Mathematics | Statistics » Varianciaanalízis (Anova)

VARIANCIAANALÍZIS (ANOVA) Nevével ellentétben nem varianciák, hanem a várható értékek összehasonlítására szolgál. KISTERV2 ANOVA 1 11 Emlékeztető: kétmintás t-próba Két független minta: n1 , n 2 ; s12 , s 22 ; x1 , x 2 Nullhipotézis: H 0 : 1   2 Feltételezzük a két sokaság varianciájának egyenlőségét: Próbastatisztika: t0  x1  x2 1 1 s  n1 n2  12   22   n1  n2  2 s12 n1  1  s22 n2  1 s  n1+n2-2 2 KISTERV2 ANOVA 1 22 Példa: kétmintás t-próba Két minta statisztikái: n átlag szórás A 8 10,5 1,24 B 8 10,1 1,08 xA  xB t0  s 1 1  nA nB  10,5  10,1  0,688 1 1 1,352 *    8 8 sA 2 nA  1  sB 2 nB  1 1,24 2 8  1  1,082 8  1 s    1,352 nA+nB-2 14 2 KISTERV2 ANOVA 1 33 Elfogadási tartomány (kritikus értékek) számítása Döntés: Táblázattal

t0=0,688 Statisztikai szoftverrel tkrit(14)=1,761 α=0,1 p-érték számítása p p  1  P -0,688  t  0,688   0,5027 t =0,688 0 KISTERV2 ANOVA 1 44 p-érték Definíció: p annak valószínűsége, hogy a próbastatisztika a talált vagy annál szélsőségesebb értéket vegyen fel, ha H0 igaz Másként: p annak valószínűsége, hogy a mintában kapott vagy még annál is szélsőségesebb adatok adódjanak, miközben H0 igaz. Döntés a p-érték alapján: ha p > a, elfogadjuk a nullhipotézist ha p < a, elutasítjuk a nullhipotézist KISTERV2 ANOVA 1 55 Egy faktor szerinti ANOVA Több független mintánk van - elemszámuk: p1 , p2 , p3 ,, pr - csoportátlagok: y1 , y2 , y3 ,, yr - csoporton belüli s12 , s22 , s32 ,, sr2 szórásnégyzetek: H 0 : 1   2   3   4 KISTERV2 ANOVA 1 66 1. példa (veralvsta) Véralvadási idő (sec) négyféle diéta esetén (Box-Hunter-Hunter: Statistics for

Experimenters, J. Wiley, 1978, p 165) A 62 60 63 59 B 63 67 71 64 65 66 Diéta C 68 66 71 67 68 68 D 56 62 60 61 63 64 63 59 KISTERV2 ANOVA 1 H 0 : 1   2   3   4 77 Adatok ábrázolása: Box-plot (dobozos ábra) 72 70 68 CTIME 66 64 62 60 58 56 54 A B C D Median 25%-75% Non-Outlier Range Outliers Extremes DIET KISTERV2 ANOVA 1 88 Jelölések - csoportok száma: i  1r itt r=4 - csoporton belüli ismétlések száma: j  1 pi itt pl. p1=4 - egyedi mérési adat: yij pi - csoportátlag: yi    yij pi r - összes mérés átlaga: y  A 62 60 63 59 j 1 pi  y i 1 j 1 r ij p i 1 i KISTERV2 ANOVA 1 B 63 67 71 64 65 66 Diéta C 68 66 71 67 68 68 D 56 62 60 61 63 64 63 59 99 Szemléltető ábra az ANOVA alapgondolatához KISTERV2 ANOVA 1 10 10 csoportok: i  1r ismétlések: j  1 pi Az ANOVA alapelve Csoporton belüli ingadozás varianciája  y pi Az

i-edik csoporton belüli ingadozás varianciájának becslése: (a csoport-átlagtól való eltérések) ˆ i2  si2  j 1  yi   2 ij pi  1 Az egyesített csoportokon belüli szórásnégyzet (ha konstans):   p yij  yi  y2  sR2 i j i i r   s  p  1 2  2 i i i p i i KISTERV2 ANOVA 1 r csoporton belüli (within groups), maradék vagy error szórásnégyzet 11 11 csoportok: i  1r ismétlések: j  1 pi Az ANOVA alapelve Csoportok közötti ingadozás varianciája r A csoport-átlagoknak a közös átlagtól való eltéréséből becsülve (ha p=konst): ˆ y2  s y2  2   y  y  i  i 1 r 1 Emlék: Az egyedi érték ingadozásának varianciája becsülhető a csoport-átlagok varianciájából: p  yi  y  r ˆ 2y  p * 2y ˆ 2y  s 2A  ps 2y  i 1 2 r 1 csoporton közötti (between

groups), vagy az A faktor szórásnégyzete KISTERV2 ANOVA 1  pi yi  y  r s 2A  i 1 2 r 1 általánosan (ha pkonst) 12 12 Az ANOVA alapelve csoportok: i  1r ismétlések: j  1 pi Ha nincs különbség a csoportok között (azaz H0 igaz), a csoport-átlagok is csak a véletlen ingadozás miatt térnek el egymástól, 2 2 s tehát A és sR2 is ugyanúgy  y körül ingadozik, hányadosuk pedig F-eloszlású lesz r s A2 F0  2 sR s A2  s R2   pi  y i  y  2 i 1 r 1   y i ij  yi   2 j p (csoportok közötti) i r (csoporton belüli) i KISTERV2 ANOVA 1 13 Az ANOVA alapelve Ha van különbség a csoportok között (azaz H1 igaz), akkor s A2 nem  y2 ingadozik, hanem sokkal nagyobb lesz sR2 -nél. s A2 F0  2  F a sR egyoldali próba! f(F) a Fa KISTERV2 ANOVA 1 F 14 ANOVA táblázat Az eltérés forrása A hatása (csoportok közötti)

Ismétlések (csoportokon belüli) Teljes szabadsági szórás-négyzet fokszám eltérés-négyzetösszeg S A   pi  y i  y  2 SA s  r 1 2 A r-1 i SR  y i ij  yi  j  i S 0     y ij  y  i 2 2 s 2A sR2 SR s  pi  r  pi  r p j F 2 R i i 1 i A faktor hatása jelentős (elutasítjuk a H0 hipotézist), ha: s A2 / s R2  Fkrit KISTERV2 ANOVA 1 15 15 Kiegyensúlyozott terv: p1=p2=.=pr=p Az eltérés forrása A hatása (csoportok közötti) Ismétlések (csoportokon belüli) Teljes eltérés-négyzetösszeg S A  p  y i  y  2 szabadsági fok szórásnégyzet F r-1 SA s  r 1 s 2A sR2 i S R     y ij  y i  i r(p-1) j S 0     y ij  y  i 2 2 2 A s  2 R S R r  p  1 rp-1 j KISTERV2 ANOVA 1 16 16 1. példa eredménytáblázatai STATISTICA programmal / 1 Summary

fülön: Descriptive cell statistics Effect Total DIET DIET DIET DIET Descriptive Statistics (Veralv) Level of N CTIME CTIME Factor Mean Std.Dev 24 64.00000 3844816 A 4 61.00000 1825742 B 6 66.00000 2828427 C 6 68.00000 1673320 D 8 61.00000 2618615 CTIME Std.Err 0.784820 0.912871 1.154701 0.683130 0.925820 ˆ y  ˆ y i pi ij Summary fülön: Test all effects ANOVA tábla Univariate Tests of Significance for CTIME (Veralv) Sigma-restricted parameterization Effective hypothesis decomposition SS Degr. of MS F p Freedom 92521.41 1 92521.41 1652168 0000000 228.00 3 76.00 13.57 0000047 112.00 20 5.60 Effect Intercept DIET Error  s  p  1   p r 2 i within s 2 R r s A2   py i 1 i i  y  2 r 1 between i i i KISTERV2 ANOVA 1 17 17 ANOVA modell kísérleti (nemcsak mérési) hiba y ij  Yi   ij   i   ij mért érték igazi érték várható érték a faktor i-edik szintje (i-edik diéta)

az i-edik csoporton belüli j-edik ismétlés KISTERV2 ANOVA 1 18 18 y ij   i   ij 1. átlag-modell: H 0 : 1   2   3       r y ij    a i   ij 2. hatás-modell:  i    a i felbontással ai a faktor i-edik szintjének (i-edik diéta) hatása  közös érték; r+1 paraméter r  pa i i 0 sum to zero i ar  0 set to zero H 0 : a i  0 , i  1,., r KISTERV2 ANOVA 1 19 19 A modell paramétereinek becslése     yij  ˆ  aˆ i 2  min r pi i j Yˆi  ˆ  aˆ i pi r   2  yij  ˆ  aˆ i   0  i j r pi  y i j  y ˆ  p j i i r i i  ˆ  pi   piaˆ i ij i r ij py.   y. p i =0 sum to zero i i a várható érték becslése a főátlag i i KISTERV2 ANOVA 1 20 20 A modell paramétereinek becslése     yij  ˆ  aˆ

i 2  min r pi i j pi   2   yij  ˆ  aˆ i   0 aˆ i j pi pi yi.  y ij  ˆpi  piaˆ i j aˆ i  y i .  y hatások becslése a megfelelő átlagokkal csak r-1 független! Yˆi  ̂ i  y i az i-edik csoport várható értékének becslése az i-edik csoport átlaga KISTERV2 ANOVA 1 21 21 1. példa eredménytáblázatai STATISTICA programmal / 2 Summary fülön: Coefficients a modell paramétereinek becslése Effect Intercept DIET DIET DIET Parameter Estimates (Veralv) Sigma-restricted parameterization Level of Column CTIME CTIME CTIME CTIME Effect Param. Std.Err t p 1 64.00000 0497912 1285367 0000000 A 2 -3.00000 0973610 -3.0813 0005889 B 3 2.00000 0845330 2.3659 0028195 C 4 4.00000 0845330 4.7319 0000128 Effect Intercept DIET DIET DIET DIET r  pa i i 0 i sum to zero sigma-restricted Parameter Estimates (Veralv) (*Zeroed predictors failed tolerance check) Over-parameterized model

Level of CTIME CTIME CTIME Effect Param. Std.Err t 61.00000 0836660 7290895 A 0.00000 1449138 000000 B 5.00000 1278019 391230 C 7.00000 1278019 547723 D 0.00000 a4  0 KISTERV2 ANOVA 1 CTIME p 0.000000 1.000000 0.000864 0.000023 set to zero 22 22 Konfidencia-intervallum az egyes csoportok várható értékére Pontbecslés: Yˆi  ̂ i  y i Intervallumbecslés: yi    i t s y i s2 ? s2 2 sy  i pi szab. fok: si2 egyes csoportokon belüli szórásnégyzet s R2 egyesített szórásnégyzet (jobb becslés) pi  1 p i r i Az i-edik csoport várható értékének konfidencia-intervalluma: yi  ta 2 sR pi  i  yi  ta 2 sR KISTERV2 ANOVA 1 pi 23 23 1. példa eredménytáblázatai STATISTICA programmal / 3 Summary fülön: Coefficients konfidencia-intervallum a modell paramétereire Effect Intercept DIET DIET DIET Effect Intercept DIET DIET DIET DIET Parameter Estimates (Veralv) Sigma-restricted

parameterization Level of Column CTIME CTIME CTIME CTIME -95.00% Effect Param. Std.Err t p Cnf.Lmt 1 64.00000 0497912 1285367 0000000 6296137 A 2 -3.00000 0973610 -3.0813 0005889 -503092 B 3 2.00000 0845330 2.3659 0028195 023667 C 4 4.00000 0845330 4.7319 0000128 223667 Parameter Estimates (Veralv) (*Zeroed predictors failed tolerance check) Over-parameterized model Level of Column Comment CTIME Effect (B/Z/P) Param. 1 61.00000 A 2 Biased 0.00000 B 3 Biased 5.00000 C 4 Biased 7.00000 D 5 Zeroed* 0.00000 +95.00% CTIME Cnf.Lmt Beta (ß) 65.03863 -0.96908 -0547723 3.76333 0403417 5.76333 0806834 CTIME CTIME CTIME -95.00% +9500% CT Std.Err t p Cnf.Lmt CnfLmt Beta 0.836660 7290895 0000000 5925476 6274524 1.449138 000000 1000000 -302285 302285 000 1.278019 391230 0000864 233410 766590 057 1.278019 547723 0000023 433410 966590 080 KISTERV2 ANOVA 1 24 24 Az egyes csoportok várható értékére vonatkozó konfidencia-intervallumok ábrázolása DIET; LS Means Current effect: F(3,

20)=13.571, p=00005 Effective hypothesis decomposition Vertical bars denote 0.95 confidence intervals 72 70 68 66 64 CTIME 62 60 58 56 A B C D DIET KISTERV2 ANOVA 1 25 25 ANOVA feltételezései Modell: y ij   i   ij  az ij „hibák” várható értéke zérus   e2 varianciájuk konstans (homoszkedaszticitás)  az ij „hibák” csoportokon belül és csoportok között is függetlenek egymástól  az ij „hibák” normális eloszlásúak (nem az yij adatok!) Ellenőrizni kell! KISTERV2 ANOVA 1 26 26 ANOVA feltételezéseinek ellenőrzése 1. Homoszkedaszticitás:  e2  konst ? a) Statisztikai próbákkal Assumptions fülön: Homogeneity of variances . Bartlett-próba Tests of Homogeneity of Variances (Veralv) Effect: DIET Hartley Cochran Bartlett df p F-max C Chi-Sqr. CTIME 2.857143 0381125 1667956 3 0644081 Levene-próba érzékeny a normális eloszlás feltételezésére Levenes Test for Homogeneity of Variances

(Veralv) Effect: DIET Degrees of freedom for all Fs: 3, 20 MS MS F p Effect Error CTIME 1.444444 2050000 0704607 0560414 KISTERV2 ANOVA 1 27 27 A feltételezések ellenőrzése a reziduumok vizsgálatával  e2  konst ? 1. Homoszkedaszticitás: b) Becsült értékek – reziduumok (Pred & resids) ábrával 6 5 4 3 2 1 0 -1 -2 Raw Residuals -3 -4 -5 -6 -7 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 Predicted Values KISTERV2 ANOVA 1 28 28 A feltételezések ellenőrzése a reziduumok vizsgálatával 2. az ij „hibák” normális eloszlásúak-e? Normal Probability Plot vagy Gauss-háló reziduumokra hisztogram 3.0 2.5 5 .99 2.0 .95 1.5 4 1.0 .75 0.5 3 .55 0.0 .35 -1.0 .15 Expected Normal Value -1.5 .05 No. of obs -0.5 2 1 -2.0 .01 -2.5 0 -3.0 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 -7 6 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 X <= Category Boundary Residual KISTERV2 ANOVA 1 29 29 6 A feltételezések

ellenőrzése a reziduumok vizsgálatával 3. az ij „hibák” függetlenek-e? Reziduumok ábrázolása pl. a mérési sorrend függvényében 6 5 4 3 2 1 0 -1 CTIME, Resids -2 -3 -4 -5 -6 -7 -5 0 5 10 15 20 25 30 ORDER KISTERV2 ANOVA 1 30 30 Többszörös összehasonlítások H 0 : 1   2   3   4 elutasítva Hogyan tovább? Mindegyik különböző vagy csak egy különbözik a többitől? Példák az összehasonlításokra: 1   4 2  3 1   4  2   3  2 2 Összehasonlítások típusai: tervezett vagy post hoc szemléletbeli különbség veszélyei KISTERV2 ANOVA 1 31 31 Hasonlítsuk össze a 2. és a 3 diétát! H 0 : 2  3 y 2  y3 t0  s y 2  y3 ? s 2 y 2  y 3  1 1   s     p 2 p3  2 s22 és s32 egyesítésével a szabadsági fok n2+n3-2=6+6-2=10 lenne, sR2 szabadsági foka p i  r  24  4  20 i y 2

 y3 t0  1 1 sR  p 2 p3 LSD-próba (Least Significant Difference) KISTERV2 ANOVA 1 32 32 Kontrasztok Az összehasonlítások általánosítása: H 0k :  cik  i  0 k-adik nullhipotézis i c ik 0 cik kontraszt-együtthatók i C k   cik yi Ck kontraszt i Pl. H 10 :  2   3  0 C 1  y 2   y 3 c11=0, c21=1, c31=-1, c41=0 KISTERV2 ANOVA 1 33 33 E C k    cik  i cik2 Var C k     i pi 2 e i H 0k : E C k    cik  i  0 i t0  c ik yi  i sR 2 c  ik pi i ortogonálisak a kontrasztok, ha minden kl-re ekkor függetlenek az összehasonlítások c c 0 ik il i Példák függetlenek és nem független összehasonlításokra KISTERV2 ANOVA 1 34 34 Többszörös összehasonlítások kockázata Ha az összehasonlítások függetlenek, még nem jelenti azt, hogy a statisztikai próbák is függetlenek! • egy összehasonlításra az

elsőfajú hiba valószínűsége (individual error rate): α* (pl. 0,05) • hogy nem követünk el elsőfajú hibát: 1- α* • hogy r független összehasonlítás egyikénél sem követünk el elsőfajú hibát: 1  a  * r  • hogy r független összehasonlítás valamelyikénél a  1 1a elkövetünk elsőfajú hibát (family error rate) pl. k=6-nál: 1  1  0,056  0,265 KISTERV2 ANOVA 1  * r 35 35 Nem független összehasonlítások esetén a  ka * Bonferroni-egyenlőtlenség pl. 6 nem független összehasonlításra a  6  0,05  0,3 KISTERV2 ANOVA 1 36 36 Többszörös összehasonlítások a Statistica programban / 1 Post-hoc fülön: LSD teszt Az összes párra elvégzi az összehasonlítást LSD test; variable CTIME (Veralv) Probabilities for Post Hoc Tests Error: Between MS = 5.6000, df = 20000 DIET {1} {2} {3} {4} Cell No. 61.000 66.000 68.000 61.000 1 A 0.003803 0000181 1000000 2 B 0.003803 0.158776

0000864 3 C 0.000181 0158776 0.000023 4 D 1.000000 0000864 0000023 Post-hoc fülön: Bonferroni Bonferroni test; variable CTIME (Veralv) Probabilities for Post Hoc Tests Error: Between MS = 5.6000, df = 20000 DIET {1} {2} {3} {4} Cell No. 61.000 66.000 68.000 61.000 1 A 0.022815 0001083 1000000 2 B 0.022815 0.952656 0005182 3 C 0.001083 0952656 0.000139 4 D 1.000000 0005182 0000139 KISTERV2 ANOVA 1 a  ka * 0,003803·6=0,022815 egy összehasonlításra vonatkozik (α*) 37 37 Többszörös összehasonlítások a Statistica programban / 2 Planned comps fülön: Specify contrasts   0 Between Contrast Coefficients (Veralv) Coefficients for each cell in the selected effect 1 4 Cell No. DIET Cell N CNTRST1 1 A 4 1 Univariate Test of Significance for Planned Comparison (Veralv) 2 B 6 0 Dependent variable: CTIME 3 C 6 0 Sum of Degr. of Mean F p 4 D 8 -1 Source Squares Freedom Square Effect 0.0000 1 0.000000 0000000 1000000 Error 112.0000 20 5.600000 Between Contrast

Coefficients (Veralv) Coefficients for each cell in the selected effect 2 3 Cell No. DIET Cell N CNTRST1 1 A 4 0 2 B 6 1 Univariate Test of Significance for Planned Comparison (Veralv) 3 C 6 -1 Dependent variable: CTIME 4 D 8 0   0 Sum of Degr. of Mean F p Source Squares Freedom Square Effect 12.0000 1 12.00000 2142857 0158776 Error 112.0000 20 5.60000 KISTERV2 ANOVA 1 38 38 Többszörös összehasonlítások a Statistica programban / 3 Between Contrast Coefficients (Veralv) Coefficients for each cell in the selected effect Cell No. DIET Cell N CNTRST1 1 A 4 1 2 B 6 -1 3 C 6 -1 4 D 8 1 1   4  2   3  2 2 1   2   3   4  0 Univariate Test of Significance for Planned Comparison (Veralv) Dependent variable: CTIME Sum of Degr. of Mean F p Source Squares Freedom Square Effect 203.2941 1 203.2941 3630252 0000007 Error 112.0000 20 5.6000 KISTERV2 ANOVA 1 39 39 Kimutatható különbség és a próba ereje H 0 : 1 

 2   3   4 elfogadva Hogyan tovább? „Emlékek”: Mitől függ a másodfajú hiba valószínűsége?     Elsőfajú hiba valószínűségétől (�) Kimutatandó különbségtől (∆) Varianciától (� 2 ) Mintaelem-számtól (n) Próba ereje: annak valószínűsége, hogy észreveszem a különbséget KISTERV2 ANOVA 1 40 40 1. Milyen valószínűséggel mutatható ki a csoportok között egy adott különbség? 2. Mekkora különbség mutatható ki adott valószínűséggel? Statistics>Power Analysis>Several Means, ANOVA 1-Way 1-Way ANOVA: Power Calculation 1-Way ANOVA (Fixed Effects) Power vs. RMSSE (Alpha = 005, Groups = 4, N = 6) 1.0 ← rögzítjük .9 .8 A kimutatandó különbséget jellemző mérőszám: .7 Power .6 .5 .4 .3 RMSSE  .2 .1 0.0 0,1 0,2 0,3 0,4 KISTERV2 ANOVA 1 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 Root Mean Square Standardized Effect (RMSSE) 1,1 41 41 1,2 a i 2 i r  1 e2 RMSSE 

y ij    a i   ij Pl. ha a1 = -3, a2 = 3, a3 = a4 = 0 és RMSSE   32  32  02  02 4  1 5,6 a i r  1 e2 ��2 = 5,6 18   1,035 3  5,6 Az előző diagramról leolvasva: ehhez a próba ereje = 1-  0,95 De ha a1 = -1, a2 = 1, a3 = a4 = 0, akkor RMSSE értéke már csak 0,345; a próba ereje pedig már csak kb. 0,19 KISTERV2 ANOVA 1 2 i 42 42 Number of Groups RMSSE Noncentrality Parameter (Delta) Type I Error Rate (Alpha) Power Goal Actual Power for Required N Required Sample Size (N) Sample Size Calculation ANOVA, 1-Way Fixed Effects Value 4.0000 ← rögzítjük 1.0350 32.1368 0.0500 0.9000 0.9308 6.0000 Milyen ismétlésszámmal tudunk adott különbséget kimutatni? Kimutatható különbség számítása táblázattal df numerator df denom. 1 2 3 4 5 6 7 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 40 60 80 100 200 500 1000  1 2 3 4 5 6 10 20 50 20.96 6.796 5.014 4.396 4.092 3.913 3.795

3.712 3.604 3.536 3.489 3.455 3.429 3.409 3.393 3.380 3.368 3.359 3.351 3.322 3.295 3.281 3.273 3.257 3.248 3.245 3.242 23.25 6.710 4.630 3.900 3.538 3.324 3.183 3.084 2.953 2.871 2.815 2.774 2.743 2.718 2.698 2.682 2.669 2.657 2.647 2.613 2.580 2.563 2.554 2.534 2.523 2.519 2.515 24.16 6.682 4.475 3.692 3.301 3.068 2.914 2.805 2.661 2.570 2.508 2.463 2.428 2.401 2.379 2.361 2.346 2.333 2.322 2.283 2.246 2.227 2.216 2.195 2.182 2.178 2.173 24.65 6.668 4.390 3.576 3.166 2.921 2.759 2.643 2.489 2.392 2.325 2.276 2.239 2.210 2.186 2.166 2.150 2.136 2.124 2.082 2.042 2.022 2.010 1.986 1.972 1.967 1.962 24.95 6.659 4.336 3.502 3.079 2.825 2.656 2.535 2.375 2.272 2.202 2.150 2.111 2.080 2.054 2.033 2.016 2.001 1.988 1.944 1.900 1.878 1.866 1.840 1.825 1.820 1.815 25.15 6.653 4.299 3.450 3.018 2.757 2.583 2.458 2.292 2.186 2.112 2.058 2.017 1.984 1.957 1.935 1.917 1.901 1.888 1.841 1.794 1.772 1.758 1.731 1.715 1.709 1.704 25.57 6.642 4.221 3.339 2.886 2.609 2.423 2.288 2.107 1.989

1.907 1.846 1.800 1.762 1.732 1.707 1.686 1.667 1.652 1.597 1.542 1.515 1.498 1.466 1.446 1.439 1.433 25.89 6.633 4.159 3.250 2.777 2.486 2.287 2.142 1.944 1.814 1.721 1.652 1.598 1.554 1.519 1.489 1.464 1.442 1.423 1.355 1.287 1.252 1.231 1.187 1.161 1.152 1.143 26.08 6.628 4.121 3.193 2.707 2.405 2.197 2.044 1.832 1.690 1.588 1.510 1.449 1.399 1.357 1.322 1.292 1.265 1.242 1.159 1.070 1.022 .9926 .9298 .8894 .8754 .8610 (Több) rögzített faktorokra α = 0,05 β = 0,1 F-próba számlálójának és nevezőjének szabadsági foka  hatás  C EMS nevező  44 44 A táblázatban  hatás  C EMS nevező  értékei vannak C = az összes kísérletek száma / a hatás szintjeinek száma (egyfaktoros ANOVA-nál: C = p) r  ( A)  2 a  i i r 1 EMS (nevező) = az F-próba nevezőjében szereplő szórásnégyzet várható értéke (egyfaktoros ANOVA-nál: ��2 ) KISTERV2 ANOVA 1 45 45