Mathematics | Mathematical analysis » A Fourier-transzformáció értelmezése, Fourier-sor

A Fourier-transzformáció értelmezése, Fourier-sor 1. A Fourier-trafó elvi háttere A Fourier-transzformáció alapelve J.BFourier hővezetési feladatok megoldásával kapcsolatos próbálkozásaihoz nyúlik vissza a XIII. századba, melyek elvezettek a Fourier-tétel kimondásához, miszerint: Minden periodikus függvény megadható harmonikus függvények szuperpozı́ciójaként. Azaz tetszőleges függvény felı́rható megfelelően választott szinusz- és koszinusz-függvények összegeként (elképzelhető, hogy az összeg végtelen). f (t) = ∞ X (An cos(nω0 t) + Bn sin(nω0 t)), (1) n=0 ahol An és Bn együtthatók, ω0 = 2π T pedig az alap-körfrekvencia, a jel T periódusidejéből, továbbá n ∈ Z. Az (1) egyenletből látható, hogy az f (t) függvényt (jelet) egy olyan végtelen összeg állı́tja elő, melynek tagjai különböző amplitúdójú és frekvenciájú szinuszés

koszinusz-függvények, látszik továbbá a felı́rásból az is, hogy az összetevők frekvenciája az ω0 alap-körfrekvencia egész számú többszöröse (ez fontos). 1.1 A Fourier-transzformáció értelmezése A Fourier-transzformáció periodikus jelek esetében az (1) egyenletben szereplő An és Bn együtthatók meghatározását jelenti. Mielőtt azonban elmélyülnénk a részletekben megadjuk az 1-nek egy komplex változatát. f (t) = ∞ X (An cos(nω0 t) + Bn sin(nω0 t)), n=0 f (t) = ∞  X n=0 f (t) =  ejnω0 t − e−jnω0 t ejnω0 t + e−jnω0 t + Bn , An 2 2j ∞  X An − jBn n=0 f (t) = ∞ X 2 Cn ejnω0 t + Cn∗ e−jnω0 t n=0 f (t) = ∞ X jnω0 t e
 An + jBn −jnω0 t e + , 2 Cn = Cn ejnω0 t + n=0 ∞ X An − jBn ∗ An + jBn , Cn = , 2 2 Cn∗ e−jnω0 t , n=0 ha itt bevezetjük a Cn∗ = C−n jelölést, továbbá külön figyelmet szentelünk az n = 0 esetnek, akkor

a következő alakot kapjuk f (t) = ∞ X Cn ejnω0 t , n=−∞ 1 C0 = A0 . (2) A fenti egyenlet az (1) komplex alakja, ahol az An és Bn valós együtthatók szerepét a Cn komplex együttható veszi át, hasonlóan a harmonikus függvények helyett egy komplex exponenciális függvény szerepel. Ezidáig csak a sor felı́rásának változataival bı́belődtünk, itt az ideje meghatározni az együtthatókat. Amint az (2)-ből látszik az f (t) időfüggvény komplex exponenciális függvények lineáris kombinációjaként van megadva, ahol az ejnω0 t -k a bázisfüggvények, Cn -ek pedig a koordináták. Belátható, hogy a bázis ortonormált1 , ı́gy a koordináták egyszerűen előállı́thatók 1 Cn = T Z T f (t)e−jnω0 t dt, (3) 0 ahol az exponenciális függvény kitevőjében szereplő negatı́v előjel a Cn együttható értelmezése miatt szükséges2 . A (3) egyenletből az eredeti

valós (1) felı́rásban szereplő An és Bn együtthatók könnyen meghatározhatók, hiszen Z T 1 −Bn =− 2 T Z ℜ(Cn ) = ℑ(Cn ) = 1 An = 2 T f (t)cos(nω0 t)dt, 0 T f (t)sin(nω0 t)dt, 0 amiből pedig azonnal adódik 2 An = T Z T 2 Bn = T Z T f (t)cos(nω0 t)dt, 0 (4) f (t)sin(nω0 t)dt. 0 Ezzel tulajdonképpen megvagyunk, ha nem feledkezünk meg az n = 0 esetről, amit külön kell kezelnünk. A Bn együtthatókkal nem lesz probléma, hiszen sin(nω0 t) = 0, ha n = 0, ı́gy B0 = 0. Az A0 -ról pedig tudjuk a sor megadásából (2), hogy A0 = C0 , ahonnan 1 A0 = T Z T f (t)dt. (5) 0 Az A0 együttható speciális kezelését hangsúlyozandó, az (1) Fourier-sort szokás az alábbi módon is definiálni f (t) = A0 + ∞ X (An cos(nω0 t) + Bn sin(nω0 t)), (6) n=1 ahol jobban kidomborodik az A0 együttható fontos szerepe, nevezetesen A0 a jel egyenkomponense, ugyanis n > 0 esetben a Fourier-sor minden

tagja ,,nulla átlagú” függvény3 , azaz nullától különböző egyenkomponensű jel csak az A0 segı́tségével adható meg. 1A normálásról az 1/T szorzótényző gondoskodik n ekkor (3)-ban pozitı́v előjel szerepelne. volna Cn -t ı́gy is: Cn = An +jB 2 3 Teljes koszinusz- és szinusz-periódusok. 2 Definiálhattuk 2