Economic subjects | Insurance » Általános biztosítás 2, 3. óra

Általános biztosítás 2, 3. óra Lánclétra módszer folytatás. Kumulált kizetéseket nézünk A növekedési faktor (fij ) nem nagyon különbözik az években. Ha a f®átlóban nincsenek növekedések, nagyjából 1 lesz a hányados Feltételek: a {C1j }; {C2j }; . {CIj } függetlenek, azaz a sorok függetlenek b ∃f0 , f1 , . fJ−1 , hogy E(Cij |Ci,0 , Ci,1 , Ci,j−1 )=fj−1 · Ci,j−1 ("markovitás") Di = {Ci,j ; i + j ≤ I; 0 ≤ j ≤ J} Volt: E(Ci,J |DI ) = E(Ci,J |Ci,I−i ) = Ci,I−i · fI−i fI−i+1 . fJ−1 Gond: Nem ismerjük fI−i , . fJ−1 -et, kell: paraméterek becslése Lánclétra becslés. Cél: fj becslése, azaz fˆj meghatározása. fˆj = Tehát fˆ0 = PI−0−1 Ci,0+1 i=0 P I−0−1 Ci,0 i=0 PI−1 i=0 Ci,1 PI−1 i=0 Ci,0 ; fˆ1 = PI−j−1 Ci,j+1 i=0 P I−j−1 Ci,j i=0 PI−1−1 PI−2 C Ci,2 i,1+1 i=0 P Pi=0 I−1−1 I−2 C i,1 i=0 i=0 Ci,1 = CCi,j · i,j PI−j−1 Ci,j+1 i=0 P I−j−1 Ci,j i=0 =

PI−j−1 i=0 Ci,j PI−j−1 k=0 · Ci,j+1 Ci,j = = ; stb. stb (Az a hányados a leglényegesebb, amelyik a legnagyobb összkizetés¶.) TÁBLÁZAT Annnak az évnek, ahol 1000 és 1500 volt a Cij , dönt® hatása lesz. Ez lehet, hogy olyan év, ahol sok kizetés volt, de gyorsan rendezték. (Pl: lakásbiztosítás nagy viharkár az id®szak közepe felé.) Az i-edik év összkizetésének a becslése: CL =Ci,I fˆI−i . fˆJ−1 Ĉi,J CL A függ®kár becslése: Ĉi,J − Ci,I−i Bk = {Ci,j : i + j ≤ I; 0l ≤ j ≤ k} (BJ = DI ) Állítás: Az alábbiak ekvivalensek: a E(fˆj |Bj ) = fj b E(fˆj ) = fj c E(fˆ0 · fˆ1 · . · fˆj )=E(fˆ0 ) · E(fˆ1 ) · · E(fˆj ) 0 ≤ j ≤ J − 1 (korrelálatlanság) CL d E(Ĉi,J |Ci,I−i )=E(Ci,J |DI ) CL e Ê(Ci,J ) = E(Ci,J ) a ⇒ b és d ⇒ e következik a várható érték tulajdonságaiból. (E(E(ξ|F1 )|F2 ) = E(ξ|F2 ) haF ⊂ F1 ) PI−j−1 PI−j−1 Ci,j+1 1 ˆ |Bj )= PI−j−1 · E( Ci,j+1 |Bj

)=(E() additív)= (a) E(fj |Bj )=E( Pi=0 i=0 I−j−1 Ci,j i=0 C i,j | i=0{z } a nevez®∼Bj PI−j−1 PI−j−1 1 PI−j−1 PI−j−1 · E(C |B ) = · i,j+1 j i=0 i=0 Ci,j Ci,j | {z } i=0 i=0 1 fj Ci,j = |{z} 1 PI−j−1 i=0 Ci,j ·fj PI−j−1 i=0 PI−j−1 i,j Ci,j =fj · Pi=0 =fj I−j−1 C i=0 C i,j kivihet® (c) E(fˆ0 · fˆ1 · . · fˆj )=E(E(fˆ0 · fˆ1 · · fˆj |Bj ))=E(fˆ0 · fˆ1 · · fˆj−1 · E(fˆj |Bj ))=E(fˆ0 · fˆ1 · · fˆj−1 ) · fj Ci,j | {z } fj 3 fj =. E(|Bj−1 ) =f0 · f1 · f2 · · fj CL (d) E(Ĉi,J |Ci,I−i )=E(Ci,I−i fˆI−i . fˆJ−1 |Ci,I−i )=E(Ci,I−i fˆI−i fˆJ−2 )·E(fˆJ−1 |BJ−1 )|Ci,I−1 = =Ci,I−i · fI−i · . · fJ−1 =E(Ci,J |DI ) (Az e állítás kevesebbet mond) Láncszem hányados módszer: P Ci,j+1 Ci,j PI−j−1 fˆj = I−j−1 i=0 Ci,j C k,j PI−j−1 k=0 Ci,j+1 LR ˆ fj = i=0 αi,j Ci,j Legpesszimistább: αi,j -nek a legnagyobb értéket

választja. Probléma: 200 mil- liós tartaklékot akár 10 milliárdosra is növelheti. Vagy: legrégibb a legteljesebb: CC0,j+1 . Vagy: átlagot 0,j 1 veszünk: αi,j = I−j Még: extrém esetek eltávolítása (trimmed mean). Probléma evvel a módszerrel: Ha CJ,0 = 0, akkor 0 lesz a tartalék is. Ha volt IBNR, ez nem a legjobb Mennyit fognak összesen kizetni? Díjkalkulációval számíthatjuk ki. Pl: 60 %-ot zetünk ki károkra, 1. évben késlekedés nélkül a károk felét zetjük ki ⇒ A díj 0, 5 · 60% = 30%-át zetjük ki Azaz a díj 30 %-a függ®kár tartalékba megy. Bornhuetter-Ferguson módszer Feltételek: a {C1j }; {C2j }; . {CIj } függetlenek, azaz a sorok/évek függetlenek b ∃µ0 , µ1 , . , µI > 0 konstansok és β0 , β1 , βJ > 0 konstansok úgy, hogy βJ = 1 és E(Ci,0 ) = β0 µi E(Ci,j+k |Ci,0 . Ci,j )=Ci,j + (βj+k − βj )µi Vagy másik feltételnek szokták még felírni: E(Cij ) = βj µi és E(Ci,J ) = µi . Ez utóbbi

gyengébb feltevés µi jelentése: i. évben várhatóan mennyit zet ki βj jelentése: j . év végéig összesen milyen részét zetik ki a károknak BF 1.1 Deníció (Bornhuetter-Ferguson becslés) Ĉi,J =Ê BF (Ci,J |DI )=Ci,I−i + (1 − β̂I−i)µi Várható érték és a részarány becslése: Pl. :kárhányad: 60 % µ̂i becslés: 60 % -a a megszolgált díjnak Megszolgált díj=Nyitó MNSzDT+Díjel®írás-Záró MNSzDT. Díjel®írás: Az a díj, ami el® van írva (A szerz®dés által meghatározott díj, pl feb. 1: 1 millió ft, máj 1: 1 millió ft) β̂I−i becslés lánclétra módszerb®l: Q E(Ci,J QJ−1 E(Ci,J =E(Ci,0 ) · J−1 k=0 fk ⇒ E(Ci,0 ) = f k=0 k βj E(Ci,j )=E(Ci,0 ) Qj−1 k=0 fk = QJ−1i,Jf E(C k=0 k z }| { µi J−1 Y 1 z }| { Qj−1 · k=0 fk = · E(Ci,J ) fk k=j QJ−1 β̂j = k=j fˆ1 k BF Ci,J =Ci,I−i + (1 − 1 QJ−1 ˆ k=I−i fk )µ̂i Lánc-létra: Q CL ˆ Ĉi,J =Ci,I−i · J−1 j=I−i fj = (⇒ CL Ĉi,J

1)=Ci,I−i + QJ−1 CL Ĉi,J QJ−1 ˆ j=I−i fj =(Ci,I−i )=Ci,I−i · QJ−1 ( ·(( j=I−i fˆj )−1)=Ci,I−i + fˆ ) j=I−i j QJ−1 QJ−1 ˆ j=I−i j=I−i fj )−1 QJ−1 ˆ j=I−i fj Q ˆ fˆj −Ci,I−i )=Ci,I−i +Ci,I−i ·(( J−1 j=I−i fj )− CL ·Ĉi,J =Ci,I−i +(1− QJ−11 ˆ j=I−i fj CL )Ĉi,J E(Ci,J ) = µi Ennél nem 0 lesz a becslés, ha az elején 0 a kizetés.Ritka károk esetén jobb becslést ad Jéghegy módszer (A jéghegynak csak a csúcsát látjuk, ebb®l következtetünk az egész jéghegy nagyságára.) Itt jobbról balra haladunk Feltevések: a {C1j }; {C2j }; . {CIj } függetlenek, azaz a sorok/évek függetlenek b ∃f0 , f1 , . fJ−1 , hogy E(Cij |Ci,0 , Ci,1 , Ci,j−1 )=fj−1 · Ci,j−1 ("markovitás") E(Ci,J |DI )=Ci,I−i fI−i fI−i+1 . fJ−1 dj = fj fj−11fJ−1 (Ezeket a dj -ket becsüljük meg) 4 0,j 0. lépés:dˆj (0)= CC0,J (A j-edikig mennyit zet ki/egész kizetés.) C

0,j+1 dˆj+1 (0)= C0,J . C dˆJ−1 = dˆJ−1 (0)= C0,J−1 0,J 1. lépés:A következ® év összkizetését becsüljük meg: IB C1,J−1 C1,J = dˆ J−1 IB dˆj (1)=Cˆ1,j Ĉ1,J dˆJ−2 = αJ−2 (0)dJ−2 (0) + αJ−2 (1)dJ−2 (1) Pl.: αJ−2 (0)=αJ−2 (1)= 12 Ez az átlagot adja . k. lépés: Ck,J = Cdˆk,J−k J−k Ckj dˆj (k)= Ĉ IB k,J P dˆJ−k−1 = ki=0 αj−k−1 (i)dˆJ−k−1 (i) (Leggyakrabban sima átlag, vagy legnagyobb érték, vagy sok év esetén trimmelt átlag.) HF: Mit tudunk E(d)-kr®l, illetve E(Ĉ)-kr®l? (Mint lánc-létránál.) 5