhány olyan mutató, amely a kockázatot is gyelembe véve méri a portfólió eredményességét: • Sharpe-mutató: A Sharpe-mutató a portfólió adott id®szaki átlagos kockázat prémiumát vetíti az id®szaki hozamok szórására. Lényegében a hozam és a teljes kockázat közötti átváltást méri. Képlete: • (rp − rf )/σp . Treynor-mutató: A Sharpe-mutatóhoz hasonlóan a Treynor-mutató is kockázat egységére jutó kockázati prémiumot méri, de az összes kockázat helyett csak a piaci kockázatot veszi gyelembe. Képlete: • (rp − rf )/βp . Jensen-mutató: A Jensen-mutató a portfólió bétájának és az átlagos piaci hozamnak

ismeretében azt méri, hogy a portfólió hozama mennyivel több vagy kevesebb, mint amennyi a CAPM alapján várható lenne. A Jensen-mutató a portfólió alfája Képlete: αp = rp − [rf + βp (rp − rf )]. • Értékelési hányados: Az értékelési hányados a portfólió alfáját a portfólió egyedi kockázatával osztja. Annak a kockázatnak az egységre jutó rendkívüli hozamát méri, amelyet elvileg diverzikációval meg lehetne szüntetni, ha a piaci indexportfóliót tartanánk. Képlete: • M 2: αp /δp . A Sharpe-mutatóhoz hasonlóan az M2 mutató is a teljes szóráson alapul, de az így kapott kockázattal kiigazított teljesítménymutató nagyon könnyen interpretálható úgy, mint a benchmark-portfólióhoz viszonyított hozamkülönbség. Az sához képzeljük el, hogy a menedzselt P M2 mutató kiszámítá- portfólióhoz annyi kincstárjegyet adunk hozzá, hogy az így kapott teljes, vagy kiigazított portfólió volatilitása

megegyezzen a piaci index 81 volatilitásával. A kiigazított portfólió (amelyet P ∗ -al jelölünk) szórása tehát megegyezik a piaci portfólió szórásával. Ilyenkor a teljesítményüket egyszer¶en összehasonlíthatjuk a hozamokon keresztül. Képlete: M 2 = rP ∗ − rM . Teljesítményértékelés változó összetétel¶ portfólió esetén: Már láttuk, hogy a részvényhozamok magas varianciája miatt nagyon hosszú meggyelési id®szakra van szükség ahhoz, hogy a teljesítményszintet bármilyen statisztikai szignikanciaszinten meghatározhassuk, még akkor is, ha a portfólióhozamok eloszlását konstans várható érték és variancia jellemzi. Képzeljük el, mennyire fokozódik ez a probléma, ha a portfólióhozamok eloszlása folyamatosan változik Elfogadható az a feltételezés, hogy a passzív stratégiák hozameloszlásainak konstans a várható értéke és a varianciája, ha a mérési id®szak nem túl hosszú. Egy aktív stratégia

hozameloszlása azonban a tervnek megfelel®en változik, amikor a portfóliókezel® a pénzügyi elemzés eredményeivel összhangban aktualizálja a portfóliót. Ilyen esetekben, konstans várható értéket és varianciát feltételezve, a mintaid®szakból becsült különböz® statisztikák alapvet®, lényegi hibákhoz vezetnek. A piacra lépés id®zítése: Alapesetben a piacra lépés id®zítése azt jelenti, hogy a t®két átcsoportosítjuk a piaci indexportfólió és a kockázatmentes eszköz között attól függ®en, hogy a piaci hozam várhatóan túlszárnyalja-e a kockázatmentes eszközök hozamát. A teljesítményelemzés az általános eszközallokációs döntésekb®l kiindulva folyamatosan halad a portfóliókiválasztási részletek felé. Például egy általános teljesítményelemzési rendszer három komponensre bontja a teljesítményt: • általános eszközallokációs döntések a részvény-, kötvény- és a pénzpiacok között • ágazat

(szektor) választás az egyes piacokon belül • értékpapír-kiválasztás a szektorokon belül A hozzájárulás-elemzés során a menedzselt portfólió referencia-portfólió (B) (P ) és egy speciálisan kiválasztott hozamának eltérését kell megmagyarázni. A referencia-portfóliót úgy állítjuk össze, hogy minden eszközosztály x súlyokat kap, így hozama a következ® formulával adódik: rB = n X wBi rBi i=1 ahol wBi az i-edik eszközcsoport referencia-portfólión belüli súlyát jelöli, rBi pedig az i-edik esz- közcsoport értékelési periódusbeli hozamát. A portfóliókezel®k meghatározzák minden eszközosztály portfólióbeli súlyát, rP i -vel wP i -ket. Az egyes értékpapírok hozamát az értékelési periódusban jelöljük. A menedzselt portfólió hozama tehát 82 rP = n X wP i rP i i=1 A két hozam közötti különbség ezért rP − rB = n P (wP i rP i − wBi rBi ), amit a következ®kép- i=1 pen

bonthatunk részekre: • + Az eszközallokáció hozzájárulása: • + Az értékpapír-kiválasztás hozzájárulása: • = Az i-edik (wP i − wBi )rBi wP i (rP i − rBi ) eszközosztály teljes hozzájárulása: wP i rP i − wBi rBi . Stíluselemzés: A stíluselemzést a Nobel-díjas William Sharpe vezette be. Sharpe 12 eszközosztály (stílus) portfóliót vizsgált Arra gondolt, hogy az alapok hozamait regresszálja az eszközosztályokat megtestesít® indexekre. Az egyes indexek regressziós együtthatói mérhették volna az egyes stílusok hozzájárulását. Mivel az alapok nem tartalmaznak short pozíciót, a regressziós együtthatóknak pozitívnak vagy nullának kellett lenniük és 100%-ra kellett összegez®dniük, hogy a teljes eszközallokációs döntést reprezentálják. A regresszió R2 mutatójából lehet következtetni arra, hogy a hozamok szóródásának mekkora része köszönhet® az értékpapírkiválasztásnak. A

teljesítményértékeléssel két alapvet® probléma van: 1. Nagyon sok meggyelésre van szükség ahhoz, hogy szignikáns eredményeket tudjunk kihozni, még akkor is, ha a portfólió hozamának várható értéke és variancája állandó. 2. Az aktívan kezelt portfóliók esetén a gyakran bekövetkez® paramétereltoló változtatások még inkább megbízhatatlanná teszik a teljesítményértékelést. Bár ezeket az objektív nehézségeket nem tudjuk teljesen kiküszöbölni, de azért tehetünk valamit, hogy kell®en megbízható teljesítmény-mér®számokhoz jussunk: 1. Növelni kell a mérések számát, például úgy, hogy a meggyelési gyakoriságot növeljük és így rövidebb id®távú hozamokat kapunk 2. Pontosan specikálni kell a portfólió jellegét, így jobb becsléseket kapunk a kockázati paraméterekre minden meggyelési periódusban. 83 1.13 13 tétel Egész érték¶ LP modellekre visszavezethet® feladatok, kombinatorikus algoritmusok

(hozzárendelési- és maximális folyam feladat). Biztosítók kockázatkezelése (veszélyközösség, viszontbiztosítás, együttbiztosítás, kockázatelbírálás, állománytisztítás, tartalékolás). Egy nem egészérték¶ LP feladat és a rá vonatkozó dualitás tétel a következ®:  max cT x|Ax ≤ b  = min y T b|y ≥ 0, y T A = cT  = min y T b|y ≥ 0, y T ≥ cT  max cT x|x ≥ 0, Ax ≤ b Egészérték¶ programozás: max ≤ max = min ≤ min IP LP DLP DIP 1.112 tétel Legyen A egy teljesen unimoduláris mátrix és b egész vektor Tegyük fel, hogy a   max cT x|Ax ≤ b (LP) feladat megoldható és a maximuma véges. Ekkor a max cT x|Ax ≤ b, x egész (IP) feladat is megoldható és a maximuma megegyezik az (LP) feladat maximumával. 1.113 deníció Egy mátrixot akkor nevezünk teljesen unimodulárisnak, ha minden négyzetes részmátrixának a determinánsa 0, +1 vagy − 1. Példák: • Irányított gráf illeszkedési mátrixa teljesen

unimoduláris, ahol az illeszkedési mátrix a pont-él mátrix, és a kezd®pont +1, a végpont • − 1. Irányítatlan gráf illeszkedési mátrixa teljesen unimoduláris akkor és csak akkor, ha a gráf páros. LP-modellekre visszavezethet® feladatok : Maximális méret¶ párosítás keresése : Egy M ⊆ E X ⊆ V (G) élhalmazt párosításnak nevezünk, ha minden ei , ej ∈ M -re ei ∩j = ∅. ponthalmazt lefogó ponthalmaznak nevezünk, ha minden Egy ei ∈ E(G)-re ei ∩ X 6= ∅. A K®nig-tétel mondja ki, hogy a maximális párosítás mérete egyenl® a lefed® pontok minimális számával. Egy hatékony algoritmus maximális párosítás keresésére a magyar módszer (alternáló utas). Teljesen unimoduláris mátrixok segítségével a feladatot felírva azt kapjuk, hogy  max 1T x|x ≥ 0, Bx ≤ 1, x egész  ≤ min y T 1|y ≥ 0, y T B ≥ 1T , y 84 egész ahol B x a gráf illeszkedési mátrixa, karakterisztikus vektora, a Bx ≤ 1 a

párosítás karakterisztikus vektora, y a fed® ponthalmaz y T B ≥ 1T feltétel a párosításbeli élek függetlenségét adja, feltétel biztosítja, hogy a ponthalmaz minden élet lefed. Mivel a páros gráf illeszkedési mátrixa teljesen unimoduláris, és a jobboldali vektor egész érték¶, ezért maximum megegyezik a minimummal. Maximális súlyú párosítás keresése : Legyen w : E(G) − R+ a nemnegatív élsúlyokat jelöl® függvény. Egy M párosítás súlya P w(e). Egy y : V (G) − R+ pontokon értelmezett nemnegatív függvényt fedésnek nevezünk, e∈M P ha minden {vi , vj } ∈ E(G)-re y(vi ) + y(vj ) ≥ w({vi , vj }). Egy y fedés értéke y(vi ). vi ∈V (G) Egerváry-tétele azt mondja ki, hogy a maximális párosítás súlya egyenl® a minimális fedés értékével. Egyszer¶en a Kuhn-algoritmussal lehet találni egy maximális súlyú párosítást Teljesen unimoduláris mátrixok segítségével felírva:  max wT x|x ≥ 0, Bx ≤ 1, x

ahol B w a gráf illeszkedési mátrixa, vektora, y egy fedés, a Bx ≤ 1  ≤ min y T 1|y ≥ 0, y T B ≥ wT , y egész az élek súlyait tartalmazza, x egész a párosítás karakterisztikus feltétel a párosításbeli élek függetlenségét adja, az y T B ≥ wT feltétel adja, hogy minden él le van fedve. Itt is mivel a páros gráf illeszkedési mátrixa teljesen unimoduláris, ezért maximum egyenl® lesz a minimummal. TU-játékok: Az halmaza és minden R+ (N, v) egy átváltható hasznosságú játék (TU-játék), ahol S ⊆ N -re v(S) ∈ R+ kizetés-függvény. Jelöljük p(N ) = v(N ), valamint p az S S halmaz kizetését. p-t p : N − szétosztásnak nevezzük, ha p(S) ≥ v(S) minden S⊆N esetén. G(U ∪V, E) páros gráfon adjunk meg w : E(G) − R+ élsúlyokat. (N, v) hozzárendelési játékban N v(S) = max {w(M ) : M a játékosok koalíció értéke. A játék megoldása egy benne van a játék magjában, ha

Hozzárendelési játék: Egy A kapcsolódó p(S)-el az N párosítás a gráf ponthalmaza és minden S ⊆ N -re legyen: S − ben}. 1.114 állítás Ha egy adott p kizetésre S koalíció blokkoló (vagyis v(S) > p(S)), akkor létezik olyan ui , vj ∈ S , amire (ui , vj ) pár blokkoló (vagyis w({ui , vj }) > p({ui , vj }). Egy p szétosztás benne van a játék magjában pontosan akkor, ha nincs blokkoló pár Például a maximális súlyú párosítás feladat így is leírható, ahol párosítás súlyát. Legyen p = y elosztás, és az jelentik, hogy nincs blokkoló pár a p y v(N ) p-re. jelöli a maximális fedésre vonatkozó feltételek pontosan azt kizetésre, vagyis p a játék magjában van. Párosítások és fedések nempáros gráfokon: 1.115 tétel Tutte-tétele: Egy gráfban akkor és csakis akkor létezik teljes párosítás, ha minden X ∈ V (G)-re cp (G−X) ≤ |X|, azaz akárhogy hagyunk el a gráfból néhány pontot, a

maradékban a páratlan komponensek száma ennél több nem lehet. 85 Párosítás játék: Egy (N, v) lódó G(V, E) párosítás játékban max {w(M ) : M párosítás gráfon adjunk meg N w : E(G) − R+ élsúlyokat. A kapcso- S ⊆ N -re a gráf ponthalmaza és minden v(S) = legyen S − ben}. 1.116 állítás Egy G gráfhoz tartozó párosítás játék magja nemüres akkor és csakis akkor, ha a következ® egyenl®tlenség egyenl®séggel teljesül.   max wT x|x ≥ 0, Bx ≤ 1, x egész ≤ min y T 1|y ≥ 0, y T B ≥ wT Itt v(N ) deníció szerint a maximális párosítás súlya. Egyenl®ség esetén y fedés pontosan akkor, ha y minimális érték¶ magbeli szétosztás. Maximális folyam feladat: D(V, E) Legyen s ∈ V (D) egy irányított gráf, ahol t ∈ V (D) forrás és vagyis csak kifelé illetve befelé megy bel®lük él. Legyen továbbá adva egy kapacitásfüggvény az éleken. Egy • x(e) ≤ c(e) P • x e ∈ E(D) P

x(u, v) − (u,v)∈E(D) Egy minden x : E(D) − R+ c : E(D) − R+ függvényt folyamnak nevezünk, ha élre és x(v, w) = 0 minden v ∈ V (D) {s, t}-re (csomóponti törvény) (v,w)∈E(D) folyam értéke h(x) = P x(s, v) = (s,v)∈E(D) P nevezünk, ha x(v, t). Egy maximális folyamot (v,t)∈E(D) hatékonyan a Ford-Fulkerson algoritmussal lehet. Legyen (s, t) vágásnak P c(u, v). nyel® pontok, s ∈ X ⊆ V {t}. CX = {(u, v) : u ∈ X, v ∈ V X}. Egy CX Egy CX élhalmazt vágás értéke c(CX ) = (u,v)∈CX 1.117 tétel Ford-Fulkerson-tétel: Egy adott (D, s, t, c) folyam feladatra a maximális folyam értéke egyenl® a minimális vágás értékével. Egészérték¶ programozással a következ®képpen írható le:   max wT x|0 ≤ x ≤ c, B 0 x = 0 = min y T c|y ≥ 0, z : y T + z T B 0 ≥ wT ahol x a folyam karakterisztikus vektora, B 0 után, B0x = 0 pedig 0, wT x értelmezve és Mivel B 0 feltétel a csomóponti törvény,

adja meg a z a gráf illeszkedési mátrixa t-be w értéke 1 minden bemen® folyamot, vagyis h(x)-et, y s és t sorának elhagyása (v, t) él esetén, egyébként duál változó az éleken van duál változó a pontokon. teljesen unimoduláris, ezért egész kapacitások esetén a fenti LP feladat optimuma felvétetik egész értékkel is, és egyenl® a duál feladat minimumával, ami szintén felvétetik egész értékkel. A biztosítók kockázatkezelése: 86 A kockázat gazdasági értelemben vett bizonytalanság a jöv®t illet®en, valamilyen veszteség vagy kár lehet®sége. A gazdasági értelemben vett kockázat egy pénzügyi hatású valószín¶ségi változó. A biztonság azért fontos, mert társadalmi-gazdasági érdek f¶z®dik ahhoz, hogy a pénzügyi szektor elemei, ezen belül a biztosítások megbízhatóan m¶ködjenek. A szolgáltatóknak szolvenseknek kell lenniük, bármi legyen is a szolvencia szó jelentése Az ügyfelek meg kell

kapják a szerz®dés szerinti szolgáltatásokat, és az érdek er®teljesebb, ha természetes személyekr®l van szó. Mit tehet a biztosító biztonsága növeléséért? • kevesebb kockázatvállalás • díjnövelés változatlan kockázatvállalás mellett • kockázatcsökkent® technikák: viszontbiztosítás, együttbiztosítás, állományegyesítés, fedezeti ügyletek • költségcsökkentés • kontrollok javítása (kockázatelbírálás, kárrendezés, általános folyamatok) • t®ke bevonás Kockázatkezelésnek hívjuk a biztonságot szolgáló lehet®ségeket a biztosításban: tartalékok, szavatoló t®ke, kockázatcsökkent® technikák, egyéb. Az egyebek: • megfelel® piackutatás, célcsoport megállapítás, árazás, eladás és termékösszetétel fenntartás, adminisztráció, meggyelés és visszacsatolás • megfelel® kockázatelbírálás, kárrendezés, eszközösszetétel fenntartás Kockázatcsökkent® technikák: olyan

módszerek, amelyekkel a biztosító meglev® kockázatai egy részét®l megszabadul. Például adott kötelezettséget vagy annak egy részét szerz®déssel másnak adja: • biztosítási kockázat: viszontbiztosítás, együttbiztosítás • pénzügyi kockázat: fedezeti ügylet Nagyobb kockázatközösségek (pool) kialakítása. Viszontbiztosítás: lehet®vé teszi 87 • olyan üzletek vállalását, amelyeket nélküle nem lehetne elvállalni (például a lehetséges legnagyobb kár túl nagy a saját t®kéhez mérten) • a cs®d valószín¶ségének illetve mértékének csökkentését • XL VB révén a portfólió variabilitásának direkt csökkentését • QS VB révén több üzlet vállalását, mint nélküle: ezáltal nagyobb és kiegyensúlyozottabb portfólió jöhet létre (a variabilitás indirekt csökken) • a szolvencia követelmények könnyebb teljesítését • az induló biztosítók kezdeti költségek miatti pénzügyi

terheinek enyhítését • a növekedésb®l származó veszélyek enyhítését • az egyes években keletkez® nyereségek bizonyos mérték¶ kiegyenlítését A viszontbiztosítás azonban új, hitelkockázati elemet generál, várhatóan csökkenti a nyereséget, de növeli a biztonságot. Viszontbiztosítás: • Arányos viszontbiztosítás: Quota Share és Surplus • Nem arányos viszontbiztosítás: excess of loss, stoploss, cat XL, XL, legnagyobb kár A Quota Share arányosan osztja el az átadott díjat, és ugyanolyan arányban a kárrészt is. A Surplusnál van egy limit, például 4 vonal az els® vonal felett, a viszontbiztosítási részarányok ezekkel a vonalakkal vannak deniálva. XL: van egy megtartás és egy annál magasabb limit Az élet ág viszontbiztosítása: Tartalékot akkor is kell képezni, ha a kockázatot viszontbiztosításba adta a biztosító. Fajtái: • Normálbázisú: a teljes díjat és a teljes szolgáltatást osztják meg

arányosan • Kockázati alapú: a kockázati díjrészt és a kockáztatott t®két osztják fel arányosan. Életbiztosításnál lehet el®re tudni a szolgáltatás mértékét, vagy 0 lesz, vagy S . Tehát minden viszontbiztosítás arányosnak tekinthet®, mert csak ebben a két pontban kell megmondani a függvény értékét. Együttbiztosítás: Az együttbiztosítás el®re meghatározott arányok szerinti kockázatvállalás két vagy több biztosítóintézet közös megállapodásaként. A kötvényt a vezet® biztosító állítja ki, és a lebonyolítást is ® végzi el Az együttbiztosítás lényege, hogy adott biztosítási szerz®désre vonatkozóan 88 a kockázatokat, valamint a fedezet biztosítására írásban lefektetett, el®re megszabott százalékos arányban több biztosító közösen vállalja. Ilyen esetben meghatározzák természetesen a közösen nyújtott szolgáltatások tartalmát, valamint a résztvev® egyes biztosítók saját

mérték¶ tartalékképzésének mértékét, a vállalt százalékos arányhoz igazodva. Kockázat elbírálás: Technikai és egészségügyi kockázatelbírálásról beszélünk, alapja az ajánlat, az egészségi nyilatkozat és az egyes eseteknél az orvosi vizsgálat adatai. A kockázatelbírálás eredménye lehet: • Elfogadás • Díjemelés • Halasztás • Elutasítás • Alternatív megoldások: biztosítási összeg csökkentése, tartam rövidítése, más módozat, kizárás 1.14 14 tétel Látens változók képzése és értelmezése, dimenziócsökkentés. Aktív és passzív kötvényportfólió kezelés és ezek eszközei. Látens változók képzésére és dimenziócsökkentésre megfelel® a f®komponensanalízis is, de itt most a többdimenziós skálázás módszerét mutatom be. Többdimenziós skálázás (MDS) : Geometriai hátterében az a feltevés áll, hogy a térben minden meggyelésnek megfelel egy pont, és a hasonlóbb pontok

közelebb vannak egymáshoz. A skálázással az adatok között mért különböz®ségekb®l nyerünk információt, származtatunk koordinátákat a skálatérképen. Majd a származtatott koordináták közötti távolságokat összevetjük az eredetileg ismert különböz®ségekkel, és törekszünk az eltérések minimalizálására. Az MDS elemzés célja hasonló ahhoz, amit a f®komponens elemzésnél t¶ztünk ki: objektív skálát hozunk létre egy redukált dimenziójú térben. Egy D n×n-es mátrixot távolságmátrixnak mondunk, ha szimmetrikus, és dii = 0, valamint dij ≥ 0. 1.118 deníció D euklideszi távolságmátrix, ha létezik p és x1 , , xn ∈ Rp , hogy d2r,s = (xr − xs )T (xr − xs ). Legyen ar,s = − 12 d2r,s , és A = (ar,s ). Továbbá legyen Ekkor 89 H = I − 1 · 1T · n1 , valamint B = HAH . br,s = − 1 2 ( n n 1X 2 1X 2 1 X 2 2 dr,s − dr,i − dj,s + 2 d n i=1 n j=1 n i,j i,j ) = ar,s − ar,• − a•,s +

a•,• 1.119 tétel D euklideszi távolság pontosan akkor, ha B ≥ 0 1. Ha D a z 1 , , z n pontok távolságmátrixa, akkor B = (HZ)(HZ)T , ahol Z n × p-es 2. Ha B ≥ 0, és rang(B) = p, λ1 ≥ λ2 ≥ · · · ≥ λp > 0 sajátértékek, xi -k a λi -khez tartozó sajátvektorok és xTi xi = λi , akkor z r = (xr1 , . , xrp )T és D a 1, , z n -ek távolságmátrixa 1.120 deníció C hasonlósági mátrix, ha szimmetrikus és cr,s ≤ cr,r Legyen dr,s = (cr,r − 2cr,s + cs,s )2 , akkor D így távolságmátrix lesz. 1.121 tétel Ha C ≥ 0, akkor D euklideszi távolságmátrix, és B = HCH Legyen e n × p-es X adatmátrix. Ekkor eT HX e nS = X sajátértékei a λ1 ≥ · · · ≥ λp w1 , . , wp Legyen továbbá B = (br,s ) olyan, e X H =: AX e T H . Továbbá nS = (X e T H)(H X) e B = HX és a hozzájuk tartozó sajátvektorok T (X r − X) (X s − X), Ekkor és számok, hogy br,s = eT d2r,s = (z r − z s )T (z r − z s ) és

b2r,s = z Tr z s . e 1.122 deníció Legyen Bvi = λi vi , ahol viT vi = λi Ekkor Vk = (v 1 , , v k ) sorai az X k -dimenziós f®koordinátái. F®kordináták és f®komponensek közti kapcsolat: p-dimenziós pontok helyett k ≤ p dimenziós pontokkal dolgozunk. Az nS sajátértékei eT HX e . Jelölje U = H X e , és ekkor U T U = nS , megegyeznek B sajátértékeivel, és nS = X Tehát valamint U T U wi = λi wi és Következik még, hogy A Vk U U T U w i = λi U w i . Azt is tudjuk, hogy U U T = B. (U wi )T (U wi ) = wTi U T U wi = λi wTi mátrix l .-edik sorának i.-edik eleme a következ®: e T Hwi )l = (X l − X)T wi = (X A következ® összefüggés is adódik az el®z®ekb®l: A f®komponens analízisnél ξ ∼ Np (µ, Σ) T voltak. Az i-edik f®komponens γ (ξ i k helyre az els® k − µ). volt, e =X e − 1T X . e = (I − 1 11T )X HX n ei γ ortonormált sajátvektorok és Σγ = λ i i Tehát ez olyan, mint a f®komponensanalízis, az

els® f®komponenst írjuk. Miért optimális ez? Legyen és L : Rp − Rp ortogonális leképezés, L = (l1 , . , lp ) és L = (L1 , L2 ), ahol L1 p×k -as L2 p × (p − k)-as mátrixok. 90 Ekkor a következ® adódik: d2r,s = p X 2 (Xri − Xsi ) = i=1 Az e 7− XL e 1 X p X (X Tr li − X Ts li )2 i=1 leképezéssel számolunk tovább. Legyen k P dˆr,s = (X Tr li − X Ts li )2 ≤ d2r,s . i=1 Φ= A hiba, amit minimalizálni szeretnénk: d∗r,s = δr,s + er,s , távolságmátrix olyan, hogy d2r,s 2 − dˆr,s r,s Shepard-Kruskal algoritmus : Legyen P ahol δr,s er,s a hiba. Legyen továbbá n(n−1) . 2 az euklideszi távolság, és dr1 ,s1 ≤ · · · ≤ drm ,sm , ahol m= D 1.123 deníció d∗r,s monoton kapcsolatban van dr,s -el, ha dr,s < du,v , akkor d∗r,s < d∗u,v Jelölése d∗ ∼mon d. 1.124 deníció Legyenek ξ és η vektorok, valamint ĝ monoton növ® függvény A ĝ az η - nak és a ξ -re vonatkozó

monoton regressziós függvénye, ha teljesül rá, hogy E(η − ĝ(ξ))2 = min E(η − g(ξ))2 . g 1.125 deníció Legyen y1 , , ym és x1 , , xm sorozatok, ekkor x∗1 , , x∗m sorozat y -nak az x-re vonatkozó legkisebb négyzetes monoton regressziója, ha teljesül, hgoy min m P z∼mon x i=1 m P (yi − x∗i )2 = i=1 (yi − z) és x ∼mon x. ∗ 2 A Shepard-Kruskal algoritmus megmutatja, hogy hogyan lehet megtalálni ezt a sorozatot. A többdimenziós skálázás lépései: 1. Csinálunk a 2. El®állítjuk dr,s -b®l dˆr,s -ot. d∗r,s -ot, mint a dˆr,s -nak a dr,s -re vonatkozó legkisebb négyzetes monoton reg- resszióját a Shepard-Kruskal algoritmus segítségével. 3. A d∗r,s -ból ismét dˆr,s -ot csinálunk. 4. Az el®z® két lépést folyamatosan ismételjük Aktív és passzív kötvényportfóliókezelés : Passzív portfóliókezelés : Abból indul ki, hogy a piaci árak megfelel®ek, a cél mindössze egy kell®en

diverzikált portfólió kialakítása. A passzív portfólió-kezel®k a piaci lehet®ségek által adott megfelel® kockázathozam egyensúlyt próbálnak fenntartani Két alapvet® stratégiája van: az indexkövetés, és a semlegesítés (immunizáció). Indexkövetés: 91 Kiválasztunk egy indexet, és olyan portfóliót próbálunk tartani, mely összetételében megegyezik az index összetételével. Ez egy nettó jelenértéken alapuló módszer F®bb indexek Magyarországon: • MAX index: a magyar állam által nyilvánosan kibocsátott, az index számításának napján 1 évnél hosszabb hátralév® futamidej¶, x kamatozású államkötvények t®kesúlyozású árfolyamindexe. • DVIX-index: hozamindex, ax ante hozam, a DVIX számítása a megel®z® 12 hét diszkontkincstárjegy aukcióin elfogadott átlaghozamok és mennyiségek alapján határoz meg egy átlaghozamot. Az indexben a korábban rendezett aukciók eredménye alacsonyabb súllyal szerepel,

mint a kés®bb tartott aukciókon elérhet® hozam. Az index hetente változtatja értékét, az adott heti kincstárjegy aukciók kiértékelése után. A kötvénypiacon az indexkövetés viszonylag nehéz: • sok esetben nagyon sok kötvény van egy indexben (különösen külföldi indexeknél) • az indexek összetétele s¶r¶n változik • jelent®s a kamatjövedelem, amit újra be kell fektetni Megoldás lehet a kötvények kategóriákba sorolása (példáu a lejárat, kibocsátó, névleges kamatláb, vagy a kibocsátó hitelkockázata szerint) - kategórián belül a kötvények homogénnek tekinthet®k. Immunizáció: Cél a portfólió kamat-kockázatának kiküszöbölése, a kamatszint-érzékenység megszüntetése. Ezt a portfólió átlagidejének (duration) nullára beállításával lehet elérni. Ez a módszer viszont csak olyankor semlegesíti a portfóliónkat, ha a hozamgörbe párhuzamosan mozdul el. 1.126 deníció Maculay-féle átlagid® a

következ®: D= n X t · wt t=1 ahol wt = P V (CFt ) P , azaz a kizetések jelenértékét osztjuk a kötvény mai árával. 1 1.127 deníció A módosított átlagid® a következ®: eektív kamatozás esetén: D∗ = − 1+r D, és folytonos kamatozás esetén pedig D∗ = −D. A módosított átlagid® tulajdonképpen a félrugalmasság (D ∗ = dP /dr). A kötvényárfoP lyamnak a hozamgörbe párhuzamos eltolódására vonatkozó félrugalmassága. A kötvényhozam nagymérték¶ megváltozásakor csak hozzávet®leges pontosságú, egyre kisebb hozamváltozások 92 feltételezésével a becslés egyre pontosabbá válik. Ennek oka, hogy a kötvényhozam és a kötvényárfolyam közötti kapcsolat nem lineáris Így az átlagid®vel való közelítés hozamcsökkenés esetén alulbecsli az árfolyamemelkedést, hozamnövekedés esetén felülbecsli az árfolyamcsökkenést. Ezért kell a konvexitás (görbület) 1.128 deníció A konvexitás nem más, mint

az árfolyam - hozamgörbe meredekségének szá- zalékos megváltozása a kötvényárfolyam függvényében. C= n X t2 wt t=1 A nagy konvexitás jó, mert a hozamok csökkenése esetén nagyobb árfolyamnyereséget lehet elérni, mint amekkora árfolyamveszteséget lehet elszenvedni a hozamok emelkedésekor. De azért a nagyobb konvexitású kötvények drágábbak, a hozamuk alacsonyabb. Az átlagid® tulajdonságai, szabályok: • Elemi kötvény átlagideje a lejáratig hátralév® id®. • Változó kamatozású kötvény átlagideje a következ® kamatzetésig hátralév® id®. A változó kamatozású kötvény ebb®l a szempontból helyettesíthet® egy olyan elemi kötvénnyel, melynek lejárata a következ® kamatkiigazításra esik. • Portfólió átlagideje és konvexitása megegyezik a portfólióelemek átlagidejének és konvexitásának súlyozott számtani átlagával, ahol a súlyok a portfólióelemek relatív értékeinek felelnek meg. •

Azonos lejárat esetén annak a kötvénynek magasabb az átlagideje, amelyiknek alacsonyabb a névleges kamatlába. • Azonos névleges kamatozású kötvények átlagideje általában a lejáratig hátralév® id® növekedésével növekszik. (A névértéken vagy afölött kereskedett kötvényeknél mindig így van). • Ha minden más tényez® állandó, akkor egy kamatozó kötvény átlagideje magasabb, ha a kötvény lejáratig számított hozama alacsonyabb. • Az örökjáradék átlagideje: (1 + r)/r. 1.129 deníció Bázispont-érték (BPV): Hány forinttal változik a pozícióm értéke, ha a jegy- zés utolsó helyiértéke egységnyivel n®? (Hozam jegyzése két tizedesjegy pontossággal történik, tehát például 10, 23%-ról 10, 24%-ra n®. 1 BP V = D∗ · P · N · ∆r + C · P · N · (∆r)2 2 93 Az immunizációs stratégia állandó kiigazítást igényel (dinamikus stratégia), mert az id® múlásával az eszközök és források

átlagideje eltér® arányban változik. A folytonos kiigazítás természetesen nem kivitelezhet® (és tranzakciós költsége is van), így meg kell határozni, hogy milyen gyakorisággal kívánunk kiigazítani. A kamatkockázat kiküszöbölésének más módja is létezik, például a pénzáramlás illesztése: ha olyan kötvényeket használunk, hogy a portfóliónk ugyanolyan cash ow-struktúrával rendelkezik, mint amilyen a jöv®beli kötelezettségeink struktúrája, akkor a kockázat kiküszöbölhet®, és kiigazításra sincs szükség. A gyakorlatban ugyanakkor ez nehezen kivitelezhet®, nagyok a költségek, és nem mindig lehet ilyen portfóliót kialakítani. Aktív portfólió kezelés: Az aktív portfólió kezelés kísérlet arra, hogy a portfólió összetételének aktív, önálló változtatásával túlszárnyaljuk egy passzívan kezelt benchmark portfólió teljesítményét (gyelembe véve a tranzakciós költségeket és egyéb díjakat is). Abból

indul ki, hogy a piaci árak nem biztos, hogy helyesek. Fontos része az értékpapírelemzés: az alapvet® cégadatok, kockázatok és a makrogazdasági változók el®rejelzése Cél az optimális aktív portfólió összetételének meghatározása. Két f® formája van: • rosszul árazott kötvények felkutatása (NPV alapján) • spekuláció a hozamgörbe megváltozására (duration használata) - spekulálhatunk szintjének, meredekségének, konvexitásának megváltozására is Fontos, hogy ezek a technikák csak akkor eredményeznek rendkívüli protot, ha az elemz® jobb információkkal rendelkezik, mint a piac többi szerepl®je. Nem protálhatunk például abból az ismeretb®l, hogy a kamatlábak esni fognak, ha az árak már tükrözik ezt. Hatékony piacokon tehát nem használhatóak ezek a stratégiák. Homer-Lebowitz a következ®képpen osztályozza az aktív stratégiákat: • Helyettesítési csere: egy kötvény és egy majdnem azonos másik

kötvény cseréje, ha azt gondoljuk, hogy a kötvények árfolyama közti eltérés protlehet®séget jelent • Piacközi különbözeti csere: ha a befektet® szerint a kötvénypiac két szektora közti hozameltérés átmenetileg rendellenes • Hozamnövel® csere: nem a felismert félreárazások kiaknázására, hanem magasabb kamatozású kötvények tartásával a hozamnövelés eszközeként. Emelked® hozamgörbe esetén a hozamnövel® csere a hosszabb lejáratú kötvények felé való elmozdulással valósul meg. A befektet® hajlamos elviselni a stratégiából adódó kamatlábkockázatot • Adómegtakarítási csere: adózási el®nyök kiaknázása 94 Id®távelemzés: a kamatláb el®rejelzésének egyik formája, lényege: Kiválasztanak egy adott befektetési id®tartamot, és ezen id®szak végére el®re meghatározzák a hozamgörbét. Ez alapján meghatározható a kötvények befektetési id®szak végi árfolyama Az elért árfolyamnyereséget

és a kötvény által id®közben kizetett kamatok újrabefektetéséb®l ered® nyereséget összeadjuk, így megkapjuk a kötvényb®l a befektetési id®táv alatt származó összes jövedelmet, és kiszámolhatjuk a befektetési id®távon elért hozamot. Abba a kötvénybe fektetünk, amelynél ez a legnagyobb. Hozamgörbe meglovaglása: az id®távelemzés egy speciális változata, lényege: Ha a hozamgörbe emelked®, és ha a befektetési id®táv alatt a hozamgörbe az el®rejelzés szerint nem mozdul el, akkor a kötvény lejártának közeledtével hozama úgy csökken, ahogy a hozamgörbén a rövidebb lejáratú, alacsonyabb kamatozású kötvények felé lovagolunk, így a kötvényb®l árfolyamnyereségünk származik. De! Bár a hosszabb lejárat megnövelheti a várható hozamot, lehet, hogy ennek a hozamnövekedésnek a kockázat növekedése az ára És a hozamgörbe id®közben meg is emelkedhet. Ez a stratégia csak változatlan hozamgörbe mellett m¶ködik.

Részleges semlegesítés: kevert aktív-passzív stratégia, lényege: Van egy minimálisan elfogadható végs® érték, kiszámoljuk, hogy ehhez legalább mennyi t®ke kell, kezdetben megkockáztathatunk bizonyos veszteséget, de amikor ezt a fordulópontot elérjük, abba kell hagyni az aktív stratégiát. 1.15 15 tétel Stabil párosítási problémák, Gale és Shapley algoritmusa. A hagyományos és a modern életbiztosítási díjkalkulációs logika. Ezek különbségei Stabil házasítás probléma: Minden ú és lány szigorú rangsort állít fel a lehetséges partnerei között. Egy házasítás stabil, ha nem létezik blokkoló pár: egy olyan ú és lány, akik jobban kedvelik egymást, mint jelenlegi házastársaikat. Gale és Shapley lánykér® algoritmusa: 1. Minden ú ajánlatot tesz a számára legjobban tetsz® lánynak 2. Ha egy lány több ajánlatot is kapott, akkor tartsa meg a számára legkedvesebb udvarlót feltételesen, a többieket pedig utasítsa

vissza véglegesen. 3. A visszautasított úk ajánlatot tesznek a listájuk szerinti következ® lehetséges partnernek 4. Minden lány tartsa meg a legjobb kér®jét ideiglenesen, a többieket pedig utasítsa vissza véglegesen, és vissza az el®z® pontra. A kapott párosítás stabil, mert egy (m, w) pár nem lehet blokkoló: 95 • w miatt, ha ezt a kapcsolatot ® utasította vissza • m miatt, ha m sohasem udvarolt w-nek 1.130 tétel Gale és Shapley A kapott párosítás ú optimális (egyik ú sem kaphatna jobb feleséget egy másik stabil párosításban). Egyetemi felvételi rendszer: stabil b-párosítás Minden szaknak van egy kvótája, például S szaknak b(S). 1.131 deníció A b-párosítás azt jelenti, hogy egyik szakra sem vehetnek föl több jelentkez®t a szak kvótájánál. A b-párosítás stabilitása azt jelenti, hogy ha egy ai jelentkez®t nem vettek föl az S szakra, akkor vagy ai lett felvéve egy jobb szakra, vagy S töltötte

fel a kvótáját jobb jelentkez®kkel. Az egyetemek fel®l futtatott Gale-Shapley algoritmus: • minden • minden jelentkez®, aki egynél több ajánlatot kap, a legjobbat elfogadja ideiglenesen, a S szak ajánlatot tesz a legjobb többit visszautasítja véglegesen b(S) jelentkez®jének . A jelentkez®k fel®l futtatott Gale-Shapley algoritmus: • minden jelentkez® ajánlatot tesz az els® szaknak a rangsorában • minden S szakon megtartják a legjobb visszautasítják véglegesen b(S) jelentkez®t ideiglenesen, a többieket pedig . Az eljárás stratégiailag biztos, ha egyik résztvev® sem érhet el jobb megoldást, ha nem a valódi preferenciája alapján cselekszik. 1.132 tétel A jelentkez®k fel®l futtatott Gale-Shapley algoritmus esetén a jelentkez®knek nem éri meg taktikázni. De a másik oldalon lév® játékosok javíthatnak a helyzetükön, ha taktikáznak. Azonban kell® információ hiányában vagy túl nagy piac esetén a csalás

túl rizikós. A Gale-Shapley eljárással kapott megoldás az egyetemi felvételinél • igazságos: egy jelentkezés csak akkor kerül elutasításra, ha az adott szak helyeit jobb diákok töltötték be • diák-optimális: egyik diák sem kerülhet be egy jobb szakra egy másik igazságos megoldásban 96 Rezidens allokációs probléma házastársakkal: a házatársak közös listákat adhatnak le: például Jelentkez®k Béla Ádám és Éva 1. választás Queens (Memorial, Queens) 2. választás Memorial A NY Queens Hospital rangsora: Éva, Béla A NY Memorial Hospital rangsora: Béla, Ádám Ha Évát felveszik a Queens-be és Ádámot a Memorialba, akkor Béla és a Memorial blokkoló párt alkotnak. Ha Bélát felveszik a Memorialba, akkor Béla és a Queens alkot blokkoló párt Ha Bélát felveszik a Queens-be, akkor Ádám és Éva a Queens-el és a Memorial-lal alkotnak blokkoló párt. Tehát igazságos megoldás közös listák esetén nem mindig

létezik A kapcsolódó eldöntési probléma NP-teljes. A magyar fels®oktatási felvételi eljárás speciális esetei: • holtversenyek: azonos pontszámú jelentkez®k egy szakon: vagy mindegyikük vagy egyikük se nyer felvételt • alsó kvóták: minden szaknak lehet alsó kvótája I(S) és fels® kvótája u(S). Egy lehetséges S szakra vagy egyetlen diák se kerül, vagy megoldás egy olyan párosítás, ahol minden legalább I(S) és legfeljebb u(S) diák kerül be. A párosítás stabil, ha nincs blokkoló pár, amit egy induló szak és egy elégedetlen diák alkot, illetve nincs blokkoló koalíció, amit egy törölt S szak és legalább I(S) elégedetlen diák alkot. A stabil megoldás nem mindig létezik, a kapcsolódó probléma NP-teljes. • közös kvóták: szakok halmazára vonatkozhat közös kvóta. Az összes diák száma ezen a szakokon nem haladhatja meg a közös kvótát. Egy párosítás stabil, ha minden akit nem vettek fel az

töltötte fel a kvótáját S∈H Egy és H S szakra vagy ai -nál ai diákra, lett felvéve egy számára jobb szakra, vagy jobb diákokkal, vagy van egy olyan feltöltötte a közös kvótáját ai ai -nál H S szakhalmaz, amelyre jobb jelentkez®kkel. S halmazrendszer egymásba ágyazott, ha bármely két S -beli halmazra, ahol S∩S 0 6= ∅ teljesül, hogy vagy S ⊆ S0 vagy S ⊇ S 0. Egymásba ágyazott halmazrendszer esetén stabil párosítás mindig létezik és a Gale-Shapley algoritmus általánosításával hatékonyan megtalálható. S®t, a jelentkez®k/egyetemek fel®l futtatott algoritmus a diákok számára a legjobb/legrosszabb megoldást adja. Ha viszont a halmazoknak lehet igazi metszete, akkor stabil párosítás nem mindig létezik, és a probléma NP-teljes. • szakpárokra történ® jelentkezés • korlátos hosszú listák: ez taktikázásra késztetheti azokat a diákokat, akik a korlátnál több helyet szerettek volna

bejelölni 97 Roth-Vande Vate: Tegyük fel, hogy egy pár kielégítésével egy másik M {X,Y } {X, Y } pár blokkolja az párosítást kapunk, ahol X és Y M pátosítást. A blokkoló párban van egymással, a volt párjaik pedig párosítatlanok (ha voltak párjaik). Egy tetsz®leges párosításból indulva el lehet jutni mindig egy stabil párosításba blokkoló párok sorozatos kielégítésével. A hagyományos és a modern életbiztosítási díjkalkulációs logika: A hagyományos életbiztosítások díjkalkulációja : Nettó díj: (kockázati díjrész) a vállalt kockázatok fedezetéül szolgál. Ha bekövetkezik egy biztosítási esemény, akkor az ebb®l a részb®l felhalmozott pénzb®l zeti ki a biztosító a szerz®désben vállalt szolgáltatást. Az ekvivalencia elv azt mondja ki, hogy a bevételek jelenértékének várható értéke legyen egyenl® a kiadások jelenértékének várható értékével. A prot a halandósági nyereségb®l

és abból van, hogy általában magasabb hozamot ér el a biztosító, mint a technikai kamat. Jelölések: • qx : annak a valószín¶sége, hogy valaki, aki megélte x. életévét meghal az (x + 1).-edik életéve betöltése el®tt • px = 1 − qx : a túlélési valószín¶ség • lx : az • l0 : az alapsokaság száma, általában 100.000 f® x éves kort túlél®k száma • dx : az ω -val jelöljük a statisztikában megjelenített legmagasabb életkort. A halandósági táblát a x éves korban elhalálozottak száma Statisztikai Hivatal teszi közzé, benne a halálozási és túlélési valószín¶ségeket és a születéskor várható élettartamot. Az alábbi összefüggések könnyen következnek: qx = dx és lx px = lx+1 . lx Technikai kamat: feltételezünk egy általában alacsony és x értéket. Ez egy olyan kamatláb, ami biztosan nem lesz több, mint abban az évben a banki kamat. Ezzel a kamattal számolja ki a biztosító a

díjait. Jele: i Általában i ≤ 2, 9%. A következ® jelölést fogjuk használni: A kommutációs számok: Az él®k számai Az elhunytak számai Dx = lx v x ω P Nx = Dk Cx = dx v x+1 ω P Mx = Ck Sx = k=x ω P k=x Nk Rx = k=x ω P k=x 98 Mk v= 1 . 1+i Egyszeri díjas biztosítások nettó díja: 1. Elérési biztosítás: az x éves egyén kap 1 Ft-ot lx · Ax:n1 = lx+n v n 2. Haláleseti biztosítás: az ha a haláleset n n év múlva, ha életben marad. Jele: amib®l Ax:n1 = Dx+n Dx x éves egyén utóda 1 Ft-ot kap az egyén elhalálozási évének végén, A1x:n . éven belül következik be. Jele: lx · A1x:n = dx v + . + dx+n−1 v n A1x:n = amib®l Mx − Mx+n Dx n = ω − x, 3. Egész életre szóló haláleseti biztosítás (whole life): itt 4. Vegyes életbiztosítás: Ax:n1 . és Ax = Mx Dx Ax:n = A1x:n + Ax:n1 5. Járadékbiztosítások: • az x éves egyén 1 Ft-ot kap minden év elején n éven keresztül,

ha életben van. Jele: äx:n . lx äx:n = lx + lx+1 v + · · · + lx+n−1 v n−1 • egész életre szóló el®leges járadékbiztosítás: • utólagos járadékbiztosítás (év végén kap lx ax:n = lx+1 v + · · · + lx+n v n amib®l 1 amib®l äx = Nx − Nx+n Dx Nx Dx Ft-ot): Jele: ax:n = äx:n = ax:n Nx+1 − Nx+n+1 = äx:(n−1) − 1 Dx 6. Növekv® haláleseti biztosítás: ha az i-edik évben meghal, akkor az i-edik év végén kap az utóda i Ft-ot, és 1 ≤ i ≤ n. Jele: (IA)x:n . lx (IA)x:n = dx v + · · · + dx+n−1 v n n amib®l (IA)x:n = Rx − Rx+1 − nMx+n Dx Éves díjzetés: az ügyfél bezetése olyan a biztosító számára, mintha az ügyfél egy járadékbiztosítást zetne minden évben. Legyen általában n=k n a biztosítás tartama, és k a díjzetés tartama, szokott lenni. Képlete: Px:k = Bx:n äx:k Példa: Term x biztosítás: a biztosítás lejártakor egy meghatározott összeget mindenképpen

kizet a kedvezményezettnek, függetlenül a biztosított halálától. Díjzetés a tartam végéig, de lefeljebb a biztosított haláláig tart. Képlete: Px:n = 99 vn äx:n Bruttó díj: a díj kisebbik része, a biztosító költségeinek fedezetére szolgál. Költségek: a nettó díjra rátesznek valami százalékot az évek tapasztalatai alapján • α: szerzési költség: egyszeri költség a szerz®dés kezdetekor, általában az ügynökök díja • β: díjbeszedési költség: minden díjzetéskor felmerül, szinte mindig a díjra vetítve • γ : igazgatási költség: minden év elején, amíg a biztosítás tart (pl. adminisztrációs költség) Az egyszeri bruttó díj: Abx:n = Ax:n + α + βAbx:n + γäx:n , Abx:n = A bruttó éves díj: b Px:n = Abx:n äx:n = amib®l Ax:n + α + γäx:n 1−β Px:n + ä α +γ x:n . 1−β Befektetéshez kötött életbiztosítások : BEK: Befektetési Egységhez Kötött Életbiztosítások UL: Unit

Linked (angol) VUL: Variable Univarsal Life (amerikai) Kialakulása: • 1950-es években Angliában • 80,90-es években terjed el igazán • 1990 után jelenik meg Magyarországon F®bb változások a tradícionális termékekhez képest: • nem kell garantált hozamot ígérni az ügyfélnek, de lehet • átláthatóbb költségszerkezet • feloldja a tradícionális életbiztosítások kötöttségeit, az ügyfél szélesebb kör¶ igényeit is kielégíti • variálhatósága révén kevésbé tervezhet® cash ow • komolyabb informatikai hátteret igényel (árfolyam nyilvántartás) Az ügyfélnek: • megválaszthatja, hogy milyen arányban és milyen típusú eszközbe fektesse a biztosító az ügyfél biztosításának tartalékát • szabadon eltérhet a díjzetéskor az esedékességt®l 100 • a halálesetkor minimálisan zetend® összeget is megváltoztathatja • a tartam is rugalmas A rugalmasság ára, hogy a hozamkockázat

átkerül a biztosítótól az ügyfélhez. A bezetett pénzb®l befektetési egységek (unit) lesz, induláskor egy egység 1 Ft. Az ügyfél különbö- z® eszközalapokból vásárolhat befektetési egységeket, amelyek összetételükben, így befektetési kockázatukban és várható hozamaikban különböznek egymástól. Választható eszközalapok: • alacsony befektetési kockázatú: pénzpiaci-, kötvény- és garantált eszközalap • közelepes befektetési kockázatú: vegyes és ingatlan eszközalap • magas befektetési kockázatú: ingatlan, külföldi és magyar részvény A befektetési egységek fajtái: • kezdeti egység (2-3 évig a rendszeres díjból) • felhalmozási egység (2 vagy 3 év után a rendszeres díjból, eseti bezetésekb®l mindig) Eszközalapok értékelése: a biztosító rendszeresen (lehet®ség szerint minden munkanap) értékeli az eszközalapokat. Vételi ár = Eladási ár = Eladási ár = Eszközalap

értéke − alapkezelési díj Eszközalap egységeinek darabszáma Vételi ár 0, 95 Vételi ár 0, 99 a rendszeres díjnál az eseti díjnál Az aktuális érték egyenl® az egységek darabszáma szorozva az aktuális vételi árral. A biztosító eladási árat használ, ha a bezetett díjat befektetési egységekre váltja És vételi árat használ: • elérési, haláleseti szolgáltatáskor • részleges és teljes visszavásárlás esetén • költségek, kockázati díjak levonásakor • átváltáskor (egyik alapból a másikba) 101 Bid-oer spread: az eladási és vételi árfolyam közti különbség az eladási ár %-ában. Ez eszközalaponként különböz® lehet. Mi növelhet® a megtakarítás értékét? Aktuális érték = egységek darabszáma · | {z } rendszeres és eseti díjak aktuális vételi ár | {z } bef. egységek árfolyamváltozása Átváltás: a már meglév® befektetési egységek áthelyezése az eszközalapok

között Átirányítás: a jöv®ben zetend® rendszeres díjak különböz® eszközalapokban történ® elhelyezési arányának megváltoztatása. A szerz®d® költségei: • eladási és vételi ár közti különbség • kezdeti költség: a kezdeti egységekb®l minden év végén eltörlünk adott • alapkezelési díj: befektetési egységek árfolyamából (1-2 % /év) • kezelési költség: felhalmozási egységekb®l • kockázati díj: felhalmozási egységekb®l • kiegészít®k kockázati díja • átváltás, átirányítás, részleges visszavásárlás Záró tartalék = nyitó tartalék + díj Prot = nyitó tartalék + díj ségek + tényleges hozam − − %-nyi egységet − kockázati díj − tartalékfeloldás − költségek + hozam. kizetések (halál, elérés, visszavásárlás) − jutalékok, költ- záró tartalék. Vagy másképpen prot = kockázati prot + vissza- vásárlási prot + költség prot + befektetési

prot. Tartalék: A vélt tartalék egyenl® a unitok száma szorozva a vételi árfolyammal, míg a valós tartalék ennél kisebb, valahányad része. New business margin: NP V Éves díj . Értéke általában nagyobb, mint 30%. 1.16 16 tétel A Wishart-eloszlás tulajdonságai. A hagyományos életbiztosítások díjtartalék számítása és az azokhoz kapcsolódó aktuáriusi számítások (visszavásárlás, díjmentesítés, nyereségszétosztás). A Wishart-eloszlás : A normális adatmátrixok az n elem¶ minták általánosításai. 102 e = (X 1 , . , X n )T egy Np (µ, Σ) adatmátrix, ha X i ∼ Np (µ, Σ) és 1.133 deníció Az X függetlenek. 1.134 deníció Legyen A m × n-es és B p × q -as Ekkor A és B Kronecker-szorzata a következ®: A ⊗ B =  a1n B    a21 B a22 B . a2n B   . . . .  . . .  am1 B am2 B . amn B       a11 B a12 B . e egy m × p-es Np (0, Σ) adatmátrix. Ekkor az M = X eT X e

p × p-es 1.135 deníció Legyen X véletlen mátrix eloszlását Σ skalármátrixú és m szabadságfokú Wishart-eloszlásnak nevezzük. Jele: Wp (Σ, m) Ha p = 1, akkor W1 (σ 2 , m) ∼ σ 2 χ2m . Tulajdonságok: 1. Legyen 2. M ∼ Wp (Σ, m) E(M ) = m P és B p × q -as, akkor B T M B ∼ Wq (B T ΣB, m) Cov(Xi ) = mΣ. i=1 3. Ha M1 ∼ Wp (Σ, m1 ) és M2 ∼ Wp (Σ, m2 ) függetlenek, akkor M1 + M2 ∼ Wp (Σ, m1 + m2 ). 4. Ha M ∼ Wp (Σ, m) és a ∈ Rp , amire aT Σa 6= 0, akkor aT M a aT Σa ∼ χ2m e egy Np (0, Σ) adatmátrix n × p-es, és C n × n-es szimmetrikus mátrix. 1.136 tétel Legyen X Ekkor 1. Xe T C Xe ∼ n P i=1 λi Wi , ahol λi a C mátrix sajátértékei, és Wi ∼ Wp (Σ, 1) mátrixok. 2. Az Xe T C Xe Wishart-eloszlású pontosan akkor, ha C idempotens, azaz C 2 = C , ekkor pontosan Wp (Σ, rang(C)) eloszlású, és rang(C) = tr(C). 3. Az nS tapasztalati szórásmátrix Wp (Σ, n − 1) eloszlású e egy n × p-es Np

(µ, Σ) adatmátrix, és C1 , . , Ck szimmet1137 tétel Craig-tétele: Legyen X e .,X e T Ck X e függetlenek. rikus mátrixok, valamint Cr Cs = 0 ha r 6= s. Ekkor Xe T C1 X, 1.138 tétel Legyen M ∼ Wp (Σ, m), ahol m ≥ p és Σ > 0, ekkor létezik M −1 majdnem mindenütt. 103 A Wishart-mátrix almátrixai : Legyen M ∼ Wp (Σ, m) és alábbiak szerint almátrixokra: p = a + b. Tegyük fel, hogy Σ pozitív denit. M -et bontsuk az M= M11 M12 ! M21 M22 ahol M11 a × a-as, M12 a × b-es alapján tudjuk, hogy −1 M11 stb. Legyen −1 M22.1 = M22 − M21 · M11 · M12 , ahol az el®z® tétel majdnem mindenütt létezik. 1.139 tétel Legyen M ∼ Wp (Σ, m) és m ≥ p, valamint Σ > 0 Ekkor 1. M221 ∼ Wb (Σ221 , m − a) és ez független az (M11 , M12 )-t®l 2. Ha Σ12 = 0 (a mintaelemek els® a darab koordinátája független a következ® b darab −1 koordinátától), akkor M22 − M22.1 = M21 · M11 · M12 ∼ Wb (Σ22 , a) és M22 −

M22.1 , M11 függetlenek M22.1 -t®l Ez a tétel azt mutatja meg, hogy hogyan tudjuk függetleníteni a Wishart-mátrix almátrixait. Legyen D egy p × p-es mátrix, és jelöljük D22 := (D−1 )22 az inverz alsó b × b-es mátrixát. Tehát −1 D22 = D22.1 . Azt láttuk be, hogy (M 22 )−1 ∼ Wb ((Σ22 )−1 , m − a) és ha Σ12 = 0, akkor M22 − (M 22 )−1 ∼ Wb (Σ22 , a). 1.140 következmény Ha Σ12 = 0, akkor M22 = (M22 −M221 )+M221 , és mindkett® Wishart- eloszlású és független egymástól. 1.141 állítás Legyen M ∼ Wp (Σ, m), és Σ > 0, valamint m > p Jelölje σ i,j = (Σ−1 )i,j -t Ha a ∈ Rp és a 6= 0, akkor 1. aT Σ−1 a aT M −1 a ∼ χ2m−p+1 és speciálisan σ i,i mi,i ∼ λ2m−p+1 . 2. Az mi,i független M összes elemét®l, kivéve mi,i -t 1.142 állítás Ha M ∼ Wp (Σ, m), m ≥ p, akkor |M | ∼ |Σ| · χ2 -ek m, m − 1, . , m − p + 1 szabadságfokokkal p Q i=1 ξi , ahol ξi -k függetlenek és

A Hotelling-féle T 2 eloszlás : 1.143 deníció Legyen d ∼ Np (0, Ip ) és M ∼ Wp (Ip , m) és ezek függetlenek Az mdT M −1 d eloszlása a Hotelling-féle T 2 eloszlás p és m paraméterekkel. Jele: T 2 (p, m) 1.144 állítás Legyen X ∼ Np (µ, Σ), M ∼ Wp (Σ, m) és ezek függetlenek, valamint Σ > 0 Ekkor m(X − µ)T M −1 (X − µ) Hotelling-féle T 2 eloszlású p és m paraméterekkel. 104 1.145 állítás Legyenek X 1 , , X n ∼ Np (µ, Σ) Ekkor X ∼ Np (µ, n1 Σ) és nS ∼ Wp (Σ, n − 1), valamint ezek függetlenek. Így (n − 1)(X − µ)T S −1 (X − µ) ∼ T 2 (p, n − 1) Speciálisan, ha p = 1, akkor 1.146 állítás T 2 (p, m) ∼ T 2 (1, m) ∼ t2m . mp m−p+1 · Fp,m−p+1 . 1.147 állítás Legyen d ∼ Np (0, Ip ) és M ∼ Wp (Ip , m), valamint ezek függetlenek Ekkor dT d(1 + 1 dT M −1 d ∼ χ2m+1 és független a dT M −1 d-t®l. A bizonyításból kijön, hogy W p × p-es Legyen |M | |M ddT | ∼ (

m−p+1 , p2 ). 2 szimmetrikus véletlen mátrix, és X p-dimenziós valószín¶ségi vektorvál- tozó. 1.148 állítás Ha X független (g T1 W g 1 , , g Tp W g p )-t®l minden G = (g 1 , , g p )T ortogonális mátrixra, akkor X független W -t®l. Hogyan tudjuk két eloszlás távolságát értelmezni úgy, hogy a szóródást is gyelembe vegyük? 1.149 deníció Legyen két eloszlásunk µ1 és µ2 várható értékekkel és Σ közös szórásmátrix- xal. Ekkor a ∆ = (µ1 − µ2 )T Σ−1 (µ1 − µ2 ) távolságot tekintjük a két eloszlás távolságának és Mahalanobis-féle távolságnak nevezzük. Az X 1, . , X n Y )T S −1 (X − Y ), és ahol Y 1, . , Y m S= minták tapasztalati Mahalanobis-féle távolsága D2 = (X − nSX +mSY . n+m−2 1.150 állítás Legyen X 1 , , X n ∼ Np (µ1 , Σ) és Y 1 , , Y m ∼ Np (µ2 , Σ) Ha µ1 = µ2 , akkor nm D2 n+m ∼ T 2 (p, m + n − 2). A momentumgeneráló függvény a következ®:

E(etξ ). 1.151 deníció Legyen V egy p × p-es véletlen mátrix momentumgeneráló függvénye f (A) = E(etr(AV ) ), ahol A p × p-es szimmetrikus mátrix. Az f (A) meghatározza V eloszlását 1.152 tétel Legyen W ∼ Wp (Ip , n) p × p-es, és A p × p-es szimmetrikus mátrix Ekkor E(etr(AW ) ) = |Ip − 2A|− 2 , ha Ip − 2A > 0. n 1.153 állítás Legyen W ∼ Wp (Σ, n) Ekkor ha Σ − 2A > 0, akkor E(etr(AW ) ) = |Σ|− 2 · n −n 2 |Σ−1 − 2A| . 1.154 tétel Legyen W ∼ Wp (Ip , n) és n ≥ p+1 Ekkor W s¶r¶ségfüggvénye p,n |W | ahol p,n egy konstans. 105 n−p−1 2 e− 2 tr(W ) , 1 Legyen A−1 B A ∼ Wp (Σ, m) és B ∼ Wp (Σ, n) m ≥ p, függetlenek és valamint Σ > 0. sajátértékeir®l szeretnénk mondani valamit. Ehhez érdemes megjegyezni, hogy hasonló 1 1 A− 2 BA− 2 -hez, Az A−1 B A−1 B tehát ugyanazok lesznek a sajátértékeik. A sajátértékek továbbá mind min(n, p). Elég azt az esetet

vizsgálni, amikor nemnegatívak, és a nemnulla sajátértékek száma Σ = Ip . Az nem nulla sajátértékeinek eloszlását jelöljük Ψ(p, m, n)-el. 1.155 állítás Ψ(p, m, n) = Ψ(n, m + n − p, p) 1.156 tétel Legyenek A ∼ Wp (Σ, m) és B ∼ Wp (Σ, n) függetlenek, m ≥ p és n ≥ p Ekkor és ennek eloszlása p darab F eloszlású valószín¶ségi változó szorzata (szorozva egy konstanssal). Az i-edik szabadságfoka (n − i + 1, m − i + 1) |A−1 B| = |B| |A| 1.157 deníció Legyenek A ∼ Wp (Σ, m) és B ∼ Wp (Σ, n) függetlenek, m ≥ p Ekkor Λ = |A| |A+B| −1 = |I − A−1 B| eloszlása Wilks-lambda eloszlás. Jele: Λ(p, m, n) 1.158 tétel Λ(p, m, n) ∼ n Q i=1 , p2 ) eloszlásúak. Ui , ahol Ui -k függetlenek és Bta( m+i−p 2 1.159 állítás Λ(p, m, n) ∼ Λ(n, m+n−p, p) és Λ(p, m, 1) ∼ Λ(1, m+1−p, p) ∼ Bta( m−p+1 , p2 ) 2 A hagyományos életbiztosítások díjtartalék számítása: A díjtartalék a

veszélyközösség tagjai által bezetett díjakból a biztosító kés®bbi, a veszélyközösség tagjai számára történ® kizetésekre felhalmozott összeg. De egyénekre számolódik Prospektív tartalékolás: a jöv®beli kiadások jelenértékének várható értéke mínusz a jöv®beli bevételek jelenértékének várható értéke. A nettó díjtartalék t év múlva: t . Vx:n • Egyszeri díjasnál: (jöv®beli bevétel nincs) • Rendszeres díjasnál: • Egyszeri díjas járadékbiztosítás: • Évközi tartalék: t = B(x+t):(n−t) Vx:n t Vx:n = B(x+t):(n−t) − Px:n ä(x+t):(n−t) t Vx:n = ä(x+t):(n−t) Vt+k = (1 − k)Vt + kVt+1 , ahol 0<k<1 Bruttó díjtartalék: nettó díjtartalék + költségek miatti díjtartalék. A költségtartalék jele: t Ux:n t(b) t t t Vx:n = Vx:n + Ux:n , ahol Ux:n = γä(x+t):(n−t) .   t(b) α t díjasnál: Vx:n = Vx:n − + P ä(x+t):(n−t) . x:n äx:n • Egyszeri díjasnál: •

Rendszeres • Évközi tartalék: Vt+k = (1 − k)(Vt + P ) + kVt+1 , 106 ahol 0 < k < 1. Zillmerezés: Legyen t(z) αz ≤ α és evvel számolunk, majd max(0, Vx:n ). Ha ezt nem csinálnánk, akkor a kezdeti költségeket a biztosító hosszú id®szakra meghitelezné a szerz®d®nek, amit az fokozatosan törlesztene a vállalkozói díjrészb®l. Ha a szerz®d® a tartam elején felmondja a szerz®dést, akkor a biztosító költségei nem térülnek meg, hiszen elmarad a további díjzetés. A biztosító az els® 0, 5 − 2, 5 év díját teljes egészében a költségei fedezésére fordítja, és a kés®bbiekben a vállalkozói díjrészb®l fokozatosan törleszti ezt a kölcsönt. Ennek hatása, hogy amíg 0 a díjtartalék, addig nincs nyereségrészesedés, és a maradékjogok értéke is 0. Maradékjogok: • díjmentesítés: ha nincs pénze az ügyfélnek a díj zetésére, akkor az eddig felgy¶lt díjtartalékot úgy tekinti a biztosító,

mint egy egyszeri díjas ugyanolyan fajtájú biztosítást. • visszavásárlás: nincs pénz és a díjtartalékra is szüksége van az ügyfélnek, ekkor a szerz®dés megsz¶nik, és a díjtartalékot megkapja az ügyfél, pontosabban a díjtartalék nagyobbik részét. Nyereségszétosztás (többlethozam-visszatérítés): Többlethozam: a díjtartalék befektetéséb®l a technikai kamaton felül elért nyereség Módjai: • szolgáltatásemelés: az elért nyereségb®l levonják a technikai kamatnak megfelel® mérték¶ nyereséget, és a többleten valamilyen arányban osztozik a biztosó és az ügyfél. Az ügyfél része egy olyan életbiztosítás egyszeri díja, amelynek tartama az eredeti biztosítás hátralév® tartama. Ez alapján kiszámítják az ezért a díjért járó biztosítási összeget, és ezzel megnövelik az eredeti szolgáltatás nagyságát, az ügyfélnek járó többlethozamot pedig hozzáírják a díjtartalékhoz. • külön számlán,

kamatozó betétként jóváírják 107 2. fejezet Aktuárius szakirány 2.1 1 tétel Az egészség/betegségbiztosítás céljai, fajtái. Nevezetes kárszám- és káreloszlások Deniálja a szavatoló t®ke/biztonsági t®ke fogalomkört! Az egészségügybiztosítás egyenl® a baleset + betegségbiztosításokkal. A balesetet 4 tényez® határozza meg: küls® er®behatás, hirtelen, sérült akaratától független és testi rongálódás. Az egészségügy biztosítások csoportosítása: 1. Szolgáltatás kiterjedtsége szerint: • általános: minden kockázatra, ami nem kizárt • speciális: az általánoson túli különlegesség is 2. Szolgáltatás tartama szerint: • halálra • tartósan, rokkantsági fok szerint (teljes rokkantság: ha munkáját nem tudja ugyanazon a munkahelyen, ugyanazon munkakörben elvégezni, vagy csak ha adott szaktudását sehol sem tudja érvényesíteni, vagy már sehol, semmiféle jövedelemszerzésre nem képes;

részleges rokkantság: néhány feltétel elromlott; kiegészít®: csak munkahelyire, min 20-25 • %) ideiglenesen: betegség, kórház, jövedelemkiesés 3. Szerz®d®k köre szerint: azonos foglalkozásúak, munkahely¶ek, beosztásúak, területen dolgozók, szakmabeliek 4. Speciális kockázatúak: életkor, foglalkozás, utazási-, szórakozási eszköz, veszélyes ország 108 5. Szolgáltatás módja szerint: egy-összeg¶ vagy járadék (élethosszig tartó vagy csak bizonyos ideig) 6. Díjzetés módja szerint: egyszeri díjas vagy visszatér® (változatlan vagy változó díjú) 7. Tartama tiszta-e? • csak baleset biztosítás • csak egészségügybiztosítás (baleset és betegség együtt) • életbiztosítással is összekombinált • nem-életbiztosítással is összekombinált 8. Szolgáltatás terjedeleme szerint: • teljes: szinte minden kockázatra • alapvet®, lényeges: minden komoly, gyakori népbetegségre • részleges:

egy-egy funkcióra (pl. csak fogászat) 9. TB-hez való viszonya: helyettesít vagy kiegészít® 10. Szolgáltatás tartama alapján: • csak kórházi ápolásra, szobára, étkezésre • egyébre, pl. vizsgálatokra is • táppénz kiegészítésre is • kiutazás, konzultáció is benne van 11. Van-e várakozási id®? (lappangó betegségre) • normál várakozás: X naptól 3 hónapig • rendkívüli várakozás: minimum 6-8 hónap (trópusról jövet) 12. Ösztönöz-e egészségvédelemre? • Kármentességi díj engedmény • Nyereség-részesedés Egészségügybiztosításokra végtelen számú kombináció elképzelhet® (TB-vel, kisközösségivel, csak magánbiztosítás más kockázataival). Tipikus egészségügybiztosítások: 109 1. Kórházi ellátásra: alap-szolgáltatás, egyéb ottani (labor) is benne van A költség lehet tényleges, taksált (listaár) vagy egyedi ár. A költségmaximum lehet egy összegig vagy összeköltség

+ önrész. 2. Operációs költségre: Ára lehet listás, vagy viszonylagos érték¶, vagy ésszer¶ és méltányos ár (tól-ig sávon belül). 3. Vizsgálati költségekre: Attól függ milyen vizsgálatra, és hazai vagy külföldi szakért® kell-e 4. Alap, lényeges egyészségügybiztosítások: • Szokásos népbetegségekre • Minden kórházon belülire, átlagosra • Nagyszámú kizárás (fogászat, plasztika) • Maximált költség-tételek (szoba, operáció) • Eseti összköltség-maximum • Maximált szolgáltatási id®szak • Komoly saját megtartás + önrészek 5. Munkaképtelenségre: lehet id®szakosan, vagy id®szakra A várakozási id® akár 1 év is lehet Rock-bottom: korral emelkedik az ár (ez egy átverés). Felfüggeszthet® a díjzetés a munkanélküliség id®szakára A rehabilitáció mind az ügyfél, mind a biztosító kötelezettsége Ún. testrész-táblázatokat használnak 6. Ápolásra magánbiztosítás:

Megújítható a biztosított, kedvezményezett részér®l Alig felmondható a biztosító részér®l Csak otthoni ápolásra szól, nincs benne kórházi fedezet Szakképzett ápoló, hetente max 1-2-szer. 1 év a várakozási id® Összeg-korlátos (napi X összeg). Ináció követ®, elég drága Betegség alatt felfüggeszhet® a díjzetés Ezen kívül vannak csoportos egészségügybiztosítások. Ezek átmenetek az élet és nem-élet biztosítások között (kis-életbiztosítások), és a TB és egyéni biztosítás között (III. pillér) Egyetlen szerz®dés van (törzskönyv), és általában olcsó Közös kockázat-elemzés jellemzi A tényleges kár után zet, nem listás. A csoportképzés el®feltételei: véletlenszer¶, átlagos életkor alapján, egységes szolgáltatás, létszám nagyobbik része, id®: csak munkába járásra, díj egy részét a munkáltató zeti. A csoportos egészségügybiztosítások alaptípusai: 1. Group Life: évente,

kiegészít®, olcsó, de hitelképességhez kell 2. Özvegyek csoportos járadékbiztosítása 110 3. Csoportos haláleseti és baleseti biztosítás: egyösszeg¶, rokkantság a halál %-ában, öngyil- kosságra csak pótdíjért. 4. Szokásos csoportbiztosítás: A dolgozó és a munkáltató is zet díjat Alapváltozata az általános (biztosítási összeg 5 évi jövedelem, 3 évig halálozási adatok, utána káradatok, alacsony garantált t®ke-hozadék, X év után rugalmas a díjzetés, kölcsön felvehet® rá, kiterjeszthet® más családtagra). 5. Alapvet® kiadásokra: normál kórház, operáció, ambuláns, labor 6. Lényegesebb kiadásokra: alapvet® kiegészítésénél magasabb költség-határ, átvezet® önrész (csak az alapvet® önrésze után kell zetni a lényeges önrészét), önálló lényeges (kombinálható a családéval is, éves önrész). 7. Munkaképtelenség miatti jövedelem pótló: rövid távú (maximum 6 hónap, nem foglalkozási

bajra, bér 50-70 %-a), hosszú távú (2 évig, bér 50-70 %-a, ináció követ®). 8. Fogászatra: átfogó szolgáltatás, listás ár, magas a saját megtartás, önrész, 1 éves várakozás, sok kizárás (szépség), el®zetes konzultáció csak a biztosító engedélyével 9. Kék kereszt: kórház kapja a pénzt, országosan 10. Kék pajzs: nem kórházi kezelésre, országos, adott környék díjai alapján, sebészek listás áron, el®zetes konzultáció kell. Ez a kett® az USA társadalombiztosítása 11. HMO: egészségmeg®rz® pénztár: lehet zárt, csoportos: csak zetéses HMO orvostól, vagy nyílt, egyéni: HMO-val szerz®d® orvostól is, vagy nyitott: bármilyen orvostól. Jellemz®i: átfogó szolgáltatás, havonta, változatlan díjas, minimális önrész, átlépési lehet®ség a Kék keresztbe és a Kék pajzsba, stabil átalányt zet a szolgáltatónak, dolgozók legalább fele legyen benne. 12. PPO: kedvezményezett ellátó szervezet, összefog

sok HMO-t, egyéni és csoportos biztosítást 13. Cafetaria Plan: választható szolgáltatású, munkáltató X + dolgozó Y pont szolgáltatás vásárol, mindennel összekombinálható. 14. Tanuló egészségügybiztosítás: lehet egyéni, amikor id®sebb családtag szerz®dik, vagy csoportos, amikor az iskola szerz®dik 15. CSÉB: mikro-biztosítási csomag, változatlan, kis díj, változatlan összeg¶ pénz szolgáltatás, kiegészítette a TB-t, halál esetén t®keértéket + megtakarítás is visszaadta, baleseti és kórházi ápolásra, táppénz kiegészítésre. Sikeres népbiztosítás volt 111 Nevezetes kárszám és káreloszlások Jelölje ξ≥0 valószín¶ségi változó a kockázatot, azaz a valahány szerz®désre történ® össz- kizetést, X>0 valószín¶ségi változó a kárt (egy kárnál mennyit zet ki a biztosító), és η≥0 egészérték¶ valószín¶ségi változó pedig a károk számát. Egyéni kockázat modellje: i-edik ξ

= X1 + X2 + · · · + Xn , ahol n a szerz®dések száma, és ξ = Y1 + Y2 + · · · + Yη , ahol η a károk száma, és Xi az szerz®dés kockázata. Összetett kockázat modellje: Yi az i-edik kár nagysága. 2.1 deníció η (a, b, 0) eloszlású, ha P (η = n) = a + nb P (η = n−1) minden n = 1, 2, -re
2.2 tétel Az η valószín¶ségi változó (a, b, 0) eloszlású pontosan akkor, ha Poisson, binomiális vagy negatív binomiális. Ha P (η = η Poisson(λ), akkor P (η = m  n) = n pn (1 − p)m−n , és Γ(r+n) (1 − q)r q n , és Γ(r)n! P (η = n) = és b > −a, λn e−λ , és a = 0, b = λ. Ha η Binomiális(m, p), akkor n! (m+1)p p − 1−p , b = . Ha η Negatív binomiális(r, q), akkor 1−p n) = a= a = q , b = (r − 1)q . Ha a = 0, akkor Poisson(b) jön ki Ha a > 0 akkor nem kapunk eloszlást. Ha a>0 0 < a < 1 és b > −a, akkor negatív binomiális 1 + kapunk eloszlást. Ha akkor és b = −a,
b ,a

a akkor Poisson(0)-t kapunk. Ha jön ki. Ha a ≥ 1 és b > −a, akkor nem a < 0 és b < −a, akkor megint nem kapunk eloszlást. Ha a < 0 és b = −a, a P (η = 0) = 1. Ha a < 0 és b > −a, akkor binomiális(k − 1, a−1 ), ahol k pozitív egész, amire a+ b n < 0, a legkisebb olyan n > k. ha Hogyan jöhet ki negatív binomiális eloszlás? Van mindenkinek egy saját rizikó paramétere és ez befolyásolja az ® kárszámának Poisson eloszlásának -ját. És ez a rizikó is valószín¶ségi változó. Bayesi feltételezéssel élünk Legyen a kárszámeloszlás θ=v esetén Poisson(vt). 2.3 deníció η (a, b) eloszlású, ha P (η = n) = a + nb P (η = n − 1) minden n = 2, 3, -re
Itt olyan is el®fordulhat, hogy biztosan van legalább 1 káresemény. Kárszámmodell kiválasztása: El®ször és qn = (n + 1) pn+1 . Alapvet®en az pn 2 a (a, b, 0) eloszlást próbálunk illeszteni. pn = a + Ha a = 0, akkor Poisson (D

• Ha a > 0, akkor Negatív binomiális (D • Ha a < 0, akkor Binomiális (D pn−1 (η) = E(η)). 2 2 (η) > E(η)). (η) < E(η)). ui azt jelenti, hogy szerz®désnél volt i db kár. un+1 Becslése qˆn . Tehát qˆn = (n + 1) . És kiszámoljuk a tapasztalati momentumokat Mr = un P 1 r 2 2 i i ui , ahol k az összes szerz®dés darabszáma, és S = M2 − M1 . Ezekb®l k Felírjuk az un -ek
határozza meg az eloszlás típusát. • qn -eket b n segítségével, ahol 112 • Ha S 2 = M1 és qˆn állandó, akkor Poisson. • Ha S 2 > M1 és qˆn lineárisan n®, akkor negatív binomiális. • Ha S 2 < M1 és qˆn lineárisan csökken, akkor binomiális. A nevezetes káreloszlások: • λ-exponenciális eloszlás: károk átlagából rögtön megállapítható a paraméter. Vagy amikor a biztosító indul, akkor még nem fér hozzá, csak átlagadatokhoz. • Lognormális eloszlás: ξ ∼ LN(m, σ 2 ), ha

lnξ ∼ N (m, σ 2 ). P (ξ > x) = e−λx . Ez azért jó, mert a normális eloszlást ismerjük. • Pareto-eloszlás: Nagy az esélye a nagyon nagy károknak, ez nem exponenciális, abban ritkák a nagy károk. 2.4deníció Amerikai típusú Pareto eloszlás. X ∼ Pareto(α, β), ha P (X < x) =  1− β β+x α , ha x > 0, egyébként 0. 2.5 deníció Európai típusú Pareto eloszlás ξ ∼ Pareto(c, a), ha P (ξ < x) = 1 − ha x > 0, egyébként 0. Kapcsolat közöttük az eltolás: β , ha α−1 α > 1, és D2 (X) =
c a x , X + β ∼ Pareto(β, α). A Pareto eloszlás jellemz®i: E(X) = 2β 2 2β 2 β2 − α−1 − (α−1) 2 , ha α−2 α > 2. A károk iszonyúan ingadozhatnak a szórás miatt. Hogyan jön ki Pareto eloszlás? Legyen változó. Ekkor X X θ paraméter¶ exponenciális, ahol θ is valószín¶ségi Pareto eloszlású lesz. Valamint exponenciális eloszlást e-adra emelve is Pareto eloszlást kapunk.

Szavatoló t®ke/biztonsági t®ke fogalomkör A tartalékok nagyjából a várható értéknek megfelel® szint¶ biztonságot nyújtanak. Ez csak tökéletes piaci körülmények között lenne elengend®, tehát szükség van egy olyan puerre, amely kedvez®tlen események bekövetkeztekor is megfelel®nek tekinthet® védelmet nyújt. A tartalékok fölötti bármely puer a biztonságot szolgálja, és a szavatoló t®ke része. A szavatoló t®ke gyakorlatilag lehet®vé teszi azt, hogy a biztosító kedvez®tlen körülmények között akkor is nagy valószín¶séggel teljesíteni tudja jöv®beni kötelezettségeit, ha a vonatkozó (díj ill. kamat) bevételei, tartalékai erre nem nyújtanának fedezetet A szavatoló t®ke lehet®vé teszi a biztosító számára a túlélést akkor is, ha bizonyos extrém események következnek be. De tökéletes biztonság nem létezik. 113 A rendelkezésre álló szavatoló t®ke a saját t®ke azon része, amely

veszteségelnyelésre alkalmas. Fedezetéül csak azon eszközök állhatnak, amelyek nem állnak az el®relátható kötelezettségek fedezetéül A rendelkezésre álló szavatoló t®ke forrásai: a részvényesek bezetései, a nyereség stb. A szavatoló t®ke szükséglet a meglev® üzletr®l szerzett ismeretek alapján a tartalékokon túl nyújtandó pótlólagos biztonsági puer (meghatározott szabály szerint) számított értéke. A számítás során gyelembe lehet venni vagy gyelmen kívül lehet hagyni a jöv®beli üzletet Egy vagy egynél több szavatoló t®ke szükséglet is számítható. A szavatoló t®ke szükséglet számításánál gyelembe kell venni a vállalt (direkt és VB-ba vett) üzleteket. Csökkent® tényez®ként gyelembe kell/lehet venni az átadott (VB-ba adott) üzleteket, illetve az egyéb kockázatcsökkent® technikák hatását. A gazdasági t®ke az a reális gazdasági alapon felmért t®ke, amelyre egy cégnek szüksége van ahhoz,

hogy az üzlet folytatásának elve mellett azokat a kockázatokat fedezze, amelyeknek ki van téve. Szokás kockázati t®kének is nevezni A gazdasági t®ke azon kockázatokhoz kapcsolódik, amelyeknek a cég ki van téve Ezért a gazdasági t®ke attól függ, hogy hogyan mérjük a kockázatokat, vagyis a gazdasági t®ke meghatározásához szükség van a kockázati mérték rögzítésére. Általánosan elfogadott kockázati mérték egy adott portfólió adott id®horizonton mért vesztesége, illetve e valószín¶ségi változó valamely jellemz®je. A szolvencia 1 teljes t®keszükséglete az alábbi kett® közül a nagyobbik: a biztonsági t®ke, és a minimális szavatoló t®ke szükséglet. Ez a kétszint¶ség kett®s beavatkozási lehet®séget teremt a felügyelet számára. Ha a rendelkezésre álló t®ke meghaladja a teljes t®keszükségletet, akkor a cég biztonságban van. Ha a rendelkezésre álló t®ke nem haladja meg a teljes t®keszükségletet, de

meghaladja a biztonsági t®két, akkor a cég már nincs biztonságban, de még nincs óriási baj. Ellenkez® esetben igazi vészhelyzet van. A biztonsági t®ke az alábbi kett® közül a nagyobbik: a minimális biztonsági t®ke és a minimális szavatoló t®ke szükséglet harmada. A minimális biztonsági t®ke az élet ágban 3,5 M EUR, nem-élet ágban 2,3 M EUR vagy 3,5 M EUR. Kompozit esetben a két érték összege Ezt az értéket egy meghatározott módon kell átszámítani forintra. Egy évig állandó, év elején ugrik. Egyesületek esetében csökkentett értékek érvényesek 2.2 2 tétel Az egészség/betegségbiztosítás díjszámítási kérdései. Összetett eloszlások, Panjer rekurzió Mutassa be a szavatoló t®ke/biztonsági t®ke számviteli kapcsolatait! A betegségbiztosítás a biztosított betegsége esetén térít. Célja a betegség illetve gyógyítás kedvez®tlen anyagi következményeinek kiküszöbölése. A fedezetet alapvet®en a TB

nyújtja, a magánbiztosítások kiegészít® szerepet töltenek be. A biztosítási esemény a biztosított orvosi 114 kezelése betegség vagy baleset esetén. Szülés és várandóság is lehet biztosítási esemény A biztosítási esemény bekövetkezte nem biztos Nem biztos az sem, hogy mennyit kell majd téríteni, hogy hány biztosítási esemény fog bekövetkezni és egyáltalán bekövetkezik-e akár egy biztosítási esemény is. A betegségbiztosítási kockázat kezelése érdekében a biztosítási védelmet feltételhez köthetik: várakozási id®, a biztosító által nanszírozott terjedelem, önrész, kizárások, korlátozások. Kockázati díj = egy meghatározott id®tartam alatt szolgáltatásként kizetett összeg várható értéke. Nagysága függhet a biztosított életkorától, a biztosított nemét®l, a biztosított foglalkozásától, a biztosított a szerz®dés megkötése kori egészségi állapotától, múltbeli betegségeit®l Az egy

f®re jutó kárösszeg (K) az alábbi módon becsülhet®: Sx Lx Kx = ahol Sx a meggyelési id®szak alatti összes szolgáltatás, Lx pedig a meggyelési id®szak alatt a biztosítottak átlagos száma. A nem és az életkor fontos szerepet játszik, képezhetünk 5 éves korcsoportokat. Ha több szolgáltatási típus van, az egy f®re jutó kárösszeg a következ®képpen számítható: Kx = t X Kxτ τ =1 Ha a különböz® biztosítási eseményekhez különböz® biztosítási összegek vannak megadva, a kárösszeg meghatározása a következ®képpen módosul: Kx = τ X SAj qxj j=1 Standardizált egy f®re jutó kárösszeg: kx = Kx , ahol Kx0 x0 a bázisnak választott életkor. Ez egyszer¶síti a számításokat, független a kizetett költségek szintjét®l és kevésbé változik az évek során (az egy f®re jutó kárösszeg általában évr®l évre n®). Egy f®re jutó bázis kárösszeg: számának felhasználásával: G= G = Kx0 .

Standardizált egy f®re jutó kárösszeg a biztosítottak P S és x Lx kx Kx = kx G. Adatokat szerezhetünk saját portfólióból, az anyavállalattól, viszontbiztosítótól, az egészségügyi szolgáltatótól, az internetr®l. Használhatunk KSH és OEP adatokat is Nettó díj: A betegségbiztosítások nettó díja hasonló, mint az életbiztosításoké. A kockázati díjak atalabb életkorokban alacsonyabbak, a kor emelkedésével viszont drasztikusan is emelkedhetnek. Nem törölhet® a szerz®dés, amíg az ügyfél zeti a díjat, kivéve ha közlési kötelezettséget sértett Nem törölhet®ek a szerz®dések amiatt, hogy a biztosítottak id®södnek és egyre több szolgáltatásra van szükségük vagy mert a szerz®dés megkötése után megromlott az egészségük. A díj nem változik a tartam során addig, amíg nincs változás a szolgáltatásban vagy a valószín¶ségekben. 115 Teljesül az ekvivalencia elve: a jöv®beni kiadások jelenértékének

várható értéke meg kell, hogy egyezzen a jöv®beni bezetések jelenértékének várható értékével. Figyelembe vesszük az állományból való kilépési lehet®séget is. Legyen lx az az x évesen meghaltak száma és wx az x x évesen az állományban lév®k száma, qx évesen töröltek aránya. lx+1 = lx (1 − qx − wx ) A biztosítás tartama alatt a nettó díj nem változhat az életkor növekedése vagy az egészségi állapotban bekövetkezett romlás miatt. Hosszú távú szerz®dés, ezért fontos a diszkontálás, ehhez a technikai kamatlábat használjuk: jelenértéke (Ax ) v = 1/1 + i. A jöv®beni szolgáltatások szolgáltatások a jöv®ben szükséges kárkizetések diszkontált értéke: lx Ax = ω−x X lx+j Kx+j v j j=0 amib®l Ax = G lx ω−x P lx+j v j kx+j . j=0 Jöv®beli élethosszig járó 1 Ft járadék jelenértéke: lx äx = ω−x P lx+j v j , amib®l äx = j=0 Az ekvivalencia egyenlet: jöv®beli várható

bevételek 1 lx ω−x P lx+j v j . j=0 (äx Px ) = jöv®beli várható szolgáltatások (Ax ). Bruttó díj: költségekkel növelt nettó díj. Költségtípusok: szerzési költség, adminisztrációs költség, kárrendezési költség, biztonsági pótlék. Legyen folyamatosan felmerül® díjarányos költségek és Az éves bruttó díj: γ α a díjarányos szerzési költség, β a a x költségek. äx Bx = Ax + αBx + βBx äx + γäx , amib®l Bx kifejezhet®. Az éves bruttó díj képlete: Bx = Px + α Bx + βBx + γ äx Öregedési tartalék: A várható kárkizetések az életkorral növekszenek, viszont a díjak változatlanok, így a biztosítás elején az ügyfél több díjat zet, mint amennyi a kárszükséglet, viszont a biztosítás végén kevesebbet, ezért tartalékra van szükség, ez az öregedési tartalék. Prospektív módon számoljuk: a várható szolgáltatások értékéb®l levonjuk a még várható bezetések

értékét. Képlete: Vxm = Ax+m − Px äx+m . Fontos megvizsgálni, hogy a károk tényleges alakulása mennyire van összhangban a kalkulált káralakulással. Ha a tényleges kárkizetések jelent®sen eltérnek a kalkuláció során használt összegekt®l, akkor szükség van díjkiigazításra. A díjkiigazítás okai: Szolgáltatási összeg változása (pl. az orvosi kezelés költségeinek változása), törlési arányok változása (pl megnövekedett várható élettartam miatt), kárgyakoriság változása, technikai kamatláb változása, vagy a törvényi háttér változása. Így változik a várható károk jelenértéke: 116 Ax/x+m = A0x+m − Ax+m − (Px ä0 x+m − P äx+m ) A kárváltozást fedez® nettó pótdíj: Px/x+m = Ax/x+m ä0 x+m . Tehát a díjkiigazítás utáni nettó díj: 0 Px/x+m = Px + Px/x+m . A díjkiigazítás két módszere: pótdíj módszer, és levonásos módszer. Összetett eloszlások, Panjer rekurzió 2.6 deníció η

összetett Poisson eloszlású, ha létezik N Poisson eloszlású valószín¶ségi vál- tozó, és t®le független M1 , M2 , . független azonos eloszlású valószín¶ségi változók úgy, hogy M1 + M2 + · · · + MN eloszlása megegyezik η eloszlásával. Az összetett kockázat modellje: S = X1 + X2 + · · · + X η , ahol Xi az i-edik kár nagysága, η a károk száma és ezek függetlenek. Tulajdonságok: • E(S) = E(X1 )E(η) • D2 (S) = E(D2 (S|η)) + D2 (E(S|η)) = E(ηD2 (X1 )) + D2 (ηE(X1 )) = E(η)D2 (X1 ) + (E(X1 ))2 D2 (η) 2.7 tétel Legyen η ∼ (a, b, 0) és Xi -k pozitív egészérték¶ek Ekkor P (S = 0) = P (η = 0) n  X y P (S = n) = a+b P (X1 = y)P (S = n − y) n y=1 Legyen η∼ Poisson(λ), ekkor S összetett Poisson eloszlású lesz. A Panjer-rekurzió képlete a következ®képpen néz ki ekkor: P (S = 0) = e−λ n λX P (S = n) = P (X1 = y)P (S = n − y)y n y=1 2.8 tétel Legyenek S1 , S2 , , Sk független, összetett

Poisson eloszlásúak λ1 , λ2 , , λk para- méterekkel és F1 , F2 , . , Fk káreloszlásokkal Ekkor S = S1 + S2 + · · · + Sk szintén összetett k P Poisson eloszlású λ = λ1 + λ2 + · · · + λk paraméterrel és F = λλi Fi káreloszlás függvénnyel. i=1 Szavatoló t®ke/biztonsági t®ke számviteli kapcsolatai A ma hatályos Szolvencia I rendszerében a biztonsági t®ke az alábbi kett® közül a nagyobbik: 117 • minimális szavatoló t®ke szükséglet harmada • minimális biztonsági t®ke A minimális biztonsági t®ke részvénytársaság esetén az életbiztosítási ágnál 3500 eEUR, a nem-életbiztosítási ágnál (attól függ, hogy milyen biztosítási formákat m¶vel) lehet 2300 eEUR, 3200 eEUR vagy 3500 eEUR. Egyesület esetén a részvénytársaságra vonatkozó értékek 75%-a De ennél kevesebb is lehet, ha van pótlólagos díjzetés, vagy szolgáltatáscsökkentési lehet®ség. Kis egyesületeknél tevékenységt®l

függ®en lehet akár 3,125 millió Ft is. Ennél kevesebb azonban sosem. Induláskor van nagyon fontos szerepe a minimális biztonsági t®kének, ugyanis az induláskor jegyzett t®ke: • Részvénytársaságnál: legalább 100 millió Ft (adminisztratív szolgáltatásra és szervezet kialakításra) + minimális biztonsági t®ke (mivel az els® években nincs elég tartalék) • Biztosító szövetkezetnél: legalább 50 millió Ft organizációs t®ke + minimális biztonsági t®ke • Kölcsönös biztosító egyesületeknél: legalább 1 millió Ft + minimális biztonsági t®ke (legalsó határ = 4.125000 Ft) A Szolvencia I-nek megfelel® mérleg: Források: • Saját t®ke: van egy nem hasznosítható része (az immateriális javaknak megfelel® rész), és egy elérhet® része (a szükséges rész és egy többlet rész). • Kötelezettségek: vannak a biztosítástechnikai tartalékok (ez a nagyobb rész) és a nem biztosítástechnikai tartalékok. A

szavatoló t®kéhez akkor kell hozzányújni, ha a tartalékok nem lennének elegend®ek. Szavatoló t®ke = jegyzett és bezetett t®ke + t®ketartalék + mérleg szerinti eredmény + eredménytartalék + alárendelt kölcsönt®ke - immateriális javak 2.3 3 tétel A társadalombiztosítás által nanszírozott egészségbiztosítás és az üzleti betegségbiztosítás összehasonlítása. Statisztikai következtetés cenzorált mintából, KaplanMeyer becslés, Greenwood formula A biztosítótársaságokra vonatkozó, ma hatályos számviteli szabályozásnak megfelel®, mérleg tagolástana és értéktana A három egészségnanszírozási pillér a következ®: 118 1. társadalombiztosítás 2. üzleti betegségbiztosítás 3. önkéntes egészségpénztár Az egészségügyi kiadások a kor el®rehaladtával emelkednek, ez egy tervezhet® folyamat, de vannak benne váratlan kiugrások. Magyarországon van a kötelez® nyugdíj- és egészségbiztosítás, ezen felül

vannak önkéntes biztosítási formák, mint az üzleti betegségbiztosítások és az önkéntes egészségpénztárak. Egy már 20 éve hatályos országgy¶lési határozat alapján az állampolgárok nyugdíjának, egészségi és baleseti ellátásának, valamint szociális ellátásának optimális esetben öt forrással kell rendelkeznie: 1. a kötelez® és általános társadalombiztosítás 2. az állami-önkormányzati szociális ellátás 3. a privát (magán és non-prot) biztosítók által kínált magánbiztosítások 4. az önszervez®d®, önsegít® intézmények, alapítványok, egyesületek, klubok 5. az önkéntes kölcsönös kiegészít® egészségbiztosító pénztár Társadalombiztosítás (OEP): törvényben meghatározott, minden állampolgárra kiterjed® zetési és ellátási kötelezettséggel rendelkez®, a résztvev®k szolidaritásán alapuló egészségbiztosítás Üzleti betegségbiztosítás: a 2003. évi törvény alapján m¶velhet®,

biztosító társaságoknál vagy biztosítási egyesületeknél megvásárolható betegségbiztosítási/egészség biztosítási termé- kek. Önkéntes egészségpénztár: az 1993. évi törvény alapján m¶köd® önkéntes kölcsönös egészségpénztárak tevékenységét értjük Az egészségpénztár célja a mindenkori társadalombiztosítási szolgáltatások kiegészítése, helyettesítése, pótlása a pénztártagok és családtagjaik egészségének meg®rzése céljából. 119 Az összehasonlítás szempontja Társadalombiztosítás Üzleti betegségbiztosítás Az intézmény célja egyéni kockázatok egyéni/csoportos kockázat társadalmi kezelése egyéni/csoportos kezelése nonprot m¶ködés veszélyközösség védelme protszerzés Az intézmény biztosítási társadalmi ekvivalencia csoportos ekvivalencia A biztosítás természete biztosítotti kényszer magánjogi szerz®dés A biztosításban való részvétel kötelez®

önkéntes Az alkalmazott biztosítási felosztó-kirovó egyéni kockázatelbírálás alapelve technika díjzetésre épül® kockázatközösség A szolgáltatáshoz való a természetbeni hozzájutás elve szolgáltatás elve Az intézmény bevételei járulékok állami garanciával biztosítási díjak a hiány állami pótlása és azok hozama alapvet®en teljes ellátás egyénre/csoportra testre Az intézmény által a költségtérítés elve nanszírozott egészségügyi szabott szolgáltatások szolgáltatások köre Az intézménybe zetend® kárfelosztó kockázatkezel® nincs hatással befolyásolja díj kiszámítási elve A fennálló betegségb®l adódó kockázat hatása a zetend® járulék nagyságára A természetbeni szolgáltatás elve: Egészségpénztár-tag Finanszírozó egészségpénztár ←− − Egészségügyi szolgáltató Egészségpénztár-tag. A költségkiegyenlítés elve: Az egészségügyi szolgáltatást

nyújtó intérmény ← − ← Biztosított Magán betegbiztosító Az állami (kötelez®) egészségbiztosítás ágai: Ebb®l Magyarországon az els® 4 kassza. • Gyógyító (fekv® és járóbeteg) szolgáltatások • Táppénz • Gyógyszer • Baleset • Megel®zés (prevenció) 120 • Id®skori ápolás Az OEP m¶ködési problémái: Szociális feladatok ellátása (rokkantság, gyermekneveléshez kapcsolódó támogatások), táppénz (az OEP teljes kiadásainak 5,4%-a, valószín¶leg részben szociális feladatokat lát el), közalkalmazotti státusz (nincs mód a feladat és teljesítmény szerinti dierenciálásra), az OEP helyszíni ellen®rzésének hiánya, az egészségügyi intézmények önkormányzati tulajdonosi ellen®rzése, a modern állam hiánya (a szolgáltatások között nem jelenik meg az ápolás és prevenció). Üzleti betegségbiztosítási termékek: • Költségtérít® biztosítások: A betegségb®l adódó

teljes kockázatra vagy csak részleges kockázatra. • Összegbiztosítások: A betegség napjaira zet® biztosítási szolgáltatás vagy meghatározott betegségi állapot esetén zet® szolgáltatás. • Speciális betegségbiztosítások: a külföldi tartózkodás ideje alatt fellép® betegségek költségeinek fedezése vagy átlépési biztosítás (munkahelyi csoportos biztosításból egyéni biztosításba). M¶ködési problémák: A társadalombiztosítás által nyújtott szolgáltatások deniálatlansága miatt nem jól körülhatárolható a betegségbiztosítás mozgástere, az önálló betegségbiztosításokra vonatkozó adókedvezmény hiánya, a magyar lakosság rossz egészségi állapota (kockázatelbírálás). Jöv®beni szerep: egy + két félpillér • Alappillér: társadalombiztosítás: adó és járulékzetésb®l nanszírozott, szolidáris (generációk, egészséges-beteg között), minden id®távon pénzügyi egyensúly. •

Egészségpénztári félpillér: Co-payment, prevenció, kötelez® ápolási pénztár. • Betegségbiztosítási félpillér: kockázat elbírálás nélküli munkahelyi betegségbiztosítások (önrész), OEP táppénz-kassza, ápolási járadék. Jöv®beni szerepe az üzleti betegsébiztosításoknak az OEP szolgáltatásait kiegészít® termékek ajánlása. Hiányzó pillér az OEP szolgáltatásaiban az ápolás (amíg nincs hozzá állami forrás, az önkéntes ápolási pénztárral a negyedik öngondoskodási ág létrehozása). Statisztikai következtetés cenzorált mintából, Kaplan-Meyer becslés, Greenwoodformula Az élettartam-változókat függvénye T -vel jelöljük. F (t) = 1 − F (t) = P (T ≥ t). T eloszlásfüggvénye F (t) = P (T < t) Ha az eloszlás abszolút folytonos, akkor 121 és túlélés- f (t) legyen a s¶r¶ségfüggvény. A hazárdfüggvény legyen hazárdfüggvényére igaz, hogy m.m R(t) = − log F (t). t-re R0 (t) =

f (t)/F (t). Ezt Abszolút folytonos eloszlás r(t)-vel fogjuk jelölni, és hazár- drátának vagy meghibásodási tényez®nek nevezzük. Cenzorálás: Bizonyos esetekben a cenzorálás annyira gyakran fordul el®, hogy a cenzorált meggyelések semmiképpen nem hagyhatók gyelmen kívül. Nemcsak azért, mert ezáltal jelent®s mennyiség¶ információt veszítenénk, hanem azért is, mert ezzel torzulna a kép Kétféle cenzorálás létezik, az alulról és felülr®l való levágás. Csak a felülr®l való levágással foglalkozunk, mert az fordul el® gyakrabban. Vizsgált egyedek élettartamát jelölje T1 , T2 , . , Tn , ezeket meg- hibásodási id®knek is nevezzük. Az i-edik egyedhez tartozó cenzorálási id® pedig legyen tovább nem tudjuk meggyelni). Ekkor a meggyeléseink: (Xi , δi ) minden ci (ennél i = 1, . , n-re, ahol Xi = Ti ∧ci és δi = χ(Ti ≤ ci ), valamint ∧ a minimumot jelöli. (Vagyis δi = 1, ha meghibásodást gyeltünk

meg, és δi = 0, ha cenzorálást.) A cenzorálási id®k lehetnek determinisztikusak, de lehetnek véletlenek is. Ha függetlenek a meghibásodási id®kt®l, akkor a modell feltételes eloszlása olyan, mint a determinisztikus cenzorálás esetén. A determinisztikus cenzorálás speciális esete az, amikor az összes cenzorálási id® ugyanakkora: ci = c minden i = 1, . , n-re Ezt I. típusú cenzorálásnak hívjuk II típusú cenzorálásnak azt nevezzük, amikor a meggyelést a tehát a meghibásodások rendezett mintájára a minden A Ti d-edik meghibásodás után abbahagyjuk, T1∗ ≤ T2∗ ≤ · · · ≤ Tn∗ jelölést használva ci = Td∗ i = 1, . , n-re élettartamok függetlenek, de az azonos eloszlás nem követelmény: az egyedek élettarta- mának eloszlása néhány háttérváltozótól, vagy más néven magyarázó változó értékét®l függhet. Ezek a változók meggyelésr®l meggyelésre különbözhetnek, de ismertnek

tételezzük fel ®ket. Jelölésükre a Z bet¶t fogjuk használni. Hiába függetlenek a meghibásodási id®k, véletlen cen- zorálás esetén el®fordulhat, hogy az Xi meggyelések már nem lesznek függetlenek, ez a helyzet pl. a II típusú cenzorálás esetében Maximum-likelihood becslés: Ez talán a legkedveltebb paraméteres becslési eljárás. Az (X , B, P = {Pϑ : ϑ ∈ Θ}) dominált statisztikai mez®n jelölje vényeinek családját, ekkor a ϑ paraméter ML-becslése ϑ̂(X), fϑ (x) az X minta s¶r¶ségfügg- ha fϑ̂(X) (X) = sup {fϑ (X) : ϑ ∈ Θ} A paraméteres alakban való felírás nem lényeges: mondhatjuk úgy is, hogy adott ból a valódi P ∈P eloszlás ML-becslése az a P̂ ∈ P eloszlás, amelynek X mintá- fˆ s¶r¶ségfüggvényének X -beli értéke maximális az összes szóba jöhet® s¶r¶ségfüggvény közül. Bár a s¶r¶ségfüggvények függenek a domináló mértékt®l, a ML-becslés nem. Ezáltal az

ML-módszert nem dominált mértékosztályra is általánosíthatjuk, vagyis igazi nemparaméteres feladatokban is tudjuk használni Vegyük észre ugyanis, hogy a ML tulajdonsághoz elegend®, ha egyidej¶leg mindössze két mértéket hasonlítunk össze: P̂ ML-becslés, ha: 122 dP̂ dP (X) = (X) dλ dλ Itt a esetén λ domináló mérték akár különbözhet is, ha a jobb oldalon álló P Mindössze arra van szükségünk, hogy megfelel. Legyen tehát becslése P ∈P minden P̂ , akkor ϕ(Q, P, X) = tetsz®leges P, Q ∈ P P̂ << λ és P << λ. Ilyen λ pedig mindig akad, λ = P̂ +P esetén ϕ(P, Q, X) = ϕ(P̂ , P, X) ≥ ϕ(P, P̂ , X) ϕ(P̂ ,P,X) 1), 1−ϕ( P̂ ,P,X) Q ∈ P -re inf P ∈P ≥ 1 mértéket változtatjuk. minden ϕ(Q,P,X) 1−ϕ(Q,P,X) minden P ∈ P dP (X). Ha a d(P +Q) P ∈ P -re. Ebb®l (mivel n n-szeres direkt szorzatok. Ekkor a P ∈ P n Q ϕ(Q,P,Xi ) maximalizálja az inf P ∈P mennyiséget.

1−ϕ(Q,P,Xi ) minta, akkor a szóba kerül® mértékek Q∈P mérték, amely ϕ(P, Q, X) + 1 , így 2 ϕ(Q,P,X) maximalizálja P -n az inf P ∈P 1−ϕ(Q,P,X) mennyiséget. Így deniáljuk a nemparaméteres ML-becslést Ha a mintánk a eloszlás ML- ϕ(Q, Q, X) ≡ esetén. Mivel pedig ≤ 1, tehát Q = P̂ P ∈ P elem¶ független ML-becslése az i=1 2.9 Lemma Ha van olyan P ∈ P , amely pozitív súlyt helyez az X minta meggyelt értékére, akkor az el®bbi mennyiség maximalizálása ekvivalens az adott minta meggyelési valószín¶ségének maximalizálásával. Kaplan-Meyer becslés: Legyen (X1 , δ1 ), . , (Xn , δn ) cenzorált minta egy ismeretlen élettartameloszlásból A potenciális cenzorálási id®ket nem ismerjük Feltesszük, hogy a cenzorálási id®k determinisztikusak, vagy ha véletlenek is, függenek az élettartamoktól. Az a célunk, hogy az F túlélésfüggvényre ML-becslést adjunk. A lemma értelmében, ha van olyan eloszlás,

amely szerint az adott minta valószín¶sége pozitív, akkor elegend® az ilyenek között maximalizálni a valószín¶séget. P (Xi = x, δi = 1) = F (x) − F (x + 0) = ∆F (x), P (Xi = x, δi = 0) = F (x + 0), Tehát feltehetjük, hogy ∆F (Xi ) > 0 Y i: δi =1 Legyen x = ci ha és valahányszor Y ∆F (Xi ) 0 ha x ≤ ci , és 0 máskor, máskor δi = 1. A likelihood függvény tehát: F (Xi + 0) i: δi =0 F (Xi + 0) rögzített a meghibásodási id®pontokban. A két szorzatot külön maximali- záljuk. Kijön, hogy F a szomszédos meghibásodási id®k között konstans. Tehát a maximum csak olyan eloszlásra érhet® el, amely a [0, max Xi ] intervallumban diszkrét: csak a meghibásodási id®pontokhoz rendel súlyt. Legyenek a1 < a 2 < · · · < a l ros meghibásodás, és mj az aj a meghibásodások id®pontjai, jelölje dj , hogy aj hányszo- id®pontban még meggyelés alatt lév® egyedek számát, azaz

mindazokat, akik korábban nem hibásodtak meg és nem is cenzoráltuk ®ket. 123 dj = X χ(Xi = aj , δi = 1), és mj = X i Legyen továbbá ∆F (aj ) F (aj ) rj = χ(Xi ≥ aj ) i = P (T = aj |T ≥ aj ) diszkrét meghibásodási tényez®. Evvel megkapjuk, hogy • egy ai -beli meghibásodás hozadéka a likelihoodban: ∆F (ai ) = ri i−1 Q (1 − rj ), j=1 • egy Xi -beli Q F (Xi + 0) = cenzorálás hozadéka a likelihoodban: (1 − rj ). j: aj ≤Xi Ezért a likelihood függvényben vagyis di -szer, q − ri ri annyiszor fog szerepelni, ahányszoros meghibásodás pedig annyiszor, ahány korábbi cenzorálás van, azaz (mi − di )-szer. l Y ai -nál kés®bbi meghibásodás, továbbá ai -nál ai , nem Vagyis a likelihood: ridi (1 − ri )mi −di i=1 Mivel ri zálni, tehát csak az r̂i = i-edik tényez®ben szerepel, ezt a szorzatot tényez®nként tudjuk maximali- di . Tehát a túlélésfüggvény becslése mi F n

(t) = j: aj minden olyan t-re, amelyre  Y  dj (1 − r̂j ) = 1− mj <t j: a <t Y j 0 ≤ t ≤ max Xi . Ezt nevezzük Kaplan-Meyer-féle szorzatbecslésnek Ha nincs cenzorálás akkor a becslés éppen a tapasztalati túlélésfüggvény. Greenwood-formula: Az F n (t) becslés szórásnégyzetére ad közelítést. Tegyük fel, hogy az eloszlás diszkrét: a lehetséges meghibásodási id®pontok ismert tulajdonsága szerint információmennyiség (l ×l a1 < a 2 < · · · < a l . (r̂1 − r1 , . , r̂l − rl ) ≈ Nl (0, I −1 ), ahol I A ML-becslés a mintában lév® Fisher-féle méret¶ mátrix). A Fisher-információ a loglikelihood-függvény má- sodik deriváltjának a negatív várható értéke. A gyakorlatban közelíteni szokták: 2 I ≈ − ddrL2 (r̂). A loglikelihood függvény a következ®: L(r) = l X (dj log rj + (mj − dj ) log(1 − rj )) j=1 Ennek második deriváltja diagonális mátrix: − Következésképpen

d2 L mj (r̂) = 2 drj r̂j (1 − r̂j ) I −1 = D2 (r̂j ) ≈ r̂j (1−r̂j ) és az mj r̂j becslések aszimptotikusan függetlenek. Egyéb átírások után azt kapjuk, hogy a Greenwood-formula a következ®: 124 dj mj (mj − dj ) <t X D2 (F n (t)) ≈ (F n (t))2 j: aj Alkalmazásánál gyelemmel kell lenni arra, hogy az eloszlás farkánál instabil lehet. Mérleg tagolástana és értéktana A biztosítók mérlegében az eszközöket és forrásokat élet és nem-élet bontásban külön kell vezetni, és van még egy egyéb (nem biztosítási tevékenység) oszlop is. Az ellen®rzés hatásait a kiegészít® mellékletnek kell tartalmaznia Eszközök: 1. Immateriális javak: • alapítás-átszervezés aktivált értéke: ez egy lehet®ség, a bevételben várhatóan megtérül® költség, ráfordítás. Ide tartozik kirendeltség, tanulmány, termékbevezet® reklám, állomány- és díjkezelés számítógépes rendszere, a biztosítási ágazat

beindításának egyszeri költsége vagy jelent®s piaci részesedés megszerzésének egyszeri költsége. • üzleti vagy cégérték (csak vásárlással juthatunk hozzá, egy adott cégnek mekkora a potenciálja, mennyit lehet kihozni bel®le, milyenek a piaci partnerek, számviteli értelemben a cég annyit ér, amennyi a saját t®kéje, negatív üzleti vagy cégérték nincs • biztosítási állomány átruházásáért zetett díjak • egyéb immateriális javak 2. Befektetések: Kapcsolt vállalkozás: 1,2,3,4 tulajdonos lehet, minimum 20% legyen a részesedés, Közös vezetés¶ vállalkozás: több tulajdonos azonos arányú részesedéssel, Társult vállalkozás: nem azonos részesedés, de 20%-nál több. • Ingatlanok: ingatlanok, ingatlanhoz kapcsolódó vagyoni érték¶ jogok (bérleti szerz®dés), ingatlanberuházások, ingatlanberuházásra adott el®legek (követelésnél kéne lennie, de mivel hosszútávú, azért ide került. • Befektetés

kapcsolt vállalkozásokban: tulajdoni részesedés, hitelviszonyos értékpapír, kölcsön (kapcsolt lehet anya-lánya, vagy közös, társult) • Egyéb befektetések: tulajdoni részesedés, hitelviszonyos értékpapír (államkötvény), kölcsön, jelzáloggal fedezett kölcsön (biztosító ad kölcsön munkavállalóinak, ügyfeleinek) • Jelzáloggal fedezett kölcsön: biztosító Rt. által, életbiztosítási ügyfélnek nyújtott kölcsön, fedezete a megkötött szerz®dés alapján teljesítend® összeg mellett a Magyarország területén lev® ingatlanon alapított jelzálogjog a term®föld kivételével. • Egyéb kölcsön: nem életbiztosítási ügyfélnek nyújtott jelzálogkölcsön, nem jelzálogkölcsön 125 • Egyéb befektetések: ha jelent®s, a kiegészít® mellékletben részletezni kell • VB-ba vett ügyletb®l ered® letéti követelések: a direkt biztosító a viszontbiztosítás díjának egy részét nem adja oda, mert

valószín¶leg úgyis visszajön, ez lesz letéti követelés a viszontbiztosító mérlegében, a direkt biztosítónál a forrásoldalon lesz letéti kötelezettség. 3. A befektetési egységekhez kötött (unit-linked) életbiztosítások szerz®d®i javára végrehajtott befektetések: a unit-linkednek még a kockázata sem a biztosítóé Ez a dolog nem min®sülhetne eszköznek, de azért így számolják el. Hiszen a unit-linkednek is van egy kis része, a kockázati része, ami az életbiztosítás, a többi nem biztosítás. A Bit befektetési szabálya a unit-linkedre nem vonatkoznak. 4. Követelések: • Közvetlen biztosítási ügyletb®l: követelések biztosítási kötvénytulajdonosoktól, követelések a biztosítási közvetít®kt®l • Követelések VB ügyletb®l: a viszontbiztosító a díjat követeli itt, a direkt biztosító pedig a kármegterülést. • Egyéb követelések: állammal szemben a biztosítási tevékenységhez tartozó ÁFA nem

igényelhet® vissza, vev®vel szembeni (tárgyi eszközök), munkavállalókkal szembeni 5. Egyéb eszközök: Tárgyi eszközök, készletek (az ingatlan kivételével), bankbetétek, pénztár, visszavásárolt saját részvények (erre nem zetnek osztalékot, nincs hozama, ezért nem lehet befektetés) 6. Aktív id®beli elhatárolások: • Bevételekhez kapcsolódó: kamatok, bérleti díjak • Költségekhez kapcsolódó: halasztott szerzési költségek (élet és nem élet bontásban, tárgyévben felmerült szerzési költség, a kés®bbi díjbevétellel fedezhet®, a tartalékok képzésénél nem vehették gyelembe) • Egyéb aktív id®beli elhatárolások Források: 1. Saját t®ke: • Jegyzett t®ke: amennyit a cégbíróságon bejegyeztek. Induláskori alapító t®keérték • Jegyzett, de be nem zetett t®ke: biztosítónál ez csak úgy lehet, ha apport van a létrehozásnál, vagy kés®bbi t®keemelésnél. 126 • T®ketartalék •

Eredménytartalék: az el®z® id®szakoki mérleg szerinti eredmény gy¶lik itt. • Lekötött tartalék: Üzlethálózat b®vítéshez ide lehet félretenni pénzt az eredmény terhére. • Értékelési tartalék • Mérleg szerinti eredmény 2. Alárendelt kölcsönt®ke: ténylegesen rendelkezésre bocsátott kölcsön, ezt a tulajdonos adja A tulajdonosok el®tti utolsó helyen áll a törlesztése. Ez egy hosszú távú dolog, a tulajdonos csak akkor adja, ha más lehet®ség már nincsen. Így lehet szavatoló t®két emelni évközben, ha valami baj van vele. Kiemelten hosszú lejáratú kötelezettség (5+ év), visszazetés a lejárati id®n belül nem lehet, csak a felügyelet engedélyével. 3. Biztosítástechnikai tartalékok: • Meg nem szolgált díjak tartaléka: a díjel®írás azon része kerül ide, amely nem az adott tárgyévre szól, külön kell venni a viszontbiztosítóra jutó tartalékrészt. • Matematikai tartalékok: életbiztosítási

díjtartalék, betegségbiztosítási díjtartalék, balesetbiztosítási járadéktartalék, felel®sségbiztosítási járadéktartalék • Függ®kár tartalékok: Tételes függ®kártartalék (szerz®désenként kell megállapítani, fordulónapon egyedileg kell felülvizsgálni és a tartalékszükségletre helyesbíteni, IBNR tartalék (megtörtént, de még be nem jelentett károk), az aktuárius képzi az elmúlt évek tapasztalatai alapján, fordulónapon különbözet képzés vagy feloldás. • Eredményt®l függ® díjvisszatérítési tartalék: az ügyfeleknek járó többlethozam még oda nem adott része, Eredményt®l független díjvisszatérítési tartalék: kármentességi bónuszok kezelésére szolgál (casco biztosításoknál). • Káringadozási tartalék: elvileg kisimítja az eredményt, ha kevés a kár, akkor felretehetünk a nagyobb károkra. A károk alakulását küls® tényez® befolyásolja, független a díjaktól. Akkor lehet ilyet

képezni, ha a biztosítástechnikai eredmény pozitív Korlátozva van a feltöltés szintje, és a tartalék szintje Felhasználni akkor kell, ha a tárgyév biztosítástechnikai eredménye negatív. • Egyéb tartalékok: nagy károk tartaléka, törlési tartalék (a díjat nem zeti az ügyfél, de nekünk ott van a követelésekben és a díjbevételben, arra készülünk, hogy törölni fogjuk a szerz®dést, már korábban törlési tartalékot képzek, hogy aztán 0-ra jöjjön ki az eredménykimutatás, amit a be nem zetett díjjal díjbevételként növeltem régebben), várható veszteségek tartaléka, hitel és kezesi biztosítások tartaléka. 127 4. Biztosítástechnikai tartalékok a unit-linked életbiztosítás szerz®d®i javára 5. Céltartalékok (várható kötelezettségekre, jöv®beni költségekre) 6. Viszontbiztosítóval szembeni letéti kötelezettségek 7. Kötelezettségek: közvetlen biztosítási ügyletb®l, viszontbiztosítási ügyletb®l,

kötvénykibocsátásból, hitelek, egyéb kötelezettségek 8. Passzív id®beli elhatárolások: bevételek, költségek, halasztott bevételek (a rendkívüli bevételb®l átrakjuk rögtön halasztott bevételbe, hogy szépen lassan amortizálódjon le) Értékelés: a számviteli törvény határozza meg, kivéve a unit-linked befektetések és azok fedezetéül szolgáló tartalékok (ezeknél ugyanilyen értékben piaci áron értékelünk). Valós értékelésnél különös szabály, ha alkalmazza, akkor a bevezetés évét követ® harmadik év január 1-jét megel®z®en nem térhet vissza bekerülési áras értékelésre. A bekerülési érték: módosított realizációs elv alapján • Vásárlás: nettó számla szerinti ár + szállítási és rakodási költésg + felár - engedmény + közvetít®i, bizományosi díj + vám, vámkezelési díj + le nem vonható ÁFA + id®arányos hitel- és kölcsönkamat + devizakötelezettségek árfolyamkülönbözete •

Saját el®állítás: el®állítási költség • Apportba vétel: társasági szerz®dés szerinti érték + szállítási és rakodási költség + egyéb • Térítés nélküli átvétel, többlet: piaci érték + egyéb A bekerülési érték befektetések esetében: • Forgó kamatozó értékpapír: kamattartalommal csökkentett érték • Tartós kamatozó értékpapír: kamattartalommal csökkentett érték, vételárban rejl® árfolyamkülönbözet elhatárolható • Tartós részesedés: 75%-ot meghaladó beszerzés esetén piaci érték • Forgó részesedés: vételár Év végi értékelés: értékvesztés (könyv szerinti érték tartósan és jelent®sen magasabb, mint a piaci érték), visszaírás (ha az értékvesztés körülményei már nem állnak fenn), értékhelyesbítés (piaci érték jelent®sen meghaladja a visszaírás utáni könyv szerinti értéket). 128 2.4 4 tétel A társadalombiztosítás f®bb fajtái, kialakulásuk,

jelenlegi problémáik. Aktuárius becslés. Az arányos hazárd modell A biztosítótársaságokra vonatkozó, ma hatályos számviteli szabályozásnak megfelel®, eredménykimutatás tagolástana és értéktana. Társadalombiztosítási alapmodellek: 1. Típusa szerint: • Porosz (Bismarck): alapelve, hogy függ a bezetés összegét®l; jogosultjai a munkavállalók; forrásai a járulékok + költségvetési pótlások; jogalapja a bezetés; újraelosztás csak évjáratok között lehetséges; szervezete az Önkormányzat; minimális szerep jut a magánbiztosításoknak; Németországból indult, Németországban, Ausztriában, Franciaországban, Belgiumban, Hollandiában és Luxemburgban van ilyen; 2 típusa van: az egészségügyi szolgáltatásokat térítés nélkül vehetik igénybe vagy a biztosítótól utólag visszatérítést kapnak. Modellje: Beteg/biztosított nanszírozó/biztosító • FinanszírozásElszámolás ← Szolgáltató

DíjzetésBiztosítási szolgáltatás ← EllátásÖnrész Fi- ← Angolszász-Skandináv (Beveridge): nem függ a bezetés összegét®l; jogosultjai az állampolgárok; forrása az adó; jogalapja az állampolgárság; újraelosztás még évjáratokon belül is lehetséges; az államigazgatás része; komoly szerep jut a magánbiztosításoknak. Ilyen van Nagy-Britanniában, Írországban, Svédországban, Finnországban, Dániában, Portugáliában, Spanyolországban, Olaszországban és Görögországban. 2 típusa van: centralizált forma (Nagy-Britanniában és Írországban), decentralizált forma (regionális szervezésen és igazgatáson alapuló egészségügy). Modellje: Szolgáltató EllátásDíjzetés ← Díjzetés Költségek bizonyos részének megtérítése Beteg/biztosított ← Finanszíro- zó/biztosító. 2. Finanszírozás szerint: • Felosztó-kirovó (PAYG) modell: aktívak zetik a nem-aktívak egészségügyi ellátását,

kés®bbi generációk a korábbiakét. • T®ke-gy¶jt® modell: 2 típusa van: Bezetést®l függ® (DC): mennyit akarsz most bezetni, akkor annyit kapsz kés®bb; Kizetést®l függ® (DB): mennyit akarsz kés®bb kapni, akkor annyit zess be most. 3. Veszélyközösség szerint: • Felosztó-kirovó: nincs benne tartalék = az egész társadalom szolidáris = amennyit bezetnek annyit kell/lehet szétosztani 129 • T®kefedezeti: minden évjárat félretesz magának egy részt a saját kizetésére, a veszélyközösség felbomlása esetén nekik jut valami • Várományfedezeti: mindenki bezetését a saját egyéni számláján vezetik + a kamat - a kizetés, veszélyközösség felbomlása esetén amit még nem használt fel, az az övé marad. Magyar egészségügybiztosítások fejl®dése 1. 1496-tól XIX század vége: bánya-társládák, ipari munkásegyletek szakmánként, betegségelyez® pénztárak gyáranként 2. Bismarck szociális

olajcseppek: kötelez® betegségbiztosítás, csak iparra 3. 1907-1917: Ipari és kereskedelmi kötelez® betegségbiztosítás 4. I világháború: az el®bbi b®vítése 5. Tanácsköztársaság: minden munkásra, parasztra, háztartási alkalmazottra; centralizálás 6. 1919-1927: megsemmisítették a Tanácsköztársasági rendeletet 7. 1928-1931: OTI (Országos TB igazgatóság): tovább szélesedett a biztosítottak köre, OTI mellett 10 szakmai pénztár 8. 1931-1945: Világgazdasági válság: megszorítások 9. 1945-1972: földm¶vesek is, magánalkalmazottak, tanulók stb Szocialista egészségügy kiépülése, SZTK létrejötte 10. 1972-1988: Szocialista egészségügy fénykora, állampolgári jogon jár a TB 11. Rendszerváltás óta: már nem állampolgári jog az ingyenes ellátás, biztosítotti viszony kell, ingyenes szolgáltatások sz¶kítése, állandó átszervezések TB alap problémák 1. A lakosság egészségügyi helyzete rosszabbodik: 0

kockázatérzékenység, egészségtelen, pazarló fogyasztás, iszonyú hálapénz 2. Az egészségügyi kiadások növekedése (a lakosság elöregedése, a fokozódó fogyasztói elvárások, a technika-technológia fejl®dése, és ezáltal az egészségügy eredményes m¶ködése, mely hozzájárul az élettartam meghosszabbításához, így egyre több betegséggel, károsodással él® ember él együtt tartósan betegségével és mindez átalakítja a gazdaságilag aktív és inaktív populáció arányát). 130 3. Igényekhez képest sz¶kös források (csökken® járulékbevételek, a közkiadások mérséklésére nehezed® gazdasági nyomás). Az aktuárius becslés Az élettartam-változókat függvénye T -vel jelöljük. F (t) = 1 − F (t) = P (T ≥ t). T F (t) = P (T < t) Ha az eloszlás abszolút folytonos, akkor a s¶r¶ségfüggvény. A hazárdfüggvény legyen hazárdfüggvényére igaz, hogy m.m eloszlásfüggvénye R(t) = − log F (t). 0

t-re R (t) = f (t)/F (t). Ezt és túlélés- f (t) legyen Abszolút folytonos eloszlás r(t)-vel fogjuk jelölni, és hazár- drátának vagy meghibásodási tényez®nek nevezzük. Cenzorálás: Bizonyos esetekben a cenzorálás annyira gyakran fordul el®, hogy a cenzorált meggyelések semmiképpen nem hagyhatók gyelmen kívül. Nemcsak azért, mert ezáltal jelent®s mennyiség¶ információt veszítenénk, hanem azért is, mert ezzel torzulna a kép Kétféle cenzorálás létezik, az alulról és felülr®l való levágás. Csak a felülr®l való levágással foglalkozunk, mert az fordul el® gyakrabban. Vizsgált egyedek élettartamát jelölje T1 , T2 , . , Tn , ezeket meg- hibásodási id®knek is nevezzük. Az i-edik egyedhez tartozó cenzorálási id® pedig legyen tovább nem tudjuk meggyelni). Ekkor a meggyeléseink: (Xi , δi ) minden ci (ennél i = 1, . , n-re, ahol Xi = Ti ∧ci és δi = χ(Ti ≤ ci ), valamint ∧ a minimumot jelöli.

(Vagyis δi = 1, ha meghibásodást gyeltünk meg, és δi = 0, ha cenzorálást.) A cenzorálási id®k lehetnek determinisztikusak, de lehetnek véletlenek is. Ha függetlenek a meghibásodási id®kt®l, akkor a modell feltételes eloszlása olyan, mint a determinisztikus cenzorálás esetén. A determinisztikus cenzorálás speciális esete az, amikor az összes cenzorálási id® ugyanakkora: ci = c minden i = 1, . , n-re Ezt I. típusú cenzorálásnak hívjuk II típusú cenzorálásnak azt nevezzük, amikor a meggyelést a d-edik ∗ tehát a meghibásodások rendezett mintájára a T1 T2∗ minden A Ti ≤ meghibásodás után abbahagyjuk, ≤ · · · ≤ Tn∗ jelölést használva ci = Td∗ i = 1, . , n-re élettartamok függetlenek, de az azonos eloszlás nem követelmény: az egyedek élettarta- mának eloszlása néhány háttérváltozótól, vagy más néven magyarázó változó értékét®l függhet. Ezek a változók meggyelésr®l

meggyelésre különbözhetnek, de ismertnek tételezzük fel ®ket. Jelölésükre a Z bet¶t fogjuk használni. Hiába függetlenek a meghibásodási id®k, véletlen cen- zorálás esetén el®fordulhat, hogy az Xi meggyelések már nem lesznek függetlenek, ez a helyzet pl. a II típusú cenzorálás esetében Tegyük fel, hogy véletlen cenzorálással van dolgunk, és mind az élettartam, mind a cenzorálás id® abszolút folytonos eloszlású és független. A hazárdrátákat jelölje rT (t) és rc (t). Ezeket szeretnénk becsülni. Az aktuárius becslés során ezeket lépcs®sfüggvényekkel közelítjük Csoportosított adataink vannak: [aj−1 , aj ) jelölje dj , Ezekre a a j -edik intervallum, a cenzorálásokét ρj , λj 0 = a0 < a 1 < · · · < a l qj . bj = aj − aj−1 Feltesszük, hogy el®re felvett értékek (osztópontok). Tehát a hossza. Az ide es® meghibásodások számát aj−1 ≤ t < aj konstansokra adunk

ML-becslést. 131 esetén rT (t) = ρj és rc (t) = λj . A szakaszonként konstans hazárdráta miatt minden id®intervallumban, feltéve, hogy az intervallum kezdetekor még meggyelés alatt állt az egyed, mind a meghibásodás, mind a cenzorálás exponenciális eloszlás szerint történik. Például a meghibásodásra: P (T ≥ aj−1 + t|T ≥ aj−1 ) = F (aj−1 + t) = F (aj−1   aj−1 Z +t  rT (s)ds = e−ρj t  exp(−R(aj−1 + t) + R(aj−1 )) = exp − aj−1 ML becslés: A likelihood függvény: n Q L = f (xi , θ), i=1 folytonos esetben, egyébként a valószín¶ség áll ott maximalizálni kell θ-ban l = log L. ahol f a s¶r¶ségfüggvény abszolút (P (X = xi )). A loglikelihodd függvény, amit A teljes loglikelihood az egyes intervallumokra vonatkozó (feltételes) loglikelihoodok összege (a feltételt az intervallum kezdetén meggyelés alatt álló egyedekre nézve). Nézzük meg, hogy mib®l tev®dik össze a

Hagyjuk el az indexeket: legyen száma, d = dj , q = qj , λ = λj • m−d−q • d j -edik intervallum loglikelihoodja. m = mj−1 az intervallum kezdetén meggyelés alatt álló egyedek és ρ = ρj . Ekkor egyed túléli az intervallumot, mindegyik e−b(ρ+λ) valószín¶séggel, egyed meghibásodik, ennek a valószín¶sége mindegyiküknél Zb ρe−ρt e−λt dt =
ρ 1 − e−b(ρ+λ) , ρ+λ 0 • q egyedet cenzoráltunk, ennek a valószín¶sége egyenként Zb λe−λt e−ρt =
λ 1 − e−b(ρ+λ) ρ+λ 0 A valószín¶ségek logaritmusát az esetek számával szorozva és összeadva kapjuk az intervallumhoz tartozó loglikelihoodot. Ez összen L = −(m − d − q)b(ρ + λ) + d log és egyedül ebben a tagban szerepel riváljuk le d azaz ρ = q λ λ és = ρ
ρ λ + q log + (d + q) log 1 − e−b(ρ+λ) , ρ+λ ρ+λ ρj és λj . Ezért tagonként maximalizálhatunk, szerint, majd kivonva a két egyenletet egymásból

kapjuk, hogy d+q . Ezt visszahelyettesítve a deriváltba és leosztva ρ+λ 132 b-vel ρ + λ d ρ − L-t q λ de- = 0, becslése azonnal adódik, amib®l az el®bbi egyenleteket kihasználva megkaphatjuk ρ és λ becsléseit külön-külön is.   1 d+q ρ̂ + λ̂ = − log 1 − b m 1 2 d+q is az, ezért − log 1 Ha most az intervallum b hossza elég kicsi, akkor m
2 d+q d , amib®l kapjuk, hogy ρ̂ ≈ . A túlélésfüggvény becslése pedig m b(m− d+q ) − d+q m
≈ d+q m + 2 j  Y ˆ 1− F (aj ) = i=1  di mi−1 − qi 2 Összehasonlítva a Kaplan-Meyer becsléssel, azt vehetjük észre, hogy olyan mintha minden meghibásodás az intervallum közepén lenne, a cenzorálásoknak pedig a fele el®tte, fele utána. Az arányos hazárd modell Ezt a modellt szokás Lehmann-családnak, vagy Cox modellnek is nevezni. Adott egy alapeloszlás ter, és F túlélésfüggvénnyel, R hazárdfüggvénnyel és r F ϑ (t) = F (t)ϑ , Rϑ (t) =

ϑR(t) és hazárdrátával. Legyen rϑ (t) = ϑr(t). Ekkor az ϑ pozitív paramé- {Fϑ : ϑ > 0} eloszláscsaládot hívják Lehmann-családnak. A hazárdráták közti összefüggés miatt hívják ezt a modellt arányos hazárd modellnek. A mintánk tehát (F (t))ψ(ϑ,Zi ) . vektora, ψ Itt (X1 , δ1 ), . , (Xn , δn ), F (t) ahol az egy rögzített alapeloszlás, i-edik ϑ ∈ Θ pedig ismert függvény. Attól függ®en, hogy élettartam túlélésfüggvénye paraméter, F és ϑ Zi F i (t) = a magyarázó változók közül mit tekintünk ismertnek, a probléma különböz® megközelítései lehetségesek. Nemparaméteres hozzáállás Tegyük fel, hogy az i-edik meggyelés túlélésfüggvénye súlya, amit ismerünk, az hogy F -et F F i (t) = F (t)wi , ahol wi a meggyelés alapeloszlást viszont nem. A cenzorálás determinisztikus Célunk, ML-módszerrel becsüljük. A Kaplan-Meyer-becslésnél alkalmazott gondolatmenetet követve a

meggyelt minta valószín¶ségét akarjuk maximalizálni. Ehhez P (Xi = x, δi = 1) = F (x)wi − F (x + 0)wi , P (Xi = x, δi = 0) = F (x + 0)wi , ha ha x ≤ ci , x = ci , és 0 és 0 máskor, máskor. A likelihood függvény tehát: Y F (Xi )wi − F (Xi + 0)wi i: δi =1 Legyenek ismét 0 < a 1 < a2 < · · · < a l
Y F (Xi + 0)wi i: δi =0 a meghibásodások id®pontjai, és tegyük fel most, hogy mindegyik egyszeres. Jelölje a megfelel® súlyokat v1 , v2 , . , vl Most is látható, hogy ma- ximumot csak úgy kaphatunk, hogy az eloszlás csak a meghibásodási id®pontokban vesz fel 133 értéket. Jelölje uj az [aj , aj+1 ) intervallumba es® cenzorálások összsúlyát. Most nem a diszk- rét meghibásodási tényez®t használjuk, hanem az ellentett valószín¶séget. Legyen ezzel F (aj ) = q1 q2 · · · qj−1 , l Y vj vj F (aj ) − F (aj+1 )
F (aj+1 ) uj = l Y v (q1 · · · qj−1 )vj (1 − qj j )(q1 ·

· · qj )uj = j=1 l Y v +v +···+vl +uj +···+ul qj j+1 j+2 (1 − v qj j ) = j=1 N (t) = F (aj+1 ) , F (aj ) így a likelihood a következ®képpen írható: j=1 ahol qj = P i: Xi ≥t l Y N (aj )−vj qj v (1 − qj j ) j=1 wi a t id®pontban meggyelés alatt álló egyedek összsúlya. Ezt ismét tényez®nként tudjuk maximalizálni. A qj ML-becslése  q̂j = vj 1− N (aj ) 1/vj és a túlélésfüggvény ML-becslése Fˆ (t) =  1− Y i: Xi <t,δi =1 wi N (Xi ) 1/wi Ha a meghibásodási id®k nemcsak egyszeresek lehetnek, akkor egy másik fajta függvényt kell maximalizálni, és nem lesz sokkal bonyolultabb (plusszban megjelenik benne, hogy az ai hányszoros meghibásodás). Szemiparaméteres hozzáállás Ilyenkor nem ismerjük sem az F alapeloszlást, sem a módszerét alkalmazva a likelihoodot el®ször F -ben, majd ϑ paramétert. A teljes likelihood ϑ-ban maximalizáljuk. Egy másik lehet®ség: az

egyszer¶ség kedvéért tegyük fel el®ször, hogy nincs cenzorálás, és a meghibásodási π(j) a j -ediknek R(t) = {j : Xj ≥ t} a t id®k egyszeresek. Legyen továbbá Ekkor meghibásodó egyed sorszáma: Jelölje id®pontban még meggyelés alatt álló egyedek halmazát. R(aj ) = {1, 2, . , n} {π(1), , π(j − 1)} jelöljük egyszer¶en aj = Xπ(j) . nem függ az aj meghibásodási id®t®l, ezért Rj -vel. A feltételes likelihood módszere szerint a π(1), . , π(n) rangoknak írjuk fel a likelihood- függvényét és azt maximalizáljuk. Ezt az érvelést támasztja alá, hogy ha az alapeloszlásról semmit sem tudunk, akkor az aj meghibásodási id®k által tartalmazott információ sokkal in- kább vonatkozik az alapeloszlásra, mint a paraméterre, hiszen még az sincs kizárva, hogy az alapeloszlás közel diszkrét. A paraméterre tehát leginkább csak a meghibásodások sorrendjéb®l következtethetünk. Paraméteres

hozzáállás Tegyük fel, hogy az alapeloszlás ismert. Az R(Ti ) = 1 R (T ) transzformált ϑ ϑ i ϑ paraméte- r¶ exponenciális lesz. Tehát a meggyeléseket az alapeloszlás hazárdfüggvényébe helyettesítve 134 mindig elérhetjük, hogy az alapeloszlásunk exponenciális legyen, ekkor a paramétert tartalmazó ψ(ϑ, Zi ) súlyok reciprokai szorzóként kerülnek a modellbe. Ha most negatív logaritmust veszünk, akkor additív modellt kapunk. − log R(Ti ) = log ψ(ϑ, Zi ) − log log(1/F ψ(ϑ,Zi ) (Ti )) = log ψ(ϑ, Zi ) + Yi ahol az Yi változók eloszlása Gumbel-féle extrémérték eloszlás. Speciálisan a Cox modellben − log R(Ti ) − γ = ZiT ϑ + εi ez lineáris modell, ahol az εi véletlen hibák függetlenek, azonos eloszlásúak és 0 várható érték¶ek. Ezt szokás Cox-regressziónak is nevezni Az eredménykimutatás tagolástana Az eredménykimutatás fajtája forgalmi költség típusú, azaz amit eladtam annak mutatom be a

ráfordítását, meg a bevételét. Azért van ez így, mert nincs termlés Funkciók szerint vannak csoportosítva a ráfordítások, pl. károk ráfordításai, befektetések m¶ködési és fenntartási ráfordításai, igazgatási költségek stb. A biztosítóknál nem lehet sorokat összevonni, ha nagyon kicsi értékek szerepelnek benne. Jelent®s hibák kimutatása a kiegészít® mellékletben VB-ba adás teljeskör¶ elszámolásával, VB-ba vétel tárgyévi elszámolása a következ® évben is elvégezhet®, ha az elszámolás a mérlegkészítésig nem ismert. A biztosítástechnikai eredményt szét kell bontani Nem életbiztosítási ágra (A), és Életbiztosítási ágra (B), részei: 1. Megszolgált díjak, viszontbiztosítás nélkül: • bruttó díj: általában ez a díjel®írás, nem amit bezettek • viszontbiztosítónak átadott díj • meg nem szolgált díjak tartalékának változása • a viszontbiztosító részesedése a meg nem szolgált

díjak tartalékának változásából 2. Biztosítottaknak visszajuttatandó befektetési eredmény 3. Egyéb biztosítástechnikai bevétel 4. Károk ráfordításai: • Kárkizetések és kárrendezési költségek: kárkizetések (bruttó összeg és viszontbiztosító részesedése), kárrendezési költségek. • Függ® károk tartalékának változása: tételes függ® kár tartalék változása (bruttó összeg és viszontbiztosító részesedése), IBNR tartalék változása (bruttó összeg és viszontbiztosító részesedése) 5. Matematikai tartalékok változása: 135 • betegségbiztosítási díjtartalék változása (bruttó összeg és viszontbiztosítási részesedése) • balesetbiztosítási járadéktartalék változása (szétbontva) • felel®sségbiztosítási járadéktartalék változása (szétbontva) 6. Díj-visszatérítési tartalékok változása: • Eredményt®l függ® díj-visszatérítési tartalék változása

(szétbontva) • Eredményt®l független díj-visszatérítési tartalék változása (szétbontva) 7. Káringadozási tartalék változása 8. Egyéb tartalékok változása: • nagy károk tartalékának változása • törtlési tartalék változása (szétbontva) • egyéb biztosítástechnikai tartalék változása (szétbontva) 9. Nettó m¶ködési költségek: • Tárgyévben felmerült szerzési költségek • elhatárolt szerzési költségek változása • igazgatási költségek (befektetési költségek kivételével) • viszontbiztosítótól járó jutalékok és nyereségrészesedések 10. Egyéb biztosítástechnikai ráfordítások: kártalanítási számla (a biztosítók bezetéseib®l jön ez létre, ami a nem biztosítottak kárát állja, pl. kártalanítja a személyi sérülést cserbenhagyásos balesetnél) Életbiztosítási ágnál ehhez képest változás: 1. Biztosítástechnikai bevételek befektetésekb®l: • Kapott

osztalék és részesedés • Egyéb befektetési bevételek: biztosítási állományhoz kapcsolódó tárgyi eszközök bevételei, kapott kamatok és kamatjelleg¶ bevételek • Befektetések értékesítésének árfolyamnyeresége 2. Matematikai tartalékok változása: 136 • életbiztosítási díjtartalék változása (szétbontva) • betegségbiztosítási díjtartalék változása (szétbontva) • balesetbiztosítái járadéktartalék változása (szétbontva) 3. Befektetési egységekhez kötött életbiztosítás tartalékának változása (szétbontva) 4. Biztosítástechnikai ráfordítások befektetésekb®l: • Befektetések m¶ködési és fenntartási ráfordításai • Befektetések értékvesztése, visszaírt értékvesztése • Befektetések értékesítésének árfolyamvesztesége A következ® nagy csoport a nem biztosítástechnikai elszámolások: 1. Kapott osztalék és részesedés 2. Kapott kamatok és kamatjelleg¶

bevételek 3. Befektetések értékesítésének árfolyamnyeresége 4. Biztosítottaknak visszajuttatandó befektetési eredmény 5. Befektetések m¶ködési és fenntartási ráfordításai 6. Befektetések értékesítésének árfolyamvesztesége 7. Befektetések értékvesztése, visszaírt értékvesztése 8. Egyéb bevételek 9. Egyéb ráfordítások Ezeket összegezve jön ki a szokásos vállalkozási eredmény. Ezután + rendkívüli bevételek rendkívüli ráfordítások = adózás el®tti eredmény - adózetési kötelezettség = adózott eredmény + eredménytartalék igénybevétele osztalékra - jóváhagyott osztalék, részesedés = mérleg szerinti eredmény. Az eredménykimutatás értéktana Ugyanaz, mint a mérleg értéktana. 137 2.5 5 tétel Egészségbiztosítási intézmények (társadalombiztosítás, üzleti egészségbiztosítás, egészségpénztárak) szerepe, szolgáltatásai, bevételei. Élettartam-eloszlások öreged® osztályai,

megmaradási tételek Az eloszlás becslése A devizás tételek értékelése a ma hatályos számviteli el®írások szerint a biztosítótársaságok vonatkozásában. A három magyar egészségnanszírozási pilér Már 20 éve hatályos az az országgy¶lési határozat, amely az állampolgárok nyugdíjának, egészségi és baleseti ellátásának, valamint szociális ellátásának optimális esetben öt forrással kell rendelkeznie: 1. a kötelez® és általános társadalombiztosítás 2. az állami-önkormányzati szociális ellátás 3. a privát biztosítók által kínált magánbiztosítások 4. az önszervez®d®, önsegít® intézmények - alapítványok, egyesületek, klubok 5. az önkéntes kölcsönös kiegészít® egészségbiztosító pénztár Társadalombiztosítás (OEP): törvényben meghatározott, minden állampolgárra kiterjed® zetési és ellátási kötelezettséggel rendelkez®, a résztvev®k szolidaritásán alapuló egészségbiztosítás

Üzleti betegségbiztosítás: a 2003. évi törvény alapján m¶velhet®, biztosító társaságoknál vagy biztosítási egyesületeknél megvásárolható betegségbiztosítási/egészségbiztosítási termékek. Önkéntes egészségpénztár: az 1993. évi törvény alapján m¶köd® önkéntes kölcsönös egészségpénztárak tevékenységét értjük Az egészségpénztár célja a mindenkori társadalombiztosítási szolgáltatások kiegészítése, helyettesítése, pótlása a pénztártagok és családtagjaik egészségének meg®rzése céljából. Az intézmény célja: • TB: egyéni kockázatok társadalmi kezelése, nonprot m¶ködés • Üzleti betegségbiztosítás: egyéni/csoportos kockázatok egyéni/csoportos kezelése, a veszélyközösség védelme, protszerzés • Egészségpénztár: a pénztártagok egészségi állapotának meg®rzése és helyreállítása, a mindenkori TB kiegészítése, non-prot m¶ködés A szolgáltatáshoz való

hozzájutás elve: 138 • TB: természetbeni szolgáltatás elve • Üzleti betegségbiztosítás: költségtérítés elve • Egészségpénztár: költségtérítés elve Az intézmény bevételei: • TB: járulékok állami garanciával, az esetleges hiány állami pótlása • Üzleti betegségbiztosítás: biztosítási díjak és azok hozamai • Egészségpénztár: pénztári tagdíjak és azok hozamai Az intézmény által nanszírozott egészségügyi szolgáltatások köre: • TB: alapvet®en teljes ellátás • Üzleti betegségbiztosítás: egyénre/csoportra testre szabott szolgáltatások • Egészségpénztár: a pénztár alapszabályában meghatározott szolgáltatások Az önkéntes egészségpénztár bevezetésének (1993) célja: felkészülve az els® pillér szolgáltatásainak elégtelenségére az egyéni és munkaadói öngondoskodás intézményének megteremtése. Szolgáltatásai: • Adómentesen: gyógyszertár

(gyógyszer, csecsem®ápolási termékek), optika, gyógyászati segédeszköz, orvosi ellátás (fogászat), gyógyfürd®, gyógyüdülés, tness, keres®képtelenség idejére táppénz • Adókötelesen: rekreációs üdülés, sporteszközök, életmódjavító kúrák, természetgyógyászat, gyógyhatású termékek, gyógyteák M¶ködési problémák: • az éves gyakorisággal változó jogszabályi környezet a szerepl®k számára kiszámíthatatlanná teszi a szektort • gyenge a magyar társadalom öngondoskodási hajlama • a pénztári szféra a törvényben lefektetett alapelvek szerinti m¶ködését nem ellen®rzik (függetlenség, nonprot) Élettartam eloszlások öreged® osztályai Az exponenciális eloszlás örökifjú tulajdonságából kiindulva lehet deniálni ún. öreged® eloszlásokat. 139 2.10 deníció IFR (növekv® meghibásodási tényez®) F ∈ IF R, ha minden s > 0-ra t 7− monoton fogyó 0 ≤ t < ωF esetén, ahol

ωF = sup {t : F (t) < 1}, azaz az eloszlás fels® végpontja. F (t+s) F (t) Mivel F (t+s) F (t) = P (T ≥ t + s|T ≥ t), a feltétel azt jelenti, hogy minél id®sebb az egyed, annál rosszabbak az életkilátásai. 2.11 tétel 1. F ∈ IF R pontosan akkor, ha R(t) konvex 2. Ha van s¶r¶ségfüggvény, akkor F ∈ IF R pontosan akkor, ha r(t) monoton növ® 3. Ha F ∈ IF R, akkor F (t) abszolút folytonos t < ωF -re Analóg módon szokták deniálni a atalodó eloszlások DFR osztályát is: ezek azok az eloszlások, amelyekre t 7− P (T ≥ t + s|T ≥ t) monoton növ® minden pozitív s-re, azaz R konkáv. Az exponenciális eloszlás természetesen mindkét osztályba beletartozik 2.12 deníció IFRA F ∈ IF RA, ha F (t)1/t monoton fogyó függvénye t-nek 2.13 tétel A következ® állítások ekvivalensek: 1. F ∈ IF RA 2. R(t)/t monoton növ® függvénye t-nek 3. Minden 0 < α < 1 és t > 0 esetén F (αt) ≥ F (t)α 4. Legyen h : R

− R nemnegatív, monoton növ®, jobbról folytonos, korlátos függvény, amelyre lim h(x) = 0. Ekkor tetsz®leges 0 < α < 1 számra E α (h(T )) ≤ E(h(T /α)α ) x−−∞ 5. Minden pozitív λ-ra F (t) − e−λt legfeljebb egyszer vált el®jelet, mégpedig pozitívból negatívba 2.14 következmény IF R ⊂ IF RA 2.15 deníció NBU (jobb az új a használtnál) F ∈ N BU , ha minden t, s > 0 esetén F (t + s) ≤ F (t)F (s). A feltétel a P (T ≥ t + s|T ≥ t) ≤ P (T ≥ s) alakba is átírható, vagyis az új egyed életkilátásai jobbak, mint egy olyané, amelyik már élt valamennyit. 2.16 tétel • F ∈ N BU pontosan akkor, ha R szuperadditív, azaz R(t + s) ≥ R(t) + R(s). • IF RA ⊂ N BU , és például a geometriai eloszlás olyan NBU eloszlás, amely nem IFRA. Megmaradási tételek: 140 1. Az IFR, IFRA, NBU osztályok mindegyike zárt a gyenge konvergenciára 2.17 tétel nézve. 2. Az IFR osztály zárt a konvolúcióra, azaz IFR

eloszlások konvolúciója is IFR 3. Az IFRA osztály zárt a konvolúcióra, azaz független IFRA valószín¶ségi változók összege is IFRA. 4. Az NBU osztály zárt a konvolúcióra, azaz NBU eloszlások konvolúciója is NBU Az eloszlások becslései: Az IFRA eloszlás ML-becslése Legyenek X1 , . Xn egy F ∈ IF RA eloszlásból szármzó (cenzorálatlan) meggyelések. A nemparaméteres ML-becslést alkalmazva szeretnénk maximum likelihood becslést adni. Mivel a pozitív számok tetsz®leges véges részhalmazához van olyan IFRA eloszlás, amely pozitív súlyt helyez a halmaz minden pontjára, ezért elgend® az ilyen eloszlásokkal foglalkozni és a minta valószín¶ségét maximalizálni. Jelölje a nagyság szerint növekv® sorba rendezett meggyelések 0 < a1 < · · · < al , különböz® értékeit és legyen dj az aj meggyelés multiplicitása. Ekkor a maximalizálandó likelihood l Y [(aj )]dj j=1 Alkalmazzuk a Kaplan-Meyer-becslés

levezetésénél alkalmazott gondolatmenetet. Rögzítsük le az F (aj + 0) jobb oldali határértékeket, akkor az F (aj ) hazárdfüggvény fogalmát használva ez azt jelenti, hogy az lizálni kell az lineáris az R(aj ) aj -k R(aj +0) értékeket lerögzítve minima- mennyiségeket. Világos, hogy ez akkor következik be, ha a hazárdfüggvény között. Tehát R(t) = ahol mennyiségeket kell maximalizálni. A     0, λj t,    +∞, 0 =: λ0 < λ1 < · · · < λl−1 . ha t ≤ a1 ha aj < t ≤ aj+1 , j = 0, 1, . , l − 1 ha al < t Jelölje µj = λj − λj−1 , akkor a maximalizálandó likelihood- ban   ∆F (aj ) = e−λj−1 aj − e−λj aj = e−λj−1 aj 1 − e−µj aj ∆F (al ) = e−λl−1 al Ezekkel az IFRA eloszlás túlélésfüggvényének ML-becslése: 141 Fˆ (t) = e−tλ̂(t) , ahol   X 1 Xi∗ log 1 + Pn λ̂(t) = ∗ Xi∗ k=i+1 Xk X ∗ <t i IFR eloszlás ML-becslése

Legyen X1 , X2 , . , Xn valamilyen IFR eloszlásból vett minta Jelölje l a meggyelések közül a különböz®k számát. Itt csak a legnagyobb mintaelem lehet többszörös, tehát · · · = Xn∗ . X1∗ < · · · < Xl∗ = A maximalizálandó likelihood a következ®: l−1 Y f (Xi∗ )F (Xl∗ )n−l−1 i=1 Legyen pontokat, Zi = nX1∗ + (n − 0 ≤ i ≤ l − 1. Ekkor a A maximumot szolgáltató és a Pl−1 1)(X2∗ pontot, csúcsai a P i Pj ri -knek Pi ∗ − X1∗ ) + · · · + (n − i)(Xi+1 − Xi∗ ). szakasz meredeksége éppen r̂ = Tekintsük a j−i , ahol Zj −Zi Pi (Zi , i) ri = r(Xi∗ ). tehát egy olyan töröttvonal felel meg, amely összeköti a P0 pontok közül kerülnek ki, és konvex. Következésképpen az optimális töröttvonal a lehet® legalcsonyabban halad, nem más, mint a P0 , P1 , . , Pl−1 pontok legnagyobb konvex minoránsa Ezt úgy képzeljük el, hogy a P0 , P1 , , Pl−1 pontokba kiálló

szögeket verünk, P0 -hoz és Pl−1 -hez egy gumiszál két végét rögzítjük, majd a gumit negatív irányban (lefelé) jól kihúzzuk és elengedjük. A gumiszál felfekszik a szögekre és éppen a legnagyobb konvex minoráns alakját veszi fel. Az IFR eloszlás becslése konzisztens, az IFRA eloszlás becslése általában nem konzisztens. Devizás tételek értékelése Az alkalmazott árfolyamnál a f®szabály, hogy vagy az MNB, vagy a választott hitelintézet teljesítéskori átlagárfolyama. Speciális szabály, hogy az alkalmazott árfolyam vagy a választott hitelintézet deviza eladási, vagy deviza vételi árfolyama Érdekes az eladásit használni, mert az nagyobb. Olyanra jó, hogy pl valami nagyobb bekerülési értékkel szerepel a vállalkozásban Olyankor, ha devizáért vásárolok, de nincs olyan deviza a cégben Vételit akkor használnak, ha csak kifelé megy a deviza, azért nem veszünk soha semmit. Kivételek: • Barter ügylet: amikor nem

pénzzel zetünk, mondjuk szolgáltatást cserélünk szolgáltatásra. Ilyenkor az els® ügylet árfolyamára állunk rá, hogy ne legyen árfolyamkülönbözet • Ft számláról történ® jóváírás: a Ft számlára érdezik pénz devizában, tehát a bank azt vételi árfolyamon veszi meg t®lem, és adja vissza Ft-ban. Ezért ilyenkor MNB helyett vételi árfolyammal számolunk. • Költség elszámolás: pl. külföldi szállodai számla Amikor a költséget elszámolom, akkor a meglév® deviza árfolyamon számolom el. Árfolyamkülönbözet kezelése: Év közben az árfolyamnyereség /árfolyamveszteség a Pénzügyi m¶veletek egyéb bevétele/ráfordítása soron könyvel®dik. Kivéve, ha a bekerülési érték n® vagy 142 csökken miatta. Csak akkor lehet az árfolyamkülönbözet része a bekerülési értéknek, ha a kiegyenlítés (kötelezettség teljesítése) az üzembe helyezés el®tt történik. Ha vesztettünk, akkor n® a bekerülési érték,

ha nyertünk, akkor csökken. Ha december 31-éig sem történik meg a kiegyenlítés, akkor az akkori árfolyamon át kell árazni a kötelezettséget, és ha eddig még nem helyeztük üzembe a dolgot, akkor része lehet a különbözet a bekerülési értéknek. Év végén összevont árfolyamkülönbözet kerül meghatározásra, és csak egyszer egy helyre könyvel®dik, vagy veszteség, vagy nyereség lesz. 2.6 6 tétel A felosztó-kirovó rendszer és a t®kefedezeti rendszer kockázatainak összehasonlítása. Klasszikus díjkalkulációs elvek Díjkalkulációs elvek tulajdonságai Biztosítóintézetek kockázatai (IAA és szolvencia (S2) klasszikáció; ALM és kezelése) A felosztó-kirovó rendszer és a t®kefedezeti rendszer kockázatainak összehasonlítása A felosztó-kirovó rendszer: • a folyó bevételek folyó kiadásokat fedeznek • általában állami nyugdíjterveknél jellemz® • érzékeny a bezet®k számára és átlagos bezetésére, a

nyugdíjasok számára és az átlagnyugdíjra, valamint a demográára és a foglalkoztatottságra • aminek igaznak kellene lennie: keres® tevékenységet végz®k száma x átlagjövedelem járuléka = nyugdíjasok száma x átlagnyugdíj • függ®ségi rátával lehet azt mérni, hogy hogyan viszonyul az aktívak száma a nem aktívakhoz. Tehát a függ®ségi ráta a felosztó-kirovó rendszer érzékenységét méri • Hosszú távon van az implicit nyugdíjadósság: mi lenne, ha senki sem zetne be, akkor mennyit kéne kizetnünk most rögtön. • jelent®s a halandósági kockázat, meggyelhet® a halandóság javulási trendje (stabil, hosszútávú, korfügg® és évfügg®, társadalmi csoportonként eltér®, kohorszokhoz köt®dik) A t®kefedezeti rendszer: • a bezetések tartalékok formájában jelennek meg, amelyeket a t®kepiacon befektetnek • a hatékonyság alapja a t®kepiaci eredmény, azaz érzékeny a t®kepiaci rendszerre 143

• tipikusan nem állami terveknél alkalmazzák • mér®számok: helyettesítési ráta (nyugdíjba vonuló jövedelem kiesése keres® id®szakhoz), els® nettó nyugdíj / utolsó nettó kereset • ha 100% államkötvénybe van befektetve, akkor explicit államadósságról beszélünk, a görgetett államadósság garanciája a nemzetgazdaság jövedelemtermel® képessége A kockázat oka: Egy jöv®beni szolgáltatásról van szó, amire nem lehet 100% garancia. Jelent®s kockázatok tudnak itt lenni (aktív/passzív életszakaszok jelenléte, aránya) A kockázatkezelés igénye: • Vállalati nyugdíjterveknél: új kockázatkezelési megközelítések, kedvez®tlen gazdasági fejlemények, új számviteli és tartalékolási követelmények • Állami nyugdíjterveknél: meghosszabbodó élettartamok, csökken® születésszám, pénzügyi fenntarthatóság A nyugdíjrendszer által fedezett kockázatok: korhatár, rokkantság, hátramaradottak,

(munkanélküliség). Díjkalkulációs elvek Csak kockázati díjakról van itt szó. π díjkalkulációs elv, ha a nemnegatív félegyenesre kon- centrált eloszlások egy részhalmazán értelmezett függvény, nemnegatív és felheti a Jelölje π(X) az X -hez +∞-t is. tartozó díjat. Várható érték elv : 2.18 deníció π λ paraméter¶ várható érték elv, ha minden X ≥ 0 valószín¶ségi változóra π(X) = (1 + λ)E(X). Ha E(X) = ∞, akkor π(X) = ∞ 2.19 deníció A π díjelv folytonos, hogyha Xn − X L1 -ben (E(|Xn − X|) − 0), akkor π(Xn ) − π(X). 2.20 tétel A π összes kockázaton értelmezett díjelv pontosan akkor várható érték elv, ha teljesülnek rá a következ®k: • folytonos • π(c) = (1 + λ)c minden c ≥ 0 konstansra • π(tQ + (1 − t)S) = tπ(Q) + (1 − t)π(S) minden 0 ≤ t ≤ 1 és Q, S eloszlások esetén Hátránya, hogy nem bünteti a kockázatot ez az elv, azaz ugyanaz a díj jön ki pl. arra, hogy

1/2 eséllyel 2000Ft, egyébként 0, és 1/1000 eséllyel 1 milliárd Ft, egyébként 0. Maximális veszteség elv : 144 2.21 deníció π maximális veszteség elv, ha π(ξ) = pE(ξ) + (1 − p) sup {x : P (ξ > x) > 0} és 0 ≤ p ≤ 1 rögzített paraméter. Valamilyen súllyal bünteti a legnagyobb kárt. Lehet a díj akár +∞ is, ebben az esetben a biztosító nem akarja bevállalni ezt a fajta kockázatot. Kvantilis elv : 2.22 deníció A π (1−ε, p) paraméter¶ kvantilis elv, ha π(ξ) = pE(ξ)+(1−p) inf {x : P (ξ < x) ≥ 1 − ε} A nagy károkat (1%-os esély¶ károkat) bünteti. Ez aránylag jól becsülhet® szórásnégyzettel és várható értékkel. A nagy káringadozásokat büntet® elvek: • A πβ paraméter¶ szórásnégyzet elv, ha • A πα paraméter¶ szórás elv, ha • Féloldali szórásnégyzet elv: π(X) = E(X) + βD2 (X). π(X) = E(X) + αD(X). 2 (X), π(X) = E(X) + D+ ahol 2 (X) = E((|X − E(X)|+

)2 ). D+ Ez azokat bünteti, amelyeknek a kizetése nagyobb, mint a várható kizetés. Átlagos érték elv : Legyen f : [0, ∞) − R folytonos és szigorúan monoton. 2.23 deníció π f -hez tartozó átlagos érték elv, ha E(f (ξ)) < ∞ esetén π(ξ) = f −1 (E(f (ξ))) Ha f lineáris, akkor a nettó (λ = 0) várható érték elvet kapjuk vissza, de sz¶kebb lesz az értlemezési tartománya. Jelölése: π(ξ) = π(ξ, f ) Exponenciális elv : 2.24 deníció π exponenciális elv, ha π(ξ) = 1/α log E(eαξ ) Tételek: 2.25 deníció Azt mondjuk, hogy ξ <sz η sztochasztikusan, ha E(w(ξ)) ≤ E(w(η)) minden monoton növ® w-re. 2.26 deníció A π díjelv eltolás invariáns, ha π(ξ + c) = π(ξ) + c minden c ≥ 0 konstansra 2.27 tétel • π(ξ, f ) = π(ξ, g) minden ξ nemnegatív korlátos valószín¶ségi változóra pon- tosan akkor, ha g(x) = a + bf (x), ahol b 6= 0. • f, g folytonosak, szigorúan monoton növ®ek és π(ξ, f ) ≤

π(ξ, g) minden korlátos ξ -re pontosan akkor, ha h = g ◦ f −1 egy konvex függvény. • A korlátos kockázatokon értelmezett díjelv pontosan akkor átlagos érték elv növ® függvény- hez, ha teljesülnek a következ®k: 145 1. Ha ξ <sz η és Fξ 6= Fη , akkor π(ξ) < π(η) 2. π(c) = c, ahol c egy konstans 3. Ha Q1 , Q2 , Q3 korlátos kockázatokhoz tartozó eloszlások,a π(Q1 ) = π(Q2 ), akkor minden p ∈ [0, 1] belire π(pQ1 + (1 − p)Q3 ) = π(pQ2 + (1 − p)Q3 ). • Az f függvényhez tartozó átlagos érték elv eltolás invariáns pontosan akkor, ha f lineáris vagy exponenciális. 2.28 deníció Zéró hasznosság elv: Legyen u : R − R hasznosságfüggvény, ha monoton növ®, folytonosan dierenciálható, u0 monoton csökken® és u0 (0) = 1, valamint u(0) = 0. Az E(u(p − ξ)) = 0 egyenletnek p gyöke. Ez lesz a ξ záró hasznosság elv szerinti díja (π(ξ) = p) A biztosítónak van az u hasznossági függvénye. A kockázataira

ξ -t zet ki és p-t szed be Legalább várhatóan legyen 0 a hasznosság. Az u(x) = x függvénnyel a nettó várható érték elvet kapjuk vissza. 2.29 deníció Svájci díjkalkulációs elv: Legyen f folytonos, szigorúan monoton függvény és z ∈ [0, 1] rögzített konstans. Az E(f (ξ − zp)) = f ((1 − z)p) egyenletnek p gyöke a ξ svájci díjkalkulációs elv szerinti díja. z = 0-ra az átlagos érték elvet kapjuk vissza 2.30 deníció Veszteség függvény elv: Legyen L : R+0 × R+0 − R veszteségfüggvény és keressük p 7− E(L(ξ, p)) minimumhelyét. Ez a ξ veszteség függvény elv szerinti díja Jele: π(ξ, L) Tulajdonságok: • π(ξ) ≥ E(ξ) az értelmezési tartományon. Ez elég természetes, hogy legalább a várható kizetést érjük el. A várható érték elv, szórás elv ezt teljesíti, a maximális veszteség elv és a kvantilis elv nem biztos. Átlagos érték elv csak akkor teljesíti, ha • π(ξ) ≤ inf {x : P (ξ > x) >

0}, f konvex függvény. a lehet® legnagyobb kárnál ne legyen nagyobb a díj. Ezt a várható érték elv nem teljesíti, de az átlagos érték elv mindig. • Ha • Homogenitás: • Eltolás invariancia: ξ <sz η , akkor π(ξ) ≤ π(η). π(cξ) = cπ(ξ). π(ξ + c) = π(ξ) + c. Ez csak a nettó várható érték elvre teljesül, a többire nem. A szórás és szórásnégyzet elvekre teljesül • Additivitás: Ha • Szubadditivitás: ξ, η függetlenek, akkor π(ξ + η) = π(ξ) + π(η). π(ξ + η) ≤ π(ξ) + π(η). 146 • π iterálható, ha minden ξ, η -ra π(ξ) = π(π(Qξ|η )). Ez egy technikai tartalma a díjelvnek. Az átlagos érték elv iterálható. Biztosítóintézetek kockázatai A kockázat gazdasági értelemben vett bizonytalanság a jöv®t illet®en, veszteség vagy kár lehet®sége. Véletlen események által befolyásolt, a kapcsolódó események a résztvev®k által el®re nem láthatók,

akaratuktól függetlenül következnek be, illetve általában érvényesül a károsító jelleg, de nem mindig (pl. életben lét biztosítása) A gazdasági értelemben vett kockázat egy pénzügyi hatású valószín¶ségi változó. Kockázati tényez®k: • Kockázatok a kötelezettségek oldalán (underwriting risks) 1. A károk ingadozásai (a kárfolyamat), az opciók kihasználása a biztosító ellenében, a garanciák beváltása 2. Bónuszok 3. Költségek, jutalékok, megsz¶nések, visszaírás 4. A viszontbiztosítás hatása • Kockázatok az eszközök oldalán: 1. Piaci kockázat 2. Hitelkockázat 3. Likviditási kockázat 4. Diverzikációs kockázat • Eszköz-forrás illesztési (ALM) kockázat • Egyéb kockázatok: 1. M¶ködési kockázat: megfelel® politikák, bels® rendszerek, folyamatok és eljárások hibája, személyek miatti hibák, zikai károk (üzemszünet, rendszerleállás) 2. Modell kockázat 3. Stratégiai-, piaci-,

reputációs- és versenykockázat 4. Jogi, politikai kockázat A kockázatok IAA szerinti klasszikációja: (nemzetközi aktuárius szövetség) 1. Biztosítási (underwriting) kockázat 147 2. Hitelkockázat 3. Piaci kockázat 4. M¶ködési kockázat 5. Likviditási kockázat A kockázatok S2 szerinti klasszikációja: 1. Biztosítási (underwriting) kockázat: élet, nem-élet, egészség (élet-szer¶, nem-élet-szer¶) 2. Hitelkockázat 3. Piaci kockázat: kamatláb, részvény, ingatlan, kamatrés, árfolyam, koncentráció, illikviditás, ciklikusság 4. Immateriális javak 5. M¶ködési kockázat 6. Likviditási és ALM kockázat 7. Stratégiai és reputációs kockázat ALM és kezelése Az eszközök és kötelezettségek külön-külön történ® tervezése után a XX. század közepénvet®dött fel annak az igénye, hogy a két oldalt összefüggéseiben vizsgálják Els®dlegesen tehát az eszközök és források illesztése valósult meg, de mára az angol

rövidítés két fogalmatis takar. Asset Liability Matching (magyarul: eszköz-forrás illesztés) Asset-Liability Management (magyarul: eszköz-forrás menedzselés A biztosítókban hozott eszközallokációs döntések során a kötelezettségek kielégítése épp olyan fontos, mint maguknak az eszközöknek a kiválasztása. Az eszköz-forrás menedzselés (ALM) egyik f® alkalmazási területe a biztosítók gyakorlatában felmerül® kockázatok integrált kezelése. A biztosítók tevékenységében számos kockázat fordul el®, amelyek az életbiztosítással, illetve a nem-életbiztosítással foglalkozó cégek esetében jelent®sen különbözhetnek. Ezek az adatok az életbiztosítók esetében felhívják a gyelmet a kockázatkezelésben az ALM-kockázat fontosságára. Az ALM az eszközök és kötelezettségek eltér® értékalakulásából adódó kockázatok kezelésével is foglalkozik; az életbiztosítók esetében ennek azért is van jelent®sége, mivel az

eszközök és a források között számottev® különbségek vannak. Az életbiztosítók esetében az eszközök között els®sorban a befektetések, a források között pedig a biztosítási szerz®désekkel összefügg® kötelezettségek aránya jelent®s. Az életbiztosítókat általában jellemz® mérlegszerkezet alapján az eszköz-forrás menedzselési folyamatban a következ® kockázatokkal mindenképpen érdemes foglalkozni: 148 • a források összetételéb®l adódóan az életbiztosítási kockázattal • az eszközök összetétele következtében a befektetések kockázatával eszközök és a források összehangolásával kapcsolatos kockázatokkal. Az ALM egyik célja lehet (a befektetési kockázat gyelembe vételével) az eszközök és források összehangolása során valamely optimális befektetési stratégia kereteinek felvázolása. A portfólió rendszeres kiigazítását és az ezzel járó költségeket például a pénzáramlások

illesztésének stratégiájával lehet kiküszöbölni. Ebben az esetben a biztosító optimális befektetési stratégiájának kialakításakor arra törekszik, hogy befektetésekb®l származó pénzáramlás minden id®szakban feleljen meg a kötelezettségekb®l adódó pénzáramlásoknak. Egyszer¶ ALM modell felépítésének lépései: Modellünk alapegyenlete szerint a ún. célértéke Ft , t-edik év végén az alapnak a kötelezettségeket kielégít®, amely 4 tényez® ismeretében számolható ki: • Ft−1 az el®z® év végén meghatározott célalap nagysága • Pt t-edik • i, a év elején befolyt éves nettó díj a nettó díj számításához használt technikai kamatláb • Ct a t-edik év során bekövetkezett kárkizetés (feltételezés szerint félévkor) Ft = (Ft−1 + Pt )(1 + i) − Ct (1 + i)1/2 4 feltételezéssel kell élni a modell során: • Az eszközök hozam-alakulásának feltételezése • A befektetési

portfólió hozamának alakulása (Monte Carlo szimulációval) • A kötelezettségek várható pénzáramlása • A biztosító kockázatának alakulása (a várt kötelezettség és a célalap nagyságát évr®l évre összevetik, amíg a biztosítás tartama le nem telik) 2.7 7 tétel Az elért/ígért hozamok szerepe a t®késített rendszerek esetén (ügyfélkommunikáció, nyugdíjtervek elszámolt költségei, befektetések). Halandósági tábla készítése A halandóság becslése és tesztelése során alkalmazott statisztikai módszerek, 149 tesztek bemutatása. A biztosítási eredmény összetev®i, azok számítási módja, értékelése A befektetési teljesítmény mérésének célja a befektet® t®keallokációs döntéseinek támogatása, az adott vagyontömegen elért eredmény valós és összemérhet® módon történ® bemutatásával. Különböz® célokra különböz® típusú hozamráta szolgálhat Több cél felmerülhet, a

legjellemz®bbek: • a megtakarító vagyongyarapodásának bemutatása • a portfóliókezel® befektetési teljesítményének értékelése • versenyz® befektetési lehet®ségek közötti választás hozam alapján Alapelvek: • Világosság: a hozamráták kiszámítási módjának világosnak, egyértlem¶nek kell lennie, kerülend® a zavaros, túlbonyolított hozamszámítási mód. • Összemérhet®ség: a hozamrátáknak biztosítaniuk kell a különböz® befektetéskezel®k teljesítményének összemérhet®ségét. • Valódiság: a hozamnak a befektetéskezel® valós teljesítményét torzítatlanul kell bemutatnia. Nem engedhet® meg olyan számítási mód, amely a hozamot valamilyen technikai eljárással eltéríti a valós szintt®l. • Teljesség: a hozamnak tartalmaznia kell a befektetési teljesítmény szempontjából minden lényeges elemet, azaz teljesnek kell lennie. • A hozamnak lehet®vé kell tennie a referenciahozammal való

összemérhet®séget. • A hozamráta gazdaságosan kiszámítható legyen (lehet®leg könnyen és nem irreálisan nagy er®forrásigénnyel). • A rövid és hosszú távú hozamok közötti összefüggés megteremthet® legyen. T®kesúlyos hozamrátaszámítás: a t®kesúlyos teljesítménymérés az adott id®szak t®kemozgásainak hatását gyelembe veszi. A t®kesúlyos teljesítményméréssel az adott id®szak portfólióértéknövekményét korrigálják az adott id®szak cash-ow elemeivel, majd az így nyert hozamtömeget osztják a t®kével/cash-ow-val súlyozott átlagállománnyal. Ezt a teljesítménymérési módszert bels® megtérülési mutatónak (IRR) is nevezik. Id®súlyos hozamrátaszámítás: az id®súlyos teljesítménymérés kisz¶ri az adott id®szak t®kemozgásainak hatását. Két pénzmozgás között mért teljesítmények mértani lánca, ahol a két 150 pénzmozgás közötti teljesítmény a következ® pénzmozgás el®tti

eszközérték osztva el®z® pénzmozgás utáni eszközértékkel. A napi id®súlyos teljesítménymérés gyakorlatilag kétféle módon valósítható meg. Megoldható a cash-ow-val tisztított napi hozamok mértani állítása, de az is, hogy az ügyfél portfólióját befektetési alapszer¶en kezelik, azaz naponta kiszámolják egy unit árfolyamát, és ennek növekménye adja a portfólió hozamát. A bruttó és a nettó hozamráta között a vagyonarányos befektetési díjakat kell gyelembe venni (vagyonkezelési, portfóliókezelési, alapkezelési, letétkezel®i díj). Alkalmazandó hozamráta típus a cél függvényében: • A megtakarító vagyongyarapodásának bemutatása: szükséges gyelembe venni az egyéni cash-ow hatást, nettó teljesítmény a lényeges, Benchmarking nem szükséges. Nettó t®kesúlyos hozamráta a megfelel®. • A portfóliókezel® befektetési teljesítményének értékelése: az egyéni cash-ow hatást indokolt kisz¶rni,

fontos a referenciahozammal való összevethet®ség, bruttó hozamráta vethet® össze a referenciahozammal. Bruttó id®súlyos hozamráta a megfelel® • Versenyz® befektetési lehet®ségek közötti választás: az egyéni cash-ow hatást indokolt kisz¶rni, nettó teljesítmény az els®dleges. Nettó id®súlyos hozamráta a megfelel® Benchmarking: Célja, hogy az adott portfólión elért hozamot a piaci átlagos hozamszinthez hasonlítani lehessen. A piaci átlagos hozamszinten (referenciahozam vagy benchmark hozam) az adott portfólióösszetétellel bárki által elérhet® hozamszintet kell érteni. A referenciahozam bruttó hozammal való összevetése lehetséges. A referenciahozam számítási módja azonos legyen a hozam számítási módjával. Referenciahozam számítása: referenciaindexként az adott portfólió jellemz® összetételét tükröz® pénz és- t®kepiaci index, vagy annak kombinációja fogadható el. A kiválasztott index a lefedend®

portfóliórész összetételével összhangban legyen, azaz a referenciaindex hozama és a portfóliórész hozama között alapvet®en lineáris legyen a kapcsolat. Az ináció nem alkalmazható A referenciaindexxel szembeni kritériumok: • A befektetési portfólióval leképezhet® legyen. • A számítási módja, értéke elérhet® és nyilvános legyen. • Megfelel® reprezentatív er®vel bírjon. • Független legyen, azaz értékét az egyes piaci szerepl®k tudatosan befolyásolni ne tudják. A tényleges hozam és a referenciahozam eltérésének lehetséges okai: 151 • a megcélzott befektetési eszközarány alul-, illetve túlsúlyozása • értékpapírkiválasztási döntések • hátralév® átlagos futamid® beállítása • id®zítési döntések A hozam és a költségek kapcsolata: Valóban magasabb hozamot érnek el a drágább pénztárak? A költséget meghatározó tényez®k: elvárt megtérülés, versenytársak

költségei, m¶ködési költségek. A hozamot meghatározó tényez®k: stratégiai portfólióösszetétel, taktikai döntések, pénz- és t®kepiaci fejlemények. Tehát nem igaz, hogy a drágább pénztárak magasabb hozamot érnének el. Választható portfóliós rendszer: El®zményei: rövid távra optimalizált, kockázatkerül® portfóliók kerültek kialakításra, az elért hozamokat kritikák érték, a portfóliók függetlenek voltak a megtakarító befektetési id®tartamától, kockázatviselési hajlandóságától. Sztenderdizált modell, bevezetésre került 2009-ben a magánnyugdíjpénztáraknál (el®tte az önkéntes pénztáraknál már létezett). A rendszer indulásakor a tagok nyilatkozhattak, ennek hiányában életkor szerinti besorolás történt. Portfóliók: • Klasszikus (0-5 év) • Kiegyensúlyozott (5-15 év) • Növekedési (15 év -) Klasszikus portfólió: rövid távú, pénzpiaci portfólió. Els®dleges cél a megfelel®

likviditás Nem megengedett ingatlan, kockázati t®kealapjegy, származtatott alapok jegyei és nyitott származtatott pozíciók. A részvénybefektetés maximum 10% lehet, a fedezetlen devizakockázat is maximum 10% lehet. Kiegyensúlyozott portfólió: középtávú, vegyes portfólió. Cél, hogy a portfólió hozamel®nye 10 éven belül jelentkezzen. Ingatlanbefektetések maximum 10%, kockázati t®kealapjegy maximum 3%, és egy kockázati t®kealap jegyei maximum 2% Nem megengedett: származtatott alapok jegyei, nyitott származtatott pozíciók. A részvénybefektetés 10 és 40% között kell, hogy legyen. Növekedési portfólió: hosszú távú, dinamikus portfólió. Cél a magasabb hozam-kockázat prolú eszközök bevonása. Ingatlanbefektetések maximum 20%, kockázati t®kealapjegy maximum 5%, egy kockázati t®kealap jegyei maximum 2%, származtatott alapok jegyei és a nyitott 152 származtatott pozíciók árfolyamértéke maximum 5%. A részvénybefektetés

minimum 40% kell, hogy legyen. Tagi tájékoztatás: • Az éves egyéni számlaértesít®n megjelenik a fordulónapon érvényes portfólió. • Választható portfóliónkénti id®szaki hozamok a pénztári honlapon, PSZÁF honlapján • Választható portfóliónkénti elszámoló egység árfolyamok naponta a pénztári honlapon és a PSZÁF honlapján Választható portfóliós szabályzat, a befektetési politika az ügyfélszolgálaton, honlapon elérhet®. Halandósági tábla készítése: Lexis diagrammból: a két tengely az id® és az életkor, egy-egy 45-os egyenes egy-egy életet jelent. Különböz® cellákat jelölhetünk ki, amelyeken áthaladhatnak életvonalak, de valaki meg is halhat a vizsgált cellában, vagy emigrál, esetleg éppen betelepül. Ebb®l a halálozási ráta cellánként becsülhet®. A pontos életvonalakat ritkán ismerjük teljes hosszukban. Amit ismerünk: azon egyének száma, akik a kijelölt években élnek, és Például ha egy

cellában a t. évben 2 db x éves ember van, és a t + 1. évben 1 db x x évesek. éves ember, akkor a népesség becsült száma ebben a cellában a fenti két szám átlaga, ami 1,5 ember. Ha ebben a cellában 1 halott van, akkor a halálozás aránya Az egyénekre két koordinátánk van, x. Szokás t és x, 1/1, 5 = 0, 67. mindkett® változik, de u=t−x a belépési kor u nagyságát is az id®tengelyen jelölni. A függ®leges egyenes mentén látjuk a kilépést (t évben hány tag van), a vízszintes egyenes mentén számolható a belépés (x éves korú tag hány van). Ez a Lexis diagramm nem csak halálozási táblához használható, kilépési és belépési ok számos lehet. A ráta még nem valószín¶ség. A ráta jele meghaltak száma és L évesekre külön számoljuk. m= d , ahol L d a az évközepi létszám. Lx ≈ Végül kijön, hogy m, x lx + lx+1 1 1 = lx − dx = lx+1 + dx 2 2 2   dx 1 dx /lx
mx = = dx / lx − dx = Lx

2 lx − 21 dx /lx
mx = qx / 1 − q2x , amib®l qx = mx /1 + m2x . Egy másik módszer: Vannak többállapotú halandósági táblák is (hajadon, házas, özvegy, elvált, halott), és van a koréves halandósági tábla (él, halott). Ha van egy nyers halálozási valószín¶ségünk akkor a következ® módon számolhatunk: qxny qx lx Lx ex , 153 ahol (qxny ), lx+1 = lx (1 − qx ), Lx = (lx +lx+1 ) és 2 ex = P100 i=x lx Li . A nyers halálozási valószín¶ségb®l qx -et kiegyenlítési vagy simítási eljárásokkal kaphatjuk: Szakaszonként más-más interpolációt hajtunk végre: • 4 éves kor alatt nincs simítás • 4 és 14 év között 4-ed fokú polinomot illesztünki • 15 és 75 év között Karup-King interpolációt alkalmazunk • 75 év fölött Gompertz-Makeham eloszlást illesztünk Becsülni akarjuk annak valószín¶ségét, hogy feltéve, hogy valaki él az x-edik születésnapján, élni fog a következ®n is. Egy

kétéves periódus adatai alapján könny¶ lenne, de csak egy egyéves periódus áll rendelkezésre. Ekkor, ha az x-edik születésnap a periódusban van, a következ® már sajnos nem. Ezért egy trükkre lesz szükség ( a kilógó részt visszacsempésszük a periódus elejére). Várható élettartam számítása: Jelölések: • lx az x éves kort túlél®k száma • dx = lx − lx+1 • qx = dx /lx • lx qx az x éves korban elhalálozottak száma annak a valószín¶sége, hogy valaki x évesen meghal a várható halálesetek száma Számítási lépések: • dx kiszámítása • xdx • szorzatösszeg el®állítása Születéskor várható élettartamot kapunk, ha • x évesen várható élettartamot kapunk, ha P P xdx -et minden életkor esetén l0 -al osztjuk xdx -et minden életkor esetén lx -el osztjuk Tesztek a halandósági táblában: • Illeszkedésvizsgálat binomiális eloszlás feltételezésével. H0 : biztosítottak

tényleges halál- eseteinek száma = binomiális eloszlás alapján várt halálesetek száma A própastatisztikája χ2 eloszlást követ k−s−1 szabadságfokkal, ahol 154 k az életkorcsoportok száma, s pedig a becsült paraméterek száma. Itt a tényhalált hasonlítjuk össze sére szolgál, hogy halálozási meggyeléseink egy adott származó mintának tekinthet®k-e, azaz a halálesetek qx lx qx lx qx -el. Annak eldönté- halandósági rátájú sokaságból várható érték¶ és lx qx (1 − qx ) varianciájú binomiális eloszlást követnek-e. Ha teljesül, akkor a mintabeli halandóság nem tér el szignikánsan a halandósági táblától. • Illeszkedésvizsgálat normális eloszlás feltételezése mellett. H0 : az egyes életkorokban a sztenderdizált egyedi eltérések normális eloszlást követnek (az eltérések zérus körül szimmetrikusak-e). A próbastatisztika rés = (θx − lx qx )/lx qx (1 − qx ), ahol θx H0

mellett N (0, 1) eloszlást követ. Standard elté- a tényleges halálozási számot jelöli. Mivel az egyes életkorokban bekövetkez® halálesetek függetlenek, és a meggyelésszám elég nagy, a binomiális eloszlású halálozási adatok standardizált eltérései normális eloszlást követnek. Ezt a tulajdonságot felhasználva intervallumokba soroljuk az eltéréseket, és ellen®rizzük, hogy a kapott osztályba sorolás illeszkedik-e a normális eloszlás szerint várt besoroláshoz. • Abszolút eltérések tesztelése: A standard normális eloszlású vesz fel értéket a −2/3 és 2/3 2/3-nál eloszlást követ, N −E(N ) D(N ) n= ∼ N (0, 1), változó 0,5 valószín¶séggel között. Erre a tulajdonságra építve vizsgáljuk meg azt, hogy a vizsgált életkorok esetén hányszor fordult el® lút értékben X nagyobb eltérések száma a korcsoportok száma és N |2/3|-nál nagyobb eltérés. Az abszo- valószín¶ségi változó, amely

binomiális p = 1/2 paraméterekkel. A teszt statisztika és ha elfogadjuk, akkor a nulla körül koncentrálódnak a standardizált eltérések, és ez a halandósági tábla használhatóságát jelzi. • Fisher-féle el®jelpróba: Az el®z® pont nullhipotézisét elfogadtuk, azaz a meggyelt halálesetek a halandósági táblától tapasztalt eltéréseit független normális eloszlású valószín¶ségi változónak tekintettük. Ebb®l következik az a feltevés, hogy az eltérések el®jelei is egymástól függetlenek, és egyenl® valószín¶séggel pozitívak és negatívak. Ha a pozitív eltérések számát és • p = 1/2 S+ jelöli, akkor S+ binomiális eloszlást követ 2S+ −n √ paraméterekkel. A próbastatisztika n n= a korcsoportok száma ∼ N (0, 1). Sorozatpróba a véletlenszer¶ség vizsgálatára: A független meggyelések csoportosulását vizsgáló próba. A halandósági tábla használatát er®sen megkérd®jelezné ugyanis az, ha

a vizsgált életkortartomány egyik szakaszán jelent®s pozitív, másik szakaszán pedig negatív el®jeltorlódás lenne. A csoportok minimális száma 2, maximális száma pedig fel, hogy az n1 számú pozitív el®jel és az sorozatot alkot. Az R n2 számú negatív el®jel összesen n. R Tegyük számú valószín¶ségi változó hipergeometriai eloszlást követ, de az eloszlás alakja páros és páratlan R esetén eltér®. Csak nagy számú pozitív vagy negatív el®jel esetén lehet normális közelítést használni. Lee-Cartell modell 155 A halandósági táblák el®rejelzésér®l szól. értéke a t-edik évben, halandósági táblát. x = 0, 1, . , ω mx = qx 1−qx /2 = és qx -b®l legyártható az egész tábla. Jelölés: t = 1, 2, . , T , T qx,t a qx az hogy hány évben gyeltük meg a dx . Lx A modell a következ®: log mx,t = ax + bx + kt + εx,t ahol εx,t ∼ N (0, σ 2 ) ax , bx , kt -t zaj, és kell valahogyan

el®rejelezni. Maximum likelihood elven az optimum:  1. âx = T P  log mx,t t=1 2. b̂x -ek 3. k̂t -k vektora vektora MMT 1 és képezzük meg a következ® mátrixot: T [Mx,t ] = log mx,t − T1 T P log mx,t . t=1 legnagyobb sajátérték¶ sajátvektora egységnyire normálva. T k̂ = b̂ M . Halandósági tábla el®rejelzése: A modellben csak k függ az id®t®l, csak ezt kell el®rejelezni. Feltesszük, hogy véletlen bolyongást követnek, azaz maximum likelihood becslése és ebb®l kt = kt−1 + θ + ξt , ahol θ az eltolás és k -k ξt ∼ N (0, σ ). Ennek a θ̂ = (kT − k1 )/(T − 1). És ebb®l az el®rejelzés: k̂T +n = k̂T +n−1 + θ̂, log m̂x,T +n = ax + bx k̂T +n , amib®l qx már kiszámolható. A biztosítási eredmény összetev®i és azok számítási módja, értékelése Az eredményelemzés célja: • A biztosító protját befolyásoló tényez®k megértése • A díjkalkulációs feltevések és a

valóság összhangjának vizsgálata • Tartalékoló programok konzisztenciájának ellen®rzése • Audit, Embedded value Az életbiztosítási eredmény összetev®i: • Technikai eredmény • Költségeredmény • Befektetési eredmény • Saját t®ke hozama • Adó eltolásos 2 156 A technikai eredmény kiszámítása: • + bruttó díj • + bruttó meg nem szolgált díjak tartalékának változása • − a viszontbiztosítás díja • − a viszontbiztosító részesedése a meg nem szolgált díjak tartalékának változásából • − a nettó megszolgált díj költségfedezeti része • + technikai kamat • + visszaadott többlethozam • − biztosítástechnikai tartalékok változása (a költségtartalék kivételével) • − kárkizetés • + viszontbiztosítási megtérülés Amennyiben minden a díjkalkuláció szerint történik a technikai eredmény 0. A valóságban nem 0, mert van mortalitás,

morbiditás, visszavásárlás, viszontbiztosítás stb. A költségeredmény kiszámítása: • + költségfedezet • + költségtartalék változása • − nem szerzési költségek • − szerzési költségek, beleértve a jutalékot is • + elhatárolás • − az elhatárolt szerzési költségek amortizációja A költségeredmény összetev®i: tervezett prot, költségmegtakarítás/túllépés, kezdeti költségmegtakarítás/túllépés, törlési amortizáció. A befektetési eredmény kiszámítása: • + hozam • − technikai kamat • − visszaadott többlethozam 157 A nem-életbiztosítási eredmény összetev®i: • Tárgyévi eredmény • Lebonyolítási eredmény • Tartalékok befektetési hozama • Saját t®ke hozama • Adó A tárgyévi eredmény kiszámítása: • + nettó megszolgált díj • − tárgyévi károk: • + tárgyévi károkkal kapcsolatos viszontbiztosítási megtérülés • −

költségek (kivéve az el®z® évek káraival kapcsolatos kárrendezési költségeket) • + a vizsontbiztosító által zetett jutalék (költségtérítés) − tárgyévi károkra képzett tartalékok (tételes függ®, IBNR, járadék) A tárgyévi eredmény elemzése: • Kárhányad = ((tárgyévi károk − tárgyévi károkkal kapcsolatos viszontbiztosítási megté- rülés) + zárótartalék + tárgyévi károk kárrendezési költsége) / nettó megszolgált díj • Költséghányad • Kombinált ráta méri (1 − = nem kárrendezési költségek / nettó megszolgált díj = kárhányad + költséghányad, a legfontosabb mutató, a protabilitást kombinált ráta ne legyen negatív) A lebonyolítási eredmény kiszámítása: Minden évre külön számoljuk ki. Lebonyolítási eredmény vb megtérülés) − kárrendezési költség − = nyitó tartalék − (kárkizetés − záró tartalék. 2.8 8 tétel Az NDC (névleges, nem

pénzügyi egyéni számlás) rendszer. Klasszikus rizikófolyamat A cs®d valószín¶ségére vonatkozó egyenlet, aszimptotika véges Lundbergkitev® esetén Az EV (embedded value) koncepciója és annak további változatai (EEV, MCEV). Egyéni számlás öregségi nyugdíjrendszer (NDC) Az NDC gyakorlatilag egy folyó nanszírozású DC rendszer. Kétféle érdek van: 158 • Az egyén érdeke (hosszmetszeti egyensúly): a bezetett járulék legyen egyenl® a megkapott járadékkal (persze diszkontálva) • A fenntartó érdeke (keresztmetszeti egyensúly): a folyó járulékbevételek és nyugdíjkiadások egyenlege Az NDC kompromisszuma: az egyéneknek jutó szeletek legyenek egyenesen arányosak az egyéni számlaegyenleggel (hosszmetszeti érdek), de a torta mérete, vagyis az összes nyugdíjkizetés eközben igazodjon a demográgiai, munkaer®-piaci folyamatokhoz (keresztmetszeti érdek). A svéd nyugdíjrendszer pillérei: 1. Rezidensi jogon járó alapnyugdíj

(adóbevételekb®l nanszírozott a költségvetésb®l, az egyéni számlán lév® értéket eddig a szintig feltöltik) 2. Két részb®l áll: • Folyó nanszírozás (DC), kötelez® részvétel, munkanyugdíj • T®kefedezeti nanszírozású (DC), kötelez® részvétel 3. Munkáltatói nyugdíjtervek (t®kefedezeti DB vagy DC) és önkéntes nyugdíjcélú megtakarítások Az NDC rendszer gyakorlati kérdései: • Az egyéni számlavezetés: az NDC rendszerben a járadékszámítás alapja az egyéni számla egyenlege. Aktív járulékzet®k esetén: záró egyenleg zetések + = nyitó egyenleg év végi hozamjóváírás. Nyugdíjasok esetén: záró egyenleg tárgyévi kizetések = + tárgyévi be- nyitó egyenleg − + év végi hozamjóváírás. Az induló nyugdíj kiszámítása: számlaegyen- leg / járadéktag, a járadéktagot pedig kumulált túlélési valószín¶ségek felhasználásával számítják (nincs benne nemenkénti

megkülönböztetés). A járadéktagban használt magasabb kamat megemeli az induló nyugdíj szintjét, ami a 65 éves korban várható élettartamnál rövidebb ideig él®knek kedvez® Az aktuáriusi ekvivalencia következtében a kezdeti emelést alacsonyabb indexálással kés®bb visszaveszi a rendszer. • Névleges kamatláb: Aktívaknál a nyugdíjt®ke valorizálására, nyugdíjasoknál indexálásra használják. A járuléktömeg-index biztosítja a keresztmetszeti egyensúlyhoz való konvergenciát állandósult állapotban Ez elméletileg tökételes lenne, de sehol a világon nem alkalmazzák, mert nagy munkanélküliség esetén nagyon visszaesne a nyugdíj. A svéd gyakorlat, hogy a névleges kamatláb = f®szabály szerint a bruttó keresetek hároméves átlagos változásával. A svéd eljárással a nyugdíjrendszer kiigazításának terhe megoszlik a nyugdíjasok és az aktívak között A teherelosztás szabadon kalibrálható, a lényeg a kiigazítási

igény kimutatása és szükség esetén a névleges kamat/indexálás eltérítése a f®szabálytól. 159 • Tartalékalappal kapcsolatos kérdések: hogyan adjuk vissza a tartalékot a jöv®beli nyugdíjasoknak?, meddig halmozzunk fel tartalékot?, cél-e a nyugdíjrendszer felt®késítése hosszú távon?, ha elegend® tartalék összegy¶lt, elkezdjük-e csökkenteni a járulékplafont? Az átmenet kérdései: hitelesség, egyetértés, hosszú távú stratégiai szemlélet, a rendszer kiépítése Svédországban hét, Lengyelországban hat évig tartott, nagyon sok feldolgozandó egyéni nyilvántartó lap, integrálás a szociális- és az adórendszerrel, alapnyugdíj (ha nincs mögötte kontroll, akkor segély). Az NDC rendszer mérlege - évenkénti értékelés: Eszközök Források Járulékvagyon Aktívakkal szembeni (pénztartalékok és jöv®beni nyugdíjkötelezettség járulékbevételek) (számlaegyenlegek összege) Nyugdíjasokkal szembeni

nyugdíjkötelezettség (értékelés) Folytonos, állandósult állapotú modellekben a járulékvagyon által fedezhet® maximális nyugdíjadósság a járulékbevételek és a rendszerer®sségi mutató szorzata. Rendszerer®sségi mutató: a nyugdíjasok járadékkal súlyozott életkora mínusz a járulékzet®k járulékbezetéssel súlyozott életkora. Ez az automatikus kiegyenlítési mechanizmus szükséges, mivel a svéd névleges kamatláb nem biztosítja a keresztmetszeti egyensúlyt, illetve a demográai hullámzások, valamint a gazdasági ingadozások miatt az állandósult állapot feltételei sérülnek. A kiegyenlít® mechanizmus célja a nyugdíjadósság/implicit államadósság periodikus értékelése, egy adósságplafon meghatározása. A plafon elérése esetén a névleges kamatláb csökkentésével el®re meghatározott szabályok szerint kiigazítja a rendszert, külön politikai döntés nélkül. A svéd kiegyenlít® mechanizmus egyik problémája,

hogy a nem érvényesül® állandósult állapot feltevésekb®l vezeti le az adósságplafont, így a rendszer zártsága fennmarad, de elméleti alapjai gyengék. A svédnél rosszabb magyar államháztartási és explicit adósságmutatók miatt a magyar NDC nyugdíjrendszer kiegyenlít® mechanizmusának er®teljesebben kellene törekednie a keresztmetszeti egyensúly helyreállítására. Tartalékalap: a pénzügyileg független nyugdíjalap, a pénzügyi transzparencia legfontosabb kelléke. Még ideális (állandósult állapot) feltételek mellett is szükséges, ha a nyugdíjak nem a járulékbevételeknek megfelel®en indexálódnak. A tartalékalap állammal szembeni tartozását vissza kell zetni, az id®vel esetleg képz®d® tartalékokat közép-hosszú távra be kell fektetni, ami óriási felel®sség. Az állandósult állapot feltételek: • az egymást követ® generációk létszáma állandó ütemben változik 160 • a halandósági viszonyok az

id®ben állandóak, a halandósági tábla nem változik • a foglalkoztatási viszonyok állandóak, a foglalkoztatottak aránya csak az életkortól függ • a munka termelékenysége, így a reálbér azonos ütemben változik minden járulékzet® esetén • az azonos korú aktív személyek jövedelme kizárólag az id®ben állandó életkor-kereseti prol, illetve a munkatermelékenység szerint alakul, egyébként a jövedelemeloszlás minden kohorszon belül egyenl® • az egyes generációk azonos ütemben vonulnak nyugdíjba • a járulékmérték és az állami szervek járulékbeszedési képessége állandó Az élettartam-hosszabbodás az állandósult állapot feltételek sérülése ellenére nem jelent túl nagy problémát, mivel a nyugdíjkötelezettségek éves értékelése biztosítja, hogy a halandósági viszonyok javulását fokozatosan gyelembe vegye a rendszer. Klasszikus rizikófolyamat Alapegyenlete: t®ke, Ut = u0 + Pt − St , ahol

Ut a t id®pillanatban lév® t®ke, U0 = u0 a kezdeti Pt Pt = ct a díjbevételi folyamat és St a kárkizetési folyamat. A klasszikus rizikófolyamatban: Nt P Zt , ahol Nt a kárszámfolyamat λt paraméter¶ Poisson-eloszlású, és Z1 , Z2 , . és St = j=1 a kárnagyságok, függetlenek és azonos eloszlásúak. A Poisson-folyamat: Nt , t ≥ 0, ha független növekmény¶ és valamint trajektóriái tiszta ugró függvények 1 ugrással és jelölje τ1 , τ2 , . azonos eloszlású N0 = 0. valamint látható, hogy A kárkizetési id®pontokat ζ1 , ζ2 , . , ahol ζ1 , ζ2 , P τn = nj=1 ζj . és a kárkizetések között eltelt id®t jelölje λ-exponenciálisok, Nt − Ns ∼ (λ(t − s))-Poisson, független 2.31 deníció Összetett Poisson folyamat: Legyenek Z1 , Z2 , független, azonos eloszlású valószín¶ségi változók, és Nt , t ≥ 0 legyen λ paraméter¶ Poisson folyamat, ami Z -kt®l is fügNt P getlen, ekkor St = Zj , t

≥ 0 folyamatot összetett Poisson folyamatnak nevezzük. j=1 2.32 tétel Legyen Nt , t ≥ 0 sztochasztikus folyamat a kárszámfolyamat Tegyük fel, hogy a trajektóriái tiszta ugró függvények 1 ugrással, továbbá N0 = 0, valamint a folyamat független növekmény¶ és sztochasztikusan folytonos, ekkor Nt Poisson folyamat λ(t) paraméterrel. (Inhomogén Poisson folyamat lesz) 2.33 tétel Legyen St , t ≥ 0 és S0 = 0 független növekmény¶ és trajektóriái tiszta ugró függvé- nyek, sztochasztikusan folytonos, valamint St = Nt P j=1 Zj és Z1 , Z2 , . független azonos eloszlású, Nt , t ≥ 0 Poisson folyamat. Valamint még tegyük fel, hogy St stacionárius növekmény¶ (azaz St −Ss és St+h −Ss+h azonos eloszlásúak minden h ≥ 0-ra), ekkor St összetett Poisson eloszlású lesz. 161 A cs®d valószín¶ségére vonatkozó egyenlet A cs®d valószín¶sége: P ({∃t ≥ 0 : Ut < 0} |U0 = u) = Ψ(u) és Φ(u) = 1 − Ψ(u). Ahhoz, hogy

ne menjünk azonnal tönkre fel kell tenni, hogy µ = E(Z1 ) véges és P (Z1 > 0) > 0, u ≥ 0, c > λµ. Cramer-féle gondolatmenet: Vegyünk feltételt arra nézve, hogy az els® kis (Z1 ), mi történik használja Φ intervallumon mert onnantól ugyanúgy megy tovább a folyamat. Ez azért nem lesz jó, mert deriváltját, ami egyáltalán nem biztos, hogy létezik. Feller-féle gondolatmenet: A feltételt Φ(u) = t RR Z1 és ζ1 szerint vegyük. P (∀t ≥ 0 : Ut ≥ 0|ζ1 = t, Z1 = z)dF(ζ1 ,Z1 ) (t, z) = R∞ R Φ(u + ct − z)dFZ1 (z) 0 [0,u+ct] λe−λt dt s = u + ct Ezt alakítgatjuk át, el®ször behelyettesítéssel, majd integrálunk szerint, aztán megcseréljük a két integrált, majd a a lehetséges értékekre, és beszorzunk λ/c-vel, min {s, r}-ig 0-tól r-ig u men® integrált szétbontjuk amivel visszakapjuk az eredeti függvényt más helyeken. Ebb®l az fog kijönni, hogy Rr Φ(r) = Φ(0) + λc Φ(r − z)(1 − FZ1

(z))dz 0 A Φ(0)-ra azt kapjuk meg, hogy egyenl® λµ -vel. Ezt visszahelyettesíthetjük, majd kic 1− számolva a cs®d valószín¶ségét kapjuk, hogy λ Ψ(u) = c Z∞ λ 1 − FZ1 (z)dz + c Zu u Ψ(u − z)(1 − FZ1 (z))dz 0 Lündberg kitev® A cs®d valószín¶ségére kapott egyenletet szeretnénk felújítási egyenletté tenni, aminek az R f (t − z)dQX1 (z), ahol QX1 egy valószín¶ségi mérték. Ez a [0,t] R∞ λ (1 − FZ1 (z))dz = λµ 6= 1. baj a mi egyenletünkkel, hogy c c 0 ru rz Legyen K(u) = e és h(z) = e , valamint nézzük meg a következ® átalakítást: u R K(u) 1 λ K(u)Ψ(u) = g(u) + K(u − z)Ψ(u − z) K(u−z) h(z) h(z) (1 − FZ1 (z))dz c 0 R∞ λ Rz Tehát olyan R-et keresünk, amelyre e (1 − FZ1 (z))dz = 1. Ezt az R-et nevezzük c 0 c Lündberg-kitev®nek. Ez a R megoldása a következ® egyenletnek h(r) − r = 0, ahol h(r) = λ E(erZ1 ) − 1. Ez a R nem mindig létezik, de ha létezik, akkor vele a cs®d

valószín¶ségére vonatalakja a következ® f (t) = g(t) + kozó egyenletet felújítási egyenletté tudtuk tenni. Alkalmazva a felújítási tételt, ami szerint lim f (u) = u−∞ ∞ R g(u)du 0 E(X) , a következ®t kapjuk. 2.34 tétel Legyen c > λµ és Φ(u) − 0, ha u − ∞ Ekkor lim eRu Φ(u) = megtudhatjuk, hogy milyen sebességgel tart 0-hoz Φ(u). 162 u−∞ c−λµ λh0 (R)−c . Ebb®l R becslése egy T id®pontok ismert NT , Z1 , Z2 , . , ZNT és ζ1 , ζ2 , . , ζNT értékekb®l. NT NT 1 X 1 X rZj e − 1 − rc ζj GT (r) := NT j=1 NT j=1 Belátható, hogy n¶séggel. Ez GT (r) GT (r) − G(r) = h(r) − r λc , és ekkor a GT (r) gyöke RT − R 1 valószí- függvény alakjából jön ki, hogy a 0-n kívül már csak egy helyen metszheti át a 0-t, és Bolzano-tételéb®l. 2.35 tétel Tegyük fel, hogy h(2R) < ∞, ekkor √ T (RT − R) − N (0, GG(2R) 0 (R)2 λ ). Embedded Value Az Embedded Value arra a

kérdésre próbál választ adni, hogy mit ér a biztosító: a biztosító létez® szerz®déseib®l származó prot jelenértéke és a szabad saját t®ke összege. Képlete EV0 = ∞ X DEk v k + F A0 k=1 ahol v DEk a 0. pillanatban létez® állomány k -adik id®szaki szétosztható nyeresége/vesztesége, a megtérülési kamatlábnak megfelel® diszkonttényez® és Az Embedded Value szokásos levezetése: a létez® állomány értéke, N AV0 F A0 a szabad t®ke a 0. pillanatban EV0 = V IF B0 + N AV0 − CoC0 , a biztosító saját t®kéje és CoC0 ahol V IF B0 a t®ke költsége. A deníció azonos. A cash ow becslésénél csak a létez® szerz®désállomány alapján számolunk, a legjobb tudásunk szerinti becsléseket használjuk, valamint a kiértékelési kamatláb a piac megtérülését®l függ. Feltevésekkel élünk a mortalitással, morbiditással, megsz¶nésekkel, díjmentesítéssel, indexálással, költségekkel,

költséginációval, inációval és a befektetési hozamokkal kapcsolatban A felel®sség a managementen és az aktuáriusokon van. Kiszámoljuk az id®szak végi Embedded Value-t is, és általában kiderül, hogy más lesz, mint amit vártunk. Mivel nem teljesültek a feltevéseink, ennek elemzését nevezzük varianciaanalízisnek Variancia analízis lépései: mortalitás/morbiditás, megsz¶nések/díjmentesítés, indexálás, költségek/költségináció, ináció/befektetési hozamok. Ezen kívül változás lehet még abból is, hogy van a nem modellezett állománynak is egy eredménye, illetve vannak új szerzések. Ezek alapján módosíthatjuk a jöv®re vonatkozó feltételezéseinket. EEV (European Embedded Value): A Tradicionális Embedded Value (TEV) számításában az opciók és garanciák értékét nem veszik gyelembe, a kiértékelési kamatláb szubjektív, az egyes biztosítók nem összehasonlítható módon számolnak. A valóságban nem konstans

hozamok vannak, pedig a TEV ezt feltételezi, és így a determinisztikus modellben a garancia sosem válik eektívvé. Viszont ha különböz® kamatgörbéket használunk (sztochasztikus), akkor alacsony kamat esetén a garancia érdekessé válik. 163 Tehát az EEV célja javítani az EV jelentések összehasonlíthatóságát, és gyelembe venni az opciók és garanciák értékét. A CFO fórum készítette, 12 elvet és számos útmutatást tartalmaz Az elvek kötelez®ek, az útmutatások nem. MCEV (Market Consistent Embedded Value): A számítása sztochasztikus módszerekkel történik ott, ahol van bármi opció vagy garancia. Az MCEV-ben gyelembe kell venni a menedzsment és a szerz®d®k viselkedését, reakcióját a piaci és más változásokra Kiértékelése kockázatmentes ráták alapján történik. Ezt is a CFO fórum készítette, 17 elvet határoztak meg. 1. A részvényesek szempontjából nézi meg, hogy mennyit ér a biztosító 2. Legalább a hosszú

távú életbiztosításokat kell elemezni, de ajánlott a hosszú távú egészségbiztosításokat is 3. Valamennyi kockázatot gyelembe kell venni, de az új üzlet értéke nem számítható bele, ebben hasonlít az EV-re. Így a vállalat értékében az nincs benne, hogy új ügyfeleket is képes szerezni. 4. out-of-money és in-the-money részek meghatározása In-the-money sávba esik a hozam, akkor azonnal van értéke a garanciának. 5. A t®két úgy számoljuk, mint S2-ben, 99,5%-os VaR-ral 6. Az új üzlet deniálása: mindaz ami a szerz®désb®l el®relátható esemény, az nem számít új üzletnek. 7. A gazdasági feltevéseknek meg kell felelniük a piacnak, a jelenlegi gazdasági körülmények között számoljunk. 8. Szabályozza a hozamvisszaadást is, nálunk ez nem ennyire szigorú 9. A kimutatások közlése kötelez®, ez vezet az összehasonlíthatóság és nyíltság felé 2.9 9 tétel A DB (szolgáltatással meghatározott) és DC (bezetéssel

meghatározott) nyugdíjrendszerek kockázatainak összehasonlítása. Szubexponenciális eloszlás A cs®d valószín¶ségének és nagyságának aszimptotikája szubexponenciális esetben. Biztosítási tartalékok fajtái és meghatározási módja DB és DC rendszerek DB rendszer: (szolgáltatással meghatározott) 164 • A befektetési és/vagy longevity kockázatot a szponzor viseli (szponzor: vállalat, szolgáltató) • Ha mindkett®t a szponzor viseli, akkor az ellátási szint el®re rögzített hozzájárulástól, hozamtól eltekintve • Az ellátási szint a kereset és az id® alapján számolódik, egy megadott képlettel • Lehet felosztó-kirovó vagy t®kefedezeti rendszerekben egyaránt, bár a t®kefedezetiben kezd visszaszorulni • Országoktól függ, hogy mit kezdenek az indexálással és a befektetési kockázat megosztásával a nyugdíjakban DC rendszer: (hozzájárulással meghatározott) • A befektetési és longevity kockázat a

tagon van • El®re rögzített a hozzájárulás • T®kefedezeti rendszereknél terjed Vannak hibrid tervek is, DB és DC keveréke, ezekben általában a DC-nél vagy egy minimum garancia. Fedezettség: minden id®pillanatban képes kizetni a kötelezettségeket egyszerre aktív és nyugdíjas tagokra. A DC mindig fedezett, a DB lehet alulfedezett, vagy túlfedezett DB DC Felosztó-kirovó Magyarországi TB pillér Egyéni számlás rendszer T®kefedezeti Munkáltatók által n. nyugdíjalapok Mo-i magánnyugdíjpénztári pillér Magyarországon ezek közül nincs egyéni számlás rendszer és munkáltatók által nanszírozott nyugdíjalapok sincsenek. A kötelezettségek: • DB: teljes kötelezettség a vállalati mérlegben, közzététel, a t®késítettség szintje 0 és 100% között van. • DC: nincs vállalati kötelezettség, csak a kizetett hozzájárulás, tagdíj erejéig, nincs garancia, a t®késítettség 100%. A DC tervek kockázata: •

A tag kockázata: halandósági változások, befektetések hozama, csalások a nyugdíjpénztárban 165 • Vállalat érdeke, hogy azonos hozzájárulási szint mellett minél kevesebb garancia legyen (DB fel®l a DC felé) • Az állam kockázata: várakozások alatti szolgáltatásból ered® állami kötelezettség • Megoldás: viszontbiztosított tervek: várható értékt®l eltér® biztosítási díj. A viszontbiztosított DC tervek kockázata: a vállalati kockázatból pénzintézeti szint¶ kockázat lesz, a szolgáltató kockázata lesz a longevity, hozam, reputáció, volumen, prot. A kockázat nem t¶nik el, csak átalakul. A 100% viszontbiztosítású DC terv a DB terv (ez elvileg nem lehetséges). A tagok érdeke a DB terv, mert ott nem náluk van a kockázat, és van garancia, a nanszírozók érdeke pedig a DC terv, mert így lekerül róluk a kockázat, és garancia sincsen. Szubexponenciális eloszlás Amikor a Lündberg kitev® nem létezik, akkor

vannak kiugró károk. Most azt elemezzük, amikor egyetlen nagy kár van. Legyenek ξ1 , ξ2 , . függetlenek, nemnegatívak és azonos eloszn P lásúak. Közülük egy nagyon-nagy, a többi kicsi, ekkor igaz, hogy ξj ∼ max ξj . Másképpen 1≤j≤n j=1 n P felírva: P ( ξj ≥ u) ∼ P ( max ξj ≥ u). Ezek u függvényeként aszimptotikusan megegyeznek, 1≤j≤n j=1 azaz a hányadosuk 1-hez tart, ha u − ∞. 2.36 deníció Szubexponenciális eloszlás: A ξ -k szubexponenciális eloszlásúak, ha n ha u − ∞ minden n-re. P( n P ξj ≥u) j=1 P (ξ1 ≥u) − A klasszikus rizikó folyamatnál a Feller-féle gondolatmenetb®l a következ® egyenletet kaptuk a fennmaradás valószín¶ségére: λµ λ Φ(u) = 1 − + c c Zu Φ(u − z) 1 − FZ1 (z) dz µ 0 Legyen most integrál, csak α= λµ , ekkor c −∞-t®l +∞-ig Φ(u) = 1 − α + α Ru Φ(u − z) 1−FZ1 (z) dz . Ez egy konvolúció szer¶ µ 0 kellene integrálni. Ehhez vezessük

be a következ® eloszlásfügg- vényt: F0 (z) =   0,  Evvel azt kapjuk, hogy 1 µ Rz 1 − FZ1 (t)dt, ha z<0 ha z≥0 0 Φ(u) = 1 − α + α +∞ R Φ(u − z)dF0 (z), −∞ Iterálva ezt eljutunk odáig, hogy Φ(u) = ∞ P (1 − α)αj F0∗j (u). j=0 166 azaz Φ = 1 − α + αΦ ∗ F0 . 2.37 tétel Tegyük fel, hogy F0 szubexponenciális eloszlású Ekkor Ψ(u) 1−F0 (u) − α 1−α . 2.38 tétel Minden r > 0-ra eru (1 − F0 (u)) − ∞ ha u − ∞ Tehát szubexponenciális esetben a farokvalószín¶ség lassabb, mint az exponenciális. A cs®d nagysága: Legyen F0 szubexponenciális, és Tu = inf {t ≥ 0 : Ut < 0}. Minket most UTu érdekel (a tönkremenés pillanatában a t®kénk értéke). Ez nincs minden pontban deniálva, csak ha Tu < ∞. Jelölés: Ψ(u, y) := P (−Utu < y, Tu < ∞) A feltételes valószín¶ség pedig: P (−UTu < y|Tu < ∞) = Ψ(u,y) . Ψ(u) Most nézzük magát a

feltételes eloszlást. Legyen Q(u) a −UTu feltételes eloszlása a {Tu < ∞} eseményre nézve. Q(u) ((−∞, y)) = P (−UTu < y|Tu < ∞) Legyen R(u) az F0 -ból értéknél nagyobb, azaz képzett feltételes eloszlás, azzal a feltétellel, hogy P (nagyobb, mint u + y|nagyobb, R(u) ((y, ∞)) = mint F0 valamilyen u). 1 − F0 (u + y) 1 − F0 (u) 2.39 tétel Tegyük fel, hogy F0 szubexponenciális eloszlású, ekkor d(Q(u) , R(u) ) − 0, ha u − ∞, ahol d(P, Q) = sup |P (A) − Q(A)| távolság függvény. A Tehát a farokvalószín¶ség polinomiális sebességgel tart 0-hoz, ilyen eloszlások például a Pareto, a lognormális és a Weibull. A Pareto eloszlásra alkalmazva ezt az állítást az fog kijönni, hogy P (−UTu > y|Tu < ∞) − 1, +∞-re ha u − ∞ minden korlátozódik, mivel az el®z® állítás minden y -ra y -ra. Ebb®l −UTu feltételes eloszlása a igaz volt. Minél nagyobb kezd®értékkel indulunk,

annál nagyobb lesz a cs®d értéke, de egyre kevesebb valószín¶séggel megyünk cs®dbe. Szubexponenciális eloszlásnál nem lehet el®re észrevenni, hogy tönkre fogunk menni. Ha Pareto a kárkizetés nagysága, akkor n® a t®ke értéke, ha feltesszük, hogy már tönkrementünk. Ha van R, akkor ugyanilyen feltétellel már csökkeni fog a pillanatnyi t®ke. Azaz Pareto esetben még utólag sem lehet okosnak lenni. Biztosítási tartalékok fajtái és meghatározásuk Azért tartalékolunk, mert a bevételi és a kizetési cash-ow id®ben eltér egymástól. A törvény szerint a biztosítástechnikai tartalékot a biztosítónak olyan mértékben kell képeznie, hogy az a viszontbiztosításba nem adott kockázatokból származó kötelezettsége folyamatos és tartós teljesítésére (az ésszer¶ség és a biztosítási tevékenység tapasztalatai alapján) el®reláthatóan fedezetet nyújtson. A biztosítási tartalékok fajtái a magyar szabályozásban: •

Meg nem szolgált díjak tartaléka 167 • • Matematikai tartalék:  Életbiztosítási díjtartalék  Betegségbiztosítási díjtartalék  Balesetbiztosítási járadéktartalék  Felel®sségbiztosítási járadéktartalék Függ®kár tartalék  Tételes függ®kár tartalék  IBRN tartalék • Eredményt®l függ® díj-visszatérítési tartalék • Eredményt®l független díj-visszatérítési tartalék • Káringadozási tartalék • Nagy károk tartaléka • Törlési tartalék • Befektetési egységekhez kötött (unit linked) életbiztosítások tartaléka • Egyéb biztosítástechnikai tartalékok Meg nem szolgált díjak tartaléka : A tárgyid®szak végéig befolyt díjakból a tárgyid®szakot követ® id®szakok kötelezettségeinek fedezetére szolgál. Általában feltesszük, hogy mind a kockázatok, mind a költségek id®ben egyenletesen merülnek fel, nyilvánvaló kivétel ez alól a kezdeti jutalék.

Ellenpéldák: agrárbiztosítások és építés-szerelési biztosítások Matematikai tartalékok : Prospektív tartalékolás: a jöv®beni kiadások és bevételek technikai kamattal számolt jelenértéke. Mi a kiadás: ha csak a kár, akkor nettó tartalékról beszélünk (a gyelembe veend® díj is nettó), ha a költségek is benne vannak, akkor bruttó tartalékról van szó (ekkor a díj is bruttó). Nettó esetben megoldandó a kezdeti költség kérdése, ezért zillmerezünk Tételes függ®kár-tartalék : A mérlegkészítésig már ismert, de még nem rendezett károk tartaléka. Tartalmazza a kárrendezési költségeket is Egyedileg káronként képezzük Az aktuáriusok feladata a kezd®érték megállapítása (amikor még csak annyit tudunk, hogy valahol baleset volt), az ellen®rzés (a lebonyolítási eredmény része), illetve az IBNER meghatározása (ez arra szolgál, hogy kezdetben mindig nagyon alábecsüljük a nagy károkat, az óvatosság

megállapítására szolgál). 168 IBNR : A mérlegkészítésig felmerült, de még nem ismert károk tartaléka. Tartalmazza a kárrendezési költségek tartalékát is. Statisztikai módszerekkel képezzük: a rendelet szerint az IBNR tartalék szükségletet az elmúlt évek tapasztalatai adataira építve olyan statisztikai módszerrel kell megállapítani, melynél a károk kifutási háromszögeinek adatait fel kell használni. Ilyen például a lánclétra módszer. Eredményt®l függ® díj-visszatérítési tartalék : Olyan eredmény, ami a szerz®d®knek jár a biztosító protjából, de még nem adtuk oda. A matematikai tartalék többlethozamának még ki nem osztott része. Eredményt®l független díj-visszatérítési tartalék : Els®sorban kármentességi bónuszok keze- lésére szolgál. A casco biztosításokban jellemz® Káringadozási tartalék : Cél, hogy a jó évek eredményét tegyük félre a rossz évekre. Az új IFRS szabályozások

nem ismerik el tartaléknak, mert nincs vele szemben konkrét kötelezettség. Amikor pozitív a biztosítástechnikai eredmény, akkor lehet megképezni, és amikor negatív, akkor fel kell használni. A tartalék maximuma mez®gazdasági elemi kárnál és hitelnél a díjel®írás 100%-a, egyébként a díjel®írás 40%-a. Nagy károk tartaléka : Ahol a lehetséges legnagyobb kár meghaladja a nagy károk határér- tékét, ami a rendelet szerint 50 millió Ft. Ezt sem ismerik el tartaléknak az új szabályozások 5 kockázati kategóriára vonatkozik: 1. Nagy értékek koncentrációja (atomer®m¶) 2. Különleges, új kockázatvállalás 3. Szakmai felel®sségbiztosítás 4. Károk halmozódás (földrengés) Törlési tartalék : Igazából számviteli jelleg¶. A számviteli szabályok szerint a meg nem zetett, de el®írt díjat is el kell számolni díjbevételként, tulajdonképpen ezt helyesbíti Legtöbbször aktuáriusnak nincs vele közvetlen dolga, de

létezését gyelembe kell venni. Unit-linked életbiztosítások tartaléka : Értéke egyenl® a mögötte eszközalapok piaci értékével. Ez kivétel a könyv szerinti értékelés számviteli szabálya alól. Egyéb biztosítástechnikai tartalékok : Várható veszteségek tartaléka, hitel és kezesi biztosí- tások külön tartaléka. 2.10 10 tétel A szükséges és rendelkezésra álló szavatoló t®ke különböz® rendszerekben. A kockázati t®ke egyszer¶ ill. bonyolultabb modelljei Felújítási folyamatok alkalma169 zása a kockázati folyamatokban. A cs®d valószín¶ségére vonatkozó egyenlet, létraindexek Aszimptotika Az aktuáriusi funkció Szükséges és rendelkezésre álló t®ke S1-ben és S2-ben: Szolvencia I : Alapkövetelmény, hogy a rendelkezésre álló t®ke nagyobb legyen, mint a t®keszükséglet. A t®keszükséglet csak meghatározott id®pontokban jól meghatározott. Az S1 t®keszükséglete az alábbi kett® közül a nagyobbik:

• A biztonsági t®ke • A minimális szavatoló t®ke szükséglet A biztonsági t®ke az alábbi kett® közül a nagyobbik: • A minimális biztonsági t®ke (3,5 millió EUR) • A minimális szavatoló t®ke szükséglet harmada A minimális szavatoló t®ke szükséget az alábbi két érték összege: • Élet-ági minimális szavatoló t®ke szükséglet • Nem-élet ági minimális szavatoló t®ke szükséglet Az élet ági minimális szavatoló t®ke szükséglet az alábbi három érték összege: • Az életbiztosítási kockázatok minimális szavatoló t®ke szükséglete = a matematikai tartalék eszközfedezete kockázatának minimális szavatoló t®ke szükséglete + a halálozás kockázatának minimális szavatoló t®ke szükséglete • Az életbiztosítási szerz®désekhez kapcsolódó kiegészít® nem-életbiztosítási kockázatok minimális szavatoló t®ke szükséglete • A befektetéshez kötött életbiztosításokhoz és a

kezelt nyugdíjalapokhoz kapcsolódó kockázatok minimális szavatoló t®ke szükséglete = A befektetések illetve a költségek kockázatának minimális szavatoló t®ke szükséglete (= minimális szavatoló t®ke szükséglet azon szerz®dések esetében, ha a biztosító befektetési kockázatot vállalt + minimális szavatoló t®ke szükséget azon szerz®dések esetében, ahol a biztosító nem vállalt befektetési kockázatot, de az igazgatási költségek fedezetét szolgáló terhelést több mint 5 évre rögzítették + minimális szavatoló t®ke szükséglet azon szerz®dések esetében, ha a biztosító nem vállalt befektetési kockázatot, és az igazgatási költségek fedezetét szolgáló terhelést nem rögzítették több, mint 5 évre) + a halálozás kockázatának minimális szavatoló t®ke szükséglete 170 A nem-élet ági minimális szavatoló t®ke szükséglet az alábbi két érték nagyobbika: • Ha a tárgyévi nettó függ®kár tartalék

csökkent az el®z® évihez képest, akkor az el®z® évi nem-élet ági minimális szavatoló t®ke szükséglet olyan arányban csökkentve, amilyen arányban a nettó függ®kár tartalékok csökkentek, különben az el®z® évi nem-élet ági minimális szavatoló t®ke szükséget. • A díj- és kárindex alapú nem-élet ági minimális szavatoló t®ke szükséglet = díjindex alapú + kárindex alapú. Rendelkezésre álló szavatoló t®ke: A saját t®ke azon részének eszközfedezete, amely alkalmas biztonsági puernek, vagyis azon eszközökr®l van szó, amelyek mentesek bármely, a biztosítót terhel® el®relátható kötelezettségekt®l. Jelenleg a rendelkezésre álló t®ke eszközfedezetére nincsenek befektetési szabályok (se megengedett eszközök, se mértékek) Kiszámítása: • + A saját t®ke elemei: jegyzett t®ke, tartalékok, eredmény • + Alárendelt kölcsönt®ke • − Immateriális javak • − Visszavásárolt saját

részvények • − Diszkontálatlan és diszkontált függ®kár tartalék különbözete • − Bizonyos részesedések más pénzügyi szervezetekben Az EU által még megengedett részek: • Várható jöv®beli nyereségek (bizonyos mértékig, bizonyos feltételekkel, aktuáriusi alátámasztás esetén) • A zillmerezetlen vagy a részlegesen zillmerezett és a teljesen zillmerezett tartalékok különbözete. • Az eszközök értékeléséb®l fakadó rejtett tartalékok, ha azok nem rendkívüli természet¶ek. • A be nem zetett jegyzett t®ke (bizonyos mértékig, bizonyos feltételekkel) Szolvencia II : 3 pillére van 171 1. Kvantitatív követelmények: a szavatoló t®ke legyen nagyobb, mint a szavatoló t®ke szükséglet Amennyiben a szavatoló t®ke nem érti el a minimális szavatoló t®ke értékét, a felügyelet a végs® eszközt veti be. 2. Kvalitatív követelmények: a biztosító irányítási rendszere, kockázatkezelése, saját

kockázat és szolvencia értékelés (ORSA), ez teszi fel az i-re a pontot. 3. Piaci fegyelem: felügyeleti jelentések, közzététel Külön szolvencia mérleget kell készíteni. Minden mérlegtételt alapvet®en valós értékeléssel kell kiszámítani. Valós érték: az az érték, amelyért egy eszköz elcserélhet® vagy egy kötelezettség rendezhet® megfelel®en tájékozott, az üzletkötési szándékukat kinyilvánító felek között, a szokásos piaci feltételeknek megfelel®en kötött tranzakció keretében. Az eszközöket alapvet®en piaci értéken, piackonzisztensen kell értékelni. A kötelezettségek értékelése: A kötelezettségeket azonos kockázatú részekre kell szétbontani, a szétbontás során érvényesülnie kell a tartalom a forma fölött elvnek. Egy kötelezettséget replikálhatónak nevezünk, ha aktív, mély, likvid és átlátható piacon megbízhatóan meggyelhet® eszközök jöv®beli pénzáramai megbízhatóan adják vissza a

kötelezettségb®l származó jöv®beli pénzáramokat. Ha egy kötelezettség replikálható, akkor az ®t helyettesít® eszközök piaci értékét kell venni. Ha nem replikálható, akkor kétféle módon lehet kiszámolni az értékét: 1. Valós érték ≈ Aktuális kilépési érték 2. Legjobb becslés + kockázati marzs Legjobb becslés: a jöv®beli szerz®déses pénzáramok várható jelenértéke a kockázatmentesnek tekintett hozamgörbével diszkontálva. Kockázati marzs: meg kell határozni, hogy az üzlet milyen szavatoló t®ke szükségletet generál most, illetve évek múlva, ezt meg kell szorozni a t®keköltség rátával (6%), és a ezeket a tagokat az alap hozamgörbe felhasználásával jelenértékre kell hozni. A szavatoló t®ke két részb®l áll: (gyakorlatilag ez a rendelkezésre álló szavatoló t®ke) 1. Az alapvet® szavatoló t®ke: az eszközök és a kötelezettségek értékének különbözete csökkentve a tartott saját részvények

értékével, és növelve az alárendelt kötelezettségekkel 2. A kiegészít® szavatoló t®ke olyan, az alapvet® szavatoló t®kén kívüli t®keelemeket foglal magában, amelyek alkalmasak a veszteségek elnyelésére (pl. hitellevél) A szavatoló t®ke szükséget az alapvet® szavatoló t®ke 1 éves id®horizontú, 99,5%-os biztonsági szint¶ VaR-ja, feltéve az üzlet folytatásának elvét, gyelembe véve valamennyi számszer¶síthet® kockázatot, gyelembe véve a meglév® és az elkövetkez® 12 hónapban kötend® új üzleteket, 172 gyelembe véve a kockázatcsökkent® technikák hatását. A valószín¶ségi változó lényegében az éves veszteség. A szavatoló t®ke szükséget rugalmassági szintjei: • Standard formula • Részleges bels® modell • Bels® modell Standard formula: A t®keszükségletet formulával határozza meg. Az almodulokat nem összeadjuk, hogy lineáris korrelációs mátrixokkal aggregáljuk A szavatoló t®ke

szükséglet az alábbi három érték összege: • + Alap szavatoló t®ke szükséglet • + M¶ködési kockázat szavatoló t®ke szükséglete • - a technikai tartalékok és az elhatárolt adók veszteségelnyel® képessége alapján számított korrekció Az alap szavatoló t®ke szükséglet: • nem-életbiztosítási kockázat t®ke szükséglete ⊕ • életbiztosítási kockázat t®ke szükséglete • egészségbiztosítási kockázat t®ke szükséglete • piaci kockázat t®ke szükséglete • hitelkockázat t®ke szükséglete • immateriális javak kockázatának t®ke szükséglete ⊕ ⊕ ⊕ ⊕ Részleges bels® modell: A módszerre nincs megkötés, de a kvantitatív alapkövetelménynek teljesülnie kell (az alapvet® szavatoló t®ke 1 éves id®horizontú 99,5%-os biztonsági szint¶ VaRja). Lehet részleges bels® modell csak a kockázati modulokra, csak a m¶ködési kockázatokra, csak a kiegészítésekre. Minimális

szavatoló t®ke szükséglet: formula alapú számítás, a kalibrációja nagyjából az alapvet® szavatoló t®ke éves id®horizontú 75-80%-os VaR-jának felel meg. Az SCR 25-45%-os sávjába kényszerítik bele. A kockázati t®ke modelljei 173 A kockázati t®ke, vagy más néven gazdasági t®ke, az a reális gazdasági alapon felmért t®ke, amelyre egy cégnek szüksége van ahhoz, hogy az üzlet folytatásának elve mellett azokat a kockázatokat fedezze, amelyeknek ki van téve. A gazdasági t®ke azon kockázatokhoz kapcsolódik, amelyeknek ki van téve, ezért a gazdasági t®ke attól függ, hogy hogyan mérjük a kockázatokat. Vagyis a gazdasági t®ke meghatározásához szükség van a kockázati mérték rögzítésére. Általánosan elfogadott kockázati mérték egy adott portfólió adott id®horizonton mért vesztesége, illetve e valószín¶ségi változó valamely jellemz®je. Az aktuárius olyan szakember, aki pénzügyi hatású kockázatokat

számszer¶sített módon kezel. A kockázat mérése: • Valamilyen volumen segítségével • Érzékenységvizsgálat segítségével • Meghatározott sokk segítségével • Szórással, varianciával • VaR-al, várható veszteséggel Legyen L valamely portfólió/társaság (megfelel® módon deniált) vesztesége egy meghatá- rozott id®szakban. Például L pedig az alábbi értelemben: befektetési eredménye, C egy meghatározott id®intervallumon elszenvedett veszteség, még- L = C + E + ∆V − P − I , az id®szak kára, E ahol P az id®szak díja, az id®szak költsége és ∆V I az id®szak az id®szak tartalékvál- tozása. L úgy is felfogható, mint az adott id®intervallumon a kötelezettségek értéke változásának és az eszközök értéke változásának különbsée. Azaz ahol N AV L = (L1 −L0 )−(A1 −A0 ). Vagy L = −∆N AV , a nettó eszközérték. Kockáztatott érték (VaR): Legyen azaz L

eloszlásfüggvénye F, vagyis F (x) = P (L < x), és legyen L kvantilis-függvénye Q, Q(u) = inf {x : F (x) ≥ u}. Deníció szerint V aR(p) legyen a p-kvantilis, vagyis V aR(p) = Q(p). Kifejtve V aR(p) = inf {x : F (x) ≥ p} = inf {x : P (L < x) ≥ p} Ha elején F folytonos, akkor V aR(p) P (L ≥ V aR(p)) = 1 − p, vagyis ha a biztosító az id®intervallum szavatoló t®kével rendelkezik, akkor az id®intervallum végére a tönkremenés valószín¶sége épp 1 − p. A VaR nem érzékeny a veszteség konkrét mértékére, csak arra, hogy a veszteség nagy. A VaR nem szubadditív, csak elliptikus eloszlású kockázati vektorok esetén Várható veszteség (Expected Shortfall): 174 A várható veszteség a következ®: ES(p) = E(L|L > V aR(p)). ES érzékeny a veszteség konkrét mértékére is, valamint ES szubadditív is. A már meglév® banki kockázatkezelés a VaR-on alapul (Bázel II), ezért a még kidolgozás alatt álló

biztosítási kockázatkezelés (S2) kvantitatív pillére is a VaR-on alapul, de sokan az ES alapú megközelítést preferálják jobban. Például Svájcban az ES-t használják Felújítási folyamatok alkalmazása a kockázati folyamatokban: A felújítási folyamatokban egy alkatrész m¶ködését gyeljük meg. Ez X0 id® után meghibá- sodik, azután veszünk egy ugyanolyant és annak is meggyeljük a m¶ködését, ez hibásodik meg stb. Legyenek X1 X0 , X1 , X2 , . függetlenek, és X1 , X2 , azonos eloszlásúak, azért csak ezek, mert az els® már m¶ködött valamennyit a meggyelési id®szak el®tt. Legyen a felújítási pontok száma vagy másképp Mt t [0, t]-n. M (t) = E(Nt ) folyamat). Jelölje − id® után Nt , t ≥ 0 Ezt nevezzük felújítási folyamatnak (például ilyen a Poissona felújítási függvényt. Ha t elég nagy, akkor M (t) ∼ t , E(X1 ) 1 . E(X1 ) A felújítási egyenlet a következ®: Z M (t) = P (X0 ≤ t) +

M (t − z)dQX1 (z) [0,t] ahol Q egy valószín¶ségi mérték. Ru 2.40 tétel Legyen f (u) = g(u) + f (u − z)dQX (z) Ekkor 0 • ha g lokálisan korlátos, akkor f egyértelm¶ a lokálisan korlátos függvények osztályán belül. g lokálisan korlátos, ha sup |g(u)| < ∞ minden T < ∞ esetén. 0≤u≤T • ha R∞ ∞ R g(u)du véges, akkor lim f (u) = u−∞ 0 g(u)du 0 E(X) Mindkét állítás akkor teljesül, ha X nem rácsos eloszlású, amit mi vizsgálunk az nem rácsos, mert abszolút folytonos a Lebesgue-mértékre. A cs®d valószín¶ségére a következ® egyenletet kaphatjuk a Feller-féle gondolatmenetet alkalmazva: λ Ψ(u) = c Z∞ λ 1 − FZ1 (z)dz + c u Ez nem felújítási egyenlet, mert a Zu Ψ(u − z)(1 − FZ1 (z))dz 0 Q mérték nem valószín¶ségi mérték, hiszen R∞ λ 0 λµ c c (1 − FZ1 (z))dz = 6= 1. Úgy tudjuk felújítási egyenletté tenni, hogy keresünk olyan h(z) és K(u) függvényeket, amelyre K(u)

1 K(u−z) h(z) =1 és a következ® egyenlet felújtási egyenlet lesz: 175 Zu K(u − z)Ψ(u − z) K(u)Ψ(u) = g(u) + K(u) 1 λ h(z) (1 − FZ1 (z))dz K(u − z) h(z) c 0 Ilyen lesz a K(u) = eru ru e Ψ(u) = e ru λ és h(z) = erz függvény. Tehát amit kapunk Z∞ Zu λ er(u−z) Ψ(u − z)erz (1 − FZ1 (z))dz c (1 − FZ1 (z))dz + c u 0 Tehát ahhoz, hogy valószín¶ségi mérték szerint integráljunk, olyan R-re van szükség, ami teljesíti a következ® egyenletet: e Rz Z∞ λ (1 − FZ1 (z))dz = 1 c 0 Ezt az R-et nevezzük Lündberg kitev®nek. Ha ilyen létezik, akkor alkalmazható a felújítási tétel, amib®l azt kapjuk meg, hogy milyen gyorsan tart Ψ(u) a 0-hoz. 2.41 tétel Tegyük fel, hogy c > λµ és Ψ(u) − 0, ha u − ∞, valamint létezik olyan ε > 0, hogy h(R + ε) helyen is véges. Ekkor lim eRu Ψ(u) = u−∞ gyöke a h(r) − r λc = 0 egyenletnek. Ebb®l a tételb®l látható, hogy Ψ(u) c−λµ

λh0 (R)−c , ahol h(r) = E(erZ1 ) − 1, és R az exponenciálisnál gyorsabban tart nullához. Az általánosabb rizikó folyamat Ut = u + ct − Nt P Zj , ahol Nt , t ≥ 0 felújítási folyamat, ζ1 , ζ2 , . függetlenek és azonos j=1 eloszlású valószín¶ségi változók, valamint ζj ≥ 0. Legyen τn = n P ζj . Ilyenkor Nt egészérték¶ j=1 és általában nem független növekmény¶, tehát Tu = inf {t ≥ 0 : Ut < 0}. Ut A cs®d valószín¶sége: sem független növekmény¶ folyamat. A cs®d: P si(u) = P (Tu < ∞). Egyenletet írjunk fel a tönkremenés valószín¶ségére: A Feller-féle gondolatmenet itt nem −∞-t®l u-ig alkalmazható, mert az integrálás egyenletre, és Y1 = Z1 − cζ1 mennyivel mentünk u megy, ami egyáltalán nem hasonlít a felújítási felvehet negatív értéket is. Tehát e helyett inkább azt nézzük, hogy alá, ez biztosan pozitív lesz abszolút értékben. Legyen ( n≥1: ν1 =

inf n X ) Yj > 0 j=1 ( ν2 = inf n > ν1 : n X Yj > ν1 X j=1 j=1 n X νk X ) Yj . . . ( νk+1 = inf n > νk : j=1 176 Yj > j=1 ) Yj az els® olyan kárkizetési id®pont, amikor u alá csökken a pillanatnyi t®ke. Az Y -k n P részletösszege legyenek X0 = 0 és Xn = Yj . Létraindexnek nevezzük azokat az indexeket, j=1 Tehát ahol ν1 Xn maximuma n®. Tehát az els® létraindex helyén felvett érték (Xν1 ) szerint nézzük a teljes valószín¶ség tételét. A következ® tétel mondja meg nekünk, hogy feltételesen is ugyanolyan a folyamat, mint kezdetben. 2.42 tétel Legyen ξ1 = Yν1 +1 , ξ2 = Yν1 +2 , Ekkor ξ1 , ξ2 , és Xν1 feltételesen függetlenek a ν1 < ∞ feltétel mellett, továbbá 1 , ξ2 , . feltételes eloszlása a ν1 < ∞ eseményre megegyezik Y1 , Y2 , . eloszlásával A lehetséges esetek: • ha ν1 = ∞, • ha ν1 < ∞ és Xν1 = z , z > u, • ha ν1 < ∞ és

z ≤ u, 0 < z , Legyen akkor soha nem megyünk cs®dbe, a feltételes valószín¶ség tehát 0, akkor rögtön cs®dbe megyünk, a feltételes valószín¶ség 1, akkor a feltételes valószín¶ség A(y) = P (Xν1 ≤ y, ν1 < ∞), Ψ(u − z) A(∞) = lim A(y) = P (ν1 < ∞). valamint y−∞ Ezekb®l Zu Ψ(u) = 0 + 1 [A(∞) − A(u)] + Ψ(u − z)dA(z) 0 Hasonlít a felújítási egyenletre, de nem az, mert bel®le felújítási egyenletet, ehhez szorozzunk be ρu ρu e e Ψ(u) = e (A(∞) − A(u)) + nem valószín¶ségi mérték. Csináljunk -val: Zu ρu A Ψ(u − z)eρ(u−z) eρz dA(z) 0 Tehát olyan ρ-ra van szükségünk, amellyel +∞ R eρz dA(z) = 1. Ha van ilyen ρ, akkor alkal- −∞ ∞ R mazhatjuk a felújítási tételt, miszerint lim eρu Ψ(u) = u−∞ eρu (A(∞)−A(u))du 0 +∞ R . zeρz dA(z) −∞ 2.43 tétel Ha létezik ε > 0, amire Ebb®l lehet látni, hogy ha ρ R e(ρ+ε)z dA(z) < ∞,

akkor lim eρu Ψ(u) pozitív és véges. u−∞ létezik, akkor Ψ(u) exponenciális sebességgel tart 0-hoz. Az aktuáriusi funkció: Az aktuárius egyik f® feladata a tervezés: • Az alapvet® céljai: a biztosító egészséges fejl®désének fenntartása, a megfelel® nyereségesség biztosítása, a kockázatok megfelel® kezelése, a szervezet egésze illetve egységei számára meghatározott rövid-, közép- és hosszútávú célkit¶zések megfogalmazása, az érdekeltségi rendszerbe való beépítés 177 • Fontos eszközök: értékelési módszerek (olyan mint az éves értékelés esetében, de sokszor kell elvégezni, és nem fontos ugyanaz a precizitás), modellezés, a korábbi tervek összehasonlítása a gyakorlattal, érzékenységvizsgálat és stressz teszt, esetleg sztochasztikus elemzés. • Fontos lépések: 1. Az aggregáció megfelel® szintjének meghatározása: a kiindulópont mindig a szerz®dés modell pontok csoportok

termékek ágazatok termékcsoportok hasonló, homogén kockázati teljes ág 2. A múltbeli tapasztalatok gyelembe vétele: kockázati típusonként, értékesítési csatornánként, kohorszonként, nyereség/veszteség forrásonként 3. A jelenlegi állomány jöv®beli alakulásának modellezése a múltbeli tapasztalatok alapján: a fontos változókra vonatkozó feltevések alkalmazása a várható jelenérték számításához, opciók és garanciák beépítése 4. A jöv®beli állomány alakulásának modellezése a múltbeli tapasztalatok alapján: új szerzésekre vonatkozó becslések 5. Az eredmények elemzése (érzékenységvizsgálat és stressz teszt, összehasonlítás a korábbi terv azonos id®szakaira vonatkozó értékeivel, összehasonlítás a biztosító f® célkit¶zéseit tükröz® elvárásokkal) 6. Szükség esetén a teljes folyamat megismétlése • Fontos változók: Állomány (darabszámok, állománydíjak), pénzáram (díj,

kamatjelleg¶ bevételek, károk, tényköltségek), Díj, tartalék, hozamfelhasználás (költségfedezet, kockázati díj, tartalékfeltöltés, nyereségrészesedés), szavatoló t®ke (nyitó, növekmény, csökkenés, záró), eredmények (éves nyereség/veszteség, adó, adó utáni társasági eredmény, EV, a t®ke költsége) Növekedési problémák: Mivel a szavatoló t®ke szükséglet a vállalt kockázatok terjedelmének növekedésével szintén n®, folyamatos gyelmet igényel az, hogy a biztosító a jöv®ben várhatóan ki tudja-e termelni a szükséges t®két, vagy pedig küls® t®kebevonásra van-e szükség. A túl gyors ütem¶ növekedés t®kehiányhoz vezethet, ezért is fontos eleme a tervezésnek a szavatoló t®ke helyzet el®rejelzése. Aktuáriusi kontroll ciklus: A problémamegoldás aktuáriusi folyamata. Valójában nem aktuáriusi, bármely gyakorlati probléma tényleges kezelése ilyenformán kell történjen A kiindulás egy probléma,

amelyet meg kell oldani. 178 1. A probléma pontos specikálása: annak megértése, hogy mi is a feladat, hova kell eljutni, és ennek során milyen nehézségekkel kell szembenézni, milyen kockázatok merülnek fel, milyen lehet®ségek vannak a kockázatok kezelésére 2. Megoldás kidolgozása: a problémának megfelel® modell kialakítása, a modell bemen® adatainak specikálása, a modell eredményeinek értelmezése, az eredményként kapott lehetséges változatok közül a megoldási javaslat kiválasztása, a választott megoldás implementálása 3. A tapasztalatok elemzése: a modell m¶ködése közben felhalmozott tapasztalatok gy¶jtése, értelmezése, összehasonlítása az eredeti feltevésekkel, az eltérés okainak feltárása, a jöv®beli eltérések lehet®ségeinek mérlegelése, továbbá annak vizsgálata, hogy a tapasztalatok hogyan hatnak az adott problémára. 4. Visszacsatolás, és a probléma ismételt specikálása Az aktuáriusi jelentés:

Egy aktuáriusi képet kapunk ez által a biztosító egészér®l. Értékeli a biztosító jelenlegi és jöv®ben várható pénzügyi helyzetét, szavatoló t®kéjét, minimális szavatoló t®ke szükségletét, biztonsági t®kéjét, költséghelyzetét, tartalékainak szintjét, díjképzésének megfelel®ségét. Értékeli a biztosító jelenlegi és a jöv®ben várható viszontbiztosítási helyzetét, és jelzi azokat a tényez®ket, melyek veszélyeztethetik a biztosító m¶ködését. A tárgyévi jelentésben külön ki kell emelni az el®z® jelentéshez képest bekövetkezett valamennyi olyan változást, amely az alkalmazott módszertan változásából adódik, s amely jelent®sen befolyásolja a biztosító által közölt adatokat. Szerepeltetni kell a képzési módszereket, azok változását illetve a változások hatását. A jelentés tartalmazza: • Tartalékok ágazatonként, fajtánként, bruttó és nettó bontásban • A matematikai tartalékok

ágazatonként, technikai kamatlábanként • Az életbiztosítási ág matematikai tartalékainak hozama, többlethozam, a többlethozam megosztása, a hozam felhasználása • Az eredményt®l függ® díj-visszatérítési tartalék felhasználása, e tartalék hozamának felhasználása • Az utolsó két év tartalékainak lebonyolítási eredménye járadéktartalékok esetében, függ®kár tartalékok esetében, bruttó és nettó bontásban 179 • Lebonyolítási eredmény: nyitó tartalék + hozam − felhasználás − záró tartalék, felhasz- nálás lehet kizetés vagy más tartalékba helyezés A függ®kár tartalék lebonyolítási eredménye: + a tételes függ®kár tartalék értéke a − a kárkizetések a lentettek − [T0 , T1 ] intervallumban azon károk vonatkozásában, amelyeket azon összes kártartalék (tételes függ® és járadéktartalék) kozásában, amelyeket T0 -ig T1 -ben T0 -ban T0 -ig beje- azon károk

vonat- bejelentettek. Tehát a lebonyolítási eredmény mindig két id®pont között értelmezhet® és a nyitó állapot alapján értékelend®. Ha a lebonyolítási eredmény abszolút értéke meghaladja a nyitó tartalék 10%-át és a rendelkezésre álló szavatoló t®ke teljes t®keszükségletet meghaladó többletének 1%-át, akkor magyarázatot kell adni, és le kell írni a tervezett intézkedéseket. Az aktuáriusi jelentésnek tartalmaznia kell nem-életbiztosítások esetében a tárgyév és a megelez® két év kárhányadát (ágazatonként, bruttó és nettó bontásban). Ha a kárhányad meghaladja a 90%-ot, akkor magyarázatot kell adni, és le kell írni a tervezett intézkedéseket 2.11 11 tétel Kvantitatív és kvalitatív kockázatkezelés. SCR, MCR, saját t®ke, SRP, ORSA Standard ill. (részleges) bels® modell A cs®d valószín¶ségére vonatkozó aszimptotikus eredmények Bónusz-málusz rendszerek Szolvencia I : A jelenleg is hatályos

szolvencia rendszer Magyarországon. El®nyei, hogy egyszer¶, összehasonlítható és áttekinthet® Hátrányai: • Nem érzékeny az entitás, a m¶velt üzletág és az adott gazdaság kockázati vizsonyaira. • Bünteti a prudens biztosítót, azaz a nagy díj, tartalék nagy megkövetelt szavatoló t®kéhez vezet. • Csak kvantitatív elemekre épül, túlzottan szabályelv¶. • Az alapjául szolgáló modell elavult, ezért csak korlátozottan tekinthet® érvényesnek. (Campagne modell) • Nem összehasonlítható abból a szempontból, hogy a tartalékok képzése jogrendenként lényegesen eltér® lehet. Alapkövetelmény, hogy a rendelkezésre álló t®ke nagyobb legyen, mint a t®keszükséglet. A t®keszükséglet csak meghatározott id®pontokban jól meghatározott. Az S1 t®keszükséglete az alábbi kett® közül a nagyobbik: 180 • A biztonsági t®ke • A minimális szavatoló t®ke szükséglet A biztonsági t®ke az alábbi kett®

közül a nagyobbik: • A minimális biztonsági t®ke (3,5 millió EUR) • A minimális szavatoló t®ke szükséglet harmada A minimális szavatoló t®ke szükséget az alábbi két érték összege: • Élet-ági minimális szavatoló t®ke szükséglet • Nem-élet ági minimális szavatoló t®ke szükséglet Az élet ági minimális szavatoló t®ke szükséglet az alábbi három érték összege: • Az életbiztosítási kockázatok minimális szavatoló t®ke szükséglete = a matematikai tartalék eszközfedezete kockázatának minimális szavatoló t®ke szükséglete + a halálozás kockázatának minimális szavatoló t®ke szükséglete • Az életbiztosítási szerz®désekhez kapcsolódó kiegészít® nem-életbiztosítási kockázatok minimális szavatoló t®ke szükséglete • A befektetéshez kötött életbiztosításokhoz és a kezelt nyugdíjalapokhoz kapcsolódó kockázatok minimális szavatoló t®ke szükséglete = A befektetések

illetve a költségek kockázatának minimális szavatoló t®ke szükséglete (= minimális szavatoló t®ke szükséglet azon szerz®dések esetében, ha a biztosító befektetési kockázatot vállalt + minimális szavatoló t®ke szükséget azon szerz®dések esetében, ahol a biztosító nem vállalt befektetési kockázatot, de az igazgatási költségek fedezetét szolgáló terhelést több mint 5 évre rögzítették + minimális szavatoló t®ke szükséglet azon szerz®dések esetében, ha a biztosító nem vállalt befektetési kockázatot, és az igazgatási költségek fedezetét szolgáló terhelést nem rögzítették több, mint 5 évre) + a halálozás kockázatának minimális szavatoló t®ke szükséglete A nem-élet ági minimális szavatoló t®ke szükséglet az alábbi két érték nagyobbika: • Ha a tárgyévi nettó függ®kár tartalék csökkent az el®z® évihez képest, akkor az el®z® évi nem-élet ági minimális szavatoló t®ke szükséglet

olyan arányban csökkentve, amilyen arányban a nettó függ®kár tartalékok csökkentek, különben az el®z® évi nem-élet ági minimális szavatoló t®ke szükséget. 181 • A díj- és kárindex alapú nem-élet ági minimális szavatoló t®ke szükséglet = díjindex alapú + kárindex alapú. Szolvencia II : Elvárás vele szemben, hogy kockázatorientált legyen. 3 pillére van 1. Kvantitatív követelmények: a szavatoló t®ke legyen nagyobb, mint a szavatoló t®ke szükséglet Amennyiben a szavatoló t®ke nem érti el a minimális szavatoló t®ke értékét, a felügyelet a végs® eszközt veti be. 2. Kvalitatív követelmények: a biztosító irányítási rendszere, kockázatkezelése, saját kockázat és szolvencia értékelés (ORSA), ez teszi fel az i-re a pontot. 3. Piaci fegyelem: felügyeleti jelentések, közzététel Külön szolvencia mérleget kell készíteni. Minden mérlegtételt alapvet®en valós értékeléssel kell kiszámítani.

Valós érték: az az érték, amelyért egy eszköz elcserélhet® vagy egy kötelezettség rendezhet® megfelel®en tájékozott, az üzletkötési szándékukat kinyilvánító felek között, a szokásos piaci feltételeknek megfelel®en kötött tranzakció keretében. Az eszközöket alapvet®en piaci értéken, piackonzisztensen kell értékelni. A kötelezettségek értékelése: A kötelezettségeket azonos kockázatú részekre kell szétbontani, a szétbontás során érvényesülnie kell a tartalom a forma fölött elvnek. Egy kötelezettséget replikálhatónak nevezünk, ha aktív, mély, likvid és átlátható piacon megbízhatóan meggyelhet® eszközök jöv®beli pénzáramai megbízhatóan adják vissza a kötelezettségb®l származó jöv®beli pénzáramokat. Ha egy kötelezettség replikálható, akkor az ®t helyettesít® eszközök piaci értékét kell venni. Ha nem replikálható, akkor kétféle módon lehet kiszámolni az értékét: 1. Valós érték

≈ Aktuális kilépési érték 2. Legjobb becslés + kockázati marzs Legjobb becslés: a jöv®beli szerz®déses pénzáramok várható jelenértéke a kockázatmentesnek tekintett hozamgörbével diszkontálva. Kockázati marzs: meg kell határozni, hogy az üzlet milyen szavatoló t®ke szükségletet generál most, illetve évek múlva, ezt meg kell szorozni a t®keköltség rátával (6%), és a ezeket a tagokat az alap hozamgörbe felhasználásával jelenértékre kell hozni. A szavatoló t®ke két részb®l áll: 1. Az alapvet® szavatoló t®ke: az eszközök és a kötelezettségek értékének különbözete csökkentve a tartott saját részvények értékével, és növelve az alárendelt kötelezettségekkel 182 2. A kiegészít® szavatoló t®ke olyan, az alapvet® szavatoló t®kén kívüli t®keelemeket foglal magában, amelyek alkalmasak a veszteségek elnyelésére (pl. hitellevél) A szavatoló t®ke szükséget az alapvet® szavatoló t®ke 1 éves

id®horizontú, 99,5%-os biztonsági szint¶ VaR-ja, feltéve az üzlet folytatásának elvét, gyelembe véve valamennyi számszer¶síthet® kockázatot, gyelembe véve a meglév® és az elkövetkez® 12 hónapban kötend® új üzleteket, gyelembe véve a kockázatcsökkent® technikák hatását. A valószín¶ségi változó lényegében az éves veszteség. A szavatoló t®ke szükséget rugalmassági szintjei: • Standard formula • Részleges bels® modell • Bels® modell Standard formula: A t®keszükségletet formulával határozza meg. Az almodulokat nem összeadjuk, hogy lineáris korrelációs mátrixokkal aggregáljuk A szavatoló t®ke szükséglet az alábbi három érték összege: • + Alap szavatoló t®ke szükséglet • + M¶ködési kockázat szavatoló t®ke szükséglete • - a technikai tartalékok és az elhatárolt adók veszteségelnyel® képessége alapján számított korrekció Az alap szavatoló t®ke szükséglet: •

nem-életbiztosítási kockázat t®ke szükséglete ⊕ • életbiztosítási kockázat t®ke szükséglete • egészségbiztosítási kockázat t®ke szükséglete • piaci kockázat t®ke szükséglete • hitelkockázat t®ke szükséglete • immateriális javak kockázatának t®ke szükséglete ⊕ ⊕ ⊕ ⊕ 183 Részleges bels® modell: A módszerre nincs megkötés, de a kvantitatív alapkövetelménynek teljesülnie kell (az alapvet® szavatoló t®ke 1 éves id®horizontú 99,5%-os biztonsági szint¶ VaRja). Lehet részleges bels® modell csak a kockázati modulokra, csak a m¶ködési kockázatokra, csak a kiegészítésekre. Minimális szavatoló t®ke szükséglet: formula alapú számítás, a kalibrációja nagyjából az alapvet® szavatoló t®ke éves id®horizontú 75-80%-os VaR-jának felel meg. Az SCR 25-45%-os sávjába kényszerítik bele. Egyszer¶sített S2 mérleg: • Eszközök: piaci (piac konzisztens értéken) • Források:

Szabad t®ke, szavatoló t®ke szükséglet, minimális szavatoló t®ke szükséglet, a biztosítástechnikai kötelezettségek értéke, egyéb kötelezettségek értéke. A cs®d valószín¶ségére vonatkozó aszimptotikus eredmények: Klasszikus rizikófolyamat esetén : A cs®d valószín¶ségére vonatkozó egyenlet Feller gondolatmenete alapján: λ Ψ(u) = c Z∞ λ (1 − FZ1 (z))dz + c u Zu Ψ(u − z)(1 − FZ1 (z))dz 0 Azt szeretnénk megvizsgálni, hogy ha u − ∞, akkor a Ψ(u) hogyan viselkedik. Erre fog választ adni nekünk a felújítási tétel, amihez el®ször is felújítási egyenletté kell tenni a Ψ(u)-ra vonatkozó egyenletet. Tehát valószín¶ségi mérték szerint kell integrálnunk, de itt R∞ λ K(u) 1 (1 − FZ1 (z))dz = λµ 6= 1. Keresünk olyan h(z) és K(u) függvényeket, amelyre K(u−z) = c c h(z) 0 1, valamint a következ® felújítási egyenlet lesz: Zu K(u − z)Ψ(u − z) K(u)Ψ(u) = g(u) + K(u) 1 λ h(z) (1 − FZ1

(z))dz K(u − z) h(z) c 0 rz ru Ilyen függvények lesznek h(z) = e és K(u) = e függvények. Tehát olyan R kell nekünk, ∞ R Rz λ amelyre e c (1 − FZ1 (z))dz = 1. Az ilyen R-et Lündberg kitev®nek nevezzük Mostmár al0 kalmazható a felújítási tétel: Ru 2.44 tétel Legyen f (u) = g(u) + f (u − z)dQX (z), ahol Q valószín¶ségi mérték, és X nem rácsos eloszlású. Ekkor 0 • ha g lokálisan korlátos, akkor f egyértelm¶ a lokálisan korlátos függvények osztályán. • ha R∞ 0 ∞ R g(u)du < ∞, akkor lim f (u) = u−∞ g(u)du 0 E(X) 184 . 2.45 tétel Ha létezik olyan ε > 0, amelyre h(ε + R) < ∞, akkor lim eRu Ψ(u) = u−∞ ahol h(r) = E(erZ1 ) − 1, és R gyöke a h(r) − r λc = 0 egyenletnek. Ebb®l látható, hogy ha Ha R R létezik, akkor Ψ(u) nem létezik, akkor vezessük be itt is az F0 (z) =   0,  1 µ Rz c−λµ λh0 (R)−c , exponenciális sebességgel tart 0-hoz. F0 eloszlást,

valamint legyen 1 − FZ1 (t)dt, ha z<0 ha z≥0 α= λµ c 0 A fennmaradás valószín¶ségére a következ® egyenletet kaptuk a Feller-féle gondolatmenetb®l: λµ λ + Φ(u) = 1 − c c Zu Φ(u − z)(1 − FZ1 (z))dz 0 Azt kaphatjuk α-t és F0 -t behelyettesítve, hogy: Z+∞ Φ(u) = 1 − α + α Φ(u − z)dF0 (z) −∞ Ez nagyon hasonlít egy konvolúciós integrálra: Φ = 1 − α + αΦ ∗ F0 Ezt az eljárást iterálva azt kapjuk, hogy Φ(u) = ∞ X (1 − α)αj F0∗j (u) j=0 2.46 tétel Tegyük fel, hogy F0 szubexponenciális eloszlású, ekkor Látható, hogy ha R nem létezik és F0 Ψ(u) 1−F0 (u) − α 1−α , ha u − ∞. szubexponenciáis eloszlású, akkor 2.47 tétel Minden r ≥ 0-ra eru (1 − F0 (u)) − ∞, ha u − ∞ Tehát szubexponenciális esetben a farokvalószín¶ség lassabban tart 0-hoz, mint az exponenciális. Általánosabb rizikó folyamat esetében : A cs®d valószín¶ségére a következ®

egyenletet kaptuk: Zu Ψ(u) = A(∞) − A(u) + Ψ(u − z)dA(z) 0 185 ahol A(y) = P (Xν1 ≤ y, ν1 < ∞), értéke u valamint ν1 az els® olyan id®pont, amikor a pillanatnyi t®ke alá megy. Eszerint vettünk feltételes valószín¶séget Ezt az egyenletet is felújítási egyenletté tehetjük, ha beszorzunk eρu -val. És így már alkal- mazható lesz a felújítási tétel: 2.48 tétel Ha létezik olyan ε > 0, amelyre R e(ρ+ε)z dA(z) < ∞, akkor lim eρu Ψ(u) pozitív u−∞ és véges. Bónusz-málusz rendszerek: Bónusz-málusz díjfokozatok vannak, és aszerint kell zetni, ahova tartozunk. Biztosítók érdeke, hogy érdekeltté tegyék biztosítottakat kár elhárításában, például a gépjárm¶-biztosításoknál a vezet® óvatossága nagy szerepet játszik. Lehet kármentességi díjvisszatérítés (napjainkban már kevésbé elterjedt), vagy kármentességi díengedmény, az utóbbival foglalkozunk. Szerz®d®k díjzetési

kategóriákba vannak sorolva, 1 a legmagasabb díjú, K a legalacsonyabb Attól függ®en, hány káresemény volt egy adott évben, a következ® évre más díjkategóriába kerül. Magyarországon a kgfb-biztosításoknál a következ®k szerint alakulnak: van egy alapdíjosztály, 10 bónuszosztály és 4 máluszosztály. Kármentes évben 1-gyel fel, 1 kár esetén 2, 2 kár esetén 4, 3 kár esetén 6 szinttel kerül rosszabba. 4 vagy annál több kár esetén automatikusan a legrosszabb díjosztályba kerül. Ezek az üzembentartóra vonatkoznak, függetlenül attól, ki vezette Modellezni Markov-láncokkal fogjuk ezt a folyamatot. Legyen Z(n) az, hogy az n-edik évben melyik fokozatban van a biztosított. Feltesszük, hogy ez teljesíti a Markov tulajdonságot, ami a következ®: P (Z(n + 1) = j|Z(n), . Z(0)) = P (Z(n + 1) = j|Z(n)) Egyszer¶sítések: • A Markov tulajdonság valószín¶sége ne függjön az id®t®l (n-t®l). Ezt homogén Markovláncnak nevezzük

Tehát P (Z(n + 1) = j|Z(n) = i) = pi,j valószín¶ség mátrixot jelölje P = (pi,j )kxk , hogy melyik állapotba fog eljutni és • pi,j az ahol i minden n ≥ 0-ra. Az átmenet az, hogy melyik állapotban van, i állapotból a j j az, állapotba kerülés valószín¶sége. Az okozott károk eloszlása nem függ az aktuális díjzetési osztálytól (nem éppen valóságh¶, de a modellt szépen leegyszer¶síti). De például kezdetben így kezelnek mindenkit, mert nincsenek adatok, utána meg módosítani lehet az átmenet valószín¶ség mátrixot. Tulajdonságok: • Homogenitás: ha az átmenetvalószín¶ségek nem függenek az id®t®l • Irreducibilitás: elégséges feltétele, ha minden állapotból minden állapotba véges id®n belül pozitív valószín¶séggel el lehet jutni. A magyar rendszer ilyen 186 • Aperiodicitás: elégséges feltétele, ha irreducibilis, és van olyan állapot, amiben benne lehet maradni éveken át. Ez is

teljesül a magyarra A Markov-lánc stacionárius eloszlása: Legyen q T = {qi }i=1,.,K eloszlás, tehát qi ≥ 0 és K P qi = 1. i=1 2.49 deníció A {qi } a Z Markov-lánc stacionárius eloszlása, ha P (Z(0) = i) = qi minden i = 1, . , K -ra, akkor minden i-re és minden n ≥ 1-re P (Z(n) = i) = qi q a kielégíti a következ® egyeneletrendszert: λ = 1-hez hogy PTq = q és P qi = 1 . tartozó sajátvektora, amit 1-re normáltunk, mert qT P = qT . Itt pedig q a baloldali sajátvektora Tehát P T q = q1. q a PT mátrixnak Szokás úgy is felírni, P -nek. 2.50 tétel Ha a Markov lánc homogén, aperiodikus és irreducibilis, akkor a stacionárius eloszlás egyértelm¶en létezik és tetsz®leges eloszlásból indítva a Markov-lánc a stacionárius eloszláshoz konvergál. Stacionárius díj: a díjszorzókat beszorozzuk kétszer annyit zet, ha kétszer annyi kárt okoz. 187 q -val. A stacionárius díj akkor jó, ha valaki