Mathematics | High school » Matematika középszintű írásbeli érettségi vizsga megoldással, 2011

ÉRETTSÉGI VIZSGA 2011. május 3 Név: . osztály: Matematika MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2011. május 3 8:00 I. Időtartam: 45 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM középszint írásbeli vizsga 0912 I. összetevő Név: . osztály: Matematika középszint Fontos tudnivalók 1. A feladatok megoldására 45 percet fordíthat, az idő leteltével a munkát be kell fejeznie 2. A megoldások sorrendje tetszőleges 3. A feladatok megoldásához szöveges adatok tárolására és megjelenítésére nem alkalmas zsebszámológépet és bármelyik négyjegyű függvénytáblázatot használhatja, más elektronikus vagy írásos segédeszköz használata tilos! 4. A feladatok végeredményét az erre a célra szolgáló keretbe írja, a megoldást csak akkor kell részleteznie, ha erre a feladat szövege utasítást ad! 5. A dolgozatot tollal írja, az ábrákat ceruzával is rajzolhatja Az ábrákon kívül

ceruzával írt részeket a javító tanár nem értékelheti. Ha valamilyen megoldást vagy megoldásrészletet áthúz, akkor az nem értékelhető. 6. Minden feladatnál csak egy megoldás értékelhető Több megoldási próbálkozás esetén egyértelműen jelölje, hogy melyiket tartja érvényesnek! 7. Kérjük, hogy a szürkített téglalapokba semmit ne írjon! írásbeli vizsga, I. összetevő 0912 2/8 2011. május 3 Matematika középszint 1. Név: . osztály: Egyszerűsítse a következő törtet, ahol b ≠ 6 . b 2 − 36 b−6 Az egyszerűsítés utáni alak: 2 pont 2. A 2, 4 és 5 számjegyek mindegyikének felhasználásával elkészítjük az összes, különböző számjegyekből álló háromjegyű számot. Ezek közül véletlenszerűen kiválasztunk egyet. Mennyi annak a valószínűsége, hogy az így kiválasztott szám páratlan? Válaszát indokolja! 2 pont A keresett valószínűség: 3. 1 pont Hányszorosára nő egy kocka térfogata, ha

minden élét háromszorosára növeljük? A kocka térfogata . szorosára/szeresére nő. írásbeli vizsga, I. összetevő 0912 3/8 2 pont 2011. május 3 Matematika középszint 4. Név: . osztály: Adottak a következő számok: a = 2 3 ⋅ 5 ⋅ 7 2 ⋅ 114 és b = 2 ⋅ 5 2 ⋅ 113 ⋅ 13 . Írja fel a és b legnagyobb közös osztóját és legkisebb közös többszörösét! A kért számokat elegendő prímtényezős alakban megadni. A legnagyobb közös osztó: 1 pont A legkisebb közös többszörös: 1 pont 5. A következő két függvény mindegyikét a valós számok halmazán értelmezzük: f ( x) = 3 sin x ; g ( x) = sin 3x . Adja meg mindkét függvény értékkészletét! írásbeli vizsga, I. összetevő 0912 f értékkészlete: 1 pont g értékkészlete: 1 pont 4/8 2011. május 3 Matematika középszint 6. Név: . osztály: Mekkora az x 2 − 6,5 x − 3,5 = 0 egyenlet valós gyökeinek összege, illetve szorzata? Válaszát indokolja!

2 pont A gyökök összege: 1 pont A gyökök szorzata: 7. Az A halmaz az 5-re végződő kétjegyű pozitív egészek halmaza, a B halmaz pedig a kilenccel osztható kétjegyű pozitív egészek halmaza. Adja meg elemeik felsorolásával az alábbi halmazokat: A ; B ; A∩ B ; A B A ={ } 1 pont B ={ } 1 pont A ∩ B ={ } 1 pont A B ={ } 1 pont írásbeli vizsga, I. összetevő 0912 5/8 2011. május 3 Név: . osztály: Matematika középszint 8. 9. Adja meg az alábbi két egyenlet valós gyökeit! a) 52 x = 625 1 b) 2y = 32 a) x= 1 pont b) y= 1 pont Melyik szám nagyobb? 1 A= lg vagy B= cos 8π 10 A nagyobb szám betűjele: 2 pont 10. Oldja meg a valós számok halmazán a következő egyenletet! x−2 =7 Az egyenlet megoldása: 2 pont írásbeli vizsga, I. összetevő 0912 6/8 2011. május 3 Matematika középszint Név: . osztály: 11. Melyik a 201-edik pozitív páros szám? Válaszát indokolja! 2 pont a 201-edik pozitív páros

szám: . 1 pont 12. Döntse el az alábbi állítások mindegyikéről, hogy igaz-e vagy hamis! A: Ha két szám négyzete egyenlő, akkor a számok is egyenlők. B: A kettes számrendszerben felírt 10100 szám a tízes számrendszerben 20. C: Egy hat oldalú konvex sokszögnek 6 átlója van. A állítás: . írásbeli vizsga, I. összetevő 0912 1 pont B állítás: . 1 pont C állítás: . 1 pont 7/8 2011. május 3 Név: . osztály: Matematika középszint maximális elért pontszám pontszám 1. feladat 2 2. feladat 3 3. feladat 2 4. feladat 2 5. feladat 2 6. feladat 3 7. feladat 4 8. feladat 2 9. feladat 2 10. feladat 2 11. feladat 3 12. feladat 3 ÖSSZESEN 30 I. rész dátum javító tanár elért pontszáma egész számra kerekítve programba beírt egész pontszám I. rész javító tanár jegyző dátum dátum Megjegyzések: 1. Ha a vizsgázó a II írásbeli összetevő

megoldását elkezdte, akkor ez a táblázat és az aláírási rész üresen marad! 2. Ha a vizsga az I összetevő teljesítése közben megszakad, illetve nem folytatódik a II. összetevővel, akkor ez a táblázat és az aláírási rész kitöltendő! írásbeli vizsga, I. összetevő 0912 8/8 2011. május 3 ÉRETTSÉGI VIZSGA 2011. május 3 Név: . osztály: Matematika MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2011. május 3 8:00 II. Időtartam: 135 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM középszint írásbeli vizsga 0912 II. összetevő Matematika középszint írásbeli vizsga, II. összetevő 0912 Név: . osztály: 2 / 16 2011. május 3 Matematika középszint Név: . osztály: Fontos tudnivalók 1. A feladatok megoldására 135 percet fordíthat, az idő leteltével a munkát be kell fejeznie 2. A feladatok megoldási sorrendje tetszőleges 3. A B részben kitűzött három feladat közül csak

kettőt kell megoldania A nem választott feladat sorszámát írja be a dolgozat befejezésekor az alábbi négyzetbe! Ha a javító tanár számára nem derül ki egyértelműen, hogy melyik feladat értékelését nem kéri, akkor a 18. feladatra nem kap pontot 4. A feladatok megoldásához szöveges adatok tárolására és megjelenítésére nem alkalmas zsebszámológépet és bármilyen négyjegyű függvénytáblázatot használhat, más elektronikus vagy írásos segédeszköz használata tilos! 5. A megoldások gondolatmenetét minden esetben írja le, mert a feladatra adható pontszám jelentős része erre jár! 6. Ügyeljen arra, hogy a lényegesebb részszámítások is nyomon követhetők legyenek! 7. A feladatok megoldásánál használt tételek közül az iskolában tanult, névvel ellátott tételeket (pl Pitagorasz-tétel, magasság-tétel) nem kell pontosan megfogalmazva kimondania, elég csak a tétel megnevezését említenie, de alkalmazhatóságát röviden

indokolnia kell. 8. A feladatok végeredményét (a feltett kérdésre adandó választ) szöveges megfogalmazásban is közölje! 9. A dolgozatot tollal írja, az ábrákat ceruzával is rajzolhatja Az ábrákon kívül ceruzával írt részeket a javító tanár nem értékelheti. Ha valamilyen megoldást vagy megoldásrészletet áthúz, akkor az nem értékelhető. 10. Minden feladatnál csak egyféle megoldás értékelhető Több megoldási próbálkozás esetén egyértelműen jelölje, hogy melyiket tartja érvényesnek! 11. Kérjük, hogy a szürkített téglalapokba semmit ne írjon! írásbeli vizsga, II. összetevő 0912 3 / 16 2011. május 3 Matematika középszint Név: . osztály: A 13. Egy iskolai tanulmányi verseny döntőjébe 30 diák jutott be, két feladatot kellett megoldaniuk A verseny után a szervezők az alábbi oszlopdiagramokon ábrázolták az egyes feladatokban szerzett pontszámok eloszlását: 2. feladat 15 14 14 13 13 12 12 11 11 10

10 tanulók száma tanulók száma 1. feladat 15 9 8 7 6 9 8 7 6 5 5 4 4 3 3 2 2 1 1 0 0 0 1 2 3 4 0 5 a) 1 2 3 4 5 kapott pontszám kapott pontszám A diagramok alapján töltse ki a táblázat üres mezőit! Az első feladatra kapott pontszámok átlagát két tizedes jegyre kerekítve adja meg! 1. feladat 2. feladat pontszámok átlaga 3,10 pontszámok mediánja b) A megfelelő középponti szögek megadása után ábrázolja kördiagramon a 2. feladatra kapott pontszámok eloszlását! 90° 180° 0° 270° c) A versenyen minden tanuló elért legalább 3 pontot. Legfeljebb hány olyan tanuló lehetett a versenyzők között, aki a két feladat megoldása során összesen pontosan 3 pontot szerzett? írásbeli vizsga, II. összetevő 0912 4 / 16 a) 3 pont b) 4 pont c) 5 pont Ö.: 12 pont 2011. május 3 Matematika középszint írásbeli vizsga, II. összetevő 0912 Név: . osztály: 5 / 16 2011. május 3 Matematika

középszint Név: . osztály: 14. Egy autó ára újonnan 2 millió 152 ezer forint, a megvásárlása után öt évvel ennek az autónak az értéke 900 ezer forint. a) A megvásárolt autó tulajdonosának a vezetési biztonságát a vásárláskor 90 ponttal jellemezhetjük. Ez a vezetési biztonság évente az előző évinek 6 %-ával nő Hány pontos lesz 5 év elteltével az autótulajdonos vezetési biztonsága? Válaszát egész pontra kerekítve adja meg! b) Az első öt év során ennek az autónak az értéke minden évben az előző évi értékének ugyanannyi százalékával csökken. Hány százalék ez az éves csökkenés? Válaszát egész százalékra kerekítve adja meg! írásbeli vizsga, II. összetevő 0912 6 / 16 a) 4 pont b) 8 pont Ö.: 12 pont 2011. május 3 Matematika középszint írásbeli vizsga, II. összetevő 0912 Név: . osztály: 7 / 16 2011. május 3 Matematika középszint Név: . osztály: 15. Az ABC háromszög

csúcsainak koordinátái: A(− 3 ; 2) , B(3; 2) és C (0 ; 0) a) Számítsa ki az ABC háromszög szögeit! b) Írja fel az ABC háromszög körülírt körének egyenletét! írásbeli vizsga, II. összetevő 0912 8 / 16 a) 5 pont b) 7 pont Ö.: 12 pont 2011. május 3 Matematika középszint írásbeli vizsga, II. összetevő 0912 Név: . osztály: 9 / 16 2011. május 3 Matematika középszint Név: . osztály: B A 16-18. feladatok közül tetszés szerint választott kettőt kell megoldania, a kihagyott feladat sorszámát írja be a 3. oldalon lévő üres négyzetbe! 16. Egy 12 cm oldalhosszúságú négyzetet megforgatunk az egyik oldalával párhuzamos szimmetriatengelye körül. a) Mekkora az így keletkező forgástest térfogata és felszíne? A felszínt egész cm2-re, a térfogatot egész cm3-re kerekítve adja meg! Ugyanezt a négyzetet forgassuk meg az egyik átlóját tartalmazó forgástengely körül! b) Mekkora az így keletkező

forgástest térfogata és felszíne? A felszínt egész cm2-re, a térfogatot egész cm3-re kerekítve adja meg! c) A forgástestek közül az utóbbinak a felszíne hány százaléka az első forgatással kapott forgástest felszínének? írásbeli vizsga, II. összetevő 0912 10 / 16 a) 6 pont b) 9 pont c) 2 pont Ö.: 17 pont 2011. május 3 Matematika középszint Név: . osztály: írásbeli vizsga, II. összetevő 0912 11 / 16 2011. május 3 Matematika középszint Név: . osztály: A 16-18. feladatok közül tetszés szerint választott kettőt kell megoldania, a kihagyott feladat sorszámát írja be a 3. oldalon lévő üres négyzetbe! 17. Egy új típusú, az alacsonyabb nyomások mérésére kifejlesztett műszer tesztelése során azt tapasztalták, hogy a műszer által mért pm és a valódi pv nyomás között a lg pm = 0,8 ⋅ lg pv + 0,301 összefüggés áll fenn. A műszer által mért és a valódi nyomás egyaránt pascal (Pa)

egységekben szerepel a képletben. a) Mennyit mér az új műszer 20 Pa valódi nyomás esetén? b) Mennyi valójában a nyomás, ha a műszer 50 Pa értéket mutat? c) Mekkora nyomás esetén mutatja a műszer a valódi nyomást? A pascalban kiszámított értékeket egész számra kerekítve adja meg! írásbeli vizsga, II. összetevő 0912 12 / 16 a) 4 pont b) 6 pont c) 7 pont Ö.: 17 pont 2011. május 3 Matematika középszint Név: . osztály: írásbeli vizsga, II. összetevő 0912 13 / 16 2011. május 3 Matematika középszint Név: . osztály: A 16-18. feladatok közül tetszés szerint választott kettőt kell megoldania, a kihagyott feladat sorszámát írja be a 3. oldalon lévő üres négyzetbe! 18. András, Balázs, Cili, Dóra és Enikő elhatározták, hogy sorsolással döntenek arról, hogy közülük ki kinek készít ajándékot. Úgy tervezték, hogy a neveket ráírják egy-egy papírcetlire, majd a lefelé fordított öt

cédulát összekeverik, végül egy sorban egymás mellé leteszik azokat az asztalra. Ezután, keresztnevük szerinti névsorban haladva egymás után vesznek el egy-egy cédulát úgy, hogy a soron következő mindig a bal szélső cédulát veszi el. a) Mennyi a valószínűsége, hogy az elsőnek húzó Andrásnak a saját neve jut? b) Írja be az alábbi táblázatba az összes olyan sorsolás eredményét, amelyben csak Enikőnek jut a saját neve! A táblázat egyes soraiban az asztalon lévő cédulák megfelelő sorrendjét adja meg! (A megadott táblázat sorainak a száma lehet több, kevesebb vagy ugyanannyi, mint a felsorolandó esetek száma. Ennek megfelelően hagyja üresen a felesleges mezőket, vagy egészítse ki újabb mezőkkel a táblázatot, ha szükséges!) c) E E E E E E E A A húzó neve B C D A cédulák megfelelő sorrendjei A cédulák megfelelő sorrendjei A A húzó neve B C D E E E E E E E Az ajándékok átadása után mind az öten moziba

mentek, és a nézőtéren egymás mellett foglaltak helyet. Hány különböző módon kerülhetett erre sor, ha tudjuk, hogy a két fiú nem ült egymás mellett? írásbeli vizsga, II. összetevő 0912 14 / 16 a) 5 pont b) 6 pont c) 6 pont Ö.: 17 pont 2011. május 3 Matematika középszint Név: . osztály: írásbeli vizsga, II. összetevő 0912 15 / 16 2011. május 3 Matematika középszint Név: . osztály: a feladat sorszáma maximális pontszám 13. 12 14. 12 15. 12 II. A rész elért pontszám összesen 17 II. B rész 17 ← nem választott feladat ÖSSZESEN 70 maximális pontszám I. rész 30 II. rész 70 Az írásbeli vizsgarész pontszáma 100 dátum elért pontszám javító tanár elért pontszáma egész számra kerekítve programba beírt egész pontszám I. rész II. rész javító tanár jegyző dátum dátum írásbeli vizsga, II.

összetevő 0912 16 / 16 2011. május 3 ÉRETTSÉGI VIZSGA 2011. május 3 Matematika középszint Javítási-értékelési útmutató 0912 MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM Matematika középszint Javítási-értékelési útmutató Fontos tudnivalók Formai előírások: 1. A dolgozatot a vizsgázó által használt színűtől eltérő színű tollal kell javítani, és a tanári gyakorlatnak megfelelően jelölni a hibákat, hiányokat stb. 2. A feladatok mellett található szürke téglalapok közül az elsőben a feladatra adható maximális pontszám van, a javító által adott pontszám a mellette levő téglalapba kerül. 3. Kifogástalan megoldás esetén elég a maximális pontszám beírása a megfelelő téglalapokba 4. Hiányos/hibás megoldás esetén kérjük, hogy az egyes részpontszámokat is írja rá a dolgozatra. 5. Az ábrán kívül ceruzával írt

részeket a javító tanár nem értékelheti Tartalmi kérések: 1. Egyes feladatoknál több megoldás pontozását is megadtuk Amennyiben azoktól eltérő megoldás születik, keresse meg ezen megoldásoknak az útmutató egyes részleteivel egyenértékű részeit, és ennek alapján pontozzon. 2. A pontozási útmutató pontjai tovább bonthatók Az adható pontszámok azonban csak egész pontok lehetnek. 3. Nyilvánvalóan helyes gondolatmenet és végeredmény esetén maximális pontszám adható akkor is, ha a leírás az útmutatóban szereplőnél kevésbé részletezett. 4. Ha a megoldásban számolási hiba, pontatlanság van, akkor csak arra a részre nem jár pont, ahol a tanuló a hibát elkövette. Ha a hibás részeredménnyel helyes gondolatmenet alapján tovább dolgozik, és a megoldandó probléma lényegében nem változik meg, akkor a következő részpontszámokat meg kell adni. 5. Elvi hibát követően egy gondolati egységen belül (ezeket az útmutatóban

kettős vonal jelzi) a formálisan helyes matematikai lépésekre sem jár pont. Ha azonban a tanuló az elvi hibával kapott rossz eredménnyel, mint kiinduló adattal helyesen számol tovább a következő gondolati egységben vagy részkérdésben, akkor erre a részre kapja meg a maximális pontot, ha a megoldandó probléma lényegében nem változott meg. 6. Ha a megoldási útmutatóban zárójelben szerepel egy megjegyzés vagy mértékegység, akkor ennek hiánya esetén is teljes értékű a megoldás. 7. Egy feladatra adott többféle helyes megoldási próbálkozás közül a vizsgázó által megjelölt változat értékelhető. 8. A megoldásokért jutalompont (az adott feladatra vagy feladatrészre előírt maximális pontszámot meghaladó pont) nem adható. 9. Az olyan részszámításokért, részlépésekért nem jár pontlevonás, melyek hibásak, de amelyeket a feladat megoldásához a vizsgázó ténylegesen nem használ fel. 10. A vizsgafeladatsor II B részében

kitűzött 3 feladat közül csak 2 feladat megoldása értékelhető. A vizsgázó az erre a célra szolgáló négyzetben – feltehetőleg – megjelölte annak a feladatnak a sorszámát, amelynek értékelése nem fog beszámítani az összpontszámába. Ennek megfelelően a megjelölt feladatra esetlegesen adott megoldást nem is kell javítani. Ha mégsem derül ki egyértelműen, hogy a vizsgázó melyik feladat értékelését nem kéri, akkor automatikusan a kitűzött sorrend szerinti legutolsó feladat lesz az, amelyet nem kell értékelni. írásbeli vizsga 0912 2 / 11 2011. május 3 Matematika középszint Javítási-értékelési útmutató I. 1. Az egyszerűsítés utáni alak: b+6 Összesen: A helyes szorzattá 2 pont alakításért 1 pont jár. 2 pont 2. (A képezhető háromjegyű számok száma:) 3!=6. Ezek közül 2 páratlan. 2⎛ 1⎞ Így a keresett valószínűség ⎜ = ⎟ . 6⎝ 3⎠ Összesen: 1 pont 1 pont 1 pont 3 pont 3. A kocka térfogata

27-szeresére nő. 2 pont Összesen: 2 pont A legnagyobb közös osztó: 2 ⋅ 5 ⋅ 113 (=13 310) A legkisebb közös többszörös: 2 3 ⋅ 5 2 ⋅ 7 2 ⋅ 114 ⋅ 13 (= 1 865 263 400) Összesen: 1 pont Ha a hasonló testek térfogatának arányára vonatkozó összefüggésre hivatkozik, 1 pont jár. 4. 1 pont 2 pont 5. f értékkészlete: Rf=[–3; 3]. g értékkészlete: Rg=[–1; 1]. Összesen: 1 pont Bármilyen módon megadott helyes válasz 1 pont 1-1 pontot ér. 2 pont 6. Az egyenlet gyökei: 7 és –0,5. A gyökök összege: 6,5. A gyökök szorzata: –3,5. 2 pont D>0 és a Viète-formulák 1 pont alkalmazása 1-1-1 pont. Összesen: írásbeli vizsga 0912 3 / 11 3 pont 2011. május 3 Matematika középszint Javítási-értékelési útmutató 7. A = {15 ; 25 ; 35 ; 45 ; 55 ; 65 ; 75 ; 85 ; 95 } B = {18 ; 27 ; 36 ; 45 ; 54 ; 63; 72 ; 81; 90 ; 99 } 1 pont 1 pont A ∩ B = { 45 } A B = {15 ; 25 ; 35 ; 55 ; 65 ; 75 ; 85 ; 95 } Összesen: 1

pont 1 pont 4 pont Összesen: 1 pont 1 pont 2 pont Összesen: Ha helyesen megadja 2 pont mindkét értéket, akkor 1 pontot kap. 2 pont Összesen: 1 pont 1 pont 2 pont 8. x=2 y = −5 9. A nagyobb szám betűjele: B ( = cos 8π). 10. Az egyenlet megoldása a 9 és a − 5 . 11. Az a1 = 2 első tagú, d = 2 differenciájú számtani sorozat felismerése. a201 = 2 + 200 ⋅ 2 = Összesen: Ha a szabályszerűséget 1 pont felismeri (pl.: a = 2n) és n helyesen válaszol, akkor 1 pont is jár a teljes pontszám. Ha a sorozat első tagjá1 pont nak a nullát tekinti, akkor legfeljebb 2 pont adható. 3 pont Összesen: 1 pont 1 pont 1 pont 3 pont = 402 . 12. A: hamis. B: igaz. C: hamis. írásbeli vizsga 0912 4 / 11 2011. május 3 Matematika középszint Javítási-értékelési útmutató II. A 13. a) 1. feladat 3,57 3,5 pontszámok átlaga pontszámok mediánja 2. feladat 3,10 4 3 pont Összesen: 3 pont Egy tanulóhoz tartozó középponti szög: 12°. 13

tanulóhoz 156°, 6 tanulóhoz 72°, 4 tanulóhoz 48°, 3 tanulóhoz 36°, 2 tanulóhoz 24° tartozik. 1 pont Minden helyes érték 1 pont. 13. b) 1 pont 4 helyes középponti szög esetén is jár az 1 pont. 90° 4 pontosak 0 pontosak 180° 0° 3 pontosak 2 pontosak 270° Ha nincs jelmagyarázat a 2 pont körcikkek mellett, akkor 1 pont adható. 5 pontosak 1 pontosak Összesen: 4 pont 13. c) Egy tanuló 3 pontot négyféleképpen érhetne el: 0+3; 1+2; 2+1; 3+0. A diagram alapján nem valósulhat meg: 0+3 és 2+1. 1+2 pontot 1 tanuló kaphatott. 3+0 pontot 2 tanuló kaphatott. Legfeljebb 3 tanuló érhetett el pontosan 3 pontot. Összesen: írásbeli vizsga 0912 5 / 11 Ha ezek a gondolatok csak a megoldás során derülnek ki, akkor is 1 pont járnak a pontok. 1 pont 1 pont 1 pont 5 pont 1 pont 2011. május 3 Matematika középszint Javítási-értékelési útmutató 14. a) A vezetési biztonság pontjai egy t0 = 90 , q = 1,06 hányadosú mértani sorozat

tagjai. (Ebben a sorozatban) t5 = 90 ⋅ 1,065 (pont). Ha ez a gondolat csak 1 pont a megoldás során derül ki, akkor is jár a pont. 1 pont 90 ⋅ 1,065 ≈ 120,44 , tehát 5 év után a vezetési biztonság 120 pontos. Összesen: 1 pont 1 pont 4 pont 14. b) első megoldás Ha minden évben x %-kal csökken az autó értéke, akkor minden évben az előző évi érték x ⎞ ⎛ ⎜1 − ⎟ – szorosára változik. ⎝ 100 ⎠ 1 pont 5 x ⎞ ⎛ Az 5. év leteltével: 2 152 000 ⎜1 − ⎟ = 900 000 . ⎝ 100 ⎠ 2 pont 5 900 x ⎞ ⎛ (≈ 0,4182) , ⎟ = ⎜1 − 2152 ⎝ 100 ⎠ 1− 1 pont x 0,9 (≈ 0,8400) , =5 100 2,152 1 pont x ≈ 16 . Tehát évente 16 %-kal csökken az autó értéke. Összesen: 2 pont 1 pont 8 pont 14. b) második megoldás Legyen a csökkenési ráta x. 1 pont 2 pont Ekkor 2,152 x = 0,9 . 5 900 (≈ 0,4182) , 2152 0,9 amiből x = 5 , 2,152 x5 = 1 pont 1 pont x ≈ 0,84 , 1 − 0,84 = 0,16 , tehát évente 16 %-kal csökken az

autó értéke. Összesen: írásbeli vizsga 0912 6 / 11 1 pont 1 pont 1 pont 8 pont 2011. május 3 Matematika középszint Javítási-értékelési útmutató 15. a) Ha ez a gondolat csak 1 pont a megoldás során derül ki, akkor is jár a pont. Az ABC háromszög egyenlő szárú. 2 , 3 tehát az alapon fekvő szögek nagysága 33,7°, Az AB alapon fekvő hegyesszögek tangense 2 pont a szárak szöge pedig 112,6°. 1 pont Ha a helyesen kerekített szögek összege nem 180°, 1 pont akkor 1 pont adható. 5 pont Összesen: 15. b) A körülírt kör középpontja az oldalfelező merőlegesek közös pontja, ez a szimmetria miatt az ordinátatengelyen van. Az AC oldal felezőmerőlegese átmegy a (− 1,5 ;1) felezőponton. Az AC oldal felezőmerőlegesének egy normálvektora a CA , CA = (− 3 ; 2) . Az AC oldal felezőmerőlegesének egyenlete: − 3x + 2 y = 6,5 . Ha ez a gondolat csak 1 pont a megoldás során derül ki, akkor is jár a pont. 1 pont 1 pont 1

pont A BC oldal felező 1 pont merőlegesének egyenlete: 3x + 2 y = 6,5 . Ez az y tengelyt a (0 ; 3,25) pontban metszi (ez a körülírt kör középpontja). A kör sugara 3,25. 1 pont A körülírt kör egyenlete: x 2 + ( y − 3,25)2 = 3,252 . 1 pont Összesen: írásbeli vizsga 0912 7 / 11 A kör egyenlete írható így is: x 2 + y 2 − 6,5 y = 0 . 7 pont 2011. május 3 Matematika középszint Javítási-értékelési útmutató II. B 16. a) Az első esetben a forgástengely a négyzet szemközti oldalainak közös felezőmerőlegese, a keletkező forgástest forgáshenger: alapkörének sugara 6 cm, magassága 12 cm. Térfogata: V1 = 62 ⋅ π ⋅ 12 . Ha ezek a gondolatok csak a megoldás során derülnek ki, akkor is 1 pont járnak a pontok. 1 pont 1 pont V1 = 432π ≈ 1357 cm3 . Ha a π közelítéséből 1 pont adódóan 1356 cm3 a válasza, jár a pont. Felszíne: A1 = 2 ⋅ 62 ⋅ π + 2 ⋅ 6 ⋅ π ⋅ 12 . 1 pont A1 = 216π ≈ 679 cm 2 . Ha a π

közelítéséből 1 pont adódóan 678 cm2 a válasza, jár a pont. 6 pont Összesen: 16. b) A második esetben (mivel a négyzet átlói merőlegesen felezik egymást) a forgástest egy kettőskúp. A közös köralap átmérője a négyzet átlója, a kúpok magassága a négyzet átlóhosszának fele. A négyzet átlója: d = 12 ⋅ 2 (≈ 17 ) . 2 ( 6 2) π ⋅ 6 Az egyik kúp térfogata: V1 = azaz V1 = 144 ⋅ 2 π (≈ 640) . 3 2 Ha ez a gondolat csak 1 pont a megoldás során derül ki, akkor is jár a pont. 1 pont 1 pont , 1 pont A két kúp egybevágó, így a kettőskúp térfogata: V = 2V1 ≈ 1280 cm3 . A forgáskúp palástja kiterítve körcikk, amelynek az ívhossza 2 ⋅ 6 ⋅ 2 ⋅ π (≈ 17π ≈ 53,4) (cm), sugara 12 cm hosszú. Így a területe: 2 ⋅ 6 ⋅ 2 ⋅ π ⋅ 12 T= = 72 2 π (≈ 320 cm 2 ) . 2 ( ) A kettőskúp felszíne: 2T = 144 2π ≈ 640 cm 2 . Összesen: Közbülső kerekítések miatt kapott egyéb helyes 1 pont eredmény

(1275-1280-ig) is elfogadható. 1 pont 1 pont 1 pont 1 pont 9 pont 16. c) A kérdezett százalék: 2T ⋅ 100 A1 ⎞ ⎛ 144 2 π ⎜= ⋅ 100 ⎟⎟ , ⎜ 216π ⎠ ⎝ azaz kb. 94% Összesen: írásbeli vizsga 0912 8 / 11 1 pont 1 pont 2 pont 2011. május 3 Matematika középszint Javítási-értékelési útmutató 17. a) lg pm = 0,8 ⋅ lg 20 + 0,301 , Összesen: 2 pont A feladat szövegében megadott képlet használatában elkövetett elvi 1 pont hiba esetén ez a 3 pont nem jár. 1 pont 4 pont Összesen: 2 pont A feladat szövegében megadott képlet haszná2 pont latában elkövetett elvi hiba esetén ez az 5 pont 1 pont nem jár. 1 pont 6 pont lg pm ≈ 1,342 . pm ≈ 22 (Pa). 17. b) lg 50 = 0,8 ⋅ lg pv + 0,301 . lg 50 − 0,301 , 0,8 lg pv ≈ 1,747 . lg pv = pv ≈ 56 (Pa). 17. c) Ha ez a gondolat csak 2 pont a megoldás során derül ki, akkor is jár a 2 pont. Ez a 2 pont nem 2 pont bontható. pv = pm felismerése. (Legyen a keresett nyomás pv =

pm = p .) lg p = 0,8 ⋅ lg p + 0,301 , 0,301 lg p = = 1,505 . 0,2 p ≈ 32 (Pa). 2 pont 1 pont Összesen: 7 pont Megjegyzés: Ha a vizsgázó felismeri, hogy 0,301 ≈ lg2, ezt felhasználva jut el a helyes eredményhez, megoldása teljes értékű. 18. a) első megoldás Az 5 név bármelyike ugyanakkora valószínűséggel kerülhet az első helyre, 1 tehát a keresett valószínűség = 0,2 . 5 Összesen: írásbeli vizsga 0912 9 / 11 3 pont 2 pont 5 pont 2011. május 3 Matematika középszint Javítási-értékelési útmutató 18. a) második megoldás Ha ez a gondolat csak 1 pont a megoldás során derül ki, akkor is jár a pont. 1 pont A keresett p valószínűség a kedvező és az összes esetek számának hányadosa. Az összes esetek száma 5! . András neve 4! esetben állhat az első helyen (kedvező esetek száma). p = 0,2 Összesen: 2 pont 1 pont 5 pont A cédulák megfelelő sorrendjei 18. b) A B B B C C C D D D A húzó neve : B C D A D C C D A D A

C A D B D A B D B A A B C C A B C B A E E E E E E E E E E 9 jó lehetőség 6 pont 8 jó lehetőség 5 pont 7 jó lehetőség 4 pont 6 jó lehetőség 3 pont 5 jó lehetőség 2 pont 4 jó lehetőség 1 pont Minden hibás sor (még valaki a saját nevét húzza) 2 pont „levonással” jár. Ismételten előforduló sort csak egyszer értékeljünk! Összesen: 6 pont 18. c) első megoldás Azt a két helyet, ahol a fiúk ülhetnek (nem egymás mellett), 6-féleképpen választhatjuk ki. Ennek indoklása (pl.: konkrétan leszámolja, vagy ⎛5 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ − 4 = 6). ⎝ 2⎠ A két kiválasztott helyen a fiúk 2-féleképpen helyezkedhetnek el. A lányok minden egyes esetben 3! = 6 különböző módon ülhetnek le egymáshoz képest. Összesen tehát 6 ⋅ 2 ⋅ 6 = =72 különböző módon ülhetnek le. Összesen: írásbeli vizsga 0912 10 / 11 1 pont 1 pont 1 pont 1 pont 1 pont 1 pont 6 pont 2011. május 3 Matematika középszint Javítási-értékelési

útmutató 18. c) második megoldás (Komplementer halmazzal számolunk.) Az összes leülési lehetőség 5!= 120 . Ezek között 2 ⋅ 4!= 48 olyan eset van, amelyben a két fiú egymás mellett ül. Tehát 120 − 48 = 72 olyan eset lehetséges, amelyben a két fiú nem ül egymás mellett. Összesen: írásbeli vizsga 0912 11 / 11 1 pont 3 pont 2 pont 6 pont 2011. május 3