Mathematics | High school » Dr. Leitold Adrien - Hatvány, gyök, logaritmus

Hatvány, gyök, logaritmus Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2013. 09 06 1 Hatványozás értelmezése  Hatvány: an a: alap, n: kitevő Hatványozás értelmezése:    Pozitív egész kitevőre: legyen nN+, aR. Ekkor: an = a a   a ( n-szer ) 0 kitevőre: legyen aR, a  0. Ekkor: a0 = 1 ( 00 hatványt nem értelmezzük ) Negatív egész kitevőre: legyen nN+, aR, a  0. Ekkor: a n  1 an Hatvány, gyök. log/2 Gyökvonás értelmezése  Négyzetgyök: Egy nemnegatív a szám négyzetgyöke az a nemnegatív szám, amelynek négyzete a. Jel: a n-edik gyök: 1. Legyen n páros pozitív egész szám: n=2k, kN+ Egy nemnegatív a szám 2k-adik gyöke az a nemnegatív szám, amelynek 2k-adik hatványa a. 2. Legyen n páratlan pozitív egész szám: n=2k+1, kN+ Egy a valós szám 2k+1-edik gyöke az a szám, amelynek 2k+1-edik hatványa a. n a Jel.:  Hatvány,gyök,log/3 Gyökvonás

azonosságai n a b  n a  n b n a  b n n n a a  0, b  0, n  N, n  2 b a k  (n a ) k n m a  n m a n m a  a ,b  0 , n  N, n  2 n k a m k a  0, n  N, n  2, k  Z a  0 , n , m  N, n , m  2 a  0, n , k  N, n , k  2, m  Z Hatvány, gyök. log/4 Hatványozás értelmezése (folyt.)  Racionális tört kitevőjű hatvány: Legyen n = p/q, pZ, qZ, q>1, aR, a>0. Ekkor: a  p q q  ap A hatványozás irracionális kitevőre is kiterjeszthető. Hatvány, gyök. log/5 A hatványozás azonosságai Minden lehetséges értelmezésre: m n a a  a am an mn  a mn ( a  b) n  a n  b n n n a a    n b b a  n m  a nm Hatvány, gyök. log/6 A logaritmus értelmezése Legyen a>0, a1 és b>0. Ekkor a b szám a alapú logaritmusa (jel.:logab ) jelenti azt a valós számot (kitevőt), amelyre a-t

emelve b-t kapunk: log a b a b Pl.: log28 = 3, mert 23=8 log21 = 0, mert 20=1 log21/8 = -3, mert 2-3=1/8 Speciálisan, a 10-es alapú logaritmus jelölése: lg Hatvány, gyök. log/7 A logaritmus azonosságai Legyen a,b,c>0, a1. Ekkor: log a b  c   log a b  log a c b log a    log a b  log a c c log a (b k )  k  log a b , k  R log a (a k )  k , k  R log c b log a b  , c 1 log c a Hatvány, gyök. log/8