Mathematics | Studies, essays, thesises » Fodor Péter - Életbiztosítások törlése kockázata a Szolvencia 2-ben

Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi kar Budapesti Corvinus Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Készítette: Fodor Péter Életbiztosítások törlési kockázata a Szolvencia2-ben Biztosítási és Pénzügyi Matematika MSc Aktuárius szakirány Témavezet®: Gerényi Attila Zoltán Bels® konzulens: Móri Tamás Valószín¶ségelméleti és Statisztika Tanszék Budapest, 2018 Köszönetnyilvánítás Ezúton szeretnék köszönetet mondani témavezet®mnek Gerényi Attila Zoltánnak, aki heti rendszerességgel szakított id®t a konzultációkra. Szakmai tanácsaival segítette munkámat, biztatásával és inspiráló észrevételeivel nagyban hozzájárult szakdolgozatom elkészülésében Emellett köszönettel tartozom családomnak, akikt®l rengeteg támogatást kaptam tanulmányaim során. 2 Tartalomjegyzék 1. Bevezetés 4 2. Szolvencia 2 6 2.1 Szavatoló t®ke szükséglet meghatározása 7 2.2 Standard formula

10 2.21 Törlési kockázat almodul 11 3. Törlési kockázat modellezése 13 3.1 Dinamikus model a törlés intenzitására 13 3.2 Törlés intenzitás momentumai 19 3.21 Piaci kamatláb dinamikája és a küls® ugrások 20 3.22 Rekurzív formula a momentumokra 21 4. Modell alkalmazása 26 5. Összefoglalás 30 Irodalomjegyzék 32 Függelék 34 3 1. fejezet Bevezetés Mint ahogy a cím is sejteti, szakdolgozatomban a Szolvencia2 témakörrel foglalkozok. A Szolvencia2 röviden a biztosítók szavatoló t®ke követelményével és a t®kemegfeleléssel foglalkozik, Magyarországon 2016 január elseje óta van érvényben. Szakdolgozatomban életbiztosítási kockázattal (modullal) azon belül a törlési kockázattal (almodullal) foglalkozok. Azért választottam a törlési kockázatot a Szolvencia2-b®l, mert 1980-as évekt®l kezdve

az életbiztosítók három legjelent®sebb kockázata közé tartozik, a piaci és a hitel kockázat mellett. Az els® fejezetben a Szolvencia2-vel foglalkozok általánosan. Bemutatom, hogy hogyan kell kiszámolni a szavatoló t®ke szükségletet Ismertetem, hogy a standard formulával hogyan számoljuk ki az életbiztosítási modult majd részletezem az életbiztosítási modul törlési almodulját, hogy milyen sokkok alkalmazásával számítjuk ki a szavatoló t®ke szükségletét. A következ® fejezetben ismertetek egy dinamikus modellt a törlési kockázat intenzitására, amivel meghatározhatjuk a törlési rátákat. Ismertetem a modell feltételezéseit és a paramétereit és részletezem, hogy milyen küls® hatástól függ az intenzitás. Ezután a törlési intenzitás momentumaival foglalkozok. A momentumokra egy rekurzív formulát, a várhatóértékre egy zárt képletet kapunk. Az utolsó fejezetben egy kizárólag kockázati életbiztosítást tartalmazó

állományon 4 fogom alkalmazni a 3. fejezetben bemutatott modellt A modellb®l kapott törlési rátákra alkalmazni fogom a 2. fejezetben ismertetett törlési almodul sokkjait Végül bemutatom, hogy melyik sokk hatására veszítene a legtöbbet a biztosító, ez határozza majd meg a szavatoló t®ke szükségletet. 5 2. fejezet Szolvencia 2 A Szolvencia2 egy irányelv ami meghatározza a biztosító tevékenységét, amelyet 2009ben fogadott el az Európai Tanács. Minden az Európai Unióban tevékenyked® biztosító és viszontbiztosító a hatálya alá tartozik, kivéve egyes kis biztosítókat. A biztosítónak egy olyan kockázat alapú rendszert kell kidolgoznia, ami által 99,5% (200 évb®l 1 évben van cs®d) valószín¶séggel teljesíti a kötelezettségeit az elkövetkez® egy évben. Vagyis arra sarkallja a biztosítót, hogy hatékony, megbízható kockázat kezelési stratégiát dolgozzon ki. A fejezethez [4]-et, [5]-öt, [6]-ot és [10]-et

használtam fel Az EIOPA (Európai Biztosítás és Foglalkoztatóinyugdíj Hatóság) meghatározott 3 pillért a Szolvencia 2 követelményeire: • Az els® pillér a kvantitatív követelményeket tartalmazza, aminek célja, hogy a biztosító rendelkezzen a szükséges t®kével. El®írja, hogyan és milyen sokkokkal számítsák ki a szavatoló t®ke szükségletet és a biztosítástechnikai tartalékokat a standard modell szerint, de megengedi (bizonyos feltételekkel), hogy saját bels® modellt használjanak. • A második pillér tartalmazza a kvalitatív követelményeket. A felügyelet által vég- zett felülvizsgálati eljárásokkal foglalkozik és magas szint¶ kockázatkezelést követel meg. El®írja a biztosítónak, hogy értékelje saját kockázatát és szolvenciá6 ját(ORSA). • A harmadik pillér lényege, hogy biztosítsa az átláthatóságot a nyilvánosság és a felügyelet felé. Kötelez® éves riportot készíteni a felügyeletnek és

el®ír közzétételi kötelezettséget pénzügyi helyzetér®l a nyilvánosság számára. 2.1 Szavatoló t®ke szükséglet meghatározása A szavatoló t®két a kiegészít® és az alapvet® szavatoló t®ke összegeként kapjuk meg. Az alapvet® szavatoló t®ke az eszközök és a kötelezettségek értékének különbözete csökkentve a tartott részvények összegével, megnövelve az alárendelt kötelezettségekkel. A kiegészít® szavatoló t®ke az alapvet® szavatolót®kén kívüli t®keelemeket foglalja magában, amik veszteség elnyelésére alkalmasak. A Szolvencia 2-ben a t®keszükségletet nem várható érték alapon számoljuk, hanem a kockázatok fels® farok-eloszlásával határozzuk meg. Legyen L egy valószín¶ségi változó (kockázat), ami leírja a biztosító adott id®szaki veszteségét és p ∈ (0, 1) . Ekkor a p szint¶ Value at Risk-et (VAR, kockáztatott érték) a következ®képpen számoljuk ki: V aRp (L) = inf {x ∈ R : P (L ≥ x)

≤ 1 − p} (2.11) Legyen L valószín¶ségi változó eloszlásfüggvénye FL (x) ekkor a VaR így írható fel: V aRp (L) = inf {x ∈ R : 1 − FL (x) ≤ 1 − p}, (2.12) ha L eloszlásfüggvénye folytonos akkor a következ® összefüggést kapjuk: P (L ≤ V aRp (L)) = 1 − p (2.13) A szavatoló t®ke szükséglet, Szolvencia 2-ben, az alapvet® szavatoló t®ke egy éves 99, 5%os szint¶ VaR-ja. Ez megegyezik azzal az összeggel, amit a biztosító vesztesége 99, 5% valószín¶séggel nem fog meghaladni. Legfontosabb el®írása, hogy a biztosítónak a szavatóló t®kéje nagyobb legyen mint a szavatoló t®ke szükséglet, ha ez nem teljesül a felügyelet 7 lépéseket tesz és ha a minimális szavatoló t®kénél is kevesebb t®két tart akkor megvonhatja a biztosító engedélyét. A minimális szavatoló tökét formulával számítják (statikus, Szolvencia 1-hez hasonlít), nagyjából az alapvet® szavatoló t®ke egy éves 75 − 80%-os szint¶ VaR-ja

(szavatoló t®ke szükséglet 25 − 45%-a). A biztosító a szavatoló t®két számíthatja a standard formula szerint (Magyarországon minden biztosító ezt használja) vagy a bels® modell szerint. A bels® modell alkalmazásához a felügyelet engedélye kell, amihez szigorú szabályokat kell teljesíteni 2.1 ábra Szolvencia 2 mérleg Az (2.1) ábra szerinti mérleget kell készíteni az S2 szerinti szavatoló t®ke meghatározására Az forrásoknak két része van, a biztosítástechnikai tartalékok és a szavatoló t®ke, az eszközök pedig piackonzisztens értékelés alapján szerepelnek. A biztosítástechnikai tartalék az az összeg, amit a biztosítónak kell zetnie, ha az összes biztosítási kötelezettségét átadná egy másik biztosítónak. A biztosítástechnikai tartalék két részb®l adódik össze, a kockázati marzsból és a legjobb becslésb®l. Az eszközök és a biztosítástechnikai tartalék különbsége a saját t®ke, ami két részre

oszlik, az alapvet® saját t®kére és a kiegészít® saját t®kére. 8 2.2 ábra Kockázati modulok 9 2.2 Standard formula A standard formula alapján modulonként illetve almodulonként határozzuk meg a szavatoló t®ke szükségletet. A (22) ábrán láthatjuk a standard formula moduljait és almoduljait Els®nek az almodulok szavatoló t®ke szükségletét kell meghatározni Minden almodulhoz meg van adva, hogy milyen sokkok alkalmazásával kell kiszámítani a szavatoló t®ke szükségletet. Az almodulok közti korrelációs mátrix használatával és az almodulok szavatoló t®keszükségletéb®l kapjuk meg a modulok szavatoló t®ke szükségletét. Mivel szakdolgozatom az életbiztosítási törléssel foglalkozik, ezért részletezem ezt a modult. A következ®képpen számítjuk az életbiztosítási modult: SCRLif e = sX Lif ei ∗ CorrLif ei,j ∗ Lif ej , (2.24) i,j ahol Lif ei és Lif ej egy-egy almodul és CorrLif ei,j az alábbi korrelációs

mátrix j -edik oszlopának i-edik eleme: 2.3 ábra Élet modul almoduljainak korrelációs mátrixa Az alap szavatóló t®ke szükségletet (BSCR) a modulok szavatoló t®ke szükségletével és a modulok közti korrelációs mátrix használatával határozzuk meg az alábbiak szerint: BSCR = sX SCRi ∗ Corri,j ∗ SCRj + SCRImm , i,j 10 (2.25) ahol a SCRi és SCRj egy-egy modul szavatoló t®ke szükséglete, SCRImm az immateriális javak kockázatából származó t®ke szükségletet jelöli, Corri,j az alábbi korrelációs mátrix j -edik oszlopának i-edik eleme: 2.4 ábra Modulok korrelációs mátrixa Az alap szavatoló t®keszükséglet kiszámítása után meghatározzuk a szavatoló t®ke szükségletet: SCR = BSCR + Adj + SCROp , (2.26) ahol BSCR az alap szavatoló t®ke szükéglet, Adj a tartalékok veszteségelnyel® hatásának korrekciója, SCROp pedig a m¶ködési kockázat t®ke szükségletét jelöli. Szakdolgozatom célja a törlési kockázat

modellezése, ezért csak a törlési almodult részletezem a következ® alfejezetben. 2.21 Törlési kockázat almodul A t®keszükségletet a törlési kockázatra a következ®képpen számoljuk: Lif elapse = max(Lapsedown , Lapseup , Lapsemass ), ahol Lif elapse a törlési kockázat t®kekövetelménye, Lapsedown a t®kekövetelmény arra a kockázatra amikor a törlési arány tartósan csökken, Lapseup a t®kekövetelmény arra a kockázatra amikor a törlési arány tartósan növekszik, Lapsemass a t®kekövetelmény arra a kockázatra amikor tömeges törlés következik be. 11 A t®kekövetelményt a tartósan csökken® törlési arány kockázatára a következ®képpen számítjuk: Lapsedown = ∆N AV |lapseshockdown , ahol ∆N AV a nettó eszköz érték és a kötelezettségek különbségének változását jelöli, a lapseshockdown 50%-os csökkenés a törlési arányban azonnal és tartósan, de a törlési arány nem haladhatja meg a 20 százalékpontot,

csak azokra a szerz®désekre nézve amik a kockázati marzs nélkül számítótt biztosítástechnikai tartalékok csökkenését eredményezné. Lapsedown = ∆N AV |lapseshockup , ahol lapseshockup 50%-os növekedés a törlési arányban azonnal és tartósan, de a törlési arány nem haladhatja meg a 100 százalékpontot, csak azokra a szerz®désekre nézve amik a kockázati marzs nélkül számítótt biztosítástechnikai tartalékok növekedését eredményezné. Ebb®l adódóan a törlési arány a következ®képpen alakul: Rup (R) = min(150% ∗ R; 100%), Rdown (R) = min(max(50% ∗ R; R − 20%); 0), ahol az Rup a sokkolt törlési arány lapseshockup -ban, az Rdown a sokkolt törlési arány lapseshockdown -ban és R az eredeti törlési arány. A Lapsemass -t úgy számítjuk ki, hogy a meglév® allományunk 30%-át azonnal töröljük, majd az eredeti törlési arányt használjuk tovább. 12 3. fejezet Törlési kockázat modellezése Ebben a fejezetben

bemutatok egy dinamikus törlési modellt, majd ismertetek a törlés intenzitás momentumaira egy rekurzív formulát és a várható értékre egy zárt formulát. A fejezetben [1]-et, [2]-®t, [3]-at, [7]-et ,[8]-at és [9]-et használtam fel. 3.1 Dinamikus model a törlés intenzitására Azt modellezzük, hogy a kötvénytulajdonosok vajon úgy döntenek, hogy törlik szerz®désüket vagy nem egy véletlen id®intervallumon. A törlés valószín¶ségét λt hazárd függvény határozza meg: a valószín¶sége, hogy egy törlést tapasztalunk egy dt hosszú id®intervallumon λt dt érték adja meg. Ebben az alfejezetben deniálom és bemutatom λt sztochasztikus intenzitást. Tegyük fel, hogy egy biztosítónak van egy portfóliója, és legyen (Nt )t≥0 az a számláló folyamat ami megadja a törlések számát az egész portfólióra egy t id®pontban, ahol a törlések {Ti }i=1,2,. id®pontokban következtek be Most deniáljuk a dinamikus fert®z® folyamatot λt

intenzitásra, a (Nt )t≥0 számláló folyamatra nézve: λt = λc + (λ0 − λc )e−βt + X Xi e−β(t−Ti ) I{Ti ≤t} + i≥1 X j≥1 ahol 13 Yj e−β(t−T̂j ) I{T̂j ≤t} , (3.11) • λc ≥ 0 a konstans visszaterési szint, • λ0 > 0 megadja a kezdeti értékét (kezd® pontját) a sztochasztikus intenzitás folya- matnak, • β > 0 a konstans exponenciális lecsengés gyorsasága, • {Xi }i=1,2. független azonosan exponenciális eloszlásúak, Xi ∼ Exp(γ), γ > 0, az öngerjesztett ugrások nagyságára Ti véletlen id®pontokban • {Yj }j=1,2. független azonosan exponenciális eloszlásúak, Yj ∼ Exp(δ), δ > 0, a kül- s® ugrások nagyságára T̂j véletlen id®pontokban, egy N̂t számláló folyamatot követ a piaci hozamok dinamikájától függ®en. Feltesszük, hogy a véletlen T̂j id®pontok azok az id®pontok amikor a relatív eltérés, RGjt , a piaci hozam és a biztosító technikai kamata között átlép egy B

> 0 küszöböt: T̂j+1 := inf {t > T̂j , RGjt = B}, (3.12) T̂0 = 0, az általános relatív eltérés a következ®képpen van deniálva: RGjt := Ft − RT̂c j T̂j , T̂j ≤ t < ∞, (3.13) ahol Ft a piacon meggyelhet® forwardot jelöli t id®pontban és RT̂c j a szerz®déses technikai kamatot jelöli T̂j id®pontban. A relatív eltérés id®beli fejl®dését a piaci forward ráták dinamikája határozza meg, feltesszük, hogy a fejl®dése geometrikus Brown mozgást (GBM) követ: dFt := µdt + σdWt , Ft F0 > 0, (3.14) ahol µ, σ ∈ R+ és (Wt )t≥0 egy standard Brown mozgás. Ezekkel a feltételekkel meghatározható ∆T̂j = T̂j − T̂j−1 eloszlása, ami által ki tudjuk számolni a törlés intenzitás momentumait. 14 A model az (3.11) egyenlet hasonlít a dinamikus fert®z® folyamatra (lásd [1]), vagyis kiterjesztése a klasszikus Hawkes intenzitásnak. Ugynazokkal a jelölésekkel a klasszikus Hawkes intenzitás a

kövekez®képpen írható fel: λt = λc + (λ0 − λc )e−βt + X Xi e−β(t−Ti ) I{Ti ≤t} , (3.15) i≥1 ami az utolsó tagtól eltekintve megegyezik az (3.11)-es egyenlettel A Hawkes alapú intenzitás sztochasztikus és növekszik amikor az Nt számláló folyamat ugrik, ami különbözik a determinisztikus Cox típusú konstans intenzitástól, amit gyakran használnak törlés modellezésére (lásd [2]). Az Xi nagyságú öngerjesztett ugrások által nagy mérték¶ törlések generálodnak, ami ellent mond a klasszikus kötvénytulajdonos viselkedés feltevéseknek Egy nagy mérték¶ piaci pánik miatt a kötvénytulajdonosok hajlamosabbak lesznek törlésre a korrelációs és fert®zés hatás miatt, és így a törlési kockázat meggyelését sokkal nehezebbé teszi. Az (3.15) egyenletet nézve, a kötvénytulajdonos törlésének Ti id®pontban Xi nagyságu hatása van a λt intenzitás folyamaton: ez a hatás exponenciálisan lecseng az id® múlásával

β gyorsasággal, amíg a konstans λ visszatérési szintet eléri. Azonban az átmeneti kockázati faktor ami a fert®zés eektust okozhatja nincs benne explicit, azonban az (3.11) egyenletben már benne van köszönhet®en a T̂j véletlen id®pontokban bekövetkez® küls® ugrásoknak. A dinamikus fert®z® folyamat, amit az (3.11)-ben deniáltam, egy sokkal általánosabb matematikai modelt mutat amiben öngerjesztett és külsö ugrások is vannak, ahol a küls® ugrás a piaci hozamok és a technikai kamat közötti relatív eltéréshez kapcsolódik. Vagyis az intenzitás folyamat, amit a (311)-ben deniáltam, biztosítja, hogy a korrelációs és fert®zés hatást is modellezni tudjam. Hogy ne veszítsünk az általánosításból feltesszük, hogy az öngerjesztett és küls® ugrások exponenciális eloszlásúak, γ és δ paraméterrel. A törlés intenzitás folyamat a következ® két dologtól függ: • (i) (Nt )t≥0 számláló folyamat, ami arra szolgál, hogy

modellezze a fert®zést a port- 15 folión belül, amit a Ti véletlen id®pontokban bekövetkezett ugrások határozzák meg (akkor növekszik eggyel ha egy törlést észleltünk); • (ii) (N̂t )t≥0 számláló folyamat, amit a T̂j véletlen id®pontokban bekövetkez® küls® P ugrások határoznak meg: (N̂t )t≥0 = I{T̂j ≤t} és a piacon meggyelhet® forward dinamikájától függ. 3.1 Megjegyzés j≥1 Az (3.11) egyenletben megadott λt intenzitás folyamat mindig na- gyobb mint a λc konstans visszatérési szint, vagyis λt ∈ [λc , ∞). Nézzünk két speciális esetet: • Ha λc = 0 akkor λt eloszlása azonosan 0 elfajult eloszláshoz konvergál, ha t ∞. • Ha λ0 = λc akkor a (λ0 − λc )e−βt tag elt¶nik, ami azt jelenti, hogy a kiindulópont megegyezik a konstans visszatérési szinttel. A szerz®dés id®tartama alatt a kötvénytulajdonosok rendszerint összevetik a szerz®déses technikai kamatukat ((Rtc )t≥0 ) középtávú és

hosszútávú piaci hozamokkal, például a piaci forward rátával (Ft )t≥0 , mint egy irányadó mutatóval. A biztosító protabilitását jelent®sen befolyásolja szerz®déses technikai kamat, ami akár nagyobb lehet mint a piaci hozam. A törlés döntését a technikai kamat és a piaci hozamok összehasonlítása határozhatja meg De hogyan tudja befolyásolni a a piaci hozam trajektóriája Ft a törlési kockázatot? Egy racionális kötvénytulajdonos nyílvánvalóan hajlamosabb lesz törölni ha a spread a piaci hozamok és technikai kamat között emelkedik. Legyen ez a spread t = 0 pontban, mint a kezdeti relatív eltérés RG0t , a következ®képpen deniálva: RG0t := Ft − R0c , R0c (3.16) ahol Ft a piaci forward t = 0 -ban , R0c := Rg , ami megegyezik a garantált hozammal (ami közel 0 manapság). Nagy relatív eltérés RG0t esetén más alternatív befektetési termékek vonzobbá válnak, mint a jelenlegi biztosítást megtartani Kezdetben RG00 ≈ 0, 16

majd Ft legfeljebb akkora mint RGg , mivel az életbiztosításoknak a piaci hozamnál nagyobb garantált hozamot kell ajánlaniuk. Ugyanígy deniálhatjuk más pontban a relatív eltérést, és a vállalat módosíthatja a szerz®déses technikai kamatot, hogy megel®zze a tömeges törlést. Közgazdasági intuíció azon alapszik, hogy a kötvénytulajdonosok hogyan reagálnak alternatív befektetési lehet®ségekre: ha a relatív eltérés t id®pontban nagyobb lesz egy adott szintnél, akkor a biztosító arra számíthat, hogy ideiglenesen megugrik a törlések száma. Ez különösen a nagy befektet®k miatt fontos, vagyis azok a kötvénytulajdonosok akik nagy számú biztosításokkal rendelkeznek Számíthatunk rá, hogy a nagyobb befektet®k jobban reagálnak a piaci hozamok változására, mint a kisebbek és az ® törlésük sokkal lényegesebb a biztosítónak likviditás és pénzügyi szempotból. Tegyük fel, hogy a biztosító kés®bb kiigazíthatja a

szerz®déses technikai kamatot minden alkalommal, amikor a relatív eltérés átlépi a B > 0 küszöböt. Tegyük fel, hogy T̂1 az els® id®pont amikor a relatív eltérés átlépi a B küszöböt, és ekkor a biztosító azonnal növeli a szerz®déses technikai kamatot a piaci hozam szintjére, vagyis RT̂c 1 = FT̂1 . Következésképpen, az új relatív eltérés RG1t a következ® lesz: RG1t := Ft −Rc T̂1 Rc T̂1 = Ft −F c Fc T̂1 T̂1 ≤ t < ∞. , T̂1 Ha a biztosító követi ezt a viselkedést, hogy amint a relatív eltérés átlépi a B küszöbötöt akkor RG1t = B , RG2t = B és így tovább, általánosan RGkt = B . Ezek az események határozzák meg a (T̂j )j=1,2,. véletlen id®pontokat a következ®képpen: T̂j+1 := inf {t > T̂j , RGjt = B}, ami meghatározza általános relatív eltérést RGjt = Ft − RT̂c j RT̂c j = Ft − FT̂c j FT̂c j , T̂j ≤ t < ∞. (3.17) A (3.1) ábrán láthatjuk a szerz®déses

technikai kamat alakulását, ami minden T̂j id®pontban ugrik 1+B szeresére és egy szimulált Geometriai Brown mozgást a piaci hozamokra, amit (3.14)-ben deiniáltam 17 3.1 ábra Piaci hozamok(fekete) dinamikája és a technikai kamat(kék) változása Szimulált trajektóriája egy Geometrikus Brown mozgásnak F0 = 1, 5% µ = 5% σ = 30% A technikai kamat változása T̂j -ban 1 + B -szeresére,ahol B = 10% A (3.2) ábrán láthatunk egy tipikus trajektóriáját a λt -t intenzitást megadó dinamikus fert®z® folyamatnak, amit (311)-ben deniáltam 3.2 Megjegyzés Jegyezzük meg, hogy Nt T̂j véletlen id®pontban nem ugrik szükség- szer¶en, mivel nem feltételezzük, hogy törlés lesz minden alkalommal amikor B küszöböt átlépi a relatív eltérés a piaci hozamok és a szerz®déses technikai kamat között. Az (311) egyenlet egy általánosabb esetet modellez: minden alkalommal amikor a piaci hozamok és szerz®déses technikai kamat közötti spread átlépi

a küszöböt, az intenzitás ugrik, ami által volatilisebb lesz a dinamikus fert®z® folyamat. Ebben az esetben N̂t számláló folyamat ugrik eggyel Nt számláló folyamat abban az esetben ugrik ha törlés van, ezek akkor esthetnek egy id®pontra, ha T̂j = Ti valamely (j, k)-ra. Vagyis ha RGjt > 0 akkor egy küls® ugrás következik be az intenzitásban. 18 3.2 ábra λt intenzitás dinamikája és Nt számláló folyamat: λ0 = 05, λc = 04, β = 2 γ = 0, 005, δ = 2 paraméterekkel 3.2 Törlés intenzitás momentumai Ebben az alfejezetben az (3.11)-ben deniált λt törlési intenzitás momentumaival foglalkozok Zárt formulát kapunk a törlések várható értékére minden t id®pontra El®sz®r 19 a (N̂t )t≥0 számláló folyamat és a véletlen T̂j id®pontok tulajdonságát részletezem. 3.21 Piaci kamatláb dinamikája és a küls® ugrások A véletlen (T̂j )j=1,2,. ugró id®pontok a folyamatban, amik leírják a fejl®dését a relatív

eltérésnek RGjt , amit (3.17)-ben deniáltam Azt feltételezem, hogy a kamatláb dinamikája Geometrikus Brown mozgást követ, µ és σ paraméterekkel (lásd (314)), aminek a megoldása: Ft = F0 e(µ−σ 2 /2)t+σW t . (3.28) Az RGjt általános relatív eltérés kielégíti a log(RGjt + 1) = µ(t − T̂j ) + σ(Wt − WT̂j ) egyenletet, ahol a T̂j események a következ®képpen karakterizálható: T̂j = T̂j−1 + inf {t > 0, (µ − σ 2 /2)t + σWt = log(1 + B)}, (3.29) felhasználva, hogy a Brown mozgásnak a növekményei függetlenek. Ebb®l következik, hogy az ugrások között eltelt id®k, vagyis ∆T̂j = T̂j − T̂j−1 , függetlenek és inverz Gaus eloszlásúak (lásd [7]), θ1 = 2log(1+B)/(2µ−σ 2 ) és θ2 = (log(1+B))2 /σ 2 paraméterekkel. Így, t > 0-ra az eloszlás- és s¶r¶ségfüggvényük: n θ (t − θ )2 o  θ 1/2 2 1 2 , exp − g(t) = 2 3 2πt 2θ1 t r    r     θ2 t 2θ2 θ2 t G(t) = Φ −1 + exp Φ − +1 , t

θ1 θ1 t θ1 (3.210) (3.211) ahol Φ a standard normális eloszlás eloszlásfüggvénye (lásd [8]). Vegyük észre, hogy T̂j = Pj k=1 ∆T̂k és legyen h(t) = E(N̂t ). Tudjuk, hogy a ∆T̂j -k függetlenek és azonos eloszlásúak, továbbá P (T̂j ≤ t) = Gj∗ (t), ahol Gj∗ a j-szeres konvolúciója G-nek. Felhasználva, hogy E(N̂t ) = kapjuk: h(t) = E(N̂t ) = P∞ j=0 ∞ X P (T̂t ≥ j), a következ® összefüggést Gj∗ (t). (3.212) j=0 [8] alapján j darab független azonos eloszlású inverz Gauss eloszlású valószín¶ségi változó konvolúciója is inverz Gauss eloszlású lesz, esetünkben Gj∗ jθ1 és jθ2 paraméterekkel. 20 3.22 Rekurzív formula a momentumokra Ebben a alfejezetben meghatározzuk a λt intenzitásnak és a Nt törlések számának a momentumait és a momentum generáló függvényét az intenzitásnak. Legyen λt momentum generáló függvénye: m(t, θ) = E(eθλt ) Legyen m(n) (t, θ) a θ szerinti n-edik

deriváltja, amib®l adódik, hogy m(n) (t, 0) az n-edik momentuma λt -nek. Legyen ξ(t, θ) ˆ θ) a momentum generáló függvénye Zt és Ẑt folyamatnak, amit a következ®képpen és ξ(t, deniálunk: Zt = Nt X Xi e βTi Ẑt = Hasonlóan ξ Xi eβ T̂i . (3.213) i=1 i=1 (n) N̂t X ˆ θ)-nak. (t, θ) és ξˆ(n) (t, θ) az n-edik deriváltja θ szerint ξ(t, θ)-nak és ξ(t, Így λt folyamatot a következ® formában írhatjuk fel: λt = (λc + (λ0 − λc )e−βt ) + e−βt Zt + e−βt Ẑt , amit felhasználunk az alábbi tételben. 3.1 Tétel λt mometum generáló függvénye felbomlik a következ®képpen: −βt ) m(t, θ) = eθ(λc +(λ0 −λc )e ˆ θe−βt ), ξ(t, θe−βt )ξ(t, (3.214) ˆ θ) Zt és Ẑt momentum generáló függvényei. ahol ξ(t, θ) és ξ(t, Bizonyítás .   −βt −βt −βt m(t, θ) = E eθ(λc +(λ0 −λc )e eθe Zt eθe Ẑt Legyen I = {T1 , T2 , ., TNt +1 } ∪ {X1 , X2 , , XXt +1 }, amit felhasználva:

m(t, θ) = eθ(λc +(λ0 −λc )e = eθ(λc +(λ0 −λc )e −βt −βt )   −βt  −βt  E E eθe Ẑt |I eθe Zt = ˆ θe−βt ), ξ(t, θe−βt )ξ(t, mivel Ẑt független I -t®l.  A törlés intenzitásának momentumai függnek Zt -t®l és Ẑt -t®l, amik megadhatók rekurzívan (lásd [9]). 21 3.21 Lemma A Zt = PNt i=1 Xi eβTi és Ẑt = PN̂t j=1 Xi eβ T̂j momentum generáló függvé- nyeit, ξ -t és ξˆ-t, a következ® rekurzív formulával adhatjuk meg: t Z θeβu
ξ(t − u, θeβu )m(1) (u, 0)du, βu γ − θe ξ(t, θ) = 1 + 0 ˆ θ) = 1 + ξ(t, Z 0 t θeβu
ˆ ξ(t − u, θeβu )dh(u), σ − θeβu (3.215) (3.216) ahol h(t) (3.212)-ben deniáltuk Z t és Ẑt momentumait a következ®képpen kapjuk meg: ξ (n) Z t n−1 X n! 1 enβu ξ (k) (t − u, 0)m(1) (u, 0)du, (t, 0) = n−k k! γ 0 k=0 ˆ 0) = ξ(t, 3.2 Tétel Z t n−1 X n! 1 enβu ξˆ(k) (t − u, 0)dh(u), n−k k! σ 0 k=0 (3.217) (3.218) A törlési

intenzitás momentum generáló függvényének az n-edik deriváltját a következ® rekurzív formula adja meg: m(n) (t, θ) = (λc + (λ0 − λc )e−βt )m(n−1) (t, θ)+ + Pn−1 i=0 n−1 i
(3.219)
e−(n−i)βt Ii (t, θ) + Iˆi (t, θ) m(i) (t, θ). ahol Ik és Iˆk {k = 1, 2, .}-re a következ®képpen vannak megadva: Ik (t, θ) = Ik−1 (t, θ) − kIk−1 (t, θ)ξ (1) (t, θe−βt ), (1) (1) Iˆk (t, θ) = Iˆk−1 (t, θ) − k Iˆk−1 (t, θ)ξˆ(1) (t, θe−βt ), ˆ θe−βt ). ahol I0 (t, θ) = ξ (1) (t, θe−βt )/ξ(t, θe−βt ) és Iˆ0 (t, θ) = ξˆ(1) (t, θe−βt )/ξ(t, Bizonyítás . A (3.214) egyenletet deriváljuk θ szerint, ekkor a következ®k kapjuk: −βt
ˆ(1) ξ (1) (t, θe−βt ) ) −βt ξ (t, θe + e m(t, θ) = −βt ˆ θe−βt ) ξ(t, θe ) ξ(t,
= (λc + (λ0 − λc )e−βt m(t, θ) + e−βt I0 (t, θ) + Iˆ0 (t, θ) m(t, θ). m(1) (t, θ) = (λc + (λ0 − λc )e−βt ) + e−βt 22 Majd ezt megint

deriváljuk θ szerint:
m(2) (t, θ) = (λc + (λ0 − λc )e−βt m(1) (t, θ) + e−βt I0 (t, θ) + Iˆ0 (t, θ) m(1) (t, θ) +
( ( + e−βt I1 1)(t, θ) + Iˆ1 1)(t, θ) m(1) (t, θ). Innen indukciót és algebrai átalakításokat használva kapjuk a tétel bizonyítását. Egy gyakorlati alkalmazása az el®bbi tételnek, ha a (3.219) egyenletbe θ = 0-t helyettesítünk akkor megkapjuk a λt intenzitás folyamatnak a momentumait. Ezt használva az alábbi lemmában megkapjuk a λt folyamat várható értékét. 3.22 Lemma A várható értéke a λt törlés intenzitás folyamatnak: βλc
−(β− γ1 )t βλc 1 E(λt ) := m (t, 0) = λ0 − e + + β − 1/γ β − 1/γ δ (1) Z t 1 e−(β− γ )(t−s) h0 (s)ds, 0 (3.220) ami a megoldása az alábbi dierenciál egyenletnek: 1
1 dm(1) (t, 0) = βλc − β − m(1) (t, 0) + h0 (t), dt γ δ ahol h(t)-t (3.212)-ben deniáltuk Bizonyítás . Legyen n = 1 a (3219) egyenletben, vagyis m(1) (t, θ) = (λc +

(λ0 − λc )e−βt ) + e−βt −βt
ˆ(1) ξ (1) (t, θe−βt ) ) −βt ξ (t, θe m(t, θ). + e ˆ θe−βt ) ξ(t, θe−βt ) ξ(t, ˆ 0) = 1 átalakíthatBehelyettesítve θ = 0-t és felhasználva, hogy m(t, 0) = ξ(t, 0) = ξ(t, juk az egyenletet a következ®képpen: m(1) (t, 0) = (λc + (λ0 − λc )e−βt ) + e−βt ξ (1) (t, 0) + e−βt ξˆ(1) (t, 0). (3.221) Itt ξ (1) (t, 0) függ m(1) (t, 0)-tól és ξˆ(1) (t, 0) függ m̂(1) (t, 0)-tól. Használjuk (3217)-et és (3.218)-at: ξ (1) (t, 0) = 1 γ Rt 0 eβu m(1) (u, 0)du, 23 ξˆ(1) (t, 0) = 1 δ Rt 0 eβu dh(u), amit®l (3.221) egy integrálegyenlet lesz Behelyettesítve (3221)-be fenti összefüggéseket majd t szerint deriválva kapjuk a dierenciál egyenletet, m(1) (0, 0) = λ0 kezd®értékkel. A 3.21-et felhasználva Nt folyamat várható értékét is meg tudjuk határozni: E(Nt ) = E t hZ i Z t λs ds = m(1) (s, 0)ds, 0 (3.222) 0 ahol használtam a Fubini tételt.

Jegyezzük meg, hogy a 3.22 tartalmaz egy végtelen sort, aminek a tagjai a küls® ugrások. Tudjuk, hogy h(t) = P∞ j=0 Gj∗ és h0 (t) = P∞ j=0 g j∗ , (g j∗ a Gj∗ deriváltja). Ezt felhasználva a következ®t kapjuk: βλc  −(β− γ1 t βλc 1 X E[λt ] = λ0 − e + + β − 1/γ β − 1/γ δ j≥1  Z t  1 g j∗ (s)e−(β− γ )(t−s) ds . (3223) 0 A numerikus számítása (3.223)-nek szorosan összefügg az alábbi végtelen szumma kiszámításával: XZ j≥1 t 1 g j∗ (s)e−(β− γ )(t−s) ds 0 Mindazonáltal a szummának csak az els® k tagjának van szignikáns hatása a várható értékre, és k függ a θ1 és θ2 paraméterekel értékét®l. Az inverz Gauss s¶r¶ségfüggvény g j∗ ellaposodik ahogy j növekszik, így a szorzat gyorsan tart a 0-hoz. 3.3 Tétel Legyen k := (θ2 /θ12 ) − 2(β − γ1 ), ahol (θ1 , θ2 ) az inverz Gauss eloszlás para- méterei, amit (3.210)-ben adtunk meg Az els® momentuma az

intenzitás folyamatnak zárt formában megadható: (i) Ha (β − γ1 ) ≤ (µ−σ 2 /2)2 2σ 2 (ekvivalensen k ≥ 0),akkor βλc  −(β− γ1 t βλc e + + (3.224) β − 1/γ β − 1/γ √ √   √ √ i √ √ θ h P 1 j 2 √ θ2 + ej kθ2 Φ − t k−j √ θ2 + 1δ e−(β− γ )t j≥1 e θ1 e−j kθ2 Φ t k−j , t t  E[λt ] = λ0 − (ii) egyébként  E[λt ] = λ0 − βλc βλc  −(β− γ1 t 1 X − θθ2 (jθ12t−t)2 e + + e 1 ∗ Re(w(zj )), β − 1/γ β − 1/γ δ j≥1 24 (3.225) ahol Φ a standard normális eloszlás eloszlássfüggvénye, Re(.) jel®li a valós részt, w(zj ) = e−zj (1 − erf (−izj )), ahol zj = 2 q −kt 2 + ij q θ2 2t és erf (z) = (2/π) Rz 0 e−t dt. 2 Látható, hogy a (3.224) és (3225) egyenletekben a törlési intenzitás várható értéke a t id®pontban 3 tagra bomlik szét: az els® két tagot csak a β, γ, λ0 , λc paraméterek határozzák meg, míg az utolsó tagot a küls®

ugrások és a piaci kamatláb dinamikája határozzák meg. Végül λt várható értékét mutatom be t ∞ esetben, mivel ez az egyik kulcs szempontja a törlési kockázatnak. 3.4 Tétel Legyen βγ > 0 , ekkor λ̄E ∞ := limt∞ = 1 βλc + , β − 1/γ δθ1 (β − 1/γ) ahol E[λt ]-t a (3.223)-ben adtuk meg 25 (3.226) 4. fejezet Modell alkalmazása Ebben a fejezetben az el®z® fejezetben bemutatott modellt fogom használni a törlés modellezésére. A modell megadja minden évhez a törlési rátát Ezt és a sokkokat felhasználva kiszámolom a Szolvencia2-es szavatoló t®keszükségletet a törlési almodulra. A számításokat Matlab, Python és Excel segítségével készítettem el (lásd a Függelékben). A modellt egy 84000 szerz®dést tartalmazó állományon alkalmaztam. Az állomány kizárólag kockázati életbiztosítást tartalmaz. Továbbá tartalmazza az éves díjat, szerz®dés kezdetét, törlés id®pontját (ha volt) és a tartamát

Az állomány éves átlag díja 2975 egység. Az (3.2) ábrán látható a törlési intenzitás és a törlés szám Mivel az állományban jóval több törlés volt (Nt ), mint ahány küls® ugrás (N̂t ) ezért a γ paramétert arányosan csökkentettem. Ennek ellenére is a küls® ugrások mértéke a törlés intenzitásban elhanyagolható A (41) ábrán láthatjuk a törlések számát az eredeti állományból számolva Összehasonlítva (4.1) és (32) ábrákat, látható, hogy nincs nagy különbség köztük, kisebb ugrásokat vehetünk észre (3.2) ábrán (41) ábrához képest 26 4.1 ábra Az állományból számolt törlések 4.2 ábra Törlési és túlélési ráta évre és sokkokra lebontva 27 A modellt használva megkapjuk az éves törlési rátákat. A várakozásoknak megfelel® számokat kaptunk, az els® két évben nagyobb a törlési arány, majd 5. évig csökken aztán beáll konstans 7%-ra. Mivel csak 12 évig állnak rendelkezésre adataim,

ezért feltételezem, hogy a 12. és az azutáni években konstans 6% az éves törlési ráta Ezekre a törlési rátákra alkalmazom a törlési sokkokat (fel sokk, le sokk, tömeges törlési sokk). A (4.2) ábrán láthatjuk a törlési és túlélési rátákat, évekre és sokkokra lebontva Az állomány csak kockázati életbiztosítást tartalmaz, ezért feltételezem, hogy a veszteség csak az elvesztett díjból származik. Nem számolom hozzá a biztosítás technikai tartalékokból adódó veszteséget, mivel ez a tétel a kockázati biztosításoknál elhanyagolható. A (4.2) ábrán látható törlési rátákat és az állomány éves díjait használva kiszámoltam a nettó eszközértéket mindhárom sokkra. Ezekb®l levonjuk az jelenlegi törlési rátákból számított nettó eszközértéket, így megkapjuk a nettó eszközérték változását. A (43) ábrán láthatjuk az eredményeket. Ha valamelyik sokkal a biztosító jobb helyzetbe kerül, akkor a sokk

hatása a képletekben nem negatív hanem 0. Várakozásoknak megfelel®en a törlési arány csökkentésével n® a nettó eszközérték (1192millióról 1611millióra), vagyis ebben az esetben nem keletkezik veszteség , míg a növelésével (1192millióról 909millióra) illetve a kezdeti 30%-os törléssel(1192millióról 918millióra) csökken. Utóbbi kett® sokknál közel azonos nagyságban 76-77%-ára csökken a nettó eszközérték. Legnagyobb veszteséget akkor szenvedjük el ha a törlési rátát 50%-al növeljük. Vagyis azt kapjuk, hogy: Lapsedown = 0m Lapseup = 283m Lapsemass = 274m Ebb®l az élet modul törlési kockázat almoduljának szavatoló t®ke szükséglete: Lif elapse = max(Lapsedown , Lapseup , Lapsemass ) = max(0m, 283m, 274m) = 283m 28 4.3 ábra Netto eszközérték és változása alap esetben illetve le,fel és tömeges törlési sokkokra bontva, millió Ft-ban megadva 29 5. fejezet Összefoglalás Szakdolgozat célja els®sorban a

törlési kockázat modellezése és annak alkalmazása a Szolvencia2-ben. A dolgozat els® felében ismertettem, hogy a standard formulával hogyan számítjuk ki a szavatoló t®ke szükségletet az életbiztosítási modulra és a törlési almodulra és hogy mely sokkokat kell alkalmazni a törlési almodulra. A dolgozat második felében ismertettem egy dinamikus modellt a törlés intenzitására, ami függ a piaci hozamoktól, majd az intenzitás momentumaira kaptunk egy rekurzív formulát. A törlési intenzitás várható értékére egy zárt formulát kaptunk, amib®l meghatározható a törlések számának várható értéke. Az utolsó fejezetben alkalmaztam a bemutatott modellt egy kizárólag kockázati életbiztosítást tartalmazó állományon. Az állományból számolt törlési ráták és a modell alkalmazásából származó törlési ráták között kis mérték¶ eltérés látható A törlési almodul mindhárom sokkjára kiszámoltam a nettó

eszközérték változást és ezekb®l a legnagyobb veszteség a szavatoló t®ke szükséglete a törlési almodulnak. Várakozásnak megfelel®en a törlési ráta tartós 50%-os emelése okozta a legnagyobb veszteséget, a tömeges törlési sokk hasonló nagyságú veszteséget okozott, míg a törlési ráta tartós 50%-os csökkentése nem okozott veszteséget. A modell használata csak kis mérték¶ változást okozott a szavatoló t®ke szükségletben, ami lehet a nagy állomány miatt vagy azért, mert csak kockázati életbiztosítást 30 tartalmaz az állomány. Nagyobb eltérést kaphatunk, ha a paramétereket megfelel®en változtatjuk vagy más dinamikát adunk meg a piaci hozamoknak, amit®l a küls® ugrások függnek. A modellt úgy fejleszthetjük (általánosíthatjuk), ha más makroökönómiai mutatóktól függ® változókat adunk hozzá a törlési intenzitáshoz, ezzel növelve a küls® ugrások számát. 31 Irodalomjegyzék [1] Darrios A. and

Zhao H (2011): A dynamic contagion process, Advances in Applied Probability URL: https://hal.archives-ouvertesfr/hal-01282601v2/document [2] Buckhardt K. and Moller T and Schmidt K B (2015): Cash Flows and Policyholder Behaviour in the semi-Markov life insurance setup, Scandinavian Actuarial Journal URL: https://www.econstoreu/bitstream/10419/167321/1/895028018pdf [3] Flavia Barsotti, Xavier Milhaud, Yahia Salhi (2016): Lapse risk in life ins- urance:correlation and contagion eects among policyholders behaviors, URL: https://hal.archives-ouvertesfr/hal-01282601v2/document [4] Hanák Gábor (2015) Eredményelemzés és szolvencia el®adásdiák [5] CEIOPS (2009). Ceiops advice for level 2 implementing measures on solvency ii: Standard formula scr - article 109 - Life underwriting risk [6] Mercs Erika (2015) Különböz® viszontbiztosítások alkalmazásainak hatása az élet- kozkázatokra számolt Szolvencia 2-es szavatoló t®kére, Eötvös Loránd Tudományegyetem [7] Shreve

S.E and Karatzas I (1991): Brownian motion and stochastic calculus, Springer [8] Seshadri V. (1999): The inverse Gaussian distribution, Springer 32 [9] Lousel S. and Milhaud X (2011): From deterministic to stochastic surrender risk models: impact of correlation crises on economic capital, European Journal of Operational Research [10] EIOPA (2014): The underlying assumtions in the standard formula for the Solvency Capital Requirement calculation 33 A. Függelék: Python kód import matplotlib import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt %matplotlib inline np.randomseed(1) ### Parameters ### T = 12 dt = 0.01 lambda 0 = 0.5 lambda c = 0.4 beta = 2 gamma = 0.005 delta = 0.01 mu = 0.01 sigma = 0.5 F0 = 0.015 B = 0.1 Rg = F0 ### The x-axis ### 34 N = round(T/dt) t = np.linspace(0, T, N) ### standard brownian motion ### W = np.randomstandard normal(size = N) W = np.cumsum(W)*np.sqrt(dt) #integral of white noise ### geometric brownian motion ### E = (mu-0.5*sigma2)t +

sigmaW F = F0*np.exp(E) ### The Tj random times ### with open(Törlés id®pontok.csv) as fname: data=fname.read() X=data.split( )[:-1] Y=list(map(float,X)) Tj s = [round(y/dt) for y in Y] ### The Tj hat hitting times ### Tj hats = [] Rc = Rg Rc f=np.zeros(N) Rc f[(0):]=F0/(1+B) for j in range(N): if F[j]>=Rc: Tj hats.append(j) Rc *= (1+B) Rc f[(j):]=Rc f[j]*(1+B) 35 ### Indicator function ### def indicator(tj,N): khi = np.zeros(N) khi[(tj-1):]=1 return khi def jumps(times,scale,t,N): return sum([np.randomexponential(scale) * np.exp(-beta*(t-t[tj])) * indicator(tj,N) for tj in times]) ### The last summand ### lambda t = lambda c + (lambda 0 - lambda c) * np.exp(-beta * t) + jumps(Tj s,gamma,t,N) + jumps(Tj hats,delta,t,N) 36 Nyilatkozat Név: Fodor Péter ELTE Természettudományi Kar, szak: NEPTUN azonosító: Szakdolgozat címe: A szakdolgozat Biztosítási és pénzügyi matematika MSc YOG9M2 Életbiztosítások törlési kockázata a Szolvencia2-ben

szerz®jeként fegyelmi felel®sségem tudatában kijelentem, hogy a dolgozatom önálló munkám eredménye, saját szellemi termékem, abban a hivatkozások és idézések standard szabályait következetesen alkalmaztam, mások által írt részeket a megfelel® idézés nélkül nem használtam fel. Budapest, 2018. december 31 a hallgató aláírása