Mathematics | Higher education » A káosz matematikája

1. A káosz matematikája Ezen fejezet a kaotikus viselkedés jellemzoit, valamint a káosz kialakulásának feltételeit és módját, a káoszelmélet alapveto vizsgálati módszereit az ún. logisztikus leképezés példáján keresztül mutatja be. Ez az egydimenziós leképezés a legegyszerubb olyan nem- lineáris differenciaegyenlet, amely meghatározott esetekben kaotikusan viselkedik. A logisztikus leképezés viszonylag részletes, a matematika nyelvén történo ismertetését, azért tartom indokoltnak, mivel véleményem szerint a káosz jelenségének, valamint a kapcsolódó fogalmak, elemzési eszközök és módszerek bemutatásának ez a legalkalmasabb módja. Logisztikus leképezés esetén valamely dinamikus rendszer állapotát leíró változó egymást követo idopontokbeli értékei között az xt +1 = rxt (1 − xt ) (1.1) egyenlet létesít kapcsolatot, ahol t = 0, 1, 2, az idopontokat jelöli. xt a rendszer t idopontbeli állapotát leíró változó, 0 ≤

r ≤ 4 kontrollparaméter, amelynek rögzített értékei mellett kísérjük figyelemmel xt idobeli alakulását. Az olyan egyenletet, amely egy rendszert leíró változó különbözo t idopontbeli értékei között létesít determinisztikus kapcsolatot differenciaegyenletnek nevezzük, tehát 1.1 is differenciaegyenlet Egy rendszer állapotának idobeli lefutását leíró x0 , x1 , x 2 sorozat neve trajektória. Vizsgálatunk célja feltárni, hogy 11 különbözo, rögzített r értékek mellett milyen trajektóriákat eredmé nyez. Ahhoz, hogy egy trajektóriát egyértelmuen definiáljunk a trajektória elemei között kapcsolatot teremto differenciaegyenlet mellett az x0 kezdoértéket is meg kell adjuk. A logisztikus leképezés estében kikötjük, hogy 0 ≤ x 0 ≤ 1 . Mindenekelott vizsgáljuk meg az f L ( x ) = rx (1 − x) függvényt. Ez a függvény egy másodfokú parabola, amelynek szárai lefelé mutatnak, két zérushelye van: x=0 és x=1. A függvénynek

maximuma van az x=1/2 helyen, amelynek értéke r/4, vagyis r-tol függ. Figyelembe véve a kontrollparaméterre tett kikötésünket a maximum értéke 0 és 1 között mozoghat. Ha a kezdoértékre és r-re tett kikötésünk teljesül, 1.1 a [0;1] intervallumot önmagára (ha r=4), illetve önmagába képezi le, és ezáltal biztosítja, hogy a trajektória valamennyi xt pontja a [0;1] intervallumra korlátozódjon. Ezért az egyszeruség kedvéért korlátozzuk az f L ( x ) = rx (1 − x) függvény értelmezési tartományát a [0; 1] intervallumra. 1.1 A differenciaegyenlet fixpontjai és azok stabilitása A logosztikus leképezés további tanulmányozása elott ismerkedjünk meg a dinamikus rendszerekhez kapcsolódó néhány alapfogalommal. Általánosságban xt +1 = f ( xt ) differenciaegyenlettel megadott dinamikus rendszer fixpontjának nevezzük az x = f (x ) egyenlet x * megoldását. Ha a rendszer fixpontból indul, vagy az iterációk során belekerül a fixpontba,

akkor ott is marad. Egy fixpont legjellemzobb tulajdonsága a stabilitása Tételezzük fel, hogy a rendszert valamilyen tetszolegesen kicsi zavaró hatás (un. perturbáció) kimozdítja a fixpontból. Stabil fixpont esetén a rendszer ezt követoen egyre közelebb kerül a fixponthoz, mígnem visszatalál oda, ha a fixpont instabil a rendszer távolodni kezd a fixponttól. Azt a tartományt, ahonnan a trajektóriák egy adott fixponthoz konvergálnak, a fixpont vonzási tartományának nevezzük. Vagyis ha a perturbáció túl nagy, és a rendszert nem csak fixpontjából, hanem annak vonzási tartományából is kilendíti a rendszer nem talál vissza a fixpontba. Vonzási tartománya természetesen csak stabil fixpontnak van, vagy ha úgy tetszik az instabil fixpont vonzási tartománya zérus. A stabilitás kritériumának feltárásához tekintsük az 1 xt+1 − x* xt − x * = f ( xt ) − f ( x * ) 1.3 xt − x * hányadost. Stabil fixpont közelében a trajektória

pontjai egyre közelebb kerülnek az x * fixponthoz. Ekkor a hányados értéke nyilván egynél kisebb Ha viszont a rendszer a fixpont közelében távolodik a fixponttól, vagyis a fixpont instabil, egynél nagyobb értéket kapunk. x * közelében 1.3 jól közelítheto az f ( x * ) differenciálhányados abszolút értékével, ezért a fixpont f ( x * ) < 1 esetén stabil, f ( x * ) > 1 esetben pedig instabil. Ha f ( x * ) = 1 a fixpontot marginálisan stabilnak nevezzük. Kitüntetett állapot, ha az f (x ) függvény szélsoértéke egyben fixpont is, ekkor f ( x * ) = 0 és az iteráció konvergálása a fixponthoz igen gyors. A fixpont ekkor szuperstabil. Most vizsgáljuk meg az 1.1 logisztikus leképezés fixpontjait a kontrollparaméter különbözo értékeinél. A fixpontok felkutatásához oldjuk meg az x = rx (1 − x ) egyenletet a [0;1] intervallumon. Ha r < 1 , egyetlen megoldás létezik: x1* = 0 . Mivel ez a fixpont r -tol független, r −1

triviális fixpontnak is nevezik. r ≥ 1 esetén egy másik megoldást is találunk: x 2* = . Ha r * * r = 1 , a két megoldás egybeesik x1 = x2 = 0 . Nézzük hogyan alakul ezen fixpontok stabilitása r különbözo értékeinél. Eloször vizsgáljuk meg az x1 = 0 fixpontot Az fL(x) függvényt * deriválva és a deriváltba az x1* = 0 pontot behelyettesítve kapjuk, hogy f L ( x1 = 0) = r . A fixpont stabil, ha 0 ≤ r < 1 , ebben a tartományban tehát egyetlen fixpont létezik, a nulla és az stabil, vonzási tartománya pedig a [0; 1] intervallum. Ebben az esetben, a stabil fixpont egyben a dinamikus rendszer attraktora. Attraktornak nevezzük azt a geometria alakzatot, amelyhez a rendszer az ido elorehaladtával konvergál. Jelen esetben ez a geometriai alakzat egyetlen pont, a stabil fixpont. Az ilyen attraktort nevezik fixpontú attraktornak Az attraktort is jellemzi vonzási tartománya, a fixponthoz hasonlóan vonzási tartomány, az a tartomány, amelybol kiindulva a

rendszer az attraktorhoz konvergál, esetünkben ennek a [0;1] intervallum felel meg. 1.1 ábra Logisztikus leképezés r=0,95, x0 =0,5 esetben 2 Az 1.1 ábra az r=0,95, x0 =0,5 esetben mutatja a rendszer muködését Az ábra a) részében grafikusan ábrázoltam az f L (x ) parabolát, valamint az y=x egyenest. A ketto metszéspontja a fixpont, ami az origóban van, hiszen x1* = 0 . A parabola és az egyenes közötti lépcsozetes vo nal az iteráció folyamatát érzékelteti. A b) ábrán látható az iterációval generált trajektória elso 20 eleme, amely a fixponthoz konvergál. r −1 Most vizsgáljuk meg az 1 ≤ r ≤ 3 esetet. Ekkor már két fixpontunk van: x1* = 0 és x 2 = . r Az x1* = 0 , mint láttuk, r ≥ 1 - nél instabil. Megjegyzem, hogy az instabil fixpontot repellornak is nevezik. x 2* stabilitásához ismét nézzük az f L ( x ) = r − 2rx deriváltat. x helyére a fixpontot helyettesítve kapjuk, hogy f L ( x 2* ) = 2 − r . A stabilitás

kritériumait alkalmazva kapjuk, hogy a fixpont stabil, ha 1 ≤ r ≤ 3 . Tehát a fixpontú attraktor az x 2* stabil fixpont, amelynek vonzási tartománya a (0; 1] intervallum. A rendszer az 1.2 ábrán bemutatott dinamikát mutat 1 ≤ r ≤ 2 esetben Ha 2 < r ≤ 3 , ez némileg módosul (1.3 ábra) A két esetben azonosak a fixpontok stabilitási viszonyai, de a trajektóriák a stabil fixponthoz eltéro módon konvergálnak: az elso esetben egy a másodikban két irányból. Az utóbbi, csillapodó oszcilláció akkor következik be, ha a stabil fixpont az fL(x) függvény maximumán túlra kerül. Az 13 ábra a részén megfigyelheto a közgazdasági modellekbol is ismert „pókháló” mozgás. 1.2 ábra r=2, x0 =0,01-hez tartozó trajektória (a fixpont szuperstabil) Tipikus logisztikus mozgás 3 1.3 ábra Trajektória r=2,9, x0 =0,01 esetben Csillapodó oszcilláció 1.2 Bifurkációk végtelen sorozata, út a káoszhoz Láttuk, hogy r > r1 ≡ 3 esetben két

instabil fixpontunk van. Ahhoz, hogy ebben a tartományban is feltárjuk a rendszer viselkedését vizsgáljuk meg az ( 2) 2 3 xt + 2 = f L ( xt ) ≡ f L ( rxt (1 − xt ) ≡ r 2[1 − ( r + 1) x t + 2rx t − rxt ] 1.4 leképezést, amely a trajektória minden második pontja közötti összefüggést mutatja. A leképezésnek nyilván fixpontjai az 1.1 fixpontjai, de itt újabb fixpontok is adódnak Mindezeket az x = f L ( 2) ( x) egyenlet gyökei adják (1.4 ábra b) része): r −1 * * x1 = 0 , x2 = r 1 x *3, 4 = [ r + 1 ± ( r + 1)( r − 3) ] 2r A 3. és 4 fixpont csak r ≥ 3 esetén létezik, és az 11 logisztikus leképezés tekintetében a következot jelenti: x *3 = f L ( x 4 ) , x 4 = f L ( x3 ) Tehát, ha a trajektória ezen két fixpont valamelyikébe belekerül, a továbbiakban felváltva fogja felvenni a két fixpont értékét, megvalósul az x *3 , x 4 , x 3 , x 4 , x 3 , x 4 , sorozat, amelyet p=2 periódusú határciklusnak nevezünk. A határciklus

stabilitásának megállapításához ( 2) f L ( x) kétszeres iterációt leíró függvény deriváltjainak értékét kell meghatározni a határciklus pontjaiban: f L ( 2) ( x *3 ) = f L ( 2) ( x 4 ) = r 2 − 2r − 4 , vagyis a két pont stabilitási viszonyai megegyeznek, stabilitásukat azonos r értéknél fogják elveszíteni. A stabilitás kritériumait felhaszná lva kapjuk, hogy a p=2 periódusú határciklus stabil, ha r1 ≡ 3 < r < 1 + 6 ≡ r2 . Az 11 leképezés stabil, kettoperiódusú határciklusának pontjai tehát egyben a 1.4 leképezés stabil fixpontjai. Ez látható a 14-es ábrán 4 1.4 ábraa) r=3,4-hez tartozó stabil p=2 periódusú határciklus, b) A ciklus pontjai egyben az fL(2) (x) leképezés stabil fixpontjai r1 ≡ 3 < r < 1 + 6 ≡ r2 tartományban a fixpontú attraktort tehát felváltja egy stabil p=2 periódusú határciklus, amit határciklusú attraktornak is neveznek. Ennek vonzási tartománya: [0; 1] r −1 {0, }

vagyis a 0 és 1 közé eso számok kivéve az instabil fixpontokat. r r -et növelve r = 3 -nál bekövetkezett az elso bifurkáció. Az x *2 fixpont elvesztette stabilitását, megszunt attraktornak lenni, és helyette megjelent egy stabil 2 periódusú határciklus. Vegyük észre, hogy r=3 esetben x *2 = x3 = x 4 . Ha r-t lassan növeljük a három fixpont 1 szétválik, az egyik elveszti a stabilitását, a másik ketto pedig stabil határciklust alkot. Ez a jelenség a bifurkáció jelensége, ami az 1.5 ábrán látható Amint az az ábráról is látszik az elso bifurkációt újabbak fogják követni, ha növeljük a kontrollparamétert. Ahhoz, hogy ennek feltárjuk az okát, tekintsük a 14 ábra b részét Az ide berajzolt négyzetek nagy hasonlóságot mutatnak az eredeti logisztikus leképezést bemutató ábrákkal, leginkább az 1.3 ábra a) részével 1.5 ábra A logisztikus leképezés elso két bifurkációja 1 x* 2 az x t+1 = f L ( xt ) ; x * 3 és x* 4 az

x t+ 2 = f ( 2) L ( xt ) differenciaegyenlet fixpontja 5 A kis négyzetekben ugyanúgy megtalálható az egyetlen szélsoértékkel rendelkezo görbe, a 45°os egyenes, a stabil és az instabil fixpont, mint az 1.3 ábrán látható egységnyi oldalú négyzetben Az 1.3 ábra esetében ahogy növeltük r -t, az egyenes egyre meredekebben metszette a parabolát, mígnem a fixpont elvesztette a stabilitását és bekövetkezett a bifurkáció. Az 14 ábrán látható helyzetben r -t növelve ugyanez történik. A negyedfokú görbe minimuma lejjebb, maximuma feljebb kerül, az egyenes egyre meredekebb pontjában metszi a görbét, r = 1 + 6 ≡ r2 praméterértéknél a stabil fixpontok instabillá válnak, a két fixpontú attraktor szerepét két p=2 periódusú határciklusú attraktor veszi át az 1.4 kettos iterációt leíró leképezésben Ez az eredeti logisztikus leképezésnél p=4 periódusú határciklust jelent, vagyis bekövetkezik az újabb bifurkáció. A

határciklus pontjai növekvo sorrendbe: x *5 , x 6 , x 7 , x 8 , ahol x 5 = f L 2 ( x 6 ) , x * 6 = f L ( x 5 ) , x 7 = f L ( x 8 ) , x 8 = f L ( x 7 ) . Vagyis ezek a pontok az f L leképezés fixpontjai. Az elhangzottakat illusztrálja az 16 ábra 2 2 2 ( 4) ≡ fL ( 2) 2 ( f L ( x)) 1.6 ábra a) r=3,54, x0=0,01 estén a logisztikus leképezés viselkedése, b) Az így generált trajektória elso 20 eleme, c) Az fL(2) leképezés két p=2 periódusú határciklusa, d) Az fL(4) eképezés 4 stabil fixpontja Az ábra a) része mutatja a p=4 periódusú határciklust és kialakulását az iteráció elorehaladtával. A nyilak mutatják, hogy a rendszer milyen sorrendben járja be a határciklus pontjait: x *5 , x 7 , 6 x *6 , x 8 . „A sorrend jellegzetessége, hogy az egymásra következo pontok az elozo, kettoperiódusú határciklus pont jaiból származtak bifurkáció útján. A trajektória tehát az elozo határciklusra jellemzo periódusidovel oszcillál a

ketto, egyenként két pontból álló csoport között.” Szépfalusy[1] A négyperiódusú határciklussal kapcsolatban még meg kell jegyezni, hogy az ábra d) részén látható f L ( 4) ( x) görbe meredeksége valamennyi fixpontban megegyezik, vagyis a kétperiódusú határciklushoz hasonlóan a fixpontok stabilitási viszonyai azonosak, stabilitásukat azonos r értéknél veszítik el. A kontrollparamétert tovább növelve a rendszer viselkedésére vonatkozóan anélkül is messzemeno következtetést vonhatunk le, hogy az f L ( 4) ( x) fixpontjainak értékét és a görbe meredekségét az egyes fixpontokban pontosan meghatároznánk. Az 16 ábra d) részén látható kis négyzetekben r növelése esetén ugyanúgy le fog játszódni a bifurkáció, mint azt f L ( 2) ( x) , vagy f L (x ) fixpontjainak esetében láttuk. r = r3 -nál a négyperiódusú határciklust felváltja a nyolcperiódusú, ami f L (8) ( x) leképezésnél nyolc stabil fixpontot jelent, amelyek

stabilitási viszonyai azonosak, a görbe meredeksége a fixpontokban megegyezik. Amikor ezek elvesztik stabilitásukat ( r = r4 ) bekövetkezik a p=16 periódusú határciklus. Vagyis a kontrollparamétert növelve a rendszer hosszú távú viselkedését az egyre hosszabb p = 2 k periódusú határciklusú attraktor fogja leírni, amelyek a p = 2 k −1 periódusú határciklus pontjainak bifurkációjával keletkeznek a kontrollparaméter rk értékénél. Az instabil p = 2 j ( j < k ) periódusú határciklusok pedig a rendszer repellorát alkotják. A p = 2 k periódusú határciklus pontjainak bejárási sorrendje a négy periódus esetében leírtakkal analóg módon alakul: valamennyi instabil határciklus frekvenciája megtalálható a stabil határciklus frekvenciájában. Az r1 , r2 , r3 , sorozatot Feigenbaum szekvenciának nevezzük. Ez a sorozat konvergens: lim rn = r∞ ≡ 3,569945672. , azaz a kontrollparaméter ezen értékénél kialakul a végtelen n ∞

periódus ideju stabil határciklus , ami azt jelenti, hogy a trajektória az iterációk során ugyanazt az értéket maximum egyszer veheti fel. Így ez a mozgás már nem periodikus Ezzel eljutottunk a kontrollparaméter kaotikus tartományába. Tulajdonképpen a végtelen periódusú határciklus, a rend és a káosz közötti átmeneti állapot, még nem nevezheto káosznak. r −r A Feigenbaum szekvenciáról még tudjuk, hogy: lim k k −1 = δ = 4,6692016. , ami azt jelenti, k ∞ r k +1 − rk hogy a sorozat szomszédos pontjai távolságainak aránya ehhez az értékhez konvergál, tehát kvázi egy mértani sorozatról van szó. Ez az érték valamennyi perióduskettozodést mutató és egyetlen négyzetes maximummal rendelkezo leképezés esetében azonos, vagyis δ egy univerzális állandó. Emiatt valamennyi, a logisztikushoz hasonló leképezés azonos módon jut el a káoszhoz. Az 17 ábrán az un bifurkációs diagram látható A diagram a kontrollparaméter

függvényében ábrázolja a leképezés attraktorának pontjait. A bifurkációs diagramot úgy kapjuk, hogy megfeleloen kicsi lépésközzel a kontrollparamétert végigfuttatjuk a [0;4] intervallumon, s minden egyes r értékre megvizsgáljuk, hogy egy megfelelo kezdoértékhez ( 0 < x0 < 1 ) tartozó trajektória elegendoen sok iterációt követoen (amikor a trajektória már az attraktoron mozog) a további iterációk során milyen értékeket vesz fel. Esetünkben a kontrollparamétert 0,002 ezredes lépésközzel futtattuk végig a [0;4] intervallumon és r minden egyes így nyert értékére 500 iteráció elvégzése után figyeltük meg a leképezés viselkedését. Az ábrán megfigyelhetjük a bifurkációk végtelen sorozatát, a Feigenbaum szekvenciát. Az ábráról az is kitunik, hogy a 7 logisztikus leképezés r∞ < r ≤ 4 esetén az eddigieknél jóval bonyolultabb és érdekesebb dinamikát ír le. A diagramon a függoleges tengely mentén is

érvényesül egy aszimptotikus arányosság, amely a villák ágai közti távolság csökkenését jellemzi a bifurkációk elorehaladtával. Ezt az arányt α -val szokták jelölni, értéke 2,5 körül van. Mindez azt eredményezi, hogy a bifurkációs diagram önhasonló és finomstruktúrájú, vagyis fraktáltulajdonságai vannak (legalábbis, a végtelen periódusú határciklusig). 1.3 Káosz a logisztikus leképezésben A káosz alapveto sajátossága, a kezdofeltételekre mutatott érzékenység, ami azt jelenti, hogy az egymáshoz közeli kezdoértékkel indított trajektóriák idoben exponenciálisan távolodnak egymástól. Ez véletlenszeru viselkedést eredményez a determinisztikus rendszerben Pontosabban fogalmazva a káosz minden véges pontosságú mérés, a kezdofeltételek véges pontosságú ismerete esetén jelent véletlenszeru viselkedést. Ekkor a rendszer állapotára vonatkozóan hosszú távra csak a kezdofeltételek végtelen pontosságú ismerete

esetén készíthetnénk elorejelzést, mivel bármilyen kis mérési hiba a kezdofeltételek meghatározásánál hosszabb távon annyira felerosödik, hogy a rendszer jelenlegi állapotára vonatkozó véges pontosságú adatokból a jövobeli állapotra semmilyen következtetést nem tudunk levonni. Más szavakkal: a kaotikus trajektória elnyeli véges pontosságú méréseink információtartalmát. Ezért bár determinisztikus kapcsolat van a jelenlegi és az elorejelezni kívánt jövobeli állapotok között, mégis úgy érzékeljük, mintha a jövobeli állapot csak a véletlentol függne, vagyis független lenne a jelenlegi állapottól. Ebben a helyzetben nem tehetünk mást, minthogy megállapítjuk, hogy a kaotikus mozgás mely tartományra korlátozódik, s a tartomány értékeit milyen valószínuségsuruség mellett veszi fel. Ezt fejezi ki a Royal Society definíciója, mely szerint a káosz sztochasztikus viselkedés determinisztikus rendszerekben. Meg kell

jegyezzük, hogy az egymáshoz közel indított trajektóriák exponenciális távolodása önmagában még nem kaotikus viselkedés. A káosznak ezen túl még feltétele, hogy a trajektóriák x t elemei egy véges tartományra korlátozódjanak, amit az ún. visszatérítési mechanizmus biztosít. Példaként tekintsük az xt +1 = 2 xt lineáris differenciaegyenletet. Ebben az esetben az x t explicit módon is meghatározható, azaz a differenciaegyenlet megoldható: xl = x0 2 t . Legyen ε egy tetszolegesen kicsi pozitív szám, mérési hiba. Az x 0 + ε kezdoérték mellett a trajektória a t idopontban: ( x0 + ε ) 2t = x0 2 t + ε 2 t = xt + ε 2 t , vagyis a trajektóriák exponenciálisan távolodnak. De ez a leképezés mégsem kaotikus, mivel x t nem korlátozódik véges tartományra. Az ido elorehaladtával a trajektória a végtelenhez tart: lim ( x0 2 t ) = ∞ Ekkor t ∞ használható következtetést tudunk levonni a jövore vonatkozóan a kezdoérték

véges pontosságú ismerete estén is. Ezt azért tehetjük meg, mivel idoben nem változik a hiba relatív nagysága: ε ε 2t = . Ezzel szemben a logisztikus differenciaegyenlet nemlineáris volta és a x0 x 0 2t kontrollparaméterre valamint x 0 -ra tett kikötéseink biztosítják, hogy x t a [0; 1] intervallumra korlátozódjon, és megfigyelhessük a káosz jelenségét. 1.31 Az ergodicitás A logisztikus leképezés vizsgálata során a kontrollparamétert növelve eloször fixpontú attraktorokkal találkoztunk, majd ezek szerepét átvették az egyre nagyobb periódusideju 8 határciklusú attraktorok, mígnem eljutottunk a káosz küszöbéig a végtelen periódusú határciklusig. Itt kezdodik r kaotikus tartománya Azonban ha ránézünk a bifurkációs diagrammra, láthatjuk, hogy nem olyan egyszeru a helyzetünk, hogy azt mondhassuk: ezen a ponton túl a rendszer kaotikusan viselkedik. Csak annyit jelenthetünk ki, hogy ez az a tartomány, ahol elofordulhat kaotikus

viselkedés. A kaotikus tartomány feltérképezését kezdjük az r = 4 értékkel. Itt találjuk az ún teljesen kifejlodött káoszt (18 ábra) 1 a) x t+1 1 0,9 0,9 0,8 0,8 0,7 0,7 0,6 0,6 0,5 0,5 0,4 0,4 0,3 0,3 0,2 0,2 0,1 0,1 0 xt 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 b) xt 0 0 10 20 30 40 t 1.8 ábra r=4, x0 =0,1-hez tartozó kaotikus trajektória Az ábra a) részén látható xt +1 = 4 xt (1 − xt ) leképezés jellegzetessége, hogy a [0;1/2] és az [1/2;1] intervallumokat kétszeresére nyújtja. A két szakasz megnyújtott képe egybeesik, ezt összehajtásnak nevezzük. A nyújtás és az összehajtás mozzanatát illusztrálja 19 ábra 1.9 ábra Nyújtás és összehajtás Az iteráció során tulajdonképpen sorozatosan végezzük a szakaszok nyújtását és összehajtását, ez kicsit olyan, mint amikor a háziasszony tésztát dagaszt. Így nem csoda, hogy igen bonyolult, önmagát nem ismétlo, aperiodikus trajektóriát kapunk, mint amilyen a

1.8 ábra b) részén látható 9 A nyújtás és az összehajtás a káosz alapveto feltétele. A nyújtás felelos a kezdeti feltételekre való érzékenységért, az összehajtás pedig a visszatérítési mechanizmusért. Ha ránézünk az 1.8 ábrára láthatjuk, hogy a trajektória semmilyen szabályszeruséget nem mutat, s értékei a teljes [0;1] intervallumra kiterjednek. Az „ x 0 -ból kiinduló pálya lassan kitölti a teljes [0;1] intervallumot, a pálya pontjai tetszolegesen közel kerülhetnek a [0;1] intervallum bármelyik másik pontjához. Az ilyen pályákat szokás ergodikusnak nevezni”Fokasz Nikosz[2] Azonban nem minden x 0 -hoz tartozik ergodikus pálya. r = 4 esetén a [0;1] intervallumon végtelen sok olyan x 0 -t találunk, amelyekhez periodikus trajektória tartozik. Ezek a pontok azon instabil fixpontok, illetve instabil határciklusok pontjai, amelyek valamely r < 4 esetben még stabilak voltak, vagyis a repellorok. Az ergodikus trajektóriákhoz

tartozó x 0 pontok mértéke megegyezik a [0;1] intervallum hosszával, azaz majdnem minden kezdeti feltételbol kiindulva ergodikus trajektóriát kapunk. Más szavakkal: ha véletlenszeruen választunk kezdoértéket a [0;1] intervallumból (mondjuk egyenletes eloszlás mellett) nulla a valószínusége, hogy periodikus trajektóriát találunk. Mesterségesen azonban megpróbálhatunk ilyet keresni: x 0 = (5 + 5 ) / 8 -hoz tartozó periodikus pálya Az ergodicitás pontos matematikai definíciója szerint: „Ergodikusnak tekintjük az x t+1 = f ( xt ) iterációt, ha majdnem minden kezdeti feltételbol kiindulva a h ( x t ) integrálható függvény trajektória menti átlaga eloáll a 1 1 N lim h ( x ) = ∑ t ∫0 h( x)P (x )dx N ∞ N t= 0 alakban”Szépfalusy[1]. A képletben P(x) az a suruségfüggvény, amely szerint az ergodikus trajektória felveszi a [0;1] intervallum pontjait. P(x) nem függ x 0 konkrét értékétol, csak a leképezés alakjától. P(x)-et

gyakorisági görbével közelíthetjük A 111 ábrán látható az r = 4 hez tartozó logisztikus leképezés gyakorisági görbéje, amelyet úgy kaptuk, hogy a [0;1] intervallumot ezer egyenlo részre osztottuk, és 1000000 iterációt végezve megszámoljuk, hogy a trajektória hányszor esik az egyes intervallumokba. 1.10 ábra r=4, 10 1.11 ábra Ergodikus trajektória gyakorisági görbéje 1 . Ha tehát egy dinamikus π x(1 − x) rendszer viselkedését az r = 4 kontrollparaméteru logisztikus leképezés írja le, hosszú távú elorejelzés esetén csak annyit mondhatunk, hogy a jövobeli értékek a [0;1] intervallumon szóródnak a megadott suruségfüggvény szerint. Ergodikus leképezés esetén, a tartományt, amelyen az ergodikus trajektóriák értékei szóródnak, különös attraktornak nevezzük. Ezért jelen esetben a különös attraktornak a [0;1] intervallum felel meg. Az attraktor vonzási tartománya ugyancsak a [0;1] intervallum. P(x) függvényt

analitikusan is meghatározták: PL ( x ) = 1.32 A Ljapunov exponens Az elorejelzéshez véges pontosságú mérési eredmény használhatatlan a kezdofeltételekre való érzékenység miatt. Most vizsgáljuk meg, hogy miként lehet mérni a közeli trajektóriák távolodásának a sebességét, vagyis a kezdofeltételekre való érzékenységet. Erre a célra legalkalmasabb az x t trajektória mentén definiált 1 N ∑ ln f ( xt ) N ∞ N t= 0 Ljapunov exponens, ami a következo alakban is felírható: 1 N 1 1 (N ) λ = lim ∑ ln f ( x N ) f ( x N −1 ). f ( x0) = lim ln f ( x0 ) = lim ln x N ( x0 ) N∞ N N ∞ N N ∞ N t= 0 ami közelítoleg: 1 x (x + ε ) − x N (x 0 ) λ ≈ lim ln N 0 N∞ N ε ahol ε 0 . Ebbol azt kapjuk, hogy: x N ( x0 + ε ) − x N ( x 0 ) ≈ ε e Nλ Ez utóbbi alak jól szemlélteti, hogy negatív Ljapunov exponens esetén a trajektóriák egymáshoz közelednek, vagyis érzéketlenek a kezdofeltételekre, amennyiben λ pozitív a pályák

exponenciálisan távolodnak egymástól. Az említett közeledés illetve távolodás pedig annál gyorsabb, minél nagyobb az exponens abszolút értéke. Ha minden t-re xt = x * , azaz a rendszer fixpontjában van: λ = lim 1 N * ln f ( x t ) = ln f ( x ) 1.5 ∑ N∞ N t =0 Hasonlóan p=2 periódusú határciklusnál: λ = lim 11 1 1 * * * * (ln f ( x3 ) + ln f ( x4 ) ) = ln( f ( x3 ) × f ( x 4 ) ) = 2 2 1.6 1 1 * * (2 ) ( 2) = ln f ( x4 ) = ln f ( x3 ) 2 2 Az 1.6 egyenloség mutatis mutandis bármilyen p periódusideju határciklusra felírható Általánosan p=k periódus esetén: 1 λ = ln f ( k ) ( x* ) 1.7 k Ahol x * a határciklus pontja. Ez egyben azt is igazolja, hogy a határciklus bármely pontjában az f ( k ) ( x) leképezés meredeksége azonos, vagyis a határciklus pontjainak stabilitási viszonyai megegyeznek. 15-17 összefüggések nemcsak akkor teljesülnek, ha a trajektóriát fixpontból, vagy a határciklus valamely pontjából indítjuk, hanem

akkor is, ha a fixpont illetve határciklus stabil és x 0 eleme a vonzási tartománynak. Ekkor ugyanis a trajektória menti átlagolásnál a dönto súly az attraktor pontjaira esik. Ebbol az is következik, hogy adott attraktor vonzási tartományából indított bármely trajektória menti Ljapunov szám állandó. Ha figyelembe vesszük, amit a leképezések stabil fixpontjaiba húzott érinto meredekségérol tudunk, nem nehéz belátni, hogy a fixpontú és határciklusú attraktorok vonzási tartományaiból indított trajektóriákra a Ljapunov szám negatív, ha pedig a trajektória valamely repellor értékeit veszi fel pozitív. 17-ból az is következik, hogy végtelen periódusú határciklus esetén λ = 0 Ergodikus leképezés esetén a meredekségek logaritmusát a különös attraktor pontjaira kell átlagolni az érvényesülo suruségfüggvénynek megfelelo „súlyokkal”. Ez integrálást jelent: λ= 1 λ = ∫ P( x) ln f ( x ) dx 0 0 Mivel valamely

különös attraktor vonzási tartományából indított valamennyi ergodikus trajektória azonos tartományon, azonos P( x) mellett szóródik, különös attraktor esetén is igaz, hogy az attraktor vonzási tartományából indított bármely trajektória mentén a Ljapunov szám megegyezik. Láttuk tehát, hogy a Ljapunov exponens egy adott trajektóriát jellemez. A teljes leképezés kaotikusságát az átlagos Ljapunov kitevo méri: 1 λátl. = ∫ λ ( x 0 ) dx0 I Ahol arra az I hosszúságú intervallumra történik az integrálás, amelyen az adott leképezést értelmeztük. Azt is beláttuk, hogy adott leképezés attraktorának vonzási tartományából indított trajektóriákra a Ljapunov szám állandó. Mivel a logisztikus leképezésnél majdnem minden x 0 eleme az attraktor vonzási tartományának, a Ljapunov exponens majdnem minden kezdeti értékre megegyezik, s egyenlo az átlagos Ljapunov exponenssel. Az 112 ábra r függvényében mutatja az átlagos Ljapunov

exponens értékét: 12 1.12 ábra Az átlagos Ljapunov exponens a kontrollparaméter függvényében Eloször tekintsük a 0 ≤ r ≤ r∞ szakaszt. Itt a Ljapunov exponens sehol nem emelkedik nulla fölé, a rendszer érzéketlen a kezdofeltételekre. A görbe a szuperstabil fixpontú vagy szuperstabil határciklusú pontokban a mínusz végtelenhez tart. Az exponens értéke marginális stabilitás estén nulla. Ekkor a trajektóriák közti távolság az iteráció elorehaladtával nem változik r = r∞ esetén λátl. = 0 r = r∞ felett található a kaotikus tartomány Ezen a szakaszon találunk negatív és pozitív értékeket is. Azon r értékeknél, ahol az exponens pozitív a leképezés kaotikusan viselkedik, ahol negatív ott stabil határciklusú attraktort találunk. Ezen a szakaszon tehát felváltva követik egymást a rend és a káosz tartományai Az átlagos Ljapunov exponens maximumát az r = 4 paraméterértéknél veszi fel, azt is tudjuk, hogy a

maximum értéke: ln 2 ≈ 0,693147 . Általánosságban egy ergodikus leképezésnél akkor beszélünk káoszról, ha az ergodikus trajektóriák mentén a Ljapunov exponens pozitív. Összegezzük tehát amit az r = 4 paraméterhez tartozó logisztikus leképezésrol tudunk: 1. Majdnem minden kezdoérték esetén a leképezés ergodikus trajektóriát generál 2. Végtelen sok, kezdoértékhez tartozik periodikus pálya Az ilyen kezdopontok halmazának a mértéke zérus. 3. Bármely a [0;1] intervallumból indított trajektória mentén a Ljapunov exponens pozitív Az egymáshoz közel indított trajektóriák exponenciálisan távolodnak egymástól. 4. Minden ergodikus pálya mentén számított Ljapunov szám és az átlagos Ljapunov szám értéke: λ = ln 2. 5. Általánosságban egy ergodikus leképezésnél akkor beszélünk káoszról, ha az ergodikus trajektóriákhoz pozitív Ljapunov exponens tartozik. A leképezés tehát kaotikus 6. Mivel az ergodikus pályák pontjai

a leképezés teljes értelmezési tartományán szóródnak az ún. teljesen kifejlodött káosz állapotáról beszélhetünk 1.4 A kaotikus tartomány A logisztikus leképezés r∞ < r < 4 kontrollparaméterérték melletti viselkedésének feltérképezéséhez hívjuk segítségül a bifurkációs diagram ezen tartományt ábrázoló részét, amelyen megfigyelhetoek a különbözo r értékhez tartozó periodikus és különös attraktorok (1.13 ábra) Az ábráról látszik, hogy a kontrollparaméter kaotikus tartományában a különös és a periodikus attraktorok váltakozva követik egymást. Eloször csak a különös attraktorokkal foglalkozzunk r = 4 esetben a különös attraktor nem más, mint a teljes [0;1] intervallum. A paramétert 13 csökkentve a különös attraktornak megfelelo intervallum szukülni kezd. Az ergodikus trajektóriák mozgása véges számú lépés után az [ f L ( 2) ( xˆ ); f L ( xˆ )] intervallumra korlátozódik, (ahol x̂ az

fL(x) parabola maximumhelye, xˆ = 1/ 2 ), azaz a különös attraktor ezen az intervallumon nem nyúlhat túl. Tekintsük például az r = 3,91 -hez tartozó gyakorisági görbét (1.14 ábra): 1.14 ábra r=3,91-hez tartozó ergodikus pálya gyakorisági görbéje Az ábrán nem csak az figyelheto meg, hogy a különös attraktor a [0;1] intervallumnál rövidebb intervallumnak felel meg, hanem az is hogy a PL(x) suruségfüggvény más jellegu, mint a teljesen kifejlodött káosz esetében. r = 4 esetben a suruségfüggvény folytonos volt a (0;1) intervallumon, a 1.14 ábrán viszont kisebb- nagyobb kicsúcsosodásokat látunk Ennek az az oka, hogy a suruségfüggvénynek az f L (t ) ( xˆ ) t=1, 2, 3, pontokban a határértéke + ∞ . Ezeknek a csúcsoknak a bifurkációs diagrammon a környezetüknél sötétebb vonalak felelnek meg. Az r = 4 -hez tartozó suruségfüggvény határértéke csak két helyen volt + ∞ , az x=0 és az x=1 pontokban. Mivel az x=0 pont fixpont, r =

4 -nél ez a két pont felelt meg az f L (t ) ( xˆ ) pontoknak, de r < 4 esetben több ilyen pontot is találunk. 1.41 A kaotikus sávok kettéválásának végtelen sorozata A kontrollparaméter értékét tovább csökkentve r = p1 ≅ 3,6785738 1 értéknél a különös attraktor sávja kettéválik, azaz az attraktort két elkülönült intervallumban fogja megtestesíteni. A kettéválás jelensége jól szemléltetheto, ha a logisztikus leképezés második iteráltját a p1 paraméterérték mellett ábrázoljuk ( 1.15 ábra) 1 p 1 értéke az f L ( p1 , xˆ ) = x 2 egyenletbol határozható meg. ( 3) * 14 1.15 ábra r=p1 értékhez tartozó fL (2 ) ( x) leképezés A kijelölt négyzetekben az f L ( 2 ) ( x) leképezés képe hasonló a teljesen kifejlodött káosz állapotához. A négyzetekben a teljesen kifejlodött káosz lokálisan valósul meg Ahol a négyzetek oldalai képviselik a különös attraktorokat, és azok vonzási tartományait. Ezen

vonzási tartományokból indított ergodikus trajektóriák mentén a Ljapunov exponens értéke λ = ln 2 . A második iterált által meghatározott leképezés viselkedése magánál a logisztikus leképezésnél abban nyilvánul meg, „hogy az iteráció p=2 periódussal oszcillál az [ f L ( 2) ( p1 , xˆ ); x 2* ] és az * [ x2 ; f L ( p1 , xˆ )] intervallumok között, míg az intervallumokat kaotikus módon járja be”Szépfalusy[1]. Az r1 -hez tartozó suruségfüggvényt mutatja be a 116 ábra: 1.16 ábra Gyakorisági görbe r = p1 -nél r = p1 paraméterértéknél a teljes f L (x) leképezés által generált ergodikus trajektóriák mentén a Ljapunov exponens a következoképpen határozható meg: 1 2N λ ( p1 ) ≡ lim ∑ ln f ( xt ) = N∞ 2N t =0 ,1 . 1 1 2N ln 2 lim ln f (2 ) ( x t ) ≡ ∑ N ∞ 2 N t= 0, 2. 2 Ami várakozásainknak megfeleloen pozitív. A kontrollparamétert csökkentve a 115 ábrán látható görbe nem érinti többé a négyzetek

oldalait. A kontrollparaméter kaotikus értékeinél a különös attraktornak az [ f L ( 2) ( xˆ ); f L ( 4) ( xˆ )] és az [ f L (3) ( xˆ ); f L ( xˆ )] egyre csökkeno hosszúságú intervallum felel meg. r-t tovább csökkentve r = p 2 értékné l a különös attraktor intervallumai kettéválnak, így az már négy egyre csökkeno intervallumból tevodik össze. Ekkor az ergodikus trajektóriák p=4 periódussal oszcillálnak a négy szakasz között (hasonlóan a stabil határciklushoz), de az egyes intervallumokon belül már az adott leképezésre jellemzo suruségfüggvény szerint, kaotikus módon veszik fel konkrét értéküket. A paramétert tovább = k csökkentve folytatódik az intervallumok osztódása. Az r = p k értéknél az f L ( 2 ) ( x ) leképezésben lokálisan 2 k számú teljesen kifejlodött káoszt találunk. A p k pontban a 2 k −1 számú sáv mindegyike kettéválik. Az ergodikus trajektóriák menti ln 2 Ljapunov exponens: λ ( pk ) = k . A 2

k sáv határait r [ p k +1 ; p k ] intervallumán f L ( t) ( xˆ ) pontok 2 jelölik ki. A sávok között a trajektóriák 2 k periódusidovel oszcillálnak Amint az a bifurkációs 15 diagrammon is megfigyelheto: lim p k = r∞ , azaz a határérték megegyezik a végtelen periódusú k ∞ határciklusnak megfelelo r paraméterértékkel. A végtelen periódusú határciklus tehát átmenet a periodikus mozgás és a káosz között. Ez az átmeneti jelleg alapvetoen a végtelen periódusú határciklusú attraktoron történo mozgás két tulajdonságában nyilvánul meg. Eloször is a Ljapunov exponens értéke nulla. Másodszor ez a mozgás nem periodikus hiszen soha nem ismétli meg önmagát. De nem is ergodikus, mivel nem tudunk olyan intervallumot kijelölni, amelynek bármely pontjához a trajektória elobb- utóbb tetszolegesen közel kerül. 1.42 Periodikus és különös attraktorok váltakozása Egy másik szembetuno jelenség, amelyet a kaotikus tartományban

megfigyelhetünk a határciklusú és a különös attraktorok váltakozása. r = 4 esetben a leképezés maximumhelyének iteráltja az x = 0 fixpont, vagyis f L ( t ) ( xˆ ) = 0 , t=2, 3, 4, . De ha r hajszálnyival kisebb négynél, akkor ez a sorozat lassan növekvo számokkal kezdodik. 4 − r > 0 minnél kisebb az ( t) f L ( xˆ ) sorozat annál késobb éri el, vagy haladja meg az xˆ ≡ 0,5 értéket. A kontrollparamétert közelítve négyhez a sorozat ezen elemeinek száma tetszolegesen növelheto. A paramétert csökkentve az r = p q helyeken áthaladva az elemek száma eggyel csökken. Az r = p q esetben f L ( xˆ ) = xˆ , q=5, 4, 3. Vagyis mielott elérnénk az r = p1 értéket a p q , p q−1 ,, p3 pontokban , p=q, p=q-1, , p=3 periódusú határciklusokkal találkozunk. Mivel a ciklusokban szerepel az x̂ maximumhely ezen határciklusok szuperstabilak, vagyis az ezekhez tartó trajektóriák mentén λ = −∞ . A p=3 szuperstabil határciklust mutatja be a 117

ábra: (q ) 1.17 ábra r = p3 ≈ 3,83187 paraméter mellett a) a logisztikus leképezés p=3 periódusú stabil határciklusa, b) a logisztikus leképezés harmadik iteráltjának három stabil fixpontja Az ábra a) részén a nyilak a stabil határciklus pontjainak bejárási sorrendjét érzékeltetik. A b) ábrán a szuperstabil fixpontok körüli négyzetekben r -t növelve megfigyelheto a bifurkációk végtelen sorozata, majd a különös attraktorok sávszerkezete, valamint a periodikus és különös attraktorok váltakozása. Vegyük észre, hogy a kaotikus tartomány határciklusainak bejárási sorrendje más logikát követ, mint amilyet a bifurkációk sorozatánál megfigyeltünk. A kétfajta bejárási sorrendet p=4 periódusidore a 1.18 ábra mutatja 16 A kaotikus tartományban p=3 és p=4 periódusú stabil határciklusból csak 1-1 létezik, de p=5 periódusúból már három, mindegyik más bejárási sorrenddel, „s a periódusok számával gyorsan

növekszik az eloforduló határciklusok száma”Szépfalusy[1]. Mindezekbol látható, hogy a bifurkációs diagram rendkívül bonyolult struktúrájú. 1.18 ábra p=4 periódusú határciklus a) r ≈ 3,96027 esetben, b) r ≈ 3, 49856 esetben Egyes részleteit bármekkorára is kinagyítjuk, az ugyanilyen mértéku részletezettséget mutat. Továbbá a rész hasonló stuktúrájú, mint az egész, az alakzat önhasonló, fraktáltulajdonságai vannak. Felmerül továbbá a kérdés, hogy valójában r mely értékeinél találunk káoszt Általában egy adott paraméterérték, és kezdofeltétel esetén a trajektória kaotikus viselkedését tesztelhetjük a Ljapunov exponens és a P(x) suruségfüggvény numerikus úton történo meghatározásával. Az viszont bebizonyítható hogy azon r paraméterértékek halmazának a mértéke, amelyeknél a rendszer kaotikusan viselkedik nagyobb, mint nulla. Kaotikus mozgást érhetünk el, ha r = p q pontból kiindulva a

kontrollparamétert lassan csökkentjük. A káosz kialakulásának ezen útja az intermittencia 17