Mathematics | Probability theory » Valószínűség-számítás feladatok kidolgozva

KOD: B377137 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. Egy csomagológép 1 kilogrammos zacskókat tölt. A zacskóba töltött cukor mennyisége normális eloszlású valószínûségi változó 1 kg várható értékkel és 0.038 kg szórással A zacskó súlyra nézve elsõ osztályú, ha a súlya 0.95 kg és 105 kg közé esik Mi a valószínûsége, hogy két véletlenül kiválasztott zacskó közül legalább az egyik elsõ osztályú? Egy dobozban 12 alkatrész van, amelyek közül 9 selejtes. 7 elemû mintát veszünk visszatevéssel Mi a valószínûsége, hogy a mintában legfeljebb 4 selejtes alkatrész van? Hány 10 jegyû szám készíthetõ 3 darab egyes, 4 darab kettes és 3 darab hármas számjegybõl? Legyen E (î) = 2.4, D (î) = 047 Adjon alsó becslést a P (0661 < î < 4139) valószínûségre Egy munkadarab hossza közelítõleg normális eloszlású valószínûségi változó, melynek várható értéke 71 és szórása 1.1 Mennyi a

valószínûsége, hogy a munkadarab hossza kisebb, mint 721? Hányféleképpen rakhatunk be 8 levelet 15 rekeszbe, ha a levelek között nem teszünk különbséget és egy rekeszbe maximum egy levelet teszünk? 41 doboz mindegyikében 55 golyó van, amelyek közül rendre 15, 16, 17, , 55 fehér. Találomra választunk egy dobozt, majd abból véletlenül kihúzunk egy golyót. Mi a valószínûsége, hogy fehér golyót húzunk? Annak valószínûsége, hogy egy benzinkútnál 6 percnél többet kell várakozni a tapasztalatok szerint 0.21 A várakozási idõt exponenciális eloszlásúnak feltételezve, mi annak a valószínûsége, hogy 6 percnél kevesebbet kell várakozni? Egy rejtvénypályázaton három díjat sorsolnak ki a helyes megfejtést beküldõk között (egy megfejtõ legfeljebb egy díjat kaphat). 74 jó megfejtés érkezett be összesen, ezek közül 22 Miskolcról Mi a valószínûsége, hogy lesz miskolci nyertes? A (î, ç) valószínûségi változóról

tudjuk, hogy P(î = 19, ç = 44) = 0.23, P(î = 19, ç = 75) = 017 és P(î = 30, ç = 44) = 0.12 Ismert, hogy î csak a 19 és 30 , míg ç csak a 44 és 75 értékeket veheti fel Számítsa ki az E(ç î = 30) feltételes várható értéket! Egy hallgató ennek a feladatnak a megoldásával átlagosan 9 perc alatt végez. A feladatra fordított idõ exponenciális eloszlású valószínûségi változó. Mi annak a valószínûsége, hogy egy véletlenül kiválasztott hallgató 8 percen belül oldja meg a feladatot? A és B független események, P(A) = 0.87, és P(B) = 061 Határozza meg P(A A+B) ért ékét! Legalább hány elemû mintát kell vennünk, ha visszatevéses mintavételnél a selejtarányt 0.13 pontossággal (legfeljebb ennyi eltéréssel) és 0.92 megbízhatósággal akarjuk becsülni? Egy céllövõ találati pontossága 2.0 cm várható értékû exponenciális eloszlású valószínûségi változó Legfeljebb hányszor lõhet, ha azt akarjuk, hogy még legalább

79%-os biztonsággal minden találata a 8.3 cm sugarú körbe essen? A (î, ç) valószínûségi változóról tudjuk, hogy P(î = 26, ç = 37) = 0.13, P(î = 26, ç = 54) = 023 és P(î = 35, ç = 37) = 0.20 Ismert, hogy î csak a 26 és 35 , míg ç csak a 37 és 54 értékeket veheti fel Számítsa ki az D(î+ç) értéket! 16. Egy î egyenletes eloszlású valószínûségi változóról tudjuk, hogy E(î) = 74 és D(î) = 60 Mi a valószínûsége, hogy 2 egymástól függetlenül megismételt kísérlet mindegyikében î 3.2 és 69 közötti értéket vesz fel? 17. Egy csiga életének hossza exponenciális eloszlású valószínûségi változó 216 év várható értékkel Mi a valószínûsége, hogy kedvenc csigánk életének harmadik évében pusztul el? 18. 9 golyót osztunk ki egyenként 8 dobozba úgy, hogy bármelyik dobozt egyenlõ valószínûséggel választjuk minden golyó elhelyezésekor. Mennyi a valószínûsége, hogy a harmadik dobozba 3 golyó kerül? 19.

Legyen a (î, ç) vektorváltozó sûrûségfüggvénye  Ae − x − 0.5 y , ha x > 0, y > 0 f ( x, y) =  0 , egyébként  Milyen valószínûséggel esik ç a ( 0.25, 100) intervallumba, ha î = 208? 20. Egy ügyfélszolgálaton az ügyintézés 47 percet vesz igénybe Az egyik nap két ismerõs megy be az ügyfélszolgálatra egymástól függetlenül 8 és 12 óra között véletlenül választva az idõpontot. M a valószínûsége, hogy lesz olyan idõpont, amikor egyszerre vannak bent? 21. Az A esemény bekövetkezésének a valószínûsége 026 Mennyi a valószínûsége, hogy tíz kísérletbõl legalább háromszor bekövetkezik? 87 KOD: B377137 22. Tudjuk, hogy P(A) = 034, P(A B) = 042 és P(B 1) = 094 Mennyi a valószínûsége, hogy az A és B legalább egyike bekövetkezik? 23. A CHIPCAD microchip gyártó cég teljes termelése két gépsorról származik Az I gépsor adja a termelés 73 %át 0030 % selejttel, míg a II gépsor adja a termelés 27

%-át 0024 % selejttel Ha egy véletlenül kiválasztott chip selejtes, akkor mi a valószínûsége, hogy azt a II. gépsor gyártotta? 24. Egy î valószínûségi változó sûrûségfüggvénye 3.5x 3 , ha 0 < x ≤ B f ( x) =   0 , egyébként Határozza meg a P(î > E(î)) valószínûséget! 25. Az A, B és C független események, amelyre P(A) = 0320, P(B) = 0360 és P(C) = 0540 Határozza meg annak a valószínûségét, hogy pontosan kettõ következik be közülük! 26. Legyen a î valószínûségi változó egyenletes eloszlású a [-660, 660] intervallumon Számítsa ki a P(2 î+1 < 0.60) valószínûséget! 27. Egy dobozban 13 alkatrész van, amelyek közül 9 selejtes 7 elemû mintát veszünk visszatevéssel Mi a valószínûsége, hogy a mintában legfeljebb 1 selejtes alkatrész van? 28. Az A és B játékos felváltva dob kosárra (A kezd) Az A játékos 077, míg B 058 valószínûséggel talál a kosárba. A játékot addig folytatják, amíg

valamelyik játékos beletalál a kosárba Mi annak a valószínûsége, hogy pont az ötödik dobás után ér véget a játék? 29. A î exponenciális eloszlású valószínûségi változó várható értéke 210 Számítsa ki azt a m értéket, amelytõl jobbra és balra megegyezik az ç = î 2 valószínûségi változó sûrûségfüggvénye alatti terület! 30. Egy kisegér 3 folyosó bármelyikén eljuthat egy sajtdarabhoz Akármelyik folyosón 3 ajtón kell áthaladni Mi a valószínûsége, hogy a kisegér el tud jutni a sajthoz, ha az ajtók egymástól függetlenül 0.47 valószínûséggel nyílnak ki, és kinyitásuk után nyitva is maradnak (ha van nyitott folyosó, akkor a kisegér megtalálja a sajtot)? 88 KOD: B377137 E (ξ) = 1 δ = 0.038 m =1 1. feladat A felhasznált képlet: F ( k ) = Φ( k −m ) δ 1.05 − 1   0.95 − 1  = P( 0.95 < ξ < 105) = F (105) − F ( 095) = Φ  − Φ   0.038   0.038  = 2Φ (1.3158)

− 1 = 2 ⋅ 09066 − 1 = 08132 P( A1 + A2 ) = P ( A1 ) + P ( A2 ) − P( A1 ⋅ A2 ) = 2 P − P 2 P(1. osztályú ) = 2 ⋅ 08132 − 08132 2 = 09651 Tehát 0.9651 a valószínûsége annak, hogy két véletlenül kiválasztott zacskó közül legalább az egyik elsõ osztályú. 2. feladat N = 12 alkatrész n k   ⋅ s ( N − s )n − k s=9 k n = 7 elemû minta (visszatevéssel) A felhasznált képlet: P =   Nn k = 4 selejtes P (legfeljebb 4 selejtes) = ?  7 4   ⋅ 9 (12 − 9) 7 − 4 4 P=  = 0.1730 12 7 Tehát 0.1730 a valószínûsége annak, hogy a mintában legfeljebb 4 selejtes alkatrész van 3. feladat 3 db egyes 4 db kettes 3 db hármas Hány db 10 jegyû szám készíthetõ? 10! Ismétléses permutáció: n = = 4200 3!⋅4!⋅3! Tehát 4200 db 10 jegyû szám készíthetõ. 4. feladat E (ξ) = 2.4 D(ξ) = 0.47 P( 0.661 < ξ < 4139) = ? P( 0.661 < ξ < 4139) = P(0661 − 24 < ξ < 4139 − 24) = P

(−1739 < ξ < 1739) = = P (ξ − 2.4 < 1739 ) = 1 − P( ξ − 24 ≥ 1739) az alsóbecsléshez felírom a Csebisev-egyenlõtlenséget: 89 KOD: B377137 D2 (ξ) λ2 0.47 2 P( ξ − 2.4 ≥ 1739) ≤ 1.7392 P( ξ − E (ξ) ≥ λ) ≤ 1 − P( ξ − 2.4 ≥ 1739) ≥ 1 − 0.47 2 1.7392 P( 0.661 < ξ < 4139) ≥ 09270 Tehát az alsóbecslés valószínûsége: 0.9270 5. feladat δ = 1.1 m = 71 E (ξ) = 71 P(ξ) = 1.0 P(ξ < 72.51) = ?  72.51 − m   72.51 − 71  P(ξ < 72.51) = Φ   = Φ  = Φ (1.3727 ) = 09147 δ 1.1     Tehát 0.9147 annak a valószínûsége, hogy a munkadarab hossza kisebb, mint 7251 6. feladat A rekeszek 15 elemet jelentenek, ezekbõl kell 8-at úgy kiválasztani, hogy mindegyik rekeszt csak egyszer választjuk ki. Tehát az összes lehetséges 15 elem 8-ad osztályú kombinációinak száma 15  n =   = 6435 8 Tehát 6435 féle képpen rakhatjuk a 8 levelet a 15

rekeszbe. 7. feladat Az összes golyó száma: 41·55 = 2255 A fehér golyók száma: (15+16+17++55) = 1435 . 1435 P( fehér ) = = 0.6364 ( = 0 6 3) 2255 Tehát 0.6364 annak a valószínûsége, hogy fehér golyót húzunk 90 KOD: B3771378. feladat P(egy benzinkútnál 6 percnél többet kell várakozni) = 0.21 P(ξ > 6) = ? (exponenci ális eloszlás) 1 − P(ξ ≤ 6) = 0.21 P(ξ ≤ 6) = 0.79 F ( 6) = 0.79 A felhasznált képlet: 1 − e − λx ; x ≥ 0 F ( x) =   0; x < 0 1 − e − 6 λ = 0.79 0.21 = e −6 λ   λ = 0.2601 P(ξ ≤ 6) = 1 − e − 6⋅ 0. 2601 = 1 − 07710 = 02290 Tehát 0.2290 annak a valószínûsége, hogy egy benzinkútnál 6 percnél kevesebbet kell várakozni 9. feladat összesen 3 díj 74 jó megfejtés 22 miskolci P(lesz miskolci nyertes) = ? P(lesz miskolci nyertes) = 1– P(nem lesz miskolci nyertes)  74  összes eset:   = 64824 3  (74 − 22)  kedvezõ eset:   = 22100 3

   52    3 P(lesz miskolci nyertes) = 1 −   = 0.3409  74    3 Tehát 0.3409 annak a valószínûsége, hogy lesz miskolci nyertes 10. feladat P(ξ = 19,η = 44) = 0.23 P(ξ = 19,η = 75) = 0.17 P(ξ = 30,η = 44) = 0.12 ξ = 19;30 η = 44; 75 A felhasznált összefüggés: P( AB) P( A B) = P ( B) E (ηξ = 30) = ? P(ξ = 30,η = 75) = (0.23 + 017 + 012) = 048 44 75 ç peremeloszlás 91 KOD: B377137 19 0.23 017 04 30 0.12 048 06 î peremeloszlás 0.35 065 1 E (ηξ = 30) = 44 ⋅ P(η = 44 ξ = 30) + 75 ⋅ P(η = 75 ξ = 30) = 44 ⋅ 0.12 0.48 + 75 ⋅ = 68.8000 0.60 0.60 Tehát a várható érték 68.8000 11. feladat E (ξ) = 9 perc 1 E (ξ) = λ P(ξ < 8) = ? 1 λ= 9 1 − ⋅8 P(ξ < 8) = F (λ) = 1 − e 9 = 0.5889 Tehát 0.5889 annak a valószínûsége, hogy egy véletlenül kiválasztott hallgató 8 percen belül megoldja ezt a feladatot. 12. feladat P( A) = 0.87 P( B ) = 0.61 P( A A + B) = ? P(

AB) = P( A) ⋅ P ( B) = 0.5307 P( A + B ) = P( A) + P( B) − P( AB) = 0.9493 P ( AB ) 6 4 74 8 P ( A( A + B)) P ( A) + P( AB) − P ( AAB) P( A A + B) = = = 0.9165 P( A + B) P( A + B ) Tehát a keresett valószínûség 0.9165 13. feladat δ = 0.92 1 A felhasznált összefüggés: ≥ 1 − δ (nagy számok törvénye) ε = 0.13 4n ⋅ ε 2 n=? 1 ≥ 0.08 n ≥ 1849112 4n ⋅ 0.132 Tehát legalább 185 elemû mintát kell venni. 92 KOD: B377137 14. feladat î a céllövõ találati pontossága E(î) = 2 79% 8.3 -as kör n=? E (ξ) = 1 1 λ= λ 2 P(ξ < 8.3) = F (83) = 1 − e 1− e − 8 .3 2 − 8. 3 2 ≥ 0.79 − 8 .3 n lg( 1 − e 2 ) ≥ lg 0.79 lg 0.79 n≤ = 948.3987 8. 3 − 2 n lg( 1 − e ) Tehát legfeljebb 948-szor lõhet a céllövõ. 15. feladat P(ξ = 26, η = 37) = 0.13 P(ξ = 26, η = 54) = 0.23 P(ξ = 35,η = 37) = 0.20 ξ = 26;35 η = 37;54 D(ξ + η) = ? P(ξ = 35,η = 54) = 1 − ( 0.13 + 023 + 020) = 044 37 54 26 0.13 023 35 0.20 044 D 2

(ξ + η) = E(ξ + η) 2 − E 2 (ξ + η) î+ç P 63 0.13 E (ξ + η) 2 = 0.13 ⋅ 632 + 020 ⋅ 722 + 023 ⋅ 80 2 + 044 ⋅ 892 = 651001 E 2 (ξ + η) = 0.13 ⋅ 63 + 020 ⋅ 72 + 023 ⋅ 80 + 044 ⋅ 89 = 8015 D(ξ + η) = E (ξ + η) 2 − E 2 (ξ + η) = 9.2729 Tehát a várható érték 9.2729 16. feladat E (ξ) = 7.4 D(ξ) = 6.0 P = ? két független kísérlet mindegyikében 3.2 < î < 69 93 72 0.20 80 0.23 89 0.44 KOD: B377137 a+b a + b = 2 ⋅ 7.4 2 b−a D(ξ) = 6.0 = b − a = 2 3 ⋅ 6.0 6⋅2 E (ξ) = 7.4 = a = 7.4 − 3 ⋅ 6 b = 7.4 + 3 ⋅ 6  1  ; ha x ∈ (a, b) f ( x ) = 12 3  0; egyébként 3.2 < ξ < 69 = 6. 9 3. 2 P= 3.7 2 (12 3 ) 2 1 ∫ 12 3 dx = 1 12 3 [6.9 − 32] = 3.7 12 3 = 0.0317 Tehát a keresett valószínûség 0.0317 17. feladat M (ξ) = 2.16 = M (ξ = 3) = ? 1 λ = 0.462962963 λ ; ha x ≤ 0 0 f (x ) =  −λ x 1 − e ; ha x > 0 P(ξ = 3) = F ( 3) = 1 − e − 0. 4629⋅

3 = 07506 Tehát 0.7506 annak a valószínûsége, hogy a kedvenc csigánk életének harmadik évében pusztul el 18. feladat 9 golyó 8 doboz P (3 golyó a 3. dobozba) = ? 9    ennyi féle képpen kerülhet a 3 golyó egy dobozba  3 3  1   ennyi féle képpen kerülhet a 1 golyó a 3. dobozba  8 6 7   ennyi féle képpen nem kerülhet 3. dobozba egy golyó 8  9  1   7  P =   ⋅   ⋅   = 84 ⋅ 0.1253 ⋅ 08756 = 00736  3  8   8  Tehát 0.0736 annak a valószínûsége, hogy 3 dobozba három golyó kerül 3 6 94 KOD: B37713719. feladat  Ae ; ha x > 0, y > 0 f (x ) =  0 ; egyébként  P( 0.25 < η < 100 ξ = 208) = ? a î-re vonatkozó feltételes sûrûségfüggvény: f ( x, y ) f ( y x) = ; g (x) a î peremsûrûségfüggvénye g (x ) -x -0.5y g ( x) = ∞ ∞ −∞ y= 0 ∫ f ( x, y)dy = ∫ Ae − x − 0. 5 y dy = Ae

−x ∞ ∞ ∫e − 0. 5 y y =0  e −0. 5 y  Ae − x −∞ 0 Ae − x dy = Ae  e −e =  = − 0.5  − 0.5  y =0 − 05 ( −x ) Ae− x − 0. 5 y f ( y x) = = 0.5e −0 5 y −x Ae − 0.5 1 1 ∫ f ( y x)dy = ∫ 0.5e P( 0.25 < η < 100 ξ = 208) = 0 .25 − 0. 5 y [ dy = − e− 0 .5 y ] 1 0 .25 = e −0 .125 − e −0 5 = 02760 0 .25 Tehát a keresett valószínûség 0.2760 20. feladat az ügyintézés 47 perc 8 és 12 óra között két ismerõs P(találkoznak) = ? 12–8 = 4 óra = 240 perc; (geometriai valószínûség) T: a hatszög területe; t: a négyzet területe T = 2402 –1932 t = 2402 P(találkoznak) = T 20531 = = 0.3533 t 57600 Tehát 0.3533 annak a valószínûsége, hogy lesz olyan idõpont, amikor a két ismerõs találkozik. 21. feladat P(A) = 0.26 P(10-bõl legalább 3-szor bekövetkezik) = ? P(10-bõl legalább 3-szor bekövetkezik) = 1– P(legfeljebb 2-szer bekövetkezik)=  10   10

 10  = 1 −    ⋅ 0.26 0 ⋅ 07410 +   ⋅ 0261 ⋅ 0749 +   ⋅ 026 2 ⋅ 0748  = 05042 1 2  0   Tehát 0.5042 a valõszínûsége, hogy 10-bõl legalább 3-szor bekövetkezik az A esemény 95 KOD: B377137 22. feladat P( A) = 0.34 Felhasznált összefüggések: P ( AB) P( AB) P( A B) = ; P ( B A) = P( B) P( A) P( A B) = 0.42 P( B A) = 0.94 P( A + B) = ? P( AB) = P( B A) ⋅ P( A) = 0.94 ⋅ 034 = 03196 P( B ) = P ( AB) 0.3196 = = 0.76095281 P( A B) 0.42 P( A + B ) = P( A) + P( B) − P( AB) = 0.7814 Tehát 0.7814 a valõszínûsége, hogy az A és B esemény legalább egyike bekövetkezik 23. feladat A1 az I. gépsor gyártotta A2 a II. gépsor gyártotta B a termék selejtes P( A1 ) = 0.73 A felhasznált összefüggés: P( AB) P( A B) = P ( B) P( A2 ) = 0.27 P( B A1 ) = 0.00030 P( B A2 ) = 0.00024 P( A2 B ) = ? P( B ) = 0.73 ⋅ 000030 + 027 ⋅ 000024 = 00002838 P( A2 B) P( A2 ) ⋅ P( B

A2 ) = = 0.2283 P( B) P( B) Tehát 0.2283 a valõszínûsége, hogy ezt a II gépsor gyártotta P( A2 B ) = 24. feladat 3.5x 3 ; ha 0 < x ≤ B, f (x ) =   0 ; egyébként P(ξ > E (ξ) ) = ? B  x4  B4 4 1 = ∫ 3.5 x dx = 35  = 35 ⋅ ⇒ B= 4 = 1.0339 4 4 3 . 5 0  0 B 3 B E (ξ) = ∫ x ⋅ 3.5 x 3 dx = 35 ⋅ 0 B5 = 0.827157046 5  x4  P(ξ > E (ξ) ) = ∫ 3.5 x dx = 35  = 1 − 0.4096 = 05904 5 4 B 5   3. 5⋅ B 3. 5⋅ B B 3 5 5 Tehát a keresett valószínûség 0.5904 96 KOD: B377137 25. feladat P(A) = 0.320 P(B) = 0.360 P(C) = 0.540 P(pontosan kettõ következik be) = ? P( ABC + ABC + ABC ) mivel független események, ezért össze lehet õket szorozni P( ABC + ABC + ABC ) = P( A) ⋅ P ( B) ⋅ P(C ) + P ( A) ⋅ P( B ) ⋅ P (C ) + P( A) ⋅ P ( B) ⋅ P(C ) = = 0.32 ⋅ 036 ⋅ (1 − 054) + 032 ⋅ (1 − 036) ⋅ 054 + (1 − 032) ⋅ 036 ⋅ 054 = 02958 Tehát 0.2958 a valószínûsége, hogy

pontosan kettõ következik be 26. feladat Egenletes eo. [-660, 660] a = –6.6 b = 6.6 P( 2ξ + 1 < 0.6) = ? P( 2ξ + 1 < 0.6) = P(ξ < −02) 1  1 = , ha - 6.6 < x < 66  f ( x ) =  b − a 6.6 − ( −66)  0 , egyébként 0 , ha x ≤ −6.6   x − a x + 6.6 F ( x) =  = , ha - 6.6 < x < 66 b − a 13 . 2  1 , ha x > 6.6  P( 2ξ + 1 < 0.6) = F ( −02) = 04848( = 04& 8& ) Tehát a keresett valószínûség 0.4848 27. feladat N = 13 alkatrész n k   ⋅ s ( N − s )n − k s=9 k n = 7 elemû minta (visszatevéssel) A felhasznált képlet: P =   Nn k = 1 selejtes P (legfeljebb 1 selejtes) = ?  7 1 6   ⋅ 9 ⋅ 4 1 7 ⋅ 9⋅ 46 P=  7 = = 0.0041 13 137 Tehát 0.0041 a valószínûsége annak, hogy a mintában legfeljebb 1 selejtes alkatrész van 28. feladat P( A) = 0.77 P( A) = 023 P( B ) = 0.58 P( B) = 042 97 KOD: B377137 P(5.dobás ( után vége ) = ? ) ( )

2 2 P = P( A) ⋅ P( B ) ⋅ P( A) = 0.232 ⋅ 042 2 ⋅ 077 = 00072 Tehát 0.0072 a valószínûsége annak, hogy az ötödik dobás után ér véget a játék 29. feladat E (ξ) = 2.10 λ = 1 2.10 η = ξ2 Fξ ( x ) = 1 − e − 1 x 2 .1 Fξ 2 ( y) = P (ξ 2 ≤ y ) = P(ξ ≤ F ( m) = 1 − e ln e − 1 m 2 .1 − 1 m 2 .1 = 1 − 1 e 2. 1 2 y ) = 1− e m − 1 y 2 .1 = 0.5 = ln 0.5 m = −2.1⋅ ln 05 m = 21188 Tehát a keresett m értéke: 2.1188 30. feladat P(egy folyosón mindhárom ajtó nyitva) = 0.473 = p Felhasznált elmélet: P(az elsõ folyosón mindhárom ajtó nyitva) P(A) = p Poincaré-tétel P(a második folyosón mindhárom ajtó nyitva) P(B) = p P(a harmadik folyosón mindhárom ajtó nyitva) P(C) = p P(legalább egy folyosó szabad) = ? legalább egy folyosó szabad : A ∪ B ∪ C P( A ∪ B ∪ C ) = P( A) + P( B) + P(C ) − P( AB) − P( AC ) − P( BC ) + P( ABC ) = = 3 p − 3 p 2 + p 3 = 3 ⋅ 0.47 3 − 3 ⋅ 0476 + 0479 = 02803

Tehát 0.2803 a valószínûsége annak, hogy a kisegér eljut a sajthoz 98