Matematika | Felsőoktatás » Dr. Maróti György - Egyváltozós függvények

Egyváltozós függvények Dr. Maróti György Alaptulajdonságok Párosság páratlanság 8.1 Definíció Az f(x) függvényt párosnak nevezzük, ha minden x ∈ Df -re -x is eleme Df -nek és f( −x ) = f( x ). A párossághoz tehát két feltételnek kell teljesülnie. Egyrészt az f értelmezési tartományának szimmetrikusnak kell lennie az origóra, másrészt az origóra szimmetrikus pontokban a két függvény értékének meg kell egyeznie. A függvény grafikonján a párosság úgy jelentkezik, hogy a függvény görbéje szimmetrikus az y tengelyre. Példák Feladat Mutassuk meg, hogy az f( x ) = x függvény páros. Megoldás Az f(x) mindenütt értelmezett, így értelmezési tartomány szimmetrikus a origóra. Másrész tetszőleges x-re f( −x ) = −x = x = f( x ). > plot(abs(x),x=-2.2); > Feladat Mutassuk meg, hogy minden páros kitevőjű hatványfüggvény páros. Megoldás (2 k) Legyen f( x ) = x . A hatványfüggények mindenütt értelmezettek, így

f( x ) értelmezési tartománya is szimmetrikus az origóra. Másrész tetszőleges x-re (2 k) (2 k) f( −x ) = ( −x ) = ( −1 ) x Az alábbi ábra néhány páros kitevőjű hatványfügvény grafikonját mutatja. > plot({x^2,x^4,x^6},x=-2.2,y=02); (2 k) = x (2 k) = f( x ). > 8.2 Definíció Az f(x) függvényt páratlannak nevezzük, ha minden x ∈ Df -re -x is eleme Df -nek és f( −x ) = −f( x ). A páratlansághoz ugyanúgy, ahogy a párossághoz is, két feltételnek kell teljesülnie. Egyrészt az f értelmezési tartományának szimmetrikusnak kell lennie az origóra, másrészt az origóra szimmetrikus pontokban a két függvényértének egymás minusz egyszeresének kell lennie. Ez a függvény grafikonján úgy jelentkezik, hogy a függvénygörbe szimmetrikus az origóra. Példák Feladat Mutassuk meg, hogy az f( x ) = sin( x ) cos( x )2 függvény páratlan. Megoldás Az f(x) mindenütt értelmezett, így értelmezési tartomány szimmetrikus a

origóra. Másrész tetszőleges x-re f( −x ) = sin( −x ) cos( −x )2 = −sin( x ) cos( x )2 = −f( x ). > plot(sin(x)*cos(x)^2,x=-Pi.Pi); > Feladat Mutassuk meg, hogy minden páratlan kitevőjű hatványfüggvény páratlan. Megoldás (2 k + 1) Legyen f( x ) = x . A hatványfüggények mindenütt értelmezettek, így f(x) értelmezési tartománya is szimmetrikus a origóra. Másrész tetszőleges x-re (2 k + 1) (2 k + 1) (2 k + 1) = ( −1 ) x f( −x ) = ( −x ) Az alábbi ábra néhány páratlan kitevőjű hatványfügvény grafikonját mutatja. > plot({x,x^3,x^5},x=-2.2,y=-22); = −x (2 k + 1) = −f( x ). > Végül megjegyezzük, hogy a függvények párossága és páratlansága lényegesen eltér az egész számok párosságától ill. páratlanságától Ez utóbbiak ugyanis bizonyosan beleesnek a két kategória közül az egyikbe (a nullát páros számnak szokás tekinteni). Ezzel szemben a függvények nagy része se nem páros se nem

páratlan. Például a logaritmus függvény értelmezési tartománya nem szimmetrikus az origóra, így ez a függvény nem lehet sem páros sem páratlan. A nullától különböző konstans függvény (pl. y=1) páros, ám az y=0 függvény egyszerre páros és páratlan Korlátosság 8.3 Definíció 1. Azt mondjuk, hogy a f(x) függvény felülről korlátos, a létezik olyan K szám, hogy az f(x) értelmezési tartományának minden x elemére f( x ) ≤ K . 2. Az f(x) alulról korlátos, ha létezik olyan k szám, hogy az f(x) értelmezési tartományának minden x elemére k ≤ f( x ) 3. Végül az f(x) függvényt korlátosnak nevezzük, ha alulról és felülről is korlátos Könnyű látni, hogy ha K felső korlátja az f( x ) függvénynek, akkor minden K-nál nagyobb M szám is felső korlát. És hasonló megjegyzés igaz az alsó korlátra is. Eszerint az alsó és felső korlát nincs egyértelműen meghatározva, sőt ha léteznek, akkor végtelen sok van belőlük

Példák 1. Az f( x ) = sin( x ) függvény korlátos Alsó korlátja a k=-1, felső korlátja K=1 Hasonló állítás igaz az f( x ) = cos( x ) függvényre is 2. Az f( x ) = 2 − x2 függvény felülről korlátos, mert K = 2 felső korlátja Ugyanis 0 ≤ x2 minden x-re, így 2 − x2 ≤ 2 is minden x-re teljesül Figyeljük meg, hogy ha K (=2) felső korlátja az f(x) függvénynek, akkor a függvény görbéje a teljes értelmezési tartományon az y = K (y=2) vizszintes egyenes alatt marad. > plot({2-x^2,[t,2,t=-2.2]},x=-22,y=-23); > 3. Az f( x ) = 1 függvény alulról korlátos, mert az értelmezési tartományába tartozó minden x-re 0 < x2 jelenítettük meg. > plot({1/x^2,[t,-.2,t=-33]},x=-33,y=-33); 1 x2 . Az ábrán az k = −2 alsó korlátot > Nem könyű kezelni a korlátosság tagadását. Mikor nem korlátos felülről egy függvény? Akkor, ha nem létezik olyan K, hogy az f( x ) ≤ K az értelmezési tartomány minden x elemére

teljesül. De mit is jelent az, hogy nem létezik ilyen tulajdonságú K szám? Azt, hogy akárhogy is veszek fel egy tetszőleges K számot, arra nem teljesül a definíció feltétele, vagyis, nem teljesül az, hogy minden x ∈ Df -re f( x ) ≤ K . Ez pedig azt jelenti, hogy kell lennie olyan x = a elemnek az értelmezési tartományban, amelyreK < f( a ), ha ugyanis nem lenne ilyen, akkor minden elemre teljesülne az f( x ) ≤ K feltétel. Összefoglalva tehát azt mondhatjuk, hogy az f( x ) akkor felülről nem korlátos, ha akárhogy is veszek fel egy K számot, mindíg találok az értelmezési tartományban olyan x = a elemet, amelyre a függvényérték nagyobb, mint K, vagyis K < f( a ). Hasonlóan, az f( x ) alulról nem korlátos, ha minden k számhoz létezik olyan a ∈ Df, hogy f( a ) < k. Végül az f(x) függvényre akkor mondjuk, hogy nem korlátos, ha alulról vagy felülről nem korlátos. Példák Feladat 2 Mutassuk meg, hogy az f( x ) = 2 − x

alulról nem korlátos. Megoldás Legyen először k = −98. Ha -98 alsó korlát lenne, akkor az értelemezési tartomány minden x elemére −98 ≤ f( x ) teljesülne De mi azt akarjuk megmutatni, hogy a -98 nem alsó korlát. Ehhez találni kell olyan x-et az értelmezési tartományban, amelyre f( x ) < −98, vagyis amelyre 2 − x2 < −98. Átrendezve az egyenlőséget kapjuk, hogy 100<x^2, amiből 10 < x következik Ha tehát x-et olyannak választjuk, melynek abszolút értéke 10-nél nagyobb (pl. x=-11, vagy x=20), akkor −98 ≤ f( x ) Ellenőrizzük a példaként választott két értéket. f( −11 ) = 2 − ( −11 )2 = 1-121 = -119 Ez pedig kisebb, mint k = −98 Ugyanígy, f(20) = 2 − 202= -398, és ez is kisebb -98-nál. Hangsúlyozzuk azonban, hogy annak megmutatáshoz, hogy -98 nem alsó korlát elegendő egy olyan x értéket tlaálni, amelyre f(x)<-98. Most nézzük általánosan! Vegyünk egy tetszőleges k valós számot. Azt kérdezzük,

hogy van-e olyan x, amelyre f( x ) < k Vizsgáljuk meg a 2 − x2 < k egyelőséget. Átrendezve azt kapjuk, hogy 2 − k < x2 Ha most 2 − k negatív szám, akkor az x = 0 választás megfelelő. Ha pedig 2 − k nemnegatív, akkor mindkét oldalból gyököt vonva kapjuk, hogy 2 − k < x. Tehát például az x = 2 − k + 1 választás megfelelő Feladat Mutassuk meg, hogy az f( x ) = 1 x2 felülről nem korlátos. Megoldás Legyen K tetszőleges valós szám. Keressünk olyan x valós számot Df -ben, amelyre K < f( x ) Ilyen létezik ugyanis ha K ≤ 0, akkor az 1 1 1 K < f( x ) minden x-re teljesül. Ha pedig K pozitív szám, akkor az K < 2 egyenlőtlenség reciprokát véve x2 < és ebből x < adódik. K x K Ilyen x pedig létezik. Periódus 8.4 Definíció A p pozitív számot az f(x) függvény periódusának nevezzük ha 1. Minden x ∈ Df -re x + p és x − p is eleme Df -nek és 2. Minden x ∈ Df -re f( x ) = f( x + p ) Ha f(x)-nek van

periódusa, akkor f(x)-et periodikusnak nevezzük. Vegyük észre, hogy ha p az f(x) periódusa, akkor az x-szel együtt nemcsak x + p, hanem x + 2 p, x + 3 p, . is eleme az értelmezési tartománynak. Hasonlóan, az x − p mellett x − 2 p, x − 3 p,. is eleme az f( x ) értelmezési tartományának. Ezt röviden úgy mondhatjuk, hogy ha x ∈ Df, akkor ( x + k p ) ∈ Df (k tetszőleges egésszám) . Hasonlóan látható, hogy f( x ) = f( x + p ) -ből következik, hogy f( x ) = f( x + p ) = f( x + 2 p ) = . és f( x ) = f( x − p ) = f( x − 2 p ) =. Mindezt összefoglalva azt mondhatjuk, hogy f( x ) = f( x + k p ) , ahol k tetszőleges egészszám. Példák A legismertett periodikus függvények a trigonometrikus függvények. A sin( x ) és a cos( x ) periodusa 2 π Feladat Mutassuk meg, hogy a tangens és a kotangens függvény periodusa π. Megoldás sin( x + π ) sin( x ) cos( π ) + cos( x ) sin( π ) sin( x ) = =− = tan( x ) . cos( x + π ) cos( x ) cos( π ) − sin(

x ) sin( π ) −cos( x ) A kotangens periodicitása ugyanígy igazolható. tan( x + π ) = > plot(tan(x),x=-2*Pi.2*Pi,y=-4.4); > plot(cot(x),x=-2*Pi.2*Pi,y=-4.4); > Monotonitás 8.5 Definíció 1. Az f(x) függvényt monoton növekvőnek nevezzük, ha minden x1, x2 ∈ Df -re abból, hogy x1 < x2 következik, hogy f( x1 ) ≤ f( x2 ) 2. Az f(x) függvényt szigorúan monoton növekvőnek nevezzük, ha minden x1, x2 ∈ Df -re abból hogy x1 < x2 következik, hogy f( x1 ) < f( x2 ) Példák Az f(x)=[x] (x egész része) függvény monoton nő. Ez az un lépcsős függvény Ha az x1 < x2 értékeket egy lépcsőn belül válaszjuk, akkor f( x1 ) = f( x2 ). Ha pedig az x1 < x2 értékek különböző lépcsőkbe esnek, akkor f( x1 ) < f( x2 ) A f( x1 ) ≤ f( x2 ) reláció mindkét esetben teljesül > plot(floor(x),x=-3.3,discont=true); > Ugyanakkor a lépcsősfüggvény nem szigorúan monoton növekvő. Ugyanis például legyen x1 = 11 és

x2 = 12 Mivel [11]=[12]=1, ezért f( x1 ) = f( x2 )Találtunk tehát olyan x1 és x2 valós számokat, amelyekre x1 < x2, miközben f( x1 ) = f( x2 ), tehát f( x1 ) < f( x2 ) nem teljesül. 8.6 Definíció 1. Az f(x) függvényt monoton csökkenőnek nevezzük, ha mindenx1, x2 ∈ Df -re abból, hogy x1 < x2 következik, hogy f( x2 ) ≤ f( x1 ) 2. Az f(x) függvényt szigorúan monoton csökkenőnek nevezzük, ha minden x1, x2 ∈ Df -re abból, hogy x1 < x2 következik, hogy f( x2 ) < f( x1 ) . Példák x 1 A f( x ) =   hatványfüggvény szigorúan monoton csökken. 2 > plot((1/2)^x,x=-2.2); > A szigorúan monoton (növekvő vagy csökkenő) függvényeknek van egy fontos tulajdonságuk, amit az inverz függvények vizsgálatánál kamatoztathatunk. Szigorúan monoton függvények esetén ugyanis nem fordulhat elő, hogy a független változó két különböző értékéhez ugyanaz a függvényérték tartozik. Ha ugyanis x1 és x2

az értelemezési tartomány különböző elemei, akkor az általánosság megszorítása nélkül feltehetjük, hogy x1 < x2. Ekkor, ha függvényünk növekvő, akkor f( x1 ) < f( x2 ), ha pedig csökkenő akkor f( x2 ) < f( x1 ) Tehát a függvényértékek mindkét esetben különböznek. 8.7 Definíció Az f függvényt kölcsönösen egyértelműnek nevezzük, ha értelmezési tartománya különböző elemeihez tartozó függvényértékek is különbözők. Hogy olvasható le a függvény grafikonjáról annak kölcsönösen egyértelműsége? Vizsgáljuk meg az f( x ) = x2 függvény esetét. > p:=plot(x^2,x=-3.3,y=06): e1:=plot([[-2,t,t=0.4],[2,t,t=04]],color=black): e2:=plot([t,4,t=-3.3],color=blue): plots[display]([plots[display]({p,e1}),plots[display]({p,e1,e2})],insequence=true); > Az f( x ) = x2 függvény nem kölcsönösen egyértelmű, mert például f( −2 ) = f( 2 ) = 4. Van tehát két különböző eleme az értelmezési tartománynak, amelyre

a függvény ugyanazt az értéket adja. Ha tehát felrajzoljuk az y = 4 vizszintes egyenest, akkor az a függvény görbéjét kétszer (tehát egynél többször) fogja metszeni. Ez a jelenség kölcsönösen egyértelmű függvényeknél nem fordulhat elő, mert ott különböző független változó értékekhez különböző függvényérték tartozik. Azt mondhatjuk tehát, hogy 8.8 Állítás Kölcsönösen egyértelmű függvények esetében az y tengelyre állított minden merőleges egyenes a függvény görbéjét legfeljebb egy pontban metszi. 8.9 Állítás Ha egy függvény szigorúan monoton, akkor kölcsönösen egyértelmű. A télel megfordítása nem igaz. Az 1  f :=  x  2 x függvény kölcsönösen egyértelmű de nem monoton. > f:=piecewise(x<0,1/x,x>=0,x^2): > plot(f,x=-4.4,y=-44,discont=true); x<0 0≤x > Valóban az ábra jól érzékelteti, hogy bármelyik az y tengelyre állított merőleges legfeljebb egyszer

metszi a függvény görbéjét. Tehát a függvény kölcsönösen egyértelmű, ám nem monoton. Ugyanis a monoton növekedésnek vagy csökenésnek az egész értelmezési tartományra kell teljesülnie. Mondhatjuk ugyan, hogy az f(x) monoton csökken az ]∞, 0[ mindkét oldalról nyitott intervallumon De nem monoton csökkenő a teljes értelmezési tartományom, mert a [0, ∞[ intervallumon monoton növekvő. Műveletek függvényekkel Alapműveletek 8.10 Definíció Az f(x) és g(x) függvények összegén azt a h(x) függvényt értjük, amelyre 1. Dh = Df ∩ Dg és 2. minden a ∈ Dh-ra h( a ) = f( a ) + g( a ) A két függvény összegére a h( x ) = f( x ) + g( x ) vagy még rövidebben a h = f + g jelölést használjuk. Eszerint tehát a két függvény összege ott van értelmezve, ahol mindkét összeadandó függvény értelmezve van. Az összegfüggvény helyettesítési értékeit pedig úgy számítjuk ki, hogy vesszük az összeadandó függvények

helyetteseítési értékeit és azokat összeadjuk. Példa Legyen f( x ) = 1 − x és g( x ) = ln( x ). Az f értelmezése tartománya az 1-nél nem nagyobb valós számok halmaza, vagy másként a ]−∞, 1] intervallum. A g(x) értelmezési tartománya pedig a pozitív valós számok halmaza, vagyis a ]0, ∞[ nyitott intervallum E két értelmezés tartomány metszete a ]0,1] balról nyitott jobbról zárt intervallum, ami egyben a h( x ) = f( x ) + g( x ) = 1 − x + ln( x ) értelmezési tartománya. 1 1 1 A h  értéket pedig úgy számítjuk ki, hogy vesszük az f  és g  helyettesítési értékeket és ezeket összeadjuk 2 2 2 1 1 1 1 1 h  = f  + g  = 1 − + ln . 2 2 2 2 2 8.11 Definíció Az f(x) és g(x) függvények különbségén azt a h(x)=f(x)-g(x) függvényt értjük, amelyre 1. Dh = Df ∩ Dg és

2. minden a ∈ Dh-ra h( a ) = f( a ) − g( a ) A két függvény különbségét néha a rövidebb h = f − g formulával jelöljük. Példa Legyen f( x ) = 2 x + x és g( x ) = x + x . E két függvény különbsége h( x ) = f( x ) − g( x ) = 2 x + x − ( x + x ) = x Ám legyünk óvatosak, mielőtt kijelentjük, hogy a h( x ) függvény megegyezik az x függvénnyel. Ez utóbbi ugyanis mindenütt értelmezett, míg a h(x) értelemezési tartománya a nemnegatív valós számok halmaza. Ez abból következik , hogy mind az f(x), mind a g(x) a nemnegatív valós számokon értelmezett, így különbségük értelmezési tartománya a két (megegyező) értelmezési tartomány metszete. 8.12 Definíció Az f(x) és g(x) függvények szorzatán azt a h( x ) = f( x ) g( x ) függvényt értjük, amelyre 1. Dh = Df ∩ Dg és 2. minden a ∈ Dh-ra h( a ) = f( a ) g( a ) A két függvény szorzatát néha a rövidebb h = f g formulával jelöljük. 8.14 Definíció Az f(x) és

g(x) függvények hányadosán azt a h( x ) = f( x ) függvényt értjük, amelyre g( x ) 1. Dh = Df ∩ Dg - {x | g( x ) = 0} f( a ) 2. minden a ∈ Dh-ra h( a ) = g( a ) A két függvény hányadosát néha a rövidebb h = f formulával jelöljük. g Tehát két függvény hányadosának képzésénél nem elégséges az értelmezési tartományok közös pontjait venni. A közös részből még ki kell zárni azokat a pontokat is, ahol a nevező nulla értéket vesz fel. Példa Legyen f( x ) = x2 és g( x ) = sin( x ). Mivel a f(x) is és g(x) is mindenütt értelmezett, a szorzat függvény értelmezési tartománya a valós számok halmaza. > plot(x^2*sin(x),x=-10.10); Legyen most f( x ) = ln( x ) és g( x ) = sin( x ). Az f( x ) csak a pozitív valós számokon értelmezett, g( x ) pedig mindenhol Ám a g( x ) = sin( x ) függvénynek a k π pontokban zérushelye van, így a hányados függény értelmezési tartománya Dh={ x | 0 < x és x ≠ k π , k = 1, 2,.} >

plot(ln(x)/sin(x),x=0.25,y=-1010); g( x ) értelmezési tartományát. Továbbra is csak a pozitív valós számok körében mozoghatunk a f( x ) = ln( x ) f( x ) jelenléte miatt. Ám most ln( x ) szerepel a nevezőben, aminek mindössze egy zérushelye van, az x = 1 Tehát a h( x ) hányadosfüggvény értelmezési tartománya a pozitív valós számok halmaza kivéve az 1-et. > plot(sin(x)/ln(x),x=0.20,y=-33); Adjuk most meg a h( x ) = > Összetett függvény A h( x ) = ( 2 x − 3 )3 függvény helyettesítési értékének kiszámolását az x = 1 helyen úgy végezzük el, hogy először meghatározzuk a 2 x − 1 értékét az x = 1 pontban (2*1-3=-1), majd az így kapott értéket emeljük köbre ((-1)^3=-1). Ám amikor a 2 x − 1 kifejezésbe 1-et helyettesítettünk, akkor nem tettünk mást, minthogy kiszámoltuk a g( x ) = 2 x − 1 függvény helyettesítési értékét az x = 1 helyen, vagyis meghatároztuk a g(1) értéket. Amikor pedig ezt az értéket

köbre emeltük, akkor valójában f( x ) = x3 függvény helyettesítési értékét számoltuk ki a g(1) helyen, vagyis meghatároztuk az f(g(1)) értéket. Itt tehát két függvény összetetételével állunk szembre, melyet a következő definíció precizíroz. 8.15 Definíció Az f(x) külső és a g(x) belső függvényből képzett h(x)=f(g(x)) összetett függvény alatt azt a függvényt értjük, melyre az alábbiak teljesülnek. 1. A h( x ) értelmezési tartománya a g( x )értelmezési tartományának azon a pontjaiból áll, amelyekre teljesül, hogy g( a ) hozzá tartozik f( x ) értelmezési tartományához. 2. A Dh bármely a elemére h( a ) = f( g( a ) ) Az összettt függvény értelmezési tartományról kell néhány szót ejteni. A definíció így kezdődik: "a h(x) értelmezési tartománya a g(x) értelmezési tartományának azon elemeiből áll ." Ez azt jelenti, hogy Dh részhalmaz Dg-nek És mi kell ahhoz, hogy az a ∈ Dg benne legyen Dh-ban?

Erre a definíció második fele ad választ. Az kell hozzá, hogy g( a ) eleme legyen Df-nek vagyis hogy g( a ) ∈ Df teljesüljön Mindezt összefoglalva kapjuk, hogy Dh = { a | a ∈ Dg és g( a ) ∈ Df } . Példák Feladat Képezzük az f( x ) = ln( x ) és a g( x ) = sin( x ) függvényekből a h( x ) = f( g( x ) ) összetett függvényt, számoljuk ki helyettesítési értékét az x = és az x = π 2 3π pontban, és határozzuk meg a h(x) értelmezési tartományát. 2 Megoldás Az összetett függvény h( x ) = ln( sin( x ) ). Ennek helyettesítési értéke az x = π pontban 2 π   π  h  = ln sin   = ln( 1 ) = 0. 2   2  Ax= 3π pontra azt kapjuk, hogy 2 3π   3 π   = ln sin   = ln( −1 ) h  2    2  3π pontban. 2 Ahhoz, hogy egy x valós szám eleme legyen a h értelmezési tartományának két feltételenek kell

teljesülnie. Egyrész x ∈ Dsin másrészt sin( x ) ∈ Dln. Az első feltétel nem jelent megszorítást, mert a sin függvény mindenhol értelmezett Ám a logaritmus függvény értelmezési tartománya pozití valós számok halmaza, így azokat az x-eket kell meghatároznunk, amelyekre 0 < sin( x ). Az biztos, hogy a ]0, π[ nyitott intervallumba eső x-ekre teljesül a feltétel. Figyelembe véve a sin függvény periodicitását (a periódus 2 π), azt mondhatjuk, hogy Dh a ] 0 + 2 k π, π + 2 k π[ nyitott intervallumok egyesítése, ahol k tetszőleges egész szám. > plot(ln(sin(x)),x=-20.20); ám a logaritmus függvény az x = −1 pontban nincs értelmezve, így az összetett függvény sincs értelemezve az x = Feladat Írjuk fel a h( x ) = 1 + 2 x + 3 x2 függvényt két függény össztett függvényeként. Megoldás Legyen a belső függvény g( x ) = 1 + 2 x + 3 x2, a külső függvény pedig f( x ) = x . Ekkor f( g( x ) ) = 1 + 2 x + 3 x2 = h( x ). 3

x2 Vegyük azonban észre, hogy a g( x ) = x + és f( x ) = 1 + 2 x választással 2  3 x2  2  f( g( x ) ) = 1 + 2 g( x ) = 1 + 2 x +  = 1 + 2 x + 3 x = h( x )  2  a h(x) egy másik felbontását kapjuk. A példa azt is mutatja, hogy a függvények összetett függvényekre való felbontása nem egyértelmű, mert egy adott függvény többféle képpen is felírható összetett függvényként. Inverz függvény Az előző fejezetben megvizsgáltuk az összefüggést a bankban elhelyezett tőke jelenértéke és az eltelt évek száma között. Azt tapasztaltuk, hogy ha F forintot elhelyezünk S százalékos kamatra, akkor T év elteltével a teljes összeg A = F ( 1 + k )T, ahol k=S/100. Ebben a formulában F és k konstans, a T a független változó és A a függő változó. A megszokott függvénytani jelölésekkel ez úgy írható, hogy f( x ) = F ( 1 + k )x. Ezt a függvényt akkor tudjuk jól alkalmazni, amikor azt keressük, hogy T év elteltével

mennyi pénzünk lesz a számlánkon. Azonban más kérdést is feltehetünk. Nevezetesen érdekelhet bennünket az is például, hogy mennyi időnek kell eltelnie ahhoz, hogy az elhelyezett tőkénk megduplázódjon. Ennél a kérdés felvetésnél tehát az eltelt évek számát keressük, vagyis a T lesz a függő változó, és ennek megfelelően A a ln( A ) független változó. A T mennyiséget kifejezve azt kapjuk, hogy T = . Ismét csak áttérve függvénytani jelölésekre ln( F ( 1 + k ) ) ln( x ) g( x ) = . ln( F ( 1 + k ) ) Mi a kapcsolat az f(x) és g(x) függvény között? A g(x) az f(x) függvényből úgy keletkezett, hogy benne felcseréltük a függő és a független változó szerepét. Jobban látszik ez a kapcsolat, ha a függő változót y-nal jelöljük y = F ( 1 + k )x. Cseréljük fel a két változót x = F ( 1 + k )y. És mivel a függvénytanban y-nal szoktuk jelölni a függő változót, és azt is szeretjük, ha ez a függő változó legyen kifejezve

a független változóval, fejezzük ki az a fenti egyenlőségből y-t. Minkét oldal logaritmusát véve ln( x ) = y ln( F ( 1 + k ) ) amiből ln( x ) y= ln( F ( 1 + k ) ) adódik. Amikor két függvény között a most leírt kapcsolat van, tehát amikor egy függvényből úgy kapom a másikat, hogy benne felcserélem a függő és a független változót, akkor azt mondjuk, hogy a függvények egymás inverz függvényei, vagy csak röviden inverzei. 8.16 Definíció Az f(x) függvény inverzén az a g(x) függvényt értjük, amelyre 1. Dg = Rf és 2. Minden y ∈ Dg -re g( y ) = x akkor és csak akkor ha f( x ) = y Ha az f(x) inverze létezik, akkor f(x)-et invertálhatónak nevezzük, és inverzét f( x ) ( −1 ) -gyel jelöljük. ( −1 ) A definícióból közvetlenül adódik, hogy ha g( x ) = f( x ) , akkor Rg = Df . Ez pedig azt mutatja, hogy a definícióban f( x ) és g( x ) szerepe felcserélhető. Azt kaptuk tehát, hogy ha g( x ) inverze f(x)-nek akkor f( x )

is inverze g( x )-nek Ezért jogos az a szóhasználat, hogy f( x ) és g( x ) egymás inverzei. Ha az f(x) függvényből, mint külső függvényből, valamint az inverzéből, mint belső függvényből összetett függvény képezünk, akkor h( x ) = x függvényhez jutunk. Valóban ha g( x ) = f( x ) kapjuk, hogy ( −1 ) és g( y ) = x, akkor a definíció 2. pontja szerint f( x ) = y, amibe x helyére g( y )-et helyettesítve y = f( g( y ) ) = h( y ) . 8.17 Állítás Az f( x ) függvénynek akkor és csak akkor létezik inverze, ha f(x) kölcsönösen egyértelmű. Bizonyítás Tekintsük az f( x ) függvényt. Vizsgáljuk meg, hogy minek kell teljesülnie ahhoz, hogy az inverz függvény definíciója alkalmazható legyen Nehézség csak a definíció 2. pontjával lehet Ez ugyanis azt írja elő, hogy a létrehozandó g(y) függvényre g(y)=x akkor és csak akkor ha f(x)=y Mármost ha létezne olyan egymástól kölönböző x1 és x2 értek amelyre y = f( x1 ) = f( x2 )

teljesülne, akkor g( y )-nak egyidejűleg x1-gyel és a tőle különböző x2-vel is egyenlőnek kell lennie, ami lehetetlen. Ezzel azt mutattuk meg, hogy nem kölcsönösen egyértelmű függvénynek nincs inverze. Ugyanakkor ha f( x ) kölcsönösen egyértelmű, akkor a függő változó minden értéke egyértelműen meghatározza a független változó értékét, tehát a definíció 2. pontja alkalmazható 8.18 Következmény Ha az f(x) függvénynek létezik inverze, akkor az inverz függvény (is) kölcsönösen egyértelmű. Bizonyítás Valóban ha f(x)-nek létezik inverze, akkor kölcsönösen egyértelmű. Ám az láttuk, hogy inverznek lenni szimmetrikus reláció, vagyis ha g(x) az f(x) inverze, akkor f(x) a g(x) inverze. Eszerint g(x)-nek létezik inverze (maga az f(x)) és így a tétel szerint kölcsönösen egyértelmű Függvénytani szempontból van a kölcsönösen egyértelmű függvényeknek egy kiemelkedően fontos osztálya, nevezetesen a szigorúan monoton

függvények osztálya. Láttuk korábban, hogy a szigorúan mononton függvények kölcsönösen egyértelműek, és így a tétel szerint létezik inverzük. Ez az állítás olyan fontos, hogy mondjuk ki külön tétel formájában is 8.19 Állítás Ha az f(x) függvény szigorúan monoton, akkor létezik az inverze. Mivel a monotonitás eldöntése lényegesen könnyebb kérdés, mint a köcsönösen egyértelműség eldöntése, ezért az inverz függvények vizsgálatát a szigorúan monoton függvényekre korlátozzuk. Példa Feladat Mutassuk meg hogy a f( x ) = x − 1 függvény invertálható és határozzuk meg az inverzét. Megoldás Az f( x ) értelmezés tartománya az [1, ∞[ balról zárt jobbról nyitott intervallum. > plot(sqrt(x-1),x=0.10); > Az ábráról leolvasható, hogy az f( x ) értékkészlete a pozitív valós számok halmaza. A x − 1 függvény az x külső és a g( x ) = x − 1 belső függvény összetett függvényként áll elő, és

mivel mindkét függvény szigorúan monoton, ezért összetett függvényük, vagyis f(x) maga is az. Tehát f(x) invertálható. Inverz vüggényének megállapításához írjuk fel a függvényt y = x − 1 alakba. Cseréljük fel a függő és független változót x = y − 1 , és végül fejezzük ki y-t. Négyzetre emelés után kapjuk, hogy x2 = y − 1, amiből y = x2 + 1 Vigyázzunk arra, hogy hiába értelmezett az y = x2 + 1 függvény a teljes számegyenesen, az f(x) inverz függvényének értelmezési tartomány az f(x) értékkészlete, vagyis a pozitív valós számok halmaza. > plot({x^2+1,sqrt(x-1),x},x=0.10,y=010); > > Az ábra azt sugallja, hogy a az inverz függvény görbéje a a függvény görbéjének y = x egyenesre való tükörképe. Ez az érzés nem véletlen Ugyanis az inverz függvény a függő és független változók cseréjével jött létre. Ha tehát a P = [ x0, y0 ] pont rajta van a görbén, akkor a Q = [ y0, x0 ] pont rajta van

az inverz függvény görbéjén és viszont. Megmutatjuk, hogy a P és a Q pontok egymásnak tükörképei az y = x egyenesre nézve. Valóban a P és Q felezőpontjának koordinátái  x0 + y 0 x0 + y0  , F =  ,   2 2  ez a pont pedig rajta van az y = x egyenesen. Írjuk most fel a P és Q pontokon átmenő egyenes egyeneletét ( x0 − y0 ) ( x − x0 ) y − y0 = . y0 − x0 Ennek az egyenesnek az iránytangense -1, amiből kövekezik, hogy merőleges az y = x egyenesre. P és Q tehát valóban egymás tükörképei Ezzel bebizonyítottuk a következő állítást. 8.20 Állítás Az f(x) inverz függvényének görbéjét úgy kapjuk, hogy az f(x) függvény görbéjét tükrözzük az y = x egyenesre. Ellenőrző kérdések 1. Mikor mondjuk, hogy az f(x) függvény páros? 2. Mikor mondjuk, hogy az f(x) függvény páros? 3. Van-e olyan függvény, ami egyszerre páros és páratlan is? 4. Van-e olyan függvény, ami se nem páros se nem páratlan? 5.

Mikor mondjuk, hogy a K szám felső korlátja az f(x) függvénynek? 6. Mikor mondjuk, hogy a k szám alsó korlátja az f(x) függvénynek? 7. Mikor nevezzük az f(x) függvényt korlátosnak? 8. Tagadjuk azt az állítást, hogy f(x) felülről korlátos? 9. Tagadjuk azt az állítást, hogy f(x) alulról korlátos? 10. Mikor mondjuk, hogy p periódusa az f(x) függvénynek? 11. Lehet-e egy függvénynek negatív periódusa? 12. Mikor mondjuk, hogy f(x) szigorúan monton nő? 13. Mikor mondjuk, hogy f(x) monoton csöken? 14. Van-e olyan függvény, ami egyidejűleg monoton nő és monoton csökken? 15. Mikor mondjuk, hogy egy függvény monoton (nem monoton)? 16. Mikor mondjuk azt, hogy egy függvény kölcsönösen egyértelmű? 17. Mi a kapcsolat a kölcsönösen egyértelmű és a szigorúan monoton függvények között? 18. Van-e olyan függvény, ami kölcsönösen egyértelmű, de nem szigoróan monoton? 19. Van-e olyan függvény, ami sziguróan monoton de nem kölcsönösen

egyértelmű? 20. Adjuk meg két függvény összegének, különbségének, szorzatának és hányadosának értelmezési tartományát 21. Definiáljuk az összetett függvény fogalmát 22. Írjuk fel halmaz jelölésekkel az összetett függvény értelmezési tartományát 23. Mikos mondjuk, hogy g(x) az f(x) inverze? 24. Mi az inverz függvény létezésének szükséges és elégséges feltétele? 25. Mi az inverz függvény létezésének elégséges feltétele? 26. Van-e olyan szigorúan monoton függvény, aminek nincs inverze? 27. Van-e olyan nem szigorúan monoton függvény, aminek van inverze? 28. Mi a kapcsolat az f(x) görbéje és inverz függvényének görbéje között?