Matematika | Felsőoktatás » Szűrők

Tartalomjegyzek 1 El}oszo 2 Az eredend}o problema 3 Ismerkedes a fogalmakkal 4 Kis lyukak, nagy lyukak 5 Ultraszorzatok 6 Normalis ultrasz}ur}ok 7 ( ,)-regularis ultrasz}ur}ok 8 A f}o eredmenyek 9 Egyebek 10 Utoszo Kotelez}o es ajanlott olvasmanyok 1 2 4 6 9 13 16 24 28 31 32 32 1 El}oszo A sz}ur}ok - es ezen belul az ultrasz}ur}ok - fontos szerepet jatszanak a modern halmazelmeletben,gy erdemes megvizsgalni egyes tulajdonsagaikat. Miel}ott ehhez hozzafognank, lassuk, mik is azok a sz}ur}ok. 20]-ben, peldaul ezt olvashatjuk: 1. Dencio Sz}ur}o, l Vizszerzes Ebb}ol rogton megtudjuk, hogy hol tudhatjuk, meg mi is az a sz}ur}o. A kovetkez}o dencio is inkabb sejtelmes, mint precz: 2. Dencio Viz-szerzes, l Vizvezetek Ha arra gondolnank, hogy vzvezeteket mar az okori Romaban is hasznaltak, gy a sz}ur}okr}ol is, mint a Romai Birodalom egyik erdekesseger}ol olvashatunk, alaposan csalodnank. Nezzuk a vzvezetek

rovidtett denciojat 3. Dencio Vizvezetek, vizben szegeny vagy rossz viz}u helyeknek kell}o mennyiseg}u es min}oseg}u vizzel valo ellatasara szolgalo letestmeny(.) A folyok altalaban lagy vizet adnak, de igen gyakran, f}okent aradaskor, zavarosak. Ezert el}obb meg kell tiszttani a vizet, miel}ott a varos hasznalatara bocsatanak. E celra mesterseges szur}oket kesztenek, melyek rendesen nagy uleped}o medencekb}ol allnak, hol a vz iszapjat hatrahagyva, kavicsretegen at sz}ur}odik meg, s igen jol megtisztul. De vannak kulonos szerkezet}u sz}ur}o berendezesek is, amelyek azonban nem mindig felelnek meg a celnak(.)(a hazi) sz}ur}ok rendesen kett}os falu edenyek, melyeknek egyik fala likacsos anyag (homokk}o, cserep, asbest), s melyen a vz keresztulhatolva iszapjat hatrahagyja(.) Ezzel a fallal fogunk reszletesen foglalkozni. Mas, sz}ur}ovel kapcsolatos dolog dencioja is hasznos lehet, hatha ott is utalnak a

sz}ur}okre. 4. Dencio Sz}ures (bor) A borban lebeg}o s abbol leulepedni nem akaro s annak zavarossagat v. homalyossagat okozo anyagok eltavoltasara a Sz-t hasznaljak. E celra a legkulonboz}obb szerkezet}u sz}ur}ogepek allnak a borkezel}o rendelkezesere() Sz. ( ltralas), igen fontos es nagyon gyakran hasznalatos kemiai m}uvelet, amely arra valo, hogy a folyadekot a benne lev}o csapadektol (oldhatatlan 2 anyagoktol) elvalasszuk. A Sz-hez tolcsert hasznalunk, amelybe alkalmas modon osszehajtott sz}ur}ot ( ltrum) teszunk(.) A jo sz}ur}o a rea ontott folyadekot gyorsan atereszti, mg a leg nomabb csapadekot is visszatartja, minek soran az atsz}urt folyadek ( ltratum) nem zavaros, hanem egeszen kristalytiszta. 21]-ben mar hasznalhatobb informaciokat talalunk: 5. Dencio sz}ur}o : 1 sz}ukebb ertelemben szilard anyagoknak folyadektol valo elvalasztasara szolgalo likacsos anyag (! sz}ures)(.) A sz}ures

meghatarozasat itt is erdemes elolvasni, hiszen itt kerul el}o egy szamunkra fontos fogalom. 6. Dencio sz}ures, ltracio hgor-b}oli : 1 szilard anyagok elvalasztasa folyadekoktol olyan sz}ur}oreteg segtsegevel, amelynek likacsain a folyadek reszecskei (sz}urlet) athaladnak, a szilard anyage azonban nem(.) Szubmikroszkopos meret}u reszecskek (pl. bakteriumok) kisz}uresere az ultrasz}ur}ok szolgalnakA vegyiparban hasznalatos sz}ur}ok szakaszos v folytonos uzem}uek. F}obb tpusai a homok-, szvo-, taskas-, pres-, dobsz}ur}o 2. a koznyelvben helytelenulgy nevezik a kulonfele orvosi ! sz}ur}ovizsgalatokat Ez utobbi valoban helytelen, de ha mar megemltik az ultrasz}ur}oket kulonosen nom szerkezet}u sz}ur}okkent, nezzuk mit rnak roluk: 7. Dencio ultrasz}ures : eljaras kolloid oldatok (!szolok) kulonboz}o nagysagu !szubmikroszkopos meret}u reszecskeinek egymastol, ill. a szubmiroszkopos reszecskeknek

az ! amikroszkopos meret}u reszecskekt}ol torten}o elvalasztasara. Az hez kulonlegesen el}oalltott sz}ur}ohartyakat (ultrasz}ur}ok) hasznalnak, amelyek porusnagysaga kisebb 1 mikronnal. Sz}ur}ohartya keszt het}o pl. kollodium oldatabol Ujabban megfelel}o modon kesztett dextran ( C6H10O5]x) preparatumokat hasznalnak a szubmikroszkopos meret}u anyagoknak kis molekulajuaktol valo elvalasztasara. Ezek fordtva m}ukodnek, mint az ultrasz}ur}ok(.) A tudomany el}orehaladtaval a fogalmak neha uj, praktikus jelentest kapnak. 22]-ben a sz}ur}or}ol kizarolag, mint a fenykepez}ogep alkatreszer}ol olvashatunk 1: 1 A fordtast angol eredetib}ol szakfordto nem hitelestette. 3 8. Dencio sz}ur}o, a fenykepeszetben, a vegyes osszetetel}u feny kulonboz}o hullamhosszu osszetev}oinek, a lmhez erkezes el}otti szelektv modostasara szolgalo eszkoz(.) A fekete-feher lmekben sznes sz}ur}oket hasznalnak a

feny modostasara, es hogy a kepet a szurke megfelel}o arnyalatara kesztsek. A sznes sz}ur}ok fenyesteni vagy sotetteni is tudjak a sznes targy kepet(.) Sznes fenykepezesnel a sznes sz}ur}ok a feny sznet alaktjak at a lm sznerzekenysegehez() 2 Az eredend}o problema A sznes sz}ur}ok vizsgalatakor merult fel az alabbi kerdes: Legyen  > ! szamossag, U uniform ultralter 2 -n. Legyen T olyan ! magas fa, amelynek minden x csucsabol  el megy folfele. Legyen A(x) x fols}o szomszedainak halmaza, A0(x) = fxg, An+1(x) = A(An(x)). Legyenek A(x) elemei megszamozva  elemeivel es tekintsuk A(x)-en az U(x) ultraltert, ami legyen kanonikus megfeletetese U -nak. Denialjuk a (VU  G ) topologikus teret! Legyen VT T csucsainak halmaza, legyen Y  V nylt, ha minden x 2 Y eseten fy 2 Y A(x)g 2 U . 9. Problema Meg tudjuk-e adni VU -nak egy olyan -sznezeset, hogy minden nem ures nylt halmaz tartalmazzon minden

szn}u csucsot? Erre rogton megkserlunk valaszt adni. 10. Tetel  = !1, eseten megadhato olyan !1 -sznezes, ami a 9 Problema megoldasa. Bizonytas Tekintsunk egy hY :  2 !i halmazsorozatot, ahol Y0 = !1, tovabba fennall, hogy   2 !,  <  eseten Y  Y es Y = :  Ha  2 1 !), akkor legyen 2! X = Y;1nY: Itt is, mint a kes}obbiekben altalaban, megszokasbol az ultralter szot hasznaljuk, ultrasz}ur}o helyett. 2 4 Ilyen sorozat letezese konnyen lathato, a 27. Tetel specialis esetekent be is fogjuk bizonytani. hX :  2 !i nyilvanvaloan particionalja !1 -et A csucsokat !1 elemeivel sznezzuk, minden nem 0-szn}u csucsot a sajat szne mellett meg egy zold szn}u indexszel is megjelolunk. Sznezzuk T gyokeret 0-szn}ure. Ha egy x csucsot 0-szn}ure szneztunk, az A(x) halmaz elemei legyenek rendre 1 2 :::  :::( 2 !1) kulonboz}o, szn}uek. Jeloljuk meg ezeket a csucsokat egy zold szn}u

!-val. Minden   !-ra, legyen f : ! !  bijekcio, ahol f (0) = 0, ha  < !, akkor legyen f = id :  ! . Ha y-t zold !-val jeloltuk es y szne   !, A(y)-on tekintsuk a fent denialt hX :  2 !i partciot, es 8 2 -ra sznezzu;k1 Xf ;1() elemeit -szn}ure. Jeloljuk meg ezeket a pontokat egy-egy zold f ( )-val. Ha y-t zold !-val jeloltuk es y szne   ! es z 2 A(y)  -szn}u es f;1 ( ) = n 2 ! vagy ha z-t zold !-val jeloltuk, z -szn}u es  = n < !, akkor minden k 2 1 n]-re es minden w 2 An(z)-re legyen w szne f(n ; k), jeloljuk meg tovabba w-t egy zold n ; k-val. Konnyen lathato, hogy minden csucsot kiszneztunk. Tekintsunk egy G  V nem ures nylt halmazt. Legyen x 2 G Ekkor fennall az alabbi esetek valamelyike: (1) x 0-szn}u. (2) x-et egy zold n 2 ! szammal jeloltuk. Ekkor An(x) elemei 0-szn}uek, T es G An(x) 6= . (3) x-et egy zold !-val jeloTltuk. Ekkor A(x) elemeit zold !-beli szamokkal

jeloltuk, es van y 2 G A(x). Igy latjuk, hogy minden halmazban van 0-szn}u x csucs. Legyen 2 !1 U uniformitasa miatt van olyan y 2 g T A(x), aminek a szne   . Legyen n = f;1( ). Ekkor az A(y)-t partcion alo hX :  2 !i konstrukci oja miatt, T T van olyan m 2 !, m  n, amire Xm G 6= . Legyen z 2 Xm G Ekkor Am;n (z) T G 6= , es ennek az elemei eppen -szn}uek lesznek. ~}| Ha  tetsz}oleges szamossag akkor a kovetkez}ovel probalkozhatunk: Tegyuk fel, hogy minden 0 <  szamossagra mar van kostrukcionk. (i) Legyen a gyoker 0-szn}u, azaz 0-szn}u. (ii) Ha x 0-szn}u, A(x) elemei legyenek kulonboz}o szn}uek. 5 (iii) Ha x 0-szn}u, es y 2 A(x) szne , akkor legyen 0 = cf (j j). Rendezzuk egy konalis reszet 0-tpusba es ezekkel a sznekkel csinaljuk meg y fole a 0 -ra ismert 0-szn}u pontok fole rt konstrukciot, amg ujra 0-szn}u pontokat nem kapunk. Itt a (iii) lepeshez arra van szuksegunk, hogy (A) -nak

letezzen olyanS hX :  2 0i partcioja, hogy < 0 jS j =  S  0) eseten X 62 U . 2S Igy felmerul a kovetkez}o kerdes: 11. Problema Milyen -ra es U -ra all fenn (A)? A tovabbiakban a 11. Problemat vizsgaljuk 3 Ismerkedes a fogalmakkal H. J Keisler nevehez f}uz}odik az alabbi dencio: 12. Dencio Legyen U ultra lter az I alaphalmazon,  szamossag Ha van I -nek olyan I=  X <  (1) partcioja, hogy S 2 ]< eseten S X 62 U , akkor azt mondjuk, hogy U  2S -felbonthato. Ekkor az (1) beli partciot U -felbontasanak nevezzuk U -felbonthatatlan, ha nem -felbonthato. El}oszor kimondunk nehany trivialitast. 13. A lltas Tetsz}oleges U ultra lter 1-felbonthato, es  < !,  6= 1 eseten -felbonthatatlan. 14. A lltas Legyen U uniform ultra lter a  szamossagon Ekkor U felbonthato Egyszer}u, de hasznos a kovetkez}o lemma: 6 15. Lemma Legyen U ultra lter az I alaphalmazon,   szamossagok Legyen

8 2  ] szamossagra U <-felbonthatatlan. Ekkor I barmely S  I = X partcioja eseten 9S 2 ] , hogy <  X 2 U:   2S (2) Bizonytas A 13. A lltas miatt vagy =  =  vagy  2. Ha  < !, az alltas trivialis. Legyen  vegtelen szamossag Rogztsuk -t Ha  , U felbonthatosagaS adja az alltast Tegyuk fel, hogy  < 0-ra az alltas igaz  X . Ekkor U  -felbonthatosaga miatt 9S    jS j = Legyen I =  0 0 <0S S 1 < 0, hogy X 2 U . Legyen X = X Tekintsuk I -nek az  2S  62S I = X S( S X ) partciojat. Ez (1 + 1) reszre particionalja U -t, amib}ol  2S az indukcios felteves alapjan ki tudunk valasztani S1  fg S S -et, hogy jS1j < es kielegti (2)-t, amit X 62 U miatt S1nfg  0 is megtesz. ~ S X 16. Dencio Legyen  szamossag U -felbonthato ultra lter, < felbontasa U -nak. Legyen U () = fS   :  X 2 U g:   2S U ()-t az U (egy) visszahuzasanak nevezzuk -ra.

17. A lltas Legyenek   szamossagok, U -felbonthato ultra lter Legyen U () U visszahuzasa -ra. Ekkor - U () uniform ultra lter -n. - Ha U -felbonthatatlan, akkor U () is -felbonthatatlan. Trivialis, nem bizonytjuk. A kovetkez}o fogalmat C. C Chang vezette be 4]-ben: 18. Dencio Legyen U ultra lter az I alaphalmazon,  szamossag Ha van olyan hY :  2 i sorozat, hogy ha  2 , akkor Y 2 U , es  <  <  eseten 7 (i) Y  Y , illetve (ii) Y  Y , tovabba T Y = , akkor U -t az (i) esetben (er}osen) -likacsosnak, vagy 2 mai szohasznalattal (er}osen) -lyukasnak, az (ii) esetben gyengen lyukasnak mondjuk. Az hYi sorozatra azt mondjuk ekkor, hogy (gyenge) -lyuk. Ha U semmilyen <  szamossagra sem gyengen -lyukas, akkor U -teljes. 19. A lltas Ha  regularis, az er}os illetve gyenge -lyukassag ekvivalens Ha  szingularis, minden er}os -lyuk gyenge is egyben. Gyenge  lyuknak van olyan resze, ami er}os cf ()-lyuk. Ha U

minden eleme legalabb  szamossagu, akkor er}os cf ()-lyukat ki lehet b}ovteni er}os -lyukka. Csak az utolso alltas nem trivialis, de az sem okoz nehezseget. A bizonytasat elhagyjuk. A tovabbiakban -lyuk alatt er}os -lyukat ertunk Az alabbi alltas a lyukassag es a felbonthatosag kozotti szoros kapcsolatot mutatja. A tovabbiakban altalaban a felbonthatosagot fogjuk vizsgalni, egyreszt a fogalom konnyebb kezelhet}osege miatt, masreszt mert szingularis szamossagokra er}osebb feltetel. 20. Lemma Legyen U ultra lter az I alaphalmazon,  Ekkor U -felbonthato ) U -lyukas, es U -lyukas ) U cf ()-felbonthato.  ! szamossag. S X -felbontasa U -nak. Minden  < -ra Bizonytas Legyen I = < legyen Z = S X , es Y = I nZ. Ekkor Z -nal kevesebb X unioja, gy   Y 2 U . T Y = , hiszen X -k paronkent diszjunktak Masik iranyba: A 19. A lltas miatt feltehet}o, hogyT  regularis Legyen hYi egy -lyuk.

Legyen minden  < -ra X = < Y nY X -k nyilvaSn diszjunktak lesznek, es S 2 ]< eseten van sup S < 0 < , gy T ( X ) Y0 = . ~  2S 8 4 Kis lyukak, nagy lyukak El}oszor azt vizsgaljuk meg, hogy egy lyuk milyen feltetelek mellett garantalja kisebb lyuk letezeset. A kovetkez}o ket tetel err}ol szol 21. Tetel Legyenek   olyan szamossagok, hogy <   2 , legyen U -lyukas ultra lter az I alaphalmazon. Ekkor U -lyukas is valamely szamossagra.  Bizonytas A 20. Lemma miatt van U -nak I = S2X -felbontasa Tekintsunk egy + 1 magas 2-fat, azaz olyan fat, aminek minden levelt}ol kulonboz}o csucsabol kett}o el indul felfele. A fa minden x csucsara legyen l(x) az x folotti levelek halmaza. Az X( 2 ) halmazokat rjuk a fa egyegy levelere, a tobbi levelre rjunk ures halmazt A fa levelt}ol kulonboz}o x csSucsaira, pedig B (x)-szel jelolve az x csucsra rt halmazt legyen B (x) = B (y): y2l(x) Minden

2 -re az -dik szinten lev}o csucsokra rt halmazok diszjunktak, s uniojuk I 2 U , gy koz}uluk legfeljebb egy U -beli van. Legyen 0 a legalso szint, ahol nincs U -beli. Legyen Y0 = B (z) 2 U , ahol z a fa gyokere, es minden 2 -re Y legyen az -dik szinten lev}o U -beli halmaz, ha < 0, kulonben nem deni aljuk. Konnyen lathato, hogy hY : < 0i monoton fogyo es B = <T Y 62 U . Legyen = cf ( 0 ) es tekintsuk hY i-nak egy hZ : 2 i kon0 alis reszsorozatat. Ekkor a hZ nB i sorozat -lyuk lesz ~}| 22. Dencio Legyen  szamossag Egy fat -Aronszajn fanak nevezunk, ha -magas, minden szintjen -nal kevesebb csucs van es nincs  hosszu aga. A  szamossag gyengen kompakt, ha er}osen elerhetetlen es nincs -Aronszajn fa. 23. Tetel Legyen  olyan szamossag, amire van -Aronszajn fa Legyen U -lyukas ultra lter. Ekkor van olyan <  szamossag, amire U -lyukas A bizonytas lenyegeben megegyezik a 21. Tetelevel, ezert elhagyjuk

Az eddigiek alapjan megallapthatjuk, hogy minden merhet}o szamossag gyengen 9 kompakt. Ezt egyebkent Erd}os P es A Tarski bizonytottak be el}oszor 1942ben Ismert tetel, a bizonytas megtalalhato, peldaul 19]-ban: 24. Tetel Ha U -lyukas ultra lter, es  kisebb, mint a legkisebb merhet}o szamossag, akkor U !-lyukas. Most, hogy bizonyos esetekben tudjuk, hogy egy -s (nagy) lyuk mellett mindig letezik !-s (kis) lyuk is, vizsgaljuk meg, hogy milyen feltetelek mellett letezik kozepes lyuk. Ennek egy fontos esetet fogalmazza meg a kovetkez}o tetel, amit 2 = + feltetel mellett C. C Chang bizonytoott be el}oszor, s aminek bizonytasa megtalalhato 1]-ben is. El}obb azonban nezzuk a hozza tartozo segedeszkozt: 25. Dencio Legyen   ! szamossag Legyen (A  :  2 +   2 ) olyan matrix, hogy minden  1 2 2 +   1 2 2  1 6= 2 eseten (i) A1  T A2  = , (ii) j+ n S A j < + : < (iii) A 1 T A 2 =

, Ekkor az (A  ) matrixot diszjunkt Ulam-matrixnak, ha (iii)-t nem teszszuk fel, akkor Ulam-matrixnak nevezzuk. 26. Lemma Legyen   ! szamossag Ekkor letezik (A  :  2 +   2 ) diszjunkt Ulam-matrix. Bizonytas Minden < + rendszamra legyen f : j felsorolasa. Legyen j! 2 A  , f () = . Ez jo lesz ~ -nak j j tpusu 27. Tetel Legyen  szamossag, U + -lyukas ultra lter valamilyen I alaphalmazon Ekkor (a) ha  regularis, akkor U -lyukas. (b) ha  szingularis, akkor U vagy cf ()-lyukas, vagy van olyan hogy minden 2  ) regularis szamossagra -lyukas. 10 < , Bizonytas U + -lyukas, Sgy a 20. Lemma miatt U + -felbonthat o is.  Ezert I -t felrhatjuk I = +X alakban, hogy minden S 2 +] eseten < S X 62 U . Igy U a kanonikus hozzarendelessel meghataroz + -on egy U 0 2S uniform ultraltert: ha A  + , akkor legyen A 2 U0 ,  X 2 U:  2A Ez U 0 egy -lyukahoz is egyertelm}uen hozzarendel egy U -beli

-lyukat, ezert eleg belatni, hogy U 0 -lyukas vagy -lyukas minden eleg nagy <  regularis szamossagra. Legyen (AS) a 26. Lemma szerint letez}o diszjunkt Ulam-matrix Legyen B  := A  Ha van olyan  < + , hogy minden  2  eseten < 0 B  62 U , akkor rogztve ezt az -t legyen minden  2 -ra B0 = S A  .  2  ) T 0 0 0 Ekkor nyilvanvalo, hogy B 2 U , B  =  es hB :  2 i monoton  2  ) fogyo, gy (gyenge)-lyuk. Ha viszont ilyen 0  nincs, akkor letezik olyan  2  es + kulonboz}o  2 + , hogy B  2 U . Legyen 2  +) regularis szamossa0g. Az altalanossag megszortasa nelk ul feltehet}o, hogy  < eseten B  2 U . Legyen minden 2 -ra C = S B  , ez nyilvanvaloan U 0 2  +1 ) beli, gy vagy C ( 2 ) egy -lyuk U 0 -n, vagy 9b 2 T2 C , azaz van olyan B  konalis halmaz, hogy  2 B eseten b 2 B  . Legyen g : B !  a kovetkez}o fuggveny: g() =  ha b 2 A : g injektv, hiszen (A ) Ulam-matrix, gy

jB j  j j < fennall. Viszont regularitasa miatt jB j = , ami ellentmondas. ~}| Igy a -lyukassagbol, ha nem is tudunk feltetlenul kovetkeztetni tetsz}oleges -nal kisebb lyukra, bizonyos feltetelek mellett a legkisebb (!) es a legnagyobb (;, ha letezik) letezeser}ol mar tudunk. Most sok kis lyukbol csinaljunk nagyot: 28. Dencio Ha  regularis limeszszamossag, akkor (gyengen) elerhetetlennek mondjuk 11 29. Tetel (K Prikry 2]) Legyen U ultra lter az I alaphalmazon Legyen  szamossag olyan, hogy fennall az alabbiak valamelyike. (a)  elerhetetlen , 2 = + . (b)  er}os limesz es U cf ()-felbonthato. (c) cf () = ! es U cf ()-felbonthato. Tegyuk fel tovabba, hogy <  eseten 9 2 + ), hogy U -felbonthato. Ekkor U -felbonthato. Bizonytas (b) es (c): Legyen = cf (). Tekintsunk egy h00 :  2 i monoton nov}o szamossag- (vagy rendszam) sorozatot, ahol lim  = . Megadunk egy B = f(  U ) :  2 g sorozatot, ahol lim =

, U = fA :  <  g  -felbontasa U -nak, ha  <  , akkor  <  es U nomtasa U -nek. Tovabba, ha  2 limeszrendszam, legyen igaz, hogy: 1 2 1 2 2 1 sup   > 2< . Legyen 0 = , U0 egy | a tetel feltevesei szerint letez}o | tetsz}oleges -felbontasa U -nak. Tegyuk fel, hogy < -re (  U )-t mar denia0ltuk Legyen el}oszor  = 0 +1. Legyen (  W ), olyan, amire  2 max(+0   ) ], U  -felbonthato, es W  -felbontasa U -nak. Legyen U a kanonikus nomtasa W -nek es U 0 -nak Ez nyilvanvaloan  -felbontasa U -nak Most legyen  limeszrendszam. Legyen U az U ( < ) felbontasok kanonikus nomtasa Ez I -t # reszre osztja valamilyen # szamossagra Ekkor = sup  < jelolessel #  j Q  j   2 < . Legyen (  W ), olyan, amire  2 < 0 + max((2 )   ) ], U  -felbonthato, es W  -felbontasa U -nak. Legyen U a kanonikus nom tasa W -nek es U -nak. Ez is nyilvanvaloan  -felbontasa 0 U -nak.  = lim

  lim   , gy transznit rekurzioval megkaptuk B-t Minden  2 rendszamra legyen 2 (sup   )+   ] regularis szamossag. < Legyen 0 = 0 < 1 < ::: < < ::: < ( 2 ) rendszamsorozat es legyen minden  2 -re W = fA# A : sup < 0 12  <  <  # 2  g: Ha  es W mar denialt ( < )-ra, akkor legyenS a legkisebb olyan rendszam, amire jW j  . Belatjuk letezeset: >sup  A0 2 U , gy ebbe U -nak  < tagja belemetsz, ezert ha   V   = fA# A : sup  <  <   # 2  g <  akkor rogztett  mellett lim regularitasa miatt van   < ! jV   j  . Igy , amire jV   j  . Legyen a legkisebb ilyen   Legyen W = S< W Belatjuk, hogy W -felbontasa U -nak. TLegyen S  WS, jS j = < S  valamilyen  < mellett. Legyen S = S  < < W Ha S 2 U , akkor S S  2 U , ami viszont ellentmondas, hiszen S W nomtasa U -nek.  < < (a): Legyen  = f <  : U -felbonthatog. Minden 2

-ra legyen U -felbontasa U -nak. Legyen W a kanonikus nomtasa az fU : 2 g  partcioknak. Ez I -t kevesebb, mint  =  reszre osztja Ha S  W , jSSj < , akkor feltevesunk szerint van olyan 2 , amire jS j < S. Ekkor S 62 U , ugyanis W nomtasa U -nek. Ha 9T  W , jT j = , T 2 U , akkor V = T SfI n S T g -felbontasa U -nak. Ha ilyen T nincs, akkor W  -felbontasa U -nak. ~}| 0 0 0 0   + + 5 Ultraszorzatok A kes}obbiekben hasznunkra lesz, ha megvizsgaljuk egy U ultralter felbonthatosaga es U szerinti ultraszorzatok szamossaga kozotti osszefuggeseket. Az alabbi tetel szerint, az eleg nagy ultraszorzat garantal bizonyos meret}u lyukakat. 30. Dencio Ha szamossag, akkor legyen termeszetes szamra legyen (n) =( (n;1) + ) . (0) = , es minden n > 0 31. Tetel (K Prikry 2]) Legyen U ultra lter az I alaphalmazon. Legyen  vegtelen szamossag es minden <   2(2 )+ eseten U -felbonthatatlan. Ekkor igazak az

alabbiak: (i) j Q =U j  2 . 13 (ii) Minden n termeszetes szamra j Q (n)=U j  (n)2 . (iii) Ha tetsz}oleges rendszam, Q =U -ban nincs (2 )+ tpusu fogyo sorozat. (iv) Ha   2(2)+ , akkor Q =U   . Bizonytas (i): Tegy uk fel, hogy j Q =U j > 2 . Ekkor leteznek olyan + f : I ! ( 2 (2 ) ) fuggvenyek, hogy ha  6=  f] 6= f ], azaz i 2 I eseten legyen fi : f(i) 6= f (i)g 2 U: Ai = ff  g : f(i) = 6 f (i)g (3) es minden A  (2 )+]2-hoz denialjuk az XA = fi : Ai = Ag: halmazt. fXA : A  (2 )+ ]2g I-nek legfeljebb 2(2)+ reszre valo partcioja A 15. Lemma miatt ekkor 9   es 9Ai( ) ( 2 ), hogy i() 2 I , Ai( ) 6=  es  X = XAi() 2 U: 2  Tekintsuk (2 )+ ]2 alabbi c sznezeset: c(  ) = minf : f  g 2 Ai( )g: Ez, (3) miatt, valoban sznezes. Az Erd}os-Rado tetel miatt 9Z  (2 )+ jZ j = + homogen halmaz, azaz   2 Z ) c(  ) = . Ezt a -t rogztve +  jff(i()) :  2 Z gj  , ami ellentmondas. (ii): n = 0-ra

(i)-b}ol kovetkezik. Tegyuk fel, hogy n ; 1-re igaz A 27. Tetel miatt U (n) -felbonthatatlan, ezert minden f : I ! (n) fuggvenyhez van U -beli halmaz, ahol f kevesebb, mint (n) kulonboz}o erteket vesz fel Igy j Y (n)=U j = j  Y =U j  (n) (n;1)2 = (n)2 : 2 (n) 14 (iii): Szinte szorol szora megegyezik (i) bizonytasaval. Tegyuk fel, hogy van ilyen sorozat, azaz leteznek f : I ! ( 2 (2 )+ ) fuggvenyek, hogy ha  <  , akkor f] > f ]. Legyen Ai = ff  g :  <  f(i) > f (i)g: Ugyanugy, mint (i)-ben, denialjuk az XA : A  (2 )+ ]2 halmazokat,  2   -re i( )-t es (2 )+ ]2 c sznezeset. Az Erd}os-Rado tetel miatt most is 9Z  (2 )+ jZ j = + halmaz, amire   2 Z ) c(  ) =  valamely  2 -re. Ezt a -t rogztve hf(i()) :  2 Z i + tpusu fogyo sorozat a rendszamokon, ami lehetetlen. (iv): A 15. Lemma miatt Y =U =  Y S=U: Igy (i) miatt ~}| is: S 2 ] j Y =U j  2  = : (ii)-ben tulajdonkeppen tobbet

bizonytottunk, mondjuk ki ezt a tobbletet 32. Tetel Legyen U ultra lter az I alaphalmazon Legyen  olyan szamossag, hogy U cf ()-felbonthatatlan. Tegyuk fel, hogy van olyan  ( 2 cf ()) Q hoz ko nalis szamossagsorozat es 0 szamossag, amire j =U j  0. Ekkor j Q =U j  cf ()0. Bizonytas Mint a 31. Tetel (ii) ~}| A tovabbiakban nagy szuksegunk lesz a kovetkez}o tetelre, ami (A KH) mellett megtalalhato 2]-ben. 33. Tetel Legyen U ultra lter az I alaphalmazonQ Legyen szamossag es U 2 -felbonthatatlan. Legyen rendszam, K  =U , felulr}ol korlatos halmaz es legyen cf (K )  (2 )+ . Ekkor K -nak van h minimalis fels}o korlatja Bizonytas Tegyuk fel, hogy nincs ilyen h. Ekkor van egy  regularis szamossag es egy f : I ! ( 2 ) sorozat, hogy f] < f ] ha  >  , f] fels}o korlatja K -nak es 15 (i) K minden f ] fels}o korlatjahoz 9 2 , hogy f] < f ]. A 31. Tetel (iii) miatt  < (2 )+ Legyen Ai = ff(i) :  2

g Mivel jAij < (2 )+ , a 31. Tetel (ii) miatt j Y Ai=U j < (2 )+: Legyen Y F = f f ] : f ] 2 Ai=U 9 k] 2 K ( k] > f ])g: jF j < (2 )+, gy 9 k0] 2 K , hogy 8 f ] 2 F -ra ( k0] > f ]).  2  eseten legyen I = fi : f(i) > k0(i)g 2 U: Nyilvanvaloan I  I+1, s mivel U nem -lyukas X = T I 2 U . Legyen 2 h(i) = minff(i) : i 2 Ig: Ezzel h-t S I 2 U helyen denialtuk. Nyilvanvaloan h(i) < f(i), ha 2 i 2 I T I+1, tehat 9 k] 2 K : k] > h], emiatt h] 2 F , gy k0] > h]. Masfel}ol ha i 2 X , akkor h(i)  k0(i), ami ellentmondas. ~}| 6 Normalis ultrasz}ur}ok 34. Dencio Legyen A rendezett halmaz, U  P (A) ultra lter Azt mondjuk, hogy U normalis ultralter, ha id] a legkisebb olyan elem Q A=U -ban, ami minden a 2 A-ra nagyobb, mint ca], ahol ca(i) = a konstansfuggveny. Ez lesz az a segedeszkoz, amely megoldja a legtobb problemankat. Belatjuk, hogy bizonyos esetekben feltehetjuk egy ultralter normalitasat, normalis

ultralterre meg sokminden igaz. A kovetkez}o lemma azt mutatja, hogy sok ultralter kifejezetten hasonlt egy normalisra. 35. Lemma Legyen A rendezett halmaz, U ultra lter I -n. Tegyuk fel, hogy Q 9 f ] 2 A=U , amireQigaz, hogy 8a 2 A-ra f ] > ca], es f ] a legkisebb ilyen tulajdonsagu eleme A=U -nak. Legyen V  P (A) ugy de nialva, hogy: X 2 V , f ;1 (X ) 2 U: 16 Ekkor V normalis ultra lter A-n es minden  szamossagra: U  ; felbonthatatlan ) V  ; felbonthatatlan: 36. Megjegyzes Mind az U , mind a V szerinti konstansfuggvenyt ca-val jeloltuk, attol meg ket kulonboz}o fuggvenyr}ol van szo. Bizonytas fa 2 A : a > a0g 2 U , hiszen f ] > ca ]. Igy id] > ca ] Ha adott g : A ! A, g] < idA], akkor legyen h : I ! A, h(i) = g(f (i)). Nyilvanvaloan h] < f ], tehat 9a 2 A : h] < ca]. Legyen X  A olyan, hogy g(b) > a (b 2 X ). Ekkor h(i) > a (i 2 f ;1(X ), tehat X 62 U , gy g] < ca]. Legyen A = S X, ekkor I = S f

;1(X ). Ha U -felbonthatatlan, 2 2 akkor 9S   jS j < , hogy S f ;1(X) 62 U . Erre az S -re S X 62 V 0 ~ 2S 0 2S Alkalmazzuk rogton ezt a lemmat! Az alabbi tetelre lepten-nyomon fogunk hivatkozni, amikor bizonyos ultralterek normalitasara lesz szuksegunk. 37. Tetel Legyenek  olyan szamossagok, amelyekre cf () > 2 Legyen tovabba U olyan uniform ultra lter -n, hogy ha < < 2(2 )+ , akkor U -felbonthatatlan. Ekkor van -n ugyanezzel a tulajdonsaggal rendelkez}o V normalis ultra lter. Bizonytas Legyen K = f c ] : 2 g  Y =U: Ekkor a 33. Tetel miatt 9 f ] 2 Q =U , ami K osszes elemenek minimalis fels}o korlatja. Igy a 35 Lemma adja az alltast ~}| A normalis ultralterek egyik fontos tulajdonsaga, hogy bizonyos halmazokrol be tudjuk latni, hogy az ultralterben vannak. El}oszor ilyen teteleket nezunk. 38. A lltas Legyen U normalis ultra lter a  szamossagon C   ko nalis zart halmaz. Ekkor C 2

U 17 Bizonytas Legyen g :  !  g() = maxf :  2 C   g: Ez C zartsaga miatt ertelmes dencio. Nyilvanvaloan g] > c], es ha C 62 U , akkor g] < id]. ~ 39. Kovetkezmeny Ha  regularis es U normalis ultra lter -n, akkor f :  2  limeszrendszamg 2 U . Ha  elerhetetlen, akkor f :  2  limeszszamossagg 2 U . Ha  er}osen elerhetetlen, akkor f :  2  er}os limeszszamossagg 2 U . A 39. Kovetkezmeny veti fel az alabbi kerdest 40. Problema U normalis ultra lter es regularis szamossag eseten az f : cf () <  g, f : cf () = g, f : cf () > g halmazok koz}ul melyik van U -ban? Altalaban a nagy vagy a kis ko nalitasu rendszamok halmaza U -beli? Mint latni fogjuk ez a kerdes szorosan osszefugg az ultraszorzatok meretevel es ezen kereszt}ul a felbonthatosaggal. Az alabbi lemmak 2]-bol vannak 41. Lemma Legyen  regularis szamossag, U normalis ultra lter -n Minden  2  limeszrendszamra legyen S  

cf () tpusu ko nalis halmaz Minden  2  rendszamra legyen S+1 = fg. Ekkor Y Y   j S=U j  j =U j  2: (4) Bizonytas A masodik egyenl}otlenseg trivialis, a harmadik egyszer}u leszamlalas. Az els}o Qegyenl}otlenseget bizonytjuk: Ha f ] 2 S=U , akkor a 39. Kovetkezmeny miatt f ] < id] Igy U normalit asa miatt f ]-nek van valamilyen 2 -val c ] fels}o korlatja. Ha j Q S=U j < , akkor  regularitasa miatt van olyan 0 2 , amire c0 ] az osszes f ]-et majoralja. Viszont legyen f0() = , ha  > 0 limeszrendszam, ahol  > 0  2 S tetsz}olegesen valaszthato. Ezzel f0-t 1 mertek}u halmazon denialtuk. Nyilvanvaloan f0] > c0 ], ami ellentmondas ~ 42. Kovetkezmeny Ha  szamossag, U normalis ultra lter + -on, akkor Y +  j =U j  2+ : 18 (5) 43. Lemma Legyen szamossag,   ultra lter -n. Ekkor vagy vagy ++ regularis szamossag, U normalis j Y =U j   f :  2  cf () > g 2 U: Bizonytas Tegyuk

fel, hogy egyik sem all fenn. Kesztsuk el a 41 Lemmaban denialt S halmazokat. Feltevesunk szerint f :  2  jSj > g 62 U ezert j Q S=U j < : Ez ellentmond a 41. Lemmanak ~ A kovetkez}o lemma tobbek kozott a regularis szamossagok U -belisegere mutat elegseges feltetelt. 44. Lemma Legyen  (er}osen) elerhetetlen szamossag, U normalis ultra lter -n Legyen minden <  szamossagra j Y =U j < : Ekkor f :  <  (er}osen) elerhetetlen g 2 U: Bizonytas Tegyuk fel, hogy nem igaz. Kesztsuk el a 41 Lemmaban denialt S halmazokat. Feltevesunk szerint a szingularis limeszszamossagok halmaza U -beli, es ha  szingularis limesz, akkor jSj < . Igy U normalitasa miatt van olyan < , hogy jSj < egy U -beli halmazon. Igy j Y S=U j <  ami ellentmond a 41. Lemmanak ~  lltas adja az alabbi kovetkezmenyt: A 44. Lemma es a 38 A 45. Kovetkezmeny A 44 Lemma feltetelei mellett a -nal kisebb

(er}os) limeszszamossagok halmaza stacionarius, azaz  (er}os) Mahlo. 19 A 27. Lemma analogiajara bizonyos  limeszszamossagokrol is be akarjuk latni, hogy ha egy U ultralter -lyukas, akkor U bizonyos h i, -ban konalis szamossagsorozat elemeire is  -lyukas. A kovetkez}o lemma ket ilyen alltast mond ki. 46. Lemma Legyen  er}osen elerhetetlen, de nem er}os Mahlo szamossag, U uniform ultra lter -n. Ekkor (i) Ha  < , akkor 9 2  ), hogy U  -felbonthato. (ii) (A KH)9 < , hogy ha   cf ( ) < , akkor U  -felbonthato. Bizonytas (i): Tegyuk fel, hogy nem igaz az alltas, azaz 9 < , hogy ha    < , akkor U  -felbonthatatlan. Ekkor a 37 Tetel miatt van V normalis ultralter -n, amire ugyanez fennall (ugyanezzelQaz -val, de ez nem lenyeges). 31 Tetel (i) miatt minden  <  eseten j =U j < , a 45. Kovetkezmeny miatt  Mahlo, ami ellentmondas (ii) bizonytasa pontosan ugyanugy megy, mint (i)-e. ~

G. V es D V Chudnovsky 5]-ben egy 9]-beli eredmeny segtsegevel ennel er}osebb tetelt igazoltak: 47. Tetel Legyen  (er}osen) elerhetetlen, de nem (er}os) Mahlo szamossag, U uniform ultra lter -n. Ekkor 9 < , hogy ha   cf ( ) < , akkor U  -felbonthato. Ezt kes}obb a 68. Tetelben mi is igazoljuk Megemltjuk meg, hogy Chudnovsky-ek a kovetkez}ot is megmutattak ugyanott: 48. Tetel A 47 Tetel feltetelei mellett U vagy minden  <  regularis szamossagra -lyukas, vagy valamely  <  szamossagra ( )-regularis. Az ( )-regularitast kes}obb denialjuk. A kovetkez}o cel, hogy n-Mahlo szamossagokra is hasonlo tetelt mondhassunk ki (n 2 !). 49. Lemma (J Silver 2]) Legyen  szamossag, <  regularis szamossag, U -felbonthatatlan ultra lter -n. Legyen 2  rendszam, amire cf ( ) = Legyen tovabba h :  2 i -hoz konverg alo szigoruan nov}o sorozat. Ekkor Q h c  ] :  2 i is konvergal c ]-hoz =U -ban. 20

Bizonytas Legyen f :  !  olyan, hogy f ] < c ]. Legyen  2 eseten A = f : sup <   f () < g: Ekkor az A -k paronkent diszjunktak, gy S A -partcioja -nak. Fel2 tevesunk szerint letezik S   jS j < , hogy  A 2 U: 2S Ha  > sup S , akkor c  ] > f ], ezzel a lemmat belattuk. ~ 50. Lemma (J Silver 2]) Legyen  regularis szamossag, U normalis ul- tra lterQ -n. Tegyuk fel, hogy van < , hogy TU -felbonthatatlan Legyen C  =U olyan zart halmaz, amire sup(C f f ] : f ] < id]g) = id]. Legyen D = f : c ] 2 C g: Ekkor jDj = , es D-beli rendszamok -tpusu sorozatanak limesze D-beli. Bizonytas Az utobbi alltas a 49. Lemma kovetkezmenye A szamossagra vonatkozo alltashoz megmutatjuk, hogy D   konalis halmaz. Legyen  2 . U normalitasa miatt rekurzioval tudunk csinalni egy h f ] :  2 i C -beli es egy h :  2 i -beli sorozatot, ahol  0 > ,  f ] > c  ],  c +1 ] > f ] es  Ha  limesz,

akkor = sup  . < Mindket sorozat szigoruan nov}o es ekvikonvergensek, gy ha = sup  , akkor < a 49. Lemma miatt c ] 2 C , tehat 2 D es >  ~ Az alabbi tetelt tobbszor fogjuk hasznalni. 21 51. Tetel (J Silver, K Prikry 2]) Legyen  regularis szamossag, U normalis ultra lter -n, S   stacionarius halmaz Tegyuk fel tovabba, hogy minden  2 S -re U cf ()-felbonthatatlan. Ekkor f : S T  stacionarius halmaz  -bang 2 U . Bizonytas Tegyuk fel, hogy ez nem igaz, azaz B = f : S T  nem stacionarius halmaz  -bang 2 U . Minden  2 B -re legyen C   S -t}ol diszjunkt cf ( ) tpusu konalis zart Q halmaz. Legyen C = C =U Erre, = cf () valasztassal valmely  2 S limeszrendszamra, teljesulnek az 50. Lemma feltetelei, gy a D = f : c ] 2 C g halmaz (i)  szamossagu, es (ii) minden  2 S -re D zart a cf () tpusu limeszkepzesre. D (i) miatt konalis -ban, gy a lezartjaban van S -beli rendszam. Legyen ez a rendszam

. Ekkor  el}oall D-beli rendszamok cf () tpusu limeszekent, gy (ii) miatt  2 D, tehat c] 2 C , ezert van olyan  2 B , amire C a feltevesunkkel ellentetben nem diszjunkt S -t}ol. ~}| 52. Lemma (K Prikry 2])Q Legyen  regularis szamossag, U normalis ultra lter -n. Legyen C  =U olyan zart halmaz, aminek id] 62 C a legkisebb fels}o korlatja. Ekkor fennall az alabbiak valamelyike: (i) f : c ] 2 C g 2 U (ii) f : U cf ( )-felbonthatog 2 U . Bizonytas Tegyuk fel, hogy nincs gy, azaz F = f : U cf ( )-felbonthatatlan, c ] 62 C g 2 U . C zartsaga miatt ertelmes a kovetkez}o: Minden 2 F -re legyen h ] = maxf g] 2 C : g]  c ]g: 22 c ] 62 C , ezert h ] < c ]. A konstrukciobol nyilvanvalo, hogy 1 < 2 eseten h 1 ]  h 2 ]. Legyen G = f h ] : 2 F g: U normalitasa miatt C minden elemenek van G-beli fels}o korlatja. Minden 2 F -re U -felbonthatatlansaga miatt van olyan 2 , hogy h ] < c ] < c ]: (6) Minden 2 F -re legyen H ( ) =

valameley (6)-t kielegt}o -ra. Ekkor H fels}o korlatja G-nek | tehat C -nek is |, es H ] < id], ami ellentmondas. ~ 53. Tetel (K Prikry 2]) (A KH)Legyen  regularis szamossag, U uniform ultra lter -n Legyen tetsz}olegesen nagy regularis felbonthatatlan. Ekkor  !-Mahlo < -ra U - Bizonytas Nyilvanvalo, hogy  elerhetetlen. Feltehetjuk, hogy U normalis Azt kell belatni, hogy E = f 2  : n ; Mahlog   stacionarius halmaz. Ennel egy picit tobbet igazolunk: Megmutatjuk, hogy E 2 U . n = 0-ra ez a 46. Lemma (ii) alltasa Tegyuk fel, hogy n-re es minden -ra igaz az alltas, azaz E = f 2  : n ; Mahlog 2 U . Legyen D = f 2  : n ; Mahlo U -felbonthatog  E . Tegyuk fel, hogy D 2 U . Legyen A = f : U -felbonthatatlan, <  regularisg. Feltevesunk szerint jAj =  Ezert a B = f : j Aj =  g halmaz konalis es zart -ban, tehat B T D 2 U . Legyen 2 B T D Ekkor  lltas miatt -ra es U ( )-ra alkalmazhatjuk az indukcios feltevest,

a 17. A gy (n + 1) ; Mahlo, ami adja az alltast. Most tegyuk fel, hogy D 62 U . Tegyuk fel tovabba, hogy nem igaz az alltas. Ekkor F = f : n ; Mahlo de nem (n + 1) ; Mahlog 2 U: Legyen minden 2 F -re C  olyan konalis zart halmaz, ami nem tartalmaz n-Mahlo szamossagot. Legyen Y C = C =U: 23 C zart es id] 62 C a legkisebb fels}o korlatja, gy az 52. Lemma miatt f : c ] 2 C g 2 U amib}ol kovetkezik, hogy f : nem n ; Mahlog 2 U: Ez ellentmondas. ~}| Vegyuk eszre, hogy az 53. Tetelben (A KH)-t egyedul a 46 Lemmara valo hivatkozasnal hasznaltuk ki. Ezert, a 47 Tetelt hasznalva az 53 Tetellel analog modon belathatjuk, hogy 54. Tetel Legyen  (er}osen) elerhetetlen szamossag, U uniform ultra lter -n. Legyen tetsz}olegesen nagy regularis < -ra U -felbonthatatlan Ekkor  (er}os) !-Mahlo. 55. Megjegyzes A tetel bizonytasa soran felhasznalt 47 Tetel kovetkezik a 68. Tetelb}ol, gy miutan a 68 Tetelt belattuk, fogjuk az 54

Tetelt is bizonytottnak tekinteni. (A KH)es a 47. Tetel nelkul az alabbi egyszer}ubb tetelt tudjuk igazolni: 56. Tetel Legyen  regularis szamossag, U uniform ultra lter -n Legyen minden eleg nagy regularis < -ra U -felbonthatatlan. Ekkor  !-Mahlo Bizonytas Indukcioval bizonytunk: 46. Lemma (i) miatt  (1)-Mahlo Tegyuk fel, hogy  n-Mahlo. Ekkor az eleg nagy (n ; 1)-Mahlo szamossagok stacionarius halmazt alkotnak -ban, gy az 51. Tetel alapjan az n-Mahlo szamossagok halmaza is stacionarius. ~}| 7 ( ,)-regularis ultrasz}ur}ok 57. Dencio Legyen U ultra lter az I alaphalmazon,  szamossagok Azt mondjuk, hogy U (T )-regularis, ha 9A  U jAj = , hogy minden B  A jB j = eseten B = . Legyen  szamossag es U uniform ultra lter -n. Azt mondjuk, hogy U regularis, ha U (! )-regularis. 24 El}oszor nezzunk ide tartozo trivialitasokat: 58. A lltas (i) Ha jI j = , akkor U ( )-regularis (ii) Ha < es < ,

akkor U (  )-regularis ) U (  )-regularis. A (  )-regularitas, mint az alabbi lemma mutatja, a -lyukassag altalanostasa: 59. Lemma Ha  regularis szamossag, U ultra lter, akkor U ( )-regularis , U -lyukas. BizonytaTs Legyenek hA :  2 i U -beli halmazok, amelyekre S   jS j <  eseten 2S A = . Legyen minden  2 -ra B =   2  ] A : Nyilv oan B 2 U , 0 < 1 eseten B0  B1 . Tegyuk fel, hogy x 2 T Ba,nval ekkor 9S   konalis halmaz, hogy x 2 T A, ami ellentmondas. 2 2S Ez azt jelenti, hogy hB :  2 i -lyuk. Legyen most hB :  2 i -lyuk. Ennek barmely  szamossagu resze konalis a sorozatban, gy hBi monotonitasa miatt a metszete ures. ~ 60. Kovetkezmeny Ha  regularis szamossag, > , U ( )-regularis ultra lter, akkor minden 2  ] szamossagra U -lyukas. 61. Megjegyzes Konzisztens, hogy a 60 Kovetkezmeny megfordtasa nem igaz azaz el}ofordulhat, hogy U -lyukas minden 2  ]

szamossagra, de nem ( )-regularis. Ilyen peldat lehet talalni = !2-re 12]-ben 10]-ben talalhato az alabbi lemmat: 62. Lemma Legyen  szingularis szamossag, <  szamossag, U uniform ultra lter -n. Tegyuk fel, hogy U minden  <  szamossagra (  )-regularis Ekkor U (  )-regularis. A kovetkez}o lemmak K. Prikryt}ol szarmaznak 25 63. Lemma Legyen A tetsz}oleges rendezett halmaz, U ultra lter A-n Le- gyenek  szamossagok, es  2 A-ra Qlegyen A  A, jAj < . Tegyuk fel tovabba, hogy letezik olyan f ] 2 A =U es 2 A ( 2 ), amire 0 < 1 < eseten c 0 ]  f 0 ] < c 1 ]: (7) Ekkor U (  )-regularis. Bizonytas Minden  T2 -re legyen B = f 2 A :  f () < +1. Legyen S  . Ha  2 B , akkor az f ()-k mind kulonboz}oek Legyen 2S R S = ff () 2 A :  2 S g: Igy jR S j = jS j, ezert jS j < . ~ 64. Lemma Legyen A tetsz}oleges rendezett halmaz, U ultra lter A-n Legyenek  szamossagok,  cf (A), es  2 A-ra legyen A

Tegyuk fel tovabba, hogy U nem (  )-regularis. Ekkor a Y H = f f ] 2 A =U : 9( 2 A)( f ] < c ])g halmaznak letezik valamely 2 A-ra c ] fels}o korlatja.  A, jAj < . (8) Bizonytas Tegyuk fel, hogy nem igaz az alltas. Ekkor trivialisan konstrualhatoak (7)-beli f ]-k es -k Igy a 63 Lemma miatt U (  )regularis, ami ellentmondas ~ 65. Lemma Legyen  regularis szamossag, U normalis ultra lter -n Le- gyen <  szamossag es Qminden  2 -ra legyen A  , jA j < . Tegyuk fel tovabba, hogy A =U legkisebb fels}o korlatja id]. Ekkor U (  )-regularis. Bizonytas Denialjuk H -t, mint (8)-ben. U normalitasa miatt H = Q A =U Alkalmazzuk H -ra a 64. Lemmat ~ 66. Tetel (K Prikry 2]) Legyenek <  szamossagok,  regularis, U normalis ultra lter -n. Ha U nem (  )-regularis, akkor f 2  : cf ()  g 2 U: 26 Bizonytas Minden  2 -ra legyen A  , cf () szamossagu konalis zart halmaz. Ha f 2  : cf () < g 2 U ,

akkor a 65 Lemma miatt U (  )-regularis lenne, s epp ennek az ellenkez}ojet tettuk fel. ~}| Alkalmazva az 59. Lemmat a 40 Problemara kapunk reszben valaszt: 67. Kovetkezmeny Legyen  regularis szamossag, U normalis ultra lter -n. Ha < -szamossagra U -felbonthatatlan, akkor f 2  : cf ()  g 2 U. Az alabbi tetelben a 47. Tetelt is bebizonytjuk 68. Tetel (K Prikry 2]) Legyen  (er}osen) elerhetetlen szamossag Ha van olyan U normalis ultra lter -n, ami minden <  szamossagra U nem (  )-regularis, akkor  (er}os) Mahlo. Bizonytas A 39. Kovetkezmeny miatt eleg megmutatnunk, hogy a -beli regularis szamossagok halmaza U -beli. Tegyuk fel, hogy a -beli szingularis szamossagok halmaza U -beli. Ekkor cf ] < id], gy U normalitasa miatt van olyan < , amire cf ] < c ]. Minden  2  szingularis szamossagra legyen A   cf () szamossagu konalis zart halmaz. Az el}oz}o megallaptasunk miatt f : jAj < g

2 U , gy a 65. Lemma miatt Q A=U -nak van id]-nel kisebb fels}o korlatja U normalitasa miatt van c ] fels}o korlatja is, valamely  2 -ra. Legyen  >  Ekkor 9g() 2 A, g() >  . Ekkor viszont g] > c ], ami ellentmondas ~}| A 68. Tetel es az 59 Lemma egyuttesen adjak az alabbit: 69. Kovetkezmeny Legyen  (er}osen) elerhetetlen szamossag Ha van olyan U normalis ultra lter -n, hogy tetsz}olegesen nagy felbonthatatlan, akkor  (er}os) Mahlo. < -ra U - 70. Megjegyzes Ezzel bebizonytottuk a 47 Tetelt, s gy az 54 Tetelt is. Szuksegunk lesz az alabbi tetelre, ami specialis esete Chang es Keisler egy kozos eredmenyenek. 27 71. Tetel Legyenek <  szamossagok, tegyuk fel, hogy nincs < , 2 > szamossag. Legyen U (  )-regularis ultra lter Ekkor Y =U  2: Bizonytas Legyenek A 2 U ( 2 ) olyanok, hogy koz}uluk barmelyik metszete ures. Minden  2 -ra legyen R = f :  2 Ag: Ekkor jR j < .

Minden B  -ra legyen fB ( ) = B R : Legyen B0 6 B1. Tekintsunk egy  2 B0nB1 rendszamot Minden  2 A-ra Igy fB0 ] 6= fB1 ], tehat ~}|  2 fB0 ( ) de  62 fB1 ( ): 2  j Y P (R )=U j  j Y =U j:  8 A f}o eredmenyek Nezzunk nehany eredmenyt a szingularis szamossagokrol. 72. Tetel (K Prikry 2]) Legyen  er}os szingularis limeszszamossag, U uniform ultra lter + -on. Tegyuk fel, hogy < < 2+ Ekkor fennall az alabbiak valamelyike: (i) U -felbonthato. (ii) U  -felbonthato tetsz}olegesen nagy  <  szamossagra. Ha (A KH)-t is feltesszuk, akkor U  -felbonthato minden  <  szamossagra. 28 Bizonytas Tegyuk fel, hogy (ii) nem all fenn. Ekkor a 37 Tetel miatt feltehetjuk, hogy U normalis. cf () <  minden  2 + -ra, gy a 66 Tetel alapjan U ( + )-regularis, ezert a 71. Tetel miatt j Y =U j  2 : + Most tegyuk fel, hogy (i) sem all fenn. Ez azt jelenti, hogy nincs olyan f : + !  fuggveny,

aminek minden minden U -beli halmazon  szamossagu az ertekkeszlete. Ezert Y =U   Y X=U: X 2 ]< A 31. Tetel miatt minden < -ra j Q =U j <  gy j Y =U j  j ]<j   < 2 : ~}| + E s ez ellentmondas. A szingularis szamossagokrol szol a kovetkez}o ket K. Prikryt}ol szarmazo tetel is. 73. Tetel Legyen  er}os limeszszamossag, cf () = !, < < 2 es U + uniform ultra lter + -on. Tegyuk fel, hogy nincs -nal kisebb merhet}o szamossag. Ekkor U -felbonthato Bizonytas A 72. Tetel szerint eleg azzal az esettel foglalkoznunk, ha U  - felbonthato tetsz}olegesen nagy  <  szamossagra. Mivel nincs -nal kisebb merhet}o szamossag | es nyilvanvaloan  + sem azok |, U !-felbonthato. Ezert alkalmazhatjuk a 29. Tetelt, ami eppen a kvant eredmenyt adja ~}| 74. Tetel Legyen  szamossag, U uniform ultra lter -n Tegyuk fel, hogy U semmilyen 2 !1 ) szamossagra sem -felbonthato. Ekkor vagy 

!Mahlo vagy cf () = ! Bizonytas Ha  szingularis, akkor trivialis, hogy cf ()-felbonthato. Ha  szingularis rakovetkez}oje, akkor a 72. Tetel adja az alltast, ha  regularis rakovetkez}oje, a 27. Tetel miatt vagyunk kesz Az utolso eset, hogy  29 elerhetetlen, ekkor el}obb a 68. Tetelt, majd az 54 Tetelt alkalmazva a tetelt belattuk. ~}| Az eddigiek alapjan a 11. Problemara a kovetkez}oket mondhatjuk: 75. Tetel  regularis szamossagra, ha U -lyukas ultra lter, akkor Ha  = + es regularis, akkor U -lyukas. (27 Tetel) Ha  elerhetetlen, de nem !-Mahlo, akkor 9 < , hogy minden 2  )-ra U -lyukas. (54 Tetel) Ha  er}osen elerhetetlen, de nem er}os !-Mahlo, akkor 9 < , hogy minden 2  )-ra U -lyukas. (54 Tetel) Ha  = + es szingularis, akkor U vagy cf ( )-lyukas, vagy vagy van olyan < <, hogy minden 2  ) regularis szamossagra -lyukas. (27. Tetel) (A KH)Ha  = + es szingularis, akkor U vagy ( )-felbonthato, vagy vagy

van olyan < <, hogy minden 2  ) regularis szamossagra -lyukas. (72 Tetel) Jensen bizonytotta be 3]-ben a kovetkez}o tetelt: 76. Tetel Tegyuk fel, hogy V = L Legyenek <  regularis szamossagok,  nem gyengen kompakt, ekkor van olyan S   stacionarius halmaz, amire (i) Minden  2 S -re cf () = . (ii) S T  semmilyen  2 -ra sem stacionarius -ban. Ennek kovetkezmenye az alabbi tetel, ami valasz a 11. Problemara egy specialis esetben. 77. Tetel (R Jensen, KPrikry, J Silver) Tegyuk fel, hogy V = L Legyenek <  regularis szamossagok,  nem gyengen kompakt, legyen U uniform ultra lter -n. Ekkor U -felbonthato Bizonytas Tegyuk fel, hogy U -felbonthatatlan, valamely <  regularis szamossagra. A 35 Tetel miatt feltehet}o, hogy U normalis Legyen S   olyan stacionarius halmaz, amilyent a 76. Tetelben denialtunk Ekkor az 51. Tetel szerint 30 f : S T  stacionarius halmaz  -bang 2 U , a 76. Tetel szerint pedig f : S T 

stacionarius halmaz  -bang = , ami ellentmondas. ~}| Visszaterve az eredeti kerdesunkre, az eddigiekb}ol megallapthatjuk, hogy 78. Tetel Ha  < !! , akkor a 9 Problemara van megoldas 9 Egyebek Az alabbi ket tetel 2]-ben szerepel bizonytassal. 79. Tetel Legyen  er}osen elerhetetlen szamossag, U olyan uniform ultralter -n, amely minden 2 !1 )-ra -felbonthatatlan Tegyuk fel, hogy  alatt (A KH)igaz. Ekkor 2 = + 80. Tetel Legyen  er}osen elerhetetlen szamossag, U olyan uniform ultra- lter -n, amely minden 2 !1 )-ra -felbonthatatlan. Ekkor -ra nem teljesul a Kurepa hipotezis, azaz nincs olyan F  P (), jFj = + halmazrendszer, hogy minden  2 -ra jfX  : X 2 Fgj  jj fennalljon. Donder bizonytotta be 10]-ben a kovetkez}o tetelt: 81. Tetel Ha  szingul aris vagy rakovetkez}o szamossag, U uniform ultra+ lter -n es teljesul a 2 feltetel, akkor U regularis. A 2+ dencioja szinten 10]-ben talalhato meg.

Talalunk ugyanott ket masik elegseges feltetelt a regularitasra. 82. Tetel Tegyuk fel, hogy egy modellben L nem all fenn Legyen  szingularis szamossag, U uniform ultra lter -n Ekkor U regularis 31 83. Tetel Legyen  olyan regularis szamossag, amire (+ ) =  Legyen U uniform ultra lter -n. Tegyuk fel tovabba, hogy  nem merhet}o bels}o modellben. Ekkor U regularis Nezzunk nehany eredmenyt a felbonthatatlansagrol is! Prikry latta be 13]-ben az alabbit: 84. Tetel Tegyuk fel, hogy letezik merhet}o szamossag Ekkor van olyan  szingularis szamossag es U uniform ultra lter -n, hogy U -felbonthatatlan, minden 2 !1 ) szamossagra. M. Magidor 12]-ben huge szamossag letezeset hasznalva konstrualt olyan modellt, amiben letezik !2-n nem regularis ultralter. M. Foreman, M Magidor es S Shelah 16]-ben ugyanezt megmutattak !1-re. H. Woodin azt is megmutatta, hogy eleg majdnem huge szamossag letezesenek a konzisztenciajat

feltenni Ekkor is letezik olyan modell, amiben letezik !1-en nem regularis ultralter. H Woodin ehhez R Laver egy 14]-beli modszeret hasznalta. 10 Utoszo Egyszer ide is el kellett erkeznunk. Remeljuk, aki idaig eljutott, jol szorakozott es sikerult kozelebb kerulnie az ultrasz}ur}ok es likacsaik varazslatos vilagahoz. Rengeteg teruletet bejartunk a vzszerzesnel hasznalatostol kezdve az !1-en nem regularisig h}oseink szamos fajtajaval megismerkedhettunk. Ha mostanra egy picivel tobb feny sz}ur}odik be a likacsokon, utunk mar nem volt hiabavalo. A tortenetnek, azonban, egyaltalan nincs meg vege. Akinek sikerult felkeltenunk az erdekl}odeset, annak tovabbi izgalmakat knalhatunk az Ultrasz}ur}ok legujabb kalandjai sorozat alabbi, mar megjelent rasaiban. Kotelez}o es ajanlott olvasmanyok 1] K. Kunen, K Prikry On descendingly incomplete ultralters J in Symb. Logic 36 1971 650-652 (1972) 32 2] K. Prikry On descendingly

complete ultralters Cambridge Summer School Math. Logic, Cambridge, 1971 Lecture Notes Math 337 459-488 (1973). 3] R. Jensen The ne structure of constructible hierarchy Annals of Math Logic., 4 229-308, 1972 4] C. C Chang Descendingly incomplete ultralters Trans Amer Math Soc. 126, 108-118, 1967 5] G. V Chudnovsky, D V Chudnovsky Regularnije i ubivajuse nepolnije ultraltri. Dolkl Akad Nauk SSSR, 198, 779-782, 1971 6] M. Benda, J Ketonen Regularity of ultralters Isr J Math 17 231-240 1974. 7] A. Kanamori Weakly normal lters and irregular ultralters Trans Am. Math Soc 220 393-399 1976 8] J. Ketonen Nonregular ultralters and large cardinals Trans Am Math. Soc 224 61-73 1976 9] Hajnal A. Ulam-matrices for inaccessible cardinals Bull Acad Polon Soc. XVII, 683-688, 1969 10] H.-D Donder Regularity of ultralters and the Core model Isr J Math 63 289-322 1988. 11] S. Shelah Product of regular cardinals and cardinal invariants of products of Boolean algebras Isr J Math 70 129-187 1990

12] M. Magidor On the existence of nonregular ultralters and the cardinality of ultrapowers Trans Am Math Soc 249 97-111 1979 13] K. Prikry Changing mesurable into accessible cardinals Diss Math 68 5-22 1970. 14] R. Laver Saturated ideals and non-regular ultralters Patras Logic symposium North-Holland, Amsterdam 297-305 1982. 15] M. Foreman, M Magidor, S Shelah Martins Maximum, saturated ideals and non-regular ultralters. Part I Annals of Math 127 1-47 1988. 33 16] M. Foreman, M Magidor, S Shelah Martins Maximum, saturated ideals and non-regular ultralters. Part II Annals of Math 127 521-545 1988. 17] Juhasz Istvan, Soukup Lajos, Szentmiklossy Zoltan. Resolvable spaces 1998 prilis 16. 18] P. Lipparini Productive  ]-Compactness And Regular Ultralters Topology Proceedings, Vol. 21, 1996 19] Hajnal Andras, Hamburger Peter. Halmazelmelet Nemzeti Tankonyvkiado, Budapest, 1983. 20] Revai testverek. A PALLAS NAGY LEXIKONA az osszes ismeretek enciklopediaja. Pallas

irodalmi s nyomdai reszvenytarsasag, Budapest, 1897.  Magyar Lexikon. Akademiai Kiado, Budapest, 1962 21] Uj 22] The New Encyclop dia Britannica. 15th edition Encyclopdia Britannica Inc, Chicago, 1974 34