Mathematics | High school » Matematika központi írásbeli felvételi feladatsor megoldással, 2009

2009. január 24 MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 2009. január 24 11:00 óra NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tollal dolgozz! Zsebszámológépet nem használhatsz. A feladatokat tetszés szerinti sorrendben oldhatod meg. Minden próbálkozást, mellékszámítást a feladatlapon végezz! Mellékszámításokra az utolsó oldalakat is használhatod. A megoldásra összesen 45 perced van. Jó munkát kívánunk! 8. évfolyam – AMat1 feladatlap / 3 1. Határozd meg a táblázatban lévő betűk értékét úgy, hogy a sorokban és az oszlopokban kijelölt műveletek eredménye helyes legyen! 3 5 + : 8 4 7 = A = B a b c d – · –9 = = C D a) A = . b) B = . c) C = . d) D = . 2. a b c Tedd igazzá az alábbi egyenlőségeket a hiányzó adatok beírásával! a) 45 dm3 + 1650 cm3 = liter b) 12 m – . cm = 115,5 dm c) 0,5 óra + 180 másodperc = . perc 2009. január 24 8. évfolyam

– AMat1 feladatlap / 4 3. Hányféleképpen lehet kifizetni pontosan (tehát visszaadás nélkül) 35 forintot 5, 10 és 20 forintos érmékkel? Írd be a táblázatba az összes lehetőséget! A példaként beírt eset azt jelenti, hogy 1 darab 5 forintossal és 3 darab 10 forintossal fizettük ki a 35 forintot. Lehet, hogy több sora van a táblázatnak, mint ahány eset lehetséges 5 forintos érmék száma 10 forintos érmék száma 20 forintos érmék száma összesen 1 3 0 35 Ft 35 Ft 35 Ft 35 Ft 35 Ft 35 Ft 35 Ft 2009. január 24 a 8. évfolyam – AMat1 feladatlap / 5 4. Molnár úr egy hirdetést adott fel az egyik újságban. Az alábbi diagram azt mutatja, hogy a hirdetés megjelenését követő hét egyes napjain hányan hívták fel Molnár urat a hirdetéssel kapcsolatban. hívások száma 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 hétfő kedd napok szerda csütörtök péntek szombat vasárnap a) Melyik napon telefonált a legtöbb érdeklődő? b) Összesen

hányan telefonáltak a héten? c) Az összes e heti érdeklődő hányad része telefonált hétfőn? d)-e) Hasonlítsd össze a keddi és a csütörtöki telefonálók számát! Hány százalékkal volt több hívás kedden, mint csütörtökön? Írd le a számolás menetét is! 2009. január 24 a b c d e 8. évfolyam – AMat1 feladatlap / 6 5. Írj az állítások melletti rovatba I vagy H betűt, annak megfelelően, hogy igaz vagy hamis az adott állítás! a) Van olyan trapéz, amelynek kettőnél több szimmetriatengelye van. a b c d e f b) Két prímszám összege nem lehet prímszám. c) Nincs olyan szám, amelynek abszolút értéke egyenlő a reciprokával. d) Minden négyzet deltoid. e) Van olyan háromszög, aminek a magasságpontja az egyik csúcsára esik. f) Nyolc darab olyan kétjegyű pozitív egész szám van, ami az 1-es és 2-es számjegyen kívül más számjegyet nem tartalmaz. 6. Az ábrán látható ABC derékszögű háromszögben a BC

befogó 5 egység hosszúságú. A CD szakasz az AB átfogóhoz tartozó magasság, a BCD szög 10°-os. Az ACD szöget a CP szakasz felezi. Határozd meg az ábrán jelölt β, α, δ és ε szögek nagyságát, valamint a PB szakasz hoszszát! C δ δ 10° 5 A ε α P • D β B a) β = . b) α = . c) δ = . d) ε = . e) PB = . 2009. január 24 a b c d e 8. évfolyam – AMat1 feladatlap / 7 7. a b c d e Egy rajzzal megadott sorozat első három tagját látod az alábbiakban. 1. a) 2. 3. Milyen szabály szerint növekszik az egymást követő tagokban a körök száma? A sorozatot a megadott három tag ábrája alapján meghatározott növekedési szabály szerint folytatjuk. b) Hány kis körből áll a sorozat 5. tagja? c) Hány kis körből áll a sorozat 100. tagja? d)-e) A sorozat hányadik tagjának lerajzolásához kell pontosan 49 kis kört felhasználni? Írd le a megoldás menetét! 2009. január 24 8. évfolyam – AMat1 feladatlap

/ 8 8. Attila és barátai péntek délután kerékpártúrára indultak. A péntek esti szállásig a túra teljes hosszának 2 4 részét tették meg. Szombaton a túra teljes hosszának részét teljesítették. 9 7 Attila boldogan mondta szombat este a szálláson, hogy a túra teljes útvonalából már 100 kilométert megtettek. Milyen hosszú a túra teljes útvonala? Írd le a megoldás menetét! 2009. január 24 a b c d 8. évfolyam – AMat1 feladatlap / 9 9. Egy konzervgyár az őszibarack-befőttet az ábrán látható henger alakú konzervdobozban hozza forgalomba. A henger m magassága 15 cm, alapkörének r sugara 5 cm hosszú A szállításhoz hat ilyen konzervdobozt csomagolnak az ábrán látható módon egy olyan téglatest alakú zárt papírdobozba, amelybe éppen szorosan beleférnek. m r a) Hány cm hosszú a papírdoboz leghosszabb éle? (A papírdoboz falának vastagságától eltekintünk.) b)-c) Mekkora a fenti zárt papírdoboz felszíne?

d)-e) Mekkora a fenti zárt papírdoboz térfogata? f) A biztonságos szállítás érdekében a dobozokat három irányban ragasztószalaggal körberagasztják. Az ábrán vastag vonallal jelöltük a ragasztószalagokat Hány centiméter hosszú ragasztószalag szükséges és elegendő ahhoz, hogy egy ilyen dobozt az ábrán látható módon (tehát a vastag vonalak mentén) mindhárom irányban körberagasszunk? 2009. január 24 a b c d e f 8. évfolyam – AMat1 feladatlap / 10 10. 4 A 8. A osztályba 36 tanuló jár Az előző tanév végén az osztály részének matematika jegye 9 nem volt rosszabb négyesnél, míg az osztály 75%-ának matematika jegye nem volt jobb négyesnél. Válaszolj a következő kérdésekre, és írd le a megoldás menetét is! a)-c) Az osztály hány tanulójának volt matematikából négyese hetedik végén? d) Hány tanulónak volt ötöse matematikából hetedik végén? Az osztály tanulói közül hetedik végén nem bukott meg

senki matematikából, és háromszor annyian kaptak hármast, mint kettest. e)-f) Az osztály hány tanulójának volt hármasa hetedik végén matematikából? 2009. január 24 a b c d e f 2009. január 24 8. évfolyam – AMat1 feladatlap – Javítókulcs / 1 Javítókulcs MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolyamosok számára AMat1 A javítókulcsban feltüntetett válaszokra a megadott pontszámok adhatók. A pontszámok részekre bontása csak ott lehetséges, ahol erre külön utalás van. 1. a) b) c) d) 41 35 B = – 72 3 C 40 67  4 D  9  7  7 A 1 pont 1 pont 1 pont 1 pont 2. a) 45 dm3 + 1650 cm3 = 46,65 liter 1 pont b) 12 m – 45 cm = 115,5 dm 1 pont c) 0,5 óra + 180 másodperc = 33 perc 1 pont 3. a) 5 forintos érmék száma 10 forintos érmék száma 20 forintos érmék száma összesen 1 3 0 35 Ft 7 0 0 35 Ft 5 1 0 35 Ft 3 2 0 35 Ft 3 0 1 35 Ft 1 1 1 35 Ft Minden, a táblázat első sorában

megadott példától eltérő helyes megoldás 1 pontot ér. Egy helyes eset ismételt leírása nem jelent újabb megoldást. max. 5 pont kedden 39-en 7 39 80% 1 pont 1 pont 4. a) b) c) d) 1 pont 1 pont 2009. január 24 e) 8. évfolyam – AMat1 feladatlap – Javítókulcs / 2 Egy lehetséges megoldási mód: Csütörtökön 5 hívás volt, kedden ennél 4-gyel több (vagy: kedden 9). 4 Így  100% = 80%-kal volt több hívás kedden, mint csütörtökön. 5 1 pont Ha az utolsó kérdésre hibásan válaszolt (például az összes híváshoz viszonyítva számolta ki a keddi és a csütörtöki hívások százalékos arányát, majd a különbségüket vette, vagy számolási hibát vétett), ám a megoldás közben minden esetben helyesen számolt százaléklábat, akkor a d) itemre ne kapjon pontot, de az e) item pontját kapja meg! 5. a) b) c) d) e) f) I H H I I H 1 pont 1 pont 1 pont 1 pont 1 pont 1 pont a) b) c) d) e) β = 80° α = 10° δ = 40° ε = 50°

PB = 5 1 pont 1 pont 1 pont 1 pont 1 pont 6. Ha valamelyik részeredményt rosszul határozta meg, és azzal elvileg helyesen és pontosan számolt tovább, akkor a hibás részeredményért nem jár pont, de a további pontokat kapja meg! 7. a) b) c) d) e) Például: Az egymást követő tagokban mindig 4-gyel nő a körök száma. vagy Minden tagban a körök száma a sorszám 4-szeresénél 1-gyel több. Bármely más, jó, számszerűen megadott növekedési szabályért is jár az 1 pont. Az item maximális pontértéke 1 pont. 21 (jó ábra esetén akkor is jár a pont, ha nem írt számadatot) 401 12 Helyes megoldási menet (például 49  1 : 4 vagy 4x + 1 = 49) 8. I. megoldási mód a) Legyen a túra teljes hossza x km. A feltételek szerint: 2 4 x  x  100 9 7 50 x  100 (helyes összevonás) b) 63 63 (helyes egyenletrendezés) c) x  100  50 1 pont 1 pont 1 pont 1 pont 1 pont 2 pont 1 pont* 1 pont* 2009. január 24 d) 8. évfolyam – AMat1

feladatlap – Javítókulcs / 3 x  126 (km) (az ismeretlen helyes kiszámítása) 1 pont* A *-gal jelzett pontokat akkor is kapja meg, ha az eredeti egyenletet nem helyesen írta fel, de az általa felírt egyenlet törtegyütthatós lineáris egyenlet, valamint ennek az egyenletnek a megoldása során az egyes itemekben szereplő lépéseket elvileg helyesen, pontosan számolva végrehajtotta! Számolási hiba esetén csak azt a pontot veszítse el, ahol a számolási hibát elkövette! II. megoldási mód a) Az első két nap összesen megtették az út b) A túra hosszának c) d) 2 4 50   részét. 9 7 63 50 része 100 km, 63 1 része 2 km. 63 A teljes út így 126 km. így az út 2 pont 1 pont* 1 pont* 1 pont* A *-gal jelzett pontokat akkor is kapja meg, ha a törteket rosszul adta össze, de az általa felírt összeggel a továbbiakban elvileg helyesen és pontosan számolt! Ha a tanuló rajz segítségével oldotta meg a feladatot, és a rajzon helyesen

jelölte az arányokat és a távolságokat, akkor a megfelelő pontszámokat kapja meg! 9. a) b) c) d) e) f) 30 cm A felszínszámítás elvileg helyes. 2700 cm2 (= 27 dm2) A térfogatszámítás elvileg helyes. 9000 cm3 (= 9 dm3) 260 cm 1 pont 1 pont* 1 pont* 1 pont* 1 pont* 1 pont* Ha hibás élhosszakkal, de elvileg helyesen és pontosan számolt, akkor is kapja meg a *-gal jelölt pontokat! 10. Egy lehetséges megoldási mód: 4 része 16. a) 36-nak a 9 b) 36-nak a 75%-a 27. c) 27 + 16 – 36 = 7 négyes volt. 1 pont 1 pont 1 pont A megadott megoldási módtól eltérő más, elvileg helyes megoldási mód helyes lépéseiért a megfelelő pontok járnak! d) e) f) 16 – 7 = 9 ötös volt. 36 – 16 = 20-nak kettese vagy hármasa volt. 20  3  15 -nek volt hármasa. 3 1 Ha a tanuló valamelyik részben hibázott, abban nem kap pontot, de ha a következő részben a hibás eredményével elvileg helyesen és pontosan folytatta a számolást, akkor a további

pontokat kapja meg! 1 pont 1 pont 1 pont 2009. január 29 MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 2009. január 29 15:00 óra NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tollal dolgozz! Zsebszámológépet nem használhatsz. A feladatokat tetszés szerinti sorrendben oldhatod meg. Minden próbálkozást, mellékszámítást a feladatlapon végezz! Mellékszámításokra az utolsó oldalakat is használhatod. A megoldásra összesen 45 perced van. Jó munkát kívánunk! 8. évfolyam – AMat2 feladatlap / 3 1. Számold ki soronként, és írd be a táblázat üres mezőibe a hiányzó számokat a megadott összefüggés alapján! Írd le a számolás menetét! x y 5 6 3 1 3 2. 3x – 2y − 13 3 Aladár, Béla, Csaba, Dénes és Ede túrázni indultak. Az iskolai szertárból egy kétszemélyes és egy háromszemélyes sátrat kölcsönöztek. Az öt fiú közül Aladár és Béla a két legnagyobb termetű, ezért úgy

döntöttek, hogy ők nem alszanak egy sátorban. Hogyan osztozhat az öt fiú a két sátoron, ha az egy sátoron belüli elhelyezkedési sorrendet nem kell figyelembe vennünk? Keresd meg az összes lehetőséget, és írd a sátrak ábrájába a fiúk nevének kezdőbetűjét úgy, ahogy az a példában is látszik! Lehet, hogy több ábra van, mint ahány lehetséges eset. kétszemélyes sátor A E a b c d e háromszemélyes sátor B Cs D 2009. január 29 a 8. évfolyam – AMat2 feladatlap / 4 3. 4. a b c Tedd igazzá az alábbi egyenlőségeket a hiányzó adatok beírásával! a) 3 dm2 + 1650 mm2 = cm2 b) 6,5 kg – . dkg = 6050 g c) 2 óra + másodperc = 126 perc Az egyik általános iskolában (I) a hét három délutánjára háromféle tömegsport foglalkozást szerveztek a tanulóknak: labdajátékokat (L), atlétikát (A), tornát (T). 175 tanuló egyik foglalkozáson sem vesz részt Az alábbi diagram az iskola tanulóinak megoszlását mutatja az

egyes csoportokban. A L 21 54 10 175 8 72 6 12 T I a) Hány tanuló vesz részt pontosan két csoport foglalkozásain? . b) Hány tanulója van az iskolának? . c)-d) A tornára járók száma hány százaléka a csak labdajátékokra járók számának? Írd le a számolás menetét! 2009. január 29 a b c d 8. évfolyam – AMat2 feladatlap / 5 5. Az aranyötvözetek tisztaságát karátban mérik. A karát azt mutatja meg, hogy az ötvözet hány huszonnegyed része az arany. Például, ha egy aranyötvözet 17 karátos, akkor tömegének 17 része arany, a többi pedig különféle ötvöző anyag. 24 a) Hány karátos a tiszta arany? . b)-c) Az ékszerész egy 60 grammos, 14 karátos nyakláncot szeretne készíteni. Hány gramm tiszta aranyat tartalmaz ez a nyaklánc? Írd le a számolás menetét! d)-e) Hány karátos az az ötvözet, amelynek 12,5 %-a a tiszta arany? Írd le a számolás menetét! 2009. január 29 a b c d e 8. évfolyam – AMat2

feladatlap / 6 6. Egy 36 cm2 területű négyzet oldalait három egyenlő részre osztottuk, majd a harmadoló pontokat az ábra szerint összekötöttük. a A a H a a a B γ G a a C F a a a D a E a a) Határozd meg az ábrán jelölt γ szög nagyságát! . b) Hány tükörtengelye van az ABCDEFGH nyolcszögnek? . c) Mekkora az eredeti négyzet egy oldalának hossza? . d)-e) Mekkora a ABCDEFGH nyolcszög területe? Írd le a számolás menetét! 2009. január 29 a b c d e 8. évfolyam – AMat2 feladatlap / 7 7. Egy egész számokból álló sorozat bármelyik tagjából a következő tagot az alábbi szabály alapján kapjuk meg: Ha a tag páros szám, akkor a következő tag legyen ennek a számnak a fele, ha viszont a a b c d e tag páratlan szám, akkor a következő tag legyen ennek a számnak a háromszorosánál eggyel nagyobb szám. Egy ilyen sorozat első 12 tagja a következő: 10 ; 5; 16 ; 8; 4; 2; 1; 4; 2; 1; 4; 2 a)-c)

Határozd meg ennek a sorozatnak az ötvenedik tagját! Válaszodat indokold! d)-e) Ha a 10 nem az első, hanem a második tagja lenne ennek a sorozatnak, akkor melyik szám lehetne a sorozat első tagja? 8. Írj az állítások melletti rovatba I vagy H betűt, annak megfelelően, hogy igaz vagy hamis az adott állítás! a) Van olyan háromjegyű páratlan természetes szám, amelyben a számjegyek összege 2. b) Minden rombusznak pontosan két szimmetriatengelye van. c) Van olyan racionális szám, amelynek négyzete kisebb a számnál. d) Minden deltoid paralelogramma. e) 81 darab olyan kétjegyű pozitív egész szám van, amelynek a számjegyei különbözőek. f) Van olyan két egész szám, amelyek szorzata prímszám. 2009. január 29 a b c d e f 8. évfolyam – AMat2 feladatlap / 8 9. Lajos építkezik, most érkezett el a fürdőszoba burkolásához. A fürdőszoba alaprajzát az alábbi vázlat mutatja. A padlóra csúszásmentes járólapot, az oldalfalakra

teljes magasságban csempét szeretne rakatni. A fürdőszoba belmagassága 3 m, a fürdőszoba ajtajának és az ablakának együttes területe 3,6 m2. b 1,8 m a 1m 1,2 m 2,6 m Határozd meg az a és a b betűvel jelzett oldalak hosszát! a) a = . b) b = . c) Hány m2 a fürdőszoba alapterülete? . d)-f) Hány négyzetméternyi falfelületet csempéznek majd a fürdőszobában? Írd le a számolás menetét! 2009. január 29 a b c d e f 8. évfolyam – AMat2 feladatlap / 9 10. János gazda krumplit termelt a kertjében. A termést 22 zsákba rakta úgy, hogy minden zsákba ugyanannyi tömegű krumplit tett, majd a zöldségpiacon árulni kezdte. Az első napon eladott 9 zsák krumplit és még 44 kg-ot. A második napon 13 kg híján 7 zsákkal, végül a harmadik napon 6 kg híján 5 zsákkal. Így összesen fél zsák krumplija maradt meg. Válaszolj a következő kérdésekre, és írd le a megoldás menetét is! a)-c) Hány kg krumpli volt egy zsákban? d)-e)

Hány forintot kapott összesen, ha kilogrammonként 60 forintért adta el az árut? f) Ha János gazda bevételének 60%-a volt az összes költsége, akkor mennyi volt a tiszta haszna az eladott krumplin? 2009. január 29 a b c d e f 2009. január 29 8. évfolyam – AMat2 feladatlap – Javítókulcs / 1 Javítókulcs MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolyamosok számára AMat2 A javítókulcsban feltüntetett válaszokra a megadott pontszámok adhatók. A pontszámok részekre bontása csak ott lehetséges, ahol erre külön utalás van. 1. a) b) c) d) e) 5 3⋅ − 2⋅3 = 6 1 7⎞ ⎛ = −3,5 ⎜ = −3 = − ⎟ 2 2⎠ ⎝ 1 13 3x − 2 ⋅ = − 3 3 11 3x = − 3 11 x=− 9 1 pont 1 pont 1 pont* 1 pont* 1 pont A *-gal jelzett pontok a megoldáshoz vezető bármely helyes lépésért járnak. 2. a) kétszemélyes sátor A háromszemélyes sátor E B Cs D A Cs D B A D B Cs E B Cs A D E B D A Cs E B E A Cs D E Minden, az ábra első sorában

megadott példától eltérő helyes elrendezés 1 pontot ér. Egy helyes eset ismételt leírása nem jelent újabb helyes megoldást. max. 5 pont 2009. január 29 3. a) 8. évfolyam – AMat2 feladatlap – Javítókulcs / 2 3 dm2 + 1650 mm2 = 316,5 cm2 1 pont b) 6,5 kg – 45 dkg = 6050 g 1 pont c) 1 pont 2 óra + 360 másodperc = 126 perc 4. a) 37 b) 358 c) 36-an járnak tornára, 72-en csak labdajátékokra, tehát 1 pont 1 pont 36 ⋅ 100% 72 A leírttól eltérő más helyes indoklás is elfogadható. d) 50% 1 pont 1 pont Ha a tanuló valamelyik eredményt hibásan adta meg, és azt felhasználva helyesen számolt tovább, a további eredményekért jár a pont. Ha csak a helyes végeredményt írta le a tanuló a feladat utolsó kérdésére, akkor a d) itemre 1 pontot kap, de a c) itemre nem kap pontot. 5. a) 24 14 = 24 A leírttól eltérő más helyes indoklás is elfogadható. c) = 35 (gramm) 12,5 3 x 12,5 = vagy 24 ⋅ 0,125 vagy = d) 100 24 24 100

A leírttól eltérő más helyes indoklás is elfogadható. e) tehát 3 karátos az ötvözet. b) 60 ⋅ 1 pont 1 pont 1 pont 1 pont 1 pont 6. a) b) c) d) e) γ = 135° 4 6 (cm) 28 (cm2) A terület meghatározásának bármilyen helyes módszere (például háromszög terület, átdarabolás, ). 1 pont 1 pont 1 pont 1 pont 1 pont 2009. január 29 8. évfolyam – AMat2 feladatlap – Javítókulcs / 3 7. a) A sorozatban a 4, 2, 1 ciklus ismétlődik. b) A sorozat elején a 8-cal bezárólag van 4 darab szám, majd a 4, 2, 1 ismétlődő ciklusból van 15 darab, 1 pont 1 pont Ha a tanuló tételesen nem írta le az a) és b) itemben általunk megadott indoklást, de a számolási menetéből kiderül, hogy így gondolkozott, akkor is kapja meg az 1-1 pontot! c) ami eddig összesen 49 darab szám, így az 50. szám a 4 d) A sorozat első tagja lehet a 20, e) vagy a 3. 1 pont 1 pont 1 pont Ha az első kérdésre adott helyes válaszát a sorozat tagjainak

felsorolásával indokolta, akkor is kapja meg az a), b) és c) item pontjait! Ezek a pontok nem járnak, ha a felsorolásban hibát vétett. 8. a) b) c) d) e) f) I H I H I I 1 pont 1 pont 1 pont 1 pont 1 pont 1 pont 9. a) a = 3 (m) Más mértékegységgel megadott helyes válaszért is jár az 1 pont. b) b = 1,6 (m) Más mértékegységgel megadott helyes válaszért is jár az 1 pont. c) 6 (m2) d) Elvileg jól összegezte az oldalfalak területét. (33,6 m 2 ) e) Kivonja az ajtó és az ablak összterületét. f) 30 (m2) 1 pont 1 pont 1 pont 1 pont 1 pont* 1 pont* Ha hibás adatokkal, de elvileg helyesen és pontosan számolt, akkor is kapja meg a c), d), e) és f) itemekre járó megfelelő pontokat! Ha a falak összterületét jól számolta ki, de nem vonta le az ajtó és az ablak összterületét, akkor a *-gal jelzett pontokat nem kapja meg! 10. a) Ha 1 zsák krumpli x kg, akkor 9 x + 44 + 7 x − 13 + 5 x − 6 + x = 22 x . 2 b) 21,5 x + 25 = 22 x c) x = 50 Az

ismertetett megoldástól eltérő, más helyes megoldásért is meg kell adni a megfelelő pontokat. d) 21,5 x = 1075 kg krumplit adott el, e) 1075 ⋅ 60 = 64500 forintot kapott. f) 64500 ⋅ 0,4 = 25800 forint volt a haszna. Ha valamelyik értéket elszámolta a tanuló, és a hibás eredményt felhasználva elvileg helyesen és pontosan számolt tovább, a további eredményekért jár a pont. 1 pont 1 pont 1 pont 1 pont 1 pont 1 pont