Electromagnetic theory | Higher education » Elektrodinamika tételek, 2004

Elektrodinamika tételek A) 1. Elektromos alapjelenségek Töltés, térerősség Coulomb törvénye Feszültség, potenciál. Erővonalak és ekvipotenciális felületek Elektromos alapjelenségek 1) Borostyánt gyapjúval, ebonitrudat foncsorozott bőrrel dörzsölve kis tárgyakat (morzsákat) magukhoz vonzanak. 2) Ezek vonzó hatások, de két dörzsölt borostyán, vagy két dörzsölt üveg taszítja egymást, azonban a dörzsölt borostyán vonzza a dörzsölt üveget. A jelenségek csoportosítása. Megdörzsölt borostyán – dörzsöletlen testek Megdörzsölt borostyán – másik dörzsölt test Ha két fémfóliához egy dörzsölt testet érintünk a fóliák taszítják egymást. Más fémtestet érintve a fóliákhoz, azok kevésbé taszítják egymást. Az elektromos tulajdonság átvihető Megosztás Ha széthúztuk az üvegrúd jelenlétében a f él-tojásokat, akkor az üvegrúd eltávolítása után is szétállnak a fémfóliák, a fél-tojások elektromos

állapotban maradnak. Ilyen helyzetben az ebonit homloklapjai képesek magukhoz vonzani apró tárgyakat, de a palástja nem, az üvegrúd eltávolítása után megszűnik ez a tulajdonsága (Polarizáció) Nem megosztás, mert az ebonit eltörve az üvegrúd eltávolítása után elveszti elektromos tulajdonságát. A jelenségek magyarázata: Nem kell érintkezés az erőhatás létrejöttéhez, a megdörzsölt test körül mező jön létre. Mivel nemcsak vonzó, hanem taszító erő is létezik, így a gravitációs mezőtől különböző mezőt kell feltételezni, ez az elektromos mező. Elektromos töltésnek nevezzük azt a mennyiséget, amely megmutatja, hogy az illető test milyen mértékben vesz részt az elektromos kölcsönhatásban. Ha egy kicsiny elektromos testre ugyanabban a mezőben és ugyanott 12-szer akkora erő hat, mint egy másikra, akkor a töltése is 12-szer akkora. A töltés + és – előjelű lehet Egynemű töltések taszítják, különnemű

töltések vonzzák egymást. Az elektromos töltést át lehet vinni más testekre, így a töltés osztható. Szimmetrikus elrendezés esetén felezni lehet a töltést Elektromos semleges test: Nem mutat elektromos tulajdonságot Tapasztalat: semleges fém elektromos töltés megosztásakor az egyik fél húsvéti tojás töltése ellentétes a másikéval. A semleges testben egyenlő mennyiségben vannak jelen + és – töltések. Semleges fémek esetén a töltések makroszkópikus mértékben is elmozdulhatnak, míg ebonitrúd esetén, csak molekuláris mértékben. Az előző tulajdonságú elemeket vezetőknek, míg az utóbbiakat szigetelőknek nevezzük. Töltött test: valamelyik töltéshordozó túlsúlyban van. Influencia: vezetőkben létrejövő töltés megosztás. Szigetelőkben létrejövő molekuláris töltésszétválás esetén elektromos polarizációról beszélünk. Megosztás: semleges vezető töltéseinek külső mező hatására való szétválása (a

levegő szigetelő) Az előjelválasztás önkényes. Gyapjúval megdörzsölt borostyánkő töltése negatív 1. jelenségcsoport magyarázata: A töltött test a semlegest polarizálja vagy megosztja és így mindig vonzó hatás alakul ki. Tapasztalat szerint az elektromos töltés maradó mennyiség: nem keletkezik és nem is vész el. Ismét. Elektromos megosztással a testeken többlettöltés hozható létre, polarizációval ez nem érhető el. Gravitációs kölcsönhatásban minden test részt vesz, elektromosban nem és míg a gravitáció vonzó addig az elektromos vonzó, és taszító is lehet. Hogyan lehet mérni? Az elektromos mező leírása: Csak erőforrásokból vesszük észre, mert egyébként láthatatlan. Ponttöltés: pontszerű töltött test. Az elektromos mező kimérését egy ponttöltésre ható erő mérésével végezzük. Egy kiválasztott P pontban egy ponttöltésre (próbatöltés) ható erő nagysága egyenesen arányos a töltés abszolút

értékével, és a ható erő hatásvonala mindig ugyanaz. Azonos előjelű töltésre mindig ugyanolyan irányú erő hat, míg ellentétes előjelű töltésre az előzővel ellentétes irányú.  E . mező: mérőérősz  F   F( P ) E ( P )= q q iránya: a + töltésre ható erő iránya térerősség = ponttöltésre ható erő töltés Térerősség: Ez megadja, mekkora és milyen irányú erő hat a mező P pontjában az egységnyi + töltésre. (A vonatkoztatási rendszerben nyugvónak képzeljük a próbatöltést.) Ha két vagy több töltés létesíti a mezőt, akkor a térerősség az egyes töltések által külön-külön létesített mezőkhöz tartozó térerősségek összege lesz. (szuperpozíció elve, ha vákuumbeli mezőre gondolunk) Hogyan függ a távolságból? Charles Augustin de Coulomb (1785) Torziós mérésekkel mutatta ki Eredmény: 1 függés Akció-reakció törvény: egyrészt Q fürdik q mezejében, másfelől q is r2 fürdik Q

mezejében. F~q, F~Q Coulomb törvénye: nyugvó ponttöltés vákuumban centrális erőteret létesít, és az erőcentrum maga a ponttöltés. Ebben a mezőben egy másik töltött pontra vonzó erő hat, ha a töltések különneműek, taszító, ha egyneműek. Az erő abszolút értéke pedig fordítottan arányos a pontok távolságának négyzetével. F =k ⋅ Q⋅q  ⋅ er r2   ( er ⋅ er =1 )  er = egységvektor k: pozitív állandó semmitől nem függ, csak a töltésegység választásától. A k arányossági tényező értéke a töltés egységének megválasztásával dől el. Egység: 1 coulomb = 1C 1C töltésű az a pont, amelynek vákuumbeli mezőjében egy tőle 1m-re elhelyezett ugyanakkora töltésű pontra 9 ⋅10 9 N nagyságú erő hat. Innen: k = 9 ⋅10 9 Használatos még. ε 0 = 1 4πk Nm 2 C2 ez a vákuum dielektromos permittivitása. A gravitációs törvényhez való hasonlóságból következik, hogy ez a mező is

konzervatív. Elektrosztatika: Az összes fizikai mennyiség állandó az időben. A töltések nem mozognak Ha a töltés elmozdul, akkor a mező munkát végez rajta W12 = ∫ F ⋅ ds = q ⋅ ∫ E ⋅ ds 12 12 A munka és a töltés hányadosa csak az elektromos mezőre és az 12 ívre jellemző mennyiség. U 12 = W12 q = ∫ E ⋅ ds 12 Az U 12 elektromos feszültség megmutatja az egységnyi + töltésen végzett munka mérőszámát. Mértékegysége: [U ] = 1volt = 1V = 1J / C N A térerősségé: [E ] = 1 N Nm J V =1 =1 =1 C Cm Cm m Mivel az elektromos mező ugyanolyan távolságtörvényű, mint a gravitációs, és itt érvényes a szuperpozíció elve. Így az elektrosztatikus mező konzervatív, van potenciál dW = F ⋅ ds = − dV (V a potenciális energia)   F = q⋅E q ⋅ E ⋅ ds = −dV V  E ⋅ ds = −d   q V U = potenciál q ⇒ E ds = − dU V = q ⋅U Az elektrosztatikus potenciál független a próbatöltéstől, és

az elektrosztatikus tér egy pontjára jellemző. Az elektrosztatikus potenciál zérushelyét tetszőleges helyen felvehetjük, megállapodás szerint a végtelen távoli pontban 0 zérus. 2 U 12 = ∫ E ⋅ ds = − ∫ dU = U 1 − U 2 1 12 Az elektrosztatikus feszültség csak a kezdő és a végponttól függ, az őket összekötő görbétől nem. Két pont között az elektrosztatikus feszültség egyenlő a kezdő- és a végpont potenciáljának különbségével. ∫ E ⋅ ds = 0 ⇒ az elektrosztatikus mező zárt görbéjén végigvezetett töltésen végzett munkája zérus. ⇒ KONZERVATÍV mező Ez az elektrosztatika I. alaptörvénye integrálos alakban Ilyen konzervatív mezőben: ∇ × E = 0 ⇒ örvénymentes F = −∇v ↔ E = −∇U Az I. törvény lokális v differenciális alakja A két alak közül az integrálos az általánosabb, mert diszkontinuitási-szakadás helyeken csak az használható, a differenciális alak nem. Az elektrosztatikus

potenciál megmutatja, hogy egységnyi pozitív töltésnek mennyi helyzeti energiája van az elektrosztatikus mezőben. Az elektrosztatikus potenciál megadja, mennyi munkát végez az elektrosztatikus mező, amíg az egységnyi + töltés a tér szóban forgó pontjából a ∞ -be távozik. E ⋅ ds = −dU / (∞ ) ∫ . (P ) (∞) ∫ E ⋅ ds = U ( P ) − U ( ∞ ) [U ( ∞ ) = 0] (P) Ponttöltés: E =k⋅ Q⋅q ⋅ er / q r2 E =k⋅ dr Q  potenciál: − dU = E ⋅ ds = k 2 ⋅ er ⋅ ds r ( ∞0 ) ( er ⋅ ds = dr ) ∞ dr kQ 1 dU = −kQ ∫ 2 = kQ   = − ∫ r  r  r r ( U ) r r ∞ Q ⋅ er r2 0 −U = − Ekvipotenciális felületek mentén a potenciál ugyanakkora Erővonalak: a mező pontbeli térerősségvektorának iránya. kQ r U= kQ r A mezőben olyan folytonos görbék húzhatók, melyek érintői éppen az érintési ponthoz tartozó térerősségvektorának tartóegyenesei. Az erővonalak sűrűsége

egyezik az ottani térerősség nagyságával. Töltés mérése: Vegyünk három töltést Q1 Q2   r122  F12 Q1 r232 F23 r232 Q1 = 2 ⇒ Q3 =  F12 r122 Q2 Q3  F23 r12 Q2 F23 = k r232  F12 = k F31 = k Q3 Q1 r312 Q1 = r12 r13 r13 Q12 F23 r232 ⇒ F31 = k 2 r31 F12 r122 F12 F31 kF23 az indexek értelmes cseréjével a többi töltés nagysága is meghatározható 2. Pontszerű elektromos dipólus tere Dipólusra ható forgatónyomaték és erő külső elektromos mezőben Dipólus (elektromos pólus): Két pólusú: a két pólus 1-1 azonos nagyságú és ellentétes előjelű ponttöltés. l a negatív töltéstől a pozitívig húzott helyvektor, dipólus hossza p = Ql dipólus nyomaték vagy dipólmomentum Az elektromos dipólusra a homogén mező csak forgatónyomatékot fejt ki, mert erőpár hat rá. A mező által rá kifejtett eredő erő zérus. (ha inhomogén, akkor nem zérus!!) Dipólus vákuumban: r >> l pontszerű dipólus P:

potenciál pont U − = −k U+ = k Q a negatív töltés által létrehozott mező potenciál r Q u.aa + töltésről r −l  1 1 U = U + + U − = kQ −   r −l r    r −l 2 = (r − l ) Legyen x = −2 2 lr r2 ≅ (másodrendűen kicsiny) 2    2l r + l 2  l r l    = r 2 (1 + x ) = r − 2l r + l = r 1 − 2 2 +    = r 2 1 − 2   r r r     2 2 ( x << 1) 1 1 1 1 − = = ⋅ (1 + x ) 2 r − l r 1+ x r 2 Binomális sorfejtés −1 / 2 n ⋅ x n  n =0  (1 + x )−1 / 2 = ∑  ∞ mivel x << 1 (1 + x )−1 / 2 = 1 − 1 x + . − ≈ 1 + l r2 ⇒ r 2 1 1  lr  = 1 + 2  r −l r  r     k kQ  l r 1 + 2 − 1 = 3 p ⋅ r  U = r  r  r   Míg a ponttöltés potenciálja 1/r szerint, addig a dipólus potenciálja 1 szerint változik. r2 Láttuk: E = −∇U Most ∂k

(Px x + Py y + Pz z )(x 2 + y 2 + z 2 ) ∂U =− Ex = − ∂x −3 / 2 3 2x   = −k  Px / r 3 − ⋅ 3 ⋅ P r  2 r   (Itt pompázik egy szorzat, amit x szerint kell deriválni, de ez az x nem ugyanaz, mint az az x feljebb az r − l számításakor) Ex = k  3 pr  x − Px  3  2 r  r  Ugyanígy számítható E y és E z is E= k  3 pr  r −P 3  2 r  r  E = térerősség Tüstént felfigyelhetünk rá, hogy E ~ 1 1 , míg ponttöltés esetén E ~ 2 volt. 3 r r Dipólusra ható forgatónyomaték külső elektromos mezőben Pontszerű a dipólus, így l távolságon E csak kicsit változik meg. (A forgatónyomaték jele N , mert az M már mennyiség jelölésére van fenntartva)   l l l ( ) ( ) N Q E Q E d E l Q E QdE p E = − × − + × + = × + × ≈ × F   2 2 2   elhanyagolható ; ahol p = Q ⋅ l Stabilis és labilis egyensúlyi helyzet Stabilis, ha a dipólus momentum a térrel egyező

irányban áll, labilisban, ha vele ellentétesben. Maximális forgatónyomaték akkor jön létre, ha a két töltést összekötő l szakasz merőlege a térerősségre. Ha a mező: - HOMOGÉN ⇒ dipólus tömegközéppontja az elektromos mezőben nem gyorsul - INHOMOGÉN ⇒dipólus tömegközéppontja is gyorsul 3. A dielektromos polarizáció Polarizációvektor, szuszceptibilitás Indukcióvektor, permittivitás. Gauss törvény Az elektromos polarizáció Töltésközéppont (a mechanikai tömegközéppont analógiájáról) rt = ∑Q r ∑Q i i i vagyis az a pont, amelyben a sztatikus töltésmomentum eltűnik. Apolárisok azok a molekulák, amelyekben a + é s a – töltésközéppontok egybeesnek, pl. H 2 , O 2 , stb. Poláris molekulák a nem apoláris molekulák, vagyis a + és – töltésközéppontok nem esnek egybe, és akkor kicsi dipólussal modellezhető a molekula (kicsiny l ~ 10-9 m, 10-10 m) Pl.: H 2 O; HCl stb A termodinamikából tudjuk, hogy van

hőmozgás. Külső elektromos mező hiányában a poláris molekulák halmaza sem mutat elektromos tulajdonságot, mert rendezetlensége miatt az eredő dipólusmomentum azonos. A külső mező hatása: 1.) Indukált polarizáció: a mező széthúzza a töltésközéppontokat, ez az indukált polarizáció. Így az apoláris molekulából dipólus lesz, a poláris molekula nyomatéka megnő. Ez a polarizáció nem hőmérséklegfüggő 2.) Rendeződési polarizáció: ez csak poláris molekuláknál fordulhat elő A külső elektromos mező az eleve meglévő dipólusokat többé-kevésbé a maga irányába fordítja be, annál inkább, minél erősebb a mező és minél kisebb a hőmérséklet. A vákuumbeli mező leírására egyetlen vektor, az E térerősségvektor elegendő. Polarizálható anyag jelenlétében azonban szükséges egy újabb vektor, amely az anyag polarizáltságának fokát írja le. A polarizáció vektor A + AV Ebben a térrészben egy külön dipólusa van,

nem megyünk le molekuláris méretekig. : a ∆V térfogatba foglalt dipólusok momentumainak vektori összege. ∆p ∆p : a polarizáció vektor definíciója ∆V 0 ű ∆V A∈∆V P ( A ) = lim (Tessék különbséget tenni p és P között) kis [ p ] = 1Cm = dipólusmomentum [ ] nagy P = 1Cm/m3 = 1C/m2 = polarizáció vektor Első közelítésben: P = Kε 0 E (ez nem egzakt tétel, az anyagi minőségtől függő jó közelítéssel) K: dimenziótlan mennyiség, neve elektromos szuszceptibilitás Ha nagy a térerősség, akkor a szigetelő vezetővé válhat, ezt a térerősség áttörési szilárdságának nevezzük. Ez a k éplet tehát nem lehet orrvérzésig jó Másrészt ismerünk antizotróp kristályokat. Pl: gipszkristály Anizotróp anyagokban (Pl: bizonyos kristályokban) P és E nem egyirányú a kettejük közti kapcsolat lineáris rendben is csak tenzorral lehet felírni! P = Kε 0 E k: vákuumban és fémekre =0 k: szigetelőkre >0 Az

anyagot homogénnek nevezzük akkor, ha k nem függ a helytől. D = ε0E + P Ezt a l ineáris kombinációt azért szükséges bevezetni, mert a D -re egyszerűbb alakú alaptörvényt lehet megállapítani. D : elektromos indukcióvektor (eltolás vektor) [ ] [ ] rögtön látszik: D = P = 1C / m 2 Első közelítés izotróp anyag esetén D = (1 + K )ε 0 E És újabb keresztelőket tartunk: ε = 1 + K relatív permeabilitás (vákuumé 1.) ε = ε +ε 0 abszolút permeabilitás A relatív permeabilitás megadja, hányszor nagyobb az illető dielektrikus (szigetelő) D = εE Relatív permeabilitás: megadja, hogy hányszorosára nő egy kapacitása, ha a lemezek közti teret vákuum helyett szigetelővel töltjük ki, a szigetőanyag relatív permitivitásának nevezzük. Elektromos fluxus: hogyan szemléltethető az elektromos tér? Indukcióvonalak: olyan irányított görbék, amelyek érintő egységvektora az elektromos indukcióvektorral azonos irányú (az

érintési pontban). Megállapodás szerint annyi indukcióvektort veszünk fel, hogy rájuk merőleges egységnyi felületen annyi vonal menjen át, mint amennyi az elektromos indukcióvektor mérőszáma. A gravitációs fluxus mintájára: ψ A = ∫ D ⋅ dA A Az elektromos fluxus adott irányú vett felületre vonatkozik, és számértéke megmutatja a felületet átdöfő indukcióvonalak számát. ekvipotenciális felület Vákuumba helyezett ponttöltés esete   ε Q D = 0 ⋅ er , mert D = ε 0 ⋅ E 4πε 0 2e Q Q e dA ⋅ er = dA 2 r 4πr 2 ∫A A 4πr ψ A = ∫ bdA = ∫ A ψA = Q 4πr 2 4πr 2 = Q Azt mindenki beláthatja, ha nem görbét veszünk, hanem rögbilabda felületét, akkor ugyanezt az eredményt kapjuk, ha a felület tartalmazza Q-t. Minden a Q töltést magába foglaló zárt felületre ψ = Q , mert a felületet valamennyi, a töltésből kiinduló indukcióvonal átdöfi. Olyan felületre viszont, amelyben nincs benne Q, ψ = 0 , mert amelyik

indukcióvonal belép, az ki is lép. Szuperpozíció: vákuumban, akárhány töltés van belül, helyes ψ = 0 összefüggés. Axióma: A zárt felületre vonatkozó fluxus és a felületben foglalt töltés egyenlősége a tapasztalat szerint akkor is fennáll, ha az elektromos mező kémiai anyagokban jelenik meg. Másképp:  ∫ DdA = Qv A Ez Gauss törvénye az elektromos mező forrás törvénye integrálos alakban. Az elektromos indukcióvonalak forrásai a + töltések, nyelői pedig – töltések. Tehát az indukcióvonalak + töltésen erednek és – töltésen végződnek. Differenciálos alak: Tegyük fel, hogy térfogati töltéseloszlással van dolgunk. A töltés folyamatosan oszlik el a térben. ∆Q a töltés sűrűsége) ∆V  0 ∆V P∈∆V (A tömegsűrűségben hasonlóan: ρ ( p ) = lim Qv = ∫ ρdV V  D ∫ dA = ∫ ∇ ⋅ D dV = ∫ ρdV A V V Ez bármely V-re csak akkor igaz, ha ∇D = ρ (a Gauss t. diff alakja) A differenciális

alak kevésbé általános az integrálosnál. Ha nem térfogateloszlásról van szó, máris használhatatlan a differenciális alak. Felületi tömegeloszlás: Legegyszerűbb esete a töltött vezető gömb esete. Felületi töltéssűrűség: ∆Q ∆A 0 ∆A P∈∆A σ ( P ) lim Vonalmenti töltéssűrűség: ∆Q ∆s  0 ∆s P∈∆s A( P ) = lim Gauss törvénye kimondja, hogy zárt felületre az elektromos fluxus egyenlő a felületben foglalt összes töltéssel. 4. Poisson egyenlete. Peremfeltételek az elektromos mezőben. Polarizációs töltéssűrűség közeghatáron Elektrosztatikus mező két alaptörvénye differenciális alakban:    ∇ × E = D + E = −∇U  ∇⋅D = ρ integrálos alakban:  E ∫ ds = 0  D ∫ dA = QV Tételezzük fel, hogy a dielektrikum homogén és izotróp   D = εE ; ∇ε = 0 így:  ε∇E = ρ − ∇ 2U = ρ ε ∇ 2U = − ρ Poisson egyenlete ε Poisson egyenlet másodrendű

parciális differenciálegyenlet a keresett U(x,y,z)-re Megoldáshoz ismernünk kell a ρ ( x , y , z ) eloszlást, továbbá a peremfeltételeket (a szigetelő határán, vezetőn mennyi a töltés?, Milyen alakúak a határfelületek?) Az utolsó szó Descartes-koordinátákban: ∇2 = ∇ 2U = − ∂2 ∂2 ∂2 + + ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2 ρ , ha a permittivitás térben állandó. Az egyenlet megoldásához ismerni kell ε ρ ( r ) − t és a peremfeltételeket. Poisson egyenlet megoldása térben eloszló töltés esetén: 1 4πε ⋅ ρdV r = dU Szuperpozíció elve A teljes potenciált integrállal számítjuk ki.   (D~E) U( P ) = 1 ρ ⋅∫ 4πε r dV akkor, ha a t érben csak térfogati töltéseloszlás van jelen. Az ábra   jelölését használva r = R − r , U ( x, y, z ) = 1 4πε ⋅ ∫∫∫ ρ (ξ ,η ,ζ ) ⋅ dξdηdζ (x − ξ )2 + ( y − η )2 + (z − ζ )2 Az integráció a térnek arra a tartományára terjed ki,

ahol töltés van. Határfeltételek (peremfeltételek) az elektrosztatikában: Két közeg határfelületének egy görbéje: Ha minden pontban megrajzoljuk a felületi normálist, akkor ezek vonalfelületet alkotnak, ezt lehatároljuk a (2) közegben lévő A2 B2 és az (1)-beli A1 B1 görbével. A nyílnak megfelelően körbehaladunk. Ekkor  E ∫ ⋅ ds = 0     + + + E d s E d s E d s E     ∫ ∫ ∫ ∫ ds = 0 A2 B2 B2 B1 B1 A1 A1 A2 Most: P 1 P vagyis A2 B2 is közelítsen AB -hez és A1 B1 is AB -hez P 2 P, ∫  Eds 0 ,   E d s E ∫ ∫ 2 ds , B2 B1 A2 B2 AB  E ∫ ds 0 A1 A2 E 2 a térerősség a határfelületen, de a (2) közegben.    ∫ Eds ∫ E ds = − ∫ E ds 1 B1 A1 1 BA AB itt E 1 a térerősség a határfelületen, de az (1) közegben. Így: e ds   − E E ∫ 2 1 ⋅ ds = 0 ( ) AB  E2 ⋅ e = E2e ∫ (E 2e  E1 ⋅ e = E1e − E1e )ds = 0 ⇒ E 2 e = E1e AB E az

integrált tetszőleges AB határfelületi görbére eltűnik, ez csak úgy lehet, hogyha az integrandus eltűnik. E 2e = E 1e Az elektromos térerősség tangenciális koordinátája a határfelületen folytonos. Nézzük a felületre merőleges (normális) irányú koordinátákat: a felület egy zárt görbéje palást a kalap teteje Síkmetszet: Ez a cipőpasztás doboz feneke, amit a felső ábrán a felület takar. A felületen σ sűrűségű felületi töltés lehet. Úgy állapodjunk meg saját magunkkal, hogy n az (1) közegtől a (2) felé mutasson.   D ∫ dA = Q Tudjuk, hogy Ez nem más, mint a cipőpasztás dobozba     vagyis: ∫ DdA + ∫ DdA + ∫ DdA = ∫ σdA A2 P2 P P1 P AP A1 bezárt össztöltés A és így a palást pánikszerűen zsugorodik.  ∫ D dA 0 A      D d A D d A = D n d A ∫ ∫ 2 ∫ 2 A2 A (lásd az előző jelölés) A n : egységvektor (gyengébbek kedvéért: n ⋅ n = 1 )   

D ∫ dA ∫ D1 (− n )dA, mert n1 = −n A1 Végül is: A ∫ (D 2 ⋅ n − D1 ⋅ n − σ )dA = 0 A Legyen: D2 ⋅ n = D2 n   (Az elektromos indukcióvektor normális irányú koordinátái) D1 ⋅ n = D1n  Mivel ez tetszőleges, a határfelületen fekvő A felületre igaz, ez csak úgy lehet, hogyha: D2 n − D1n = σ Az elektromos indukció normális koordinátája a határfelületen általában nem folytonos; ugrása a felületi töltéssűrűséggel egyenlő.   Ha fennáll D = εE mindkét közegre, Akkor ε 2 E2 n − ε 1 E1n = σ És ha σ = 0 , akkor is ugrása van E n -nek ε 2 E2 n = ε 1 E1n , vagy másként ε 2 E1n = ε 1 E2 n A másik határfeltételből pedig: D2 e ε 2 = D1e ε 1 σ a polarizációs töltéssűrűség a kis ferde hasáb dipólusnyomatéka: dp = σ dAdl dp p= dV σ dAdl p= dAdl cos α σ = P cos α = Pn „Újabb megvilágításba került” a polarizációvektor. A dielektrikum határfelületén a

polarizációvektor normális koordinátája megadja a felületi polarizációs töltéssűrűséget. Jól tessék megérteni: σ nem jelent töltéstöbbletet, de σ igen! Ha valahol a felületen σ ≠ 0 , akkor az onnan leválasztott makroszkópikus darabkában töltéstöbblet van, ha azonban σ = 0 , akkor a l eválasztott darabkában nincsen töltéstöbblet, noha esetleg σ ≠ 0 ! Ha nem vákuum van: D n (mint Dugó Dani) nem szenved ugrást, ha nincs felületi töltéstöbblet.    D = ε0E + P Pn = Dn − ε 0 En = Dn −  σ = Dn 1 −  ε 0 Dn 1  ε   = Dn 1 − 0  = Dn 1 −  ε ε   ε    1 1 1  1   = Dn  −  −1+ ε 1 ε 2   ε 2 ε 1  Ez nagyon fontos pl. kondenzátorok szigetelőrétegeinek határán Vannak olyan anyagok,   amelyek anizotropok, sőt D és E között nem lineáris a kapcsolat. Ferroelektromos anyagok:   Ezekben a P és E között nem

lineáris kapcsolat van, sőt a kapcsolat nem is egyértékű! Ha az   E -t megszüntetjük marad vissza P .  Elektrét (permanens dipólus): gyanta olvasztva E -térben polarizálódik, majd a mezőben megdermesztve polározottságát a mezőből való kivétel után is megtartja. 5. Vezető a sztatikus elektromos térben Kapacitás, kondenzátorok Kondenzátor energiája Vezetők az elektrosztatikus mezőben Sztatika: Az összes fizikai mennyiség az időben állandó, és töltésáramlás nincs.  Ha a fém belsejében volna E -tér, akkor az ott lévő szabad töltésekre erő hatna, és azok mozognának. Elektrosztatikus állapotban a fém belsejében a térerősség E = 0 , tehát a p otenciál a f émen   belül áll. Vezetőben sztatikai állapot csak úgy alakulhat ki, ha benne E = O   Két pont között a feszültség a vezetőben: U 12 = ∫ E  ⋅ ds 12 Ha 12 a vezető belsejében van mindig, akkor U 12 = 0 , vagyis a vezető test

teljes kiterjedésében ekvipotenciális, természetesen a f elület is ekvipotenciális.(A mechanikából  tudjuk, hogy a térerősség merőleges az ekvipotenciális felületre a felület mentén). Mivel E  tangenciális összetevője nem ugrik, a vezetőt határoló szigetelő anyagban a felület mentén E -nek tangenciális összetevője nincs. A vezető belsejében:  Mivel ∇ ⋅ D = ρ és   D=O így ρ = 0 Sztatikában a vezető belsejében nincs többlettöltés, az összes töltés a külső felületre húzódik. D2 n − D1n = σ , D1n = 0 E2 e = 0 D2 e = 0 (Azt gondoltuk, hogy D2 e = ε 2 E2 e ) D2 n = σ , εοε  Ha a vezetőt nem vákuum, hanem valamilyen szigetelő anyag határolja, akkor a határon az E tér gyengébb lesz (u.a σ esetén)   Megszorítás: Olyan anyagokra szorítkozunk, amelyekben P és E között fennáll az egyenes arányosság. Ha van a térben egy magányos vezető test, akkor ennek a potenciálja

hogyan függ a rá felhordott töltéstől? Ha fémes vezető kerül elektromos mezőbe, abba a mező behatol. A semleges vezető belsejében lévő + és – töltésekre ellentétes irányú erő hat ⇒ fém átellenes felületelemein + és – töltés halmozódik fel. A töltésmozgás addig tart, amíg a fém belsejében az elektromos mező meg nem szűnik. A nagyobb görbületű helyeken nagyobb a töltéssűrűsség, mint a kisebb görbületű helyeken (csúcshatás). Magányos vezető kapacitása Szigetelő U (a vezető potenciálja) A szuperpozíció elve miatt, ha a töltését K-szorosára növeljük, akkor a tér minden pontjában  E is K-szorosára nő, következésképpen a vezető potenciálja is K-szorosára nő, hiszen U= (∞ )   ∫ E ⋅ ds ( ) P Más szóval: a vezető potenciálja és a rajta levő töltés egyenesen arányos egymással, hányadosuk állandó: Q = C = állandó U Q = C ⋅U (ez a kapacitás) A kapacitás számértéke

megmutatja, mennyi töltéssel lehet egységnyi potenciálra feltölteni a vezetőt. (Könnyű megjegyezni Q = CU alakját, ez ugyanis a „kucu” képlet) C mitől függ? A vezető méretétől, alakjától, a környezet permittivitásától. Nézzünk egy  fémgolyót! A gömbön kívül E pontosan olyan, mintha a középpontjába helyezett Q ponttöltés hozta volna létre a mezőt. (er ⋅ ds = dr )  Q  E = k 2e r R dr kQ 1  = U = kQ ∫ 2 = kQ   = R r ∞ R r ∞ C= Q R = (arányos a sugárral). U k [C ] = 1 C = 1F = 1 farad V Mekkora sugarú golyónak 1F a kapacitása? R = kC = 9 109 1 = 9 millió km Következtetés: a hétköznapi gömbök kapacitása pici. Ha a kapacitást növelni akarjuk, arra  törekszünk, hogy adott Q mellett U minél kisebb legyen. Azért olyan nagy E integráljának értéke (U), mert marha nagy úton integrálunk (R-től ∞ -ig). Le kell rövidíteni az erővonalak hosszát, ezáltal a f eszültség

csökken. Magában álló gömb kapacitása a g ömb sugarával arányos. Csak ennyit kell integrálni Kondezátor: Két vezető test (armatúrák v. fegyverzetek), amelyek dielektrikummal vannak elválasztva, és mindazok az indukcióvonalak, amelyek a + töltésű fegyverzetről kiindulnak, a – töltésű fegyverzeten véget érnek (vagy másként a két fegyverzet töltése ellentetten egyenlő). A kapacitás megnövelésének másik módja, hogy az armatúrák közötti teret dielektrikummal  töltjük meg, így a polarizáció miatt E lecsökken U is csökken. Az elektrosztatikus mező energiája Wik = U k (i )Qi Ponttöltések U k (i ) : az i-edik bogyó helyén a k-adik által keltett potenciál Wki = U i (k )Qk , a kettő egyenlő! U k (i )Qi = U i (k )Qk Wik az i-edik és k-adik töltés közötti párkölcsönhatási energia. Ha összegzünk i-re és k-ra is, akkor minden párkölcsönhatást 2-szer számítottunk. Így: W = 1 ∑∑U k (i )Qi 2 i k ∑U (i ) =

U (i ) Parasztosan egyszerű: k k a szuperpozíció tétele miatt az eredő potenciál Q i helyén, vagyis: W = 1 ∑U (i )Qi 2 i Az elektromos tér energiája W = 1 ∑U ( i )Qi 2 diszkrét ponttöltések esetén folytonos töltéseloszlás: δQ = ρdV W = 1 UρdV az integrációt az egész térre terjesztjük ki, de ott, ahol nincsenek töltések, az 2∫ integrál járuléka zérus. Ne feledjük,  E = −∇U ,  ∇⋅D = ρ így: W = A matematikából tudjuk: (  1 U ⋅ ∇ ⋅ D dV 2∫ ( ) )       ∇ ⋅ U ⋅ D = (∇ ⋅ U ) ⋅ D + U ⋅ ∇ ⋅ D = − E ⋅ D + U ⋅ ∇ ⋅ D    1 1 1   W = ∫ ∇ U ⋅ D + E ⋅ D dV = ∫ ∇ ⋅ UD dV + ∫ E ⋅ DdV 2 2 2 [( ) ] ( ) Gauss törvénye alapján =  1 1   U D ⋅ dA + E ⋅ D dv 2∫ 2∫ Ez a felületi integrál arra a felületre vonatkozik, amely a térfogati integrálban szereplő integrálási tartományt határolja. Na de a térfogati

integrált az egész térre számítjuk Improprius integrál: U∼ 1 r (U 1 szerint tart 0-hoz, mikor r tart ∞ -hez), e 1 1 D ∼ 2 (ponttöltés esetén 2 szerint tart 0-hoz, mikor r ∞ ), r r az A integrációs felület r2 szerint tart ∞ -hez, miközben r ∞ U∼ 1 r 1 r D∼ 2 A ∼ r2 Az egész integrál ∫ ∼ 1 r 1 szerint tart 0-hoz, miközben a gömböt felfújjuk (r ∞ ) r Az elektromos tér energiája: W = 1   E ⋅ D dV , 2∫ w= 1   E ⋅ D az elektromos energiasűrűség. 2 Megmutatja, hogy térfogategységben mennyi energia van. W =∫ w dV a V térfogatban foglalt elektromos energia. Kondenzátorok energiája: Jelképes jelölésük: ┤├ (nem biztos, hogy síkkondenzátor) Kis u j elenti a két fegyverzet között a potenciálkülönbséget. dq t öltést átvisszük a másik fegyverzetre. Hát ezért bizony munkát kell végezni A pozitív töltéstől a + fegyverzet undorodik, tehát nekünk kell pozitív munkát

végezni. (Egységnyi töltés átvitelekor a munka dW = udq éppen a feszültség.) A szállítmányozás végére Kondenzátor kapacitása: C = q u (Miközben q is, u is változik, C nem változik) dW = q dq (ennyivel változik a kondi energiája) C A vak is látja, hogy ez teljes differenciál A teljes energia: 2 Q q 1Q W = ∫ dq = (Q a végső töltés) 2C o C Más alakjai: W = 1 2 1 1 Q = CU 2 = QU 2C 2 2 W = 1Q 1Q 1 = ⋅Q = U ⋅Q 2C 2C 2 2 6. Az elektromos áramlás Kétkomponenses vezetés, konvektív és konduktív áramsűrűség. Áramerősség A töltés kontinuitási egyenlete 1.) Elektromos áramlás Ha két feltöltött fémtestet összekötünk egy vezető rúddal, akkor a magasabb potenciálra feltöltött test veszít töltéséből, a másik töltést vesz fel. 2.) Kétkomponenses vezetés (1) Kezdeti állapot: A két test igen távol van egymástól: az egyik által keltett tér a másik helyén már ≈ zérus. (2) összekötjük: Mivel most

már a két test egy vezetőt alkot, addig egyensúly nem alakul ki, amíg a potenciál az egyesített vezetőben nem lesz mindenütt ugyanakkora. Ha van türelmünk megvárni, akkor észlelhetünk egy (3) új egyensúlyi állapot-ot Ami kiegyenlítődik, az a potenciál (mert az az intenzív mennyiség) A potenciál kiegyenlítődik a töltés transzportja révén. Q1 = C1U 1 NEM TUDOK ILYET! Q2 = C2U 2 C1U 1 + C 2U 2 = (C1 + C 2 )U Ez a töltésmegmaradás törvénye U= ∆Q2 = Q2 − Q2 = C 2 (U − U 2 ) = C 2 C1U 1 + C 2U 2 C1 + C 2 C C C1U 1 + C 2U 2 − U 2 C1 − U 2 C 2 = 1 2 (U 1 − U 2 ) > 0 C1 + C 2 C1 + C 2 Elektromos áramlás: töltéshordozók sokaságának rendezett mozgása. Az áram irányán a pozitív töltéshordozás irányát értjük. Milyen állapot uralkodott az óra elején a fémek belsejében? Sztatika: hőmozgás révén kaotikus rendetlenség uralkodik (ide-oda lötyögnek a töltések). Ebben az esetben viszont a potenciálkülönbség

gatyába rázza a t öltések mozgását. A rendezetlen mozgásra rendezett szuperponálódik. Az elektromos áramlás az elektromos töltéshordozók rendezett mozgását jelenti. Ez a rendezett mozgás megvalósítható, ha a vezetőben elektromos mezőt hozunk létre. Mindenki sejti, hogy a fenti elrendezésben a töltésáramlás nem túl hosszú életű, és azalatt sem egyenletes. Feltesszük, kétféle szabad töltéshordozó van a vezetőben az egyik +, a másik –. Mind a mai napig az e elemi töltésnek csak (+ vagy –) egész számú többszörösét mérték: e = 1,6 ⋅ 10 −19 C A vezetőben a pozitív töltéshordozó töltése Z + e, (Z + pozitív egész), tömege: m + ,  számsűrűsége: n + , áramlási sebessége: v+ A negatív töltéshordozó töltése Z – e, (Z – pozitív egész), tömege: m – , számsűrűsége: n – ,  áramlási sebessége: v− Térfogategységnyi tartományban: ρ + = Z + e ⋅ n+   a parciális

töltéssűrűségek; ρ − = Z − e ⋅ n−  ρ = e (Z + ⋅ n + + Z − ⋅ n − ) , parciális töltéssűrűség ennyi töltés van egységnyi térfogatban. A tömegsűrűséget τ -val fogjuk jelölni. A pozitív töltéshordozók tömegsűrűsége: τ + = m+ n + A negatívaké: τ − = m− n− τ = m+ n + + m− n − tömegsűrűség    A tömegközéppont v sebességére fennáll, hogy: mv = ∑ mi vi A vezető P pontja környezetében felveszünk egy kis dV térfogatot. dV   vτ dV = v+ τ + dV + v− τ − dV   dm dm+ ⊕ dm−  A tömegközépponti sebesség: v =   τ + v+ + τ − v− τ ρ , áramlási sebesség ez a „teljes rendszer” áramlási sebessége. Mech.: tömeg-áramsűrűség = tömegsűrűség Áramlási sebesség    J = ρv (megadja, hogy a J -re merőleges egységnyi keresztmetszeten időegység alatt mennyi massza áramlik ár)     +

töltéshordozók elektromos áramsűrűsége: J + = ρ + v+ = Z + e ⋅ n+ ⋅ v+ – töltéshordozóké:    J − = ρ − v − = Z − e ⋅ n− ⋅ v −    J = ρ + v+ + ρ − v− az elektromos áramsűrűség  Ennek abszolút értéke megmutatja, hogy J vektorra merőleges egységnyi felületen  időegység alatt mennyi töltés áramlik át. (Ez a J pontról pontra változik, és az időben sem mindig állandó)   Gondolhatná az elme, hogy J = ρv helyes, de általában az áramsűrűség nem egyenlő a töltéssűrűség és áramlási sebesség szorzatával.    J = ρv + j KONVEKTÍV (szállítási) áramsűrűség KONDUKTÍV (vezetési) áramsűrűség Most kiszámíthatjuk a konduktív áramsűrűséget arra az esetre, amikor a vezetésben elektronok és pozitív ionok vesznek részt. Z+ = Zi ; Z − = −1 ;   Z i : kis pozitív egész v+ = vi n+ = ni ; n − = ne   v − = ve ; ρ = e(Z i ni − ne

)    mi ni vi + me ne ve v= mi ni + me ne m i >>m e (az ionok és az elektron tömege között 3-4 nagyságrend különbség van) n i ≈ n e (számsűrűségük között nagyságrendi különbség nincs) m i n i >> m e n e   mn  v ≈ vi + e e v e mi ni az elektronok sebessége lehet sokkal nagyobb, mint az ionoké, ezért a 2. tag nem elhanyagolható!  v              m n      j = J − ρv = Z i eni vi − ene ve − e(Z i ni − ne ) vi + e e ve  mi ni    J Kiszámíthatjuk: 2   me ne      me ne   j = e  Z i ni vi − ne ve − Z i ni vi − Z i v e + ne v i + ve  = m m n i i i       Z m m n    = ⋅ne ⋅ vi − ve 1 + i e − e e  = − ene (ve − vi ) mi mi ni    <<1 <<1 elhanyagolható A vezetési (konduktív) áramsűrűség általában

nem zérus. Nyugvó vezető kristályban konvektív áram nincs, a konduktív áram pedig   j = − e ⋅ ne v e , mert   vi = 0 Ha vezető kristállyal kezünkben sétálunk, akkor konvektív áram nincs (ρ = 0 ) , de konduktív lehet. Ha viszont egy megdörzsölt szigetelővel a kezünkben, akkor konvektív áram jön létre, és konduktív nincs. Áramerősség Az elektromos áram iránya a negatív töltések áramlási sebességével ellentétes, a pozitívak áramlás irányával megegyezik. Az elektromos áramerősség irányított felületre vonatkozó mennyiség: (a felület oldalát jelöli csupán!)   I ( A ) = ∫ J ⋅ dA elektromos áramerősség A Az áramerősség előjeles mennyiség: pozitív, ha a felület – oldaláról a + oldalra áramlik a töltés, és negatív, ha ellentétesen. Az áramerősség számértékben megadja a teljes felületen időegység alatt átáramló töltést. A teljes átáramlott töltés: t2 Q = ∫ Idt

teljes átáramlott töltés t1 így számítjuk ki azt a töltést, ami az A felületen a (t 1 , t 2 ) időközben átáramlott. Áramerősség [I ] = 1 C = 1 amper = 1 A J Áramsűrűség [J ] = 1 A m2 Töltés kontinuitási egyenlete Mivel az elektromos töltés tapasztalt szerint megmaradó mennyiség (vagyis nem keletkezik és nem tűnik el), rá pont olyan kontinuitási egyenlet vonatkozik, mint a tömegre: tetszőleges rögzített zárt felületen belül a töltés megváltozása időegység alatt: részletesebben:   d a felületen időegység alatt kiáramlott töltés ρdv = − ∫ J ⋅ dA ∫ dt  ∂ρ lokális alak (differenciális) +∇⋅J = 0 ∂t   ∂ρ + ∇ ⋅ (ρv + j ) = 0 ∂t 7. A stacionárius elektromos mező alaptörvényei, peremfeltételek Áramforrások, elektromotoros erő. Az Ohm-féle anyagi egyenlet Áramforrások: ha a töltésekre egyedül az elektromos mező hat, akkor a kezdeti potenciálkülönbségek létrehozásához

szükséges, hogy a töltéshordozóra másfajta, nem elektromos mező is hasson, és az ebben fellépő erő a + töltéseket visszavigye a magasabb potenciálú helyre, megteremtve ezzel az elektromos cirkuláció lehetőségét. Az olyan berendezéseket, amelyekben ilyen idegen (nem elektromos) erők fellépnek, áramforrásoknak nevezzük.  F җ a q töltésre ható idegen erő  E  F җ= q galvánelemekben: kémiai természetű dinamóban: mágneses természetű Az áramforrásnak van két kivezetése, ezeket pólusoknak szoktuk nevezni. (B )   W( AB ) = ∫ F ⋅ ds ( A) A, B pólusok az a munka, amit az idegen erő végez a q töltésen, amíg az az egyik pólustól a másikig eljut az áramforrás belsejében. Elektromotoros erő: = W( AB ) q = (B)   E ∫ ⋅ ds ( A) A, B pólusok Az elektromotoros erő megmutatja, mennyi munkát végez az idegen erő a pozitív egységtöltésen, miközben az az áramforrás belsején végighalad. A

továbbiakban feltesszük, az elektromotoros erő független attól, milyen pályán mozog a töltés az áramforrás belsejében. Stacionárius elektromos mező Az összes fizikai mennyiség időben állandó, csak a helytől függhet. Itt a töltések nem állnak egy helyben, hanem időben állandó módon áramlanak. Tapasztalatból tudjuk, hogy   ∫ E ⋅ ds = 0;   ∇ × E = 0,  E = −∇U . Ezek a formulák a stacionárius mező konzervatív voltát írják le. Stacionárius áramlás esetén a töltésmérlegben d ρdV = 0, mert a töltés nem változik. dt ∫   I = ∫ J ⋅ dA = 0 stacionárius áramláskor zárt felületre az áramerősség zérus. Stacionáris esetében a töltéssűrűség állandó, ezért  ∂ρ + ∇ ⋅ J = 0 -ból: ∂t  ∇ ⋅ J = 0 , stacionáris áramláskor az áramsűrűség forrásmentes   E Két vezető határán: Ee1 = Ee 2 ∫ ⋅ ds = 0  Sztatika ∇⋅D = ρ Dn 2 − Dn1 = σ  Stacionárius

áramlás: ∇⋅J = 0 J n 2 − J n1 = 0 ( ) Míg az elektromos indukciónak vannak forrásai (a töltések), addig az áramsűrűségnek nincsenek forrásai, ezért normális irányú összetevője két különböző közeg határán folytonos. Statikus elektromos tér Stacionárius elektromos áramlás   ∇ × E = 0;  ∇⋅J = 0     ∇ × E = 0; ∅ Eds = 0  ∇⋅D = ρ    D = ε0E + P   E ∫ ⋅ ds = 0   J ∫ ⋅ dA = 0 Milyen anyagi egyenleteket lehet ide írni? ( )    Ohm diff. egyenlete j =γ E+E  E = idegen térerősség anyagi egyenlet:   P = Kε 0 E   Kristályos vezetőkben vizsgáljuk az áramlást j = −ene ve ne = a vezetési elektronok számsűrűsége  ve = a vezetési elektronok áramlási sebessége    v =V +u egy elektron sebessége a rendezetlen mozgás sebessége hőmérsékletfüggő a rendezett mozgás sebessége u  u >> V ( u átlaga ) a

hőmérséklettől függ Az elektronok „kölcsönhatásba ereszkednek” a rács ionjaival. λ : közepes szabad úthossz; egy szabad elektronnak az ionokkal való két szomszédos ütközése átlagosan befutott út.  τ : λ u ; átlagosan mennyi idő telik el két egymást követő ütközés között. ( )    Fe − e E + E  Két ütközés között az elektron gyorsulása: ae = . = me me   Ütközéskor az elektron rendezett mozgása megszűnik, tehát ütközés után közvetlenül V = 0 ,    −e λ   de a következő ütközés előtt Vmax = ae ⋅ τ = ⋅ E+E m u    0 + Vmax az elektron rendezett mozgásának átlagsebessége. ve = 2    e λ   ve = − E + E , ezzel kiszámíthatjuk j értékét: 2me u     e n   j = −e ⋅ ne ⋅ ve ; ahol ve = − ⋅ E+E 2me u ( ( ) ) ( ) ⇓  2  e λ ne   j= ⋅ ⋅ E+E 2me u ( ) Vezessük be a fajlagos vezetőképesség

fogalmát:  e 2 λ ne γ = 2me u    j =γ E+E ( ) Fémes vezetők esetén a hőmérséklet növekedésével nő u és csökken γ . Félvezetők esetén a hőmérséklet növekedésével nő ne , így nő γ . Szupravezető anyagok: ha a hőmérsékletet egy kritikus érték alá szorítjuk (ólom esetén ~7 K) akkor 1/ γ = 0, az anyagnak nincs ellenállása. Felfedezője: KAMERLINGH ONNES Ez a modell nem írja le a szupravezetési jelenséget. Másik modell: az elektron hullámtulajdonsága     alapján modellezi a kristályt. γ nem jelent szigorú arányosságot j és E + E között (Ha j nő, melegedés, γ változik.) (    j =γ E+E ) Ohm – anyagi egyenlet az Ohm féle anyagi egyenlet lokális (differenciális) alakja. OHM német bácsi volt, és 1827ben fedezte fel ennek az egyenletnek az integrális alakját  A görbe latinul: linea curva, ezért c-vel jelöljük. e 2 = 1 Áramvonal: (1. folyamatábra): olyan irányított

görbe, amelynek érintője párhuzamos az áramsűrűség-vektorral az érintési pontban. U 12 = U 1 − U 2 a két véglap közötti feszültség  U 12 = ∫ E ⋅ ds     12  j  /  = ⋅ − U d s E 12 ∫12 γ ∫12 ⋅ ds  j   E= −E   γ    ds = ds ⋅ e   = E 12 ∫ ⋅ ds 12 Feltesszük, hogy a két ekvipotenciális felület között minden áramvonalra ugyanakkora. dI: a megrajzolt áramcsőben az áramerősség (az áramcső bármely keresztmetszetén ugyanakkora)   dI  j= je= e dA U 12 + 1 ds =  = dI ⋅ dG12 12 γdA = dI ∫ 12 Új fogalom: dG12 = (U 12 + ∫ 12 12 ) dG12 = dI 1 , a berajzolt áramcsőnek ez a vezetőképessége. ds γdA Az utolsó lépésben összegyűjtjük az összes makaróniszálat, a teljes keresztmetszetre integrálunk, ekkor a bal oldalon (U 12 + (U 12 + 12 ) ∫ dG12 = ∫ dI  G12  I 12 ) kiemelhető (mert minden áramcsőre ugyanaz).

tehát (U 12 + ) G12 = I , G 12 : a vezető vezetőképesége, 1 Definíció szerint; R12 = a vezető ellenállása. G12 U 12 + 12 = I R12 (az OHM féle egyenlet integrális alakja) 12 Ha a vezetőben nincsen elektromotoros erő, akkor fogyasztónak nevezzük. Ha viszont van benne idegen térerősség, akkor áramforrásnak. Fogyasztóra: U 12 = IR12 8. Lineáris hálózatok, Kirchhoff törvényei A Joule-törvény Egy egyszerű alkalmazás: r: az áramforrás ellenállása (belső ellenállás) R. a fogyasztó ellenállása Alkalmazzuk a fogyasztóra OHM törvényét: Az áramforrás belsejében a pozitív töltés a negatív pólustól a pozitív felé áramlik, tehát óvakodjunk attól a kijelentéstől, hogy a töltés mindig a nagyobb potenciálú helyről az alacsonyabb felé áramlik. A kapocsfeszültség: U = U 12 = IR > 0 U 21 +  21 = Ir , 21 = >0 −U = U + Ir = I (R + r ) I җ = zárlati áramerősség = üresjárati feszültség I җ = rövidzárási

áram Ideálisnak nevezzük azt az áramforrást, amelynek belső ellenállása zérus. Ideális áramforrás esetén 12 = -U 12 Az a s zokás, hogy a valóságos áramforrást helyettesítjük egy sorba kapcsolt ideális áramforással és fogyasztóval. Vonalas vezetőknek nevezzük az olyan vezetőket, amelyeknek keresztmetszeti méretei kicsik a hosszúsághoz képest. R=∫ ds γ (s )A(s ) Speciális esetben: R= 1 , ha a vezető mentén sem az anyagi minőség, sem a γA keresztmetszet nem változik. Az elektrotechnikában szokás használni a ρ = ellenállást. R=ρ 1 fajlagos γ 1 (ez egy speciális eset!) A Vonalas vezetőkből összebarkácsolunk egy hálózatot: vonalas hálózat. Néhány fontos fogalom: csomópont: a hálózat olyan pontja, ahova legalább 3 huzal fut be; ág: a hálózat olyan szakasza, amelynek két végpontja csomópont, másutt azonban nem található rajta csomópont (egy ágon belül az áramerősség mindenütt ugyanakkora). Az egy

ágon belüli elemeket szorosan kapcsoltaknak szoktuk nevezni. Fogyasztók akkor vannak párhuzamosan kapcsolva, ha a megfelelő sarkaik azonos potenciálon vannak. Csomópont:   A felvett zárt felületre az össz áramerősség 0 a II. alaptörvény értelmében I>0, ha j ⋅ n > 0 ,   ∑I és >0, ha j ⋅ n < 0 . i i =0 Csomóponti törvény (KIRCHHOFF I., 1847) Valamely csomópontba befolyó és onnét kifolyó áramok erősségének algebrai összege zérus. (töltésmegmaradás stacionárius áramlásra). Hurok: olyan irányított zárt vonal, amelyet a vonalas hálózat vezetékei és áramforrások testesítenek meg. Egy hurok mentén a f eszültségek algebrai összege az I alaptörvény értelmében zérus. ∑U i i =0 Kirchhoff II. törvénye, huroktörvény Az egyes ágakban az áramirányokat tetszés szerint vehetjük fel, de ezeket jelölni kell. Fogyasztón és ideális áramforráson a feszültség: ha a hurok körüljárásakor

egy fogyasztón a bejelölt áramirányban haladunk végig, akkor a feszültség rajta +IR, ha vele ellentétesen, -IR; ha áramforráson úgy megyünk keresztül a körüljárás során, hogy először a + pólusát érintjük, akkor a feszültség + > 0, ha viszont a negatívot érintjük először - . (Ha valamely áram értékére negatív eredményt kapunk a csomópontokra és hurkokra felírt lineáris egyenletrendszer megoldásakor, akkor az áram iránya ellentétes a nyíllal, de a nyilat ott kell hagyni.) Csak annyi egyenletet célszerű felírni, ahány ismeretlen van Nem minden egyenlet független egymástól. A II Kirchhoff-törvény a stacionárius elektromos mező konzervatív voltát fejezi ki. Energiaátalakulások Kérdés: az elektromos és idegen erők mennyi munkát végeznek az áramló töltéshordozókon, és ez a munka mire fordítódik? ρ e = −ene   j = −ene ve Mennyi a szabad elektronok töltése ebben a kis kolbászdarabkában? dQe = ρ

e dV Mekkora erőt fejt ki dQ e -re az elektromos és idegen mező?    dFe = EdQe = ρ e EdV    dFe = E dQe = ρ e E dV elektromos teljesítmény:     dP = dFe ⋅ ve = ρ e ve ⋅ EdV     dP dP = j ⋅ E dV ⇒ = h = j ⋅E dV   Elektromos teljesítménysűrűség: h = j ⋅ E (JOULE törvényének differenciális alakja) h megadja a térfogategységre eső elektromos teljesítményt, illetve hogy időegység alatt térfogategységnyi töltésen mennyi munkát végez a mező.     dP = dFe ⋅ ve = ρ e ve ⋅ E dV h = dP dV   = jE idegen teljesítménysűrűség ( )    j2 h+h = j⋅ E+E = γ Az idegen és az elektromos erő munkája a vezető belső energiáját változtatja meg. A h teljesítménysűrűség megadja, hogy mennyi belső energia keletkezik térfogategységben és időegység alatt, ez tehát a belső energia forrássűrűsége. (Nem hő fejlődik, hanem energia! Az energia van, a

hőt pedig közlik.) Integrális alak: A megrajzolt áramcsőre az elektromos teljesítmény.   δP = ∫ hdV = ∫ j ⋅ EdV   V V dI   δP = ∫ e ⋅ E dAds   dI  dA C  j= e  dA   δP = dI ∫ E ⋅ ds C  g g U12 P12 = ∫ δP = U 12 I (a Joule törvény integrális alakja, 1841) A vezetőben az elektromos teljesítményt úgy kapjuk, hogy a vezető be- és kivezetése közötti feszültséget megszorozzuk a benne folyó áram erősségével. P12 = 12 I idegen teljesítmény (csak áramforrásban nem zérus) A teljes áramkörre az elektromos teljesítmény zérus, tehát az áramkörben annyi belső energia fejlődik, amennyivel az áramforrás idegen energiája ez idő alatt csökken.   ∫ j ⋅ EdV az egész áramkörben felvett elektromos teljesítményt adja, ha az integrálást az V egész áramkör térfogatára végezzük.    ⋅ = − j E dV ∫ ∫ j ⋅ ∇U dV   

   ∇ ⋅ ( j U ) = U (∇ ⋅ j ) + j ⋅ (∇U )       j ⋅ dA = 0 ∫V j ⋅ EdV = V∫ (U∇ ) ⋅ j dV − V∫ ∇ ⋅ ( j U )dV = − ∫AU⋅    V V 0   A felület az áramkör felülete, de a felületen j merőleges dA -ra, hiszen A vezető és szigetelő határa. A teljes áramkörre P azért zérus, mert a fogyasztóban pozitív, az áramforrásban pedig negatív. 9. Mágneses alapjelenségek Ampere-erő, a mágneses indukcióvektor Mágneses alapjelenségek: i. Vannak a természetben olyan ércek, amelyek apró vasdarabkákat magukhoz vonzanak. A mágneses test és a vasdarabka között mindig vonzó a kölcsönhatás. PERMANENS mágnesek (tartós mágnesek) Az acél felmágnesezhető. Egy mágnestű két végét pólusnak nevezzük Azt tapasztaljuk, hogy a vasreszelék a pólusokhoz tapad, míg a közepéhez szinte semmi. ii. Egy mágnestű a közepén felfüggesztve beáll É – D irányba, így

elnevezhetjük a pólusokat. Egynemű pólusok között taszító, különnemű pólusok között vonzó erő lép fel. É–É D–D É–D taszító vonzó iii. Lágyvas is felmágnesezhető, azonban a mágnes eltávolításakor elveszti mágneses tulajdonságát. Ezt a jelenséget a megfelelő elektromos jelenséghez hasonlóan polarizációnak nevezzük, de itt mágneses polarizációról beszélünk. iv. Az elektromos influenciának van-e mágneses megfelelője? Tapasztalat, egy mágneses kétpólus két vége egyformán É és D. Egy testben az É vagy a D pólus túlsúlyát tapasztalat szerint semmi módon nem lehet elérni. Mágneses töltés nem ismeretes, a mágnességtankban a legegyszerűbb alakzat a dipólus. (Még az elemi részek világában sem sikerült mágneses monopólust találni.) Mágneses influencia nem létezik! v. Mi a kapcsolat az elektromosság és mágnesség között? Az újkorban eleinte azt tapasztalták, hogy semmi kölcsönhatás nincs, ugyanis

nyugvó töltést vizsgáltak (Oersted és társai). A kapcsolat felfedezése HANS CHRISTIAN OERSTED (1820): Előadás közben véletlen árammal átjárt vezetőt közelített mágneshez. Azt tapasztalta, hogy nyugvó töltés és mágnes között nincs kölcsönhatás, de mozgó töltés hatással van pl. iránytűre Fordítva is igaz, mágneses test hat mozgó töltésre (áramvezetőre) Itt nem test-test kölcsönhatásról van szó, hanem mező – mágneses mező – közvetíti a kölcsönhatást. Az áramvezető is mágneses mezőt hoz létre maga körül Ampère: akkor pedig két áramvezető is kölcsönhatásban van egymással. Ez az elektrodinamikai kölcsönhatás. Az áramok közötti kölcsönhatást mágneses kölcsönhatásnak nevezzük. ANDRÉ MARIE AMPÈRE: A mágneses mező kimérése: Mágneses dipólusra ható forgatónyomatékot is mérhetünk, utána ezt a mágneses dipólusra jellemző mennyiséggel el kellene osztani. Permanens mágnes kevésbé alkalmas erre,

mint az áramvezető, mert a permanens mágnes mágnesezettsége körülményesen változtatható, másrészt mágneses térben átmágneseződik. Áramelemre (az áramkör kis darabkájára) ható erőt fogunk mérni, I ugyanis könnyen szabályozható, pontosan mérhető. A mágneses mezőre jellemző (pontról pontra jellemző) vektort a mezőben lévő áramelemre ható erő mérése útján vezetjük be. U alakú mozgatható vezető fémesen érintkezik a hornyos kiképzésű rögzített tartóban   e ⋅e =1 Ha a P pontban akarjuk mérni a mezőt, akkor P ∈ ds kell, hogy legyen. Az áramelemre ható erő függ: 1.) a mérőeszköz adataitól: I,  ds 2.) a mágneses mezőtől Mágneses mező: olyan mező, melyet mozgó töltések keltenek és amely csak mozgó töltésekre fejt ki erőt. Indukció vektor Tapasztalat:    1.) ds -sel║ erőt nem fejt ki a mező: dF ⊥ ds 2.) a P ponton átmenő egyenesek közt van egy, amellyel ║ állásban az

áramelemre semmilyen erővel nem hat a mező: (egyensúlyi helyzet)  3.) az erő merőleges a kitüntetett egyenesre is, ha ds nem párhuzamos a kitüntetett  egyenessel dF ⊥ b; 4.) dF ~ I (növelve az áramerősséget, vele arányosan nő az erő); 5.) dF ~ ds; (növelve ds – nő az erő) 6.) dF ~ sin α (növelve α (0-90°) – nő az erő Mindebből arra lehet következtetni, hogy df már nem függ a mérőeszköz adataitól, I ⋅ ds ⋅ sin α kizárólag a mezőre jellemző (P-ben). ()  Ezt a hányadost fogjuk a mágneses mező leíró vektora, a mágneses indukcióvektor B abszolút értékének választani. B= dF I ds sin α Jelölés: ∩ a rajz síkjába be ⊥ υ a rajz síkjából ki ⊥    A mágneses indukcióvektor iránya a kitüntetett (b) egyenessel ║ és a dF , ds , B vektorok a mondott sorrendben jobbhármast alkotnak.    dF = I ds × B Az Ampère-erő képlete  B -t mágneses térerősségvektornak kellene

nevezni, de a hagyományok miatt nem változtatják meg a nevét. A mágneses erőt torziós erőmérőkkel (rugalmas ellenerő) ragyogóan lehet mérni. Hosszabb vezetőre magától értetődik:  F=I ∫   ds × B Ampère-erő képlete Az integrációt a vonalas vezető vizsgált szakaszára kell elvégezni.    I ⋅ ds = j ⋅ dA ⋅ ds ⋅ e = j ⋅ dV     dF j ⋅ dV × B   erősűrűség: γ = = = j ⋅B dV dV Ampère-féle erősűrűség 10. Lorentz-erő A mágneses Gauss-törvény Mozgó ponttöltésre ható erő: Lorentz-erő   j = − e ⋅ ne ⋅ v e    γ = −e ⋅ ne ⋅ ve × B az n e számú vezetési elektronra ható erő Q   γ    Fe = = − e ⋅ ve × B ne e Egy elektronra ható erő:   Tehát a B indukciójú mágneses mezőben v sebességgel mozgó Q töltésű pontra:    F = Q v × B erő hat. Lorentz erő HENDRIK ANTOON LORENTZ (holland) első elektron elmélet (1800)

Ismétlés elektrosztatika Az elektromos fluxus (nyílt felületre):   Ψ A = ∫ D ⋅ dA A  O  Ψ = ∫ D ⋅ dA = Qv (zárt felületre): (GAUSS) O A Definíció: A mágneses indukcióvonalak olyan irányított görbék, melyek érintő egységvektora azonos irányú az érintési pontban a mágneses indukcióvektorral. Megállapodás szerint a mágneses indukcióvonalakat olyan sűrűn vesszük fel, hogy a rájuk merőlegesen emelt egységnyi felületen annyi indukcióvonal menjen át, amennyi ott az indukció mérőszáma.   Φ A = ∫ B ⋅ dA mágneses fluxus a A mágneses fluxus mérőszáma megadja a szóban forgó felületet átdöfő, mágneses indukcióvonalak előjeles számát. Az elektrosztatikában voltak töltések (monopólusok). Az elektromos fluxus zárt felületre egyenlő volt a felületben foglalt töltéssel. Mivel mágneses töltések nincsenek, a zárt felületre számított mágneses fluxus mindig eltűnik. O Φ =0

vagy   ∫ B ⋅ dA = 0 Ez a mágneses Gauss-törvény integrális alakja. A mágneses indukcióvonalaknak nincsen kezdetük és nincsen végük. Gauss matematikai tétele alapján   B ∫ ⋅ dA = 0 O A  ∇⋅B = 0   ∇ ⋅ B ∫ dV = 0 V mivel tetszőleges V-re igaz A mágneses indukció forrásmentes mezőt alkot.  De ∇ ⋅ D = ρ volt. Határfeltételek: Dn 2 − Dn1 = σ volt nincs mágneses töltés, így Bn 2 − Bn1 = 0 11. Forgatónyomaték homogén mágneses mezőben nyugvó sík áramhurokra. Mágneses dipólusnyomaték z ⊾ a hurok síkjára  Állapodjunk meg abban, hogy B a (z, y) síkban van (az y tengely így választjuk).       dN = r xdF = I ⋅ r x( dr xB ) zárt görbére: (       dN = r × dF = I ⋅ r × dr × B     N = I ∫ r × dr × B (C ) ( ) ) Az összes forgatónyomaték a c.     N = I ⋅ ∫ r x ( dr xB ). C Nyílt felület

normálisa adott, ha a peremgörbe irányított. Jobbkéz szabály   A = A ⋅ n (mivel síkfelületről van szó) Matematikai megállapodás! ( (A Stokes-tétel ezt kihasználja!) )    N = I ∫ r × dr × B szorzást kifejtve kapjuk, hogy C ( )         N = I ∫ r ⋅ B ⋅ dr − I  ∫ (r ⋅ dr ) B C C   ezt áthúzhatjuk, mert Mindenki tudja: 1   r2  r ∫ ⋅ dr =  2  = 0 1    dr = dx ⋅ i + dy ⋅ j    r = x⋅i + y⋅ j    B = B y ⋅ j + Bz ⋅ k   r ⋅ B = y ⋅ By    Így: N = IB y ∫ ydx ⋅ i + IB y ∫ ydy j    C  0      Lásd feljebb r ⋅ dr A (   )  Na de: A × B = − Ak × B y ⋅ j + Bz ⋅ k = AB y ⋅ i    Így: N = I ⋅ A × B  (Ez lehetőséget ad B másik mérésére is!) nem V betűformát helyezünk be, hanem áramhúrokat. 

   Ha kicsi az áramhurok, akkor meg tudjuk határozni B -t az áramhurok helyén. N = pxE elektromos dipólus esetén. Ebből kiindulva áramhuroknak mágneses dipólnyomatékot tulajdoníthatunk. ( )    N = I⋅A ×B  m mágneses dipólnyomaték    m = IA [m] = 1 Am 2 Egy mágnestűnek mekkora a dipólnyomatéka? Kísérlet: A kis mágnestűre ható forgatónyomaték ugyanígy írható le:    N = m× B Permanens mágneses dipólus Kis mágnestű    N =m × B   m↑ ↑ 1  N = forgatónyomaték  m = mágneses dipólus nyomaték  B = mágneses indukcióvektor  m abszolút értéke attól függ, hogy milyen erősen van a mágnestűcske polarizálva. 12. A mágneses polarizáció Mágnesezettség, mágneses térerősség Szuszceptibilitás, permeabilitás. Dia-, para- és ferromágnesség A mágnesezettség magyarázata Az atom alkotórészei közül a nukleonoknak (proton, neutron) sokkal kisebb a

mágneses dipólusnyomatékuk, mint az elektronnak, ezért az atom összes mágneses dipólusnyomatéka gyakorlatilag az elektronok dipólusnyomatékainak összege. Az elektron dipólnyomatéka: mozgásból származó saját dipólnyomaték Polarizált mágneses anyagban az atomi dipólnyomaték többé-kevésbé rendezettek. Emlék: A minta alapján:   ∆0 P = lim ∇V 0 ∆V   ∆m M (P ) = lim ∇V 0 ∆V Elektromos polarizáció vektor mágnesezettség P∈∇V  ∆m : a ∆V térfogatban foglalt mágneses dipólnyomatékok vektor összege ∆V : az atomi méretekhez képest igen nagy A mágnesezettség vektorának abszolút értéke mérőszám tekintetében megadja a térfogategységre jutó dipólusnyomatékot. A mágnesezettség vektora függ attól, hogy mekkora a polarizáló mező indukciója.   Első közelítés: M ∼ B (M arányos a B indukcióval)  B  M = xҗ µo Ilyen alakban felírva x җ már dimenziótlan mennyiség.

[B ] = [F ] = 1 N = 1 Nm [I ][s ] Am Am 2 =1 I VAs Vs =1 = 1 2 = 1 tesla (T) 2 2 Am Am m (Tesla horváth fizikus nevéről) Am 2 [M ] = 1 3 = 1 A m m Vs [µ o ] = [B ] = Vsm =1 2 [M ] m A Am   Emlék: (elektrosztatika) P = xε o E x dimenzióban Első közelítésben:  x  M = B µo x җ itt is dimenziótlan Ez lineáris közelítés, csak izotrop anyagra alkalmazható, sőt még bizonyos izotrop anyagokra (mint, pl. vas) sem helyes: µ o : a vákuum mágneses PERMEABILITÁSA [µ ] = [B] = 1 Vs / m [M ] 1 A / m 2 O   =1 Vs Am   Célszerű volt D = ε o E + P -vel D -t bevezetni    B Most pont ilyen okból vezetjük be a mágneses térerősséget, a H = −M µo lineáris kombinációt, mert erre egyszerű alakú alaptörvényt lehet megállapítani. Látjuk, hogy [H ] = [M ] = 1 A m A lineáris közelítéssel egyesítve Átrendezve: µ = 1 1− x  B= 1 1− x     B B H= −M = −x µo µo  B µo =

(1 − x )  B µo  µo H dimenziótlan faktor, relatív mágneses permeabilitás µ = µ µ o abszolút mágneses permeabilitás   B=µ H Ez bizonyos esetekben használhatatlan. Be lehet vezetni a mágneses szuszceptibilitás fogalmát. χ = µ −1 = 1−1+ x 1− x mágneses szuszceptibilitás Az OPP’ síkot beforgatjuk: = x 1− x módosított szuszceptibilitás  I dH = 4π I dH = 4π   ds xr r3 A mágneses térerősségnek csak x irányú komponense lesz, mert az xrds Iadϕ = r3 4πr 2 re merőleges komponensek páronként kiejtik egymást. Hasonlóság az OPP’ ∆ és a vektor- ∆ között dH x a = dH r a Ia dϕ Ia 2 dH x = = dϕ r 4πr 2 4πr 3 Ia 2 Ia 2 Hx = = 3/ 2 3 / 2⋅ dϕ 2(x 2 + a 2 ) 4π (x 2 + a 2 ) ∫π 2 H x (0 ) = Éppen a középpontban a „legerősebb” H I 2a Hy = 0 Hz = 0 H.f: ábrázolni H x (x)-et x függvényében Ugyanolkyan módon változik H x x mentén, mint a  p dipól tere a tengely

mentén. Mindenki emlékszik rá:    B H= −M  (ez volt H definíciója). µo  B : divergenciamentes volt!  H : örvényei az áramok.   Milyen kapcsolat van B és M között?  x  M = B µo (lineáris izotrop közelítés)   B = µ µ o H anyagonként változik Mágneses szuszceptibilitás: χ = µ −1 = x 1− x Az anyagok mágneses tulajdonságai Bizmutgolyót függesztünk fel, a fonal nem függőlegesen áll, hanem „távolodik” a mágnestől. Magyarázat: a golyó polarizálódik. Ugyanilyen a Cu, Ag, Au, ezek hétköznapi értelemben nem mágneses anyagok, de gyengén polarizálhatók. x җ -nak negatívnak kell lennie!   ezek a diamágneses anyagok M szembe mutat B -vel. x җ ≈ −10 −0  − 10 −5 χ ≅ xҗ µ = 0,9999    Az ilyen anyagok atomjai a B = 0 esetben nem rendelkeznek m -mel, ha azonban külső mágneses mezőbe helyezzük, akkor az egyes atomoknak kialakul mágneses

dipólnyomatéka,  de ennek iránya B -vel pont ellentétes. (Hasonlatosság az indukált elektromos polarizációval itt viszont a Lenz-szabály miatt   igyekszik gátolni B -t a kialakuló m .) ( χ a hőmérséklettől független) Ugyanez A1-golyóval:   B ⇈ M ez nem lehet pusztán indukált polarizáció.   Az ilyen anyagokban eleve van m dipólnyomaték az atomoknak, ill. molekuláknak, csak B híján rendezetlen az irányuk. Külső tér hatására ezek a rendezetlen atomi dipólnyomatékok a külső tér irányába rendeződnek. Ilyenek a Pt, W, FeCl 2 stb Ezek a paramágneses anyagok A jelenség hasonlít az elektromos rendeződési polarizációra. xҗ ≈ +10 −5  + 10 −4 χ Függnek a hőmérséklettől. µ = 1,000 Fe, Co, Ni: ferromágneses anyagok. Ezt hiszterézisgörbének nevezik. 13. Az Ampère-féle gerjesztési törvény Peremfeltételek a mágneses mezőben   E ∫ ⋅ ds = U AB AB   K AB = ∫ H ⋅ ds

mintájára vezethetjük be a mágneses feszültség és a mágneses körfeszültség fogalmát: AB o  K = ∫ H ⋅ ds A mágneses körfeszültség a mágneses térerősség egy irányított zárt görbére vett integrálja. A számtanból tudjuk, hogy nyílt felületnek van pereme, ami egy zárt görbe, és ha a felületnek adott a normálisa, akkor a zárt görbe irányítását a „jobbkézszabály” szerint állapíthatjuk meg. A peremgörbe körüljárási irányát és a felület normálisának irányát a „jobbcsavarszabály” kapcsolja össze. Példa:   Vákuumban vagyunk; M = O A tapasztalat azt mutatja, hogy ha az áramerősség n-szeresére nő, akkor a mágneses körfeszültség is n-szeresére nő. ∂ 1 ∂ = ∂x r ∂x [(x − x ) 2 + ( y − y ) + (z − z ) 2 1 (x − x ) r3     r = ( x − x ) i + ( y − y ) j + (z − z )k  r=r  1 r Végül: ∇ =− 3 r r  µI ds xr B= 4π ∫ r 3    I ds xr H= 4π

∫ r 3 ] 2 −1 / 2 = [ 1 (x − x )2 + ( y − y )2 + (z − z )2 2 ] − 3 2 2( x − x ) = − Ezt a törvényt már 1821-ben ismerték J.-B BIOT, F SAVART: két bácsi volt, mindkettő francia Árammal átjárt körvezető esetén, pl. már csak ez használható, gerjesztési törvény közvetlenül nem Kör alakú vezető B) 3. A mozgási indukció, Neumann és Faraday törvénye 4. A váltakozó áramú generátor és a lineáris motor modellje 5. A nyugalmi indukció, Faraday törvénye Kölcsönös és önindukció Lineáris áramkörök kölcsönös indukciós együtthatói 6. Az általánosított hurokegyenletek Lineáris áramkör mágneses energiája 7. Soros áramkör gerjesztett elektromágneses rezgései, komplex leírás Effektív értékek, átlagteljesítmény 8. Az Ampere-Maxwell-féle gerjesztési törvény A vezetési és az eloltási áramsűrűség aránya a jó vezetőben 9. Az elektromágneses mező energiamérlege 10. Távíróegyenlet A

hullám fogalma, fázisfelület Síkhullám Az elektromágneses síkhullám fázissebessége szigetelőben. Monokromatikus hullám 11. Visszaverődés és törés Diszperzió 12. Az elektromágneses hullám transzverzalitása Összefüggés az elektromos és mágneses amplitúdó között. 13. Energiaterjedés, intenzitás Interferencia