Control engineering | Higher education » Irányítástechnika II, lineáris szabályozások

IRÁNYÍTÁSTECHNIKA II. Lineáris szabályozások 2008 Tartalomjegyzék 1. Alapfogalmak4 1.1 Az irányítás4 1.2 Vezérlés, szabályozás6 1.3 Önműködő szabályozások elvi felépítése7 1.4 Zavarkompenzáció8 1.5 Szabályozási szervek szerkezeti jellegzetességei8 1.6 Szabályozások osztályozása9 2. Folyamatos jelű lineáris szabályozási rendszerek determinisztikus vizsgálatának matematikai eszközei.11 2.1 Differenciálegyenlet módszer11 2.11 Lineáris rendszer tranziens folyamatai12 2.2 Tipikus vizsgálójelek, a súlyfüggvény, az átmeneti függvény13 2.3 A konvolúciós integrál15 2.4 Frekvencia transzformációk16 2.41 Fourier-transzformáció17 2.411 Fourier sor17 2.412 Fourier integrál18 2.42 Laplace-transzformáció19 3. Lineáris tagok jelátviteli tulajdonságainak jellemzésére használt függvények21 3.1 Az átviteli függvény21 3.11 Határértéktételek22 3.2 A frekvencia átviteli függvény 22 3.21 A frekvencia átviteli függvény

ábrázolásmódjai24 3.211 Az amplitúdó-fázis jelleggörbe (Nyquist-diagram)24 3.212 Amplitúdó–körfrekvencia, fáziskörfrekvencia diagram (Bode–diagram)25 3.3 Tagcsoportok eredő átviteli függvényei26 3.31 Soros kapcsolás26 3.32 Párhuzamos kapcsolás27 3.33 Visszacsatolás27 3.34 A hatásvázlat átalakítások28 3.4 Összefoglalás (1-3 fejezet)29 4. Lineáris tagok jelátviteli tulajdonságai31 4.1 Ideális alaptagok31 4.11 Arányos (P) tag31 4.12 Integráló (I) tag32 4.13 Differenciáló (D) tag34 4.2 Tárolós tagok36 4.21 Egytárolós (T1) tag36 4.22 Kéttárolós (T2) tag39 4.23 Holtidős tagok43 4.231 Holtidős arányos, tároló nélküli (PH) tag43 4.3 Összetett alaptagok45 4.31 Arányos–differenciáló (PD) tag45 4.32 Arányos-integráló (PI) tag47 4.33 Arányos-integráló-differenciáló (PID) tag49 4.4 Összefoglalás50 5. Zárt szabályozási rendszerek jelátviteli tulajdonságai52 5.1 Zárt szabályozási körök minősége52 5.2 Zárt

szabályozási rendszerek eredő átviteli függvényei 55 5.3 Szabályozási körök típusszám szerinti csoportosítása56 5.4 Statikus zavarelhárítási tulajdonságok58 5.5 Statikus alapjelkövetési tulajdonságok59 5.6 Összefoglalás63 6. Lineáris szabályozások stabilitása64 6.1 A stabilitás fizikai képe64 6.2 A stabilitás matematikai megfogalmazása64 6.3 Stabilitási kritériumok65 6.31 631 Routh stabilitási kritérium65 6.32 A Nyquist stabilitási kritérium68 6.33 Bode stabilitási kritérium71 6.4 Strukturális és feltételes stabilitás72 6.5 Összefoglalás73 7. Szabályozási körök minőségi jellemzőinek javítása kompenzációval74 7.1 Soros kompenzáció75 7.11 P típusú kompenzáció75 7.12 PI típusú kompenzáció76 7.13 PD típusú kompenzáció78 7.14 PID típusú kompenzáció79 7.2 Kompenzáció visszacsatolással81 7.3 Kompenzáló szervek megvalósítása műveleti erősítővel82 7.4 Holtidős szakasz kompenzálása85 8. Szabályzók

méretezése a szabályozott szakasz átviteli függvénye és a minőségi jellemzők alapján. 88 FELHASZNÁLT IRODALOM.89 1. Alapfogalmak Az irányítás beavatkozás valamilyen folyamatba adott cél megvalósítása érdekében. Ez a cél lehet a folyamat elindítása, fenntartása, megváltoztatása vagy megállítása. Valójában bármilyen folyamatra vonatkozhat, mi szűkebb értelemben, kizárólag ipari anyag és energia átalakítással kapcsolatos folyamatokra értelmezzük. Általános módja az, hogy külső irányító berendezés az előzetesen rendelkezésre álló, vagy működés közben szerzett információk alapján megváltoztatja a folyamat bizonyos közvetlenül befolyásolható jellemzőjét (vagy jellemzőit) és ezzel a belső törvényszerűségek alapján eléri a ténylegesen befolyásolni kívánt jellemző (vagy jellemzők) kellő irányú változtatását is. Az irányított folyamat és az irányító berendezés az irányítási rendszer. Az

irányítástechnika magába foglalja ezen rendszerek működtetéséhez, tervezéséhez és vizsgálatához szükséges ismereteket; a műszaki tudományoknak az az ága, amely az önműködő irányítás törvényszerűségeivel és gyakorlati megvalósításával foglalkozik. Vizsgálataink során nem foglalkozunk a készülék belső felépítésével, mert ez irányítási szempontból közömbös, a hangsúlyt arra kérdésre helyezzük, hogy az anyagi hordozóiktól elvonatkoztatott jelekkel milyen műveleteket lehet végezni. Az irányítástechnika rendszertana a jelekkel végzendő műveletek tudománya. Választ ad arra a kérdésre, hogy adott cél érdekében hogyan kell a rendelkezésre álló készülékeket összekapcsolni illetve milyen műveleteket kell az irányító berendezéssel megvalósítani. A következőkben a rendszertan legfontosabb kérdéseit tekintjük át. 1.1 Az irányítás Az irányítás elvi vázlata az 1.11 ábrán látható Irányítási cél

Információ szerzés Információ feldolgozás és ítéletalkotás Végrehajtás 1.11ábra 4 Irányított folyamat Az irányítás célja az irányított folyamat valamilyen paraméterének – az irányított jellemzőnek – előírt módon történő befolyásolása. Ez az irányító berendezés beavatkozása révén valósul meg. A beavatkozás az irányított folyamat egy olyan jellemzőjére hat, amelyik a lehetőségek szerint a leginkább alkalmas az irányított jellemző változtatására ( módosított jellemző). Az irányított jellemző a módosított jellemzőn kívül olyan paraméterektől is függ, melyeknek változása nem áll az irányító berendezés hatása alatt. Ezek a zavaró jellemzők Az irányítás egyik célja éppen az, hogy a zavaró jellemzőnek az irányított jellemzőre gyakorolt nemkívánatos hatását a módosított jellemző változtatása révén kiküszöbölje. Az 1.11 ábrán feltüntetett forma szerint az irányítás a

következő műveletsoron keresztül valósul meg: • • • Információszerzés a folyamatról. Az információk származhatnak a működés törvényszerűségének apriori ismeretéből, vagy a különböző folyamatjellemzők közvetlen méréséből. A rendelkezésre álló információk feldolgozása és az irányítási céllal történő összehasonlítás alapján kvantitatív döntéshozatal a beavatkozás szükségességéről (ítéletalkotás) Beavatkozás végrehajtása Az információk közlése jelek útján megy végbe. A jel valamilyen fizikai mennyiség értéke vagy érték változása, aminek információ tartalma van. Maga a fizikai mennyiség a jelhordozó, a jel lényege azonban az információ tartalom. Megkülönböztetésül az irányított folyamat azon jeleit, melyek az irányító berendezés nélkül is léteznek jellemzőknek nevezzük. Az irányítási rendszer egyes részfeladatait ellátó szerkezeti egységeit szerveknek nevezzük. A szervet a

bemenő jelek késztetik működésre, melyek egy része más szervektől származhat és az irányítás megvalósításához szükséges működést váltja ki, más része a nem kívánatos zavarójel ami az irányítási funkció szempontjából elkerülhetetlen. A bemenő jelek hatására alakul ki a szerv kimenő jele. A be és kimenő jelek ok és okozati összefüggésben állnak A szervek egymáshoz kapcsolódását, valamint a ki és bemenő jeleiket feltüntető vázlat az irányítási rendszer szerkezeti vagy működési vázlata. (ld 131ábra) Az a körülmény, hogy az egyik szerv kimenő jele a másiknak a bemenő jelét alkotja, eredményezi, hogy a rendszer működésekor valamely hatás meghatározott irányban, a hatásirányban terjed. Az egyes szervek különböző technikai elven épülnek fel, azonban rendszertechnikailag mégsem a konkrét működésmódjuk az érdekes, hanem a jelátvivő ill. jelformáló sajátosságuk, vagyis az, hogy kimenő és bemenő

jeleik között milyen függvénykapcsolat van. 5 A jelátvivő sajátosságok ilyen formában történő kifejezésére használjuk a tag fogalmát. A rendszer működésének analízisét nagymértékben megkönnyíti, ha a konkrét szerkezeti részektől elvonatkoztatott un. hatásvázlatot rajzolunk, amelyben csupán a jelek egymásra hatását ill. a az egyes jelek közti függvénykapcsolatokat tüntetjük fel A hatásvázlat tagokból épül fel. A tagot valamilyen könnyen rajzolható idom (pl: téglalap), a jeleket pedig az idomokat összekötő, nyíllal ellátott vonalak ábrázolják. A nyilak iránya a hatásirány, azon tagok összessége, melyeken egy jel a hatásirányban áthalad a hatáslánc. A tagokat ábrázoló idom azt a függvénykapcsolatot realizálja, ami az illető tag kimenő és bemenő jele között fennáll. Egyes tipikusabb jelátvivő tulajdonságok jelzésére vagy az idomba írt jelképes, vagy külön jelölés szolgál. Ez utóbbi közül

gyakoriak az 112 ábrán látható összeg ill. különbségképző tagok xa xa+xb xa xb xa–xb xb 1.12 ábra 1.2 Vezérlés, szabályozás Az irányítás elvi megoldásának két szélső esete a nyitott hatásláncban és a zárt hatásláncban történő irányítás. Nyitott hatásláncban történő irányítás a vezérlés. Vezérlés esetében a beavatkozás a folyamatba az előzetesen szerzett ismeretek alapján valósul meg úgy, hogy az irányított jellemző nem hat vissza arra. Ha az előzetes ismeretek pontosak, a vezérlés a várt eredményt adja, ha pontatlanok (pl.: nem várt zavaróhatás), nem hozza meg a kívánt eredményt Vezérlés esetében stabilitási problémák nem lépnek fel. Zárt hatásláncban történő irányítás a szabályozás, amikor az irányított jellemző visszahat az irányításra, a hatásvázlatban zárt hurok alakul ki. Általános módja, hogy az irányított jellemzőnek a kívánt és a tényleges értékét

összehasonlítják és az eltéréstől függően alakítják a beavatkozást. Ha ez a folyamat emberi beavatkozás nélkül valósul meg, önműködő automatikus szabályozásról, ellenkező esetben kézi szabályozásról beszélünk. A szabályozás esetében a zavaró hatások ill. a folyamat jellemzői közötti kapcsolat pontos ismerete nem előfeltétel, a szabályozás az előre figyelembe nem vett zavaró jellemzők hatását is képes korrigálni. Hátránya, hogy önmagában stabilis folyamatok is labilissá vagy lengővé válhatnak Szabályozás esetében tehát a stabilitás vizsgálat nem nélkülözhető. 6 1.3 Önműködő szabályozások elvi felépítése Az önműködő szabályozások alapvető jellemzője a negatív visszacsatolás. Szokásos szerkezeti vázlata az 1.31 ábrán látható xa alapjel alapjel képző szerv xr rendelkezőjel különbség képző szerv xv végrehajtójel erősítő és kompenzáló szerv xb beavatkozójel végrehajtó

szerv xm módosított jellemző beavatkozó szerv xs szabályozott jellemző folyamat xvez vezetőjel xe ellenőrző jel érzékelő szerv 1.31 ábra A folyamatot, amit szabályozni kívánunk szabályozott szakasznak szokás nevezni, kimenő jele xs szabályozott jellemző, melynek kívánt értéke az alapérték. A szabályozott jellemzőt az érzékelő szerv méri, ennek kimenő jele az ellenőrző jel xe. Az alapjelképző szerv azt az alapértékkel arányos xa alapjelet állítja elő, amelynek jelhordozója alkalmas az ellenőrző jellel történő összehasonlításra. Az összehasonlítást általában a két jel kivonásával a különbségképző szerv végzi, ennek xr kimenő jele a rendelkező jel. Amennyiben az ellenőrző jel megegyezik időben a szabályozott jellemzővel, akkor a rendelkező jel az előírt értéktől való eltéréssel arányos és ilyenkor hibajelnek is szokás nevezni. Amennyiben az alapjelet valamilyen külső jeltől függően kell

változtatni, akkor ezen külső jelet az alapjelképző bemenő jelének tekintjük és elnevezése vezető jel xvez. Az erősítő és kompenzáló szerv a rendelkező jel jelformálását és teljesítmény erősítését végzi. Kimenő jele az xv végrehajtó jel. A jelformálás a szabályozási rendszer minőségi jellemzőinek és a stabilis működés biztosításához szükséges matematikai műveleteket foglalja magába. A végrehajtó szerv mint illesztő és esetleges erősítő berendezés a végrehajtó jelet olyan jelhordozóra ülteti amely alkalmas a beavatkozó szerv működtetésére. Kimenő jele a beavatkozó jel xb. A beavatkozó szerv a módosított jellemző, xm változtatására alkalmas készülék. Amint az a 1.31 ábrán látható működési vázlatból látszik, a rendszer zárt kört alkot Ez a zárt szabályozási kör. Ennek megfelelően, természetesen a hatásvázlatban is zárt hurok keletkezik 7 A felsorolt szervek egy része adott esetben

elmaradhat, vagy összeépülhet. Így pl az alapjelképzést, a különbségképzést valamint a kompenzálást végző szervek egyetlen készülékbe kerülhetnek összevonásra, a szabályzóban. 1.4 Zavarkompenzáció A jelek a hatásláncban csak bizonyos időkéséssel terjednek, így a zavaró jelek hatása is csak bizonyos időkéséssel mutatkozik a szabályozott jellemzőben és az elhárítást célzó beavatkozáshoz is időre van szükség. Ez a körülmény a szabályozási kör működésében stabilitási problémákhoz vezethet. Elkerülhető a nem kívánatos állapot kialakulása, ha a leglényegesebb zavaró jelek érzékelhetők és a mért értékek alapján még a szabályozott jellemzőre gyakorolt hatást megelőzően beavatkozás kezdeményezhető. Ez az eljárás a zavarkompenzáció, megvalósítási eszköze az előre csatolás Ekkor a hatáslánc valamelyik jelösszegzési pontjára olyan jelet vezetünk, melynek értéke a zavaró jellemzőtől függ, és

ez a zavaró jellemző hatását várhatóan kiegyenlíti. Ez a beavatkozás nyílt láncú Előzetes ismeretek alapján kell az alkalmas beavatkozó jelet a zavaró jelből megállapítani és a beavatkozás a zavaró jellemzőre nem hat vissza. 1.5 Szabályozási szervek szerkezeti jellegzetességei A beavatkozó szerv szerkezete a folyamat jellegétől függ. Villamos hajtásokban igen gyakori a változtatható ellenállás, vagy vezérelhető áramforrás (pl. tirisztoros egyen, vagy váltó irányító, stb). Ugyancsak gyakori beavatkozó szerv a szelep Érzékelő szerv lehet minden olyan mérőműszer, melynek kimenő jelét a további szervek képesek feldolgozni. Az érzékelők információt szolgáltatnak a szabályozott szakaszról Tekintve, hogy a szabályozott mennyiségek rendkívül sokfélék, az érzékelők bemenő jele is igen sokféle fizikai mennyiség lehet. Működésük különböző mérési elven alapul A tényleges érzékelő elemen kívül

jelátalakításra mérő átalakítót és a jel nagyobb távolságra történő továbbítására szolgáló távadót is magukban foglalják. Az érzékelő szervekkel szembeni pontossági követelmények igen nagyok, mert az egész szabályozási kör pontosságát alapvetően befolyásolja. A szabályzó az alapjelképző, a különbségképző, kompenzáló és erősítő szervek közös szerkezeti egysége, amely fogadja az ellenőrző jelet az esetleges vezető jelet, megvalósítja az ítéletalkotást és kiadja a kellő teljesítményszintű végrehajtó jelet. Az esetek többségében működéséhez segédenergiára van szüksége. A folyamatirányításban használt univerzális szabályzók villamos, hidraulikus, vagy pneumatikus segédenergiával működnek. Az 8 információ feldolgozása, az ítéletalkotás és a jelformálás matematikai és logikai műveleteken keresztül valósul meg, ezért a szabályzó magja valamilyen analóg, vagy digitális

számítástechnikai eszköz. 1.6 Szabályozások osztályozása A szabályozások az elérendő cél, a különböző működési módok, a szabályozási kör jeleinek időbeli tulajdonságai, a jelátvivő tagok sajátosságai, technikai felépítés, stb. alapján csoportosíthatók. A szabályozási célt tekintve: • • • értéktartó a szabályozás, ha a cél a szabályozott jellemzőnek az állandó értéken tartása követő szabályozásról beszélünk, ha a szabályozott jellemzőnek valamilyen külső jelet kell követnie optimum szabályozáskor a cél a folyamat valamilyen egyszerű, vagy összetett – esetleg nem is mérhető csak számítható – mutatójának állandó, az optimális érték körül való tartása. A rendszerek tárgyalásához használt elméleti apparátus szerint: • • Lineáris a szabályozás, ha a tagok által definiált összefüggések lineárisak o Autonóm a lineáris rendszer, ha differenciálegyenletében a paraméterek

időtől független állandók o Változó paraméterű rendszereket időtől függő együtthatós differenciál egyenletek írnak le Nem lineáris, ha a tagok által definiált összefüggések nem lineárisak A jelek időbeli lefutása szerint: • • Determinisztikus, ha a rendszer vizsgálata, méretezése időben ismert lefutású jeleken alapul Sztochasztikus, ha a rendszervizsgálat, méretezés statisztikai alapon értékelhető jeleken nyugszik. A jelátvivő tagok kimenő és bemenő jele közötti kapcsolat szerint: • • Folytonos Nem folytonos A jelfolyam időbeli tulajdonságai alapján: • • Folyamatos, ha a jel időben tartósan fennáll Mintavételezett, ha a jel folyamatossága adott periódusidő szerint megszakad A szabályozott jellemzők száma szerint: 9 • • Egyváltozós rendszer, ha a folyamatnak egyetlen szabályozott jellemzője van. Ilyen esetben a hatásvázlat egyetlen zárt hurokká alakítható. Több változós rendszer esetében

a folyamat több szabályozott jellemzővel rendelkezik. Ebben az esetben több szabályozási kör alakul ki, melyek általában kölcsönösen befolyásolják egymást. Ebben az esetben kapcsolt szabályozásokról szokás beszélni. A szabályozáselmélet adott felépítésű rendszer vizsgálatához, ill. adott feltételeknek és minőségi mutatóknak megfelelő szabályozási rendszer felépítéséhez szükséges ismeretek, elvek és módszerek összessége. Alapvető jelentőségű a lineáris, egyváltozós, folytonos jelű determinisztikus rendszerek elmélete. Eredményei mátrixszámítási módszerrel a több változós rendszerekre is általánosíthatók, továbbá a nem lineáris rendszerekre alkalmazható módszerek nagy része is valamilyen linearizáláson alapszik. 10 2. Folyamatos jelű lineáris szabályozási rendszerek determinisztikus vizsgálatának matematikai eszközei. Lineáris folyamatos jelű tagokból felépülő rendszer vizsgálata lineáris

differenciálegyenletek ill. egyenletrendszerek megoldására vezethető vissza A következőkben a legfontosabb megoldási módszereket foglaljuk össze, feltételezve, hogy autonom rendszerről van szó, amelyben az egyenlet együtthatói időtől független konstansok. 2.1 Differenciálegyenlet módszer Egy állandó paraméterű, lineáris rendszer differenciál egyenlete általános formában: d n xk ( t ) d n −1 xk (t ) dxk (t ) d m xb (t ) d m −1 xb (t ) dx (t ) an + an −1 + . + a1 + a0 xk (t ) = bm + bm −1 − 1 + . + b1 b + b0 xb (t ) n n −1 m m −1 dt dt dt dt dt dt a0, a1, , an ; b0, b1, , bm konstansok, a rendszer paraméterei x k (t ) : a rendszer kimenőjele, x b (t ) : a rendszer bemenőjele Az egyenlőségjel jobb oldalán álló kifejezést gerjesztőfüggvénynek (g(t)) is szokás nevezni, amely a bemenő jelnek és differenciálhányadosainak a rendszertől függő súlyozású kombinációjaként állítható elő. Fizikailag megvalósítható rendszerek

esetén m≤ n, ugyanis m>n esetén fennállhatna, hogy például xb (t ) =1(t ) bemenőjelre a kimenőjel amplitúdó változása végtelenül kis idő alatt végtelenül nagy lenne, ami az energia megmaradás törvénye miatt nem lehetséges. Adott xb (t ) bemenőjel és adott kezdeti feltételek mellet, a differenciálegyenletet megoldva megkaphatjuk az xk (t ) kimenőjelet. Differenciálegyenlet megoldása: Az inhomogén differenciálegyenlet általános megoldása a hozzátartozó (zérus jobboldalú) homogén egyenlet általános megoldásának (xkt(t)), valamint az inhomogén differenciálegyenlet egy partikuláris megoldásának (xks(t)) összegeként áll elő: xk(t)= xkt(t)+ xks(t) Már itt megjegyezzük, hogy a homogén egyenlet általános megoldása a rendszer tranziens állapotbeli viselkedésére, még a inhomogén egyenlet egy partikuláris megoldása a stacionárius állapotbeli viselkedésére ad választ. Az indexeléssel erre kívántunk utalni

Feltételezzük, hogy a tranziens összetevő: xkt(t)=Cept alakú. Ezt a homogén egyenletbe behelyettesítve, kiemelés után a következő összefüggést kapjuk: 11 (an p n + an −1 p n −1 + . + a1 p + a0 )Ce pt = 0 Ez csak akkor állhat fenn, ha anpn+an-1pn-1++a1p+a0=0. Ez az úgynevezett karakterisztikus egyenlet, és p=pi (i=1, 2, , n) az egyenlet n db gyöke. A magára hagyott rendszer viselkedését tehát a következő kifejezésekkel adhatjuk meg: Egyszeres gyökökre: n x kt (t ) = C1e p1t + C 2 e p2t + . + C n e pnt = ∑C i e pnt i =1 Többszörös gyökökre (pl. az egyik gyök q-szoros azaz p1=p2==pq ahol q ≤n): x kt (t ) = (C1 + C 2 + . + C q t q −1 )e pq t + n ∑C e i =q +1 i pi t A katakterisztikus egyenlet gyökei valós, vagy konjugált komplex mennyiségek A Ci állandók értéke a kezdeti feltételekből állapítható meg. A rendszer működése akkor stabilis, ha tranziensei lecsillapodnak, vagyis a tranziens megoldás t ∞ esetén

nullához tart. Ennek feltétele, hogy a karakterisztikus egyenlet minden gyökének valós része negatív legyen. 2.11 Lineáris rendszer tranziens folyamatai A differenciálegyenlet megoldásának formális matematikai eljárása mögött a következő fizikai tartalom fogalmazódik meg: A differenciálegyenlet valamilyen rendszer mozgását írja le. A mozgás oka egyrészt az xb (t ) bemenő jel, másrészt az, hogy a bemenőjel megjelenése előtti időben végzett mozgás miatt a t=0 időpillanatban nem volt egyensúly. A rendszer ezen előéletét a kezdeti feltételek egyértelműen jellemzik és a továbbiak szempontjából teljesen közömbös milyen módon került ebbe az állapotba. A g(t) gerjesztő jel hatására olyan új egyensúlyi állapot fog beállni, amelynek mozgását az inhomogén egyenlet kezdeti feltételektől független x ks (t ) megoldása mutatja. Ezt az új egyensúlyi állapotot a t=0 pillanatban x ks (0) , dx ks (0) d n xks (0) , . értékek

jellemzik. Ha dt dt n ezek nem egyeznek meg a kezdeti feltételekkel, akkor ez arra utal, hogy a rendszer állapota eltér a gerjesztő jelnek megfelelő állapottól. Az eltérés-ugrás szerűen nem szűnhet meg, mert a rendszerben lévő energia tárolók állapotukat csak energia közlés vagy elvonás hatására fokozatosan képesek megváltoztatni. Ehhez pedig véges időre van szükség A kiegyenlítő folyamat a tranziensmozgás, melynek lefolyását a homogén egyenlet megoldása írja le. A tranziens mozgás lefolyása alapvetően tükrözi a rendszer sajátosságait. Ha a tranziens összetevők az időben csillapodnak, a gerjesztésnek megfelelő új egyensúlyi állapot képes 12 beállni, a rendszer stabilis. Minden határon túl növekvő tranziens mozgás a labilitás jele, ilyenkor új egyensúlyi állapot nem érhető el. Csillapítatlan periodikus tranziensmozgás a kettő közötti határeset, ami arra is utal, hogy a tranziens (saját) lengés

frekvenciájával azonos frekvenciájú gerjesztő jelekre a rendszer rezonálni fog. A tranziens viselkedést vizsgálva elegendő a homogén egyenletet vizsgálni g(t)=0 feltétellel, vagyis a karakterisztikus egyenletet. Ez ekkor a magára hagyott rendszer mozgását írja le, stabilis rendszer ilyenkor tranziens mozgása révén újra nyugalmi állapotba igyekszik jutni. A gerjesztés alatt álló rendszer tranziens jelenségei a szuperpozicióból következően ugyanilyen jellegűek. 2.2 Tipikus vizsgálójelek, a súlyfüggvény, az átmeneti függvény Az inhomogén differenciálegyenlet egy partikuláris megoldását meghatározni, minél egyszerűbb a bemenőjel, másrészt x b (t ) − re annál könnyebb olyan tipikus, egyértelműen reprodukálható jelet szokás feltételezni, ami jelentős tranziens mozgást is képes előidézni. Ez másképpen fogalmazva azt jelenti, hogy jó ha a vizsgáló jel spektrumában minden frekvencia kellő súllyal képviselve van,

így egyetlen jel segítségével lemérhető a rendszer frekvencia átvitele a teljes frekvenciasávban. Ezért a lineáris szabályozási rendszerek vizsgálatára tipikus vizsgáló jeleket használnak. A tipikus, vagy tipizált jelek időbeli lefolyása a 2.21 ábrán látható A legfontosabb tipikus vizsgálójelek: a) a./ b./ c./ 2.21 ábra Egységimpulzus-függvény: δ(t ) (Dirac-delta) b) Egységugrás-függvény: 1(t) c) Egységsebesség-ugrás függvény: t 1(t) d) Egységgyorsulás-ugrás függvény: t2 1(t ) 2 Az egységimpulzus-függvény: δ(t ) 13 d./ δ (t ) = ∞, ha t=0; δ (t ) = 0 , ha t<0; vagy t>0 2.22 ábra Igen rövid idő alatt meghatározott energiát közlő jel elméleti absztrakciója, a függvény egységnyi területű, véges nagyságú impulzusból származtatható (ld. 222 ábra) τ 0 ⇒ 1 τ ∞ Azaz: δ (t ) = lim τ 0 1 τ . ∞ A függvény fontos tulajdonsága, ami a 2.22 ábrából jól olvasható: ∫δ (t )dt

=1 −∞ Az egységimpulzus-bemenőjel hatására a tag, vagy a rendszer kimenetén megjelenő jelet súlyfüggvénynek nevezzük. Jelölése: w(t), vagy y(t) Az egységugrás-függvény: 1(t)=0, ha t<0; 1(t)=1, ha t=0, vagy t>0. Egységugrás-bemenőjel esetén a tag, vagy rendszer kimenetén megjelenő jelet az egységugrásra vonatkozó átmeneti függvénynek nevezzük. Jelölése: v(t) Az átmeneti és a súlyfüggvény között a következő összefüggés van: w(t) = dv (t ) dt Az egységsebesség-ugrás függvény: t1(t)=0, ha t<0 t1(t)=t, ha t=0, vagy t>0 Hatására a tag, vagy a rendszer kimenetén az egységsebesség-ugrás bemenőjelre vonatkozó átmeneti függvény jelenik meg. Az egységgyorsulás-ugrás függvény: 14 t2 1(t ) = 0, ha t<0, 2 t2 , ha t=0, vagy t>0 2 Hatására a tag, vagy rendszer kimenetén az egységgyorsulás-ugrás bemenőjelre vonatkozó átmeneti függvény jelenik meg. A tipikus vizsgálójelek között fennálló

kapcsolatok: d 1(t ) σ (t ) = ; dt dt 1(t ) 1(t ) = ; dt t1(t ) = d t2 1(t ) 2 dt A tipikus vizsgálójelek hatására a lineáris rendszer kimenetén megjelenő jelek között hasonló összefüggések írhatók. 2.3 A konvolúciós integrál A súlyfüggvény (és az átmeneti függvény) jellemző a szabályozási tagra, vagy rendszerre. Ismeretükben az xk (t ) kimenőjel tetszőleges xb (t ) bemenőjelre meghatározható. 2.31 ábra Az xb (t ) jel egymást követő ∆ τ szélességű xb (τ ) ∗ ∆τ területű impulzusok összegeként fogható fel. Minden impulzus hatására egy-egy súlyfüggvény szerint változó tranziens folyamat indul, amelyeknek a hatása egy adott t időpillanatban szuperponálódik. A szuperpozíciónál figyelembe kell venni, hogy a τ helyen fellépő impulzus által kiváltott részfolyamat t pontjáig t- τ idő telt el. A súlyfüggvényt ezért ilyen argumentummal kell összegezni. 15 Más megközelítéssel; ha egy

négyszöglökés egységnyi területű lenne, hatására a kimeneten a w(t-τ ) súlyfüggvény jelenne meg. A 231 ábrán megjelölt négyszögjel hatására tehát a kimeneten a minden w(t −τ) xb (τ) jel jön létre. A t időpontbeli kimenőjel értékét a bemenőjel t időpont előtt felvett értéke befolyásolja. Mivel lineáris rendszerekről van szó alkalmazható a szuperpozíció tétele, tehát összegezni lehet a 0 t intervallumban található négyszöglökések hatásait a kimeneten: n xk (t ) = ∑ w(t − τ i ) xb (τ i )∆τ i =1 Ha a négyszöglökések szélességét minden határon túl finomítjuk, az összegzés átalakul integrállá, a négyszöglökések pedig impulzusokká. t Tehát: xk (t ) = ∫ w(t −τ ) xb (τ )dτ 0 ez a kifejezés a konvolúciós integrál, vagy Faltung-tétel néven ismert. A rendszer vizsgálata tetszőleges bemenő jelekre nemcsak a súlyfüggvény, hanem az átmeneti függvény ismeretében is meghatározható. Egy

tetszőleges folytonos függvény ugyanis felbontható kis ugrások összegére. Az egyes ugrásösszetevőkre adott válaszok összege megadja a kimenőjelet. Az előzőekhez hasonló megfontolások alapján adódik: t x k (t ) = v (t ) xb (0) + ∫ v(t −τ ) 0 dx b (τ ) dτ dτ Ez a kifejezés a Duhamel-tétel néven ismert. A konvolúciós, illetve a Duhamel integrál segítségével elkerülhető a tag, vagy a rendszer differenciálegyenletének megoldása, de bonyolult bemenőjelek esetén már az integrálok kiszámítása nehézkes. 2.4 Frekvencia transzformációk Lineáris állandó együtthatós differenciálegyenletek tárgyalásának a műszaki alkalmazások szempontjából igen előnyös módja az, ha függvény transzformációkkal az eredeti időfüggvényekről azokkal egyértelmű kapcsolatban álló olyan új függvényekre lehet áttérni, amelyek az eredeti differenciál egyenletek helyett algebrai egyenletekkel vannak összekapcsolva. Erre alkalmasak a

frekvencia transzformációk A szabályozástechnikában a leggyakoribb eljárások a Fourier és a Laplace transzformációk. Az eredmények inverz transzformációjával, azok az időtartományban állnak rendelkezésünkre. 16 2.41 Fourier-transzformáció 2.411 Fourier sor A T intervallumonként periodikusan ismétlődő időfüggvény ω = nω0 körfrekvenciájú harmonikus függvények összegeként Fourier sorral állítható elő, vagyis szinuszos és koszinuszos függvények végtelen összegeként. ∞ f (t , T ) = ∑ Ak cos kωt + Bk sin kωt k =0 ahol k=0, 1, 2, T a függvény periódusideje; ω = 2π az alapkörfrekvencia T Az együtthatók a következő összefüggésekkel számolhatók: 1 A0 = T Ak = Bk = 2 T 2 T T 2 ∫ f (t , T )dt −T 2 T 2 ∫ f (t , T ) cos kωtdt −T 2 T 2 ∫ f (t , T ) sin kωtdt −T 2 Sokszor a Fourier sort komplex alakban írjuk fel: (a levezetés mellőzésével) ∞ f (t , T ) = ∑ −∞ Bevezetve a Ck = Ak

− jBk 2 Ak − jBk jkωt e 2 komplex együtthatókat, a Fourier sor komplex alakja: f (t , T ) = ∞ ∑C e k =− ∞ k jk ωt A Ck együtthatókat a következő összefüggésből is számíthatók: 1 Ck = T T 2 ∫ f (t , T )e − jk ωt dt −T 2 Ha a Ck abszolút értékét a körfrekvencia függvényében ábrázoljuk, az f(t,T) függvény amplitúdóspektrumát kapjuk. A periodikus függvények spektruma vonalas, az aperiodikus függvényeké folytonos. (Egy periodikus függvény spektruma a 2411 ábrán látható) 17 2.411 ábra 2.412 Fourier integrál Fourier-sor csak akkor írható fel, ha diszkrét összetevőkből áll, tehát, ha a függvény periodikus. A gyakorlatban a rendszer bemenetére általában nem periodikus, hanem aperiodikus jelet kapcsolunk. Ezek a jelek nem Fourier sor, hanem Fourier integrál alakjában írhatók fel. Az aperiodikus jel ugyanis olyan periodikus jelnek tekinthető, amelynek a periódusideje a végtelenhez tart. A T ∞

határátmenet elvégzéséhez a Fourier sor felírását alakítsuk át. Vezessük be a következő jelöléseket: ωk = kω = k 2π , Ck = c(ωk ) ∆ωk ahol c(ω k) a komplex amplitúdósűrűség. T 2π  2π  2π ∆ωk = ∆ k = ∆k = T  T  T Az új jelölésekkel a Fourier-sor komplex alakja: ∞ f (t , T ) = ∑c(ω) * eωkt ∆ω −∞ Ha T∞, a Fourier-integrálhoz jutunk: f (t ) = ∞ ∫ c(ω) * e jωt dω −∞ Ahol: Ck T 1 = lim Ck = T ∞ ∆ωk T ∞ 2π 2π c (ω) = lim A 2πc(ω) = F ( jω) = ∞ ∫ f (t ) * e − jωt dt ∞ ∫ f (t ) * e − jωt dt −∞ függvényt az f(t) függvény Fourier- −∞ transzformáltjának nevezzük. 18 Az inverz Fourier-transzformáció: f (t ) = 1 2π ∞ ∫ F ( jω) * e jωt dω −∞ A Fourier-integrál létezésének egyik feltétele, hogy a függvény abszolút integrálható legyen: ∞ ∫ | f (t ) | dt ≤ K −∞ Ha a rendszert leíró differenciálegyenlet

Fourier-transzformáltját képezzük, algebrai ω egyenletet kapunk (ugyanis ej jellegű tagok differenciálása, integrálása jω -val való szorzást, illetve osztást jelent). Az algebrai egyenlet megoldása után a kimenőjel időfüggvényét inverz Fourier-transzformáció alkalmazásával kaphatjuk meg. 2.42 Laplace-transzformáció A Laplace-transzformáció segítségével a Fourier-transzformáció módszere a gyakorlatban előforduló legtöbb függvényre kiterjeszthető. Ha az f(t) függvényt megszorozzuk egy olyan függvénnyel amely a végtelenben elég gyorsan tart a nullához a kapott szorzatfüggvény már abszolút integrálható, tehát képezhető Fourierintegrálja. Ilyen függvény például: lim t n e −δt = 0, ha δ >0 t ∞ lim t αt e −δt = 0, ha δ >α t ∞ Tehát f(t) helyett f (t )e −δt pozitív időkre abszolút integrálható függvény biztosan létező Fourier –transzformáltját keressük. A szorzófüggvény kitevőjében

szereplő tényezőt úgy kell megválasztani, hogy a létrejövő szorzatfüggvény nullához konvergáljon. ϕ(t ) = f (t )e −δt , δ >0 A ϕ(t ) csillapított bekapcsolási függvény Fourier transzformáltja: ∞ Φ( jω)∫ = ϕ(t )e −∞ − jωt dt = ∫ ∞ f (t )e 0 −δt e − jωt ∞ dt = ∫ f (t )e −(δ + jω) t dt 0 A transzformált az s= δ + jω komplex változó függvényének is tekinthető. ω −st Az s=σ +jω komplex változó az ún. Laplace–operátor Az F ( s ) = Φ( jω) = ∫ f (t ) * e dt 0 összefüggés az f(t) függvény Laplace–transzformáltját adja meg. Jelölése: L[ f (t )] 19 A Laplace–transzformáció a gyakorlatban előforduló legtöbb függvényre képezhető. Alkalmazásakor a deriválás s-sel való szorzásnak, az integrálás s-sel való osztásnak felel meg. Tehát a differenciálegyenlet Laplace–transzformáltja algebrai egyenlet. A keresett idő függvényt visszatranszformálással kapjuk meg. 20

3. Lineáris tagok jelátviteli tulajdonságainak jellemzésére használt függvények 3.1 Az átviteli függvény A Laplace transzformációra vonatkozó összefüggések közül a szabályozástechnikában nagy jelentőségű a konvolúciós integrál. Segítségével az integrál értéke egyszerűen számítható: A ∞ konvolúciós integrál az xb (t ) bemenőjelre: xk (t ) = ∫ w(t −τ ) xb (τ )dτ 0 Az xk (t ) kimenőjel Laplace–transzformáltja: ∞ ∞∞ ∞ ∞ 0 0 0 0 0 X k ( s ) = ∫ x k (t ) * e −st dt = ∫ −st −s ( t −τ ) −sτ dt ∫ w(t −τ ) xb (τ )dτ * e dt = ∫ w(t −τ ) e ∫ xb (τ ) * e dτ , mivel az integrálok sorrendje felcserélhető ϑ =t-τ helyettesítéssel: ∞ ∞ 0 0 −sϑ −sτ xk ( s) = ∫ w(ϑ) * e dϑ ∫ xb (τ ) e dτ Ahol az első integrál a súlyfüggvény Laplace–transzformáltja {Y(s)}, a második pedig a bemenőjel Laplace-transzformáltja X b (s ) . Tehát: X k ( s ) =Y ( s ) X b ( s

) ; ebből Y ( s ) = X k (s) a tag vagy rendszer átviteli függvénye. X b (s) Tehát az átviteli függvény a kimenőjel és a bemenőjel Laplace–transzformáltjának hányadosa. Az átviteli függvény kapcsolatban áll a súlyfüggvénnyel (annak Laplace–transzformáltja), és így az átmeneti függvénnyel is, amelynek deriváltja egyenlő a súlyfüggvénnyel. Tehát az átviteli függvény egyértelműen meghatározza a tagot vagy rendszert. Az Y(s) átviteli függvény meghatározható a rendszert leíró differenciálegyenlet Laplace– transzformáltjából. Bizonyítható, hogy az átviteli függvény lineáris rendszerre a legtöbb esetben racionális törtfüggvény, melynek nevezője a rendszer karakterisztikus egyenletének Laplace–transzformáltja. Ha ismerjük a rendszer átviteli függvényét, a számítások elvégzéséhez már nem szükséges a differenciálegyenlet felírása sem. A bemenőjel Laplace–transzformáltját megszorozva az átviteli

függvénnyel, megkapjuk a kimenőjel Laplace–transzformáltját, amelyből a kimenőjel időfüggvényét inverz Laplace–transzformációval meghatározhatjuk. 21 3.11 Határértéktételek A rendszer t=0 és t=∞ időpontbeli viselkedése egyszerűen meghatározható a Laplacetranszformációra vonatkozó két határértéktételből: xk (0) = lim xk (t ) = lim sX k ( s ), t 0 s ∞ xk (∞) = lim xk (t ) = lim sX k ( s ). t ∞ s 0 A két tétel segítségével a következő összefüggések írhatók fel az átmeneti és az átviteli függvény között: 1 v (0) = lim v (t ) = lim s Y ( s ) = Y ( s = ∞), t 0 s ∞ s 1 v (∞) = lim v (t ) = lim s Y ( s ) = Y ( s = 0). t ∞ s 0 s Vagyis az átmeneti függvény kezdeti értéke megegyezik az átviteli függvény s = ∞ -re, állandósult állapotban s=0-ra felvett értékével. A Laplace–transzformáció jelentősen csökkenti a számítási munkát, a visszatranszformáció azonban sok esetben problémát

jelenthet. 3.2 A frekvencia átviteli függvény Ha egy lineáris rendszer bemenetére adott körfrekvenciájú, szinuszos jelet adunk, az állandósult állapot elérése után a kimeneten ugyanakkora körfrekvenciájú szinuszos jel jelenik meg, amely a bemenőjeltől amplitúdóban és fázisszögben különbözhet (3.21 ábra) 3.21 ábra Írjuk fel a bemenőjelet komplex exponenciális alakban: x b (t ) = X b (ω) sin [ωt + ϕb (ω) ] = Im[ X b (ω)e jϕb (ω) e jωt ] = Im[ X b ( jω)e jωt ] 22 Ahol Xb(ω ) a bemenőjel amplitúdója, valós kifejezés, értéke függhet a frekvenciától, ϕ b(ω ) Xb(jω )=Xb(ω )ej komplex kifejezés, amely a bemenőjel amplitúdóján kívül a fáziseltolási szöget is tartalmazza. Megadja a bemenőjel a t=0 időpillanatbeli komplex vektorát. A szinuszos bemenőjel hatására a tag kimenetén megjelenő jel frekvenciája megegyezik a bemenőjel frekvenciájával, amplitúdója és fázisszöge függ a bemenőjel

frekvenciájától, és a tag tulajdonságaitól. A szinuszos kimenőjel komplex exponenciális alakban: x k (t ) = X k (ω) sin [ωt + ϕk (ω)] = Im[ X k (ω)e jϕk (ω) e jωt ] = Im[ X k ( jω)e jωt ] ahol X k (ω) a kimenőjel amplitúdója, mindig függ a körfrekvenciától (állandó bemenőjelamplitúdó mellett is). X k ( jω ) = X k (ω )e jϕ k (ω ) komplex kifejezés, magában foglalja a kimenőjel amplitúdója mellett a kimenőjel fáziseltolási szögét is. Képezzük a komplex exponenciális alakban felírt X k (t ) kimenőjel és az X b (t ) bemenőjel hányadosát. Az eredmény az átviteli tag frekvencia átviteli függvénye, vagy egyszerűen frekvenciafüggvénye: Y ( jω ) = X k ( jω )e jωt X ( jω ) = k = A(ω )e jϕ (ω ) jωt X b ( jω ) e X b ( jω ) szintén komplex kifejezés, amelynek abszolút értéke és fázisszöge is függ a frekvenciától. Abszolút értéke: | Y ( jω) |= A(ω) = X k (ω) X b (ω) megegyezik a kimenőjel és a

bemenőjel amplitúdójának hányadosával. A frekvenciafüggvény fázisszöge ϕ(ω) =ϕ (ω) −ϕ (ω) k b a kimenő- és bemenőjel fázisszögének különbsége. A frekvenciafüggvényt megadhatjuk valós és képzetes részével is: Y ( jω) = P (ω) − jQ (ω) ahol: P (ω) = A(ω) cos ϕ(ω) ; Q (ω) = A(ω) sin ϕ(ω) ; ϕ(ω) = arctg 23 Q (ω) P (ω) A(ω) = P 2 (ω) +Q 2 (ω) A frekvenciafüggvény a rendszer differenciálegyenletéből határozható meg úgy, hogy behelyettesítjük a kimenőjel és a bemenőjel komplex alakját. Tehát: xk (t ) = X k ( jω)e jωt és xb (t ) = X b ( jω)e jωt Ekkor a differenciálegyenletből ( e jωt -vel egyszerűsítve): Tnn ( jω) n X k ( jω) + Tnn−−11 ( jω) n −1 X k ( jω) + . + T1 ( jω) X k ( jω) + X k ( jω) = = A[ X b ( jω) + τ 1 ( jω) X b ( jω) + . + τ mm ( jω) m X b ( jω)] és írható: Y ( jω ) = X k ( jω ) b0 + ( jω )b1 + . + ( jω ) m bm = X b ( jω ) a0 + ( jω )a1 + . + ( jω ) n

an A kapott kifejezés formálisan megegyezik az Y(s) átviteli függvénnyel, ezért a frekvenciafüggvényből a kezdeti és a határértéktételek segítségével egyértelműen meghatározható a rendszer viselkedése a kezdeti időpillanatban és állandósult állapotában: lim Y ( jω ) = lim A(ω ) = lim v (t ) ω 0 ω 0 t ∞ és lim Y ( jω ) = lim A(ω ) = lim v (t ) ω ∞ ω ∞ t0 A kapott összefüggések fizikailag is érzékeltethetők: a rendszernek igen lassan változó (igen kis frekvenciájú) jelet úgy kell átvinnie, mint egy időben állandó jelet. Tehát a frekvenciafüggvény a 0 helyen megadja az átmeneti függvény állandósult értékét. Az egységugrás függvény meredeksége t=0 helyen végtelenül nagy. Ez egy olyan bemenőjelnek fogható fel, amelynek a frekvenciája végtelenül nagy. Így egy igen nagy frekvenciájú jel átviteléből következtetni lehet az átmeneti függvény t=0 időpontbeli értékére. 3.21 A frekvencia

átviteli függvény ábrázolásmódjai 3.211 Az amplitúdó-fázis jelleggörbe (Nyquist-diagram) Ha a frekvenciafüggvény állandósult értékét a komplex számsíkon ábrázoljuk, az amplitudófázis jelleggörbét, más néven Nyquist-diagramot kapjuk. Az amplitúdó fázis jelleggörbe egyegy pontját a frekvenciafüggvény abszolút értéke, és fáziseltolási szöge határozza meg A frekvenciát 0 ≤ ω ≤ ∞ intervallumban változtatjuk. A görbén a körfrekvencia növekedési irányát nyíllal jelöljük meg. A görbe egyes pontjai állandósult állapotot adnak meg 24 Alkalmazásának hátrányai: a) a jelleggörbe egyes pontjainak meghatározása komplex számokkal végzett, hosszadalmas számításokra van szükség. b) a rendszer valamely paraméterének megváltozása (pl. időállandójának), nem okoz az amplitúdó-fázis jelleggörbe menetében szemléletes változást. 3.212 Amplitúdó–körfrekvencia, fáziskörfrekvencia diagram (Bode– diagram)

A Bode-diagram alkalmazásával kiküszöbölhetők a Nyquist-diagram alkalmazásának hátrányai. Képezzük az Y ( jω) = A(ω)e jϕ(ω) frekvenciafüggvény természetes alapú logaritmusát: ln Y ( jω) = ln | Y ( jω) | + jϕ(ω) A jobb oldalon lévő kifejezés első tagja az amplitúdóviszonyt, második tagja a fáziseltolási szöget tartalmazza. Ha ezt a két tagot külön – külön ábrázoljuk a frekvencia függvényében, egyszerűen megszerkeszthető görbéket kapunk. Az amplitúdóviszony jobban ábrázolható, ha decibelben mérjük. Egy szám decibelben kifejezett értékén a szám 10-es alapú logaritmusának 20-szorosát értjük. A(ω)[ dB ] =| Y ( jω) | [ dB ] = 20 lg | Y ( jω) | A Bode-diagram vízszintes tengelyén a körfrekvencia (általában 10-es alapú) logaritmusa szerepel azért, hogy nagyobb frekvenciasávot lehessen átfogni. A körfrekvencia léptéke 10-es alapú logaritmus esetén dekád. Egy dekád 10:1 arányú frekvenciaváltozást jelent

Az amplitúdó és a ϕ(ω) fázisjelleggörbét egyszer logaritmikus milliméterpapíron ábrázoljuk, a függőleges tengelyre az A(ω) =Y ( jω) görbét decibelben, a ϕ(ω) szöget fokokban lineáris léptékben mérjük fel. A logaritmus–amplitudó logaritmus–körfrekvencia és a fázis logaritmus–körfrekvencia jelleggörbéket együttesen Bode–diagramnak nevezzük. A Bode–diagram alkalmazásának előnyei: a) a logaritmikus amplitúdó diagram egyszerűen megszerkeszthető, az egyes paraméterek változásának hatásai a diagramban könnyen nyomon követhetők, b) szorzatfüggvények Bode–diagramja az egyes függvények Bode–diagramjainak összegzésével megkapható, mivel 20 lg( A1e jω1t A2 e jω 2 t ) = 20 lg A1 + 20 lg A2 + j (ϕ1 + ϕ2 )20 lg e A Nyquist- és a Bode-diagram egymásból egyértelműen megszerkeszthetők: (3.212 ábra) 25 3.2121 ábra 3.3 Tagcsoportok eredő átviteli függvényei A szabályozási körben a szervek, elemek

valamilyen módon kapcsolódnak egymáshoz. A kapcsolódás, az egymásra hatás legjobban a hatásvázlattal szemléltethető. Az átviteli tagok alapvető kapcsolási módjai: • Soros kapcsolás • Párhuzamos kapcsolás • Visszacsatolás Vizsgáljuk meg az alapkapcsolásokat az operátortartományban. 3.31 Soros kapcsolás 3.311 ábra Tekintsük a 3.311 ábrán látható n számú, egymással sorba kapcsolt jelátviteli tagot Legyen ismert az egyes tagoknak Yi(s) az átviteli függvénye. Ismeretes, hogy minden tag kimenő jelének Laplace–transzformáltja az átviteli függvény definíciója szerint a bemenőjel Laplace– transzformáltjának és a tag átviteli függvényének ismeretében a következőképp fejezhető ki: X i +1 ( s ) =Yi ( s ) * X i ( s ) X n+1 ( s ) =Yn ( s ) X n ( s ) 26 az i-edik tagra, illetve az utolsó tagra. Minden tag bemenőjele azonos az azt megelőző tag kimenő jelével. Tehát az egyenletet a hatásláncban a legutolsó tagra

célszerű felírni, és a bemenőjel Laplace-transzformáltjába mindig a megelőző tag átviteli függvénye és bemenőjele transzformáltjának szorzatát behelyettesítve eljutunk a tagcsoport kimenő jeléig: X n +1 ( s ) =Yn ( s )Yn −1 ( s ). Y2 ( s )Y1 ( s ) X 1 ( s ) melyből kifejezhető a sorba kapcsolt tagok eredő átviteli függvénye: Y (s) = X n +1 ( s ) =Yn ( s )Yn −1 ( s ). Y2 ( s )Y1 ( s ) X 1 (s) Tehát a tagok sorba kapcsolása esetén az egyes átviteli függvények szorzata adja az eredő függvényt. 3.32 Párhuzamos kapcsolás 3.321 ábra Kapcsoljunk össze n darab jelátviteli tagot a 3.321 ábra szerint A hatásvázlatban ponttal jelölt elágazási hely után valamennyi elágazásban azonos információ ( X 1 ( s ) ) halad tovább, és jut az egyes elemek bemeneteire. Az előbbiekhez hasonló gondolatmenet, illetve a 3321 ábra alapján az eredő átviteli függvény: Y (s) = X 2 ( s) Y1 ( s ) X 1 ( s ) + Y2 ( s ) X 1 ( s ) + . + Yn ( s ) X 1 ( s )

= = Y1 ( s ) + Y2 ( s ) + . + Yn ( s ) X 1 ( s) X 1 ( s) Tehát párhuzamosan kapcsolt tagok esetén az eredő az egyes átviteli függvények összegeként adódik. 3.33 Visszacsatolás Visszacsatolásról beszélünk, ha valamelyik tag kimenőjelét egy másik tagon keresztül vezetve a bemenőjeléhez hozzáadjuk, vagy abból kivonjuk. Az előbbi esetet pozitív, az utóbbit 27 negatív visszacsatolásnak nevezzük (ld. 3331 ábra) A szabályozástechnikában elsődlegesen a negatív visszacsatolású tagokkal találkozunk. 3.331 ábra Határozzuk meg a 3.331 ábra alapján a szabályozási kör eredő átviteli függvényét Az eddigi ismereteink alapján írhatjuk: X 2 ( s ) = Y1 ( s )[ X 1 ( s ) ± X 2 ( s )Y2 ( s )] Rendezve a kifejezést: X 2 ( s )[1 Y1 ( s )Y2 ( s )] = Y1 ( s ) X 1 ( s ) Képezve az X 2 ( s) = Y ( s ) hányadost: X 1 ( s) Az eredő átviteli függvény tehát pozitív visszacsatolás esetén: Y (s) = X 2 (s) Y1 ( s ) = , X 1 ( s ) 1 −Y1 ( s

)Y2 ( s ) illetve negatív visszacsatolásnál: Y ( s) = X 2 ( s) Y1 ( s ) = . X 1 ( s ) 1 + Y1 ( s )Y2 ( s ) Az Y1 ( s )Y2 ( s ) szorzatot hurokátviteli függvénynek nevezik. 3.34 A hatásvázlat átalakítások Egy szabályozási rendszert matematikailag hatásvázlata segítségével vizsgálhatunk. A vizsgálat sokszor egyszerűbben végezhető el, ha a hatásvázlatot egyenértékű átalakítások segítségével egyszerűbb alakra hozzuk. Így az eredő átviteli függvény meghatározása is egyszerűbbé válik. 28 A hatásvázlatok általában a jelek Laplace-transzformáltjait és az átviteli függvényeket tartalmazzák, de az átalakítási szabályok a jelek Fourier-transzformáltjaira és a frekvenciafüggvényekre is igazak. Az időtartományban azonban csak visszacsatolás-mentes átalakítási szabályok alkalmazhatók. Az átalakítási szabályok DR Csáki Frigyes- Bars Ruth: AUTOMATIKA c. tankönyvben megtalálhatók (172 old) 3.4 Összefoglalás (1-3

fejezet) Egy szabályozási kör vizsgálatához meg kell ismernünk a benne szereplő elemek, szervek statikus és dinamikus viselkedését. A lineáris rendszerek statikus és dinamikus vizsgálatára három alapvető módszer alakult ki: az időtartományban, az operátortartományban és a frekvencia tartományban végzett vizsgálat. A vizsgálat célja valójában az, hogy választ adjunk arra kérdésre, milyen matematikai formulával definiálható a lineáris rendszer kimenő és bemenő jele közötti kapcsolat. Az időtartományban a rendszer viselkedését a rendszert leíró differenciálegyenlet megoldása adja. Legtöbbször a tipikus vizsgáló jelekkel gerjesztjük a rendszert, az ezekre adott válasz jellemző a rendszerre, a kapott kimenőjelből következtethetünk a rendszer belső felépítésére. Az operátortartományban végzett vizsgálat valójában transzformáció. A Fourier vagy a gyakrabban alkalmazott Laplace – transzformációval a rendszert leíró

differenciál egyenletet algebrai egyenletté alakítjuk át. Ezt követően az algebrai egyenlet megoldását az időtartományba visszatranszformáljuk. A frekvencia tartománybeli vizsgálat arra ad választ, hogyan viszi át a rendszer a különböző körfrekvenciájú szinuszos jeleket. Mivel a gerjesztő függvény Fourier - sorba fejthető, vagy Fourier – integrál alakjában írható fel, egyben arra is választ kapunk, hogyan csillapítja és milyen fáziseltolási szöggel módosítja a rendszer a bemenőjel összetevőit. Az egyes összetevőkre adott válaszokat összegezve megkaphatjuk a kimenőjelet. Az egyes módszereket összehasonlítva megállapíthatjuk, hogy a legszemléletesebb eredményt az időtartománybeli vizsgálat adja, legkönnyebben az operátor tartományban számolhatunk, a frekvencia tartománybeli vizsgálat számítástechnikailag viszonylag egyszerű és eléggé szemléletes eredményt is ad. A szabályozási körben a szervek, elemek valamilyen

módon kapcsolódnak egymáshoz. A kapcsolódás, az egymásra hatás legjobban a hatásvázlattal szemléltethető. A hatásvázlatban az egyes tagok sorosan, párhuzamosan, vagy visszacsatolásos formában kapcsolódhatnak egymáshoz. Az összekapcsolt tagok eredő átviteli függvényét számíthatjuk; soros kapcsolás esetén a tagok átviteli függvényének összeszorzásával, párhuzamos kapcsolás esetén a tagok átviteli függvényének összeadásával, míg visszacsatolás esetén az előrevezető ág osztva egy, 29 mínusz – plusz az előrevezető ág szorozva visszavezető ág átviteli függvényével. Ezek az eljárások lehetőséget biztosítanak arra, hogy egyszerűsítsük, áttekinthetővé tegyük. 30 a szabályozási körök hatásvázlatát 4. Lineáris tagok jelátviteli tulajdonságai A kimenőjel és a bemenőjel közti kapcsolat alapján a szabályozási tagok alaptípusait a következőképpen csoportosítjuk: • Ideális alaptagok

o Arányos (P) tag o Integráló (I) tag o Differenciáló (D) tag • Tárolós tagok o Egytárolós (T1) tag o Kéttárolós (T2) tag o Holtidős (Th) tag Vizsgáljuk meg ezen tagok jellemző függvényeit. 4.1 Ideális alaptagok 4.11 Arányos (P) tag Jellemzője, hogy kimenőjele a bemenőjellel arányos (késleltetés-mentes arányos tagnak is nevezik, mivel a bemenőjel hatása rögtön megjelenik a kimenetén). Az arányos tag kimenő- és bemenőjele közötti összefüggések: a) Időtartományban: A P tag kimenőjele xk (t ) = Ap xb (t ) (differenciál egyenlete időtartományban) Átmeneti függvénye: v (t ) = Ap1(t ) Súlyfüggvénye: w(t ) = A p δ(t ) Az átmeneti és súlyfüggvényüket a 4.111ábra szemlélteti 31 4.111 ábra b) Operátortartományban: Átviteli függvénye: Y(s)= X ki ( s ) = Ap . X be ( s ) Amplitúdó – körfrekvencia diagramja vízszintes egyenes, és fáziseltolási szöge minden frekvencián nulla. c) Frekvenciatartományban:

Frekvenciafüggvénye: = Y ( jω ) = X ki ( jω ) = Ap X be ( jω ) A P tag Nyquist-diagramja egyetlen pont (4.111 b ábra) Bode-diagramja a 4.112 ábrán látható 4.112 ábra Gyakrabban előforduló arányos tagok: potenciométer, elektronikus erősítő, fotocella stb. 4.12 Integráló (I) tag Jellemzője: az integráló tagok kimenetén állandósult állapotban a bemenőjel integráljával arányos jel jön létre. Az integráló tag kimenetén a jel állandóan nő, ha bemenetére bármilyen kis pozitív jel is kerül. Az integráló tagok főleg nagypontosságú szabályozásoknál játszanak szerepet. Az integráló tag kimenő- és bemenőjele közötti összefüggések: 32 a) Időtartományban: Az I tag differenciál egyenlete: Ti dx k (t ) = xb (t ) dt 1 Átmeneti függvénye: v(t)= T t i Súlyfüggvénye: w(t)= dv (t ) 1 = 1(t ) dt Ti Az átmeneti és súlyfüggvényük a 4.121 ábrán látható 4.121 ábra b) Operátortartományban: Átviteli függvénye: Y (

s ) = X ki ( s ) 1 = X be ( s ) sTi Határozzuk meg a tag Bode diagramját. A logaritmikus amplitúdó – jelleggörbe kifejezése: Y ( jω) [ dB ] = 20 log 1 ωTi = −20 log ωTi Tehát log ω, vagy log ωTi függvényében egy –20dB/dekád meredekségű egyenes, mely egyenes az 1/Ti körfrekvencián metszi a 0dB-es tengelyt. Fázistolása minden frekvencián -90°. A Bode-diagram a 4122 ábrán látható 33 4.122 ábra c) Frekvenciatartományban: Frekvenciafüggvénye: Y(jω )= Y ( jω) = X ki ( jω) 1 = X be ( jω) jωTi Az I tag Nyquist-diagramja a képzetes tengely negatív felére esik, a görbe alakja az időállandó megváltozásával nem változik, csak a körfrekvencia skálázása. A Nyquist- diagramja a 4.123 ábrán látható 4.123 ábra Integráló tag például az egyenáramú szervomotor, ha a kimenőjele a szögelfordulás. 4.13 Differenciáló (D) tag A differenciáló tagok kimenőjele állandósult állapotban arányos a bemenőjel

deriváltjával. A differenciáló tagot akkor iktatjuk be a szabályzási körbe, ha a kör működését valamelyik jel változásától akarjuk függővé tenni. Az differenciáló tag kimenő- és bemenőjele közötti összefüggések: a) Időtartományban: 34 A D tag kimenőjele: xk (t ) = Td dx b (t ) (differenciál egyenlete időtartományban) dt Átmeneti függvénye: v(t ) =Td δ(t ) Súlyfüggvénye: w(t ) = Td dδ (t ) dt Az átmeneti és súlyfüggvényük a 4.131 ábrán látható 4.131 ábra b) Operátortartományban: Átviteli függvénye: Y ( s ) = X ki ( s) = sTd X be ( s ) Amplitudó-jelleggörbéje egy +20dB/dekád meredekségű egyenes, mely egyenes az 1/Td körfrekvencián metszi a 0dB tengelyt. A Bode-diagram a 4132 ábrán látható 4.132 ábra c) Frekvenciatartományban: Frekvenciafüggvénye: Y ( jω) = X ki ( jω) = jωTd , X be ( jω) 35 A D tag Nyquist-diagramja a képzetes tengely pozitív felére esik, a görbe alakja az időállandó

megváltozásával nem változik, csak a körfrekvencia skálázása. A fáziseltolási szög minden frekvencián +90°. A Nyquist-diagramja a 4133 ábrán látható 4.133 ábra A valóságban a tiszta D tag nem realizálható, realizálni a D tagot csak valamilyen tároló hatással együtt lehetséges. 4.2 Tárolós tagok 4.21 Egytárolós (T1) tag Az egytárolós tag egy energiatárolót tartalmaz, kimenőjelük állandósult állapotban egyenlő a bemenőjellel. Az egytárolós tag kimenő - és bemenőjele közötti összefüggések: a) Időtartományban: A T1 tag differenciál egyenlete: T1 Átmeneti függvénye: v(t)= 1 −e − dx k (t ) + xk (t ) = xb (t ) dt t T1 t 1 −T1 e Súlyfüggvénye: w(t)= T1 Az átmeneti és súlyfüggvénye a 4.211 ábrán látható 36 4.211 ábra b) Operátortartományban: Átviteli függvénye: Y ( s ) = X ki ( s ) 1 = X be ( s) 1 + sT1 Határozzuk meg az egytárolós tag Bode-diagramját. A logaritmikus amplitúdó jelleggörbe

kifejezése: Y [ dB ] = 20 log Y ( jω) = 20 log 1 1 +ω T 2 2 1 = −20 log 1 + ω 2 T12 a fázis jelleggörbe egyenlete ϕ(ω) = arctg Im Y ( jω) = arctg ωT1 Re Y ( jω) Vizsgáljuk meg a logaritmikus amplitúdó jelleggörbe menetét: 1 Y [dB ] ≈0 , T1, akkor • ha ω sokkal kisebb mint • ha ω sokkal nagyobb mint 1 Y [dB ] ≈ −20 log ωT1 . T1 akkor A tag Bode–diagramja kis körfrekvenciákon tehát a 0dB-es tengellyel egybeeső egyenes, nagyobb körfrekvenciákon egy –20dB/dekád meredekségű egyenes. A közelítő és a valódi 1 diagram között a legnagyobb eltérés az ω = T körfrekvencián a legnagyobb (értéke – 1 3dB). A fázis-jelleggörbe kis körfrekvenciák esetén a 0°, nagy körfrekvenciák esetén pedig a 1 -90° tengelyhez simul. A fáziseltolás értéke az ω = T körfrekvencián –45° A Bode-diagram 1 a 4.212 ábrán látható 37 4.212 ábra c) Frekvenciatartományban: Frekvenciafüggvénye: Y ( jω) = X ki ( jω)

1 = , X be ( jω) 1 + jωT1 A T1 tag frekvenciafüggvénye lineáris törtfüggvény, ezért elvileg a Nyquist–diagramja kör lenne. Mivel a körfrekvencia nem lehet negatív, a jelleggörbe félkör, amely a valós tengely 1 pontjából indul ki, és a komplex számsík origójába fut be (miközben a frekvencia 0 ∞ között változik). Egy kört három pontja már meghatároz, ezért elegendő az előző két ponton 1 kívül még egyet kell meghatározni. Legyen ez a pont az ω = T körfrekvenciához tartozó 1 pont. Ezt a pontot a frekvenciafüggvényből számíthatjuk X ( jω ) 1 1 Y ( jω) = ki = = 1 ω = X be ( jω) 1 + j 1 T 1 + j1 (ezt komplex Az értéket behelyettesítve: T1 1 T1 1 1 −1 j konjugáltjával beszorozva) Y ( jω) = 1 +1 j * 1 −1 j = 1 −1 j 1 1 = −j 2 2 2 Tehát megkaptuk a kör harmadik pontját, mely alapján a Nyquist–diagram megrajzolható. Az 1 eredményből látható, hogy ezen a frekvencián a fáziseltolási szög –45°. Az

ω = T 1 körfrekvenciát sarok-körfrekvenciának nevezzük. Az egytárolós tag Nyquist–diagramját a 4.213 ábra mutatja Az ábrából kitűnik a Nyquistdiagram egy korábban már említett hátránya, hogy a T1 időállandó megváltoztatásával a 38 jelleggörbe alakja nem változik, csak a körfrekvencia skálázása lesz más. Tehát a paraméterváltozások hatását szemléletesen nem tükrözi. 4.213 ábra Egytárolós tag például az egyenáramú külsőgerjesztésű motor, melynek fordulatszáma a kapocsfeszültségtől függően változik. 4.22 Kéttárolós (T2) tag A kéttárolós (vagy másodrendű tárolós) tag két energiatárolót tartalmaz. Az kéttárolós tag kimenő- és bemenőjele közötti összefüggések: d 2 xk (t ) dx (t ) A T2 tag differenciál egyenlete: T2 + T1 k + xk (t ) = xb (t ) 2 dt dt 2 Átviteli függvénye: Y ( s ) = X ki ( s ) 1 = 2 X be ( s ) 1 + sT1 + s 2T2 A tag átmeneti függvénye az átviteli függvény segítségével

határozható meg. Ehhez alakítsuk át az átviteli függvény nevezőjét: 2 1 + T1s + T2 s 2 = 1 + 2ζTs + T 2 s 2 , ahol T = T2 és ζ = Ezek alapján az L[ v( t ) ] = V ( s ) = X b ( s )Y ( s ) = átmeneti 1 T1 a csillapítási tényező. 2 T2 függvény Laplace-transzformáltja: 1 s (1 + 2ζTs + T 2 s 2 ) A megoldáshoz tegyük egyenlővé a nevezőt 0-val, és oldjuk meg s-re. Az egyik gyök p1 = 0 , a másik két gyököt jelölje p2 , p3 . A csillapítási tényező függvényében három esetet különböztetünk meg: 39 a) ζ >1, ekkor p2,3 = − ζ T ± 1 ζ 2 −1 , ilyenkor az átmeneti függvény aperiodikus T pt pt lefolyású: v (t ) = 1 + C1e p 2 t + C2 e p3 t ; a súlyfüggvény: y (t ) = C1 p2 e 2 + C2 p3e 3 . b) ζ <1, ekkor p2 és p3 konjugált komplex számok, azaz: p2 , 3 = − ahol α = ζ T ζ 1 ±j 1 − ζ 2 = −α ± jω , T T l a csillapítási kitevő; és ωl = 1 1 − ζ 2 a lengési körfrekvencia, az T α −αt

átmeneti függvény: v (t ) = 1 − e (cos ω + ω sin ω t ) , a súlyfüggvény az átmeneti l l függvény deriválásából: y (t ) = l 1 e −αt sin ωl t . ωlT 2 A csillapítási tényező fenti értékénél az átmeneti és a súlyfüggvényben mutatkozó lengések miatt a tagot lengő tagnak is nevezik. A lengések csillapodásának mértékét az α csillapítási kitevő, illetve a csillapítási tényező határozza meg. c) ζ =1 ⇒ p2 = p3 , tehát a karakterisztikus egyenletnek két egybeeső gyöke van: átmeneti függvény: v (t ) =1 − e −αt (1 +αt ) , t 1 − súlyfüggvény: y (t ) = 2 te T . T Az átmeneti és a súlyfüggvényt mindhárom esetre a 4.221 ábra mutatja 4.221 ábra A tag viselkedése tehát a csillapítási tényező értékétől függ. Ha ζ <1, akkor lengő tagról beszélünk (minél kisebb a csillapítási tényező, annál nagyobb a kéttárolós tag lengéshajlama). 40 Ha ζ >1, az átmeneti és súlyfüggvény két

exponenciális tag összegéből áll. Ilyenkor a két függvény aperiodikus lefolyású. Ha ζ =1, határeset áll fenn ilyenkor a két függvény lefolyása még éppen aperiodikus. A kéttárolós tag frekvenciafüggvénye: Y ( jω ) = 1 1 + jω 2ζT + ( jω ) 2 T 2 Ha ζ >1, a frekvenciafüggvény két törtfüggvény szorzatára bontható (megfelel két sorbakapcsolt egytárolós tagnak): Y ( jω) = 1 1 = Ya ( jω)Yb ( jω) 1 + jωTa 1 + jωTb A Nyquist diagramot a két tag összeszorzásából kapjuk meg. Mindkét tag Nyquist-diagramja ugyanaz a félkör csak a körfrekvencia skálázásában különböznek. (ζ =1 eset is ez alapján számolható) Ha ζ <1, a Nyquist-diagram pontonként szerkeszthető meg. Az alakja hasonló az előző esethez, viszont amikor ζ >1, az ω növelésével az amplitúdó csökken, de amikor ζ <1, az ω növelésével az amplitúdó növekvő jellegű is lehet, mely növekedés mértéke a ζ értékétől függ. A T2 tag

Nyquist-diagramja a valós tengely 1 pontjából indul, és a komplex számsík 0 pontjába fut be. A jelleggörbe két síknegyeden halad át, mivel a két T1 tag fáziseltolási szöge összeadódik. A Nyquist-diagram a 4.222 ábrán látható 4.222 ábra A kéttárolós tag Bode-diagramja 1-nél nagyobb csillapítási tényező esetén a két különböző időállandójú tag összegzésével határozható meg. ζ >1 esetén a Bode-diagram a 4223 ábrán látható. | Ye | [ dB ] = 20 lg | Ya ( jω)Yb ( jω) |= 20 lg | Ya ( jω) | +20 lg | Yb ( jω) | 41 ϕe (ω) =ϕa (ω) +ϕb (ω) 4.223 ábra 1 1 Ha a ζ =1 Ta=Tb ekkor Y ( jω) = (1 + jωT ) (1 + jωT ) Ha a ζ <1 | Ye | [ dB ] = 20 lg 1 = 20 lg 1 + jω2ζT + ( jω) 2 T 2 = −20 lg ϕ (ω ) = arctan 1 (1 −ω T ) 2 + ( 2ζTω) 2 2 2 = (1 −ω2T 2 ) 2 +( 2ζTω) 2 Im Y ( jω) 2ζTω = − arctan Re Y ( jω) 1 − ω 2T 2 A jelleggörbe menete: ω <<1/T ⇒ωT<<1 tehát | Ye | [dB ] ≈ 0dB ω

>>1/T ⇒ω 4T4>>(2ζ Tω )2 így | Ye | [dB ] = −20 lg ω4T 4 = −40 lg ωT A közelítő jelleggörbe az 1/T körfrekvencián tér el leginkább a valódi görbétől. A pontos érték ezen a körfrekvencián: | Y | [dB ] = −20 lg 4ζ 2 = −20 lg 2ζ A fázis jelleggörbe menete szintén függ a csillapítási tényező értékétől. A lengő tag Bode-diagramját, és fázis-jelleggörbéjét a 4.224 ábra mutatja 42 4.224 ábra 4.23 Holtidős tagok A szabályozástechnikában gyakran fordulnak elő olyan tagok, melyeknek kimenőjele a bemenőjel megjelenése után csak egy bizonyos idő, a holtidő eltelte után jelentkezik. A holtidő legtöbbször a fizikai mennyiségek véges haladási sebessége miatt jön létre. (Holtidős tagnak tekinthető például egy szállítószalag, mivel az elején lévő bemenőjelnek tekintett anyagmennyiség csak egy meghatározott idő elteltével jelenik meg a kimeneten, a szalag végén.) Holtidős tagok a

következőképp csoportosíthatók: • holtidős arányos, tároló nélküli tagok • holtidős arányos, tárolós tagok • holtidős integráló tagok • holtidős differenciáló tagok A következőkben a holtidős arányos tároló nélküli tagot tárgyaljuk részletesen, a többi a megnevezésükből értelemszerűen megfogalmazható. 4.231 Holtidős arányos, tároló nélküli (PH) tag Időtartománybeli viselkedése: Differenciálegyenlete: xk (t ) = AH xb (t −TH ) 43 Átmeneti függvénye: v(t ) = AH 1(t −TH ) ; vagyis v(t)=0, ha t< TH , egyébként v(t)= AH Az átmeneti függvény 4.2311 ábrán látható 4.2311 ábra Az átviteli függvény meghatározásához a differenciálegyenlet Laplace-transzformáltját − sT képezve: X k ( s ) = AH X b ( s )e H ebből az átviteli függvény: Y ( s ) = X k (s) = AH e −sT H X b ( s) A frekvenciafüggvény: Y ( jω ) = AH e − jωTH A Nyquist-diagram a körfrekvenciától független AH sugarú

kör. A jelleggörbe körfrekvencia paraméterskálája a TH holtidő függvénye. A fáziseltolási szöge a körfrekvenciával lineárisan nő. A Nyquist-diagramja a 42312 ábrán látható 4.2312 ábra A tag Bode-diagramja: | Y | [dB ] = 20 lg AH 44 A logaritmikus amplitúdó jelleggörbe a frekvenciatengellyel párhuzamos egyenes. A fázis-köfrekvencia jelleggörbe: ϕ(ω) = −ωTH , vagyis léptéke logaritmikus, a ω -nak lineáris függvénye. Ha ω ϕ(ω) logaritmus görbe, a fáziseltolás mértéke körfrekvencián –1 radián. A jelleggörbe 0°-ról indul, és a ω= 1 TH − ∞ -be tart. A Bode-diagramja a 4.2313 ábrán látható 4.2313 ábra 4.3 Összetett alaptagok Az alaptagok és a tárolós tagok soros és párhuzamos kapcsolásával összetett tagokat állíthatunk elő. Megfelelő felépítésű összetett tag szabályozási körbe történő beiktatásával a szabályozási kör viselkedését úgy változtathatjuk meg, hogy az megfeleljen az

előírt minőségi követelményeknek. Megállapodás szerint az összetett tagok elnevezésében az egymás mellé írt P, I, D betűk párhuzamos kapcsolást, a T és H betűk soros kapcsolást jelentenek. 4.31 Arányos–differenciáló (PD) tag Az arányos-differenciáló tag egy arányos és egy differenciáló jellegű tag párhuzamos kapcsolásával jön létre. A gyakorlatban még egy arányos hatás is érvényesül, amelyet az A P átviteli tényezővel jellemezhetünk (4.311 ábra) 45 1 xa xk AP sTD 4.311 ábra Az eredő átviteli függvény, ha AP átviteli tényezőt figyelembe vesszük: YPD ( s ) = AP (1 + sT D ) = AP + AD s , ahol AD = APTD . Az átmeneti függvény: vPD (t ) = AP 1(t ) + ADδ (t ) A frekvenciafüggvény: YPD ( jω) = AP (1 + jωTD ) = AP + AD jω A PD-tag átmeneti és Nyquist-diagramja a 4.312 ábrán láthatók 4.312 ábra Az amplitúdó-körfrekvencia jelleggörbe egyenlete: | YPD | [ dB ] = 20 lg | 1 + jωTD |= 20 lg 1 +ω2TD A

fázis-jelleggörbe egyenlete: 2 ϕ(ω) = arctg ωTD Az AP átviteli tényező nélküli tag Bode-diagramja a 4.313 ábrán látható 46 4.313 ábra A vizsgált frekvencia függvény AP −vel történő szorzása a Bode diagram AP [ dB ] értékű függőleges eltolását jelenti. 4.32 Arányos-integráló (PI) tag Arányos-integráló tagot kapunk, ha egy arányos tagot párhuzamosan kapcsolunk egy integráló taggal (4.321) Legyen az arányos tag átviteli tényezője 1, az integráló tag átviteli függvénye pedig 1/sTi. Az arányos hatást egy sorosan kapcsolt AP átviteli tényezőjű taggal vesszük figyelembe. 1 xb xk AP 1 sTI 4.321 ábra Az eredő átviteli függvény: YPI ( s ) = AP (1 + A 1 ) = AP + I , ahol AI = AP / TI . sT I s Átmeneti függvénye: v(t ) = L−1{ (1 / s )YPI ( s )} = [ AP + AI t ]1(t ) Súlyfüggvénye: 47 w(t ) = dv (t ) = APδ (t ) + AI 1(t ) dt Átmeneti és súlyfüggvényük a 4.322 ábrán látható 4.322 ábra

Frekvenciafüggvénye (az átviteli függvényből): YPI ( jω) = AP + AI jω A tag Nyquist-diagramja a 4.323 ábrán látható 4.323 ábra Bode-diagramot egyszerűbb meghatározni, ha az átviteli függvényt egy törtté alakítjuk át: Y ( s ) = AP 1 + sTI sTI Ebből látható, hogy a PI tag felfogható egy P, egy PD és egy I tag soros eredőjeként. Mely alapján a Bode-diagram megszerkeszthető, e három tag soros eredőjéből (4.324 ábra) 48 4.324 ábra 4.33 Arányos-integráló-differenciáló (PID) tag A PID tag egy arányos, egy integráló, és egy differenciáló tag párhuzamos eredője, és az arányos hatást az eredővel sorbakapcsolt AP átviteli tényezőjű taggal vesszük figyelembe (4.331 ábra) 1 xa xk 1 sTI AP sTD 4.331 ábra 49 Az eredő átviteli függvény: YPID ( s ) = AP (1 + 1 A + sTD ) = AP + I + AD s , ahol AI = AP / T , és AD = APTD . sTI s I A PID tag átmeneti függvénye: v (t ) = AP 1(t ) + AI t + ADσ (t )

Frekvenciafüggvénye: YPID ( s ) = AP (1 + 1 A + jωTD ) = AP + I + AD jω jωTI jω Tehát a Nyquist-diagram meghatározásához alakítsuk át az átviteli függvényt úgy, hogy a számláló és a nevező tényezők szorzatából álljon: YPID ( s ) = AP 1 + sTI + s 2TI TD 1 + 2ζsT + s 2T 2 1 TI = AP , ahol T = TI TD , ζ = 2 TD sTI sTI A PID tag Bode-diagramja a 4.332 ábrán látható 4.332 ábra 4.4 Összefoglalás A szabályozási kört dinamikus vizsgálat céljából hatásvázlatával jellemezzük. A hatásvázlatban a rendszert alkotó szervek jelátviteli tulajdonságait a tagok képviselik. Az egész rendszer vizsgálatához szükséges az egyes tagokat jellemző függvények ismerete. Ebben a fejezetben részletesen megvizsgáltuk az egyes tagok átmeneti és súlyfüggvényeit, átviteli és frekvencia átviteli függvényeit, ezen utóbbi lehetséges ábrázolási módját. 50 51 5. Zárt szabályozási rendszerek jelátviteli tulajdonságai 5.1 Zárt

szabályozási körök minősége A szabályozás lényeges feladata az, hogy: a) értéktartó szabályozás esetén biztosítsa a szabályozott jellemző állandó értéken tartását a különböző zavaró hatások ellenére. b) követő szabályozás esetén pedig biztosítsa, hogy a szabályozott jellemző jól kövesse az alapjel változását a zavarások ellenére. A legalapvetőbb követelmény az, hogy egyáltalán beálljon a szabályozáson belül egy állandósult állapot, vagyis, hogy a szabályozás stabilis működésű legyen. Zárt szabályozási kör esetén a szabályozott jellemző időbeli alakulásának eseteit a 5.11 ábra tünteti fel 5.11 ábra Egy stabilis működésű szabályozás akkor lenne ideális, ha a szabályozott jellemző időbeli lefolyása pontosan megegyezne az alapjel időbeli lefolyásával. Ebben az esetben a szabályozásnak nem lenne hibája sem átmeneti, sem állandósult állapotban. Minél jobban megközelítjük az ideális

szabályozást, annál bonyolultabb, annál drágább a szabályozási kör. A feladat az, hogy ésszerű kompromisszumot érjünk el a szabályozás jósága és gazdaságossága között. A szabályozás pontosságára a szabályozási eltérés a jellemző, vagyis a szabályozott jellemző valós és kívánt értékének a különbsége. Ugyancsak a szabályozás pontosságára, jóságára jellemző az érzékenység. Az érzékenység megadja, hogy a rendszer valamely paraméterének relatív megváltozása milyen relatív megváltozást idéz elő a szabályozási kör valamely jellemző függvényében. A szabályozás annál jobb, minél kisebb az érzékenysége. 52 Az érzékenység matematikai definíciója: S P W ∂W = W , ahol W (a rendszer egy jellemző ∂P P függvénye, pl. az átviteli függvény) relatív megváltozását P (a változó paraméter) relatív megváltozásához viszonyítjuk. A szabályozás jóságára jellemző az átmeneti jelenségek

lefolyása. Általában a szabályozott jellemzőnek az egységugrás bemenőjelre bekövetkezett változásából következtethetünk a szabályozás minőségi jellemzőire. A szabályozott jellemzőnek a lefolyását 1(t) bemenőjelre az 5.12 ábra mutatja 5.12 ábra A szabályozás minőségi jellemzői ennek alapján: a) A szabályozott jellemző maximális túllendülése: σ = xs max − xs (∞) * 100 % , ahol xs(∞) a xs (∞) szabályozott jellemző állandósult értéke. b) A TS szabályozási idő: az az idő, amely után a szabályozott jellemző legfeljebb ± ∆ %-al tér el az állandósult értékétől. Vagyis fennáll a xs (t ) − xs (∞) ≤ ∆ , ha t≥ TS xs (∞) ∆ -t a szabályozás dinamikus pontosságának nevezzük, értékét általában 3 - 5%-ban adják meg. Előírható még a TS idő alatti lengések maximális száma, mint minőségi jellemző A szabályozás annál jobb, minél kisebb a σ maximális túllendülés, a TS szabályozási idő

és a TS alatt bekövetkező lengések száma. 53 Ha előírjuk a σ , TS és ∆ értékét, a szabályozás akkor megfelelő, ha a szabályozott jellemző nem lép át a vonalkázással jelölt területre. A vágási körfrekvenciából a Ts szabályozási idő közelítőleg megbecsülhető, mégpedig: π 3π ≤ Ts ≤ ωc ωc összefüggés alapján. (vágási körfrekvencia alatt értjük azt az ω c körfrekvenciát, ahol a felnyitott kör átviteli függvényének abszolút értéke egységnyi.) Sok esetben célszerű olyan minőségi jellemzők megadása, melyek figyelembe veszik az egész tranziens jelenség lefolyását, és valamilyen módon jellemzik a szabályozás pontosságát. Ezek a minőség integrálkritériumai. A szabályozás minősége annál jobb, minél kisebbek az integrálok. Néhány kritérium: ∞ a) Lineáris szabályozási terület: IL = ∫[ xs (∞) − xs (t )]dt ; minél kisebb IL értéke, annál jobb 0 a szabályozási kör. Ez azonban

csak a szabályozott jellemző aperiodikus lefolyása esetén igaz, mert lengő rendszer esetén a pozitív és negatív területek kiegyenlítik egymást, így rossz minőségű szabályozás lineáris szabályozási területe is lehet kicsi. ∞ b) Ia = ∫ xs (∞) − xs (t ) dt ; itt az integrál mindig pozitív, de analitikusan nehezen 0 megoldható. ∞ 2 c) Négyzetes szabályozási terület: In = ∫[ xs (∞) − xs (t )] dt Ez az integrál a szabályozási 0 eltérést mindig pozitív előjellel veszi figyelembe, és analitikusan jól számítható. A négyzetre emelés miatt az átmeneti folyamat kezdetén fellépő eltéréseket fokozottabban veszi figyelembe, mint a későbbieket. d.) A következő integrálok az eltérést az idővel súlyozzák, tehát egy későbbi időpontban bekövetkező nagy eltérést fokozottabban vesznek figyelembe, mint egy ugyanakkora eltérést egy korábbi időpontban. ∞ Ilm = ∫[ xs (∞) − xs (t )]t m dt 0 ∞ Iam = ∫ xs

(∞) − xs (t ) t m dt 0 ∞ Inm = ∫[ xs (∞) − xs (t ) ] t m dt , ahol m>0 2 0 54 Minél szigorúbbak a követelmények a szabályozási időre vonatkozóan, annál nagyobbra célszerű választani m értékét, igaz ekkor a kritérium értékelése válik nehézzé. A leggyakrabban az In kritériumot alkalmazzák. 5.2 Zárt szabályozási rendszerek eredő átviteli függvényei A zárt szabályozási rendszer eredő átviteli függvényeiből a rendszer kimenő és bemenő jeleinek kapcsolata állapítható meg. Így meghatározható hogyan változik a szabályozott jellemző és a hibajel, vagy rendelkezőjel az alapjel illetve a zavaró jellemző hatására. Az 5.21 ábra egy általános szabályozási kör hatásvázlatát mutatja Az átalakítási szabályok alkalmazásával, minden hatásvázlat hasonló alakra hozható. A hatásvázlatból látható hogy mind az xs ( t ) szabályozott jellemző, mind az xr ( t ) rendelkező jel nagysága a körre ható

bemenő jelektől, vagyis xa ( t ) alapjeltől és xz ( t ) zavaró jellemzőtől függ. xz(t) Yz (s ) xa(t) xr(t) Y1 ( s) Y2 ( s ) xs(t) xe(t) Yv (s ) 5.21 ábra Lineáris rendszerekben érvényes a szuperpozíció tétele, vagyis a rendszerre ható különböző jelek hatásai összegezhetők. Így a szabályozott jellemző, illetve a rendelkezőjel transzformáltja a következő alakban írható: X s ( s ) =W ( s ) ∗ X a ( s ) +Wz ( s ) ∗ X z ( s ) X r ( s ) =Wr ( s ) ∗ X a ( s ) +Wrz ( s ) ∗ X z ( s ) Ahol: W (s) = X s ( s) X a ( s) ha X z ( s ) ≡ 0 ; a zárt rendszer eredő átviteli függvénye. 55 Wz ( s ) = X s (s) X z (s) ha X a ( s ) ≡ 0 ; Wr ( s ) = X r (s) X a ( s) ha X z ( s ) ≡ 0 ; a hibaátviteli függvény. Wrz ( s ) = X r (s) ha X a ( s ) ≡ 0 ; a zavarójelre vonatkozó hibaátviteli függvény. X z (s) a zavarójelre vonatkozó átviteli függvény. A levezetés mellőzésével 5.11 ábrán feltüntetett hatásvázlat alapján az

egyes átviteli függvényekre a következő összefüggések adódnak: W (s) = Y1 ( s )Y2 ( s ) ha X z ( s ) ≡ 0 1 + Y1 ( s )Y2 ( s )Yv ( s ) Wz ( s ) = Wr ( s ) = Yz ( s )Y2 ( s ) ha X a ( s ) ≡ 0 1 + Y1 ( s )Y2 ( s )Yv ( s ) 1 ha 1 +Y1 ( s )Y2 ( s )Yv ( s ) Wrz ( s ) = X z (s) ≡ 0 −Yz ( s )Y2 ( s )Yv ( s ) ha X a ( s ) ≡ 0 1 + Y1 ( s )Y2 ( s )Yv ( s ) A nevezőben szereplő Y1 ( s )Y2 ( s )Yv ( s ) szorzatot, a szabályozási kör hurokátviteli függvénynek nevezzük ( Yhurok (s ) ). Az eredmények memorizálása rendkívül egyszerű, ha figyelmesen megnézzük a kapott kifejezéseket; minden átviteli függvény nevezője az 1 +Yhurok ( s ) , míg a számlálót a következő megfontolással írhatjuk fel: megvizsgáljuk,melyik két jel közti kapcsolatról van szó, majd a hatásvázlatban elindulunk attól a jeltől ami a tört nevezőjében szerepel és nyílfolyam irányában haladunk a számlálóban lévő jelig. Azokat az átviteli függvényeket, amiket

az útvonalon találunk, összeszorozzuk. Ez a kifejezés kerül a tört számlálójába A kapott eredmények ismeretében a szabályozott jellemző és a rendelkező jel időbeli lefolyása különböző üzemállapotoknak megfelelő alapjelek és zavaró jellemző értékek esetén meghatározható. 5.3 Szabályozási körök típusszám szerinti csoportosítása A szabályozásokat a velük szemben támasztott követelmények szerint két nagy csoportra oszthatjuk: 56 • értéktartó szabályozások feladata, hogy a különböző zavarások ellenére kis hibával, vagy hiba nélkül tartsák a szabályozott jellemző előírt értékét. • a követő szabályozásnak biztosítani kell, hogy az adott változó alapjelet – a vezetőjelet – a szabályozott jellemző kis hibával vagy hiba nélkül kövesse. A szabályozások értéktartási, illetve követési tulajdonságaira a felnyitott kör átviteli függvényéből következtethetünk. A felnyitott kör

átviteli függvénye, vagyis a hurokátviteli függvény minden esetben felírható a következő alakban: Y (s) = K Y0 ( s ) si ahol: • K a felnyitott kör erősítési tényezője, az ún. hurokerősítési tényező, • i az Y(s) kifejezés nevezőjéből kiemelhető s tényező hatványkitevője, • Y0 ( s ) az Y(s) függvénynek az a tényezője ami már sem integráló, sem differenciáló jellegű tényezőt nem tartalmaz, vagyis 1+sT jellegű kifejezéseket tartalmaz mind a nevezőben, mind a számlálóban. Az Y0 ( s ) tényező állandósult állapotban nem érezteti hatását: Y0 (0) =1 . Példa: Legyen Y ( s ) = 3(1 + s 0,6) s 2 (1 + s 0,9) 1 +s 0,6 Ebben az esetben K=3, i=2, és Y0 (s)= 1 +s 0,9 Az i hatványkitevő a szabályozás fontos jellemzője, megadja a szabályozás típusszámát. Az i értéke megmutatja, hogy a szabályozás arányos, integráló, vagy többszörösen integráló jellegű. Ha • i=0: 0 típusú, • i=1: 1 típusú, •

i=2: 2 típusú szabályozásról beszélünk. Magasabb típusszámú szabályozások a fellépő stabilitási problémák miatt a gyakorlatban ritkán fordulnak elő, ezért ezekkel nem foglalkozunk. 57 5.4 Statikus zavarelhárítási tulajdonságok Egy szabályozás statikus zavarelhárító képessége függ a szabályozási körnek és annak a tagnak a típusszámától, melyen keresztül a zavarás hat. Ennek bizonyításául az 521 ábrán feltüntetett hatásvázlatot alakítsuk át az 5.41 ábrán látható alakzatra xz(t) YzY2 xa(t) xr(t) xs(t) Y1 Y2 xe(t) Yv 5.41 ábra Vezessük be a következő jelölést: Yz ( s )Y2 ( s ) =Yz 2 ( s ) Yz 2 ( s ) alakja általában a következő: Yz 2 ( s ) = Az 2 Y0 z 2 ( s ) , ahol Y0 z 2 (0) =1 sj Írjuk fel a zárt rendszernek a zavaró jellemzőre vonatkozó átviteli függvényét a fenti adatokkal, az 5.2 fejezetben kapott eredmény felhasználásával: Az 2 Y0 z 2 ( s ) j X s (s) A Y (s) s Wz ( s ) = = = si − j i z 2 0

z 2 X z ( s) 1 + K Y ( s) s + KY0 ( s ) i 0 s ha X a (s) ≡ 0 A kapott eredményből kiolvasható, hogy a zavaró jellemző hatása állandósult állapotban az i és a j viszonyától függ. A határérték tétel alkalmazásával: ha i > j Wz (0) = X s (0) xs (∞) = =0 X z (0) xz (∞) Ebben az esetben tehát a zavaró jellemző állandósult állapotban nem tudja befolyásolni a szabályozást. A szabályozás tehát állandósult állapotban teljesen kiküszöböli a zavarás hatását. 58 Ha i = j ≥1 Wz (0) = X s (0) xs (∞) Az 2 = = X z (0) xz (∞) K vagyis a zavarás hatása állandósult állapotban a szabályozás nélküli eset K-ad részére csökken. Célszerű tehát a K hurokerősítést minél nagyobbra választani Ha i=j=0 Wz (0) = X s (0) xs (∞) A = = z2 X z (0) xz (∞) 1 + K a zavarás hatása tehát (1+K) – ad részére csökken. Ebben az esetben is K értékét célszerű nagyra választani. Wz (0) = ∞ Ha i<j tehát a

szabályozás nem tudja betölteni feladatát. 5.5 Statikus alapjelkövetési tulajdonságok Vizsgáljuk meg ezek után a 0, 1, 2 típusú szabályozási körök követési tulajdonságát, vagyis hogyan képes követni a 0, 1, 2 típusú szabályozás az egységugrás, egységsebesség és az egységgyorsulás típusú jeleket. A vizsgálat során az egyes szabályozásokra a határérték tételek segítségével meghatározzuk a szabályozott jellemző és a rendelkezőjel állandósult állapotban felvett értékét. A vizsgálatnál feltételezzük, hogy a szabályozási körre zavaró jel nem hat. lim xs (t ) = lim sX s ( s ) = lim sW ( s ) X a ( s ) t ∞ s 0 s 0 valamint lim xr (t ) = lim sX r ( s ) = lim sWr ( s ) X a ( s ) t ∞ s 0 s 0 A szabályozott jellemző Laplace transzformáltja általános esetben: X s (s) = W ( s) X a ( s) = Ye ( s ) X a ( s) K ahol Ye (s ) az előre vezető ág átviteli 1 + i Y0 ( s ) s függvénye A rendelkezőjel

Laplace-transzformáltja általános esetben: Xr ( s ) = Wr ( s ) * Xa ( s ) = 1 Xa ( s ) K 1 + i Y 0( s ) s 0 típusú szabályozás (i=0) követési tulajdonsága A szabályozási kör előrevezető ágának átviteli függvénye a következő alakban írható: 59 Ye ( s ) = AeY0 e ( s ); Y0 e (0) =1 A visszavezető ágban lévő tag átviteli függvénye: Yv ( s ) = AvY0 v ( s ); Y0 v (0) =1 A visszavezető ágban lévő tag jellegének az a magyarázata, hogy egyhurkos szabályozásokban a visszavezető ág sem integráló, sem differenciáló jellegű tagot nem tartalmazhat, mert a szabályozás nem tudná betölteni feladatát. ( A fentiek megértéséhez az olvasó gondoljon egy értéktartó szabályozásra). Mindkét tag tehát arányos jellegű. Vezessük be a következő jelöléseket: Ae Av = K és Y0 e ( s )Y0 v ( s ) =Y0 ( s ) ahol K a körerősítés és Y0 ( s ) a felnyitott hurokban található időtagokat tartalmazó átviteli függvény. A zárt rendszer

eredő átviteli függvénye, valamint a hibaátviteli függvény az előző jelölésekkel a következő alakban írható: W ( s) = AeY0 e ( s ) 1 + KY 0 ( s ) Wr ( s ) = 1 1 + KY 0 ( s ) Vizsgáljuk meg a kapott eredmények felhasználásával a szabályozott jellemző és a rendelkezőjel alakulását állandósult állapotban különböző típusú gerjesztőjelek esetén. (1) X a ( s ) = C s xs (∞) = lim s AeY0 e ( s ) C Ae = C 1 + KY0 ( s ) s 1 + K xr (∞) = lim s 1 C 1 = C 1 + KY 0 ( s ) s 1 + K xs (∞) = lim s AeY0 e ( s ) C =∞ 1 + KY0 ( s ) s 2 xr (∞) = lim s 1 C =∞ 1 + KY 0 ( s ) s 2 xs (∞) = lim s AeY0 e ( s ) C =∞ 1 + KY0 ( s ) s 3 xr (∞) = lim s 1 C =∞ 1 + KY 0 ( s ) s 3 s 0 s 0 (2) X a ( s ) = C s2 s 0 s 0 (3) X a ( s ) = C s3 s 0 s 0 60 Az eredményekből kiolvasható a 0 típusú szabályozás viselkedése a vizsgált bemenő jelekre: ez alapján mondhatjuk, hogy a 0 típusú szabályozás hibával képes követni az 1

típusú jelet és a hiba nagysága a körerősítéssel fordítva arányos, de nem képes követni a 2-es és a 3-as típusú jelet. 1 típusú szabályozás (i=1) követési tulajdonsága A szabályozási kör előrevezető ágának átviteli függvénye: Ye ( s ) = Ae Y0 e ( s ) s A visszavezető ágban legyen Yv ( s ) = AvY0 v ( s ) átviteli függvényű tag. A felnyitott kör átviteli függvénye tehát: Y ( s ) = K Y0 ( s ) ; s Y0 (0) =1 egyszeresen integráló. A zárt rendszer eredő átviteli függvénye: Ae Y0 e ( s ) A Y ( s) W (s) = s = e 0e K 1 + Y0 ( s ) s + KY0 ( s ) s A hibaátviteli függvény pedig hasonló levezetéssel: Wr ( s ) = s s + KY 0 ( s ) Különböző típusszámú gerjesztőjelek esetén a szabályozott jellemző és a rendelkezőjel a következő értékeket veszi fel: (1) X a ( s) = C ; s xs (∞) = lim s AeY0 e ( s ) C Ae = C s + KY0 ( s ) s K xr (∞) = lim s s C =0 s + KY 0 ( s ) s xs (∞) = lim s AeY0 e ( s ) C =∞ s + KY0 ( s )

s 2 xr (∞) = lim s s C C = 2 s + KY 0 ( s ) s K xs (∞) = lim s AeY0 e ( s ) C =∞ s + KY0 ( s ) s 3 s 0 s 0 (2) X a (s) = C ; s2 s 0 s 0 (3) X a (s) = C ; s3 s 0 61 xr (∞) = lim s s 0 s C =∞ s + KY 0 ( s ) s 3 A kapott eredményekből látható, hogy az 1 típusú szabályozás maradó hiba nélkül követi az egységugrás alakú jelet, az egységsebesség-ugrás jelet annál kisebb hibával minél nagyobb a K körerősítés. A szabályozás az egységgyorsulás-ugrás alakú jel követésére nem képes 2 típusú szabályozás (i=2) követési tulajdonsága 2 típusú szabályozást általában csak igen nagy pontosságot igénylő feladatok megoldásához alkalmaznak. A hatásvázlat előrevezető ágában lévő tagok eredő átviteli függvénye a következő alakban írható: Ye ( s ) = AeY0 e ( s ) s2 a visszavezető ágban szerepeljen Yv ( s ) = AvY0 v ( s ) átviteli függvényű tag. A zárt rendszer átviteli függvénye: AeY0e ( s ) A Y

(s) s2 W ( s) = = 2 e 0e KY ( s )0 s + KY0 ( s ) 1+ s2 A hibaátviteli függvény: 1 s2 Wr ( s ) = = KY0 ( s ) s 2 + KY0 ( s ) 1+ s2 Különböző típusszámú gerjesztőjelek esetén a szabályozott jellemző és a rendelkezőjel a következő értékeket veszi fel állandósult állapotban: (1) X a ( s) = C ; s xs (∞) = lim s AeY0 e ( s ) C Ae = C s + KY0 ( s ) s K xr (∞) = lim s s2 C =0 2 s + KY0 ( s ) s xs (∞) = lim s AeY0 e ( s ) C =∞ s + KY0 ( s ) s 2 xr (∞) = lim s s2 C =0 2 s + KY0 ( s ) s 2 s0 s 0 (2) X a (s) = C ; s2 s 0 s 0 2 2 62 (3) X a ( s) = C ; s3 xs (∞) = lim s AeY0 e ( s ) C =∞ s + KY0 ( s ) s 3 xr (∞) = lim s s2 C 1 = C 2 3 s + KY0 ( s ) s K s 0 s 0 2 A 2 típusú szabályozás hiba nélkül követi az egységugrás és egységsebességugrás alakú jelet, az egységgyorsulás-ugrást pedig annál kisebb hibával tudja követni, minél nagyobb K hurokerősítés értéke. 5.6 Összefoglalás Minden szabályozásnak

eleget kell tennie a szabályozott technológiai folyamat által előírt követelményeknek. Ezek a minőségi követelmények részben a statikus, részben a dinamikus állapotra vonatkoznak. A zárt lineáris rendszer eredő átviteli függvényeinek ismeretében a rendszer átmeneti és állandósult állapotbeli viselkedése meghatározható. A szabályozás zavarelhárító képességét állandósult állapotban a szabályozás típusszáma és annak a tagnak a típusszáma határozza meg, amelyen keresztül a zavarás érvényesül. Mindaddig, amíg az utóbbi értéke nem haladja meg a kör típusszámát, a kör képes a zavarás hatását kezelni. A szabályozási kör követési tulajdonságát állandósult állapotban szintén a kör típusszáma és a bemenőjel jellege határozza meg. Ha a bemenő jeleket Laplace–transzformáltjuk alapján szintén típusszám szerint csoportosítjuk, az egységugrás jel 1 típusú, az egységsebesség-ugrás jel 2 típusú, az

egységgyorsulás-ugrás jel pedig 3 típusú jelként kezelhető. A vizsgálataink eredményeként megállapíthatjuk, hogy minden szabályozás a nálánál kisebb, vagy vele megegyező típusszámú jelet hiba nélkül képes követni, a nálánál eggyel magasabb bemenőjelet csak hibával és a hiba nagysága a körerősítés reciprokával arányos, míg a kettővel magasabb típusszámú gerjesztőjel követésére nem képes. 63 6. Lineáris szabályozások stabilitása 6.1 A stabilitás fizikai képe A szabályozási körök alapvető követelménye, hogy a szabályozási folyamat a rendszert érő bármilyen zavarás kiküszöbölése, illetve a kívánt mértékű csökkentésére képes legyen. Ha a rendszerben zavarás következik be alapvető követelmény, hogy a szabályozás működése következtében álljon be az eredeti vagy attól kismértékben eltérő állandósult állapot, illetve az alapjel megváltoztatásakor álljon be az új állandósult állapot.

A szabályozási rendszerek stabilitását lényegében két körülmény befolyásolja. Egy rendszer lengéshajlama annál nagyobb: a) minél nagyobb a K hurokerősítés értéke, b) és minél nagyobb a rendszer késleltetése vagyis minél több energiatároló van a rendszerben. Az átviteli tényezők, időállandók bizonyos értékeire előfordulhat, hogy a rendszer csillapítatlan lengéseket végez, vagyis labilissá válik. Egy szabályozási rendszer vizsgálatakor, vagy tervezésénél nagyon fontos kérdés tehát a stabilitásvizsgálat. 6.2 A stabilitás matematikai megfogalmazása A rendszert akkor nevezzük stabilisnak, ha egyensúlyi állapotából kitérítve és magára hagyva idővel visszatér eredeti egyensúlyi állapotába. Ez a megfogalmazás lineáris és nem lineáris rendszerekre is igaz. Vizsgálataink jelenleg a lineáris rendszerekre vonatkoznak. Lineáris szabályozási rendszerek viselkedését differenciál egyenlete írja le. Ha a

differenciálegyenlet homogén részének megoldása – ami a tranziens folyamatot írja le – csillapodik, vagyis t ∞ időre nullához tart, a rendszer stabilis működésű. Ennek figyelembe vételével a lineáris rendszerek stabilitás feltételét úgy is megfogalmazhatjuk, hogy a zárt rendszer súlyfüggvényének t ∞ esetén zérushoz kell tartani. A súlyfüggvény vizsgálata helyett, vizsgálhatjuk a zárt differenciálegyenletének megoldását is: n xh (t ) = ∑Ci e pi t = C1e p1t + . + Cn e p n t i =1 64 rendszer homogén ahol p1 , p2 ,. pn a differenciálegyenlet karakterisztikus egyenletének gyökei. (Megjegyezzük, bizonyítható, hogy a zárt rendszer eredő átviteli függvényének nevezője a rendszer karakterisztikus egyenletének Laplace transzformáltja. Ezért a karakterisztikus egyenlet gyökei a W(s) pólusai ). A gyökök közül egyesek valósak, mások páronként konjugált komplexek. C1 , C2 , Cn a kezdeti feltételektől

függő állandók Ha minden valós gyök (pólus), illetve minden komplex gyök (pólus) valós része kivétel nélkül negatív, az átmeneti megoldás lecsillapodik, a rendszer működése stabilis. A stabilitás szükséges és elégséges feltétele teljesül, ha a karakterisztikus egyenlet gyökei a komplex számsík imaginárius tengelytől balra eső részén helyezkednek el. Ha egyetlen valós gyök is átkerül a komplex számsík jobb felére, a rendszer már labilis. Ilyenkor aperiodikus labilitásról beszélünk. Ha egy konjugált komplex gyökpár kerül át a jobb félsíkra, akkor periodikus labilitásról beszélünk. A karakterisztikus egyenlet megoldása csak első, illetve másodfokú esetben egyszerű, más esetben a gyökök meghatározása már körülményes. A fáradtságos számítások elkerülésére különböző eljárásokat dolgoztak ki a stabilitás eldöntésére, ezek a stabilitási kritériumok. A stabilitási kritériumok részben a

karakterisztikus egyenletből, részben a felnyitott kör Y(s) hurokátviteli függvényéből indulnak ki. Egy részük algebrai, másik részük geometriai formában adja meg a stabilitási feltételt. 6.3 Stabilitási kritériumok 6.31 631 Routh stabilitási kritérium A Routh–féle stabilitási kritérium segítségével a rendszer karakterisztikus egyenletének megoldása nélkül megállapítható a rendszer stabilitása. Az alábbiakban bizonyítás nélkül közöljük az eljárást: Legyen a rendszer karakterisztikus egyenlete a következő: a0sn + a1sn-1 + +an-1s + an=0 Routh szerint a karakterisztikus polinom együtthatóiból a következő sémát kell felállítani: a0 a2 a4 a6 . a1 a3 a5 a7 . b2 b4 b6 b8 . c3 c5 c7 c9 . ahol: 65 b2 = a1a2 − a0 a3 a1 b4 = a1a4 − a0 a5 a1 b6 = a1a6 − a0 a7 a1 . és c3 = b2 a3 − a1b4 b2 c5 = b2 a5 − a1b6 b2 . A sorok hosszúsága egyre csökken. Ha a karakterisztikus polinom n-ed fokú, a séma

(n+1) sorból áll. A stabilitás a Routh séma alapján eldönthető. A rendszer akkor és csakis akkor stabilis, ha a karakterisztikus polinom valamennyi együtthatója pozitív (szükséges feltétel) és a Routh séma első oszlopának minden egyes eleme is pozitív (elégséges feltétel). Amennyiben az első oszlopban szereplő elemek nem mind pozitívak, a rendszer labilis. Az előjelváltások száma megadja a zárt rendszer jobb oldali pólusainak számát. A nulla megjelenése az első oszlopban az imaginárius tengelyre eső gyökre utal. Ilyenkor a sémát úgy folytatjuk tovább, hogy nulla helyett egy tetszőleges, de kis számértéket veszünk. Példa. Legyen a vizsgálandó rendszer hatásvázlata a 6.31 ábrán látható: xa A1 s+ 2 A2 s( s + 5) 6.31 ábra A hatásvázlat pl. egy Ward-Leonard helyzetszabályozást ábrázolhat A felnyitott kör átviteli függvénye: 66 xs Y (s) = A1 A2 1 =K s ( s + 2)( s + 5) s ( s + 2)( s + 5) A karakterisztikus polinom

felírásához a zárt rendszer átviteli függvényét kell meghatározni. K K s ( s + 2)( s + 5) W (s) = = K s ( s + 2)( s + 5) + K 1+ s ( s + 2)( s + 5) W(s) nevezője megadja a karakterisztikus polinomot: K(s)=s(s+2)(s+5)+K=s3+7s2+10s+K A Routh séma: 1 10 0 7 K 0 70 − K 7 0 0 K 0 0 A séma alapján a stabilitás feltétele, hogy 0 <K<70 legyen. K=70 a kör kritikus körerősítése 6.32 Hurwitz stabilitási kritérium A Hurwitz-féle stabilitási kritérium a Routh kritériummal egyenértékű. A kritériumot szintén bizonyítás nélkül közöljük. A rendszer karakterisztikus polinomjának együtthatóiból képezzük a következő n-edrendű determinánst: ( ∆n ) a1 a3 a5 . a0 a2 a4 . 0 a1 a3 . 0 a0 a2 . 0 0 a1 . 0 0 a0 . A stabilitás szükséges és elégséges feltétele, hogy a karakterisztikus egyenlet valamennyi ai együtthatója a ∆n determináns és valamennyi főátlóra támaszkodó aldeterminánsa is pozitív legyen.

67 6.32 A Nyquist stabilitási kritérium A Nyquist stabilitási kritérium segítségével a felnyitott hurok helygörbéjéből következtethetünk a zárt rendszer stabilitási viszonyira. A zárt rendszer átviteli függvénye nevezőjében 1+Y(s) kifejezés szerepel, így a zárt rendszer pólusait az 1+Y(s)=0 összefüggésből határozhatjuk meg. Ha s helyébe jω -t helyettesítünk be: 1+Y(jω )=0. Fizikailag a helyettesítés annyit jelent, hogy megvizsgáljuk, van –e egy (esetleg több) olyan ω 0 körfrekvencia, amelyre az Y(jω )= -1 feltétel teljesül. Ekkor ezen az ω0 frekvencián a zárt rendszerben csillapítatlan rezgések keletkeznek. Ha a felnyitott kör Y(jω ) amplitúdó–fázis jelleggörbéje - miközben a 0≤ ω <∞ tartományban változik – éppen áthalad a komplex számsík –1 pontján, a rendszer a stabilitás határán van, a szabályozott jellemző sohasem éri el az állandósult értéket, hanem körülötte állandó

amplitúdójú lengéseket végez. Természetesen felvetődhet az a kérdés, hogy a rendszereket általában nem szinuszos jelekkel gerjesztjük, hogyan keletkezhet akkor a rendszerben fennmaradó lengés, ha például a bemenetre 1(t) alakú gerjesztőjelet kapcsolunk? Az 1(t) jelben minden frekvenciájú jel megtalálható (Fourier integrál), ezek közül az ω0 körfrekvenciájú jel a rendszerben fennmarad. 6.331 Egyszerűsített Nyquist stabilitási kritérium Ha az Y(s) hurokátviteli függvénynek nincs jobb oldali (pozitív valós részű) pólusa, akkor a Nyquist kritérium szerint a zárt rendszer stabilitásának szükséges feltétele, hogy az Y(jω ) frekvenciajelleggörbe főágát (vagyis a 0<ω <∞ tartományban) a növekvő körfrekvenciák irányába befutva a komplex sík –1+j0 pontba balkéz felől essék, vagyis a frekvenciajelleggörbe ne ölelje át a –1+j0 pontot. Ha a frekvenciajelleggörbe áthalad a –1+j0 ponton, akkor a zárt

rendszerben fennmaradó lengés keletkezik. Ha pedig a frekvenciajelleggörbétől jobb kéz felé esik a –1+j0 pont, akkor a zárt rendszer labilis. A három esetet a 6.3311 ábra tünteti fel 6.3311 ábra - 1 + j 0 I m Y S t a b i l - 1 ω = ∞ ω = 0 R e + j 0 I m Y H a I m t á ω = ∞ ω = 0 Y Y ω)( j r e s e t - 1 R Y ω)( j 68 e Y + L j 0ω = ∞ Y a b i l i s ω = 0 R Y ω)( j e Y Fázistartalék és erősítési tartalék fogalma Az egyszerűbb, úgynevezett rendes viselkedésű szabályozási rendszer stabilitási fokának jellemzésére a fázistartalék és az erősítési tartalék fogalmát vezetjük be. Rendesnek akkor nevezzük a rendszert, ha frekvencia jelleggörbéje az egységsugarú körbe egyszer belépve, onnan nem lép ki többet. Kössük össze az Y(jω ) görbe és az egységsugarú kör metszéspontját a komplex számsík kezdőpontjával. Ennek a sugárnak a negatív valós tengellyel alkotott szöge

adja meg a fázistartalékot (6.3312 ábra) j t 1 R= + t Y ω )( j 6.3312 ábra Az ábrán látható módon: ϕ =π +ϕ t A fázistartalék: ϕ t= ϕ – π A ϕ -t most az óramutató járásával ellentétes irányban mérjük a pozitív valós tengelytől. • Ha ϕ >π , akkor ϕ t>0, ilyenkor a rendszer stabilis. • Ha ϕ =π , akkor ϕ t=0, ilyenkor a rendszer a stabilitás határán van. • Ha ϕ <π , akkor ϕ t<0, ilyenkor a rendszer labilis. A rendszer stabilitási viszonyaira következtethetünk a κ erősítési tartalékból is. Az erősítési tartalék definíciószerűen az Y(jω ) görbe és a negatív valós tengely metszéspontjának távolsága az origótól. • Ha κ <1, a rendszer stabilis. 69 • Ha κ =1, a rendszer a stabilitás határán van. • Ha κ >1, a rendszer labilis működésű. Az erősítési tartalék, és a fázistartalék kapcsolatát a 6.3313 ábrán követhetjük nyomon 6.3313 ábra 6.332

Általános Nyquist stabilitási kritérium A kritérium olyankor alkalmazandó, amikor az Y(s) hurokátviteli függvénynek jobb oldali pólusai is vannak. Ekkor a felnyitott rendszer labilis működésű Ezt úgy foghatjuk fel, hogy a rendszer többhurkos, vagyis belső visszacsatolásokat is tartalmaz, melyek közül egy vagy több a labilitás oka. Ennek ellenére az eredő zárt rendszer még stabilis működésű lehet Az általánosított Nyquist-kritérium szerint a zárt rendszer stabilitásának feltétele, hogy a felnyitott kör teljes amplitúdó-fázis-jelleggörbéje annyiszor fogja körül az óramutató járásával ellentétes pozitív körüljárási irányban a –1+j0 pontot, amennyi a felnyitott kör jobb oldali pólusainak a száma. Ha Z-vel jelöljük a karakterisztikus egyenlet (1+Y(s)) jobb oldali (pozitív valós részű) zérushelyeinek, valamint P-vel a pólusainak a számát, akkor az általánosított Nyquistkritérium a következő egyenlettel fejezhető

ki: Z=P–R ahol R az Y(jω ) teljes frekvencia jelleggörbe –1 pont körüli körülfordulásainak a száma. A zárt rendszer akkor és csakis akkor stabilis, ha Z=0, vagyis R=P Az általánosított Nyquist-kritérium a 6.3321 ábrán látható 70 I m s I m s R= ∞ s Y P 1 P - 1 + 2 P R 0 e j 0 s R e Y Y ω) ( Z P j = 0 P j = R = = - 2 0 - ( - 2 ) = 2 0 6.3321 ábra Ha az Y(s) átviteli függvénynek magán a képzetes tengelyen van a pólusa (például 1 vagy 2 típusú rendszerek esetén), akkor azt zérushoz tartó félkörrel jobbról, vagy balról megkerüljük a 6.3321 ábrán látható módon 6.33 Bode stabilitási kritérium A Nyquist stabilitási kritérium alkalmazásának hátránya, hogy megköveteli a Nyquistdiagram felrajzolását. Ez bonyolultabb frekvenciafüggvények esetén nehézkes Mivel a Nyquist- és a Bode-diagramok között a megfeleltetés egyértelmű, a stabilitás a rendszer Bode-diagramja segítségével is

megállapítható. Ez a vizsgálati módszer azonban csak akkor alkalmazható kényelmesen, ha a felnyitott körnek nincsenek jobb oldali pólusai. A felnyitott kör Bode-diagramján igen egyszerűen leolvasható a rendszer fázistartaléka, illetve erősítési tartaléka és ahogyan azt az előző fejezetben (6.331) láttuk ezekből következtethetünk a stabilitási viszonyokra. A fázistartalék a Nyquist-diagram és az egységsugarú kör metszéspontját az origóval összekötő sugár és a negatív valós tengely által bezárt szög. Az egységsugarú körnek a logaritmikus diagramon a 0 dB tengely felel meg (20 log I1I=0 dB). Ha ehhez a metszésponthoz a fázis-körfrekvencia-jelleggörbén éppen –180° tartozik, a rendszer a stabilitás határán van. Ha a metszésponthoz tartozó fázisszög nagyobb -180°-nál a fázistartalék pozitív, a rendszer stabilis. Ha a metszésponthoz -180°-nál kisebb szög tartozik, a fázistartalék negatív, a rendszer működése

labilis. A három esetet a 6.341 ábra tünteti fel 71 6.341 ábra A stabilitást az erősítési tartalék alapján is vizsgálhatjuk. Ha a –180°-os szöghöz tartozó amplitúdó éppen egységnyi, vagyis κ {dB}= κ H{dB}=0, a rendszer a stabilitás határán van. Ha κ {dB}=κ s{dB}<0 (a Nyquist-diagram 1-nél kisebb értéken metszi a valós tengelyt), a rendszer stabilis, ha pedig κ {dB}= κ L{dB}>0, a rendszer labilis működésű. Sokszor az amplitudó-körfrekvencia jelleggörbe lefolyásából is megállapítható a stabilitás. Bode tétele szerint ugyanis, egy jobb oldali pólusokat és zérushelyeket nem tartalmazó felnyitott rendszer amplitudó- és fázis-körfrekvencia jelleggörbéi között az összefüggés egyértelmű. ha az egyiket ismerjük, ennek a lefolyásából a másik is meghatározható Így megfogalmazható a Bode-féle stabilitási tétel: Ha az Y{dB} görbe –20dB/dekád meredekségű szakaszon metszi a 0dB tengelyt, a rendszer biztosan

stabilis. Ha a metszés –40dB/dekád meredekségű szakaszon következik be a stabilitás csak a fáziskörfrekvencia-jelleggörbe vizsgálatával együtt dönthető el. Ebben az esetben ugyanis a rendszer lehet stabilis és labilis is! Ha pedig a metszés –60dB/dekád meredekségü szakaszon történik, a rendszer biztosan labilis. 6.4 Strukturális és feltételes stabilitás Az előzőekben végzett vizsgálataink során láttuk, hogy egy rendszer stabilitási viszonyai a rendszer paramétereitől, a körerősítéstől és az időállandóktól függnek. A K körerősítés növelése általában a stabilitási tartalék csökkenéséhez, majd a rendszer labilis működéséhez vezet. 72 Vannak olyan rendszerek, melyek bármilyen K értéknél stabilis működésűek. Ezeket a rendszereket strukturálisan stabilis rendszereknek nevezzük. Ilyen rendszer például az, melynek hurokátviteli függvényének nevezője legfeljebb másodfokú. Ekkor ugyanis a felnyitott kör

Nyquist–diagramja nem veheti körbe a –1+j0 pontot. Léteznek olyan rendszerek is, amelyek a K hurokerősítés bizonyos tartományában stabilis viselkedésűek, míg K csökkentésére is, növelésére is labilis működésűvé válnak. Az ilyen rendszereket feltételesen stabilis rendszereknek nevezzük. 6.5 Összefoglalás Az előzőekben áttekintettük a zárt szabályozási rendszerek legfontosabb kérdéskörét, a stabilitást. Bemutattuk azokat a stabilitási kritériumokat melyek segítségével a kérdésre válasz adható. Jogosan fogalmazódik meg a kérdés, melyik kritérium alkalmazása a leginkább célravezető? A karakterisztikus egyenletre vonatkozó kritériumok általában nehezebben kezelhetők a hurokátviteli függvényre alapozóknál. A karakterisztikus egyenlet felírásához meg kell határozni az együtthatókat, amik a rendszerparamétereket (átviteli tényezők, időállandók) csak burkolt formában tartalmazzák. A kritériumok a

karakterisztikus egyenlet együtthatóira építenek, így körülményesen állapítható meg, hogy a stabilitás érdekében milyen változtatásokat kell eszközölni az egyes paramétereken. Ezért a Routh–Hurwitz kritériumok inkább már megvalósított rendszerek vizsgálatára használatosak. A Nyquist–kritérium a stabilitás kérdéskörén kívül lehetőséget ad néhány minőségi jellemzőre vonatkozó kérdés megválaszolására is, megrajzolása azonban hosszas számítási munkát igényel. A mérnöki gyakorlat számára a legkedvezőbbnek a Bode stabilitási kritérium alkalmazása látszik, különösen akkor, ha elegendő az amplitúdó diagram felrajzolása. Szerkesztése egyszerű és jól láthatóvá teszi a kompenzáló tagok hatását is. Megjegyezni kívánjuk, hogy a szakirodalom még egyéb kritériumokat is tartalmaz, ezek megértése a tanultak alapján nem okoz problémát. 73 7. Szabályozási körök minőségi jellemzőinek javítása

kompenzációval Adott célú szabályozás megtervezésének legfontosabb lépése a megfelelő jelformáló, vagy kompenzáló szerv, illetve tag megválasztása. Ez lényegében a szabályzó dinamikus viselkedésének a megválasztását és beállítását jelenti. Egy adott szabályozás tervezésekor a következő szempontokat kell szem előtt tartani: • A szabályozás stabilis működésű legyen • Állandósult állapotbeli hibája minél kisebb legyen • Eleget tegyen az előírt minőségi követelményeknek Ezek a szempontok sok esetben ellentmondóak. Például egy 0 típusú szabályozás állandósult állapotbeli hibája annál kisebb, minél nagyobb a K körerősítés. A körerősítés értéke nem növelhető minden határon túl a stabilitás veszélyeztetése nélkül. Ha egy szabályozás működése stabilis, pontossága megfelelő, még kérdéses eleget tesz-e a minőségi követelményeknek. A szabályozás tervezésekor az egyes követelmények

kielégítése között a legmegfelelőbb kompromisszumot kell megtalálni. Ha a szabályozás az egyes követelményeknek nem tesz eleget, a szabályozás működése javítható: • A szabályozás szerkezetének, elemeinek megváltoztatásával • Járulékos tagok beiktatásával. Ez utóbbi eljárást nevezzük jelformálásnak vagy kompenzálásnak. A beiktatott szerveket jelformáló vagy kompenzáló szerveknek, az átviteli sajátosságaikat képviselő tagokat pedig jelformáló vagy kompenzáló tagoknak. A kompenzáló tagnak természetesen megvalósíthatónak kell lennie. Megkülönböztetünk passzív és aktív jelformáló szerveket. A passzív szervek nem tartalmaznak energiaforrást. Kimenőjelük jelszintje alacsonyabb bemenőjelük jelszintjénél Az aktív szervek erősítőt tartalmaznak, alkalmazásukkal hatásosabb jelformálásra nyílik lehetőség. A kompenzáló tag beiktatásának gyakran járulékos következményei lehetnek, melyekre

figyelni kell. Például: • Jelek teljesítmény szintjének csökkenése 74 • Zajok, zavarok kiemelése A jelformáló szervet általában a szabályozási kör kis teljesítményű szakaszán kell beiktatni. A jelformáló szerv beiktatásának módja szerint kétféle kompenzálást különböztetünk meg: • Soros kompenzálás; ha a kompenzáló tagot a körbe sorosan iktatjuk be • visszacsatolásos kompenzálás; ha a rendszerben belső hurkot képzünk, valamely tagjának alkalmasan választott dinamikus viselkedésű taggal történő visszacsatolásával. A kompenzáló tag kívánt frekvencia jelleggörbéjének meghatározása a Bode diagramok felhasználásával a legegyszerűbb. 7.1 Soros kompenzáció 7.11 P típusú kompenzáció Amennyiben a felnyitott hurok frekvencia tulajdonságainak módosítása nem szükséges, a statikus pontosság kívánt értékre állítása fogalmazódik meg igényként, akkor kerülhet alkalmazásra. A szabályozó

arányos tag lehet, amelynek Ap átviteli tényezőjét az korlátozza, hogy az ω c vágási körfrekvencián a kívánt dinamikus viselkedésnek megfelelő fázistöbbletet kell betartani. a(ω) –20 dB/dek Apx Ap lg ω –40 dB/dek ω1 ωc ω2 7.111 ábra A 7.111 ábrán egy egységnyi átviteli tényezőjű kéttárolós tag amplitúdómenetét tüntettük fel. A fentiekben említett kívánt dinamikus viselkedésnek megfelelő fázistöbblet az ω c metszési körfrekvencián biztosított, ami az Ap körerősítés esetén áll elő. Ezt túlhaladva a vágási körfrekvencia kisebb fázistöbblet felé tolódik, ami a túllendülés növekedéséhez és a stabilitás megszűnéséhez vezet. P típusú szabályzó a hibával arányos túlvezérlést a hiba 75 felléptének pillanatában beveti. Ha pl a körerősítés K= 10, akkor 10%-os hiba felléptekor olyan szabályzó jelet ad, amely 100%-os hiba megszüntetésére alkalmas. A túlvezérlést maga a csökkenő

hiba veszi vissza. Ha a szabályozási kör visszacsatoló ágában nagy időállandóval rendelkező tagok találhatók, előfordulhat, hogy a beavatkozás eredménye későn jut visszajelzésre, a túlvezérlés túlságosan nagy, a visszavétel késve történik meg, akkor túllendülés, vagy növekvő lengés állhat elő. Ez határt szab a statikus pontosságnak és a működési sebességnek. 7.12 PI típusú kompenzáció Ha P kompenzációval megvalósítható körerősítéssel nem érhető el a kívánt statikus pontosság, akkor olyan megoldást kell alkalmazni amellyel a körerősítés úgy növelhető, hogy annak hatása a stabilitást meghatározó frekvencia tartományban nem érződik. Erre a célra PI típusú kompenzáló tagot lehet a körbe beiktatni, amely a vágási frekvenciától kellő távol eső kisfrekvenciás tartományban, vagy annak egy szakaszán az eredeti frekvencia függvény meredekségét –20db/dekáddal, fázisszögét aszimptotikusan –900-al

változtatja meg. A PI szabályzó előállítását a 7.121 ábra mutatja 1 xb AP xk 1 sTI 7.121 ábra A PI szabályzónak két paramétere van: az arányossági tényező, melyet A p –vel jelölünk, és a TI integrálási idő. A paraméterek meghatározása a gyakorlatban különböző ajánlások alapján történik. Ennek megértéséhez tekintsük a 7122 ábrán feltüntetett Bode diagramot Tételezzük fel, hogy a 7.122 ábrán az Ap körerősítésnél a megengedhető túllendülés szempontjából határhelyzetben lévő szakasszal olyan ideális PI tagot kapcsolunk sorba, amelynek az arányos átviteli tényezője Ap, integrálási ideje a szakasz legkisebb sarokfrekvenciájának reciproka TI= 1/ω 1 (b. ábra) Ebben az esetben az aszimptotikus frekvencia függvény kisfrekvenciás szakasza –20 db/dekád meredekségü integráló szakasszá, a rendszer pedig 1 típusúvá válik anélkül, hogy a vágási körfrekvencia helye és a fázistöbblet észrevehetően

megváltozott volna (c. ábra) 76 A kompenzáló tag sarokfrekvenciájának nem szükségképpen kell megegyezni az eredeti görbe legkisebb sarokfrekvenciájával, csupán arra kell ügyelni, hogy vágási körfrekvencia elegendően messze legyen ahhoz, hogy az ottani fázisviszonyokat a PI tag beiktatása ne befolyásolja. Gyakorlatilag lineáris ω léptékben 1:5 – 1:10 távolságban a(ω) ω1 ωc (a) ábra –20 dB/dek Ap lg ω –40 dB/dek a(ω) –20 dB/dek (b) ábra Ap lg ω a(ω) (c) ábra –20 dB/dek Ap lg ω ω1 ωc 7.122 ábra A szabályzó működésével kapcsolatban meg kell jegyezni, hogy a hiba jelentkezésének pillanatában Ap-nek megfelelő jellel válaszol, amelyet aztán a hiba integrálása útján olyan lassan igyekszik növelni, hogy közben az első beavatkozás eredményeként a hiba jórészt megszűnik és a túlvezérlés sokkal előbb mérséklődik, mintsem a kezdeti hibának megfelelő végérték kialakulhatott volna (lásd: PI

tag átmeneti függvénye). 77 7.13 PD típusú kompenzáció Ha a szabályozás stabilitása illetve lengéshajlamának csökkentése mellett a szabálypzás gyorsítása is szükséges, PD kompenzációt alkalmazunk. Ez nagyobb frekvenciás szakaszon a Bode diagram meredekségét +20dB/dekáddal és fázisszögét aszimptotikusan +90 fokkal változtatja. A szabályzó előállítását a 7.131 ábra mutatja (a D tagot csak tároló hatással együtt tudjuk realizálni). 1 xa Ap xk sTD 1 +sT 7.131 ábra A PD kompenzáció megvalósításával kapcsolatban tekintsük a 7.132 ábrán feltüntetett Bode diagramokat. Az egységnyi átviteli tényezőjű többtárolós tag ω 2 frekvencián lévő töréspontját a b. ábra szerinti PD taggal ω 3 frekvenciára helyezzük át, akkor közel azonos fázistöbbletet tartva az arányos szabályzóval elérhető Ap körerősítés illetve ω cp vágási körfrekvencia AD-re, illetve ω cd-re növelhető. A PD tag átviteli

függvényében az ω kompenzálandó függvény határozza meg, míg ω 4 2 sarokfrekvenciát a bizonyos határok között tetszőlegesen választható. A fázisviszonyokra gyakorolt hatás szempontjából előnyös, ha a D hatás széles frekvencia sávban érvényesül. Ehhez a PD tag átviteli függvényében a T1/T2 hányadost célszerű nagy értékre választani (10 -20). YPD ( s ) = 1 + sT1 1 + sT2 A PD tag átmeneti függvényében a t=0 pillanatban ADT1/T2 = ADω 4/ω 2 túllendülés van. Ugrásszerűen jelentkező hibajelre a kompenzálás csak akkor érvényesül, ha ezt a csúcsot a soron következő tagok tovább viszik. Ha kompenzáló szervet követő valamelyik erősítő ennél kisebb jelszintnél telítődik, akkor a D hatásból származó gyorsító hatás csak részben érvényesül. 78 a(ω) –20 AD lgω AP ω1 ω2 ωcp ωcd a(ω) +20 AD ω4/ω2 AD lgω 7.132 ábra Telítődő hatást nem csak ugrásszerű hibajel okozhat. Minél nagyobb

az ω 4/ω 2 arány annál nagyobb a PD tag frekvencia kiemelése (lásd a 7.132 ábrát) Ha az ellenőrző jelben viszonylag kis amplitúdójú nagyobb frekvenciás zaj is megjelenik az érzékelő szervre ható mérési zajok miatt, az a visszacsatoláson keresztül a PD tagra kerül és annak kimenő jelében felerősítve jelenik meg. Ha ez a szabályzót, a végrehajtót, vagy a beavatkozó szervet telíti, a szabályzó rendellenes működését okozhatja. A differenciáló kapcsolás tehát zavarérzékeny 7.14 PID típusú kompenzáció Ha a szabályozás stabilizálása, illetve túllendülésének csökkentése mellett a szabályozás pontosságát növelni kell, és ugyanakkor a szabályozási idő növekedése nem engedhető meg, PID kompenzációt alkalmazunk, amely egyesíti a PI és a PD kompenzáció előnyeit. A gyakorlatilag megvalósítható PID kompenzáló szerv előállítását a 7.141 ábra mutatja Az eredő átviteli függvény: YPID ( s ) = 1 + 1 sTD 1 + s

(TI + Tk ) + s 2TI (TD + Tk ) (1 + sT A )(1 + sTF ) + = = sTI (1 + sTk ) sTI 1 + sTk sTI (1 + sTk ) 79 1 xa xk 1 sTI sTD 1 +sTk 7.141 ábra TA az alsó törési körfrekvenciához, TF pedig a felső törési körfrekvenciához tartozó időállandók. Értékük a következő összefüggésekből határozhatók meg: TA+TF=TI+Tk TATF=TI(TD’+Tk) A gyakorlatilag megvalósítható PID tag Bode diagramját a 7.142 ábra mutatja a(ω) Lgω 1/TI 1/Tk 1/TA 1/TF 7.142 ábra A kompenzálandó tag paramétereinek és a minőségi jellemzőkre vonatkozó előírások ismeretében a PID tag paraméterei megválaszthatók. 80 7.2 Kompenzáció visszacsatolással A kompenzáció ezen formájánál a jelformálás lényege: a rendszer frekvencia átviteli tulajdonságait alkalmasan megválasztott járulékos tag beiktatásával megváltoztatjuk. A frekvencia-jelleggörbe módosulását nemcsak soros tagok beiktatásával, hanem belső hurok létesítésével is elérhetjük.

Természetesen belső hurok kialakításával stabilitási problémák is felmerülhetnek, így a rendszer stabilitásvizsgálata bonyolultabbá válik. A jelformáló hatás a visszacsatoló és a visszacsatolt tag dinamikus tulajdonságaitól függ. Minden visszacsatolásos jelformálás vele egyenértékű soros jelformálásra vezethető vissza. Vagyis egy visszacsatolásos jelformálás vizsgálatakor meg kell keresnünk azt az Yk átviteli függvényű fiktív soros kompenzáló tagot, amelynek hatása a visszacsatoláséval azonos. A fentiek megértéséhez tekintsük a következő példát: Egy integráló tagot arányos tagon keresztül csatolunk vissza (7.21 ábra) xa 1 sTi Xs A 7.21 ábra Az eredő átviteli függvény: 1 1 sT I A = Ye = A sT 1+ 1+ I sT I A A tag elvesztette integráló jellegét, a visszacsatolt tag egytárolós arányos jellegű. Az egyenértékű soros kompenzáló tag átviteli függvénye: sT I A Yk = sT 1+ I A Tehát hasonló hatást érhettünk

volna el, egy egytárolós differenciáló tag soros beiktatásával a hurokba. 81 7.3 Kompenzáló szervek megvalósítása műveleti erősítővel Villamos automatizálási rendszerekben a jelformálók leggyakrabban RC tagok. Lehetnek passzívak, de segédenergia felhasználásával aktívak is. A passzív kompenzálótagok jelszint csökkenést és teljesítmény veszteséget okoznak, amit a hatáslánc más helyén feltétlenül pótolni kell. Mivel a kompenzáló tagok leggyakoribb helyeiken úgy is erősítők szomszédságában vannak, célszerű az erősítő megfelelő visszacsatolásával a jelformálást megvalósítani. Az ilyen formában megvalósított kompenzálásnál nem mindig lehetséges az erősítő és a kompenzálószerv elhatárolása. Az elmondottak az aktív kompenzálószerv mellett szólnak. Ezek megvalósítására igen alkalmas a műveleti erősítő megfelelő visszacsatolással A műveleti erősítős kompenzálószervek lényegében aktív RC

szűrők, mivel előírt frekvenciafüggvényt kell teljesíteniük. Ideális PI kompenzációt valósítana meg a 731 ábrán látható kapcsolás. A visszacsatolt erősítő frekvencia átviteli függvénye : C 1 – u + b e u k i R 7.31 ábra YPI ( jω) = 1 + 1 1 = A+ jωC1 R jωTI ahol: A=1, és TI=C1R. Ez a kapcsolás azonban így nem valósítható meg, mert a drift miatt le kell csökkenteni az egyenfeszültségű erősítést. A megoldást a 732 ábrán látható R2 C2 – ube + uki R1 7.32 ábra 82 A kapcsolás frekvencia átviteli függvénye: 1 YPI ( jω ) = 1 + R1 + jωTI R2 Látható hogy az ideálistól való eltérést a nevezőben megjelenő R1/R2 tag okozza. Ha teljesül az ω >> R1 1 összefüggés, akkor ez a jelformáló ideális PI kompenzálónak tekinthető. R 2 TI Ideális PD kompenzáló látható 7.33 ábrán R1 R2 – C1 + ube uki 7.33 ábra Frekvencia függvénye: YPD ( jω) = −( R2 + jωC1 R2 ) = −( A + jωTD ) R1

Ez a kompenzálótag fázist fordít és A=R2/R1 arányban erősít is. Az összefüggésben TD=C1R2 Ennek a megvalósításának az az akadálya, hogy valóságos műveleti erősítővel instabil és nagyfrekvenciákon a bemeneti impedancia közel zérus. A valódi megoldás a 734 ábrán látható. R1 R2 – R3 ube C1 + uki 7.34 ábra 83 A kapcsolás frekvencia függvénye: YPD ( jω) = −( A + jωTD ) . A hibát a nevezőben 1 + jωC1 R2 1 lévő jω C1R3 kifejezés okozza. Ha teljesül az ω << C R egyenlőtlenség, akkor ez a 1 3 jelformáló jó közelítéssel ideális PD kompenzálótagnak tekinthető. PID kompenzáció valósítható meg a 7.35 ábrán látható kapcsolással A kapcsolás frekvencia átviteli függvénye: YPID ( j ω) = − R2 (1 + jωT1 )(1 + jωT4 ) R1 (1 + jωT2 )(1 + jωT3 ) Az egyes időállandók a kapcsolás elemeiből: T1=C1(R1+R3) T2=C2(R2+R4) T3=C1R3 T4=C2R4 R4 C2 R1 R2 – R3 ube C1 + uki 7.35 ábra A bemutatott

kapcsolásoknál ideális műveleti erősítőt feltételezve határoztuk meg az egyes frekvencia függvényeket. Közelítő érvényességüknek feltétele az, hogy a jelformáló tulajdonságokra jellemző törésponti frekvenciák kisebbek legyenek, mint a visszacsatolatlan műveleti erősítő feszültségerősítésének határfrekvenciája. Több műveleti erősítő felhasználásával a bemutatottnál jobb kompenzálószervek valósíthatók meg, azzal a külön előnnyel, hogy ekkor a kapcsolás valamely elemének változtatása a jelformáló frekvenciafüggvényének csupán egyetlen jellemzőjére lehet hatással. 84 7.4 Holtidős szakasz kompenzálása A szabályozási hurokban gyakran fordul elő holtidős tag. A holtidős szabályozások lengésre hajlamosak. Tekintsük 741 ábrát Az ábra egy AH=1 átviteli tényezőjű holtidős tagot tartalmazó szabályozási kör hatásvázlatát mutatja. xa xr 1 xs t TH 7.41 ábra A 7.42 ábra az xa alapjel, az xr

rendelkezőjel és az xs szabályozott jellemző időbeli lefolyását tünteti fel. x a 1 t x r T x t H s t 7.42 ábra Látható, hogy a szabályozás a stabilitás határán van. A szabályozott jellemző nem áll be az alapjel által meghatározott értékre, hanem négyszöghullám alakú, nem harmonikus periodikus lengéseket végez. Ha a holtidős tag átviteli tényezője egynél nagyobb, a lengések amplitudoja 85 nő, a rendszer labilissá válik. A rendszer labilitása nyilvánvaló a felnyitott kör Nyquis diagramja alapján is (4.2312 ábra) AH>1 átviteli tényezőre a Nyquist diagram körülveszi a komplex számsík –1+j0 pontját. Ha AH=1 a Nyquist diagram áthalad a –1+j0 ponton, tehát a stabilitás határán van, AH<1 esetén a rendszer stabilis, de állandósult állapotbeli hibája igen nagy érték: xr = 1 1 > 1 + AH 2 A fentiek miatt a holtidős szabályozások stabilizálása, illetve minőségjavítása igen fontos feladat. A

rendszer alkalmasan megválasztott integráló taggal kompenzálható, de állandósult állapotbeli hibája igen nagy: Xr ( ∞) = xa 1 1 > . 1 + AH 2 1 sTI xs AHe − sTH 7.43 ábra Ha felrajzoljuk a szabályozási kör hurokátviteli függvényének Nyquist digramját, ( ami az AH sugarú kör és az integráló tag –j képzetes tengelyen elhelyezkedő Nyquist görbéjének a megfelelő összeszorzásával állítható elő) az eredő görbe az ωk = π 2TH körfrekvencián metszi először a negatív valós tengelyt (mivel ezen a körfrekvencián mindkét tag fázisforgatása –900.) A rendszer a stabilitás határán van, ha a metszésponthoz tartozó vektor abszolút értéke egységnyi. Ha az abszolút érték 1-nél kisebb, a rendszer stabilis: 1 AH 2 AH ≤1, melyből a kompenzáló tag kritikus időállandója: TIK = = AHTH . ωkTI ωk π 86 A stabilis működéshez az időállandót ennél az értéknél nagyobbra kell választani. Azt, hogy mekkora

érték legyen pontosan, azt a kívánt fázistartalékból meghatározhatjuk a következőképpen: Például 45° fázistöbblet esetén: 1 AH = 1 ω0TI ahol: ω0 = π ( 450= 4TH Így: TI = 4 π π 4 ) AH TH = 2TIK Vagyis ebben az esetben az integrálási időállandó a kritikusnak kétszerese. 87 8. Szabályzók méretezése a szabályozott szakasz átviteli függvénye és a minőségi jellemzők alapján. Egy lineáris szabályozási rendszer tervezésének alapfeladata, hogy adott W(s) átviteli függvénnyel rendelkező szabályozott szakaszhoz olyan szabályzót válasszunk, amely a visszacsatolt rendszer kielégítő működését eredményezi. Ezen általában azt értjük, hogy a szabályozott szakasz ys kimenő jele a lehető legjobb módon kövesse a rendszer xa alapjelét. Adott W(s) esetén tehát a szabályzó D(s) átviteli függvényének a meghatározása, majd az ennek megfelelő hardver létrehozása a tervezés alapfeladata. Ha a szabályozott

szakasz önbeálló és energiatárolók okozta jelkéséseket tartalmaz, W(s) gyakorlati szempontból lényeges alakja: W(s)= Ys ( s ) As = X a ( s ) (1 + sT1 )(1 + sT 2 )(1 + sT 3 ). Figyelembe véve a technikai realitásokat D(s) átviteli függvényének egy PID szabályzónak megfelelő struktúrát választhatunk (ld. 7141 ábra) Vagyis: D(s)= AP (1 + sT D 1 + s (TI + T ) + s 2TI (TD + T ) 1 + ) = Ap sT I 1 + sT sT I (1 + sT ) Merev visszacsatolást feltételezve a felnyitott kör átviteli függvénye: Yhurok ( s ) = A p As 1 + s (TI + T ) + s 2TI (TD + T ) sT I (1 + sT ) (1 + sT1 )(1 + sT 2 )(1 + sT3 ). Ha T1 és T2 a szakasz két legnagyobb időállandója, D(s) zérushelyeivel célszerű ezeket kiejteni. Ez lényegében a felnyitott kör forszírozással történő felgyorsítását jelenti annak érdekében, hogy a zárt rendszer is gyors működésű legyen. Vagyis: TI+T=T1+T2 TI(TD+T)=T1T2 A méretezés során betartandó feltétel, hogy a működés folyamán

kialakuló és általában a D hatásból származó túlvezérlés a rendszer linearitási tartományában legyen, mivel hatásossága csak akkor biztosított. Ha a zárt rendszer xa alapjele ugrásszerűen az egységre változik (1(t)), akkor a t=0 pillanatban ez teljes egészében a szabályzó bemenetére kerül, mivel a szakasz kimenő jele az energiatárolók okozta jelkésés miatt ekkor még azonosan zérus. ( másképpen fogalmazva; 88 miután az energiatárolók miatt az ellenőrző jel még nulla értékű, a rendelkezőjel ami a szabályzó bemenetére kerül egyenlő lesz az alapjellel). A t=0 pillanatban a szakasz bemenetére jutó jel (xm, módosított jellemző)ugrása ezért: xm(0)=Ap(1+TD/T) (Ez az érték a PID tag átmeneti függvényének értéke a t=0 pillanatban; a P és a D hatás összege.) A PID szabályozásoknál az üzemelés folyamán ez az xm módosított jellemző előforduló legnagyobb értéke. Ha a technológiára jutó jelre korlátozási

feltételt kell betartani, akkor : xm ≤xmax azaz: Ap(1+ TD ) ≤ x max T feltétel betartása is méretezési szempont. A felnyitott kör eredő átviteli függvénye ezzel: Yhurok ( s ) = A p As sT I (1 + sT )(1 + sT 3 ). A K=ApAs erősítést a túllendülésre, vagy fázistöbbletre tett előírások és a korlátozás egyidejű betartása mellett számíthatjuk. Tekintettel arra, hogy a PID szabályzó átviteli függvényében négy paraméter szerepel, ezek számszerű értékének meghatározásához négy db egymástól független egyenlet megadása szükséges. FELHASZNÁLT IRODALOM Dr Csáki Frigyes – Bars Ruth: AUTOMATIKA Tankönyvkiadó Bp.1972 Dr Tuschák Róbert: Szabályozástechnika. Lineáris szabályozási rendszerek Tankönyvkiadó, Bp 1988. Dr Lukács János: IRÁNYÍTÁSTECHNIKA I. (Szabályozáselmélet) Tankönyvkiadó 1989 Ipsits Imre: Villamos automatika elemek. Műszaki Könyvkiadó, Bp 1982 Dr Csáki Frigyes: Szabályozások dinamikája. Akadémiai

kiadó, Bp 1976 Dr Csáki Frigyes: Fejezetek a szabályozástechnikából. Műszaki Könyvkiadó 1978 Szilágyi Béla: Folyamatszabályozás. Tantermi gyakorlatok Oktatási segédlet Mezei Béla: Irányítástechnika II. (Szabályozástechnika) gyakorlati feladatok szimulálása VisSim programmal. Szakdolgozat feladat 2001 89