Mechanical engineering | Drawing » Szabó Ferdinánd - Műszaki ábrázolás I.

Szabó Ferdinánd MŰSZAKI ÁBRÁZOLÁS I. Készült a HEFOP 3.31-P-2004-09-0102/10 pályázat támogatásával Szerző: Szabó Ferdinánd Lektor: Patonai Dénes DLA egyetemi tanár Szabó Ferdinánd, 2006 Műszaki ábrázolás I. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Tartalomjegyzék Vissza ◄ 3 ► A dokumentum használata Mozgás a dokumentumban A dokumentumban való mozgáshoz a Windows és az Adobe Reader megszokott elemeit és módszereit használhatjuk. Minden lap tetején és alján egy navigációs sor található, itt a megfelelő hivatkozásra kattintva ugorhatunk a használati útmutatóra, a tartalomjegyzékre, valamint a tárgymutatóra. A ◄ és a ► nyilakkal az előző és a következő oldalra léphetünk át, míg a Vissza mező az utoljára megnézett oldalra visz vissza bennünket. Pozícionálás a könyvjelzőablak segítségével A bal oldali könyvjelző ablakban tartalomjegyzékfa található, amelynek

bejegyzéseire kattintva az adott fejezet/alfejezet első oldalára jutunk. Az aktuális pozíciónkat a tartalomjegyzékfában kiemelt bejegyzés mutatja. A tartalomjegyzék használata Ugrás megadott helyre a tartalomjegyzék segítségével Kattintsunk a tartalomjegyzék megfelelő pontjára, ezzel az adott fejezet első oldalára jutunk. Keresés a szövegben A dokumentumban való kereséshez használjuk megszokott módon a Szerkesztés menü Keresés parancsát. Az Adobe Reader az adott pozíciótól kezdve keres a szövegben A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 3 ► Műszaki ábrázolás I. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Tartalomjegyzék Vissza ◄ 4 ► Tartalomjegyzék 1. Bevezetés 6 1.1 Az ábrázoló geometria tárgya 6 1.2 A geometria története 6 2. Síkmértani szerkesztések 9 2.1 Szerkesztés vonalzóval 9 2.2 Szerkesztés vonalzóval és körzővel 12 2.3 Boltívek

szerkesztése19 3. Térgeometriai alapfogalmak 24 3.1 Alapvető térelemek 26 3.2 A geometria jelölésrendszere 33 3.3 A térelemek kölcsönös helyzete35 4. Térelemek ábrázolása 51 4.1 Vetítési rendszerek alapvető tulajdonságai 52 4.2 A derékszögű vetítés alapvető tulajdonságai 54 4.3 Leképezés és rekonstrukció60 4.4 Egyértelmű ábrázolási módok 64 5. Monge-féle két képsíkos ábrázolás 67 5.1 A képsíkrendszer67 5.2 Pont ábrázolása 68 5.3 A képsíktengely vizsgálata 74 5.4 Egyenes ábrázolása 75 5.5 Sík ábrázolása 82 5.6 A képsíkrendszer kibővítése87 5.7 Test ábrázolása 90 5.8 A speciális térelemek vizsgálata 93 6. Szerkesztések a Monge-féle rendszerben 102 6.1 Oldalnézeti kép szerkesztése két vetületi képből 102 6.2 Illeszkedési alapfeladatok106 6.3 Metszési alapfeladatok114 6.4 Párhuzamossági feladatok124 6.5 Merőlegességi alapfeladatok 127 A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék

Vissza ◄ 4 ► Műszaki ábrázolás I. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Tartalomjegyzék Vissza ◄ 5 ► 6.6 Térelemek főállásba forgatása 130 6.7 Transzformáció, új vetületi kép szerkesztése142 7. Axonometria 153 7.1 Merőleges (ortogonális) axonometrikus rendszer 155 7.2 Ferdeszögű (klinogonális) axonometrikus rendszer 159 7.3 Ferdeszögű (általános) axonometrikus rendszer 160 8. Kótás projekció163 8.1 A mérőszámos vetítési rendszer 163 8.2 Térelemek ábrázolása 168 8.3 Helyzetgeometriai alapfeladatok189 8.4 Metrikus feladatok 197 8.5 Terep- és rézsűfelületek 220 Irodalomjegyzék .239 A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 5 ► Műszaki ábrázolás I. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Bevezetés Vissza ◄ 6 ► 1. Bevezetés 1.1 Az ábrázoló geometria tárgya A térgeometria vagy ábrázoló geometria tárgya a mértani

alakzatok nagyság, kiterjedés és alak szerinti vizsgálatán túl, azok térben elfoglalt, és egymáshoz viszonyított kölcsönös helyzetének elemzése, ábrázolása Az műszaki ábrázolás első féléves tananyaga építész-, építő-, településés környezetmérnök hallgatókat hivatott bevezetni a műszaki mérnöki látásmódba; a térrel, az épített környezettel foglalkozó szakember műszaki gondolkodásmódját alapozza meg. Ezek mellett elsődleges feladatai közé tartozik a térlátás fejlesztése, és a mérnöki gyakorlatban nélkülözhetetlen rajzolási, szerkesztési készség tökéletesítése. A mérnöki munkára készülő hallgató egyre többet fog tervrajzokkal találkozni, majd munkája során az elsődleges kommunikációs csatornává válik a rajz. A terveket akkor is tudnia kell értelmezni, ha annak tervezője nincs épp mellette, vagy fordítva, olyan rajzokat kell készítenie, melyek személyes jelenléte nélkül is pontosan azt

jelentik, amit ő kigondolt. Végül, de nem utolsó sorban az előző gondolat felveti a kézből kiadott munka külalakjának igényességét, az esztétikai elvárásokat saját munkánkkal szemben. A műszaki ábrázolás rajzfeladatokkal teli tanulása ezt is segít kialakítani. 1.2 A geometria története 1.21 Ókor A nagy folyók – Nílus, Tigris, Eufrátesz, Gangesz – mentén letelepült emberközösségek fokozatosan áttérnek az állattenyésztésről a földművelésre. A földek megművelésére öntöző csatornahálózatokat, lakhelyül állandó településeket hoznak létre A kialakuló birodalmak gócpontjait védelmi rendszerrel veszik körül Nagyarányú temetkezési hely és templomépítkezés folyik Mindeme kultikus és praktikus indítékból készített objektumok számos mérési és számolási problémát vetnek fel Az épületek alaprajzának, az öntözőcsatornák hálózatának kitűzése a földmérők feladata lesz. Így más számolási és

mérési feladatok megoldása mellett az egyiptomiak például 3, 4, 5 egységből álló kötélhurok háromszöggé feszítésével a derékszög pontos kitűzését érik el. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 6 ► Műszaki ábrázolás I. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Bevezetés Vissza ◄ 7 ► 1.1 ábra 3-4-5 egység hosszú oldalakból álló kötélhurok Ugyan ezt a módszert alkalmazzák az indusok is, náluk a háromszög oldalai 5, 12, 13 egység hosszúak. A kaldeusok az égbolton csillagászati megfigyeléseket tesznek, s a gömbháromszögtani számításokkal egyenértékű műveleteket végeznek. Ezen ősi kultúrák mértani ismeretei azonban mindig csak a praktikum igényeit kielégítő ismerethalmaz maradt. Úgyszólván meg sem kísérlik a törvényserűségek általánosítását, elvonatkoztatva a gyakorlati feladatoktól. 1.22 Az ókori görögök Az általánosításra

predesztinált és a tiszta, áttekinthető harmóniára vágyó görög szellem emeli majd ki a konkrétumokkal színezett megfigyelések esetlegesen összeálló sokaságából az általánost, s alkotja meg a logikus gondolkodás segítségével a mértani törvényszerűségek rendszerét, a geometria tudományát. A geosz = föld és metron = mérni szavak már nem a „földmérést” jelentik, hanem egy rendezett tudományt. A geometria első művelői a görög filozófia nagyjai: Thalész, Pythagorasz, Platón. Céljuk a világegyetem harmóniájának megragadása, amit a számok birodalmának megismerésével és ismereteik rendszerezésével vélnek elérni. Úgy gondolják például, hogy a világegyetem végső „építőkövei” alakjukat tekintve szabályos mértani testek Az első ránk maradt rendszerezett geometriai munka Euklidesz (i. e III. sz) Stoiheiája (Elemek) Ez egyben iskolapéldája a tudományos munkának: a tapasztalatból leszűrt általános ismeretek

helyességét logikai úton is ellenőrzi. A geometriát Euklidesz axiomatikusan építi fel, ami azt jelenti, hogy a szemléletből azokat a legegyszerűbb fogalmakat és magától értető- A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 7 ► Műszaki ábrázolás I. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Bevezetés Vissza ◄ 8 ► dő igazságokat ragadja ki, s teszi meg rendszere sarokköveinek, melyek a közvetlen szemlélet alapján magától értetődőek, s melyeknél egyszerűbbek már nem találhatók; így igazságuk a belátáson alapul, s csak önmagukkal bizonyíthatók. Az axiómákhoz posztulátumokat és definíciókat csatol, s ezekre emeli rendszerét. 1.23 A középkor A görögök filozófiából kibontakozó geometriája elsősorban a mértani alakzatok logikai úton megragadható tulajdonságait, nagyságát, kiterjedését, alakját vizsgáló metrikus geometria. Az ókori Róma építésze (M

Vitruvius Pollio); a reneszánsz festői, építészei (Piero della Francesca, Leone Battista Alberti, Leonardo da Vinci, Albrecht Dürer) a látás útján közelítik meg az euklideszi geometria tárgykörét, s igyekeznek rendszerezni a geometriai ábrázolás tapasztalt törvényszerűségeit. Kutatásaikat elsősorban művészi törekvéseik függvényeként végezték, s ez határt szabott megismerésüknek Mindamellett tevékenységük a helyzet- vagy projektív geometria kiindulópontjává lett Gerard Desargues a festők perspektívájából kiindulva a centrális projekciót alkalmazza geometriai alakzatokra. Leibnitz a helyzetgeometria alapjait tárgyalja egyik kis írásában. Végül Gaspard Monge „Geometrie descriptive” (1798) c. munkájában lefekteti az egységes geometriai ábrázolás alapjait, s ezzel megteremti a térgeometria tudományát A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 8 ► Műszaki ábrázolás I. A

dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Síkmértani szerkesztések Vissza ◄ 9 ► 2. Síkmértani szerkesztések 2.1 Szerkesztés vonalzóval A síkmértani szerkesztések legegyszerűbb esetei a csak vonalzóval végzett szerkesztések. Ehhez be kell gyakorolni a vonalzók használatát 2.11 Merőleges szerkesztése Merőlegest vonalzóval két módszerrel – csúsztatással és forgatással – tudunk készíteni. Merőleges szerkesztése P ponton keresztül csúsztatással • A meglévő egyeneshez illesztjük a háromszögvonalzó egyik befogóját. • A másik háromszögvonalzóval megtámasztjuk az első vonalzónkat. • A megtámasztott háromszögvonalzót addig csúsztatjuk, amíg a P ponton keresztül meghúzhatjuk a merőlegest a másik befogó mentén. 2.1 ábra Merőleges szerkesztés a vonalzó csúsztatásával Merőleges szerkesztése P ponton keresztül forgatással • A meglévő egyeneshez illesztjük a háromszögvonalzó

átfogóját. • A másik vonalzóval megtámasztjuk a vonalzónkat. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 9 ► Műszaki ábrázolás I. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Síkmértani szerkesztések Vissza ◄ 10 ► • A megtámasztott háromszögvonalzót a másik befogóra átfordítjuk – a derékszögű csúcsa körül – és P ponton keresztül megrajzoljuk a merőleges egyenest. 2.2 ábra Merőleges szerkesztés a vonalzó fordításával 2.12 Szakasz egyenlő részekre osztása AB szakasz n egyenlő részre osztása (a rajzon 6 egyenlő részre): • Az AB szakasz A pontjához segédegyenest rajzolunk. • A segédegyenesre körzővel felmérünk n egyenlő részt (rajzon 6 egyenlő részt). • Az AB szakasz B végpontját összekötjük a segédegyenes utolsó (hatodik) pontjával. • Párhuzamosokat rajzolunk az összekötő egyenessel úgy, hogy azok átmenjenek a segédegyenesre felmért

osztáspontokon. A párhuzamosok kijelölik az AB szakaszon az osztáspontokat A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 10 ► Műszaki ábrázolás I. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Síkmértani szerkesztések Vissza ◄ 11 ► 2.3 ábra Szakasz egyenlő részekre osztása 2.13 Szakasz arányos részekre osztása Egy szakasz tetszőleges arányban való felosztására szolgál az arányos részekre osztás eljárása. A 24 ábrán 3 : 5 arányú osztás látható • Az AB szakasz A és B pontján keresztül egymással párhuzamos félegyeneseket rajzolunk úgy, hogy azok a szakasz ellentétes oldalaira essenek. • Tetszőleges – észszerű – egységhossz kiválasztása. • Az A pont félegyenesére három egységet felmérünk a kiválasztott egységből, a B pont félegyenesére öt egységet felmérünk a kiválasztott egységből. • Az A pont félegyenesének végpontját összekötjük a B

pont félegyenesének végpontjával. Az összekötő egyenes kimetszi az AB szakaszból a keresett C pontot 2.4 ábra Szakasz felosztása adott arányban A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 11 ► Műszaki ábrázolás I. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Síkmértani szerkesztések Vissza ◄ 12 ► 2.2 Szerkesztés vonalzóval és körzővel 2.21 Merőleges szerkesztése Szakaszfelező merőleges szerkesztése • Az AB szakasz végpontjaiból a szakasz felénél nagyobb R távolsággal egymást metsző körívet rajzolunk a szakasz mind a két oldalára. • A metszéspontokat összekötjük. Az összekötő egyenes merőleges az AB szakaszra, valamint az egyenes kimetszi az AB szakaszból a szakaszfelező F pontot. 2.5 ábra Szakaszfelező merőleges szerkesztése Merőleges szerkesztése adott egyenesre, az egyenes pontján át • Az egyenes P pontjából R1 sugárral kijelöljük az A és B

pontot. • Az AB szakasz végpontjaiból a szakasz felénél nagyobb R távolsággal egymást metsző köríveket rajzolunk a szakasz egyik oldalára. • A metszéspontot összekötjük a P ponttal. Az így meghúzott egyenes merőleges az AB szakaszra, és ezáltal az egyenesre is. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 12 ► Műszaki ábrázolás I. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Síkmértani szerkesztések Vissza ◄ 13 ► 2.6 ábra Merőleges állítása adott egyenesre, az egyenes pontján át Merőleges szerkesztése adott egyenesre, az egyenesen kívül eső pontból • A P pontból R1 sugárral kijelöljük az A és a B pontot, • Az egyenesből így kimetszett AB szakasz végpontjaiból a szakasz felénél nagyobb R2 távolsággal egymást metsző köríveket rajzolunk (a szerkesztés pontosabb, ha a szakasz P ponttal ellentétes oldalára húzzuk a körívet). • A metszéspontot

összekötjük a P ponttal. Az így meghúzott egyenes merőleges az AB szakaszra, és ezáltal az egyenesre is. 2.7 ábra Merőleges szerkesztése adott egyenesre, az egyenesre nem illeszkedő pontból A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 13 ► Műszaki ábrázolás I. Síkmértani szerkesztések A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 14 ► 2.22 Szögek felezése A szerkesztés menete: • A 2.8 ábrán az O pontból körzőzve tetszőleges R1 sugárral a szögszárakból kimetsszük az A és B pontot • Az A és B pontból R2 sugárral egymást metsző köríveket rajzolunk. • A metszéspontot összekötjük az O ponttal. Ez az egyenes a szög felezőegyenese 2.8 ábra Szögfelező szerkesztése 2.23 A körív hossza A gyakorlatban gyakran van szükség a körívek hosszának meghatározására. Ez közelítő módszerekkel lehetséges, azonban a gyakorlatban ez elegendő Körív

közelítő hosszának megállapítása szerkesztéssel • Adott R sugarú kör A és B ívpontjaival. Az A és B ívpontok C felezőpontjához tartozó átmérőt meghosszabbítva felveszünk egy segédegyenest • C ponton keresztül érintőt rajzolunk a körhöz. • C ponttól háromszor felmérjük a segédegyenesre az R sugarat. Ez az egyenesből kimetszi a D pontot. • D és A, valamint D és B ponton keresztül egyeneseket rajzolunk, amelyek metszik az érintőt az A’ és B’ pontban. • Az A’B’ szakasz közelítőleg az A és B pont közötti ív hosszát adja. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 14 ► Műszaki ábrázolás I. Síkmértani szerkesztések A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 15 ► 2.9 ábra Körív hossza Félkörív közelítő hosszának megállapítása szerkesztéssel • Az R sugarú félkör A és B végpontjaival adott. A B pontba érintő egyenest

rajzolunk. • A BO sugárhoz húzott 30°-os szög szögszárával kimetsszük az érintő egyenesből a C pontot. • C ponttól háromszor felmérjük az R sugarat az érintőre, így kapjuk a D pontot. • A DA távolság közelítőleg az Rπ távolságot adja. 2.10 ábra Félkörív hossza A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 15 ► Műszaki ábrázolás I. Síkmértani szerkesztések A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 16 ► 2.24 Sokszögek szerkesztése Szabályos ötszög szerkesztése adott sugarú körbe • Vegyük fel a kört középpontjával és tengelyeivel (2.11 ábra) • Az OB szakasz megfelezésével az F pontot kapjuk. • Az FC szakasszal körívet rajzolunk és kijelöljük a vízszintes tengelyen a G pontot. • Az így kapott CG szakasszal, amely az ötszög oldala, kijelöljük a köríven az ötszög pontjait és megrajzoljuk az ötszög oldalait. 2.11 ábra

Szabályos ötszög Szabályos hatszög szerkesztése • Vegyük fel a kört középpontjával és tengelyeivel (2.12 ábra) • A kör sugarát hatszor mérjük fel a kör kerületén. • a csúcspontokat összekötve megkapjuk a hatszöget. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 16 ► Műszaki ábrázolás I. Síkmértani szerkesztések A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 17 ► 2.12 ábra Szabályos hatszög Szabályos hétszög szerkesztése • Adott R sugárral kört rajzolunk és megrajzoljuk a tengelyeit. • A C pontból R sugárral ívet rajzolunk, amely kijelöli a körön az E és G pontot. • Az EG szakaszt megfelezve kapjuk az F pontot. A hétszög oldalhoszsza az EF szakasz lesz • Kijelöljük a köríven a hétszög csúcsait és meghúzzuk az oldalakat. 2.13 ábra Szabályos hétszög A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 17 ►

Műszaki ábrázolás I. Síkmértani szerkesztések A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 18 ► Szabályos nyolcszög szerkesztése • Adott R sugárral kört rajzolunk és megrajzoljuk a tengelyeit. • Rajzoljuk meg a tengelyek szögfelező egyeneseit, azaz forgassuk el a tengelyeket az O pont körül 45°-kal. • A tengelyek és a kör metszéspontjai meghatározzák a szabályos nyolcszöget. 2.14 ábra Szabályos nyolcszög Szabályos sokszög szerkesztése általános módszerrel • Adott R sugárral kört rajzolunk és megrajzoljuk a tengelyeit. • A vízszintes középvonalat hosszabbítsuk meg az A és B pontok után. • A kör átmérőjét vegyük körzőnyílásba, és a D pontból rajzoljunk körívet úgy, hogy metssze el a vízszintes középvonalat. • A függőleges átmérőt osszuk annyi egyenlő részre, ahány oldalú sokszöget szeretnénk rajzolni (a 2.12 pontban leírtak szerint) A 215 ábrán 11 oldalú

sokszög látható • A függőleges átmérőn jelöljük ki a páratlan számú osztópontokat. Húzzunk egyeneseket az E pontból a kijelölt pontokon keresztül úgy, hogy az átmérő túloldalán a kört elmetsszék. • A F pontból ismételjük meg az előző műveletet. • Ezek az egyenesek az ábrán is látható módon meghatározzák a sokszög csúcsait a körön. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 18 ► Műszaki ábrázolás I. Síkmértani szerkesztések A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 19 ► 2.15 ábra Szabályos sokszög szerkesztése általános módszerrel 2.3 Boltívek szerkesztése A boltíveket a nyílásköz szélessége és a boltív magassága jellemzi. A nyílásköz szélességét rajzainkon l, a magasságát m betűvel jelöljük 2.31 Félköríves boltív Félkörboltívnek nevezzük a nyílásköz távolságának felével rajzolt boltívet (2.16 ábra) A

boltív magassága ebben az esetben megegyezik a sugárral, vagyis a boltív nyílásközének felével 2.16 ábra Félkörboltív A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 19 ► Műszaki ábrázolás I. Síkmértani szerkesztések A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 20 ► 2.32 Adott magasságú köríves boltív • Vegyük fel a nyílásközt, a boltív tengelyét és magasságát. • A boltöv csúcsát az A ponttal összekötjük, majd ezt a szakaszt megfelezzük. • A szakaszfelező merőleges és a tengely metszése lesz az ív O középpontja. • Megrajzolhatjuk az ívet az OA = OB sugárral. 2.17 ábra Körívboltív 2.33 Tudoríves boltív A Tudorívet két egymásba simuló körívvel rajzoljuk. A magassága kisebb, mint a normál csúcsív. A szerkesztés menete: • A nyílásköz harmadolásával kijelöljük az O1 és O2 pontot. • O1 és O2 pontból R1 = 1/3 l sugárral

köröket húzunk (a körök keresztülmennek az A, B ponton). • O1 és O2 pontból függőlegest húzva kijelöljük a köríveken az O3 és O4 pontot. • Az O1 és O4 pontot, valamint az O2 és O3 pontot összekötő egyenes kijelöli a körívek csatlakozási pontját. • O3 és O4 pontból az R2 sugárral íveket húzunk, melyek kijelölik a csúcsív hiányzó részeit. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 20 ► Műszaki ábrázolás I. Síkmértani szerkesztések A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 21 ► 2.18 ábra Tudoríves boltív 2.34 Körcikkíves boltív Körcikkboltívnek nevezzük a nyílásköz l szélességével, mint sugárral rajzolt boltívet. A szerkesztés menete: • Megszerkesztjük a nyílásközt, és a felezőtengelyét. • A boltív A, B két szélső pontjából húzott l sugarú körívekkel kimetszszük az O pontot. • A nyílásköz távolságával

megrajzoljuk a boltívet. 2.19 ábra Körcikkíves boltív A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 21 ► Műszaki ábrázolás I. Síkmértani szerkesztések A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 22 ► 2.35 Normál csúcsív A normál csúcsívnek a nyílásközzel, mint sugárral megrajzolt ívekkel kialakított csúcsívet nevezzük. A nyílásköz A, B pontjából R = l sugárral íveket húzunk. Az ívek kijelölik a csúcsívet 2.20 ábra Normál csúcsív 2.36 Emelt csúcsív Az emelt csúcsívet a nyílásköznél nagyobb sugárral készítjük. A sugár általában a nyílásköz harmadával növelt A nyílásköz A, B pontjain keresztül húzott egyenesen kijelölt O1 és O2 pontokból R = (1 + 1/3) • l sugárral íveket húzunk. Az ívek kijelölik a csúcsívet 2.21 ábra Emelt csúcsív A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 22 ►

Műszaki ábrázolás I. Síkmértani szerkesztések A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 23 ► 2.37 Nyomott csúcsív A nyílásközt négy részre osztjuk, ezáltal az O1 és O2 pontot kapjuk. Az R = ¾ • l sugárral íveket húzunk a pontokból, melyek kijelölik a csúcsívet. 2.22 ábra Nyomott csúcsív 2.38 Szamárhátíves boltív • A nyílásköz felezőpontjára 60°-os szögeket szerkesztünk. Ezek az A és B pontokba húzott függőlegesekből kimetszik az O1 és O2 pontokat. • Az ívek középpontjai az A, a B, az O1 és az O2 pontok lesznek. Az ívek sugara R = l / 2. Az ívek áthajlási pontja a 60°-os egyeneseken van, a boltív legmagasabb pontja az O1O2 szakasz felezőpontja. 2.23 ábra Szamárhátíves boltív A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 23 ► Műszaki ábrázolás I. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Térgeometriai

alapfogalmak Vissza ◄ 24 ► 3. Térgeometriai alapfogalmak Környezetünket alakok, tárgyak népesítik be. Valamennyinek van valamilyen formája A természet és az ember alkotta tárgyak formavilága rendkívül változatos; a legszövevényesebb, már-már minden szerkezeti összefüggést elrejtő szabadformáktól kezdve, a világosan konstruált mértani formákig meglepő gazdagságot árulnak el. E formákat görbe vagy síklapok határolják. Ezek összemetsződnek, adják a tárgyak éleit, melyek találkozási pontjait csúcsoknak mondjuk. A pontnál egyszerűbb formaképző elem nincs. Megkíséreljük tehát belőle felépíteni geometriai formakincsünk világát Egy mérnök, ha lerajzolja az általa tervezett épületet, járművet, gépalkatrészt vagy műtárgyat, akkor úgy kell ezt megtennie, hogy azt mások is értelmezni tudják. Ez persze azokra vonatkozik, akik szintén megtanulták a tervrajzok „olvasását”. Kötött például az épületek

alaprajzának tartalma, méretaránya, jelölései vagy a gépalkatrészek terveinek úgynevezett félnézet-félmetszet ábrázolása. 3.1 ábra Gépalkatrészek félnézet-félmetszet ábrázolása Ezek a kötött szabályok mind a történetben említett Monge nevéhez fűződő geometriából indulnak ki, melyet a Monge-féle két képsíkos ábrázolásnak nevezünk. A képsík tulajdonképpen nem más, mint egy képzeletbeli, általában vízszintes vagy függőleges metszete az általunk ábrázolni kívánt tárgynak. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 24 ► Műszaki ábrázolás I. Térgeometriai alapfogalmak A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 25 ► 3.2 ábra A műszaki ábrázolás elve A vízszintes metszet az épületeknél a gyakorlatban alaprajz, az elméletben felülnézet lesz, a függőleges metszetet a gyakorlatban metszetnek vagy homlokzatnak, míg az elméletben elöl-

vagy oldalnézetnek nevezzük. Ismerünk olyan ábrázolási módokat is, melyek inkább a látványtervek létrehozására valók, ritkábban bár, de használjuk a műszaki gyakorlatban. Ilyenek az axonometria és a perspektíva. Megint más szabályai vannak a térképek létrehozásának, ahol ugyebár csak felülnézetet rajzolunk, és ezen az egy vetületen kell visszaadni a valóságot. Mindezt ráadásul úgy, hogy a térképek akár országnyi, vagy kontinensnyi területeket ábrázolnak, ami felveti a geoid forma síklapra való leképezésének problémáját. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 25 ► Műszaki ábrázolás I. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Térgeometriai alapfogalmak Vissza ◄ 26 ► 3.1 Alapvető térelemek Ebben a fejezetben olyan alapvető fogalmakkal kell megismerkedni, melyek az ábrázoló geometria törzsét alkotják, és ismeretük elengedhetetlen a

továbblépéshez. Először megismerkedünk a geometria formáinak alapvető építőelemeivel, úgy mint pont, vonal, lap, majd a mértani testek osztályozása után megvizsgáljuk több térelem egymáshoz viszonyított helyzetét. 3.11 A pont A pontot a geometriában térbeli helymegjelölésnek, helykitűzésnek tekinthetjük. Egy pontnak nincs mérete, tehát semmilyen kiterjedését nem értelmezünk, nulladimenziós elem A pontot leginkább egy Descartes-féle x, y, z tengelyű, derékszögű koordináta rendszer koordináta-hármasaként lehet értelmezni. A pontokat általában nagybetűkkel vagy számokkal szokás elnevezni: A, B, C, , P, Q, R, , 1, 2, 3, Természetesen a rajzeszközökkel nem lehet méret nélküli pontot ábrázolni, hiszen minden ceruza, toll bizonyos vastagságú nyomot hagy, de ennek méretétől eltekintünk, és a pontot kiterjedés nélkülinek fogjuk fel. A pont lehetséges rajzjelei: nullkör: szálkereszt: kereszt: 3.12 A vonal A vonalat a

pont folyamatos mozgatásával kapott térelemként értelmezzük. A vonalakat alapvetően két részre oszthatjuk: • egyenes vonalak, • görbe vonalak E jegyzetben főleg az egyenes vonalakkal, azaz egyenesekkel foglalkozunk. Egyenesnek nevezzük azt a vonalat, melynek két tetszőleges pontját kiválasztva, az egyikből a másikba mutató vektor hatásvonala mindig azonos. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 26 ► Műszaki ábrázolás I. Térgeometriai alapfogalmak A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 27 ► Egy másik definíció szerint egyeneshez jutunk, ha a folyamatosan mozgatott pont mozgásiránya a pont bármelyik helyzetében megegyezik. Px e P1 P2 P3 i (irányvektor, mozgásirány) P 3.3 ábra Egyenes értelmezése definíció szerint A 3.3 ábrán megadott P pontot mindig ugyan abba az irányba mozgatva az rendre P1, P2, P3, , Px helyzetbe jut, és egyenes vonalú nyomot

hagy maga után. Az egyenest végtelen hosszúnak fogjuk fel Az egyenesnek egy mérhető kiterjedését értelmezzük: a hosszúságát, természetesen a valamilyen rajzeszközzel lerajzolt vonal vastagságától itt is eltekintünk. Így tehát az egyenes egydimenziós elem Az egyenesből mérhető hosszúságot két pont határol ki, ezt szakasznak, egyenesszakasznak hívjuk, a két pont a szakasz végpontja, és elnevezni, leírni is ezek segítségével szokás, például: P2P3 A fentiekből következik a térelemekre vonatkozó első alaptételünk: két ponton át csak egyetlen egyenes húzható. Ez azt is jelenti, hogy egy egyenes számtalan pontja közül két pont elegendő annak felvételéhez. 3.13 A lap Az előzőekkel analóg módon az egyenes vonalat folyamatosan mozgatva laphoz jutunk. A síklapot, vagy síkot a következő definícióval határozhatjuk meg: Adott egy P pont, és egy rajta át nem haladó e egyenes. P-re illeszkedő és e-t M pontban metsző f egyenest

P-ben rögzítve elforgatjuk a pont körül úgy, hogy a két egyenesnek mindig legyen közös pontja M1, M2, M3, , Mx, My, ekkor f egyenes síklapot ír le. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 27 ► Műszaki ábrázolás I. Térgeometriai alapfogalmak A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 28 ► P e f M M1 M2 M3 Mx My 3.4 ábra Sík értelmezése definíció szerint Ha a végtelen hosszúnak tekintett f egyenes legalább fél fordulatot tesz P körül, akkor végtelen síkhoz jutunk. A síknak két mérhető kiterjedése van, a hosszúság és a szélesség, tehát kétdimenziós elem. A síkból mérhető területet legalább három, egymást kölcsönösen, de nem egy pontban metsződő egyenes határol ki. Pl 34 ábrán PM1Mx háromszög. A síkra mondható ki a második alaptétel: három nem egy egyenesen fekvő pont meghatároz egy síkot. Ennek következménye, hogy a sík

végtelen sok pontja közül elegendő három darab a sík meghatározásához, ha ezekre teljesül, hogy nincs olyan egyenes, mely mindegyiket tartalmazza. Az egyenes és a sík kapcsolatára igaz a harmadik alaptétel: ha egy egyenes két pontja illeszkedik egy síkra, akkor az egyenes a síkban fekszik. Ezt úgy is mondjuk, hogy ez az egyenes a sík egyenese, illetve, hogy az egyenes illeszkedik a síkra. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 28 ► Műszaki ábrázolás I. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Térgeometriai alapfogalmak Vissza ◄ 29 ► 3.5 ábra Sík két pontjára illeszkedő egyenes 3.14 A tér A teret eddig is feltételeztük, mint a pont, vonal és lap befoglalóját, de azokhoz hasonló módon felállítható egy származtatás, definíció, mely a teret leírja. Ha egy síkot egy egyenese körül fél fordulattal körbeforgatunk, akkor a végtelen nagyságú térhez jutunk. A

térnek – természetesen – három kiterjedése van: a hosszúság, a szélesség és a mélység (vagy magasság). Mérhető térfogatú térelemet legalább négy egymással kölcsönösen metsződő sík határol ki. 3.6 ábra A tér értelmezése definíció szerint A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 29 ► Műszaki ábrázolás I. Térgeometriai alapfogalmak A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 30 ► 3.15 A síklapú mértani testek A térgeometriának – főként a műszaki tudományok szolgálatában – nem célja a természet összes formájának leírása és vizsgálata. A testek alakja, mérete, elhelyezkedése és térbeli kapcsolatai jól szemléltethetők az előző fejezetekben leírt térelemeken, és a belőlük épített egyszerű formákon. A síklapú testek közül ismerkedjünk meg két jellemző forma a gúla és a hasáb származtatásával! Gúla Megadunk n

oldalú síkpoligont, és rajta kívül fekvő P pontot. Ha P-re illeszkedő e egyenest úgy mozgatjuk, hogy rendre súrolja az adott síkidom oldalait, az visszatérve a kiindulási csúcshoz gúlafelületet határol ki a térből. P-t a gúla csúcsának, e-nek a síkpoligon csúcsaira illeszkedő helyzetét a gúla oldaléleinek, két oldalél közé eső síklapot a gúla oldallapjának nevezzük. Ha e-t meghosszabbítjuk a P-n túl mindkét irányba, akkor a teljes vagy kettős gúlát kapjuk. A teljes gúla a csúcsára középpontosan szimmetrikus Ha a gúlát síkpoligonnal lezárjuk, akkor véges, zárt gúlát kapunk, melynek a sokszög az alaplapja. 3.7 ábra Gúla származtatása Ha a gúla alaplapját szabályos sokszög képezi, de a csúcsot tetszőlegesen tűzzük ki, a ferde gúlák csoportjához jutunk. Míg ha szabályos sokszög alaphoz a gúla csúcsát a sokszög oldalfelező merőlegeseinek metszéspont- A dokumentum használata | Tartalomjegyzék |

Irodalomjegyzék Vissza ◄ 30 ► Műszaki ábrázolás I. Térgeometriai alapfogalmak A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 31 ► jába emelt, és a sokszög síkjára merőleges egyenesen adjuk meg, egyenes gúlát kapunk. 3.8 ábra Ferde és egyenes gúla A legegyszerűbb mértani test és egyben a legspeciálisabb gúla a tetraéder, melyet négy egybevágó háromszög határol. 3.9 ábra Tetraéder Hasáb Adott egy n oldalú síkpoligon és egy egyenes, mely nem a poligon síkjában fekszik. Ha az egyenest a síkpoligon oldalain önmagával párhuzamosan mozgatjuk, akkor az a kiindulási ponthoz visszaérve hasábot határol ki a térből. e-nek a síkpoligon csúcsaira illeszkedő helyzetét a hasáb éleinek, a két oldalél közé eső síklapot a hasáb oldallapjának nevezzük. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 31 ► Műszaki ábrázolás I. Térgeometriai alapfogalmak

A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 32 ► 3.10 ábra Hasáb származtatása Ha két egybevágó síkpoligonnal a hasábot lezárjuk, akkor véges, zárt testhez jutunk, melynek a két sokszög az alap- és fedőlapja lesz. A gúlákéhoz hasonló osztályozást vezethetünk be a hasáboknál is. Ferde hasábot kapuk, ha szabályos sokszög alaphoz az oldalélek tetszőleges α szög alatt hajlanak. Ha az alaplap továbbra is szabályos, de az oldalélek derékszöget zárnak be vele, akkor egyenes hasábról beszélünk 3.11 ábra Ferde és egyenes hasáb A hasábokat alaplapjuk alapján is osztályozhatjuk. A háromszög alapú hasáb, más néven prizma, a téglalap alapú hasáb a téglatest, négyzet alapú A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 32 ► Műszaki ábrázolás I. Térgeometriai alapfogalmak A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 33 ►

hasáb a négyzetes oszlop vagy négyzetes hasáb. Ez utóbbinak speciális esete a kocka (hexaéder), melyet hat egybevágó négyzet határol. 3.12 ábra Prizma és téglatest 3.13 ábra Kocka 3.2 A geometria jelölésrendszere Mielőtt a tényleges térkapcsolatok tárgyalásába kezdenénk fontos tisztázni az ebben a könyvben és általában a térgeometriában alkalmazott jelöléseket. Ezek feladata a térelemek viszonyainak leírása, a szerkesztések és öszszefüggések rövid, világos lejegyzése Pont jelölése a rajzokon nyomtatott nagybetűkkel (P, A, B, M) vagy római illetve arab számokkal (I, II, III, 1, 2, 3) történik. Az egyeneseket A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 33 ► Műszaki ábrázolás I. Térgeometriai alapfogalmak A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 34 ► kisbetűkkel (a, b, e, f, x, y) a síkokat görög nagybetűkkel (Γ, Λ, Π, Σ, Ω), speciális

esetben nyomtatott nagybetűkkel (H, V, P, VS, KS) nevezzük el. A kapcsolatok leírására használt jelek: azonos: egyenlő: párhuzamos: párhuzamos és egyenlő: hasonló: egybevágó: illeszkedik: nem illeszkedik: metsző: kitérő: merőleges: ≡, =, , =, ~, ≈, −•− , • , ×, , ⊥, szakasz (végpontjai A és B): AB, szakasz hossza: |AB|. Térelemek meghatározásakor alkalmazzuk az algebrából is ismert zárójeleket, a következő jelentésekkel: (,) = pont, |,| = egyenes, [,] = sík. Lássunk néhány példát a jelölések használatára, és a kiolvasásukra is: |P, Q| = e Jelentése: A P és a Q pontok meghatározzák e egyenest. (Σ × a) = D Jelentése: A Σ sík és az a egyenes metszéspontja D pont. [e f] = Ω A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 34 ► Műszaki ábrázolás I. Térgeometriai alapfogalmak A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 35 ► Jelentése: e

és f párhuzamos egyenespár meghatározza Ω síkot. E tankönyv saját jelölése, hogy a folyamatos szövegben, és a képletekben a pontok, egyenesek, síkok jelei, elnevezései dőlt betűkkel szerepelnek. 3.3 A térelemek kölcsönös helyzete Az ábrázoló geometriában a térelemek egymáshoz viszonyított helyzetét vizsgálva alapvetően három különböző helyzetet különböztetünk meg. Ezek az illeszkedés (azonosság, egybeesés), a metszés és a kitérő helyzet. A három helyzet definíciója: Két térelemet illeszkedőnek mondunk, ha egyik a másikat teljes terjedelmében tartalmazza. Két térelemet metszőnek hívunk, ha egy új térelemet határoznak meg. Kitérő helyzet csak két egyenes között lehetséges, ilyen esetben a két egyenes különböző irányú, és nincs közös pontjuk. Ki kell emelni a metsző helyzet két speciális esetét. Ha a két metsződő térelem közbezárt szöge 90°, akkor merőlegességről beszélünk, ha a közbezárt

szög 0°, akkor a két térelem párhuzamos egymással. Ilyenkor azt is szoktuk mondani, hogy a végtelenben metszik egymást. Vegyük sorra a lehetséges helyzeteket! 3.31 Illeszkedés Pont-pont, egyenes-egyenes és sík-sík, azaz egynemű térelemek illeszkedését vizsgálva csak annyit kell megállapítani, hogy azonosságról van szó. 3.14 ábra Azonos térelemek A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 35 ► Műszaki ábrázolás I. Térgeometriai alapfogalmak A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 36 ► Ha pont illeszkedik egyenesre, akkor a pontot az egyenes egy pontjának nevezzük, az egyenest a pont tartóegyenesének hívjuk. Egy egyenesre végtelen sok pont illeszthető 3.15 ábra Egyenesre illeszkedő pontok Ha egyenes illeszkedik pontra, akkor az egyenest a pontra fektetett egyenesnek, a pontot az egyenes tartópontjának nevezzük. Egy pontra számtalan sok egyenes sorolható

3.16 ábra Pontra illeszkedő egyenesek Ha pont illeszkedik síkra, akkor a pontot a sík egy pontjának, a síkot a pont tartójának mondjuk. Egy síkra végtelen sok pont illeszthető A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 36 ► Műszaki ábrázolás I. Térgeometriai alapfogalmak A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 37 ► 3.17 ábra Síkra illeszkedő pontok Ha sík illeszkedik pontra, akkor a síkot a pontra fektetett síknak, a pontot a sík tartópontjának hívjuk. Egy pontra végtelen sok sík illeszthető 3.18 ábra Pontra illesztett síkok Ha egyenes illeszkedik síkra, akkor az egyenest a sík egyenesének, a síkot az egyenes tartósíkjának nevezzük. Egy síkra számtalan egyenes fektethető A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 37 ► Műszaki ábrázolás I. Térgeometriai alapfogalmak A dokumentum használata | Tartalomjegyzék |

Irodalomjegyzék Vissza ◄ 38 ► 3.19 ábra Síkra illeszkedő egyenesek Ha egy sík illeszkedik egy egyenesre, akkor a síkot az egyenesre fektetett síknak, az egyenest a sík tartóegyenesének mondjuk. Egy egyenesre számtalan sok sík illeszthető 3.20 ábra Egyenesre illeszkedő síkok A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 38 ► Műszaki ábrázolás I. Térgeometriai alapfogalmak A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 39 ► 3.32 Metszés Metsző helyzetű lehet két egyenes, két sík, illetve egy egyenes és egy sík. Metsző térelemek mindig szöget zárnak be egymással. Két egyenest akkor nevezünk metszőnek, ha irányuk különböző, van közös pontjuk és van közös síkjuk. A közös pontot az egyenesek metszéspontjának, a közös síkot a két egyenes által kifeszített síknak hívjuk A két egyenes hajlásszöge alatt a metszéspontnál kialakuló két szög

közül a kisebbet értjük. A 321-es ábrán látható az a és b egyenes M metszéspontja, az α közbezárt szög és a Σ kifeszített sík. 3.21 ábra Két egyenes metszése Egy egyenest és egy síkot akkor hívunk metszőnek, ha egy közös pontjuk van. A közös pontot az egyenes síkkal alkotott döféspontjának nevezzük Az egyenes és a sík bezárt szögét az egyenesnek a síkon való merőleges vetületével bezárt kisebb szögeként értelmezzük. 3.22 ábra Egyenes és sík metszése (döféspont) A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 39 ► Műszaki ábrázolás I. Térgeometriai alapfogalmak A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 40 ► Két síkot metszőnek mondunk, ha egy közös egyenesük van. Ezt az egyenest a síkok metszésvonalának hívjuk Metsző síkok szöget zárnak be egymással. A hajlásszögüket szintén két egyenes hajlásszögére vezetjük vissza. A két

egyenest úgy kapjuk, hogy felveszünk egy olyan síkot, mely a két sík metszésvonalára, így tehát a két síkra is merőleges, majd meghatározzuk a két eredeti sík új síkkal alkotott metszésvonalait. E két metszésvonal közbezárt szöge lesz a két eredeti sík hajlásszöge A 323-as ábrán a Σ és az Ω az eredeti síkok, ezek metszésvonala m. Az α közbezárt szögüket a Γ segédsík felvételével határozzuk meg A Γ metszésvonalai az eredeti síkokkal a és b 3.23 ábra Síkok metszése A metszés egyik speciális helyzeteként értelmezzük a merőleges helyzetet. Vizsgáljuk meg térelemek merőlegességének kritériumait! Két egyenes merőleges egymásra, ha bezárt szögeik közül bármely két szomszédos szög egyenlő egymással. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 40 ► Műszaki ábrázolás I. Térgeometriai alapfogalmak A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄

41 ► 3.24 ábra Merőleges egyenesek Egy egyenes merőleges egy síkra, ha metszi azt, és a sík legalább két különböző egyenesére merőleges. Ebből következik, hogy ha egy egyenes merőleges egy síkra, akkor annak minden egyenesére merőleges. A 3.25-ös ábrán az látható, hogy ha a piros nyíl mentén elfordítjuk az e egyenest e1 helyzetbe, akkor igaz, hogy lesz a síknak olyan egyenese, melyre e1 merőleges, de biztosan tartalmaz a sík olyan egyenest is, mellyel 90°-tól különböző szöget zár be e1 – ez jelen esetben a b egyenes. Ebben az esetben e1 – természetesen – nem merőleges a síkra 3.25 ábra Síkra merőleges egyenes Két különböző állású sík merőleges egymásra, ha az egyik sík tartalmaz legalább egy darab, a másik síkra merőleges egyenest (e−•−Γ). Ha egy egyenes merőleges egy síkra, akkor a döféspontján át húzott, a síkban fek- A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 41

► Műszaki ábrázolás I. Térgeometriai alapfogalmak A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 42 ► vő egyenessel (a) egy olyan síkot határoz meg, mely az eredeti síkra merőleges [e × a] = Σ. 3.26 ábra Merőleges síkok A metszés másik speciális esete a párhuzamosság. Ebben az esetben a két párhuzamos térelem közbezárt szöge 0°, és vizsgálhatjuk a két térelem távolságát. Két egyenest párhuzamosnak nevezünk, ha irányuk azonos, és van egy közös pontjuk, az egyenesek végtelen távoli metszéspontja. Ezt a pontot iránypontnak hívjuk. Egy párhuzamos egyenespár meghatároz egy síkot a térben. Az iránypontot a következőképpen értelmezzük: legyen adott a 3.27-es ábra szerinti a és b metsző egyenes. Egyiket, pl a-t egy tetszőleges A pontja körül forgatunk Ekkor metszéspontjuk egyre jobban távolodik a kiindulási helyzettől, és rendre B1, B2, B3, , BX lesz Azt a pontot tekintjük az egyenes

I, végtelen távoli iránypontjának, melybe az a egyenes akkor mutat, ha iránya megegyezik a b egyenes irányával, vele párhuzamos. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 42 ► Műszaki ábrázolás I. Térgeometriai alapfogalmak A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 43 ► 3.27 ábra Párhuzamos egyenesek iránypontja Párhuzamos egyenesek fontos tulajdonsága az egymástól való távolság. Ezt a mindkét egyenest metsző és mindkettőre merőleges harmadik egyenes olyan szakaszaként értelmezzük, melynek végpontjai a párhuzamosokkal alkotott metszéspontok. Az egyenesek párhuzamossága definiálható a távolságuk segítségével is, azaz két egyenes párhuzamos, ha minden pontjukban egymástól egyenlő távolságra vannak. Egyenes és sík párhuzamosságáról akkor beszélhetünk, ha az egyenes a végtelenben döfi a síkot, illetve van a síknak legalább egy egyenese, mely az

adott egyenessel párhuzamos. A kettő távolsága az egyenes egy tetszőleges pontjából a síkra állított merőleges azon szakasza, mely az egyenes és a sík közé esik. 3.28 ábra Párhuzamos egyenes és sík A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 43 ► Műszaki ábrázolás I. Térgeometriai alapfogalmak A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 44 ► Két sík párhuzamos egymással, ha azonos állásúak. Ebben az esetben az egyenesek párhuzamosságánál bemutatott irányponthoz hasonló módon értelmezhető a két sík irányvonala. Két sík párhuzamosságát úgy is definiálhatjuk, hogy két sík párhuzamos, ha az egyik tartalmaz olyan metsződő (de nem párhuzamos) egyenespárt, melyek a másik síkkal külön-külön párhuzamosak. Két sík távolságát az előzőekhez hasonlóan a mindkettőre merőleges egyenes két sík közé eső szakaszaként mérjük. Ha két sík

párhuzamos, akkor az egyik sík minden egyenese párhuzamos a másik síkkal, és fordítva. 3.29 ábra Párhuzamos síkok 3.33 Kitérő helyzet Csak két egyenes között beszélhetünk kitérő helyzetről. Ekkor a két egyenes különböző irányú, de nincs közös pontjuk Kitérő egyeneseknek hajlásszögét és távolságát is értelmezzük Hajlásszögüket úgy kapjuk, hogy felveszünk egy olyan egyenest, mely az egyikkel párhuzamos, a másikat metszi. A két metsző egyenes által bezárt szög adja a kitérő egyenesek hajlásszögét Távolságukat a 3.30-as ábra szemlélteti, ahol a és b a kitérő egyenespár, b* a b egyenessel párhuzamos a-t metsző segédegyenes, és Σ az a és a b A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 44 ► Műszaki ábrázolás I. Térgeometriai alapfogalmak A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 45 ► egyenesek által kifeszített sík. Az a és b

egyenesek távolsága alatt a Σ sík és a b egyenes távolságát értjük. 3.30 ábra Kitérő egyenesek 3.34 Új térelemek meghatározása A 3.31-332 fejezetekben láttuk, hogy a térelemek kapcsolataiból új térelemek születnek Összefoglalva nézzük át a különböző lehetséges eseteket! Pontot meghatározó kapcsolatok: Két egymást metsző egyenes, (e × f) = P Metsződő egyenes és sík, (e × Σ) =P Három egymást páronként különböző metszésvonalon metsző sík, (Σ × Γ × Π) = P Egyenest meghatározó kapcsolatok: Két pont, (A, B) = e Két egymást metsző sík, (Σ × Γ) = e Síkot meghatározó kapcsolatok: Három, nem egy egyenesre eső pont, (A, B, C) = Σ Egy egyenes és egy rajta kívül fekvő pont (A • e) = Σ Két egymást metsző egyenes (e × f) = Σ A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 45 ► Műszaki ábrázolás I. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék

Térgeometriai alapfogalmak Vissza ◄ 46 ► Két párhuzamos egyenes (e || f) = Σ, bár ez az előző kategóriába is beletartozik. 3.35 Térelemek speciális kapcsolatai Érdemes megvizsgálni, hogy milyen tételeket lehet levezetni abból, ha két térelem merőlegesen vagy párhuzamosan helyezkedik el a térben. Merőleges térelemek tételei: Egy e egyenes adott E pontjába végtelen sok merőleges egyenes állítható, ezek összessége adja az egyetlen E pontra illeszkedő, e egyenesre merőleges síkot. 3.31 ábra Egyenesre merőleges térelemek Egy e egyenesre egy rajta kívül fekvő P pontból számtalan egyenes húzható merőlegesen, melyek az egyetlen, P pontra illeszkedő, e egyenesre merőleges síkot határozzák meg. Sík adott pontjára egyetlen, a síkra merőleges egyenes állítható. Síkra, egy pontból, mely a síkra nem illeszkedik egyetlen merőleges húzható. Adott egy sík, és egy rá merőleges egyenes. Az egyenesre végtelen sok sík

illeszthető, melyek mind merőlegesek az eredeti síkra. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 46 ► Műszaki ábrázolás I. Térgeometriai alapfogalmak A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 47 ► 3.32 ábra Merőleges síkok összefüggései Egy adott síkra egy rá nem illeszkedő ponton át végtelen sok merőleges sík állítható, melyek metszésvonala a pontból az eredeti síkra állított merőleges egyenes. Adott két egymást metsző sík. Ha a metszésvonalukra merőleges síkot állítunk, akkor ez merőleges lesz a két adott síkra is. Ha három sík páronként merőleges egymásra, akkor metszésvonalaik is merőlegesek egymásra. Adott síkot tetszőleges (derékszögtől eltérő) szögben metsző egyenesen keresztül az adott síkra egyetlen merőleges sík állítható. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 47 ► Műszaki

ábrázolás I. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Térgeometriai alapfogalmak Vissza ◄ 48 ► 3.33 ábra Tetszőleges egyenesre illeszkedő adott síkra merőleges sík Párhuzamos térelemek tételei: Ha két egyenes külön-külön ugyan azzal a harmadik egyenessel párhuzamos, akkor egymással is párhuzamosak. Ha két sík külön-külön ugyan azzal a harmadik síkkal párhuzamos, akkor egymással is párhuzamosak. Ha egy egyenes párhuzamos két sík metszésvonalával, akkor a két síkkal is párhuzamos. Adott egy sík és egy vele párhuzamos egyenes. Az egyenesre illeszkedő síkok az adott síkból párhozamos egyeneseket metszenek ki, melyek az adott egyenessel is párhuzamosak. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 48 ► Műszaki ábrázolás I. Térgeometriai alapfogalmak A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 49 ► 3.34 ábra Párhuzamos

metszésvonalak I Ha két párhuzamos síkot egy harmadik metsz, akkor a metszésvonalak is párhuzamosak egymással. 3.35 ábra Párhuzamos metszésvonalak II A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 49 ► Műszaki ábrázolás I. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Térgeometriai alapfogalmak Vissza ◄ 50 ► Adott egy sík, és rajta kívül egy pont. A ponton át, a síkkal párhuzamosan végtelen sok egyenes húzható, melyek meghatározzák az egyetlen olyan síkot, mely az adott pontra illeszkedik és az adott síkkal párhuzamos. Párhuzamos egyenesekből párhuzamos síkok egyenlő szakaszokat metszenek ki, melyek paralelogrammákat határoznak meg az egyenesekkel. Legyen a és b két kitérő egyenes. Az a pontjaira a b-vel párhuzamosan illesztett egyenesek egy olyan síkot határoznak meg, mely b-vel párhuzamos. Ebből következik, hogy két kitérő egyenesen keresztül mindig fektethető

egyetlen párhuzamos síkpár Párhuzamos és merőleges térelemek tételei Ha két párhuzamos egyenes közül az egyik merőleges egy síkra, akkor a másik is merőleges rá. Ha két egyenes ugyan arra a síkra merőleges, akkor párhuzamosak egymással. Ha két sík merőleges ugyan arra az egyenesre, akkor párhuzamosak egymással. Ha két párhuzamos sík közül az egyik merőleges egy egyenesre, akkor a másik is merőleges rá. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 50 ► Műszaki ábrázolás I. Térelemek ábrázolása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 51 ► 4. Térelemek ábrázolása Az előzőekben megismerkedtünk a tér egy lehetséges, elterjedt és a geometriában is használt felépítésével. A következő lépés a megismert térelemek leképezése rajzi eszközökkel kétdimenziós papírlapokra, melyeket a mérnöki gyakorlatban majd tervrajzoknak hívunk. Síkidomokkal

végzett síkgeometriai szerkesztések nem jelentenek problémát, hiszen pontosan azt lehet lerajzolni, amiről az adott feladat szól, ellenben a térgeometria feladatai „kilógnak” a papírból, márpedig azok megoldását rögzítenünk kell, és a mérnöki munka is a háromdimenziós műtárgyakkal foglalkozik jellemzően. Az erre alkalmas módszer leginkább a következő egyszerű példával szemléltethető: adott egy térbeli alakzat, egy vetítővászon, amelyen az alakzatot ábrázolni szeretnénk és egy fényforrás. A fényforrás és a vászon közé helyezzük a testet, így láthatjuk a papírlapra vetett árnyékát. Ezzel tulajdonképpen a geometriai ábrázolás módszerét, a vetítést, idegen szóval projekciót modelleztük. Egy nagyon fontos fogalomhoz érkeztünk. Ez pedig a geometria hármas egysége Ez a hármas egység a tárgy, a vetítési rendszer és a kép Tárgynak nevezzük azt az alakzatot, testet, testcsoportot, melyről a rajzot készítjük.

Vetítési rendszeren egy olyan szabályhalmazt értünk, mely meghatározza a tárgy egyértelmű leképezését a kétdimenziós képsíkra. Képnek nevezzük azt az ábrát, alakzatot, mely a tárgyról a vetítési szabályok alkalmazásával a képsíkon keletkezik. E három fogalom szorosan összefügg egymással, kettő ismeretében a harmadik meghatározható. A tervrajzok készítése is ezen a logikán alapul, hiszen a tervező „kitalálja” a készítendő, építendő tárgyat, ezt a vetítési rendszer szabályai alapján lerajzolja. Ezt leképezésnek, vetítésnek hívjuk Ezután a gyártó, kivitelező a kezébe veszi a rajzot, és mivel a leképezési szabályokat ő is ismeri, így el tudja készíteni azt a térbeli testet, melyet a kétdimenziós papíron lát. Ezt a folyamatot a geometriában rekonstrukciónak hívjuk Természetesen nem ismerheti mindenki a mérnöki tervek létrehozásainak szabályait. Erre is nyújt megoldást a geometria A tervezett tárgyat

nem csak tervrajzokká, hanem látványtervekké is leképezhetjük, így min- A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 51 ► Műszaki ábrázolás I. Térelemek ábrázolása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 52 ► denkinek bemutathatóvá válik. Ezek a látványtervek viszont kevésbé alkalmasak műszaki információk rögzítésére A harmadik lehetőségre, azaz a kép és a tárgy ismeretében a vetítési rendszer meghatározására általában nincs szükségünk a műszaki életben. A feladatunk a továbbiakban a vetítési rendszer szabályainak, fogalmainak és szerkesztéseinek megismerése, hiszen ezzel alapozható meg a tervrajzok olvasásának, rajzolásának képessége, és a megfelelő térlátás. 4.1 Vetítési rendszerek alapvető tulajdonságai 4.11 A vetítési rendszerek csoportosítása A tárgy és a képsík elhelyezkedése alapján kétféle vetítési rendszert

különböztetünk meg. Az első esetben a vetítési pont (szempont vagy centrum) és a képsík közé helyezzük el a tárgyat. A szempontból vetítősugarat bocsátunk a tárgy pontjaira, és ahol ezek a sugarak eldöfik a képsíkot, ott lesz a tárgy képe. Ezt a típust európai vetítési rendszernek nevezzük, és mind ebben a jegyzetben, mind hazánkban ezt használjuk. A másik típus esetén a tárgyat a képsík mögé helyezzük el, a szemponthoz viszonyítva. A tárgy pontjaiból bocsátjuk a sugarakat a centrumba, és ahol ezek a sugarak eldöfik a képsíkot, ott keletkezik a kép Ezt a felépítést amerikai vetítési rendszernek nevezzük. 4.1 ábra Vetítési rendszerek csoportosítása a tárgy helye szerint A vetítési rendszerek csoportosíthatóak a szempont elhelyezkedése alapján. Az egyik típus a centrális vetítés. Ez azt jelenti, hogy a szempont a végesben helyezkedik el, és ebből, mint közös centrumból húzzuk a vetítősugarakat Ez a

módszer a perspektív látványtervek rajzolására lesz alkalmas A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 52 ► Műszaki ábrázolás I. Térelemek ábrázolása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 53 ► 4.2 ábra Centrális vetítés A másik módszer esetén a szempontot „kitoljuk” a végtelenbe, így a vetítősugarak párhuzamosak lesznek egymással. Ezt paralel projekciónak, azaz párhuzamos vetítésnek hívjuk. Ezt a rendszert tovább vizsgálhatjuk a vetítősugarak és a képsík bezárt szöge szerint Amennyiben ez a szög hegyesszög, akkor ferde-párhuzamos vetítésről (klinogonális-paralel projekció), míg ha derékszög, akkor merőleges-párhuzamos vetítésről (ortogonálisparalel projekció) beszélünk. 4.3 ábra Merőleges vetítés párhuzamos vetítősugarakkal A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 53 ► Műszaki

ábrázolás I. Térelemek ábrázolása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 54 ► A továbbiakban a ferde vetítéssel nem foglalkozunk, hiszen az ábrázoló geometriában nem alkalmazzuk a vetítésből adódó torzítások végett. 4.2 A derékszögű vetítés alapvető tulajdonságai Egy nagyon fontos fejezethez érkeztünk, melyben nagyon sok tulajdonság és szabály kerül tisztázásra. 4.21 Pont merőleges vetülete A ponton keresztül egyenest állítunk adott képsíkra merőlegesen. Az egyenes döféspontját a képsíkon a pont e síkon való merőleges vetületének nevezzük. A térbeli pontot általában tárgypontnak, a ráillesztett merőleges egyenest a pont vetítősugarának, a síkot, melyre a pontot leképeztük képsíknak, a vetítősugár képsíkon való döféspontját a pont képének, vetületének nevezzük. A P pont képét P’ (ejtsd: pé vessző) jelöléssel szokás elnevezni. A képsíkokat

általában speciális helyzetűnek választjuk, ha vízszintesnek tekintjük, akkor a fölötte elhelyezkedő pontot pozitív, az alatta elhelyezkedőt negatív helyzetűnek értelmezzük. A pont és a pont képe által határolt egyenes szakaszt a pont képsíktól mért távolságának, röviden képsíktávolságának (|PP’| = t) nevezzük. Ha ez a távolság t=0, akkor a pont és képe megegyezik egymással, a pont illeszkedik a képsíkra Q ≡ Q’ és Q−•−KS A vetítés szabályait betartva a P pont P’ képe egyértelmű. Ellenben a pont képe nem csak P képe, hanem a vetítősugár minden pontjának, valamint a P ponton átmenő képsíkra merőleges egyenesnek is a képe, mint ez a 4.4-es ábrán látható Megjegyzendő: Képsíkra merőleges, azaz vetítő helyzetű egyenes képe pont! A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 54 ► Műszaki ábrázolás I. Térelemek ábrázolása A dokumentum használata |

Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 55 ► 4.4 ábra Pontok merőleges vetülete 4.22 Egyenes merőleges vetülete Mint azt már tudjuk két ponton keresztül egyetlen egyenest húzhatunk. Ebből következik, hogy az egyenes ábrázolását visszavezethetjük az előzőekben leírt pont ábrázolásának problémájára. Mindössze annyi a dolgunk, hogy kétszer végezzük el a pont leképezését Az egyenes pontjainak képsíkon való vetületére illeszkedik az egyenes vetülete. Az egyenes a képsíkot döfi egy pontban. Ezt a pontot az egyenes képsíkon való nyompontjának nevezzük Ez azt is jelenti, hogy a tárgyegyenesnek és képének e pontban metsződnie kell Az egyenes valamennyi pontjából húzott vetítősugár képezi az egyenes vetítősíkját, mely merőleges a képsíkra. Ha vetítőegyenes képe pont volt, e vetítőegyenesek által meghatározott vetítősík képe – a vetítőegyenesek pontképeinek összessége – egyenes lesz. Ez az egyenes

a pontnál leírtakhoz hasonlóan nem csak e egyenes képe, hanem a vetítősíkra illeszkedő valamennyi – nem vetítő helyzetű – egyenes képe is. Az egyenesnek a merőleges vetületével bezárt hegyesszöge az egyenes hajlásszöge vagy képsíkszöge. A képsíkra merőleges egyeneseké (vetítőegyenes) 90°, vele párhuzamos egyeneseké 0° Vizsgáljuk meg az egyenes szakaszának és a szakasz képének hosszúsági viszonyát. Jelöljük E-vel az egyenes egy tetszőleges pontját és N-nel a nyompontját. Tekintsük az EE’N derékszögű háromszöget, melynek bármely befogója kisebb az átfogójánál, tehát E’N < EN Tehát kimondhat- A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 55 ► Műszaki ábrázolás I. Térelemek ábrázolása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 56 ► juk, hogy képsíkhoz hajló általános helyzetű szakasz mindig hoszszabb, mint a szakasz képsíkon

keletkezett képe. Ha a szakasz a képsíkkal párhuzamos, akkor egyenlő képével 4.5 ábra Egyenes merőleges vetülete A szakasz hosszát a hajlásszög (α) ismeretében matematikai módszerrel is kiszámíthatjuk: E’N=EN cos α Azaz valamely távolság képe egyenlő a távolság és hajlásszöge cosinusának szorzatával. Vizsgáljuk meg a következő arányt is: Vegyük fel az egyenesen F pontot. Az NEE’ és NFF’ hasonlósága alapján: NA : NB = NA’ : NB’ Tehát: egyenesszakaszok úgy aránylanak egymáshoz, mint e szakaszok képei. Ezt úgy is mondjuk, hogy a derékszögű vetítés aránytartó Erről később még esik szó. Végül megfigyelhető, hogy ha egy pont illeszkedik egy egyenesre, akkor a pont képe illeszkedik az egyenes képére. Ebből következik, hogy metsződő egyenesek képei metszéspontjuk képében metszik egymást. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 56 ► Műszaki ábrázolás I. Térelemek

ábrázolása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 57 ► 4.23 Sík merőleges vetülete Az egyenesnél már alkalmazott módon a sík ábrázolását is visszavezetjük kisebb dimenziójú elemek ábrázolására. Ha a sík tartóelemeinek képeit meghatározzuk, akkor a síkot is ábrázoltnak tekinthetjük. A sík képe az egész képsíkot beborítaná, így szemléletesen ezen elemek nélkül nem is lehetne visszaadni. Ezért tekintjük ábrázoltnak a síkot, ha megadjuk egyik módon a következő lehetőségek közül: • három nem egy egyenesen fekvő ponttal, • két metsző egyenessel, • két párhuzamos egyenessel (bár mint tudjuk, ez is a metszés speciális esete), • egy ponttal és egy egyenessel, melyek nem illeszkednek egymásra, • egy síkra illeszkedő síkidommal. 4.6 ábra Sík merőleges vetülete Egy sík összes egyenesének nyompontja meghatározza a sík nyomvonalát. A ponthoz és az egyeneshez hasonlóan,

a sík tartóelemeivel meghatározott; fordítva már nem: valamely sík tartóelemeinek képe számtalan sík képét jelentheti, melyeket vetítőhasábja oldaléleinek pontjai tartanak. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 57 ► Műszaki ábrázolás I. Térelemek ábrázolása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 58 ► Fontos megjegyezni, hogy a fent leírt megadási módok természetesen egymás egyértelmű megfelelői is, azaz ha megadunk három pontot, melyeknek nincs közös egyenese, akkor ebből kettőre illesztett egyenes és a harmadik pont már a ponttal és egyenessel tartott síkot jelenti. Ha most a harmadik ponton keresztül felveszünk egy olyan egyenest, mely párhuzamos az előzővel, akkor a párhuzamos egyenesek által kifeszített síkról beszélünk, ami természetesen még mindig az eredeti három pont síkja. A C pontban metsződő a, b egyenespár síkot határoz meg

(4.6 ábra) Mindkét egyenes két-két pontjának képét előállítva a képsíkon, összekötésükkel az egyenesek képeihez jutunk, s ezt tekintjük meghatározott síkjuk képének is. Célszerű a következő pontok képével meghatározni az egyenesek képét: C’ közös pontjuk, A A’ és B B’ az egyenesek nyompontjai, melyekről tudjuk, hogy önmaguk képei is A’ B’ C’ pontok összekötése adja a szóban forgó sík képét. AB ≡ A’B’ −•− KS, a Σ sík n nyomvonala (47 ábra). Egy sík összes egyenesének nyompontja a sík nyomvonalára kerül Ha az [a × b] = Σ és KS metszésvonalára AB ⊥ Γ síkot állítunk, például C ponton keresztül, akkor |Γ × Σ| = e, a szóban forgó sík esésvonala vagy lejtővonala(4.7 ábra); |Γ × KS| = e’ az esésvonal vetülete lesz, az általuk bezárt szög α, a Σ sík képsíkszöge vagy hajlásszöge. Képsíkra merőleges sík (vetítősík) hajlásszöge 90°, képsíkkal párhuzamos sík

hajlásszöge 0° A felvett Γ vetítősík állásából következik, hogy e ⊥ AB és e’ ⊥ AB, ami a következőket jelenti: valamely sík esésvonala mindig merőleges a sík nyomvonalára, tehát ha egy derékszögek legalább egyik szára párhuzamos a képsíkkal, a derékszögnek a képsíkon levő vetülete is derékszög. Minden más szögnek – hacsak nem párhuzamos állású a képsíkkal – vetületében nagysága megváltozik A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 58 ► Műszaki ábrázolás I. Térelemek ábrázolása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 59 ► 4.7 ábra Sík tulajdonságai merőleges vetítésnél I Megvizsgáljuk síkidom és képének területi viszonyát. Az ábrán kézenfekvően választjuk ABC háromszöget és képét ABC területe: ½ • |AB| • |CM| ahol M az e és e’ egyenes metszéspontja. A’B’C’ területe: ½ • |AB| • |C’M| viszont

C’M = CM • cos α ezt behelyettesítve tehát TA’‘B’C’ = TABC • cos α azaz valamely síkidom képének területe egyenlő a síkidom területe és hajlásszöge cosinusának szorzatával. Metsszük el a síkot képsíkkal párhuzamos síkokkal (4.8 ábra) Ezek egymással és a sík nyomvonalával is párhuzamos egyenesben metszik a síkot Ezeket az egyeneseket a sík fővonalainak nevezzük. Mivel a fővonal pár- A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 59 ► Műszaki ábrázolás I. Térelemek ábrázolása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 60 ► huzamos a nyomvonallal, f || n, így a sík esésvonalára szintén merőleges, tehát egy derékszög képsíkkal párhuzamos szára, amiből következik, hogy képében is merőleges az esésvonal képére, e’||f ’. Megjegyzendő: párhuzamos egyenesek képe is párhuzamos egymással Síkra illeszkedő egyenesek képéről

kimondhatjuk, hogy ha egy egyenes illeszkedik egy sík két pontjára, akkor a síkra is, és az egyenes képe is illeszkedik a síkban levő pontok képére. Az ábrán f −•− X, Y, tehát f ’ −•− X’, Y’. 4.8 ábra Sík tulajdonságai merőleges vetítésnél II 4.3 Leképezés és rekonstrukció Ebben a fejezetben megvizsgáljuk, hogy milyen feltételeket kell egy vetítési rendszernek teljesíteni, hogy műszaki rajzoláshoz felhasználható legyen. Ábrázoláskor – mint azt már tudjuk – a következő a sorrend: tárgy vetítés kép. Ez visszafelé a rekonstrukció: kép vetítés tárgy, melynek végeredménye a kiindulási tárgy. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 60 ► Műszaki ábrázolás I. Térelemek ábrázolása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 61 ► Ahhoz, hogy az alakzat pontosan visszaállítható legyen az ábrázolással szemben a következő

kikötéseket tesszük: A képről leolvasható legyen a tárgy mérete, alakja, kiterjedése (dimenziója) és térbeli elhelyezkedése. Vizsgáljuk meg, hogy a feltételekből mi teljesül az alakzat képsíkhoz viszonyított különböző helyzeteitől függően! Képsíkra illeszkedő síkidom, vonal és pont mind centrális, mind párhuzamos vetítésnél kielégít minden feltételt. 4.9 ábra Képsíkra illeszkedő síkidom centrális vetítés esetén 4.10 ábra Képsíkra illeszkedő síkidom paralel vetítés esetén A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 61 ► Műszaki ábrázolás I. Térelemek ábrázolása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 62 ► Képsíkkal párhuzamos síkidom és vonal párhuzamos vetítése esetén a képről a méret, az alak és a kiterjedés leolvasható. 4.11 ábra Képsíkkal párhuzamos síkidom paralel vetítés esetén Ugyan ez az elhelyezkedés

centrális vetítés esetén már csak az alak és a kiterjedés azonosságát mutatja. 4.12 ábra Képsíkkal párhuzamos síkidom centrális vetítés esetén A képsíkhoz képest általános helyzetű síkidom és egyenes mindkét vetítési rendszernél a kiterjedésről és az alakról ad információt. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 62 ► Műszaki ábrázolás I. Térelemek ábrázolása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 63 ► 4.13 ábra Általános helyzetű síkidom paralel vetítés esetén 4.14 ábra Általános helyzetű síkidom centrális vetítés esetén Képsíkra merőleges sík és egyenes nem teljesít egyetlen feltételt sem. A sík képe egyenes lesz, és ugyan az az egyenes lesz a képe a sík minden egyenesének is. A merőleges egyenes képe pont lesz, és ugyan az a pont lesz a képe az egyenes minden pontjának is, tehát a kép ismeretében végtelen sok

visszaállítási lehetőségünk adódik. Hasonlóan sok rekonstrukciós lehetőségünk van mindkét vetítési rendszer esetében egy síkidom képből. Visszaállíthatunk különböző állású síkidomot, térbeli tört vonalat, hasábot vagy gúlát, stb. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 63 ► Műszaki ábrázolás I. Térelemek ábrázolása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 64 ► Megállapíthatjuk, hogy a tárgyról vetítés útján létrehozott egyetlen kép önmagában nem elegendő az egyértelmű rekonstrukcióhoz. 4.4 Egyértelmű ábrázolási módok Az előző fejezet végén tett megállapítás alapján tehát szükségünk van az egy képsíkon ábrázolt kép mellé kiegészítő információkra, hogy a tárgy egyértelműen visszaállítható legyen. Nézzünk erre néhány lehetőséget: 4.41 Mérőszámos ábrázolás (kótás projekció) Vízszintes képsíkra

merőlegesen vetítjük a térbeli pontokat. A képsík a teret két félre osztja, melyek közül a fölsőt pozitívnak, az alsót negatívnak jelöljük. A pontot úgy ábrázoljuk, hogy megadunk a képéhez egy előjeles indexet, mely a képsíktól való távolságot tartalmazza. Természetesen a távolság mértékegységét a rajzon egyértelművé kell tenni. Például P+6, azt jelenti, hogy a térbeli P pont a képsík fölött, a pozitívnak jelölt térfélben, attól hat egység magasságra van. Az R-3 egy képsík alatt három méterrel elhelyezkedő pontot jelent. A képsíkban fekvő pontot 0 indexszel kell ellátni. Ezzel az eljárással ábrázolnak a térképészek, útépítők, földmérők a szintvonalakon számmal feltüntetve azok magasságát. Ehhez természetesen szükséges a képsík helyének valamilyen abszolút magassághoz viszonyított megadása is Erre gyakorlati példa Magyarországon a Balti-tenger szintjének, mint képsíknak a kijelölése. Így

például a Kékestető megfeleltethető egy pontnak, melynek magassága 1014 méter A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 64 ► Műszaki ábrázolás I. Térelemek ábrázolása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 65 ► 4.15 ábra Mérőszámos ábrázolás 4.42 A ciklográfia Valamely ábrázolt térbeli pont vetületét olyan kúp képsíkkal való összemetsződése adja, melynek csúcsa a pont, nyílásszöge 90°, képsíkon való körének középpontja a pont merőleges vetülete. Így a pont képe kör lesz, melynek sugara a térbeli pont képsíktól való távolságával egyenlő. A körvonal irányítása utal arra, hogy a pont mely térfélen van A ciklográfiában tárgy és képe nem is ugyan az a mértani alakzat, nem nyújt képies képet, ezért az ábrázolási módokkal szemben támasztott követelmények közé érdemes felvenni azt is, hogy pont képe pont, egyenes képe

egyenes, esetleg pont legyen. 4.16 ábra Ciklográfia A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 65 ► Műszaki ábrázolás I. Térelemek ábrázolása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 66 ► 4.43 Két képsíkos ábrázolás A tárgyat két irányból két képsíkra vetítjük, melynek eredményeképpen ugyanarról az alakzatról két különböző nézőpontból készített képet nyerünk. Ekkor utóbbi feltételeink is teljesülnek: az ábrázolt egyenes képe egyenes, a ponté pont lesz. Most már elhagyhatjuk a képsíktól való távolságra utaló mérőszámot és a vetítőkúp képsíkkal való metszését, mert mindezt helyettesíti a tárgy újabb képe. Ismerve a két képsík hajlásszögét, továbbá a vetítési módot (merőleges vetítés), a két képsíkot a rajta levő tárgyképekkel együtt visszaállítjuk eredeti helyzetükbe. Majd az egyes tárgypontok mind egyik,

mind másik képére párhuzamos vetítősugarakat illesztünk Ugyanazon pont két képéhez tartozó vetítősugarak összemetsződése kitűzi a pont képsíkokhoz viszonyított helyét a térben. Az ábrázolás egyértelmű, szemléletes 4.17 ábra Ábrázolás két képsíkon párhuzamos vetítősugarakkal A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 66 ► Műszaki ábrázolás I. Monge-féle két képsíkos ábrázolás A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 67 ► 5. Monge-féle két képsíkos ábrázolás A következő fejezetben bemutatásra kerül az ábrázoló geometria egyik nagyon fontos ábrázolási módja. Az itt leírtak adják az építész tervrajzok készítésének alapjait. Fontos tudni, hogy önmagában ez a fejezet nem értelmezhető, az összes eddigi tudásanyag magabiztos ismerete szükséges a következők feldolgozásához. A Monge-féle rendszer a korábban ismertetett

merőleges vetítési eljárásra épül. A térbeli alakzatokról – kezdetben – két kép készül, melyek teljes értékű információt tartalmaznak az ábrázolt tárgyról. 5.1 A képsíkrendszer A két képsíkot célszerűen egymásra merőlegesen vesszük fel. Az egyik vízszintes, ezt első képsíknak hívjuk, és KS1-gyel, vagy K1-gyel jelöljük. A másik függőleges, ezt második képsíknak nevezzük, és KS2-vel, vagy K2vel jelöljük. A két képsík metszi egymást, a metszésvonalat x1 2-vel (ejtsd: x egy-kettő) jelöljük, ami azt jelöli, hogy ez az egyenes mindkét képsíkban benne van. A jelölés gyakran a következő formában látható: x12 Ennek jelentését később adom meg. Ezt az egyenest tengelynek is hívjuk, és hamarosan még sok tulajdonságát meg fogjuk vizsgálni 5.1 ábra Képsíkrendszer A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 67 ► Műszaki ábrázolás I. Monge-féle két képsíkos

ábrázolás A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 68 ► 5.2 Pont ábrázolása Adott egy P pont a térben. Vizsgáljuk meg a leképezését és a rekonstrukcióját a Monge rendszerben! A korábban ismertetett módon meghatározzuk a pont vetületét az első képsíkon, azaz egy KS1-re merőleges vetítősugarat húzunk P ponton keresztül, ezt a pont első vetítősugarának hívjuk. Ahol a vetítősugár döfi az első képsíkot, ott lesz a pont első képe, jelölése a már ismert P’ (Pé veszsző). Ezután a második képsíkra merőleges vetítősugarat – második vetítősugarat – állítunk P-re, és ahol ez elmetszi a KS2-t, ott lesz a pont második képe, jelölésére a P’’ (ejtsd: Pé két vessző) használatos Ezek alapján megállapíthatjuk, hogy az első kép a vízszintes képsíkon egy felülnézetet ad a tárgyról, míg a függőleges képsíkon keletkező második kép egy elölnézeti ábra lesz. 5.2 ábra

Pont ábrázolása Az előbb ismertetett rendszert kell két dimenzióban, azaz papíron ábrázolni. Ennek módszere az, hogy a képeket tartalmazó képsíkokat az x1 2 tengely mentén egymásba forgatjuk, és amit ekkor a közös síkban kapunk, azt kell a papírra rajzolni. Természetesen kötött a forgatás iránya is, azaz az első képsíknak a második képsík előtti részét hajtjuk a tengely alá, és a második képsík mögötti részét értelemszerűen a tengely fölé. Megállapítható továbbá az is, hogy az első képen a második képsík képe a tengely lesz, illetve a második képen szintén x1 2 tengelyben látszik az első képsík. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 68 ► Műszaki ábrázolás I. Monge-féle két képsíkos ábrázolás A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 69 ► 5.3 ábra Képsíkok összeforgatása Meghatározzuk a vetítősugarak képét is. Az

első vetítősugár második képe egy x1 2 tengelyre merőleges, azaz függőleges egyenes lesz. A második vetítősugár első képe szintén a tengelyre merőleges egyenes az első képsíkon Könnyű belátni, hogy ez a két egyenes a tengelyt ugyan abban a pontban metszi, és a két képsík összeforgatása után ez a két egyenes egybeesik. 5.4 ábra A pont két képe két dimenzióban (papíron) A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 69 ► Műszaki ábrázolás I. Monge-féle két képsíkos ábrázolás A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 70 ► A vetítősugarak képét rendezőnek hívjuk. A rendező minden esetben merőleges az x1 2-re, és úgy mondjuk, hogy a pont első és második képe mindig rendezett pontpárt alkot. Tehát ha a tengelyt ismerjük, és a papíron felvettük, akkor egy pont egyik képének ismeretében annak rendezője megrajzolható. Ha ez a rendező nem

tartalmazza a pont másik képét, akkor az súlyos elvi hiba egy feladaton belül A rendezők metszéspontja a tengelyen adja a P-hez tartozó PX pontot. Könnyen belátható, hogy a vetítési rendszer szabályosságaiból az következik, hogy PP’PXP’’ pontok szabályos téglalapot alkotnak, melynek oldalhosszai a P pont képsíktávolságaival egyeznek meg. 5.21 A pont képsíkhoz viszonyított helyzetei A két – egymásra merőleges – képsík a teret négy részre osztja. Ezeket a térrészeket térnegyednek hívjuk, és római számokkal (I, II, III, IV) jelöljük. Pontosítva: I. térnegyed II. térnegyed III. térnegyed IV. térnegyed - az első képsík feletti, és a második képsík előtti térrész - az első képsík feletti és a második képsík mögötti rész - az első képsík alatti és a második képsík mögötti negyed - az első képsík alatti és a második képsík előtti térnegyed A leírtakból is kitűnik, hogy a nézőpontot az I.

térnegyedben képzeljük el, és ehhez viszonyítjuk a többit. Egy pont elhelyezkedhet valamelyik térnegyedben, az első képsíkon a tengely előtt és mögött, a második képsíkon a tengely alatt és fölött, illetve a tengelyen, azaz mindkét képsíkon egyszerre. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 70 ► Műszaki ábrázolás I. Monge-féle két képsíkos ábrázolás A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 71 ► ◄ 71 ► 5.5 ábra Pontok képsíkokhoz viszonyított helyzete Az 5.5 és 56 ábrán elhelyezkedő pontok leírása: • • • • • • • A – első térnegyed B – második térnegyed C – harmadik térnegyed D – negyedik térnegyed E – első képsík F – második képsík G - képsíktengely A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza Műszaki ábrázolás I. Monge-féle két képsíkos ábrázolás A dokumentum

használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 72 ► 5.6 ábra A különböző helyzetű pontok ábrázolása A feladatokban az első térnegyedben fogunk szerkeszteni. Megállapítható, hogy az első térnegyedbeli pontok első képe a tengely alatt, második képe a tengely fölött helyezkedik el. Ha egy pont az egyik, vagy mindkét képsíkra illeszkedik, akkor a képe a tengelyre kerül 5.22 Pont rekonstrukciója Határozzuk meg az 5.6 ábrán B’ és B’’ képeivel adott pont térbeli helyét! Mindjárt látjuk, hogy a pont egyik képsíkra sem illeszkedik, mert egyik képe sem az xl 2 tengelyen helyezkedik el. Ebből következik, hogy az valamelyik térnegyedben van, méghozzá az I vagy II térnegyedben, hiszen második képe azt mutatja, hogy az első képsík fölött helyezkedik el. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 72 ► Műszaki ábrázolás I. Monge-féle két képsíkos ábrázolás A

dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 73 ► 5.7 ábra Pont rekonstrukciója Ha a képsíkok egyesítésének irányával ellenkező irányba mozdítjuk KS1-et, és vele a pont első vetületét B’-t, akkor ez a KS2 mögé mozdul el, ami azt jelenti, hogy a pont – KS1 fölött és KS2 mögött – a második térnegyedben van. Visszaállítottuk KS1-et eredeti helyzetébe, következhet a pont rekonstrukciója: B’-be az első képsíkra, B’’-be a második képsíkra állítunk merőleges egyenest. Ezek metszéspontja tűzi ki B pont képsíkokhoz viszonyított térbeli helyét 5.23 Pontok helyzete a képsíkon Érdemes megvizsgálni, hogy milyen helyzetű lehet két pont a térben. Amennyiben a két pont képei nem mutatnak összefüggést, akkor azt mondjuk, hogy a két pont általános helyzetű egymáshoz képest. Amikor valamelyik képen a két pont képe egybeesik, akkor a két pontot fedőpontoknak hívjuk. Ha az első képük

azonos, akkor a pontok első fedőpontok, és a térben egyik a másik fölött helyezkedik el. Ha a második képük esik egy pontba, akkor második fedőpontokról beszélünk, és az egyik pont a másik előtt helyezkedik el. A fedőpontok rendezői természetesen megegyeznek Analóg módon beszélhetünk fedő helyzetű egyenesekről is A legspeciálisabb helyzet, ha a pontok mindkét képe megegyező. Ekkor azonosságról beszélünk A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 73 ► Műszaki ábrázolás I. Monge-féle két képsíkos ábrázolás A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 74 ► 5.3 A képsíktengely vizsgálata Vizsgáljuk meg, hogy milyen információval szolgál az x1 2 tengely! Azt korábban már sikerült megállapítani, hogy a tengely az első képsík második képe, és a második képsík első képe. Azzal is foglalkoztunk, hogy a pont képeinek tengelyhez viszonyított

helyzete megmutatja, hogy melyik térnegyedben helyezkedik el a tárgypont. Ugyanakkor megfigyelhető, és egyszerűen belátható, hogy amennyiben a képsíkokat elmozdítjuk, akkor a tárgy és annak vetülete nem változik, mindössze a tárgy két képe kerül közelebb vagy távolabb egymáshoz és a tengelyhez. Az is belátható, hogy a műszaki gyakorlatban nincs szükség a térnegyed fogalmára, a terveken ábrázolt műtárgyakat, épületeket valamilyen abszolút rendszerhez viszonyítva kell ábrázolni. Mindebből következik az a gyakorlat, hogy a képsíkok helyét nem határozzuk meg, a két kép között a képsíktengelyt elhagyjuk, és ha esetleg valamilyen viszonyító síkra van szükségünk (erre lesz még később példa) akkor egy képsíkkal párhuzamos síkot veszünk fel a számunkra legkedvezőbb helyen. 5.8 ábra A képsíktengely elhagyása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 74 ► Műszaki ábrázolás I.

Monge-féle két képsíkos ábrázolás A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 75 ► Az 5.1 fejezetben találkozhattunk már a képsíktengely következő jelölésével: x12 Most már megadható a magyarázata ennek az írásformának is Amint az a 5.6 ábrán is látható az első térnegyedben lévő pontok első képe kerül a tengely alá, és a második képe a tengely fölé. Az x12 jelölés is ezt szimbolizálja. Amennyiben tehát a képsíktengely konkrét helyét megjelöljük a rajzon, úgy mindkét jelölés alkalmazható: x12, x12 Az 5.9 ábrán látható, hogy az 58 ábra szerint a második képsíkot mozgatva az A és B pontok vetületi képe miként alakul. Mint látjuk, csak a pontok tengelyhez viszonyított elhelyezkedése változik. A két pont egymáshoz viszonyított helyzete mindegyik esetben leolvasható, ami természetesen a feladatokban elegendő, és a tengelyhez viszonyított helyzet sokszor felesleges információ

5.9 ábra Az A és B pont a KS2 különböző helyzeteinél 5.4 Egyenes ábrázolása Adott két pont. Mint tudjuk, két pont meghatároz egy egyenest a térben Szintén ismerjük már a vetítés azon tulajdonságát, hogy egy egyenes képe illeszkedik a pontjainak képeire. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 75 ► Műszaki ábrázolás I. Monge-féle két képsíkos ábrázolás A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 76 ► 5.10 ábra Egyenes vetítése két képsíkra A megadott pontok az egyenes tartópontjai; ezek első vetítősugaraira illesztett sík az egyenes első vetítősíkja, mely KS1-re merőleges és azon való metszésvonala nem más, mint az egyenes első képe; a pontok egymással párhuzamos második vetítősugaraira illesztett sík az egyenes második vetítősíkja, ez KS2-re merőleges, és azon való metszésvonala az egyenes második képe. Egyenes képeit tehát

megadhatjuk a tartópontok jelölése nélkül is, mint az egyenes vetítősíkjainak a megfelelő képsíkokkal való metszésvonalát 5.11 ábra Egyenes vetületei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 76 ► Műszaki ábrázolás I. Monge-féle két képsíkos ábrázolás A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 77 ► 5.41 Egyenes nevezetes pontjai Vizsgáljuk meg, hogy az egyenes a képsíkokhoz viszonyított helyzetéből adódóan milyen megkülönböztetett pontokat tartalmaz! Az első a képsík és az egyenes közös pontja, a nyompont. Az általános egyeneseknek két nyompontja van, egy az első, és egy a második képsíkon. 5.12 ábra Egyenes nyompontjai Azt már többször megjegyeztük, hogy a képsíktengely a képsíkok képe, így a képsíkokra illeszkedő pontok illeszkednek a tengelyre is. Ebből következik, hogy az egyenes első képsíkon való döféspontját a második

képen közvetlenül leolvashatjuk, mégpedig ott, ahol az egyenes második képe metszi a tengelyt (az első képsík második képét). Ez a pont az első nyompont második képe Első képéről azt tudjuk, hogy a másodikkal rendezett pontpárt alkot, és az egyenes első képén van, tehát a pont rendezőjének és az egyenes első képének metszése lesz az első nyompont első képe. Ugyan ezzel a logikával kereshetjük meg a második nyompontot is. A második nyompont első képe az egyenes első képének és a tengelynek a metszéspontja lesz, majd a pont rendezőjének és az egyenes második képének metszése jelöli ki a második nyompont második képét. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 77 ► Műszaki ábrázolás I. Monge-féle két képsíkos ábrázolás A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 78 ► 5.13 ábra Egyenes nyompontjainak szerkesztése Léteznek olyan egyenesek

is, melyeknek csak egy nyompontjuk van, esetleg ebben a rendszerben nincs is képsíkkal való metszésük. Ilyen lehet például a valamelyik képsíkkal párhuzamos, a másikkal valamilyen hegyesszöget bezáró egyenes, melynek azon a képsíkon, mellyel párhuzamos, csak a végtelenben értelmezhető nyompontja, a gyakorlatban egy nyompontjáról beszélünk. Ilyen egyenes a vetítősugár irányú egyenes is, melynek egyik képe pont, egyben az egyetlen nyompontja is. Ha most azokat az egyeneseket vizsgáljuk, melyek a tengellyel, azaz mindkét képsíkkal párhuzamosak, akkor megállapíthatjuk, hogy nincs nyompontjuk. Később értelmezni fogunk további képsíkokat, melyeken ez utóbbi egyeneseknek is lesz döféspontjuk. A következő nevezetes pontok a szimmetria- és koincidenciapontok. Azokat a pontokat nevezzük az egyenes szimmetria- és koincidenciapontjainak, melyek a két képsíktól azonos távolságra vannak. Az I. és III térnegyedet felező, x1 2 tengelyre

illeszkedő, 45°-os dőlésszögű síkot szimmetriasíknak, az erre merőleges, II. és IV térnegyedet felező síkot koincidenciasíknak nevezzük. Az egyenes döféspontjai ezeken a síkokon az említett szimmetria- és koincidenciapontok A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 78 ► Műszaki ábrázolás I. Monge-féle két képsíkos ábrázolás A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 79 ► 5.14 ábra Koincidencia- és szimmetriasík E pontokat vetületi ábrázolásban a következőképpen határozzuk meg: a koincidenciasíkon levő döféspont magától adódik, ha az egyenes két képét metszéspontjukig meghosszabbítjuk. KS1-től és KS2-től való rendezőtávolságuk valóban egyenlő Ha az egyenes valamelyik képét tükrözzük az xl 2 tengelyre, és a tükörképpel elmetsszük az egyenes másik képét, kapjuk a szimmetriasíkon való döféspontot, majd rendezéssel jutunk a

hiányzó vetületéhez. Rendezőik egyenlőségét a tükrözés biztosítja 5.15 ábra Koincidencia- és szimmetriapont szerkesztése A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 79 ► Műszaki ábrázolás I. Monge-féle két képsíkos ábrázolás A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 80 ► Az egyenes nyom-, szimmetria-, és koincidenciapontjairól csak rögzített képsíkok esetén beszélhetünk; amennyiben a képsíktengelyt változtatjuk vagy akár elhagyjuk, ezek a pontok is „vándorolnak”, illetve eltűnnek. 5.42 Egyenes képsíkhoz viszonyított helyzete Az 5.10 és 512 ábra egyenesei általános helyzetűek, mégis különböző az elhelyezkedésük a képsíkokhoz viszonyítva. Az 512 ábra egyenesét megegyezés alapján dőlt helyzetűnek nevezzük, mert mintegy „hozzátámaszkodik”, „dől” a képsíkokhoz; a 510 ábra egyenese viszont mintha „elhúzódna”,

„feszülne” a képsíkoktól, ezért feszített helyzetűnek mondjuk Később megvizsgáljuk még a képsíkra merőleges és képsíkkal párhuzamos egyenesek tulajdonságait is. 5.43 Egyenes rekonstrukciója Egyenes visszaállítását pont rekonstrukciójára vezetjük vissza. A képeivel ismert egyenes egy-egy pontját kitűzzük, majd visszaállítjuk a képsíkokat eredeti, egymásra merőleges helyzetükbe, s ekkor a kitűzött pontok képeibe képsíkjukra merőleges vetítősugarakat állítunk. Ugyanazon pont képeibe állított vetítősugarak metszéspontja adja a pont térbeli megfelelőjét Az így rekonstruált pontokra illeszkedik a szóban forgó egyenes. 5.44 Két egyenes egymáshoz viszonyított helyzete Két egyenes egymáshoz viszonyított három lehetséges helyzete vetületi ábrázolásban a következőképpen adódik. Metsződő egyenesek közös pontjának képei egy rendezőn vannak. Ha a és b egyenesek M pontban metszik egymást, a’ és b’

illeszkedik M’-re, a’’ és b’’ illeszkedik M’’-re, mely ugyanazon M pont két rendezett merőleges vetülete. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 80 ► Műszaki ábrázolás I. Monge-féle két képsíkos ábrázolás A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 81 ► 5.16 ábra Metsző egyenespár Párhuzamos egyenesek azonos képeikben párhuzamosak egymással; hiszen párhuzamos egyenesekre fölvett vetítősíkok ugyanarra a harmadik síkra, a képsíkra merőlegesek, tehát párhuzamosak egymással, így azon való metszésvonalaik is – az egyenesek képei – párhuzamosak lesznek. 5.17 ábra Párhuzamos egyenesek A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 81 ► Műszaki ábrázolás I. Monge-féle két képsíkos ábrázolás A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 82 ► Kitérő egyenesek

képeikben metszhetik egymást, de a metszéspontok képei nem esnek egy rendezőre. Ebben az esetben látszólagos csupán a metszés, fedőpontokról beszélünk E fedőpontok segítségével megállapíthatjuk a kitérő egyenesek magassági és távolsági viszonyát a képsíkokhoz, illetve nézőpontunkhoz képest. 5.18 ábra Kitérő egyenesek Az 5.18 ábrán e és f egyenesek E és F pontjai második képükben fedik egymást. Rendező segítségével kitűzzük a pontok első képeit az egyenesek első képén; a második képre nézve akarjuk meghatározni, hogy a fedőpontok magasságában mely egyenes van hozzánk közelebb, tehát melyik takarja a másikat; ezt az első kép segítségével döntjük el: a második képsíkra való vetítés irányát az első képen szemlélhetjük, s itt mutatkozik meg a pontok második képsíktól való távolsága is. Ha a vetítés irányából nézzük a pontokat, F’ adódik „közelebb”, s utána következik „takarva”

E’ pont. A második képen ezt úgy jelöljük, hogy f ’’-t folyamatosan meghúzzuk a fedőponton át is, míg e’’-t megszakítjuk a fedőpontnál. 1 és 2 első fedőpontok felhasználásával hasonlóképpen megállapíthatjuk, hogy melyik egyenes fut magasabban. Ezt olvasónkra bízzuk 5.5 Sík ábrázolása A 4.23 fejezetben a sík merőleges vetületéről már részletesen olvashattunk Vizsgáljuk meg a síkokat a Monge-féle ábrázolási rendszerben! A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 82 ► Műszaki ábrázolás I. Monge-féle két képsíkos ábrázolás A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 83 ► 5.51 Egyenesek kifeszített síkja, ábrázolás tartóelemekkel Az a és b térbeli metsző egyenesek kifeszítik Γ síkot. Az egyenesek rendezett vetületeit tekintjük a sík képeinek [a’ × b’] = Γ’ és [a’’ × b’’] = Γ’’ 5.19 ábra Két metsző egyenes

által kifeszített sík 5.20 ábra Az előző sík képei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 83 ► Műszaki ábrázolás I. Monge-féle két képsíkos ábrázolás A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 84 ► 5.52 Ábrázolás nyomelemekkel A nyomelemekkel való ábrázolás szintén csak rögzített képsíkhelyzet esetén értelmezhető. A sík képsíkokkal alkotott metszésvonalát a sík nyomvonalának nevezzük Jelölésére az n betűt szoktuk használni, és indexként a képsík számát melléírni, azaz az első képsíkkal alkotott metszésvonal: n1, a második nyomvonal: n2. 5.21 ábra Sík nyomvonalai 5.53 A sík további nevezetes vonalai Esett már szó a sík esésvonaláról (lejtővonaláról). A 423 fejezetben leírtakat kibővíthetjük azzal, hogy értelmezzük a sík különböző képsíkokhoz viszonyított esésvonalát. A sík nevezetes, és a későbbiek során

látni fogjuk, hogy nagyon fontos egyenese a főegyenes, más néven fővonal. Mint azt már tudjuk, ez a képsíkkal párhuzamos síkokkal alkotott metszésvonalak elnevezése, és az esésvonalhoz hasonlóan megkülönböztetünk első, második, sőt később további főegyeneseket is. A párhuzamos térelemek tételeinél leírtakból következik, hogy a fővonal mindig párhuzamos a nyomvonallal (3.35 ábra), és ebből következik, hogy a fővonal merőleges az esésvonalra Ezt később az esésvonal szerkesztésénél még ki fogjuk használni. Beszélhetünk továbbá síkok koincidencia- és szimmetriaegyeneséről, bár ezeket a gyakorlatban, és a későbbi szerkesztéseinkben keveset hasz- A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 84 ► Műszaki ábrázolás I. Monge-féle két képsíkos ábrázolás A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 85 ► náljuk. Ez azért is van így, mivel ezeket

szintén csak rögzített képsíkrendszer esetén értelmezhetjük. Mindkét vonalat a megfelelő síkkal alkotott metszésvonalként kapjuk, szerkesztésük a síkra illeszkedő egyenesek koincidencia- és szimmetriapontjainak szerkesztésével, és azok összekötésével lehetséges. 5.54 Sík képsíkhoz viszonyított helyzete Egy sík a képsíkokhoz képest lehet általános vagy speciális helyzetű. Speciális helyzetnek nevezzük, ha egy sík párhuzamos valamely képsíkkal, vagy merőleges egyikre, esetleg mindkettőre. A speciális helyzeteket itt csak megemlítjük, és vizsgálatukra sokkal részletesebben hamarosan viszszatérünk. Általános helyzetet csak kettőt különböztetünk meg, ezek az egyeneseknél már leírtakhoz hasonlóan a dőlt síkok, és a feszített síkok. A síkokkal való munka során nincs különbség a két típus használata között, a megkülönböztetés inkább a szerkesztés ellenőrzésében, vagy egy-egy feladat leírásában lesz

segítségünkre. Fontos megjegyezni, hogy a síkok dőlt vagy feszített voltát sokkal többször említjük, állapítjuk meg, mint az egyenesek hasonló tulajdonságait. Dőltnek nevezzük azt a síkot, mely a két képsíknak „dől”, közéjük „támaszkodik”. Feszített az a sík, mely a második képsíktól „elbillen”, „elfeszül”. Dőlt síkra láthatunk példát az 519-es és 521-es ábrákon Feszített síkot ábrázol az 522 ábra 5.22 ábra Feszített helyzetű sík A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 85 ► Műszaki ábrázolás I. Monge-féle két képsíkos ábrázolás A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 86 ► Az 5.23 ábra nyomvonalaival adott síkok esetén bemutatja a különbséget feszített és dőlt síkok között. 5.23 ábra Nyomvonalakkal adott dőlt és feszített sík Ha a síkot tartóelemekkel adjuk meg, akkor a helyzetét kétféleképpen tudjuk

eldönteni. Az első lehetőség a szemlélet útján, térlátás alapján történő megállapítás. Ez természetesen gyakorlatot igényel A másik az úgynevezett körüljárási irány vizsgálata Az 524 ábrán látható két sík, melynek első és második képén, külön-külön megvizsgáljuk az ABC illetve 123 út körívének irányát. Ha ez az irány azonos a két képen, akkor dőlt síkról beszélünk, ha az irány ellentétes, akkor a sík feszített. 5.24 ábra Körüljárási irány A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 86 ► Műszaki ábrázolás I. Monge-féle két képsíkos ábrázolás A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 87 ► Speciális helyzetű síkok a képsíkokkal párhuzamos síkok. Ezt a helyzetet főhelyzetnek hívjuk (mint a síkok főegyenesei), és a síkokat fősíkoknak. A fősíkoknak természetesen csak egy nyomvonala van. A másik speciális viszony,

amikor a sík merőleges egy képsíkra, ekkor vetítősíknak hívjuk. A vetítősík egyik nyomvonala mindig merőleges az x12 tengelyre. 5.6 A képsíkrendszer kibővítése 5.25 ábra Azonos elöl- és felülnézetű alakzatok Az 5.25 ábrán néhány alakzat látható, melyek befoglaló idoma a kocka Amennyiben az alakzatokat úgy helyezzük el a már ismert képsíkrendszerbe, hogy a befoglaló kocka hátlapja, és alaplapja párhuzamos a képsíkokkal, akkor azt vehetjük észre, hogy az összes vetületi kép egy négyzet, és egyéb információ hiányában a visszaállítás nem lehetséges. Ezért bevezetjük a harmadik képsíkot is, mely merőleges mind az első, mind a második képsíkra. Ezen a képsíkon is ugyanolyan szabályok szerint készítünk képet az ábrázolni kívánt alakzatról, mint a másik két képsíkon. Ebből következik, hogy a harmadik képsíkon oldalnézeti képet kapunk. P pont harmadik képét P’’’-vel jelöljük. A képsík jele: KS3

vagy K3 A képsíkok páronként külön-külön képsíkrendszert alkotnak. A kétdimenziós ábrázolás ez esetben is ugyan úgy történik, mint két képsík esetén, azaz a harmadik képsíkot a képsíktengely mentén befordítjuk a második képsík síkjába. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 87 ► Műszaki ábrázolás I. Monge-féle két képsíkos ábrázolás A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 88 ► 5.26 ábra Kibővített képsíkrendszer Az 5.26-os ábrán a piros nyíl az első és a harmadik képsík beforgatását jelöli a második képsík síkjába. Az 527 ábrán a beforgatás után látható a P pont ábrázolása a képsíktengelyekkel együtt, az 5.28 ábra pedig már elhagyott tengelyekkel mutatja a P pontot úgy, hogy a baloldalról felvett oldalnézetet ábrázolja. 5.27 ábra P pont három képe képsíktengelyekkel A dokumentum használata | Tartalomjegyzék

| Irodalomjegyzék Vissza ◄ 88 ► Műszaki ábrázolás I. Monge-féle két képsíkos ábrázolás A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 89 ► 5.28 ábra P pont képei, bal oldali oldalnézettel Fontos megjegyezni az 5.27 és 528 ábrán is jól látszó különbséget, mely a vetítés sajátosságaiból következik. A jobb oldali oldalnézet kerül a bal oldalra, míg a bal oldali oldalnézet helye a jobb oldalon van, az elölnézethez képest. Az 529 ábra is ezt mutatja be Bár hátulnézetet nem szoktunk rajzolni, de ez kerülhetne az alulnézet fölé, a felülnézet alá, és legjellemzőbben az oldalnézetek mellé is. Mindkét oldalnézeti képsík jele KS3, mivel az ábrázoló geometriában nem szokás egyszerre használni mindegyiket, kivéve talán a testek palástkiterítési feladatait. 5.29 ábra Nézetek helye A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 89 ► Műszaki

ábrázolás I. Monge-féle két képsíkos ábrázolás A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 90 ► 5.7 Test ábrázolása Vizsgáljuk meg, egy test szemléletes ábrájától hogyan juthatunk el három képéig! Az 5.30 ábrán látható egy test, és a három képsík pirossal jelölve 5.30 ábra A képsíkrendszerben elhelyezett csonkolt kocka A testet egy kockából csonkoltuk ki, úgy, hogy a csúcsai mind a kocka eredeti csúcsaira, a kocka éleinek felezőpontjaira és a kocka középpontjára illeszkednek. A test csúcsait A-tól N-ig betűkkel jelöltük A kockán megfigyelhetjük, hogy az A, D, E és M csúcsoknál lévő nyolcadrésznyi kiskockák sértetlenek. A kocka alsó részén egy darab csonkolt kiskocka van jobb oldalon és elöl, mely egy olyan négyzet alapú ferde gúla, melynek csúcsa a B, és két metszősík metszi ki a kiskockából. A kocka felső részén a jobb oldali első kiskocka teljesen hiányzik, a

mögötte lévőt a [K,L,I,H] síkkal feleztük, míg a bal oldali első kiskockának egyik csúcsát vágtuk le egy olyan [F,J,N] síkkal, melyet a lapátlók feszítenek ki. Első lépésként készítsük el a teljes kocka három képét. Ez nagyon egyszerű, mivel a kocka speciális helyzetű, mivel alsó, hátsó és bal oldallapja illeszkedik egy-egy képsíkra. Az 531 ábra a kocka három képét mutatja a felezősíkokkal együtt. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 90 ► Műszaki ábrázolás I. Monge-féle két képsíkos ábrázolás A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 91 ► 5.31 ábra A teljes kocka három képe Következő lépésként megkeressük a csúcsok helyét az egyes képeken. Elindulva például az elölnézeten, megvizsgálhatjuk a kocka fedőlapját. Öt pontot találunk rajta, ezek közül bal oldalon van az N és M, középen a J, a K és a G, míg jobb oldalon nincs

pont. Az N és M tehát második fedőpontok, ugyan úgy, ahogy a J, K és G is Nem szabad elfelejteni kitenni a vesszőket a pont neve mellé: N’’, M’’, stb. Fontos a pontok leírásának sorrendje is. Mindig azt kell előreírni, amelyik hozzánk (a szemponthoz) közelebb van, majd a vetítési centrumtól távolodva sorban kell őket felvenni. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 91 ► Műszaki ábrázolás I. Monge-féle két képsíkos ábrázolás A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 92 ► 5.32 ábra A test csúcsainak helye a kocka hálózatán Legvégül a test éleit kell megrajzolni, egyesével sorbavehetjük a test csúcsait, és megvizsgálhatjuk, hogy a belőle kiinduló élek vetületei milyenek az egyes képeken. Például az N csúcsból megy él az F, a J és az M csúcsokba Az NF az elöl- és felülnézeten függőleges egyenes, az oldalnézeten átlós egyenes lesz Az

NJ az elöl- és oldalnézeten vízszintes, míg a felülnézeten átlós egyenesnek látszik, végül az NM, amiről ugye már tudjuk, hogy második fedőpontpár, a felülnézeten függőleges szakasz, az elölnézeten egy pont, míg az oldalnézeten egy vízszintes szakasz lesz. Az NF élet vizsgáljuk meg egy másik szempontból is! Megfigyelhető az 5.33 ábrán, hogy ezt az élet szaggatott vonallal rajzoltuk Ennek oka, hogy ha a testre a KS3 képsíkra merőlegesen ránéznénk, akkor ezt az élet nem látnánk, mivel a [B,G,K,J] sík eltakarja. De mindenképpen kell és szeretnénk információval szolgálni az egész testről, így a nem látható éleket is berajzoljuk, csak takart voltukat a vonal szaggatásával jelöljük. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 92 ► Műszaki ábrázolás I. Monge-féle két képsíkos ábrázolás A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 93 ► 5.33 ábra

A test elkészített három képe 5.8 A speciális térelemek vizsgálata Mint azt már futólag említettük speciálisnak nevezzük azokat a térelemeket, melyek a képsíkhoz képest párhuzamos vagy merőleges helyzetűek. Vizsgáljuk meg először a speciális egyeneseket! Amennyiben egy egyenes merőleges egy képsíkra, úgy a képsíkhoz tartozó vetítősugárral párhuzamos, ezért ezt a helyzetet vetítő helyzetnek nevezzük, és az egyenest vetítőegyenesnek hívjuk. Minden képsíkhoz „tartozik” vetítőegyenes, ez alapján megkülönböztetünk első, második és harmadik vetítőegyenest, melyeket rendre 1.ve, 2ve, 3ve jelöléssel látunk el Mint az az 5.34-537 ábrákon is látható a vetítőegyenesek egyik képe pont, másik két képe pedig valódi méretben látszik, azaz a rajta felvett szakasz vetülete ugyan olyan hosszú, mint a szakasz valódi hossza. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 93 ► Műszaki

ábrázolás I. Monge-féle két képsíkos ábrázolás A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 94 ► ◄ 94 ► 5.34 ábra Vetítőegyenesek 5.35 ábra Első vetítőegyenes vetületei 5.36 ábra Második vetítőegyenes vetületei 5.37 ábra Harmadik vetítőegyenes vetületei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza Műszaki ábrázolás I. Monge-féle két képsíkos ábrázolás A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 95 ► Ha egy egyenes párhuzamos egy síkkal, akkor a már korábban is leírt főhelyzetben van, és főegyenesnek hívjuk (5.53 fejezet) A vetítőegyeneshez hasonlóan megkülönböztetünk első, második és harmadik főegyenest, és ezeket helyzetükből adódóan rendre horizontális (jele: h), vertikális (jele: v) és profilegyenesnek (jele: p) nevezzük. Az 538541 ábráról leolvasható, hogy a főegyenesek két képe speciális

helyzetű, azaz vízszintes vagy függőleges, míg egy képük általános helyzetű egyenes, amely valódi nagyságban látszik. 5.38 ábra Főegyenesek 5.39 ábra Horizontális egyenes vetületei 5.40 ábra Vertikális egyenes vetületei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 95 ► Műszaki ábrázolás I. Monge-féle két képsíkos ábrázolás A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 96 ► 5.41 ábra Profilegyenes vetületei Felmerül rögtön a kérdés, hogy amennyiben egy egyenes merőleges az egyik képsíkra, úgy párhuzamos a másik kettővel, tehát ez vetítő, vagy főegyenes lesz-e. A következő szabály megadja a választ erre a kérdésre, miszerint az egyeneseknél a merőlegességet „erősebb” helyzetnek tekintjük a párhuzamosságnál. Ha egy egyenes merőleges egy képsíkra, akkor vetítőegyenesnek hívjuk, és nem nevezhetjük főegyenesnek. Vizsgáljuk meg a síkok

speciális helyzeteit is! Ha egy sík merőleges egy képsíkra, azaz vetítő helyzetű, akkor az egyeneseknél alkalmazott elnevezésekhez hasonlóan vetítősíknak nevezzük. Itt is megkülönböztetünk első, második és harmadik vetítősíkot, és ezeket rendre 1.VS, 2VS, 3VS jelekkel látjuk el. Mint látható az 542-545 ábrán a vetítősíkok egyik képe egy egyenes, azaz élben látszik a sík, a másik két képe torzult – rövidült – képet mutat. 5.42 ábra Vetítősíkok A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 96 ► Műszaki ábrázolás I. Monge-féle két képsíkos ábrázolás A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 97 ► 5.43 ábra Első vetítősík vetületei 5.44 ábra Második vetítősík vetületei 5.45 ábra Harmadik vetítősík vetületei A képsíkkal párhuzamos síkokat fősíkoknak hívjuk. Az első fősíkot horizontális síknak nevezzük, és H-val

jelöljük, a második fősíkot vertikális A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 97 ► Műszaki ábrázolás I. Monge-féle két képsíkos ábrázolás A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 98 ► fősíknak hívjuk, és V-vel jelöljük, a harmadik fősík a profilsík, és jele a P. Az 5.46-549 ábrákon látszik, hogy a fősíkok két képe speciális helyzetű egyenes, míg egy képe valódi nagyságban látszik. 5.46 ábra Fősíkok 5.47 ábra Horizontális sík vetületei 5.48 ábra Vertikális fősík vetületei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 98 ► Műszaki ábrázolás I. Monge-féle két képsíkos ábrázolás A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 99 ► 5.49 ábra Profilsík vetületei Síkoknál a párhuzamos helyzet az „erősebb”, mivel ha egy sík párhuzamos egy képsíkkal,

akkor biztosan merőleges a másik kettőre. Ezért ha egy sík párhuzamos egy képsíkkal, akkor fősíknak hívjuk, és nem nevezhetjük vetítősíknak. Vizsgáljuk meg, hogy különböző térelemek metsző és párhuzamos helyzetben milyen új térelemeket határozhatnak meg! A következő táblázat összefoglalja a különböző egyenesek kapcsolatai által kifeszített síkokat. Az a és b általános helyzetű egyeneseket jelöl, az α az általános sík jele A táblázat szürkített részei nem értelmezhető kapcsolatokat jelölnek. h b 1.ve || p || × × h 2.ve 3.ve a 1.,2,3VS, α 1.VS,α 2.VS,α 3.VS,α 1.VS 2.VS 3.VS 1.,2,3VS, α H,V,3.VS H V 3.VS V || × v 1.ve || × 2.ve p || × 3.ve v H H,P,2.VS H 2.VS P P V,P,1.VS 1.VS V P P,3.VS,α α α P V,2.VS,α || × α || H,1.VS,α × H V A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 99 ► Műszaki ábrázolás I. Monge-féle két

képsíkos ábrázolás A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 100 ► Nézzünk meg két lehetséges feladatmegoldást a speciális térelemek témakörből: 1. feladat: milyen síkokat határozhat meg két horizontális egyenes? Rajzolja le három képével és nevezze meg a síkokat! 5.50 ábra Első feladat megoldása (három lehetőség) 2. feladat: Milyen metsző egyenespárral lehet meghatározni egy 2 vetítősíkot? Rajzolja le három képével és nevezze meg az egyeneseket! A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 100 ► Műszaki ábrázolás I. Monge-féle két képsíkos ábrázolás A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 101 ► 5.51 ábra Második feladat megoldása (négy lehetőség) A példákból látható, hogy a sík meghatározása tartóelemeivel nem igényel szerkesztési munkát, csak a megismert szabályok szerinti rajzolást. A

táblázat többi részének megoldását itt nem részletezzük, az olvasónak mindenképpen ajánlott mind a térlátás fejlesztése, mind az anyag megértése végett az összes lehetőség lerajzolása. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 101 ► Műszaki ábrázolás I. Szerkesztések a Monge-féle rendszerben A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 102 ► 6. Szerkesztések a Monge-féle rendszerben 6.1 Oldalnézeti kép szerkesztése két vetületi képből Vizsgáljuk meg, hogy hogyan lehet egy alakzat harmadik – oldalnézeti – képét előállítani, ha ismerjük első és második vetületét. Fontos megjegyezni, hogy ez az eljárás az ún transzformáció témakörébe tartozik, annak speciális változata, de elsőként kell tárgyalni, mivel szükségünk lesz rá a többi szerkesztésnél. A transzformáció részletes tárgyalása a fejezet végén található. A 6.1 ábrán

adott egy test szemléletes képe Készítsük el az első és második vetületét, ezekből szerkesszük meg a harmadik képet és ellenőrzésként a szemléletes képből is állítsuk elő az oldalnézetet! 6.1 ábra Test szemléletes képe A test két képének elkészítése az 5.7 fejezetben leírtak szerint történhet A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 102 ► Műszaki ábrázolás I. Szerkesztések a Monge-féle rendszerben A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 103 ► 6.2 ábra Test első és második vetülete Figyeljük meg a 6.3 ábrán, hogy hogyan keletkezik a test harmadik képe, milyen törvényszerűségek olvashatók le az ábráról! Az oldalnézeten ábrázolnunk kell az R és Q egyenesek távolságát, Ez az első képről könnyedén leolvasható. Láthatjuk azt is, hogy az R és S, valamint a Q és P harmadik fedőpontok lesznek. Ezt a vetületi képekről úgy tudjuk

megállapítani, hogy az RS és a QP szakasz is merőleges az első és második kép közötti rendezőirányra, tehát a harmadik képsíkra is, mivel ezek egymással párhuzamosak. Ezután már csak a T pont hiányzik A magasságát az alaplaphoz képest egyszerűen lemérhetjük (átvetíthetjük) a második képről, a helyét végül ugyan úgy tudjuk kitűzni, mint a QR távolságot, azaz az RS szakasztól lemérjük a távolságát az első képen, és ezt átmásoljuk a harmadikra. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 103 ► Műszaki ábrázolás I. Szerkesztések a Monge-féle rendszerben A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 104 ► 6.3 ábra Test és vetületei a három képsíkhoz képest Az imént leírt szerkesztést technikailag úgy hajtjuk végre, hogy felveszünk egy viszonyító síkot az első képen, és ennek harmadik – tetszőleges helyre rajzolt – képét is. Ezt a 64

ábrán kék színnel és kis háromszöggel (szintkótával) jelöltük. Ettől a síktól mérjük az egyes pontok távolságait, majd végleges harmadik képüket a második képről húzott – vízszintes – rendezőkkel jelöljük ki. A felesleges munka és túlzott vonalmennyiség elkerülése végett a segédsíkot olyan helyre vettük fel, hogy az tartalmazzon pontokat a testből, így ezeket nem kell mérni, csak rendezővel kijelölni. Arra is érdemes figyelni, hogy a segédsík az első kép legalján vagy legtetején legyen, mivel ekkor minden távolságot egy irányba kell mérni tőle, és felesleges hibákat tudunk kiküszöbölni. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 104 ► Műszaki ábrázolás I. Szerkesztések a Monge-féle rendszerben A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 105 ► 6.4 ábra A harmadik kép készítése Végül összekötjük a megszerkesztett pontokat, és

felírjuk a jeleiket. Nem szabad megfeledkezni a fedőpontok sorrendjéről sem, a szemlélés irányát a piros nyíl jelöli. Figyeljük meg, hogy ha az első képet és a test szemléletes képét nem ismernénk, akkor is teljes értékű információt nyerhetnénk a második és harmadik képből. Ha most a szemléletes képről elkészítjük a test harmadik képét, akkor látjuk, hogy ugyan arra az eredményre jutunk. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 105 ► Műszaki ábrázolás I. Szerkesztések a Monge-féle rendszerben A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 106 ► 6.5 ábra Az elkészített három vetületi kép 6.2 Illeszkedési alapfeladatok Az illeszkedési feladatok azt jelentik, hogy ábrázoljunk egy új térelemet, mely illeszkedik egy már adott térelemre. Általában nagyon egyszerű, egykét vonallal megoldható feladatok, de néhány dologra oda kell figyelnünk 6.21

Pontra illeszkedő egyenes Adott egy P pont két képével, vegyünk fel egy e egyenest, mely átmegy a ponton! 6.6 ábra Pontra illeszkedő egyenes A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 106 ► Műszaki ábrázolás I. Szerkesztések a Monge-féle rendszerben A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 107 ► Mivel e egyenes átmegy a P ponton, így mindkét képen átmegy a pont képein is. 6.22 Egyenesre illeszkedő pont Adott egy egyenes, vegyünk fel egy pontot, mely illeszkedik rá! 6.7 ábra Egyenesre illesztett pont A pont egyik képét tetszőlegesen felvehetjük az egyenes egyik képén, a pont másik képét a rendezője fogja kijelölni az egyenes másik vetületén. Nehezebb a dolgunk akkor, ha profilegyenesre szeretnénk pontot illeszteni, mivel profilegyenes csak akkor adott, ha ismerjük a harmadik képét is, vagy ismerjük két tartópontjának két képét. Ha a harmadik képet

ismerjük, akkor a feladat ugyan az, mint az előbb. Vizsgáljuk meg most a másik lehetőséget! A 6.8 ábrán adott egy profilegyenes A és B pontjával, valamint egy P pont első képe. Vegyük fel a P második képét úgy, hogy a P illeszkedjen az egyenesre! Az ábrán a fekete szín a megadott térelemeket, a piros a szerkesztett térelemeket jelöli, a kék számok a megoldás lépései. Ezeket a színjelöléseket a későbbiekben is használni fogjuk A megoldás menete: Illesszünk egy tetszőleges síkot a profilegyenesre, melyet a tetszőlegesen felvett S pont határoz meg az A és B pontokkal. Vegyünk fel a síkban egy olyan egyenest, mely tartalmazza P-t, és ennek az egyenesnek a második képe kijelöli P második képét. Az ábrán látható, hogy a párhuzamos térelemek sajátosságait kihasználva olyan egyenest vettünk fel, mely párhuzamos SA egyenessel. A segédegyenes síkra illesztése a 626 fejezetben leírtak szerint lehetséges A dokumentum használata |

Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 107 ► Műszaki ábrázolás I. Szerkesztések a Monge-féle rendszerben A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 108 ► 6.8 ábra Pont illesztése profilegyenesre Az egyenesekre lehet illeszteni rögzített képsíkrendszer mellett nyompontjukat, koincidencia- és szimmetriapontjukat, melyekkel az 5.41 fejezetben már foglalkoztunk. 6.23 Pontra illeszkedő sík A pontra illeszkedő síkot ugyan úgy tudjuk felvenni, mint a pontra illeszkedő egyenest, csak most két egyenest veszünk fel, melyek mindegyike illeszkedik az adott pontra, tehát ez a pont lesz a metszéspontjuk, és a két egyenes kifeszít egy síkot, mely biztosan illeszkedik az adott pontra. Megtehetjük természetesen azt is, hogy az első egyenest a pontra illesztjük, a másodikat vele párhuzamosan vesszük fel, hiszen párhuzamos egyenesek is kifeszítenek egy síkot. 6.24 Síkra illeszkedő pont Legyen adott egy

sík A, B, C pontjával, és egy P pont második képe. Keressük meg a P első képét úgy, hogy a pont illeszkedjen a síkra! A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 108 ► Műszaki ábrázolás I. Szerkesztések a Monge-féle rendszerben A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 109 ► 6.9 ábra Pont illesztése síkra A szerkesztés menete: az A és P pontot összekötöttük, így kapva s segédegyenest. Ha s első képét meghatározzuk, akkor a feladatot visszavezettük az egyenesre illeszkedő pont problémájára. Csak az a feladatunk, hogy s illeszkedjen a síkra. Tudjuk, hogy egy egyenes akkor illeszkedik egy síkra, ha legalább két pontja illeszkedik rá. A BC oldalt s elmetszi, nevezzük ezt a pontot S-nek. S első képe a BC-n a rendezőjével kijelölhető Így már meg tudjuk rajzolni s egyenes első képét, mivel két pontját ismerjük, az A-t és az S-t. Végül P rendezőjével

s-en kijelölhetjük P első képét Megjegyezzük, hogy ha az lett volna a feladat, hogy vegyünk fel egy olyan pontot, melynek P’’ a második képe, és NEM illeszkedik a síkra, akkor is ugyan ezt a szerkesztést kellett volna végrehajtanunk, csak utolsó lépésként P rendezőjén a most kijelölt P’ kivételével bármely más pontot kellett volna választanunk. 6.25 Egyenesre illeszkedő sík A feladat nagyon egyszerű, hiszen ha egy egyenes adott, akkor egy bármely másik egyenessel, mely hozzá képest nem kitérő helyzetű síkot feszít ki. Egyenesre illeszkedő speciális sík Általános egyenesre fősíkot nem tudunk illeszteni, csak vetítősíkot. A 610 ábrán adott az a egyenes, illesszünk rá első vetítősíkot. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 109 ► Műszaki ábrázolás I. Szerkesztések a Monge-féle rendszerben A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 110 ►

6.10 ábra Egyenesre illesztett első vetítősík Megoldás: vegyünk fel egy olyan b egyenest, mely a-val első fedőegyenes. [a × b] = 1.VS 6.26 Síkra illeszkedő egyenes A problémát tulajdonképpen egyszer már megoldottuk a 6.24 fejezetben, mikor az s egyenest az [A,B,C] síkra illesztettük. A 611 ábrán adott egy sík a és b párhuzamos egyenespárral, valamint egy e egyenes első képe. Vegyük fel az e második képét úgy, hogy az egyenes illeszkedjen a síkra. A szerkesztés menete az ábráról egyértelműen leolvasható. Csak annyit kell tennünk, hogy a metszéspontokat átvetítjük a másik képre, mivel nem kell tartanunk attól, hogy nem metszésről, hanem kitérő helyzetről van szó, tehát az első kép metszéspontjai a valóságban is metszéspontok, és nem fedőpontok. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 110 ► Műszaki ábrázolás I. Szerkesztések a Monge-féle rendszerben A dokumentum használata

| Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 111 ► 6.11 ábra Síkra illesztett egyenes Vizsgáljuk meg a sík speciális egyeneseinek szerkesztését! 6.27 Sík főegyenese Adott általános síkra illesszünk főegyenest, és szerkesszük meg mindhárom képét! Könnyű belátni, hogy általános síkra mindig illeszthető mindhárom főegyenes, hiszen ha az általános síkot elmetsszük valamelyik fősíkkal, akkor a közös egyenes mindenképpen főegyenes lesz, mely benne van az általános síkban. A 6.12 ábrán látható egy általános sík, és a ráillesztett horizontális egyenes. A sík harmadik képét a 61 fejezetben leírtak szerint készíthetjük el. A horizontális egyenesről azt tudjuk, hogy második képe vízszintes, így ezt fel tudjuk venni. Helyének praktikusan a C pontot választjuk, mivel ennek már ismerjük első képét, így csak egy tartópontot kell még keresni. A másik tartópont lehet az AB oldallal alkotott metszéspontja, melyet

rendezője segítségével kereshetünk meg az első képen. Két tartópontjának első képe ismeretében már megrajzolható az egyenes h’ első képe. A második főegyenes természetesen az első képen tudjuk – vízszintes egyenesként – felvenni, majd innen megszerkeszteni második, végül harmadik képét, a profilegyenest a második képen kezdhetjük szerkeszteni, és innen vetíthetjük a többi képre. E két utóbbi szerkesztés kivitelezését az olvasóra bízzuk. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 111 ► Műszaki ábrázolás I. Szerkesztések a Monge-féle rendszerben A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 112 ► 6.12 ábra Első főegyenes illesztése általános síkra 6.28 Sík esésvonalai Az esésvonal fogalmát már ismerjük a 4.23 fejezetből, ahol a 47 ábra be is mutatja az esésvonal térbeli elhelyezkedését. A szerkesztésnél azt a tulajdonságát fogjuk

kihasználni, hogy az esésvonal merőleges a főegyenesre a valóságban, és ebből következik, hogy képe merőleges lesz a főegyenes képére azon a képen, ahol a főegyenes valódi méretben – általános egyenes helyzetben – látszik. A 6.13 ábrán a 612 ábra síkjának második esésvonalát láthatjuk Mivel második esésvonalat szerkesztünk, ezért szükségünk van a sík vertikális egyenesére, mivel a valóságban erre merőleges a második esésvonal A szerkesztést a sík harmadik képével kezdjük, majd meghatározzuk a főegyenes három képét. Ezután felvehetjük tetszőleges helyen az esésvonal második képét a v’’-re merőlegesen Az utolsó lépés, hogy az első és harmadik képen rendezőkkel meghatározzuk az esésvonal tartópontjait, és felvesszük e2’-t és e2’’’-t. A v’’ és e2’’ merőlegességének igazolása is a 423 fejezetben található. Az első esésvonal merőleges a horizontális egyenesre, a harmadik esésvonal

a profilegyenessel zár be derékszöget. Szerkesztésük megegyezik az imént leírt szerkesztéssel, ezért ezek elvégzését gyakorlásképpen az olvasóra bízzuk. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 112 ► Műszaki ábrázolás I. Szerkesztések a Monge-féle rendszerben A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 113 ► 6.13 ábra Sík második esésvonala 6.29 Sík nyomvonala A szerkesztés úgy történik, hogy felvesszük a sík két tetszőleges egyenesét, azok nyompontjait megszerkesztjük, és e nyompontokat összekötve kapjuk a nyomvonalakat. A szerkesztést ezért jobban nem részletezzük 6.210 Síkidom síkra illesztése Mint tudjuk, egy síkot egyértelműen meghatároz három, nem egy egyenesen fekvő pont. Ha azonban négy, vagy még több csúccsal rendelkező síkidomot szeretnénk felvenni, akkor ezt nem tehetjük meg a két vetületi képen egymástól függetlenül. Három

pontot tekinthetünk adott pontnak, a többit csak az egyik képen vehetjük fel, a másikon már szerkeszteni kell a 6.24 fejezetben leírtak szerint A 6.14 ábrán egy síknégyszöget szeretnénk ábrázolni Felvettük a második képét, és az 1’, 2’ és 3’ pontjait A 4’-t az átlói segítségével szerkesztjük meg Első lépésként a második kép átlóit rajzoljuk meg, majd az első képen az 13 átlót. Ezután meghatározzuk rendező segítségével az átlók metszéspontjának első képét. A 24 átló első képét az így kapott ponton keresztül vesszük fel, ami biztosítja, hogy az átló – és annak minden pontja – illeszkedjen a négyszög síkjára. Az átlón a 4’’-ből húzott rendező metszi ki 4’-t A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 113 ► Műszaki ábrázolás I. Szerkesztések a Monge-féle rendszerben A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 114 ►

6.14 ábra Síkidom szerkesztése 6.3 Metszési alapfeladatok Az ábrázolás ismerete módot ad arra is, hogy meghatározzuk egyenesnek síkkal alkotott döféspontját vagy síkok metszésvonalát. Ezt meg is tettük azokban a különleges esetekben, amikor kerestük egyenes és képsík, sík és képsík közös elemeit, s jutottunk a nyompont és nyomvonal kitűzésére. Ezeken az eseteken túl meg akarjuk határozni általános helyzetű egyenes és sík, valamint sík és sík közös pontját, egyenesét; hogy eljussunk az általánosan kitűzött feladat megoldásához. Vegyük szemügyre – most már a metszési feladatok szempontjából – nyompont és nyomvonal szerkesztését, mely ezeknek speciális esete, tehát egyszerűen megoldható – hogy aztán megállapításainkat és eljárásunkat felhasználhassuk a továbbiakban. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 114 ► Műszaki ábrázolás I. Szerkesztések a Monge-féle

rendszerben A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 115 ► 6.15 ábra Síkra illeszkedő egyenesek döféspontja metsző síkon Elöljáróban a következőket jegyezzük meg: ha két sík metszi egymást, az egyik sík valamennyi egyenese – melyek nem párhuzamosak a metszésvonallal – a másik síkot közös egyenesükön döfi és viszont. Tehát a metszésvonal meghatározásához elegendő valamelyik sík két egyenesének döféspontját meghatározni a másik síkon vagy akár síkonként egy-egy egyenes döféspontját a másikon, mely pontok összekötése a metszésvonal. Ha vetítő- vagy főhelyzetű valamely sík, tehát van egyenesnek látszó képe, e síkot döfő egyenesek döféspontjai a sík egyenes képére illeszkedő pontok. E síkot metsző síkok metszésvonalai a sík egyenes képével egybeeső egyenesek. 6.31 Egyenes döféspontja képsíkon Vizsgáljuk meg tehát a nyompontot a metszés szempontjából!

Keressük az e egyenes döféspontját az első képsíkon, azt az egyetlen pontot, mely mind e-re, mind KS1-re illeszkedik. A KS1-et második képében élben, tehát egyenesnek látjuk KS1’’ ≡ x12 könnyen megállapítható, hogy az egyenes mely pontban döfi: N1’’, hiszen a feladat két egyenes metszéspontjának kitűzésévé egyszerűsödik. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 115 ► Műszaki ábrázolás I. Szerkesztések a Monge-féle rendszerben A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 116 ► 6.16 ábra Egyenes döféspontja a képsíkon 6.32 Egyenes döféspontja vetítő helyzetű síkon Keressük az e egyenes döféspontját a V1 első vetítősíkon. Az előző feladathoz hasonlóan azt az egyetlen pontot keressük, mely mind e-re, mind V1-re illeszkedik. A közös pont D’, az első képről olvasható le közvetlenül, mert itt mutatkozik a sík élben, egyenesnek Mivel D

az e egyenesnek pontja, így rendező segítségével kitűzhetjük hiányzó D’’ vetületét e” képén. Az egyenes láthatóságiát a második képre vonatkozólag a szemlélet alapján könnyen eldönthetjük. 6.17 ábra Egyenes döféspontja vetítősíkon A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 116 ► Műszaki ábrázolás I. Szerkesztések a Monge-féle rendszerben A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 117 ► 6.33 Sík és képsík metszésvonala Keressük [a × b] egyenesekkel adott sík és KS2 metszésvonalát, azt az egyenest, mely mindkét síkon rajta van. Voltaképpen két egyenes képsíkon való döféspontját kell megkeresnünk, melyek összekötése a keresett metszésvonal. Most a KS2’ ≡ x12 képről olvashatjuk le a’ és b’ döféspontjait a képsíkon A’ és B’. Kettőjük összekötése m’ egybeesik KS2’ képével, tehát a képsíkra való

illeszkedést kielégíti. Ha vetítjük a’’ és b’’ képekre A’’ és B’’ pontokat kapjuk, összekötésül pedig m’’-t, így az m metszésvonal a megadott általános síkra is illeszkedni fog, tehát valóban a keresett, a két sík közös egyenese lesz. A sík láthatóságát a szemlélet alapján itt is könnyen eldönthetjük: ha M a KS2 előtt van, mint ahogy megállapíthatjuk, a reá illeszkedő a és b egyenesek látszanak mindaddig, míg a képsíkba nem fúródnak és el nem tűnnek mögötte, tehát A, illetve B pontjaikig. Ezt elegendő most csak a második képen feltüntetni Megjegyezzük, hogy két metsződő sík metszésvonala mindig látható, s ez kiindulásunk lesz a későbbiekben, általános helyzetű síkok láthatóságának megállapításánál. 6.18 ábra Sík és képsík metszése 6.34 Általános helyzetű sík és vetítősík metszésvonala Keressük ABC általános helyzetű háromszög és 1234 második vetítő helyzetű

paralelogramma metszésvonalát. A paralelogramma egyenesnek adódó második képével egybeesik m’’ és tart D1”D2” szakaszon, a háromszög két határolóélének a másik síkon levő döféspontjai között. E pontoknak az első képre való vetítésével D1’ −•− A’C’ és D2’ −•− A’B’ kapjuk a metszésvonal két pontját első képen, melyek összekötése maga m’. A látható- A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 117 ► Műszaki ábrázolás I. Szerkesztések a Monge-féle rendszerben A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 118 ► ság feltüntetése az első képre nézve szükséges, s a második kép alapján döntjük el, hiszen ott tudjuk leolvasni, hogy „felülről” nézve a síkokat, melyik mit takar a másikból. 6.19 ábra Általános sík metszése vetítősíkkal Megállapíthatjuk, hogy AD1 és AD2 szakaszon látszik a háromszög, D1C

szakaszon részben, D2B egyáltalán nem látható, míg végül BC ismét csak részben tűnik elő a paralelogramma síkja alól. Ha most már feltüntetjük a háromszög láthatóságát az első képen, önként és értelemszerűen adódik, hogy mit takar a háromszög a paralelogrammából. Ezt is feltüntetve feladatunkat elvégeztük 6.35 Általános egyenes döféspontja általános síkon Keressük az e egyenes döféspontját az ABC általános helyzetű háromszög síkján. Mivel a sík egyik képben sem adódik egyenesnek, így közös pontjuk közvetlenül nem olvasható le. Visszavezetjük a feladatot általános és vetítő helyzetű sík metszésvonalának meghatározására. Az egyenesre illeszthetünk tetszés szerinti síkokat, így legcélszerűbben vetítősíkot is Ennek élben látszó képe egybeesik a szóban forgó egyenes egyik képével Először A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 118 ► Műszaki

ábrázolás I. Szerkesztések a Monge-féle rendszerben A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 119 ► ennek a vetítősíknak határozzuk meg a metszésvonalát a háromszög síkjával. A metszésvonal egyik képen fedőhelyzetben lesz az egyenes képével (vetítősík egyenesei), másik képen – melyhez egyenes síkra illesztésével jutunk – viszont metszi azt: ez a metszéspont a keresett döféspont, mivel tudjuk azt, hogy két metsződő sík egyikének egyenesei – jelen esetben a vetítősík e egyenese – a másik síkot – ABC síkját közös metszésvonalukon döfik. 6.20 ábra Egyenes döféspontjának szerkesztése A láthatóság megállapítása fedőpontok segítségével történik; pl. első képen E’ −•− e’ és H’ −•− A’B’ az egyenes és a háromszög egy első fedőpontpárja. Meg kell állapítanunk, melyik helyezkedik el magasabban, s így takarja a másikat. Ennek megállapítására

kitűzzük a pontok második képeit e”-n, illetve, A”B”-n, mivel a magassági viszonyok a második képen dönthetők el. A második képen jelölt nyíl a KS1-re való vetítés iránya; innen nézve E” és H” pontokat, azok közül E”-t találjuk magasabban Tehát az első képen az egyenes a háromszög síkja fölött fut, egészen D-ig, míg ott belefúródik a háromszög síkjába, és eltűnik mögötte – ha nincs külön utasítás, a síkot átlátszatlannak tekintjük –, hogy majd B’C’ oldal után kibukkanva a sík alól ismét látható legyen. A második kép láthatóságát hasonló módszerrel, azaz fedőpontok kitűzésével dönthetjük el Ezt az olva- A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 119 ► Műszaki ábrázolás I. Szerkesztések a Monge-féle rendszerben A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 120 ► sóra bízzuk. Megjegyezzük, hogy a láthatósági

viszony eldöntése történhet szemlélet alapján is, ha az egyenes és a sík téri helyzetét gondolatban vagy modellezve rekonstruáljuk; különösen a gondolati rekonstrukció hasznos a térszemlélet fejlesztésére. 6.36 Általános helyzetű síkok metszésvonala A szerkesztés követése és a megoldás helyességének ellenőrzése legyen a figyelmes olvasó feladata, az alábbiak előrebocsátásával: két egyenesnek, melyek síkot feszítenek ki, keressük az adott síkkal való döféspontjait, hogy összekötésükként kifeszített síkjuk és az adott sík metszésvonalához jussunk. Előző szerkesztésünket tehát kétszer végezzük el, más-más egyenesre nézve Hogy ne keverjük össze az egyes szerkesztésekben szereplő egyeneseket és síkokat, például az alábbi rövid szerkesztési menetkitűzés ajánlatos: (A’C’ × 1234)=D1’ és (3”4” × ABC)=D2”, végül D1D2 = m, mely egyenesnek azt a szakaszát tekintjük a két síkidom tényleges

metszésvonalának, amelyiket mindkettő tartalmazza. A láthatóság megállapítása fedőpontokkal történik Képenként elegendő egy fedőpontpár kölcsönös helyzetének elemzése, ebből a teljes kép láthatósága megállapítható A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 120 ► Műszaki ábrázolás I. Szerkesztések a Monge-féle rendszerben A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 121 ► 6.21 ábra Általános síkok metszésvonala Mivel a gyakorló feladatok, felvétel szerint a síkoknak más-más egymásba metsződését adhatják, a lehetséges eseteket vázoltuk a 6.22 ábrán Megjegyezzük még, hogy célszerű dőlt és feszített síkok metszésvonalát szerkeszteni az átmetsződés nagyobb valószínűsége miatt A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 121 ► Műszaki ábrázolás I. Szerkesztések a Monge-féle rendszerben A

dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 122 ► 6.22 ábra Metsződő síkidomok lehetséges helyzetei Végül előfordul, hogy a sík tartóegyenesei csak a rajztéren kívül adnak metszéspontot a másik síkkal. Ekkor folyamodhatunk a sík tetszőlegesen választott két egyeneséhez, hiszen a két sík közös egyenesét keressük, melyet bármely két pontjával meghatározhatunk. 6.37 Nyomvonalaival adott síkok metszésvonala Adott Γ és Π sík n1Γ és n2Γ valamint n1Π és n2Π nyomvonalaival. Metszésvonaluk megszerkesztéséhez a síkoknak legalább két közös pontjára van szükségünk. Egyikként adódik (n1Γ × n1Π) = N1 az első képsíkon levő, és másikként adódik (n2Γ × n2Π) = N2 a második képsíkon levő közös pont. A nyompontok hiányzó vetületeit rendezéssel nyerjük a síkok nyomvonalainak másik képén, mely x12 tengellyel esik egybe:. N1’N2’ = m’, továbbá N2”N1” = m” a megoldás. A

dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 122 ► Műszaki ábrázolás I. Szerkesztések a Monge-féle rendszerben A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 123 ► 6.23 ábra Nyomvonalaikkal adott síkok metszésvonala 6.38 Test síkmetszése A feladat megoldása nem jelent különösebb nehézséget, ha akár a metszősík, akár az elmetszett test vetítő helyzetű. Nézzünk erre egy példát! Adott a szabályos hatszög alapú, első vetítő helyzetű hasáb és az azt metsző ABCD általános helyzetű paralelogramma. A paralelogramma egyik képét teljesen, másikat három pontjával vehetjük fel. A hiányzó negyedik csúcsot annak ismeretében szerkesztjük, hogy a térben egymással párhuzamos egyeneseknek megfelelő indexű képei is párhuzamosak egymással. A hasáb oldallapjai első képben egyenesnek adódnak, így mindjárt adják a paralelogrammával alkotott metszésvonalaik első

képét is. Ezek rendre a következők: 1’2’ = m1’, 2’3’ = m2’, 3’4’=m3’, 4’5’ = m4’, 5’6’ = m5’, végül 6’1’ = m6’. Az m1’ metszésvonalat a hasáb 1’2’ oldaléleire illeszthető V1 vetítősík metszi ki; m1’ illeszkedik a paralelogrammára, rendezéssel jutunk m1’’-höz, melynek 1” és 2” élekkel való metszése adja az élek döféspontját I” és II” az ABCD paralelogrammán. Hasonlóképpen vesszük fel V2, V3, V4, V5, V6 síkokat, és segítségükkel kitűzzük a hasábélek III; IV; V; VI; döféspontjait a síkidomon. A döféspontok sorrend szerinti összekötésével, majd a láthatóság megállapításával a feladatot elvégeztük A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 123 ► Műszaki ábrázolás I. Szerkesztések a Monge-féle rendszerben A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 124 ► 6.24 ábra Hatszög alapú hasáb

síkmetszése Munkánkat azonban gyorsabban és pontosabban végezhetjük, ha figyelembe vesszük, hogy V1 || V4, V2 || V5, V3 || V6, és tudjuk, hogy két párhuzamos síkból egy harmadik sík egymással párhuzamos metszésvonalakat metsz ki. Így m1 || m4, m2 || m5, m3 || m6 a második képre is fennáll, tehát elegendő m1, m2, m3 kitűzése, melyekkel aztán párhuzamosan, mindig az előző végpontjától húzva a következő metszésvonalat meghatározzuk m4, m5, m6-ot. 6.4 Párhuzamossági feladatok Az előző feladatban alkalmaztuk párhuzamos egyenesek képeire vonatkozó ismereteinket. Hasonlóképpen egyszerű, axiomatikus meggondolás alapján szerkesztünk síkkal párhuzamos egyenest s fordítva, és párhuzamos síkokat. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 124 ► Műszaki ábrázolás I. Szerkesztések a Monge-féle rendszerben A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 125 ► 6.41

Adott síkkal párhuzamos egyenes szerkesztése adott ponton keresztül A feladatnak számtalan megoldása van. Eljárásunk a következő: egy az adott síkra illeszkedő tetszőleges egyenest veszünk fel, majd az adott pont megfelelő képein keresztül a síkra illeszkedő egyenes képeivel párhuzamost húzunk. 6.25 ábra Síkkal párhuzamos egyenes szerkesztése 6.42 Adott egyenessel párhuzamos sík szerkesztése adott ponton át. Mivel sík és egyenes akkor párhuzamos, ha van a síkban legalább egy az egyenessel párhuzamos egyenes, a megadott egyenes képeivel párhuzamost húzunk az adott pont megfelelő képein keresztül – ez az egyenes biztosítja a párhuzamosságot és egyben a szerkesztendő sík egyik tartóegyenese –, majd szintén az adott pontra illesztve, tetszőleges másik tartóegyenest veszünk fel, hiszen a feladatnak számtalan megoldása van. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 125 ► Műszaki

ábrázolás I. Szerkesztések a Monge-féle rendszerben A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 126 ► 6.26 ábra Egyenessel párhuzamos sík szerkesztése 6.43 Párhuzamos síkok Ha az adott sík tartó- vagy nyomelemeivel párhuzamos elemeket húzunk, akkor máris megadtuk az adott síkkal párhuzamos síkot. 6.27 ábra Párhuzamos síkok A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 126 ► Műszaki ábrázolás I. Szerkesztések a Monge-féle rendszerben A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 127 ► 6.5 Merőlegességi alapfeladatok Ha valamely egyenes egy sík bármely két egyenesére merőleges, akkor merőleges magára a síkra is. Γ síkot megadjuk f1 és f2 főegyenesével, felvesszük V1⊥f1 síkot, mely sík valamennyi egyenese merőleges lesz f1-re Felvesszük V2⊥f2 síkot, mely sík valamennyi egyenese merőleges lesz f2-re. |V1 × V2| = n

mindkét sík egyenese, tehát kielégíti mind f1-re, mind f2-re való merőlegességét, ami egyben azt jelenti, hogy n⊥Γ. Az egyenest a sík normálisának is nevezzük. 6.28 ábra Sík normálisa Vetületi ábrázolásban megadjuk, vagy meghatározzuk a Γ sík első és második fővonalait f1 ≡ h és f2 ≡ v. Mivel ezek KS1-gyel, illetve KS2-vel párhuzamos egyenesek, rájuk minden további nélkül állíthatunk merőleges síkot, hiszen ez ekkor első, illetve második vetítősík lesz, tehát egyenesnek adódnak megfelelő képükben. Egymásra merőleges egyenesek felvétele nem jelent gondot. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 127 ► Műszaki ábrázolás I. Szerkesztések a Monge-féle rendszerben A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 128 ► 6.29 ábra Sík normálisának szerkesztése A 6.29 ábrán illusztráltuk a vetítősíkok „nem élben látszó” képeit is: V1”

és V2’, hogy könnyebben belátható legyen, hogy egymással alkotott metszésvonaluk n’ és n” a megfelelő síkok vetítő helyzetű képeivel azonosak. Tehát n’ ≡ V1’ és n” ≡ V2”. Állítsunk adott Γ síkra merőleges síkot, mely egy a Γ síkot döfő e egyenesre illeszkedik. A feladatnak egy megoldása van Az e egyenes egy tetszőleges P pontjából Γ-ra merőleges n egyenest állítunk. Ekkor n’⊥h’ és n”⊥v” lesz. [n × e] = Σ sík tartalmazza az e egyenest, s van legalább egy olyan egyenese (az n), ami az adott Γ síkra merőleges, így mint tudjuk Σ⊥Γ. Meghatározhatjuk a két sík metszésvonalát is: (e × Γ) = E, (n × Γ) = D, ED = m. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 128 ► Műszaki ábrázolás I. Szerkesztések a Monge-féle rendszerben A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 129 ► ◄ 129 ► 6.30 ábra Síkra merőleges sík

szerkesztése A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza Műszaki ábrázolás I. Szerkesztések a Monge-féle rendszerben A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 130 ► 6.6 Térelemek főállásba forgatása 6.61 Az affinitás modellezése, értelmezése Általános négyszög alapú hasábot két különböző állású síkkal elmetszünk. A két sík legyen T és KS. A hasáb valamennyi éle döfi e síkokat A szomszédos hasábélekként kifeszített oldallapok metszik a két síkot az élek döféspontjaira illeszkedő metszésvonalakban, melyek |T × KS| = t egyenesen találkoznak, mert T, KS és például [1,2] = Γ síkok általános elhelyezkedésűek egymáshoz képest, így metszésvonalaik egyetlen közös pontjukba futnak 6.31 ábra Az affinitás modellezése Ha az oldaléleket párhuzamos vetítősugaraknak tekintjük, úgy is felfoghatjuk modellünket, hogy a hasáb 1234 síkmetszetének, mint

tárgynak e vetítés által megfeleltetjük (1)(2)(3)(4) síkmetszetét, mint képet. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 130 ► Műszaki ábrázolás I. Szerkesztések a Monge-féle rendszerben A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 131 ► 6.32 ábra Affin pontpárok A vetítősugarak egymásnak megfelelő pontpárokat kötnek össze, az egymásnak megfeleltetett egyenesek tárgysík és képsík metszésvonalán találkoznak. Képzeljük el, hogy a vetítősugarak rugalmasak, s egyesítsük a két síkot metszésvonaluk körül elforgatva. Az előző térbeli összefüggés síkbeli megfelelőjét kapjuk, ahol ahhoz hasonlóan, a vetítősugarak rögzítőpontjaik között feszülnek egymással párhuzamosan, és az egymásnak megfelelő egyeneseknek közös T tengelypontjuk van. Ha két egyesített síkbeli rendszer között fennáll az előbbi összefüggés, akkor a kettő síkmértani

rokonságáról, affinitásról beszélünk. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 131 ► Műszaki ábrázolás I. Szerkesztések a Monge-féle rendszerben A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 132 ► 6.33 ábra Affin pontpárok a síkban Egyértelműen ismert az affinitás, ha a két rendszert meghatározó elemekből annyinak birtokában vagyunk, melyek elegendőek ahhoz, hogy bármelyik rendszer tetszőlegesen kitűzött elemének a másik rendszerbeli megfelelőjét meghatározhassuk. Ismerve P, (P) megfeleltetett pontpárt, melyek összekötése adja az affinitás i irányát és a megfeleltetés t tengelyét, további tetszőlegesen felvett R pont (R) rokonát tűzhetjük ki. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 132 ► Műszaki ábrázolás I. Szerkesztések a Monge-féle rendszerben A dokumentum használata | Tartalomjegyzék |

Irodalomjegyzék Vissza ◄ 133 ► 6.34 ábra Egyértelműen ismert affinitások Hasonlóan egyértelmű a megadás, ha két megfeleltetett pontpárt ismerünk, melyek párhuzamos egyenesekkel összeköthetők /P(P) || R(R)/ és egy T tengelypontot, mely nem illeszkedik PR, illetve (P)(R) pontokra húzható egyenesekre. Bármely tetszőleges (Q) pont rokonát, Q-t kitűzhetjük Az affinitás méretes feladatok megoldására használható fel, egyenesnek, síknak képsíkkal párhuzamos helyzetbe forgatásánál. A forgatásnál a tárgyat olyan helyzetbe hozzuk, mely alkalmas a kitűzött feladat megoldására. A szerkesztésnél ekkor a tárgy képe és forgatottja, mint egyesített síkbeli rendszerek között fennálló affinitást használjuk fel. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 133 ► Műszaki ábrázolás I. Szerkesztések a Monge-féle rendszerben A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza

◄ 134 ► 6.35 ábra Háromszög főhelyzetbe forgatása Általános helyzetű ABC háromszöget KS-kal párhuzamos helyzetbe forgatunk, A°B°C° forgatottjában valódi nagyságát kapjuk. A pontok leforgatott képét nulla indexszel látjuk el, mint a z a 635 ábrán is látható Egyes szakirodalmak a pont leforgatott képét (affin megfelelőjét) zárójellel jelölik, ez látható a 6.34 ábrán A 635 ábra háromszögét úgy forgattuk le, hogy a főhelyzetű BC oldalát, mint tengelyt használtuk, majd megmértük a tengely és az A pont – V vetítősíkban látható – távolságát, és ezt a főegyenesre merőlegesen, vízszintes helyzetig forgattuk. A piros pontvonal jelöli AB oldal valódi hosszát A forgatással azonos eredményt ad a két síkállás Σ szögfelező síkjára, merőleges vetítés, melyből következik, hogy síkidom képe és forgatottja közötti affin összefüggésnél a vetítés (forgatás) iránya merőleges lesz a forgatás

(megfeleltetés) tengelyére. Egyenest tetszőleges pontjára illesztett vetítősugár, síkot főegyenese, vagy nyomvonala körül forgatunk képsíkkal párhuzamos helyzetbe. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 134 ► Műszaki ábrázolás I. Szerkesztések a Monge-féle rendszerben A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 135 ► 6.36 ábra Forgatás és affinitás összefüggése 6.62 Egyenes paralelforgatása, a rotáció Határozzuk meg AB általános helyzetű egyenesszakasz valódi nagyságát! Ha a szakaszt valamelyik képsíkkal párhuzamos helyzetbe hozzuk, főhelyzetű képét kapjuk, ami egyben a szakasz valódi nagyságát is mutatja. A forgatást úgy végezhetjük el, hogy a képeivel adott szakasz valamely pontjára (a példában legyen B) első vagy második vetítőegyenest illesztünk. t’−•−B’ és t”−•−B”;[AB × t]=V1 vetítősíkot kapjuk, amit t egyenese

körül KS2-vel párhuzamos helyzetbe fordítunk. A síkkal együtt természetesen a szakasz is főhelyzetbe kerül, és a vetületi képről leolvasható valódi nagysága, és első képsíkszöge. Ha a B pontra második vetítőegyenest, és ezzel második vetítősíkot illesztenénk, akkor a második képsíkszögét kaphatnánk meg az első képen. Modellezve úgy képzelhetjük el egyenesszakasz rotációját, hogy mind a szakasz, mind forgatottja ugyanannak a B csúcsú, t tengelyű forgáskúpnak az alkotói, tehát egymással egyenlők, de a forgatott, mint képhatár alkotó, főhelyzetű, így eredeti méretében adódik. A szakasz képe és forgatottja egymással merőleges affinitásban állnak, amennyiben mint egymásnak megfeleltetett egyenesek a forgatási tengelyen metszik egymást és megfelelő pontjaik összeköthetők a forgatás irányával. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 135 ► Műszaki ábrázolás I.

Szerkesztések a Monge-féle rendszerben A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 136 ► 6.37 ábra Rotáció 6.63 Vetítősík forgatása Két képével ismert a második vetítősíkban levő A’B’C’, A”B”C” háromszög. Felvesszük KS1-gyel párhuzamosan a forgatás tengelyét, pl t−•−A, ez második vetítőegyenes lesz. A forgatási tengelyt a rajzon látható (=) jellel látjuk el. Megjegyezzük, hogy tengelyként V2 bármelyik vetítőegyenesét fölvehetjük, s a felvétel szerint vagy nem lesz háromszögcsúcs tengelypont, vagy átfedi részben egymást vetületi és forgatott kép, továbbá ellenkező irányba is forgathatunk, és eredményül ugyanazt kapjuk. A tengely második képére illesztünk a rendezés irányára merőleges egyenest; ez jelzi a KS1-gyel párhuzamos síkállást, melybe forgatni kívánjuk ABC síkidomot. Elvégezzük a forgatást, s jutunk ABC főhelyzetéhez Majd rendezővel elmetsszük a

B’, C’ pontokra illesztett s a forgatás tengelyére merőleges forgatási irányokat, s adódik B°, C°. Az A’ ≡ A°, mivel esetünkben tengelypont. A pontok összekötésével jutunk a háromszög forgatott képéhez, ahonnan oldalainak hosszúsága, szögeinek nagysága valódi méretben leolvasható. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 136 ► Műszaki ábrázolás I. Szerkesztések a Monge-féle rendszerben A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 137 ► 6.38 ábra Vetítősík leforgatása 6.64 Sík forgatása, a forgatási (különbségi) háromszög Az A”t”AX derékszögű háromszöget vizsgálva, a következő észrevételeket tesszük: • a háromszög t”AX befogója a leforgatandó A pontnak a forgatási tengelytől mért távolsága (t1) • a háromszög A”AX befogója a leforgatandó A pontnak a forgatási tengelytől mért magassága (t2) • a háromszög t”A”

átfogója a pont forgatottjának a forgatási tengelytől mért távolsága, azaz t”A” = t’A° = t3. A t”A”AX háromszöget az A pont forgatási vagy különbségi háromszögének nevezzük. Minden leforgatandó ponthoz tartozik egy forgatási háromszög, mely háromszögek, mivel ugyanazon sík pontjaihoz tartoznak hasonlóak. A forgatás tengelyének ismeretében általában elegendő egy pont különbségi háromszögét és vele a pont forgatottját megszerkeszteni, mert a vetületi és forgatott kép közötti affin összefüggés felhasználásával a további pontok kitűzhetők. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 137 ► Műszaki ábrázolás I. Szerkesztések a Monge-féle rendszerben A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 138 ► 6.39 ábra A forgatási háromszög Mivel általános sík bármely pontjának a sík egy tetszőleges főegyeneséhez, mint forgatási tengelyhez

viszonyított távolsága és magassága a képek alapján közvetlenül kijelölhető, a forgatási háromszöget nem csak speciális, hanem általános helyzetű sík leforgatásánál is alkalmazhatjuk. 6.65 Általános sík leforgatása Síkalakzat főállásba forgatása a megismert elvek szerint történik, tehát a forgatás tengelye az egyik fővonal és a tengely körül az alakzat egy pontját forgatjuk főállásba. Ezért elég csak egy pontot forgatni, mert a síkalakzat vetületi és forgatott képe között merőleges affinitás lép fel. Az affinitás tengelye a forgástengely, az affinitás iránya pedig merőleges a tengelyre. A 6.40 ábra síkháromszög főállásba forgatását mutatja be és a merőleges affinitás alkalmazására is példát mutat Adott az [ABC] háromszög két vetületi képével. Mutassuk meg a háromszög valódi alakját (terület- szögés távolságviszonyait) második főhelyzetbe forgatással Így a forgatás tengelye a vertikális

főegyenes lesz A vertikális főegyenes első képét vízszintesen, az A ponton keresztül vettük fel Az S segédpontot a |BC| = s segédegyenesen kapjuk. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 138 ► Műszaki ábrázolás I. Szerkesztések a Monge-féle rendszerben A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 139 ► 6.40 ábra Általános síkban fekvő síkidom leforgatása A háromszög C pontját forgatjuk főállásba, A pontja a tengelyen van, tehát helybennmaradó pont, míg B pontját affinitással állítjuk elő a forgatott képen. A forgatási háromszöget vonalkázással tehetjük képiesebbé Sík visszaállítása alatt azt a szerkesztési eljárást értjük, amely során a főhelyzetű síkot vagy síkalakzatot általános helyzetbe forgatjuk. Tehát a főállásba forgatás megfordításáról van szó. Sokszor előfordul, hogy egy adott általános helyzetű síkban (vetületi

képein) előírt alakú síkidomot (szabályos sokszöget, kört, betűalakot, stb.) kell ábrázolnunk. Egyszerűbb megoldás, ha főegyeneseivel adott síkot először főállásba forgatjuk, majd a forgatott képen a visszaállítani kívánt alakzatot megrajzoljuk és jellemző pontjait affinitással és rendezők segítségével visszük vissza a vetületi képekre. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 139 ► Műszaki ábrázolás I. Szerkesztések a Monge-féle rendszerben A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 140 ► Ezt az eljárást mutatja a 6.41 ábra, ahol főegyeneseivel adott [h × v] = Σ síkra visszük fel t távolságú párhuzamos egyenespár [a||b] képeit. Szerkesztés során kihasználjuk az egyenesek párhuzamosságát 6.41 ábra Adott t távolságú párhuzamos egyenesek fektetése általános síkra Ha az [a||b] közötti síkrészt pl. h-val párhuzamosan vonalkázzuk,

akkor a vetületi képek képiesebbek lesznek. A szerkesztés begyakorlására legalkalmasabb idomok a nem szimmetrikus betűk és számok (pl 1; 2; 3;; B; C; K; stb.), mert a gyakorláson túl, jól érzékeltetik a sík „állását”, dőlt vagy A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 140 ► Műszaki ábrázolás I. Szerkesztések a Monge-féle rendszerben A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 141 ► feszített helyzetét. Bonyolultabb, de a sík visszaállítását jobban tükröző eljárás az, amikor a főhelyzetben megadott alakzatból kiindulva szerkesztjük meg annak és a sík tartóegyeneseinek vetületi képeit. A szerkesztést nem végezhetjük „mechanikusan” a leforgatási eljárás megfordításával, mert a szerkesztés nem megfordítható. Ennek oka, hogy a forgatási háromszögnek csak az átfogója ismert, de az általános sík képsíkszöge nem. A sík

visszaállításhoz most is a síkalakzat leforgatott és megfelelő vetületi képe közötti affin kapcsolatot használjuk fel a síkalakzat egy affin pontpárja és az affinitás tengelye segítségével. Legyen feladatunk, hogy egy [ABC] egyenlő oldalú háromszög vetületi képeit keressük meg. A szerkesztést a 642 ábra mutatja 6.42 ábra Egyenlő oldalú háromszög vetületi képeinek szerkesztése A háromszög megrajzolása után tetszőlegesen felvesszük a h° = h’ = t leforgatási tengelyt és a C° pont affin megfelelőjét C’-t. A forgatási három- A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 141 ► Műszaki ábrázolás I. Szerkesztések a Monge-féle rendszerben A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 142 ► szög megszerkesztése után ennek befogóját a tetszőleges „magasságban”, de vízszintesen megrajzolt h”-től felmérjük a rendezőre. Így kapjuk C”-t Az

affinitás segítségével megszerkesztjük a hiányzó A és B pontokat, melyek második vetületi képeit a C”-höz hasonlóan határozzuk meg. 6.7 Transzformáció, új vetületi kép szerkesztése Az eddigiek során megtanultuk a térelemekkel kapcsolatos eljárásokat, azok ábrázolásának módjait. Bár általában a két képsíkon – két vetületi képpel – való ábrázolás kielégítő megoldást szolgáltat, mégis igen sok esetben megkönnyíti a szerkesztést és az ábrázolást, ha új képsíkot vezetünk be a már megismert képsíkokon (K1, K2, K3) túlmenően. Ha egy új képsík bevezetésével (K4, K5,) új vetületi képet állítunk elő, akkor ezt az eljárást transzformációnak (átalakítás, átváltás) nevezzük. Az új képsík bevezetésének szükségességét és előnyeit az alábbiak szerint foglalhatjuk össze: • Két vetületi kép nem ad minden esetben kellő információt a rekonstruáláshoz. • Általános helyzetű térelemeket

speciális helyzetűvé tudjuk átváltani, és speciális helyzetű térelemekkel egyszerűbben jutunk megoldáshoz. • Speciális helyzetű térelemekkel meghatározott alakzatokról általános helyzetű, képies képet tudunk készíteni. Az új képsíkrendszerre való áttérésnél egyszerre csak egy-egy új képsíkot vezethetünk be. Az új képsík mindig vetítősíkja valamelyik ismert képsíknak A párhuzamos-merőleges vetítési rendszert továbbra is megtartjuk Az új képsíkot a rá merőleges síkkal alkotott metszésvonala (képsíktengely) körül forgatjuk a merőleges síkba. Az új képsík a rá merőleges képsíkkal - maradó képsík - új képsíkrendszert alkot pl K1-K4 K2-K4, amelyben ugyanúgy dolgozunk, mint K1-K2 képsík esetén. A fel nem használt képsík neve elmaradó képsík, pl K1-K4 esetén a K2; K2-K4 esetén K1 A felhasznált képsík lesz a maradó képsík. 6.71 Pont transzformációja Amennyiben ismerjük egy pont új vetületi

képének elkészítési módszerét, úgy bonyolultabb térelemek transzformációja sem jelent problémát. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 142 ► Műszaki ábrázolás I. Szerkesztések a Monge-féle rendszerben A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 143 ► 6.43 ábra Pont transzformációja Pont transzformációját mutatja a 6.43 ábrán megrajzolt képies kép, míg a 6.44 ábrán P pont transzformációját látjuk vetületi képeken Az elmaradó képsík K2 tehát az elmaradó vetületi kép P”. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 143 ► Műszaki ábrázolás I. Szerkesztések a Monge-féle rendszerben A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 144 ► 6.44 ábra Pont 4 és 5 vetületi képe A 6.44 ábrát továbbfejleszthetjük, hiszen megállapítottuk, hogy az új K4 képsík a K1 képsíkkal a

K1-K2 rendszerrel egyenértékű új rendszert alkot. Vegyünk fel a K4 képsíkra merőlegesen egy újabb, K5 képsíkot, mely K4-el újabb rendszert alkot, ahol az elmaradó képsík már K1 lesz, stb. Megállapíthatjuk tehát, hogy pont új képét úgy kapjuk meg, hogy a megmaradó képből merőlegest állítunk az új képsíktengelyre, és az új rendezővonalra a tengelytől felmérjük a pont elmaradó rendezőjét. 6.72 Egyenes transzformációja Egyenes transzformálását annak két pontjával végezzük el. A feladat megoldása előtt ismételjük át a 5.3 fejezetben, a képsíktengelyek elhagyásáról elmondottakat A 645 ábrán |AB| = e egyenes transzformálását látjuk, ha az elmaradó vetületi kép az e’. A transzformálás irányát tetszőlegesen vehetjük most fel A képsíktengelyek helyett, az azokkal párhuzamos ún viszonyító egyenesekkel, más néven bázisvonalakkal dolgozunk, A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza

◄ 144 ► Műszaki ábrázolás I. Szerkesztések a Monge-féle rendszerben A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 145 ► melyeken V jellel (tulajdonképpen szintkótával) jelöljük az elmaradó rendezők bázisvonalát. A bázisvonal valójában nem más, mint egy olyan fősík metszete az új és az elmaradó képsíkkal, mely fősík párhuzamos a megmaradó képsíkkal. A viszonyító egyenest célszerűen az egyik pontra illesztjük 6.45 ábra Egyenes transzformációja Sík és téralakzat transzformálását azok meghatározó elemeinek segítségével végezzük el. Segítségül a 644 és 645 ábrák szolgálnak 6.73 Céltranszformáció Az előző pontban megismerkedtünk a transzformációval, mint szerkesztési eljárással. Az új képsíkokat, illetve transzformálási irányokat a síkra ill képsíktengelyre merőlegesen ugyan, de tetszőleges irányban vettük fel. Az így kapott új képek azonban nem adtak több

információt, mint a megmaradó és elmaradó képek együtt. A céltranszformáció feladata, hogy a már megfogalmazott előnyöket (főhelyzet vagy vetítőhelyzet) biztosítsuk. Általános helyzetű térelemek céltranszformációja E feladatcsoporton belül az a feladatunk, hogy az általános helyzetű egyeneseket és síkokat transzformálás segítségével fő-, vagy vetítőhelyzetbe állítsuk. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 145 ► Műszaki ábrázolás I. Szerkesztések a Monge-féle rendszerben A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 146 ► Egyenes főhelyzetbe transzformálása alatt azt értjük, hogy a képsíkokhoz képest általános helyzetű egyenes a [K1-K4] vagy [K2-K4] képsíkokhoz képest főhelyzetben van. A 646 ábrán látható képies képről megállapítható, hogy egyenes főhelyzetbe transzformálása az egyenessel párhuzamos vetítősík K4 segítségével

történik, mert az egyenes az új képsíkkal párhuzamos, 4. főegyenes lesz 6.46 ábra Egyenes főhelyzetbe transzformálása A 6.47 ábrán a feladat vetületeken ábrázolt megoldását látjuk Főhelyzetbe transzformált egyenesszakasz hossza valódi nagyságban látszik a K4 képsíkon. Egyenes vetítőhelyzetbe transzformálása azt jelenti, hogy az egyenes az új képsíkrendszerben merőleges valamelyik képsíkra. A 648 ábrán a képies kép mutatja az eljárást, mely szerint vetítőhelyzetet csak a főhelyzetből lehet transzformációval előállítani. Az új K4 képsíkot a főhelyzetű egyenesre merőlegesen vesszük fel, így az egyenes pontjai fedőhelyzetben vannak. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 146 ► Műszaki ábrázolás I. Szerkesztések a Monge-féle rendszerben A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 147 ► 147 ► 6.47 ábra Egyenes főhelyzetbe

transzformálása vetületeken 6.48 ábra Egyenes vetítőhelyzetének szerkesztése A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ Műszaki ábrázolás I. Szerkesztések a Monge-féle rendszerben A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 148 ► A 6.49 ábrán a feladat vetületi megoldását látjuk, amelyről megállapíthatjuk, hogy egyenes vetítőhelyzetbe transzformálása két lépésben – előbb fő-, majd vetítőhelyzetbe – történik. 6.49 ábra Általános egyenes vetítőegyenessé transzformálása Sík vetítőhelyzetbe transzformálása azt jelenti, hogy az új vetületi képen a sík élben látszik. A megoldás elve, hogy az új képsíkot a sík egyik főegyenesére merőlegesen vesszük fel. A 6.50 ábrán látható szerkesztési eljárás lépései: • Meghatározzuk az [A,B,C] = Σ sík egyik, pl. v főegyenesét, mely egyben a viszonyító egyenes is • a transzformáció iránya

megegyezik a főegyenes v” vetületi képének irányával • az új képre a pontokat „előjelhelyesen” rajzoljuk fel. Sík főhelyzetbe transzformálása két lépésben történik. A síkot előbb vetítőhelyzetbe, majd az élben látszó képpel párhuzamosan felvett új képsíkra transzformáljuk. Természetesen egyszerűbb megoldás, ha 6.6 fejezet szerint főhelyzetbe forgatjuk a síkot A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 148 ► Műszaki ábrázolás I. Szerkesztések a Monge-féle rendszerben A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 149 ► 6.50 ábra Sík vetítősíkká transzformálása Speciális helyzetű téralakzatok transzformációja Speciális helyzetű térelemek transzformációja az eddigi ismereteink alapján megoldható ugyan, de szükségtelen, hiszen az egyenesek és síkok éppen speciális helyzetükben adnak kielégítő és teljes információt. Térelemek

képiességéről nem beszélhetünk. Más a helyzet téralakzatok, testek esetén. Vetületi ábrázolás során igyekeztünk a téralakzatot a képsíkokhoz képest speciális helyzetben ábrázolni, mert így az alak- és mérethűségük kielégítő eredményt adott. A képiesség viszont elmaradt. A 651 ábrán két vetületi képével ábrázolunk egy téglatestet speciális helyzetben. A két vetületi kép alapján az alakzat rekonstruálható. Képies képet kétszeres transzformáció segítségével állítunk elő Első transzformálással az új képsíkon főhelyzetű az alakzat, míg az ötödik képe már általános helyzetű. Az alakzat fedőlapjának betűjelei és A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 149 ► Műszaki ábrázolás I. Szerkesztések a Monge-féle rendszerben A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 150 ► egy vetítőegyenese jó segítséget nyújt a képies kép

láthatósági viszonyainak eldöntéséhez. 6.51 ábra Test képies képének szerkesztése 6.74 Térgeometriai alapfeladatok megoldása céltranszformációval A 6. fejezetben megismert térgeometriai alapfeladatok általában megoldhatók céltranszformáció segítségével, hiszen a térelemek speciális helyzetükben igen előnyösen mutatják jellemzőiket (távolság-, szög- és területi viszonyaikat) Lássunk két feladatot ennek bizonyítására! Két sík hajlásszögét határozzuk meg, ha már ismert azok m metszésvonala. A 6.52 ábrán láthatóan két síkháromszög hajlásszögét úgy határozzuk meg, hogy metszésvonalaikat kétszeres transzformációval vetítő helyzetbe állítjuk, így a síklapok élben látszanak, és a szög leolvasható. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 150 ► Műszaki ábrázolás I. Szerkesztések a Monge-féle rendszerben A dokumentum használata | Tartalomjegyzék |

Irodalomjegyzék Vissza ◄ 151 ► 6.52 ábra Két általános sík hajlásszögének meghatározása Két kitérő egyenes távolságát szintén kétszeres transzformációval határozhatjuk meg a 6.53 ábra szerint, ahol az a egyenest vetítőhelyzetbe állítjuk a már tárgyalt módon Így az egyenesek távolsága leolvasható A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 151 ► Műszaki ábrázolás I. Szerkesztések a Monge-féle rendszerben A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 152 ► Vissza ◄ 152 ► 6.53 ábra Kitérő egyenesek távolsága A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Műszaki ábrázolás I. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Axonometria Vissza ◄ 153 ► 7. Axonometria Az előzőkben megismert és alkalmazott két-, illetve többképsíkos ábrázolási rendszernek számtalan előnye mellett hátránya, hogy

a vetületi képek általában nem képiesek. Mint láttuk azonban, volt lehetőségünk képies vetületi kép ábrázolására, ha megszüntettük a téralakzat speciális helyzetét. Ezt kétféleképpen érhettük el: • a téralakzatot általános helyzetű síkra „állítottuk”. Ehhez nyújtott segítséget a sík főállásba forgatása • más megoldással értünk el azonos eredményt a megismert kétszeres transzformációval. Ha ábrázolásunk során elsőrendű cél a képies ábrázolás, úgy az elég sok szerkesztési munkát igénylő fenti eljárások helyett egy újabb, az axonometrikus ábrázolási rendszert alkalmazzuk, amelyben a mérethelyesség is elérhető. 7.1 ábra Ferdeszögű axonometria értelmezése A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 153 ► Műszaki ábrázolás I. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Axonometria Vissza ◄ 154 ► Az axonometrikus ábrázolás

leképzési rendszerét a 7.1, valamint a 72 ábrák mutatják be. Az ábrázolás elve, hogy az alakzat vetületi képét az úgynevezett axonometrikus képsíkon – a rajz síkján – képezzük. Az axonometrikus ábrázolási rendszerben az alakzatot egy térbeli koordináta rendszerbe helyezzük. A koordináta rendszer x, y és z tengelyei a koordináta síkokat határozzák meg, melyek a többképsíkos rendszer elől-, felülés oldalnézeti képsíkjának felelnek meg 7.2 ábra Merőleges axonometria értelmezése Az axonometrikus vetületi kép képzésére párhuzamos, merőleges, vagy ferdeszögű vetítési módot használhatunk. Ennek megfelelően a képies vetületi képet is több módon állíthatjuk elő A különböző eseteket és azok feltételeit az alábbi táblázat mutatja: A tengelykereszt helyzete A vetítés iránya Az axonometrikus rendszer neve általános merőleges ortogonális speciális ferdeszögű klinogonális általános ferdeszögű általános

A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 154 ► Műszaki ábrázolás I. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Axonometria Vissza ◄ 155 ► 7.1 Merőleges (ortogonális) axonometrikus rendszer A merőleges vagy ortogonális axonometrikus rendszer jellemzői a 7.2 ábra alapján: • a tengelykereszt és a benne lévő téralakzat az axonometrikus képsíkhoz képest általános helyzetű • a vetítés iránya az axonometrikus képsíkra merőeges. Az általános helyzetű tengelykereszt tengelyei az axonometrikus képsíkkal különböző szöget zárnak be, így az egyes tengelyek, az azokkal párhuzamos egyenesek vetületei a hajlásszögtől függően rövidülve jelennek meg. Ahhoz tehát, hogy a vetületek alapján az axonometrikus képet meg tudjuk szerkeszteni, ismernünk kell az egyes tengelyek mentén a rövidülések mértékét. 7.11 Az axonometrikus tengelykereszt tengelyirányú rövidülésének

meghatározása A tengelykereszt térbeli helyzetét azzal rögzíthetjük az axonometrikus képsíkhoz, hogy kijelöljük a tengelyek és a képsík X, Y és Z metszéspontjait, a koordináta síkok és az axonometrikus képsík metszésvonalai X, Y, Z pontokat összekötő egyenesek. Az így kialakult síkidom az úgynevezett nyomháromszög. A nyomháromszög egy csúcspontját tetszőlegesen vehetjük fel, míg a másik két pont kiadódik abból a feltételből, hogy a nyomháromszög oldalai merőlegesek a megfelelő koordináta síkokra merőleges tengelyek vetületi képeire. A 7.3 ábrán oldalnézetben láthatjuk a tengelykeresztet és az axonometrikus képsíkot, mely élben látszik. Az O pont kijelölése Thalesfélkör segítségével történik Oldalnézeti képen leolvasható a z tengelynek az axonometrikus képsíkkal bezárt szöge γ és rövidülésének mértéke, mely a vonalkázott háromszög átfogójának és a γ szög melletti befogójának aránya. Adott t

távolság rövidült képe ta a z tengelyre az ábra szerint vihető fel. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 155 ► Műszaki ábrázolás I. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Axonometria Vissza ◄ 156 ► 7.3 ábra z tengely rövidülésének szerkesztése Az ábrán bemutatott eljárást megismételve, az x és y tengelyekre nézve is, megkapjuk a tengelyeken is a rövidülés mértékét, illetve az α és β hajlásszögeket. Más módszerrel is eljuthatunk a megoldáshoz. Ezt mutatja a 74 ábra, amelyen tetszőleges helyzetű tengelykereszt látható nyomháromszögével. Az OXY derékszögű háromszög valódi nagyságát megszerkesztjük az XY = mZ metszésvonal, mint tengely körüli axonometrikus képsíkba forgatással. Az O pontot Thales-félkör segítségével kapjuk meg Forgatott képen az OX és OY szakaszok valódi hosszúságban láthatók. A szakaszokat rendezéssel visszük az

axonometrikus képre A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 156 ► Műszaki ábrázolás I. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Axonometria Vissza ◄ 157 ► 7.4 ábra x, y irányú rövidülés szerkesztése Ez utóbbi eljárás alkalmas arra is, hogy a koordináta síkokban fekvő alakzatokat az axonometrikus képsíkon ábrázolni tudjuk. A koordináta síkok forgatott és vetületi képe között az eljárást egyszerűsítő, a 6.61 fejezetben megismert merőleges affinitás van. A tengelykereszt térbeli helyzetétől függően tehát a kapott α, β és γ szögek értékei, így a tengelyek menti rövidülések lehetnek: • mindhárom tengelyre nézve különbözőek (7.3 és 74 ábrák) Ekkor trimetrikus axonometriáról beszélhetünk. • két tengelyre nézve azonosak (7.5 ábra) Ekkor dimetrikus axonometriáról beszélünk A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza

◄ 157 ► Műszaki ábrázolás I. Axonometria A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 158 ► • mindhárom tengelyre nézve azonosak (7.6 ábra) Ekkor izometrikus axonometriáról beszélünk.+ 7.5 ábra Dimetrikus axonometria 7.6 ábra Izometrikus axonometria 7.12 Egyméretű (izometrikus) axonometria Az MSZ 488 szerint javasolt egyméretű axonometria merőleges vetítésű és a tengelyek vetületi képei egymással 120°-os szöget zárnak be (7.6 ábra) Ha a tengelyek menti azonos mértékű rövidülést a 7.3 vagy 74 ábra szerint megszerkesztjük, akkor annak számszerű értéke 1:0,82-re adódik Ezért, ha rajzunkat rövidülés nélkül készítjük el, tehát a méreteket 1:1 arányban vesszük fel a tengelyek irányában, a keletkezett kép 1,22-szeres nagyítású lesz. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 158 ► Műszaki ábrázolás I. A dokumentum használata |

Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Axonometria Vissza ◄ 159 ► 7.2 Ferdeszögű (klinogonális) axonometrikus rendszer A ferdeszögű, vagy klinogonális axonometrikus rendszer jellemzői a 7.1 ábra alapján: • a tengelykereszt és a benne lévő téralakzat az axonometrikus képsíkhoz képest speciális helyzetű • a vetítés iránya nem merőleges az axonometrikus képsíkra. A rendszer jellemzői alapján a kapott kép képies lesz. A gyakorlatban a tengelykeresztet legszívesebben úgy vesszük fel, hogy a z és y tengelyek által meghatározott koordináta sík párhuzamos legyen az axonometrikus képsíkkal. Így ferde vetítés esetén ezen a síkon – azaz a vele párhuzamos síkon – sem szögtorzulás, sem pedig tengelymenti rövidülés nem jelentkezik (7.7 ábra) A harmadik tengely x felvétele az ábrán jelölt 360°-os szögtartományon belül bármely irányban történhet Az x tengely menti rövidülés mértéke azonban a vetítési irány

képsíkhoz képesti hajlásszögének a függvénye. A vetítési irányt, és így a hosszváltozás mértékét is tetszőlegesen vehetjük fel A megszerkesztett axonometrikus kép azonban csak a vetítési irányból nézve lesz arányos. 7.7 ábra Ferdeszögű axonometrikus rendszer Gyakorlatunkban a vetítési irányt, a kép szemlélésének irányát merőlegesnek tételezzük fel. Ha tehát az önkényesen felvett vetítési irány ettől A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 159 ► Műszaki ábrázolás I. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Axonometria Vissza ◄ 160 ► lényegesen eltér, akkor torzított ábrát kapunk. A torzulás az [xz] és [yz] koordináta síkokon jelentkezik. Hogy e torzulások mértéke azonos legyen, és az ábra képiessége is megmaradjon, az x tengelyt a 7.8 ábra szerint vesszük fel 7.8 ábra Ferdeszögű, kétméretű (kavalier) axonometria 7.21 Ferdeszögű,

kétméretű (kavalier) axonometria Az MSZ 488 szerint javasolt ferdeszögű, kétméretű axonometria ferde vetítésű, és tengelyelrendezését a 7.8 ábra mutatja A tengelyek menti rövidülés mértéke: • • • - x tengelyen 1:2 (ami a rajzon egy, az a valóságban kettő) y tengelyen 1:1 z tengelyen 1:1 Az x tengely mentén választott 1:2 arányú rövidülés amellett, hagy szerkesztése könnyű, a merőleges vetítési iránytól csak kismértékben eltérő vetítési irányt eredményez, tehát a torzítás mértéke nem jelentős. 7.3 Ferdeszögű (általános) axonometrikus rendszer A ferdeszögű, vagy általános axonometrikus rendszer jellemzői a 7.1 ábra alapján: A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 160 ► Műszaki ábrázolás I. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Axonometria Vissza ◄ 161 ► • a tengelykereszt és a benne lévő téralakzat az axonometrikus képsíkhoz

képest általános helyzetű • a vetítés iránya nem merőleges az axonometrikus képsíkra. A rendszer jellemzői alapján a kapott kép képies lesz. Az általános axonometria lényegét a Pohlke-tétel így határozza meg: Tetszőlegesen felvett tengelykereszt és a tengelyek mentén tetszőlegesen választott rövidülés mellett mindig található a térben a tengelykereszt számára olyan helyzet és hozzátartozó vetítési irány, amely mellett a tengelykereszt képe a felvett tengelykereszt lesz és a tengelyek menti rövidülések a választott értékeknek felelnek meg. Elképzelhető, hogy a Pohlke-tétel szerint keresendő vetítési irány csak körülményes szerkesztéssel határozható meg. Ha ez a vetítési irány nagyon eltér a merőlegestől – tehát a szemlélés irányától –, akkor a ferdeszögű axonometriához hasonlóan Itt is torzított ábrát kapunk. 7.31 Ferdeszögű, kétméretű (konvencionális) axonometria Az MSZ 488 szerint javasolt és

a műszaki gyakorlatban jól használható úgynevezett műszaki tengelykeresztet mutatja a 7.9 ábra A megválasztott irányok és rövidülések a merőlegestől csak kissé eltérő vetítési irányt adnak, így torzításmentes ábrát kapunk. A tengelyek menti rövidülés mértéke: • x tengelyen 1:2 • y tengelyen 1:1 • z tengelyen 1:1 A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 161 ► Műszaki ábrázolás I. Axonometria A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 162 ► Vissza ◄ 162 ► 7.9 ábra Műszaki tengelykereszt A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Műszaki ábrázolás I. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Kótás projekció Vissza ◄ 163 ► 8. Kótás projekció Az eddig megismert ábrázolási módok nagy kiterjedésű terep ábrázolására, másrészt a terep átalakítását célul kitűző munkák

tervezésére, a felmerülő metrikus és egyéb szerkesztő feladatok megoldására nem alkalmasak. Márpedig az utak, vasutak építése és egyéb, a Föld felszínén végzendő terep illetve, a földalatti bányamunkák szintén igénylik a bonyolult munkafolyamatok megtervezését, illetőleg a létesítmények rajzi rögzítését. Ezen igényeket a lehető legjobban kielégítő ábrázolási mód a mérőszámos ábrázolás vagy kótás projekció. 8.1 A mérőszámos vetítési rendszer A kótás projekció hasonlóan az axonometrikus vetítési módhoz egy képsíkos ábrázolás. Ezt a láthatóság szempontjából átlátszónak tekintett képsíkot mindig vízszintes helyzetűnek képzeljük Erre a képsíkra az ábrázolandó alakzatot – terepfelületet - merőlegesen rávetítjük Az így nyert kép teljesen azonosnak tekinthető a Monge-féle ábrázolás első képével vagy felülnézetével. A Monge-féle projekcióban az ábrázolás egyértelműségét a

második kép megszerkesztésével biztosítottuk. A mérőszámos ábrázolás az egyértelműséget úgy biztosítja, hogy az ábrázolt terep vagy alakzat lényeges pontjainak képei mellé a képsíktól mért előjeles távolság számértékét - mérőszámát vagy kótáját - indexként leírjuk. A Monge-féle második képet itt a kóta helyettesíti. Tehát az ábrázolást egyrészt vetülettel, másrészt egy szám feltüntetésével végezzük. Ezért nevezzük ezt a módszert mérőszámos ábrázolásnak, számozott vetületnek vagy kótás projekciónak. Mivel csak egy vetületünk van és a térbeli P pontot a vetülettől – amelyet indexszel jelöltünk: P4 – egyértelműen meg tudjuk különböztetni, ezért a továbbiakban el fogjuk hagyni a vetületet jelentő vesszőt a térelemek képeinek jele mellől. A 81es ábrán helyesen P4’ helyett: P4 A képiesebb kép kialakítása céljából, illetve mint később látni fogjuk, a feladatok megoldását

megkönnyítő céllal - a képsíkkal párhuzamos úgynevezett szintsíkokat, más néven nívósíkokat veszünk fel. A szintsíkok közvetlenül nem tartoznak a vetítési rendszerhez, inkább vetítési segédeszköznek tekinthetők A szintsíkoknak az ábrázolandó alakzattal alkotott metszetét szintvonalaknak vagy rétegvonalaknak nevezzük. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 163 ► Műszaki ábrázolás I. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Kótás projekció Vissza ◄ 164 ► Azokat a szintsíkokat, amelyeknek a képsíktól mért távolságuk mérőszáma egész szám, főszintsíkoknak, ezeknek az ábrázolandó alakzattal alkotott metszetét főszintvonalaknak nevezzük. 8.1 ábra Pont ábrázolása Monge-féle és kótás projekcióban A képsík fölötti térelemek mérőszámát pozitívnak, a képsík alattiakét negatívnak vesszük. Egy-egy szintvonal különböző szintsíkokra eső

vetületei fedésben vannak egymással és a képsíkra eső vetülettel. Ezért a vetületet bármelyik szintsíkon lévőnek tekinthetjük, azaz a K képsíkot bármelyik szintsík helyébe téve az alakzat képe ugyanaz marad, de természetesen a kótája megváltozik. A mérőszám mértékegysége a természetben az 1 méter. Az ábrázolandó alakzatok nagy kiterjedése miatt a mérőszámos vetületek – térképek – nem készülhetnek természetes nagyságban, hanem kicsinyítéssel. Ezért az egyértelmű ábrázolás egyik fontos feltétele a kicsinyítés mértékének feltüntetése. Ezt a méretarány megadásával vagy az ezzel egyenértéktű lépték feltüntetésével végezzük el. A lépték a méretarány geometriai megadási módja. Tehát a K vízszintes helyzetű, átlátszó képsík, az ortogonális vetítési irány, a mérőszám és a méretarány együtt alkotják, illetve teszik egyértelművé a mérőszámos vetítési rendszert. A dokumentum

használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 164 ► Műszaki ábrázolás I. Kótás projekció A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 165 ► 8.2 ábra Ábrázolás szintvonalakkal 8.11 A méretarány Ha a vízszintes helyzetű, sík terep két pontja közti távolságot H-val, ugyanazon két pontnak megfelelő képi távolságot h-val jelöljük, akkor a h:H arány egy képen belül, bármilyen két pont esetén állandó értéket ad. Ezt az állandót M-el jelöljük, és méretaránynak nevezzük. Tehát: M = h : H. Ha a terep nem vízszintes, akkor a ferde terepen mért H távolságot a vízszintes síkra vetítve nyerjük a H’ vetületi hosszt. Jelöljük az ehhez tartozó képi távolságot h-val, akkor a méretarány: M = h : H’, ahol h a térképi hossz, H’ a terep vetületi hossz Mivel, a vízszintes terepen H’ = H, ezért ez utóbbi képlet általános érvényű. Például: M = 1 : 500 azt jelenti,

hogy a képen 1 egységnek a vízszintes terepen 500 ugyanolyan egység felel meg. Az említett azonos egységgel, mint mennyiséggel való egyszerűsítés után a méretarányra egy dimenzió nélküli számot nyerünk. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 165 ► Műszaki ábrázolás I. Kótás projekció A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 166 ► A méretarány reciprokát arányszámnak vagy módosításnak nevezzük, és a-val jelöljük. Tehát a = H’ : h Az a arányszám megmutatja, hogy a térbeli vízszintes távolság hányszorosa a megfelelő képi távolságnak, mivel H’ = a • h. 1. feladat: mekkora a vízszintes távolság két épület között, ha a térképi távolság 5 cm, és M 1 : 500? Mivel H = a • h, és M 1 : 500, így a = 500, ezért H = 25 m. 2. feladat: Egy azonos szintsíkban lévő, 4 km hosszú, egyenes útszakasznak mennyi a képi hossza, ha M = 1 : 25000?

Az a = 25000, ezért h = H / a = 4 km / 25000 = 400000 cm / 25000 = 16 cm. 3. feladat: Ferde terepen egy egyenes útszakasz képi távolsága 12 cm Milyen hosszú az út, ha a két vége közötti szintkülönbség 5 m, és M = 1 : 100? A 12 cm-es képi távolságnak a terepen /M = 1 : 100 miatt/ 100 • 12 = 1200 cm vetületi hossz felel meg. Tehát H’ = 12 cm Ebből H= az eredeti 25 + 144 = 13m H távolság Pitagorasz tétele alapján: 8.12 A lépték Vonalas lépték A vonalas lépték egy rajzolóélen elhelyezett olyan beosztás, amelynek osztásrészei a térképi hosszakkal egyeznek meg, de a természetbeni vízszintes hosszaknak megfelelően vannak számozva. A lépték lényegében a méretarány geometriai megadása 1. feladat: Készítsünk léptéket adott /M = l : 5000/ méretarányhoz Itt a rajzon 1 cm-nek, a vízszintes terepen 5000 cm = 50 m felel meg, ezért a m lépték: 0 50 100 200 300 A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza

◄ 166 ► Műszaki ábrázolás I. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Kótás projekció Vissza ◄ 167 ► 2. feladat: Állapítsuk meg a méretarányt adott lépték alapján! Ha egy képen csak a lepték adott, és számítással kapcsolatos feladatunkhoz méretarányra lenne szükségünk, akkor megnézzük, hogy 1 cm-nek a léptéken mennyi km felel meg. 0 8 4 12 16 20 24 Az ábrán ez 4 km. Mivel 4 km = 400000 cm, ezért a méretarány M = 1 : 400000. Átlós lépték Nagyobb pontosságot igénylő munkákhoz használjuk. Az átlós léptéket a vonalas lépték továbbfinomításával nyerjük a 8.3 ábrán látható módon Az átlós lépték szerkesztésének lépései: • Felveszünk egymással párhuzamosan két egymástól d távolságra levő, az adott méretarányhoz tartozó vonalas léptéket, amelyeket alapvonalaknak nevezünk. • A 0-tól balra mindkét alapvonalra felmérünk egy-egy egységet, majd ezeket 10-10 egyenlő

részre osztjuk. • Ezen tizedelő pontokat – a két alapvonalon – az ábrán látható módon ferdén összekötjük. • A d távolságot 10 egyenlő részre osztva az alapvonalakkal párhuzamosokat húzunk. • Ezen párhuzamos egyeneseknek – a párhuzamos szelők tételének értelmében az utolsó ferde vonaltól 0-ig terjedő szakaszainak hossza rendre 0.01, 002, , 009 egység A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 167 ► Műszaki ábrázolás I. Kótás projekció A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 168 ► 8.3 ábra Átlós lépték Tehát az átlós lépték segítségével a század egységek pontosan leolvashatók, de az egység ezred részei is elfogadható pontossággal megbecsülhetők. Az átlós lépték megszerkesztése után a távolságot mérőkörzővel – a megfelelő méretarányú – térképre „levesszük”, majd a távolságot az átlós léptékre helyezve a

távolság természetbeni hosszának mértékszámát leolvassuk. 8.2 Térelemek ábrázolása 8.21 A pont ábrázolása A pontot merőleges vetületével és mérőszámával ábrázoljuk. A mérőszám mindig a méterben kifejezett képsíktávolságot jelenti. A kótás projekcióban a térelem képének jele mellé a vesszőt nem kell kitenni Ha a térkép mértékegysége a métertől eltérő, akkor a kótát természetesen ebben a mértékegységben kell megadni. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 168 ► Műszaki ábrázolás I. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Kótás projekció Vissza ◄ 169 ► 8.4 ábra Pont ábrázolása kótás projekcióban Mint tudjuk, az ábrázolás akkor egyértelmű, ha a kép /8.4 ábra bal oldala/ alapján a térbeli visszaállítás csak egyféleképpen lehetséges. A térbeli rekonstrukciót a 84 ábra jobb oldala mutatja Ehhez természetesen a lépték adta

kicsinyítést figyelembe kellett venni. A közös vetítősugarú pontokat fedőpontoknak nevezzük. A 84 ábrán a B és K pontok fedőpontok. 8.22 Az egyenes ábrázolása Az egyenes képét az egyenesre illesztett, képsíkra merőleges, azaz vetítősík metszi ki a képsíkul választott szintsíkból. A képsíkkal párhuzamos egyenes képe mellé kótaként írjuk azon szintsík számát, amelyikre az egyenes illeszkedik /A 8.5 ábrán az a egyenes/ Ha az egyenes benne van a képsíkban, akkor azonos a képével /C = C0/ Általános helyzetű egyenes képe mellé kótát nem írhatunk, mert minden pontjához más-más mérőszám tartozik. Ezért az általános helyzetű egyenest két pontjával ábrázoljuk /b = |A B|/. A képsíkra merőleges egyenes képe egy pont – amely mellé kótát, az előbb említettek miatt szintén nem írhatunk –, mely pont egyben az egyenes nyompontja. Az említett egyeneseket, és rekonstruálásukat a 8.5 ábrán láthatjuk A közös

vetítősíkú egyeneseket fedőegyeneseknek nevezzük. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 169 ► Műszaki ábrázolás I. Kótás projekció A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 170 ► 8.5 ábra Egyenes ábrázolása Az egyenes graduálása, osztóköz Két meghatározott pontjával adott általános helyzetű egyenesnek, a főszintsíkokkal alkotott döféspontok képeinek megszerkesztését az egyenes graduálásának nevezzük. A graduálást másképpen interpolálásnak is hívjuk. Mivel a szomszédos főszintsíkok egymástól való távolsága egyenlő, ezért ezek az egyenesből egyenlő szakaszokat metszenek ki. Ezen egyenlő szakaszok vetületei – az azonos képsíkszög miatt – szintén egyenlők. Így a döféspontok képeinek szerkesztését adott szakasz egyenlő részekre való felosztására vezethetjük vissza. Graduáljuk az A,B pontjaival adott a egyenes képét /8.6

ábra/ 8.6 ábra Egyenes graduálása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 170 ► Műszaki ábrázolás I. Kótás projekció A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 171 ► Az ábra szerkesztésének lépései: • Az A32 ponton át felveszünk tetszőlegesen egy segédegyenest, majd arra öt tetszőleges nagyságú, de egymással egyenlő szakaszt mérünk fel. Azért öt egységet, mert a 32 és 37 főszintsíkok között négy főszintsík az AB szakaszt öt egyenlő részre osztja. • Az ötödik szakasz végpontja a B37 ponttal összekötve olyan egyenest nyerünk, amellyel a segédegyenes osztáspontjaiból párhuzamosokat húzva az adott a egyenes képét olyan pontokban metszük, amelyek a főszintsíkokra illeszkednek, azaz kótáik egész számok. Osztóköznek nevezzük, és k-val jelöljük az egyenes két szomszédos /1 méter távolságra lévő/ főszintsíkra illeszkedő pontja

vetületének képi távolságát. 8.7 ábra Az osztóköz 3. Az osztóköz ismeretében az egyenes további, egész kótájú pontjainak képeit nyerhetjük, mint a 8.6-os ábrán a 31-es és 38-as kótájú pontokat Ha az osztóköz kicsi, akkor a graduálást kettő-, öt-, vagy tízméterenként végezzük el Ha az egyenest meghatározó pontok kótái nem egész számok, akkor a segédegyenesre a kijelölt tetszőleges egység tized-, esetleg századrészét is fel kell mérnünk. Ezt mutatja a 87-es ábra is A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 171 ► Műszaki ábrázolás I. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Kótás projekció Vissza ◄ 172 ► Egyenes és pont illeszkedése Az egyenesre illeszkedő pont illeszkedik az egyenes vetítő síkjára, ezért a pont képe csakis az egyenes képére illeszkedhet. Ez a térbeli illeszkedés szükséges, de nem elégséges feltétele. Az elégséges

feltétel a megfelelő kóta meghatározásával biztosítható. Két pontjával adott egyenesre illeszkedő P pont kótájának meghatározását mutatja a 8.8-as ábra 8.8 ábra Egyenesre illeszkedő pont kótájának meghatározása Célszerű a segédegyenesre felmért egységek tizedeit is feltüntetni, mert így a mérőszám leolvasása pontosabban végezhető el. A 88 ábra a egyenesének adott az A2 és a B5 pontja A rá illeszkedő P pontjának kótája: 335, ahol természetesen a harmadik számjegy becsült érték. Két pontjával adott egyenesre adott kótájú pont illesztését a 8.9 ábra szemlélteti. Az új pont legyen a P12 A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 172 ► Műszaki ábrázolás I. Kótás projekció A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 173 ► 8.9 ábra Egyenesre pont illesztése Mivel az egyenes nyompontja szintén az egyenesre illeszkedik, adott kótájú pontnak

tekinthető, ezért a nyompont meghatározása az előbbi P ponthoz hasonló módon történik /7.9 ábra/ A nyompont meghatározásánál feltételeztük, hogy a K képsík a nulla kótájú szintsíkkal esik egybe A kótás projekcióban ez nem mindig van így, mert képsíknak bármelyik szintsík választható. Vegyük észre, hogy az utóbbi feladatok megoldása a méretarány vagy a lépték megadása nélkül is lehetséges volt Méretarányra a helyzetgeometriai feladatoknál csak akkor van szükség, ha rekonstrukciós igényeink vannak a feladattal kapcsolatban A metrikus feladatok viszont csak a méretarány vagy a lépték ismeretében oldhatók meg Az egyenes képsíkszögének meghatározása Mivel a szintsíkok egyike a képsík, azaz a képsík párhuzamos a szintsíkokkal, ezért az egyenesnek bármelyik szintsíkkal bezárt szöge megegyezik a képsíkszögével. Az egyenes képsíkszögét másképpen dőlésszögnek nevezzük /710 ábra/ A dokumentum használata |

Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 173 ► Műszaki ábrázolás I. Kótás projekció A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 174 ► 8.10 ábra Egyenes képsíkszöge A 8.10 ábra – illetve az ennek kótás projekcióban megfelelő 811 ábra – a egyenese α képsíkszögének valódi nagyságát vetítősík szintsíkba forgatásával határozzuk meg, úgy, hogy az a egyenest V vetítősíkjával, az m egyenes, mint tengely mentén a harmadik szintsíkba forgatjuk. Az m egyenes a V vetítősíknak a harmadik szintsíkkal alkotott metszésvonala, a forgatás t tengelye. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 174 ► Műszaki ábrázolás I. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Kótás projekció Vissza ◄ 175 ► 8.11 ábra Egyenes képsíkszöge kótás projekcióban A leforgatást az ABM különbségi háromszög segítségével végezzük el.

Mivel az A és M helybennmaradó pontok, ezért csupán a B pontot kell leforgatnunk. Forgatáskor a B pont a t3 tengely képére merőlegesen mozdul el A forgatás sugara a B pontnak a tengelytől mért távolsága, ami most, mivel vetítősíkot forgatunk, a kótakülönbségből – 9 – 3 = 6 m – megállapítható; azaz a léptékről levehető. A kapott α szög az a egyenes képsíkszögének valódi nagysága, az (A)(B)(M) háromszög pedig az ABM térbeli háromszög, méretarány szerint kicsinyített megfelelője. A képsíkszög meghatározásával kapcsolatosan megismerkedtünk a vetítősík és a benne lévő a egyenes szintsíkba forgatásának szerkesztésével. Vetítősík szintsíkba forgatását több feladat megoldásához is felhasználhatjuk, ezért a szerkesztés lépéseit a következőkben foglaljuk össze: • 1. Kijelöljük a forgatás tengelyét, amely a vetítősík valamelyik szintvonala lesz • 2. A leforgatandó pont képéből merőlegest

állítunk a forgatás tengelyére, ezen lesz a pont forgatottja • 3. A forgatás sugara, a pontnak a forgatás tengelyétől mért távolsága, azaz a pont és a tengely szintkülönbsége a léptékről „levehető”. Természetesen a forgatást itt is két irányba lehet elvégezni, azaz a (B) a tengely másik oldalára is kerülhet. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 175 ► Műszaki ábrázolás I. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Kótás projekció Vissza ◄ 176 ► A közös vetítősíkú a és m egyeneseket fedőegyeneseknek nevezzük. Egyenessel kapcsolatos távolsági feladatok 1. Két pont távolsága Ha a két pont által meghatározott egyenesre illeszkedő vetítősíkot valamelyik szintsíkba forgatjuk, akkor a forgatottban a távolságnak a vetítés torzításától mentes, méretarány szerint kicsinyített megfelelőjét nyerjük. A távolság méterben kifejezett valódi

nagyságát megkapjuk, ha a leforgatott (A)(B) szakaszt a léptékre visszük. Ez alapján az A és B távolsága a 812-es ábrán 8,6 m. 8.12 ábra Távolsággal kapcsolatos szerkesztések 2. Adott egyenesre adott távolság felmérése Az a egyenesre a 3.5 m távolság felmérésének szerkesztését is a 812 ábra tartalmazza, amelynek szerkesztési lépései a következők: • Az a egyenest a 3,4-es szintsíkba forgatjuk. • Az AB távolságot a léptékre visszük, majd leolvassuk a távolság valódi nagyságát /8,6 m/. • Az a egyenes forgatottjának (B) pontjából felmérve a 3,5 m léptéki távolságot, nyerjük a (P) és (R) pontokat. • A (P) és (R) pontokból visszaforgatással nyerjük a megoldást adó pontok képeit. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 176 ► Műszaki ábrázolás I. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Kótás projekció Vissza ◄ 177 ► • A kapott P és R pontok

kótáját úgy is meghatározhatjuk, hogy a (P)P5.2 = Δ távolságot a léptékre visszük, ahol leolvasható a pontok tengelytől való távolsága. Mivel Δ = 18 ezért a P pont kótája 3.4 + 18 = 52 Az R pont kótája pedig 3.4 - 18 = 16 A 812 ábrával kapcsolatosan vegyük észre, hogy ha a tengely fölött lévő pontok, a forgatás után a tengely egyik oldalára kerülnek, akkor a tengely alatt lévő pontoknak a forgatottjai, a tengely másik oldalára kell, hogy kerüljenek. Tehát a forgatás iránya csak az első pont leforgatásakor választható meg tetszőlegesen, a többi már ennek függvénye. A B pont a PR szakasz felezőpontja, ezért kótája a P,R végpontok kótáinak számtani közepe, azaz 3.4 = 05 • (52 + 16) Az egyenes lejtője Az egyenes képsíkszögének tangensét az egyenes lejtőjének – ellenkező irányban emelkedésének – nevezzük, és l-lel jelöljük. Tehát definíció szerint: l = tg α A lejtő értéke – a tangens fogalmának

matematikai meghatározásából következőleg – dimenzió nélküli szám. A lejtő értékével töltések, utak, vasutak tengelyvonalát, sík és természetes terepfelület dőlését /esését/ szoktuk megadni. Ha pl az egyenesnek tekinthető útfelület két tetszőleges A,B pontjának a magasságkülönbsége D méter, az AB útszakasznak a vízszintes síkon lévő merőleges vetülete H méter, akkor az AB útszakasz lejtője: l = tg α = D / H A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 177 ► Műszaki ábrázolás I. Kótás projekció A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 178 ► 8.13 ábra Egyenes lejtője A gyakorlatban a lejtőt földmunkáknál 10 m, utaknál 100 m, vasutaknál 1000 m vízszintes távolságra szoktuk megadni. Ez a megadási mód azért előnyös, mert ebben az esetben a lejtő a 10, 100, ill. 1000 méterre eső emelkedést jelenti. Ha ezen emelkedéseket rendre λ, p,

e (p = percent, vagy százalék, e = ezrelék, vagy permil) betűkkel jelöljük, akkor l = λ / 10 = p / 100 = e / 1000 vagy az emelkedések l függvényeként: λ = l0 • l, p = 100 • l, e = 1000 • l. Feladat: Egy vár bejáratához egyenletesen emelkedő út vezet fel. A lemérhető /ferde/ út hossza 37 m A bejárat az út elejénél 12 m-rel van magasabban. Hány százalékos a lejtő? x = 37 2 − 12 2 = 35 l= 12 34,3 = 0,343 = = 34,3% 35 100 A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 178 ► Műszaki ábrázolás I. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Kótás projekció Vissza ◄ 179 ► Az egyenes rézsűje Az egyenes dőlésszögének cotangensét az egyenes rézsűjének nevezzük, és r-rel jelöljük. Tehát definíció szerint: r = ctg α A rézsű szintén az egyenes állására jellemző dimenzió nélküli szám. A rézsű értékével mesterséges, műszaki tereptárgyak, bevágások,

töltések, platók, árkok oldalfelületeinek esését szoktuk megadni. A matematikából ismert összefüggés alapján: l = 1 / r, illetve r = 1 / l Az egyenes lejtőjét és rézsűjét az egyenes lejtadatainak nevezzük. A lejtadatok és az osztóköz közötti összefüggések 1. Osztóköz szerkesztése lejtadatokból 1. feladat: Szerkesztendő osztóköz adott lejtő l = 2/5, és adott lépték segítségével. 8.14 ábra Osztóköz szerkesztése a lejtő ismeretében A szerkesztés menete: • Felveszünk két egymásra merőleges egyenest, majd ezekre felmérünk 2, ill. 5 tetszőleges egységet A végpontokat összekötő átfogó az 5 egységnyi befogóval az egyenes képsíkszögét zárja be • Megszerkesztjük az 1 méter léptékegységhez tartozó egyenes szakasz k vetületét az ábrán látható módon, ami a keresett osztóköz lesz. 2. feladat: Szerkesztendő osztóköz adott rézsű – r = 4/5 – és adott lépték segítségével. A dokumentum használata |

Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 179 ► Műszaki ábrázolás I. Kótás projekció A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 180 ► 8.15 ábra Osztóköz szerkesztése a rézsű ismeretében A szerkesztés menete: • Felveszünk két egymásra merőleges egyenest, majd ezekre felmérünk 4, ill. 5 tetszőleges egységet A végpontokat összekötő átfogó a 4 egységnyi befogóval az egyenes képsíkszögét zárja be • Megszerkesztjük a k osztóközt az előbbi feladatban ismertetett módon. Ha az előbbi feladatokban a lépték helyett a méretarányt adtuk volna meg, akkor előbb a léptéket kellett volna megszerkesztenünk a 8.12 fejezet 1 feladatában leírtak szerint. 2. Az osztóköz kiszámítása lejtadatokból Méretarány ismeretében az osztóköz értékét számítással, az alábbiak szerint határozhatjuk meg: 1 méter rajzi hossza (1 léptékegység) α k A dokumentum használata |

Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 180 ► Műszaki ábrázolás I. Kótás projekció A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék ctgα = r = Vissza ◄ 181 ► k 1léptékegység k = r léptékegység Ha a k osztóköz hosszát nem léptékegységgel, hanem méterrel akarjuk kifejezni, akkor osztanunk kell a fenti értéket az a arányossági tényezővel – M = 1/a miatt –, mert a lépték szakaszainak hossza méterekben a feltüntetett számérték a-ad része. Tehát: k = r / a méter. A k osztóköz értékét a rajzi méreteknek leginkább megfelelő mm egységekben szoktuk feltüntetni. Ezért k = r / a • 1000 mm Méretaránnyal kifejezve: k = r • M méter = r • M • 100 cm = r M • 1000 mm 3. feladat: Számítsuk ki az osztóköz értékét mm-ben, ha l = 2 / 5 és emiatt r = 5 / 2, továbbá M 1 : 500, ezért a = 500, tehát: k= 5/ 2 5 *1000 = *1000 = 5mm 500 1000 8.23 A sík ábrázolása A síkot kótás

projekcióban is tartóelemeivel ábrázoljuk, mivel minden általános helyzetű sík képe az egész képsík lenne. A mérőszámos ábrázolásban azonban igen gyakran a tartóelemek a síknak nem általános, hanem különleges helyzetű egyenesei. Ezek – amint azt már a Monge-féle projekciónál láttuk – a sík fővonalai és esésvonalai A sík fővonalait, mint tudjuk a képsíkkal párhuzamos síkok – azaz a szintsíkok – metszik ki a síkból. Ezért a kótás projekcióban a fővonalakat szintvonalaknak nevezzük. Ugyanazon sík szintvonalai – illetve esésvonalai – párhuzamosak egymással. Célszerűségi okokból a gyakorlatban a síkot főszintvonalaival szoktuk megadni. Az esésvonalnak a kótás projekcióban kitüntetett szerepe van, ugyanis megadható a sík egyetlen graduált esésvonalával. Ezért az esésvonalat kettős vonallal szoktuk ábrázolni Ezek közül azt, amelyikkel a szerkesztést végezzük, a lejtés irányában nyílfejjel látjuk

el. /Színezett rajzokon az esésvonalat piros színnel húzzuk ki A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 181 ► Műszaki ábrázolás I. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Kótás projekció Vissza ◄ 182 ► 8.16 ábra Sík megadása graduált esésvonalával A sík képsíkszöge és az ezzel kapcsolatos lejtési adatai azonosak a síkot megadó esésvonal képsíkszögével, illetve lejtadataival. Ha a rekonstruált esésvonalra illesztünk egy olyan síkot, amelyiknek a rekonstruált egyenes esésvonala, akkor ezzel az ábrázolt síkot rekonstruáltuk. Tehát a síkot egyik esésvonalával, az esésvonalat pedig képe és dőlésszöge segítségével rekonstruáljuk. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 182 ► Műszaki ábrázolás I. Kótás projekció A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 183 ► 8.17 ábra

Sík képsíkszöge Különleges helyzetű síkok 1. Képsíkkal párhuzamos síkok vagy szintsíkok A szintsíkoknak nincs esésvonaluk, de értelmetlen lenne szintvonalaikról is beszélni. Ezért a szintsíkot nem adhatjuk meg különleges egyenesei segítségével. Mivel a szintsíkok minden pontjának azonos a mérőszáma, ezért a képsíkkal párhuzamos síkokat egyetlen kóta kijelölésével megadhatjuk, például: Σ5 2. Vetítősíkok A vetítősík képe egyetlen egyenes, tehát szintvonalai fedőegyenesek, esésvonalainak képei pedig pontsort alkotnak. 8.24 Két egyenes kölcsönös helyzete, a sík különböző megadási módjai Párhuzamos egyenesek ábrázolása Ha két általános helyzetű egyenes párhuzamos, akkor • párhuzamosak vetítősíkjaik, ezért képeik is párhuzamosak A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 183 ► Műszaki ábrázolás I. Kótás projekció A dokumentum használata | Tartalomjegyzék |

Irodalomjegyzék Vissza ◄ 184 ► • azonosak képsíkszögeik és egyenlők két főszintsík közé eső szakaszaik, ezért osztóközeik megegyeznek. • lejtirányaik megegyeznek A fenti három pont a párhuzamosság szükséges és elégséges feltételeit tartalmazza. Ha tehát két egyenes képe az említett három megkötésnek eleget tesz, akkor a térben is párhuzamosak. 8.18 ábra Párhuzamos egyenesek Másrészt tudjuk, hogy a párhuzamos egyenesek mindig egy és csakis egy síkot határoznak meg. Továbbá láttuk, hogy a sík szintvonalai párhuzamosak egymással Mivel egy szintvonal a sík azonos kótájú pontjainak mértani helye, ezért kell, hogy párhuzamos egyenesek párhuzamos képeinek azonos kótájú pontjait összekötő egyenesek párhuzamosak legyenek. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 184 ► Műszaki ábrázolás I. Kótás projekció A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék

Vissza ◄ 185 ► 8.19 ábra Párhuzamos egyenesek ábrázolása Ezek a két egyenes közös síkjának szintvonalai lesznek. Ez utóbbi megállapításunk a párhuzamosságot illetően egyenértékű a korábbi három pontban foglaltakkal Metsző egyenesek ábrázolása Ha két általános helyzetű egyenes metszi egymást egy pontban, akkor • képeik is metszik egymást, • a metszéspont kótája mindkét egyenesre nézve azonos. 8.20 ábra Metsző egyenesek A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 185 ► Műszaki ábrázolás I. Kótás projekció A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 186 ► 8.21 ábra Metsző egyenesek ábrázolása Másrészt tudjuk, hogy a metsző egyenesek mindenkor egy és csakis egy síkot határoznak meg, ezért – a párhuzamos egyenesek esetéhez hasonlóan – a metsző egyenesek metsző képeinek azonos kótájú pontjait összekötő egyenesek

párhuzamosak. Ezek a két egyenes közös síkjának szintvonalai Kitérő egyenesek ábrázolása Mivel a kitérő egyenesek nem határoznak meg síkot, ezért az azonos kótájú pontjaikat összekötő egyenesek nem lesznek egymással párhuzamosok. Másrészt a kitérő egyenesek képeinek metszéspontja – ha ilyen van – nem azonos kótájú pont mindkét egyenesre nézve. Az ilyen látszólagos metszéspontot alkotó fedőpontpár kótáinak megállapítása után eldönthető a láthatóság. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 186 ► Műszaki ábrázolás I. Kótás projekció A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 187 ► 8.22 ábra Kitérő egyenesek ábrázolása 1. feladat: Három pontjával adott síknak – A5, B8, C12 – szerkesszük meg a graduált esésvonalát! Előbb az AC egyenest graduáljuk, majd az egyenes 8-as kótájú pontját a B ponttal összekötve, a sík 8-as

főszintvonalát nyerjük. Ezzel párhuzamosokat húzva az AC egyenes egész kótájú pontjaiból a sík főszintvonalait nyerjük, majd ezekre merőlegesen az [ABC] sík esésvonala bárhol felvehető 8.23 ábra Sík esésvonalának szerkesztése A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 187 ► Műszaki ábrázolás I. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Kótás projekció Vissza ◄ 188 ► 2. feladat: Adott két vetítősíkban lévő metsző egyenes Határozzuk meg a metszéspont kótáját. Előbb a két fedőegyenes által meghatározott V vetítősíkot a 3-as főszintsíkba forgatjuk. Ezért mindkét egyenes 3-as kótájú pontja helyben marad. Az a egyenest az 5-ös, a b egyenest a 8-as kótájú pontjával forgattuk a 3-as főszintsíkba Így megkaptuk az M metszéspont forgatottját, és a két egyenes α hajlásszögének valódi nagyságát. Az (M)-ből merőlegest állítva a forgatás t3

tengelyére a metszéspont képét kapjuk. 8.24 ábra Fedő helyzetű metsző egyenesek metszéspontja Ezután mérőkörzővel körzőnyílásba vesszük az (M)-nek a 3-as főszintsíkban lévő, forgatás helyétől való D távolságát, majd ezt a léptékre mérve leolvassuk a metszéspont kótáját. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 188 ► Műszaki ábrázolás I. Kótás projekció A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 189 ► 8.3 Helyzetgeometriai alapfeladatok 8.31 Illeszkedési alapfeladatok Pont és egyenes illeszkedése Lásd a 8.22 pont alatt a 88 és 89 ábra leírását Pont és sík illeszkedése A síkra illeszkedő pont mérőszáma a rajta átmenő szintvonal mérőszámával egyezik meg. 8.25 ábra Síkra illeszkedő pont A 8.25 ábrán az R pont mérőszámát egy célszerűen beiktatott mérőléc segítségével állapítottuk meg. Megjegyezzük, hogy a mérőléc

osztóköze nem kell, hogy egyenlő legyen az esésvonal osztóközével. Kisebb nem lehet, de célszerű a mérőléc osztóközéül az esésvonal osztóközének többszörösét választani. Ezzel ugyanis a leolvasás pontosságát növelhetjük Tehát a mérőléc egységei a léptéktől függetlenül tetszőlegesen választhatók. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 189 ► Műszaki ábrázolás I. Kótás projekció A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 190 ► Egyenes és sík illeszkedése Egy egyenes akkor illeszkedik egy síkra, ha legalább két pontja síkbeli pont. Ekkor ugyanis már minden pontja illeszkedik a síkra 8.26 ábra Síkra illeszkedő egyenes A sík szintvonalai a síkbeli egyenest graduálják. 8.32 Párhuzamos térelemek ábrázolása Párhuzamos egyenesek ábrázolása Párhuzamos egyenesek ábrázolásával a 8.24 alcím alatt már foglalkoztunk a 8.18 és 819

ábrákon Egyenes és sík párhuzamos helyzetben Ábrázoljunk egy adott P pontra illeszkedő, adott S síkkal párhuzamos b egyenest. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 190 ► Műszaki ábrázolás I. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Kótás projekció Vissza ◄ 191 ► 8.27 ábra Síkkal párhuzamos egyenes szerkesztése A szerkesztés menete: • Felveszünk az adott S síkban egy tetszőleges s segédegyenest. • Az s egyenessel párhuzamos, az adott P pontra illeszkedő b egyenest, a 8.19 ábra alapján ábrázoljuk • Mivel a P pont az S sík alatt van, ezért a b egyenes nem látszik. Az s egyenest, a b-vel fedő helyzetűnek is képzelhetjük, így gyakorlatilag felvételét mellőzhetjük. A feladatnak végtelen sok megoldása van Párhuzamos síkok ábrázolása Ábrázoljunk adott P pontra illeszkedő, adott S síkkal párhuzamos A síkot! A 8.28 ábrán az eA esésvonalat az eS

esésvonallal párhuzamosan vettük fel, majd graduáláskor figyelembe vettük, hogy a P pontnak illeszkednie kell az A síkra. Ezt az A sík 16-os főszintvonalának a P pontra illesztésével biztosítottuk Tehát két sík akkor párhuzamos a térben, ha esésvonalaik párhuzamosak A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 191 ► Műszaki ábrázolás I. Kótás projekció A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 192 ► 8.28 ábra Párhuzamos síkok Ugyanis az esésvonalak párhuzamosságából a szintvonalak párhuzamossága már következik s így a két síknak van két-két különböző irányú és egymással párhuzamos egyenese. Megjegyezzük, hogy az A sík takarja az S síkot, de ezt a „segédvonal szintű” tartóegyenesek szaggatásával nem kell ábrázolni. Ha viszont az S síkban, bármilyen idomot ábrázolnánk, éleit meg kellene szaggatnunk. 8.33 Metszési alapfeladatok Két

sík metszésvonala Mivel a metszésvonal mindkét síkra illeszkedik, ezért bármely szintsíkra illeszkedő pontjának illeszkednie kell mindkét sík azonos mérőszámú szintvonalára, amint ezt a 8.29 ábra is mutatja Tehát két általános helyzettű sík azonos mérőszámú szintvonalai a két sík metszésvonalában metszik egymást. Ezért a metszésvonalat, mint bármely más síkbeli egyenest, a síkok főszintvonalai graduálják. Ha a két metsző sík esésvonalainak osztóköze egyenlő, tehát a két sík azonos képsíkszögű, akkor a metszésvonal képe felezi a két sík azonos kótájú főszintvonalai által bezárt szöget. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 192 ► Műszaki ábrázolás I. Kótás projekció A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 193 ► 8.29 ábra Két sík metszésvonala A 8.30-as ábra azt az esetet mutatja, ha a megfelelő szintvonalak

metszéspontjai nem esnek a rajz síklapjára Ekkor felveszünk két – S,T – segédsíkot, megszerkesztjük ezeknek az adott – A,B – síkokkal alkotott metszésvonalát, és |A,S| = sA −•− A (sA,sB) = M −•− A,B |B,S| = sB −•− B |A,T| = tA −•− A |B,T| = tB −•− B (tA,tB) = N −•− A,B miatt |A,B| = m = |M,N|, mert az M és N pontok mindkét síkra, ezért az m metszésvonalra is illeszkednek. Így meghatároztuk a metszésvonal képét, de az egyértelmű ábrázoláshoz szükség van az M és N pontok kótáira is. Ezek megállapítását – mivel mindkét síkra illeszkedő pontokról van szó – a 8.25 ábra alapján végezzük A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 193 ► Műszaki ábrázolás I. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Kótás projekció Vissza ◄ 194 ► 8.30 ábra Két sík metszésvonala segédsíkokkal Az előbbi eljárás alkalmazható abban az

esetben is, amikor a két sík esésvonalának képe párhuzamos egymással, bár ebben az esetben egyszerűbben kivitelezhető a 8.31 ábra szerkesztése A 8.31 ábra szerkesztésének menete: • Felvesszük azt a V vetítősíkot, amely párhuzamos az A és B sík esésvonalával. • A V vetítősíknak az A és B síkokkal alkotott a, b metszésvonalait – melyek fedő esésvonalak – a 6-os főszintsíkba forgatjuk. • Az a és b egyenesek a forgatottban azon M pontban metszik egymást, amelyik mind a két síkra illeszkedik, ezért a keresett m metszésvonalnak egy pontja. Egyébként az m metszésvonal a V síkot a nyert M pontban döfi. • Az M pontot visszaforgatjuk, majd meghatározzuk a kótáját a lépték segítségével. • Az m metszésvonal felvétele úgy, hogy m−•−M, továbbá párhuzamos a síkok szintvonalaival, mert a feladatban szereplő síkok egymást csakis szintvonalaikban metszhetik. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék |

Irodalomjegyzék Vissza ◄ 194 ► Műszaki ábrázolás I. Kótás projekció A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 195 ► 8.31 ábra Párhuzamos esésvonalú síkok metszésvonala Általános helyzetű és vetítősík metszésvonalát az élben látszó vetítősík képében nyerjük. pl a 831 ábrán az A sík és V vetítősík metszésvonala az a egyenes, amelyet az A sík szintvonalai graduálnak. Általános helyzetű síkot egy képsíkkal párhuzamos sík csak szintvonalban metszhet. Két vetítősík metszésvonalának képe egy pontban látszó vetítősugár. 8.32 ábra Vetítősíkok metszése A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 195 ► Műszaki ábrázolás I. Kótás projekció A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 196 ► Egyenes és sík döféspontja Egyenes és sík döféspontját kótás projekcióban is segédsíkos

eljárással szerkesztjük meg. A szerkesztés lépései a következők: • Az egyenesre egy tetszőleges segédsíkot illesztünk. A 833 ábrán a segédsíknak csak a 11. és 13 szintvonala található meg • Megszerkesztjük a segédsíknak az adott síkkal alkotott m metszésvonalát. • Az m metszésvonalnak az adott a egyenessel alkotott D metszéspontja – mivel illeszkedik úgy a síkra, mint a döfő egyenesre – a keresett döféspont lesz. • A láthatóság megállapítása: kótás projekcióban a szemlélőt a képsík normálisának végtelen távoli pontjába képzeljük. 8.33 ábra Egyenes és sík döféspontja Mivel a képsík átlátszó, a döféspont mindig látszik – ezért láthatóság szempontjából a döféspont mindig határhelyzetet alkot. Hogy a döféspont által kettéosztott félegyenesek közül melyik látszik, azt egy, a döfésponttól különböző, tetszőleges pontjának láthatósága segítségével, a következő- A dokumentum

használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 196 ► Műszaki ábrázolás I. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Kótás projekció Vissza ◄ 197 ► képpen állapíthatjuk meg: azt kell eldöntenünk, hogy a döfő a egyenes 14es kótájú pontja az S síkhoz képest hol helyezkedik el. 1. Ha az S sík fölött van, akkor az a egyenesnek ez a félegyenese látszik A 833 ábrán ez a helyzet Azért van az egyenes 14-es kótájú pontja az S sík fölött, mert kótája nagyobb, mint az S síkon lévő, vele fedő helyzetű kb. 11,9-es kótájú pont 2. Ha a kiválasztott pont is benne van a síkban, akkor nincs döféspont, mivel az egyenes illeszkedik a síkra. 3. Ha a kiválasztott pont az S sík alatt van, akkor a döfő egyenesnek e pontot tartalmazó félegyenese nem látszik. Vegyük észre, hogy az eddig tárgyalt helyzetgeometriai feladatokat a méretarány, ill. lépték megadása nélkül oldottuk meg Ezekre – mint

később látni fogjuk – csak a metrikus feladatok megoldásánál lesz szükség 8.4 Metrikus feladatok 8.41 Általános helyzetű sík leforgatása Az általános helyzetű síkot nyomvonala körül képsíkba, egyik szintvonala mentén pedig szintsíkba forgathatjuk. Mivel a nyomvonal egyben nullás mérőszámú szintvonalnak felel meg, ezért az említett két forgatás elvileg nem különbözik egymástól. Forgatáskor – a forgatás tengelyére illeszkedő pontok kivételével – minden pont egy körívet ír le. E körívek középpontjainak mértani helye a forgatás tengelye, síkja merőleges a tengelyül választott szintvonalra, ezért a képsíkra is. Így a körív a képen egy tengelyre merőleges egyenesnek látszik. Sugara egy olyan derékszögű háromszög átfogója, amelyiknek egyik befogója a pont képének a forgatás tengelyétől mért képi távolsága, másik befogója a pontnak a forgatás tengelyét tartalmazó szintsíktól való távolsága. Ez

utóbbit mérőkörzővel a léptékről közvetlenül nyerjük A 8.35 ábrán két csúcsával a 3-as főszintsíkba illeszkedő háromszöget forgattuk az említett főszintsíkba. Mivel az A,B csúcsok illeszkednek a képsíkul választott szintsíkra, ezért a háromszög leforgatásához a C csúcs leforgatása elegendő. A szerkesztés lépései: • A C7 csúcsból merőlegest állítunk a forgatás tengelyére. E merőleges a háromszög síkjának C csúcsára illeszkedő e esésvonala, s egyben ezen esésvonal forgatottja lesz, mert a tengelyre merőleges esésvonal forgatottja a képével egybeesik. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 197 ► Műszaki ábrázolás I. Kótás projekció A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 198 ► • Megszerkesztjük a leforgatás sugarát, amely a C pontnak a tengelyül választott 3-as főszintvonaltól való méretarány szerint kicsinyített

távolsága. A leforgatási háromszög 835 ábrán látható megszerkesztése ábrázoló geometriailag is származtatható, ugyanis a H síkot az e esésvonalában metsző vetítősíknak a 3-as főszintsíkba forgatásáról van szó. Az egyes térelemeknek e forgatás után nyert képeit *-gal különböztettük meg ugyanazon térelemeknek a kijelölt t tengely körüli forgatottjaitól. Az itt nyert α szög a H sík képsíkszögének valódi nagyságát adja • Az (e)-ből, az r sugárral, a tengelyponttól kikörzőzzük a C pont forgatottját. Ezt kótás projekcióban is kétféleképpen – a tengely két oldalán – végezhetjük el. 8.34 ábra Sík képsíkba forgatása Megjegyzések: Az (A)(B)(C) háromszög, a térbeli ABC háromszögnek általában nem valódi nagysága, hanem csak a vetítés torzításától mentes, arányaiban helyes, méretarány szerinti kicsinyített megfelelője. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 198

► Műszaki ábrázolás I. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Kótás projekció Vissza ◄ 199 ► A térbeli ABC háromszög területének valódi nagyságát megkapjuk, ha a leforgatott háromszög területét megszorozzuk az a arányszám négyzetével. Tehát, ha M = 1 : a, akkor Ttermészetbeni = Tképi forgatott• a2 (m2) 8.35 ábra A képsíkba forgatás ábrázolása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 199 ► Műszaki ábrázolás I. Kótás projekció A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 200 ► 8.42 Merőleges térelemek ábrázolása Merőleges fedőegyenespár szerkesztése 8.36 ábra Merőleges fedőegyenespár A fedőegyenesek V síkját – ami mindig vetítősík – szintsíkba forgatva a merőleges egyenespárt felvehetjük, majd ezeket visszaforgatva merőleges fedőegyenespárhoz jutunk. Adott a egyenes 7-es kótájú pontjába

állítsunk rá merőleges b fedőegyenest A 8.36 ábra szerkesztésének menete: • Az adott – tehát graduált – a egyenest a 6-os főszintsíkba forgatjuk a 7-es mérőszámú pontja segítségével. A forgatás tengelyéül az adott illetve szerkesztendő egyenes közös vetítősíkjának t6 főszintvonalát választjuk Az α az a egyenes képsíkszöge • A forgatottban az (a) egyenes (7)-es kótájú pontjában merőlegesen felvesszük a (b*) egyenest. Mivel a b* egyenes metszi az adott a egyenest a 7-es kótájú pontban, ezért 7 = 7, azaz (7) = (7), ahol -gal a b egyenes pontját jelöltük. A β a b* egyenes képsíkszöge. • A (b*) kimetszi. a forgatás t6 tengelyéből a b egyenes 6*-os kótájú pontját, mert mindkét egyenes a forgatás t6 tengelyét csakis a hatos kótájú pontban metszheti. • A b* egyenes 6 és 7 pontjainak megszerkesztésével meghatároztuk az egyenes k* osztóközét. Ennek ismeretében graduálhatjuk a b* egyenest, azaz egyértelműen

ábrázolhatjuk. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 200 ► Műszaki ábrázolás I. Kótás projekció A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 201 ► Lényeges, hogy a b* egyenes lejtése az a egyenes lejtésével ellenkező irányú. Mivel a 66*(7) háromszög egységnyi magasságú derékszögű háromszög, ezért a magasság tétel értelmében k • k* = 1 ahonnan k = 1 / k*, illetve k = 1 / k Tehát egymásra merőleges fedőegyenesek rajzi méretekben mért osztóköze egymásnak reciprok értéke. Mivel r = ctg α = k illetve r* = ctg β = k, ezért r = 1 / r illetve r* = 1 / r Azaz, egymásra merőleges fedőegyenesek rézsűje egymásnak reciprok értéke. Tehát a merőleges fedőegyenesek osztóközei egymás reciprokai, lejtésük pedig ellenkező irányú. Sík és egyenes merőleges helyzetben 1. Adott síkra merőleges egyenes állítása Amint azt már a Monge-féle

projekciónál láttuk a síkra merőleges egyenes, azaz a normális képe merőleges a sík nyom- és fővonalaira, illetve itt szintvonalaira. Másrészt tudjuk, hogy a síkra merőleges egyenes merőleges a sík összes egyenesére Ezért kell egy, a normálissal fedő helyzetű síkbeli egyenes, ami az előbb említettek miatt a sík esésvonala lesz. E fedő esésvonal tehát merőleges a sík normálisára. Ezzel a feladatot visszavezettük a 842 pontban tárgyaltakra Tehát az adott S síkra merőleges n egyenes képe merőleges a szintvonalakra, osztóköze az esésvonal osztóközének reciproka, lejtiránya ellentétes a sík esésvonalának lejtirányával. A 8.37 ábrán ennek szerkesztése látható az előbbiek alapján Adott S síkra, adott A pontból állítsunk normálist. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 201 ► Műszaki ábrázolás I. Kótás projekció A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék

Vissza ◄ 202 ► 8.37 ábra Síkra merőleges egyenes 2. Adott egyenesre merőleges sík állítása A 8.37 ábra lényegében ezt a szerkesztést is tartalmazza Ebben az esetben a szerkesztés menete a következő: • Az adott n egyenessel párhuzamosan felvesszük a rá merőleges S sík e esésvonalának képét. • Az e esésvonal – illetve az S sík – egy pontját tetszőlegesen felvehetjük vagy előre megadhatjuk. • A k* és az 1 méternek megfelelő léptéki egység ismeretében, a k (reciprok) osztóközt megszerkesztjük. • A k osztóköz segítségével graduáljuk az esésvonalat az n-hez viszonyítva ellenkező lejtéssel. Adott általános helyzetű egyenesre merőleges egyenes állítása A feladatot kétféleképpen is megoldhatjuk: A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 202 ► Műszaki ábrázolás I. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Kótás projekció Vissza ◄ 203 ►

1. Az adott egyenesre előbb egy merőleges síkot állítunk – az előbb leírtak szerint – majd ebben a síkban egy tetszőleges egyenest veszünk fel Mivel az egyenesre merőleges sík minden egyenese merőleges az egyenesre, ezért a tetszőlegesen felvett síkbeli egyenes a feladat megoldását adja. A síkbeli egyenes felvételénél természetesen figyelembe vesszük azt, hogy az adott egyenest metsző vagy vele kitérő helyzetű merőleges egyenest akarunk ábrázolni. 2. Az egyenesre egy tetszőleges síkot illesztünk Ezt képsíkba, ill szintsíkba forgatjuk, itt felvesszük a merőlegest, majd visszaforgatjuk A 838as ábra is ezt mutatja Feladat: Adott egy a egyenes graduált képével és egy P pont. Ábrázoljuk a P pontra illeszkedő az adott a egyenest merőlegesen metsző n egyenest! A szerkesztés lépései: • Megrajzoljuk a [P,a] sík 4-es főszintvonalát, amelyet a forgatás tengelyéül választunk. 8.38 ábra Egyenesre merőleges egyenes állítása A

dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 203 ► Műszaki ábrázolás I. Kótás projekció A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 204 ► • Leforgatjuk a [P,a] síkot a 4-es főszintsíkba, az a egyenes 6-os kótájú pontja segítségével. • A forgatottban felvesszük az n merőleges egyenes forgatottját, majd affinitással megszerkesztjük ennek képét. Adott síkra merőleges sík ábrázolása Az adott síkra – az előzőekben közöltek szerint – egy merőleges egyenest állítunk, majd ezt síkká bővítjük ki. (A szerkesztéstől itt eltekintünk) 8.43 Távolsági alapfeladatok Két pont távolsága A két pont egyenesét vetítősíkjának egyik szintvonala körül szintsíkba forgatjuk, ahol a távolság valódi nagyságát nyerjük. Pont és egyenes távolsága Feladat: Adott a P pont és az a egyenes graduált képével. Határozzuk meg a két térelem távolságát. 8.39 ábra

Pont és egyenes távolsága A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 204 ► Műszaki ábrázolás I. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Kótás projekció Vissza ◄ 205 ► A pont és egyenes által meghatározott síkot szintsíkba forgatjuk, majd a forgatottban a távolság eredeti nagyságát meghatározzuk. A 8.39 ábra szerkesztésének menete: • Felvesszük a [P,a] sík 5-ös főszintvonalát, amelyet a forgatás tengelyéül választunk. • Leforgatjuk a [P,a] síkot az 5-ös főszintsíkba, az a egyenes 7-es kótájú pontja segítségével. • A forgatottban nyert távolságot a léptékre visszük, ahol a távolság valódi nagysága leolvasható. Pont és sík távolsága A távolság megszerkesztésére az alábbiakban két megoldási tervet is adunk: 1. lehetőség: • A pontból a síkra merőleges egyenest állítunk. • Megszerkesztjük a merőlegesnek a síkkal alkotott

döféspontját. • Meghatározzuk az adott pontnak a döfésponttól való távolságát. Mivel az egyes részszerkesztéseket már elvégeztük, ezért a szerkesztés kivitelezését a hallgatókra bízzuk. 2. lehetőség: Az alábbiakban pont és sík távolságát – a 840 szemléltető ábra alapján – más módon szerkesztjük meg. • Az adott P pontból az adott S síkra egy olyan merőleges síkot állítunk, amelyik egyben vetítősík is. E síkot a 840 és 841 ábrákon V-vel jelöltük Mivel V⊥K és V⊥S, ezért V⊥ a K és S síkok metszésvonalára, azaz a szintvonalakra. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 205 ► Műszaki ábrázolás I. Kótás projekció A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 206 ► 8.40 ábra Sík és pont távolsága • Megszerkesztjük a V vetítősíknak az S síkkal. alkotott e metszésvonalát, ugyanis az első lépésben foglaltak miatt ez az S

síknak esésvonala lesz. Az e esésvonalat, azaz a metszésvonalat az S sík szintvonalai graduálják. • Kijelöljük a V síknak a képsíkul választott 5-ös főszintsíkkal alkotott t metszésvonalát. A t és e egyenesek – mivel mindkettő illeszkedik a V vetítősíkra – fedőegyenesek. • A V síkot a t nyomvonala, mint tengely körül az 5-ös főszintsíkba, azaz a képsíkba forgatjuk. • A forgatottban kapott a távolságot a léptékre visszük, ahol a távolság valódi nagysága leolvasható. A szerkesztést a kótás projekcióban a 8.40 szemléltető ábra alapján az előbb közölt lépések sorrendjében a 8.41 ábrán végezzük el A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 206 ► Műszaki ábrázolás I. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Kótás projekció Vissza ◄ 207 ► 8.41 ábra Sík és pont távolságának szerkesztése Két párhuzamos egyenes távolsága Két párhuzamos

egyenes távolságát a legegyszerűbben úgy szerkeszthetjük meg, ha a két egyenes közös síkját szintsíkba forgatjuk, majd a forgatottban nyert távolságot léptékre visszük. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 207 ► Műszaki ábrázolás I. Kótás projekció A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 208 ► Két kitérő egyenes távolsága, normáltranszverzálisa 8.42 ábra Kitérő egyenesek távolsága A szerkesztést a 8.42 szemléltető ábra alapján a 843 ábrán az alábbi lépésekben végeztük el: • Az a egyenes tetszőleges P pontjából a b egyenessel párhuzamosan felvesszük a b* egyenest. Így az A = [a,b*] síkot nyerjük. Az A sík feltétlenül párhuzamos a b egyenessel, mert b||b*. • Megszerkesztjük az A sík szintvonalait és egyik esésvonalát. • Megszerkesztjük az A síkra merőleges egyenesek k* osztóközét, a k osztóköz reciprokát. • A b

egyenes tetszőleges R pontjából merőlegest állítunk az A síkra Az n normálist a k* osztóközzel graduáljuk. • Az n egyenesre illesztett tetszőleges segédsíknak – melyet a 7-es és 9-es szintvonalaival adtuk meg – megszerkesztjük az A síkkal alkotott a metszésvonalát. A D = (n,m) pont az n normálisnak az A síkkal alkotott döféspontja A 842 szemléltető ábra alapján láthatjuk, hogy a DR = d távolság a kitérő egyenesek távolsága. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 208 ► Műszaki ábrázolás I. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Kótás projekció Vissza ◄ 209 ► • Felvesszük a b egyenessel párhuzamos, D döféspontra illeszkedő bΔ egyenest. Ez illeszkedik az A síkra, ezért metszi annak a egyenesét az A = (bΔ,a) pontban. • Felveszünk az A pontra illeszkedő n egyenessel párhuzamos t egyenest. Ez közös síkban van a b egyenessel, ezért azt a B pontban

metszi A t = |A,B| egyenest, amely merőleges úgy az a, mint a b egyenesekre a kitérő egyenespár normáltranszverzálisának nevezzük. • Megszerkesztjük a t egyenes 6-os és 9-es kótájú pontjait. Mivel t −•− [b,n], ezért e sík 6-os és 9-es főszintvonala metszi ki a t egyenes képéből az egyenes azonos kótájú pontjainak képeit. • A t egyenest a 6-os főszintsíkba forgatva nyerjük a kitérő egyenesek távolságának méretarány szerint kicsinyített megfelelőjét, amelynek a valódi nagysága a léptékről leolvasható. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 209 ► Műszaki ábrázolás I. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Kótás projekció Vissza ◄ 210 ► 8.43 ábra Kitérő egyenesek távolságának szerkesztése Sík és egyenes távolsága A távolság csak akkor létezik, azaz nullától különböző, ha az egyenes párhuzamos a síkkal. Mint tudjuk, ebben az

esetben az egyenes és sík távolságát az egyenes egy tetszőleges pontjának a síktól mért távolságával értelmeztük Így a feladatot visszavezettük egy pont és egy sík távolságára Ezzel a szerkesztéssel a 8.40 és 841 ábrán foglalkoztunk A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 210 ► Műszaki ábrázolás I. Kótás projekció A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 211 ► Két sík távolsága Távolságról csak párhuzamos helyzetű síkok esetén beszélhetünk. Ebben az esetben a távolság valódi nagyságának megszerkesztésére két megoldási tervet is ismertetünk: 1. Az egyik síkon kijelölünk egy tetszőleges pontot, majd megszerkesztjük ennek a másik síktól mért távolságát a 3433 alcím alatt foglaltak szerint. 8.44 ábra Párhuzamos síkok távolsága 2. Vetítősík segítségével az alábbiak szerint: • Felveszünk egy olyan V vetítősíkot,

amelyik merőleges mindkét síkra, azaz azok szintvonalaira is. Ez a 844 ábrán látható • Megszerkesztjük a V vetítősíknak mindkét síkkal alkotott metszésvonalát – az a és b egyeneseket –, amelyek párhuzamos fedőegyenesek és egyben a síkok esésvonalai lesznek. • A vetítősíkot a képsíkba forgatjuk, majd az itt kapott d távolság valódi nagyságát a léptékről leolvassuk. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 211 ► Műszaki ábrázolás I. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Kótás projekció Vissza ◄ 212 ► 8.45 ábra Párhuzamos síkok távolságának szerkesztése 8.44 Szögfeladatok Két metsző egyenes hajlásszöge Metsző egyenesek hajlásszögének a valódi nagyságát úgy szerkesztjük meg, hogy a metsző egyenesek síkját szintsíkba forgatjuk, ahol az egyenesek hajlásszögének valódi nagyságát nyerjük. A 846 ábra a, b* metsző egyenesének α

hajlásszögét az egyenesek forgatottja zárja be. Két kitérő egyenes hajlásszöge Kitérő egyenesek hajlásszögének valódi nagyságát úgy szerkesztjük meg, hogy az egyik egyenest önmagával párhuzamosan a másik egyenes egy kijelölt pontjába toljuk, majd az így nyert metsző egyenespár hajlásszögét az előző pontban leírtak szerint megszerkesztjük. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 212 ► Műszaki ábrázolás I. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Kótás projekció Vissza ◄ 213 ► 8.46 ábra Két egyenes hajlásszögének szerkesztése A 8.46 ábra szerkesztésének lépései: • A b egyenessel párhuzamosan az a tetszőleges, az ábrán az a egyenes P pontján át felvesszük a b* egyenest. • Felvesszük az [a,b*] sík 9-es főszintvonalát, a leforgatás tengelyét. • Leforgatjuk a P pontot, majd az affinitást felhasználva az a és b* egyeneseket, végül a

forgatottban kijelöljük az α hajlásszög valódi nagyságát. Sík és egyenes hajlásszöge Az hajlásszög helyett előbb annak pótszögét, az egyenes és a sík normálisa által bezárt ϕ hajlásszög valódi nagyságát szerkesztjük meg. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 213 ► Műszaki ábrázolás I. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Kótás projekció Vissza ◄ 214 ► 8.47 ábra Sík és egyenes hajlásszögének szerkesztése A 8.47 ábra szerkesztésének menete: • Az adott a egyenes tetszőleges P pontjából normálist állítunk a síkra. • Az [a,n] síkot a t17-es főszintvonala, mint tengely körül a 17-es főszintsíkba forgatjuk, ahol a ϕ pótszög, ill. az α hajlásszög valódi nagyságát nyerjük. Két sík hajlásszöge A két sík normálisai által bezárt szög merőleges szárú szögpárt alkot a síkok által bezárt szöggel, ezért egyenlő a két sík

hajlásszögével. Ezt használjuk fel a 848 ábra szerkesztésénél is A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 214 ► Műszaki ábrázolás I. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Kótás projekció Vissza ◄ 215 ► 8.48 ábra Két sík hajlásszögének szerkesztése A 8.48 ábra szerkesztésének menete: • A tér tetszőleges P pontjából mindkét síkra merőlegest állítunk. Az A sík normálisát a-val, a B sík normálisát b-vel jelöltük. • Kijelöljük az [a,b] sík t13 főszintvonalát a forgatás tengelyének, majd e körül az [a,b] síkot a 13-as főszintsíkba forgatjuk, ahol az α hajlásszög valódi nagyságát nyerjük. 8.45 Dőléskúp Azon egyenesek – illetve síkok – mértani helye, amelyek illeszkednek a tér egy adott pontjára és dőlésszögük és ezért lejtadataik megegyeznek, egy olyan forgáskúp alkotói – illetve érintő síkjai –, amelynek csúcspontja az

adott pont, tengelye a szintsíkokra merőleges egyenes, β félnyílásszöge pedig a dőlésszög (α) pótszöge. Az ilyen kúpot dőléskúpnak nevezzük A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 215 ► Műszaki ábrázolás I. Kótás projekció A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 216 ► 8.49 ábra Dőléskúp A dőléskúpot a szintsíkok szintkörökben metszik. A szintkörök vetületei koncentrikus körök, amelyeknek sugarai az alkotók k osztóközével növekednek. Az 1 m magas dőléskúp alapkörének sugara az alkotó k osztóközével egyenlő Tehát ρ1 = k = r /léptékegység/ vagy, amint a 8.22 fejezet végén láttuk ρ1 = k = r / a • 1000 mm Az n méter magas dőléskúp sugara a hasonlóság alapján: ρn = n • k /léptékegység/ ρn = (n • r / a) • 1000 mm Ábrázoljunk egy adott S síkra, és annak adott P pontjára illeszkedő 30°-os dőlésszögű egyenest! A

feladatot a mértani helyek módszerével, dőléskúp segítségével oldjuk meg. Egyik mértani hely az adott sík, a másik mértani hely a P csúcspontú 60°-os félnyílásszögű dőléskúp. A megoldást az említett mértani helyek metszete adja. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 216 ► Műszaki ábrázolás I. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Kótás projekció Vissza ◄ 217 ► 8.50 ábra Adott síkon P pontra illeszkedő 30° dőlésszögű egyenes A 8.50 ábra szerkesztésének lépései: • Megszerkesztjük a P csúcspontú, 60°-os félnyílásszögű, 1 m magas kúp 12-es főszintkörének ρ1 sugarát. /külön ábrán/ • Megszerkesztjük a k12-es szintkörnek a sík 12-es szintvonalával alkotott A,B metszéspontjait. • A P és A,B pontok ismeretében megkaptuk a síknak a dőléskúppal alkotott metszetalkotóit – a = |A,P|, b = |B,P| – amelyek a feladat megoldásai. •

Abban az esetben, ha a síkbeli pont kótája nem egész szám – például: R14,5, akkor a c és d megoldásokat az a, b megoldások párhuzamos eltolásával nyerjük. Mivel a c és d egyenesek illeszkednek az S síkra, ezért képeiket az S sík főszintvonalai graduálják. • Diszkusszió: 2 megoldás van, ha ρ1 > kS 1 megoldás van, ha ρ1 = kS 0 megoldás van, ha ρ1 < kS ahol a kS az adott S sík e esésvonalának osztóköze. Képsíkszögekkel végezve a diszkussziót: 2 megoldás van, ha az egyenes képsíkszöge kisebb, mint a sík képsíkszöge, A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 217 ► Műszaki ábrázolás I. Kótás projekció A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 218 ► 1 megoldás van, ha az egyenes képsíkszöge egyenlő a sík képsíkszögével, 0 megoldás van, ha az egyenes képsíkszöge nagyobb, mint a sík képsíkszöge. Megjegyezzük, hogy a ρ1 sugarat

nem csak szerkesztéssel, hanem számítással is meghatározhatjuk: ρ1 = r / a • 1000 = ctg 30°• 1000 / a mm Mivel ctg 30° = 3 irracionális szám, ezért célszerűbb a ρ1-et szerkesztéssel meghatározni. Adott a egyenesre illesszünk adott dőlésszögű síkot. A sík dőlésszögét r = 2/3 rézsűvel adjuk meg. 8.51 ábra Egyenesre illeszkedő adott dőlésszögű sík A megoldást jelentő sík érint minden olyan dőléskúpot – tehát a sík főszintvonalai a dőléskúp főszintköreit – amelyiknek csúcspontja az a egyenesre illeszkedik és rézsűje 2 : 3. Ezért elegendő két dőléskúpot alkalmazni Célszerű az egyik dőléskúpnak azt választani, amelyiknek magassága 3, sugara pedig 2 méternek megfelelő léptéknagyság, amint ez a 8.51-es szemléltető ábrán is látható, a másik pedig egy olyan nullamagasságú kúp legyen, amelynek csúcspontja illeszkedik az előbbi kúp alapkörének 1-es szintsíkjára. A dokumentum használata |

Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 218 ► Műszaki ábrázolás I. Kótás projekció A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 219 ► 8.52 ábra Egyenesre illeszkedő adott dőlésszögű sík szerkesztése A 8.52 ábra szerkesztésének menete: • Megszerkesztjük azon dőléskúp 1-es főszintkörét /k1/, amelyiknek csúcsa az a egyenes 4-es kótájú pontja, magassága 3 m, sugara 2 m. • Az a egyenes 1-es pontjából érintőket húzva a k1 főszintkörhöz, nyerjük az 1-es és 1*-os egyeneseket, amelyek a keresett síkok főszintvonalai. A síkokat az a egyenes és ezen érintők határozzák meg: A = [a,1], B = [a,1*] • Megszerkesztjük a feladat megoldását jelentő B,A síkok szintvonalait és esésvonalait. • Diszkusszió: 2 megoldás van, ha ρ3 < 3 • ka, ekkor αk > αa 1 megoldás van, ha ρ3 = 3 • ka, ekkor αk = αa 0 megoldás van, ha ρ3 > 3 • ka, ekkor αk < αa Ha egy megoldás

van, akkor az a egyenes a keresett érintősíknak egyben esésvonala is lesz. ahol ρ3 a k1 főszintkör sugarát, ka az adott a egyenes osztóközét, αk a dőléskúp félnyílásszögének pótszögét, és αa az adott a egyenes képsíkszögét jelenti. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 219 ► Műszaki ábrázolás I. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Kótás projekció Vissza ◄ 220 ► 8.5 Terep- és rézsűfelületek A természetes földfelszínt terepfelületnek vagy topografikus felületnek nevezzük. Az utak, vasutak építésekor vagy egyéb tereprendezési földmunkákkal előállított – minden pontjában azonos lejtésű – mesterséges felületeket rézsűfelületeknek nevezzük. Ha a rézsűfelület lejtése nulla, azaz a mesterségesen kialakított síkfelület vízszintes helyzetű, akkor platónak nevezzük. 8.51 Terepfelületek ábrázolása A terepfelületet a szintsík

szintvonalban metszi. A terepfelületeket a főszintsíkok metszeteivel, azaz a főszintvonalaival ábrázolhatjuk. /72 ábra/. A szintvonalak képeinek egymástól való távolsága attól függ, hogy milyenek a terep emelkedési viszonyai, illetve milyen méretarányban ábrázolunk. Minél kisebb a szintsíkok távolsága, annál pontosabb a terepről készített kép. A szintvonalak felvételét – az egyes pontok képének és mérőszámának megállapítását – geodéziai munkálatok előzik meg. A kép annál pontosabb, minél több pont mérőszámát állapítjuk meg Természetesen két mért kótájú pont közötti szintvonal megrajzolása becsléssel, közelítő pontossággal történik. A terepfelületek szintvonalakra merőleges vonalait esésvonalaknak nevezzük. Két görbe akkor metszi egymást merőlegesen, ha a közös metszéspontban a görbékhez húzott érintők merőlegesek egymásra A terepfelület esésvonalai általában térgörbék Az esésvonalak

szerkesztése A 8.53 ábrán négy szintvonalával adott terepfelületnek egy adott P5 pontjából induló esésvonalának szerkesztését mutatjuk be Az esésvonalak közelítő megrajzolását célszerűségi okokból az alábbiak figyelembevételével végezzük. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 220 ► Műszaki ábrázolás I. Kótás projekció A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 221 ► 8.53 ábra Terep esésvonala • A szerkesztéshez segédköröket alkalmazunk. Például a k1 segédkört úgy nyerjük, hogy az 5-ös mérőszámú főszintvonal adott P5 pontjában megrajzoljuk a görbe e5 érintőjét, majd n normálisát. Ezután olyan /k1/ kört keresünk /próbálgatással/, amelynek középpontja az n1 normálisra illeszkedik és érinti a terep 5-ös és 6-os főszintvonalait. Jelöljük a körnek a 6-os főszintvonallal közös érintési pontját P6-tal. A P6-ra újabb

érintő és normális állítható. Ezekkel megismételve az előbbi szerkesztést, a k2 kört nyerjük, és így tovább. • Ha feltételezzük, hogy az esésvonalak két szomszédos főszintvonal közé eső szakasza állandó lejtésű, akkor az esésvonalak ezen ívei a térben csavarvonalívek, tehát a képen körívek. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 221 ► Műszaki ábrázolás I. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Kótás projekció Vissza ◄ 222 ► • E körívek K1, K2, középpontjait a képen az e6, e7, érintők metszéspontjai adják. • Az eddigiekből következik, hogy az n1, n2, normálisok az esésvonal érintői lesznek. Adott szintvonalak közé újabb szintvonalak rajzolása A 8.54 ábrán egy terepfelület 40-es és 60-as főszintvonalait adtuk meg Rajzoljuk meg a felület 5 méterenkénti főszintvonalait. 8.54 ábra Szintvonalak közé új szintvonal rajzolása A

szerkesztés menete: • Megszerkesztjük a 8.53 ábrán látható módon az e1, e2, e3, e4 esésvonalakat /itt a szerkesztéstől eltekintettünk/ • Mivel a szerkesztett esésvonalakat két szomszédos főszintvonal között állandó lejtésűeknek tekintjük, ezért íveit 4 egyenlő részre osztva, a keresett szintvonalak egy-egy pontját nyerjük. • Az esésvonalak egyenlő kótájú pontjait összekötve nyerjük a keresett 45-ös, 50-es, 55-ös főszintvonalakat. Az új szintvonalak felvételénél vigyáznunk kell arra, hogy merőlegesen messék az esésvonalakat. Megjegyzés: Ha a terepet ismerve tudjuk, hogy az esésvonal mentén a terep nem állandó lejtésű, akkor a 4 egyenlő részre való felosztás helyett, a lejtviszonyoknak megfelelően végezzük a felosztást! A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 222 ► Műszaki ábrázolás I. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Kótás projekció

Vissza ◄ 223 ► 8.52 A terep nevezetesebb pontjai és esésvonalai Csúcspontnak /vagy kúppontnak/ nevezzük a terep azon C pontját, amelynek a mérőszáma, a C pont környezetében a legnagyobb, és a terepnek e pontjához tartozó érintősíkja vízszintes helyzetű. Medencepontnak /mélypontnak vagy vízgyűjtőpontnak/ nevezzük a terep azon M pontját, amelynek a mérőszáma, az M pont környezetében a legkisebb és a terep e pontjához tartozó érintősíkja vízszintes helyzetű. Megjegyezzük, hogy a csúcspontok és medencepontok képét és mérőszámát mindig meg kell adni, azaz méréssel kell meghatározni, mert ábrázolásuk a szintvonalak alapján csak durva közelítéssel végezhető el. Gerincvonalnak /vagy vízválasztó vonalnak/ nevezzük a csúcspontokon áthaladó esésvonalat /g/. A gerincvonalak mindig a csúcspontokból ágaznak szét és a csúcspontoktól lejtve haladnak tovább. A fölfele haladó esésvonalak mindig a gerincvonal körül

sűrűsödnek. Völgyvonalnak /vagy vízgyűjtőnek/ nevezzük a medencepontokon áthaladó esésvonalat /v/. A völgyvonalak mindig a medencepontokba futnak össze és a medencepontoktól emelkedve haladnak tovább. A lefele haladó esésvonalak mindig a völgyvonal körül sűrűsödnek. Megjegyezzük, hogy a gerincvonal és a völgyvonal, a környező esésvonalak közül a legkisebb lejtésű /ezért a turistautak gyakran e két nevezetes esésvonal mentén haladnak/. Nyeregpontnak /vagy járompontnak/ a terepfelület olyan N pontját nevezzük, ahol a felület érintősíkja vízszintes, de ez az érintősík ugyanakkor egy olyan /általában nem egész kótájú/ szintvonalban metszi a terepet, amelynek az N pont kettőspontja. Egy terep gerincvonala és völgyvonala csak az N nyeregpontban metszhetik egymást. Az N nyeregpont a rajta áthaladó gerincvonalnak egy minimumpontja, illetve a rá illeszkedő völgyvonalnak maximumpontja. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék |

Irodalomjegyzék Vissza ◄ 223 ► Műszaki ábrázolás I. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Kótás projekció Vissza ◄ 224 ► 8.55 ábra Terepfelület nevezetes pontjai és vonalai 8.53 Terepfelület síkmetszése Terepfelület metszése vetítősíkkal Ha a terepfelületet egy vetítősíkkal metsszük el, akkor a metszetet terepszelvénynek nevezzük. Ezt ábrázolja a 856 ábra A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 224 ► Műszaki ábrázolás I. Kótás projekció A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 225 ► 8.56 ábra Terepszelvény A terepszelvény valódi alakját a terepszelvény vetítősíkjának főszintsíkba forgatásával szerkeszthetjük meg. A 856 ábra felső részén a metszet – élben látszó – képét, az alsó részen a terepszelvény 40-es főszintsíkba forgatottját láthatjuk. Ez utóbbit azért szerkesztettük meg

külön, hogy az ábra áttekinthetőbb legyen. Ugyancsak szemléletességi és szerkesztési okokból a terepszelvénynél a magassági léptéket az eredeti /térképi/ méretarány többszörösében szokták megadni. A 856 ábrán ez 10-szeres, mivel 10 • 1 / 10000 = 1 / 1000, tehát 1 cm-nek 1000 cm, azaz 10 méter felel meg. A terepszelvény forgatottja segítségével végezzük el az egyes szerkesztéseket. A 856 ábrán például a b, e és f esésvonalaknak a V vetítősíkkal alkotott B, E és F metszéspontjainak mérőszámait állapítottuk meg. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 225 ► Műszaki ábrázolás I. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Kótás projekció Vissza ◄ 226 ► Terepfelület metszése általános helyzetű síkkal A sík a terepfelületet egy olyan síkgörbében metszi, amelyiknek a főszintsíkokra illeszkedő pontjait a sík főszintvonalai a megfelelő

terepfelületi főszintvonalakból metszik ki. A metszésvonal így kapott egész kótájú pontjait folyamatos vonallal összekötve a metszésvonal képét nyerjük, ami egyben a terepmetszet kontúrvonala. A metszésvonal felvételénél figyelemmel kell lennünk arra, hogy az egyes megszerkesztett egész kótájú pontoknál a metszetidom kontúrvonalának görbületi értelme azonos legyen a kontúrponton átmenő szintvonal görbületi értelmével. 8.57 ábra Terepfelület metszése általános síkkal Például a 8.57 ábrán a metszésvonal AB íve a lejtés irányába görbül mindenütt, a CP ív egy inflexió vonal, mart a P pontnál az emelkedés irányába, a C pontnál a lejtés irányába görbül a metszésvonal. Plató szerkesztése Az egyenetlen terepfelületen mesterségesen kiképzett vízszintes síkú síkidomot platónak nevezzük. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 226 ► Műszaki ábrázolás I. Kótás

projekció A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 227 ► A 8.59 ábrán egy 50 x 75 m2-es plató 1:1000 méretaránnyal készített tervrajzát láthatjuk. A bevágások rézsűje rb = 6/5, a töltések rézsűje rt =3/2. A szerkesztés menete: • A méretarányhoz léptéket készítünk. M 1:1000 miatt a rajzi 1 cm-hez a terepen 1000 cm = 10 m tartozik. • Megszerkesztjük az A,B,C bevágó síkok esésvonalainak osztóközét (kb). Ez látható a 858-as ábrán: 8.58 ábra • Kiszámítjuk a D,E,F töltés síkok esésvonalainak közös osztóközeit: M = 1 / a miatt a = 1000 kt = rt / a (méter) miatt kt = 3 / 2 / 1000 = 0,0015 m (1 m nívódifferenciára) 10 méter nívódifferenciára: kt = 0,015 m = 1,5 cm (A kb és kt osztóközöket természetesen azonos módon is meghatározhatjuk). • A kb és kt osztóközök meghatározása után felvehetjük az A,B,C illetve D,E,F síkokat graduált esésvonalaikkal. • Megszerkesztjük az

A,B,C,D,E,F síkoknak a tereppel alkotott a,b,c,d,e,f metszésvonalait. • Kijelöljük a plató 400-as szintsíkjával azonos mérőszámú szintvonalaknak a plató képkontúrjával alkotott A,B metszéspontjait. Ezeket semleges pontoknak nevezzük. E pontoknál vált át a bevágás töltésbe A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 227 ► Műszaki ábrázolás I. Kótás projekció A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 228 ► 8.59 ábra Plató tervrajza • Kijelöljük a metszésvonalak P,R,S,T metszéspontjait, majd megállapítjuk ezen pontok kótáit 8.25 ábra alapján, ugyanis ezen pontok illeszkednek a bevágó, illetve töltés síkokra Ezen pontok – az A,B pontokkal – a kivitelezendő földmunka kontúrtöréspontjai lesznek A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 228 ► Műszaki ábrázolás I. A dokumentum használata |

Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Kótás projekció Vissza ◄ 229 ► • Megszerkesztjük az A bevágó síknak a B,C síkokkal alkotott metszésvonalait. Ezek a közös osztóköz miatt a téglalap alapú plató képének szögfelezői lesznek. Az előbbi lépésben szerkesztett P és R pontoknak illeszkedniük kell e szögfelezőkre. • Megszerkesztjük a töltés D rézsűsíkjának az E,F síkokkal alkotott metszésvonalait. Az S és T pontoknak illeszkedniük kell e szögfelezőkre Tereprendezési terveknél a műszaki gyakorlatban a tervrajzokat ki szokták színezni. A szintvonal és magassági kóta színe barna, a terepfelület világosbarna, a bevágás sötétebb barna, a töltés zöld, a tervezendő felület /plató, út, stb./ képszíne szürke és a tengelyvonalak piros színűek 8.54 Terepfelület és egyenes döféspontjai A döféspont szerkesztésekor ugyanazt a segédsíkos eljárást alkalmazzuk, amit a 8.33 pontban, a sík és egyenes

döféspontjának szerkesztésénél leirtunk. A szerkesztés menete: • Az egyenesre illesztünk egy tetszőleges segédsíkot. • Megszerkesztjük a segédsíknak a terepfelülettel alkotott metszésgörbéjét a 8.53 pontban leírtak szerint • A metszésgörbe és az egyenes közös pontjaiban kijelöljük a döféspontokat, ugyanis egy egyenesnek egy terepfelülettel – a domborzati viszonyoktól függően – több döféspontja lehet. • Megállapítjuk a láthatóságot. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 229 ► Műszaki ábrázolás I. Kótás projekció A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 230 ► 8.60 ábra Terepfelület döfése egyenessel 8.55 Terepfelület érintősíkja Egy sík akkor érint egy felületet egy adott E pontjában, ha érinti a felületnek két, az adott E pontján átmenő – egyébként tetszőleges – felületi görbéjét. Az egyik felületi görbének

az adott E ponton áthaladó szintvonalat választhatjuk, míg egy másik felületi görbét egy E pontra illesztett segédsíkkal metszünk ki a felületből. A 8.61 ábra szerkesztésének menete: • A szintvonalaival adott felület adott E pontjára illesztünk egy tetszőleges S segédsíkot. • Megszerkesztjük az S síknak a felülettel alkotott s metszésvonalát. • Felvesszük az s metszetet, az adott E pontjában érintő aS érintőt. Mivel az s síkgörbe, ezért eS érintője illeszkedik az érintett s görbe S síkjára, tehát az eS érintőt az S segédsík szintvonalai graduálják. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 230 ► Műszaki ábrázolás I. Kótás projekció A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 231 ► 8.61 ábra Terepfelület érintősíkja • Felvesszük a 41-es szintvonalat, az adott E pontjában érintő e41 egyenest. Mivel az érintő illeszkedik az

érintett síkgörbe síkjára, ezért az e41 érintő párhuzamos a szintsíkokkal. • Megszerkesztjük az [e41, eS] = E érintősíknak a szintvonalait és esésvonalát. Mivel az e41 párhuzamos a szintsíkokkal, ezért az E érintősík egyik főszintvonala lesz, tehát az érintősík többi szintvonala az e41-el párhuzamos, az esésvonala pedig ezekre merőleges lesz. 8.56 Semleges vonalak tervezése A terepfelületek azon vonalait, amelyeknek minden pontjában a lejtés állandó, lejtvonalaknak vagy semleges vonalnak nevezzük. A szintvonal, mivel minden pontjában a lejtés nulla, speciális semleges vonalnak tekinthető. Ugyancsak különleges semleges vonal a terepfelületre illeszkedő egyenes. Utak, vasutak építésénél a semleges vonalak keresésének fontos szerepük van, mivel mindkét esetben a lejtés előre megadott érték. Semleges vonal szerkesztésének két esetét különböztetjük meg. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék

Vissza ◄ 231 ► Műszaki ábrázolás I. Kótás projekció A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 232 ► A terep egy adott P pontján áthaladó adott lejtésű semleges vonal szerkesztése. Ebben az esetben a semleges vonal lS lejtésétől és a tervezéssel kapcsolatos tereprész lT lejtésétől függően három esetet különböztethetünk meg: 1. lS > lT esetén semleges vonal nem tervezhető 2. lS = lT esetén csupán egy semleges vonal szerkeszthető, feltéve, hogy a terepnek egyáltalán van egy a P pontra illeszkedő állandó lejtésű vonala. 3. lS < lT esetén több semleges vonal tervezhető Ez a 857 ábrán könnyen belátható. A 8.62 ábrán szintvonalaival adott terep P pontjából 3‰-es lejtésű semleges vonalat szerkesztünk. M = 1:10 000 8.62 ábra Adott lejtésű semleges vonal Előbb meghatározzuk az osztóközt számítással: a = 10 000 l = 3 / 1000 r = 1000 / 3 k = 1000 / 3 / 10000 méter =

1000 / 30000 méter = 0,033 m = 33 mm A kiszámított k osztóközzel, mint sugárral a P pontból elmetsszük a szomszédos 19-es főszintvonalat. Az így kapott A illetve B pontból A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 232 ► Műszaki ábrázolás I. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Kótás projekció Vissza ◄ 233 ► ugyancsak k sugárral a következő 18-as főszintvonalat stb. Így egy több ágra szakadó lejtvonalhoz /semleges vonalhoz/ jutunk. Az ábrán látható 20-as és 16-os főszintvonalak között a fenti módon maximum 25-1 = 16 különböző semleges vonal nyerhető, mivel minden egész kótájú pontjában kétféle „folytatás” kínálkozik. A terep két adott pontján átmenő semleges vonal tervezése Ebben az esetben természetesen a semleges vonal lejtése előre nem adható meg, de a szerkesztés után meghatározható A 8.63 ábrán megadott terepfelület P és R pontjait

összekötő semleges vonal szerkesztését megelőzően annak k osztóközét kell meghatároznunk. M 1:1000 A k osztóközt a 8.65 ábrán látható h hibagörbe segítségével, próbálgatással nyerjük az alábbiak szerint: • A 8.63 ábrán a P pontból egy becsült ka osztóközzel megszerkesztjük a PA lejtvonalat. Az ábrán láthatjuk, hogy kisebb osztóközzel kell próbálkoznunk • A kb –, ahol kb> ka – osztóközzel a P pontból megszerkesztjük a PB lejtvonalat. • A 8.65 ábrán felveszünk egy derékszögű koordinátarendszert, amelynek abszcisszatengelyén az egyes osztóközöket, ordinátatengelyén pedig az ehhez tartozó, adott R ponttól számított eltéréseket ábrázoljuk • Megrajzoljuk a (ka, RA) és (kb; RB) koordinátájú pontokon átmenő h hibagörbét. Két pont esetén a h hibagörbe természetesen egyenes, de többszöri próbálgatással a h hibagörbe több pontjához jutva a – most már valóban – görbét pontosabban

ábrázolhatjuk. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 233 ► Műszaki ábrázolás I. Kótás projekció A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 234 ► 8.63 ábra Két pontra illesztett semleges vonal • A h hibagörbe zérushelyeként a 8.65 ábrán nyerjük a k osztóközt, aminek ismeretében a 8.63 ábrán megrajzolhatjuk a PR semleges vonalat • A PR semleges vonal lejtőjének meghatározása: • k = 29 mm, a 8.65 ábra alapján, a = 1000, M 1 : 1000 miatt • k = 0,029 méter = r / 1000, ahonnan r = 29 méter. Azaz l = 1 / 29, ami 29 méterre 1 méter emelkedést jelent, azaz 3,44%os lejtőnek felel meg, mert az alábbi hasonló háromszögek alapján: 8.64 ábra A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 234 ► Műszaki ábrázolás I. Kótás projekció A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 235 ► x/1

= 100/29 x = 3,44% 8.65 ábra Hibagörbe az osztóköz szerkesztéséhez • Diszkusszió: A feladatnak a tereptől függően több megoldása is lehet. Ezek lehetnek különböző lejtésűek, vagy azonos lejtésűek, de nem egybeeső görbék. 8.57 Rézsűfelületek Terepmunkálatoknál mesterségesen kialakított, minden pontjában azonos lejtésű felületeket rézsűfelületeknek nevezzük. Tehát a rézsűfelületek minden esésvonala azonos lejtésű egyenes Rézsűfelületek szerkesztését azon alapesetekben mutatjuk be, amikor a vezérvonal egyenes, szintsíkra illeszkedő kör vagy térgörbe. Adott egyeneshez rézsűfelület szerkesztése 1. Szintsíkban lévő egyenes (a22) rézsűfelületének szerkesztése adott r = 5 / 2 rézsű esetén. Ha a vezérvonal egyenes, akkor a rézsűfelület síkfelület lesz. E síkok esésvonalai – ugyanis mindig két megoldás van – merőlegesek lesznek az adott a egyenesre, mivel az a egyenes mindkét sík közös szintvonala. A

dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 235 ► Műszaki ábrázolás I. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Kótás projekció Vissza ◄ 236 ► 8.66 ábra Rézsűfelület szerkesztése egyeneshez Az r = 5 / 2 rézsűhöz az adott lépték segítségével először megszerkesztjük a k osztóközt, majd ezzel graduáljuk az a egyenesre merőleges esésvonalakat. 2. Általános helyzetű egyenes rézsűfelületének szerkesztését a 852 ábrán látható módon végezzük. Szintsíkra illeszkedő körhöz rézsűfelület szerkesztése A 8.67 ábrán a 6-os főszintsíkra illeszkedő körhöz r = 3 / 4 rézsűvel szerkesztettünk rézsűfelületet Ha a vezérvonal képsíkkal párhuzamos síkú kör, akkor a rézsűfelület körkúp lesz. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 236 ► Műszaki ábrázolás I. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék

Kótás projekció Vissza ◄ 237 ► 8.67 ábra Rézsűfelület szerkesztése szintsíkra illeszkedő körhöz Ebben az esetben is két megoldás van. A két kúpfelületnek a forgástengelye közös és a képen egybeesik a szintsíkra illeszkedő vezérkör középpontjával A két kúp áthatási vonala az adott kör lesz A kúpfelületek szintkörei az adott k6-os körrel koncentrikus helyzetűek. A két kúpfelületnek a 6-os főszintkörtől egyenlő távolságra lévő főszintkörei fedőkörök. A főszintkörök ρ sugárkülönbségét – ami megegyezik a rézsűkúpok alkotóinak osztóközével – az osztóköz szerkesztéshez hasonló módon a mellékelt ábrán szerkesztjük meg (7.67 ábra) Adott térgörbéhez rézsűfelület szerkesztése A 8.68 ábrán megadtunk egy térgörbét graduált képével Szerkesszük meg e görbére illeszthető rézsűfelületet, ha r = 5 / 3. Előbb a görbe adott kótájú pontjaihoz tartozó rézsűkúpokat kell

megszerkesztenünk, természetesen főszintköreivel. A rézsűkúpok csúcspontjai a térbeli g görbe pontjai lesznek, amelyeknek képei egyben a kúp főszintköreinek középpontjai. A rézsűkúpok főszintkörei olyan koncentrikus körök, amelyeknek ρ sugárkülönbségét az adott rézsű mellett az előbbi ábrán látható módon nyerjük. Mivel a szerkesztendő rézsűfelületeknek – mert itt is két megoldás van – a rézsűkúpokat érinteniük kell, ezért a rézsűfelületek főszintvonalai érintik a rézsűkúpok azonos szintű főszintköreit. Tehát az egyes szintsíkokban a két rézsűfelület szintvonalai a rézsűkúpok azonos szintű szintköreit bur- A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 237 ► Műszaki ábrázolás I. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Kótás projekció Vissza ◄ 238 ► koló két görbe vonal lesz. A rézsűfelületek szintvonalai – az előbbiek miatt –

olyan egyenközű görbék lesznek, amelyek távolsága ρ Rézsűfelületek szerkesztésének egy gyakorlati alkalmazását a 8.59 ábrán a plató szerkesztésénél láthattuk 8.68 ábra Rézsűfelület szerkesztése térgörbéhez A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Vissza ◄ 238 ► Műszaki ábrázolás I. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék Irodalomjegyzék Vissza ◄ 239 ► Vissza ◄ 239 ► Irodalomjegyzék Dr Szente Béla: Műszaki rajz Nemzeti tankönyvkiadó, 1998. Petrich Géza: Mérőszámos ábrázolás Tankönyvkiadó, 1960. Katona Zoltán: Ábrázoló geometria Tankönyvkiadó, 1973. Bándy Alajos: Műszaki ábrázolás Műegyetemi Kiadó, 1997. Hável György: Ábrázoló geometriai útmutató I-II Tankönyvkiadó, 1987. Báthory Sándor – Jakab János: Építőipai Szakrajz Műszaki Könyvkiadó, 2005. Baboss Csaba: Ábrázoló Geometria II (kézirat) Székesfehérvár, 1997. Dr. Petrich

Géza: Ábrázoló geometria Tankönyvkiadó, 1969. Pethes Endre: 222 Ábrázoló geometriai feladat Műszaki Könyvkiadó, 1966 A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalomjegyzék