Elektronika | Felsőoktatás » A szórt spektrumú moduláció

A szórt spektrumú moduláció A mobil távközlő rendszerekben mind nagyobb teret hódítanak az ún. szórt spektrumú modulációs rendszerek, sőt a harmadik generációs mobil távközlésben meghatározó szerepet fognak betölteni. Mivel a szórt spektrumú moduláció és a kódosztásos többszörös hozzáférési technika szoros kapcsolatban áll egymással, ezért ezt a modulációs típust a többi moduláció közül kiemelve, a kódosztással együtt külön fejezetben ismertetjük. 8.2 Szórt spektrumú távközlés alapelve A szórt spektrumú távközlés eredete a II. világháborúig nyúlik vissza Az ellenséges rádiólehallgatás elleni védelem fő eszköze a titkosítás mellett az összeköttetés frekvenciájának időbeli változtatása volt, mely arra késztette a lehallgatót, hogy az új sáv megkeresésének idejére szüneteltesse a megfigyelést. A frekvenciasáv időről-időre történő megváltoztatása megnehezítette a kommunikáció

zavarását is. Idővel az elektronika fejlődése lehetővé tette, hogy a frekvenciákat nem manuálisan, hanem automatikus módon változtassák akár másodpercenként több ezerszer is. A frekvenciasávok gyors váltása együtt jár a jel sávszélességének jelentős növekedésével. Innen kapta a technológia a nevét is Ez elsőre hátránynak tűnhet, de ha belegondolunk, hogy az adott jelteljesítmény egy jóval nagyobb sávban oszlik el, akkor nyilvánvalóvá válik, hogy keskenysávú zavarással a kommunikáció nem akadályozható meg. A hasznos jel sávjának kiterjesztésére az ún. frekvenciaugratáson kívül többféle technikát is kifejlesztettek, mint azt majd látni fogjuk s mindezen technikák gyűjtőneveként használják manapság a szórt spektrum elnevezést. A következőkben a szórt spektrumú moduláció elvét mutatjuk be szemléletesen. A modulációs rendszer általános felépítése az 81 ábrán látható Φj(f ) Φs ( f ) ~ Φ( f )

Kóder c(t) Álvéletlen zaj vagy álvéletlen kód Φt ( f ) Φr ( f ) Szinkronizálás Dekóder (f) Φ Szûrõ c(t) 8.1 ábra A szórt spektrumú rendszer általános felépítése A kódoló bemenetére érkező hasznos továbbítandó jelet, melynek sávszélessége B s , a Φ s ( f ) teljesítményspektrummal jellemezzük. A kódoló a hasznos jelet egy előre definiált c(t) álvéletlen kóddal szorozza meg, ami azt eredményezi, hogy a kódoló kimenetén megjelenő Φ t ( f ) jel sávszélessége (B t ) lényegesen nagyobb lesz, mint a hasznos jelé. Ebből a tulajdonságból ered a szórt spektrumú moduláció elnevezés is. Fontos megjegyezni, hogy a kódoló által végzett művelet azzal a speciális tulajdonsággal bír, hogy kétszer egymás után végrehajtva az eredeti jelet állítja vissza. A kódolóban alkalmazott kódsorozat elemeit chip-nek (csip) nevezik megkülönböztetésül a hasznos jel bitjeitől. A kódoló kimenetéről a jel a

rádiócsatornába jut ahol keskenysávú zavaró jel ( Φ j ( f ) ) adódik hozzá teljesítménysűrűségben additív módon. A dekóder bemenetére érkező Φ r ( f ) jelen a dekóder ismét végrehajtja a kódolásnál alkalmazottal megegyező kódsorozattal a transzformációt, aminek eredményeképpen a hasznos jel sávszélessége visszacsökken az eredeti értékre, míg a zavaró jel esetében megnő. Ennek következtében a hasznos jel sávjába eső zajteljesítmény lényegesen kisebb lesz, mintha nem alkalmaztuk volna a kétszeri transzformációt. Φs ( f ) Φj(f ) Φt ( f ) St 0 = S s0 S j 0 Bs S j0 Bt f f f Bs Bj Bt Φr ( f ) ~ Φ( f ) Bs Bj S j0 S j0 St 0 Bj (f) Φ S j0 S s0 Bt f Bj Bt S s0 f f Bt Bt Bs 8.2 ábra Jelek teljesítményspektruma a modulációs rendszer különböző pontjain Határozzuk meg a szórt spektrumú moduláció alkalmazásával elérhető kimeneti jel-zaj viszony javulást. A 82 ábra jelöléseivel Pjel

Pzavar = Ss 0 Bs = Bj S j 0 Bs Bt Ss 0 Bs Bt , S j0 Bj B s   Processing P jel gain    Pzavar  eredeti ahol azonos sávszélességű hasznos jelet és zavart feltételezve Pjel Pzavar B j = Bs = S s 0 Bt . S j 0 Bs Az eredmény azt mutatja, hogy a spektrum kiterjesztése következtében a jel-zaj viszony éppen PG = Bt Bs mértékben javul ahhoz az esethez viszonyítva, ha a zavaró jel közvetlenül okozna interferenciát a csatornában, azaz a zavar elnyomása megegyezik a sávszélesség kiterjesztés mértékével. A PG mennyiséget Processing Gain-nek nevezi a szakirodalom. Mint azt láttuk, a sávkiterjesztés speciális kódsorozat segítségével történik. Ha ezeket a kódokat úgy választjuk meg, hogy egymástól egyértelműen megkülönböztethetők legyenek, akkor a szórt spektrumú modulációval egy új többszörös hozzáférési technika hozható létre. Az egyes felhasználók ugyanabban az időintervallumban és

ugyanabban a frekvenciasávban kommunikálnak egymással, közöttük pedig a kódok alapján teszünk különbséget. Ezért ezt a fajta, szórt spektrumú modulációt alkalmazó többszörös hozzáférési rendszert kódosztásos hozzáférésnek (Code Division Multiple Access, CDMA) nevezik. A fentiek ismeretében a szórt spektrumú moduláció, illetve a kódosztásos rendszerek előnyeit az alábbiakban foglalhatjuk össze Pont-pont összeköttetés esetén • Erős védettség a frekvenciaszelektív (kis sávszélességű) szándékos és természetes (fading) zavaró jelekkel szemben. • A sávkiterjesztés miatt lecsökken a jel spektrális sűrűsége, azaz adott frekvenciára eső teljesítménye. Ezáltal ♦ a jel egyrészt nehezebben fedezhető fel a rosszindulatú zavaró/lehallgató számára, másrészt ♦ csökken a jel által képviselt elektronikus szennyezés, azaz csökken a többi felhasználót érő zavaró hatás. Többszörös hozzáférésű csatorna

esetén • FDMA és TDMA rendszerekben adott sávszélességben egzaktul meghatározható a felhasználói csatornák száma. Szórt spektrumú esetben a felhasználók számának csupán lágy korlátozásáról beszélünk, ami azt jelenti, hogy mindaddig beléphetnek újabb felhasználók a csatornába amíg a belépésük okozta zajnövekedés a többi előfizető számára elviselhető. • Időosztásos (TDMA) rendszerekkel szemben nincs szükség szinkronizációra s így védőrésekre sem az egyes időrések között. • Hasonlóan az előzőkhöz, a frekvenciaosztásos (FDMA) rendszerekkel szemben nincs szükség védősávok alkalmazására. • A cellás rendszerekben nincs szükség frekvencia tervezésre, hiszen minden cellában ugyanabban a sávban kommunikálnak, így nő a frekvenciasáv kihasználásának hatékonysága. • A kódolókban különböző kódokat használva lehetővé válik a kódmultiplexálás. Ugyanakkor fellép egy új, megoldásra váró

feladat az ún. közel-távol hatás problémája, mely a jelenlegi rendszerekben nem okozott gondot. Ez a következőt jelenti. A bázisállomás minden mobil felé azonos teljesítménnyel sugároz, melyet minden mobil a bázisállomástól való távolságától függő csillapítással vesz. Ugyanakkor, ha minden mobil azonos teljesítménnyel adna a bázisállomás felé akkor a bázisállomás helyén a vett eredő jelben az egyes mobilok jelei az eltérő távolságok miatt különböző arányban szerepelnének, akár el is nyomhatnák egymást. Ezért elengedhetetlen, hogy a mobilok teljesítményüket folyamatosan úgy szabályozzák, hogy jelük a bázisállomásnál egyforma teljesítménnyel jelenjen meg. 8.3 A szórt spektrumú modulációs rendszerek típusai A spektrum kiterjesztése többféle módon is lehetséges attól függően, hogy a {c i } chipsorozatot miként használjuk. A következőkben a szórt spektrumú moduláció alaptípusait tekintjük át. 8.31

Direkt szekvenciális szórt spektrumú moduláció Ebben az esetben az üzenet minden egyes d n szimbólumát egy álvéletlen {c i } kódsorozat chipjeivel szorozzuk meg a 8.3a ábrán látható módon Lényeges, hogy a chipidő lényegesen kisebb mint a szimbólumidő (T chip <<T s ). Az így kapott chipsorozat minden chipjéhez egy g c (t) elemi jelalakot rendelünk a már jól ismert módon (Dirac-függvény és szűrő alkalmazásával). Végül a jelet a kívánt f 0 vivőfrekvenciára ültetjük. δ (t − i Tchip − n Ts ) {d n } Ts gc ( t ) Kimeneti jel s( t ) cos( 2π f 0 t ) Bináris kód {ci } Tchip 8.3a ábra A direkt szekvenciális adó felépítése Határozzuk meg a DS modulátor kimenő s(t) jelét. A 83a ábra alapján +∞ N −1 n =−∞ i =0 s(t ) = 2 P cos(2π f 0 t ) ∑ d n ∑ ci g c (t − n Ts − i Tchip ) , ahol P a vivő jel teljesítménye, N pedig a kódsorozat chipjeinek száma. A chipés szimbólumidő között nyilvánvalóan a Ts

= N ⋅ Tchip kapcsolat áll fenn Vegyük észre, hogy korábbi gyakorlatunk alapján a g (t ) = N −1 ∑c i =0 i g c (t − i Tchip ) mennyiséget úgy is tekinthetjük mint a d n szimbólumhoz tartozó elemi jelet, ahol gc (t ) az ún. chip elemi jel A kimenő jelet tovább írhatjuk az +∞ s(t ) = 2 P cos(2π f 0 t ) ∑ d n g (t − n Ts ) , n =−∞ alakban, ahol az Al = dn ci ; l = n + i ; i = 0,1, . , N − 1 helyettesítéseket alkalmazva a kimenő jel +∞ s(t ) = 2 P cos(2π f 0 t ) ∑ Al g c (t − l Tchip ) l =−∞ módon is felírható. Az utóbbi leírás azt fejezi ki, hogy egy bitet egy N elemű kódszóba kódolunk és a kódszó elemeit g c (t ) elemi jellel visszük át, míg a korábbi alak szerint egy bitet egy g (t ) elemi jellel viszünk át. Mindkét felfogáshoz fizikai megvalósítás is rendelhető. Ilyen speciális g(t) függvény felületi hullámú szűrőkel állítható elő, mely egyben a vivőfrekvenciára való ültetést is megoldja.

Mindehhez elegendő bitenként egy keskeny impulzussal gerjeszteni a szűrőt. A g c (t ) alapú megoldást pedig memóriák és shiftregiszterek segítségével lehet előállítani DSP processzorokkal. A direkt szekvenciális modulált jel szemléltetéséhez a lehető legegyszerűbb g c (t ) négyszögjel elemi jelalakot alkalmazzuk 1 ; 0 ≤ t < Tchip g c (t ) =  . ; egy bk nt 0 é é  Tegyük fel, hogy szimbólumforrás bináris (±1 értékeket ad) és a chipsorozat a 8.3b ábra szerinti g(t ) 1 -1 c0 c1 cN-1 t Tc Ts 8.3b ábra Az alkalmazott chipsorozat Ekkor az adó jele a vivőfrekvenciás moduláció előtt a 8.3c ábrán látható módon szemléltethető. +∞ ∑d n n = −∞ g (t − n Ts ) dn = 1 1 dn = -1 t -1 n Ts (n+2) Ts (n+1) Ts 8.3c ábra Direkt szekvenciális alapsávi jel időtartománybeli ábrázolása 8.32 Lassú frekvenciaugratásos moduláció A frekvenciaugratásos technika lényege, hogy egy álvéletlen kódsorozat

chipjeinek megfelelően változtatjuk a vivőjel frekvenciáját. Abban az esetben, ha a frekvenciaváltás több szimbólumot is átfog időben, lassú frekvenciaugratásról beszélünk, míg ha szimbólumonként többször változik a frekvencia, akkor gyors frekvenciaugratásról. Mielőtt rátérnénk a lassú frekvenciaugratásos adó felépítésének tárgyalására néhány jelölést rögzítünk L: a chip és a szimbólumidő arányát adja meg K: a szimbólum és a bitidő arányát jelöli Q: az alkalmazott frekvencialépcsők száma A 8.4a ábrán a lassú frekvenciaugratásos adó felépítése látható {d n } Ts Mod. x(t ) 2π f 0 t + 2π f (t ) PM, FM Kódgenerátor s(t ) ci Frekv. szintézer 8.4a ábra Lassú frekvenciaugratásos adó felépítése A T s időnként érkező d n szimbólumok valamilyen hagyományos moduláción mennek keresztül (pl. BPSK, stb) A modulált jel vivőjének frekvenciáját a frekvenciaszintézer segítségével a kódgenerátor

chipjeinek megfelelően elhangoljuk diszkrét lépcsőkben és egyben az f 0 vivőfrekvenciára is ültetjük. A szintézer kimenetén a vivőfrekvencia nélkül az alábbi jel jelenik meg f (t ) = +∞ L −1 ∑∑c l =−∞ i = 0 i ∆f g c (t − i Tchip − l L Tchip ) , ahol L a chipsorozat periódusa, ∆f pedig a frekvencialépcső értéke. Megjegyezzük, hogy c i általános esetben nem bináris szám, hanem tetszőleges pozitív egész értékeket vesz fel ci = 0,1, 2, . , Q − 1 Az egyszerűség kedvéért legyen a chip elemi jelalak továbbra is négyszögjel 1 ; 0 ≤ t < Tchip g c (t ) =  . ; egy bk nt 0 é é  A tényleges jel az x(t)-t előállító alapmodulációtól frekvenciaugratás miatt Tchip = L ⋅ Ts . BPSK moduláció esetén az adó kimenő jele függ. A lassú t   s(t ) = 2 P ∑ dn g(t − nTs ) cos 2π f 0 t + 2π ∫ f (σ ) dσ  ,   n=−∞ −∞ +∞ ahol g(t) a BPSK modulációnál alkalmazott elemi

jel. BFSK moduláció esetén látszólag bonyolultabb eredményt kapunk t  +∞ s(t ) = 2 P cos(2π f 0 t + 2π ∫  ∑ d n ∆f m g (σ − n Ts ) +  −∞ n =−∞ + +∞ L −1 ∑∑c l =−∞ i = 0 i  ∆f g c (σ − i Tchip − l L Tchip ) dσ ,  ahol ∆f m frekvenciával hangoljuk a vivő alá vagy fölé a jel frekvenciáját a BFSK modulációnak megfelelően. A 84b ábra szemlélteti a lassú frekvenciaugratás lényegét. Jól megfigyelhető, hogy egy frekvencián (két frekvenciaugratás között) több szimbólum is adásra kerül. f (t ) ∆f Q -1 Q -2 Tchip ∆ fm i Ts =Tb 4 3 2 1 0 BFSK t Tchip 0 1 2 3 L -2 L -1 8.4b ábra Lassú frekvenciaugratás szemléltetése A következő alfejezetekben két gyors frekvenciaugratásos modulációs technikát mutatunk be. 8.33 Frekvencia kódolt frekvenciaugratásos moduláció A gyors frekvenciaugratásnak két alesetét fejlesztették ki. A frekvenciakódolt gyors frekvenciaugratás

esetén egy szimbólum ideje alatt többször is változik a vivőfrekvencia. Minden szimbólumot tulajdonképpen egy kétdimenziós frekvenciaminta azonosít, hasonlóan a középkorban alkalmazott titkosítási rácsokhoz, ahol a megfelelő helyen kilukasztott rácsot ráhelyezve a papírlapra a kijelölt betűk hordozták az üzenetet. Ennél a technikánál is az tudja detektálni a vett jelből a küldött információt, aki birtokában van annak, hogy mikor, melyik frekvencián kell figyelnie. {dn} Tb Bináris forrás MFSK–FFH K bites Ts S/P átalakító Kódoló Frekv. szintézer s(t) Q = 2K Tchip {ci} 8.5a ábra Frekvenciakódolt gyors frekvenciaugratás adó felépítése Az adó felépítése MFSK moduláció esetén a 8.5a ábrán látható A bináris forrásból érkező {d n } biteket egy soros/párhuzamos átalakító segítségével K bites szavakká fogjuk össze T s időnként. Ezek a szavak egy 2 K × 2 Q méretű mátrix sorait címzik meg. A kódoló a

beérkezett K bites szó alapján a mátrixból kiválasztott Q hosszúságú chipsorozattal vezérli a frekvenciaszintézert. Minden egyes chip az MFSK modulációnak megfelelően adott frekvencialépcső c i -szeresével hangolja el a vivőfrekvenciát. Q -1 Q -2 f (t ) ∆f i 4 3 2 1 0 L -2 L -1 0 1 2 3 Tchip Ts t Tchip 8.5b ábra Frekvenciakódolt gyors frekvenciaugratás szemléltetése A gyors frekvenciaugratás miatt Ts = L ⋅ Tchip és a frekvencialépcsők száma tipikusan Q = 2 K . A 85b ábrán a frekvenciakódolt gyors frekvenciaugratás szemléltetése látható. 8.34 Fázis kódolt frekvenciaugratásos moduláció A gyors frekvenciaugratás másik alesete amikor nem a frekvenciaminta, hanem a fázis hordozza az információt. Az adót a 86a ábrán rajzoltuk fel A szimbólumforrás {d n } bitjei a frekvenciakódolt frekvenciaugratásos adóhoz hasonlóan itt is egy soros/párhuzamos átalakítóra kerülnek, amelynek kimenetén T s szimbólumidőnként K

bites szavakat állítunk elő. Ezek a szavak egy olyan 2 K × 2 Q méretű mátrix sorait címzik meg, melynek sorai ortogonálisak egymásra. A kódszó által megcímzett sor bitjeit chipidőnként kiolvasva egy, a DPSK modulációnál már megismert differenciális kódolóra kerülnek. Ezzel a bitsorozattal szorozzuk meg azután a {c i } chipsorozat által vezérelt fáziskoherens frekvenciaszintézer kimenő jelét A gyors frekvenciaugratás miatt Ts = L ⋅ Tchip , a szimbólum- és bitidő között pedig a Ts = K Tb kapcsolat áll fenn. Ebből következik, hogy 2 K = Q = L választás esetén Ts = 2 K Tchip és K Tb = 2 K Tchip , amiből Tchip = K Tb 2K adódik a chip- és bitidő közötti összefüggésre. A modulációhoz szükséges speciális tulajdonságú mátrixot (sorai ortogonálisak egymásra) Hadamard-mátrixnak hívják és az alábbi rekurzív szabály alapján állítható elő H0 = 1,  H0 H1 =  − H 0 H0  , H 0   Hi −1 Hi = 

− Hi −1 {dn} Tb Bináris forrás Hi −1  . Hi −1  Differenciális kódoló K bites Ts S/P átalakító Fázis- Tchip kódoló Q = 2K {ci } Tchip Ts Frekv. szint. 8.6a ábra Fáziskódolt gyors frekvenciaugratás adó felépítése s(t) Összefoglalva a fentieket elmondhatjuk, hogy ennél a modulációs technikánál minden egyes szimbólumot ugyanazzal a frekvenciamintával továbbítanak, ahogy az a 8.6b ábrán is látható, de a két egymást követő szimbólum ugyanazon chipjének megfelelő vivőfrekvencián átvitt információk között differenciális kódolást alkalmaznak. f (t ) ∆f differenciális fáziskódolás Q -1 Q -2 i 4 3 2 1 0 t Tchip L -1 0 1 0 1 L -1 8.6b ábra Fáziskódolt gyors frekvenciaugratás szemléltetése 8.4 A direkt hibaanalízise szekvenciális többszörös hozzáférésű rendszer A következőkben a leginkább elterjedt direkt szekvenciális szórt spektrumú modulációra épülő többszörös

hozzáférésű rendszer hibaanalízisét végezzük el. Modellünk a következő A rendszerben M db előfizető kommunikál egyidejűleg, melyeket a k futóindexszel azonosítunk. Tegyük fel, hogy az i-dik felhasználó adását a j-dik előfizetőnek küldi. A közös frekvenciasáv miatt a csatorna zaja mellett a többi előfizető adása is zavarólag hat az i és j közötti kommunikációra, ezért fellép az ún. rendszerzaj jelensége Feladatunk tehát a termikus és rendszerzaj által befolyásolt jel-zaj viszony meghatározása. Tudjuk, hogy az i-dik felhasználónál a d n szimbólumot a g (i ) (t ) = N −1 ∑c l =0 (i ) l g c (t − lTchip ) elemi jellel visszük át, ahol cl(i ) ∈ {+1,−1} jelöli a chipsorozat l-dik chipjét, N a chipsorozat hossza és feltesszük, hogy N>>1. Legyen a chip elemi jel a jól bevált négyszögjel 1; g c (t ) =  0; 0 ≤ t < Tchip egyébként . Ekkor a j-dik vevő bemenetén az M r (t ) = s (t ) + ∑ s( k

) (t − τ k ) + n(t ) ( j) k =1 k≠ j eredő jelet vesszük. Az egyes előfizetőktől τ k késleltetéssel érkeznek a jelek a vevőbe. Közelítésként feltételezzük, hogy a késleltetések a chipidő egész számú többszörösei, azaz τ k = l k Tc . Ezt bátran megtehetjük az N>>1 kikötés miatt A csatorna n(t) zaját pedig N 0 paraméterű Gauss-zajjal írjuk le. Korrelációs vevőt alkalmazva, ami a vett jelet külön-külön valamennyi (k ) g (t ) elemi jellel beszorozza és a szimbólumidőre integrálja, az n-dik időrés végén az alábbi jelet kapjuk a j-dik vevőben teljes szinkron esetén ( τ k = 0 ) 1 r (t ) = Ts + 1 Ts Ts N −1 0 l =0 ( ) Pj ∫ d n( j ) ∑ cl( j ) M ∑ Ts N −1 0 l =0 2 g c2 (t − l Tchip ) dt + Pk ∫ d n( k ) ∑ cl( j ) cl( k ) g c2 (t − l Tchip ) dt + k =1 j≠k T N −1 1 s + ∫ n(t ) ∑ cl( j ) g c (t − l Tchip ) dt . Ts 0 l =0 A fenti a kifejezés sorrendben az alábbi három tagból áll • a

hasznos jel • a rendszerzaj • a termikus zaj. A jel-zaj viszony számításához, határozzuk meg külön-külön az egyes jeleket a korrelátor kimenetén. A hasznos jel 1 Ts Ts N −1 0 l =0 ( ) Pj ∫ d n( j ) ∑ cl( j ) 2 g c2 (t − l Tchip ) dt = 1 Ts N −1 Pj ∑ d n( j ) l =0 ahol felhasználtuk, hogy Ts ∫g és (c ) ( j) 2 l 2 c (t − l Tchip ) dt = 0 Ts = Tchip N = 1. A rendszerzaj 1 Ts M ∑ k =1 j≠k Ts Pk ∫ d 0 (k ) n N −1 ∑c l =0 ( j) (k ) l l c g c2 (t − l Tchip ) dt = Ts = d n( j ) Pj , N 1 Ts = M ∑ k =1 k≠ j Pk N −1 ∑ cl( j ) cl( k ) d n( k ) l =0 Ts 1 = N N M ∑ Pk k =1 k≠ j N −1 ∑c l =0 c d n( k ) . ( j) (k ) l l A termikus zaj T T N −1 1 s 1 s ( j) n(t ) ∑ cl g c (t − l Tchip ) dt = ∫ n(t ) g (t ) dt . Ts ∫0 Ts 0 l =0 A jel-zaj viszony ezek után az alábbi módon számolható: A jel teljesítménye (d ( j) n Pj ) 2 = Pj . A termikus zaj teljesítménye 2  1

Ts  1 E ∫ n(t ) g (t ) dt  = 2 Ts  Ts 0  Ts Ts 1 = 2 Ts Ts Ts ∫ ∫ E[n(t ) n( ρ )] ⋅ g (t ) g ( ρ )dt dρ = 0 0 ∫∫N 0 ⋅ δ (t − ρ ) ⋅ g (t ) g ( ρ )dt dρ = 0 0 T s N 1 = 2 N 0 ∫ g 2 (t ) dt = 0 . Ts Ts 0 A rendszerzaj teljesítménye Jó közelítéssel feltehetjük, hogy cl( j )cl( k ) dn( k ) j-ben és k-ban független ±1 értékkészletű valószínűségi változó, ezért a rendszerzaj teljesítménye   1 E 2 N   M   ∑ Pk  k =1  k≠ j  ( j) (k ) (k )  cl cl d n  ∑  l =0  N −1 2   1 = 2  N   N −1 ( j ) ( k ) ( k )  2  Pk E ∑ cl cl d n   = , ∑   k =1  l = 0 k≠ j M ahol felhasználva, hogy az egyes előfizetőkhöz rendelt kódok chipjei valamint az egy kódon belüli chipek is függetlennek tekinthetők egymástól, azaz [ [ ] ] E ci( j ) ct( k ) = 0 és E ci( j ) ct( j ) = 0 , ezért a rendszerzaj

teljesítménye 1 N2 M [( ∑ Pk N E cl( j ) cl( k ) d n( k ) k =1 k≠ j ) 2 ] = A jel-zaj viszonyt most már könnyen fel tudjuk írni 1 N M ∑P k =1 k≠ j k . γ = Pjel Pzaj = Pj Esj , = M N0 1 1 M + ∑ Pk N0 + ∑ Esk Ts N k =1 N k =1 k≠ j k≠ j ahol a szimbólumenergiára az E sj = Pj Ts összefüggést alkalmaztuk. Ha N nagy, akkor alkalmazható a Gauss-i közelítés, azaz a bithibavalószínűség jó közelítéssel megegyezik a BPSK modulációra kapott eredménnyel    Esj 1 1 Pb ≅ erfc γ = erfc 1 M 2 2  N + ∑ Esk 0  N k =1  k≠ j  ( )        1 Esj 1    = erfc ,  E 1 EI sj  N0  2   1+  N E N  sj 0    ahol a teljes interferencia M EI = ∑ Esk , k =1 k≠ j az interferencia-jel arány pedig EI . Esj Pb 20 dB 10–1 15 dB 10–2 10 dB 10–3 10–4 -∞ dB 10–5 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 10 lg(Es / N0 ) [dB] 8.7 ábra Bithibaarány

jel-zaj viszony függése az interferencia-jel arányban paraméterezve A 8.7 ábrán a bithibaarány jel-zaj viszony függését ábrázoltuk az interferencia-jel arányban paraméterezve. Jól látható, hogy ha a jel teljesítményéhez képest az interferencia nagyon kicsi, akkor visszakapjuk a fadingmentes csatornára jellemző görbét. Ehhez képest az interferencia növekedése ront a bithibaarányon