Electronics | Higher education » Átmeneti jelenségek

13. fejezet ÁTMENETI JELENSÉGEK Bevezetés Ez a fejezet a jegyzet Átmeneti jelenségek cím fejezetéhez kapcsolódik. Ahogyan legnagyobbrészt eddig is, lineáris áramkörökkel foglalkozunk itt is. Egyenfeszültség vagy egyenáramú, szinuszos feszültség , vagy szinuszos áramú gerjesztésre állandósult állapotra vonatkozóan határoztuk meg áramköreink válaszait (áramait és feszültségeit). Most els)sorban a tranziens (átmeneti) jelenségekre koncentrálunk. Vizsgálati módszerünk eredményeképpen bekapcsolási tranzienseket és az állandósult állapotot is megismerjük, s)t bármilyen id)beli lefolyású gerjesztésre is alkalmazhatjuk. Tehát ebben a fejezetben általános id)beli lefolyású jelenségekkel foglalkozunk lineáris áramkörökben. A m szaki gyakorlatban gyakran el)forduló lineáris koncentrált paraméter egyváltozós id)t)l független paraméter rendszerek (mechanikus, villamos stb.) m ködését a következ) differenciál-egyenlettel

jellemezhetjük: d nk d n 1k dk + A + + A1 + A0 k = n 1 n n 1 dt dt dt d mb d m 1b db = Cm + C + + C1 + C0 b , m 1 m m 1 dt dt dt An ahol k = k ( t ) a rendszer jele, b = b( t ) a bemeneti jel. (A jobb oldal az ismert bemeneti jel és annak kiszámítható deriváltjait, vagyis csupa ismert tagot tartalmaz.) A fenti differenciálegyenletben m n Feladat a bemeneti jel ismeretében a kimeneti jel meghatározása Bár elvi nehézséget nem okoz bármilyen n esetén a differenciálegyenlet megoldása, mi a legfeljebb másodrend differenciálegyenletekkel foglalkozunk. Az ilyen differenciálegyenletek megoldásának legegyszer bb, leghatékonyabb módszere a Laplace-transzformáció, ezért mi is ezt használjuk. Miel)tt konkrét feladatokkal foglalkoznánk, szóljunk néhány szót a Laplacetranszformációról. Laplace-transzformáció Legyen f ( t ) egy valós változójú függvény. és f ( t ) =0, ha t<0. Ha valamely véges, valós értékre a f ( t )e t dt 0 integrál

konvergens (véges érték ), akkor f ( t ) függvény Laplace-transzformáltja létezik,és a következ)képpen számíthatjuk ki: 13. fejezet 13 - 1/21 Átmeneti jelenségek L [f ( t )] = F (s ) = f (t )e st dt , 0 ahol s" komplex változó, F ( s ) pedig az f ( t ) függvény Laplace-transzformáltja. " A Laplace-transzformáció kényelmesen alkalmazható lineáris állandó együtthatós inhomogén differenciálegyenletek megoldására. A transzformálandó f ( t ) függvényre azt a kikötést tettük, hogy t < 0 esetén f ( t ) = 0 . Mint látni fogjuk, ez a kikötés nem sz kíti le a transzformáció alkalmazási területét. A Laplace-integrál, a gyakorlatban el)forduló szinte valamennyi f ( t ) függvényre konvergens. A Laplace-transzformáció további hasznos tulajdonsága, hogy, ha f (t )dt integrál konvergens (ekkor f ( t ) Fourier-transzformáltja is létezik), és f ( t ) = 0 , ha t < 0 , akkor F [f (t )] = L [f (t )] s = j A

következ)kben L [f ( t )] jelölés helyett az egyszer bb Lf ( t ) jelölést is alkalmazzuk. A Laplace-transzformáció alkalmazásában nagy szerepe van az 1( t ) -vel jelölt egységugrás függvénynek, valamint a (t) (Dirac-delta) impulzus-függvénynek. L [1( t )] = 1 s L [ ( t )] = 1 A Laplace-transzformáció legfontosabb tulajdonságai közül kiemeljük a következ)ket L [c f ( t )] = c L [f ( t )] L [f1 ( t ) + f2 ( t )] = L [f1 ( t )] + L [f2 ( t )] L df ( t ) = sF ( s ) f ( 0 ) dt t L f ( )d = 0 1 F( s ) s Inverz Laplace-transzformáció F ( s ) -b)l f ( t ) függvény egy komplex változójú komplex függvény integrálásával határozható meg. Ezt a bonyolult általános módszert nem kell alkalmaznunk, ha F ( s ) függvényt felbontjuk olyan függvényekre, amelyekhez tartozó f ( t ) függvényt ismerjük. Ha valamely függvény Laplace-transzformáltja racionális valódi törtfüggvény (mi leggyakrabban ilyennel találkozunk), akkor a kifejtési

tételt használhatjuk. 13. fejezet 13 - 2/21 Átmeneti jelenségek Ha F( S ) = M( S ) , N( s ) a kifejtési tétel szerint: M (s i ) s i t e i =1 N (s i ) n f (t ) = 1( t ) ahol s i ( i = 1, 2 , .n ) a nevez) egyszeres gyökei Többszörös gyökök esetén a kifejtési tétel bonyolultabb. Mivel a m szaki alkalmazásokban a kifejtési tételt igen gyakran alkalmazzuk, figyeljünk a következ)kre: Ha a nevez)t gyöktényez)s alakban írjuk fel, vagyis a nevez) n N (s ) = k =1 (s sk ) , akkor a differenciálás és az i-edik gyök behelyettesítése után a nevezô n k =1 k i (s i sk ) alakú lesz. Így például: L 1 (s 1 s1 )(s s2 ) = 1 s1 s2 e s1t + 1 s2 s1 e s2 t Itt a nevez) deriváltja ( s s1 ) + ( s s 2 ) , ezért s1 behelyettesítése esetén az els) tag, s 2 behelyettesítése esetén pedig a második tag nulla. Tehát, ha a nevez) gyöktényez)s alakban adott, az e si t együtthatóit egy lépésben meghatározhatjuk. A bevezet)ben felírt d

nk d n 1k dk + A + + A1 + A0 k = n 1 n n 1 dt dt dt db d mb d m 1b = Cm + Cm 1 + + C1 + C0 b , m m 1 dt dt dt An differenciálegyenlet mindkét oldalára nulla kezdeti feltételek esetén a Laplacetranszformációt alkalmazva ( Am s m + . + A1 s + A0 ) K ( s ) = = ( C m s m + . + C1 s + C0 ) B( s ) Ebb)l K ( s ) = Y ( s ) B( s ) , ahol 13. fejezet 13 - 3/21 Átmeneti jelenségek Y (s ) = C m s m + + C1 s + C0 Am s n + + A1 s + A0 K ( s ) a kimeneti jel Laplace transzformáltja, B( s ) a bemeneti jel Laplace transzformáltja. Az Y (s ) = K (s ) B (s ) függvényt átviteli fügvénynek nevezzük. L 1Y ( s ) = y ( t ) a ( t ) bemeneti jelre adott válasz kimeneti jel, mivel ekkor B( s ) = 1 . Az y ( t ) függvényt súlyfüggvénynek nevezzük. Látható, ha ismerjük valamely rendszer viselkedését ( t ) bemeneti jelre, meg tudjuk határozni bármely más jelre is. A t=0-ban energiamentes lineáris áramköreinkre az operátoros impedanciákat alkalmazva a megfelel)

átviteli függvény igen könnyen meghatározható Ha például egy soros RLC kétpólusra u(t) feszültség kapcsolódik, t u( t ) = Ri ( t ) + L di ( t ) 1 i ( )d + dt C0 Ha az egyenlet mindkét oldalára a Laplace-transzformációt alkalmazzuk U ( s ) = RI ( s ) + SLI ( s ) + 1 I( s ) , sC ahol U( s ) 1 = Z ( s ) = R + sL + I( s ) sC a soros RLC kétpólus operátoros impedanciája. Feladataink megoldása során el)ször meg kell határoznunk a hálózatban szerepl) feszültség- vagy áramgenerátorok feszültségének (u(t)) ill. áramának (i(t)) Laplacetranszformáltját Ezt, és az operátoros impedanciákat felhasználva egészen a kívánt kimeneti jel (feszültség, vagy áram) Laplace-transzformáltjának kiszámításáig az eddig megtanult módon alkalmazhatjuk a lineáris hálózatok tételeit, alkalmazhatjuk a már ismert hálózatszámítási módszereket. A bonyolult differenciálegyeletek megoldása helyett algebrai egyenletekkel dolgozhatunk. Végül inverz

Laplace-transzformációval visszatérünk az id)függvényhez. A bonyolult differenciálegyeletek megoldása helyett algebrai egyenletekkel dolgozhatunk. Következ) ábránk a Laplace-transzformáció alkalmazását szemlélteti. 13. fejezet 13 - 4/21 Átmeneti jelenségek A 2 létra a Laplace transzformációt, a 4 az inverz Laplace-transzformációt szemlélteti. Ha operátoros impedanciákkal dolgozunk, egyb)l az algebrai egyenletek síkján találjuk magunkat, és ha az inverz Laplace-transzformációhoz a kifejtési tételt alkalmazzuk, a 4 létrán is könnyedén fölkapaszkodhatunk a keresett id)függvényekhez. Az általános id)beli jelenségek vizsgálatát Laplace-trenszformáció segítségével mintapéldákon mutatjuk be. Feladatainkban összetartozó mértékegységeket értünk ott, ahol mértékegységet nem írunk ki. Ha például a feszültség mértékegysége V, akkor i ( t ) -t A-ben kapjuk , ha az ellenállás -ban, az induktivitás H-ben, a kapacitás

F-ban szerepel. Mintapéldák 13.1 példa Els) feladatunkban egy un. differenciáló kétpóluspárt vizsgálunk R=0,5 k ; C=1nF legyen. 13. fejezet 13 - 5/21 Átmeneti jelenségek Határozzuk meg uk(t) feszültséget, ha ub(t)=U01(t) [V]. A kétpóluspár feszültség-átviteli függvénye: Y (s ) = U k (s ) R sCR = = U b (s ) R + 1 1 + sCR sC Az U 0 1( t ) bemeneti jelre adott válasz" (feszültség) pedig: " U k (s ) = U0 sCR s 1 + sCR u k ( t ) függvény t = 0 -ban szakadásos lim [u k (t )] = 0 , t 0 lim [uk (t )] 0 t 0+ uk (t ) = U 0 e t RC 1(t ). Az áram: t U i (t ) = 0 e RC 1(t ). R A differenciáló" elnevezés magyarázata: periodikus bemeneti jeleknél, ha R C << T , az " u k ( t ) a bemeneti jel differenciálhányadosát közelíti. Egy tb szélesség impulzust a következ)képpen adhatunk meg két ugrásfüggvény összegeként: 13. fejezet 13 - 6/21 Átmeneti jelenségek Legyen u b ( t ) = U 0 1( t ) 2U 0 1( t (

2 k 1 )t b ) + k =1 2U 0 1( t 2 kt b ) k =1 Az ugrásfüggvények összeadogatásával t>0-ra periodikus négyszögjelet kapunk. A Laplace-transzformáció (az inverz Laplace-transzformáció is) függvények összege esetén tagonként elvégezhet), a transzformáció eredménye ezen tagok összege. A kimeneti jelet {uk(t)} az egyes ugrásfüggvényekre adott válaszok összegzésével kapjuk. Feladatunkban RC=0,5µs. Hogy a kapott ábrán az exponenciális függvényeket is jól lássuk, a négyszögjel periódusidejének ne nagyságrendekkel nagyobbat, hanem ennek nyolcszorosát vegyük. 13. fejezet 13 - 7/21 Átmeneti jelenségek Az RC id)állandónál jóval kisebb periódusidej bemeneti feszültség esetén a kimeneti feszültség a bemeneti feszültséghez közeli alakú, de egyenkomponenst nem tartalmaz. Következ) ábránkon az erre az esetre kiszámított kimeneti feszültséget ábrázoltuk. Az ábra második része = 0,5µs eltelte után már az állandósult

állapothoz közeli állapotot mutatja. Az elektronikában a sorosan kapcsolt kondenzátort az egyenfeszültség komponens leválasztására is használják. 13.2 példa Következ) feladatunkban ugyanezen RC elemekb)l felépített kétpóluspárt vizsgáljunk. A kimeneti feszültség most a kapacitáson (ideális kondenzátoron) mérhet) feszültség legyen. R=0,5k ; C=1nF. 13. fejezet 13 - 8/21 Átmeneti jelenségek 1 1 U U k ( s ) = U b ( s ) sC = 0 sC = 1 s R+ 1 R+ sC sC U0 U 1 1 = 0 s( 1 + sCR ) RC s( s + 1 ) RC A kifejtési tételt alkalmazva uk ( t ) = U0 RC 1 1 RC 1 e 1 RC t RC 1( t ) = U 0 ( 1 e t RC t )1( t ) = U 0 ( 1 e )1( t ) Az ábrán uk(t) függvényt (0;5 ) intervallumban ( =0,5µs) ábrázoltuk. A függvényb)l behelyettesítéssel kiszámítható, és az ábráról is leolvasható, hogy t= értéknél uk(t)=0,632U0, t=2,3 értéknél uk(t)=0,9U0, t=4,6 értéknél uk(t)=0,99U0. Az ábrán bejelöltük t=0-ban a függvény érint)jét is,

meredeksége U0/ . Az exponenciális függvény kezdeti szakasza jól közelíthet) lineáris függvénnyel. Ez a kétpóluspár periodikus bemeneti feszültségekre, ha azok periódusideje jóval kisebb, mint 1/RC, integráló jelleg . Erre mutat példát két következ) ábránk. 13. fejezet 13 - 9/21 Átmeneti jelenségek t ! esetben a kimeneti feszültség a bemeneti feszültség egyenkomponenséhez (els) esetben 0V-hoz, második esetben 5V-hoz) tart. 13.3 példa Vizsgáljuk meg a következ) kétpóluspárt U01(t), bemeneti feszültségre, majd egy tb szélesség , U0 amplitúdójú impulzusra. R=1k ; C=1nF. Ha 13. fejezet + b ( t ) = U 0 1( t ) , 13 - 10/21 Átmeneti jelenségek 1 U 1 + sCR U U R R RC = U0 Uk ( s ) = 0 = 0 = 0 R 2 s 2 + sCR s R+R× 1 s R+ ) s( S + sC 1 + sCR RC s+ Ebb)l uk ( t ) = t 0 ,5 RC U0 (1 + e 2 )1( t ) lim [u k ( t )] = U 0 , t 0+ ami várható is volt, hiszen a töltetlen ideális kondenzátor bekapcsoláskor rövidzárként

viselkedik. lim [u k ( t )] = t U0 , 2 amit szintén láthattunk már a feladat megadásánál, hiszen állandósult állapotban az ideális kondenzátoron áram már nem folyik, a bemeneti jel a kimenetre egy ellenállásosztón osztódik le. Legyen most u b ( t ) = U 0 1( t ) U 0 1( t tb ) , akkor U uk ( t ) = 0 ( 1 + e 2 t 0 ,5 RC )1( t ) U0 (1 + e 2 t tb 0 ,5 RC )1( t tb ) Következ) ábránkon a be- és kimeneti feszültséget komponensenként ábrázoltuk. ub=ub1+ub2, a komponensekre adott válaszok is összeadhatók, ezért uk=uk1+uk2. Következ) ábránkon a komponensek ered)jét, az ered) be- és kimeneti feszültséget ábrázoltuk. 13. fejezet 13 - 11/21 Átmeneti jelenségek Vizsgáljuk meg a következ) kétpóluspárt (Wien-híd RC osztója) U01(t), majd periodikus négyszög bemeneti feszültségre. 13.4 példa C=1nF; R=0,5k . Ha + b ( t ) = U 0 1( t ) , 1 R R× U U0 U sRC sC 1 + sCR Uk ( s ) = . = 0 = 0 R 1 s R× 1 R+ 1 s s sRC + sRC ( 1 + sRC ) + 1 +

SRC +R+ + sC sC 1 + sCR sC RC = helyettesítéssel Uk ( s ) = U0 s s 1 + 3s + s2 = U0 2 (1 + s 1 )( 1 + s 2 ) 1 = U0 1 2 (s + 1 1 )( s + 1 , ) 2 ahol 1 = 2 ,62 , 2 = 0 ,38 u k ( t ) = L 1U k ( s ) = 13. fejezet 13 - 12/21 Átmeneti jelenségek t U0 (e 1 1 t t e 2 )1( t ) = ( 0 ,446U 0 e 1 t 0 ,446U 0 e 2 )1( t ) 2 Hasonlóan az egyszer integráló RC kétpóluspárhoz, vizsgáljuk meg ezt is két különböz) periódusidej periodikus négyszög bemeneti feszültségre. Az ábrákon a bemeneti és kimeneti feszültségeket is megrajzoltuk. Megállapíthatjuk, hogy az 1/RC-nél sokkal kisebb periódusidej bemeneti feszültség esetén az egyszer kételemes integráló kétpóluspárhoz hasonlóan ez is periódikus háromszög alakú kimeneti feszültséget ad. Lényeges különbségként megállapíthatjuk, hogy a bemeneti 13. fejezet 13 - 13/21 Átmeneti jelenségek feszültség egyenkomponense állandósult állapotban a kimeneten

nem jelenik meg. Ha meggondoljuk, hogy a bemeneti feszültség olyan kétpólusra kapcsolódik, amelyikben soros kapacitás is szerepel, ez teljesen érthet). Az 1/RC-nél sokkal nagyob periódusidej bebeneti feszültség esetén áramkörünk viselkedése az egyszer kételemes differenciáló hárompólushoz hasonló. Itt tompa, és kisebb amplitúdójú impulzusokat kapunk. Hogy a jelalak is jól látható legyen, olyan periódusidej bemeneti jeleket alkalmaztunk, ahol még az integrálási, differenciálási tulajdonságok nem elég jók. Áttekint2 példa Vizsgáljuk meg az eddig már szerepelt három kétpóluspárunk feszültségátviteli függvényét, és az s=j% helyettesítéssel kapható frekvenciafüggvényt. YU ( s ) = sCR 1 + sCR YU ( j ) = j CR 1 + j CR A frekvenciafüggvényt Bode-diagramban ábrázolva kiderül, hogy ha 0, 3 2 , tehát 2 1 , jó közelítéssel igaz, hogy ha u b = Û b sin t , akkor u k = Û k cos t , vagyis CR du b uk = K . (Ha a frekvencia

már elég alacsony a jó deriváláshoz, akkor a K konstans is dt , a kimeneti feszültség a bemeneti feszültség egyenkomponens nélküli kicsi.) Ha függvényét közelíti. A kétpóluspár differenciáló jelleg minden olyan periodikus bemeneti feszültségre, amelyik Fourier-sorfejtéssel kapott minden számottev) amplitúdójú 1 komponensére igaz, hogy i << . CR ha << YU ( s ) = 13. fejezet 1 1 + sCR YU ( j ) = 13 - 14/21 1 1 + j CR Átmeneti jelenségek A frekvenciafüggvényt Bode-diagramban ábrázolva kiderül, hogy ha, >> tehát ha , 3 2 , 2 1 , jó közelítéssel igaz, hogy ha u b = Û b sin t , akkor u k = Û k cos t , CR t vagyis u k = K u b ( 6 )d6 . (Ha a frekvencia már elég magas a jó integráláshoz, akkor a K 0 konstans is kicsi.) A kétpóluspár integráló jelleg minden olyan periodikus bemeneti feszültségre, amelyik Fourier-sorfejtéssel kapott komponensek mindegyikére igaz, hogy 1 . i >> CR YU ( s ) =

sCR 1 + 3 sCR + S 2 ( CR ) 2 YU ( j ) = j CR 1 + 3 j CR + ( j ) 2 ( CR ) 2 A frekvenciafüggvényt Bode-diagramban ábrázolva kiderül, hogy alacsony frekvencián (ha 1 2 << ) a kétpóluspár differenciáló (ha 0, 3 ), magas frekvencián (ha CR 2 1 2 ) integráló (ha , 3 ) jelleg . >> CR 2 13.5 példa A következ) feladatban t=0-ban U0 feszültség feszültséggenerátort kapcsolunk egy soros RLC kétpólusra. Határozzuk meg a kétpólus id)függ) áramát. A feladatban a kondenzátor töltése t=0-ban nulla legyen. A hálózat m ködését leíró differenciálegyenlet: 13. fejezet 13 - 15/21 Átmeneti jelenségek R i (t ) + L di (t ) 1 + i (6 )d6 = U 0 1(t ) dt C0 R i (t ) + L di (t ) 1 + i (6 )d6 = U 0 1(t ) dt C0 t t Laplace-transzformálva: U 1 I( s ) = 0 sC s RI (s ) + sLI ( s ) + Innen: I (s ) = U0 s R + sL + = 1 sC U0 1 C s 2 L + sR + A nevez) gyökei: s1 ,2 = k ± k 2 Ha k < Ha 0 , ahol k = R . 2L k2 = k ± j . 2 0 ,

konjugált komplex gyökpárt kapunk: s1 ,2 = k ± j 2 0 Ekkor L -1 U0 L{ s ( k + j )}{ s ( k U + 0 L 1 k + j +k+ j j )} e ( k+ j = )t U0 L k U = 0 e L 1 j +k kt ej j t e 2j e( k j )t + j t , ha t > 0 , és nulla, ha t < 0 Mivel ej i (t ) = 13. fejezet t e 2j U0 e L j t kt = sin t , sin t 13 - 16/21 1( t ) Átmeneti jelenségek Az áram id)függvénye exponenciálisan csillapodó szinuszos függvény. Ha a soros RLC kétpólus (rezg)kör) kis veszteség , a szinuszos áram amlitúdójas lassan csökken. 13.6 példa A következ) feladatban u (t ) = Û sin( t + 30 ) feszültséget kapcsolunk t = 0 -ban egy soros RL hálózatra. i(t)=? ( Most célszer a feszütséget komplex formában szerepeltetni, L e j egyszer bben kezelhet), mint L (sin t ) ugyanis t ) . Természetesen, ahogy u (t ) = Im[ u (t )] , úgy az eredményünk i (t ) , ennek az imaginárius része i ( t ) . u ( t ) = Ûe j30 e j t feszültség bekapcsolása

esetén az áram Laplace-transzformáltja (jelöljük ezt I ( s ) -sel): I (s ) = Ûe j30 s j 1 Ûe j30 = R + sL L 1 (s j ) s+ R L L 1I ( s ) = i ( t ) A kifejtési tételt alkalmazva 13. fejezet 13 - 17/21 Átmeneti jelenségek i ( t ) = Ûe j30 1 e R+ j L R t L 1 + ej R+ j L t Û j (30 1( t ) = e Z 3) e j t e R t L 1( t ) ahol Z = R2 + 2 2 L és 3 = ar ctg L R i ( t ) = Im[ i ( t )] , tehát i (t ) = Û sin ( t + 30 Z 3) e R t L sin (30 3 ) 1( t ) Következ) ábránkon külön is ábrázoltuk a tranzienst, az állandósult állapotot és a teljes áramot. Láthatjuk, hogy adott bemeneti feszültség esetén a tranziens a bekapcsolás fázisától (() is függ. Ha ((0-()=0, i(t) nem tartalmaz tranziens komponenst. Ábránkat olyan esetre rajzoltuk meg, ahol 2 30 3 = . 4 13. fejezet 13 - 18/21 Átmeneti jelenségek Mivel az induktivitás árama ugrásszer en nem változhat, i(t) áram bekapcsolás utáni pillanattól nulláról

ugrás nélkül változhat, tehát a tranziens komponensnek mindig olyannak kell lennie, hogy t=0-ban a tranziens és az állandósult állapotbeli komponens ered)je nulla legyen. Az eddigi feladatoknál nem okozott gondot a kezdeti érték, mert mindenhol nulla volt. Mint már említettük, a kezdeti értékek nem nullák, ha a hálozat t = 0 -ban energiával rendelkezik. Ez villamos hálozatoknál azt jelenti, hogy a kondenzátornak nullától eltér) feszültsége és töltése, az induktivításnak nullától eltér) fluxusa és árama van. Ezekben az esetekben is átmenthetjük azonban az eddig alkalmazott igen egyszer számítási módszerünket. Induktivitás esetén di ( t ) , u( t ) = L dt igy U(s)=sLI(s)-LI(0) Az Li(0) tag egy Li(0))(t) id)függvényLaplace-transzformáltjának felel meg, tehát ha ilyen kezdetiértékgenerátort alkalmazunk tényleges generátorunk mellett, operátoros impedanciákkal számolhatunk. Kapacitás esetén t 1 i ( )d , C0 tehát egy UC0 kezdeti

feszültség kapacitást egy áramkörbe kapcsolva UC01(t) járulékos generátor bekapcsolását is jelenti. Ezt áramkörünkben külön generátorként szerepeltetjük, és ezután már operátoros impedanciákkal számolhatunk. u( t ) = U C 0 + 13. fejezet 13 - 19/21 Átmeneti jelenségek A következ) példában t=0-ban a kondenzátor nem energiamentes. 13.7 példa A kapcsolót akkor kapcsoljuk be, amikor C kapacitást a generátor már U g feszültségre feltöltötte. Határozzuk meg i 2 ( t ) függvényét! A hálózat elôéletét", a t < 0 -ban lejátszódott jelenség eredményét" kezdeti érték " " generátorral vehetjük figyelembe. Ekkor viszont U g generátor helyett is U g 1( t ) generátort kell alkalmazni: Ezek után már operátoros impedanciákkal számolhatunk: Az (1) generátor hatása: I 21 (s ) = Ug s Ug s 1 1 sC = 4R 1 R+ + 4R 1 + sC 4 R sC 1 Ug 1 1 sC = 4R 1 s 5 R + 4 sCR 2 R+ + 4R 1 + sC 4 R sC A (2) generátor hatása:

I 22 (s ) = Ug s Ug R sC = 1 4R 5 R s 5 + 4 RsC + sC 5 1 Így: 13. fejezet 13 - 20/21 Átmeneti jelenségek I 2 (s ) = I 21 (s ) + I 22 (s ) = Ug s 1 + sCR 5 R + 4 R 2 sC i 2 (t ) meghatározásánál a kifejtési tételt alkalmazhatjuk. Eredményül az i 2 (t ) = L 1 I 2 (s ) = Ug 4 1 e + 4R 5 5 5 t 4 RC 1(t ) függvényt kapjuk. 13. fejezet 13 - 21/21 Átmeneti jelenségek