Mathematics | High school » Tilinger Istvánné -Mintatételek a középszintű szóbeli vizsgához

A feladatok megoldását készítette: Tilinger Istvánné 1.1Két pozitív szám számtani és mértani közepének fogalma, kapcsolatuk Két pozitív szám számtani közepén a két szám összegének a felét értem. A mértani közepén pedig a két szám szorzatának a négyzetgyökét értem. számtani közép ≥ mértani közép Például legyen a két szám 4 és 9. számtani közepük: 4+9 2 = 6,5 mértani közepük: 4 � 9 = 36 = 6 6,5 > 6 Megjegyzés: Az egyenlőség akkor áll fenn, ha a=b, hiszen ekkor ��+�� 2 = �� � �� = 2�� 2 = �� ��2 = �� 1.2 Vektorok összegének, különbségének és skalárszorosának fogalma Két vektor összegét:  háromszög-szabállyal vagy  paralelogramma módszerrel szerkeszthetjük meg b b a a Két vektor különbsége: b a Vektor szorzása számmal: λ ∈ ℝ  ha λ = 0, akkor λ ∙ a = 0;  ha λ > 0, akkor a λ ∙ a vektor iránya megegyezik az a vektor

irányával és | λ ∙ a| = λ ∙ | a |;  ha λ < 0, akkor a λ ∙ a vektor iránya ellentétes az a vektor irányával és | λ ∙ a| = | λ | ∙ | a |. Ha a vektor zéróvektor, akkor akár hányszorosa is zéróvektor lesz. Ha a vektor nem zéróvektor, akkor a pozitív szám szorosa olyan vektor lesz melynek nagysága pozitív szám szoros lesz, iránya az eredeti vektoréval megegyezik. Egy nem zéróvektor zéró szorosa zéró lesz. Egy nem zéróvektor negatív számszorosa olyan vektor lesz, melynek nagysága a szám abszolút értéke szeres lesz, iránya pedig az eredeti vektor irányával ellentétes. 1.3 Ábrázolja és jellemezze a valós számok halmazán értelmezett f(x) = x2 függvényt! x f(x) = x2 -2 4 -1 1 0 0 1 1 2 4 y E(2; 4) C(-2; 4) B(-1; 1) 1 A(0; 0) 1 D(1; 1) x Ét: x ∈R Ék: f(x) > 0 Szigorúan monoton csökken: x <0 Szigorúan monoton nő: x > 0 Zérus hely: x = 0 Szélsőértéke: Minimuma van, melynek helye: x =0

értéke f(x) = 0 Páros függvény, mert a függvény grafikonja az y tengelyre tükrös. 1.4 Egy versenyen 12-en vesznek részt Hányféleképpen alakulhat ki a végső sorrend, ha csak az első hármat rangsorolják? 1. helyen 12 féle 2. helyen 11 féle 3. helyen 10 féle féle lehetőség van. Ezek szorzata adja az eredményt. 12 � 11 � 10 = 1320 féleképpen alakulhat ki a végső sorrend 1.5 Kétágú létra szárainak a hossza 2,9 méter, a nyitott létra talajon álló végeinek a távolsága 2 méter. Milyen magasan van a létra teteje? b = 2,9 m b = 2,9 m m a=2m 1m 12 + m2 = 2,92 1 + m2 = 8,41 m2 = 7,41 m = 2,72 m 1.6 Egy gimnázium tanulóinak életkoráról a következő táblázat készült: Tanulók kora 13 éves 14 éves 15 éves 16 éves 17 éves 72 65 120 128 110 Tanulók száma Középponti szög 45o 41o 75o 80o 69o 18 éves 80 50o összesen 575 360o 72 � 360�� = ������ 575 13 éves 14 éves 15 éves 16 éves 17 éves 18

éves 2.1 Mit nevezünk aritmetikai átlagnak, módusznak és mediánnak? A számtani közép: n darab szám átlagán a számok összegének n-ed �= részét értjük. �� ���� + ���� + ⋯+ ���� �� Módusz: A leggyakrabban előforduló adat. Medián: rendezhető adatoknál használható. Helyzeti, vagy pozícionális középérték. Olyan érték, amelynél ugyanannyi nagyobb, mint kisebb érték van. Páratlan adat esetén egy medián van Páros számú adat esetén a két középső adat számtani közepe a medián. 2.2 A binomiális együttható definíciója A binomiális tételben szereplő a és b megfelelő hatványainak szorzatában szereplő szorzószám a binomiális együttható. (�� + ��)�� = �� �� �� �� ��−�� �� �� ��−�� �� �� �� �� �� �� + �� �� + �� �� + + �� �� �� �� �� �� A binomiális együttható a

kombinatorikában megmutatja, hogy hányféleképpen lehet n különböző dologból kiválasztani k darabot, ha nem számít a kiválasztás sorrendje és mindegyiket csak egyszer választhatjuk? �� ��! �� = ���� = �� ��! �� − �� ! ������ kiolvasása: n elem k−ad osztályú ismétlés nélküli kombinációja. 2.3 A középpontos tükrözés és tulajdonságai Definíció: adott a síkon egy O pont, a tükrözés középpontja. Az O pontra vonatkozó középpontos tükrözés a sík tetszőleges a) O-ra illeszkedő P pontjához azt a P’ pontot rendeli hozzá, amelyre fennáll, hogy O=P=P’ (fixpont) b) O-ra nem illeszkedő P pontjához azt a P’ pontot rendeli hozzá, amelyre fennáll, hogy PP’ szakasz felezőpontja az O pont. 1.) Kölcsönösen egyértelmű hozzárendelés, mert egy pontnak pontosan egy képe van, és egy képpontnak pontosan egy eredetije. 2.) Az O pontra illeszkedő pontok fixpontok, más fixpont nincs Az

O – n átmenő egyenesek fixegyenesek, más fixegyenes nincs. 3.) Egyenestartó leképezés, tehát a transzformáció geometriai, mivel bármely egyenes középpontos tükörképe szintén egyenes lesz. 4.) Távolságtartó leképezés, tehát egybevágósági transzformáció, mivel bármely két pont távolsága középpontos tükörképeik távolságát éri. 5.) Szakasztartó leképezés, mivel bármely szakasz középpontos tükörképe szintén szakasz lesz 6.) Szögtartó leképezés, mivel bármely szög középpontos tükörképe vele egyenlő nagyságú szög lesz 7.) Párhuzamosságtartó leképezés, mivel bármely egyenes párhuzamos a középpontos tükörképével 8.) Illeszkedéstartó leképezés, mivel ha egy pont illeszkedik egy geometriai alakzatra, akkor a pont középpontos tükörképe illeszkedik az alakzat középpontos tükörképére. 9.) Körüljárási iránytartó leképezés, mivel a síkidomok körüljárási irányát megőrzi 2.4 A

���������������� számban x helyére írjon olyan számjegyet, hogy a kapott nyolcjegyű szám osztható legyen 12-vel! 12-vel pontosan akkor osztható egy természetes szám, ha osztható a valódi osztóiból vett társosztói közül a relatív prím társosztóival, most a 4-gyel és 3-mal. 3 ǀ ���������������� 4 ǀ ���������������� 3-mal pontosan akkor osztható egy természetes 4-gyel pontosan akkor szám, ha a számjegyeinek összege osztható 3-mal. osztható egy természetes 3 ǀ 10+x szám, ha az utolsó két így x=2; 5; 8 számjegyéből képezett szám osztható 4-gyel. x = 2; 4; 6; 8 lehet A megoldás azon x elemek, melyek mindkét esetben szerepelnek, így x vagy 2, vagy 8 lehet. 12ǀ 20020224, vagy 12ǀ 20020284 2.5 Egy helikopter 1,7 km magasan van egy vízszintes terep valamely célpontja felett. Ugyanez a helikopter a repülőtérről 35°-os emelkedési szögben

látszik. Milyen távol van a repülőtér a célponttól? helikopter 1,7 km 35° repülőtér x célpont A repülőtér a célponttól ��, ���� ���� távol van. ��,�� t��35° = x x= ��,�� t��35° x = ��, ���� ���� 2. 6 a) Ábrázolja az ��: �� ��, �� ↦(x–3)2 – 4 függvényt! b) Határozza meg a szélsőértékét és számolja ki a zérushelyeit! 1. Lépés: x x2 normál parabola ábrázolása 2. Lépés: x (x–3)2 eltolás ellentétesen x tengely mentén 4. Lépés: f(x) = (x–3)2 – 4 eltolás megegyező irányban y tengely mentén ��– �� �� – �� = ���� – ���� + �� − �� = ���� – ���� + �� ���� – ���� + �� = �� �� ± ���� − ���� ��1;2 = �� x1 = x2 = ��+�� �� ��−�� �� =5 =1 y 1 1 3 x 3.1 Az elsőfokú függvény

hozzárendelési szabálya és jellemzése Fgt 62 old �� Itt metszi az y tengelyt! h(0) = �� � 0 +1 = 1 �� h(x) = x +1 �� f(x) az x=0 helyen metszi az y tengelyt A metszésponttól lépve az x szorzószáma a meredekség: nevező értékét lépünk jobbra, számláló fel, ha pozitív, le ha negatív. Ét: x ∈R y Ék: f(x) ∈R Szigorúan monoton nő: x ∈R 1 -3 0 1 3 x Zérus hely: x = −3 0= �� �� x +1 0 = x +3 x = −3 Szélsőértéke: Nincs 3.2 A részhalmaz fogalma Mondjon két ismert számhalmazt, amelyek között részhalmaz kapcsolat van! Azt mondjuk, hogy A részhalmaza B-nek, ha A minden eleme benne van B-ben.  Valódi részhalmaza, ha B-nek van A-n kívüli eleme  Nem valódi részhalmaz az üres halmaz és maga a halmaz B A Például az egész számok részhalmaza a természetes számok. NEVEZETES SZÁMHALMAZOK Q* R valós Q racionális Q* irracionális Z egész N természetes + �� 3 2 7 + 1 2 1 3 R Q Q

-1;-2 0 1 2 3. 3 A koszinusztétel Fogalmazza meg a koszinusz-tételt! (48. oldal alján) Tétel: A koszinusz tétel kimondja, hogy a háromszög egyik oldalának négyzete egyenlő a másik két oldal négyzetének összegéből levonva ezeknek az oldalaknak és a közbezárt szög koszinuszának a kétszeres szorzatát. �� a �� b c �� c2 = a2 + b2 − 2abcos �� a2 = b2 + c2 − 2bccos�� b2 = a2 + c2 − 2cacos�� 3. 4 20 ember vérnyomását mérték és csak azt figyelték, hogy a vérnyomás alacsony (A), normál (N), vagy magas (M) tartományba esik-e. A következő mintát kapták: M, M, N, M, M, N, A, A, N, N, N, N, M, M, N, N, M, M, A, N. Készítsen a mintából relatív gyakorisági diagramot és értékelje az eredményt! ADATOK alacsony normál magas ÖSSZESEN: KÖZÉPPONTI GYAKORISÁG SZÖG 3 ������ 9 162�� 8 144�� 20 360�� 3 � 360�� = ������ 20 alacsony normál magas A relatív

gyakoriságot kördiagramon szoktuk ábrázolni, ezért kiszámolom a középponti szögeket is. Bár a módusz a normál, de mégis sok a magas vérnyomású ember a mintában. 3.5 Számolja ki a következő kifejezések pontos értékét: ��) �� + ���� = �� + ���� � �� = �� + �� � �� = �� �� �� �� �� �� �� �� � �� ��) ���� = (���� ) = �� ��) ���������� ������ = �� = ���� = 8 ������ �� ������ = �� �� ������� �� ������ �� = ���������� ������ = ���������� ���� = 10 ��) (���� )�� − (���� )�� = ������ − ������ = �� � ������ − ������ = ������ 3.6 a.) Határozza meg az �� 2 + �� 2 −

6�� + 10�� + 9 = 0 egyenletű kör középpontját és sugarát! b.) Írja fel a kör (6; – 1) pontjába húzható érintő egyenletét! �� 2 + �� 2 − 6�� + 10�� + 9 = 0 (�� − 3)2 − 9 + (�� + 5)2 −25 + 9 = 0 (�� − 3)2 − 9 + (�� + 5)2 −25 = 0 (�� − 3)2 + (��+ 5)2 = 25 C(3; − 5) és �� = 5 b.) Írja fel a kör (6; – 1) pontjába húzható érintő egyenletét! (�� − 3)2 + (��+ 5)2 = 25 C(3; − 5) és �� = 5 B ∈ k? B(6; −1) B(6; −1) (�� − 3)2 + (��+ 5)2 = 25 (6 − 3)2 + (−1+ 5)2 = 25 B∈k �� + ���� = 25 Érintő egyenlete: n(3; 4) B(6; −1) (xo; yo) (A; B) �� � �� + �� � �� = �� � ���� + �� � ���� ���� + ���� = ���� − �� ���� + ���� = ���� CB(3; 4) C(3; − 5) 4.1 Mit értünk két halmaz unióján, metszetén, különbségén? Mit értesz két halmaz A

és B halmaz unióján? (8. oldal alján) Az A és B halmazok uniója (egyesítése) azoknak az elemeknek a halmaza, amelyek A és B közül legalább az egyikhez hozzátartoznak. Mit értesz két halmaz A és B halmaz metszetén? (9. oldal legfelül) Az A és a B metszete (közös része) azoknak az elemeknek a halmaza, amelyek A−hoz is és B−hez is hozzátartoznak. Mit értesz két halmaz A és B halmaz különbségén? (9. oldal 2 bekezdése) Az A és B halmazok különbséghalmazán, azaz A B halmazon azoknak az elemeknek a halmazát értjük, amelyek A-hoz hozzátartoznak, de B-hez nem. (Csak A-ba tartozó elemeket!) 4.2 Ábrázolja és jellemezze az f(x) = �� függvényt! Ét: x ∈R Ék: f(x) > 0 Szigorúan monoton csökken: x < 0 Szigorúan monoton nő: x > 0 x f(x) = �� (63. oldal 2 bekezdés) –2 –1 2 1 0 0 1 1 2 2 y Zérus hely: x = 0 Minimum Helye: x=0 Értéke: f(x)= 0 Páros függvény, mert a függvény grafikonja az y tengelyre

tükrös. 1 O(0; 0) 1 x 4.3 Mit nevezünk gyakoriságnak, relatív gyakoriságnak? A gyakoriság azt mutatja meg, hogy egy adat hányszor fordul elő a mintában (adatsorban). A relatív gyakoriság azt mutatja meg, hogy az összes elemszámhoz, mint száz százalékhoz képest, hogyan oszlanak meg az egyes csoportok között a minta elemei. Tehát ez nem más, mint az adatok mintabeli előfordulásának az aránya. A relatív gyakoriság tehát rész és egész viszonya, hányadosa, melyet kördiagrammal szoktunk ábrázolni. 4.3 Egy országban a választáson a szavazókorú népesség 62,4%-a vett részt A később győztes pártra a 43,6%-uk szavazott. a) Hány százaléka ez az összes szavazónak? b) Mennyi a szavazóképes össznépesség, ha a győztes pártra 10 610 496-an szavaztak? a.) Hány százaléka ez az összes szavazónak? ��, ������ � ��, ������ = ��, ������ ⟹ ����, ��� − �� ez az összes

szavazónak. b.) Mennyi a szavazóképes össznépesség, ha a győztes pártra 10 610 496-an szavaztak? A szavazóképes népességet jelölje x �� � ��, ������ � ��, ������ = 10 610 496 �� = 39 000 000 a szavazóképes össznépesség száma. 4.5 Adott a derékszögű koordinátarendszerben két pont: A(5; – 4) és B(10; 2) a) Írja fel az A pontba mutató a és a B pontba mutató b helyvektorok koordinátáit! b) Számolja ki a 2a – 0,5b koordinátáit! c) Határozza meg az AB szakasz felezőpontjának a koordinátáit! a(5; – 4) a = 5i – 4j b(10; 2) b = 10i + 2j 2a −0,5b = 2(5i – 4j ) −0,5(10i + 2j ) = 10i – 8j – 5 i –j = 5i – 9j ���� = �� +���� = �� ��, �� 2a − 0,5b(5; – 9) ���� = −�� +�� = �� �� ��(��, ��; − ��) 4.6 Egy gömb alakú léggömböt kétszer akkora átmérőjűre fújunk fel a) Hányszorosára nő a

felszíne? b) Hányszorosára nő a térfogata? Hasonló testek felszíneinek aránya a hasonlóság arányának a négyzetét éri. A’ = λ2 A Hasonló testek térfogatainak aránya a hasonlóság arányának a köbét éri. V’ = λ3 V λ = 2 miatt: A gömb felszíne 4-szeresére, a térfogata 8-szorosára változott. 5.1 Hogy értelmezzük derékszögű háromszögben a hegyesszög szinuszát és koszinuszát? Bármely derékszögű háromszögben az egyik hegyesszög szinuszán értem a hegyesszöggel szemközti befogó és az átfogó hányadosát, arányát. Bármely derékszögű háromszögben az egyik hegyesszög koszinuszán értem a hegyesszög melletti befogó és az átfogó hányadosát, arányát. a �� sin�� = c b �� �� �� c������ = �� �� 5.2 Mit nevezünk számtani sorozatnak? Hogy számítjuk ki az első n tag összegét? A számtani sorozat olyan számsorozat, amelyben akármelyik rá következő és az őt

megelőző tag különbsége (= differenciája) állandó. Feltéve, hogy létezik megelőző tag. ���� = ����−�� + d (n≥ 2 és nϵ�� + ) n(a1 + an) Sn= 2 ���� = �� �� ������ + (n−1)d 5.3 A másodfokú egyenlet megoldóképlete A diszkrimináns fogalma Az olyan egyenletet, amelyben az ismeretlen legmagasabb kitevője kettő, másodfokú egyenletnek nevezzük. A másodfokú egyenlet általános, nullára redukált alakja: ax2 + bx + c = 0 ahol a, b, c ∈ R, és a ≠ 0. Megoldóképlete: ��1;2 = −��± �� �� −��a�� ���� A diszkrimináns a megoldóképletben a gyök alatti kifejezés, amely meghatározza, hogy valós számok halmazán hányféle gyöke, megoldása van a másodfokú egyenletnek. D= b2 - 4ac ha D > 0 akkor két különböző valós gyök van ha D = 0 akkor két egybeeső, azaz egyféle gyök van ha D < 0 akkor nincs valós megoldás 5.4 Egy urnában 4 piros és 4

fekete golyó van Egyszerre kihúzunk 2 golyót Mennyi annak a valószínűsége, hogy mindkét golyó piros? Az, hogy egyszerre húzzuk ki, vagy egymás után, az mindegy. Az első golyó piros húzásának a valószínűsége: �� �� = �� �� Utána már csak 7 golyó van, amiből 3 piros. Hogy a második is piros húzásának a valószínűsége: Együtt: �� �� �� �� · �� �� = �� ���� 5.5 Az alábbi táblázat egy település lakosságának alakulását mutatja 1900-tól 2000-ig a) Évente átlagosan hány fővel csökkent a lakosság 1942 és 1945 között? b) Melyik időszakban volt nagyobb arányú a lakosság éves növekedése: 1921 és 1931 között vagy 1969 és 1982 között? 1942 és 1945 között 2620 – 1176 = 1444 fővel csökkent a lakosság az eltelt 3 évre vonatkoztatva, így évente ennek 3-ad része érvényesült, azaz 481 fő egészre kerekítve. 1921 és 1931 között 2814 – 1348 = 1466 fővel nőtt

a lakosság az eltelt 10 évre vonatkoztatva, így évente ennek 10-ed része érvényesült 146,6 fő. 1969 és 1982 között 3438 – 1988 = 1450 fővel nőtt a lakosság az eltelt 13 évre vonatkoztatva, így évente ennek 13-ad része érvényesült 111,54 fő. A válasz: 1921 és 1931 között volt nagyobb arányú a lakosság éves növekedése. 5.6 Egy osztályban 33 tanuló van Angolul és németül tanulnak, és mindenki tanulja legalább az egyik idegen nyelvet. Angolul 25-en tanulnak, mindkét nyelvet pedig kilencen tanulják. Hányan tanulnak németül? 33 25 16 A 17 9 N 8 Németül 17-en tanulnak. 6.1 Ábrázolja és jellemezze a −��; �� intervallumon értelmezett f(x) = �� függvényt! Ét: x ∈R; [−��;��] Ék: f(x) ∈[0;��] Szigorúan monoton csökken: x∈[-5;0] Szigorúan monoton nő: x∈[0;��] x f(x) = �� Zérus hely: x = 0 –5 –1 5 1 0 0 1 1 5 5 y Minimum Helye: x=0 Értéke: f(x)= 0 1 Maximum Helye:

x=±�� Értéke: f(x)=5 Páros függvény, mert a függvény grafikonja az y tengelyre tükrös. -5 O(0; 0)1 5 x 6.2 Mit nevezünk számtani sorozatnak? A számtani sorozat olyan számsorozat, amelyben akármelyik rá következő és az őt megelőző tag különbsége (= differenciája) állandó. Feltéve, hogy létezik megelőző tag. ���� = ����−�� + d an= a1 + (n – 1)d �� ���� = ( ���� + �� �� ���� = ������ + �� (n≥ 2 és nϵ�� + ) ���� ) (n−1)d 6.3 Adott két halmaz: A={3; 4; 5; 6} és B = {10-nél kisebb prímszámok} Adja meg a következő halmazokat: A∩B= BA= B A 6 4 A={3; 4; 5; 6} 3 5 B= {2; 3; 5; 7} 5 7 A ∩ B ={3; 5} A B= {4; 6} 6.4 Egy kör átmérőjének végpontjai: A(4;6) és B(8;0) Írja fel a kör egyenletét! A(4; 6) B(8; 0) A(4; 6) 4 +8 6+0 ) F = C( ; 2 2 �� = �� �� = ��(��; ��) x F = C(6; 3) (6 − 4)2 +(3 −

4)2 = 5 ��: (�� − 6)2 +(�� − 3)2 = 5 �� B(8; 0) 6.6 Hányféle sorrendben lehet négy különböző könyvet a könyvespolcra egymás mellé tenni? 1. hely 4 féle 2. hely 3 féle 3. hely 2 féle 4. hely 1 féle 4!= 4�3 �2�1 = 24 féle sorrendben lehet tenni. 7.1 Fogalmazza meg Thalész tételét! Thalész tétele kimondja, hogy azon pontok mértani helye a síkon, amelyekből egy adott szakasz derékszög alatt látszik az adott szakasz, mint átmérő fölé írt körvonal pontjai lesznek, kivéve a szakasz két végpontját. 7.2 Sorolja fel a hatványozás azonosságait! Azonos alapú hatványokat úgy is szorozhatunk, hogy leírjuk az alapot változatlanul és a kitevők összegére emeljük Azonos alapú hatványokat úgy is oszthatunk, hogy leírjuk az alapot változatlanul, és olyan különbségre emeljük, melyet úgy kapunk, hogy a számláló kitevőjéből kivonjuk a nevező kitevőjét. Hatványt úgy is hatványozhatunk, hogy az

alapot a kitevők szorzatára emeljük. Tétel: Azonos kitevőjű hatványokat úgy is szorozhatunk, hogy az alapok szorzatát a közös kitevőre emeljük. A szabály visszafelé azt mondja ki, hogy szorzatot tényezőnként hatványozhatunk. Tétel: Azonos kitevőjű hatványokat úgy is oszthatunk, hogy az alapok hányadosát a közös kitevőre emeljük. A szabály visszafelé azt mondja ki, hogy törtet úgy is hatványozhatunk, hogy a számlálóját és a nevezőjét is hatványozzuk. 7.3 Oldja meg az alábbi egyenletet! ���� + ����+�� + ����−�� = 11 ���� + ����+�� + ����−�� = 11 �� �� ���� = 11 �� ���� = ���� �� + �� � �� + �� � ���� + �� � ���� + ���� � ���� = 122 ���� = �� ���� = ���� x=1 Ellenőrzés: ���� + ����+�� + ����−�� = 11 2 + 8 +1 = 11

7.4 Oldja meg az alábbi egyenletet! 2sin x = 1 sinx = �� �� 30o + kˑ360o I. x = II. x = 150o + kˑ360o �� I. x = + kˑ2�� �� ���� II. x = + kˑ2�� �� II. síknegyed 90o−180o ������(180o−��) k∈Z �� �� = �� 150o 30o 1 �� 7.5 Egy háromszög csúcsainak koordinátái: A(2;2), B(8;1) és C(4;6) Mekkora a háromszög kerülete? a= b= c= (8 − 4)2 +(1 − 6)2 (4 − 2)2 +(6 − 2)2 (8 − 2)2 +(1 − 2)2 �� = 29 + 20 + 37 a = 29 b = 20 c = 37 C(4; 6) a b A(2; 2) �� = 5,385 + 4,472 + 6,083 ≈ ����, ���� ����������� c B(8; 1) 7.6 Egy osztályban 30 tanuló van Hányféleképpen választhatnak ki a tanulók közül egy kéttagú küldöttséget? �� C���� = ����! ��! ����−�� ! = ����! ��!����! = 435