Matematika | Felsőoktatás » Szegedi Tamás - Hatványozás, hatványfüggvények és tulajdonságaik

Készítette: Szegedi Tamás Hatványozás, hatványfüggvények és tulajdonságaik Ha egy szorzat azonos tényezőkből épül fel, azt rövidebben hatványalakban írjuk fel. Bár a matematikusok már a középkorban is használták a hatványozást, de a középkorban Descartes volt az, aki elkezdte a hatványkitevők használatát, és a⋅ a helyett a2-t írt. Definíciók: Pozitív egész kitevős hatvány: Ha a tetszőleges valós szám, és m 1-nél nagyobb pozitív egész szám, akkor az am hatvány azt az m tényezős szorzatot jelenti, amelynek minden tényezője a. Az a-t a hatvány alapjának, n-t a hatvány kitevőjének, am pedig a hatványmennyiség (hatványérték), vagy röviden csak hatványnak mondjuk. am = a ⋅ a ⋅ a⋅ .⋅ a, a ∈ R, n ∈ N {0,1} Bármely valós szám első hatványa önmaga. a1 = a, a∈ R Bármely 0-tól különböző valós szám nulladik hatványa 1. 0 és 1 bármely pozitív egész kitevőjű hatványa önmaga. (-1)n = 1, ha n =

páros, míg (-1)n = -1, ha n páratlan. Negatív egész kitevős hatvány: Bármely 0-tól különböző valós szám negatív egész kitevőjű hatványa egyenlő az alap reciprokának ellentett kitevővel vett hatványával. Formulával: a-n = (1 / a)n = 1 / an, ahol a ∈ R, a ≠ 0, n ∈ N+ Racionális kitevőjű hatvány: Bármely 0-tól különböző valós szám racionális (törtkitevőjű, azaz m/n-edik) hatványa egyenlő az alap m-edik hatványából vont nedik gyöke. Törtkitevős hatványoknál a permanencia-elv miatt a hatvány azonosságai nem változnak. Formulával: , ahol a ∈ R+, n, m ∈ Z, n > 1 Irracionális kitevőjű hatvány: A kétoldali közelítés (rendőr-elv) segítségével bebizonyítható, hogy az irracionális kitevőjű hatvány létezik, és az eddig megismert azonosságok érvényben maradnak. r Def.: a ∈ R+ , x ∈ RQ , ax = lim(a n) , r n x racionális tagú sorozat Hatványfüggvények f(x)=x3 g(x)=x5 h(x)=x7 • • A valós

számokon értelmezett f(x)=x2k+1 (k pozitív egész) hozzárendelési szabállyal megadott hatványfüggvények tulajdonságai: • értékkészlete a valós számok halmaza szigorúan monton nő páratlan függvény f(x)=x2 h(x)=x4 g(x)=x6 • • A valós számokon értelmezett f(x)=x2k (k pozitív egész) hozzárendelési szabállyal megadott hatványfüggvények tulajdonságai: • értékkészlete [0; ∞[ • ]− ∞;0] intervallumon szigorúan monoton csökkenő a [0; ∞[ ben szigorúan monton nő x=0 helyen minimuma van, ennek értéke 0. páros függvény Tétel + Bizonyítás: A hatványozás azonosságainak bizonyítása egész kitevőre I. Azonosság: azonos alapú hatványok szorzata egyenlő azzal a hatvánnyal, amelynél az alapot a kitevők összegére emeljük: a m a n = a m+ n a/ pozitív egész kitevő esetén ( a tetszőleges valós szám) a m a n = (a ⋅ . ⋅ a )⋅ (a ⋅ a ) = (a ⋅ ⋅ a ) = a m+ n n − szer m − szer m + n − szer

(kihasználtuk a hatványozás definícióját /1.egyenlőség/, illetve a szorzás asszociatív tulajdonságát és a definíciót /3. egyenlőség/) b/ negatív egész kitevő esetén (a tetszőleges 0-tól különböző valós szám) 1 1 1 a − m a − n = m n = m + n = a −( m + n ) = a − m − n a a a (kihasználtuk a hatványozás definícióját, illetve pozitív egész kitevőre bizonyítottakat) II. Azonosság: azonos alapú hatványok osztása esetén a tört egyszerűsíthető, az eredmény attól függ, hogy a számláló vagy a nevező kitevője a nagyobb. am = a m−n ( a 0-tól különböző valós szám) n a a/ pozitív egész kitevő esetén, ha m>n m − szer a m a ⋅ . ⋅ a = = a m−n n a ⋅ . ⋅ a a ha m=n ha m<n n − szer ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~= 1 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~= 1/ an-m (A definíció és az egyszerűsítés, definíció szabálya alapján) b/ negatív egész kitevő esetén (a 0-tól különböző valós szám) 1 n − szer −m n m a a a ⋅ . ⋅

a =a = m = = a n − m = a − m −( − n ) −n 1 a ⋅ . ⋅ a a a m − szer n a (kihasználtuk a hatványozás definícióját, illetve pozitív egész kitevőre bizonyítottakat) Alkalmazások: Matematikai: • Nevezetes azonosságok • Polinomokkal végzett műveletek • Mértani sorozatok • Binomiális eloszlás Egyéb: • Kamatszámítás • Radioaktív bomlás • Mértékegységek közötti átváltás