Matematika | Statisztika » Index-számítás

Index-számítás Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdfcom) Index-számítás  A termékek kisebb-nagyobb körére vonatkozó összesített értékadatokat aggregátumoknak, magát az értékben való összesítést aggregálásnak is szokás nevezni.  Közvetlenül nem összesíthető adatok összetett összehasonlító viszonyszámát indexszámnak nevezzük.  Az indexszámítás keretén belül az egyes cikkekre vonatkozó – egyébként az összesítő indexszámmal azonos jelentésű – viszonyszámokat egyedi indexeknek nevezik. Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdfcom) Értékindexkör    A termelt, eladott mennyiség (q) és az egységár (p) szorzata a termelési értéket, eladási forgalmat adja meg, amelyet egy-egy termékre, árucikkre vonatkozóan a továbbiakban értéknek nevezünk, és v-vel jelöljük. Az értékindex a termékek,

cikkek összességére nézve a termelési (eladási stb.) érték együttes, átlagos változását mutatja. A volumen- és az árindexet is – az összetett viszonyszámokhoz hasonlóan – három különböző formában tudjuk kiszámítani. Az indexszámításban az alapformát aggregát formának nevezzük. Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdfcom) Értékindexkör Az értékindex általános képlete: n n v 1i Iv= i 1 n v  0i i 1 q 1i p1i q 0i p 0i i 1 n i 1 vagy egyszerűbben, a szummációs határok feltüntetése nélkül: Iv= v v 1 0  q p q p 1 1 0 0  v i v 0 0 v  v v i 1 1 v Az értékindex a termékek, cikkek összességére nézve a termelési (eladási stb.) érték együttes, átlagos változását mutatja Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdfcom) Árindex  Az

árindex különböző termékek, árucikkek árainak együttes, átlagos változását, röviden: az árszínvonal változását mutatja.  Az árindex közvetlenül arra a kérdésre válaszol, hogy egy bizonyos, különböző termékek meghatározott mennyiségeiből álló termékhalmaz ára – a különböző mértékű, esetleg részben különböző irányú árváltozások együttes eredményeképpen – hogyan változott? Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdfcom) Árindex n Kiszámítása: Ip=  q i p 1 i i  1 n  , q i p 0 i i  1 ahol qi az egyes termékekre, árucikkekre vonatkozóan időszakhoz nem kötött, a számlálóban és nevezőben azonos mennyiségek sorozata. Attól függően, hogy a bázisidőszaki vagy a tárgyidőszaki mennyiségi adatokat használjuk fel az árindex kiszámításához, a következő formulát kapjuk n n I 0p  q 0i p1i i 1 n q 1i , 0i q

p 0i i 1 Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdfcom) I 1p  p1i i 1 n . q 1i i 1 p0 i Árindex Ip olyan összetett viszonyszám, amelyet az előző aggregát forma mellett az ip egyedi indexek súlyozott számtani és harmonikus átlagaként is kiszámíthatunk. A bázisidőszaki mennyiségekkel számított árindex számtani és harmonikus átlagformájának képletei: p1  q0 p 0  p 0 I 0p    q0 p0 v i v 0 p I p0  0 Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdfcom) q p p q p : p 0 1 1 0 1 0  q p q p  i 0 1 0 1 p Árindex A tárgyidőszaki mennyiségekkel számított árindex átlagformái: p1  q1 p 0  p 0 I 1p   q p  1 0 q p i q p 1 0 1 p 0 I 1 p q p   p q p : p 1 1 1 1 1 Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer

(http://www.novapdfcom) v   v i 1 0 1 p Árindex tulajdonságai  Az árindex tehát nem más, mint az ip egyedi árindexeknek valamiféle átlaga, amely körül az egyedi indexek kisebb-nagyobb mértékben szóródnak.  Az indexnek átlagként való értelmezéséből következik, hogy mindaz, amit (a számtani és a harmonikus) átlagról tudunk, értelemszerűen az indexekre is vonatkoztatható.  Egészen nyilvánvaló pl., hogy az index számszerű értéke nem eshet kívül a legkisebb és legnagyobb egyedi index által meghatározott intervallumon. Az egyes cikkek egyedi indexei annál nagyobb eséllyel tudják saját számszerű értékükhöz közelíteni az indexet, minél nagyobb súllyal szerepel az adott cikk az összértéken belül.  Nyilvánvaló az is, hogy az indexet átlagformában számítva, súlyként az értékadatok helyett a belőlük számított megoszlási viszonyszámokat is felhasználhatjuk. Create PDF files without this

message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdfcom) Volumenindex  A volumenindex különböző termékekből, árucikkekből termelt, eladott fogyasztott stb. mennyiségek együttes átlagos változását mutatja.  A volumenváltozást kifejező modell a következő kérdésre ad választ: Hogyan változott volna az aggregátum, ha az egyes termékeknél az érték két tényezője közül csak a termelt mennyiség változott volna? Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdfcom) Volumenindex A volumenindex aggregátformájának általános képlete: n Iq   q 1i p i  q 0i p i i 1 n i 1 Attól függően, hogy p = p0 vagy p = p1, itt is megkülönböztetünk kétféle formulát: n I 0 q q  1i i 1 n q 0i n p 0i p 0i i 1 Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdfcom) I q1  q 1i p 1i q 0i p 1i i 1 n i 1

Volumenindex A volumenindex kiszámítható az egyedi volumenindexek átlagaként, súlyozott számtani, vagy súlyozott harmonikus átlagként. A bázisidőszaki árakkal számított volumenindex átlagformái:  q0 p0  0 q I  q 0 q1 q0 p0 v i  v 0 q I q0  q p q q p :  q 1 0  1 1 0 0 q p qp  i 1 0 1 0 q 0 A tárgyidőszaki árakkal számított volumenindex átlagformái: q 1 q I  0 p1  q 0 q1 q0 p1 q p i  q p 0 1 0 q I q1  1 Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdfcom) q p q q p : q 1 1  1 1 1 0 v v i 1 1 q Az indexek súlyozása Az indexszámításban a súly fogalmát kétféle értelemben használják. A szó egyik értelme az aggregát formával, a másik az átlagformákkal kapcsolatos. A kétféle súlyfogalom azonban szoros kapcsolatban van egymással.  Az indexek átlagformáival kapcsolatban

a súly, illetve a súlyozás fogalmát ugyanolyan értelemben használják, mint a közönséges átlagszámításban. Mint előzőleg láttuk, az indexek átlagformáiban a súly szerepét mindig valamilyen qp szorzat tölti be.  Az indexek aggregátformájában szokás a q és p tényezők közül súlynak tekinteni azt, amelyiknek a változását kiküszöböltük. Tehát a volumenindexben a p egységárak, az árindexben a q mennyiségek a súlyok. (Az aggregátformában kiszámított értékindexszel kapcsolatban súlyozásról nem lehet szó.)  Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdfcom) Indexpróbák A nevezetesebb indexpróbák a következők:  összemérhetőségi próba;  időpróba,  tényezőpróba,  arányossági vagy átlagpróba,  láncpróba. Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdfcom) Indexpróbák  Az összemérhetőségi próba azt a

követelményt támasztja egy adott indexformulával szemben, hogy a vele kiszámított index értéke ne függjön az alapadatok mértékegységétől. Ennek az egyszerű aggregát kivételével minden formula eleget tesz.  Az időpróba azt követeli meg, hogy a vizsgált formulával az időszakok felcserélésével számított indexek között reciprok viszony álljon fenn. A Laspeyres- és a Paasche-formula megbukik ezen a próbán. Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdfcom) Indexpróbák  A tényezőpróba szerint az értékindexnek egyenlőnek kell lennie a tényezők indexeinek szorzatával. A próba definíciója szerint sem a Laspeyres-, sem a Paasche-formula nem elégíti ki ezt a követelményt.  Az arányossági próba elvárja az adott formulától, hogy abban az esetben, ha minden cikk ára (mennyisége) azonos arányban változik, akkor az árindex (volumenindex) legyen egyenlő ezzel az aránnyal.

Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdfcom) Indexpróbák  I. Fisher, az indexpróbák „atyja”, legfontosabbnak az időpróbát és a tényezőpróbát tartotta és a „Laspeyres – Paasche dilemmából” kivezető utat ezen ún. alapformulák „keresztezésében” kereste Sikerült is olyan formulát találnia, amelyik mindkét legfontosabbnak tartott próba előtt sikeresen vizsgázott. Ez nem más, mint a két alapformulából számított mértani átlag.  A gyakorlati alkalmazás előnyben részesíti a Laspeyres- és Paasche-féle formulákat, annak ellenére, hogy több próba követelményét nem teljesítik.  Hazánkban pl. Laspeyres formulával számítják a fogyasztói árindexet. Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdfcom) Indexsorok Az indexsoroknak többféle fajtáját különböztetjük meg a következő három szempont szerint: a) milyen

jelenség változását mutatják az indexek, b) milyen az időszakok összehasonlításának rendje, c) milyen a súlyozás módja. Az indexsorok abból a szempontból, hogy milyen jelenség változását mutatják, érték-, volumen- és árindexsorok lehetnek.  Az időszakok összehasonlításának rendje szempontjából – egyszerű dinamikus viszonyszámokhoz hasonlóan – bázisés láncindexeket különböztetünk meg.  Állandó súlyúnak azt az indexsort nevezzük, amelyben a súlyokat az indexsor egészében változatlanul hagyjuk. A változó súlyú indexsorban az indexsor egyes tagjainál más és más időszakok súlyadatait rögzítjük. Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdfcom) Területi indexek  A területi volumenindex arra a kérdésre ad választ, hogy az összehasonlítandó területi, földrajzi egységben a termelés stb. mennyisége (bizonyos termékek összességére nézve) hányszorosa,

hányadrésze (hány százaléka) az összehasonlítás alapjául szolgáló területi egység termelésének stb.  A területi árindex azt mutatja meg, hogy az egyik területi egységben kialakult árszínvonal milyen arányban áll a másik egység árszínvonalával. Ha az összehasonlított egységek (eltérő valutájú) országok, akkor a területi árindex a két valuta egy egysége értékének (vásárlóerejének) arányát jelzi. Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdfcom) Példa Egy piaci árusnál a kiemelt zöldségfélék forgalmáról az alábbiakat ismerjük: Zöldségféle Paprika Paradicsom Uborka Összesen Eladott mennyiség q0 8200 db 1220 kg 380 kg - Március Egységár (Ft/ mértékegység) p0 70 510 400 - Forgalom (Ft) q0p0=v0 574000 622000 152000 1348200 Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdfcom) Eladott mennyiség q1 9500 db 2340 kg 550 kg -

Április Egységár (Ft /mértékegység) p1 40 350 310 - Forgalom (Ft) q1p1=v1 380000 819000 170500 1369500 Az egyes zöldségfélék árváltozása: p1 ip  p0 40 paprika :  0,5714  57,1% 70 350 paradicsom :  0,6862  68,6% 510 310 uborka :  0,775  77,5% 400 Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdfcom) Együttes árindex a bázisidőszak mennyiségével súlyozva: 0 Ip  q p q p 0 1 0 0  8200  40  1220  350  380  310 872800   0,6473 8200  70  1220  510  380  400 1348200 Együttes árindex a tárgyidőszak mennyiségével súlyozva: Ip 1 qp   q p 1 1 1 0  9500  40  2340  350  550  310 1369500   0,659 9500  70  2340  510  550  400 2078400 Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdfcom) A tárgyidőszaki mennyiséggel súlyozva az árváltozás miatt a

forgalom csökkent: Kp=∑q1p1-∑q1p0=1369500-20784000=-708900 Ft paprika paradicsom uborka Együtt Cikkenkénti forgalomcsökkenés 9500•(40-70)=9500•(-30)= 2340•(350-510)=2340•(-160)= 550•(310-400)=550•(-90)= –285000 Ft –374400 Ft –49500 Ft –708900 Ft A kétféle súlyozású index átlaga: F I p  0,647  0,659  0,426373  0,6529  65,3% Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdfcom) Az egyes zöldségfélék eladott mennyiségének alakulása: q1 iq  q0 9500 paprika :  1,158  115,8% 8200 2340 paradicsom :  1,918  191,8% 1220 550 uborka :  1,447  144,7% 380 Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdfcom) Együttes volumenindex a bázisidőszak árakkal súlyozva: 0 Iq  q p q p 1 0 0 0  9500  70  2340  510  550  400 2078400   1,542  154,2% 8200  70  1220  510  380  400

1348200 Együttes volumenindex a tárgyidőszak árakkal súlyozva: Iq 1 qp   q p 1 1 0 1  9500  40  2340  350  550  310 1369500   1,569  156,9% 8200  40  1220  350  380  310 872800 Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdfcom) A bázisidőszaki árakkal súlyozva a mennyiségváltozás miatti forgalomnövekedés: Kq=∑q1p0-∑q0p0=20784000-1348200=730200 Ft paprika paradicsom uborka Együtt Cikkenkénti forgalomcsökkenés 70•(9500-8200)= 510•(2340-1220)= 400•(550-380)= A Fisher-féle volumenindex: F I q  1,542 1,569  1,555  155,5% Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdfcom) 91000 Ft 571200 Ft 68000 Ft 730200 Ft Az egyes zöldségfélék forgalmának alakulása: v1 iv  v0 380000 paprika :  0,662  66,2% 574000 819000 paradicsom :  1,317  131,7% 622000 170500 uborka :  1,122  112,2%

152000 Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdfcom) Együttes értékindex : Iv  q p q p 1 1 0 0  9500  40  2340  350  550  310 1369500   1,016  101,6% 8200  70  1220  510  380  400 1348200 I v  I 0q  I1p  1,542  0,659  1,016  101,6 % I v  I1q  I 0p  1,569  0,6473  1,016  101,6% Az együttes forgalomnövekedés: Kv=∑q1p1-∑q0p0=1369500-1348200=21300 Ft Kv=Kp+Kq=-708900+730200=21300 Ft Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdfcom) Köszönöm a figyelmet! Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdfcom)