Physics | Flexibility » Dr. Kossa Attila - Síkbeli rugalmasságtani feladat megoldása végeselemes módszerrel

Példa: Síkbeli rugalmasságtani feladat megoldása végeselemes módszerrel Készítette: Dr. Kossa Attila (kossa@mmbmehu) BME Műszaki Mechanikai Tanszék 2013. november 17 Javítva: - Határozzuk meg az ábrán vázolt sík lemez deformált alakját és a lemezben ébredő feszültségeket végeselemes módszer alkalmazásával. A lemezt 2db 4 csomópontos lineáris izoparametrikus elemre osszuk fel Az elemek merevségi mátrixainak számításakor 2×2-es Gauss-féle kvadratúrát alkalmazzunk. A lemez anyagának rugalmassági modulusza E, Poisson-tényezője ν, a lemez vastagsága t. A lemez a z-irányban terheletlen és szabadon deformálódhat. 1. ábra A lemez geometriája, kényszerezése és terhelése Ennél a feladatnál – ahol várhatóan eléggé inhomogén a feszültségeloszlás – a megoldások keresése csupán két elem alkalmazásával pontatlan eredményt fog szolgáltatni. A kidolgozott feladatban a hangsúly a számítás menetének megértésén van, nem

pedig a minél pontosabb megoldás előállításán. A feladat célja ismertetni a megoldási algoritmus főbb lépéseit. A számítási eljárás részleteinek ismeretében a többelemes megoldás keresése már nem igényel további lépéseket, csupán a megoldandó egyenletek és az ismeretlenek száma lesz nagyobb!  1
ELMÉLETI ÖSSZEFOGLALÓ A globális és lokális koordinátarendszerek értelmezését szemlélteti az alábbi ábra. 2. ábra Négy csomópontos lineáris izoparaméteres sík elem lokális csomópontjainak számozása és koordinátái A globális és lokális koordináták közötti leképzések: x= 4 X i=1 Ni · xi , y= 4 X i=1 (1) Ni · yi , ahol a formafüggvények alakjai: 1 1 (1 − ξ) (1 − η) , N2 = (1 + ξ) (1 − η) , (2) 4 4 1 1 (1 + ξ) (1 + η) , N4 = (1 − ξ) (1 + η) . (3) N3 = 4 4 Izoparametrikus elemtípus esetén az elmozdulásmező interpolációjára is ugyanezen formafüggvényeket használjuk:   4 4 X X u (ξ, η)

u (ξ, η) = , u= Ni · ui , v= Ni · vi , (4) v (ξ, η) N1 = i=1 u = NU , i=1 (5) ahol az N transzformációs mátrix és az elem csomópontjainak elmozdulásait tartalmazó U vektor alakja:   u1  v1     u2       v2  N1 0 N2 0 N3 0 N4 0  N= , U = (6)  u3  . 0 N1 0 N2 0 N3 0 N4    v3     u4  v4  2
A formafüggvények globális deriváltjainak felírása:      ∂Ni /∂x ∂ξ/∂x ∂η/∂x ∂Ni /∂ξ = , ∂Ni /∂y ∂ξ/∂y ∂η/∂y ∂Ni /∂η | {z } (7) i = 1, 2, 3, 4. J −1 A J mátrix alakja:   ∂x/∂ξ ∂y/∂ξ J= , ∂x/∂η ∂y/∂η (8) melynek elemei az alábbiak szerint számíthatóak: ! 4 4 X ∂x ∂Ni ∂ X = Ni · xi = · xi , ∂ξ ∂ξ i=1 ∂ξ i=1 ! 4 4 X ∂Ni ∂x ∂ X = Ni · xi = · xi , ∂η ∂η i=1 ∂η i=1 ∂y ∂ = ∂ξ ∂ξ ∂y ∂ = ∂η ∂η 4 X Ni · yi i=1 4 X i=1 ! = ! = Ni · yi 4 X ∂Ni i=1 4 X ∂ξ · yi ,

(9) ∂Ni · yi . (10) ∂η i=1 A formafüggvények lokális koordináták szerinti deriváltjai egyszerűen számíthatóak: ∂N1 (η − 1) = , ∂ξ 4 ∂N1 (ξ − 1) = , ∂η 4 ∂N2 (1 − η) = , ∂ξ 4 ∂N2 (−ξ − 1) = , ∂η 4 ∂N3 (1 + η) = , ∂ξ 4 ∂N3 (1 + ξ) = , ∂η 4 ∂N4 (−η − 1) = , (11) ∂ξ 4 ∂N4 (1 − ξ) = . (12) ∂η 4 J mátrix determinánsának felírása: ∂x ∂y ∂y ∂x − , ∂ξ ∂η ∂ξ ∂η ! ! 4 4 X X ∂Ni ∂Ni · xi · yi − detJ = ∂ξ ∂η i=1 i=1 detJ = Az alakváltozásokat tartalmazó vektor megadása:   εx ε =  εy  , ε = BU , γxy (13) 4 X ∂Ni i=1 ∂ξ · yi ! 4 X ∂Ni i=1 ∂η · xi ! . (15) ahol a formafüggvények globális deriváltjait tartalmazó B mátrix az alábbi alakú:  ∂N1  2 3 4 0 ∂N 0 ∂N 0 ∂N 0 ∂x ∂x ∂x ∂x ∂N1 2 3 4  0 ∂N 0 ∂N 0 ∂N B= 0 . ∂y ∂y ∂y ∂y ∂N1 ∂y ∂N1 ∂x ∂N2 ∂y ∂N2 ∂x ∂N3 ∂y

∂N3 ∂x A feszültségek számítása:   σx σ =  σy  , σ = Dε = DBU , τxy ∂N4 ∂y (14) (16) ∂N4 ∂x (17)  3
ahol D mátrix tartalmazza az anyagjellemzőket. D alakja sík-feszültségi, illetve sík-alakváltozási esetekben:   1 ν 0 E  ν 1 0 , sík-feszültségi állapot: D= (18) 1 − ν2 0 0 1−ν 2  1−ν ν 0 E  ν sík-alakváltozási állapot: D= 1−ν 0 . (19) (1 + ν) (1 − 2ν) 1−2ν 0 0 2 A rugalmas alakváltozási energia felírása: Z Z 1 1 T σ εdV = εT D T εdV U = 2 2 V V   Z 1 T = U B T DBdV  U = 2 1 = 2 Z 1 ε DεdV = 2 T V Z U T B T DBU dV (20) V 1 T U KU , 2 (21) V ahol az elem merevségi mátrixa: K= Z T B DBdV = V Z B T DBtdA, K= R1 R1 B T DB· (detJ ) · tdξdη . (22) −1−1 A Az integrálás közelítése Gauss-kvadratúrával: K= Z1 Z1 F (ξ, η) = B T DB· (detJ ) · t. ahol F (ξ, η) dξdη, (23) −1 −1 K= Z1 Z1 −1 −1 F (ξ,

η) dξdη ≈ m X m X wi wj F (ξi , ηi ) , i=1 j=1 K≈ m P m P wi wj F (ξi , ηi ) , (24) i=1j=1 ahol m az alkalmazott Gauss-pontok száma, wi és wj az integrálási súlyok, ξi és ηi pedig a Gauss-pontok koordinátái. Egy, kettő, illetve három Gauss-pont alkalmazása esetén a Gausskoordinátákat és az integrálási súlyok értékeit az alábbi táblázat foglalja össze Gauss-pontok száma 1 2 3 Gauss-pontok koordinátái ξ1 = 0 √ ξ1 = −1/ √ 3 ξ2 = 1/p 3 ξ1 = − 3/5 ξ2 = 0p ξ3 = 3/5 Integrálási súlyok w1 = 2 w1 = 1 w2 = 1 w1 = 5/9 w2 = 8/9 w3 = 5/9  4
Egy Gauss-pont alkalmazása esetén: Ke ≈ 1 X 1 X i=1 j=1 wi wj F (ξi , ηi ) = 2 · 2 · F (0, 0) . (25) Kettő Gauss-pont alkalmazása esetén: K e ≈ 2 X 2 X wi wj F (ξi , ηi ) (26) i=1 j=1     −1 −1 1 −1 = 1·1·F √ ,√ +1·1·F √ ,√ 3 3 3 3     1 1 −1 1 +1 · 1 · F √ , √ +1·1·F √ ,√ . 3 3 3 3 (27) (28)  5
MEGOLDÁS A

számítások során a távolságok [mm]-ben értendőek, a feszültségek pedig [MPa]-ban. A vizsgált tartomány két elemre történő felosztásának és számozásának egy lehetséges megoldását mutatja az alábbi ábra1 . 3. ábra Az alkalmazott elemfelosztás (hálózás) Az egyes elemekhez tartozó csomópontokat, a saját lokális csomópontjainak sorrendjében az alábbi táblázat tartalmazza: 1. elem 2. elem lokális 1. csp 1 3 lokális 2. csp 2 5 lokális 3. csp 3 6 lokális 4. csp 4 4 Az elemtranszformációkat az alábbi ábra szemlélteti. 4. ábra Az elemek transzformációnak szemléltetése Az elemek lokális 1, 2, 3, 4 csomópontjainak globális koordinátái: 1 Fontos kihangsúlyozni, hogy a megoldások függnek az elemfelosztástól!  6
1. elem 2. elem lokális 1. csp x1 y1 0 0 100 100 lokális 2. csp x2 y2 100 0 300 100 lokális 3. csp x3 y3 100 100 300 200 lokális x4 0 0 4. csp y4 200 200 A csomópontok koordinátáinak ismeretében

számíthatjuk az egyes elemekhez tartozó J mátrixokat (8)-(12) felhasználásával:     50 −25 (1 + η) 25 (5 + η) 0 (1) (2) J = , J = . (29) 0 −25 (ξ − 3) 25 (ξ − 1) 50 A J mátrixok determinánsai: detJ (1) = 1250 (3 − ξ) , detJ (2) = 1250 (5 + η) . J mátrixok inverzeinek alakja:   −1 (1) 1/50 (1 + η) / (150 − 50ξ) J = , 0 1/ (75 − 25ξ) J −1 (2) =  (30) 1/ (125 + 25η) 0 (1 − ξ) / (250 + 50η) 1/50  . (31) Ezek ismeretében (7) felhasználásával felírható a formafüggvények globális deriváltjai, melyek szintén elemhez kötött mennyiségek:  (1)  (1) ∂N1 −η − ξ + 2 ∂N1 1−ξ = , = , (32) ∂x 100(ξ − 3) ∂y 100(ξ − 3)  (1)  (1) ∂N2 2η + ξ − 1 ∂N2 ξ+1 = , = , (33) ∂x 100(ξ − 3) ∂y 100(ξ − 3)  (1)  (1) ∂N3 −η − 1 ∂N3 −ξ − 1 = , = , (34) ∂x 50(ξ − 3) ∂y 100(ξ − 3)  (1)  (1) ∂N4 η+1 ∂N4 ξ−1 = , = . (35) ∂x 100(ξ − 3) ∂y 100(ξ − 3) A

2-es elem esetén:  (2) ∂N1 = ∂x  (2) ∂N2 = ∂x  (2) ∂N3 = ∂x  (2) ∂N4 = ∂x η−1 , 100(η + 5) 1−η , 100(η + 5) η+1 , 100(η + 5) −η − 1 , 100(η + 5)     ∂N1 ∂y ∂N2 ∂y ∂N3 ∂y ∂N4 ∂y (2) (2) (2) (2) = 3(ξ − 1) , 100(η + 5) (36) = −η − 3ξ − 2 , 100(η + 5) (37) = η + 2ξ + 3 , 100(η + 5) (38) = 1−ξ . 50(η + 5) (39) A globális deriváltak ismeretében a B mátrixok kitölthetőek (16) alapján:  −η−ξ+2 2η+ξ−1 −η−1 η+1 0 0 0 100(ξ−3) 100(ξ−3) 50(ξ−3) 100(ξ−3)  1−ξ ξ+1 −ξ−1 0 0 0 0 B (1) =  100(ξ−3) 100(ξ−3) 100(ξ−3) 1−ξ 100(ξ−3) −η−ξ+2 100(ξ−3) ξ+1 100(ξ−3) 2η+ξ−1 100(ξ−3) −ξ−1 100(ξ−3) −η−1 50(ξ−3) ξ−1 100(ξ−3) 0 ξ−1 100(ξ−3) η+1 100(ξ−3)    , (40)  7
  B (2) =  η−1 100(η+5) 0 1−η 100(η+5) 0 η+1 100(η+5) 0 −η−1 100(η+5) 0

0 3(ξ−1) 100(η+5) η−1 100(η+5) 0 −η−3ξ−2 100(η+5) 1−η 100(η+5) 0 η+2ξ+3 100(η+5) η+1 100(η+5) 0 1−ξ 50(η+5) −η−1 100(η+5) 3(ξ−1) 100(η+5) −η−3ξ−2 100(η+5) η+2ξ+3 100(η+5) 1−ξ 50(η+5)    . (41) Jelen feladatnál sík-feszültségi állapotot modellezünk, emiatt az anyagjellemzőket tartalmazó D mátrix alakja (18) szerinti. 2×2-es Gauss-kvadratúra alkalmazása esetén az elemek merevségi mátrixait a (28) összefüggés szerint számítjuk (közelítjük). A Gauss-pontok elhelyezkedését az alábbi ábra illusztrálja 5. ábra A Gauss-pontok szemléltetése 2×2-es kvadratúra esetén A Gauss-koordináták behelyettesítése és az összegzés után az alábbi eredményekre jutunk: 798077.  225000.   −421154.  25000.  (1) K =  −578846.   −200000.  201923. −50000.        (2) K =     574324. 210811. −49324.3 −60810.8

−308784. −184459. −216216. 34459.5 225000. 448077. 50000. −46153.8 −200000. −303846. −75000. −98076.9 −421154. 50000. 517308. −75000. −17307.7 −100000. −78846.2 125000. 210811. 1.26824 × 106 −35810.8 231757. −184459. −712838. 9459.46 −787162. 25000. −46153.8 −75000. 417308. −75000. −242308. 125000. −128846. −49324.3 −35810.8 399324. −114189. −216216. 9459.46 −133784. 140541. −578846. −200000. −17307.7 −75000. 1.01731 × 106 250000. −421154. 25000. −60810.8 231757. −114189. 768243. 34459.5 −787162. 140541. −212838. −308784. −184459. −216216. 34459.5 485811. 202027. 39189.2 −52027. −200000. −303846. −100000. −242308. 250000. 592308. 50000. −46153.8 201923. −75000. −78846.2 125000. −421154. 50000. 298077. −100000. −184459. −712838. 9459.46 −787162. 202027. 1.08311 × 106 −27027. 416892. −50000. −98076.9 125000. −128846. 25000. −46153.8 −100000. 273077.

−216216. 9459.46 −133784. 140541. 39189.2 −27027. 310811. −122973.       ,     34459.5 −787162. 140541. −212838. −52027. 416892. −122973. 583108. (42)       .     (43) Az elemekhez tartozó merevségi mátrixok ismeretében összeállítható a globális merevségi mátrix. Az elemek merevségi mátrixaiban a sorok és oszlopok az elem lokális sorszámozásának megfelelő sorrendben következnek és nem a globális számozás sorrendjében. Emiatt az összeállításnál ügyelnünk kell arra, hogy a megfelelő elemek a megfelelő helyekre kerüljenek Az összeállítás folyamatát szemlélteti az alábbi ábra.  8
6. ábra A globális merevségi mátrix összeállítása A globális merevségi mátrix szerkezete2 : 798077.  225000.  −421154.   25000.    −578846.   −200000.   201923.   −50000.   0  0   0 0  K =

201923. −75000. −78846.2 125000. −637370. 59459.5 608888. −222973. −133784. 140541. 39189.2 −27027. 2 225000. 448077. 50000. −46153.8 −200000. −303846. −75000. −98076.9 0 0 0 0 −50000. −98076.9 125000. −128846. 59459.5 −833316. −222973. 856185. 140541. −212838. −52027. 416892. −421154. 50000. 517308. −75000. −17307.7 −100000. −78846.2 125000. 0 0 0 0 0 0 0 0 −49324.3 −35810.8 −133784. 140541. 399324. −114189. −216216. 9459.46 25000. −46153.8 −75000. 417308. −75000. −242308. 125000. −128846. 0 0 0 0 0 0 0 0 −60810.8 231757. 140541. −212838. −114189. 768243. 34459.5 −787162. −578846. −200000. −17307.7 −75000. 1.59163 × 106 460811. −637370. 59459.5 −49324.3 −60810.8 −308784. −184459. 0 0 0 0 −308784. −184459. 39189.2 −52027. −216216. 34459.5 485811. 202027. −200000. −303846. −100000. −242308. 460811. 1.86055 × 106 59459.5 −833316. −35810.8 231757. −184459. −712838.

 0 0   0   0   −184459.   −712838.  . −27027.   416892.   9459.46   −787162.   202027. 6 1.08311 × 10 (44) A 6-12. oszlopok sortöréssel szerepelnek, hogy kiférjen a mátrix  9
A felső élen a megoszló erőrendszerből származó erő a 4-es és 6-os csomópontokon adódik át. A felső lap területe (3a) · t, emiatt az átadódó erő értéke p · (3a) · t/2 A globális tehervektor alakja:     0 0     F1y F1y         0 0         F2y F2y         0 0         0 0 , = F = (45)     0 0      −p · (3a) · t/2   −187500          F5x F5x         0 0         F6x F6x −p · (3a) · t/2 −187500 amely tartalmazza a kényszerek helyén fellépő reakcióerőket. A

kondenzált merevségi egyenletet megkapjuk, ha a globális merevségi egyenletből törüljük a kényszereknek megfelelő sorokat és oszlopokat. Mivel jelen feladatnál az 1-es és 2-es csomópont y-irányú mozgása, valamint az 5-ös és 6-os csomópont x-irányú mozgása kötött, emiatt a 2,4,9,11 sorokat és oszlopokat kell törölnünk. A kondenzált merevségi egyenletre az alábbi alakot kapjuk: 798077.  −421154.   −578846.   −200000.   201923.   −50000.  0 0  −421154. 517308. −17307.7 −100000. −78846.2 125000. 0 0 −578846. −17307.7 1.59163 × 106 460811. −637370. 59459.5 −60810.8 −184459. −200000. −100000. 460811. 1.86055 × 106 59459.5 −833316. 231757. −712838. 201923. −78846.2 −637370. 59459.5 608888. −222973. 140541. −27027. A kondenzált merevségi egyenlet megoldása:     u1 −1.13361  u2   −1.00521       u3   −0.486426     

 v3   −0.789633    =  u4   0.140538  ,      v4   −0.26977       v5   −2.29302  −2.33478 v6 −50000. 125000. 59459.5 −833316. −222973. 856185. −212838. 416892. 0 0 −60810.8 231757. 140541. −212838. 768243. −787162. 0 0 −184459. −712838. −27027. 416892. −787162. 1.08311 × 106            u1 u2 u3 v3 u4 v4 v5 v6   0    0       0    0    =  . (46) 0      −187500        0  −187500 (47)   10  melynek ismeretében a    u1  v1       u2       v2       u3       v3     U =  u4  =      v4       u5       v5       u6   v6

globális elmozdulásvektor alakja:  −1.13361  0  −1.00521    0  −0.486426   −0.789633  . 0.140538   −0.26977    0  −2.29302    0 −2.33478 (48) U ismeretében ábrázolható a deformált alak, melyet az alábbi ábrán láthatunk, az elmozdulások 50x-es felnagyításával. 7. ábra A deformált alak szemléltetése a csomóponti elmozdulások 50x-es felnagyításával A globális elmozdulásvektor ismeretében az F ismeretlen elemei (a reakcióerők) számíthatóak:   0  47807.254      0    327192.746      0     0 . (49) F = KU =    0    −187 500     235307.254      0    −235307.254  −187 500 Érdeksségképpen számíthatjuk a teljes alakváltozási energiát és a külső erők munkáját: 1 T U = U KU = 244176.944, 2 W = U T F = 488353.888 (50) (51)   11  U ismeretében

számíthatóak a másodlagos mennyiségek. Az egyes elemekhez tartozó elmozdulások:  U (1)      =      u1 v1 u2 v2 u3 v3 u4 v4             =           −1.13361 0 −1.00521 0 −0.486426 −0.789633 0.140538 −0.26977       ,       U (2)      =      u3 v3 u5 v5 u6 v6 u4 v4             =           −0.486426 −0.789633 0 −2.29302 0 −2.33478 0.140538 −0.26977             (52) Az elemeken belüli elmozdulásmező (5) felhasználásával:  (1)    u −0.18884ηξ + 0448233η − 0124641ξ − 0621177 (1) (1) u = = NU = , (53) −0.129966ηξ − 0264851η − 0129966ξ − 0264851 v (1) u (2) =  u(2) v (2)  = NU (2) =  −0.156741ηξ + 0156741η +

0086472ξ − 0086472 −0.140406ηξ + 0119525η − 0892101ξ − 14218 Ezen megoldásokat szemléltetik az alábbi ábrák:  . (54) 8. ábra Az x-irányú elmozdulások szemléltetése az elemek lokális koordinátarendszerében   12  9. ábra Az y-irányú elmozdulások szemléltetése az elemek lokális koordinátarendszerében Az egyes elemekhez tartozó feszültségmegoldások:  (1)    σx 568.712(0831965η + ξ + 0595041) 1    1116.76(0127103η + ξ + 181743)  , σ (1) =  σy(1)  = DB (1) U (1) = ξ−3 (1) 528.752(17336η + ξ − 064001) τxy σ (2)     (2) σx −1278.98(η − 0178334ξ − 0264591) 1    −459.7(η − 165388ξ + 211086)  =  σy(2)  = DB (2) U (2) = η+5 (2) −393.136(η + 309879ξ + 325494) τxy (55) (56) Ezen megoldásokat szemléltetik az alábbi ábrák: 10. ábra Az σx feszültségek szemléltetése az elemek lokális koordinátarendszerében   13  11.

ábra Az σy feszültségek szemléltetése az elemek lokális koordinátarendszerében 12. ábra Az τxy feszültségek szemléltetése az elemek lokális koordinátarendszerében Érdekességképpen nézzük meg a HMH-féle egyenértékű feszültségre kapott megoldásokat is. Sík-feszültségi állapot (σz = τxz = τyz = 0) esetén a HMH-féle egyenértékű feszültség képlete legyszerűsödik az alábbi alakra: q HM H 2 . σegy = σx2 + σy2 − σx σy + 3τxy (57) Az egyes elemek esetén a behlyettesítések után az alábbi megoldásokat kapjuk: HM H(1) σegy HM H(2) σegy = s 2.69758 × 106 η 2 + η(315416 × 106 ξ − 197313 × 106 ) + 177421 × 106 ξ2 + 231236 × 106 ξ + 389066 × 106 = s 1.72284 × 106 η 2 + η(266842 × 106 ξ + 195943 × 106 ) + 490902 × 106 ξ2 + 799637 × 106 ξ + 629691 × 106 (ξ − 3)2 (η + 5)2 , (58) . (59)   14  Ábrázolásuk az elemek lokális koordinátarendszerében: 13. ábra A HMH-féle egyenértékű

feszültségek szemléltetése az elemek lokális koordinátarendszerében Ha a globális rendszerben szeretnénk kirajzoltatni a megoldásokat akkor szükséges az inverz transzformáció számítása. A globális és lokális koordináták közötti transzformációkat az (1) felhasználásával kapjuk: x(1) y (1) x(2) y (2) = = = = (60) (61) (62) (63) 50ξ + 50, −25ηξ + 75η − 25ξ + 75, 25ηξ − 25η + 125ξ + 175, 50η + 150. Ezen leképzések inverzei: x − 1, 50 2y = − − 1, x − 200 2x + y − 500 = , y + 100 = −3 + y/50. ξ (1) = (64) η (1) (65) ξ (2) η (2) (66) (67) Az inverz leképzések ismeretében, a behelyettesítések után, felírhatóak az elemekhez tartozó megoldások a globális (x, y) koordinátarendszerben:  0.0075536xy 127415y  − +0.00128397x − 1.13361 (1) x−200 x−200 u = , (68) 0.00519862xy + 0.26977y +0. x−200 x−200 u (2) = " 2 + 1.11339x − 0.00313482y + 2.1241y +0.00313482y − 278347 −0.556694 −

0.00626963xy y+100 y+100 y+100 y+100 y+100 0.00561623xy 0.00280812y 2 0.933175y 0.941767x 235.442 − y+100 − y+100 − y+100 + y+100 +0.00239051y + y+100 −178038  # ,  15  (69) σ (1)  47314.8y − (x−200.) 2 +  − 14194.4y + =  (x−200.)2 91664.6y − (x−200.) 2 +   σ (2) =   HM H(1) σegy = HM H(2) = − + − 35172.7 x−200. 38546.4 x−200. 89190.3 x−200.   , y(75353.5 −127898y)+228086x+134826×107 + 16920.3 (y+100.)2 y+100. y(60999.4 −4597y)+760287x−121117×107 48518.2 − y+100. (y+100.)2 −121825.x+y(−393136y−412555)+363532×107 − 63981.8 (y+100.)2 y+100. s × σegy 568.712x x−200. 1116.76x x−200. 528.752x x−200. (70)   ,  (71) 1.77421 × 106 x4 − 929197 × 108 x3 + x2 (186717 × 1011 − 315416 × 108 y) (72) (x − 200.)4 s x(1.15695 × 1011 y − 199578 × 1013 ) + y(269758 × 1010 y − 105224 × 1013 ) + 111774 × 1015 (x − 200.)4 s 4.90902 × 1010 x2 +

x(y(266842 × 108 y + 7573 × 1010 ) − 245496 × 1013 ) s y(y(y(1.72284 × 106 y + 591086 × 107 ) − 678554 × 1010 ) − 151614 × 1013 ) + 346735 × 1015 (73) , (74) (y + 100.)4 (y + 100.)4 (75) . A fenti megoldásokat ha kirajzoltatjuk az elemek által definiált tartományokon akkor az alábbi eloszlásokat kapjuk: 14. ábra Az x-irányú elmozdulások szemléltetése a globális koordinátarendszerben   16  15. ábra Az y-irányú elmozdulások szemléltetése a globális koordinátarendszerben 16. ábra A σx feszültségek szemléltetése a globális koordinátarendszerben 17. ábra A σy feszültségek szemléltetése a globális koordinátarendszerben   17  18. ábra A τxy feszültségek szemléltetése a globális koordinátarendszerben 19. ábra A HMH-féle egyenértékű feszültség szemléltetése a globális koordinátarendszerben Vegyük észre a megoldásokon az alábbi tulajdonságokat: • A két elem találkozásának

mentén az elmozdulásra kapott megoldások azonosak. Ezt az interpolációs függvény jellege biztosítja. • A két elem találkozásának mentén a feszültségmegoldások nem azonosak. Mivel az interpolációs függvények (formafüggvények) az elemhatárokon lineáris interpolációt szolgáltatnak, emiatt az elmozdulásmező deriváltjai (melyekből az alakváltozásokat számoljuk majd aztán az alakváltozásokból a feszültségeket) az elemhatárokon nem folytonosak. Természetesen az elemméret sűrítésével fokozatosan közelednek egymáshoz a megoldások. A feszültségmegoldások általában a Gauss-pontok helyén a legpontosabbak, emiatt a végeselemes szoftverek sok esetben a Gauss-pontok helyén lévő feszültségmegoldásokból extrapolálják/interpolálják az elemek menti feszültségmegoldásokat amikor csomóponti feszültségmegoldásokat próbálunk kilistáztatni. A feladat megoldásához használt Wolfram Mathematica kódot az a következő oldalak

tartalmazzák.   18  MF@x D := MatrixForm@xD; a = 100; t = 5; p = 250; ALLAPOT = "SF"; RUG = 182 000; Ν = 0.3; TOPO = K 0 0 a 0 a a ; 0 2a 3a a 3a 2a 1 2 3 4 O; CORD = 3 5 6 4 PL0 = Graphics@8EdgeForm@DashedD, Yellow, Polygon@Table@Table@ 8CORD@@TOPO@@e, iDD, 1DD, CORD@@TOPO@@e, iDD, 2DD<, 8i, 1, 4<D, 8e, 1, 2<DD<D H1 - ΞL H1 + ΗL; 4 4 4 4 SHAPE = 8N1, N2, N3, N4<; dxΞ = FullSimplify@ Table@Sum@D@SHAPE@@iDD, ΞD * CORD@@TOPO@@e, iDD, 1DD, 8i, 1, 4<D, 8e, 1, 2<DD; dxΗ = FullSimplify@Table@Sum@D@SHAPE@@iDD, ΗD * CORD@@TOPO@@e, iDD, 1DD, 8i, 1, 4<D, 8e, 1, 2<DD; dyΞ = FullSimplify@Table@Sum@D@SHAPE@@iDD, ΞD * CORD@@TOPO@@e, iDD, 2DD, 8i, 1, 4<D, 8e, 1, 2<DD; dyΗ = FullSimplify@Table@Sum@D@SHAPE@@iDD, ΗD * CORD@@TOPO@@e, iDD, 2DD, 8i, 1, 4<D, 8e, 1, 2<DD; J = Table@88dxΞ@@eDD, dyΞ@@eDD<, 8dxΗ@@eDD, dyΗ@@eDD<<, 8e, 1, 2<D; 1 N1 = H1 - ΞL H1 - ΗL; N2 = 1 H1 + ΞL H1 - ΗL; N3 = 1 H1 + ΞL H1 +

ΗL; N4 = 1 MF@dxΞD MF@dxΗD MF@dyΞD MF@dyΗD MF@J@@1DDD MF@J@@2DDD DETJ = FullSimplify@Table@Det@J@@eDDD, 8e, 1, 2<DD JI = FullSimplify@Table@Inverse@J@@eDDD, 8e, 1, 2<DD; LD = Transpose@Table@8D@SHAPE@@iDD, ΞD, D@SHAPE@@iDD, ΗD<, 8i, 1, 4<DD; MF@DETJD MF@JI@@1DDD MF@JI@@2DDD MF@LDD GD = Table@FullSimplify@JI@@eDD.LDD, 8e, 1, 2<D; GD@@e, 1, 1DD 0 GD@@e, 1, 2DD 0 GD@@e, 1, 3DD 0 GD@@e, 2, 1DD 0 GD@@e, 2, 2DD 0 GD@ B = TableB GD@@e, 2, 1DD GD@@e, 1, 1DD GD@@e, 2, 2DD GD@@e, 1, 2DD GD@@e, 2, 3DD GD@ MF@GD@@1DDD MF@GD@@2DDD MF@B@@1DDD MF@B@@2DDD 2 peldasikelem.nb RUG DSA = H1 + ΝL H1 - 2 ΝL 1-Ν Ν 0 RUG Ν 1-Ν 0 ; DSF = 1-Ν*Ν 0 0 H1 - 2 ΝL  2 DD = Which@ALLAPOT == "SA", DSA, ALLAPOT == "SF", DSFD; 1 Ν 0 Ν 1 0 ; 0 0 H1 - ΝL  2 MF@DDD BTDB = Simplify@Table@Transpose@B@@eDDD.DDB@@eDD, 8e, 1, 2<DD; GC = :- 1. ’ 3. , 1 ’ 3. >; KE = Table@Sum@HBTDB@@eDD * t DETJ@@eDDL . 8Ξ ® HGC@@iDDL, Η ® HGC@@jDDL<, 8i,

1, 2<, 8j, 1, 2<D, 8e, 1, 2<D; MF@KE@@1DDD MF@KE@@2DDD DOF = Table@Flatten@Table@82 * TOPO@@e, iDD - 1, 2 TOPO@@e, iDD<, 8i, 1, 4<DD, 8e, 1, 2<D KGLOB = Table@0, 8i, 1, 12<, 8j, 1, 12<D; Do@ KGLOB@@DOF@@e, iDD, DOF@@e, jDDDD = KGLOB@@DOF@@e, iDD, DOF@@e, jDDDD + KE@@e, i, jDD; , 8e, 1, 2<, 8i, 1, 8<, 8j, 1, 8<D; MF@KGLOBD FGLOB = Table@0, 8i, 1, 12<D; FN = 3 a * t p  2; LOAD = 88, 12<; FGLOB@@LOADDD = - FN * 81, 1<; BCs = 82, 4, 9, 11<; aktiv = Complement@Table@i, 8i, 1, 12<D, BCsD; KRED = KGLOB@@aktiv, aktivDD; FRED = FGLOB@@aktivDD; U = Table@0, 8i, 1, 12<D; U@@aktivDD = LinearSolve@KRED, FREDD; MF@UD FORCE = Chop@KGLOB.UD; n = 50; cord = CORD + n * U@@1DD U@@2DD U@@3DD U@@4DD U@@5DD U@@6DD ; U@@7DD U@@8DD U@@9DD U@@10DD U@@11DD U@@12DD PLDEF = Graphics@8Opacity@0.7D, EdgeForm@ThickD, Green, Polygon@Table@Table@8cord@@TOPO@@e, iDD, 1DD, cord@@TOPO@@e, iDD, 2DD<, 8i, 1, 4<D, 8e, 1, 2<DD<D; Show@ 8PL0,

PLDEF<D peldasikelem.nb STRAINENERGY = U.KGLOBU  2 WORK = U.FORCE Ue1 = U@@DOF@@1DDDD; Ue2 = U@@DOF@@2DDDD; N1 0 N2 0 N3 0 N4 0 NN = K O; 0 N1 0 N2 0 N3 0 N4 u1 = Expand@NN.Ue1D; u2 = Expand@NN.Ue2D; Ε1 = FullSimplify@B@@1DD.Ue1D; Ε2 = FullSimplify@B@@2DD.Ue2D; Σ1 = FullSimplify@DD.B@@1DDUe1D; Σ2 = FullSimplify@DD.B@@2DDUe2D; MF@u1D MF@u2D MF@Together@Ε1DD MF@Together@Ε2DD MF@Together@Σ1DD MF@Together@Σ2DD femcolor@ z D := Hue@0.7 H1 - zLD; u1min = Table@NMinimize@8u1@@iDD, - 1 < u2min = Table@NMinimize@8u2@@iDD, - 1 < u1max = Table@NMaximize@8u1@@iDD, - 1 < u2max = Table@NMaximize@8u2@@iDD, - 1 < umax = Max@8u1max@@1DD, u2max@@1DD<D; umin = Min@8u1min@@1DD, u2min@@1DD<D; vmax = Max@8u1max@@2DD, u2max@@2DD<D; vmin = Min@8u1min@@2DD, u2min@@2DD<D; Ξ Ξ Ξ Ξ < < < < 1 && - 1 1 && - 1 1 && - 1 1 && - 1 < < < < Η Η Η Η < < < < 1<, 1<, 1<, 1<, 8Ξ, 8Ξ,

8Ξ, 8Ξ, Η<D@@1DD, Η<D@@1DD, Η<D@@1DD, Η<D@@1DD, 8i, 8i, 8i, 8i, 1, 1, 1, 1, 2<D; 2<D; 2<D; 2<D; ContourPlot@Rescale@u1@@1DD, 8umin, umax<D, 8Ξ, - 1, 1<, 8Η, - 1, 1<, Frame ® False, AxesLabel ® 8"Ξ", "Η"<, ColorFunction ® femcolor, ColorFunctionScaling ® False, Contours ® 10, Axes ® True, LabelStyle ® 8FontSize ® 16, Bold<D ContourPlot@Rescale@u2@@1DD, 8umin, umax<D, 8Ξ, - 1, 1<, 8Η, - 1, 1<, Frame ® False, AxesLabel ® 8"Ξ", "Η"<, ColorFunction ® femcolor, ColorFunctionScaling ® False, Contours ® 10, Axes ® True, LabelStyle ® 8FontSize ® 16, Bold<D ð - umax F & , 8umin, umax<>, BarLegendB: HueB- 0.7 umax - umin 10, LabelStyle ® 8FontSize ® 16, Bold<F ContourPlot@Rescale@u1@@2DD, 8vmin, vmax<D, 8Ξ, - 1, 1<, 8Η, - 1, 1<, Frame ® False, AxesLabel ® 8"Ξ", "Η"<, ColorFunction ® femcolor, ColorFunctionScaling

® False, Contours ® 10, Axes ® True, LabelStyle ® 8FontSize ® 16, Bold<D ContourPlot@Rescale@u2@@2DD, 8vmin, vmax<D, 8Ξ, - 1, 1<, 8Η, - 1, 1<, Frame ® False, AxesLabel ® 8"Ξ", "Η"<, ColorFunction ® femcolor, ColorFunctionScaling ® False, Contours ® 10, Axes ® True, LabelStyle ® 8FontSize ® 16, Bold<D ð - vmax BarLegendB: HueB- 0.7 F & , 8vmin, vmax<>, vmax - vmin 10, LabelStyle ® 8FontSize ® 16, Bold<F 3 4 peldasikelem.nb Ε1min Ε2min Ε1max Ε2max = = = = Table@NMinimize@8Ε1@@iDD, Table@NMinimize@8Ε2@@iDD, Table@NMaximize@8Ε1@@iDD, Table@NMaximize@8Ε2@@iDD, -1 -1 -1 -1 < < < < Ξ Ξ Ξ Ξ < < < < 1 && - 1 1 && - 1 1 && - 1 1 && - 1 < < < < Η Η Η Η < < < < 1<, 1<, 1<, 1<, Εxmax = Max@8Ε1max@@1DD, Ε2max@@1DD<D; Εxmin = Min@8Ε1min@@1DD, Ε2min@@1DD<D; Εymax = Max@8Ε1max@@2DD,

Ε2max@@2DD<D; Εymin = Min@8Ε1min@@2DD, Ε2min@@2DD<D; Γxymax = Max@8Ε1max@@3DD, Ε2max@@3DD<D; Γxymin = Min@8Ε1min@@3DD, Ε2min@@3DD<D; 8Ξ, 8Ξ, 8Ξ, 8Ξ, Η<D@@1DD, Η<D@@1DD, Η<D@@1DD, Η<D@@1DD, 8i, 8i, 8i, 8i, 1, 1, 1, 1, 3<D; 3<D; 3<D; 3<D; 1, 1, 1, 1, 3<D; 3<D; 3<D; 3<D; ContourPlot@Rescale@Ε1@@1DD, 8Εxmin, Εxmax<D, 8Ξ, - 1, 1<, 8Η, - 1, 1<, Frame ® False, AxesLabel ® 8"Ξ", "Η"<, ColorFunction ® femcolor, ColorFunctionScaling ® False, Contours ® 10, Axes ® True, LabelStyle ® 8FontSize ® 16, Bold<D ContourPlot@Rescale@Ε2@@1DD, 8Εxmin, Εxmax<D, 8Ξ, - 1, 1<, 8Η, - 1, 1<, Frame ® False, AxesLabel ® 8"Ξ", "Η"<, ColorFunction ® femcolor, ColorFunctionScaling ® False, Contours ® 10, Axes ® True, LabelStyle ® 8FontSize ® 16, Bold<D ð - Εxmax BarLegendB: HueB- 0.7 F & , 8Εxmin, Εxmax<>, Εxmax - Εxmin 10,

LabelStyle ® 8FontSize ® 16, Bold<F ContourPlot@Rescale@Ε1@@2DD, 8Εymin, Εymax<D, 8Ξ, - 1, 1<, 8Η, - 1, 1<, Frame ® False, AxesLabel ® 8"Ξ", "Η"<, ColorFunction ® femcolor, ColorFunctionScaling ® False, Contours ® 10, Axes ® True, LabelStyle ® 8FontSize ® 16, Bold<D ContourPlot@Rescale@Ε2@@2DD, 8Εymin, Εymax<D, 8Ξ, - 1, 1<, 8Η, - 1, 1<, Frame ® False, AxesLabel ® 8"Ξ", "Η"<, ColorFunction ® femcolor, ColorFunctionScaling ® False, Contours ® 10, Axes ® True, LabelStyle ® 8FontSize ® 16, Bold<D ð - Εymax F & , 8Εymin, Εymax<>, BarLegendB: HueB- 0.7 Εymax - Εymin 10, LabelStyle ® 8FontSize ® 16, Bold<F ContourPlot@Rescale@Ε1@@3DD, 8Γxymin, Γxymax<D, 8Ξ, - 1, 1<, 8Η, - 1, 1<, Frame ® False, AxesLabel ® 8"Ξ", "Η"<, ColorFunction ® femcolor, ColorFunctionScaling ® False, Contours ® 10, Axes ® True, LabelStyle ® 8FontSize

® 16, Bold<D ContourPlot@Rescale@Ε2@@3DD, 8Γxymin, Γxymax<D, 8Ξ, - 1, 1<, 8Η, - 1, 1<, Frame ® False, AxesLabel ® 8"Ξ", "Η"<, ColorFunction ® femcolor, ColorFunctionScaling ® False, Contours ® 10, Axes ® True, LabelStyle ® 8FontSize ® 16, Bold<D ð - Γxymax F & , 8Γxymin, Γxymax<>, BarLegendB: HueB- 0.7 Γxymax - Γxymin 10, LabelStyle ® 8FontSize ® 16, Bold<F Σ1min Σ2min Σ1max Σ2max = = = = Table@NMinimize@8Σ1@@iDD, Table@NMinimize@8Σ2@@iDD, Table@NMaximize@8Σ1@@iDD, Table@NMaximize@8Σ2@@iDD, -1 -1 -1 -1 < < < < Ξ Ξ Ξ Ξ < < < < 1 && - 1 1 && - 1 1 && - 1 1 && - 1 < < < < Η Η Η Η < < < < 1<, 1<, 1<, 1<, 8Ξ, 8Ξ, 8Ξ, 8Ξ, Η<D@@1DD, Η<D@@1DD, Η<D@@1DD, Η<D@@1DD, 8i, 8i, 8i, 8i, peldasikelem.nb Σxmax = Max@8Σ1max@@1DD, Σ2max@@1DD<D; Σxmin = Min@8Σ1min@@1DD,

Σ2min@@1DD<D; Σymax = Max@8Σ1max@@2DD, Σ2max@@2DD<D; Σymin = Min@8Σ1min@@2DD, Σ2min@@2DD<D; Τxymax = Max@8Σ1max@@3DD, Σ2max@@3DD<D; Τxymin = Min@8Σ1min@@3DD, Σ2min@@3DD<D; ContourPlot@Rescale@Σ1@@1DD, 8Σxmin, Σxmax<D, 8Ξ, - 1, 1<, 8Η, - 1, 1<, Frame ® False, AxesLabel ® 8"Ξ", "Η"<, ColorFunction ® femcolor, ColorFunctionScaling ® False, Contours ® 10, Axes ® True, LabelStyle ® 8FontSize ® 16, Bold<D ContourPlot@Rescale@Σ2@@1DD, 8Σxmin, Σxmax<D, 8Ξ, - 1, 1<, 8Η, - 1, 1<, Frame ® False, AxesLabel ® 8"Ξ", "Η"<, ColorFunction ® femcolor, ColorFunctionScaling ® False, Contours ® 10, Axes ® True, LabelStyle ® 8FontSize ® 16, Bold<D ð - Σxmax BarLegendB: HueB- 0.7 F & , 8Σxmin, Σxmax<>, Σxmax - Σxmin 10, LabelStyle ® 8FontSize ® 16, Bold<F ContourPlot@Rescale@Σ1@@2DD, 8Σymin, Σymax<D, 8Ξ, - 1, 1<, 8Η, - 1, 1<, Frame ® False,

AxesLabel ® 8"Ξ", "Η"<, ColorFunction ® femcolor, ColorFunctionScaling ® False, Contours ® 10, Axes ® True, LabelStyle ® 8FontSize ® 16, Bold<D ContourPlot@Rescale@Σ2@@2DD, 8Σymin, Σymax<D, 8Ξ, - 1, 1<, 8Η, - 1, 1<, Frame ® False, AxesLabel ® 8"Ξ", "Η"<, ColorFunction ® femcolor, ColorFunctionScaling ® False, Contours ® 10, Axes ® True, LabelStyle ® 8FontSize ® 16, Bold<D ð - Σymax F & , 8Σymin, Σymax<>, BarLegendB: HueB- 0.7 Σymax - Σymin 10, LabelStyle ® 8FontSize ® 16, Bold<F ContourPlot@Rescale@Σ1@@3DD, 8Τxymin, Τxymax<D, 8Ξ, - 1, 1<, 8Η, - 1, 1<, Frame ® False, AxesLabel ® 8"Ξ", "Η"<, ColorFunction ® femcolor, ColorFunctionScaling ® False, Contours ® 10, Axes ® True, LabelStyle ® 8FontSize ® 16, Bold<D ContourPlot@Rescale@Σ2@@3DD, 8Τxymin, Τxymax<D, 8Ξ, - 1, 1<, 8Η, - 1, 1<, Frame ® False, AxesLabel ®

8"Ξ", "Η"<, ColorFunction ® femcolor, ColorFunctionScaling ® False, Contours ® 10, Axes ® True, LabelStyle ® 8FontSize ® 16, Bold<D ð - Τxymax BarLegendB: HueB- 0.7 F & , 8Τxymin, Τxymax<>, Τxymax - Τxymin 10, LabelStyle ® 8FontSize ® 16, Bold<F Σ= sx txy 0 1 txy sy 0 ; s = Σ - Tr@ΣD IdentityMatrix@3D; 3 0 0 0 3 VM = FullSimplifyB 2 Tr@s.sD F 5 6 peldasikelem.nb Σ1HMH = SimplifyA, IΣ1@@1DD2 - Σ1@@1DD * Σ1@@2DD + Σ1@@2DD2 + 3 Σ1@@3DD2 ME Σ2HMH = SimplifyA, IΣ2@@1DD2 - Σ2@@1DD * Σ2@@2DD + Σ2@@2DD2 + 3 Σ2@@3DD2 ME ΣHMHmax = Max@8NMaximize@8Σ1HMH, - 1 < Ξ < 1 && - 1 < Η < 1<, 8Ξ, Η<D@@1DD, NMaximize@8Σ2HMH, - 1 < Ξ < 1 && - 1 < Η < 1<, 8Ξ, Η<D@@1DD<D; ΣHMHmin = Min@8NMinimize@8Σ1HMH, - 1 < Ξ < 1 && - 1 < Η < 1<, 8Ξ, Η<D@@1DD, NMinimize@8Σ2HMH, - 1 < Ξ < 1 && - 1 < Η < 1<, 8Ξ,

Η<D@@1DD<D; ContourPlot@Rescale@Σ1HMH, 8ΣHMHmin, ΣHMHmax<D, 8Ξ, - 1, 1<, 8Η, - 1, 1<, Frame ® False, AxesLabel ® 8"Ξ", "Η"<, ColorFunction ® femcolor, ColorFunctionScaling ® False, Contours ® 10, Axes ® True, LabelStyle ® 8FontSize ® 16, Bold<D ContourPlot@Rescale@Σ2HMH, 8ΣHMHmin, ΣHMHmax<D, 8Ξ, - 1, 1<, 8Η, - 1, 1<, Frame ® False, AxesLabel ® 8"Ξ", "Η"<, ColorFunction ® femcolor, ColorFunctionScaling ® False, Contours ® 10, Axes ® True, LabelStyle ® 8FontSize ® 16, Bold<D ð - ΣHMHmax BarLegendB: HueB- 0.7 F & , 8ΣHMHmin, ΣHMHmax<>, ΣHMHmax - ΣHMHmin 10, LabelStyle ® 8FontSize ® 16, Bold<F xx1 = Expand@N1 * CORD@@TOPO@@1, 1DD, 1DD + N2 CORD@@TOPO@@1, 2DD, N3 * CORD@@TOPO@@1, 3DD, 1DD + N4 CORD@@TOPO@@1, 4DD, 1DDD yy1 = Expand@N1 * CORD@@TOPO@@1, 1DD, 2DD + N2 CORD@@TOPO@@1, 2DD, N3 * CORD@@TOPO@@1, 3DD, 2DD + N4 CORD@@TOPO@@1, 4DD, 2DDD xx2 = Expand@N1 *

CORD@@TOPO@@2, 1DD, 1DD + N2 CORD@@TOPO@@2, 2DD, N3 * CORD@@TOPO@@2, 3DD, 1DD + N4 CORD@@TOPO@@2, 4DD, 1DDD yy2 = Expand@N1 * CORD@@TOPO@@2, 1DD, 2DD + N2 CORD@@TOPO@@2, 2DD, N3 * CORD@@TOPO@@2, 3DD, 2DD + N4 CORD@@TOPO@@2, 4DD, 2DDD 1DD + 2DD + 1DD + 2DD + inv1 = FullSimplify@Solve@x == xx1 && y == yy1, 8Ξ, Η<D@@1DDD inv2 = FullSimplify@Solve@x == xx2 && y == yy2, 8Ξ, Η<D@@1DDD ux1 uy1 ux2 uy2 = = = = Expand@u1@@1DD Expand@u1@@2DD Expand@u2@@1DD Expand@u2@@2DD . . . . inv1D inv1D inv2D inv2D Pux1 = ContourPlot@Rescale@ux1, 8umin, umax<D, 8x, 0, 100<, 8y, 0, 200<, Frame ® False, AxesLabel ® 8"Ξ", "Η"<, ColorFunction ® femcolor, ColorFunctionScaling ® False, Contours ® 500, LabelStyle ® 8FontSize ® 16, Bold<, RegionFunction ® Function@8x, y, z<, y < 200 - xD, AspectRatio ® Automatic, ContourLines ® FalseD; Pux2 = ContourPlot@Rescale@ux2, 8umin, umax<D, 8x, 0, 300<, 8y, 100, 200<,

Frame ® False, AxesLabel ® 8"Ξ", "Η"<, ColorFunction ® femcolor, ColorFunctionScaling ® False, Contours ® 500, LabelStyle ® 8FontSize ® 16, Bold<, RegionFunction ® Function@8x, y, z<, 100 < y < 200 && x > 200 - yD, AspectRatio ® Automatic, ContourLines ® FalseD; Show@8Pux1, Pux2<, AspectRatio ® Automatic, PlotRange ® AllD ð - umax F & , 8umin, umax<>, BarLegendB: HueB- 0.7 umax - umin 500, LabelStyle ® 8FontSize ® 16, Bold<F peldasikelem.nb Puy1 = ContourPlot@Rescale@uy1, 8vmin, vmax<D, 8x, 0, 100<, 8y, 0, 200<, Frame ® False, AxesLabel ® 8"Ξ", "Η"<, ColorFunction ® femcolor, ColorFunctionScaling ® False, Contours ® 500, LabelStyle ® 8FontSize ® 16, Bold<, RegionFunction ® Function@8x, y, z<, y < 200 - xD, AspectRatio ® Automatic, ContourLines ® FalseD; Puy2 = ContourPlot@Rescale@uy2, 8vmin, vmax<D, 8x, 0, 300<, 8y, 100, 200<, Frame ® False,

AxesLabel ® 8"Ξ", "Η"<, ColorFunction ® femcolor, ColorFunctionScaling ® False, Contours ® 500, LabelStyle ® 8FontSize ® 16, Bold<, RegionFunction ® Function@8x, y, z<, 100 < y < 200 && x > 200 - yD, AspectRatio ® Automatic, ContourLines ® FalseD; Show@8Puy1, Puy2<, AspectRatio ® Automatic, PlotRange ® AllD ð - vmax BarLegendB: HueB- 0.7 F & , 8vmin, vmax<>, vmax - vmin 500, LabelStyle ® 8FontSize ® 16, Bold<F Εx1 = Chop@FullSimplify@Ε1@@1DD . inv1DD Εy1 = Chop@FullSimplify@Ε1@@2DD . inv1DD Γxy1 = Chop@FullSimplify@Ε1@@3DD . inv1DD Εx2 = Chop@FullSimplify@Ε2@@1DD . inv2DD Εy2 = Chop@FullSimplify@Ε2@@2DD . inv2DD Γxy2 = Chop@FullSimplify@Ε2@@3DD . inv2DD PΕx1 = ContourPlot@Rescale@Εx1, 8Εxmin, Εxmax<D, 8x, 0, 100<, 8y, 0, 200<, Frame ® False, AxesLabel ® 8"Ξ", "Η"<, ColorFunction ® femcolor, ColorFunctionScaling ® False, Contours ® 500,

LabelStyle ® 8FontSize ® 16, Bold<, RegionFunction ® Function@8x, y, z<, y < 200 - xD, AspectRatio ® Automatic, ContourLines ® FalseD; PΕx2 = ContourPlot@Rescale@Εx2, 8Εxmin, Εxmax<D, 8x, 0, 300<, 8y, 100, 200<, Frame ® False, AxesLabel ® 8"Ξ", "Η"<, ColorFunction ® femcolor, ColorFunctionScaling ® False, Contours ® 500, LabelStyle ® 8FontSize ® 16, Bold<, RegionFunction ® Function@8x, y, z<, 100 < y < 200 && x > 200 - yD, AspectRatio ® Automatic, ContourLines ® FalseD; Show@8PΕx1, PΕx2<, AspectRatio ® Automatic, PlotRange ® AllD ð - Εxmax F & , 8Εxmin, Εxmax<>, BarLegendB: HueB- 0.7 Εxmax - Εxmin 500, LabelStyle ® 8FontSize ® 16, Bold<F 7 8 peldasikelem.nb PΕy1 = ContourPlot@Rescale@Εy1, 8Εymin, Εymax<D, 8x, 0, 100<, 8y, 0, 200<, Frame ® False, AxesLabel ® 8"Ξ", "Η"<, ColorFunction ® femcolor, ColorFunctionScaling ® False,

Contours ® 500, LabelStyle ® 8FontSize ® 16, Bold<, RegionFunction ® Function@8x, y, z<, y < 200 - xD, AspectRatio ® Automatic, ContourLines ® FalseD; PΕy2 = ContourPlot@Rescale@Εy2, 8Εymin, Εymax<D, 8x, 0, 300<, 8y, 100, 200<, Frame ® False, AxesLabel ® 8"Ξ", "Η"<, ColorFunction ® femcolor, ColorFunctionScaling ® False, Contours ® 500, LabelStyle ® 8FontSize ® 16, Bold<, RegionFunction ® Function@8x, y, z<, 100 < y < 200 && x > 200 - yD, AspectRatio ® Automatic, ContourLines ® FalseD; Show@8PΕy1, PΕy2<, AspectRatio ® Automatic, PlotRange ® AllD ð - Εymax BarLegendB: HueB- 0.7 F & , 8Εymin, Εymax<>, Εymax - Εymin 500, LabelStyle ® 8FontSize ® 16, Bold<F PΓxy1 = ContourPlot@Rescale@Γxy1, 8Γxymin, Γxymax<D, 8x, 0, 100<, 8y, 0, 200<, Frame ® False, AxesLabel ® 8"Ξ", "Η"<, ColorFunction ® femcolor, ColorFunctionScaling ® False,

Contours ® 500, LabelStyle ® 8FontSize ® 16, Bold<, RegionFunction ® Function@8x, y, z<, y < 200 - xD, AspectRatio ® Automatic, ContourLines ® FalseD; PΓxy2 = ContourPlot@Rescale@Γxy2, 8Γxymin, Γxymax<D, 8x, 0, 300<, 8y, 100, 200<, Frame ® False, AxesLabel ® 8"Ξ", "Η"<, ColorFunction ® femcolor, ColorFunctionScaling ® False, Contours ® 500, LabelStyle ® 8FontSize ® 16, Bold<, RegionFunction ® Function@8x, y, z<, 100 < y < 200 && x > 200 - yD, AspectRatio ® Automatic, ContourLines ® FalseD; Show@8PΓxy1, PΓxy2<, AspectRatio ® Automatic, PlotRange ® AllD ð - Γxymax BarLegendB: HueB- 0.7 F & , 8Γxymin, Γxymax<>, Γxymax - Γxymin 500, LabelStyle ® 8FontSize ® 16, Bold<F Σx1 = Chop@FullSimplify@Σ1@@1DD . inv1DD Σy1 = Chop@FullSimplify@Σ1@@2DD . inv1DD Τxy1 = Chop@FullSimplify@Σ1@@3DD . inv1DD Σx2 = Chop@FullSimplify@Σ2@@1DD . inv2DD Σy2 =

Chop@FullSimplify@Σ2@@2DD . inv2DD Τxy2 = Chop@FullSimplify@Σ2@@3DD . inv2DD Σhmh1 = Chop@FullSimplify@Σ1HMH . inv1DD Σhmh2 = Chop@FullSimplify@Σ2HMH . inv2DD peldasikelem.nb PΣx1 = ContourPlot@Rescale@Σx1, 8Σxmin, Σxmax<D, 8x, 0, 100<, 8y, 0, 200<, Frame ® False, AxesLabel ® 8"Ξ", "Η"<, ColorFunction ® femcolor, ColorFunctionScaling ® False, Contours ® 500, LabelStyle ® 8FontSize ® 16, Bold<, RegionFunction ® Function@8x, y, z<, y < 200 - xD, AspectRatio ® Automatic, ContourLines ® FalseD; PΣx2 = ContourPlot@Rescale@Σx2, 8Σxmin, Σxmax<D, 8x, 0, 300<, 8y, 100, 200<, Frame ® False, AxesLabel ® 8"Ξ", "Η"<, ColorFunction ® femcolor, ColorFunctionScaling ® False, Contours ® 500, LabelStyle ® 8FontSize ® 16, Bold<, RegionFunction ® Function@8x, y, z<, 100 < y < 200 && x > 200 - yD, AspectRatio ® Automatic, ContourLines ® FalseD; Show@8PΣx1,

PΣx2<, AspectRatio ® Automatic, PlotRange ® AllD ð - Σxmax BarLegendB: HueB- 0.7 F & , 8Σxmin, Σxmax<>, Σxmax - Σxmin 500, LabelStyle ® 8FontSize ® 16, Bold<F PΣy1 = ContourPlot@Rescale@Σy1, 8Σymin, Σymax<D, 8x, 0, 100<, 8y, 0, 200<, Frame ® False, AxesLabel ® 8"Ξ", "Η"<, ColorFunction ® femcolor, ColorFunctionScaling ® False, Contours ® 500, LabelStyle ® 8FontSize ® 16, Bold<, RegionFunction ® Function@8x, y, z<, y < 200 - xD, AspectRatio ® Automatic, ContourLines ® FalseD; PΣy2 = ContourPlot@Rescale@Σy2, 8Σymin, Σymax<D, 8x, 0, 300<, 8y, 100, 500<, Frame ® False, AxesLabel ® 8"Ξ", "Η"<, ColorFunction ® femcolor, ColorFunctionScaling ® False, Contours ® 100, LabelStyle ® 8FontSize ® 16, Bold<, RegionFunction ® Function@8x, y, z<, 100 < y < 200 && x > 200 - yD, AspectRatio ® Automatic, ContourLines ® FalseD; Show@8PΣy1, PΣy2<,

AspectRatio ® Automatic, PlotRange ® AllD ð - Σymax F & , 8Σymin, Σymax<>, BarLegendB: HueB- 0.7 Σymax - Σymin 500, LabelStyle ® 8FontSize ® 16, Bold<F PΤxy1 = ContourPlot@Rescale@Τxy1, 8Τxymin, Τxymax<D, 8x, 0, 100<, 8y, 0, 200<, Frame ® False, AxesLabel ® 8"Ξ", "Η"<, ColorFunction ® femcolor, ColorFunctionScaling ® False, Contours ® 500, LabelStyle ® 8FontSize ® 16, Bold<, RegionFunction ® Function@8x, y, z<, y < 200 - xD, AspectRatio ® Automatic, ContourLines ® FalseD; PΤxy2 = ContourPlot@Rescale@Τxy2, 8Τxymin, Τxymax<D, 8x, 0, 300<, 8y, 100, 200<, Frame ® False, AxesLabel ® 8"Ξ", "Η"<, ColorFunction ® femcolor, ColorFunctionScaling ® False, Contours ® 500, LabelStyle ® 8FontSize ® 16, Bold<, RegionFunction ® Function@8x, y, z<, 100 < y < 200 && x > 200 - yD, AspectRatio ® Automatic, ContourLines ® FalseD; Show@8PΤxy1, PΤxy2<,

AspectRatio ® Automatic, PlotRange ® AllD ð - Τxymax F & , 8Τxymin, Τxymax<>, BarLegendB: HueB- 0.7 Τxymax - Τxymin 500, LabelStyle ® 8FontSize ® 16, Bold<F 9 10 peldasikelem.nb Phmh1 = ContourPlot@Rescale@Σhmh1, 8ΣHMHmin, ΣHMHmax<D, 8x, 0, 100<, 8y, 0, 200<, Frame ® False, AxesLabel ® 8"Ξ", "Η"<, ColorFunction ® femcolor, ColorFunctionScaling ® False, Contours ® 500, LabelStyle ® 8FontSize ® 16, Bold<, RegionFunction ® Function@8x, y, z<, y < 200 - xD, AspectRatio ® Automatic, ContourLines ® FalseD; Phmh2 = ContourPlot@Rescale@Σhmh2, 8ΣHMHmin, ΣHMHmax<D, 8x, 0, 300<, 8y, 100, 200<, Frame ® False, AxesLabel ® 8"Ξ", "Η"<, ColorFunction ® femcolor, ColorFunctionScaling ® False, Contours ® 500, LabelStyle ® 8FontSize ® 16, Bold<, RegionFunction ® Function@8x, y, z<, 100 < y < 200 && x > 200 - yD, AspectRatio ® Automatic, ContourLines ®

FalseD; Show@8Phmh1, Phmh2<, AspectRatio ® Automatic, PlotRange ® AllD ð - ΣHMHmax BarLegendB: HueB- 0.7 F & , 8ΣHMHmin, ΣHMHmax<>, ΣHMHmax - ΣHMHmin 500, LabelStyle ® 8FontSize ® 16, Bold<F