Matematika | Analízis » Analízis feladatok

1. Differenciál-számítás 10 / 1 Határozza meg az x helyhez tartozó különbségi hányados határértékeként az alábbi függvények x helyhez tartozó differenciálhányadosát: a) f ( x ) = b) f ( x ) = és x = 2 . x; 1 x Határozza meg az alábbi függvények x szerinti első deriváltját: 2. f (x ) = 3. f (x ) = 1 − x 3 x 2 − 2 x . 1 3 + x. x2 ( )( ) 4. 2 x 2 + 3x . 1+ 2x 5. f (x ) = 6. f ( x ) = sin 2 x − sin x 2 . 7. f ( x ) = x 2 arctg x . 8. f ( x ) = xe − x cos 2 x . 9. f ( x ) = tg 2 x + x  arsh  + 3  2  ( ) 1 . cos π 10. f (x ) = e 11. f ( x ) = arctg 12. f ( x ) = ln x + x 2 − 1 . 13. f ( x ) = ln arch x . 14.  cos 2 2 x   . f ( x ) = th  2  x −1  ( . x . x +1 2 ( ) ) 15. 16.  sh 3 x  f ( x ) = ln 2  .  sin x  17. f ( x ) = arsh 18. f ( x ) = sin 2 (arccos x ) . 19. f ( x ) = π cos 2 x 3 − e 2 sin 2 . 20.  1− x2  . f ( x ) =

sh 2   x    21.  3x  f ( x ) = tg 2  − sin 3π .  sh x  ( x e ). −x ( ) Differenciál-számítás 10 / 2 22. f (x ) = 23. f (x ) = x −1 . sin 3 (1 − x ) 2 x2 3 2 + tg cos 2 x π . 4 ( ) 24. f ( x ) = ln ln 2 x 3 . 25. f ( x ) = cos 2 arctge x . 26.  ch3 x  f ( x ) = log 2  2  + e 3 .  sin x  27. f ( x ) = log 2 3 x 2 shx . 28. ( ) ( f (x ) = sin 2 2 x 2 29. ) 1 x + e 2 tg π 4 . ( ) f ( x ) = log 2 x x − arctge x + sin π . 1 − ch 2 x Határozza meg az alábbi, paraméteres alakban adott függvények x szerinti első deriváltját: 30. x(t ) = ctgt ; y (t ) = tg 2 t . 31. x(t ) = y (t ) = ln e ctgt . 32. x(t ) = lg(tgt ) ; y (t ) = cos 2t . 33. x(t ) = e t cos t ; y (t ) = e t sin t . 34. x(t ) = 35. t 2 +1 ; x(t ) = 2 t −1 36. x(t ) = arccos(cos t ) ; 37. x(t ) = arcsin t 2 ; y (t ) = ln 1 − t 2 . 38. x(t ) = arctg 4 t ; y (t ) = ln 39. x(t ) =

ln 1 + t 2 ; y (t ) = t − arctgt . 40. x(t ) = π ⋅ 3 tgt ; y (t ) = (ln 3)(sin t ) − cos π . 41. x(t ) = 2 sin t ; y (t ) = tg 2 t + tg 42. x(t ) = e tgt ; y (t ) = lg 2 t − e 2 . 43. x(t ) = ln ln 2 t ; y (t ) = 3 t . ( ) 1 ; tg 2 t y (t ) = 1+ cos t . 1 ; 2(1 + cos t ) 2t . y (t ) = 2 t −1 ( ) ( ) y (t ) = ln 2 t . 1 . 1+ t π π 4 . Differenciál-számítás 10 / 3 44. x(t ) = lg(cht ) ; sht . y (t ) = cht 45. x(t ) = ch 2 t ;  t −1  y (t ) = sh  .  t +1 46. x(t ) = ch 2 t 2 ;  t −1  y (t ) = arctg .  t +1 47. x(t ) = e t ; y (t ) = 1 − t 2 artht . ( ) ( 2 ) Határozza meg logaritmikus differenciálással az alábbi függvények x szerinti első deriváltját: 48. f (x ) = x x 2 − 1 . 49. f (x ) = 50. f ( x ) = (2 x ) x . 51. f ( x ) = x 2− x . 3 ( 2x ) x . 1 2 ( x) . 53. f ( x ) = ( x ) 52. 54. f (x ) = ln 1 x tg 1 x f ( x ) = x 2 x −sin x . 1  1 x

55. f ( x ) =    x 56. f ( x ) = (ln x ) . 57. f ( x ) = (cos x ) x sin x . ex 1+ x  58. f ( x ) =   . 1− x  1− x  1 + x  1+ x 59. f ( x ) =   . 1− x  60. ( ) f ( x ) = arctg x x − (arctgx ) . x Határozza meg az alábbi implicit alakban adott függvények x szerinti első deriváltját: 61. x 2 y = sin x . 62. y − y2 = 5 . x Differenciál-számítás 10 / 4 63. arctgy − xy = 3 . 64. 4 x ln y + tgy − y 2 x 3 = π 2 + e . 2 3 65. sin y − 3 x2 y 2 + x 2 ln y = π − e 2 . 66. arctg( xy ) + log 2 ( x − y ) = 0 . 67. arccos( xy ) − e y −x = 5 . 68. lg( x − y ) − 4 arctg y x =0. 69. 1 − y − cos( xy ) + tg1 = 2 . 70. 1 + 2 y − tg 71. y cos x − x ln shy = 72. (cos1)x − ctgx + y 2 = x . x + e 2 = arsh1 . y x2 . cos π y Határozza meg az alábbi implicit függvényekben y-nak x szerinti differenciálhányadosát az ( x0 ; y 0 ) pontban: P0 (4;3) . 73. xy − y

2 − 3 = 0 ; 74. e 2 x + y + sin ( x + 2 y ) = e 4 + 1 ; π  π P0  0;  .  4 75. Határozza meg az x = 5 cos t , y = 4 sin t egyenletrendszerrel megadott görbe t 0 = tartozó érintőjének egyenletét! 76. Határozza meg az y = x − 1 egyenletű parabolaág és az x metszéspontjában a körhöz húzott érintő egyenletét! 2 77. Mekkora szög alatt metszi az y tengelyt az y = 3 sin x + ln metszéspontban a görbéhez húzott érintő egyenletét! 78. Határozza meg az x = e 2t π 4 + y 2 = 5 egyenletű kör e görbe? Írja fel a cos t , y = e 2t sin t egyenletrendszerrel megadott görbe t = tartozó érintőjének iránytangensét! 79. Írja fel az y = 4 tg 2 2 x cos x − 2 x sin π 2 -hez π 2 egyenletű görbe érintőjének egyenletét annak x = 0 abszcisszájú pontjában! 80. Írja fel az y = lg e 2 3 x 4 sin (π − x ) + 2 x cos 2 π egyenletű görbe érintőjének egyenletét annak x = 0 abszcisszájú pontjában! 81. Határozza

meg az y = e tg (πx ) − lg10 egyenletű görbe x = 1 abszcisszájú pontjához tartozó érintőjének az egyenletét! 2− 2 x 82. Írja fel az y = log 3 ( 2 x + 1ch x ) egyenletű görbe normálisának egyenletét annak x = 0 abszisszájú pontjában! 2 -hez Differenciál-számítás 10 / 5 shx π 83. Határozza meg az y = + tg egyenletű görbe x = 0 abszcisszájú pontjához tartozó 3 4 2ch x normálisának az egyenletét! 84. Írja fel az y = tg 3 2 x4 2  π −  ctg  ln (1 − x ) egyenletű görbe érintőjének és normálisának 4  ex egyenletét annak x = 0 abszisszájú pontjában! 85. Adott az x + y = 5 egyenletű kör és az y = − x − 1 egyenletű parabola Határozza meg a két alakzat metszéspontját! Írja fel a kisebb abszcissza értékű metszésponton átmenő, a kört érintő egyenes egyenletét! 2 2 2 ( ) 86. Adott az y = 2 − 4 arctg x + 1 chx + cos x egyenletű görbe Írja fel az x = 0 abszcissza értékű pontban

a görbéhez húzható érintő egyenletét! Párhuzamos-e a kapott érintő az y + 3 = 1 − x egyenletű egyenessel? x2 87. Írja fel az 2 (x − 3)2 + ( y + 1)2 = 1 egyenletű ellipszis P 2; 1  pontjában az érintő egyenletét! 4   3  2 Határozza meg a felírt érintő és az y = −2 x + 3 egyenes hajlásszögét! 88. Határozza meg az y = x − 2 egyenletű egyenes és az ( x − 1) + ( y + 1) hajlásszögét a metszéspontokban! 2 2 = 8 egyenletű kör 89. Írja fel a következő polárkoordinátás alakban megadott görbék adott pontbeli érintőjének egyenletét: a) r = cos 2ϕ , ϕ0 = ϕ0 = b) r = ϕ , π 2 π 4 ; . 90. Számítsa ki az alábbi függvények görbéjéhez az adott pontban illeszkedő simuló kör sugarát, görbületét és középpontjának koordinátáit! a) y = x 3 x0 = 1 ; −1, b) y = e , x x0 = 0 ; 1 , x0 = 2 ; x 2 d) y = x , x0 = 0 ; c) y = x0 = 1 ; e) y = ln x , f) x = a cos 3 t  , y = a sin

3 t  t= π 4 . 9 x 2 − 6 x + 2 − arsh (3 x − 1) függvénynek van szélsőértéke! 91. Mutassa meg, hogy az f ( x ) = 92. Hol van a szélsőértéke és hol lehet inflexiós pontja az alábbi függvényeknek? ( + x + 1) + 2 arctg 2 x + 1 ; a) f ( x ) = ln x ( 2 b) f ( x ) = ln − x 3 2 ) 3 + 2 x + arcth ( x − 1) − sin π 2 . Számítsa ki az alábbi határértékeket a L’Hospital-szabály segítségével: 93. lim x 0 tg 2 x . sin 5 x sin 5 x − sin 3 x . 94. lim x 0 sin x 95. lim sin x − x cos x . sin 3 x 96. lim x cos x − sin x . x 2 sin x 97. lim 98. lim 2 + 2 th 2 x − 2chx . shx 99. lim 1 + th 2 x − 1 − th 2 x . shx x 0 x 0 Differenciál-számítás 10 / 6 x sin (1 − x ) − cos(1 − x ) + x . x 1 2 sin 2 (1 − x ) x 0 x 0 100. lim x 0 2ctg3 x . x −1 e x − e−x . x 0 sin x 101. lim 102. lim x 0 sh 2 x + sin x . 2x arctgx . x 0 x 103. lim 104. lim x 0 105. lim x 0 x − sin x x2 e −1 −

x − 2 . x 1 + xshx − ch3 x . sh 2 x x 3 ( x − 3) . x 0 sin 2 x − 2 sin x 106. lim 107. lim x 0 108. lim x π 2 sin x . arcsin x cos 2 x x− π . 2 sin x − xe cos x . 109. lim x 0 1 − sin x − cos x sin 3 x 2 − sh (− 2 x ) . x 0 (x − 1)ln(1 + x ) 110. lim 111. lim x2 x2 − 4 2 x −2 − sin π x . ch5 x − cos x . 112. lim x 0 ln (1 − x ) sin 3 x − sin x . x 0 ln (1 + x ) 113. lim 1+ x  ln  1− x   . 114. lim x 0 sin x cos x 1  ln e +  − 1 x  . 115. lim −1 x ∞ x ln 116. lim+ x 0 sin x x . x 1 117. lim x x ∞ x ln ln x . x 0 ctgx 118. lim+ log 3 cos x . x 0 x2 119. lim+   120. lim x ln 1 + 2 x ∞ e . x ( ) 121. lim+ 2 xctg x 2 . 122. lim+ x 2 x 0 x 0 123. lim xe ln x . − x2 x ±∞ . 1 −x e . x −∞ x 124. lim 2 125. lim x sin x ∞ 1 . x 1   x − . x 1 x − 1 ln x   126. lim 1  1 − . x 0  sin x x

127. lim+  1   1 − 2 . 2 x 0 x sin x   128. lim 129. lim+ (ctgx ) ln x 1 x 0 Differenciál-számítás 10 / 7 Differenciál-számítás 10 / 8 1  sin x  x 2  . x 0  x  130. lim 131. lim x 1 x −1 x 1 . Vizsgálja meg az alábbi függvények menetét: 132. f ( x ) = x − 4x2 + 4x . 3 133. f ( x ) = ( x + 1)( x + 3) 2 134. f ( x ) = (2 − x ) x+4. 135. f ( x ) = 1 . x −1 136. f ( x ) = 1 . x + x−2 137. f ( x ) = 6x . x +1 138. f ( x ) = 4 − 4x . ( x + 1)2 139. f ( x ) = x+3 . x + x−6 140. f ( x ) = (x − 1)2 . 2( x + 1) 2 2 2 2 1 x 2 − 3 x − 18 141. f ( x ) = ⋅ . 3 x+6 142. f ( x ) = x2 − x − 5 . x+2 143. f ( x ) = x2 . (x + 1)2 x 2 − 3 x − 10 . 144. f ( x ) = − x 2 + 5 x + 14 145. f ( x ) = 4 x 2 ( 1 + . x 146. f ( x ) = ln 1 + x 2 ). 1+ x  .  1− x  147. f ( x ) = ln 148. f ( x ) = ln 2 x. Differenciál-számítás 10 / 9 ( ). 150. f ( x ) =

x ln (x ) 149. f ( x ) = x ln x 2 2 2 151. f ( x ) = x ln 152. f ( x ) = x 1 . x 1 ln . x 2 1 x. 153. f ( x ) = x ln − 1 154. f ( x ) = e x 155. f ( x ) = e−x . 2 156. f ( x ) = xe 157. f ( x ) = −x . 1 −x e . x 158. f ( x ) = x e . 159. f ( x ) = xe . 2 −x − x2 − 1 160. f ( x ) = xe x 161. f ( x ) = x2 . 1 ex 162. f ( x ) = ( x + 2 )e x+2 . 1 x 163. f ( x ) = x e 2 164. Ossza fel a 4-et két részre úgy, hogy az egyik rész négyzetének és a másik rész köbének összege maximális (minimális) legyen! 165. Az 1000 cm2 felszínű, felül nyitott hengerek közül a maximlis térfogatúnak mekkora a sugara? Mekkora a maximális térfogat? 166. Határozza meg a 108 dm2 felszínű, felül nyitott négyzetalapú egyenes hasábok közül a maximális térfogatú hasáb méreteit és térfogatát! 167. Azok közül a négyzetalapú téglatestek közül, amelyeknek egyik csúcsában összefutó élek összege x, melyiknek lesz legnagyobb

a térfogata? Mekkora a maximális térfogat? 168. Határozza meg az adott a alkotójú legnagyobb térfoagtú kúp m magasságát és alapkörének r sugarát! 169. 4 db 1 m hosszú rúdból négyzetes alapú, egyenes gúla alakú sátorvázat készítünk Mekkora alapterület esetén lesz a sátor térfogata maximális? 170. Egy ablak egy a, b oldalú teljes téglalapból és egy föléje rajzolt félkörből áll, kerülete 4 m Hogyan válasszuk meg a méreteket, hogy az ablak területe maximális legyen? 171. Az r sugarú körbe írható derékszögű négyszögek közül melyiknek legnagyobb a területe? 172. Az r = 4 cm sugarú félkörbe az átmérőn fekvő, maximális területű trapézt szeretnénk rajzolni Hogyan kell a trapézt méretezni? Differenciál-számítás 10 / 10 173. Határozza meg a 2a alapú, m magasságú egyenlő szárú háromszögbe rajzolható maximális területű téglalap M magasságát! 174. Egy téglalap oldalai 5 és 4 egységnyiek Köréje olyan

egyenlő szárú háromszöget szerkesztünk, amelynek alapja az 5 egységnyi oldalra esik, szárai pedig átmennek a téglalap másik két csúcsán. Mekkora legyen az egyenlő szárú háromszög magassága, hogy területe a legkisebb legyen? Mekkora a minimális terület? 175. Adott egy a átfogójú egyenlő szárú derékszögű háromszög A háromszög egyik befogóján jelöljön ki egy tetszőleges P pontot, amelyen keresztül párhuzamos és merőleges egyenest húz az átfogóra. A keletkező trapéz mikor lesz maximális területű? Mekkora ez a maximális terület? Ez a maximális terület hány %-a a háromszög területének? 176. Egy szabályos négyoldalú gúla alapéle 18 cm, magassága 40 cm Szabályos négyoldalú hasábokat írunk bele úgy, hogy a hasáb alaplapja a gúla alaplapján, a hasáb fedőlapjának csúcsai pedig a gúla oldalélein legyenek. A hasábok közül melyik a legnagyobb térfogatú? 177. Határozza meg az adott R sugarú gömbbe beírt

maximális térfogatú kúp sugarát és magasságát! 178. Egy adott R sugarú körcikkből tölcsért formálunk Mekkora középponti szög mellett lesz ennek térfogata a legnagyobb? 179. Számítsa ki sin 30  = 1  −3 értékének felhasználásával sin 31 közelítő értékét, 10 2 pontossággal! 180. Egy kocka élei 10 cm hosszúak Mekkora lesz közelítőleg a térfogata, ha éleit 0,2 cm-re megnöveljük? 181. Hány cm-rel kell növelni egy V = 1000 l térfogatú gömb sugarát, hogy a térfogat közelítőleg 5 literrel növekedjék? 182. Egy négyzetalapú hasáb méretei: a = 0,5 dm , m = 4 dm a kismértékű változtatása m mekkora megváltozását eredményezi, ha a térfogat állandó marad? Határozza meg a valós számok körében azt a legtágabb részhalmazt, amelynek elemeihez az alább felsorolt képletekkel függvényérték rendelhető: 1. x x+2 x − 4x + 3 2. x x2 + x x3 − x 3. x  9 − x2 4. x 5. x  −1 − x 2

6. x  lg x 2 7. 1+ x  x  ln  1− x  8. x  lg cos x 9. x  sin lg x 10. x  lg sin x 2 − 5 x + 6 11. x  arctg tg ( x − 1) 12. x  ctg 2 1 + x 1− x ( ) ( ) x 2 Döntse el, hogy az alábbi függvények közül melyik páros, melyik páratlan, és melyik nem tartozik egyik előző csoportba sem: 13. x  5 14. x x 15. x x 16. x  [x ] 17. x  x x2 18. x 19. x  sin x 20. x  sin x 21. x  sin (sin x ) cos 3 x x2 Döntse el, hogy az alábbi függvények közül melyik periódikus és melyik nem! Ahol lehet, határozza meg a periódus hosszát: 22. x  sin 2 x 23. x  cos 24. x  [x ] 25. x  {x} x 2  0, ha x egész szám;  26. x   2, ha az x - et közvetlenül megelőeg egész szám páros; − 2, ha az x - et közvetlenül megelőeg egész szám páratlan.  27. x  cos(cos x ) 28. x  arctgx 29. x  2 cos x 30. Képezze az alábbi

függvénykapcsolatok inverz kapcsolatát: 3 2x + 7 3 b) y = 3 x + 2 a) y = 3 ⋅ 3 2 x −5 c) y = d) y = 5sh ( x + 1) 3 31. Állapítsa meg az alábbi függvényeknek vagy valamely leszűkítésüknek van-e inverz függvénye; ha igen, írja fel az inverz függvényt! a) f ( x ) = 5 ( )+ 5 b) f ( x ) = 2 ln 3 x+2 [ ] c) f ( x ) = x , D f := − 1;1 2 d) f ( x ) = 1 x −1 1, ha x racionális e) f ( x ) =  0, ha x irracionáls ( x − 1)2 , ha x ≤ 1 f) f ( x ) =  − x, ha x > 1  π π g) f ( x ) = sin 2 x , D f := − ;  4 4  3 32. A koordináta-rendszer transzformációja segítségével ábrázolja az alábbi racionális függvényeket: a) y = −3 x + 2 b) y = − x 2 + 4x − 5 1− 2x3 3 3 d) y = x−2 2x e) y = 3− x c) y = 33. A koordináta-rendszer transzformációja segítségével ábrázolja az alábbi függvényeket: a) y = ± 2− x b) y = 2 x − 2 −1 3 34. Oldja meg az alábbi trigonometrikus

egyenleteket: a) sin x − 3 cos x + 2 = 3 b) 2 ⋅10 c) ( 1 lg sin 2 x 2 ) = 3 2 cos 2 x + 2 sin x + 2 = 0 sin x + cos x π   π  1 π x + cos 2  + x  − 2 cos (cos x )cos + x  = 6 6   6  4 1 1 e) tgx + ctgx + 1 = −1 9 cos 2 x d) cos 2 35. Igazolja az alábbi azonosságokat: 1 + cos 2 x 2 1 cos 2x − 2 b) sin x ≡ 2 x 1 − tg 2 2 c) cos x ≡ x 1 + tg 2 2 x 2 tg 2 d) sin x ≡ x 1 + tg 2 2 a) cos 2 x≡ 36. A koordináta-rendszer transzformációja segítségével ábrázolja az alábbi trigonometrikus függvényeket: − 1 + cos(− 2 x − 2 ) 4 b) 2 y = −3 sin (− 2 x + 2 ) − 2 1 c) y = 3 − tgx 2  −1 − x  d) 2 y − 2 = ctg   2  a) y = 37. A linearizáló formulák felhasználásával, a koordináta-rendszer transzformációja segítségével ábrázolja az alábbi függvényeket: 2 sin 2 ( x − 1) + 2 3  3  1 + 2 cos 2  − x − 3   2  b) y = 2 a) y =

38. Írja fel egyszerűbb alakban az alábbi függvényeket! a) x  cos(arcsin 2 x ) b) x  sin (arccos 2 x ) c) x  tg (arcsin x ) d) x  sin (arctg(2 x − 1))   e) x  cos  arctg 2 x  2 39. Igazolja az alábbi azonosságokat: a) arcsin x + arccos x = b) arcsin π 2 x + arcsin 1 − x = c) arctgx + arcctgx = π 2 π 2 d) arccos(− x ) = π − arccos x e) arcctg(− x ) = π − arcctgx 40. Számítsa ki az alábbi kifejezések értékét segédeszköz használata nélkül: a) arcsin 1 2  1   2 c) arctg 3 b) arccos −   1    1   ⋅ tg arccos   2    2  d) cos arcsin −  41. Oldja meg az alábbi egyenleteket: a) arcsin ( x + 2π ) = − π 2 b) 3 arcsin x − π = 0 c) π − arcsin x = arccos x d) arcsin x = arccos x 42. A koordináta-rendszer transzformációja segítségével ábrázolja az alábbi cilometrikus függvényeket: a) y =

−2 arcsin (− 2 x + 2 ) + π b) y = 1  −1 − x  π arccos − 2  3  2 c) y = −2arctg(2 x − 4 ) + π 2 d) 3 y = 6arcctg(− 2 x ) − 2π 43. Oldja meg az alábbi egyenleteket, illetve egyenletrendszereket: a) 4 ⋅ 5 2x ( − 3 ⋅ 5 x +1 = 25 ) 1 lg 271 + 3 2 x = 1 3 c) log 3 x 3 + 4 log 9 x 3 = 6 b) x− y  x− y 4 − 4 2 = 2 d)  5lg (2 y − x −1) = 1 3 y 9 x = 81 e)  lg( x + y )2 − lg x = 2 lg 3 44. A koordináta-rendszer transzformációja segítségével ábrázolja az alábbi exponenciális és logaritmus függvényeket: a) y = 2 3− 2 x +1 x 1− 2 1 e +1 3 c) y = 2 log 2 (4 − 2 x ) − 1 d) y = 2 lg(3 x + 2 ) − 1 b) y = 45. Írja fel egyszerűbb alakban az alábbi függvényeket: a) x  sh (arch 2 x ) b) x  ch (arshx ) [ ] d) x  sh (2archx ) c) x  th arsh ( x + 1) 46. A koordináta-rendszer transzformációja segítségével ábrázolja az alábbi hiperbolikus függvényeket

és inverzeiket: 1 1− x  sh   −1 2  2   x b) y = 3ch 1 −  − 2  2 1  x c) y − 1 = − th  − 1 +  − 2 2  2  3 − 2x  − 1 + cth   4  d) y = 2 e) y = 2arsh (2 x + 2 ) + 1 1 1− x  f) y = arch −2 3  2  1  1 g) y = 2arth − x −  + 1 3  3  2x + 2  h) y = 2arcth   3  a) y = 47. A linearizáló formulák felhasználásával, a koordináta-rendszer transzformációja segítségével ábrázolja az alábbi függvényeket: a) y = sh (− 2 x ) 2  − x +1 −4  4  b) 3 y = 2ch  2 48. Igazolja a függvény határértékének definíciója alapján az alábbi állításokat: a) lim(2 x + 5) = 7 x 1 x 2 −1 b) lim = −2 x −1 x + 1 x c) lim = 1 x 0 x 49. Határozza meg – amennyiben létezik – az f függvény határértékét x a esetén! Ha létezik az A véges határérték, akkor határozza meg, hogy az x = a hely

milyen δ sugarú környezetében közelítik meg a függvényértékek a határértéket ε-nál kisebb hibával: a) f ( x ) = 2x , 2x2 + x x 2 + 5x + 6 b) f ( x ) = ; x2 − 9 a =0, ε = 10 −2 a = −3 ; ε = 10 −1 50. Határozza meg – amennyiben létezik – az f függvény határértékét x ∞ esetén Ha létezik az A véges határérték, akkor határozzon meg adott ε > 0 -hoz olyan ω (ε ) értéket, amelyre f ( x ) − A < ε , hacsak x > ω (ε ) : 5− x , ε = 10 −2 2 − 3x −x b) f ( x ) = 3 , ε = 10 −4 a) f ( x ) = 51. Állapítsa meg, hogy az alábbi racionális törtfüggvények szakadási helyein milyen jellegű szakadás van: x3 a) f ( x ) = 3 x − 2x2 + x x 2 −1 b) f ( x ) = 2 x −x+2 52. Vizsgálja meg, hol nem folytonosak az alábbi függvények, és állapítsa meg, hogy ezeken a helyeken milyen jellegű szakadásuk van:  x2 − 9 , ha x ≠ 0, ± 3  3 x x − 9   1 a) f ( x ) = − , ha x = −3  3

0, ha x = 0 1, ha x = 3   x 2 2 + 3x, ha x ≠ 0 b) f ( x ) =  x − 2, ha x = 0   x , ha x ≠ 0  c) f ( x ) =  sin x 1, ha x = 0 Határozza meg az alábbi függvények jobb, illetve bal oldali határértékét az adott a helyen: 53. f (x ) = x −3 54. f (x ) = x+4 −2 , x2 a=0 55. f (x ) = 1 , x −x a=0 x −3 , a=3 4 2, ha x ≤ −1  56. f ( x ) = 0, ha − 1 < x < 5 , − 2, ha 5 ≤ x  1, ha x < 0  57. f ( x ) = 7, ha x = 0 , 1, ha x > 0  a=5 a=0 0, ha x ≤ 0  58. f ( x ) =  , 1 sin x , ha x > 0 59. 1 f ( x ) = arctg , x 60. f ( x ) = 2 x −1 , a=0 a=0 x +1 a =1 Határozza meg az alábbi határértékeket: 61. x3 − 5x 2 + 7 x + 1 x 0 2x2 − 9x − 5 lim xe − x 62. lim x 0 (chx ) x + 4 2 63. 1  lim x ln  x ∞ x  64. lim 65. lim e x −1 x 1 1 ln 2    x x x ∞ e 1 x x2 x0 ln x 2 ( ) 67. lim ln

(x ) 66. lim 2 4 x0 68. lim x 2 sin x 0 1 x Határozza meg az alábbi racionális törtfüggvényeknek az adott a helyen vett ∞ típusú határértékét: ∞ x2 − 7x + 4 x ∞ 3x 3 + 5 69. lim 70. 2 x 2 − 3x + 2 x ±∞ − 5 x 2 + 2 x − 1 lim x 3 − 12 x 2 + 5 x + 1 71. lim x −∞ − x 2 + 5x −1 100 100 100 100 ( x + 1) + ( x + 2 ) + ( x + 3) +  + ( x + 100 ) 72. lim x100 + 10100 x ∞ Határozza meg az alábbi racionális törtfüggvényeknek az adott a helyen vett x2 − 4x + 4 73. lim 2 x2 x − 5 x + 6 74. x2 + 2x − 3 x −3 − x 2 + 2 x + 15 75. lim 76. lim 77. lim 78. x 4 − 16 x −2 x + 2 lim (1 + x )(1 + 2 x )(1 + 3x ) − 1 x 0 x x n −1 , x 1 x − 1 x3 − x2 − x +1 x 1 x3 + x − 2 lim n∈N 0 típusú határértékét: 0 79. 8x 3 −1 2 x 6 x − 5 x + 1 lim1 2 80. x2 − 3 x 3 x 4 − 2 x 2 − 3 lim Határozza meg az alábbi racionális törtfüggvényeknek az adott a helyen vett 81. lim x

−∞ x2 x 4 x5 + 2x3 − 7 x x ∞ 5 x 6 + 3x 4 + 2 82. lim 83. lim 84. lim 4 ∞ típusú határértékét: ∞ x6 + 2 − 5 2x7 −1 2 x 3 + 3x x ∞ 3 x ∞ x 4 + x 2 + 6 x 9 + 3x 5 4 x7 − 9x6 Határozza meg az alábbi irracionális törtfüggvényeknek az adott a helyen vett 4 85. lim x 16 x −2 x −4 4 − x2 86. lim x2 2x − 2 87. lim 1 + x 2 −1 x 88. lim x + 13 − 2 x + 1 x2 − 9 x 0 x 3 3 x2 − 5 − 2x 89. lim x 3 x 2 + x − 12 90. lim 91. lim x2 x −2 11x + 3 − 4 x + 17 x 2 − 5x + 6 x2 + x − 2 x2 + x + 2 − x2 + 4x + 8 1 + 3x − 1 − 4 x 2 92. lim x 0 7x 93. lim 94. lim x 9 x 1 x −3 7 + 2x − 5 x2 + x − 2 x 2 + x −1 − x 0 típusú határértékét: 0 95. lim 1 + 2x3 −1 7x3 96. lim 3 x 1+ x − 3 1− x 97. lim 3 x 0 x 0 x 2 − 3x + 6 − − x 2 + 5 x − 2 − x 2 + 5x + 3 − − 2 x 2 + 9 x −1 x2 Határozza meg az alábbi függvényeknek az adott a helyen vett ∞ − ∞

típusú határértékét: 98.   1 1  − 2 lim 2 x2 x( x − 2 ) x − 3 x + 2   99. lim x − x + 1 x ∞ 100. lim x ∞ ( ( x + x + 1 − x − x + 1) 2 2 2 x + x − 2 x − x   101. lim x ∞ )  102. lim ( (x + a )(x + b) − x ) 103. lim ( x + 1 − x − 1) x ∞ x ∞ 2 3  x ∞  2 3 x A lim1 + 1  = e határérték felhasználásával számítsuk ki a következő határértékeket: x  3x + 1   x ∞ 3 x + 7   2 x −15  2x −1  105. lim  x ∞ 2 x + 3   − x −7 104. lim  2 − 5x  106. lim  x ∞ − 1 − 5 x    3x 2 − 2   107. lim x ∞ 3 x 2 − 5    3 x −7 2 x 2 + 20 [ ] 108. lim{x ln (3 x + 4 ) − ln (3 x − 2 ) } x ∞ 1   109. lim1 − 2  x ∞  x  x rx + s k  t  110. lim1 +  , x ∞  lx + m  k , l , r , t ∈ Z {0}, m, s ∈ Z Határozza meg az

alábbi határértékeket: 111. lim x x ∞ ( x + 1 − x) 2  3 x + 11  112. lim  x ∞ 2 x + 4    x +1  113. lim  x ∞ 2 x − 1   5x x 114. lim 1 + x sin x − cos x sin 2 x 115. lim 1 + tg 2 x − 1 − tg 2 x sin x x 0 x 0 x 2 116. lim x 0 1 + sin x − cos x + sin x sin 2 Készítsen ábravázlatot az alábbi racionális törtfüggvények görbéjéről! (Az adott függvényeket mindig a legtágabb értelmezési tartományban tekintse!) 117. x  1− x x − 3x + 2 118. x  1 1− x2 119. x  2x2 − x − 3 x2 − x − 6 2 x 3 + 3x 2 − 4 x 120. x  x2 − 2x − 3 121. x  ( x + 1)( x + 3)( x − 2) ( x − 1)( x + 2)( x + 3) Számítsa ki a következő határértékeket lim x 0 sin x = 1 felhasználásával: x sin 2 x + 2 sin x x 0 x cos x 122. lim 123. lim (sin 5 x )tg 2 x x2 x0 2 2 124. lim x ctg 2 x x 0 cos x − cos 3 x 125. lim x 0 x2 x 2 sin 126. lim x 0 1 x sin x A törtkifejezés

bővítése után számítsa ki az alábbi határértékeket lim x 0 tg 7 x x 0 sin 4 x 127. lim sin x = 1 felhasználásával: x 1 − sin 2 3 x − 1 + sin 2 3 x x2 128. lim x 0 1 − cos 2 x x 0 3x 2 129. lim 1 − cos 3 x x 0 x 130. lim ( x 1 + tgx − 1 − tgx x 0 sin 2 x 131. lim ) Határozza meg az alábbi kifejezések határértékét (célszerű lehet a sin 2 x≡ 1 − cos 2 x sin x azonossság és lim =1 x 0 2 x felhasználása): cos 2 x − 1 x 0 x sin x 132. lim 133. lim x 0 cos x − 1 x 1 − cos 3 x x 0 x 2 cos x 134. lim 4x4 + x3 x 0 x (1 − cos x ) 135. lim tgx − sin x x 0 x 3 cos x 136. lim 137. lim x 0 2 sin x − sin 2 x x3 sin x =1 x 0 x Határozza meg az alábbi kifejezések határértékét úgy, hogy helyettesítést alkalmaz majd felhasználja a lim határértéket: π  − x  tgx π x  2  2 138. lim sin mx , x π sin nx 139. lim m, n ∈ N Mutassa meg, hogy az alábbi {a n } sorozatok

konvergensek! Határozza meg azt a ν (ε ) küszöbindexet, amelynél nagyobb indexű elemek a sorozatban az előírt ε > 0 -nál kisebb hibával közelítik meg a sorozat határértékét! n +1 ; 2n 2 − 1 n = 1,2,3, ; ε = 10 −2 . an = 2 n ; n = 1,2,3, ; ε = 10 −2 . 3. 3n ; an = 4 ⋅ 3n + 1 n = 1,2,3, ; ε = 10 −5 . 4. an = 2n + 1 ; 2n n = 1,2,3, ; ε = 10 −2 . 5. an = n = 1,2, ; ε = 10 −3 . 6. an = n + 1 − n ; 7. an = 3 n +2 ; 2 n +1 n = 1,2, ; ε = 10 −2 . 8. an = 1 ; 3 +1 n = 0,1,2, ; ε = 10 −6 . 9. an = n2 ; 2 + 4n 2 n = 1,2, ; ε = 10 −3 . 10. an = lg n +1 ; n+2 n = 1,2, ; ε = 10 −3 . 1. an = 2. 1 1 + 3n ; 5n + 1 n ε = 10 −1 . n = 1,2, ; Határozza meg az alábbi {a n } sorozatok határértékét, amennyiben az létezik: 11. an = 10 n ; n! n = 0,1, . 12. an = 5 n+100 ; 6 ⋅ n! n = 0,1, . 2n ; 13. a n = n 2 + 100 n = 0,1, . 14. an = 3n+ 2 − 1 ;

1 + 3n n = 0,1, . 15. an = cn ; 1+ 2c 2 n c >0; 16. an = 10 n + 10 2 ; 5 n + 2 n + 10 5 7 n − 7 −n ; 17. a n = n 7 + 7 −n 18. an = n = 0,1, . n = 0,1, . n = 0,1, . (1 + 5)(1 + 52 )(1 + 53 )⋅ ⋅ (1 + 5n ) ; 52n n = 1,2, . 19. an = cn ; (1 + c ) 1 + c 2 1 + c 3 ⋅ ⋅ 1 + c n ( )( ) ( bn + cn 20. a n = n +1 ; b + c n+1 21. an = 22. an = ) b, c > 0 ; 7 n 2 + 3n + 10 ; 100n 2 − 27 n + π c >0; n = 1,2, . n = 1,2, . 39n 3 + 25n 2 − 16n + 9 ; 1 3 2 26n − 36n − 18n + 5 n = 1,2, . 4 n 3 + 5n 2 + 6 n + 7 ; 23. a n = 1 − 9n 2 − 27 n 3 + 3n 4 n = 1,2, . 81n 6 − 8n 5 − 12n 2 + 3 ; 9 − 17 n 2 + 3n 3 − 9n 5 n = 1,2, . 24. an = n 3 + 5n 2 − 8 25. an = 26. an = 27. an = 28. an = 29. an = 3 n + 1 − 3 n ; 30. an = 3 31. an = 32. an = (2n + 1)(3n + 2)(4n + 3)(5n + 4) ; (4n + 1)4 33. an = (2n + 3)5 (18n + 17 )15 ; (6n + 5)20 3 n 3 − 4n 2 + 2 n = 2, . ; 3n

2 + 2 + 2n 4 n 3 + n + 16 − 3n 4 3 n3 + 6 n 2 + 3n − 2 3 n = 1,2, . ; n 2 + 3n + 36 3 n = 1,2, . ; n 3 − 2n 2 + 25 n = 1,2, . ; n = 1,2, . 1 ; 2n + 1 − 3 2n ( n = 1,2, . 12 n2 ⋅ 3 n + 2 − 3 n − 2 ) ; n = 1,2, . n = 1,2, . (2n + 3n + 4) (3n − 4n + 5) ; 34. a = (6n + 7n − 8) 10 2 n 35. an = 10 2 2 20 (n + 1)(n + 2)(n + 3)(n + 4) ; n 4 + 2n 2 + 3n + 4 n = 1,2, . n = 1,2, . n = 1,2, . n = 1,2, . Vizsgálja meg, hogy mely eset(ek)ben konvergens az {a n } sorozat, és konvergencia esetében határozza meg a sorozat határértékét is! (k ∈ N ) 36. an = 1+ 2 + 3 ++ n ; nk 37. an = 12 + 2 2 + 32 +  + n 2 ; nk n = 1,2, . 13 + 2 3 + 33 +  + n 3 ; 38. a n = nk n = 1,2, . n = 1,2, . 12 + 32 + 5 2 +  + (2n − 1) 39. a n = ; nk 2 n = 1,2, . 2 [ 1 + 3 + 5 +  + (2n − 1)] 40. a = ; n = 1,2, . 3 ( 2 + 4 + 6 +  + 2n ) 41. a = ; n = 1,2, . n nk n nk 42.

an = 1 ⋅ 2 + 2 ⋅ 3 + 3 ⋅ 4 +  + n(n + 1) ; nk n = 1,2, . 43. an = 1 ⋅ 4 + 2 ⋅ 7 + 3 ⋅10 +  + n(3n + 1) ; nk n = 1,2, . (1 + 1)1 + 1 1 + 1  ⋅ ⋅ 1 + 1  44.  an = 2  3 n  k n ; n = 1,2, . Számítsa ki a következő {a n } sorozatok határértékét, amennyiben az létezik: 1 1 1 + +  + n−1 2 4 2 ; 45. a n = 1 1 1 1 + + +  + n−1 3 9 3 1+ n = 1,2, . 46. an = 1 ⋅1!+2 ⋅ 2!+3 ⋅ 3!+  n ⋅ n! ; (n + 1)! 47. an = 3 ⋅ n! ; (n + 1)!+ n! n = 1,2, . 48. an = 9 ⋅ (n + 1)!+2 ⋅ n! ; 10 ⋅ (n + 1)!−7 n! n = 1,2, . 49. 1  1  1  1    a n = 1 − 2 1 − 2 1 − 2  ⋅  ⋅ 1 − 2  ;  2  3  4   n  50.  1  1   1 an = (1 + 1)1 + 1 +  ⋅  ⋅ 1 +  ;  n  2  3  n = 1,2, . n = 2,3, . n = 1,2, .   

1 1   1  1  ;  51. a n = 1 − 1 − 1 −  1 ⋅ ⋅ −   n(n + 1)   3  6  10    2   n = 2,3, . Igazolja, hogy az alábbi {a n } sorozatok konvergensek. Számítsa ki a sorozatok határértékét is: 52. an = n b − 1 ; b > 1; 53. an = n n ; n = 1,2, . 54. n +1 ; an = n n! n = 1,2, . n  12   55. a n = 1 +  n + 12    56. ( n = 1,2, . n +12 n = 1,2, . ; ) an = n n a − 1 ; n = 1,2, . a > 0 ; a ≠ 1; n n b + n c  57. a n =   ; 2   ( ) b, c > 0 ; b ≠ 1; c ≠ 1 ; n = 1,2, . b, c > 0 ; b ≠ 1; c ≠ 1 ; n = 1,2, . n  1  58. a n = 1 + n b − n c  ; 3   Számítsa ki az alábbi {a n } sorozatok határértékét, amennyiben az létezik: n+ n+ n 59. an = 60. an = n + n + n − n ; n = 1,2, . 61. an = n +3 n +4 n +5 n ; 5n + 1 n = 1,2, . n +1 ; n = 1,2,

. 62. an = n ( n + 1 − 2 n + n − 1) ; n = 1,2, . 63. an = n 3  n 2 + n 4 + 1 − n 2  ;   n = 1,2, . 64. an = 65. an =  3n 2 + 5 3n − 19 − 3n 2 − 25 3n + 3  ;   66. an = 67. an = ( 4n + 5n − 7 − 2n); n = 1,2, . 68. an = 28n − 784n 2 + 28n − 71 ; n = 1,2, . 69. an = 70. an = 3 2 n2 ( 2n + 8n −1 − 2n + 16n + 11) ; 2 2 n = 1,2, . 2 2n 2 + 1 21 2 n 2 + 15n − 10 − n 2 − 6n + 5 2 3 7 n 2 + 14n − 21 − 3 n = 1,2, . 7 n 2 + 14n + 71 ; 13 2n + 1 13n + 12 − 13n 2 − 12n 2 ; ; n = 2,3, . n = 1,2, . n = 1,2, . 71. a n = 9n 2 +2n − 1 − 3n ; 72. an = n n 4 + 4 − n 2 ; ) ( 4 an = n = 1,2, . n = 1,2, . n = 2,3, . ( n −4 −n ) 74. a = n ( n − 4 − n ); n = 2,3, . 75. a = sin [π ⋅ ( 4n + n + 1 − 4n + 2n )]; 73. ; 3 2 4 2 2 4 2 n n 2 n = 1,2, . 2 n 2   π 76. a n =  tg  ; 2 2  4n n + 1 − n

− 1  ) ( 77. ( ) an = 3 cos n + 2 − n π ; n = 1,2, . n = 1,2, . 8n 4 + 4n 2 − 2n − 1 − 2n 2 78. a n = ; 1+ 2 + 3 ++ n 79. an = 80. an = 81. an = 82. an = n = 1,2, . 1 + 3 + 5 +  + (2n − 1) 3n 4 + 20n 2 − 10n − 5n 4 − 10n − 5 2n 2 + 2n + 3 − 2n 2 + 6n + 5 3n 2 + 5n + 1 − 3n 2 + 7 n − 1 36 n  3n + 7  n!   3n + 4  2 n +3 ; 12 + 2 2 + 32 +  + n 2 4n 6 − 5n 3 + 9 − 2n 3  n−3 83. a n =   ;  n−5 ; ; n = 1,2, .  4n + 5  85. a n =    4n − 3  86.  3n + 1  an =    3n + 5  n −5 ; n = 1,2, . ; n = 1,2, . π +n 6 n+7  2n + 4  87. a n =    3n − 6   5n − 6  88. a n =    4n + 3  n = 1,2, . ; n = 1,2, . ; n = 1,2, . n+2 4 n +3 ; n = 1,2, . n = 2,3, . n = 1,2, . n = 1,2, . n  2n + 3  84. a n =    2n − 2  ;  n2 + 2   89.

a n =  2  n +3 n 2 +5  n2 + 4   90. a n =  2 n +2 n2 +2 n  n2 −1   91. a n =  2  n  n = 1,2, . ; n = 1,2, . ; n3 + 7 n = 1,2, . ;  2n 2 + n + 1   92. a n =  2  2n − n + 1  3 n +1  n 2 + 2n + 4   93. a n =  2  n − n +1  n = 1,2, . ; 2+ n 2 n = 1,2, . ; Számítsa ki a következő határértékeket: n2  n −1  4  4 3   n + n + n 2 − n 4 − 3 n − 1  . 94. lim 2 n ∞ n + 1      2  n 2 + π  n 2 + 3  2 n +5  ;   95. lim  2 2 n ∞  e n + π  n 2 + 2       2 n = 1,2, .  n 2 − 2n + 1  3n −6 n+5 n 4 − n 2 + 6 − 2n 3 + n − 1   ; 96. lim  2 + n ∞  n − 2 n + 4 n2 +1      2 n +1   2 n + 2 5 1    ; 97. lim   − 2 n ∞  2 n + 3   n− n +n   98.

lim n ∞ n 2 + 3n − n 1−3 n  4n + 9     4n + 5  ; n = 1,2, . n = 1,2, . n = 1,2, . Írja fel a sorozatok n-edik elemét zárt alakban, majd állapítsa meg a sorozatok határértékét: 99.  1 1 1  ; + ++ lim  n ∞ 1 ⋅ 2 2⋅3 n(n + 1)   n = 1,2, .  1  1 1 ; + ++ (2n − 1)(2n + 1) 1 ⋅ 3 3 ⋅ 5 100. lim  n ∞ n = 1,2, .  1  1 1 ; + ++ n ∞ 1 ⋅ 2 ⋅ 3 2 ⋅3⋅ 4 n(n + 1)(n + 2 )   101. lim  n 102. lim n ∞ k =1 n ∞ 2 ∑ ( k + 3 − k + 1) ; n 103. lim 1 ∑ k + 6k + 5 ; k =1 n = 1,2, . n = 1,2, . n = 1,2, . ∑ ( k + 3 − 2 k + 2 + k + 1) ; n 104. lim n ∞ n  1  ∑ lg1 − k  ; n = 1,2, . k2 ; ∑ n ∞ k =1 (2k − 1)(2k + 1) n = 1,2, . 105. lim n ∞ k =2 n 106. lim 2 1 ⋅ 2 ⋅ 3 + 2 ⋅ 3 ⋅ 4 +  + n(n + 1)(n + 2 ) ; n ∞ n 4 + 2n 2 + 3 107. lim 108. lim n ∞ n = 1,2, . k =1

2n + 1 ;  1  1   1 (1 + 1)1 + 1 +  ⋅ ⋅ 1 +   2  3   n 12 22 n2 + ++ (2n − 1)(2n + 1) ; 1⋅ 3 3 ⋅ 5 109. lim n ∞ 1+ 2 + 3 ++ n n = 1,2, . n = 1,2, . n = 1,2,