Matematika | Felsőoktatás » Kétváltozós függvények

12. Kétváltozós függvények Értelmezés: a z = f (x,y) képlet egy kétváltozós függvényt ad meg, ha a sík bármely (x,y) pontjához (x és y független változók) a z függő változó legfeljebb egy értéke tartozik. Ha egy sem, akkor a függvény nem értelmezett abban az (x,y) pontban, ha egy, akkor értelmezett. A kétváltozós függvény grafikonja egy felület a 3-dimenziós térben, értelmezési tartománya pedig egy kétdimenziós halmaz (pl. egy vagy több síkidom) az (x,y)-síkban (a felület vetülete a síkra). Példa. Az origó középpontú egységsugarú gömb felülete az x2 + y2+ z2 = 12 egyenlettel adható meg; ez nem egy függvény grafikonja, mert bizonyos (x,y) pontokhoz kétféle z is tartozik, ugyanis z-re megoldva két megoldás is létezhet: z   1  x 2  y 2 . Ha csak a pozitív megoldást vesszük, az a felső egység-félgömb egyenletét adja, és az már függvényt definiál: z  f ( x, y )  1  x 2  y 2 . Ennek a

függvénynek az értelmezési tartománya: 1  x 2  y 2  0  x 2  y 2  12 , vagyis az origó középpontú egységsugarú zárt körlemez az (x,y)-síkban (ezt úgy ábrázoljuk, hogy besatírozzuk). Ábrázolás: síkmetszetek, szintvonalak. Mivel 3-dimenziós grafikont nem tudunk készíteni, a kétváltozós függvények részleges ábrázolásához 2-dimenziós síkmetszeteket használunk, ahol lerögzítjük az egyik változó értékét, és e mellett a maradék két változó összefüggése már ábrázolható a síkban. Ha pl az x független változó értékét egy adott x0 állandó értékre rögzítjük, az megfelel z = f (x,y) felület és az x-tengelyre merőleges x = x0 sík metszésének, a kapott z = f (x0,y) egyváltozós függvény (csak y-tól függ, mert x0 állandó) ábrázolható az (y, z) síkon (a grafikonra odaírjuk, hogy x=x0). Ha egy y-tengelyre merőleges y=y0 síkkal metszünk, a szintén egyváltozós z = f (x,y0) függvényt kapjuk

(ahol x a független változó), mely az (x, z) síkon ábrázolható. Ha a z függő változó értékét rögzítjük egy adott z0 állandó értékre, az a z = f (x,y) felület és a függőleges z-tengelyre merőleges z = z0 vízszintes sík metszésének felel meg, a kapott z0 = f (x,y) egyenlet egy kétváltozós reláció, grafikonja az (x, y) síkon ábrázolható; ez nem kell, hogy függvény grafikonja legyen (bár lehet). A z függő változó rögzítésével nyert síkmetszeteket szintvonalaknak nevezzük, a grafikonra ráírjuk a szintvonal magasságát (z = z0). Megjegyzés: a szintvonalak az (x, y) síkon mindig az értelmezési tartományon belül, vagy a határán haladnak! Példa. a) (x-síkmetszet) Maradva a felső egységfélgömb-függvény példájánál, a függvény x = x0 = 0,6 síkkal való metszése pl. a z  f (0,6; y )  1  0,62  y 2  0,82  y 2 egyváltozós függvényt adja, amely egy origó középpontú, 0,8 sugarú felső félkör az

(y, z) síkon. b) (z-síkmetszet=szintvonal) A z = z0 = 0,8 vízszintes síkmetszethez tartozó szintvonal egyenlete: 0,8  f ( x, y )  1  x 2  y 2 , melyet négyzetre emelve és átrendezve: x 2  y 2  0,62 adódik, ez pedig egy origó középpontú, 0,6 sugarú teljes körvonal lesz az (x, y) síkon (ez nem egy függvény grafikonja!). Hasonlóképpen könnyen belátható, hogy a z = 1, 0, 1, 2 értékekhez rendre a következő szintvonalak tartoznak: z = 1: üres halmaz, z = 0: origó középpontú egységkör, z = 1: origó (egyetlen pont, 0 sugarú „kör”), z = 2: üres halmaz.  Parciális deriváltak, szélsőértékek Parciális deriválás: pl. x szerint úgy deriválunk parciálisan, hogy az ismert (egyváltozós) deriválási szabályokat alkalmazzuk, de a többi független változót (pl. y-t) konstansként kezeljük a deriválási szabályok alkalmazása során. z = f (x,y) (első) parciális derivált függvényeinek jelölései: x

szerinti: z    f ( x, y )  f ( x, y )  f ( x, y )  f   f ( x, y )'x  f x' ( x, y )  f x' x x x x x y y y y y y szerinti: z    f ( x, y )  f ( x, y )  f ( x, y )  f   f ( x, y )'y  f y' ( x, y )  f y' . Második parciális deriváltak. Mivel f (x,y) első parciális deriváltjai maguk is kétváltozós függvények (még ha nem is függenek explicite valamelyik független változótól), ezért újból parciálisan differenciálva őket, kapjuk f (x,y) második parciális derivált függvényeit: ''  f xx 2 f x 2  f  f  x x , '' xy  f  2 f f  x y , xy '' yx  f  2 f f  y x , yx '' yy 2 f y 2  f  y y Megjegyzés: ha a második deriváltak mind

folytonosak, akkor a vegyes második parciális deriváltak (xy és yx indexűek) egyenlők, vagyis felcserélhető az x és y szerinti deriválás sorrendje. Tétel (helyi szélsőérték szükséges feltétele). Ha az f (x,y) függvény parciálisan differenciálható az (x0, y0) pont egy környezetében és (x0, y0)-ban helyi szélsőértéke van, akkor szükségképpen f x  x0 , y 0   0 és f y  x0 , y 0   0 . Vagyis az egyváltozós esethez hasonlóan a lehetséges szélsőértékeket úgy keressük, hogy a függvény deriváltjait nullával tesszük egyenlővé; de itt két egyenletünk és két ismeretlenünk van. Tétel (helyi szélsőérték elégséges feltétele). Tegyük fel, hogy az f (x,y) függvény kétszer parciálisan differenciálható az (x0, y0) pont egy környezetében, és összes második parciális deriváltja folytonos az (x0, y0) pontban. Ha f f  y  0 x és 2  2 f   0   x y 

x 2 y 2   2 f 2 f teljesül a z ( x, y )  ( x0 , y0 ) pontban, akkor ott a függvénynek helyi szélsőértéke van, mégpedig 2 f 2 f x x 2  0 esetén minimum, 2 0 esetén maximum. Ha a második deriváltakra vonatkozó egyenlőtlenség fordítottja teljesül (’>0’ helyett ’<0’ ), akkor (x0, y0)-ban nincs szélsőérték. Példa. Maradjunk a felső egységfélgömb-függvény példájánál: f ( x, y )  1  x 2  y 2 , 1 f 2 2 2 1  ( 1  x  y )  ( 2 x )  x 2 1 f 2 2 2 1  ( 1  x  y )  ( 2 y )  y 2 x  0  x  0, 1 x 2  y 2 y  0  y  0, 1 x 2  y 2 vagyis (x0, y0) = (0, 0) az egyetlen lehetséges lokális szélsőérték-hely. A második deriváltak: ( 1)  1 x 2  y 2  (  x )  2 f x  2  1 x 2  y 2     f  f  y x  x y 2 2  f 2 y 2 0 

1 x 2  y 2  (  x )   1 x 2  y 2     1 x 2  y 2     2 ( 1)  1 x 2  y 2  (  y )   x 1 x 2  y 2  (1 x 2  y 2 )  x 2  1 x 2  y 2    y 1 x 2  y 2 2 y 1 x 2  y 2  2  3  1 y 2  1 x 2  y 2    x y  1 x 2  y 2     (1 x 2  y 2 )  y 2  1 x 2  y 2    3  = , ha (x, y) = (0, 0)  = 0, ha (x, y) = (0, 0) 3  3 1 x 2  1 x 2  y 2     = , ha 3 (x, y) = (0, 0) Az (x0, y0) = (0, 0) pontra teljesül a szélsőérték létezésére vonatkozó elegendő feltétel, mert 2   2 f  (1)(1)(0) 2  0 , és  2 f  (1)0 miatt ez maximumhely (a kupola   x y  x 2 x 2 y 2   csúcspontja). 2 f 2 f 1. FELADAT

ÉRTELMEZÉSI TARTOMÁNY ÉS SZINTVONALAK Határozza meg és ábrázolja a kétváltozós függvény értelmezési tartományát és a z0 = , 0, 1, 2 magasságokhoz tartozó szintvonalakat! 1 x a) z  x y b) z  log 2 y c) z  x   y d) z  y  x e) z  e x  y f) z  3 y  x 3 g) z  x 2  2 x  y h) z  x  2 y i) z  j) z  cos( x y ) k) z  log 2( y  2 x ) l) z  log 2 siny x 1 x y 2 m) z  2log2 y o*) z  log n*) z  log x y x y x x r*) z  x 2  y 2  cos (2π x 2  y 2 )  1 q*) z  x  4 ( x  y ) 4 p) z  x  3 ( x  y ) 3 s*) z  2 sin π x2 2x2  y 2 2. FELADAT PARCIÁLIS DERIVÁLÁS Adja meg a) z  x  y a függvény b) z  xy első és parciális derivált c) z  x 2  y d) z  2 xy  cos x  sin y f) z  2 x 10 y g) z  x 2  y 2  ln xy  tg x  ctg y k) z  ln( y e x ) második l) z  sin xy sin x e) z  cos

y h) z  xe x  y i) z  x y m) z  tg ( x  y ) n) z  ( x  y ) 9 függvényeit! j) zx y y o) z  ln sin x p) z  lg y 3. FELADAT SZÉLSŐÉRTÉKEK Keresse meg a függvény lehetséges szélsőérték-helyeit, és ha vannak, ellenőrizze a szélsőérték elégséges feltételét ill. számítsa ki a helyi szélsőértéket! a) z  e x  e  y b) z  x 2  y 2 c) z  x 2  y 2 d) z  10 x 2  14 xy  5 y 2  2 x  2 y  2006 f) z  x 2  xy  y 2  x  y  1 g) z  ( x  2y  1)(2 x  y  1) h) z  2 x 2  3xy  y 2  x  2 y  1 i*) z  x 4  4 x 2 y  5y 2  4y y k) z  j) z  ln sin x ctg x y 2 1 n) z  ln ( x 2  x  1)  e y  e) z  2 y( x  y )  x( x  1) 2 m) z  log y x l) z  tg lnyx e o) z  e x  x  ( y 2  1) 1 2 Megoldókulcs  1. feladat a) ÉT={(x,y): (x>0 és y>0) vagy (x<0 és y<0) vagy x=0 vagy

y=0} (1. és 3 síknegyed plusz a tengelyek); SzV: z0= : üres, z0= 0: x=0 vagy y=0 (tengelyek), z0= ,2: y  z02 / x (hiperbolák) b) ÉT={(x,y): (x>0 és y>0) vagy (x<0 és y<0)} (1. és 3 síknegyed, tengelyek nélkül); SzV: y  2  z 0 x = 2x, x, x/2, x/4 (egyenesek, az origó pontját kivéve) c) ÉT={(x,y): y 0} (alsó félsík plusz x-tengely); SzV: y= (xz0)2 (fordított parabolák) d) ÉT={(x,y): y0} (teljes sík mínusz x-tengely); SzV: y= 1/(x+z0) (hiperbolák) e) ÉT= 2 (teljes sík); SzV: y= ln z0x:: z0= ,0: üres, z0= 1,2: y = x, ln 2  x (egyenesek) f) ÉT= ; SzV: y = x 3 + z03 g) ÉT={(x,y): y  (x1)2+1} (parabola plusz a fölötte lévő terület); SzV: z0= : üres, z0 0: y= (x1)2+1+z02 (parabolák) h) ÉT= 2; SzV: z0= : 2 y =  log2 (x), z0= 0: x = 0, z0= 1: y = log2 x, z0= 2: y = 1  log2 x i) ÉT={(x,y): xy2} ( 1 kivéve az x=y2 parabolát); SzV: y =  x 1,

üres,  x 1,  x  12 (fektetett parabolák) ÉT={(x,y): y 0} (felső félsík plusz x-tengely); SzV: y = x 2 1 (( 2k 1) π)2 (( k  2 ) π) ( 2k π)2 x2 , x2 x , x2 x , üres 2 , j) k) z ÉT={(x,y): y> 2 } (2 görbéje fölötti terület, a görbe nélkül); SzV: y = 2 + 2 0 l) ÉT={(x,y): y sin x > 0} = {(x,y): xk, 0+2k< x <+2k  y> 0, +2k< x <2+2k)  y< 0, z k }; SzV: y = 2 0 sin x, kivéve az x-tengellyel való metszéspontokat m) ÉT={(x,y): x>0, y0} (jobb félsík, kivéve a tengelyeket); SzV: z0= ,0,1: üres, z0= 2: y = log2 x, x1 n) ln y z  log x y  ln x , ÉT={(x,y): y>0, x>0, x1} (1. síknegyed, a tengelyeket és az x=1 egyenest kivéve); o) z  log SzV: y x z y=x 0 (x>0, x1) x  2y , ha (x,y)  ÉT={(x,y): x>0, x1, y0} (jobb félsík, a tengelyeket és az x=1 egyenest kivéve); SzV: y = 2/z0= 2, üres, 2, 1

(x>0: vízszintes félegyenesek, az x=1 pontot kivéve) p) z = y, ÉT= 2; SzV: y = z0 (vízszintes egyenesek) q) z = x = y, ha (x,y)  ÉT={(x,y): y= x} (csak egy egyenesen értelmezett, így a grafikonja nem valódi felület, csak egy térgörbe, a szintvonalak pedig csak pontok); SzV: pontok: (-1,1), (0,0), (1,1), (2,2) r) z = x2 + y2, ha (x,y)  ÉT={(x,y): x2 + y2= k2, k } (origó középpontú, egész szám sugarú koncentrikus körvonalak, a grafikon nem valódi felület); SzV: z0= : üres, z0= 0: (0,0) pont, z0= : x2 + y2= 12 (egységkör), z0= 2: üres s) ÉT=={(x,y): (x,y)(0,0)}= 2{(0,0)} (teljes sík, kivéve az origót); SzV: z0= : üres, z0= 0: x= 0, y 0, z0= : y= ±2x, x 0, z0= 2: y= 0, x 0  2. feladat a) xz  y , yz  x ,  2z  0 , xzy  1 ,  z2  0 2 2 2 x y ,  2z  0 , xzy  2 ,  z2  2 x3 2 b) xz  1y , yz  x 2 y

x c) xz  2 x , yz  1 ,  z  2 , xzy  0 ,  z2  1 3 2 y x2 y 4 y 2 2 1 y y 2 2 y 2 d) xz  2 y  sin x , yz  2 x  cos y ,  2z  cos x , xzy  2 ,  z2  sin y 2 2 2 x cos x z e) xz  cos ,  y y sin x sin y y  sin x ,  2z  cos y , xzy  2 2 cos x sin y x 2 cos y z  2 x ln 2 , x g) z  2 x  1x  12 , x cos x cos y 2 sinx (cos2 y  2 sin2 y ) y cos3 y ,  z2  2z  2 x ln 2 2 , x2 z  10 x ln 10 , y f) 2 2z  10 x ln 2 10  y2 2z 0, xy 1 2z  2  2  2 sin3 x , x2 x cos x z  2 y  1y  12 , y sin y 2z 0, xy 1 2z  2  2  2 cos3 x 2 y y sin x h) xz  e x  y ( x  1) , yz  x e x  y ,  2z  e x  y ( x  2) , xzy  e x  y ( x  1) , 

z2  x e x  y 2 2 2 x y i) xz  y x y 1 , yz  x y ln x ,  2z  y ( y 1) x y  2 , xzy  x y 1 (1  y ln x ) ,  z2  x y ln 2 x 2 2 2 x j) xz   x y ln y k) xz  x 2 y 2 x y ln y ( 2 x  ln y ) x 4 x y , yz  x y ,  2z  x , xzy  2  x y ( x  ln y ) 3 x y 2 x y (1  x ) y x2 y2 ,  z2  2 2 x 2 ex y ex , yz  1 x ,  2z  , xzy   e x 2 ,  z2  1x 2 x 2 x x (ye ) (ye ) y (ye ) ye ye l) xz  y cos xy , yz  x cos xy ,  2z   y 2 sin xy , xzy  cos xy xy sin xy ,  z2   x 2 sin xy 2 2 2 x m) xz  yz  y 2 tg ( x  y ) 2z 2z 2z 1    2 , 2 2 2 x y  x cos ( x  y ) cos ( x  y )  x n) xz  9( x  y )8 , yz  9 ( x  y )8 ,  2z   z2  72

( x  y ) 7 , xzy  72 ( x  y ) 7 o) xz  ctg x , yz  1y ,  2z  2 x p) xz  0 , yz  y ln110 ,  2z  2 x 2 2 x y 2 2 1 1 , xzy  0 ,  z2   2 2 sin x y y 2 1 2z  0 ,  z2   2 x  y y y ln10 2  3. feladat a) xz  e x  0  nincs krit.hely b) min.hely: (0,0), minértéke: z = 0 c) krit.hely: (0,0), nem SzÉ-hely d) min.hely: (2, 3), minértéke: z = 2005 e) max.hely: (1, ½), maxértéke: z = ½ f) min.hely: (⅓, ⅓), minértéke: z = ⅔ g) krit.hely: (0,2; 0,6), nem SzÉ-hely h) krit.hely: (4, 5), nem SzÉ-hely i) krit.h: (0; 0,4), nem SzÉ-hely; minhelyek: (±2, 2), minért: z = 4 j) yz  1y  0  nincs krit.hely k) xz  1  0  nincs krit.hely ( y  1) sin2 x l) xz  1  0  nincs krit.hely cos2 ( e  y ln x ) e y x 2 m) xz  x ln1 y  0  nincs krit.hely

n) min.hely: (½, 0), minértéke: z  ln 34e o) max.hely: (½, 0), maxértéke: z  4 e 1