Informatika | Alapismeretek, ECDL » Kiss Gábor - Számítástechnikai alapismeretek

Számítástechnikai alapismeretek Kiss Gábor – Baráti Tibor – Vinnai Zoltán Tartalomjegyzék A digitális számítógépek fejlődésének története, számítógépgenerációk . 2 1.1 Történeti áttekintés 2 1.2 A számítógépek fejlődésének kezdetei 3 1.21 Korai fejlődés . 3 1.22 Analóg és digitális mechanikus számológépek . 3 1.23 Az első elektronikus számítógépek . 3 1.24 A mikroelektronika fejlődése . 4 1.25 Számítógépes generációk . 4 1.3 Számítógép generációk néhány jellemző adata 5 2 A számítógépek felépítése, rendszertechnikai egységei . 5 2.1 A számítógép felépítésének tömbvázlata 6 2.11 CPU . 6 2.111 Regiszterek 6 2.112 ALU 7 2.113 Vezérlő egység 8 2.12 Memória: . 8 2.13 Be- és kiviteli egységek: . 8 2.14 Címsin: . 9 2.15 Adatsin: . 9 2.16 Vezérlősin:. 9 3 Számrendszerek . 10 1 Készült az Európai Unió támogatásával 1 Számítástechnikai alapismeretek Kiss Gábor – Baráti

Tibor – Vinnai Zoltán A digitális számítógépek fejlődésének története, számítógépgenerációk 1 A történelem, három legsikeresebb számolóeszközének az abakuszt, a logarlécet és az elektronikus számítógépet tartja. A számítógép nem egyetlen ember önálló alkotása, az idők során sokan járultak hozzá kialakulásához. Az alapvető cél kezdetben a nagytömegű mechanikus aritmetikai műveletek végzésének megkönnyítése és egyszerűsítése volt. 1.1 Történeti áttekintés i.e Isz - Abakusz (digitális!) i.e82 - Antikithera planetáriuma csillagászati és hajózási számításokra 1600-as évek - Logarléc - Schikard és Pascal összeadó és kivonó gépe - Leibnitz számológépe, amely a négy alapművelet elvégzésére volt alkalmas (számrendszerek) 1700-as évek - Kempelen Farkas billentyűvezérlésű hangszintetizátora (beszélő gép) 1800-as évek - Jacquard lyukkártyával vezérelt szövőszéke - Babbage

programvezérlésű digitális számolóautomata tervét készíti el. - Hollerith gépek - kódolva tárolt adatok - előre megadott program 1900-as évek - Monroe számológépe Az első lyukkártyás gépek Villanyhajtású számológépek Az első elektronikus számítógépek 1940-es évek 1950-es évek - Neumann János féle gépek, amelyek bináris aritmetikát használva a tárolt programozás elvén működnek. - Az első elektroncsöves elektronikus számítógép (ENIAC). - Második generációs gépek - Multiprogramozás - Távadatfeldolgozás - Időosztásos rendszerek - Folyamatvezérlés - Robotok 1960-as évek - Harmadik generációs gépek - Integrált áramkörös adatfeldolgozó gépek 1970-es évek - Negyedik generációs gépek - Monolitikus áramkörök - Mikroprocesszorok - Személyi számítógépek 1980-as évek - Ötödik generációs gépek - Továbbfejlesztett mikroprocesszorok Készült az Európai Unió támogatásával 2 Számítástechnikai

alapismeretek 1.2 Kiss Gábor – Baráti Tibor – Vinnai Zoltán A számítógépek fejlődésének kezdetei 1.21 Korai fejlődés Az első számjegyes (digitális) mechanizmus, az abakusz, több mint ötezer éves és még ma is használják a világ sok részén. 1642-ben Franciaországban a 19 éves Blaise Pascal digitális számológépet épített, mely összeadási és kivonási műveleteket tudott végezni. Wilhelm Leibnitz 1672-ben Németországban fogaskerekes gépet épített, amely már szorozni, osztani és négyzetgyököt vonni is tudott. 1832-ben Charles Babbage, cambridge-i matematikus tervezett egy gépet, amely miatt – bár sohasem készítette el – a modern számítógép atyjának tartják. A géphez bemeneti és kimeneti berendezések is tartoztak, amelyek a Jacquard szövőszékén alkalmazottakhoz hasonló lyukkártyákra épültek. Babbage tervezett „tárat”, azaz memóriát, és „üzemet”, azaz processzort. A tárat és az üzemet szintén

kártyák vezérelték, amelyek az utasításokat számjegyesen írták le és tárolták mindaddig, míg az „üzem” működtetéséhez szükségesek voltak. 1.22 Analóg és digitális mechanikus számológépek 1915-ben Spanyolországban Leonardo Torres összekapcsolta az elektromechanikus számolási technikát a programozás elvével. Bemutatta az első olyan gépet, amely képes volt döntés-hozásra, és egyszerű sakkfeladványok megoldásával szemléltette rugalmasságát. Az amerikai Vannevar Bush 16 évvel később egy analóg számítógépet tervezett; ez volt az első olyan gép, amely már egyenleteket tudott megoldani. 1936-ban Németországban Konrad Zuse elsőként valósította meg az automatikus számolás néhány alapelvét, többek között a kettes számrendszer és a lebegő tizedespont használatát. 1941-ben kidolgozta Z2 és Z3 típusú relés számológépet, melyeket a szövetségesek légitámadása rombolt szét. 1937-ben az USA-ban Cloude Shannon

és George Stibitz - egymástól függetlenül – a Boole-algebra alapján működő elektromos kapcsolási áramköröket állított elő. Ezzel a számítás technológiája nagyot lépett előre. Hét évvel később Howard Aiken bemutatta a Harvard Egyetem Mark I számítógépét Ez nem elektronikus hanem elektromechanikus számítógép volt, amely a számokat mechanikus regiszterekben tárolta. 1.23 Az első elektronikus számítógépek Az első, teljesen elektronikus számítógép az ENIAC volt. John Mauchly és Presper Eckert tervezte, 1946-ban készült el. 18000 elektroncsövet, 70000 ellenállást és 500000 kézi forrasztású érintkezést tartalmazott. Dugaszolással programozták három kapcsolótábláról, 30 tonnát nyomott, áramfelvétele 100 kW volt és egy 6 x 18 méteres termet foglalt el. 5000 összeadást vagy 300 szorzást végzett el másodpercenként. 1945-ben Neumann János megfogalmazta a tárolt program elvét, amely szerint a számítógépnek adott

utasítások magában a gépben numerikusan tárolhatók. Igy a gép logikai döntéseket hozhat és a feldolgozás során a számítógép módosíthatja az utasításokat Készült az Európai Unió támogatásával 3 Számítástechnikai alapismeretek Kiss Gábor – Baráti Tibor – Vinnai Zoltán 1.24 A mikroelektronika fejlődése Eddig viszonylag lassú volt a fejlődés. A további fejlődést a mikroelektronika egyre gyorsuló fejlődési üteme határozta meg. 1948-ban John Bardeen, Walter Brattain és William Shockeley a Bell laboratóriumban kifejlesztette a tranzisztort, amely kis méretével, megbízhatóságával és kis teljesítmény-felvételével megnyitotta az utat az integrált áramkörök számára, s ezzel beköszöntött a mikroelektronika korszaka. 1971-ben az amerikai INTEL cég kifejlesztette az első mikroprocesszort, azaz egy olyan központi feldolgozó egységet, ahol a logikai és aritmetikai műveletek egyetlen 0,5 cm-nél rövidebb oldalú

szilícium chipen elvégezhetők. 1975-ben az INTEL egy teljes számítógépet szerelt egyetlen nyomtatott áramköri lapra. Később 8 bites számítógép gyártását kezdték el, amely egy chipen 20.000 tranzisztort tartalmazott 1.25 Számítógépes generációk A számítógépes technológia fejlődése időrendben négy generációra osztható. 1. generáció: elektroncsöves rendszerek (1951-58) Az első generációs számítógépek legfontosabb áramköri elemei az elektroncsövek voltak. E gépek terjedelmesek, megbízhatatlanok és lassúak voltak, sok áramot fogyasztottak, üzemeltetésüknél jelentős hőveszteség keletkezett. Az adatokat lyukszalagról vagy lyukkártyáról kapták. A gépek felépítése processzorközpontú volt, minden adatforgalom a központi feldolgozó egységen keresztül folyt. Csak soros feldolgozásra volt lehetőség, azaz egyszerre csak egyféle művelet volt végrehajtható. A perifériák egyedi, gépenkénti különböző

eszközök voltak, A számítógépek első nemzedékét gépi kódban, majd assembly szintű gépi nyelven programozták. Főleg tudományos és műszaki számításokra használták őket. 2. generáció: tranzisztoros rendszerek (1958-64) Az elektronika technikai fejlődése a számítógépek második nemzedékének megjelenéséhez vezetett. Az elektroncsöveket tranzisztorok váltották föl. Ezek kisebbek, gyorsabbak, megbízhatóbbak voltak és kevesebb hőt termeltek. A szilárdtest-elektronika alkalmazásával a géptervezésben megjelent a modularitás vagyis a blokkelv. A számítógép különböző részeit egyedi egységekként építették, lehetővé téve a rendszer könnyű bővítését az egész számítógép kicserélése nélkül. Megjelentek az önálló, a központi egységgel párhuzamosan működő csatornák. A számítógép struktúrája a központi tár köré szerveződött. A hagyományos perifériák mellett elterjedtek a nagy tömegű adat és

program tárolását és gyors átvitelét biztosító mágneslemezes és mágnesszalagos háttértárak. Az operatív tárak ferritgyűrűs felépítésűek, megbízhatóbbak, gyorsabbak, nagyobb kapacitásúak lettek. Megjelentek a gépcsaládok: a különböző teljesítményű, de azonos módon programozható, azonos perifériákat használó „kompatíbilis” számítógépek (közülük legismertebb az IBM 360-as gépcsalád). Megnőtt a software jelentősége. A gyártók egyre több kész programot adtak gépeikhez Kialakultak a magas szintű programnyelvek: FORTRAN, ALGOL, COBOL, stb. Készült az Európai Unió támogatásával 4 Számítástechnikai alapismeretek Kiss Gábor – Baráti Tibor – Vinnai Zoltán 3. generáció: integrált áramkörök (1964-71) A számítógépek harmadik nemzedékében az integrált áramkörök váltották föl a tranzisztorokat. Ez ismét a sebesség növekedésével és a méretek, valamint a teljesítményfelvétel

csökkenésével járt. Megkezdődött a kisszámítógépek gyártása. Általánossá vált a nagy kapacitású félvezetős tárak alkalmazása. Elterjedt a multiprogramozott üzemmód, amelynél több, futásra kész program váltakozva használja a számítógépet, lehetővé téve valamennyi funkcionális egység jó kihasználását. Időosztásos rendszereket fejlesztenek ki: egyidejűleg több felhasználó veszi igénybe a számítógép szolgáltatásait a géptől távolabb telepített terminálok segítségével. Több számítógépet kapcsolnak össze hálózattá, melyet távadatfeldolgozó software támogat. 4. generáció: nagyfokú integrálás (1971- ) A negyedik nemzedék megjelenése nem annyira egyértelmű, mint az előző háromé. A szakirodalomban vannak olyanok, akik a „három és feledik" generációról beszélnek, sőt olyanok is, akik szerint értelmetlen generációkról beszélni. Mindenesetre a félvezető technológia fejlődése a nagy

és nagyon nagy integráltsági fokú áramkörök (LSI, VLSI) megjelenését eredményezte. Lehetővé vált a mikroprocesszorok gyártása Az ezeken alapuló nagyteljesítményű mikroszámítógépek mindinkább mindennapivá válnak. 5. generáció: nagyfokú integrálás (1980- ) A továbbfejlesztett mikroprocesszorok generációja, amely még tart napjainkban is. 1.3 Számítógép generációk néhány jellemző adata Technológia méret áramköri elem/cm2 a sebesség nagyságrendje 1. 2. 3. 4. Elektroncső Tranzisztor Integrált áramkörök LSI, VLSI 3-4 50 - 60 30-40 ezer 200 ezer millisec microsec nanosec picosec másodpercenkénti műv.száma tárkapacitás (byte) ár/ millió byte hibátlan üzem 2 3000 12000 1-8000 4000-64000 100000 $ 29000 $ percekig napokig 43000 több millió 32000-4 millió 4000 $ egy hétig 0,5 - 32 millió 450 $ hetekig A számítógépek felépítése, rendszertechnikai egységei Minden egyes számítógép két fő

alkotórészből áll: 1./ hardware 2./ software 1./ A hardware azokat a készülékeket és berendezéseket jelenti, amelyekből a számítógép áll 2./ A software a számítógép működéséhez és információ feldolgozásához szükséges programot, programozási nyelvet, dokumentációt vagy szakirodalmat jelenti. Készült az Európai Unió támogatásával 5 Számítástechnikai alapismeretek Kiss Gábor – Baráti Tibor – Vinnai Zoltán A software fő alkotóelemei a programok, amelyek előírják a számítógépnek, hogy a feladatok megoldásához milyen sorrendben, mit kell tenni. A programok utasításokból állnak Ezek előírják a számítógépnek, hogy - mely egységektől kap adatokat, hogyan kell ezeket feldolgozni és tárolni, mely egységeken át kell az eredményeket kiadni. Az információ feldolgozás folyamatában tehát a hardware és a software együtt működik. 2.1 A számítógép felépítésének tömbvázlata Fix tár (ROM)

CIMSIN memória ADATSIN CPU I/O tár (RAM) VEZÉRLŐSIN I/O egységek I/O: input-output (be- és kiviteli, írható és olvasható) A mikroprocesszor fő hardware-funkciói a következők: - adatok beírása a tárba (MEMW) - adatok olvasása a tárból (MEMR) - adatok írása kiviteli eszközre (I/OW) - adatok olvasása kiviteli eszközről (I/OR) - belső regiszterművelet végrehajtása 2.11 CPU - 2.111 regiszterek ALU Vezérlő áramkörök funkcionálisan össze vannak kapcsolva Regiszterek Átmeneti tárolásra használatosak a CPU-ban. - Akkumulátor Általában az ALU ( Aritmetic Logical Unit ) által kezelendő operandusok egyikét tárolja. A legtöbb utasítás arra utasítja az ALU egységét, hogy valamelyik regiszter (vagy memória) tartalmával végezze el az utasításban definiált műveletet és az eredményt tárolja az akkuban. Készült az Európai Unió támogatásával 6 Számítástechnikai alapismeretek Kiss Gábor – Baráti Tibor – Vinnai

Zoltán - Programszámláló (Program Counter - PC) Egy programot alkotó utasításokat a rendszer program memóriájában tároljuk. A CPU minden egyes utasítás lehívásakor (FETCH) 1-et hozzáad a PC tartalmához (utasítástól függően), így a PC mindig a következő utasításra mutat. Az utasításokat a programozó egymás után következő címekre írja úgy, hogy a kisebb címek tartalmazzák az először végrehajtandó utasításokat, a nagyobb címek a későbbieket. Ezt a sorrendi szabályt csak ugró utasítás (jump) szegheti meg Az ugrási utasítás tartalmazza az őt követő utasításnak a címét. Ugrás végrehajtásakor a CPU a PC tartalmát kicseréli az ugrási utasításban megadott címmel. Ha a CPU egy call utasítást kap, akkor megnöveli a PC tartalmát és azt a stackban tárolja. Ennélfogva a stack tárolja annak az utasításnak a programmemória címét, amelyet a subrutin befejezése után végre kell hajtani. Ezután a CPU a call (subrutin

hívás) utasításban tárolt címet betölti a PC-be A következő lehívott utasítás így a subrutin első lépése lesz. (Return: a subrutin utolsó utasítása) PC = STACK tetején lévő cím. - STACK pointer (SP) - akkumulátor és más regiszterek tartalma bevihető a STACK( magyarul: verem)-be, illetve a STACK-ből ezen regiszterekbe kivihető az SP-ban tárolt cím révén. - Utasítás-regiszter és dekóder A CPU egy utasítást két lépésben hív le. Először a feldolgozó átküldi a PC-ben tárolt címet a program memóriába (PM). Ezután a PM visszaküldi a CPU-ba a cím által kiolvasott tartalmat (az utasítás kódját). A CPU ezt az utasításregiszterben tárolja és arra használja fel, hogy az utasítás végrehajtása során a tevékenységet irányítsa vele: CPU ⇒ PC ⇒ cím PM ⇒ utasítás kód CPU ⇒ tárolás UR - Cimregiszterek A CPU egy regisztert vagy regiszter párt használhat annak a tároló helynek (memória cím) a

tárolására, amellyel kapcsolatot (írás, olvasás) akar teremteni. 2.112 ALU Funkciója: az utasításban foglalt bináris adatokon az aritmetikai, illetve logikai műveletek végzése (hardware kivonás; Boole műveletek; léptetés). Az ALU jelző-biteket (flag-ek: zászlók) is tartalmaz. Ezek olyan feltételeket specifikálnak, amelyek az aritmetikai, ill. logikai műveletek során keletkeznek: - átvitel bit - zérus bit - paritás bit - előjel bit Készült az Európai Unió támogatásával / carry : /zero: /parity: /sign: C/ Z/ P/ S/ 7 Számítástechnikai alapismeretek 2.113 Kiss Gábor – Baráti Tibor – Vinnai Zoltán Vezérlő egység Miután egy utasítás lehívása és dekódolása megtörtént, a vezérlő áramkör kiadja a megfelelő jeleket az utasításban előírt tevékenység elindítására. 2.12 Memória: A memóriában találhatók azok az adatok és utasítások, amelyek a feldolgozáshoz szükségesek (gépi kodú programok és a

hozzájuk tartozó adatok). A memória két fő részből áll a ROM-ból és a RAM-ból: A ROM (Read Only Memory): csak olvasható memória. Ez azt jelenti, hogy a memóriának ebből a részéből információt csak kiolvashatunk. A RAM (Random Access Memory): véletlen hozzáférésű memória, de inkább az írható és olvasható memória a jobb elnevezés. A memóriának ebbe a részébe információt írni és belőle információt kiolvasni egyaránt lehet. Ha egy parancsot adunk a számítógépnek, vagy ha egy programot hajt végre, akkor ez a RAM-ban kell hogy legyen. Ahhoz, hogy a memóriában elhelyezett adatok között tájékozódni lehessen, a tárat kisebb egységekre, ún. vezetett rekeszekre kell osztani Ezeket a rekeszeket meg kell számozni, így kapjuk meg a címüket. A rekeszek hossza nem egységes a különböző számítógépeknél A memória általában modulszerűen építhető, bővíthető és fejleszthető. Létezik egy minimális memóriaméret, amely a

működéshez alapvetően szükséges. A memória minimális mérete számítógép típusonként eltérő. A memóriával szemben kettős követelményt kell támasztanunk. Egyrészt nagy legyen a tárolási kapacitás, másrészt rövid a hozzáférési idő, (az az időtartam, amely alatt egy tetszőleges információegység kiolvasható, illetve bevihető). Mivel az adatok tárolására általában kevés a memória, illetve a gép kikapcsolását követően a RAM elveszti a tartalmát, szükség van ún. háttértárak alkalmazására A háttértár feladata, hogy a pillanatnyi működéshez nem szükséges – nagy mennyiségű információt tárolja. A háttértárakon tárolt programok, illetve adatok szükség esetén rövid idő alatt a memóriába kerülhetnek. A leggyakrabban alkalmazott háttértárak a mágneslemezes, mágnesszalagos, mágneskazettás egységek. A háttértárak minden esetben egy meghajtó egységből (driver) és valamilyen adathordozóból állnak.

Adathordozó pl.: mágneslemez, mágnesszalag, stb 2.13 Be- és kiviteli egységek: A bevitel (input) és kivitel (output) funkcióit a központi egységeken kívül kell ellátni. Ezt a feladatot a párbeszédes (interaktív) berendezések látják el, melyek olyan eszközök, amelyekkel a számítógép használója adatokat, utasításokat tud a gépbe bevinni a számítógép számára érthető formában, illetve a számítógép üzeneteket tud küldeni a felhasználónak (eredmények, kérések, hibajelzések). Készült az Európai Unió támogatásával 8 Számítástechnikai alapismeretek Kiss Gábor – Baráti Tibor – Vinnai Zoltán Ezek billentyűzettel és képernyővel (terminál, display), vagy nyomtató berendezéssel ellátott eszközök. Vannak olyan speciális berendezések, amelyeken keresztül csak bevitel, illetve csak kivitel valósítható meg. A központi egységekhez kapcsolt külső adattároló eszközöket, illetve mindenfajta be- és kiviteli

eszközt együttesen perifériáknak nevezzük. 2.14 Címsin: A címsin egyirányú különálló digitális jelvezetékek csoportja. Esetünkben ez azt jelenti, hogy a címsin csak szolgáltatja az adatokat. A jelek a mikroprocesszorból vagy a központi feldolgozó egységből erednek és a sinek ezeket a tárhoz és/vagy a be- és kiviteli eszközökhöz szállítják. A címsin feladata éppen az, hogy pontosan meghatározza ennek a kommunikációnak az útját. A címsin engedélyezi (helyezi működésbe) a rendszer azon hardware részét, ami információt továbbít a mikroprocesszornak vagy információt fogad tőle. Az ilye módon kicserélésre kerülő információt adatnak nevezzük. A címsin maga nem továbbít vagy fogad adatokat, mivel kizárólagos feladata, hogy kiválassza, vagy engedélyezze azt a hardware részt, ami az adatforgalmat lebonyolítja. Másképpen megfogalmazva, a címsin azokat a jeleket továbbítja, amelyek kiválasztják és működésbe

helyezik a kommunikációs utat, amelyen azután az adatok áramlanak kiindulási helyüktől a rendeltetési helyük felé. 2.15 Adatsin: A rendszer- adatsin feladata pedig, hogy a mikroprocesszor és a címsin által kiválasztott és engedélyezett külső hardware között kicserélésre kerülő információ továbbítására biztosítsa az átviteli utat. A mikroprocesszor információt (egy byte-ot) küld vagy fogad az engedélyezett hardware-nek vagy hardware-től. Működésének ilyen leírásából azonnal kiderül, hogy az adatsinnek kétirányúnak kell lennie. Másképpen szólva, egyes időpillanatokban adat halad a mikroprocesszor felé, más időpillanatokban pedig a processzortól a rendszer többi eleme felé, de sohasem mindkét irányban egyszerre! 2.16 Vezérlősin: Most már tudjuk, hogy a mikroprocesszor kiválaszthat vagy engedélyezhet egy adott rendszer-címsin segítségével, továbbá, hogy a mikroprocesszor az adatokat az adatsin közvetítésével

fogadhatja vagy küldheti. Ha ezeket az eseményeket közelebbről megvizsgáljuk, azt találjuk, hogy az adatáramlásnak négy különböző lehetősége állhat elő az alábbiak szerint: a./ A mikroprocesszor adatokat továbbít a rendszertár számára b./ A mikroprocesszor adatokat fogad a rendszertárból c./ A mikroprocesszor adatokat továbbít a rendszer adatkiviteli egységeinek d./ A mikroprocesszor adatokat fogad a rendszer adatbeviteli egységeitől A négy lehetőség mindegyike kölcsönösen kizárja egymást, azaz közülük semelyik két esemény sem történhet egyszerre, azonos időpillanatban. A rendszervezérlő sin feladata annak meghatározása, hogy az említett négy esemény közül éppen melyik van folyamatban a központi feldolgozó egységben ( CPU). Készült az Európai Unió támogatásával 9 Számítástechnikai alapismeretek 3 Kiss Gábor – Baráti Tibor – Vinnai Zoltán Számrendszerek Számrendszereknek nevezzük a számok

megnevezésével és lejegyzésével kapcsolatos eljárások összességét. A tízes vagy decimális számrendszerek használata természetes. A tízes számrendszer a 10-es számértéken alapszik. Azaz alapszáma a 10. Érvényes számjegyei: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Az összesen 10 különböző számjegy miatt nevezzük tízes számrendszernek. Írjuk fel például az 1263-at tízes számrendszerben: 1263 = 1 * 10³ + 2 10² + 6 10 + 3 10º Ezt az ábrázolást egyébként helyiértékes ábrázolásnak is nevezzük. Általánosan egy tízes számrendszerbeli szám helyiértékesen felírva a következőképpen néz ki: N= n-1 i Σ a * 10 i=0 i Ahol: N = tetszőleges 10-es számrendszerbeli szám i = futó index 0- tól n-1-ig a = 10-es számrendszer valamely számjegye i i 10 = 10-nek az i-edik hatványa Hosszabb felírással a következő: N = a * 10º + a 10¹ + a 10² + + a * 10ⁿ⁻¹ 0 1 2 n-1 Ha általánosan akarjuk egy tetszőleges alapszámú

számrendszerre felírni, akkor a következő képlet érvényes: n-l i N = Σ a*r i=0 i ahol r: a számrendszer alapszáma Ábrázolható legnagyobb szám: n helyiértéken ábrázolható legnagyobb szám a 10-es számrendszerben: N = 10ⁿ max Készült az Európai Unió támogatásával 1 10 Számítástechnikai alapismeretek Kiss Gábor – Baráti Tibor – Vinnai Zoltán Az n helyiértéken felírható, egymástól különböző számok száma az ún. modulus eggyel több M = 10ⁿ , ahol M: a modulus Általánosan, tetszőleges alapú számrendszerre: N = Max rⁿ - 1 M rⁿ = Összeadás: Pl: 22 ⇒ átvitelek −−−−−−−−−−−−−−−−−−− 865 98 77 1040 Átvitelek képzése: Ha a részösszeg meghaladja a legnagyobb ábrázolható számjegyet (r-1), akkor az eredménynek az adott helyiértéken álló számjegyét a részösszeg/alapszám hányados maradéka adja, az átvitel pedig a hányados értéke lesz.

Kivonás: Pl: 362 - 87 275 „Kölcsön” visszaadása: Ha egy helyiértéken a kivonás közvetlenül nem végezhető el, akkor az alapszámmal növeljük a kisebbítendő számjegy értékét (ezzel a kölcsönnel már biztosan elvégezhető a kivonás). A kölcsönt a következő helyiértéken a kivonás számjegyének 1-gyel való növelésével adjuk vissza. Kivonás visszavezetése összeadásra: komplemens-képzés Komplemens = egy szám kiegészítője Egy szám és komplemensének összege minden helyiértéken adott értéket ad. Ez az érték a komplemens jellemzője. Pl: 352 + 647 = a 352 9-es komplemense, mert összegük minden helyiértékben 9-et ad. 999 Készült az Európai Unió támogatásával 11 Számítástechnikai alapismeretek Kiss Gábor – Baráti Tibor – Vinnai Zoltán A komplementer számok segítségével minden kivonás visszavezethető összeadásra. Ez jelentős tény, ugyanis a szorzás összeadások sorozatára, az osztás kivonások

sorozatára bontható, így végső soron minden aritmetikai művelet összeadásokra vezethető vissza. Pl: Kivonás 467 - 352 115 Végezzünk összeadást 352 komplemense segítségével: 10-es komplemens felhasználásával 352 + 648 ⇒ a 352-nek a tízes komplemense 1000 467 + 648 1115 Kettes számrendszer A bináris (kettes) számrendszer számjegyei: 0 és 1. Pl: 10111 Alakítsuk át pl. az 10111 kettes számrendszerbeli számot tízes számrendszerbeli számmá! 1 * 2⁴ + 0 2³ + 1 2² + 1 2¹ + 1 2º = 23 Az 1-est tartalmazó helyiértékek összeadásával megkapjuk a szám tízes számrendszerbeli értékét. Tizenhatos számrendszer A tizenhatos számrendszer számjegyei: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F Minden pozíción 16 különböző jelet lehet használni. Erre nem elegendő a decimális számrendszer tíz számjegye, ezért a hiányzókat az angol ABC első hat betűjével jelölik. Átszámítások számrendszerek között 1./ p

alapú számrendszerből decimálisba P N N N N N , N N .= N * p⁴ + N p³ + N p² + N p¹ + N + N p⁻¹ + N p⁻² + . Készült az Európai Unió támogatásával 12 Számítástechnikai alapismeretek 4 3 2 1 0 Pl: p = 2 -1 -2 Kiss Gábor – Baráti Tibor – Vinnai Zoltán 4 3 2 1 op -1 -2 10111011 1 * 2⁷ + 0 2⁶ + 1 2⁵ + 1 2⁴ + 1 2³ + 0 2² + 1 2¹ + 1 2º = 187 10111011 = 187 p = 16 C002 12 * 16³ + 0 16² + 0 16¹ + 2 16º = 49154 C002 = 49154 2./ Decimális számrendszerből p alapúba: - táblázat segítségével, horner sémával. Táblázat használata (hexadecimális) n 0 1 2 3 4 5 16ⁿ 1 16 256 4096 65536 1048576 Átszámítás: 2,342,426 = 2 * 16⁵ + 245,274 245,274 = 3 * 16⁴ + 48,668 48,668 = B * 16³ + 3,612 3,612 = E * 16² + 26 26 = 1 * 16¹ + 10 10 = A A szám: 23BE1A Készült az Európai Unió támogatásával 13 Számítástechnikai alapismeretek Kiss Gábor – Baráti Tibor –

Vinnai Zoltán Horner séma alkalmazása p X - A számrendszer alapja = (( N * p + N ) p + N ) * p + .+ N k k-1 k-2 0 Pl: 12345 = ((( 1 * 10 + 2) 10 + 3) 10 + 4) 10 + 5 Az átszámítás menete: 1./ A számot osztjuk p-vel A maradék – az utolsó számjegy 2./ Ha az eredmény # 0, osztjuk p-vel A maradék a következő számjegy, ha = 0, a maradék a következő számjegy. 3./ Megegyezik a 2 ponttal Pl: 2,342,426 hexadec. 2,346,426 10 : 16 = 146,401 A 146,401 1 : 16 = 9150 1 9,150 14 : 16 = 571 E 571 11 : 16 = 35 B 35 3 : 16 = 2 3 2 2 : 16 = 0 2 Az eredmény : 23BE1A Készült az Európai Unió támogatásával 14