Matematika | Felsőoktatás » Szűrők

Tartalomjegyzek 1 El}oszo 2 Az eredend}o problema 3 Ismerkedes a fogalmakkal 4 Kis lyukak, nagy lyukak 5 Ultraszorzatok 6 Normalis ultrasz}ur}ok 7 ( ,)-regularis ultrasz}ur}ok 8 A f}o eredmenyek 9 Egyebek 10 Utoszo Kotelez}o es ajanlott olvasmanyok 1 2 4 6 9 13 16 24 28 31 32 32 1 El}oszo A sz}ur}ok - es ezen belul az ultrasz}ur}ok - fontos szerepet jatszanak a modern halmazelmeletben,gy erdemes megvizsgalni egyes tulajdonsagaikat. Miel}ott ehhez hozzafognank, lassuk, mik is azok a sz}ur}ok. 20]-ben, peldaul ezt olvashatjuk: 1. Dencio Sz}ur}o, l Vizszerzes Ebb}ol rogton megtudjuk, hogy hol tudhatjuk, meg mi is az a sz}ur}o. A kovetkez}o dencio is inkabb sejtelmes, mint precz: 2. Dencio Viz-szerzes, l Vizvezetek Ha arra gondolnank, hogy vzvezeteket mar az okori Romaban is hasznaltak, gy a sz}ur}okr}ol is, mint a Romai Birodalom egyik erdekesseger}ol olvashatunk, alaposan csalodnank. Nezzuk a vzvezetek

rovidtett denciojat 3. Dencio Vizvezetek, vizben szegeny vagy rossz viz}u helyeknek kell}o mennyiseg}u es min}oseg}u vizzel valo ellatasara szolgalo letestmeny(.) A folyok altalaban lagy vizet adnak, de igen gyakran, f}okent aradaskor, zavarosak. Ezert el}obb meg kell tiszttani a vizet, miel}ott a varos hasznalatara bocsatanak. E celra mesterseges szur}oket kesztenek, melyek rendesen nagy uleped}o medencekb}ol allnak, hol a vz iszapjat hatrahagyva, kavicsretegen at sz}ur}odik meg, s igen jol megtisztul. De vannak kulonos szerkezet}u sz}ur}o berendezesek is, amelyek azonban nem mindig felelnek meg a celnak(.)(a hazi) sz}ur}ok rendesen kett}os falu edenyek, melyeknek egyik fala likacsos anyag (homokk}o, cserep, asbest), s melyen a vz keresztulhatolva iszapjat hatrahagyja(.) Ezzel a fallal fogunk reszletesen foglalkozni. Mas, sz}ur}ovel kapcsolatos dolog dencioja is hasznos lehet, hatha ott is utalnak a

sz}ur}okre. 4. Dencio Sz}ures (bor) A borban lebeg}o s abbol leulepedni nem akaro s annak zavarossagat v. homalyossagat okozo anyagok eltavoltasara a Sz-t hasznaljak. E celra a legkulonboz}obb szerkezet}u sz}ur}ogepek allnak a borkezel}o rendelkezesere() Sz. ( ltralas), igen fontos es nagyon gyakran hasznalatos kemiai m}uvelet, amely arra valo, hogy a folyadekot a benne lev}o csapadektol (oldhatatlan 2 anyagoktol) elvalasszuk. A Sz-hez tolcsert hasznalunk, amelybe alkalmas modon osszehajtott sz}ur}ot ( ltrum) teszunk(.) A jo sz}ur}o a rea ontott folyadekot gyorsan atereszti, mg a leg nomabb csapadekot is visszatartja, minek soran az atsz}urt folyadek ( ltratum) nem zavaros, hanem egeszen kristalytiszta. 21]-ben mar hasznalhatobb informaciokat talalunk: 5. Dencio sz}ur}o : 1 sz}ukebb ertelemben szilard anyagoknak folyadektol valo elvalasztasara szolgalo likacsos anyag (! sz}ures)(.) A sz}ures

meghatarozasat itt is erdemes elolvasni, hiszen itt kerul el}o egy szamunkra fontos fogalom. 6. Dencio sz}ures, ltracio hgor-b}oli : 1 szilard anyagok elvalasztasa folyadekoktol olyan sz}ur}oreteg segtsegevel, amelynek likacsain a folyadek reszecskei (sz}urlet) athaladnak, a szilard anyage azonban nem(.) Szubmikroszkopos meret}u reszecskek (pl. bakteriumok) kisz}uresere az ultrasz}ur}ok szolgalnakA vegyiparban hasznalatos sz}ur}ok szakaszos v folytonos uzem}uek. F}obb tpusai a homok-, szvo-, taskas-, pres-, dobsz}ur}o 2. a koznyelvben helytelenulgy nevezik a kulonfele orvosi ! sz}ur}ovizsgalatokat Ez utobbi valoban helytelen, de ha mar megemltik az ultrasz}ur}oket kulonosen nom szerkezet}u sz}ur}okkent, nezzuk mit rnak roluk: 7. Dencio ultrasz}ures : eljaras kolloid oldatok (!szolok) kulonboz}o nagysagu !szubmikroszkopos meret}u reszecskeinek egymastol, ill. a szubmiroszkopos reszecskeknek

az ! amikroszkopos meret}u reszecskekt}ol torten}o elvalasztasara. Az hez kulonlegesen el}oalltott sz}ur}ohartyakat (ultrasz}ur}ok) hasznalnak, amelyek porusnagysaga kisebb 1 mikronnal. Sz}ur}ohartya keszt het}o pl. kollodium oldatabol Ujabban megfelel}o modon kesztett dextran ( C6H10O5]x) preparatumokat hasznalnak a szubmikroszkopos meret}u anyagoknak kis molekulajuaktol valo elvalasztasara. Ezek fordtva m}ukodnek, mint az ultrasz}ur}ok(.) A tudomany el}orehaladtaval a fogalmak neha uj, praktikus jelentest kapnak. 22]-ben a sz}ur}or}ol kizarolag, mint a fenykepez}ogep alkatreszer}ol olvashatunk 1: 1 A fordtast angol eredetib}ol szakfordto nem hitelestette. 3 8. Dencio sz}ur}o, a fenykepeszetben, a vegyes osszetetel}u feny kulonboz}o hullamhosszu osszetev}oinek, a lmhez erkezes el}otti szelektv modostasara szolgalo eszkoz(.) A fekete-feher lmekben sznes sz}ur}oket hasznalnak a

feny modostasara, es hogy a kepet a szurke megfelel}o arnyalatara kesztsek. A sznes sz}ur}ok fenyesteni vagy sotetteni is tudjak a sznes targy kepet(.) Sznes fenykepezesnel a sznes sz}ur}ok a feny sznet alaktjak at a lm sznerzekenysegehez() 2 Az eredend}o problema A sznes sz}ur}ok vizsgalatakor merult fel az alabbi kerdes: Legyen  > ! szamossag, U uniform ultralter 2 -n. Legyen T olyan ! magas fa, amelynek minden x csucsabol  el megy folfele. Legyen A(x) x fols}o szomszedainak halmaza, A0(x) = fxg, An+1(x) = A(An(x)). Legyenek A(x) elemei megszamozva  elemeivel es tekintsuk A(x)-en az U(x) ultraltert, ami legyen kanonikus megfeletetese U -nak. Denialjuk a (VU  G ) topologikus teret! Legyen VT T csucsainak halmaza, legyen Y  V nylt, ha minden x 2 Y eseten fy 2 Y A(x)g 2 U . 9. Problema Meg tudjuk-e adni VU -nak egy olyan -sznezeset, hogy minden nem ures nylt halmaz tartalmazzon minden

szn}u csucsot? Erre rogton megkserlunk valaszt adni. 10. Tetel  = !1, eseten megadhato olyan !1 -sznezes, ami a 9 Problema megoldasa. Bizonytas Tekintsunk egy hY :  2 !i halmazsorozatot, ahol Y0 = !1, tovabba fennall, hogy   2 !,  <  eseten Y  Y es Y = :  Ha  2 1 !), akkor legyen 2! X = Y;1nY: Itt is, mint a kes}obbiekben altalaban, megszokasbol az ultralter szot hasznaljuk, ultrasz}ur}o helyett. 2 4 Ilyen sorozat letezese konnyen lathato, a 27. Tetel specialis esetekent be is fogjuk bizonytani. hX :  2 !i nyilvanvaloan particionalja !1 -et A csucsokat !1 elemeivel sznezzuk, minden nem 0-szn}u csucsot a sajat szne mellett meg egy zold szn}u indexszel is megjelolunk. Sznezzuk T gyokeret 0-szn}ure. Ha egy x csucsot 0-szn}ure szneztunk, az A(x) halmaz elemei legyenek rendre 1 2 :::  :::( 2 !1) kulonboz}o, szn}uek. Jeloljuk meg ezeket a csucsokat egy zold szn}u

!-val. Minden   !-ra, legyen f : ! !  bijekcio, ahol f (0) = 0, ha  < !, akkor legyen f = id :  ! . Ha y-t zold !-val jeloltuk es y szne   !, A(y)-on tekintsuk a fent denialt hX :  2 !i partciot, es 8 2 -ra sznezzu;k1 Xf ;1() elemeit -szn}ure. Jeloljuk meg ezeket a pontokat egy-egy zold f ( )-val. Ha y-t zold !-val jeloltuk es y szne   ! es z 2 A(y)  -szn}u es f;1 ( ) = n 2 ! vagy ha z-t zold !-val jeloltuk, z -szn}u es  = n < !, akkor minden k 2 1 n]-re es minden w 2 An(z)-re legyen w szne f(n ; k), jeloljuk meg tovabba w-t egy zold n ; k-val. Konnyen lathato, hogy minden csucsot kiszneztunk. Tekintsunk egy G  V nem ures nylt halmazt. Legyen x 2 G Ekkor fennall az alabbi esetek valamelyike: (1) x 0-szn}u. (2) x-et egy zold n 2 ! szammal jeloltuk. Ekkor An(x) elemei 0-szn}uek, T es G An(x) 6= . (3) x-et egy zold !-val jeloTltuk. Ekkor A(x) elemeit zold !-beli szamokkal

jeloltuk, es van y 2 G A(x). Igy latjuk, hogy minden halmazban van 0-szn}u x csucs. Legyen 2 !1 U uniformitasa miatt van olyan y 2 g T A(x), aminek a szne   . Legyen n = f;1( ). Ekkor az A(y)-t partcion alo hX :  2 !i konstrukci oja miatt, T T van olyan m 2 !, m  n, amire Xm G 6= . Legyen z 2 Xm G Ekkor Am;n (z) T G 6= , es ennek az elemei eppen -szn}uek lesznek. ~}| Ha  tetsz}oleges szamossag akkor a kovetkez}ovel probalkozhatunk: Tegyuk fel, hogy minden 0 <  szamossagra mar van kostrukcionk. (i) Legyen a gyoker 0-szn}u, azaz 0-szn}u. (ii) Ha x 0-szn}u, A(x) elemei legyenek kulonboz}o szn}uek. 5 (iii) Ha x 0-szn}u, es y 2 A(x) szne , akkor legyen 0 = cf (j j). Rendezzuk egy konalis reszet 0-tpusba es ezekkel a sznekkel csinaljuk meg y fole a 0 -ra ismert 0-szn}u pontok fole rt konstrukciot, amg ujra 0-szn}u pontokat nem kapunk. Itt a (iii) lepeshez arra van szuksegunk, hogy (A) -nak

letezzen olyanS hX :  2 0i partcioja, hogy < 0 jS j =  S  0) eseten X 62 U . 2S Igy felmerul a kovetkez}o kerdes: 11. Problema Milyen -ra es U -ra all fenn (A)? A tovabbiakban a 11. Problemat vizsgaljuk 3 Ismerkedes a fogalmakkal H. J Keisler nevehez f}uz}odik az alabbi dencio: 12. Dencio Legyen U ultra lter az I alaphalmazon,  szamossag Ha van I -nek olyan I=  X <  (1) partcioja, hogy S 2 ]< eseten S X 62 U , akkor azt mondjuk, hogy U  2S -felbonthato. Ekkor az (1) beli partciot U -felbontasanak nevezzuk U -felbonthatatlan, ha nem -felbonthato. El}oszor kimondunk nehany trivialitast. 13. A lltas Tetsz}oleges U ultra lter 1-felbonthato, es  < !,  6= 1 eseten -felbonthatatlan. 14. A lltas Legyen U uniform ultra lter a  szamossagon Ekkor U felbonthato Egyszer}u, de hasznos a kovetkez}o lemma: 6 15. Lemma Legyen U ultra lter az I alaphalmazon,   szamossagok Legyen

8 2  ] szamossagra U <-felbonthatatlan. Ekkor I barmely S  I = X partcioja eseten 9S 2 ] , hogy <  X 2 U:   2S (2) Bizonytas A 13. A lltas miatt vagy =  =  vagy  2. Ha  < !, az alltas trivialis. Legyen  vegtelen szamossag Rogztsuk -t Ha  , U felbonthatosagaS adja az alltast Tegyuk fel, hogy  < 0-ra az alltas igaz  X . Ekkor U  -felbonthatosaga miatt 9S    jS j = Legyen I =  0 0 <0S S 1 < 0, hogy X 2 U . Legyen X = X Tekintsuk I -nek az  2S  62S I = X S( S X ) partciojat. Ez (1 + 1) reszre particionalja U -t, amib}ol  2S az indukcios felteves alapjan ki tudunk valasztani S1  fg S S -et, hogy jS1j < es kielegti (2)-t, amit X 62 U miatt S1nfg  0 is megtesz. ~ S X 16. Dencio Legyen  szamossag U -felbonthato ultra lter, < felbontasa U -nak. Legyen U () = fS   :  X 2 U g:   2S U ()-t az U (egy) visszahuzasanak nevezzuk -ra.

17. A lltas Legyenek   szamossagok, U -felbonthato ultra lter Legyen U () U visszahuzasa -ra. Ekkor - U () uniform ultra lter -n. - Ha U -felbonthatatlan, akkor U () is -felbonthatatlan. Trivialis, nem bizonytjuk. A kovetkez}o fogalmat C. C Chang vezette be 4]-ben: 18. Dencio Legyen U ultra lter az I alaphalmazon,  szamossag Ha van olyan hY :  2 i sorozat, hogy ha  2 , akkor Y 2 U , es  <  <  eseten 7 (i) Y  Y , illetve (ii) Y  Y , tovabba T Y = , akkor U -t az (i) esetben (er}osen) -likacsosnak, vagy 2 mai szohasznalattal (er}osen) -lyukasnak, az (ii) esetben gyengen lyukasnak mondjuk. Az hYi sorozatra azt mondjuk ekkor, hogy (gyenge) -lyuk. Ha U semmilyen <  szamossagra sem gyengen -lyukas, akkor U -teljes. 19. A lltas Ha  regularis, az er}os illetve gyenge -lyukassag ekvivalens Ha  szingularis, minden er}os -lyuk gyenge is egyben. Gyenge  lyuknak van olyan resze, ami er}os cf ()-lyuk. Ha U

minden eleme legalabb  szamossagu, akkor er}os cf ()-lyukat ki lehet b}ovteni er}os -lyukka. Csak az utolso alltas nem trivialis, de az sem okoz nehezseget. A bizonytasat elhagyjuk. A tovabbiakban -lyuk alatt er}os -lyukat ertunk Az alabbi alltas a lyukassag es a felbonthatosag kozotti szoros kapcsolatot mutatja. A tovabbiakban altalaban a felbonthatosagot fogjuk vizsgalni, egyreszt a fogalom konnyebb kezelhet}osege miatt, masreszt mert szingularis szamossagokra er}osebb feltetel. 20. Lemma Legyen U ultra lter az I alaphalmazon,  Ekkor U -felbonthato ) U -lyukas, es U -lyukas ) U cf ()-felbonthato.  ! szamossag. S X -felbontasa U -nak. Minden  < -ra Bizonytas Legyen I = < legyen Z = S X , es Y = I nZ. Ekkor Z -nal kevesebb X unioja, gy   Y 2 U . T Y = , hiszen X -k paronkent diszjunktak Masik iranyba: A 19. A lltas miatt feltehet}o, hogyT  regularis Legyen hYi egy -lyuk.

Legyen minden  < -ra X = < Y nY X -k nyilvaSn diszjunktak lesznek, es S 2 ]< eseten van sup S < 0 < , gy T ( X ) Y0 = . ~  2S 8 4 Kis lyukak, nagy lyukak El}oszor azt vizsgaljuk meg, hogy egy lyuk milyen feltetelek mellett garantalja kisebb lyuk letezeset. A kovetkez}o ket tetel err}ol szol 21. Tetel Legyenek   olyan szamossagok, hogy <   2 , legyen U -lyukas ultra lter az I alaphalmazon. Ekkor U -lyukas is valamely szamossagra.  Bizonytas A 20. Lemma miatt van U -nak I = S2X -felbontasa Tekintsunk egy + 1 magas 2-fat, azaz olyan fat, aminek minden levelt}ol kulonboz}o csucsabol kett}o el indul felfele. A fa minden x csucsara legyen l(x) az x folotti levelek halmaza. Az X( 2 ) halmazokat rjuk a fa egyegy levelere, a tobbi levelre rjunk ures halmazt A fa levelt}ol kulonboz}o x csSucsaira, pedig B (x)-szel jelolve az x csucsra rt halmazt legyen B (x) = B (y): y2l(x) Minden

2 -re az -dik szinten lev}o csucsokra rt halmazok diszjunktak, s uniojuk I 2 U , gy koz}uluk legfeljebb egy U -beli van. Legyen 0 a legalso szint, ahol nincs U -beli. Legyen Y0 = B (z) 2 U , ahol z a fa gyokere, es minden 2 -re Y legyen az -dik szinten lev}o U -beli halmaz, ha < 0, kulonben nem deni aljuk. Konnyen lathato, hogy hY : < 0i monoton fogyo es B = <T Y 62 U . Legyen = cf ( 0 ) es tekintsuk hY i-nak egy hZ : 2 i kon0 alis reszsorozatat. Ekkor a hZ nB i sorozat -lyuk lesz ~}| 22. Dencio Legyen  szamossag Egy fat -Aronszajn fanak nevezunk, ha -magas, minden szintjen -nal kevesebb csucs van es nincs  hosszu aga. A  szamossag gyengen kompakt, ha er}osen elerhetetlen es nincs -Aronszajn fa. 23. Tetel Legyen  olyan szamossag, amire van -Aronszajn fa Legyen U -lyukas ultra lter. Ekkor van olyan <  szamossag, amire U -lyukas A bizonytas lenyegeben megegyezik a 21. Tetelevel, ezert elhagyjuk

Az eddigiek alapjan megallapthatjuk, hogy minden merhet}o szamossag gyengen 9 kompakt. Ezt egyebkent Erd}os P es A Tarski bizonytottak be el}oszor 1942ben Ismert tetel, a bizonytas megtalalhato, peldaul 19]-ban: 24. Tetel Ha U -lyukas ultra lter, es  kisebb, mint a legkisebb merhet}o szamossag, akkor U !-lyukas. Most, hogy bizonyos esetekben tudjuk, hogy egy -s (nagy) lyuk mellett mindig letezik !-s (kis) lyuk is, vizsgaljuk meg, hogy milyen feltetelek mellett letezik kozepes lyuk. Ennek egy fontos esetet fogalmazza meg a kovetkez}o tetel, amit 2 = + feltetel mellett C. C Chang bizonytoott be el}oszor, s aminek bizonytasa megtalalhato 1]-ben is. El}obb azonban nezzuk a hozza tartozo segedeszkozt: 25. Dencio Legyen   ! szamossag Legyen (A  :  2 +   2 ) olyan matrix, hogy minden  1 2 2 +   1 2 2  1 6= 2 eseten (i) A1  T A2  = , (ii) j+ n S A j < + : < (iii) A 1 T A 2 =

, Ekkor az (A  ) matrixot diszjunkt Ulam-matrixnak, ha (iii)-t nem teszszuk fel, akkor Ulam-matrixnak nevezzuk. 26. Lemma Legyen   ! szamossag E