Matematika | Középiskola » Matematika középszintű írásbeli érettségi vizsga, megoldással, 2008

ÉRETTSÉGI VIZSGA 2008. május 6 Név: . osztály: Matematika MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2008. május 6 8:00 I. Időtartam: 45 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM középszint írásbeli vizsga 0813 I. összetevő Név: . osztály: Matematika középszint Fontos tudnivalók 1. A feladatok megoldására 45 percet fordíthat, az idő leteltével a munkát be kell fejeznie 2. A megoldások sorrendje tetszőleges 3. A feladatok megoldásához szöveges adatok tárolására és megjelenítésére nem alkalmas zsebszámológépet és bármelyik négyjegyű függvénytáblázatot használhatja, más elektronikus vagy írásos segédeszköz használata tilos! 4. A feladatok végeredményét az erre a célra szolgáló keretbe írja, a megoldást csak akkor kell részleteznie, ha erre a feladat szövege utasítást ad! 5. A dolgozatot tollal írja, az ábrákat ceruzával is rajzolhatja Az ábrákon kívül

ceruzával írt részeket a javító tanár nem értékelheti. Ha valamilyen megoldást vagy megoldásrészletet áthúz, akkor az nem értékelhető. 6. Minden feladatnál csak egy megoldás értékelhető Több megoldási próbálkozás esetén egyértelműen jelölje, hogy melyiket tartja érvényesnek! 7. Kérjük, hogy a szürkített téglalapokba semmit ne írjon! írásbeli vizsga, I. összetevő 0813 2/8 2008. május 6 Név: . osztály: Matematika középszint 1. 1⎡ ⎤ 3 Adja meg a ⎥ − ; − ⎢ nyílt intervallum két különböző elemét! 8⎣ ⎦ 8 Egyik elem: 2 pont Másik elem: 2. Egy 7-tagú társaságban mindenki mindenkivel egyszer kezet fogott. Hány kézfogás történt? A kézfogások száma: 3. 2 pont Péter egy 100-nál nem nagyobb pozitív egész számra gondolt. Ezen kívül azt is megmondta Pálnak, hogy a gondolt szám 20-szal osztható. Mekkora valószínűséggel találja ki Pál elsőre a gondolt számot, ha jól tudja a

matematikát? A keresett valószínűség: írásbeli vizsga, I. összetevő 0813 3/8 2 pont 2008. május 6 Név: . osztály: Matematika középszint 4. Ha fél kilogramm narancs 75 Ft-ba kerül, akkor hány kilogramm narancsot kapunk 300 Ft-ért? kilogrammot. 5. 2 pont Adja meg a valós számok halmazán értelmezett x a x 2 − 5 x másodfokú függvény zérushelyeit! Számítsa ki a függvény helyettesítési értékét az 1,2 helyen! A zérushelyek: 2 pont A helyettesítési érték: 6. 1 pont Az ABCD négyzet középpontja K, az AB oldal felezőpontja F. Legyen a = KA és b = KB . Fejezze ki az a és b vektorok segítségével a KF vektort! KF = írásbeli vizsga, I. összetevő 0813 2 pont 4/8 2008. május 6 Név: . osztály: Matematika középszint 7. Adja meg az alábbi állítások igazságértékét (igaz vagy hamis), majd döntse el, hogy a b) és a c) jelű állítások közül melyik az a) jelű állítás megfordítása! a) Ha az

ABCD négyszög téglalap, akkor átlói felezik egymást. b) Ha az ABCD négyszög átlói felezik egymást, akkor ez a négyszög téglalap. c) Ha az ABCD négyszög nem téglalap, akkor átlói nem felezik egymást. Az állítás jele Az állítás igazságértéke a) b) c) Az a) jelű állítás megfordítása a 3 pont 1 pont . jelű állítás 8. Írja fel két egész szám hányadosaként a 2 + 2+ írásbeli vizsga, I. összetevő 0813 2 szám reciprokának értékét! 3 2 reciprokának értéke: 3 5/8 2 pont 2008. május 6 Név: . osztály: Matematika középszint 9. Mennyi az f ( x ) = − x + 10 ( x ∈ R ) függvény legnagyobb értéke, és hol veszi fel ezt az értéket? A legnagyobb érték: Ezt az x = helyen veszi fel. 1 pont 1 pont 10. Egy számtani sorozat első tagja –3, differenciája –17 Számítsa ki a sorozat 100-adik tagját! Számítását részletezze! 2 pont A sorozat 100-adik tagja: írásbeli vizsga, I. összetevő 0813 6/8

1 pont 2008. május 6 Név: . osztály: Matematika középszint 11. Egyszerűsítse az x+8 algebrai törtet! Tudjuk, hogy x ∉ {− 8 ; 0}. x 2 + 8x Az egyszerűsített tört: 2 pont 12. Egy fordítóiroda angol és német fordítást vállal Az irodában 50 fordító dolgozik, akiknek 70%-a angol nyelven, 50%-a német nyelven fordít. Hány fordító dolgozik mindkét nyelven? Válaszát indokolja! 3 pont A mindkét nyelven fordítók száma: írásbeli vizsga, I. összetevő 0813 7/8 1 pont 2008. május 6 Név: . osztály: Matematika középszint I. rész maximális elért pontszám pontszám 1. feladat 2 2. feladat 2 3. feladat 2 4. feladat 2 5. feladat 3 6. feladat 2 7. feladat 4 8. feladat 2 9. feladat 2 10. feladat 3 11. feladat 2 12. feladat 4 ÖSSZESEN 30 dátum javító tanár pontszáma programba beírt pontszám I. rész dátum dátum javító tanár jegyző

Megjegyzések: 1. Ha a vizsgázó a II írásbeli összetevő megoldását elkezdte, akkor ez a táblázat és az aláírási rész üresen marad! 2. Ha a vizsga az I összetevő teljesítése közben megszakad, illetve nem folytatódik a II. összetevővel, akkor ez a táblázat és az aláírási rész kitöltendő! írásbeli vizsga, I. összetevő 0813 8/8 2008. május 6 ÉRETTSÉGI VIZSGA 2008. május 6 Név: . osztály: Matematika MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2008. május 6 8:00 II. Időtartam: 135 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM középszint írásbeli vizsga 0813 II. összetevő Matematika középszint írásbeli vizsga, II. összetevő 0813 Név: . osztály: 2 / 16 2008. május 6 Név: . osztály: Matematika középszint Fontos tudnivalók 1. A feladatok megoldására 135 percet fordíthat, az idő leteltével a munkát be kell fejeznie 2. A feladatok megoldási sorrendje

tetszőleges 3. A B részben kitűzött három feladat közül csak kettőt kell megoldania A nem választott feladat sorszámát írja be a dolgozat befejezésekor az alábbi négyzetbe! Ha a javító tanár számára nem derül ki egyértelműen, hogy melyik feladat értékelését nem kéri, akkor a 18. feladatra nem kap pontot 4. A feladatok megoldásához szöveges adatok tárolására és megjelenítésére nem alkalmas zsebszámológépet és bármilyen négyjegyű függvénytáblázatot használhat, más elektronikus vagy írásos segédeszköz használata tilos! 5. A megoldások gondolatmenetét minden esetben írja le, mert a feladatra adható pontszám jelentős része erre jár! 6. Ügyeljen arra, hogy a lényegesebb részszámítások is nyomon követhetők legyenek! 7. A feladatok megoldásánál használt tételek közül az iskolában tanult, névvel ellátott tételeket (pl. Pitagorasz-tétel, magasság-tétel) nem kell pontosan megfogalmazva kimondania, elég csak a

tétel megnevezését említenie, de alkalmazhatóságát röviden indokolnia kell. 8. A feladatok végeredményét megfogalmazásban is közölje! (a feltett kérdésre adandó választ) szöveges 9. A dolgozatot tollal írja, az ábrákat ceruzával is rajzolhatja Az ábrákon kívül ceruzával írt részeket a javító tanár nem értékelheti. Ha valamilyen megoldást vagy megoldásrészletet áthúz, akkor az nem értékelhető. 10. Minden feladatnál csak egyféle megoldás értékelhető Több megoldási próbálkozás esetén egyértelműen jelölje, hogy melyiket tartja érvényesnek! 11. Kérjük, hogy a szürkített téglalapokba semmit ne írjon! írásbeli vizsga, II. összetevő 0813 3 / 16 2008. május 6 Név: . osztály: Matematika középszint A 13. Oldja meg a valós számok halmazán a következő egyenleteket! a) lg( x + 15) 2 − lg(3 x + 5) = lg 20 b) 25 x = 5 ⋅ 53 írásbeli vizsga, II. összetevő 0813 x 4 / 16 a) 6 pont b) 6 pont

Ö.: 12 pont 2008. május 6 Matematika középszint írásbeli vizsga, II. összetevő 0813 Név: . osztály: 5 / 16 2008. május 6 Matematika középszint Név: . osztály: 14. Adott a koordináta-rendszerben az A ( 9 ; − 8) középpontú, 10 egység sugarú kör a) b) Számítsa ki az y = −16 egyenletű egyenes és a kör közös pontjainak koordinátáit! Írja fel a kör P ( 1 ; − 2 ) pontjában húzható érintőjének egyenletét! Adja meg ennek az érintőnek az iránytangensét (meredekségét)! írásbeli vizsga, II. összetevő 0813 6 / 16 a) 8 pont b) 4 pont Ö.: 12 pont 2008. május 6 Matematika középszint írásbeli vizsga, II. összetevő 0813 Név: . osztály: 7 / 16 2008. május 6 Matematika középszint Név: . osztály: 15. Az 1, 2, 3, 4, 5, 6 számjegyek felhasználásával ötjegyű számokat készítünk az összes lehetséges módon (egy számjegyet többször is felhasználhatunk). Ezek között hány olyan

szám van, a) b) c) amely öt azonos számjegyből áll; amelyik páros; amelyik 4-gyel osztható? írásbeli vizsga, II. összetevő 0813 8 / 16 a) 3 pont b) 4 pont c) 5 pont Ö.: 12 pont 2008. május 6 Matematika középszint írásbeli vizsga, II. összetevő 0813 Név: . osztály: 9 / 16 2008. május 6 Matematika középszint Név: . osztály: B A 16-18. feladatok közül tetszés szerint választott kettőt kell megoldania, a kihagyott feladat sorszámát írja be a 3. oldalon lévő üres négyzetbe! 16. Egy facölöp egyik végét csonka kúp alakúra, másik végét forgáskúp alakúra formálták (Így egy forgástestet kaptunk.) A középső, forgáshenger alakú rész hossza 60 cm és átmérője 12 cm. A csonka kúp alakú rész magassága 4 cm, a csonka kúp fedőlapja pedig 8 cm átmérőjű. Az elkészült cölöp teljes hossza 80 cm a) Hány m3 fára volt szükség 5000 darab cölöp gyártásához, ha a gyártáskor a felhasznált alapanyag

18%-a a hulladék? (Válaszát egész m3-re kerekítve adja meg!) Az elkészült cölöpök felületét vékony lakkréteggel vonják be. b) Hány m2 felületet kell belakkozni, ha 5000 cölöpöt gyártottak? (Válaszát egész m2-re kerekítve adja meg!) írásbeli vizsga, II. összetevő 0813 10 / 16 a) 8 pont b) 9 pont Ö.: 17 pont 2008. május 6 Matematika középszint Név: . osztály: írásbeli vizsga, II. összetevő 0813 11 / 16 2008. május 6 Matematika középszint Név: . osztály: A 16-18. feladatok közül tetszés szerint választott kettőt kell megoldania, a kihagyott feladat sorszámát írja be a 3. oldalon lévő üres négyzetbe! 17. A Kis család 700 000 Ft megtakarított pénzét éves lekötésű takarékban helyezte el az A Bankban, kamatos kamatra. A pénz két évig kamatozott, évi 6%-os kamatos kamattal (A kamatláb tehát ebben a bankban 6% volt.) a) Legfeljebb mekkora összeget vehettek fel a két év elteltével, ha a kamatláb

a két év során nem változott? A Nagy család a B Bankban 800 000 Ft-ot helyezett el, szintén két évre, kamatos kamatra. b) Hány százalékos volt a B Bankban az első év folyamán a kamatláb, ha a bank ezt a kamatlábat a második évre 3%-kal növelte, és így a második év végén a Nagy család 907 200 Ft-ot vehetett fel? c) A Nagy család a bankból felvett 907 200 Ft-ért különféle tartós fogyasztási cikkeket vásárolt. Hány forintot kellett volna fizetniük ugyanezekért a fogyasztási cikkekért két évvel korábban, ha a vásárolt termékek ára az eltelt két év során csak a 4%-os átlagos éves inflációnak megfelelően változott? (A 4%-os átlagos éves infláció szemléletesen azt jelenti, hogy az előző évben 100 Ft-ért vásárolt javakért idén 104 Ft-ot kell fizetni.) írásbeli vizsga, II. összetevő 0813 12 / 16 a) 3 pont b) 10 pont c) 4 pont Ö.: 17 pont 2008. május 6 Matematika középszint Név: . osztály:

írásbeli vizsga, II. összetevő 0813 13 / 16 2008. május 6 Név: . osztály: Matematika középszint A 16-18. feladatok közül tetszés szerint választott kettőt kell megoldania, a kihagyott feladat sorszámát írja be a 3. oldalon lévő üres négyzetbe! 18. Egy szerencsejáték a következőképpen zajlik: A játékos befizet 7 forintot, ezután a játékvezető feldob egy szabályos dobókockát. A dobás eredményének ismeretében a játékos abbahagyhatja a játékot; ez esetben annyi Ft-ot kap, amennyi a dobott szám volt. Dönthet azonban úgy is, hogy nem kéri a dobott számnak megfelelő pénzt, hanem újabb 7 forintért még egy dobást kér. A játékvezető ekkor újra feldobja a kockát A két dobás eredményének ismeretében annyi forintot fizet ki a játékosnak, amennyi az első és a második dobás eredményének szorzata. Ezzel a játék véget ér Zsófi úgy dönt, hogy ha 3-nál kisebb az első dobás eredménye, akkor abbahagyja, különben

pedig folytatja a játékot. a) Mennyi annak a valószínűsége, hogy Zsófi tovább játszik? b) Zsófi játékának megkezdése előtt számítsuk ki, mekkora valószínűséggel fizet majd neki a játékvezető pontosan 12 forintot? Barnabás úgy dönt, hogy mindenképpen két dobást kér majd. Áttekinti a két dobás utáni lehetséges egyenlegeket: a neki kifizetett és az általa befizetett pénz különbségét. c) Írja be a táblázat üres mezőibe a két dobás utáni egyenlegeket! második dobás eredménye 1 első dobás eredménye 1 2 3 4 5 6 -13 2 3 4 10 5 6 d) Mekkora annak a valószínűsége, hogy Barnabás egy (két dobásból álló) játszmában nyer? írásbeli vizsga, II. összetevő 0813 14 / 16 a) 4 pont b) 6 pont c) 4 pont d) 3 pont Ö.: 17 pont 2008. május 6 Matematika középszint Név: . osztály: írásbeli vizsga, II. összetevő 0813 15 / 16 2008. május 6 Név: . osztály: Matematika középszint a feladat

sorszáma maximális pontszám 13. 12 14. 12 15. 12 II./A rész elért pontszám összesen 17 II./B rész 17 ← nem választott feladat ÖSSZESEN 70 maximális pontszám I. rész 30 II. rész 70 MINDÖSSZESEN 100 elért pontszám dátum javító tanár elért pontszám programba beírt pontszám I. rész II. rész dátum dátum javító tanár jegyző írásbeli vizsga, II. összetevő 0813 16 / 16 2008. május 6 ÉRETTSÉGI VIZSGA 2008. május 6 Matematika középszint Javítási-értékelési útmutató 0813 MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Matematika középszint Javítási-értékelési útmutató Fontos tudnivalók Formai előírások: 1. A dolgozatot a vizsgázó által használt színűtől eltérő színű tollal kell javítani, és a tanári gyakorlatnak

megfelelően jelölni a hibákat, hiányokat stb. 2. A feladatok mellett található szürke téglalapok közül az elsőben a feladatra adható maximális pontszám van, a javító által adott pontszám a mellette levő téglalapba kerül. 3. Kifogástalan megoldás esetén elég a maximális pontszám beírása a megfelelő téglalapokba. 4. Hiányos/hibás megoldás esetén kérjük, hogy az egyes részpontszámokat is írja rá a dolgozatra. 5. Az ábrán kívül ceruzával írt részeket a javító tanár nem értékelheti Tartalmi kérések: 1. Egyes feladatoknál több megoldás pontozását is megadtuk Amennyiben azoktól eltérő megoldás születik, keresse meg ezen megoldásoknak az útmutató egyes részleteivel egyenértékű részeit, és ennek alapján pontozzon. 2. A pontozási útmutató pontjai tovább bonthatók Az adható pontszámok azonban csak egész pontok lehetnek. 3. Nyilvánvalóan helyes gondolatmenet és végeredmény esetén maximális pontszám adható

akkor is, ha a leírás az útmutatóban szereplőnél kevésbé részletezett. 4. Ha a megoldásban számolási hiba, pontatlanság van, akkor csak arra a részre nem jár pont, ahol a tanuló a hibát elkövette. Ha a hibás részeredménnyel helyes gondolatmenet alapján tovább dolgozik, és a megoldandó probléma lényegében nem változik meg, akkor a következő részpontszámokat meg kell adni. 5. Elvi hibát követően egy gondolati egységen belül (ezeket az útmutatóban kettős vonal jelzi) a formálisan helyes matematikai lépésekre sem jár pont. Ha azonban a tanuló az elvi hibával kapott rossz eredménnyel mint kiinduló adattal helyesen számol tovább a következő gondolati egységben vagy részkérdésben, akkor erre a részre kapja meg a maximális pontot, ha a megoldandó probléma lényegében nem változott meg. 6. Ha a megoldási útmutatóban zárójelben szerepel egy megjegyzés vagy mértékegység, akkor ennek hiánya esetén is teljes értékű a

megoldás. 7. Egy feladatra adott többféle helyes megoldási próbálkozás közül a vizsgázó által megjelölt változat értékelhető. 8. A megoldásokért jutalompont (az adott feladatra vagy feladatrészre előírt maximális pontszámot meghaladó pont) nem adható. 9. Az olyan részszámításokért, részlépésekért nem jár pontlevonás, melyek hibásak, de amelyeket a feladat megoldásához a vizsgázó ténylegesen nem használ fel. 10. A vizsgafeladatsor II/B részében kitűzött 3 feladat közül csak 2 feladat megoldása értékelhető. A vizsgázó az erre a célra szolgáló négyzetben – feltehetőleg – megjelölte annak a feladatnak a sorszámát, amelynek értékelése nem fog beszámítani az összpontszámába. Ennek megfelelően a megjelölt feladatra esetlegesen adott megoldást nem is kell javítani. Ha mégsem derül ki egyértelműen, hogy a vizsgázó melyik feladat értékelését nem kéri, akkor automatikusan a kitűzött sorrend szerinti

legutolsó feladat lesz az, amelyet nem kell értékelni. írásbeli vizsga 0813 2 / 11 2008. május 6 Matematika középszint Javítási-értékelési útmutató I. 1. Egy jó elem: 1 pont Két jó elem: 2 pont Összesen: Bármely alakban meg2 pont adott helyes válasz esetén jár a pont. 2 pont 2. 21 kézfogás történt. 2 pont Ha a válasz 42 kézfogás, 1 pont jár. Összesen: 2 pont Összesen: Ha négy 20-szal osztható 2 pont számmal jól dolgozik, 1 pontot kap. 2 pont Összesen: Az egyenes arányosság felismeréséért hibás 2 pont számolás esetén is jár 1 pont. 2 pont 3. A keresett valószínűség: 1 5 4. 2 kilogrammot. 5. Zérushelyek: 0 és 5. 2 pont A helyettesítési érték: – 4,56. Összesen: 6. KF = a+b 2 Helyes zérushelyenként 1 pont. 1 pont 3 pont A feladat megértéséért (pl. ábra) 1 pont jár Bármely helyesen felírt 2 pont (pl. összevonás nélküli) alakért jár a 2 pont. 2 pont Összesen: 7. a) igaz; b) hamis;

c) hamis. Az a) megfordításaként mind a b), mind a c) állítás elfogadható. 3 pont Bár definíció szerint az a) állítás megfordítása a b) állítás, a középszintű követelmények körébe nem tartozó logikai elemzéssel bizonyítható, hogy a b) és a c) állítás logikailag ekvivalens. 1 pont Összesen: 4 pont írásbeli vizsga 0813 3 / 11 Minden helyes válasz 1 pont. 2008. május 6 Matematika középszint Javítási-értékelési útmutató 8. A 2+ 2 reciproka: 3 1 . 2 2+ 3 3 ⎛ 375 ⎞ A reciprok értéke: ⎜ = ⎟. 8 ⎝ 1000 ⎠ 1 pont 1 pont Összesen: Ha jó számadatot ad meg, de nem két egész 2 pont szám hányadosaként, 1 pont jár. 9. A legnagyobb érték: 10. Ezt az x = 0 helyen veszi fel. Összesen: 1 pont 1 pont 2 pont Összesen: Ez a pont akkor is jár, ha a megfelelő képlet csak a 1 pont behelyettesített alakban szerepel. 1 pont 1 pont 3 pont Összesen: Ha csak a nevező helyes 2 pont szorzat alakját találja

meg, 1 pontot kap. 2 pont Összesen: 1 pont Az adatoknak helyes hal1 pont mazábrán való feltünteté1 pont séért is jár ez a 3 pont. 1 pont 4 pont Összesen: 3 pont 1 pont 4 pont 10. A megfelelő képlet megtalálása. A képletbe való helyes behelyettesítés. A sorozat 100-adik tagja: –1686. 11. Az egyszerűsített tört: 1 . x 12. első megoldás Angolul fordítanak 35-en. Németül fordítanak 25-en. Az összeg 10-zel több a fordítók számánál. A mindkét nyelven fordítók száma: 10. 12. második megoldás Mindkét nyelven a dolgozók 20%-a fordít. A mindkét nyelven fordítók száma: 10. írásbeli vizsga 0813 4 / 11 2008. május 6 Matematika középszint Javítási-értékelési útmutató II/A 13. a) Értelmezési tartomány: x > − 5 3 A logaritmus azonosságának helyes alkalmazása. (A lg függvény kölcsönösen egyértelmű.) (x + 15)2 = 20(3x + 5) . x 2 − 30 x + 125 = 0 . x1 = 25 és x2 = 5 . Mindkét megoldás megfelel.

Összesen: Ha nem vizsgál értelmezési tartományt, de a két gyök helyességéről pl. 1 pont behelyettesítéssel meggyőződik, akkor ezt a pontot is megkapja. 1 pont 1 pont 1 pont 1 pont 1 pont 6 pont 13. b) x ≥ 0. 52 x = 51+ 3 x . x = −1 . A négyzetgyök értéke nemnegatív szám, ezért nincs valós megoldás. Összesen: Ha nem vizsgál értelmezési tartományt, de 1 pont helyesen válaszol, akkor ezt a pontot is megkapja. A két hatványozás2 pont azonosság alkalmazásáért 1-1 pont jár. 1 pont Ez a pont más helyes 1 pont indoklás esetén is jár. 1 pont 6 pont 14. a) A kör egyenlete (x − 9 ) + ( y + 8) = 100 . 2 pont Ebbe behelyettesítve az y = −16 -ot: Az x 2 − 18 x + 45 = 0 2 pont egyenlet felírásáért is jár a 2 pont. 2 pont Gyökönként 1-1 pont. Az x1 = 15, y1 = −16 2 pont és x2 = 3, y 2 = −16 alak is elfogadható. 8 pont 2 2 (x − 9)2 = 36 . Az egyenletet megoldva: x = 15 vagy x = 3 . A közös pontok: ( 15 ; − 16 )

és ( 3 ; − 16 ) Összesen: írásbeli vizsga 0813 5 / 11 2008. május 6 Matematika középszint Javítási-értékelési útmutató 14. b) Ennek a gondolatnak a megoldás során való 1 pont felhasználása esetén is jár a pont. 1 pont Az érintő egy normálvektora az AP vektor, AP = (− 8 ; 6 ) . Az érintő egyenlete: 4 x − 3 y = 10 . 4 Az érintő iránytangense: . 3 1 pont 1 pont Összesen: 4 pont Összesen: A helyes válasz 2 pont, 3 pont bármilyen helyes indoklás (pl. felsorolás) 1 pont 3 pont 15. a) 6 ilyen szám van. 15. b) Az utolsó számjegy páros szám (2, 4, vagy 6), az első 4 számjegy 6 4 (= 1296) -féleképpen alakulhat. 3 ⋅ 6 4 (= 3888) -féle páros szám lehet. Összesen: Ennek a gondolatnak a megoldás során való 1 pont felhasználása esetén is jár a pont. 2 pont Az eredmény bármelyik 1 pont helyes alakjáért jár az 1 pont. 4 pont 15. c) (A 4-gyel való oszthatósági szabály értelmében) a két utolsó helyen 12,

16, 24, 32, 36, 44, 52, 56, 64 állhat, az első 3 számjegy pedig 63 (= 216) -féleképpen alakulhat. Tehát 9 ⋅ 6 (= 1944) -féle 4-gyel osztható szám lehet. 3 Összesen: írásbeli vizsga 0813 6 / 11 Ha a megadott kilencnél több vagy kevesebb 4gyel osztható számot sorol fel, de legalább hatot a megadottak közül, 2 pont akkor 1 pontot kap. Néggyel nem osztható szám szerepeltetése esetén erre a részre nem adható pont. 2 pont Az eredmény bármelyik 1 pont helyes alakjáért jár az 1 pont. 5 pont 2008. május 6 Matematika középszint Javítási-értékelési útmutató II/B 16. a) Az adatok helyes értelmezése (pl. ábra) 1 pont A csonka kúp alakú rész térfogatának kiszámítása (≈ 318 cm3). A henger alakú rész térfogatának kiszámítása (≈ 6786 cm3). A kúp alakú rész térfogatának kiszámítása (≈ 603 cm3). Egy cölöp térfogatának kiszámítása ≈ 7707 cm3. 7707 (≈ 9399) cm3, Egy cölöp elkészítéséhez ≈ 0,82 5000

cölöp elkészítéséhez ≈ 46 995 000 cm3, azaz ≈ 47 m3 fára van szükség. Összesen: Az 1 pont jár, ha az adatokat jól használja. 1 pont Csak hibás számításért 1 pont veszítsen pontot. 1 pont 1 pont 2 pont A részeredmények tetszőleges pontosságú helyes kerekítéssel elfogadhatók. Ez a 2 pont nem bontható. 1 pont 8 pont 16. b) A csonka kúp fedőköre területének kiszámítása: ≈ 50 cm2. A csonka kúp alkotójának kiszámítása: 20 (≈ 4,47), palást területének kiszámítása: ≈ 141 cm2. A hengerpalást területének kiszámítása: ≈ 2262 cm2. A kúp alkotójának kiszámítása: 292 (≈ 17,09), a kúppalást területének kiszámítása: ≈ 322 cm2. 1 cölöp felszíne ≈ 2775 cm2, 5000 cölöp felszíne ≈ 13 875 000 cm2, ami ≈ 1388 m2. Összesen: Ha a cölöp felszínét hibásan értelmezi 1 pont (hozzáveszi az alapköröket) legfeljebb 1 pont 3 pontot kaphat. 1 pont 1 pont A részeredmények tetszőleges pontosságú helyes

1 pont kerekítéssel elfogadhatók. 1 pont 1 pont Az 1387 m2 is 1 pont elfogadható. 9 pont 1 pont Ha a megoldás során az átmérő adatát sugárként használja (henger, csonkakúp fedőköre), de egyébként helyesen számol, az a) és b) részben összesen 2 pontot veszítsen. 17. a) A felvehető összeg: 700 000 ⋅ 1,062 , 2 pont ami 786 520 (Ft). Összesen: írásbeli vizsga 0813 7 / 11 Ez a 2 pont nem bontható. 1 pont 3 pont 2008. május 6 Matematika középszint Javítási-értékelési útmutató 17. b) első megoldás (Az első évben x %-os volt a kamat.) Az első év végén a számlán lévő összeg: x ⎞ ⎛ 800 000⎜1 + ⎟. ⎝ 100 ⎠ A második év végén a felvehető összeg: x ⎞⎛ x + 3 ⎞ ⎛ 800 000⎜1 + ⎟⎜1 + ⎟ = 907 200 . 100 ⎠ ⎝ 100 ⎠⎝ Ennek a gondolatnak a megoldás során való fel2 pont használása esetén is jár a pont. 2 pont Ez a 2 pont nem bontható. A kéttagúak helyes összex + 203 x − 1040 = 0 . 3

pont szorzása 2 pont, helyes rendezés 1 pont. x1 = 5 ; 1 pont a másik gyök negatív (–208), nem felel meg. 1 pont Az első évben 5%-os volt a kamat. 1 pont Összesen: 10 pont 2 17. b) második megoldás (Az első évben q-szorosára változott az összeg, akkor) az első év végén a számlán lévő összeg: 800 000 ⋅ q . A második évben (q + 0,03) -szorosára változott az összeg. A második év végén a felvehető összeg: 800 000 ⋅ q ⋅ (q + 0,03) = 907 200 . q 2 + 0,03 q − 1,134 = 0 . Ennek a gondolatnak a megoldás során való fel1 pont használása esetén is jár a pont. 2 pont 2 pont 2 pont q1 = 1,05 ; 1 pont a másik gyök negatív (–1,08), nem felel meg. 1 pont Az első évben 5%-os volt a kamat. 1 pont Összesen: 10 pont írásbeli vizsga 0813 8 / 11 2008. május 6 Matematika középszint Javítási-értékelési útmutató 17. b) kiegészítés A b) feladat szövegének, a „kamatlábat 3%-kal növelte” kifejezésnek lehetséges egy

másik, a köznapi életben megszokott szóhasználattól eltérő, ám matematikailag nem kifogásolható értelmezése is. Az ennek megfelelő megoldás és annak értékelése: (Az első évben x %-os volt a kamat.) Az első év végén a számlán lévő összeg: x ⎞ ⎛ 800 000⎜1 + ⎟. ⎝ 100 ⎠ A második év végén a felvehető összeg: Ennek a gondolatnak a megoldás során való fel2 pont használása esetén is jár a pont. x ⎞⎛ 1,03 x ⎞ ⎛ 800 000⎜1 + ⎟⎜1 + ⎟ = 907 200 . 100 ⎠ ⎝ 100 ⎠⎝ 2 pont Ez a 2 pont nem bontható. A kéttagúak helyes össze3 pont szorzása 2 pont, helyes rendezés 1 pont. x1 = 6,39 ; 1 pont a másik gyök negatív, nem felel meg. 1 pont Az első évben 6,39(≈6,4)%-os volt a kamat. 1 pont Összesen: 10 pont 1,03 x 2 + 203 x − 1340 = 0 . 17. c) Ha a két évvel ezelőtti ár y forint, akkor egy év múlva 1,04 ⋅ y , 1 pont két év múlva 1,04 2 ⋅ y = 907 200 forint az ár. 1 pont 907 200 (≈ 838 757) .

1 pont 1,04 2 Két évvel korábban ≈ 838 757 Ft-ot kellett volna 1 pont fizetniük. Összesen: 4 pont 1. Ha 907 200 forintnál nagyobb összeget ad meg válaszként, akkor a megoldására 0 pontot kap. 2. Ha 907 200 ⋅ 0,962-nel számol, akkor 1 pontot kaphat y= írásbeli vizsga 0813 9 / 11 2008. május 6 Matematika középszint Javítási-értékelési útmutató 18. a) A kedvező esetek száma 4. (Zsófi akkor folytatja a játékot, ha a dobott szám 3, 4, 5 vagy 6.) Az összes eset száma 6. 4⎛ 2⎞ A valószínűség: ⎜ = ⎟ . 6⎝ 3⎠ Összesen: 2 pont Ez a 2 pont nem bontható. 1 pont 1 pont 4 pont 18. b) Összesen 36 (egyenlően valószínű) lehetőség van. Egy játékos 12 forintot kap, ha a következő dobáspárok lépnek fel: (2; 6), (3; 4), (4; 3) és (6; 2). Az első eset nem lehet, mert akkor Zsófi nem játszik tovább. Tehát a kedvező esetek száma 3. 1 pont 2 pont* Ez a 2 pont nem bontható. 1 pont* 1 pont Hibás előzmények után a

kombinatorikus modell 1 pont használata esetén jár az 1 pont. Összesen: 6 pont A *-gal megjelölt (összesen 3) pont akkor is jár, ha pontosan azt a három esetet – (3; 4), (4; 3) és (6; 2) – sorolja fel (akár indoklás nélkül), amelyek Zsófi esetében megfelelnek. 3⎛ 1⎞ A 12 forint kifizetésének valószínűsége: ⎜= ⎟ 36 ⎝ 12 ⎠ 18. c) első dobás eredménye második dobás eredménye 1 2 3 4 5 6 1 -13 -12 -11 -10 -9 -8 2 -12 -10 -8 -6 -4 -2 3 -11 -8 -5 -2 1 4 4 -10 -6 -2 2 6 10 5 -9 -4 1 6 11 16 6 -8 -2 4 10 16 22 Összesen: írásbeli vizsga 0813 10 / 11 1 vagy 2 hibás szám esetén 3 pontot kap, 4 pont 3 vagy 4 hibás szám esetén 2 pontot kap, 4-nél több hibás szám esetén nem kaphat pontot. 4 pont 2008. május 6 Matematika középszint Javítási-értékelési útmutató 18. d) Barnabás akkor nyer, ha egyenlege pozitív. 13 esetben pozitív az eredmény. Barnabás 13

valószínűséggel nyer. 36 Összesen: Ennek a gondolatnak a megoldás során való 1 pont felhasználása esetén is jár a pont. Ez a pont a táblázatban szereplő pozitív számok 1 pont helyes összeszámlálásáért jár. Hibás előzmények után a kombinatorikus modell 1 pont használata esetén jár az 1 pont. 3 pont Táblázat nélkül is indokolhat: nyer, ha a szorzat legalább 15, azaz ha a két dobott szám közül az egyik a 3 és a másik az 5, vagy 6 (ez 4 eset); vagy az egyik a 4 és a másik a 4, vagy 5, vagy 6 (ez 5 eset); vagy az egyik az 5 és a másik az 5, vagy 6 (ez 3 eset); vagy az egyik a 6 és a másik is 6 (ez 1 eset). Összesen 13 eset. Stb írásbeli vizsga 0813 11 / 11 2008. május 6