Economic subjects | Insurance » Általános biztosítás 2, 6. óra

Please log in to read this in our online viewer!

Általános biztosítás 2, 6. óra

Please log in to read this in our online viewer!


 2013 · 2 page(s)  (708 KB)    Hungarian    13    May 18 2019  
    
Comments

No comments yet. You can be the first!

Content extract

Általános biztosítás 2, 6. óra Ma még a függ®károkkal, kifutási háromsazögekkel foglalkozunk. Múltkor négyzetes hiba, msep volt. Most a paraméterhibát nézzük CL (Ĉi,J − E(Ci,J |DI ))2 =(Ci,I−i fˆI−i . fˆJ−1 − Ci,I−i fI−i fJ−1 )2 =(Ci,I−i )2 (fˆI−i fˆJ−1 − fI−i fJ−1 ) Szokásos becslésnél (fˆI−i . fˆJ−1 − fI−i fJ−1 ) nél fI−i fJ−1 helyére fˆI−i fˆJ−1 -t soktak írni, de ekkor 0-t kapnánk! (Túl optimista becslés.) Ehelyett a bootstrap módszert használjuk. (Olyan, mint amikor Münchhaussen báró a hajánál fogva rángatta ki magát a mocsárból.) Nem paraméteres bootstrap módszer: ξ1 , ξ2 . ξn , E(ξi ) = m (független azonos eloszlásúak) ξ1 +ξ2 +.+ξn n − m Ez milyen eloszlású? ( ξ1 +ξ2 +.+ξ = m̂) Az eredeti mintából egy újabb "mintát" n n készítünk visszatevéses mintavétellel.: ξik (1) , ξik (2) , . ξik (n) , k = 1, 2, n2 vagy k =

1, 2, n log(n) ennek az átlaga m̃k m̂ − m ∼ m̃ − m̂ Paraméteres bootstrap módszer θ1 , θ2 , . , θl paraméterek θ̂1 , θ̂2 , . θ̂l Megbecsüljük a paramétereket N elem¶ mintát generálunk a becsült paraméterekkel. ĥ becslési eljárás h̃m m-edik szimulációnál a becslés h̃m − h(θˆ1 , θˆ2 , . θˆk ) Ismerjük a θˆi paramétereket (A resampling eljáráson belül van a bootstrap és a jackknife eljárás is.) Múltkorról: 2 (fˆI−i . fˆJ−1 − fI−i fJ−1 )2 Ci,I−i Egy növekedést sorsolunk ki és fels®-háromszöget kapunk. E mellett az új mellett lánc-létra módszert alkalmazunk. Így egy becslést kapunk, ebb®l ered az új növekledési faktor Láncszem-hányados módszernél az igazi érték ezeknek az átlaga lesz. Sok generáló átlaga módszer. Vagy vehetünk eloszlás-modellt is. (Eddig csak Poisson volt) Paraméteres bootstrap paraméterbecslés. sok kifutási háromszög, mindegyikre fi,j

becslése igazi növekedési faktor Négyzetes hiba becslése. Az England-Verral szerz®párostól találhatunk sok bootstrappeléssel kapcsolatos dolgot, de most foglalkozzunk kicsit egy már említett német matematikussal, Mackkal. Mack: Tj =fˆI−i fˆI−i+1 . fˆj−1 (fj − fˆj )fj+1 fj+2 fJ−1 PJ−1 P P 2 2 ( J−1 I−i≤j<k≤J−1 Tj Tk j=I−i Tj ) = j=I−i Tj + 2 E(Tj |Bj ) = 0 Tj Bk -mérhet®, ha j < k E(fˆj |Bj ) = fj ⇒ E(fj − fˆj ) = 0 2 ˆ2 2 2 2 2 fj+2 . fJ−1 = (∗) fI−i+1 . fˆj−1 E((fj − fˆj )2 |Bj )fj+1 E(Tj2 |Bj ) = fˆI−i E((fj − fˆj )2 |Bj )=E(fj2 − 2fj fˆj + fˆj2 |Bj )=E(fj2 |Bj ) − 2E(fj |Bj )E(fˆj |Bj ) + E(fˆj2 |Bj )= E((fˆj − E(fj ))2 |Bj )=E((fˆj − E(fˆj ))2 |Bj )=D2 (fˆj |Bj ) σj2 (E(fj − fˆj ) = 0) D2 (fˆj |Bj ) = PI−j−1 2 i=0 Ci,j σ̂j 2 ˆ2 2 2 PI−j−1 (*)=fˆI−i fI−i+1 . fˆj−1 f 2 f 2 . fJ−1 Ci,j j+1 j+2 i=0 P σ̂j2 2 2 2 ˆ2 fˆ2 ˆ2 PI−j−1 Ci,I−i

J−1 f . . . f fˆj+1 fˆj+2 . fˆJ−1 j−1 j=I−i I−i I−i+1 C Az évek egymástól függetlenek. i=0 i,j 3 CL CL CL Ĉi,J szórására lenne szükségünk. De probléma: Ĉi,J és Ĉl,J nem függetlenek! Mindkett®ben ugyanazokat a növekedési faktor becsléseket használtuk, ezek összefügg®k! Számoljunk négyzetes hibát (msep) CL CL CL CL msepCi,J +Ck,J |DI (Ĉi,J Ĉk,J ) = D2 (Ci,J + Ck,J |DI ) + (Ĉi,J + Ĉk,J − E(Ci,J |DI ) − E(Ck,J |DI ))2 = CL CL CL CL − E(Ck,J |DI ))= (Mostantól − E(Ck,J |DI ))2 + 2(Ĉi,J − E(Ci,J |DI ))(Ĉk,J (Ĉi,J − E(Ci,J |DI ))2 + (Ĉk,J a CL-t elhagyjuk, mindenütt lánclétra van. )= msepCi,J |DI Ĉi,J + msepCk,J |DI Ĉk,J + 2(Ĉi,J − E (Ci,J |DI )) (Ĉk,J − E(Ck,J |DI )) Kell még ez utóbbi tag {z } | {z } | Ci,I−i (2( )( )) becslése. Q Ck,I−k ˆ QJ−1 fj )(QJ−1 fˆj − QJ−1 fj ) Ci,I−i Ck,I−k ( J−1 j=I−k j=I−i j=I−k j=I−i fj − cov(|DI )=Ci,I−i Ck,I−k fI−k

fI−k+1 . fI−i−1 D2 (fˆI−i fˆI−i+1 fˆJ−1 |DI ) Ci,J + Ck,J négyzetes hibája nem {z }| {z } | {z }| becsléseink múltkori becslés ismert csak a tagok négyzetes hibáinak az összege, hanem még plusz a 2( .)( ) tag Ezek az msep-k tájékoztatnak arról, hogy a becsléseink mennyire szóródnak Van 2-3 módszer, amivel tartalékot becsülnek, mindig konzisztensen, ugyanavval a módszerrel. A hibákkal nem tör®dnek De el®re is gondolhatunk arra, hogy mekkorák lesznek a hibák, például 2 MRD tartalékot számoltunk, de a "hiba" 400 Mió, akkor lehet erre a kilengésre számítani. Minket az érdekel, hogy milyen nagyságrend¶ek ezek a hibák (Pl 500 Mió-s tartaléknál már azért nagy a 400Mió-s "hiba", ott lehet, hogy pluszba tartalékolni kell.) További paraméteres modellek Kárszámokra jó a Poisson-eloszlás, de kárkizetésekre nem feltétlenül Lognormális modell A hozam pl lognormális eloszlású. Pozitív változókra

normális eloszlás nem annyira illeszthet®, mert nincsenek negatív elemek. Ci,j feltételezés: ηi,j = log(Fi,j ) ∼ N (ξj , σj2 ) ηi,j -k függetlenek (sorok nek) Fi,j = Ci,j−1 E(Fi,j )=exp(ξj + fj−1 =exp(ξj + σj2 ) 2 D2 (Fi,j )=exp(2ξj + σj2 ) · (exp(σj2 ) − 1) σj2 ) 2 n. a felt t®l mérh. a feltre z}|{ Fi,j |Ci,0 , Ci,1 , . Ci,j−1 )=Ci,j−1 E( Fi,j |Ci,0 , Ci,1 , . Ci,j− E(Ci,j |Ci,0 , Ci,1 , . Ci,j−1 )=E( 2 2 2 2 Teljesül-e D -re a feltétel? (Múltkor feltettük.) D (Ci,j |Ci,j−i )=D (Ci,j−1 Fi,j |Ci,j−1 )=Ci,j−1 D2 (Fi,j ) Ez nem adja vissza a Mack-modellt, az msep-eredmények nem használhatók fel! Cél:ξj , σj becsz }| { Ci,j−1 lése. A hányados lognormális lesz Normális eloszlásra paraméterbecslés Maximum likelihood (ML)módszerrel Várható érték=tapasztalati közép, Szórásnégyzet=tapasztalati szórás négyzete Most még ξˆj -k nem véletlenek. PI−j Ci,j 1 ξˆj = I−j+1 i=0 log( Ci,j−1 ) σj2 =

PI−j 1 Ci,j ˆ 2 i=0 (log( Ci,j−1 ) − ξj ) I −j | {z } korrigált 2 σj ξˆi ∼ N (ξj , I−j+1 ) I−j 2 ∼ χI−j σ̂ 2 j P P Ci,j zij =log(Ci,j )=Zi,I−i + Jj=I−i+1 log( Ci,j−1 )=Zi,I−i + Jj=I−i+1 ηi,j P E(zij |DI )=Zi,I−i + Jj=I−i+1 ξj ˆ |DI ):=Zi,I−i + PJ ẑij =E(Zi,j ξˆj j=I−i+1 E(Ẑi,J |DI ) = E(Zi,j |DI ) Következ® órán msep-kel foglalkozunk, kárkizetés-becslés is lesz. Jöv® hét után szünet 4