Economic subjects | Insurance » Általános biztosítás 2, 6. óra

Általános biztosítás 2, 6. óra Ma még a függ®károkkal, kifutási háromsazögekkel foglalkozunk. Múltkor négyzetes hiba, msep volt. Most a paraméterhibát nézzük CL (Ĉi,J − E(Ci,J |DI ))2 =(Ci,I−i fˆI−i . fˆJ−1 − Ci,I−i fI−i fJ−1 )2 =(Ci,I−i )2 (fˆI−i fˆJ−1 − fI−i fJ−1 ) Szokásos becslésnél (fˆI−i . fˆJ−1 − fI−i fJ−1 ) nél fI−i fJ−1 helyére fˆI−i fˆJ−1 -t soktak írni, de ekkor 0-t kapnánk! (Túl optimista becslés.) Ehelyett a bootstrap módszert használjuk. (Olyan, mint amikor Münchhaussen báró a hajánál fogva rángatta ki magát a mocsárból.) Nem paraméteres bootstrap módszer: ξ1 , ξ2 . ξn , E(ξi ) = m (független azonos eloszlásúak) ξ1 +ξ2 +.+ξn n − m Ez milyen eloszlású? ( ξ1 +ξ2 +.+ξ = m̂) Az eredeti mintából egy újabb "mintát" n n készítünk visszatevéses mintavétellel.: ξik (1) , ξik (2) , . ξik (n) , k = 1, 2, n2 vagy k =

1, 2, n log(n) ennek az átlaga m̃k m̂ − m ∼ m̃ − m̂ Paraméteres bootstrap módszer θ1 , θ2 , . , θl paraméterek θ̂1 , θ̂2 , . θ̂l Megbecsüljük a paramétereket N elem¶ mintát generálunk a becsült paraméterekkel. ĥ becslési eljárás h̃m m-edik szimulációnál a becslés h̃m − h(θˆ1 , θˆ2 , . θˆk ) Ismerjük a θˆi paramétereket (A resampling eljáráson belül van a bootstrap és a jackknife eljárás is.) Múltkorról: 2 (fˆI−i . fˆJ−1 − fI−i fJ−1 )2 Ci,I−i Egy növekedést sorsolunk ki és fels®-háromszöget kapunk. E mellett az új mellett lánc-létra módszert alkalmazunk. Így egy becslést kapunk, ebb®l ered az új növekledési faktor Láncszem-hányados módszernél az igazi érték ezeknek az átlaga lesz. Sok generáló átlaga módszer. Vagy vehetünk eloszlás-modellt is. (Eddig csak Poisson volt) Paraméteres bootstrap paraméterbecslés. sok kifutási háromszög, mindegyikre fi,j

becslése igazi növekedési faktor Négyzetes hiba becslése. Az England-Verral szerz®párostól találhatunk sok bootstrappeléssel kapcsolatos dolgot, de most foglalkozzunk kicsit egy már említett német matematikussal, Mackkal. Mack: Tj =fˆI−i fˆI−i+1 . fˆj−1 (fj − fˆj )fj+1 fj+2 fJ−1 PJ−1 P P 2 2 ( J−1 I−i≤j<k≤J−1 Tj Tk j=I−i Tj ) = j=I−i Tj + 2 E(Tj |Bj ) = 0 Tj Bk -mérhet®, ha j < k E(fˆj |Bj ) = fj ⇒ E(fj − fˆj ) = 0 2 ˆ2 2 2 2 2 fj+2 . fJ−1 = (∗) fI−i+1 . fˆj−1 E((fj − fˆj )2 |Bj )fj+1 E(Tj2 |Bj ) = fˆI−i E((fj − fˆj )2 |Bj )=E(fj2 − 2fj fˆj + fˆj2 |Bj )=E(fj2 |Bj ) − 2E(fj |Bj )E(fˆj |Bj ) + E(fˆj2 |Bj )= E((fˆj − E(fj ))2 |Bj )=E((fˆj − E(fˆj ))2 |Bj )=D2 (fˆj |Bj ) σj2 (E(fj − fˆj ) = 0) D2 (fˆj |Bj ) = PI−j−1 2 i=0 Ci,j σ̂j 2 ˆ2 2 2 PI−j−1 (*)=fˆI−i fI−i+1 . fˆj−1 f 2 f 2 . fJ−1 Ci,j j+1 j+2 i=0 P σ̂j2 2 2 2 ˆ2 fˆ2 ˆ2 PI−j−1 Ci,I−i

J−1 f . . . f fˆj+1 fˆj+2 . fˆJ−1 j−1 j=I−i I−i I−i+1 C Az évek egymástól függetlenek. i=0 i,j 3 CL CL CL Ĉi,J szórására lenne szükségünk. De probléma: Ĉi,J és Ĉl,J nem függetlenek! Mindkett®ben ugyanazokat a növekedési faktor becsléseket használtuk, ezek összefügg®k! Számoljunk négyzetes hibát (msep) CL CL CL CL msepCi,J +Ck,J |DI (Ĉi,J Ĉk,J ) = D2 (Ci,J + Ck,J |DI ) + (Ĉi,J + Ĉk,J − E(Ci,J |DI ) − E(Ck,J |DI ))2 = CL CL CL CL − E(Ck,J |DI ))= (Mostantól − E(Ck,J |DI ))2 + 2(Ĉi,J − E(Ci,J |DI ))(Ĉk,J (Ĉi,J − E(Ci,J |DI ))2 + (Ĉk,J a CL-t elhagyjuk, mindenütt lánclétra van. )= msepCi,J |DI Ĉi,J + msepCk,J |DI Ĉk,J + 2(Ĉi,J − E (Ci,J |DI )) (Ĉk,J − E(Ck,J |DI )) Kell még ez utóbbi tag {z } | {z } | Ci,I−i (2( )( )) becslése. Q Ck,I−k ˆ QJ−1 fj )(QJ−1 fˆj − QJ−1 fj ) Ci,I−i Ck,I−k ( J−1 j=I−k j=I−i j=I−k j=I−i fj − cov(|DI )=Ci,I−i Ck,I−k fI−k

fI−k+1 . fI−i−1 D2 (fˆI−i fˆI−i+1 fˆJ−1 |DI ) Ci,J + Ck,J négyzetes hibája nem {z }| {z } | {z }| becsléseink múltkori becslés ismert csak a tagok négyzetes hibáinak az összege, hanem még plusz a 2( .)( ) tag Ezek az msep-k tájékoztatnak arról, hogy a becsléseink mennyire szóródnak Van 2-3 módszer, amivel tartalékot becsülnek, mindig konzisztensen, ugyanavval a módszerrel. A hibákkal nem tör®dnek De el®re is gondolhatunk arra, hogy mekkorák lesznek a hibák, például 2 MRD tartalékot számoltunk, de a "hiba" 400 Mió, akkor lehet erre a kilengésre számítani. Minket az érdekel, hogy milyen nagyságrend¶ek ezek a hibák (Pl 500 Mió-s tartaléknál már azért nagy a 400Mió-s "hiba", ott lehet, hogy pluszba tartalékolni kell.) További paraméteres modellek Kárszámokra jó a Poisson-eloszlás, de kárkizetésekre nem feltétlenül Lognormális modell A hozam pl lognormális eloszlású. Pozitív változókra

normális eloszlás nem annyira illeszthet®, mert nincsenek negatív elemek. Ci,j feltételezés: ηi,j = log(Fi,j ) ∼ N (ξj , σj2 ) ηi,j -k függetlenek (sorok nek) Fi,j = Ci,j−1 σ2 E(Fi,j )=exp(ξj + 2j ) D2 (Fi,j )=exp(2ξj + σj2 ) · (exp(σj2 ) − 1) σ2 fj−1 =exp(ξj + 2j ) n. a felt t®l mérh. a feltre z}|{ Fi,j |Ci,0 , Ci,1 , . Ci,j−1 )=Ci,j−1 E( Fi,j |Ci,0 , Ci,1 , . Ci,j− E(Ci,j |Ci,0 , Ci,1 , . Ci,j−1 )=E( 2 2 2 2 Teljesül-e D -re a feltétel? (Múltkor feltettük.) D (Ci,j |Ci,j−i )=D (Ci,j−1 Fi,j |Ci,j−1 )=Ci,j−1 D2 (Fi,j ) Ez nem adja vissza a Mack-modellt, az msep-eredmények nem használhatók fel! Cél:ξj , σj becsz }| { Ci,j−1 lése. A hányados lognormális lesz Normális eloszlásra paraméterbecslés Maximum likelihood (ML)módszerrel Várható érték=tapasztalati közép, Szórásnégyzet=tapasztalati szórás négyzete Most még ξˆj -k nem véletlenek. PI−j Ci,j 1 ξˆj = I−j+1 i=0 log( Ci,j−1 ) σj2 =

PI−j 1 Ci,j ˆ 2 i=0 (log( Ci,j−1 ) − ξj ) I −j | {z } korrigált 2 σj ξˆi ∼ N (ξj , I−j+1 ) I−j 2 ∼ χI−j σ̂ 2 j P P Ci,j zij =log(Ci,j )=Zi,I−i + Jj=I−i+1 log( Ci,j−1 )=Zi,I−i + Jj=I−i+1 ηi,j P E(zij |DI )=Zi,I−i + Jj=I−i+1 ξj ˆ |DI ):=Zi,I−i + PJ ẑij =E(Zi,j ξˆj j=I−i+1 E(Ẑi,J |DI ) = E(Zi,j |DI ) Következ® órán msep-kel foglalkozunk, kárkizetés-becslés is lesz. Jöv® hét után szünet 4