Matematika | Valószínűségszámítás » Kis-Zombori - Valószínűségszámítás elmélet

Heller Farkas Gazdasági és Turisztikai Szolgáltatások Főiskolája Levelező tagozat GAZDASÁGI MATEMATIKA II. VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS Oktatási segédlet Összeállította: Kis Márta és Zombori Natasa Gazdasági matematika II. Valószínűségszámítás 2008/2009. II félév Gazdasági matematika II. (Valószínűségszámítás) tantárgy rövid ismertetője Óraszám: 20 óra előadás A tantárgy célja: Az életben, a gyakorlatban lejátszódó jelenségek nagy része sztochasztikus, ezért nélkülözhe− tetlen a valószínűség−számítás legfontosabb ismereteinek elsajátítása. A tananyag az ese− ményalgebrára és a kombinatorikára épül. Definíciókat, axiómákat, tételeket mondunk ki, bi− zonyítunk és gyakorlati példákon keresztül bemutatjuk az alkalmazásukat. Nagy hangsúlyt fordítunk arra, hogy a hallgató a gazdasági problémákat megismerve, amennyiben lehetséges, matematikai módszerrel oldja meg, és a kapott eredményt

értékelje. A tantárgyban olyan té− mákat dolgozunk fel, amelyek a későbbi szaktárgyak ismeretanyagának elsajátításához szük− ségesek. Kötelező irodalom: ƒ ƒ ƒ Valószínűségszámítás. Matematika közgazdászoknak sorozat, Szerk: dr Csernyák László Tankönyvkiadó, Budapest. Feladatgyűjtemény a gazdasági matematikához I. BGF KVIF, Budapest, 2003 (Szerzők: Czétényi−Felber−Rejtő−Zimányi) Feladatgyűjtemény a gazdasági matematikához II. BGF KVIF, Budapest, 2002 (Szer− zők: Czétényi−Ligeti−Lőrincz) Ajánlott irodalom: ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ Szabó Ilona: Valószínűségszámítás. Kodolányi János Főiskola, Székesfehérvár, 2005 Segédletek az ETR−en. Valószínűségszámítási gyakorlatok, Denkinger Géza, Nemzeti Tankönyvkiadó, Bp, 2000. Valószínűségszámítás, Solt György, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 2000. Szabó Ilona: Valószínűségszámítás példatár. Kodolányi J Főiskola, Székesfehérvár, 2006.

Valószínűségszámítás példatár, Nagyné Csóti Beáta, Nagy duó Bt, Tatabánya, 2003. A hallgatói teljesítmény értékelése: A félév kollokviummal zárul, az itt elérhető maximális pontszám 100 pont. 0−49 pont elégtelen; 50−62 pont elégséges; 63−75 pont közepes; 76−88 pont jó; 89−100 pont jeles. A tantárgyat oktatja: Zombori Natasa főiskolai adjunktus (zombori.natasa@hffhu) 2 Gazdasági matematika II. Valószínűségszámítás 2008/2009. II félév Tanmenet: Blokk I. Blokk Feladatgyűjtemény a gazdasági matemati− kához I. (BGF KVIF) Tananyag Mátrixok. Fogalma, megadása, műveletek vektorokkal, mátrixokkal Mátrixok gazdasági alkalmazása. III. Mátrixok: 40, 48−53, 66 feladat Feladatgyűjtemény a gazdasági matemati− kához II. (BGF KVIF) Tananyag Kombinatorika (permutációk, kombi− nációk, variációk). A binomiális tétel, a binomiális együtthatók tulajdonságai. 1.4 Kombinatorika: 4, 17, 22, 25, 37, 49, 53,

55, 56, 60, 66, 68, 85, 90, 95, 97. feladat Eseményalgebra A valószínűségszámítás axiómái, tételek. 1.1 Eseményalgebra: 19, 20, 21, 22, 23, 24 Klasszikus képlettel megoldható feladatok. Visszatevéses és visszatevés nélküli mintavételek. 1.5 A valószínűségek klasszikus kombinato− rikus kiszámítási módja: 15−17, 30. feladat 1.6 Mintavételes feladatok: 8, 18, 19, 20, 26, 27, 28. feladat V. Feltételes valószínűség. A teljes valószínűség tétele, Bayes tétel. 1.8 Feltételes valószínűség: 2, 3, 11, 12 1.9 A teljes valószínűség tétele, Bayes−tétel: 1, 3, 4, 11, 13, 15, 17, 18. feladat VI. Független események. kísérletsorozat. 1.10 Események függetlensége: 6, 13, 14 1.11 Többszörös és ismételt kísérletek: 21, 22, 23, 24, 30, 31, 34. feladat II. III. IV. 1.3 Valószínűségszám tételek és alkalm: 9 Bernoulli Valószínűségi változók: diszkrét, folytonos. Valószínűségi változók jellemzése:

várható érték, szórás, eloszlásfüggvény, sűrűségfügg− vény. 2. Valószínűségi változók és jellemzőik: 2.16, 2210 feladat VIII. Nevezetes diszkrét eloszlások és jellemzésük (binomiális, hipergeometrikus, Poisson). 3.2 Binomiális eloszlás: 1, 2, 3, 5, 8, 9 3.3 Hipergeom eloszlás: 1, 2, 3, 4, 5, 6 3.4 Poisson eloszlás: 1, 4, 6, 7, 10 feladat IX. Nevezetes folytonos eloszlások (exponenciális, normális). 3.6 Exponenciális eloszlás: 2, 6, 10 feladat 3.7 Normális eloszlás: 1, 2, 3, 4, 9, 14 fel X. Csebisev−egyenlőtlenség. A nagy számok törvénye. 2.3 Csebisev−egyenlőtlenség: 1, 2, 3, 4, 5 4.1 A nagy számok törvénye: 4, 5, 8, 12, 15 VII. 3 Gazdasági matematika II. Valószínűségszámítás 2008/2009. II félév A valószínűségszámítás tárgya Valószínűségszámítás: A matematikának az az ága, amely a véletlen tömegjelenségek összefüg− géseit, törvényszerűségeit kutatja. Pascal a „véletlen

matematikájá”−nak nevezte A természetben, a társadalomban és a gazdaságban lejátszódó folyamatok, jelenségek két fő cso− portba sorolhatók: − szükségszerű vagy determinisztikus jelenségek − véletlen vagy sztochasztikus jelenségek Véletlen jelenségekről akkor beszélünk, amikor a figyelembe vett (vagy vehető) körülmények nem határozzák meg egyértelműen a jelenség lefolyását, annak többféle kimenetelét engedik meg. A véletlen jelenségekkel kapcsolatos megfigyeléseket, kísérleteket véletlen kísérleteknek nevezzük. Véletlen tömegjelenségről akkor beszélünk, ha azonos körülmények között a véletlen kísérlet elvileg akárhányszor megismételhető. Mátrixok Mátrix fogalma, jelölése Mátrixnak nevezzük számok téglalap alakú elrendezését.  1 0 2 Mátrix például: A 2,3 =   . A mátrix első sorának harmadik eleme: a13 = 2 − 1 3 5 Nevezetes mátrixok Nullmátrix 0 pl.: 0 2, 2 =  0

Egységmátrix 1 0 0 0  0 1 0 0   pl.: E 4 =  0 0 1 0    0 0 0 1  0 0 Vektorok sorvektor ∗ pl.: a = [1 − 3 4] oszlopvektor 1 pl.: a = − 3  4  Nevezetes vektorok egységvektor összegző vektor pl.: e 3 ∗ = [0 0 1] pl.: 1∗ = [1 1 1] Műveletek mátrixokkal o Transzponálás. Ha egy mátrixban az oszlopok és a sorok szerepét felcseréljük, ak− kor az így kapott új mátrixot az eredeti mátrix transzponáltjának nevezzük. 1 − 1  1 0 2 * Például az A2,3 =  mátrix transzponáltja: A 2,3 = 0 3   − 1 3 5 2 5  4 Gazdasági matematika II. Valószínűségszámítás 2008/2009. II félév o Összeadás, kivonás. Két azonos típusú mátrix összege (különbsége) az a mátrix, amelynek minden eleme a mátrixok megfelelő elemeinek összege (különbsége). Például: 4   2 1   3 5 4  2 1   − 1 3 

1 1 0       5  + 0 − 5 =  0 0 5  − 0 − 5 =  0 10   0 − 3 − 2 1 3  − 2 1 − 3 − 2 1 3  − 4 − 5 o Számmal való szorzás. Egy mátrix számmal való szorzata egy olyan mátrix, amelynek minden eleme az eredeti mátrix elemeinek számmal vett szorzata. Például: 4 2 8  1    2⋅ 0 5  =  0 10  − 3 − 2 − 6 − 4 o Vektorok szorzata. Egy sorvektor és egy vele azonos elemszámú oszlopvektor (ebben a sorrendben vett!) szorzata egy szám, amit úgy kapunk meg, hogy a vekto− rok megfelelő elemeit (elsőt az elsővel, másodikat a másodikkal, stb.) összeszoroz− zuk, és a kapott szorzatokat összeadjuk. Például: 2 [1 − 3 4]⋅  0  = −2 − 1 Megjegyzés: Különböző elemszámú vektorok szorzata nem értelmezett. o

Mátrixok szorzata. Két mátrix szorzata abban az esetben értelmezett, ha az első té− nyező oszlopainak száma megegyezik a második tényező sorainak a számával. Például: 1 0 − 1 0   1 0 2 A 2,3 =  és B 3, 4 = 2 − 1 1 0  − 1 3 5 3 4 2 1 A szorzást legjobban az alábbi, úgynevezett Falk−sémával lehet szemléltetni: 1 0 − 1 0   2 − 1 1 0   3 4 2 1 A⋅ B  1 0 2 − 1 3 5    7 8 3 2 20 17 14 5   o Mátrixszorzás szabályai. A ⋅a 1. Mátrixot oszlopvektorral mindig jobbról szorzunk. 2. a ⋅A Mátrixot sorvektorral mindig balról szorzunk. 3. ei ⋅ A e i sorvektorral szorozva a mátrix i−edik sorát kapjuk. 4. A ⋅ej e j oszlopvektorral szorozva a mátrix j−edik oszlopát kapjuk. * * * 5 Gazdasági matematika II. Valószínűségszámítás 5. 6. 1 ⋅A A ⋅1 * 2008/2009. II félév Összegző sorvektorral szorozva

oszlopösszegeket kapunk Összegző oszlopvektorral szorozva sorösszegeket kapunk. Mátrixok gyakorlati alkalmazása 1. feladat Egy boltban az egyes ajándékcsomagok összeállításához szükséges árukat a következő táblázat mutatja: rendelés csoki kávé virág A ital (üveg) (dkg) (dkg) (szál) (db) p 1. csomag 15 0 20 3 4 2. csomag 10 1 10 3 6 3. csomag 0 2 20 5 8 Egységár (Ft) 20 400 20 150 (a*) Határozza meg mátrixműveletekkel, majd számolja ki: a. az összes megrendelt csomaghoz szükséges árumennyiséget! b. az egyes ajándékcsomagok értékét! c. mekkora az összes elkészített csomag értéke? d. mennyibe kerül a második csomag? Fogalmazza meg szavakkal a következő műveletek jelentését, majd mátrixműveletekkel számolja ki: * e. e1 ⋅ A ⋅ a f. g. h. p ⋅ A ⋅ e4 * (e (e * 3 * 3 )( ) ⋅ A ⋅ a )⋅ (e ⋅ p ) − (e ⋅ A ⋅ a ⋅ e3 ⋅ p * * 3 * 2 )( ⋅ A ⋅ a ⋅ e2 ⋅ p * ) 2. Feladat Egy pizzéria hétvégi forgalmát

vizsgáljuk. Az alábbi táblázat az egyes ételfajtákból eladott mennyiségeket tartalmazza adagban: A Pizzák Saláták Főtt tészták Péntek Szombat Vasárnap 150 300 280 300 85 70 42 65 78 ( ) * Az egyes ételféleségek ára rendre: 800, 450, 750 Ft/adag a Határozza meg mátrixműveletekkel, majd számolja ki: a. mennyi a szombati bevételt a pizzák eladásából? b. a szombati összbevétel mennyivel több, mint a pénteki? c. hány adag salátát adtak el összesen a három nap alatt? Fogalmazza meg szavakkal a következő műveletek jelentését, majd mátrixműveletekkel számolja ki: 6 Gazdasági matematika II. Valószínűségszámítás d. 1 ⋅ A ⋅ (e1 + e 2 ) e. f. a ⋅ A ⋅ e2 A⋅ a g. 2008/2009. II félév * * (1 * )( ⋅ A ⋅ e2 ⋅ a ⋅ e2 * ) 3. feladat Egy üzem három erőforrás segítségével négyféle terméket készít, melynek technológiai mátrixát a következő táblázat mutatja: T I. erőforrás II. erőforrás

III. erőforrás 1. sz termék 5 0 1 2. sz termék 0 7 2 3. sz termék 11 10 9 4. sz termék 3 2 4 Az erőforrások árai: a = (100 200 150) . * Az egyes termékekből gyártandó mennyiség: p = (40 30 20 50) . * Értelmezze, majd számolja ki, mit adnak meg a következő mátrixműveletek: * a. a ⋅ T ⋅ e 3 b. e1 ⋅ T ⋅ e1 c. e2 ⋅T ⋅ p d. (a ⋅ T ⋅ e 2 ) ⋅ ( p ⋅ e 2 ) e. (e 3 − e1 ) ⋅ T ⋅ p * * * * * * Fejezze ki mátrixműveletekkel, majd számolja ki: f. A 2 sz termék fajlagos anyagköltségét! g. A négy termék fajlagos anyagköltségét! h. A III erőforrásból szükséges mennyiséget! i. A termelés teljes erőforrás−szükségletét! j. A teljes termelés anyagköltségét! 4. Feladat Egy utazási iroda három hétig árusított jegyeket négy városba. Az eladott jegyek számát tartal− mazza a következő táblázat: A 1. hét 2. hét 3. hét Bécs 12 10 14 Prága 4 7 6 Berlin 8 9 6 Párizs 2 6 4 Az egyes utak ára

(ezer Ft): p = (12 9 30 38) . * Fogalmazza meg szavakkal, mit adnak meg a következő műveletek, számítsa ki az értékét: * a. e 2 ⋅ A ⋅ 1 b. 1 ⋅ A ⋅ e 3 * c. * 1 ⋅ A ⋅ e1 * 7 Gazdasági matematika II. Valószínűségszámítás 2008/2009. II félév d. 1 ⋅ A ⋅ (e1 − e 2 ) * e. 1 ⋅ A ⋅ e5 * Fejezze ki mátrixműveletekkel, majd számolja ki: f. Prágába eladott jegyek száma három hét alatt összesen g. A négy városba eladott jegyek száma az első héten összesen h. A Bécsbe eladott jegyekből származó bevétel i. Az összes eladott jegyből származó bevétel j. Mennyivel több a bécsi jegyekből származó bevétel, mint a prágai jegyek bevétele? 5. Feladat Egy virágboltban 4 féle virág eladása következőképpen alakult a nyár egy−egy napján: A június 7. július 26. augusztus 13. szegfű 25 40 20 rózsa 30 58 15 Gerbera 18 32 21 liliom 5 17 8 Az egyes virágok árai (mindhárom napon): a* = (80, 200, 150, 250)

Ft/szál. Mátrixműveletekkel írjuk fel és számoljuk ki a következőket: ∗ a. e1 ⋅ A ⋅ e 4 b. e 2 ⋅ A ⋅ e3 * ∗ ∗ c. e 2 ⋅ A ⋅ 1 − e 3 ⋅ A ⋅ 1 Fejezze ki mátrixműveletekkel, majd számolja ki: d. Mennyi a három napon eladott összes rózsa mennyisége? e. Mennyivel kevesebb gerberát adtak el a három napon összesen, mint rózsát? f. Mennyi virágot adtak el július 26−án összesen? g. Mekkora volt a bevétel június 7−én? h. Mekkora a rózsából származó bevétel? Kombinatorika KOMBINATORIKA Permutáció Variáció Alapkérdések: • n elemet hányféleképpen tehetünk sorba? • n elem közül hányféleképpen választhatunk ki k db−ot? 8 Kombináció Gazdasági matematika II. Valószínűségszámítás 2008/2009. II félév 1. Feladat Nyolc ember 8 székre hányféleképpen tud leülni? 2. Feladat Egy cég 4 partnerét (A, B, C, D) szeretné külön−külön tárgyalásra meghívni egy adott napon. Hányféle

sorrendben írhatja be őket a titkárnő az előjegyzési naptárba? Ismétlés nélküli permutáció Tétel: n különböző elem összes lehetséges sorrendjének (permutációinak) száma: Pn = n! 3. Feladat Az 1,1,1,2,2 számjegyekből hány ötjegyű szám képezhető? Ismétléses permutáció Tétel: Amennyiben n elem között vannak ismétlődő elemek, a1 elem k1−szer, a2 elem k2−ször, ar elem kr−szer fordul elő, akkor az n elem összes lehetséges sorrendjének (permutációinak) a száma: Pnk1 ,k2 ,.,kr = n! k1!k 2 !⋅. ⋅ k r ! 4. Feladat Az 1,2,3,4,5 számjegyekből hány darab háromjegyű szám képezhető, ha ismétlődést nem enge− dünk? 5. Feladat A jelenlévő 60 hallgató között 4 különböző ajándékot sorsolunk ki úgy, hogy 1 hallgató legfel− jebb 1 ajándékot kaphat. Hányféle különböző eredménye lehet a sorsolásnak? Definíció: Ha adott n különböző elemből k különböző elemet úgy választunk ki, hogy a kivá−

lasztás sorrendje is számít, akkor az n elem egy k−adosztályú ismétlés nélküli variációjáról beszélünk. ( 0 < k ≤ n ) n! Tétel: Adott n elem összes k−adosztályú ismétlés nélküli variációinak száma: Vnk = (n − k )! 6. Feladat Egy fantasztikus fagylaltcentrumban 28 féle fagylalt között választhatunk. Hányféleképpen kér− hetünk egy 3 gombócos tölcsért? Ha naponta egy fagyit eszünk, és mindig mást, mint amit eddig ettünk, akkor mennyi ideig próbálkozhatunk? 7. Feladat 9 Gazdasági matematika II. Valószínűségszámítás 2008/2009. II félév A jelenlévő 60 hallgató között 4 különböző ajándékot sorsolunk ki úgy, hogy 1 hallgató több ajándékot is kaphat. Hányféle különböző eredménye lehet a sorsolásnak? Definíció: Ha adott n különböző elem közül k darabot úgy választunk ki, hogy egy adott elemet többször is kiválaszthatunk, és a kiválasztás sorrendje is számít, akkor azt az n elem egy

k−adosztályú ismétléses variációjának nevezzük. Tétel: Adott n elem összes k−adosztályú ismétléses variációinak száma: Vnk = n k . 8. Feladat Hányféleképpen lehet 90 számból 5−öt úgy kiválasztani, hogy a kiválasztás sorrendjére nem va− gyunk tekintettel? 9. Feladat A jelenlévő 60 hallgató között 4 azonos ajándékot sorsolunk ki úgy, hogy 1 hallgató legfeljebb 1 ajándékot kaphat. Hányféle különböző eredménye lehet a sorsolásnak? 10. Feladat Egy cég 20 legjobb dolgozóját szeretné megjutalmazni. Öt főt elküldhet Tunéziába a tengerpart mellé nyaralni, hét részt vehetne egy római buszkiránduláson, és nyolcan Monaco−ban megnéz− hetnének egy Forma−1 autóversenyt. Hányféleképpen oszthatja szét a jutalmakat? Definíció: Ha adott n különböző elem közül k (0<k≤n) elemet úgy választunk ki, hogy a kivá− lasztás sorrendje nem számít, akkor azt az n elem egy k−adosztályú ismétlés nélküli

kombi− nációjának nevezzük. Tétel: Adott n különböző elem összes k−adosztályú ismétlés nélküli kombinációinak száma: n! C nk = k!(n − k )! Kapcsolat az egyes kombinatorikai alapesetek között: Pn = V = V n n n −1 n Cnk = V = C ⋅ k! k n k n Vnk k! Pnk1 ,k2 ,., kr = C nk1 ⋅ C nk−2 k1 ⋅ C nk−3 k1 − k2 ⋅ ⋅ C kkrr A binomiális tétel: Bármely kéttagú összeg minden nem−negatív egész kitevős hatványa összeggé alakítható a kö− vetkező módon: n n  n  n 0  n  n−1 1  n  n−2 2  n 0 n n         (a + b) =  a b +  a b +  a b + . +  a b = ∑  a n−k b k k =0  k   0  1  2  n Tétel: Bármely 0 ≤ k ≤ n természetes számokra fennállnak a következő tulajdonságok: a.  n  n     =  k n − k  A Pascal háromszög szimmetrikus a "főátlójára".

b.  n   n   n + 1   =    +  + + k k 1 k 1       A Pascal háromszög elemeinek képzési szabálya. 10 Gazdasági matematika II. Valószínűségszámítás c.  n  n   n   n n   +   +   +.+   = 2  0  1  2  n 2008/2009. II félév A Pascal háromszög soraiban lévő elemek összege 2−nek a megfelelő kitevős hatványa. 11. Feladat Hányféleképpen olvasható ki a MÓKAMESTER szó? Eseményalgebra Véletlen valószínűségi kísérletek végrehajtása előtt előre nem tudjuk, hogy mi következik be, azt azonban általában meg tudjuk mondani, hogy mik lehetnek a kísérlet eredményei, kimenetelei. Egy kísérlet lehetséges kimeneteleinek a halmazát eseménytérnek nevezzük. Jelölése: H Példa: kockadobás kísérlete H={1, 2, 3, 4, 5, 6} A H eseménytér egy tetszőleges részhalmazát eseménynek nevezzük. Jelölése: A,

B, C, vagy A1, A2, A3 stb. Példa: kockadobás kísérlete A={2, 3, 5} B={3, 6} Megjegyzés: Akkor mondjuk, hogy egy A esemény bekövetkezik, ha a kísérlet kimenetele eleme az A eseményt reprezentáló halmaznak. Néhány speciális esemény: − Elemi eseményeknek nevezzük a H eseménytér egyelemű részhalmazait. − Biztos esemény, mely mindig bekövetkezik. Jele: H − Lehetetlen esemény, mely soha nem következik be. Jele az üres halmaz: ∅ Akkor mondjuk, hogy az A esemény maga után vonja B eseményt, ha valahányszor A bekö− vetkezik, mindannyiszor B is bekövetkezik. Ez azt jelenti, hogy az A eseményt reprezentáló hal− maz része a B eseményt reprezentálónak. Jelölés: A⊆B Műveletek eseményekkel Legyen A és B egy H eseménytér két tetszőleges eseménye. Az A esemény ellentétes eseményének (komplementerének) azt a A −sal jelölt eseményt nevez− zük, amely akkor következik be, ha A nem következik be. H (Halmazelméletben ez azt

jelenti, hogy A az A halmaznak H−ra vonatkozó kiegészí− A A tő halmaza.) A két esemény összegén azt az eseményt értjük, ami pontosan akkor következik be, ha a két A B esemény közül legalább az egyik bekövetkezik. Jelekkel: minden A, B⊆H esetén A és B összegét az A∪B halmaz jelöli. A két esemény szorzatán azt az eseményt értjük, ami pontosan akkor következik be, ha mind a B két esemény bekövetkezik. A Jelekkel: minden A, B⊆H esetén A és B szorzatát az A∩B halmaz jelöli. Azt az eseményt, ami pontosan akkor következik be, ha A esemény bekövetkezik, de B esemény nem, A és B események különbségének nevezzük. B A Jelekkel: AB, ami események szorzatával kifejezhető a következő módon: A ∩ B 11 Gazdasági matematika II. Valószínűségszámítás 2008/2009. II félév Definíció: Legyen A és B egy H eseménytér két eseménye. A és B eseményt egymást kizáró eseményeknek nevezzük, ha egyszerre nem

következhetnek be; másképpen, ha a két esemény H szorzata a lehetetlen esemény. B A Jelekkel: A és B egymást kizáró ⇔ A∩B=∅ Definíció: Egy kísérlettel kapcsolatos B1, B2,Bn események teljes eseményrendszert alkotnak, ha a. egyik sem lehetetlen esemény: ∀i − re Bi ≠ ∅ b. egymást páronként kizáróak: ∀i, j − re, ha i ≠ j Bi ∩ B j = ∅ c. összegük a biztos esemény B1 ∪ B2 ∪ ∪ Bn = H Az eseményekre vonatkozó azonosságok A∪ A = A A∩ A = A A∪ A = H A∩ A = ∅ A∪ H = H A∩ H = A A∪∅ = A A∩∅ = ∅ De Morgan azonosságok A∪ B = A∩ B A∩ B = A∪ B 1. Feladat A sípályán 3 felvonó működik. Ai jelentse azt, hogy az i−edik felvonó jár (i=1,2,3) a. Mit jelent: A1 ∪ A2 ∪ A3 A1 ∪ A2 ∩ A3 A1 ∪ A2 ∩ A3 b. Írjuk fel, hogy csak a második működik! c. Írjuk fel, hogy legfeljebb egy működik! 2. Feladat: Egy vállalat egy adott napon három helyről (Ajka, Békés és Cegléd) vár

nyersanyagszállítmányt. Jelentse értelemszerűen A, B, C azokat az eseményeket, hogy a szállítmány egy adott napon pontosan megérkezik az illető helyekről. Fejezze ki eseményalgebrai műveletekkel a következő összetett eseményeket: a. Mindhárom helyről pontosan érkezik a szállítmány b. Csak Ceglédről jön pontosan c. Békésből nem érkezik pontosan d. Csak egy helyről érkezik pontosan e. Van olyan hely, ahonnét nem pontosan érkezik f. Legalább egy helyről pontosan érkezik Fogalmazza meg szavakkal az alábbi összetett eseményeket: a. A ∩ B ∩ C b. ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ C ) ∪ (B ∩ C ) c. A ∪ B ∩ C d. A ∪ B ∩ C 12 Gazdasági matematika II. Valószínűségszámítás 2008/2009. II félév A valószínűség fogalma Tekintsünk egy véletlen kísérletet! Fogalmazzunk meg egy hozzá tartozó H eseménytérben egy A eseményt! Figyeljük meg, hogy ha a kísérletet n−szer ugyanolyan körülmények között, egymástól

függetlenül megismételjük, hányszor következik be az A esemény! Jelöljük ezt kA−val. kA−t az A esemény gyakoriságának nevezzük. kA hányadost az A esemény relatív gyakoriságának nevezzük. Ez egy tapasztalati adat, ami az n A eseményt jellemzi, de más és más értékeket ad a különböző hosszúságú kísérletsorozatokban. Megfigyelhető, hogy ha a kísérletek számát növeljük, a relatív gyakoriság egy meghatározott számérték körül ingadozik, mégpedig úgy, hogy az ingadozás általában egyre kisebb. Azt a számértéket, amely körül az A esemény relatív gyakorisága statisztikus ingadozást mutat, az A esemény valószínűségének nevezzük. A relatív gyakorisággal szemben a valószínűség egy „elméleti”, adott szám, míg a relatív gyako− riság mindig tapasztalati, ami más és más értékeket vesz fel. A valószínűségszámítás Kolmogorov−féle axiómarendszere: Legyen adott egy véletlen kísérlethez tartozó H

eseménytér. Minden A eseményéhez rendeljünk hozzá egy P( A) − val jelölt valós számot, a következő módon: I. Minden A eseményre P( A) ≥ 0 . P(H ) = 1 , azaz a biztos esemény valószínűsége 1. II. III. Valahányszor A és B egymást kizáró események, azaz A ∩ B = ∅ , mindannyiszor P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P (B ) . Valószínűségszámítási tételek: Tétel: Ha A esemény valószínűsége P(A), akkor ellentétes eseményének, A −nak a valószínűsé− gére fennáll: P A = 1 − P ( A) () Tétel: Ha A1, A2,An teljes eseményrendszert alkotnak, akkor teljesül a következő: P( A1 ) + P( A2 ) + . + P( An ) = 1 Tétel: Ha A és B két tetszőleges eseménye egy eseménytérnek, akkor összegeseményük bekö− vetkezésének a valószínűsége: P ( A ∪ B ) = P ( A) + P (B ) − P ( A ∩ B ) Tétel: Ha A, B és C három tetszőleges eseménye egy eseménytérnek, akkor összegeseményük valószínűségére felírható a következő

összefüggés: P ( A ∪ B ∪ C ) = P ( A) + P (B ) + P (C ) − P( A ∩ B ) − P ( A ∩ C ) − P(B ∩ C ) + P ( A ∩ B ∩ C ) Tétel: Legyen egy valószínűségi kísérlethez tartozó H eseménytér elemi eseményeinek a száma n, és tegyük fel, hogy mindegyik egyenlő valószínűséggel következik be. Ha egy A ese− mény pontosan k db elemi esemény összegeként írható fel, akkor A esemény valószínűk sége a következő: P( A) = n A fenti összefüggést a valószínűségszámítás klasszikus képletének hívjuk. 1. Feladat 13 Gazdasági matematika II. Valószínűségszámítás 2008/2009. II félév A könyvespolcon sorakozó 10 könyv között 3 útikönyv van. Egy véletlenszerű elrendezés során milyen valószínűséggel kerülnek egymás mellé az útikönyvek? 2. Feladat 32 lapos magyar kártyából kiválasztunk 5−t. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a kiválasztott lapok között 2 piros lesz? 3. Feladat Egy étteremben az ebéd

végén a 10 fős társaságból négy feketekávét, három capuccinót és három pedig török kávét kér. A pincér a rendelt mennyiségeket nem felejtette el, de azt igen, hogy kinek milyen fajta kávét kell adnia. Véletlenszerűen szétosztja a kávékat Mennyi a valószínűsége, hogy mindenki azt kapja, amit kér? 4. Feladat Egy 15 fős baráti társaság moziba megy. Közöttük 2 házaspár van, akik szeretnének egymás mellett ülni. Valaki megveszi a jegyeket, és kiosztja Egy véletlenszerű kiosztás során milyen valószínűséggel kerülnek egymás mellé a házaspárok? 5. Feladat Ma Magyarországon egy autó rendszámán 3 betű és 3 számjegy szerepel. A HTN kezdetű rend− számokból véletlenszerűen kiválasztunk egyet. Mi annak a valószínűsége, hogy a. a kiválasztott rendszámon azonosak lesznek a számjegyek? b. a kiválasztott rendszámon mindegyik számjegy különböző? c. a kiválasztott rendszámon legalább 2 számjegy megegyezik? 6.

Feladat 8 lány és 12 fiú közük egy 5 fős kosárcsapatot szeretnénk kiválasztani. A választás sorsolással történik. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a. a csapat csak fiúkból áll? b. a csapat csak lányokból áll? c. a csapatban több a lány, mint a fiú? Mintavételek Adott egy N elemű alaphalmaz, benne M számú kitüntetett tulajdonságú elem. Kiveszünk belőle egy n elemű mintát (visszatevés nélkül vagy visszatevéssel). Kérdés: Mennyi a valószínűsége, hogy a minta pontosan k db−ot tartalmaz a kitüntetett tulaj− donságú elemekből? Két alapeset: I. Visszatevés nélküli mintavétel Annak valószínűsége, hogy a kitüntetett tulajdonságú  M  N − M     elemből pontosan k db van a mintában: k  n − k   pk = N   ( n ≤ M ≤ N pozitív egészek; k = 0,1,2,., n ) n 14 Gazdasági matematika II. Valószínűségszámítás II. Visszatevéses mintavétel

Annak valószínűsége, hogy a kitüntetett tulajdonsá− gú elemből pontosan k db van a mintában: ( p= 2008/2009. II félév n n−k pk =   p k ⋅ (1 − p ) k  M ; 0 < p < 1 ; k = 0,1,2,., n ) N 1. Feladat 300 hallgató megírja a valószínűségszámítás vizsgát, közülük 60 nem megfelelt minősítést kap. a. A dolgozatok közül egyszerre kiválasztunk hármat Mi annak a valószínűsége, hogy 0,1,2,3 nem megfelelt dolgozat lesz a kiválasztottak között? b. A dolgozatok közül visszatevéses módszerrel kiválasztunk hármat Mi annak a valószí− nűsége, hogy 0,1,2,3 nem megfelelt dolgozat lesz a kiválasztottak között? 2. Feladat 20 alkatrész között 5 db selejtes van. 4 elemű mintát veszünk Mennyi a valószínűsége, hogy a minta a. pontosan 1 selejtest tartalmaz? b. tartalmaz selejtes alkatrészt? c. legfeljebb két jó alkatrészt tartalmaz? Oldja meg visszatevés nélküli és visszatevéses mintavétellel is! 3.

Feladat 30 fős Csoport külföldi útra megy. Az utasok 60%−a nem kötött biztosítást Ha egyszerre kivá− lasztunk 5 utast, akkor mennyi annak a valószínűsége, hogy a. közülük pontosan hárman kötöttek biztosítást? b. legalább hárman kötöttek biztosítást? c. nem mindegyik kötött biztosítást? Független események valószínűsége Definíció: Legyen A és B egy valószínűségi kísérlethez tartozó H eseménytér két eseménye. Az A és B eseményeket egymástól függetlennek nevezzük, ha P ( A ∩ B ) = P ( A) ⋅ P (B ) , azaz, ha a szorzateseményük bekövetkezésének valószínűsége a két esemény valószínűségének szorzatával egyenlő. 1. Feladat Egy információs irodában három telefonkészülék van, melyek egymástól függetlenül hívhatók. Legyen Ai (i = 1,2,3) az az esemény, hogy egy adott napon az i−edik telefon foglalt. Tudjuk, hogy P( A1 ) = 0,9 , P( A2 ) = 0,95 , P( A3 ) = 0,8 . Mekkora a valószínűsége annak, hogy

a. b. c. d. e. mindegyik telefonon beszélnek? egyiken sem beszélnek? legalább az egyiken beszélnek? legfeljebb az egyiken beszélnek? legalább az egyiken nem beszélnek? 15 Gazdasági matematika II. Valószínűségszámítás 2008/2009. II félév Bernoulli−kísérletsorozat Függetlenül megismételt kísérletek sorozatát Bernoulli−kísérletsorozatnak nevezzük, ha az egyes kísérleteknek két lehetséges kimenetele van, az A és az A , és ezek valószínűsége a kísérletsoro− zat során változatlan marad. Tétel: Annak a valószínűsége, hogy függetlenül megismételt kísérletek n hosszúságú sorozatában az A esemény pontosan k−szor következik be  n n−k p k =   p k ⋅ (1 − p ) , ahol p = P ( A) . k Megjegyzés: A visszatevéses mintavétel is felfogható Bernoulli−kísérletsorozatnak. A kísérlet egy elem kihúzása, amit az elem visszatevése után ugyanolyan körülmények között még n−1− szer

megismétlünk. 2. Feladat 90% annak a valószínűsége, hogy egy tulipánhagymából virágzó tulipán lesz. Egy kertész 60 db hagymát ültet, mekkora valószínűséggel lesz 54 darab tulipánja? 3. Feladat Egy étteremben hosszú időn keresztül megfigyelték, hogy egy átlagos nyári napon a vendégek 40%−a jeges vizet kér, 20%−a sört és 30%−a szénsavas üdítőt kér. Mennyi annak a valószínűsé− ge, hogy egy nap folyamán véletlenszerűen 20 vendéget kiválasztva 15−en jeges vizet kérnek? Feltételes valószínűség 1. feladat Egy cégnél 80 ember dolgozik, és a következőket tudjuk róluk: férfi nő összesen Diplomás 45 21 66 Nem diplomás 5 9 14 összesen 50 30 80 a. Mi annak a valószínűsége, hogy férfit húztunk, ha tudjuk, hogy a kiválasztott név a dip− lomások közül való? b. Mi annak a valószínűsége, hogy a kiválasztott dolgozó nem diplomás, feltéve, hogy fér− fi? c. Mi annak a valószínűsége, hogy a kiválasztott

dolgozó nem diplomás, feltéve, hogy nő? P ( A B ) −vel jelöljük annak a valószínűségét, hogy A esemény bekövetkezik, feltéve, hogy B esemény bekövetkezett. Ekkor az A eseménynek a B feltételre vonatkoztatott feltételes valószí− nűségéről beszélünk. Definíció: Ha A és B egy H eseménytér két eseménye, és B nem a lehetetlen esemény, akkor a P( A ∩ B ) P(A B ) = hányadost az A eseménynek B eseményre vonatkoztatott feltételes valószí− P (B ) nűségének nevezzük. 2. Feladat 16 Gazdasági matematika II. Valószínűségszámítás 2008/2009. II félév Egy önkormányzat a parkosításhoz három kertészetből szerzi be az árvácska palántákat, 20%, 30%, 50%−os arányban. A csomagolás és a szállítás során a palánták sajnos sérülnek A tapasz− talat szerint a kertészetekből érkezett palánták sérülésének aránya: 3%, 1%, illetve 2%. Találomra kiválasztunk egy palántát. a. Ha tudjuk, hogy a 2 kertészetből

érkezett, akkor mi a valószínűsége, hogy nem sérült? b. Mi a valószínűsége, hogy sérültet választottunk? c. Mi a valószínűsége, hogy nem sérültet választottunk? d. Ha látjuk, hogy sérült, milyen valószínűséggel szállította azt a 3 kertészet? e. Ha látjuk, hogy nem sérült, milyen valószínűséggel szállította azt a 1 kertészet? f. Ha látjuk, hogy nem sérült, mekkora a valószínűsége, hogy nem a második kertészet szállította? Teljes eseményrendszer Definíció: Egy kísérlettel kapcsolatos B1, B2,Bn események teljes eseményrendszert alkotnak, ha a. egyik sem lehetetlen esemény: ∀i − re Bi ≠ ∅ b. egymást páronként kizáróak: ∀i, j − re, ha i ≠ j Bi ∩ B j = ∅ c. összegük a biztos esemény: B1 ∪ B2 ∪ ∪ Bn = H Teljes valószínűség tétele Ha a H eseménytér B1, B2, B3, , Bn eseményei teljes eseményrendszert alkotnak, akkor a H eseménytér bármely A eseményére érvényes a következő

előállítás: P( A) = P( A B1 )⋅ P(B1 ) + P( A B2 )⋅ P(B2 ) + . + P( A Bn )⋅ P(Bn ) rövidebb jelöléssel: P ( A) = ∑ P ( A Bk )⋅ P (Bk ) n k =1 Bayes−tétel Ha a H eseménytér B1, B2, B3, , Bn eseményei teljes eseményrendszert alkotnak, akkor a H eseménytér bármely nem lehetetlen A eseményére teljesül a következő: P( A Bk )⋅ P(Bk ) P( A ∩ Bk ) P(Bk A) = = n (ahol k=1,2, , n értékeket veheti fel) P ( A) ∑ P(A Bi )⋅ P(Bi ) i =1 3. Feladat Egy moziban szombat délután a látogatók 45%−a férfi, 25%−a nő, a többi gyerek. A férfiak 55%−a, a nők 35%−a és a gyerekek 60%−a iszik a film alatt valamilyen üdítőt. Mekkora annak a valószínűsége, hogy egy találomra kiválasztott néző a. üdítőt iszik? b. aki üdítőt iszik, az nő? c. aki nem iszik üdítőt, az gyerek? d. aki nem iszik üdítőt, az nem férfi? 4. Feladat A Fesztivál Zenekar a nyári koncertjeinek felét Martonvásáron a Brunszvik Kastélyban, 30%−át a

Fertődön az Esterházy Kastélyban, a többit pedig Aggteleken a Baradla Barlangban tartja. Ugyanilyen sorrendben véve az egyes előadásokra szóló jegyek 70%−a, 90%−a, és 80%−a elővételben elkel. Véletlenszerűen kiválasztva egy előadást, mennyi annak a valószínűsége, hogy 17 Gazdasági matematika II. Valószínűségszámítás 2008/2009. II félév a. a helyszínen lehet jegyet kapni? b. az elkelt jegyek Aggtelekre szólnak? c. a nem elkelt jegyek nem Fertődre szólnak? 5. Feladat Egy uszoda a vendégkörére a következő megfigyelést tette: a dolgozók, a diákok és a nyugdíja− sok aránya: 7:8:5. A dolgozók 15%−a, a diákok 67 %−a és a nyugdíjasok 80%−a hoz magával hajszárítót, a többiek, pedig szívesen bérelnek egyet. Véletlenszerűen kiválasztva egy vendéget, mi annak a valószínűsége, hogy a. ha nyugdíjast választunk, akkor nem hoz magával hajszárítót? b. nem hoz magával hajszárítót? c. nem dolgozó az, aki hoz

magával hajszárítót? VALÓSZÍNŰSÉGI VÁLTOZÓ Ahhoz, hogy a kísérleteket általánosabban vizsgálhassuk, a kísérletek kimeneteleit számszerűsí− teni fogjuk. Legyen adott egy valószínűségi kísérlethez tartozó H eseménytér! Rendeljünk H minden elemé− hez, azaz minden konkrét kimenetelhez egy−egy valós számot! Ezzel egy H halmazon értelme− zett valós értékű függvényt határozunk meg. Ezt a függvényt valószínűségi változónak hívjuk és általában ξ−vel jelöljük. ξ : H R Megjegyzés: egy H eseménytéren nem csak egy valószínűségi változó értelmezhető. Adjunk meg valószínűségi kísérleteket és vezessünk be a hozzájuk tartozó eseménytereken való− színűségi változókat! A val. vált A kísérlet Valószínűségi változó lehetséges ér− Eloszlás tékei 1. Kockadobás a dobott szám értéke 1, 2, 3, 4, 5, 6 diszkrét, egyenletes diszkét, 2. Lottóhúzás a találat értéke 0, 1, 2, 3, 4, 5

hipergeometrikus diszkrét, nem neveze− 3. Lottóhúzás a nyeremény értéke 5 kül. szám tes 4. Visszatevés nélküli min− a mintában a kitüntetett diszkrét, 0, 1, 2, , n tavételnél n elemű minta tulajdonságú elemek száma hipergeometrikus választása 5. Visszatevéses mintavé− a mintában a nem kitünte− diszkrét, binomiális telnél n elemű minta vá− tett tulajdonságú elemek 0, 1, 2, , n lasztása száma egy nap alatt a kikölcsön− 6. Könyvtári kölcsönzések 0, 1, 2, diszkrét, Poisson zött könyvek száma 7. Kosárra dobunk addig, a dobások száma 1, 2, 3, diszkrét, geometriai míg be nem megy a labda folytonos, exponenci− 8. Randevú a társra várakozás ideje R+ ális 9. Távvezetékben hibakere− a szakadás helyének távol− + folytonos, egyenletes R sés sága a központtól 10. Liszt adagolása zacskó− az egy zacskóba adagolt + folytonos, normális R ba liszt tömege 18 Gazdasági matematika II.

Valószínűségszámítás 2008/2009. II félév Definíció: Ha a ξ valószínűségi változó lehetséges értékei véges, vagy megszámlálhatóan végte− len halmazt alkotnak, akkor diszkrét valószínűségi változóról beszélünk. 1. feladat Három TV−adó reklámsugárzását figyeljük. Az első adó műsoridejének 10%−ában, a második 8%−ban, a harmadik 25%−ban sugároz reklámot. Egy adott időpillanatban ránézve a képernyőre, figyeljük az éppen reklámot sugárzó adók számát. ξ: az éppen reklámot sugárzó adók száma Határozzuk meg a valószínűségi változó (ξ) eloszlását, várható értékét, szórását és eloszlásfügg− vényét! 2 feladat Cipőt szeretnénk vásárolni. Ha bemegyünk egy üzletbe, tegyük fel, hogy 80% annak a valószínűsége, hogy megvesszük a cipőt Ha vettünk, akkor már nem megyünk a következőbe, de ha nem vettünk, akkor igen. Annyi időnk van, hogy maximum 4 üzletbe mehetünk be Átlag hány

üzletbe kell bemenni, hogy megvegyük a cipőt? (Mennyi a vásárlási kísérletek várható értéke?) Diszkrét valószínűségi változó eloszlása Diszkrét valószínűségi változó esetén a ξ lehetséges értékei legyenek: x1 , x 2 ,., x n Ha megadjuk a P(ξ = xi ) (i = 1,2,3,.n ) valószínűségeket, akkor azt mondjuk, hogy meghatároztuk a ξ való− színűségi változó eloszlását. (A P(ξ = xi ) értéket röviden pi −vel jelöljük) Várható érték Definíció: tekintsünk egy diszkrét eloszlást követő valószínűségi változót, aminek lehetséges értékei: x1 , x 2 ,., x n , és a hozzájuk tartozó valószínűségek rend− re p1 = P(ξ = x1 ) , p 2 = P(ξ = x 2 ) ,. p n = P(ξ = x n ) A ξ valószínűségi változó várható értékén az M (ξ ) −vel jelölt n n M (ξ ) = ∑ xi pi ∑ xi pi összeget értjük. i =1 i =1 Tartalmilag a várható érték az a szám, ami körül a kísérleti eredmények átlaga ingadozik.

Más− képpen: az x1 , x 2 ,., x n értékek p1 , p 2 ,, p n −nel súlyozott számtani közepe Szórás 2 Definíció: A ξ valószínűségi változó szórásán a (ξ − M (ξ )) valószínűségi változó várható érté− kének négyzetgyökét értjük, és D (ξ ) −vel jelöljük, azaz ( ) D(ξ ) = M (ξ − M (ξ )) A szórás a valószínűségi változó által felvett értékek átlag körüli szóródásáról ad képet, máskép− pen az átlagtól való átlagos eltérést jelenti. 2 ( ) 2 2 Tétel: A szórás a következőképpen is számolható: D(ξ ) = M ξ − M (ξ ) . Eloszlás függvény Definíció: Legyen a F függvény értelmezési tartománya a valós számok halmaza! F függvény minden valós x értékhez annak az eseménynek a valószínűségét rendeli, hogy a valószínűségi változó x−nél kisebb értéket vesz fel, tehát F : x a P(ξ < x ) R [0;1] Az így definiált F (x ) függvényt a ξ valószínűségi változó

eloszlásfüggvényének nevezzük. Az eloszlásfüggvény tulajdonságai: 19 Gazdasági matematika II. Valószínűségszámítás 1. 2. 3. 4. 5. 2008/2009. II félév Diszkrét esetben lépcsős függvény. F ( x ) függvény monoton növekvő függvény (nem feltétlenül szigorúan). F ( x ) függvény az értelmezési tartományának minden pontjában balról folytonos. F ( x ) végtelenben vett határértéke 1, mínusz végtelenben vett határértéke 0. Valahányszor a < b , mindannyiszor P (a ≤ ξ < b ) = F (b ) − F (a ) . Nevezetes eloszlások Diszkrét eloszlások Binomiális eloszlás Hipergeometrikus eloszlás Folytonos eloszlások Poisson eloszlás Exponenciális eloszlás Normális eloszlás Diszkrét eloszlások A ξ valószínűségi változót diszkrétnek nevezzük, ha lehetséges értékei felsorolhatók, vagy vég− telen sorozatba szedhetők. Binomiális eloszlás A binomiális eloszlást leggyakrabban a független kísérletsorozatok

(Bernoulli−kísérletsorozat, visszatevéses mintavétel) leírására használjuk. A ξ valószínűségi változót binomiális eloszlásúnak mondjuk, ha ξ lehetséges értékei: 0, 1, 2, , n és n ahol 0 < p < 1 ; q = 1 − p és k = 0,1,., n P (ξ = k ) =   p k q n − k , k  Tétel: A binomiális eloszlású ξ valószínűségi változó várható értéke: M (ξ ) = np , szórása: D(ξ ) = npq . 1. Feladat Felmérések szerint átlagosan a főiskolai hallgatók 45%−a keresi fel havonta a könyvtárat. A ξ valószínűségi változó jelentse a könyvtárba látogató hallgatók számát. Mennyi annak a valószí− nűsége, hogy egy vizsgált hónapban a. 20 hallgató közül éppen 7−en jártak a könyvtárban? b. 12 hallgató közül legalább négyen jártak a könyvtárban? c. 8 hallgató közül legalább ketten nem jártak a könyvtárban? d. Mennyi a könyvtárlátogatók számának várható értéke és szórása a 20 fős

csoportban? 2. Feladat Megfigyelések szerint a városi tűzoltóságot a bejelentések 5%−ában indokolatlanul riasztják. Egy márciusi héten 12 riasztást regisztráltak. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a. legalább 3 indokolatlan riasztás volt? b. 3−nál több, de legfeljebb 6 esetben bizonyult a hívás indokolatlannak? c. a várható érték háromszorosánál kevesebb indokolatlan hívás volt a riasztások között? 3. feladat 20 Gazdasági matematika II. Valószínűségszámítás 2008/2009. II félév Az elmúlt évi influenzajárvány mutatói szerint 20 főből átlagosan 3 fő betegedett meg. Mennyi annak a valószínűsége, hogy egy 18 fős csoportban a. 15−nél több az egészségesek száma? b. a várható értéknél több influenzás megbetegedés van? c. Határozzuk meg az egészségesek várható értékét és a szórását a csoportban! 4. Feladat A hollókői várban egy lovagi torna keretében íjász versenyt rendeznek. Feldobott almát

kell eltalálni, de mindenki csak öt lehetőséget kap. Az egyik versenyző a felkészülése során átlagosan 100 almából 80−t eltalált. a. Mi annak a valószínűsége, hogy legalább három találata lesz? b. Mennyi a találatok számának a szórása? Hipergeometrikus eloszlás A hipergeometrikus eloszlást a visszatevés nélküli mintavétel leírására használjuk. A ξ valószínűségi változót hipergeometrikus eloszlásúnak nevezzük, ha  M  N − M     k  n − k   P (ξ = k ) = p k = , ahol k = 0,1,., n és n ≤ M ≤ N N   n Tétel: A hipergeometrikus eloszlású ξ valószínűségi változó M  várható értéke: M (ξ ) = np  ahol p = , N  N −n n −1   = npq1 − . N −1  N −1 Megjegyzés: Amennyiben a hipergeometriai eloszlásnál a kiválasztási arány kicsi (kb. 5% alatti, n < 0,05 ), vagy nem ismert, akkor a hipergeometriai eloszlást

közelíthetjük binomiális elosz− N lással, azaz a hipergeometriai eloszlás helyett számolhatunk a binomiális eloszlás képletével. szórása: D(ξ ) = npq 1. Feladat Egy autókereskedésbe leadott 40 autó 70%−ának legalább egy koccanásos balesete volt, amire általában csak tüzetesebb vizsgálat után derül fény. Kiválasztunk öt autót és kipróbáljuk őket Mennyi annak a valószínűsége, hogy a. nincs közöttük olyan, aminek volt baleset? b. legalább két autónak nem volt balesete? c. A ξ valószínűségi változó legyen a kipróbáltak között azok száma, amelyeknek nem volt balesete. Adjuk meg az eloszlást! 2. Feladat Egy vállalkozás indításánál egy szerelőműhelybe 4 fő felvételére írnak ki pályázatot. A pályázat− ra 12−en jelentkeznek. Ezek közül 7−en az A, 5−en pedig a B nyugdíjpénztár tagjai A műhely− főnök kiválasztja a 4 legalkalmasabb személyt. Mi annak a valószínűsége, hogy a kiválasztott

személyek között a. mind a négy ugyanannak a pénztárnak a tagja? b. legalább annyian tagjai az A pénztárnak, mint a B−nek? 21 Gazdasági matematika II. Valószínűségszámítás 2008/2009. II félév c. Mennyi a kiválasztott 4 személy között az A pénztári tagok számának várható értéke és szórása? 3. Feladat Egy tejüzem 17 falut lát el a tejtermékeivel. A Duna áradása miatt 6 falu megközelíthetetlenné vált. Pénteken 8 faluba kellene szállítaniuk Mi annak a valószínűsége, hogy a. legalább 2 helyre nem tudnak elmenni? b. legfeljebb 5 falut tudnak ellátni? c. Mennyi a kiválasztott 8 falu között az ellátottak számának várható értéke és a szórása? Poisson eloszlás Poisson eloszlást használunk, ha egy tartományba eső pontok számát vizsgáljuk és a tartományba esés valószínűsége csak a tartomány nagyságától függ. Közelítőleg Poisson eloszlást mutat egy telefonközpontba adott időszakban beérkező

hívások száma, a sajtóhibák eloszlása egy könyv lapjain, az úthibák egy adott útszakaszon, adott területegységre eső esőcseppek száma stb. A Poisson eloszlású ξ valószínűségi változó valószínűség−eloszlása: P(ξ = k ) = pk = Tétel: λk e −λ , ahol λ > 0 és k = 0,1,., n, k! A Poisson eloszlású ξ valószínűségi változó várható értéke: M (ξ ) = λ , szórása: D (ξ ) = λ . Megjegyzés: A Poisson−eloszlás jól közelíti a binomiális eloszlást, ha a binomiális eloszlás kép− letében szereplő n elég nagy és p elég kicsi. A gyakorlatban ez azt jelenti, hogy amennyiben a binomiális eloszlás táblázatából „kilógunk” ( n > 20, p < 0,05 ), akkor a binomiális eloszlást közelíthetjük a Poisson eloszlással. 1. Feladat Egy nyomdai korrektúrában 400 oldalon átlagosan 400 sajtóhiba van. Tapasztalat szerint egy anyagrészben előforduló hibák száma csak az anyagrész hosszától függ.

Feltételezzük, hogy a hibák száma Poisson eloszlást követ. A ξ valószínűségi változó jelentse az egy oldalon lévő hibák számát. a. Mennyi a valószínűsége, hogy egy találomra kiemelt oldalon legalább 3 hiba van? b. Egy fejezet 16 oldalból áll Mi annak a valószínűsége, hogy egy fejezetben 10−nél ke− vesebb hiba lesz? c. Átvizsgálás során átlagosan a hibák 80%−át sikerül kijavítani Mennyi a valószínűsége, hogy a már javított találomra kiemelt oldalon legalább 3 hiba van? 2. Feladat Egy vasúti pénztárnál munkanapokon reggel 5.00 és 700 óra között átlagosan 108−an váltanak jegyet. A jegyváltók száma Poisson−eloszlást követ Mennyi annak a valószínűsége, hogy 500 és 5.10 között a. 7−nél többen, de a várható érték másfélszeresénél kevesebben váltanak jegyet? b. a jegyet váltók száma a várható értéket a szórásnál jobban megközelíti? 3. Feladat Egy újságárus azt tapasztalja, hogy vevőinek

száma egy negyedóra alatt átlagosan 10. Megfigye− lésekből tudjuk, hogy a vevők száma Poisson−eloszlást követ. Mennyi a valószínűsége, hogy egy megfigyelt negyedórában a. a vevők száma 8 és 12 között lesz? b. legfeljebb 5 vásárlója akad? 22 Gazdasági matematika II. Valószínűségszámítás 2008/2009. II félév c. legalább 5 vevője lesz? d. Mennyi annak a valószínűsége, hogy 1 óra alatt 50 vevője lesz? Folytonos eloszlások A ξ valószínűségi változót folytonosnak nevezzük, ha lehetséges értékei nem megszámlálhatók (nem felsorolhatók), a számegyenes valamely részintervallumát alkotják. Ha a ξ valószínűségi változó folytonos, akkor az egyes értékeihez tartozó valószínűségek értéke 0 azaz bármely a−ra P (ξ = a ) = 0 . Ezért a folytonos valószínűségi változókat a sűrűség− és el− oszlás függvényük segítségével vizsgáljuk (eloszlás függvény jele: F(x), sűrűségfüggvény jele:

f(x)). F ( x) = P (ξ < x ) f ( x) = F ′( x) Exponenciális eloszlás A ξ valószínűségi változót exponenciális eloszlásúnak nevezzük, ha sűrűségfüggvénye: ha x < 0  0, f ( x ) =  − λx x ∈ R, λ > 0 λe , ha x ≥ 0 A λ számot az eloszlás paraméterének nevezzük. Exponenciális eloszlás eloszlásfüggvénye: ha x < 0  0, F ( x) =  x ∈ R, λ > 0 − λx 1 − e , ha x ≥ 0 f(x) λ x 1 2 3 4 F(x) 1 x 1 Az exponenciális eloszlás várható értéke és szórása: M (ξ ) = D (ξ ) = 2 3 4 1 λ 1. feladat Egy önkiszolgáló étteremben óránként átlagosan 80 embert tudnak kiszolgálni úgy, hogy 4 pénz− tár működik. A kiszolgálási idő exponenciális eloszlású Mennyi annak a valószínűsége, hogy egy vendég kiszolgálási ideje a. 4 percnél kevesebb? b. 5 percnél tovább tart? c. 1 percnél több, de 6 percnél kevesebb? 2. Feladat Egy hölgy kedvenc időtöltése kedvesének

megvárakoztatása, aminek várható értéke 20 perc. A várakozás hossza exponenciális eloszlású valószínűségi változó. Barátja ki nem mondott elve, hogy randevúról soha nem késik, de fél óránál többet nőre nem vár. Mennyi a valószínűsége, hogy a következő randevújuknál a. a hölgyre legfeljebb negyed órát kell várni? b. a hölgy 10 percnél többet, de 25 percnél kevesebbet késik? c. a megérkező hölgy hoppon marad? d. a várakozás ideje 5 percnél nagyobb mértékben tér el a várható értéktől? 23 Gazdasági matematika II. Valószínűségszámítás 2008/2009. II félév 3. Feladat Egy bevásárlóközpontban a pénztár előtt átlagosan 10 percet töltünk sorban állással. A várako− zással töltött idő exponenciális eloszlású valószínűségi változó. Mennyi a valószínűsége, hogy a. 10 percnél többet várunk? b. negyed órán belül sorra kerülünk? c. sorban állásunk ideje a várható értéket a szórás

felénél jobban megközelíti? d. 100 bevásárló közül kb hány várakozik 5 percnél kevesebbet? 4. feladat Egy rendőr az autópályán a matrica nélkül közlekedő gépjárműveket állítja meg. Átlagosan ne− gyedóránként tűnik fel matrica nélkül közlekedő jármű. Két matrica nélkül elhaladó jármű között eltelt idő exponenciális eloszlást követő valószínűségi változó. Mi annak a valószínűsége, hogy a. a rendőr 10 percen belül elkap egy matrica nélkül közlekedő járművet? b. két egymást követő matrica nélkül elhaladó jármű között eltelt időnek a várható értéktől való eltérése legalább 7,5 perc? Normális eloszlás Az egyik leggyakoribb és legjelentősebb eloszlástípus a valószínűségszámításban és a matemati− kai statisztikában a normális eloszlás. A véletlen folyamatok nagy része ezzel az eloszlástípussal írható le. A ξ valószínűségi változót akkor nevezzük normális eloszlású−

f(x) nak, ha sűrűségfüggvénye: ( x−m )2 − 1 2 f ( x) = e 2σ ( x ∈ R) σ 2π A sűrűségfüggvény képe jellegzetes szimmetrikus görbe, a Ga− uss−féle haranggörbe. A függvénynek az x = m helyen maximu− ma van, az m ± σ helyeken pedig inflexiós pontja. A normális eloszlás várható értéke: M (ξ ) = m , szórása: D(ξ ) = σ A normális eloszlás eloszlásfüggvénye: F(x) (t −m )2 x − 1 2σ 2 F ( x) = e dt ( x ∈ R) 1 σ 2π −∫∞ Az eloszlásfüggvény szimmetrikus az (m, ½) pontra. ½ m- m m+ x Standard normális eloszlás m Kitüntetett szerepe van annak a normális eloszlásnak, amelynek paraméterei: m = 0 , σ = 1 . Az ilyen normális eloszlást standard normális eloszlásnak nevezzük. A standard normális sűrűségfüggvényének jele: ϕ (x ) , az eloszlásfüggvénynek: Φ (x) . Mivel a Φ (x) eloszlásfüggvény értékei táblázatból kikereshetők, ezért az általunk vizsgált elosz− lást mindig visszavezetjük a

standard eloszlásra.  x − m F ( x ) = Φ   σ  A táblázatban nem szerepelnek negatív értékek, ilyenkor az alábbi összefüggést alkalmazhatjuk: Φ (− x) = 1 − Φ ( x ) 1. Feladat 24 x Gazdasági matematika II. Valószínűségszámítás 2008/2009. II félév Egy automata gép poharakba adagolja a tejfölt. Egy pohárba átlagosan 175 gramm tejföl kerül, 8 gramm szórással. A valószínűségi változó legyen az egy pohárba került tejföl tömege Feltételez− hető, hogy ez a változó normális eloszlást követ. Mennyi annak a valószínűsége, hogy egy vélet− lenszerűen kiválasztott pohárban a. 180 g−nál kevesebb tejföl van? b. 190 g−nál több tejföl van? c. a tejföl tömege a szórásnál kisebb mértékben tér el a várható értéktől? d. a tejföl tömege a szórásnál nagyobb mértékben tér el a várható értéktől? 2. Feladat Egy nyomdában óriás plakátok készítéséhez 3 m hosszúságú kartonokat vág

egy automata vágó− szerkezet, 0,2 dm−es szórással. A kartonok hossza Gauss−eloszlást követ Egy kartont véletlen− szerűen kiválasztva, mennyi annak a valószínűsége, hogy a karton hossza a. 30,4 dm−nél nagyobb? b. 29,6 dm és 30,5 dm között van? c. A karton hosszára milyen pontosságot biztosíthatunk 95%−os valószínűséggel? 3. Feladat Egy üzlet napi forgalma a különböző sajtkészítményekből 150 kg várható értékű. 15 kg szórású normális eloszlást követő valószínűségi változó. Mekkora a valószínűsége annak, hogy egy na− pon a forgalom a. kevesebb mint 140 kilogramm? b. 120 kg és 180 kg közé esik? c. a várható értéket a szórás harmadánál jobban megközelíti? d. Milyen pontosságot biztosíthatunk az üzlet napi forgalmára 85% valószínűséggel? 4. Feladat Egy tízemeletes panelházban a lakásonkénti heti ivóvíz felhasználás normális eloszlást követő valószínűségi változó 1 m3 várható

értékkel és 0,27 m3 szórással. Találomra kiválasztva egy la− kást a házból, mekkora a valószínűsége, hogy a heti ivóvíz felhasználása a. több, mint 1,3 m3? b. kevesebb, mint 0,9 m3? c. több, mint 0,8 m3, de legfeljebb 1 m3? d. Mennyi a valószínűsége, hogy egy lakásban a heti ivóvízfogyasztás a várható értéktől legalább 0,5 m3−rel eltér? Csebisev−egyenlőtlenség Amennyiben az eloszlás típusa nem ismert, a valószínűségi változónak a várható érték körüli ingadozását a Csebisev−egyenlőtlenséggel tudjuk megbecsülni: 1 P (ξ − M (ξ ) < tD(ξ ) ) ≥ 1 − 2 t 1 P(ξ − M (ξ ) ≥ tD (ξ ) ) ≤ 2 t 1. Feladat Eperszezon idején egy zöldséges átlagosan 30 kg epret ad el, 8 kg szórással. a. Legalább mennyi annak a valószínűsége, hogy a tényleges eladás 20 kg és 40 kg közé esik? 25 Gazdasági matematika II. Valószínűségszámítás 2008/2009. II félév b. Legfeljebb mennyi annak a valószínűsége,

hogy a tényleges eladás 45 vagy annál több, illetve 15 vagy annál kevesebb? c. Legalább mennyi annak a valószínűsége, hogy a tényleges eladás 25 és 35 közé esik? 2. Feladat Tekintsük valószínűségi változónak a naponta az állatkertbe látogatók számát. A megfigyelés szerint ennek várható értéke 1000, a szórása pedig 100. a. Legalább mekkora valószínűséggel esik a látogatók száma 800 és 1200 közé? b. Legfeljebb mekkora valószínűséggel lesz a látogatók száma 700 vagy annál kisebb, il− letve 1300 vagy annál nagyobb? 3. Feladat Egy étteremben a bográcsban felszolgált gulyásleves általában 7 dl, 0,7 dl−es szórással. A való− színűségi változó legyen a bográcsban lévő leves mennyisége. a. Ha a leves mennyisége normális eloszlást követ, akkor mi annak a valószínűsége, hogy a pincér 5,5 dl vagy annál kevesebb, illetve 8,5 dl vagy annál több levest hoz? b. Legfeljebb mekkora annak a valószínűsége, hogy az

a kérdésben szereplő levest kap− juk, ha a valószínűségi eloszlás nem ismeretes? 4. feladat Egy könyvesboltban a naponta (8 óra) eladott könyvek száma Poisson−eloszlású valószínűségi változó, melynek várható értéke 320. Mi annak a valószínűsége, hogy egy fél óra alatt az eladott könyvek száma 15 és 25 között van? Adjunk a Csebisev−egyenlőtlenség segítségével egy alsó közelítést a valószínűségre! Nagy számok törvénye Ha a vizsgált esemény valószínűsége (p) ismert: k  pq P − p < ε  ≥ 1 − 2 ε n n  1. Feladat Egy palackozó üzemben naponta a selejt előfordulásának a valószínűsége p=0,02. Legalább hány elemű mintát kell vennünk, hogy legalább 90% biztonsággal meggyőződjünk arról, hogy egy adott napon a selejtes palackok relatív gyakorisága a megadott selejtvalószínűségtől 0,09−nál kevesebbel tér el? 2. Feladat A tapasztalatok alapján egy bevásárlóközpontban

minden ötödik vásárló 10000 Ft feletti összeget költ. Egy adott napon 5000 fő vásárolt az üzletben Határozzuk meg, hogy legalább 0,9 valószí− nűséggel milyen határok között várható a 10000 Ft feletti összegben költők száma az adott na− pon? 3. feladat Egy gépalkatrész tömeges gyártásánál a selejt előfordulásának valószínűsége p=0,05. Az elké− szült gépalkatrészekből 5000 db−os mintát veszünk, és maghatározzuk a selejt előfordulásának relatív gyakoriságát. Legalább mennyi annak a valószínűsége, hogy a relatív gyakoriságnak a selejt valószínűségétől való eltérése kisebb, mint 0,05? 26 Gazdasági matematika II. Valószínűségszámítás 2008/2009. II félév 4. feladat Egy célpontra 200 lövést adunk le. A találat valószínűsége minden lövésnél 0,4 Milyen határok közé esik legalább 90% valószínűséggel a találatok száma? Ha a vizsgált esemény valószínűsége (p) nem ismert: k

 1 P − p < ε  ≥ 1 − 2 4ε n n  5. feladat a. Egy választás előrejelzéséhez közvélemény kutatást végeznek Egy női jelölt indul Ha 0,01− nál pontosabb becslést várnak a relatív gyakoriság alapján annak a valószínűségére, hogy valaki az illető hölgyre szavaz, akkor legalább 85%−os biztonsági szinten legalább hány személy meg− kérdezésére van szükség? b. Egy választás előrejelzéséhez közvélemény kutatást végeznek Egy női jelölt indul Ha 0,01− nál pontosabb becslést várnak a relatív gyakoriság alapján annak a valószínűségére, hogy valaki az illető hölgyre szavaz, akkor 5000 ember megkérdezésekor legalább mekkora valószínűséget tudnak megjósolni? A Heller Farkas Főiskola levelező tagozatán a 2008/2009. II félévben elhangzó Gazdasági ma− tematika II. (Valószínűségszámítás) előadások feladatai összeállításánál a saját példáinkon kívül felhasználtuk a

következő példatárak feladatait is: ƒ Feladatgyűjtemény a gazdasági matematikához I. BGF KVIF, Budapest, 2003 (Szerzők: Czétényi−Felber−Rejtő−Zimányi) ƒ Feladatgyűjtemény a gazdasági matematikához II. BGF KVIF, Budapest, 2002 (Szer− zők: Czétényi−Ligeti−Lőrincz) ƒ Valószínűségszámítás Példatár, Tatabánya, 2002. (Szerző: Nagyné Csóti Beáta) ƒ Operációkutatás Példatár, Budapest, 2002. (Szerzők: Brunner, Kis, Dr Kovács, Dr Má− té) 2009. febr1 Kis Márta és Zombori Natasa 27