Physics | Hydrodynamics » Boross Péter - Grafén vezetési tulajdonságainak vizsgálata

Diplomamunka Grafén vezetési tulajdonságainak vizsgálata Boross Péter Témavezető: Dr. Dóra Balázs egyetemi docens BME Fizikai Intézet Fizika Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem 2012 Fizikus MSc :: Diplomatéma :: Kiírás Neve: Tanszéke: E-mail címe: Telefonszáma: Témavezető: Dóra Balázs Fizika Tanszék dora@kapica.phybmehu 463-2311 Azonosító: DM-2010-2 Diplomatéma Grafén vezetési tulajdonságainak vizsgálata címe: Melyik ”Kutatófizikus” szakiránynak ajánlott? A jelentkezővel szemben jó eredmények szilárdtestfizikából és statisztikus fizikából támasztott elvárások: A szénatomokból álló kétdimenziós hatszögrács neve grafén. 2004-es előállítása óta rendkívüli érdeklődés mutatkozik irányában. Töltéshordozói a kétdimenziós tömeg nélküli Dirac egyenletnek engedelmeskednek, melyben a fénysebesség szerepét a Fermi sebesség (a fénysebesség 300-ad része) veszi át. Ennek

következtében számos meglepő, ultrarelativisztikus effektus Leírása: megfigyelése vált lehetővé szilárdtestfizikai mérések keretében, például nemkonvencionális kvantum Hall effektus, párkeltés Schwinger módra, Klein alagutazás és Zitterbewegung. A diplomamunka célja a töltés- és spinrelaxáció vizsgálata egy- és kétrétegű grafén rendszerekben, különböző szórási folyamatok és mágneses tér jelenlétének figyelembe vételével. Köszönetnyilvánítás Ezúton szeretnék köszönetet mondani témavezetőmnek, Dr. Dóra Balázsnak a diplomamunkám elkészítésében nyújtott segítségéért, útmutató tanácsaiért és dolgozatom átnézéséért Köszönettel tartozom Dr Cserti Józsefnek, valamint Dr Masaaki Nakamura-nak hasznos kézirataikért. Köszönöm családomnak tanulmányaim során nyújtott támogatásukat. Önállósági nyilatkozat Alulírott diplomázó hallgató kijelentem, hogy jelen diplomamunka saját munkám

eredménye, a felhasznált szakirodalmat és eszközöket azonosíthatóan közöltem. Egyéb jelentős segítséget nem vettem igénybe. Kelt: Budapest, 2012. május 31 . aláírás Tartalomjegyzék 1. Bevezetés 1 2. A grafén energiaspektruma és kvázirészecskéi 3 2.1 Rács és reciprokrács 2.2 Egyrétegű grafén energiaspektruma elsőszomszéd közelítésben 3 4 2.3 Energiaspektrum a Dirac-pont környékén 5 2.4 Egyrétegű grafén kvázirészecskéi 7 2.5 Kétrétegű grafén 4×4-es formalizmusa 2.6 Kétrétegű grafén alacsony energiás közelítésben (2×2-es formalizmus) 9 11 2.7 Többrétegű grafén alacsony energiás közelítésben 12 2.8 Állapotsűrűség egy- és kétrétegű grafénban, a Landau-nívók degeneranciája 15 3. Áramoperátorok grafénban 3.1 Egyrétegű grafén áramoperátora

17 18 3.2 Kétrétegű grafén áramoperátora 18 3.3 Kétrétegű grafén áramoperátora alacsony energiákon 19 3.4 Többrétegű grafén áramoperátora alacsony energiákon 3.5 Rétegfelbontott áramoperátor kétrétegű grafénban 19 20 3.6 Rétegfelbontott áramoperátor kétrétegű grafénban alacsony energiákon 21 3.7 Rétegfelbontott áramoperátor többrétegű grafénban 22 4. Longitudinális vezetőképesség grafénban 24 4.1 Egyrétegű grafén longitudinális vezetőképessége 4.2 Kétrétegű grafén longitudinális vezetőképessége 27 28 4.3 Háromrétegű grafén longitudinális vezetőképessége 29 5. Transzverzális vezetőképesség grafénban 32 5.1 QHE egyrétegű grafénban 34 5.2 QHE kétrétegű grafénban alacsony energiákon 5.3 QHE kétrétegű grafénban 4×4-es formalizmusban 37 41

i 6. Összefoglalás 45 Irodalomjegyzék 47 A. Landau-nívók grafénben 50 A.1 Egyrétegű grafén Landau-nívói 50 A.2 Kétrétegű grafén Landau-nívói 52 B. Alacsony energiás közelítés 56 ii Ábrák jegyzéke 1.1 A grafén síkjára merőleges hullámzások 1.2 Rétegfelbontott Hall-vezetőképesség mérés kétrétegű grafénban 1 2 2.1 Hatszögrács és reciprokrácsa 4 2.2 Az egyrétegű grafén elektronszerkezete 2.3 Az egyrétegű grafén sávszerkezete a Dirac-pontok közelében, az ún 6 Dirac-kúp. 9 2.4 Kétrétegű grafén 10 2.5 A kétrétegű grafén sávszerkezete a Dirac-pontok környékén alacsony energiás közelítésben. 12 2.6 A háromrétegű grafén Bernal-rétegződése 12 5.1 Egyrétegű grafén

Hall-vezetőképessége 37 5.2 Kétrétegű grafén Hall-vezetőképessége 39 iii 1. fejezet Bevezetés A grafén a szén kvázi kétdimenziós módosulata, benne a szénatomok hatszögrácsban helyezkednek el. Különleges szilártestfizikai tulajdonságai már előállítása előtt is magára vonta a kutatók figyelmét. 2004-ben történő izolálása[1] óta nemcsak elméleti vizsgálatok, de kísérleti kutatások tárgya is Régebben azt hitték, hogy a grafén, mint kétdimenziós kristály a természetben nem jöhet létre, hiszen a Mermin-Wagnertétel[2] értelmében kétdimenzióban nem létezik pozícionális hosszútávú rend, a termikus fluktuációk olyan nagyságrendű elmozdulásokat okoznak, melyek összemérhetőek a rácsállandóval. Ez a probléma azonban feloldódik, ha figyelembe veszünk egy síkra merőleges hullámzást, mely összecsatolódik a síkbeli rácsrezgésekkel, ezáltal stabillá téve a síkot.

Másrészt a véges méret is növeli a stabilitást A manchesteri egyetemen A. Geim és K Novoselov 2004-ben grafitból mikromechanikus szakítással 100 µm-es grafénpikkelyeket állított elő, aminek következtében 2010-ben elnyerték a fizikai Nobel-díjat. Ez a mérettartomány már alkalmas transzport tulajdonságok vizsgálatára Az azóta előállított minták jó minőségűek, nagy tisztaságúak, így egyszerű modellek is jól jellemzik őket. A grafénpikkelyek szigetelő oxidréteggel elválasztott, dópolt szilíciumrétegen helyezkednek el, melyre feszültséget kapcsolva a Fermi-szint hangolható. A grafén különös vezetési jelenségekkel rendelkezik. A töltéshordozóit rendkívül nagy mobilitás (1000000 cm2 /Vs)[3] jellemzi, mely ballisztikus transzportot je- 1.1 ábra A grafén síkjára merőleges hullámzások 1 (a) Ugyanazon rétegben. (b) Különböző rétegekben. 1.2 ábra Rétegfelbontott Hall-vezetőképesség mérés kétrétegű

grafénban lent szubmikron skálán. A kondenzált anyagok fizikájában a Schrödinger-egyenlet írja le az töltéshordozók viselkedését. Grafénban az elektronok mozgása egyáltalán nem relativisztikus, de az elektronok kölcsönhatása a hatszögrácsban elrendezett szénatomok periodikus potenciáljával olyan kvázirészecske gerjesztéseket eredményez, ami alacsony energián nagy pontossággal írható le a 2 + 1 dimenziós tömeg nélküli Dirac-egyenlettel[4]. Ezáltal grafénban is megjelennek a kvantum-elektrodinamikában tapasztalt szokatlan jelenségek, a Klein-alagutazás[5] és a Zitterbewegung[6]. Kvázirészecskéi királisak és π Berry-fázissal bírnak Longitudinális vezetését mininmális vezetőképesség jellemzi, míg transzverzális vezetése anomális, félegész kvantum Halleffektust (QHE) mutat[7], mely már szobahőmérsékleten is megfigyelhető. A grafén tulajdonságai lényegesen megváltoznak, ha nem csak egy szénatomból álló síkot

tekintünk, hanem két csatolt réteget veszünk figyelembe. Ennek kvá- zirészecskéit a Dirac-egyenlet helyett Schrödinger-féle, tömeges Hamilton-operátor írja le, mely azonban királis tulajdonsággal is rendelkezik. Transzverzális vezetése egy újabb típusú anomális tulajdonságot mutat, kvázirészecskéi 2π Berry-fázissal rendelkeznek[8, 9, 10, 11, 12]. Egy minta vezetőképességének mérése kontaktusokon keresztül történik. Többrétegű grafén esetében felvetődhet a kérdés, hogy ezek a kontaktusok milyen módon kapcsolódnak a mintához, minden réteghez hozzácsatolódnak vagy csak egy adott réteghez? Ha utóbbi is lehetséges, akkor valójában ún. rétegfelbontott vezetőképességet mérünk (Az 1.2 ábrán a rétegfelbontott Hall-vezetőképesség mérésének szemléltetése látható kétrétegű grafénon) Dolgozatom célja, hogy a grafén szokásos vezetési tulajdonságain túl (longitudinális és transzverzális vezetőképesség) a

rétegfelbontott eseteket is tanulmányozzam. Megvizsgálom, hogy milyen hatással van a minimális vezetőképességre, valamint, hogy milyen QHE-t mutat ebben az esetben a kétrétegű grafén. Ehhez meghatározom a különböző rendszerek sajátállapotait, a rétegfelbontott áramsűrűség-operátorokat, majd megvizsgálom az egyenáramú vezetőképességet Green-függvények segítségével különböző paraméterek (kémiai potenciál, mágneses tér, hőmérséklet és szennyezés) függvényében. 2 2. fejezet A grafén energiaspektruma és kvázirészecskéi A grafén hatszögrácsának stabilitását a szén 2s-, 2px - és 2py -pályák közötti sp2 hibridizáció miatt fellépő σ-kötés biztosítja. A szénatom 2pz -pályája kovalens kötéssel kapcsolódik a szomszédos atomok 2pz -pályájához, létrehozva a π-sávot. Mivel a 2pz pályán egy elektron van, ezért a π-sáv félig töltött. A grafén vezetési tulajdonságait ez a sáv határozza meg, ezért

a továbbiakban csak ezzel foglalkozunk. A grafén sávszerkezetét először Wallace tanulmányozta 1947-ben[13], de ekkor még csak a grafit tulajdonságainak megértése volt a cél. A természetben nem fordul elő tökéletes kristály, de az előállított grafénminták tisztasága és viszonylagos nagy mérete lehetőséget ad arra, hogy modellként tökéletes kristálysíkot válasszunk, valamint elvárjuk, hogy a modellből számolt vezetési tulajdonságokat ne befolyásolja lényegesen véges méret effektus vagy szennyezők, rácshibák jelenléte. 2.1 Rács és reciprokrács A hatszögrács Bravais-rácsa a háromszögrács, elemi cellája kétatomos, tehát két alrácsból tevődik össze, jelöljük ezeket A-val és B -vel. Az A alrácshoz tartozó elemi rácsvektorok egy lehetséges választása:  √   √  a a − 3 3 a1 = a2 = , (2.1) 3 3 2 2 ahol a ≈ 1.42 Å a szomszédos szénatomok távolsága A B alrácsot ehhez képest a   √ 0 τ = 3a (2.2) 1

eltolással kapjuk. Az A és B mátrixokat felírva:  √  √  √  a 2π 3 1 3 − 3 √ A= B= . 3 3 2 3a − 3 1 3 (2.3) y y kyk y KK b2b2 ! ! KK bb1 1 A A ! ! KK a1 a1 a2 a2 KK KK B B kkxx ! ! KK x x (a) Hatszögrács és a rácsvektorok. (b) A hatszögrács reciprokrácsa és az első Reciprok rács Brillouin-zóna (b)(b) Reciprok ésés a aBrillouin-zóna Brillouin zóna. rács (a) Hatszögács az elemi rácsvektorok (a) Hatszögács és azéselemi rácsvektorok 2. ábra Rács és reciprok rács ábra.Hatszögrács Rács és reciprok rács 2.12ábra és reciprokrácsa. (ai,R,σ ) az R rácspont i = A, B ahol t a hopping erőssége a szomszédos rácspontok között,+a+ i,R,σ (ai,R,σ ) az R rácspont i = A, B ahol tEzekből a hopping erősségeleolvashatóak a szomszédos arácspontok között, ai,R,σ könnyen reciprokrács vektorok: alrácsán σ spinű elektront keltő (eltűntető) operátor. Ebben a modellben csak elsőszomszéd köze√ 

operátor. Ebben a modellben alrácsán σ spinű elektront keltő 2π (eltűntető) 2π  √csakelsőszomszéd közelítést használunk, valamint az elektronok közötti kölcsönhatást b1 = 3, 1 b2 = elhanyagoljuk. − 3, 1 . Transzformáljuk (2.4) lítést használunk, valamint az elhanyagoljuk. Transzformáljuk 3aelektronok közötti kölcsönhatást 3a a Hamilton-operátort a a Hamilton-operátort 1 !Számunkra A Brillouin-zónaa szintén szabályos =1 √! −ikR e−ikR ai,k,σ - majd később látni fogjuk ai,R,σ hatszög. √ = e ai,k,σ a N ennek a hatszögnek a csúcsaii,R,σ érdekesek, Dirac-pontoknak nevezzük (A 2.1 ábk N ezeket k rán K-val és K’-vel jelölt pontok), egy-egy pont koordinátái: Bloch-Wannier transzformáció segítségével. Ezzelilyen a Hamilton-operátor Bloch-Wannier transzformáció segítségével. Ezzel a Hamilton-operátor √  % %$ $ 2π 2π " √  # 0 (k) ! % $ $ a3, 0 f K = " − +3, 3 + # K = 3 %. (2.5) A,k,σ H= ! 9a

aA,k,σ aB,k,σ 9a a 0 f (k) A,k,σ + + f (k) 0 aB,k,σ H= k∈BZ,σaA,k,σ aB,k,σ f (k) 0 aB,k,σ k∈BZ,σ & −ika 2.2 Egyrétegűtgrafén energiaspektruma elsőszomszéd 1 + e−ika2 + e−ik(a1 +a2 ) . A továbbiakban csak a alakban áll elő, ahol f (k) = e & −ika 1 + e−ika2 + e−ik(a1 +a2 ) . A továbbiakban csak a alakban áll elő,közelítésben ahol f (k) = t e % $ 0 f (k) % H$ = Az elektronszerkezet meghatározásához Hamilton-operátor másodkvantált alak0f (k)a f (k) 0 H= ját használjuk szoros kötésű közelítésben. spinben diagonális, ezért az f (k) Modellünk 0 egyrészecske-operátorral fogunk számolni. Az energiaspektrumot ennekígy a mátrixnak a sajátéregyszerűbb írásmód kedvéért tekintsünk spintelen elektronokat, egyrészecske-operátorral fogunkszámolni. Az energiaspektrumot ennek a mátrixnak a sajátértékei adják: tékei adják: H=t X † † a†A,R+a ( 1 aB ,R + aB ,R aA,R+a1 + aA,R+a2 aB ,R$+ % ) √ + , "√

# ) 3 3 (  $ √ ky % kx, ±t*3 + 2 cos a cos a ε± (k) = ± |f†(k)| =) y a + 4 cos †+ "√ 3ka# 2A,R+a 2 ) 2 + a†A,R+a +aB ,R aA,R+a + a a , (2.6) 3 3 B ,R +a 1 2 +a B ,R 1 kx a cos ky a 3ky2a + 4 cos ε± (k) = ± |f (k)| = ±t*3 + 2 cos 2 2 A 3. tábrán láthatóintegrál az egyrétegű grafén jellegzetes elektronszerkezete, mely két szimmetrikus ahol az átfedési (hopping integrál) a szomszédos rácspontok között, a†i,R (ai,R ) R áll. Ezek iaz a=sávok Dirac-pontokban érnek össze. A Dirac pontokban εszimmetrikus ± (K) = 0 és azábrán R rácspont A, B aalrácsán keltő (eltűntető) operátor. A 3.sávból látható egyrétegű grafénelektron jellegzetes elektronszerkezete, mely Az két elsőszomszéd sávból áll. Ezek a sávok a Dirac-pontokban érnek össze A Dirac pontokban ε± (K) = 0 és 45 5 (alrácsok közötti) átfedési integrálok nagysága t = 2.8 eV, míg a másodszomszéd (alrácson belüli) átfedési integrálok értéke 01 eV

körüli érték Jelen munkában csak az elsőszomszéd hoppingot engedjük meg, a másodszomszéd átfedések hatását elhanyagoljuk. Elhanyagoljuk továbbá ez elektronok közötti kölcsönhatást is Transzformáljuk a Hamilton-operátort a 1 X −ikR ai,R = √ e ai,k N R (2.7) Bloch-Wannier transzformáció segítségével, áttérve ezáltal hullámszám térbe. Ezzel a Hamilton-operátor    0 X † f (k) aA,k † (2.8) H= aA,k , aB ,k aB ,k f * (k) 0 k∈BZ
alakban áll elő, ahol f (k) = t e−ika1 + e−ikaa + e−ik(a1 +a2 ) . Továbbiakban csak a   0 f (k) H= (2.9) f ∗ (k) 0 egyrészecske-operátorral fogunk számolni. Az energiaspektrumot ennek a mátrixnak a sajátértékei adják: v ! u √   √  u 3 3 k,± = ± |f (k)| = ±tt3 + 2 cos 3ky a + 4 cos kx a cos ky a (2.10) 2 2 A 2.2 ábrán látható az egyrétegű grafén jellegzetes elektronszerkezete, mely két szim- metrikus sávból áll (ezeket együttesen nevezzük π-sávnak). Ezek a sávok a

Diracpontokban érnek össze A Dirac-pontokban ± (K) = 0 és ± (K0 ) = 0 Zérus hőmér- sékleten az alsó sáv teljesen be van töltve, a felső pedig teljesen üres, ezért alacsony hőmérsékleten a Dirac-ponthoz közeli elektronállapotok lényegesek. 2.3 Energiaspektrum a Dirac-pont környékén
Sorbafejtve a f (k) = t e−ika1 + e−ikaa + e−ik(a1 +a2 ) függvényt a K pont körül (q = k − K):   3 f (k) = ta (qx − iqy ) + O (|q| / |K|)2 , 2 (2.11) ahol 3ta/2 =: ~vF és vF ≈ 106 m/s a Fermi sebesség. A Hamilton-operátorba visszahelyettesítve, |q|  |K| határesetben - tehát a Dirac-pontokhoz közel - megkapjuk a zérus tömegű Dirac-egyenletet:   0 qx − iqy H = ~vF = ~vF σq, qx + iqy 0 5 (2.12) 2.2 ábra Az egyrétegű grafén elektronszerkezete A két szimmetrikus sáv a Brillouinzóna sarkaiban, a Dirac-pontokban ér össze     0 1 0 −i ahol σ = (σx , σy ) és σx = , valamint σy = Pauli-mátrixok, 1 0 i 0 melyek nem a spin,

hanem a két alrács miatt jelentek meg. Mivel a kvázirészecskék mozgásegyenletét ez az egyenlet írja le, ezért az egyrétegű grafén kvázirészecskéit Dirac-fermionoknak is nevezik. Tovább alakítva a Hamilton-operátort a kanonikus impulzus segítségével: HK = vF σp = vF  A B 0 p− p+ 0  A B (2.13) , ahol p = (px , py )| = ~q a kanonikus impulzus, p± = px ± ipy . Azért vannak a Hamilton-operátor mátrix alakjának csupán offdiagonális elemei, mert csak az alrácsok közötti hoppingot vettük figyelembe. Ha a K0 pont körül végezzük el a sorfejtést, akkor megkapjuk az előző összefüggést egy (−1)-es szorzótól és egy alrácscserétől eltekintve: HK0 = −vF  A B 0 p+ p− 0  A B = −vF  B A 0 p− p+ 0  B A . (2.14) Ez azzal van kapcsolatban, hogy a K és K0 pontok egymás időtükrözött párjai, a p −p transzformációval egymásba vihetők. A 6 Dirac-pontból 3−3 ekvivalens, a Brillouin-zónához egy-egy

ilyen pont tartozik, így az ebből adódó új szabadsági fokot nevezzük kétszeres völgy degenerációnak. Az egyrétegű grafén kvázirészecskéinek 6 diszperziós relációja a Dirac-pont közelében lineáris. Ez az egyenlet nagyon hasonló a relativisztikus kvantummechanikában megismert Dirac-egyenlet zérus tömegű alakjához, viszont eltérések is megfigyelhetőek: a fénysebesség (c) helyett a Fermi-sebesség (vF ) szerepel, míg σ-nak csak két komponense jelenik meg a 2 dimenzionalitás miatt. Megjegyzendő továbbá, hogy nem szilárdtestfizikai, hanem relativisztikus értelemben tömegtelen az összefüggés (|p| 0 esetén  0). Szilárdtestfizikai értelemben az effektív tömeg végtelennek tekinthető a Dirac-pontban, mivel itt a 1 ∂ 2 q ~2 ∂q2 m−1 = (2.15) összefüggés nem invertálható (det m−1 = 0). 2.4 Egyrétegű grafén kvázirészecskéi Az eddigiek alapján Hamilton-operátorunk a következő alakra hozható:   0 e−iϕ H =

vF p iϕ , e 0 (2.16) ahol p a kanonikus impulzus nagysága, míg ϕ = arctan (py /px ) a p vektor x-tengellyel bezárt szöge. Ez egy lineáris, izotróp diszperziójú rendszert ír le: (2.17) p,α = αvF p, ahol α = ±1 a pozitív (elekron) és negatív (lyuk) energiájú megoldások indexe. Az egységnyi felületre normált1 sajátállapot: 1 |p, αi = √ 2  1 αeiϕ  , (2.18) mely spinorként is felfogható, de a két komponense nem a spinhez, hanem a két alrácshoz tartozik, ezért pszeudospinnek nevezik. A hullámfüggvény jellemezhető a helicitással (más néven kiralitás), ami az impulzusoperátor vetülete a σ pszeudospin irányra. A helicitás-operátora: h =σp, (2.19) ami felcserélhető a Hamilton-operátorral. Ez azt jelenti, hogy a helicitás sajátértéke jó kvantumszám. A mágneses tér figyelembevételéhez a Peierls-helyettesítést alkalmazzuk, tehát a kanonikus impulzust kinetikusra cseréljük: p π = p + eAB , 1 (2.20) a

továbbiakban a minta felületével arányos mennyiségeket egységnyi felületre normáljuk az egyszerűbb írásmód kedvéért 7 ahol π = (πx , πy )| a kinetikus impulzus, e az elemi töltés és AB a mágneses térhez tartozó vektorpotenciál, melyből B = ∇ × AB = (0, 0, B)| a grafénre merőleges mágneses indukcióvektor. Ezáltal előállítottuk a Dirac-egyenlet mágneses térben is érvényes alakját:   0 π− H = vF σπ = vF , (2.21) π+ 0 A kinetikus impulzus kommutációs relációjának, [π− , π+ ] = 2e~B-nek a segítségével definiáljunk[14] bozonikus keltő és eltüntető operátorokat: π− 2e~B π+ a† := √ . (2.22) 2e~B   Ezek kommutációs relációja természetesen teljesíti az a, a† = 1 kommutációs összea := √ függést. Ezeknek a felhasználásával a grafén kvázirészecskéinek Hamilton-operátora a Dirac-pont közelében, másodkvantált, 2 × 2-es mátrixformalizmusban:   0 a H=V , (2.23) a† 0 √ ahol V = vF

2e~B a csatolás az egyrétegű grafén két alrácsa között mágneses tér jelenlétében. Ez analóg a kvantumoptika Jaynes-Cummings modelljével[15, 16] Az A. Függelékben részletezett számolások után a sajátenergiák, az ún Landau-nívók (Landau levels - LL): l,α = αV √ l l ≥ 1, α = ±1 0 = 0 és az ezekhez tartozó sajátállapotok:   1 α |l − 1i |l, αii = √ |li 2   0 |0ii = |0i l ≥ 1, α = ±1 (2.24) (2.25) (2.26) (2.27) Itt is megjelennek a negatív és pozitív energiájú állapotok, valamint van egy nullenergiás állapot is, melyhez a félig elektron, félig lyuk kvázirészecske képet csatolhatjuk. A 2.3 ábrán láthatjuk az ún Dirac-kúpot egyrétegű grafénban: a lineáris diszperziós √ relációt és a l-lel arányos Landau-nívókat. Ez eltér a kétdimenziós elektrongázban lévő Landau-nívóktól[17]: l = ~ωc  1 l+ 2  l ≥ 0, (2.28) ahol ωc = eB/m a ciklotron frekvencia. Itt a nívók távolsága állandó,

ellentétben az egyrétegű grafénnel, melyben l növelésével csökken. 8 2.3 ábra Az egyrétegű grafén sávszerkezete a Dirac-pontok közelében, az ún Dirackúp A fekete körök a Landau-nívókat jelöli 2.5 Kétrétegű grafén 4×4-es formalizmusa Egyrétegű grafénban a kvázirészecskék viselkedését a zérus tömegű Dirac-egyenlet írta le: H = vF σp = vF  A B 0 p− p+ 0  A B (2.29) , ahol p± = px ± ipy . Kétrétegű grafénban a szénatomok az ún Bernal-rétegződésben helyezkednek el, mely a 2.4a ábrán látható Ebben az esetben az elemi cella négy atomot tartalmaz, ezáltal a kétrétegű grafén Hamilton-operátora 4×4-es alakot ölt: B1 A2 B2  0 vF p− 0 t⊥  vF p+ 0 0 0   H=  0 0 0 vF p−  t⊥ 0 vF p+ 0  A1 A1 B1 A2 , (2.30) B2 A1 és B1 az alsó réteg két alrácsa, míg A2 és B2 a felső rétegé. Adott rétegen belül az egyrétegű esetben kapott összefüggés érvényes, míg az alsó

réteg A1 alrácsa és a felső réteg B2 alrácsa között figyelembe veszünk egy ún. merőleges átfedési integrált, t⊥ -t, melynek értéke 0.4 eV A rétegek közötti egyéb átfedési integrálokat elhanyagoljuk A mátrix diagonalizálása után a sajátenergiák: p αt⊥ + vF2 p2 + t2⊥ α, β = ±1 (2.31) p,α,β = β 2 A 2.4b ábrán láthatjuk a kétrétegű grafén kvázirészecskéinek spektrumát, melyet négy sáv alkot, melyből a pozitív és negatív energiájúakat a β indexeli. Az α = −1 a 9 A2 B2 t⊥ A1 t B1 (a) Kétrétegű grafén Bernal-rétegződése. (b) A kétrétegű grafén sávszerkezete a Dirac-pontok közelében. 2.4 ábra Kétrétegű grafén belső sávokat jelöli, melyek a Dirac-pontban összeérnek, míg α = +1 a külső sávokat indexeli, melyeket 2t⊥ energia választja el egymástól. Mágneses tér jelenlétében a Peierls-helyettesítést elvégezve, valamint a keltő és eltüntető operátorokot bevezetve a

következő Hamilton-operátort kapjuk:     0 vF π− 0 t⊥ 0 Va 0 t⊥ †  vF π+  0 0 0  0 0 0  = Va , H=  0 0 0 v F π−   0 0 0 Va  t⊥ 0 vF π+ 0 t⊥ 0 V a† 0 (2.32) melyből a Landau-nívók az A. Függelékben[18] leírtak szerint: (2.33) l,α,β = V λl,α,β , valamint a hozzájuk tartozó sajátállapotok:
#− 1 λ2l,α,β + l r2 2 l+1 + |l, α, βii = 1 + 2
2 λl,α,β λ2l,α,β − l " ahol λl,α,β = β s 2l + 1 + r2 + α 10 p   |li l+1  |l + 1i   λ√   l,α,β   λ2 lr−l |l − 1i  ,  l,α,β  λl,α,β r |li λ2 −l √ (2.34) l,α,β r4 + 2 (2l + 1) r2 + 1 2 (2.35) és r = t⊥ /V a merőleges hopping és a rétegek közötti csatolási állandó aránya. A nullenergiás állapot kétszeresen degenerált, az ezekhez tartozó sajátállapotok:     0 0  r |1i   |0i  1    |0, −, +ii = √ |0, −, −ii = 

(2.36)    0 . 0 1 + r2 − |0i 0 2.6 Kétrétegű grafén alacsony energiás közelítésben (2×2-es formalizmus) A B. Függelékben bemutatott módszer[19] segítségével a 4×4-es alak helyett alacsony energiákon (ε  t⊥ ) a 1 H= 2m  0 p2− p2+ 0  (2.37) , 2×2-es effektív Hamilton-operátort használhatjuk, ahol m = −t⊥ /2vF2 . Ez már láthatóan Schrödinger-szerű, a spektruma izotróp és kvadratikus: p,α = α p2 , 2m (2.38) ahol α = ±1, megjelennek elektron és lyukszerű kvázirészecskék. Az effektív tömeg m = 0.035 me , ahol me az elektron tömege A sajátállapot: 1 |p, αi = √ 2 ahol ϕ = arctan (py /px ).  1 αe2iϕ  (2.39) , Mágneses tér jelenlétében a Peierls-helyettesítést elvégezve   0 aa H=W a† a† 0 (2.40) alakú Hamilton-operátort kapunk, ahol W = e~B/m, ami a ciklotron energiának felel meg, valamint a† és a az egyrétegű esetben definiált keltő és eltüntető operátorok. Az egyrétegű

grafén esetéhez hasonlóan a Landau-nívók energiaszintjei: p l,α = αW l (l − 1) l ≥ 2, α = ±1 l = 0 l = 0, 1 és az ezekhez tartozó sajátállapotok:   1 α |l − 2i |l, αii = √ |li 2   0 |lii = , |li 11 (2.41) (2.42) l ≥ 2, α = ±1 (2.43) l = 0, 1 (2.44) 2.5 ábra A kétrétegű grafén sávszerkezete a Dirac-pontok környékén alacsony energiás közelítésben A fekete körök a Landau-nívókat jelölik A3 B3 t⊥ A2 B2 t⊥ A1 t B1 2.6 ábra A háromrétegű grafén Bernal-rétegződése A 2.5 ábrán látható a kétrétegű grafén kvadratikus diszperziós relációja, valamint p l (l − 1)-gyel arányos energiaszintek. A zérus energiájú állapot kétszeres degener- anciája itt is megjelenik természetesen. Ezek a közelítés a 4×4-es leírásban megjelenő belső sávokat írja le alacsony energián. 2.7 Többrétegű grafén alacsony energiás közelítésben Többrétegű grafénban a szénatomok leggyakrabban

Bernal-rétegződésben rendeződnek el, hiszen a grafit is ilyen szerkezettel rendelkezik. Példaként láthatjuk a háromrétegű grafén Bernal-rétegződését a 2.6 ábrán A legalsó réteg A alrácsa fölött a második réteg B alrácsa helyezkedik el, míg e fölött a harmadik réteg A alrácsa és így tovább. Éppen ezért ezt a szerkezetet ABA típusúnak is nevezik A leg12 egyszerűbb modell csak ezen alrácsok közötti hoppingot veszi figyelembe. Ekkor a Hamilton-operátor  alakú, ahol    H=   Hmono =  Hmono T 0 † T Hmono T† 0 T Hmono † 0 0 T 0 0 0 0 vF p− vF p+ 0  0 0 T Hmono . T = 0 0 0 . . .         0 t⊥ 0 0 (2.45)  . (2.46) Hmono az egyrétegű grafén Hamilton-operátora, míg T a rétegek közötti hoppingot írja le. Található egy U unitér transzformáció[20, 21, 22], mely az eredeti Hamiltonoperátort blokkdiagonálissá transzformálja. Ha a rétegek száma (N ) páros,

akkor   Hbi (1) 0 0  0 Hbi (2) 0  (2.47) H0 = U † HU =  , . . 0 0 míg ha N páratlan, akkor   H = U HU =   0 Itt  † Hmono 0 0 0 Hbi (1) 0 0 0 Hbi (2) 0 0 0 0 0 0 . .  0 vF p− 0 λn t⊥  vF p+ 0 0 0   Hbi (n) =   0 0 0 v F p−  λn t⊥ 0 vF p+ 0    .   a kétrétegű grafén Hamilton-operátora egy effektív átfedési integrállal, ahol   (N + 1 − 2n) π λn = 2 sin n = 1, 2, . , [N/2] 2 (N + 1) (2.48) (2.49) (2.50) Ez azt jelenti, hogy a Hamilton-operátor szétcsatololt, egy- és kétrétegű grafénokat leíró Hamilton-operátorokból álló blokkokra esik szét. A kétrétegű 4×4-es blokkok tovább transzformálhatóak alacsony energiákon:   1 0 p2− Hbi (n) = . 2λn m p2+ 0 13 (2.51) H0 alacsony energiás közelítésben páros N esetén N ×N -es, míg páratlan N esetén (N + 1)×(N + 1)-es mátrix. A transzformált Hamilton-operátorból már könnyen

meghatározhatóak a sajátenergiák: p,α,n = α p2 2λn m n = 1, 2, . , [N/2] , (2.52) és páratlan N esetén a transzformált Hamilton-operátor egy egyrétegű blokkot is tartalmaz, melyből (2.53) p,α,0 = αvF p. A sajátállapotok páros N esestén:  n=1 |p, αibi  0  |p, α, ni =  0   .  . 0  n=2 0   |p, αi   bi  ,  0     .   . 0      ,.,    ahol 1 |p, αibi = √ 2  n 0 . .      |p, αibi  .  . 0 1 αe2iϕ        n = [N/2] 0   .   . ,.,   ,   0     0 |p, αibi  (2.54) (2.55) a kétrétegű grafén sajátállapotai. Páratlan N esetén:    |p, α, ni =     n=0 |p, αimono 0 0 . . 0  n=1 0   |p, αi   bi  ,  0     .   . 0      ,.,    ahol |p, αimono 1 =√ 2 az egyrétegű grafén

sajátállapotai. 14  n 0 . .      |p, αibi  .  . 0 1 αeiϕ         n = [N/2] 0   .   . ,.,   ,   0     0 |p, αibi (2.56) (2.57) A háromrétegű grafén A háromrétegű grafén Hamilton-operátora az eddigieknek megfelelően:   0 vF p− 0 t⊥ 0 0  vF p+ 0 0 0 0 0     0  0 0 v p 0 0 F − . H=  t⊥ 0 vF p+ 0 t⊥ 0     0 0 0 t⊥ 0 vF p−  0 0 0 0 vF p+ 0 Az U transzformációt elvégezve blokkdiagonális alakot kapunk:  0 vF p− 0 0 0 0  vF p+ 0 0 0 0  √0  0 2t⊥ 0 0 v F p− 0 H=  0 0 v p 0 0 0 F +   0 0 0 0 vF p− √0 0 0 2t⊥ 0 vF p+ 0 Alacsony energiákon a kétrétegű blokk tovább egyszerűsíthető:   0 v F p− 0 0  v F p+ 0 0 0    p2− H0 =  0 . √ 0 0  2 2m  p2 √+ 0 0 0 2 2m     .    (2.58) (2.59) (2.60) A sajátenergiák és

sajátállapotok: p,α,0 = αvF p   1 1  αeiϕ   |p, α, 0i = √    0 2 0 2.8 p2 p,α,1 = α √ 2 2m   0 1  0  . |p, α, 1i = √    1 2 αe2iϕ (2.61) (2.62) Állapotsűrűség egy- és kétrétegű grafénban, a Landau-nívók degeneranciája Az egységnyi felületű mintára vonatkozó állapotsűrűség: d Nf p () g () = 2 2π~ dp −1 , (2.63) ahol p () a diszperziós reláció inverze, Nf = Ns Nv = 4 a spin és völgy degeneráció (Ns = 2, Nv = 2). 15 Egyrétegű grafén állapotsűrűsége Egyrétegű grafén diszperziója:  = αvF p, amiből g () = 2 || , π~2 vF2 (2.64) tehát az állapotsűrűség lineáris és a Dirac-pontban eltűnik. Kétrétegű grafén állapotsűrűsége Kétrétegű grafén diszperziója:  = α p2 , amiből 2m g () = 2m , π~2 (2.65) Nf Φ Φ0 (2.66) tehát az állapotsűrűség konstans. A Landau-nívók degeneranciája A Landau-nívók degeneranciáját a NLL

= összefüggés segítségével határozhatjuk meg, ahol Φ0 = h/e a fluxuskvantum, míg a Φ = B a minta egységnyi felületén átmenő fluxus. Ezek segítségével NLL = 16 4eB . h (2.67) 3. fejezet Áramoperátorok grafénban A vezetési tulajdonságok - longitudinális és transzverzális vezetőképesség - vizsgálatához, szükségünk van az áramsűrűség-operátorok alakjára a különböző rendszerekben. Az i-irányú áramsűrűség-operátor egy i-irányú elektromos tér következménye, melyet az AE vektropotenciál segítségével írunk le: E=− ∂AE , ∂t (3.1) ahol AE szintén i-irányú (i = x, y). Az elektromos tér figyelembevételéhez a kanonikus impulzust ezzel a vektorpotenciállal egészítjük ki: p π = p + eAE . (3.2) Az áramsűrűség-operátort a Hamilton-operátor elektromos térhez tartozó vektorpotenciál szerinti deriválásából kapjuk: j=− δH δAE (3.3) ji = − δH . δAE i (3.4) vagy komponensenként: Vezessük

be a rétegfelbontott áramoperátorok fogalmát. Az l rétegben lévő rétegfelbontott áramsűrűség-operátor i-komponensét a jl,i = − δH δAE l,i (3.5) összefüggés alapján határozhatjuk meg, ahol AE l,i a kizárólagosan az l. rétegben lévő, i-irányú elektromos teret adó vektorpotenciál. 17 3.1 Egyrétegű grafén áramoperátora Az egyrétegű grafén Hamilton-operátora:   0 p− H = vF . p+ 0 (3.6) Az áramoperátor x-komponensének meghatározásához végezzük el a p π = p +
| eAE helyettesítést, ahol AE = AE csak x-komponenst tartalmaz, ezzel x,0   0 p− + eAE x H = vF . (3.7) p+ + eAE 0 x Ebből az áramsűrűség-operátor x-komponense:   δH 0 1 jx = − E = −evF = −evF σx . 1 0 δAx (3.8) Az y-komponens meghatározásához végezzük el a p π = p + eAE helyettesítést,
| csak y-komponenst tartalmaz, ezzelv ahol AE = 0, AE y   0 p− − ieAE y , (3.9) H = vF 0 p+ + ieAE y amiből az áramsűrűség-operátor

y-komponense:   δH 0 −i jy = − E = −evF = −evF σy . i 0 δAy 3.2 (3.10) Kétrétegű grafén áramoperátora A kétrétegű grafén Hamilton-operátora 4×4-es alakban:   0 v F p− 0 t⊥  vF p+ 0 0 0   H=  0 0 0 vF p−  t⊥ 0 v F p+ 0 (3.11) Az áramsűrűség-operátor x-komponensének meghatározásához a p π = p + eAE helyettesítést elvégezve:  0 vF p− + eAE 0 t⊥ x E  vF p+ + eAx 0 0 0 H=  0 0 0 vF p− + eAE x t⊥ 0 vF+ + eAE 0 x   ,  amiből az áramsűrűség-operátor x-komponensének 4×4 alakja:   0 1 0 0    1 0 0 0  δH σx 0   = −evF . jx = − E = −evF  0 0 0 1  0 σx δAx 0 0 1 0 18 (3.12) (3.13) Teljesen hasonlóan az y-komponens:  0 −i  i 0 jy = −evF   0 0 0 0 3.3  0 0   0 0   = −evF σy 0 . 0 −i  0 σy i 0 (3.14) Kétrétegű grafén áramoperátora alacsony energiákon A kétrétegű grafén Hamilton-operátora

alacsony energiás közelítésben:   1 0 p2− H= . 2m p2+ 0 (3.15) Az áramoperátor x-komponensének meghatározásához végezzük el a p π = p + eAE helyettesítést: 1 H= 2m 0
2 p+ + eAE x p− + eAE x 0
2 ! , amiből az áramsűrűség-operátor x-komponense:   δH e 0 p− jx = − E = − . δAx m p+ 0 (3.17) Hasonlóan az áramsűrűség-operátor y-komponense:   e 0 −p− jy = −i . 0 m p+ (3.18) Mágneses térben, a keltő- és eltüntető-operátorok segítségével: r r     2W 2W 0 a 0 −a jx = −e jy = −ie . a† 0 a† 0 m m 3.4 (3.16) (3.19) Többrétegű grafén áramoperátora alacsony energiákon Többrétegű grafén Hamilton-operátora  Hmono 0 0 0  0 H (1) 0 0 bi  H0 =  0 0 Hbi (2) 0  . . 0 0 0      (3.20) alakban írható fel, ha a rétegek száma (N ) páratlan. Páros rétegszám esetében a Hamilton-operátor hasonló, a Hmono -t tartalmazó sor és oszlop eltűnik. A blokkmátrix 19

tulajdonság miatt, az egy- és kétrétegű grafén áramoperátorainak felhasználásával megkapható az áramsűrűség-operátor:  jxmono 0 0 0 bi  0 j (1) 0 0 x  jx =  0 bi 0 jx (2) 0  . . 0 0 0 ahol jxmono = −evF  0 1 1 0  jxbi e (n) = − λn m    ,   0 p− p+ 0 (3.21)  . (3.22) Páros rétegszám esetében az egyrétegű blokk nem jelenik meg. 3.5 Rétegfelbontott áramoperátor kétrétegű grafénban Ahhoz, hogy egy adott rétegre vonatkozó, rétegfelbontott áramsűrűség-operátort meghatározzuk, a kétrétegű grafén Hamilton-operátorának (3.11) alakjában indexeljük el a különböző rétegekhez tartozó kanonikus impulzusokat:   0 vF p− 0 t⊥ 1  vF p+ 0 0 0  1 , H=  0  0 0 vF p− 2 + t⊥ 0 v F p2 0 (3.23) ahol p1 az alsó, míg p2 a felső réteghez tartozó impulzus. Ha az alsó réteghez tartozó áramoperátor x-komponensét keressük, akkor a p1 π 1 = p1 + eAE

helyettesítéssel kapott   E 0 vF p− + eA 0 t ⊥ 1 x E  vF p+ 0 0 0  + eA 1 x  H=   0 0 0 v F p− 2 + t⊥ 0 vF p2 0 Hamilton-operátorból az áramsűrűség-operátor:   δH σx 0 . j1,x = − E = −evF 0 0 δAx (3.24) (3.25) A felső réteghez tartozó áramsűrűség-operátort a p2 π 2 = p2 + eAE helyettesítés után kaphatjuk meg: j2,x = −evF  20 0 0 0 σx  . (3.26) Hasonló módon kaphatóak az áramsűrűség operátor y-komponensei is, az alsó réteghez tartozó: j1,y = −evF  σy 0 0 0  , (3.27) j2,y = −evF  0 0 0 σy  . (3.28) míg a felső réteghez tartozó: Értelemszerűen a rétegfelbontott áramoperátorok összege a teljes áramoperátort adja: 3.6 j1,x + j2,x = jx (3.29a) j1,y + j2,y = jy (3.29b) Rétegfelbontott áramoperátor kétrétegű grafénban alacsony energiákon Alacsony energiás közelítésben már nem adódnak ilyen egyszerűen az áramoperátorok. Meg kell mondanunk,

hogy a kétrétegű grafén effektív 2×2-es Hamiltonoperátorában az egyes kanonikus impulzusok melyik réteghez tartoznak A B Függelékben bemutatott átalakításokat követően a  0 vF p− 0 t⊥ 1  vF p+ 0 0 0 1 H=  0 0 0 vF p− 2 t⊥ 0 v F p+ 0 2 Hamilton-operátort felírhatjuk a 1 H= 2m  − 0 p− 1 p2 + + p2 p1 0      (3.30) (3.31) effektív 2×2-es alakban. Az alsó réteghez tartozó áramoperátor x-komponensének meghatározásához végezzük el itt is a p1 π 1 = p1 + eAE helyettesítést:
−   E 1 0 p− 1 + eAx p2
, H= + E 0 2m p+ 2 p1 + eAx amiből az alsó rétegre vonatkozó áramsűrűség-operátor x-komponense:   δH e 0 p− j1,x = − E = − , δAx 2m p+ 0 míg a felső réteghez tartozó áramsűrűség-operátor x-komponense:   e 0 p− . j2,x = − 2m p+ 0 21 (3.32) (3.33) (3.34) Tehát ebben az esetben a két áramoperátor megegyezik és a „teljes” áramsűrűségoperátor felével

egyenlő: 1 j1,x = j2,x = jx 2 (3.35) Hasonlóan az y-komponens: j1,y = j2,y 3.7 e = −i 2m  0 −p− p+ 0  1 = jy 2 (3.36) Rétegfelbontott áramoperátor többrétegű grafénban Ahhoz, hogy többrétegű grafén áramsűrűség-operátorát meghatározzuk, a blokktranszformált H0 Hamilton-operátorban is meg kell mondanunk, hogy az egyes kanonikus impulzusok melyik réteghez tartoznak. Ehhez az eredeti H Hamilton-operátorban meg kell címkéznünk a különböző rétegek kanonikus impulzusait, majd az U transzformáció segítségével meghatározzuk a H0 alakot. Sajnos ez már nem lesz blokkdia- gonális, megjelennek véges offdiagonális blokkok is. Éppen ezért csak a háromrétegű grafén rétegfelbontott áramoperátorát határozzuk meg. Háromrétegű grafén rétegfelbontott áramoperátora A háromrétegű grafén Hamilton-operátora  0 vF p− 0 t⊥ 0 0 1  vF p+ 0 0 0 0 0 1  −  0 0 0 v F p2 0 0 H= +  t⊥ 0 v p 0 t 0 F 2 ⊥ 

 0 0 0 t⊥ 0 vF p− 3 + 0 0 0 0 vF p3 0     ,    (3.37) ahol a külöböző rétegekhez tartozó kanonikus impulzusokat p1 -gyel, p2 -vel ésp3 -mal jelöljük. Elvégezve az U transzformációt, alacsony energiás közelítésben a   p− −p− p− +p− 0 vF 1 2 3 0 vF 1 2 3 − −   p+ +p+ p− 2 (p1 −p3 )   vF 1 3 √ 0 0 2   4 2m + + + − − − (3.38) H0 =  p2 (p1 +p3 )  (p1 −p 3 )p2   √ √ 0 0   4 2m 4 2m + + + + p p +p ( ) p+ −p 2 1 3 √ 0 0 vF 1 2 3 4 2m 22 Hamilton-operátort kapjuk. Ennek segítségével megkaphatjuk az l réteghez tartozó rétegfelbontott áramsűrűség-operátor x-komponensét:  δ +δ 0 0 vF l,1 2 l,3  δl,1 +δl,3 p− (δl,1 −δl,3 )  vF √ 0 2 4 2m  jl,x =  p+ (δl,1 −δl,3 )  √ 0 0 4 2m  + p (δl,1 +2δl,2 +δl,3 ) δ −δ √ vF l,1 2 l,3 0 4 2m vF δl,1 −δl,3 2     p− (δl,1 +2δl,2 +δl,3 )  , 

√ 4 2m  0 0 (3.39) ahol δl,1 , δl,3 és δl,3 Kronecker-deltákat jelöl. Részletezve a különböző rétegekre: j1,x  0  vF  2 =  0 vF 2 vF 2 0 p+ √ 4 2m 0 j3,x vF 2 0 p− √ 4 2m 0 p− √ 4 2m 0 p+ √ 4 2m    =  0 0 vF 2 0 − v2F         j2,x =   vF 2 0 − 0 + − 4√p 2m 0 23 − 4√p 2m 0 p+ √ 4 2m 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 p+ √ 2 2m  − v2F 0   . p− √ 4 2m  0 0 0 p− √ 2 2m 0      (3.40) 4. fejezet Longitudinális vezetőképesség grafénban A vezetési tulajdonságok vizsgálatát a longitudinális vezetőképességgel kezdem. A kémiai potenciál változtatásával a grafén vezetőképessége a Dirac-pontnál minimális, univerzális értéket vesz fel[23]. A vezetés szempontjából egyik legfontosabb paraméter a momentumszórás, így az ettől való függést mindenképpen érdemes megvizsgálni. A számolás

során zérus hőmérsékletre és mágneses térre adom meg a Dirac-pontbeli minimális vezetőképességet, valamint megvizsgálom ennek rétegfelbontott változatát is. A vezetőképesség xx-komponense a mintában x-irányban létrehozott elektromos térerősségnek az x-irányú áramsűrűségre adott válaszfüggvénye, mely az 1 Reσxx (q, ω) = − ImΠR xx (q, ω) ω (4.1) összefüggés [24, 25]alapján visszavezethető áram-áram korrelációs függvény számolására. Az egyenáramú vezetőképesség1 meghatározásához előbb a q 0, majd az ω 0 határátmenetet kell elvégezni: 1 ImΠR xx (q, ω) . ω0 q0 ω σxx = − lim lim A retardált áram-áram korrelációs függvény a X Z β~ Πxx (q = 0, iνn ) = dτ eiνn τ hTτ jx (k, τ ) jx (k, 0)i k (4.2) (4.3) 0 hőmérsékleti áram-áram korrelációs függvényből határozható meg analitikus folytatás segítségével: ΠR xx (q, ω) = lim+ Πxx (q, ω + iε) . ε0 1 (4.4) az egyenáramú

longitudinális vezetőképességet a továbbiakban egyszerűen σxx -szel jelöljük 24 Egy kétpont korrelációs függvény felírható a mátrixelemek és a propagátorok segítségével is: X 1 2 |hk, α | jx | k, α0 i| Gα (k, iωm ) Gα0 (k, iωm + iνn ) , β~ k,iω ,α,α0 Πxx (q = 0, iνn ) = m (4.5) ahol Gα (k, iωm ) = iωm − k,α −µ ~ 1 + i Γ~ sgn (ωm ) (4.6) a hőmérsékleti Green-függvény, k,α az egyrészecske sajátenergia, µ a kémiai potenciál, νn = 2nπ/β bozonikus, míg ωm = (2m + 1) π/β fermionikus Matsubara-frekvenciák, valamint Γ a véges momentumszórási ráta, melyet egy fenomenológikus, k és ωm független mennyiségként kezelünk, az elektron-fonon kölcsönhatás és szennyezőszórás mikroszkópikus figyelembevétele helyett. A Z dω 0 ρα (k, ω) Gα (k, iωm ) = (4.7) 2π iωm − ω spektrális felbontás segítségével az áram-áram korrelációs függvény X Z dω 0 Z dω 00 1 2 |hk, α | jx | k, α0 i|

× Πxx (q = 0, iνn ) = β~ k,iω ,α,α0 2π 2π m × alakba írható, ahol ρα (k, ω 0 ) ρα0 (k, ω 00 ) iωm − ω 0 iωm + iνn − ω 00 ρα (k, ω) =  ω− 2 Γ~ 2 k,α −µ ~ + (4.8)
Γ 2 ~ a spektrálfüggvény. A Matsubara összeget a 1X nF (ω 0 ) − nF (ω 00 ) 1 1 = β iω iωm − ω 0 iωm + iνn − ω 00 iνn − ω 0 (4.9) (4.10) m összefüggés segítségével elvégezve a Z Z 0 00 1 X 0 00 nF (ω ) − nF (ω ) dω dω × Πxx (q = 0, iνn ) = 2 4π ~ k,α,α0 iνn + ω 0 − ω 00 2 × |hk, α | jx | k, α0 i| ρα (k, ω 0 ) ρα0 (k, ω 00 ) kifejezést kapjuk, ahol nF (x) = képzetes rész képzéssel, a (4.11) 1 a Fermi-függvény. Analitikus folytatással és +1 eβx 1 1 = P − iπδ (ω + ω 0 − ω 00 ) ε0 ω + ω 0 − ω 00 + iε ω + ω 0 − ω 00 lim 25 összefüggés felhasználásával megkapjuk a retardált áram-áram korrelációs függvény képzetes részét: ImΠR xx Z 1 X (q = 0, ω) = − dω 0 [nF

(ω 0 ) − nF (ω + ω 0 )] × 4π~ k,α,α0 2 × |hk, α | jx | k, α0 i| ρα (k, ω 0 ) ρα0 (k, ω + ω 0 ) (4.12) Zérus hőmérsékleten az integrált elvégezve ImΠR xx (q = 0, ω) = − 1 X 2 |hk, α | jx | k, α0 i| ξα,α0 (k, ω) , π k,α,α0 (4.13) ahol    Γ ˜k,α − ξα,α0 (k, ω) = × arctan Γ 4Γ2 + (˜k,α − ˜k,α0 − ~ω)2       ˜k,α − ~ω ˜k,α0 + ~ω ˜k,α0 − arctan + arctan − arctan + Γ Γ Γ Γ2 × + (˜k,α − ˜k,α0 − ~ω) [4Γ2 + (˜k,α − ˜k,α0 − ~ω)]

Γ2 + ˜2k,α Γ2 + ˜2k,α0   × log  (4.14) Γ2 + (˜k,α − ~ω)2 Γ2 + (˜k,α0 + ~ω)2 és ˜k,α = k,α − µ. ξα,α0 (k, ω)-t ω-ban legalacsonyabb rendben sorfejtve: ξα,α0 (k, ω) =
Γ2 ~ω
2
+ O ω2 , 2 2 2 ˜k,α + Γ ˜k,α0 + Γ (4.15) melyből az egyenáramú longitudinális vezetőképesség a (4.2) összefüggés alapján: σxx ~Γ2 X |hk, α | jx | k, α0 i|2

. = π k,α,α0 ˜2k,α + Γ2

˜2k,α0 + Γ2 (4.16) A momentumra való összegzést integrállá átírva kapjuk σxx ahol D Z |hk, α | jx | k, α0 i|2 ϕ Nf ~Γ2 X ∞

, = dkk 2 2π 2 α,α0 0 ˜k,α + Γ2 ˜2k,α0 + Γ2 0 2 |hk, α | jx | k, α i| E ϕ = R 2π 0 dϕ |hk, α | jx | k, α0 i|2 2π (4.17) (4.18) a mátrixelemek abszolútérték négyzetének szög szerint kiátlagolt értéke és Nf = 4 a degeneráció (spin+völgy). Ennek az összefüggésnek a segítségével már kiszámolhatjuk egy-, két- és többrétegű grafén longitudinális vezetőképességét. 26 Rétegfelbontott eset A rétegfelbontott longitudinális vezetőképesség meghatározosához a rétegfelbontott áramok közötti kétpont korrelációs függvényt kell kiszámolnunk. Tekintsük pl a jlE ,x és jlj ,x közötti korrelációs függvényt: X Z β~ ΠlE ,x;lj ,x (q = 0, iνn ) = dτ eiνn τ Tτ jlE ,x (k, τ ) jlj ,x (k, 0) . k (4.19) 0 Ebből a σlE ,x;lj ,x longitudinális vezetőképesség kapható

meg, ami tehát a minta lE . rétegében létrehozott x-irányú elektromos térerősséget és az ezáltal létrejövő lj . rétegben létrejövő x-irányú áramsűrűséget kapcsolja össze2 A rétegfelbontott vezetőképesség tehát: D E 0 0 Z hk, α | j | k, α i k, α j k, α lE ,x lj ,x Nf ~Γ2 X ∞ ϕ

σlE ,x;2,x = dkk , (4.20) 2 2 2 2 2 2π α,α0 0 ˜k,α + Γ ˜k,α0 + Γ ahol R 2π E D dϕ hk, α | jlE ,x | k, α0 i k, α0 jlj ,x k, α 0 0 = 0 hk, α | jlE ,x | k, α i k, α jlj ,x k, α . 2π ϕ (4.21) 4.1 Egyrétegű grafén longitudinális vezetőképessége Egyrétegű grafénban a Dirac-fermionok sajátenergiái, sajátállapotai, valamint az áramsűrűség-operátor x-komponense: k,α = α~vF k, 1 |k, αi = √ 2  1 αeiϕ  , jx = −evF σx . (4.22) Ezek segítségével az áramsűrűség-operátor x-komponensének mátrixelemei:
evF 0 iϕ hk, α | jx | k, α0 i = − α e + αe−iϕ , (4.23) 2 aminek abszolútérték négyzetét szög

szerint kiátlagolva kapjuk, hogy D E e2 vF2 2 |hk, α | jx | k, α0 i| = . (4.24) 2 ϕ Ennek felhasználásával az egyenáramú longitudinális vezetőképesség már meghatározható a momentum szerinti integrál elvégzésével: Z Nf e2 vF2 Γ2 ~ X ∞ k    = σxx = dk 2 2 0 ~v k)2 + Γ2 4π 2 (α~v k) + Γ (α 0 F F 0 α,α 2 2 2 XZ ∞ Nf e vF Γ ~ k 4 e2 = dk . =  2 2 2 4π 2 π h 0 (~v k) + Γ 0 F α,α 2 (4.25) ezek az indexek azzal kapcsolatosak, hogy a négypont vezetőképesség mérésnél melyik réteghez kapcsoljuk az áram- és feszültségmérésre használt kontaktusokat 27 Egyrétegű grafén longitudinális vezetőképessége a Dirac-pontnál az elemi vezetőképességkvantum 4/π-szerese. Ez egy univerzális viselkedés, mivel független a momentumszórástól, azaz nem érzékeny pl a szennyezők koncentrációjára Belátható, hogy a Dirac-ponttól távolodva a vezetőképesség nő, így ezt az értéket minimális vezetőképességnek nevezzük.

Ez érdekes eredmény, hiszen egyrétegű grafén töltéshordozóinak állapotsűrűsége a Dirac-ponthoz közeledve eltűnik. Egyszerű Drude-modellben[17]: ne e2 τ , m∗ ahol τ ≈ }/2Γ a relaxációs idő, m∗ az effektív tömeg, ne az elektronsűrűség elektσ= rongázban. Ha ne zérushoz, m∗ a végtelenhez tart3 , akkor a vezetőképesség csak úgy maradhat véges, ha τ divergál. Ebből arra következtethetünk, hogy a momentumszórás grafénban valóban nagyon kicsi Megjegyzendő továbbá, hogy L hosszúságú, W szélességű grafénmintára számolt vezetőképesség a W/L ∞ határesetben az általunk kapott értékhez tart[26]. 4.2 Kétrétegű grafén longitudinális vezetőképessége Kétrétegű grafén esetében, ha csak zérus kémiai potenciálnál vizsgálódunk, akkor elég az alacsony energiás sajátenergiákat, sajátállapotokat és áramoperátorokat használnunk, melyek: k,α ~2 k 2 , =α 2m 1 |k, αi = √ 2   1 αe2iϕ , e~k jx

= − m Ezek segítségével az áramsűrűség-operátor mátrixelemei:  0 e−iϕ eiϕ 0  .
e~k 0 iϕ α e + αe−iϕ , 2m aminek abszolútérték négyzetét szög szerint kiátlagolva kapjuk, hogy D E e2 ~2 k 2 2 . |hk, α | jx | k, α0 i| = 4m2 ϕ hk, α | jx | k, α0 i = − Az egyenáramú longitudinális vezetőképesség: Z Nf e2 Γ2 ~3 X ∞ k3 h i h i= σxx = dk

~2 k2 2 ~2 k 2 2 4π 2 m2 α,α0 0 2 0 2 α 2m + Γ α 2m + Γ Z Nf e2 Γ2 ~3 X ∞ k3 8 e2 = dk = h i 2
4π 2 m2 α,α0 0 π~ ~2 k2 2 + Γ2 2m (4.26) (4.27) (4.28) (4.29) Kétrétegű grafén minimális vezetőképessége a Dirac-pontnál az elemi vezetőképességkvantum 8/π-szerese, mely szintén független a momentumszórás nagyságától. Mint várható, ez az egyrétegű grafén minimális vezetőképességének a kétszerese. 3 grafénban a Dirac-ponthoz közeledve az effektív tömeg végtelenhez tart 28 Rétegfelbontott eset Határozzuk meg a σlE ,x;lj ,x rétegfelbontott

vezetőképességet, melyhez a D E 0 0 hk, α | jlE ,x | k, α i k, α jlj ,x k, α ϕ (4.30) mennyiséget kell kiszámolnunk. Láttuk, hogy alacsony energiás közelítésben a rétegfelbontott áramsűrűség-operátorok a teljes áramsűrűség-operátor felének adódnak: 1 j1,x = j2,x = jx 2 (4.31) Ezzel D E E 1D 0 0 0 0 hk, α | jlE ,x | k, α i k, α jlj ,x k, α = hk, α | jx | k, α i hk, α | jx | k, αi , 4 ϕ ϕ (4.32) amiből az előbbi számolás megismétlésével megkapható a rétegfelbontott longitudinális vezetőképesség kétrétegű grafénban: σlE ,x;lj ,x = 2 e2 1 8 e2 = , 4π h πh (4.33) mely szerint tehát rétegfelbontott esetben a minimális vezetőképesség az eredeti érték negyedére csökken, függetlenül, hogy mely rétegfelbontott esetet tekintjük. Tehát ha a kétrétegű grafén alsó rétegéhez kontaktusokat kapcsolunk és vezetőképességet mérünk, akkor nem az egyrétegű grafén vezetőképességét kapjuk vissza, hanem annak

felét. Ennek értelemszerű magyarázata az, hogy a két réteg nem független, a mérőleges hopping következtében csatolva vannak. 4.3 Háromrétegű grafén longitudinális vezetőképessége Határozzuk meg a háromrétegű grafén σlE ,x;lj ,x rétegfelbontott vezetőképességét. Az alacsony energiás sajátenergiák és sajátállapotok: p,α,0 = αvF p   1 1  αeiϕ   |p, α, 0i = √  2 0  0 p2 p,α,1 = α √ 2 2m   0 1  0  , |p, α, 1i = √  2 1  αe2iϕ 29 (4.34) (4.35) valamint a rétegfelbontott áramoperátorok:  δ +δ 0 vF l,1 2 l,3 0 −  δl,1 +δl,3 p (δl,1 −δl,3 )  vF √ 0 2 4 2m  + jl,x =  p (δl,1 −δl,3 )  √ 0 0 4 2m  + δ +2δ +δ p ( l,1 √ l,2 l,3 ) δ −δ vF l,1 2 l,3 0 4 2m Ezekből kiszámolhatjuk a D vF δl,1 −δl,3 2     − p (δl,1 +2δl,2 +δl,3 )  .  √ 4 2m  0 0 (4.36) E hk, α, n | jlE ,x | k, α0 , n0 i k, α0 , n0

jlj ,x k, α, n = ϕ  2 2
e vF  ha (n, n0 ) = (1, 1)  lE ,1 + δlE ,3 ) δlj ,1 + δlj ,3  28 2 (δ
~ k2 ha (n, n0 ) = (2, 2) = e64m 2 (δlE ,1 + 2δlE ,2 + δlE ,3 ) δlj ,1 + 2δlj ,2 + δlj ,3  
2 2   e vF + e2 ~2 k22 (δl ,1 − δl ,3 ) δlj ,1 − δlj ,3 ha (n, n0 ) = (1, 2), (2, 1) E E 16 32m mátrixelemeket, melynek segítségével a rétegfelbontott vezetőképesség: 
1 e2 σlE ,x;lj ,x = 2 (δlE ,1 + δlE ,3 ) δlj ,1 + δlj ,3 + 2π h
+ (δlE ,1 + 2δlE ,2 + δlE ,3 ) δlj ,1 + 2δlj ,2 + δlj ,3 + (4.37)  2
2 [πx + (x − 1) log x] (δ − δ ) δ − δ + , (4.38) l ,1 l ,3 l ,1 l ,3 j j E E x2 + 1 √ ahol x = 2t⊥ /Γ. Grafénban a töltéstranszport ballisztikus, így tekinthetjük a Γ 0 (r ∞) határesetet, ekkor azaz [πx + (x2 − 1) log x] − log x, x2 + 1 (4.39) 
1 e2 σlE ,x;lj ,x = 2 (δlE ,1 + δlE ,3 ) δlj ,1 + δlj ,3 + 2π h
+ (δlE ,1 + 2δlE ,2 + δlE ,3 ) δlj ,1 + 2δlj ,2 + δlj ,3 − ! √ 


2t⊥ (δlE ,1 − δlE ,3 ) δlj ,1 − δlj ,3 , − 2 log Γ (4.40) (4.41) Ha a Kronecker-delták helyére egyet írunk, akkor visszakapjuk a „teljes” vezetőképességet: σlE ,x;lj ,x 12 e2 = . π h (4.42) A háromrétegű grafén minimális vezetőképessége az egyrétegű háromszorosával egyezik meg. Vizsgáljuk meg azokat a rétegfelbontott eseteket, melyekben azonos réteghez 30 kapcsoljuk az összes kontaktust. Ez lehet az alsó, a középső vagy a felső réteg: " !# √ 1 e2 3 2t⊥ σ1,x;1,x = − log (4.43a) πh 2 Γ 2 e2 πh " 1 e2 3 = − log πh 2 σ2,x;2,x = σ3,x;3,x √ 2t⊥ Γ !# (4.43b) . (4.43c) A középső rétegtől eltekintve a rétegfelbontott vezetőképességek már függnek a momentumszórástól, rétegfelbontott esetben már nem beszélhetünk univerzális vezetési tulajdonságról. 31 5. fejezet Transzverzális vezetőképesség grafénban Mágneses tér jelenlétében fontos vezetési tulajdonság a

transzverzális vezetőképesség. Ennek vizsgálatát érdemes véges hőmérsékleten, a Dirac ponttól távolabb, véges kémiai potenciálnál is elvégezni. Látni, fogjuk, hogy a kémiai potenciál változtatásával a transzverzális vezetőképesség kvantumosan változik, ún Hall-platók jönnek létre, ez a kvantum Hall-effektus (QHE). Az effektus legfontosabb kérdése ezeknek a platóknak a távolsága, elhelyezkedése. A kvantáltság topológikus okokra vezethető vissza, így ebben az esetben a momentumszórást elhanyagolom. Felmerül a kérdés, hogy mutat-e QHE-t a rétegfelbontott vezetőképesség és ha igen, akkor a platók hogyan helyezkednek el. A vezetőképesség xy-komponense a mintában x-irányban létrehozott elektromos térerősségnek az y-irányú áramsűrűségre adott válaszfüggvénye. Ezt más néven Hallvezetőképességnek is nevezzük Hasonlóan a longitudinális esethez az 1 Reσxy (q, ω) = − ImΠR (5.1) xy (q, ω) ω összefüggés

segítségével áram-áram korrelációs függvény számolására vezethető vissza. A Πxy (q = 0, iνn ) = XZ LL β~ 0 dτ eiνn τ hTτ jx (τ ) jy (0)i (5.2) hőmérsékleti áram-áram korrelációs függvényben lévő összegzés ebben az esetben a mágneses tér jelenléte miatt nem a momentumra, hanem a Landau-nívókra történik, amikhez kapcsolodó kvantumszámokat a továbbiakban LL-lel jelölöm. Egy kétpont korrelációs függvény felírható a mátrixelemek és propagátorok segítségével is: Πxy (q = 0, iνn ) = X 1 hLL | jx | LL0 i hLL0 | jy | LLi GLL (iωm ) GLL0 (iωm + iνn ) , β~ LL,LL0 ,iω m (5.3) 32 ahol 1 iωm − LL~−µ GLL (iωm ) = (5.4) a hőmérsékleti Green függvény, LL a Landau-nívók energiája, µ a kémiai potenciál. A Z GLL (iωm ) = dω 0 ρLL (ω) 2π iωm − ω (5.5) spektrális felbontás segítségével az áram-áram korrelációs függvény X Z dω 0 Z dω 00 1 Πxy (q = 0, iνn ) = hLL | jx | LL0 i hLL0

| jy | LLi × β~ LL,LL0 ,iω 2π 2π m × 0 ρLL (ω ) ρLL0 (ω 00 ) , iωm − ω 0 iωm + iνn − ω 00 ahol (5.6)   eLL − µ ρLL (ω) = 2πδ ω − } (5.7) a spektrálfüggvény. A Matsubara-összegzést és a frekvencia integrálokat elvégezve a 1 X nF Πxy (q = 0, iνn ) = ~ LL,LL0 LL −µ }
iνn + − nF LL0 −µ
} LL −LL0 ~ hLL | jx | LL0 i hLL0 | jy | LLi (5.8) alakot kapjuk. A retardált korrelációs függvény analitikus folytatással és képzetes rész képzéssel állítható elő, majd a lim ε0+ 1 ω+ LL −LL0 ~ + iε =P 1 ω+ LL −LL0 ~   LL − LL0 − iπδ ω + ~ (5.9) összefüggés felhasználásúval1 ΠR xy (q = 0, iνn ) = 1 X n eF (LL ) − n eF (LL0 ) P Im hLL | jx | LL0 i hLL0 | jy LLi , LL −LL0 ~ LL,LL0 ω+ ~ (5.10) ahol 1 1 n eF (x) = − nF 2  x−µ ~  1 = tanh 2  x−µ ~ a hLL | jx | LL0 i hLL0 | jy | LLi mátrixelemek szorzat tisztán képzetes 33  (5.11) a

Fermi-függvény 0-ra centrált alakja. Felhasználva, hogy a mátrixelemek szorzata antiszimmetrikus, az egyenáramú Hall-vezetőképesség σxy X 1 1 = − lim ~ ω0 LL,LL0 2ω 1 1 P LL −LL0 ~ +ω − P LL −LL0 ~ 0 −ω ! × × [e nF (LL ) − n eF (LL0 )] Im hLL | jx | LL i hLL0 | jy | LLi . A főérték kizárja az azonos energiájú nívókra történő összegzést, így 1 X n eF (LL ) − n eF (LL0 ) σxy = − Im hLL | jx | LL0 i hLL0 | jy | LLi .
2  − LL LL0 ~ LL6=LL0 (5.12) (5.13) ~ Tovább alakítva megkapható az egyenáramú transzverzális vezetőképesség egy jól ismert alakja: σxy = X LL ahol Ω (LL) =~Im (5.14) n eF (LL ) Ω (LL) , X hLL | jy | LL0 i hLL0 | jx | LLi − (x ↔ y) (LL − LL0 )2 LL0 (6=LL) (5.15) a Berry-fázis egy e2 /h szorzófaktortól eltekintve[27]. Később látni fogjuk, hogy ezek adják meg a Landau-nívóknál a vezetőképesség ugrások nagyságát. Rétegfelbontott eset A σlE ,x;lj ,y

rétegfelbontott Hall-vezetőképesség a minta lE . rétegében létrehozott x-irányú elektromos térerősséget és az ezáltal létrejövő lj . rétegben létrejövő y-irányú áramsűrűséget kapcsolja össze. Ha ezt szeretnénk meghatározni, akkor a rétegfelbontott áramsűrűség-operátorokból kell kiszámolnunk a ΩlE ,lj (LL) =~Im X LL jlj ,y LL0 hLL0 | jlE ,x | LLi − (lE , x ↔ lj , y) (LL − LL0 )2 LL0 (6=LL) mennyiséget. 5.1 (5.16) QHE egyrétegű grafénban Egyrétegű grafén kvázirészecskéinek sajátenergiái és sajátállapotai mágneses tér jelenlétében: l,α √ = αV l 0 = 0   1 α |l − 1i |l, αii = √ |li 2   0 |0ii = , |0i 34 l ≥ 1, α = ±1 (5.17) valamint az áramsűrűség-operátorok: jx = −evF σx , (5.18) jy = −evF σy Vezessük be a j̃x = − jx = σx , evF Ω̃ (LL) = j̃y = − X jy σy = ievF i LL j̃y LL0 ˜LL = LL , V LL0 j̃x LL − (x ↔ y) (˜LL − ˜LL0 )2 LL0 (6=LL)

(5.19) jelöléseket, melyek segítségével Ω (LL) = gc ~e2 vF2 2e2 Ω̃ (LL) = Ω̃ (LL) . V2 h (5.20) Szükségünk van az áramsűrűség-operátorok mátrixelemeire. Az x-komponenshez tartózók: αδl0 ,l−1, + α0 δl0 ,l+1 2 αδl,1 0i = √ 2 hl, α j̃x l0 , α0 i = hl, α j̃x αδl,1 h0 j̃x l, αi = √ 2 h0 j̃x 0i = 0, (5.21) míg az y-komponenshez tartozók: −αδl0 ,l−1, + α0 δl0 ,l+1 2 −αδl,1 0i = √ 2 hl, α j̃y l0 , α0 i = hl, α j̃y αδl,1 h0 j̃y l, αi = √ 2 h0 j̃y 0i = 0. (5.22) Ezeknek a felhasználásával meghatározhatjuk a Ω̃ (LL) számlálójában megjelenő kifejezéseket: hl, α j̃y l0 , α0 i δl0 ,l+1 − δl0 ,l−1 2 1, αi − (x ↔ y) = −1 hl0 , α0 j̃x l, αi − (x ↔ y) = h1, α j̃y 0i h0 j̃y 1, α0 i h0 j̃x h1, α0 j̃x 0i − (x ↔ y) = 1 (5.23) Ezek adják a kiválasztási szabályokat, melyek a következőek: |l, αii ← |l ± 1, α0 ii l ≥ 2; α, α0 = ±1 |1, αii ← |0ii α =

±1 35 (5.24) Most már meghatározhatjuk a különböző Landau-nívókhoz tartozó Ω̃-kat: " X hl, α j̃y l + 1, α0 i hl + 1, α0 j̃x l, αi − (x ↔ y) Ω̃ (l, α) = + (˜l,α − ˜l+1,α0 )2 α0 # hl, α j̃y l − 1, α0 i hl − 1, α0 j̃x l, αi − (x ↔ y) + = (˜l,α − ˜l−1,α0 )2   X 1 1  =   √ 2 −  √ 2  = 2 √ √ α0 2 α l − α0 l + 1 2 α l − α0 l − 1 Ω̃ (1, α) = X h1, α j̃y 2, α0 i α0 h1, α j̃y 0i + = X α0 Ω̃ (0) = 1 (˜1,α − ˜0 )2 + = 1 =2 √
2 − (α − 0)2 2 α − α0 2 X h0 j̃y 1, α0 i X α0 (˜1,α − ˜2,α0 )2 h0 j̃x 1, αi − (x ↔ y) α0 = h2, α0 j̃x 1, αi − (x ↔ y) 1 = 2. (0 − α0 )2 h1, α0 j̃x 0i − (x ↔ y) (˜0 − ˜1,α0 )2 (5.25a) (5.25b) = (5.25c) Ezeket az (5.15) összefüggésbe beírva kapjuk, hogy σxy = 4e2 X n eF (eLL ) . h LL (5.26) Grafén esetében, Hall-vezetőképesség mérésnél nem a mágneses

teret, hanem a kémiai potenciált szokás változtatni2 , így érdemes ennek függvényében felírni a transzverzális vezetőképességet: 2 σxy (µ) = 4e h "    # X 1 l,α − µ 1 0 − µ tanh + tanh , 2 2kB T 2 2kB T l≥1,α (5.27) mely az 5.1 ábrán látható Ha csak a platókra vagyunk kíváncsiak zérus hőmérsékleten, akkor a jól ismert   4e2 1 σxy = n+ (5.28) h 2 2 a grafén minta alatt elhelyezkedő vezetőre kapcsolt kapufeszültség segítségével 36 σxy 4e2 /h µ √ ∼ B 5.1 ábra Egyrétegű grafén Hall-vezetőképessége A platók távolsága minden esetben 4e2 /h. összefüggést kapjuk. Látható, hogy a transzverzális vezetőképesség ugrásszerűen változik, ez a kvantum Hall-effektus A feles eltolás miatt azonban eltér a hagyományos kétdimenziós elektrongázban tapasztalttól3 , ezért grafénban a QHE anomális A vezetőképesség-kvantum ebben az esetben 4e2 /h, a spin és völgy  √mely 4-es√faktora l + 1

− l , ahol B = 1 T mágdegeneráció következménye. A platók távolsága V neses tér esetében V ≈ kB · 420 K, ezáltal a jelenség már szobahőmérsékleten is megfigyelhető, azonban a távolság az l növelésével csökken. A számolás során a Zeeman- felhasadást nem vettük figyelembe, mivel kis felhasadást hoz létre: gµB B ≈ kB · 1.5 K 5.2 QHE kétrétegű grafénban alacsony energiákon Kétrétegű grafén kvázirészecskéinek sajátenergiái és sajátállapotai mágneses tér jelenlétében:   p 1 α |l − 2i l,α = αW l (l − 1) |l, αii = √ l ≥ 2, α = ±1 |li 2   0 l = 0 |lii = , l = 0, 1 (5.29) |li valamint az áramsűrűség-operátorok: r   2W 0 a , jx = −e a† 0 m Vezessük be a r   jx m 0 a j̃x = − = , a† 0 e 2W 3 jy = −ie jy j̃y = − ie kétdimenziós elektrongázban σxy = 2e2 n/h 37 r r 2W m m = 2W   0 −a a† 0 0 −a a† 0   , (5.30) . ˜LL = LL , W Ω̃ (LL) = X LL j̃y

LL0 LL0 j̃x LL − (x ↔ y) (˜LL − ˜LL0 )2 LL0 (6=LL) (5.31) jelöléseket, melyek segítségével 2gc ~ 8e2 Ω̃ (LL) = Ω̃ (LL) . (5.32) mW h Szükségünk van az áramsűrűség-operátorok mátrixelemeire. Az x-komponenshez tarΩ (LL) = tózók: √ √ α l0 δl−1,l0 , + α0 l0 − 1δl,l0 −1 hl, α j̃x l , α i = 2 √ α l0 δl−1,10 √ hl, α j̃x l0 i = 2 míg az y-komponenshez tartozók: √ √ −α l0 δl−1,l0 , + α0 l0 − 1δl,l0 −1 0 0 hl, α j̃y l , α i = 2 √ −α l0 δl−1,10 √ hl, α j̃y l0 i = 2 0 0 hl j̃x √ α0 l0 − 1δl,l0 −1 √ l ,α i = 2 0 0 hl j̃x l0 i = 0, hl j̃y (5.33) √ α0 l0 − 1δl,l0 −1 √ l ,α i = 2 0 0 hl j̃y l0 i = 0. (5.34) Ezeknek a felhasználásával meghatározhatjuk a Ω̃ (LL) számlálójában megjelenő kifejezéseket: hl, α j̃y l0 , α0 i h2, α j̃y 1i h1 j̃y 2, α0 i lδl0 ,l+1 − (l − 1) δl0 ,l−1 2 2, αi − (x ↔ y) = −1 hl0 , α0 j̃x l, αi − (x

↔ y) = h1 j̃x h2, α0 j̃x 1i − (x ↔ y) = 1 (5.35) Ezek adják a kiválasztási szabályokat, melyek: |l, αii ← |l ± 1, α0 ii l ≥ 3; α, α0 = ±1 |2, αii ← |1ii α = ±1 Most már meghatározhatjuk a különböző Landau-nívókhoz tartozó Ω̃-kat: " X hl, α j̃y l + 1, α0 i hl + 1, α0 j̃x l, αi − (x ↔ y) Ω̃ (l, α) = + (˜l,α − ˜l+1,α0 )2 α0 # hl, α j̃y l − 1, α0 i hl − 1, α0 j̃x l, αi − (x ↔ y) + = (˜l,α − ˜l−1,α0 )2  X l =   p 2 − p α0 2 α l (l − 1) − α0 (l + 1) l  l−1  1 −  p 2  = p 2 2 α l (l − 1) − α0 (l − 1) (l − 2) 38 (5.36) (5.37a) σxy 4e2 /h µ ∼B 5.2 ábra Kétrétegű grafén Hall-vezetőképessége A platót távolsága 4e2 /h, eltekintve a Dirac-pontnál lévő 8e2 /h ugrástól. Ω̃ (2, α) = X h2, α j̃y 3, α0 i α0 h2, α j̃y 1i + = X α0 Ω̃ (1) = 2 h1 j̃x 2, αi − (x ↔ y) X 1 h2, α0 j̃x 1i − (x ↔ y) (˜1

− ˜2,α0 )2 √
2 = 1 0 − α0 2 Ω̃ (0) = 0 + = 1 1 √
2 − √
2 = 2 2 α 2 − α0 6 α 2−0 √ X h1 j̃y 2, α0 i α0 (˜2,α − ˜3,α0 )2 (˜2,α − ˜1 )2 α0 = h3, α0 j̃x 1, αi − (x ↔ y) (5.37b) = (5.37c) (5.37d) Az (5.15) formula segítségével az egyrétegű grafénhez hasonló eredményt kapunk: σxy = 4e2 X n eF (eLL ) , h LL (5.38) de a Landau-nívók helye természetesen különbözik. A kémiai potenciál függvényében: "    # 4e2 X 1 l,α − µ −µ tanh + tanh , (5.39) σxy (µ) = h l≥2,α 2 2kB T 2kB T mely az 5.2 ábrán látható Ha szintén csak a platók érdekelnek minket, akkor zérus hőmérsékleten ez az összefüggés tovább egyszerűsíthető: σxy = 4e2 n, h 39 (5.40) ahol n zérustól különböző egész szám. A vezetőképesség ugrás ebben az esetben is 4e2 /h, de a zérus vezetőképességű állapot itt is hiányzik, ott az ugrás 8e2 /h. Ez annak köszönhető, hogy a zérus

energiájú nívó kétszeres degeneranciával rendelkezik a többi állapothoz képest. A  kétrétegű grafén is anomális kvantum Hall-effektust mutat. p p A platók távolsága W l (l − 1) − (l − 1) (l − 2) , ahol B = 1 T mágneses tér esetén W ≈ kB · 40 K, ezáltal a jelenség csak nagyon nagy mágneses térben figyelhető meg szobahőmérsékleten. Érdemes megjegyezni távolság az l növelésével 1-hez tart Az alacsony energiás közelítés miatt az (5.38) összefüggés ennek a számolásnak a nyomán csak azokra a nívókra érvényes, melyekre LL  t⊥ , de a későbbiekben látni fogjuk, hogy általánosan is igaz. Rétegfelbontott eset Mint már a longitudinális vezetőképesség vizsgálatánál láttuk, alacsony energiás közelítésben a rétegfelbontott áramoperátorok: 1 j1,x = j2,x = jx . 2 (5.41) Bármely σlE ,x;lj ,y Hall-vezetőképességet vizsgálva a mátrixelemeken keresztül az előző számoláshoz képest összességében egy 14

-es szorzófaktort kapunk, így σlE ,x;lj ,y = e2 n, h (5.42) ahol n zérustól különböző egész szám. Az ugrások elemi vezetőképesség-kvantum nagyságúak, kivétel a zérus energiájú állapot kétszeres degeneranciája miatti 2e2 /h ugrást. Tehát ha a kétrétegű grafén alsó rétegéhez kontaktusokat kapcsolunk és Hallvezetőképességet mérünk, akkor nem az egyrétegű grafénban tapasztalt QHE-t kapjuk vissza, hanem a kétrétegű grafén QHE-sát negyed akkora lépcsőkkel. Ennek oka ebben ez esetben is a másik csatolt réteg jelenléte. 40 5.3 QHE kétrétegű grafénban 4×4-es formalizmusban Kétrétegű grafén kvázirészecskéinek sajátenergiái és sajátállapotai mágneses tér jelenlétében 4×4-es formalizmusban:   |l, α, βii =   l,α,β = V λl,α,β   |0, +, βii =   0,+,β = V λ0,+,β   |0, −, +ii =   0,−,+ = 0   |0, −, −ii =   0,−,− = 0  Al,α,β |li

Bl+1,α,β |l + 1i   Cl−1,α,β |l − 1i  Dl,α,β |li  A0,+,β |0i B1,+,β |1i    0 D0,+,β |0i  0 B1,−,+ |1i    0 D0,−,+ |0i  0 B0,−,− |0i  ,  0 0 l ≥ 1; α, β = ± β=± (5.43) ahol a különböző együtthatók megtalálhatóak az A. Függelékben Az áramsűrűségoperátorok: jx = −evF Vezessük be a  0  jx 1 = j̃x = −  0 evF 0 1 0 0 0 Ω̃ (LL) =  σx 0 0 σx 0 0 0 1   0 0 −1 0 0   jy 0  1 0 0 0 j̃ = − =  1  y 0 0 0 −1 ievF 0 0 0 1 0 X  jy = −evF , LL j̃y LL0  σy 0 0 σy  .    ˜LL = LL = λLL  V LL0 j̃x LL − (x ↔ y) (˜LL − ˜LL0 )2 LL0 (6=LL) jelöléseket, melyek segítségével Ω (LL) = (5.44) gc ~e2 vF2 2e2 Ω̃ (LL) = Ω̃ (LL) . V2 h (5.45) (5.46) Az áramoperátor-mátrixelemek: hl, α, β j̃x l0 , α0 , β 0 i = (Al,α,β Bl,α0 ,β 0 + Cl−1,α,β Dl−1,α0 ,β 0 ) δl−1,l0 + (Al+1,α0 ,β 0

Bl+1,α,β + Cl,α0 ,β 0 Dl,α,β ) δl+1,l0 hl, α, β j̃y l0 , α0 , β 0 i = − (Al,α,β Bl,α0 ,β 0 + Cl−1,α,β Dl−1,α0 ,β 0 ) δl−1,l0 + (Al+1,α0 ,β 0 Bl+1,α,β + Cl,α0 ,β 0 Dl,α,β ) δl+1,l0 , 41 (5.47) (5.48) melyek felhasználásával meghatározhatjuk a Ω̃ (LL) számlálójában megjelenő kifejezést: hl, α, β j̃y l0 , α0 , β 0 i hl0 , α0 , β 0 j̃x l, α, βi − (x ↔ y) = = 2 (Al+1,α0 ,β 0 Bl+1,α,β + Cl,α0 ,β 0 Dl,α,β )2 δl+1,l0 −2 (Al,α,β Bl,α0 ,β 0 + Cl−1,α,β Dl−1,α0 ,β 0 )2 δl−1,l0 . (5.49) A kiválasztási szabályok: |l, α, βii ← |l ± 1, α0 , β 0 ii l ≥ 2; α, β, α0 , β 0 = ± |1, α, βii ← |2, α0 , β 0 ii , |0, +, β 0 ii , |0, −, +ii α, β, α0 , β 0 = ± |0, +, βii ← |1, α0 , β 0 ii , |0, −, −ii β, α0 , β 0 = ± |0, −, +ii ← |1, α0 , β 0 ii α0 , β 0 = ± |0, −, −ii ← |0, +, β 0 ii β0 = ± A különböző Landau-nívókhoz tartozó Ω̃-k:

" X 2 (Al+1,α0 ,β 0 Bl+1,α,β + Cl,α0 ,β 0 Dl,α,β )2 − Ω̃ (l, α, β) = 2 0 ,β 0 ) (˜  −  ˜ l,α,β l+1,α 0 0 α ,β # 2 (Al,α,β Bl,α0 ,β 0 + Cl−1,α,β Dl−1,α0 ,β 0 )2 − =2 (˜l,α,β − ˜l−1,α0 ,β 0 )2 Ω̃ (1, α, β) = − − Ω̃ (0, +, β) = − Ω̃ (0, −, +) = (5.50) (5.51a) X 2 (A2,α0 ,β 0 B2,α,β + C1,α0 ,β 0 D1,α,β )2 − 2 0 ,β 0 ) (˜  −  ˜ 1,α,β 2,α 0 0 α ,β X 2 (A1,α,β B1,+,β 0 + C0,+,β 0 D0,α,β )2 − 2 0) (˜  −  ˜ 1,α,β 0,+,β 0 β 2 (A1,α,β B1,−,+ + C0,α,β D0,−,+ )2 =2 (˜1,α,β − ˜0,−,+ )2 (5.51b) X 2 (A1,α0 ,β 0 B1,+,β + C0,α0 ,β 0 D0,+,β )2 − 2 0 ,β 0 ) (˜  −  ˜ 0,+,β 1,α 0 0 α ,β 2 (A0,+,β B0,−,− )2 =2 (˜0,+,β − ˜0,−,− )2 (5.51c) X 2 (A1,α0 ,β 0 B1,−,+ + C0,α0 ,β 0 D0,−,+ )2 2 =4− 2 1 + r2 (˜0,−,+ − ˜1,α0 ,β 0 ) α0 ,β 0 Ω̃ (0, −, −) = X 2 (A0,+,β 0 B0,−,− )2 β0 (˜0,−,− −

˜0,+,β 0 ) 42 2 = 2 , 1 + r2 (5.51d) (5.51e) ahol r = t⊥ /V . Mivel a |0, −, +ii és a |0, −, 0ii állapot is nullenergiás, ezért (5.52) Ω̃ (0, −, +) + Ω̃ (0, −, −) = 4 összefüggés adódik, melynek felhasználásával a Hall-vezetőképesség szintén σxy = 4e2 X n eF (eLL ) h LL (5.53) alakú. A kémiai potenciál függvényében: "   X    # l,α,β − µ 1 0,+,β − µ −µ 4e2 X 1 tanh + tanh + tanh . σxy (µ) = h l≥1,α,β 2 2kB T 2 2kB T 2kB T β (5.54) Látható, hogy nem csak az alacsony energiás Landau-nívókhoz tartozik 4e2 /h vezetőképesség ugrás, hanem a t⊥ -nél kezdődő külső sávokhoz is. Rétegfelbontott eset A 4×4-es rétegfelbontott áramsűrűség-operátorok:    σx 0 j1,x = −evF j2,x = −evF 0 0    σy 0 j1,y = −evF j2,x = −evF 0 0 0 0 0 σx 0 0 0 σy   . (5.55) Hasonlóan az előző esethez kiszámíthatóak a különböző Landau-nívókhoz tartozó Ω̃-k: ! 1 1 1+α p

l ≥ 1; α, β = ± Ω̃1,1 (l, α, β) = 2,2 2 r2 r4 + 2 (2l + 1) r2 + 1 ! 1 1 Ω̃1,2 (l, α, β) = 1−α p l ≥ 1; α, β = ± 2,1 2 r2 r4 + 2 (2l + 1) r2 + 1   1 1 Ω̃1,1 (0, +, β) = 1+ 4 β=± 2,2 2 r + r2   1 1 Ω̃1,2 (0, +, β) = 1− 4 β=± 2,1 2 r + r2 1 Ω̃1,1 (0, −, +) + Ω̃1,1 (0, −, −) = 1 + 2 2,2 2,2 r +1 2 r Ω̃1,2 (0, −, +) + Ω̃1,2 (0, −, −) = 2 , (5.56) 2,1 2,1 r +1 √ ahol r = t⊥ /V ∼ 1/ B. Rétegfelbontott esetben a vezetőképesség kvantáltsága eltűnik, az ugrások nagysága r-rel vátozik. Ezen kívül l-től is függ, így a platók távolsága sem állandó. Ez azért lehetséges, mert rétegfelbontott esetben ΩlE ,lj (LL) 43 már nem a teljes Berry-fázis, így ennek már nem kell kvantált értéket felvennie. Az r ∞ határátmenetben azonban: 1 2 1 Ω̃lE ,lj (0, +, β) = 2 Ω̃lE ,lj (0, −, +) + Ω̃lE ,lj (0, −, −) = 1, Ω̃lE ,lj (l, α, β) = l ≥ 1; α, β = ± β=± (5.57) az ugrások

ismét kvantáltak. Ez nem meglepő, ez a határeset az előző szakaszban vizsgált alacsony energiás közelítésnek felel meg, hiszen r ∼ t⊥ /. 44 6. fejezet Összefoglalás Dolgozatomat az egy-, két- és többrétegű grafén leírásáank áttekintésével kezdtem. Meghatároztam az egyrétegű grafén energiaspektrumát szoros kötésű közelítésben, majd felírtam a félig töltés közelében érvényes Dirac-egyenletet Kiszámoltam a Dirac-fermionok gerjesztési spektrumát, a mágneses térben létrejövő Landau-nívókat. Megkaptam a kétrétegű grafén alacsony energiájú kvázirészecskéinek effektív 2×2es Hamilton-operátorát, mely Schrödinger-szerű, de egyben királis szimmetriával is bír. Általános 4×4-es mátrixformalizmusban is meghatároztam a kétrétegű grafén Hamilton-operátorát, a sajátenergiákat és a sajátállapotokat. Megvizsgáltam a többrétegű grafén alacsony energiájú állapotait is Meghatároztam az

áramsűrűség-operátorokat, majd kiszámoltam a rétegfelbontott áramoperátorokat is. A vezetés vizsgálatát a longitudinális vezetőképeséggel kezdtem. Meghatároztam az egy-, két- és háromrétegű grafén minimális, univerzális vezetőképességét, melyek rendre: 4e2 /πh, 8e2 /πh és 12e2 /πh Rétegfelbontott esetben kétrétegű grafénban 2e2 /πh kaptam, ami az egyrétegű eredmény fele. A hátomrétegű grafén rétegfelbontott vezetőképessége bizonyos esetektől eltekintve már nem univerzális, függ momentumszórás nagyságától. Megvizsgáltam a QHE egy- és kétrétegű grafénban is. Egyrétegű esetben a platók félegész kvantálással bírnak, távolságuk 4e2 /h. Két réteg esetében is különleges a QHE, melyet 4e2 /h kvantálás jellemez, de zérus kémiai potenciálnál 8e2 /h ugrással rendelkezik. Ezt meghatároztam a teljes sávszerkezet és egy alacsony energiás effektív leírásával használatával is Megvizsgáltam a

rétegfelbontott Hall-vezetőképességet Az alacsonyos energiás leírás alacsony energiákon kvantált vezetőképességet jósol kétrétegű grafénban. A platók távolsága e2 /h-ra csökken, a teljes eset negyedére, de a kétrétegű grafénra jellemző kétszeres ugrás megmarad zérus kémiai potenciálnál. A teljes leírás mágneses tér függő vezetőképességet jósol, de gyenge mágneses tér esetén visszakapjuk az alacsony energiákon tapasztalt kvantált platókat. Ma még nincsenek rétegfelbontott vezetőképességre vonatkozó mérések, a rétegfüggő kontaktálás megvalósítása még nem kivitelezhető. Elképzelhető azonban egy 45 úgy felkontaktált minta, mely a kontaktusoknál egyrétegű, de az ezek között elhelyezkedő részét több réteg alkotja. Valószínűleg ez egy jó kísérleti megvalósítása lehet a rétegfelbontott transzport méréseknek. 46 Irodalomjegyzék [1] K. S Novoselov, A K Geim, S V Morozov, D Jiang, Y Zhang, S. V

Dubonos, I V Grigorieva, and A A Firsov Electric field effect in atomically thin carbon films. Science, 306:666, 2004 [2] N. D Mermin and H Wagner Absence of ferromagnetism or antiferromagnetism in one- or two-dimensional isotropic Heisenberg models Phys Rev Lett, 17:1133, 1966. [3] D. C Elias, R V Gorbachev, A S Mayorov, S V Morozov, A A Zhukov, P. Blake, L A Ponomarenko, I V Grigorieva, K S Novoselov, F Guinea, and A K Geim Dirac cones reshaped by interaction effects in suspended graphene. Nat Phys, 7:701, 2011 [4] A. H Castro Neto, F Guinea, N M R Peres, K S Novoselov, and A. K Geim The electronic properties of graphene Rev Mod Phys, 81:109, 2009. [5] M. I Katsnelson, K S Novoselov, and A K Geim Chiral tunnelling and the Klein paradox in graphene. Nat Phys, 2:620, 2006 [6] Gy. Dávid and J Cserti General theory of Zitterbewegung Phys Rev B, 81:121417, 2010. [7] K. S Novoselov, Z Jiang, Y Zhang, S V Morozov, H L Stormer, U. Zeitler, J C Maan, G S Boebinger, P Kim, and A K Geim

Room-temperature quantum Hall effect in graphene. Science, 315:1379, 2007 [8] K. S Novoselov, E McCann, S V Morozov, V I Fal’ko, M I Katsnelson, U Zeitler, D Jiang, F Schedin, and A K Geim Unconventional quantum Hall effect and Berry’s phase of 2π in bilayer graphene Nat Phys, 2:177, 2006. [9] E. McCann and V I Fal’ko Landau-Level degeneracy and Quantum Hall Effect in a graphite bilayer. Phys Rev Lett, 96:086805, 2006 47 [10] E. V Castro, K S Novoselov, S V Morozov, N M R Peres, J M B. Lopes dos Santos, J Nilsson, F Guinea, A K Geim, and A H Castro Neto. Biased bilayer graphene: Semiconductor with a gap tunable by the electric field effect. Phys Rev Lett, 99:216802, 2007 [11] J. Nilsson, A H Castro-Neto, F Guinea, and N M R Peres Electronic properties of bilayer and multilayer graphene Phys Rev B, 78:045405, 2008. [12] M. Nakamura, L Hirasawa, and K-I Imura Quantum Hall effect in bilayer and multilayer graphene with finite Fermi energy Phys Rev B, 78:033403, 2008. [13] P. R

Wallace The band theory of graphite Phys Rev, 71:622, 1947 [14] B. Dóra, K Ziegler, P Thalmeier, and M Nakamura Rabi oscillations in Landau-quantized graphene. Phys Rev Lett, 102:036803, 2009 [15] E.T Jaynes and FW Cummings Comparison of quantum and semiclassical radiation theories with application to the beam maser. Proceedings of the IEEE, 51:89, 1963. [16] B. W Shore Sir Peter Knight and the Jaynes–Cummings model Journal of Modern Optics, 54:2009, 2007. [17] J. Sólyom A modern szilárdtest-fizika alapjai II ELTE Eötvös Kiadó, 2010 [18] M. Nakamura Transport properties in layered graphenes (kézirat) [19] J. Cserti Derivation of the effective Hamiltonian of bilayer graphene (kézirat) [20] B. Partoens and F M Peeters From graphene to graphite: Electronic structure around the k point. Phys Rev B, 74:075404, 2006 [21] M. Koshino and T Ando Orbital diamagnetism in multilayer graphe- nes: Systematic study with the effective mass approximation. Phys Rev B, 76:085425, 2007. [22]

T. Wakutsu, M Nakamura, and B Dóra Layer-resolved conductivities in multilayer graphene. Phys Rev B, 85:033403, 2012 [23] J. Cserti Minimal longitudinal dc conductivity of perfect bilayer graphene Phys. Rev B, 75:033405, 2007 48 [24] A. A Abrikosov, L P Gor’kov, and I E Dzyaloshinski Methods of Quantum Field Theory in Statistical Physics. Dover Books on Physics, 1963 [25] H. Bruus and K Flensberg Many-Body Quantum Theory in Condensed Matter Physics: An Introduction. Oxford University Press, 2004 [26] J. Tworzydło, B Trauzettel, M Titov, A Rycerz, and C W J Beenakker Sub-poissonian shot noise in graphene Phys Rev Lett, 96:246802, 2006. [27] D. Xiao, M-C Chang, and Q Niu Berry phase effects on electronic properties Rev Mod Phys, 82:1959, 2010 49 A. Függelék Landau-nívók grafénben A.1 Egyrétegű grafén Landau-nívói A grafén kvázirészecskéinek Hamilton-operátora mágneses tér jelenlétében:   0 a H=V , (A.1) a† 0 √ ahol V = vF 2e~B a csatolás az

egyrétegű grafén két alrácsa között. A stacionárius megoldásokat a      0 a ψA ψA V = a† 0 ψB ψB (A.2) Schrödinger-egyenletből kaphatjuk meg,  ψA ψB   ∞  X Am |mi = Bm |mi (A.3) m=0 alakú megoldásokat feltételezve, ahol |mi a harmonikus oszcillátor sajátállapotai be- töltési szám reprezentációban. A próbafüggvényt beírva   P∞  P∞   P∞  √ B V m |m − 1i A  |mi B V a |mi m m m m=1 m=0 m=0 √ P∞ = P∞ = P∞ = † m + 1 |m + 1i m=0 Bm  |mi m=0 Am V a |mi m=0 Am V  P∞  √ Bm+1 V m + 1 |mi m=0 P √ = , (A.4) ∞ m |mi m=1 Am−1 V amiből az √ m+1 √ Bm  = Am−1 V m m≥0 Am  = Bm+1 V m≥1 B0  = 0 egyenleteket kapjuk. Az (A5c) kétféleképpen teljesülhet: 50 (A.5a) (A.5b) (A.5c) 1.  = 0, ebben az esetben a zérus energiához tartzó megoldást kapjuk Az (A5a) és (A.5b) egyenletekből egyértelműen következnek az együtthatók: Am = 0 m≥0 Bm = 0 m≥1 B0 6= 0 2. B0 = 0, ekkor az

(A5a) és (A5b) egyenleteket tovább alakítva: √ Am 2 = Bm+1 V  m + 1 m≥0 Am 2 = Am V 2 (m + 1)   Am 2 − V 2 (m + 1) = 0 (A.6a) (A.6b) (A.6c) (A.7a) (A.7b) (A.7c) Az (A.7c) szintén kétféleképpen teljesülhet: (a) Am = 0, de ebben az esetben ellentmondásra jutunk, mivel a sajátállapot zérus: Am = 0 m≥0 Bm = 0 m≥1 B0 = 0 (A.8a) (A.8b) (A.8c) (b) 2 − V 2 (m + 1) = 0, amiből a sajátenergiák: 2 − V 2 (m + 1) = 0 2 = V 2 (m + 1) √  = ±V m + 1 m≥0 (A.9a) (A.9b) (A.9c) A sajátenergiákat indexelhetjük egységesen, válasszuk ki az l. sajátenergiát: √  = ±V l l≥0 (A.10) Ezt (A.7b)-ba visszaírva kapjuk, hogy Am V 2 l = Am V 2 (m + 1) ( Am (m + 1 − l) = 0. 6= 0 m = l − 1 Amiből Am és ennek segítségével az (A.5b) egyenletből = 0 m 6= l − 1 ( αAl−1 m = l Bm = . A sajátállapotnak teljesítenie kell a 0 m 6= l Z |ψ|2 dA = 1 51 (A.11a) (A.11b) (A.12) normáltsági összefüggést, amiből az együtthatókra a

∞ X m=0
|Am |2 + |Bm |2 = 1 (A.13) egyenletet róhatjuk ki. Ezek segítségével a sajátenergiák a l,α = αV √ l l ≥ 1, α = ±1 0 = 0, míg a hullámfüggvények a   1 α |l − 1i |l, αii = √ |li 2   0 |0ii = . |0i l ≥ 1, α = ±1 (A.14a) (A.14b) (A.15a) (A.15b) alakban írhatók. A.2 Kétrétegű grafén Landau-nívói Mágneses tér jelenlétében a kétrétegű grafén Hamilton-operátora:   0 Va 0 t⊥  V a† 0 0 0  . H=  0 0 0 Va  t⊥ 0 V a† 0 Az egyszerűbb számolás kedvéért vezessük be az alábbi jelöléseket:   0 a 0 r  †  e = H =  a 0 0 0 , H  0 0 0 a  V r 0 a† 0 e = λψ sajátérték egyenletet ahol r = t⊥ /V . Oldjuk meg a Hψ   Am |mi ∞ X  Bm |mi    ψ=  Cm |mi  m=0 Dm |mi 52 (A.16) (A.17) (A.18) alakú megoldásokat  P∞ m=0 Am |mi P∞  Bm |mi  Pm=0 ∞  m=0 Cm |mi P∞ m=0 Dm |mi feltételzve.   P∞  

=     =    =   P∞ Bm a |mi + D r |mi m m=0 P∞  Am a† |mi = Pm=0 ∞  D a |mi m m=0 P∞ P∞ † m=0 Am r |mi + m=0 Cm a |mi  P P∞ √ − 1i + ∞ m m |m√ m=0 Dm r |mi m=1 B P ∞  m=0 Am m = P √ + 1 |m + 1i ∞  m |m − 1i D m m=1 √ P∞ P∞ m=0 Am r |mi + m=0 Cm m + 1 |m + 1i  √ P∞ P∞ m + 1 |mi + D r |mi m m=0 m=0 Bm+1 P∞ √  m |mi A m−1 m=1  , (A.19a) √ P∞  D m + 1 |mi m+1 m=0 P∞ P∞ √ m=0 Am r |mi + m=1 Cm−1 m |mi m=0 melyből az alábbi egyenletrendszert kapjuk: √ Bm+1 m + 1 + Dm r = Am λ √ Am−1 m = Bm λ √ m≥0 m≥1 (A.20b) m≥0 (A.20d) 0 = B0 λ Dm+1 m + 1 = Cm λ √ Am r + Cm−1 m = Dm λ (A.20a) m≥1 A0 r = D 0 λ (A.20c) (A.20e) (A.20f) Vizsgáljunk meg két esetet: 1. λ = 0 esetben tovább egyszerűsödik az egyenletrendszer √ Bm+1 m + 1 + Dm r = 0 √ Am−1 m = 0 √ Dm+1 m + 1 = 0 √ Am r + Cm−1 m = 0 m≥0 m≥1 m≥0 m≥1

A0 r = 0, (A.21a) (A.21b) (A.21c) (A.21d) (A.21e) melyből az alábbi megoldásokat kapjuk: Am = 0 m≥0 Bm = 0 m≥2 Cm = 0 m≥0 Dm = 0 m≥1 (A.22a) (A.22b) (A.22c) (A.22d) B1 + rD0 = 0 (A.22e) B0 6= 0 (A.22f) 53 2. λ 6= 0 esetben a megoldások: √ m+1 Bm+1 = Am λ B0 = 0 √ m+1 Cm = Dm+1 λ λr Dm = 2 Am λ −m m≥0 (A.23a) (A.23b) m≥0 (A.23c) m≥0 (A.23d) m ≥ 0, (A.24) Ezeket az (A.20a) egyenletbe beírva kapjuk, hogy m+1 λr2 Am + 2 Am − λAm = 0 λ λ −m amiből
  Am λ4 − 2m + 1 + r2 λ2 + m (m + 1) = 0 m≥0 (A.25) (a) Am = 0, ebben az esetben a teljes hullámfüggvény zérus lesz, ami ellentmondás. (b) λ4 − (2m + 1 + r2 ) λ2 + m (m + 1) = 0, amiből s p 2m + 1 + r2 + α r4 + 2 (2m + 1) r2 + 1 λm,α,β = β , 2 (A.26) ahol, α, β = ±1. Válasszuk ki az l. sajátenergiát és írjuk vissza az (A25) egyenletbe: ( Am (m − l) = 0 (A.27) l,α,β = V λl,α,β , (A.28) (√ l+1 Al m = l + 1 6= 0 m = l λl

Amiből Am és ennek segítségével Bm = , Cm = =0 m= 6 l 0 m= 6 l+1 (√ ( λl r lr A m=l A m = l − 1 2 l λ2l −l l λl −l és Dm = . Összefoglalva, a sajátenergiák: 0 m 6= l 0 m 6= l − 1 54 míg a normált sajátállapotok: l,α,β = V λl,α,β 0,+,β = V λ0,+,β Dl,α,β B1,−,+ D0,−,+ B1,−,−  |0, +, βii =     |0, −, −ii =   ahol Cl−1,α,β   |0, −, +ii =   0,−,− = 0 Bl+1,α,β  |l, α, βii =    0,−,+ = 0 Al,α,β   Al,α,β |li Bl+1,α,β |l + 1i   Cl−1,α,β |l − 1i  Dl,α,β |li  A0,+,β |0i B1,+,β |1i    0 D0,+,β |0i  0 B1,−,+ |1i    0 D0,−,+ |0i  0 B0,−,− |0i    0 0
#− 1 λ2l,α,β + l r2 2 l+1 + = 1+ 2
2 λl,α,β λ2l,α,β − l √ l+1 = Al,α,β λl,α,β √ lr = Al,α,β 2 λl,α,β − l λl,α,β r = Al,α,β 2 λl,α,β − l r =√ 1 + r2 1 = −√ 1 + r2 =1 " l ≥ 1; α, β = ±

(A.29a) β=± (A.29b) (A.29c) (A.29d) l ≥ 0; α, β = ± (A.30a) l ≥ 0; α, β = ± (A.30b) l ≥ 1; α, β = ± (A.30c) l ≥ 0; α, β = ± (A.30d) (A.30e) (A.30f) (A.30g) és λl,α,β = β s 2l + 1 + r2 + α 55 p r4 + 2 (2l + 1) r2 + 1 . 2 (A.31) B. Függelék Alacsony energiás közelítés A kétrétegű grafénhez elektronjainak Hamilton-operátorát írjuk fel az alábbi alakban: B2 A2 B1  0 0 0 v F p−  0 0 vF p+ 0   H=  0 vF p− 0 t⊥  vF p+ 0 t⊥ 0  A1 A1 B2 A2 B2 =  H11 H12 H21 H22  (B.1) Ez a fentiek szerint 2×2 blokkmátrix alakban is előáll, ahol H11 = 0, H12 = H21 = vF σp és H22 = t⊥ σx . Ehhez tartozó sajátfüggvény:   ϕ ψ= (B.2) χ A megoldandó sajátérték egyenlet      H11 H12 ϕ ϕ = H21 H22 χ χ (B.3) alakban írható fel, melynek H11 ϕ + H12 χ = ϕ (B.4) H21 ϕ + H22 χ = χ (B.5) egyenletrendszer alakjának második egyenletéből χ-t kifejezve χ = ( − H22

)−1 H21 ϕ kapjuk. Ezt visszaírva az elsőbe a   H11 + H12 ( − H22 )−1 H12 ϕ = ϕ (B.6) (B.7) egyenletethez jutunk. Mivel  −1   1 1   −t⊥  t⊥ −1 ( − H22 ) = = 2 − σx , míg 0, 2 −t⊥   − t⊥ t⊥  t⊥ t⊥ (B.8) 56 alacsony energiás esetben (  t⊥ ) a sajátérték problémánk (B.9) Hϕ = ϕ alakúra egyszerűsödik, ahol v2 1 H = − F (σp) σx (σp) = t⊥ 2m  0 p2− p2+ 0  , (B.10) az alacsony energiás, effektív 2×2-es Hamilton-operátor, amiben m = −t⊥ /2vF2 . Rétegfelbontott eset A kétrétegű grafénhez tartozó Hamilton-operátor kanonikus impulzusban rétegenként jelölt alakját írjuk fel az alábbi módon:  A1 B2 A2 B1  0 0 0 vF p− A1 1   +  0  0 v p B 0 H H (B.11) 2 F 11 12 2  H= = , −  0  A2 vF p2 0 t⊥ H21 H22 + vF p1 0 t⊥ 0 B2     0 p− 0 p− 1 2 ahol H11 = 0, H12 = vF , H21 = vF és H22 = t⊥ σx . Hasonp+ 0 p+ 0 1 2 lóan a Függelék elejében

ismertetett átalakítsokkal az effektív Hamilton-operátor:       − 1 vF2 0 p− 0 p− 0 p− 1 1 p2 2 σx . (B.12) = H=− + + + p+ 0 0 t⊥ p2 0 2m p2 p1 1 57