Physics | Mechanics, Quantum mechanics » A kvantummechanikáról

A kvantummechanikáról A kvantummechanika kialakulásához a fény (az elektromágneses hullámok) viselkedésének a tanulmányozása vezetett, voltak olyan problémák (hőmérsékleti sugárzás, fotoeffektus, atomok színképe), amelyek nem voltak értelmezhetők a klasszikus hullámtan segítségével. Elektromágneses hullámok olyan hullámok, amelyben az u(t) kitérés az elektromos térnek E(t) és a mágneses térnek H(t) a rezgései, mint az idő függvényei. Az elektromágneses hullámok a rádió- a hő- a fényhullámokon keresztül a röntgenhullámokig és a kozmikus sugárzásig tartanak. Ezek látható része a fényhullámok, 380-760nm hullámhosszal. 2.1 Optika Az optika a fénnyel, a fény terjedésével foglalkozik. A fény terjedési sebessége vákuumban c=2,997925108m/s, közegben ennél kisebb, v. A két sebesség hányadosa: n c v a közeg (abszolút) törésmutatója. Geometriai optika A geometriai optikában a fény terjedését a fénysugár

segítségével írjuk le, ami egy vonal. A fény két pont között (P 1 , P 2 ) mindig úgy terjed, hogy az út megtételéhez szükséges idő extremális (minimális) legyen, azaz: P2  (  dt )  0 , P2 amely azt jelenti, hogy az P1  nds P1 optikai úthossz extremális. Ezt Fermat-elvnek nevezzük A Fermat elv alkalmazásával meghatározható a fényvisszaverődés és a fénytörés törvénye. Lakner: FIZIKA III. KVANTUMECHANIKA 40 Visszaverődés törvénye: a beesési szög – a fénysugár és a beesési merőleges közötti szög,  , megegyezik a visszaverődési szöggel, ’. Fénytörés törvénye. Amikor a fény az 1 közegből (n 1 törésmutatójú) átlép a 2-be (n 2 ) akkor a két közeg határán megtörik a beesési szög,  és a törési szög  közötti összefüggést a Snellius-Descartes törvény írja le: sin  n2  sin  n1 Ha n 2 n 1 ,akkor a 2. közeget az 1 közegnél optikailag sűrűbbnek nevezzük

Optikailag sűrűbb közegbe való áthatoláskor a fénysugár a beesési merőlegeshez (mint esetünkben) törik (kisebb szöget zár be), ritkábbnál pedig attól törik. Teljes visszaverődés Optikailag sűrűbből ritkábba megy, ekkor a törési szög nagyobb, mint a beesési. Növelve a beesési szöget, ha a törési 900 lesz, akkor sin=1, akkor az ehhez tartozó határszög sin h =n 2 /n 1 . Ha  h akkor a ’= szöggel fény-sugár visszaverődik. A teljes visszaverődésen alapul a fény üvegszálon keresztül való továbbítása. Hullámoptika A fény, mint hullám az előző fejezetben tanultaknak megfelelően viselkedik. Amennyiben két hullám találkozik, azok erősíthetik, Lakner: FIZIKA III. KVANTUMECHANIKA 41 gyengíthetik, esetleg ki is olthatják egymást (interferencia). Ha a fény akadályba ütközik, az akadály mögött megjelenik egy árnyékmentes zóna. Ha az akadály mérete a fény hullámhossza nagyságrendjébe esik, akkor

képes az akadálynál elhajolni (diffrakció) 2.2 A hőmérsékleti sugárzás A testek hőmérsékletük függvényében elektromágneses sugárzást (infra, látható fény, ultraibolya) bocsátanak ki. A hőmérsékleti sugárzás egyik alapvető mennyisége a spektrális emisszióképesség A spektrális emisszióképesség (E(,T)) számértéke az egységnyi felületről egységnyi térszögbe, időegység alatt kisugárzott energia egységnyi frekvenciaintervallumra (használatos hullámhosszintervallumra is) eső részének nagyságával egyenlő. Függ a hullámhossztól és a hőmérséklettől A spektrális emisszióképesség mértékegysége: W/m3. A spektrális abszorpcióképesség: A( , T )  Δν sávban elnyelt teljesítmény Δν sávban beeső teljesítmény Az ún. abszolút fekete test minden ráeső sugárzást elnyel Ezért az abszolút fekete test spektrális abszorpcióképessége 1. Kirchhoff törvénye: különböző minőségű testekre, azonos

hőmérséklet és frekvencia esetén a spektrális emisszió és spektrális abszorpcióképesség viszonya állandó: E ( , T )  állandó A( , T ) ezért elegendő csak az abszolút fekete test sugárzását vizsgálni (lsd. az ábrát), a többi testé ennek konstansszorosa minden frekvenciára. Lakner: FIZIKA III. KVANTUMECHANIKA 42 A Stefan-Boltzmann-féle sugárzási törvény megadja az A felületű, T hőmérsékletű abszolút fekete test által π2 térszögbe kisugárzott teljesítményt, amely: P= AT4, Az abszolút hőmérséklet negyedik hatványával arányos, ahol a = 5,67.10-8 (m2K4) az un Stefan-Boltzmann állandó A Wien-féle sugárzási törvény (mai megfogalmazásban): h 2h 3  k BT E ( , T )  2 e , c ahol a h = 6,626 10-34 Js a Plank állandó, a k B = 1,38110-23 JK-1. A fenti törvény jól leírja a nagyfrekvenciájú (rövid hullámhosszú sugárzást, de a hosszúhullámú tartományban egyáltalán nem

használható. E törvényeken kívül Rayleigh és Jeans olyan formulát állított fel, amely kis frekvenciák és magas hőmérsékletek esetén egyezett a tapasztalati görbével: 2 k Bν 3  T  E(  ,T )    c2 ν  amely azonban nagy frekvenciáknál azonban túl nagy értékeket szolgáltatott (ultraibolya katasztrófa). A két utóbbi modell klasszikus meggondolásokon alapult, melynek a lényege az volt, hogy a fekete test folyamatosan sugároz ki energiát. Ezeket az elméleti megfontolásokat - mint láttuk - nem lehetett maradéktalanul összeegyeztetni a hőmérsékleti sugárzás kísérleti vizsgálatának eredményeivel. Max Planck oldotta meg a problémát. Az általa felírt, ún Planck-féle sugárzási törvény megadja az abszolút fekete test spektrális emisszióképességét kifejező függvény matematikai alakját, amely minden frekvenciára (hullámhosszra) egyezik a tapasztalattal: Lakner: FIZIKA III. KVANTUMECHANIKA 43 2 h 3 1

E ( , T )  2 c e h  / k BT  1 Ehhez Plancknak azt kellett feltételeznie, hogy az atomi rezgő rendszerek energiája nem folytonosan, hanem diszkrét adagokban, kvantumokban változik, azaz a hőmérsékleti sugárzás alkalmával a testek az elektromágneses energiát nem folytonosan, hanem meghatározott kvantumokban emittálja. Ezek az energiakvantumok a legkisebb energiaadagok E=h, amelyeket fotonoknak nevezzük és a teljes energia ennek egészszámú (n) többszöröse. 2.3 A fényelektromos jelenség A fémből a megvilágítás hatására elektronok lépnek ki, amit fényelektromos jelenségnek (fotoeffektus) nevezünk. A jelenség törvényszerűségei, amelyek az alábbiak, nem voltak értelmezhetők a klasszikus meggondolások alapján: 1. A kilépő elektronok maximális sebessége csak a fény frekvenciájától függ, nem függ a fény intenzitásától Az adott fémre jellemző küszöbfrekvenciánál kisebb frekvenciájú fény nem vált ki

fotoeffektust. 2. A kilépő elektronok száma függ a megvilágítás intenzitásától Más szóval adott frekvencia esetén a fotoáram a fényerősséggel arányos. 3. Az elektronok kilépése pillanatszerűen megindul megfelelő frekvenciájú fény esetén, bármilyen gyenge a fény intenzitása Ezt úgy is mondhatjuk, hogy a fotoeffektusnak nincs tehetetlensége. Ezzel szemben azt várnánk, hogy nagyobb intenzitású fény esetén több energiát nyer a kilépő elektron, így nagyobb sebességgel lépne ki. Továbbá igen gyenge fény hatására csak meglehetősen hosszú idő után történne kilépés, amig a szükséges fényenergia össze nem gyűlik. Lakner: FIZIKA III. KVANTUMECHANIKA 44 A hullámelmélettel nem magyarázható tapasztalati tényeket Einstein értelmezte 1905-ben. Ez alapján a megvilágított fém valamelyik elektronjával egy energiaadag, az említett foton lép kölcsönhatásba Ezt fejezik ki az Einstein-féle fényelektromos egyenlet az

energiamegmaradás alapján: h  1 mv 2MAX  Wki , 2 ahol W ki az ún. kilépési munka Az összefüggés alapján a fényintenzitástól csak a kilépő elektronok száma függ (nincs minimális intenzitás, már egy foton is elég) energiájuk (sebességük) a frekvenciától, W ki /h a jelenség nem megy végbe. A fotoeffektus úgy fogható fel, mint egy klasszikus ütközési folyamat, amelynél a fenti összefüggés az energia megmaradást fejezi ki. Ütközésnél érvényes az impulzus megmaradás is, tehát a fotonnak impulzus lehet tulajdonítani, amely E m 2 p=mc ebből c a foton tömege = 310-36 nagyon kicsiny. A c a fénysebesség És ez a fénysebességen vett tömeg, a fotonnak nyugalmi tömege nincs. 2.3 Az atomelmélet fejlődése Rutherford által elképzelt modellben az atom tömege a központi, pozitív magban koncentrálódik, körülötte körpályán keringenek az elektronok egyenletes körmozgást végezve. A centripetális erőt a

Coulomb-erő biztosítja. A körpályán keringő elektron azonban, mint gyorsuló töltés, elektromágneses sugárzást bocsát ki, így energiaveszteség következik be, és az elektronnak spirális pályán a magba kellene zuhanni. Ez ellentmond az atomok stabilitásának Továbbá az elektron a csökkenő sugarú pályán egyre nagyobb szögsebességgel keringne, folytonosan változó frekvenciájú elektromágneses hullámokat bocsátana ki, melyek spektruma folytonos lenne szemben a tapasztalt vonalassal. Lakner: FIZIKA III. KVANTUMECHANIKA 45 Balmer a hidrogénatom színképét vizsgálva, azt vonalas színképnek találta, amelyre empirikus úton felállította az ún. Balmerformulát, A kapott vonalakhoz tartozó fény hullámhosszának a reciproka:  1 1   RH  2  2 ,   n1 n2  1 ahol az R H az ún. Rydberg-állandó, amelynek értéke hidrogénre R H =1,097107m-1 és n 2 =n 1 +1, n 1 +2, Amennyiben n 1 =1 az ultraibolya, n 1 =2 a

látható fény (ábra), n 1 3 az infravörös tartományban vagyunk. Az atomi elektronos diszkrét energiaszintjeit és a hidrogénatom vonalas színképét a Bohr-féle atommodell tudta értelmezni. Bohr féle atomodell: Niels Bohr a Rutherford-féle atommodell ellentmondásainak kiküszöbölésére és a diszkrét energiafelvétel, ill. kibocsátás értelmezésére három posztulátumot állított fel: 1. Az atomban az elektronok csak meghatározott pályákon keringhetnek, ezekhez diszkrét energiaértékek tartoznak Eközben az elektron energiát nem sugároz. 2. A megengedett elektronpályákra érvényes: mrv  n h  n  L 2 Lakner: FIZIKA III. KVANTUMECHANIKA 46 ahol n=1,2,3 Eszerint az elektron csak olyan pályákon keringhet (ábra), amelynél az elektron impulzusmomentuma, L a h/2 = ħ egész számú többszöröseit veheti fel. (Az összefüggésben az n a később értelmezendő főkvantumszám lesz.) 3. Két elektronpálya közötti

elektronátmenet foton kisugárzásával, ill. elnyelésével jár A foton energiája: En  Em  h A modell segítségével meghatározhatjuk a hidrogén spektrumát, amelyre az empirikus Balmer formulával megegyező kifejezést kapunk. Bohr-Sommerfeld-modell. A „bolygómodell” alapján nem csupán körpályák, hanem az általánosabb ellipszispályák is elképzelhetők az atom elektronjainál. Pontosabb spektroszkópiai vizsgálatok az eredményezték, hogy a hidrogén színképében a vonalak több összetevőből állnak, azaz finomszerkezetet mutatnak. Sommerfeld ezen tapasztalatok alapján egészítette ki ellipszispályákkal a Bohrmodell körpályáit. Ezek az ellipszispályák az adott n-hez tartozó Bohr féle pályán belül vannak, melyek impulzusmomentumai Ll h  l , 2 ahol l=0, 1, 2, n-1 a mellékkvantumszám, míg az n a pályák összességét jelentő héjra (tulajdonképpen az ellipszisek nagytengelyére) jellemző főkvantumszám. Mivel

l lehet nulla is és minden körmozgás nullánál nagyobb impulzusmomentumot eredményez, így lħ nem is a klasszikus értelembe vett impulzusnyomaték. Zeeman-effektus. Zeeman kísérletileg kimutatott egy elméletileg már korábban megjósolt jelenséget: erős mágneses mezőben a színképvonalak több összetevőre bomlanak (felhasadnak). Ez az ún. (normális) Zeeman-effektus Amennyiben az elektront úgy fogjuk fel, mint az atommag körüli köráramot, akkor ennek a köráramnak van mágneses momentuma, amelynek nagysága: M= B l Lakner: FIZIKA III. KVANTUMECHANIKA 47 arányos az impulzusmomentummal és az arányossági tényező az un. Bohr magneton, amely  B = eħ/2m, ahol , e az elektron töltése m a tömege. Az M mágneses momentum vektor, amelynek vetületei adott z irányban: M =Mcos= B lcos, ahol vezessük be az m=lcos jelölést, akkor az m az impulzusmomentum-vektor vetületeit jellemzi és szintén egész számot vehet fel, nevezetesen

m=-l,0,+l. Az m-et mágneses kvantumszámnak nevezzük. Spinkvantumszám. További spektroszkópiai vizsgálatok eredménye úgy magyarázható, hogy az elektronnak saját forgása miatt is van impulzusmomentuma, ez a saját impulzusmomentum, vagy spin (L S =sħ). Az ebből adódó spinkvantumszám (s) csak kétféle értéket vehet fel: s=±1/2. Pauli-elv. Pauli (1900-1958) a róla elnevezett tilalmi elvet 1925-ben fogalmazta meg. Az atomban kötött elektronra vonatkozóan eszerint: az atomban nincs két olyan elektron, amelynek mind a négy kvantumszáma megegyezik. Általánosan: bármely fizikai rendszerben, a rendszer valamely adott kvantumszámokkal jellemzett állapotában nem lehet egynél több elektron. A Pauli-féle tilalmi elv alapján értelmezhetjük a Mengyelejev (1834-1907) által 1869-ben kidolgozott periódusos rendszert. Mengyelejev az elemeket kémiai viselkedésük alapján foglalta rendszerbe, melynek fizika alapját a Pauli-elv adta meg. Nézzünk erre egy

példát: Az alumíniumnak 13 elektronja van, mivel minden atom alulról épül fel, az n=1 héjhoz tartozik l=0, amihez m=0, így az 1s pályán a két lehetséges spin-kvantumszámnak megfelelően 2 elektron van. Az n=2 héjhoz tartozik a 2s pálya, amelyen az előzővel megegyezően szintén 2 elektron van, és a 2p, (l=1) amelynél m=-1, 0 és +1, azon 6 elektron található. Összesítve az n=2 héjon összesen 8 elektron van. A maradék 3 elektron pedig úgy oszlik el, hogy a 3s pályára jut 2 és a 3p-re pedig 1. Ezek alapján az alumínium elektronszerkezete a következőképpen alakul: 1s2, 2s2, 2p6, 3s2, 3p1. Lakner: FIZIKA III. KVANTUMECHANIKA 48 2.4 Hullámmechanika Az anyag kettős természete A fény kettős természete közismert, lehet hullám is meg részecske is (komplementaritás, lsd. a következő ábrát) A hullámtermészet jellemzője a hullámhossz,  és azt jelenti, ha két azonos hullámhosszú hullám találkozik, akkor azok a közöttük lévő

fáziskülönbség függvényében erősíthetik, vagy gyengíthetik, esetleg ki is olthatják egymást (interferencia). A részecs-ketermészetre (korpuszkula) az impulzus, a p=mv (m a részecske tömege, v a sebessége) a jellemző, ami ütközéskor átadódhat. A fény kettős természete felveti, hogy a részecskéknek (mozgó anyagi pont) is lehet hullámtermészete. A deBroglie összefüggés értelmében minden p impulzussal rendelkező részecskéhez az alábbi hullámhosszú hullám rendelhető:  h h  p mv , ahol a h=6,57 10-34 joule/s Planck-állandó a köznapi dolgokhoz képest igen kicsiny, ezért a közönséges méretű testeknél a hullámjelenség nem érzékelhető (például egy 10g tömegű, 1000m/s sebességgel repülő puskagolyóhoz rendelhető hullámhossz, =6,57 10-30 m, az majdnem 20 nagyságrenddel kisebb, mint a legkisebb hullámhosszú még kimutatható - a kristályok rácsállandója nagyságrendjébe, 10-10m eső – hullám). Más a

helyzet az elemi részecskéknél, mint például az elektronoknál és a neutronoknál, ezeknél reális sebességeknél a kicsiny tömegük miatt a számított hullámhosszak már az említett a nagyságrendbe eshetnek. Lakner: FIZIKA III. KVANTUMECHANIKA 49 A hullámfüggvény: A hullámokat az úgynevezett hullámfüggvény segítségével írhatjuk fel. Egydimenziós esetben, végtelen hosszú hullámra (szabadon mozgó részecske esete) a hullámfüggvény (lásd 1. fejezet):  ( x, t )  A cos(t  kx) vagy (x, t)  Aei(kxt ) úgynevezett síkhullám lesz, amelynél az A az amplitúdó, az  a hullámon belüli rezgés körfrekvenciája, a k a hullámszám, ami 2 hosszúságú szakaszon elhelyezkedő hullámok számát jelenti, azaz k 2  , p továbbá h   2   k az impulzus is kifejezhető a hullámszám segítségével (=h/2 a redukált Planck állandó). A hullámhoz rendelhető energia pedig E

 ( 12  n) , ahol n  1, 2, 3,.  lépésenként változhat, azaz  csomagokból, úgynevezett kvantumokból áll. Ez az energiacsomag úgy tekinthető, mint egy részecske, melyhez az említett p impulzus rendelhető. Fény esetén ezt a részecskét, miként láttuk, fotonnak nevezzük. Sok esetben érdektelen a hullámon belüli rezgés, azaz az időfüggés, ezért a fenti helyett gyakran az időtől független hullámfüggvényt használjuk (lsd. 1 fejezet), amely, így szabadon mozgó részecskére:  ( x)  Ae ikx , illetve  (r )  Ae ikr háromdimenziós esetben. Ezen utóbbinál a k (k x ;k y ;k z ) hullámszám vektor lesz. Schrődinger egyenlet és megoldásai A (r) hullámfüggvényt általános esetben (nem szabadon mozgó részecskére, azaz amikor az U(r) potenciális energia nem nulla) az úgynevezett időtől független Schrődinger egyenlet adja, amely Lakner: FIZIKA III. KVANTUMECHANIKA 50  2    

U(r) (r)  E(r) , ahol  2m  2 2 2  2  2  2 x y z a Laplace operátor. A fenti egy másodrendű parciális differenciál-egyenlet, melynek megoldásai a potenciális energia ismeretében a peremfeltételek segítségével kaphatók meg. Nézzünk két példát Szabadon mozgó elektron egydimenziós esetben. Az U(x)=0 és a Schrődinger egyenlet 2 2mE  ( x)  2  ( x)  0 . 2  x Keressük a hullámfüggvényt a szokásos  ( x)  A exp(ikx) alakban, Ekkor behelyettesítve a hullámegyenletbe: 2 k 2 p 2 E  , 2m 2m p  k ahol az energia, mint a k hullámszám függvénye folytonos. Potenciáldobozban mozgó elektronok A Schrődinger egyenlet U U= 2 2 m( E  U 0 ) x  ( )   ( x)  0 x 2 2 A peremfeltételek: 0 U0 a x (0)= (a)=0. A megoldás az előző alapján szintén  ( x)  A exp(ikx) alakú lesz, amely akkor elégíti ki a peremfeltételeket, ha

(x)  Aeikx  C1 sinkx  C2 coskx x=0 x=a C 2 =0 és C 1 =A kn π a , tehát a hullámszám nem vehet fel akármilyen értéket, csak olyant, amikor az a távolság a félhullámhossz egész számú többszöröse. Lakner: FIZIKA III. KVANTUMECHANIKA 51 Ebből az energia: h2  U0 En  n 8ma 2 szintén diszkrét lesz, azaz az egyenletnek csak bizonyos energiaértékek mellett létezik megoldása, ezeket sajátenergia-értékeknek nevezzük, a hozzá tartozó függvények úgynevezett sajátfüggvények. A hullámfüggvény az egész térre véve normált, azaz :    dV  1 2  így a  a részecskének az egységnyi térfogatra vonatkoztatott előfordulási valószínűségét (sűrűségfüggvény) adja. 2 Hidrogénatom esetén a potenciál-függvény U(r)=-e2/r a Coulomb potenciál, A Schrődinger egyenlet megoldásai az elektronpályák (az elektron tartózkodási valószínűségei, a Bohr pálya sugara) lesznek, a

sajátértékei a már említett energia-értékek (lsd. Balmer-formula) Potenciálgát, alagúteffektus. Egy elektron akar átmenni egy U 0 magasságú és a szélességű potenciál-gáton. A klaszszikus meggondolás alapján, ha a részecske U energiája, E U 0 , akkor nem tud átmenni. A kvantum-mechanika szerint (a Schrődinger a U0 E egyenletből itt nem részletezett módon) megkapható, hogy ebben az esetben is van valószínűsége az átmenetnek, nevezetesen:  P  De 2a 2 m (U 0  E )  , amely annál kisebb, minél nagyobb U 0 illetve a, de nem nulla. Úgy néz ki, mintha klasszikus értelemben az elektron egy „alagúton” ment volna át a potenciáldomb alatt. Innen az elnevezés Lakner: FIZIKA III. KVANTUMECHANIKA 52 Hullámcsomag. A hullámmechanika szerint a szabadon mozgó elektron(x) hullámfüggvénye k hullámszámmal (p=k impulzussal) rendelkező síkhullám, amely végtelen kiterjedésű. Mivel a(x)2 az elektron

tartózkodási valószínűségét adja, amely jelenleg bármi is lehet A ugyanakkor az elektron egy korpuszkula is (pontszerű) tehát a térben jól definiált tartózkodási helye van. A kettő úgy egyeztethető össze, hogy az elektront hullámcsomagnak tekintjük, azaz a(x) egy hullámcsomag, ami Fourier-sorba fejthető (lsd. 1 fejezet), azaz  ( x )   c n n ( x ) , 2 x x ik x ahol  n ( x)  e n sajátfüggvények, a k n a megfelelő sajátfüggvényhez tartotó hullámszám (impulzus, p n =k n ). Mivel (x) 2 az elektron tartózkodási valószínűségét jelenti, így adott megoldásnál (adott hullámcsomagnál) az csak x bizony- talansággal (szórással adható meg. Heisenberg féle határozatlansági reláció. c2 p p A c 2 az adott p impulzussal rendelkező sajátfüggvény részarányát a hullámcsomagon belül, azaz tulajdonképpen az impulzusok eloszlását. Hasonlóképpen a helyhez az

impulzus is csak egy bizonyos szórással, p bizonytalansággal adható meg Amennyiben tekintjük azt a szélső esetet, ami a hullámcsomag egy (sík)hullámból áll, akkor p=0, viszont x= lesz (végtelen síkhullám). Másik esetben, amikor x=0, egy olyan függvényt kapunk (az un.  függvény), amely sorában mindenféle síkhullám előfordul, azaz p=. Vagyis a két mennyiség egymással ellentétesen változik, ami azt jelenti, hogy szorzatuk konstans, pontosabban nem lehet kisebb egy konstansnál, azaz meghatározási pontosságuk: xp  h ami a jól ismert Heisenberg féle határozatlansági reláció. Azt fejezi ki, hogy egy részecske helyét és impulzusát egyidőben nem tudjuk kellő pontossággal meghatározni. Lakner: FIZIKA III. KVANTUMECHANIKA 53