Építészet | Felsőoktatás » Összetett axiális igénybevételű keresztmetszet teherbírása

Összetett axiális igénybevételu keresztmetszet teherbírása Összetett igénybevételnek egyrészt azt tekinthetjük, ha a keresztmetszetet a hajlítása nem a keresztmetszet szimmetriatengelyében történik, másrészt azt, ha nyomaték mellett normálero is terheli a keresztmetszetet. Az elemi szilárdságtanban az elsonek említett esetet ferde hajlításnak, a másodikat külpontos nyomásnak, ill. húzásnak neveztük A vasbeton szilárdságtanban is alkalmazni szoktuk ezeket az elnevezéseket, ennek megfeleloen a vasbeton keresztmetszet legáltalánosabb axiális igénybevételét ferde külpontos nyomásnak vagy ferde külpontos húzásnak nevezzük. Szimmetrikus keresztmetszet M-N teherbírási vonala A III. feszültségi állapot szerinti hajlítási vizsgálatnál megmutattuk, hogy a vizsgálat közbenso eredményeinek érdekes mechanikai értelmezést lehet adni: a tetszolegesen felvett x c értékek figyelembevételével számított feszültségek N vektoreredojét

és a keresztmetszet középpontjára vonatkozó M nyomatékát összetartozó érték-párnak tekinthetjük, amely egyidejuleg a keresztmetszetre hárítható nyomatékot és normálerot jelöl ki. (-) * * * * * * * * * * * * * N * * * * * * * * * * * * * * * * M (+) Az összetartozó értékek grafikus ábrázolásával adódó ábráról tisztán logikai úton belá ttuk, hogy ez a keresztmetszet szimmetriasíkjában muködo axiális terhek teherbírási vonala. Az M-N koordinátasík azonos sugáron fekvo pontjaihoz azonos külpontosság és változó nagyságú normálero tartozik, ennek a teherbírás határához tartozó értékét az a pont jelöli ki, ahol a sugár elmetszi a görbét. Láthatólag két ilyen pont van, az egyikhez nyomóero a másikhoz húzóero tartozik Vizsgáljuk meg részletesebben a teherbírási vonal tulajdonságait! Egyelore tételezzük fel, hogy a vizsgált keresztmetszetnek legalább egy szimmetriatengelye van, amely a

terhelés síkjában fekszik. Ilyen keresztmetszeteket mutat az alábbi ábra A nyomó teherbírási középpont és a teherbírási alapérték Kezdjük a teherbírási diagram vizsgálatát a legnagyobb nyomóerohöz tartozó ponttal. A legnagyobb nyomóerot akkor kapjuk, ha a keresztmetszet minden szálában legalább akkora összenyomódást tételezünk fel, amely a nyomó határfeszültség figyelembevételéhez szüksé- ges. Ezt a normálerot a keresztmetszet nyomó teherbírási alapértékének szoktuk nevezni Jelölje a nyomó teherbírás alapértékét NR0 N R0 = Ac f c + ∑ As, k f s , y k Hol kell muködnie a keresztmetszetre ható normáleronek ahhoz, hogy elérhesse NR0 értékét? Abban a vonalban, ahol az NR0 értékét megadó összegzésben szereplo nyomóerok eredoje muködik. Ez a vonal a keresztmetszeten kijelöl egy pontot, amelyet a keresztmetszet nyomó teherbírási középpontjának nevezünk. Egyszeres szimmetriával bíró keresztmetszet esetén

ez a pont rajta fekszik a szimmetriatengelyen, de nincsen közvetlen kapcsolatban sem a keresztmetszet geometriai középpontjával, sem a korábban bevezetett ideális keresztmetszet súlypontjával. A vasalás elrendezésétol függoen fekhet annál alacsonyabban is, magasabban is. Mivel a teherbírás szempontjából a keresztmetszet geometriai középpontjának nincsen kitüntetett szerepe, megtehetjük, hogy a keresztmetszetre ható ero külpontosságát nem a geometriai középponttól, hanem a teherbírási középponttól mérjük, ezzel együtt a keresztmetszeti nyomatékot és a teherbírási diagramot nem a geometriai középpontra, hanem a teherbírási középpontra értelmezzük. Ez azzal az elonnyel jár, hogy a teherbírási diagram legmagasabb pontja éppen az N tengelyen fekszik. A továbbiakban a nyomatékot ezért a keresztmetszet t eherbírási középpontjára vonatkoztatjuk, központos nyomásnak azt tekintjük, ha a nyomóero hatásvonala átmegy a teherbírási

középponton. A gyakorlati feladatok jelentos részében olyan keresztmetszeteket vizsgálunk, amelyeknek a betonkeresztmetszet alakját és a vasalás elrendezését tekintve is két szimmetriatengelye van (legtöbbször szimmetrik us vasalású téglalap keresztmetszetet,) az ilyen keresztme tszetek teherbírási középpontja egybe esik a geometriai középponttal. A diagram "csúcsa" és a keresztmetszeten kívüli semleges tengelyhez tartozó szakaszok A nyomó teherbírási alapértéket jelzo pont nemcsak azért kitüntetett pontja a teherbírási diagramnak, mert a legmagasabban fekvo pont, hanem azért is, mert ehhez a ponthoz a III. feszültségi állapot feltételezéseit teljesíto keresztmetszeti ε-diagramok közül nem egyetlen diagram tartozik, hanem mindegyik, amelyhez feszültségként a keresztmetszet minden pontjában a nyomó határfeszültség ( s c = - f c, ill. s s = - f s,y ) rendelheto Vizsgáljuk meg, milyen keresztmetszeti ε-diagramok

tartozhatnak az NR0 nyomó teherbírási alapértékhez. Most is abból kell kiindulnunk, hogy a keresztmetszet alakváltozó képességének a határához ért, ami úgy következik be, hogy a keresztmetszet valamelyik pontjában a beton ecu törési összenyomódásának megfelelo e érték alakul ki. A Bernoulli-Navier hipotézisnek eleget tevo lineáris keresztmetszeti összenyomódás-diagramok szerint ez a pont a keresztmetszet valamelyik szélso szálához tartozó pont Ilyen diagram végtelen sok van −ε cu −ε cu −εyd −εyd −ε cu a −ε cu b c A teherbírási diagram (0, NR0) csúcsához tartozó e eloszlások Speciális esetben a keresztmetszet minden pontjában a törési összenyomódás alakul ki, (a. ábra), de ez nem szükséges feltétel sem ahhoz, hogy a keresztmetszet alakváltozó képességének a határán legyünk, sem ahhoz, hogy a keresztmetszetben az NR0 normálero lépjen fel Az utóbbihoz viszont a beton egyszerusített s -e diagramja

szerint szükséges, hogy minden pontban legalább 0.2 ecu nagyságú összenyomódás lépjen fel, sot, az is, hogy az acélbetétek helyén az összenyomódás érje el az acél megfolyásához tartozó –eyd értéket. A két szükséges feltétel közül általában a nyomott acélbetétekre vonatkozó feltétel a „szigorúbb”, így ez szabja meg az NR0 normálerohöz tartozó keresztmetszeti összenyomódás-diagramok szélso helyzeteit. Ha a felso szélso szálban tételezzük fel a beton törési összenyomódását, (b. ábra), az NR0-hoz tartozó diagramok szélso helyzetét a nyomott szélso száltól legtávolabb eso acélbetét nyomásra történo megfolyásához tartozó ε érték jelöli ki, ha az e = -ecu összenyomódást az alsó szélso betonszálban tételezzük fel, (c. ábra), a legfelso acélbetétre vonatkozó e = -eyd egyenloség jelöli ki a diagramok szélso helyzetét. A b és a c ábrán kékkel jelölt tartományon belül futó összes keresztmetszeti

e-diagram NR0-hoz tartozik. A teherbírási görbe további vizsgálatát úgy végezzük, hogy a keresztmetszeti e eloszlást a szélso szálban fellépo törési összenyomódás értékének megtartásával (azaz az diagram vonalát a maximális összenyomódást jelölo pont körül forgatva) úgy módosítgatjuk, hogy a diagram a b, ill. a c ábra rózsaszínnel jelölt tartományába essék Minden újabb elfordításhoz hozzárendeljük a s -e diagramok segítségével a keresztmetszeti feszültségeket, amelyekbol aztán az összetartozó NR és MR határigénybevétel-párok kiszámíthatók. Az elforgatott diagramok vonalát célszeruségi okból x c értékével azonosítjuk, mégpedig úgy, hogy esetenként a keresztmetszet teljes magasságánál nagyobb x c értékeket – vagyis a keresztmetszeten kívüli semleges tengelyt - is értelmezünk. (Emlékeztetoül: az e-diagram vonala a keresztmetszetet jelzo egyenest a forgáspont helyétol 125x c távolságban metszi el)

Amíg x c a keresztmetszeten kívüli semleges tengely- helyzetet jelöl ki, a teljes betonkeresztmetszetet -f c feszültséggel „dolgozik”. Figyelembe kell azonban vennünk, hogy az acélbetétekben fellépo feszültség nagysága is függ a semleges tengely helyzetétol: amíg a nyomott szélso száltól dk távolságban fekvo acélbetétre vona tkozó x ξk = c dk érték nagyobb a III. feszültségi állapot szerinti nyomatéki vizsgálatná l bevezetett ξ 0 összehasonlító értéknél, a vizsgált acélbetétben -f s,y nyomófeszültség veheto figyelembe, ha kisebb annál, akkor ez az acélbetét nem folyik meg nyomásra. Ez a váltás eloször az ε cu összenyomódású szélso száltól legtávo labb fekvo acélbetét esetében történik, mégpedig éppen akkor, amikor kilépünk a keresztmetszeti e diagrammal a fenti b, ill. c ábrán kékkel jelölt tartományokból Az NR0-hoz tartozó keresztmetszeti εdiagramok szélso helyzetét ezért a nyomott szélso száltól

legtávolabb eso acélbetétre vona tkozó, (adott x c esetén legkisebb) ξ k értékbol a ξ k =ξ 0 egyenloség alapján számított, keresztmetszeten kívüli semlegestengely- helyzet jelöli ki. Ha a semleges tengelyt meghatározó x c értékét valamivel az iménti szélso helyzetet jelento semleges tengely- magasság alá csökkentjük, a semleges tengely még mindig a keresztmetszeten kívül maradhat. A beton keresztmetszet teljes kihasználtsága ezért nem szunik még meg, de a nyomott szélso száltól legtávolabb eso acélbetétben már csak a folyáshatárnál kisebb nyomófeszültség lép fel. Emiatt viszont NR kisebb lesz mint az NR0 nyomó teherbírási alapérték. A nyomóero ∆N = NR0 - NR csökkenéséhez a csökkenéssel arányos nagyságú MR = ∆N yt nyomaték is társul, ahol yt a szóban forgó acélbetét és a teherbírási középpont közötti szintkülönbséget jelöli. Ez az érték konstans, ami azt jelenti, hogy a normálero-nyomaték

kapcsolat kezdetben lineáris, azaz a teherbírási diagram az NR0 magasságú pontból lefelé lejto egyenes vonallal indul. Az alsó és a felso szélso szálak szerepét megcserélve hasonló megállapítást tehetünk a teherbírási vonalnak az NR0 magasságú ponttól ellentétes irányban induló szakaszára vonatkozóan. A teherbírási vonalnak ezek a legmagasabb pontból induló, lefelé lejto egyenes szakaszai a keresztmetszeten belüli külpontosságokhoz tartozó szakaszok Könnyu ugyanis belátni, hogy amíg a keresztmetszetben muködo feszültségek azonos elojeluek, e feszültségek eredoje nem kerülhet a keresztmetszeten kívülre. Ha a törési összenyomódást elszenvedo szélso szállal ellentett oldalon a keresztmetszeti vasalás több sorban van elrendezve, könnyen elofordulhat, hogy a belso sori vasalás is a keresztmetszeten kívüli semlegestengely- helyzet mellett kerül a megfolyás határára. Ebben az esetben a teherbírási diagram csúcsából induló

egyenes vonalon törés mutatkozik, de a vonal változatlanul egyenes marad. A teherbírási vonal csak akkor kezd görbülni, amikor a semleges tengely a keresztme tszeten belülre kerül. Ez amiatt van, mert a semleges tengely helyzetének kicsiny csökkentéséhez most már nemcsak a rugalmas állapotban lévo acélbetétben muködo feszültség csökkenése miatti normálero-csökkenés tartozik, hanem a nyomásra „dolgozó” betonkeresztmetszet csökkenése miatti normálero-csökkenés is, és azt a nyomatékot, ami ehhez a csökkenéshez társul, már nem egy konstans értékkel, hanem a semleges tengely magasságától függo értékkel való szo rzás szolgáltatja. (-) As (-) ε cu εcu ε yd ε yd ds As ε yd ε yd ε su ε su Külpontos húzás Külpontos nyomás A csúcsból induló egyenes szakaszok és a teherbírási görbének az acél rugalmas, ill. képlékeny állapotával kapcsolatos töréspontjait legegyszerubben egy olyan As = As szimmetrikus

vasalású "atipikus vasbeton keresztmetszeten" követhetjük, amelyben a betonkeresztmetszet nyomóteherbírása az acélkeresztmetszeteké me llett elhanyagolhatóan kicsi, így feltehetjük, hogy a "vasbeton keresztmetszet" csupán egy alsó és egy felso oldali vasalásból áll. (Ilyen keresztmetszeteket a gyakorlatban nem szoktunk alkalmazni, csak a szemléltetés kedvéért foglalkozunk vele!) Ennek a keresztmetszetnek a teherbírási középpontja a keresztmetszet geometriai középpontjában van, az acélbetétektol d s /2 távolságban. Amíg a keresztmetszeti ε-diagramhoz mindkét acélbetétben az εyd értékét meghaladó nagyságú összenyomódás tartozik, (a bal oldali ábrán rózsaszínnel jelölt szektoron belül,) mindkét acélbetét nyomásra megfolyik, a keresztmetszeti határigénybevétel-pár NR = -2As fyd, MR = 0. Ha a "kevésbé nyomott", majd a keresztmetszeti e diagram ferdeségének növelése során húzottá váló

alsó acélbetétben az összenyomódás a folyáshatár negatív és pozitív értéke közé esik, azaz − ε yd < ε salsó < +ε yd , (a bal oldali ábrán sárgával jelölt szektoron belül,) akkor csak az "erosebben nyomott" felso acélbetét folyik meg, az alsó acélbetétben az ε-diagram itteni értékéhez tartozó σ salsó ε salsó = f yd ε yd nagyságú rugalmas feszültség muködik. Az összetartozó keresztmetszeti határigénybevétel-pár N R = − As f yd (1 − Amikor az ε salsó d ε alsó ) , M R = s As f yd (1 + s ) . ε yd 2 ε yd ε salsó -val elérjük az εyd nagyságú megnyúlás értékét, a két acélbetétben muködo ero abszolút értékben egyenlové válik, és az erok nagysága ε salsó további növelésével (az ábrán kékkel jelölt szektoron belül) nem változik. Ebben a szektorban az összetartozó határigénybevétel-pár: NR = 0, MR = As fydd s . Ennek a (kék) szektornak a határát az az

ε-diagram adja, amikor a húzott acélbetétben elérjük az εsu szakadó nyúlás értékét. A keresztmetszet ellentett oldali szélso szálában a beton törési összenyomódását feltételezve ugyanilyen szektorokat jelölhetünk ki, amelyeken belül az igénybevétel változatlan, (a rózsaszín és a kék szektorok,) ill. amelyen belül minden ε-diagramhoz más igénybevétel-pár tartozik (a sárga szektor.) A szektorhatárokat a bal oldali ábrán szürke szaggatott vonal jelzi. A teljes teherbírási vonal megszerkesztéséhez úgy kell folytatnunk az ε-diagramok felvételét, (l. a jobb oldali ábrát,) hogy a továbbiakban a szektorok fix pontjának az alsó acélszálban εsu szakadó nyúlás értékét tekintjük. A konstans nyomatékhoz tartozó (kékkel jelzett) szektor határát akkor érjük el, amikor a fölso acélbetét összenyomódása -εyd értékre csökken. Ennél kisebb összenyomódás mellett nem fog nyomásra megfolyni a fölso vasalás. A jobb

oldali ábra sárgával jelölt szektorában az összetartozó keresztmetszeti határigénybevétel-pár N R = As f yd (1 + ε sfelso d ε felso ) , M R = s As f yd (1 − s ) . ε yd 2 ε yd A változó határigénybevételu szektor határát akkor érjük el, amikor a felso acélbetétben a folyáshatárral azonos nagyságú nyúlás lép fel. A jobb oldali ábra rózsaszín szektorában NR = 2Asfyd, MR = 0. A keresztmetszet teherbírási diagramja a fentiek alapján az alábbi: (-) N M Ez a teherbírási diagram láthatóan csupa egyenes vonalból áll, és csúcsai vannak ott, ahol az igénybevétel-párhoz nem egyetlen ε-diagram rendelheto hozzá. A diagram NR0 /2 magasságban fekvo pontjaihoz a rugalmasan viselkedo acélbetétben éppen 0 feszültség tartozik, vagyis a külpontos nyomóero éppen az ezzel átellenes oldali acélbetét vonalában muködik. A diagram magasabban fekvo pontjaihoz szükségszeruen a keresztmetszeten belüli külpontosság, az alacsonyabban

fekvo pontokhoz pedig a keresztmetszeten kívüli (pontosabban a két acélbetét közti szakaszon kívüli) külpontosság tartozik. Az elobbi esetben mindkét acélbetét nyomott, az utóbbiban az egyik acélbetétben húzás lép fel A kis külpontosságokhoz tartozó szakasz Visszatérve az eredeti problémánkhoz, amelyben a keresztmetszet nyomási ellenállását valóban a beton és az acélbetétek együttes ellenállása szolgáltatja, csökkentsük tovább folyamatosan x c értékét. Ennek során minden semleges tengely-helyzethez (azaz minden keresztmetszeti ε-diagramhoz) más nagyságú feszültség tartozik a rugalmasan viselkedo acélbetétben, más és más lesz a keresztmetszeti feszültségek vektor-eredoje és nyomatéka a teherbírási középpontra. Minden keresztmetszeti ε-diagramhoz tehát a teherbírási diagram más pontja tartozik. Az x c érték csökkentésével elobb-utóbb a keresztmetszeten belüli semleges tengelyhelyzetekhez jutunk Ettol kezdve NR

értéke nem csupán a rugalmasan viselkedo acélbetétekben figyelembe veheto nyomóero csökkenése miatt csökken, hanem a nyomo tt betonzóna területének csökkenése miatt is A teherbírási középpontra vonatkozó nyomaték ekkor már nem a csökkenéssel egyenes arányban növekszik, mert megváltozik (csökken) a kieso nyomások eredojének a külpontossága. Ebbol az következik, hogy a teherbírási diagram csökkeno NR értékekhez tartozó szakasza görbe vonallá válik, azaz NR csökkenéséhez (negatív növekményéhez) MR egyre kisebb pozitív növekménye tartozik. (Vegyük észre, hogy a teherbírási diagram eddig bejárt szakaszán csökkeno normálerohöz folya matosan növekvo nyomaték tartozott, továbbá hogy a görbe kívülrol nézve vagy egyenes, vagy domború volt!) A teherbírási diagramnak ehhez a lefelé görbülo szakaszához a keresztmetszet határvonalát megközelíto, majd azon túllépo külpontosságok tartoznak, ezt a maximális MR

eléréséig tartó szakaszt a kis külpontosságokhoz tartozó szakasznak szokták nevezni. A maximális MR-hez tartozó pont Különös érdeklodésünkre tarthat számot a teherbírási diagramnak az a pontja, ahol a negatív normálero növekményhez tartozó, egyre kisebb nyomatéki növekmény értéke zérussá válik, ugyanis ez jelöli ki a legnagyobb nyomatékot, amely - megfelelo nagyságú normálerovel egyidejuleg - a keresztmetszetre hárítható. Ennek a pontnak a megkeresése elott célszeru elvégezni az alábbi egyszeru vizsgálatot. A változó nagyságú nyomatéki növekmény szemléltetésére vizsgáljunk egy vasalatlan téglalap keresztmetszetet, amely szintén tekintheto "atipikus" vasbeton keresztmetszetnek. xc d-x c d bc A keresztmetszet teherbírási középpontja d/2 magasságban fekszik, a nyomó teherbírás alapértéke N R 0 = dbc f c . A keresztmetszetben csak nyomás veheto figyelembe, ezért a teljes teherbírási tartománynak az N-M

ko ordinátarendszer felso félsíkjában kell elhelyezkednie. A teherbírási görbe összetartozó értékpárjait d >xc > 0 függvényében a következo képletek adják: N R = xc bc f c , MR = xc bc f c (d − xc ) 2 A teherbírási diagramot azzal a megfontolással tehetjük teljessé hogy a keresztmetszet középpontján átmeno vízszintes tengelyre tükrözött feszültségeloszláshoz változatlan nagyságú normálero és ellentett elojelu nyomaték tartozik. Így az alábbi, két parabolából álló diagramot kapjuk: (-) N M Figyelemre méltó tulajdonsága ennek a teherbírási diagramnak, hogy Mr maximális értékét akkor kapjuk, amikor a semleges tengely éppen a teherbírási középponton fut keresztül. Ez az eredmény elso pillanatra partikulárisnak látszik, mert azzal is magyarázhatjuk, hogy MR képletében xc és (d-xc) szerepe formálisan fölcserélheto, de a megállapítás más alakú vasalatlan keresztmetszetekre is igaz. Ha az alábbi

keresztmetszetben a teherbírási középponttól fölfelé mozdulunk el a semleges tengellyel, azért csökken a nyomaték, mert csökken a dolgozó terület, ha lefelé, azért, mert csökken a dolgozó területnek a teherbírási középpontra vonatkozóan excentrikus része. A fenti példa eredményét az elozo "atipikus vasbeton keresztmetszet" vizsgálatának eredményével összevetve arra következtethetünk, hogy amennyiben a vasbeton keresztme tszet axiális teherbírásában dominál a beton szerepe, a maximális MR várhatóan ahhoz az x chez fog tartozni, amikor a semleges tengely a teherbírási középponton halad keresztül, ha viszont az acélbetétek szerepe dominál, ahhoz az x c-hez, ahol a törési összenyomódású beton szélso szállal átellenes oldali acélbetétben a megnyúlás az ε sy értékével egyenlové válik. Ez a semlegestengely- magasság éppen a III. feszültségi állapot szerinti hajlítási vizsgálatnál bevezetett ξ 0

összehasonlító érték felhasználásával képzett x c0 = dξ0 érték, ahol d értelmezése is ugyanaz, mint a hajlítási vizsgálat esetén. A különbözo vasalású vasbeton keresztmetszetek vizsgálata valóban ezt a várakozást igazolja. A gyakorlatban alkalmazott vasbeton keresztmetszetek és acélminoségek többségénél a fenti két semleges tengely- helyzet nem áll távol egymástól, így inkább csak elvi különbség adódik abból, hogy a teherbírási diagram maximális MR értékét tartalmazó határigénybevétel-párosát melyik feltételezés elfogadásával határozzuk meg. A nagy külpontosságokhoz tartozó szakasz A maximális MR elérését követoen a keresztmetszeti feszültségeloszlás egyre inkább a nyomatéki vizsgálatnál megismert eloszláshoz hasonló, a húzott oldali acélbetét húzásra, a nyomott oldali nyomásra megfolyik. Azokat a keresztmetszeteket, amelyekben ez a kép maradéktalanul ki tud alakulni, normálisan vasalt

keresztmetszetnek nevezzük Túlvasalt a keresztmetszet, ha a tiszta nyomatéki terheléshez tartozó pontig a húzott oldali acélbetétek me gfolyása nélkül jut el a teherbírási vonal Az x c csökkenésével még a tiszta nyomatéki terheléshez tartozó pont elérése elott olyan keresztmetszeti ε-diagramhoz érkezhetünk, amelyben a nyomott oldali acélbetétekben fellépo összenyomódás abszolút értéke ε sy értéke alá kerül. (Jellemzoen ez a helyzet alakul ki szimmetrikus vasalású oszlopkeresztmetszetek esetében) Ilyenkor a határigénybevétel-párokat a nyomott oldali acélbetétek rugalmas viselkedésének feltételezésével kell számítani. A külpontos húzáshoz tartozó szakasz Az x c további csökkenésének az az ε-diagram szab határt, amelyben a beton törési öszszenyomódásával egyidejuleg az átellenes oldali legszélso acélbetétben a szakadó nyúlás értéke alakul ki. (Ennek az állapotnak fele l meg az elso apróbetus

vizsgálatban közölt szektorhatárok közül a bal oldali ábra kékkel jelzett szegmensét jobbról, ill a jobb oldali ábra kék szektorát balról határoló vonal.) Az ún normálisan vasalt keresztmetszetek esetén az ilyen keresztmetszeti ε-diagramhoz már húzás vektor-eredo tartozik, azaz a keresztmetszet igénybevétele nem külpontos nyomás, hanem külpontos húzás. A gyakorlatban nincs nagy jelentosége, de a teherbírási diagram teljessé tételéhez meg kell vizsgálnunk ezt a tiszta hajlítás utáni szakaszt is. Ez általában kicsiny görbületu vonal, amely a keresztmetszet húzó teherbírási alapértékének megfelelo alsó csúcspontig tart. A keresztmetszet húzó teherbírási alapértéke csupán a keresztmetszeti vasalás mennyiségétol függ, azt a pontot, ahol a húzásra megfolyt összes acélbetétben muködo erok eredoje a keresztmetszetet döfi, húzási teherbírási középpontnak nevezzük. Ez a pont általános esetben természetesen nem esik

egybe a nyomó teherbírási középponttal Külpontosan nyomott, egyszeresen szimmetrikus vasbeton keresztmetszet ellenorzése A korábbiakban kialakított szóhasználat szerint a keresztmetszet ellenorzésének azt a vizsgálatot nevezzük, amelyben adottnak tekintjük a vizsgált keresztmetszet összes geometriai és szilárdsági adatát, - azaz a betonméreteket, a betonszilárdságot, az acélkeresztmetszeteket, a betétek keresztmetszeti elrendezését és folyáshatárát, és keressük a keresztmetszetre hárítható legnagyobb igénybevétel értékét. A fenti vizsgálat azt mutatja, hogy ez a feladat még a legegyszerubb esetben - egy szimmetrikus keresztmetszet egyenes hajlítása és egy központos nyomás együttes muködésének feltételezésével - sem értelmezheto egyetlen nyomaték, ill. egyetlen normálero kiszámításaként, hanem voltaképpen a keresztmetszet teljes teherbírási diagramjának a meghatározásával vége zheto el A gyakorlati tervezés során

az ellenorzés többnyire nem az egész teherbírási görbe meghatározását kívánja meg, hanem pl. csak a következo kérdések megvizsgálását a.) Adott Ns nagyságú nyomóero mellett mekkora a keresztmetszetre hárítható legnagyobb M r nyomaték? N Ns Mr M b.) Mekkora lehet egy adott Ns nagyságú nyomóeronek a teherbírási középponttól számított legnagyobb emax külpontossága? N e m ax Ns M (Ezt egyszeruen visszavezethetjük az elozo feladatra, mert emax =Mr/Ns . ) c.) Mekkora lehet egy adott es külpontosságú nyomóero legnagyobb Nr értéke? N es Ns M d.) Mekkora az adott Ms nagyságú nyomatékkal egyidejuleg a keresztmetszetre hárítható nyomóero legnagyobb Nr1 , ill. legkisebb Nr2 értéke? N Nr1 Nr2 Ms M Ha Ms értéke kisebb, mint a keresztmetszet hajlítási teherbírása, akkor Nr2 húzásra adódik. Téglalap keresztmetszetek és egyszeru vasalás-elrendezés esetén ezeknek a kérdéseknek a megválaszolására - vagyis a

kérdésben keresett értékek kiszámítására - viszonylag egyszeru algebrai összefüggéseket lehet levezetni. Az egyszerusített M-N teherbírási vonal A teljes teherbírási vonalról általánosságban megállapíthatjuk, hogy olyan konvex tartományt határol le az M-N koordinátasíkban, amelynek a belsejében (kivételes esetben a határán fekszik az origó. A tartomány konvex volta lehetoséget ad arra, hogy a teherbírási görbe helyett a biztonság javára szolgáló közelítésként olyan sokszögvonallal határoljuk le a teherbírási tartományt, amelynek a sarokpontjai fekszenek a teherbírási görbén. A teljes teherbírási tartomány közelítéséhez általában 6 pontot szoktunk fölvenni: a nyomó- és a húzó teherbírási alapértéket, a legnagyobb MR értékekhez tartozó pontokat és a tiszta hajlításhoz tartozó pontokat. Az ezek összekötésével adódó egyszerusített teherbírási tartományt mutatja az alábbi ábra. (-) N M A

nyomási, ill. a húzási teherbírási alapértékhez tartozó "csúcsok" általánosságban nem esnek egy függolegesbe. Olyan keresztmetszetek esetén, amelyeknek a hajlítási sík nyomvonalán kívül erre meroleges szimmetriatengelye is van, (szimmetrikus vasalású kör, téglalap, I, H keresztmetszet,) maga a teherbírási görbe is szimmetrikus az N tengelyre, ezért az említett két csúcs egy függolege sben van. Ferde hajlítás Vizsgáljuk meg, hogyan határozható meg egy adott vasbeton keresztmetszet nyomatéki teherbírása egy tetszolegesen megválasztott hajlítási síkban. (A keresztmetszetet terhelo nyomatékot a hajlítási sík nyomvonalára meroleges, kettos nyíllal szoktuk jelölni) 2 Mr Mr 1 b a A ferde hajlítás vizsgálata a gyakorlatban kétféleképp szokott feladatként elokerülni. Az egyik gyakori eset az, (a) amikor a hajlítás síkja a megszokott függoleges sík, de a keresztmetszet aszimmetrikus volta miatt nem alkalmazhatjuk

közvetlenül azt az eljárást, amelyet szimmetrikus keresztmetszet hajlításvizsgálatára dolgoztunk ki. A másik gyakori eset pedig az (b), amikor a hajlítás síkja, ill. a keresztmetszeti nyomaték vektorának iránya a teher összetett volta miatt nem esik egybe a keresztmetszet tehetetlenségi foirányaival. (Természetesen elofordulhat a két eset kombinációja is) Mivel a ferde hajlítás vizsgálata összehasonlíthatatlanul körülményesebb az egyenes hajlításénál, még olyankor is igyekszünk a feladatot egyenes hajlítás vizsgálatára egyszerus íteni, ha ez eroteljes közelítésekkel jár. ∆ bal a ∆ jobb b Ilyen egyszerusítés pl. az, ha a keresztmetszetnek azt a részét a számításban figyelmen kívül hagyjuk, (az a ábrán halványabban jelölt részt,) amely nélkül a keresztmetszet szimmetrikus lenne. Általában jelentosebb elhanyagolásokat engedhetünk meg magunknak a keresztmetszet húzott oldalán, mint a nyomott oldalon Ha egy

szimmetrikus keresztmetszetben az acélbetétek szerelési okok miatt nem pontosan szimmetrikus elrendezésuek, voltaképpen ez is aszimmetrikussá teszi a vasbeton keresztmetszetet, de ilyen típusú aszimmetriát a gyakorlatban soha nem szoktunk figyelembe venni. Hasonló egyszerusítést tartalmaz minden méretezési eloírás, amely a bordás lemezek bordáinak nyomatéki vizsgálatát olyankor is az egyenes hajlítás összefüggéseinek alkalmazásával engedi elvégezni, amikor az ún. együttdolgo zó lemezsáv (b ábra) felvételére vonatkozó képletek egymástól lényegesen különbözo bal, ill jobb oldali együttdolgozó sávszélességet jelölnek ki. A ferde hajlítást az elemi szilárdságtanban legtöbbször két egyenes hajlítás egymásra halmozásával vizsgáltuk. Ehhez elso lépésben meghatároztuk a keresztmetszet tehetetlenségi foirányait, majd keresztmetszetet terhelo nyomaték vektorát a foirányokkal párhuzamos komponensekre bontottuk. Ez a két

komponens volt az, amelyekre vonatkozóan az egyenes hajlítási vizsgálatot egymástól függetlenül elvégeztük, majd a vizsgálatok eredményeként adódó feszültségeket összegeztük. Vasbeton keresztmetszet vizsgálatánál ez az eljárás csak az I. feszültségi állapot feltételezései mellett alkalmazható, mert a berepedt keresztmetszet feltételezésével végzett vizsgálat esetén nincsenek együtt azok a körülmények, amelyek mellett a szuperpozició elve alkalmazható. (A függetlenül elvégzett egyenes hajlítási vizsgálatokban egymástól független semleges tengely-helyzeteket határoznánk meg, holott a keresztmetszeti feszültségeknek a BernoulliNavier hipotézis szerint egyetlen semleges tengelye van.) A pontos vizsgálat elve A berepedt vasbeton keresztmetszet "korrekt" nyomatéki vizsgálatának elve a következo fokozatos közelíto eljárás: - elso lépésként önkényesen felveszünk egy alakváltozási semleges tengelyt, ill. a hozzá

tartozó e-eloszlást; - meghatározzuk azt a s -eloszlást, amely a vizsgálat alapfeltételezései szerint (II. vagy III. feszültségi állapot) a fölvett e-eloszláshoz tartozik, ill meghatározzuk a keresztmetszeti nyomások és húzások eredojét, - amennyiben a nyomások eredojének abszolút értéke nagyobb a húzások eredojénél, a semleges tengelynek a nyomott szélso szál felé eltolásával csökkentjük, amennyiben a húzások eredoje a nagyobb, ellenkezo irányú eltolással növeljük a nyomott zóna területét; ezt a muveletet addig folytatjuk, amíg a két eredo nagysága kello pontossággal egyformává nem válik; - amennyiben a húzások és a nyomások keresztmetszeti eredojének a helyét összeköto vonal nem meroleges a keresztmetszeti nyomaték vektorára, abba az irányba fordítjuk el a semleges tengely irányát, amelyik irányba ezt a vonalat kell forgatni ahhoz, hogy a merolegesség fennálljon; - a semleges tengely irányának módosításával a

húzások és a nyomások eredojének egyenlosége megszunhet, ezért meg kell ismételnünk az elozo muveletet, ennek során viszont a nyomatékvektor iránya változhat meg. A semleges tengely eltolásával, ill elforgatásával végzett módosításokat ezért addig kell ismételgetnünk, amíg a fenti két követelmény együtt nem teljesül. Ez az eljárás meglehetosen hosszadalmas és fáradságos, ezért a gyakorlatban csak olyankor alkalmazzuk, ha valóban szükségünk van a pontos eredményre. A közelíto vizsgálat elve Ha a fent részletezett vizsgálat során fölvett különbözo hajlású semleges tengelyhelyzetekben a keresztmetszeti erok vetületi egyensúlyi feltétele teljesül, voltaképpen egy-egy ferde hajlításhoz tartozó, nyomaték eredoju keresztmetszeti feszültségdiagrammal van dolgunk, amely csupán azért nem az általunk keresett feszültségdiagram, mert a hajlítás síkja eltér a keresettol. Ha ezekhez a feszültségeloszlásokhoz egy-egy

nyomatékvektort számolunk, majd a nyomatékvektorokat egy ún. polárdiagramban ábrázoljuk, akkor a nyomatékvektorok végpontjai egy zárt görbét rajzolnak ki, amelynek minden pontjához egy olyan sugár húzható, amelynek a hossza a keresztmetszet teherbírásának a kimerülését eloidézo nyomaték. Ha ebben a diagramban megkeressük a hajlítás síkjára (az ábrán kék vonal) meroleges sugarakat, (az ábrán piros nyilak,) ezek hossza az adott hajlítási síkban a terhelhetoség határát jelento nyomatékokat adja meg. A polárdiagram által kirajzolt görbe tehát egy teherbírási diagram, amely - hasonlóan a már ismert M-N diagramhoz - egy teherbírási tartományt határol A gyakorlati feladatok többségénél - egyszeru számítással, pontos vagy közelíto érték formájában - meg tudjuk határozni ezen a teherbírási diagramon két egymásra meroleges irányú sugár Mr1 és Mr2 hosszát. Ezek alapján a biztonság javára való közelítéssel egy

egyszerusített teherbírási tartomány jelölheto ki (az alábbi ábrán sárga színnel jelölve) Mr 1 M r2 Az egyszerusített teherbírási tartományt határoló egyenesek egyenletének tengelymetszetes alakjából kiindulva az alábbi egyenlotlenség írható fel az M s nyomatékvektorral terhelt keresztmetszet teherbírásának közelíto ellenorzésére: M s1 M s 2 + ≤1 , M r1 M r 2 ahol Ms1 és Ms2 az M s nyomatékvektornak a vektort közrefogó Mr1 és Mr2 hosszúságú két sugár irányába eso komponense. Ez a közelítés mindig a biztonság javára szolgál, ezért a méretezési eloírások is ezt javasolják a ferde hajlítás közelíto ellenorzésére A ferde külpontos nyomás és a teherbírási felület Ha a külpontos nyomásra vonatkozóan kialakított vizsgálat feltételezéseit me gtartva, csupán azt a feltételt vetjük el, hogy a semleges tengely meroleges legyen a keresztmetszet szimmetriatengelyére, a ferde külpontos nyomás esetéhez jutunk.

Ebben az esetben a teherbírási középpontra vett nyomatéknak nemcsak a szimmetriatengelyre meroleges M1 hanem a szimmetriatengellyel párhuzamos M2 komponense is van. A keresztmetszet axiális teherbírását általános irányú semleges tengely feltételezése esetén egy az N-M1 -M2 háromtengelyu koordinátarendszerben értelmezett, hagymára emlékezteto felülettel tudjuk jellemezni, amelynek az eddig vizsgált teherbírási vonalak egy-egy felületi vonala, amelyeket az N-M1 koordinátasík, ill. az M1 -M2 koordinátasík vág ki a felületbol (Általános irányú semleges tengely esetén a szimmetriatengellyel párhuzamos és a szimmetriatengelyre meroleges nyomatékkomponensek aránya a semleges tengely párhuzamos eltolása esetén nem állandó, ezért a semleges tengely párhuzamos eltolásaival számított igénybevétel- hármasok pontjai általában nem síkgörbén sorakoznak.) (-) N M 1 M 2 A teherbírási felület számos tulajdonságára egyszeruen

következtetni lehet teherbírási görbék tulajdonságai alapján. Ezek közül a legfontosabb, hogy a teherbírási felület igen általános feltételek teljesülése esetén konvex teherbírási tartományt határol A konvexitás lehetoséget ad arra, hogy - a sokszöggé egyszerusített teherbírási vonal analógiájára - a teherbírási tartományt határoló felületet néhány jellemzo határigénybevétel- hármas kiszámítása után a teherbírási felületen fekvo csúcspontokhoz szerkesztett konvex poliéderrel (síklapokból álló alakzattal) helyettesítsük. A szabályzatok által a ferde hajlítási és ferde külpontos nyomási teherbírás közelíto ellenorzésére javasolt formulákat ilyen helyettesíto teherbírási felületek alapján vezették be