Matematika | Felsőoktatás » Pókelmélet

1. A kaotikus viselkedés lehetosége a pókháló modellben 1.1 Az idotényezo figyelembevétele a közgazdaságtanban Mivel a kaotikus mozgás a dinamikus rendszerek jellemzoje, nyilvánvaló, hogy káoszt olyan közgazdasági modellekben érdemes keresni, amelyek figye lembe veszik az idotényezot, a gazdasági folyamatok idobeli lefutását. A közgazdasági gondolkodás hosszú ideig nem számolt a jelenségek idobeli alakulásával, kizárólag az egyensúlyi helyzetre koncentrált. Az egyensúlyt pedig, mint a gazdaság legideálisabb állapotát tárta elénk, amely a piaci automatizmusok révén mindig megvalósul. Elhanyagolta azt a kérdést, hogy az egyensúly hogyan jön létre, s hogy miként áll helyre, ha a gazdaság kilendül az egyensúlyi helyzetbol. A nagy gazdasági válság idoszakában a közgazdászok rádöbbentek, hogy a piaci mechanizmus nem olyan tökéletes, mint azt korábban hitték. Elkezdték komolyabban keresni az okát, hogy a tokés gazdaság

automatizmusai miért nem képesek megoldani a gazdasági élet égeto problémáit. Rövidesen a gazdasági folyamatok idobeli lefolyását olyan tényezonek kezdték tekinteni, amely akadályozza, hogy a „láthatatlan kéz” elvezesse a gazdaságot az optimális állapotba. „Rosenstein-Rodan 1929-ben és 1934-ben megjelent tanulmányában rámutat arra, hogy az idotényezo figyelmen kívül hagyása folytán az egyensúlyi elmélet képviseloinek ábrázolásában az egyensúly megbomlásakor a helyreállítása irányában ható erok azonnal muködésbe lépnek, a kereslet kínálat hatása az árra, az ár hatása a kereslet kínálatra azonnal jelentkezik, és azonos reakciósebességgel. Hangsúlyozza, hogy a valóságban ido kell ahhoz, míg eme ellensúlyozó tényezok muködni kezdenek, s reakciósebességük is különbözo. Emiatt az egyensúly megbomlásakor az egyensúly tartósan felborulhat. Éppen ezért az egyens úlyi helyzet vizsgálatán kívül arra is

figyelmet kell fordítani, hogy mi történik akkor, amikor az egyensúly még nem állt helyre.”Mátyás[3] Az idotényezo figyelembe vétele révén került be a közgazdaságtanba a statika és a dinamika fogalma. Ezen fogalmak értelmezésével kapcsolatban kétféle álláspont létezik Az egyik szerint, amelynek a legfobb képviseloje Harrod a statika és a dinamika a gazdaság, a vizsgált jelenség jellegére utal. A statikus értelemben vett gazdaságban hiányoznak a növekedés tényezoi, adott a népesség, a tokeállomány, a technikai fejlettség szintje, a fogyasztói ízlés, az újratermelés azonos szinten megy végbe. A gazdaság állapotát leíró változók ingadozhatnak, de nem lehet tartós lefelé vagy felfelé irányuló trendjük. Dinamika esetén muködnek a gazdaság növekedési tényezoi, bovített vagy szukített újratermelés megy végbe. A vizsgálat a fejlodéssel együtt járó tartós tendenciákra, a növekedés ütemére koncentrál. Ugyanilyen

értelemben a statika és dinamika fogalma mellett használatos még a stacioner valamint a fejlodo gazdaság kifejezés. A másik értelmezés, amelyet Ragnar Frisch dolgozott ki statikán és dinamikán vizsgálati módszert ért. Ilyen értelemben stacioner és fejlodo gazdaságot egyaránt lehet vizsgálni statikus és dinamikus eszközökkel. A statikus módszer állapotelemzést jelent, s az egyensúlyi helyzetre koncentrál. Valamennyi változó ugyanarra az idopontra vonatkozik, s minden változásra végtelenül gyorsan reagál. Fejlodo gazdaság statikus elemzése a gazdaságot egyensúlyi helyzetek sorozataként mutatja be anélkül, hogy kiterjedne az egyik egyensúlyból a másikba való átmenet folyamatának vizsgálatára. Ezzel szemben a dinamikus elemzés folyamatelemzés, az egymást követo állapotokat láncszeruen kapcsolja össze, a változók különbözo idopontokra vonatkoznak, az egyenletek ezek között létesítenek kapcsolatot. A vizsgálat nem tételez

fel végtelen reakciósebességet, s számol azzal, hogy a változók reakciósebessége eltéro. Mindez lehetové teszi a változók értékeinek egymásból következo alakulásának, idoösvényének, trajektóriájának meghatározását. 1 Samuelson a dinamikus elemzés két formáját különbözteti meg. A periódus- és a rátaelemzést „A perióduselemzés a vizsgált idoszakot egymás utáni véges nagyságú periódusokra bontja, a változók az ido múlásával nem folyamatosan változnak, hanem a periódus végén ugrásszeruen. Nem lehet oket az ido szerint deriválni. A felhasznált matematikai apparátus a differenciaegyenlet. A rátaelemzés feltételezi, hogy a változók az ido folyamán folyamatosan változnak, az ido szerint lehet oket deriválni. Matematikai apparátusa a differenciálegyenlet, amely valamely változó és deriváltja között létesít függvényszeru kapcsolatot. A választás periódus- vagy rátaelemzés között teljesen a kényelem

dolga, ugyanis, ha a periódust elég rövid idotartamúnak vesszük, közeledhetünk a rátaelemzéshez, és elhanyagolhatjuk eme periódusokon belüli viszonyokat.”Mátyás[3] 1.2 A klasszikus pókhálómodell A pókhálómodell alkalmazásával történo vizsgálat dinamikus elemzést jelent, amely stacioner gazdaságot tételez fel. Stacioner gazdaság estén a termelés hosszú távú színvonala változatlan, nincs lefelé vagy felfelé irányuló trendje. A modell tehát feltételezi, hogy hosszútávon változatlan keresleti és kínálati függvény érvényesül, amelynek egyensúlyi pontja körül ingadozik az ár és a termelt mennyiség. A vizsgálat arra helyezi a hangsúlyt, hogy mi történik az egyensúly megbomlásakor az ún. átmeneti idoszakban, az egyensúly az áraknak és mennyiségeknek milyen sorozatán keresztül áll helyre, s helyreáll-e egyáltalán. A modell alapjait 1930-ban egymástól függetlenül dolgozta ki Henry Schultz, Jan Tinbergen és

Umberto Ricci. Jelentos mértékben fejlesztette tovább Mordecai Ezékiel A modell alapja, hogy a kereslet gyorsabban képes reagálni az árváltozásra, mint a kínálat. A modell feltételezi, hogy a kínálat rövidtávon teljesen rugalmatlan. A vizsgálat során az idoszakokat, periódusokat olyan rövidre kell választani, amelyen belül a termelok a kínálat összmennyiségét nem tudják megváltoztatni. Így a kínálat csak egy idoszakkal lemaradva képes reagálni az árváltozásra, míg a kereslet reakciósebességérol feltételezzük, hogy végtelenül gyors . Egyensúlytalanság esetén adott keresleti és kínálati függvény mellett az egyensúly egyik idoszakról a másikra akkor állna helyre, ha a termelok ismernék az egyensúlyi árat, és ahhoz igazodva a következo idoszakban egyensúlyi mennyiséggel jelennének meg a piacon. Mivel ezt nem ismerik a jelenlegi, nem egyensúlyi árhoz igazítják a termelést, így a következo idoszakban nem egyensúlyi

mennyiséget visznek a piacra, amelyet nem egyensúlyi áron értékesítenek. A következo idoszakra vonatkozó termelési döntéseiket pedig ezen új, szintén nem egyensúlyi árra alapozzák. Ezt a dinamikát az s q t = S ( p t−1 ) q d t = q st 1.1 q d t = D ( pt ) egyenletrendszer írja le, (ahol q d t és q s t a kereslet és a kínálat mennyiségét, pt a termék árát jelöli a t idoszakban, D és S a keresleti és a kínálati függvény). A középso egyenlet nem jelenti a kereslet és kínálat hagyományos értelemben vett egyensúlyát, hiszen az egyenlo mennyiségekhez tartozó árak különbözo idoszakokra vonatkoznak. Az egyenletet piactisztító egyenletként (market clearing equation) is emlegetik, azt fejezi ki, hogy a termelok adott idoszakban a teljes megtermelt mennyiséget értékesítik. Az az ár, amelyen ezt megtehetik a keresleti függvény alapján határozható meg, s ez lesz az adott idoszakban érvényesülo piaci ár. A 1.1 ábrán Tinbergen

féle nyílsémával szemléltetjük a különbözo idoszakokra vonatkozó változók láncszeru kapcsolatát. 2 p qd qS t-1 t t+1 t+2 t+3 1.1 ábra A pókháló modell Tinbergen-féle nyílsémája Monoton keresleti és kínálati függvények esetén alapvetoen háromféle mozgás lehetséges. A 1.2 ábra a lineáris függvények mellett mutatja be ezeket Az ábrákon látható, hogy a termelok az elso idoszakban az egyensúlyinál nagyobb Q1 mennyiséggel jelennek meg a piacon, amelyet az egyensúlyinál alacsonyabb p1 áron értékesítenek. Azt remélve, hogy a következo idoszakban is ez az ár érvényesül az egyensúlyinál alacsonyabb, Q2 mennyiséget termelnek, amelyet az egyensúlyinál magasabb p2 áron adnak el, amit termelési döntéseiknél alapul véve a következo idoszakban ismét az egyensúlyinál magasabb mennyiséget visznek piacra, és így tovább. Ennek során a termelés és az ár idosora három különbözo viselkedést mutathat. A legfelso

ábrán látható esetben a kereslet rugalmasabb, mint a kínálat, ekkor az egyensúlyi pont stabil fixpont, az ido elorehaladtával a rendszer a fixpont felé konvergál csillapodó oszcillációval a fixpont körül. A középso ábrán a kínálati függvény a rugalmasabb, ekkor instabil fixponttal találkozunk, a rendszer egyre távolabb kerül az egyensúlyi helyzettol, ezt nevezik robbanó oszcillációnak. A harmadik lehetséges dinamika a legalsó ábrán látható. A keresleti és kínálati függvény azonos meredekségu. Ekkor az egyensúly marginálisan stabil A mennyiség és az ár változatlan amplitúdóval ingadozik az egyensúlyi helyzet körül. Az elso esetben idovel helyreáll az egyensúly, az utóbbi ketto esetben erre nem számíthatunk. 3 1.2 ábra A pókháló mozgás 4 Monoton keresleti és kínálati függvények esetén, ha legalább az egyik függvény nem lineáris a változatlan amplitúdójú ciklikus mozgás úgy is létrejöhet, hogy az

nem marginálisan stabil fixpontnak, hanem stabil p=2 periódusú határciklusnak az eredménye, ekkor a rendszer a határciklusú attraktor felé tart, majd idovel, ha külso hatás nem éri állandósul a változatlan amplitúdójú mozgás. A 1.1 egyenletrendszerbol az áralakulásra felírható a p t+1 = D −1 ( S ( pt )) 1.2 differenciaegyenlet, amelynek fixpontja, (az egyensúlyi ár) a p e = D −1 ( S ( p e )) egyenletbol határozható meg. A fixpont stabil, ha 12 jobb oldalának a p e fixpontban vett p szerinti differenciálhányadosára teljesül, hogy dD −1 ( S ( p)) <1 dp p= pe A differenciálszámítás láncszabálya szerint: dD −1 ( S ( p )) dD −1 ( S ( p)) dS ( p) = , dp dS ( p ) dp ahol a jobb oldalon szereplo szorzat elso tényezoje egy olyan függvény, amelynek értéke a p e egyensúlyi pontban nem más, mint a D ( p) keresleti függvény egyensúlyi árnál vett meredekségének a reciproka. Így a stabilitás általános kritériuma felírható a S

' ( pe ) −1< <1 D' ( p e ) alakban. Ezzel általánosan is igazoltuk, amit lineáris függvények esetén a grafikus ábrákról leolvashattunk. A 11 egyenletrendszer által leírt dinamikus rendszer stabil, ha a keresleti és kínálati függvények metszéspontjában a keresleti függvény meredekségének abszolút értéke nagyobb, mint a kínálati függvény meredekségének abszolút értéke, azaz ha az egyensúlyi pont környezetében a kereslet érzékenyebb az árváltozásra, mint a kínálat. 1.3 Kaotikus dinamika a pókhálómodellben Láttuk, hogy monoton keresleti és kínálati függvény mellett a pókhálómodell három féle idobeli lefutást mutathat. De lehetoség van arra, hogy a modellt kissé módosítva, az a logisztikus leképezés esetében látott sokrétu, bonyolult dinamikát mutasson. Ahhoz, hogy a modell kaotikus mozgást írhasson le, olyan változtatásokat kell bevezetni a hagyományos modellbe, hogy annak egyenleteibol levezetheto

legyen egy olyan xt +1 = f ( xt ) differenciaegyenletet, amelyben f (x ) a logisztikus leképezés hasonlóan, rendelkezik helyi szélsoértékkel, amely elvégzi a nyújtást és az összehajtást, és ezáltal lehetoség nyílik arra, hogy a modell meghatározott paraméterértékek mellett különbözo periódusideju határciklusú attraktorokhoz, valamint különféle sávszerkezetu különös attraktorokhoz konvergáló trajektóriákat írjon le. Az elozo fejezetben tárgyalt monoton keresleti és kínálati függvények esetén, a kérdéses differenciaegyenlet p t+1 = D −1 ( S ( pt )) alakú, ahol a D −1 o S függvény monoton csökkeno, nincs helyi szélsoértéke, ezért kaotikus mozgás, és p=2-nél hosszabb periódusú ciklikus mozgás nem lehetséges. A függvény monoton csökkenése az oka, hogy stabil fixpont esetén a rendszer két oldalról, csillapodó oszcillációval közelít a fixponthoz. Az egyik módja, hogy a modellt alkalmassá tegyük kaotikus mozgás

leírására, hogy feloldjuk a keresleti és kínálati függvények monotonitásának követelményét, 5 vagyis megengedjük a visszakanyarodó keresleti, illetve kínálati függvényt. Artstein (1983), Jensen és Urban (1984), Lichtenberg és Ujihara, valamint Day és Hanson (1991) mutatta ki, hogy ha a keresleti, illetve kínálati függvények közül legalább az egyik nem-monoton megvalósulhat az árak kaotikus mozgása. A legtöbb esetben a visszakanyarodó keresleti, illetve kínálati függvény távol esik a valóságtól, ezért továbbra is tételezzük fel, a függvények monotonitását. Monoton függvények esetén is lehetséges a kaotikus viselkedés, ha feltételezzük, hogy a termelok árvárakozásaikat az ún. adaptív modell szerint alakítják Az adaptív várakozásokat a pókháló- modellbe lineáris keresleti és kínálati függvények mellett Nerlove (1958) vezette be, amelynek lényege, hogy az árvárakozások a π t + 1 = (1 − w)π t + wpt 0 ≤

w ≤ 1 1.3 képlet szerint alakulnak, ahol π t a várt, pt a tényleges árat jelöli a t idoszakban. Tehát az új várt ár a korábbi várt ár és a tényleges ár súlyozott számtani átlaga, a w paraméter a várakozások súlyozási tényezoje (expectations weight factor). A hagyományos modellben w = 1 , ekkor: π t +1 = pt , amit a naiv várakozások esetének is neveznek. w minél kisebb, a termelok annál kisebb súllyal veszik figyelembe termelési döntéseiknél a megvalósult árat, azaz annál kisebb a reakciósebességük. Ha w = 0 π t+1 = π t vagyis a várakozások teljesen érzéketlenek a megvalósult árakra. A várakozások adaptív modelljének beiktatása lehetoséget biztosít, hogy anélkül lassítsuk a kínálat reakciósebességét, hogy az árak és mennyiségek alakulását egynél magasabb rendu differenciaegyenlet írná le. Az adaptív várakozásokat bevezetve sokféle olyan monoton keresleti és kínálati függvény létezik, amelyek kaotikus

viselkedést eredményeznek a pókháló- modellben. Finkenstädt és Kuhbier (1992) igazolta, hogy kaotikus viselkedés lehetséges a pókhálómodellben adaptív várakozások, lineáris kínálati és nem- lineáris monoton csökkeno keresleti függvény mellett. A továbbiakban a lineáris keresleti és az S alakú kínálati függvény esetét fogjuk részletesen tárgyalni. Ezt a modellt elemezte: Carl Chiarella (1988), Cars H Hommes (1994), valamint Jason A. C Gallas és Helena E Nusse (1996) Az általuk vizsgált modell a következo egyenletekkel írható le. A lineáris keresleti függvény ez esetben: q d t = b0 + b1 pt b0 > 0 , b1 < 0 1.4 A kínálati függvény pedig: q s t = f (π t ) , 1.5 ahol az f: függvény S alakú, azaz szigorúan monoton növekvo, és egyetlen inflexiós pontja van, amelytol balra alulról nézve konvex, jobbra pedig konkáv. Az egyszeruség kedvéért tételezzük fel, hogy f ' (π ) 0 , ha π ∞ . A kínálati függvény látható a

13 ábrán 6 qS π 1.3 ábra Nem-lineáris kínálati függvény A termelok minden idoszakban a teljes megtermelt mennyiséget értékesítik, azaz itt is érvényesül a piactisztító egyenlet: b0 + b1 pt = f (π t ) 1.6 A modell Tinbergen féle nyílsémáját mutatja a 1.4 ábra A nyílséma által szemléltetett folyamat a következo: adott idoszakra vonatkozó árvárakozásaikat a termelok a megelozo idoszakra vonatkozó várakozásaik és a tényleges árak alapján az adaptív modell szerint formálják. p qd qS π t-1 t t+1 t+2 t+3 1.4 ábra Tinbergen féle nyílséma 7 Ebbol kiindulva a kínálati függvénynek megfelelo mennyiséget termelnek és visznek piacra, ahol a teljes termékmennyiséget a keresleti függvénybol levezetheto áron tudják eladni. A kialakult ár újra alapul szolgál a következo idoszakra várt ár meghatározásához. Természetesen az idoszakok határait a termelési ciklus jelöli ki úgy, hogy egy adott idoszakon belül a

kínálat teljesen rugalmatlan. Ha a 1.6 egyenletbol kifejezzük pt -t, és behelyettesítünk 13-ba eljutunk a π t+1 = g (π t ) 1.7 elsorendu differenciaegyenlethez, ahol bw wf (π ) g (π ) = − 0 + (1 − w)π + 1.8 b1 b1 Vizsgáljuk meg milyen lehet a g függvény alakja. g deriváltját wf ' (π ) g ' (π ) = (1 − w) + b1 egyenlové téve nullával, és az egyenletet átrendezve az 1 f ' (π ) = −b1 ( − 1) 1.9 w összefüggéshez jutunk (1.5 ábra), vagyis a g (π ) függvénynek azon π értékeknél van szélsoértéke, ahol 1.9 teljesül Az ábráról látszik, hogy a g függvénynek maximum két szélsoértéke lehet. Az ábrán látható görbe tulajdonképpen egy harang alakú görbe elso síknegyedbe eso része, amely a végtelenben nullához tart. A vízszintes egyenes és a haranggörbe kölcsönös helyzetétol függoen négy esetet különböztethetünk meg. Az elso esetben (a 15 ábrán is ez látható) 1 f ' (0) < −b1 ( − 1) < f

' (π inf ) , w ahol π inf a kínálati függvény inflexiós helye, ekkor g -nek két szélsoértéke van a π 1 és π 2 helyen, ahol az egyenes metszi a görbét. g második deriváltjának elojele dönti el, hogy ezen helyeken a függvénynek maximuma vagy minimuma van-e: f ' (π ) − b1 ( 1 − 1) w f ' (π ) π2 π1 π 1.5 ábra f deriváltja 8 w f ' ' (π ) b1 π 1 -nél f '' (π ) pozitív, hiszen az elso derivált itt szigorúan monoton növekvo, a keresleti függvény meredeksége, b1 negatív így g ' ' is negatív, ezért a g függvénynek π 1 -nél lokális maximuma van. π 2 helyen a kínálati függvény második deriváltja negatív, így g ' ' pozitív, a függvénynek helyi minimuma van. g ' (π ) -nek egyetlen szélsoértéke van a π inf helyen, ezért f -hez hasonlóan egyetlen inflexiós pontja van. (16 b) ábra A két szélsoérték közül bármelyik elvégezheti adott esetben az

összehajtást, így ebben az esetben lehe tséges kaotikus mozgás. A második eset, amikor 1 f ' (π inf ) ≤ −b1 ( − 1) w Ekkor az egyenes a görbe felett helyezkedik el, így g -nek nincs szélsoértéke, a függvény monoton növekvo, így kaotikus viselkedés nem lehetséges. Mivel a függvény növekvo, ha a rendszer fixponthoz konvergál az nem két oldalról (csillapodó oszcilláció), hanem egy oldalról megy végbe. A harmadik estben 1 0 < −b1 ( − 1) ≤ f '( 0) w Ekkor egyetlen metszéspontot találunk, a lokális maximum g értelmezési tartományán kívül esik, de a minimumhelyre ekkor is számíthatunk, s az meghatározott esetekben káoszt is eredményezhet. A negyedik eset, amikor 1 0 = −b1 ( −1) w Ez az eset áll elo naiv várakozások esetén ( w = 1 ). Lásd 16 a) ábra Ekkor egyetlen lokális szélsoértéke sincs g -nek, s a függvény monoton fogyó, ezért kaotikus viselkedés nem lehetséges, csak csillapodó oszcilláció, p=2

periódusú határciklus, vagy egyre nagyobb amplitúdójú, robbanó oszcilláció. g''= 9 g (π ) a) b) g (π ) w<1 w=1 π π1 π2 π 1.6 ábra A g függvény w=1 és w<1 esetben A 1.6 ábra szerint, ahová a 45 ° -os egyenest is berajzoltuk, a π t+1 = g (π t ) differenciaegyenletnek egyetlen fixpontja van. Ezt bizonyítja az is, hogy a bw wf (π ) π = − 0 + (1 − w)π + 1.10 b1 b1 bw w egyenletet 0-ra rendezve kapjuk a 0 = − 0 − wπ + f (π ) egyenletet, amelynek jobb oldala π b1 b1 nek szigorúan monoton csökkeno függvénye, így az egyenletnek maximum egy megoldása lehet, vagyis a minimumhelyet (ha van) a függvény növekvo szakasza követi, de az egyenest még egyszer nem fogja metszeni. A fixpont stabilitásának feltétele, hogy teljesüljön az wf ' (π e ) − 1 < g ' (π e ) ≡ (1 − w) + <1 b1 egyenlotlenség, ahol π e a 1.10 egyenlet megoldásaként adódó fixpont Ezt átrendezve kapjuk a 2 f ' (π e )

1− < <1 w b1 összefüggést. Ha w = 1 a hagyományos pókháló modellnél megismert stabilitási feltételhez 2 jutunk. Vegyük észre, hogy w -t csökkentve, egyre szélesebb lesz az (1 − ;1) intervallum, azaz w adott keresleti és kínálati függvények mellett w minél kisebb annál valószínubb, hogy stabil fixpontot találunk. A g (π ) függvény további elemzéséhez induljunk ki abból, hogy az f S alakú függvény korlátos, felso korlátja ( lim f (π ) ) képviseli a maximális termelési mennyiséget, ezt jelöljük k π∞ val. Alsó korlátja a 0 , hiszen negatív termelési mennyiség nem értelmezheto A g függvény képletébe f helyére helyettesítsük alsó és felso korlátját, ezzel két párhuzamos egyenes egyenletéhez jutunk: 10 bw e1 = − 0 + (1 − w)π t b1 e2 = w ( k − b0 ) + (1 − w)π t b1 g (π ) görbéje ezen egyenesek között helyezkedik el (1.7 ábra) Az egyenesek meredeksége 1 − w , vagyis egynél kisebb, ezért g

meredeksége (abszolút értékben) csak a két szélsoérték között lehet egynél nagyobb. Ezért a nyújtás és összehajtás mechanizmusa sajátosan érvényesül. f (π ) a) π t +1 b) e1 k g (π ) e2 π inf π π inf πt 1.7 ábra az f és a g függvény Például a minimum esetében, a leképezés csak a minimumhelytol balra eso [0; π 2 ] intervallum egy részét nyújtja meg (feltéve, hogy itt a függvény egynél nagyobb meredekségu), a minimumtól jobbra eso [ π 2 ; +∞ ) intervallumot zsugorítja, majd a nyújtott és zsugorított szakaszokat hajtja össze , de ettol még lehetséges a kaotikus mozgás. A b) ábrán e2 átmegy az origón, ez akkor lehetséges, ha k = b0 -lal, vagyis a kínálat felso határa megegyezik azzal a mennyiséggel, amit a vevok maximum vásárolnának. Ha k > b0 az e2 egyenes lefelé tolódik, ekkor elképzelheto, hogy a g függvény negatív értékeket is felvesz, ami sérti a visszatérítési mechanizmust, mivel a

függvény a [0; + ∞ ) intervallumot nem önmagára vagy önmagába képezi le. Ha g nem vesz fel negatív értékeket, és káoszt találunk tulajdonképpen az egész [0; + ∞ ) intervallum a különös attraktor vonzási tartománya lesz. Ha létezik egy (a;b) intervallum, amelyen g( π ) <0, még el hetséges, hogy g a [0;a] intervallumot önmagára vagy önmagába képezi le, a maximum pedig biztosítja a nyújtást-összehajtást, és így káoszt találunk, a különös attraktor vonzási tartománya pedig a [0;a] intervallum. A negatív értékek problémája kiküszöbölheto, ha mesterségesen beépítjük a modellbe, hogy amennyiben g( π ) negatív g( π ) legyen nulla, de mindenesetre egyszerubb és a kaotikus viselkedés vizsgálatának jobban megfelel, ha b0 ≥ k . 11 kw . Ha a sávot szukítjük, a görbe hullámai b1 egyre inkább kisimulnak, egy ponton túl nem lesz abszolút értékben egynél nagyobb meredekségu pontja, így a rendszer egyre stabilabb

lesz, egyetlen fixponthoz fog konvergálni. A sávot tovább szukítve eljutunk a korábban tárgyalt második esethez, amikor g -nek nincs szélsoértéke és monoton növekvo. Most már az is nyilvánvaló, hogy ekkor a fixpont mindenképpen stabil. w paraméter elsosorban az egyenesek meredekségéért felel. w = 1 esetben két vízszintes egyenest kapunk, ezért nincs lokális szélsoérték, ez a negyedik esetnek felel meg. A két egyenes közötti sáv szélessége e1 − e2 = − 2. A pókhálómodell illesztése a termelési adatokra 2.1 Kiinduló feltételezések Az eloadáson bemutattuk, hogy adaptív várakozások, valamint lineáris keresleti, S alakú kínálati függvény mellett a pókháló- modell kaotikus mozgást is leírhat. Határozzuk meg, azokat a paraméterértékeket amelyek mellett a modell legjobban leírja a termelési adatok piacán az árak és mennyiségek alakulását. Ezzel lehetoség nyílik arra, hogy megállapítsuk, hogy a mennyiség és az ár

idosoraiban esetleg tapasztalható szabálytalan ingadozás külso véletlen hatás, vagy a modell törvényszeruségeibol fakadó determinisztikus káosz eredménye-e. A modell illesztésének az alapkoncepciója, hogy a statisztikai szolgálat által közzétett, az egyes évekre vonatkozó termelési és áradatokból kiindulva, a modell feltételezései alapján a legkisebb négyzetek módszere segítségével becslést adunk a modell paramétereire. Mindebbol következik, hogy élnünk kell egyrészt olyan feltételezésekkel, amelyeket maga az illeszteni kívánt modell követel meg, illetve olyanokkal, amelyeket az illesztéshez használt módszer tesz szükségessé. 2.11 A pókháló -modell feltételezései A pókhálómodell alkalmazása perióduselemzést jelent, vagyis az elemzés során a vizsgált idoszakot véges nagyságú, egyenlo hosszúságú periódusokra bontjuk, s feltételezzük, hogy a dinamikus rendszer állapotát leíró változók ne m folyamatosan

változnak, hanem ugrásszeruen az egyes idoszakok végén. A vizsgált dinamikus rendszernek természetesen az adott áru piaca felel meg, a piacot jellemzo változók pedig az ár, a termelok által felkínált mennyiség, valamint a vevok által a termék iránt támasztott kereslet. A mezogazdasági termékek piacai általában megfelelnek a perióduselemzés ezen követelményeinek, hiszen a szántóföldi növénytermesztés esetében, különbözo természeti adottságok következtében, a termelés nem folyamatosan, hanem szabályos idoközönként jelentkezik. Adott termékbol egy adott térség, például egy adott ország piacán az adott idoszakban megtermelt mennyiséggel, a betakarítást követoen a termelok viszonylag egyidoben jelennek meg a piacon, ahol kialakul az adott mennyiségnek és keresleti viszonyoknak megfelelo új ár. Tehát a legtöbb növényi termék piaca vizsgálható perióduselemzési módszerekkel. Az idoszakok határait a betakarítás idopontjai

jelölik ki, s az idoszakok hossza egy év. A modell ezen túlmenoen azt is feltételezi, hogy a kínálat adott idoszakon belül teljesen rugalmatlan. Ez a feltétel sincs messze a valóságtól, hiszen a növénytermesztés esetében két betakarítás között a termelok már nem tudják jelentosen megváltoztatni a kínálat mennyiségét, rövidtávon a kínált mennyiség többé-kevésbé adottság. Azonban a feltétel általában nem teljesül maradéktalanul. Bizonyos mértékig a következo betakarítást megelozoen tud a kínálat reagálni a kialakult árra. Ez alapvetoen két módon lehetséges Az egyik, hogy a termelok, ha az ár túlságosan alacsony nem viszik piacra az összes megtermelt mennyiséget, hanem egy részét 12 elraktározzák a következo idoszakra, azt remélve, hogy az ár emelkedni fog. Azt, hogy adott ár valamint a következo idoszakra várt ár mellett mennyit fognak raktározni, az dönti el, hogy a terméket milyen költség mellett lehet és

egyáltalán lehet-e hosszabb távon minoségromlás nélkül tárolni. Ha a termelo monopolhelyzetben van az is elofordulhat, hogy az összes termelt mennyiséget nem viszi piacra, és így esetleg kisebb mennyiséget magasabb áron értékesítve nagyobb árbevételt ér el. Ez kompetitív viszonyok mellett nem lehetséges, a termelok árelfogadók, ha a termék nem raktározható alacsonyabb áron is érdemes a teljes mennyiséget értékesíteni. A másik tényezo, amely rövidtávon növeli a kínálat rugalmasságát a külkereskedelem. A külkereskedelemnél a térségek közötti árkülönbségeken túl a szállítási költség és a protekcionizmus a figyelembe veendo tényezok. A modell illesztésénél feltételeznünk kell tehát, hogy a termék nem raktározható és nincs külkereskedelme, valamint a termelo nincs monopolhelyzetben. Ha mindez teljesül a termelok a teljes megtermelt mennyiséget az adott idoszak folyamán az adott térségen belül értékesítik. Az

adott termék többé -kevésbé megfelel ezen feltételeknek, nem jellemzo, hogy egy évnél hosszabb ideig raktároznák, a termelés meghatározó hányadát kistermelok adják s külkereskedelme is jelentéktelen. A termelt mennyiség csak a termelok által várt ártól függ, S alakú kínálati függvény szerint. Ez a feltétel sem jelent problémát, hiszen a termelok profitmaximalizálók, így magasabb várt ár mellett megpróbálnak többet termelni. Az S alakú kínálati függvény meredeksége szélsoséges várt árak esetén kisebb, mint a várt árak közepes szintjénél. Magas árak esetén a kínálat csökkeno érzékenysége a csökkeno hozadék elvével magyarázható, ami minden bizonnyal a mezogazdasági termékek, így az adott termék termelésénél is érvényesül. Az alacsony áraknál jelentkezo csökkeno árrugalmasságot általában a piacra való belépés illetve kilépés korlátaival indokolják. Feltételezzük továbbá, hogy a piaci ár csak a

piacra vitt áru mennyiségétol függ, lineáris keresleti függvény szerint. Ez sem tekintheto eros feltételezésnek, mivel a mezogazdasági termékek általában differenciálatlanok, így nagyobb mennyiség leginkább az ár csökkentése révén adható el. A következo feltételezésünk, hogy az árvárakozások adaptív módon alakulnak. Ez a feltétel nyilván kevésbé szigorú, mint a naív várakozások esete. Ezen túl még élnünk kell egy meglehetosen szigorú feltétellel, azzal, hogy a modell stacioner gazdaságot tételez fel. A stacioner gazdaságban ki vannak kapcsolva a növekedés tényezoi, azaz nincs bovített újratermelés, gazdasági növekedés, technológiai fejlodés, a népesség száma, összetétele hosszú távon nem változik stb. A valóságban azonban a növekedési tényezok muködnek, s bizonyos hosszútávú tendenciák érvényesülnek. Ha az elemzés csak pár évet fog át ez a feltétel nem jelent gondot, a trendek nem okoznak jelentos

változást, hosszabb távon azonban már valahogy kezelni kell az ebbol adódó problémát. 2.12 Az illesztés módszere által megkövetelt feltételezések Az illesztéshez felhasznált módszer a regressziószámítás, amelyet idosorok adataiból kiindulva, a legkisebb négyzetek módszerére támaszkodva fogunk elvégezni. Mivel a legkisebb négyzetek módszerének alkalmazásához minimum 15-20 adat szükséges kénytelenek vagyunk az alapadatok tekintetében legalább 1980-ig visszamenni. A számításokat ezért az 1980 és 1998 közé eso egyes évekre vonatkozó ár és mennyiségi adatokból kiindulva fogjuk végezni. Mivel kemény, matematikai módszer alkalmazásáról van szó, fel kell tételeznünk, hogy az elmúlt mintegy 20 évben a rendszer változói között változatlan minoségi összefüggések érvényesültek. A legtöbb mezogazdasági termék esetében ez a feltétel elfogadhatatlan, hiszen ez alatt az ido alatt lezajlott a szocializmusból a kapitalizmusba

való átmenet. A rendszerváltás során a mezogazdaságban jelentosen módosult a birtokszerkezet, a tulajdonosi struktúra, 13 átalakultak, megszüntek az állami gazdaságok, a termeloszövetkezetek, szemléletbeli változás zajlott le stb. De ezek a változások az egyes termékek termelését különbözo mértékben érintették. Legkevésbé érintették azon növények termelését, amelyek esetében a termelés nagy részét a 80-as években a háztáji és egyéni gazdaságok adták, mivel a termelés birtokszerkezete ezeknél a termékeknél a 90-es években nem változott meg jelentosen. Tehát ezek azok a termékek, amelyek piacát mindig is a kistermelok uralták. Ilyen termékek a burgonya, a bab, valamint a zöldségfélék és a gyümölcsök nagy része. Az illesztés végrehajtásánál élnünk kell a regressziós modellek szokásos feltételezéseivel. Nyilván nem várhatjuk el, hogy a pókháló- modell feltételei maradéktalanul teljesüljenek. Ezért a

modell egyenletei sztochasztikusan érvényesülnek, tehát feltételezzük, hogy minden egyenlet mellett közrejátszik egy véletlen mozzanat is. Tehát feltétezzük, hogy változatlan paraméterek mellett 1980-1998 között sztochasztikusan érvényesült egy elméleti pókháló-modell, amelynek és a véletlen tényezonek eredményeként eloálltak azok a kiindulási adatok, amelyek alapján megpróbáljuk megbecsülni az elméleti modell paramétereit. 2.2 A kiindulási adatok Az illesztésnél a termelt mennyisé és az ár idosoraiból indulunk ki. A KSH kiadványaiban a mezogazdasági termékekre vonatkozóan kétféle áradatot is közöl. Az egyik a felvásárlási átlagár, amely „a felvásárolt termékekért fizetett érték általános forgalmi adó nélkül, és a hozzátartozó mennyiség há nyadosa”. A másik a piaci átlagár, amely „a piacokon és az állatvásárokon a termelok által közvetlenül a lakosságnak értékesített termékek kínálati

átlagára. Az átlagár a felhozatali mennyiségek módusz árral (a leggyakrabban eloforduló ár) beszorzott értéke és a hozzátartozó mennyiség hányadosa”. A továbbiakban kizárólag a piaci átlagárra fogunk támaszkodni. Meg kell jegyezzük, hogy a modell esetén egy idoszak betakarítástól betakarításig tart, míg a statisztikai adatok naptári évre vonatkoznak. Ez a mennyiségi adatoknál nem probléma, de az árak esetén már jelent némi pontatlanságot. Az ábrákról kitunik, hogy mind az ár, mind a mennyiség tekintetében a vizsgált idoszakban egy lefelé irányuló trend érvényesül. Az adatokra lineáris trendet illesztettünk, a trendvonal egyenlete is leolvasható az ábráról. 2.3 A keresleti függvény paramétereinek meghatározása A lineáris keresleti függvény paramétereimek becslése nem okoz különösebb problémát. A függvény meredekségét és a függoleges tengellyel való metszéspontját lineáris regresszióval

közelíthetjük. Ezt azért tehetjük meg mivel a kereset és termelt mennyiség minden idoszakban megegyezik, hiszen érvényesül a piactisztító egyenlet. A modell feltételezései szerint a termelok várakozásaik alapján határozzák meg a termelés mennyiségét, s miután terméküket piacra vitték, a piacon kialakul egy ár, amelyen az összes megtermelt mennyiség értékesítheto. Azaz a regressziószámítás során tényezováltozónak a mennyiséget, eredményváltozónak pedig az árat kell választanunk. 2.4 A kínálati függvény meghatározása A kínálati függvény paramétereinek meghatározása már nem ilyen egyszeru. Eloször is a kínálati függvény a termelés és a várt ár között létesít kapcsolatot. Ezért a függvény meghatározása elott meg kell becsülnünk a várt árak idosorát. A modell szerint a várakozásaikat a termelok adaptív módon alakítják, azaz a várt és tényleges árakra teljesül, hogy π t +1 = (1 − w)π t + wpt .

Azaz adott pt értékek mellett a várt árak idosora függ a legelso idoszakra, 1980-ra várt ártól, valamint a w 14 paraméter értékétol. E két értéket válasszuk meg úgy, hogy a leheto legerosebb legyen a korrelációs kapcsolat a várt árak és a termelés idosora között. Egy ilyen problémát megoldhatunk a Microsoft Excel ún. Solver bovítményének a segítségével 2.41 Az adaptív modell paraméterének meghatározása Annak érdekében, hogy minél több információnk legyen az S alakú kínálati függvény meghatározásához, a sztochasztikus kapcsolat erosségének a maximalizálását lineáris regressziós modell feltételezése mellett végezzük el. Az eredményeket úgy kaptuk, hogy elkészítettük a táblázatot úgy, hogy az optimalizálandó változók helyére kiinduló értékeket írtunk, mivel megkönnyíti a Solver dolgát ha az optimálishoz közeli értékeket írunk a kérdéses cellákba. A táblázat elkészítéséhez természetesen

szükség van a várt árakra, amit a tényleges árakból határozzunk meg. A korreláció és regressziószámítás során eredményváltozónak a termelt mennyiséget, míg a tényezováltozónk a várt árat jelöljük meg. A korrelációs együttható a lineáris kapcsolat erosségét méri. A w kiinduló értékének 0,5-öt adtunk, míg az 1980-as várt árnak 60 Ft/kg-ot. Ezután mindhárom regressziós modellre külön-külön alkalmaztuk a Solvert, úgy hogy célcellaként az r 2 -et tartalmazó cellát módosuló cellákként w értékét és az 1980-as várt árat tartalmazó cellát jelöltük meg. A LEGYEN sorban természetesen a maximumot jelöltük meg Korlátozófeltételként megadtuk, hogy w (0 és 1 között) és a várt árak csak pozitívak lehetnek. 2.42 Az S alakú kínálati függvény becslése Az ábrán látható pontfelhore kell egy S alakú görbét illeszteni. Ennek a problémának nincs egyértelmu megoldása nagyon sok olyan S alakú görbe képzelheto

el, amely kielégíto pontossággal illeszkedik a pontokra. Egy S alakú görbe általában felosztható három szakaszra: egy exponenciális, egy lineáris és egy logaritmikus szakaszra. Mivel a pontokra legjobban a logaritmikus regressziós görbe illeszkedik, valószínuleg a pontok legjobban egy S alakú görbe logaritmikus szakaszára fognak illeszkedni. Annak érdekében, hogy egy konkrét függvényt tudjunk meghatározni további feltételezések szükségesek. Az S alakú görbe legyen az ún logisztikus görbe, amelynek képlete k f (x ) = , ahol k , a , b > 0 paraméterek. k értéke a telítettségi szint, vagyis − bx 1 + ae lim f ( x) = k , b pedig a telítettségi szint elérésének sebességét jellemzo paraméter. A függvény x ∞ k értéknél metszi. A függvény 1+ a szimmetrikus az inflexiós pontra, ahol a telítettségi szint felét éri el. Tegyük fel továbbá, hogy 0 Ft/kg várt ár esetén a termelés kisebb, mint 1000 tonna. A logisztikus

függvényt ugyancsak a Solver segítségével illeszthetjük. A Solver a kiindulóértékhez legközelebb eso helyi maximumot keresi. Hogy olyan megoldást kapjunk, amelynél a megvalósult értékek a görbe logaritmikus szakasza körül szóródnak, a paraméterekre ennek megfelelo kezdoértékeket kell adnunk. A várt ár idosorának legkisebb értéke 47,2 Ft/kg, a legnagyobb érték 114,92 Ft/kg. A termelt mennyiség legkisebb értéke 842,16 ezer t tartozik, a legnagyobb érték 1265,3ezer t. Az ezen pontokon átmeno görbe paramétereit az csak pozitív értékeket vehet fel, és a függoleges tengelyt a 15 k 1 + ke −b 47, 2 k 1265,3 = − b114 ,92 1 + ke egyenletrendszer megoldása adja: a = k = 1265,3 ; b = 0, 23 . Ha ezen értékek képviselik a Solver változóinak kezdoértékét, célfüggvényként pedig a reziduális szórást minimalizáljuk. Ezzel a modell illesztését elvégeztük. 842,16 = 16