Mathematics | Mathematical analysis » Analízis tételek, jól érthető példafeladatokkal

Please log in to read this in our online viewer!

Analízis tételek, jól érthető példafeladatokkal

Please log in to read this in our online viewer!


 2003 · 60 page(s)  (612 KB)    Hungarian    6282    June 06 2004  
    
Comments

No comments yet. You can be the first!

Content extract

Egyváltozós függvények határozatlan integrálja A primitív függvény. Alapintegrálok • az F(x) függvényt az f(x) függvény primitív függvényének nevezzük valamely (véges vagy végtelen) intervallumon, ha az intervallum minden pontjában igaz, hogy F′( x ) = f ( x ) • F(x)-t határozatlan integrálnak is nevezzük, jelölése: ∫ f ( x )dx • ha F(x) az f(x)-nek primitív függvénye és C tetszőleges állandó, akkor F(x) + C is primitív függvénye f(x)-nek. minden elemi függvény differenciálhányadosa elemi függvény, fordítva ez nem igaz • • ha ∫ f ( x )dx létezik, akkor ∫ cf ( x )dx is létezik és igaz: ∫ cf ( x ) dx = c ∫ f ( x ) dx • ha ∫ f ( x )dx illetve ∫ g( x ) dx létezik, akkor ∫ (f ( x ) ± g( x ) ) dx is létezik és igaz: ∫ (f ( x ) ± g( x ) ) dx = ∫ f ( x ) dx ± ∫ g( x ) dx • Alapintegrálok: Minthogy a határozatlan integrálás a differenciálás fordított művelete, az egyszerűbb

integrálokat az elemi alapfüggvények differenciálási szabályainak megfordításával kapjuk: x n +1 ∫ x dx = n + 1 + C (n ≠ − 1) 1 ∫ x dx = ln x + C ax x a dx = +C ∫ ln a x x ∫ e dx = e + C ∫ cos xdx = sin x + C ∫ sin xdx = − cos x + C 1 ∫ cos 2 x dx = tgx + C 1 ∫ sin 2 x dx = −ctgx + C 1 * ∫ 1 + x 2 dx = arctgx + C = −arcctgx + C 1 dx = arcsin x + C = − arccos x + C* ∫ 2 1− x n 1 ∫ 1 x ±1 2 dx = ln x + x2 ±1 + C Példák: ∫e x (1 − e−x x −2 ) dx = ∫ (e x − x −2 )dx = = ∫ e x dx − ∫ x − 2 dx = e x − 1 x − 2 +1 + C = ex + + C − 2 +1 x 2 3 x x x x ∫ (2 + 3 ) dx = ∫ 2 dx + ∫ 3 dx = ln 2 + ln 3 + C x x cos 2 x cos 2 x − sin 2 x dx = ∫ cos2 x sin 2 x ∫ cos2 x sin 2 x dx = cos 2 x sin 2 x =∫ dx − ∫ dx = cos 2 x sin 2 x cos 2 x sin 2 x 1 1 = ∫ 2 dx − ∫ dx = −ctgx − tgx + C sin x cos 2 x Integrálás helyettesítéssel • legyen y = f(x) folytonos az [α,β]-n és z = g(x)

folytonosan differenciálható [a,b]-n és ott α ≤ g ( x ) ≤ β . Akkor [a,b]-n létezik ∫ f (g( x ) )g′( x )dx és igaz: ∫ f (g( x ) )g ′( x )dx = ∫ f (z)dz A helyettesítéses intágrálás különböző tipikus esetei 1 ∫ f (ax + b)dx = a F(ax + b) + C ugyanis ∫ f (ax + b)dx = ax + b = t  = = adx = dt  1 1 = ∫ f ( t ) dt = ∫ f ( t )dt = a a 1 1 = F( t ) + C = F(ax + b) + C a a Példák: 2  3x = t    1 1 ∫ cos 3x dx =  3dx = dt  = ∫ 3 cos tdt = 3 ∫ cos tdt = 1   dx = 3 dt  1 1 = sin t + C = sin 3x + C 3 3  − 3x = t    1  1 −3x = − = e dx 3 dx dt   = ∫  − e t dt = − ∫ e t dt = ∫ 3  3 1   = − dt dx  3  1 1 = − e t + C = − e −3x + C 3 3 ∫ 4 x − 1 = t   1  4 x − 1 dx =  4dx = dt  = ∫ t dt = 1  4  dx dt =  4  1 = ∫ 4 ∫ 1 t2 3 1 t2 3 12 2 1 dt = t +C= +C= 43 43 6 2

(4x − 1)3 + C  1 − 4x = t    1 1 1 dx =  − 4dx = dt  = − ∫ dt = 1 − 4x 4 t 1   dx = − 4 dt  1 = − ∫t 4 − 1 2 dt 1 1 t2 1 1 1 =− + C = − t2 + C = − 1 − 4x + C 1 4 2 2 2 f ′( x ) ∫ f ( x ) dx = ln f ( x )  cos x = t  sin x   ∫ tgx dx = ∫ cos x dx = − sin x dx = dt  =  sin x dx = −dt  1 = − ∫ dt = − ln t + C = − ln cos x + C t 3 +C ∫ ctgx dx = ∫ cos x  sin x = t  dx =  = sin x cos xdx = dt  1 = ∫ dt = ln t + C = ln sin x + C t  1 − 3e 2 x = t    e 2x =  dx 6 e dx dt = − = ∫ 1 − 3e 2 x 1   2x e dx = − 6 dt  1 1 1 1 = − ∫ dt = − ln t + C = − ln 1 − 3e 2 x + C 6 6 t 6 2x cos 2 x cos 2 x ∫ cos x sin x dx = ∫ 1 2 dx = sin 2 x    sin 2 x = t  cos 2 x dx =  2 cos 2 x dx = dt  = = 2∫  sin 2 x 1  cos 2 x dx = dt   2  1 1 = 2 ∫ dt = ln t + C

= ln sin 2 x + C 2 t  = ln 2 sin x cos x + C =    = ln sin x cos x + ln 2 + C = ln sin x cos x + C  Az előbbi feladat más módon: cos 2 x cos 2 x − sin 2 x ∫ cos x sin x dx = ∫ cos x sin x dx =  cos 2 x sin 2 x   dx = = ∫  −   cos x sin x cos x sin x  cos x sin x  = ∫  −  dx =  sin x cos x  = ln sin x − (− ln cos x ) + C = ln sin x cos x + C α ∫ f ( x )f ′( x ) dx = 4 f α +1 ( x ) +C α +1  cos x = t    ∫ cos x sin x dx = − sin x dx = dt  =  sin x dx = −dt  3 t4 1 = − ∫ t dt = − + C = − cos 4 x + C 4 4 3  ln x = t  ln 2 x ∫ x dx =  1 dx = dt  =  x  = ∫ t 2dt = ∫x =− t3 1 + C = ln 3 x + C 3 3 5 − x2 1 2∫ 1 t 2 dt   2  5− x = t  dx =  − 2 x dx = dt  =  1   x dx = − dt   2  =− 3 1 t2 23 2 +C=− 1 (5 − x 2 )3 + C 3 ∫ f (g( x ) )g′( x )dx   7  x

+1 = t  6 7 6 ∫ x sin( x + 1) dx =  7 x dx = dt  = 1  x 6 dx = dt   7  1 1 1 = ∫ sin tdt = − cos t + C = − cos( x 7 + 1) + C 7 7 7  2   x =t  5x ∫ x 4 + 1 dx =  2x dx = dt  = 1  x dx = dt   2  5 dt 5 5 = ∫ 2 = arctgt + C = arctgx 2 + C 2 t +1 2 2 Parciális integrálás 5 Legyen u(x) v(x) [a,b]-n differenciálható és létezzen ∫ u ′( x ) v( x )dx . Ekkor [a,b]-n létezik ∫ u ( x ) v′( x )dx és ∫ u ( x ) v′( x )dx = u ( x ) v( x ) − ∫ u ′( x ) v( x )dx Példák: u = ln x u′ = 1   = ln x dx x = ∫  v′ = 1 v = x  1 = x ln x − ∫ x dx = x ln x − x + C x ∫ xe x  u=x dx =  x  v′ = e u′ = 1  = v = e x  = xe x − ∫ e x dx =xe x − e x +C u′ = 1   u=x 2x 1 xe dx = =  2 x ∫ v′ = e v = e 2x     2 x 1 x 1 = e 2 x − ∫ e 2 x dx = e 2 x − e 2 x +C 2 2 2 4  u=x ∫ x cos x dx = v′ = cos

x u′ = 1  = v = sin x   = x sin x − ∫ sin x dx = x sin x + cos x + C  u = x2 u ′ = 2x  ∫ x cos x dx = v′ = cos x v = sin x  =   u′ = 2   u = 2x = x 2 sin x − ∫ 2 x sin x dx =  =  v′ = sin x v = − cos x  2 = x 2 sin x − {2 x (− cos x ) − ∫ 2(− cos x ) dx} = = x 2 sin x + 2 x cos x − 2 sin x + C 6 u = sin x u ′ = cos x  x e sin x dx = = ∫  v′ = e x v = e x   u = cos x u ′ = − sin x  = e x sin x − ∫ e x cos x dx =  = x v = e x   v′ = e { } = e x sin x − e x cos x − ∫ e x (− sin x ) dx = = e x sin x − e x cos x − ∫ e x sin x dx innen átrendezéssel kapjuk: 2 ∫ e x sin x dx = e x sin x − e x cos x vagyis: ∫e x sin x dx = ( ) 1 x e sin x − e x cos x + C 2 1  u = ln 2 x u ′ = 2 (ln x )  2  ln x dx = x = ∫  v′ = 1  v=x 1 = x ln 2 x − ∫ 2 (ln x ) x dx = x felhasználva a korábbi

eredményt: = x ln 2 x − 2(x ln x − x ) + C = = x ln 2 x − 2 x ln x + 2 x + C u′ = 1  v = −ctgx  =  cos x = − xctgx − ∫ (− ctgx ) dx = − xctgx + ∫ dx = sin x 1  sin x = t  = = − xctgx + ∫ dt =  t cos xdx = dt   u=x ∫ sin 2 x dx =  v′ = 12  sin x x = − xctgx + ln t + C = − xctgx + ln sin x + C Racionális törtfüggvények integrálása Ha a függvény áltört, először polinomosztással szétválsztjuk racionális egész és valódi tört kifejezéssé. A maradék elemi törtek (parciális törtek) összegére bontható: véges számú Ai ( x − α )i és B jx + C j ( x 2 + px + q ) j tört keletkezik, ahol A, B, C, α, p, q valós, i, j, pozitív egész, és p2–4q<0. 7 A keletkezett törtek integrálása: A ∫ x − a dx = A ln x − a B ∫ ( x − a ) k dx = B∫ ( x − a ) −k dx = +C B ( x − a ) −k +1 + C − k +1 A ∫ x 2 + px + q dx Itt két eset lehetséges. Ha a

nevező szorzattá alakítható a valós számok körében, elemi törtekre bontás (lsd. példákban) Ha a nevezőben nincs valós gyök, az integrandus helyettesítés után 1 ∫ 1 + t 2 dt alakú lesz, amely alapintegrál. Ax + B ∫ x 2 + px + q dx Itt is két eset lehetséges. Ha a nevező szorzattá alakítható a valós számok körében, elemi törtekre bontás (lsd. példákban) Ha a nevezőben nincs valós gyök, az integrál átalakítható R ( 2 x + p) ∫ x 2 + px + q dx és M ∫ x 2 + px + q dx alakú integrálok összegére, amely alakok integrálhatóak (logaritmus ás arctg függvényt kapunk). Ax + B ∫ ( x 2 + px + q)k dx Ezen alak integrálása: lsd. irodalom Példák: 8 8   3 2  x : (x − 2) = x + 2x + 4 + x − 2    3 2   x − 2x   2x 2   x3 2 =  2x − 4x ∫ x − 2 dx =   4 x     4x − 8   8       8   = ∫  x 2 + 2x + 4 +  dx = x − 2

 = x3 + x 2 + 4 x + 8 ln x − 2 + C 3 2x + 1 ∫ ( x − 2)(x + 5) dx = 2x + 1 A B A( x + 5) + B( x − 2)   ( x − 2)( x + 5) ≡ ( x − 2) + ( x + 5) = ( x − 2)( x + 5)  2 x + 1 ≡ A( x + 5) + B( x − 2) = 5 5 = 7A A= x = 2 : 7   9  x = −5 : − 9 = −7 B B = 7 9   5   5 9 = ∫  7 + 7  dx = ln x − 2 + ln x + 5 + C 7 7  ( x − 2) ( x + 5)      x +1 ∫ ( x − 2) 3 dx = 9     =     A B C   x +1   ( x − 2) 3 ≡ ( x − 2) + ( x − 2) 2 + ( x − 2) 3 =     A( x − 2) 2 + B( x − 2) + C  = ( x − 2) 3     2 = =  x + 1 ≡ A( x − 2) + B( x − 2) + C  x = 2 : 3=C   2 = A−B+3  x = 1 :  x = 0 : 1 = 4A − 2B + 3   (1) − (2) : − 2A = 0 A = 0  (1) : 2A − 2B = −2 (2 ) : 4A − 2B = −2 A (1) : − 2B = −2 B = 1  1 3  1 3  dx = − − +C = ∫

 + 2 3 2 x − 2 ( x 2 ) ( x 2 ) 2 ( x − 2 ) − −   ugyanez más módon: x +1 ∫ ( x − 2) 3 dx =  x +1 x−2+3 1 3  = = = + = 3 ( x − 2) 3 ( x − 2) 2 ( x − 2) 3   ( x − 2)  1 3  1 3  dx = − − +C = ∫  + 2 3 2 − x 2 ( x 2 ) ( x 2 ) − 2 ( x 2 ) − −   vagy x − 2 = t  x +1 t + 2 +1 1 3   ∫ ( x − 2)3 dx =  x = t + 2 = ∫ ( t )3 dt = ∫ t 2 + t 3 dt = dx = dt  1 3 1 3 =− − 2 +C=− − +C t 2t x − 2 2 ( x − 2) 2 10 2 x+ 5x + 2 ∫ x 2 + 2x + 3 dx = 5∫ x 2 + 2x5+ 3 dx = 4 4 2x + 2x + 2 − 2 + 5 5 5 dx = 5 dx = = ∫ 2 ∫ 2 2 x + 2x + 3 2 x + 2x + 3 10 4 − + 5 2x + 2 5 dx + ∫ 2 5 5 dx = = ∫ 2 2 x + 2x + 3 2 x + 2x + 3 6 − 5 2x + 2 5 5 dx + ∫ dx = = ∫ 2 2 x + 2x + 3 2 (x + 1)2 + 2 5 2x + 2 1 dx − 3∫ dx = = ∫ 2 2 x + 2x + 3 (x + 1)2  2 + 1  2  5 2x + 2 3 1 dx − ∫ dx = ∫ 2 2 x + 2x + 3 2  x + 12 

 + 1   2    x +1 = t  2 2x + 2 3 =5 = dx dt = − 2 ∫ ∫   2 x 2 + 2x + 3 2 t2 + 1 dx = 2dt  = 5 3 = ln x 2 + 2 x + 3 − arctgt + C = 2 2 5 3 x +1 = ln x 2 + 2 x + 3 − +C arctg 2 2 2 11 Determinánsok. Háromdimenziós vektorok Vektoralgebra I. Determinánsok Háromdimenziós vektorok Az n-edrendű determináns • n-edrendű determinánsnak nevezzük az n2 számú elemből álló, n sorba és n oszlopba rendezett D=  a1n a11 a12 a 21  a 22  a 2 n    a n1 a n 2  a nn alakú táblázatot, melynek a következő értéket tulajdonítjuk: n ∑ a ik Aik D = k =1 , A a ahol ik az ik elemhez tartozó (n-1)-edrendű előjeles aldeterminánst jelenti. Ezt a determinánst az eredeti determinánsból az ii+k edik sor és k-adik oszlop elhagyásával kapjuk, előjele pedig: (− 1) . E (rekurzív) definíció a b = ad − bc szerint a másodrendű determináns értéke: c d , a harmadrendű

értéke: a11 a12 a13 a 21 a 22 a 23 = a 31 a 32 a 33 = (a11a 22a 33 + a12a 23a 31 + a13a 21a 32 ) − − (a11a 23a 32 + a12a 21a 33 + a13a 22a 31 ) • Tétel: A determináns értéke nem változik, ha valamelyik sorához (oszlopához) hozzáadjuk valamelyik másik sorának (oszlopának) valahányszorosát. Példák: −1 2 2 −1 2 2 D = 2 −1 2 = 0 3 6 = 2 2 −1 0 6 3 ♦ = −(9 − 36) = 27 12 6 − 4 0 − 2 − 36 D= 6 4 4 = 0 0 − 12 = ♦ 3 2 8 = 3(−2)(−12) = 72 3 2 8 1 1 2 3 4 −2 1 −4 3 = 3 − 4 −1 2 4 3 3 −1 1 2 3 4 D= ♦ 0 5 2 11 = 0 − 10 − 10 − 10 0 − 5 − 9 − 17 = 1 2 3 4 0 5 2 11 = 5(36 + 84) = 600 0 0 − 6 12 0 0 −7 −6 = Háromdimenziós vektorok Definíciók, jelölések, megállapítások • Legyen P1, a tér két különböző pontja. Adjunk a szakasznak irányítást úgy, hogy a a szakasz kezdő-, a szakasz végpontja legyen. Az irányított szakaszt " vektornak" nevezzük és -, vagy -val

jelöljük. • A fentiek szerint tehát beszélünk az vektor hosszáról, irányáról, irányításáról. • Két vektort akkor tekintünk egyenlőnek, ha a fenti három adat azonos, vagyis van olyan párhuzamos eltolás, amellyel a két vektor pontosan fedésbe hozható. kezdőpontú vektorokat helyvektoroknak nevezzük. • A rögzített • Az vektor hosszát az vektor abszolút értékének nevezzük, jele: Megj.:A vektoralgebrában a számokat - a vektormennyiség ellentettjeként - skalárnak nevezzük. • Azt a vektort, amelynek abszolút értéke nulla, null- vagy zérusvektornak nevezzük. • Azt a vektort, amelynek abszolút értéke egységnyi, egységvektornak nevezzük. Az vektorral azonos irányú és irányítású egységvektort -val szokás jelölni. • Az vektornak a derékszögű koordinátarendszer tengelyeire eső irányított vetületeit az vektor , , vektoriális komponenseinek nevezzük. A végpontú vektor vektoriális komponenseinek hossza nyilván:

kezdőpontú, , , , azaz a vektor skaláris komponensei, vagy koordinátái. Jelük: , , . Az vektor iránya a vektornak a koordinátatengelyekkel bezárt szöge. Az irányt a szögek koszinuszaival is szokás megadni, ekkor iránykoszinuszokról beszélünk. Az iránykoszinuszok a koordinátákkal arányosak, azaz ha a fent említett szögek rendre α, β, γ, akkor: , Nyilván: , . , valamint: • Tétel: 2 • A fentiek alapján belátható, hogy kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés hozható létre az irányított szakaszként definiált vektorok és a valós számokból képzett számhármasok között, azaz: . Hasonlóan: . A derékszögű koordinátarendszer x, y, z, tengelyei irányába mutató egységvektorok pedig: , , II. Vektoralgebra Vektorok összeadása, szorzása skalárral • Hozzuk a vektor kezdőpontját párhuzamos eltolással fedésbe az vektor végpontjával. Az és vektorok összegén azt az vektort értjük, amely az vektor kezdőpontjából

a vektor végpontjába mutat, vagy másképp: ha akkor , , . Hasonlóan az és vektorok különbségén azt az vektort értjük, amelyet a vektorhoz hozzáadva összegként az vektort kapjuk, vagy másképp : ha , , akkor valamint az vektor additív inverze a A fenti műveletre érvényes: , vektor. • adott vektor és λ valós szám szorzatán azt λ vektort értjük, amelynek hossza λ , iránya megegyezik irányával, irányítása pedig λ előjelétől függ. Nyilván érvényes: 3 , illetve Vektorok lineáris függetlensége • adott a térbeli , és vektor. A a három vektor lineáris kombinációja • Tétel: A térbeli , és vektor lineárisan független, ha csak úgy állhat elő, ha lineárisan függő • nyilván az alapegységvektorok lineárisan függetlenek. • legyen , ellenesetben csak akkor lehet most tetszőleges térbeli vektor. Az , , ha és vektor , azaz vektorok lineárisan függenek, hiszen az egy nem triviális

előállítás. • lássuk a lineáris függetlenséget és függést két, három és négy térbeli (háromdimenziós) vektor esetében: - ha két vektor lineárisan függő, akkor párhuzamosak, uis: úgy, hogy pl. , ekkor: , - ha viszont lineárisan függetlenek, akkor nem párhuzamosak, azaz síkot határoznak meg, - fordítva, a síkban két nem párhuzamos vektor lineárisan független - ha két lineárisan független vektorhoz hozzáveszünk ugyanebben a síkban egy harmadik vektort, lineárisan függő rendszert kapunk: , illetve - fordítva, ha három vektor lineárisan függő, akkor egy síkban vannak. - ha három vektor lineárisan független, akkor nincsenek egy síkban, velük bármely negyedik vektor kifejezhető: Vektorok skaláris szorzata • két tetszőleges térbeli számot értjük, ahol • nyilván: és vektor skaláris szorzatán az az és vektorok hajlásszögét jelöli 4 , másrészt úgy is lehet nulla, hogy • vetület,

vetületvektor számítása: az vektornak a vektorra vonatkoztatott vetületének hossza: , a szorozzuk a irányú vektort pedig úgy kapjuk, hogy a hosszt irányú egységvektorral , így: Vektorok vektoriális szorzata • a térbeli és vektorok vektoriális szorzata az -vel jelölt vektor. a vektor hossza: , irányítása pedig olyan, hogy merőleges az és vektorok síkjára, az , és vektorok ebben a sorrendben jobbsodrásúak. A vektoriális szorzat kiszámítása: • geometriai jelentése: az és vektorok által meghatározott paralelogramma területe • a vektoriális szorzat nem kommutatív (de: ), nem asszociatív, de: Vektorok vegyes szorzata • a térbeli , és vektorokból képzett szorzatot az , és vektorok vegyes szorzatának nevezzük. Az vegyes szorzatot megkapjuk, ha kiszámítjuk az determináns értékét. • nyilván: (a determináns kifejtése az első és harmadik sor szerint) • geometriai jelentés: a vegyes szorzat a vektorok által

kifeszített test (paralelepipedon) térfogatának mérőszámát adja, a vegyes szorzat egyhatoda pedig a vektorok által meghatározott 5 tetraéder térfogatának mérőszáma lesz (ha a determináns értéke negatív, az azt jelenti, hogy a vektorok balsodrású rendszert alkotnak, a térfogat a kapott érték abszolút értéke). • alkalmazás: legyen skalárisan: és . Szorozzuk mindkét oldalt -vel , ekkor kapjuk: hasonló eljárással: Példák: vektor irányába eső merőleges ♦ Határozza meg az vektornak a vetületének hosszát és a vetületvektort! , , miatt , ♦ Számítsuk ki az ,a meghatározott háromszög területét! Ekkor és a pontok által , , innen: ♦ Számítsuk ki az , a kifeszített paralelepipedon térfogatát! és a 6 vektorok által azaz: ♦ Legyen adott az , a és a vektor. Fejezzük ki a vektort az előző három lineáris kombinációjaként! Tehát , ahol , , A fentiek miatt: , , azaz: ami igaz, hiszen: 7

. Végtelen számsorozatok és sorok, azok tulajdonságai. A konvergencia fogalma. Nevezetes határértékek I. Végtelen számsorozatok és sorok, azok tulajdonságai • Legyen A véges vagy végtelen számhalmaz, N legyen természetes számokból álló halmaz. Ha N egyértelműen leképezhető az A halmazra, azaz N minden eleméhez hozzárendeljük valamely a ∈ A − t , akkor az A halmaz elemei számsorozatot alkotnak. n ∈ N − hez a n a hozzárendelt elem. A sorozat szokásos jelölése: {a n }, a n − el pedig a sorozat elemeit jelöljük Ha N véges, a sorozatot végesnek, ellenesetben a sorozatot végtelennek nevezzük. • Monoton sorozatok: a n +1 ≥ a n monoton növekvő, ha a n +1 ≤ a n monoton csökkenő, ha a n +1 > a n szigorúan monoton növekvő, ha a n +1 < a n szigorúan monoton csökkenő, ha • Egy sorozat korlátos, ha a n ≤ K an ≤ K egy sorozat felülről korlátos, ha egy sorozat alulról korlátos, ha a n ≥ K a felső korlátok

közül a legkisebb: felső határ, az alsó korlátok közül a legnagyobb: alsó határ. Megjegyzés: korlátos sorozat nem feltétlenül monoton, korlátos • monoton sorozat nem feltétlenül Tekintsük most az a1 + a 2 + a 3 +  (ahol a i szám) végtelen tagú összeget, más szóval végtelen numerikus sort. Jelöljük: S1 = a 1 S1 = a1 + a 2 S1 = a1 + a 2 + a 3 S = a + a +  + a n 1 2 n ezzel kölcsönösen egyértelműen megfeleltettük egymásnak az a1 + a 2 + a 3 +  végtelen numerikus sort és az {Sn } végtelen számsorozatot. Ezért a számsorozatokra érvényes tulajdonságok érvényesek lesznek numerikus sorokra is, hiszen a tulajdonságokat mindig át tudjuk fogalmazni numerikus sorokra a fenti megfeleltetés alapján. • Egy sorozat torlódási helye (pontja) olyan szám, amelynek környezetében a számsorozatnak végtelen sok eleme található IV. A konvergencia fogalma Nevezetes határértékek 1 • Ha a végtelen számsorozatnak

csak egy torlódási helye (pontja) van, akkor azt a sorozat határértékének nevezzük, lim a jele: n ∞ n és egy ilyen sorozatot konvergensnek nevezünk. Egy sorozatnak azt a tulajdonságát, hogy konvergens az alábbi két, egymással egyenértékű definícióval adjuk meg • • • Def: Az {a n }sorozat konvergens, ha létezik olyan A szám, hogy bármely ε > 0 -hoz megadható olyan ν = ν(ε) küszöbszám, hogy a n − A < ε , mihelyst n > ν . Def: Az {a n }sorozat konvergens, ha létezik olyan A szám, hogy A bármely környezetébe a sorozatnak véges sok eleme kivételével minden eleme beletartozik. Néhány fontos tétel: monoton növekvő (csökkenő) felülről (alulról) korlátos sorozat konvergens; ha lim b n = B n ∞ , akkor lim ( a n ± b n ) = A ± B n ∞ lim ( a n ⋅ b n ) = A ⋅ B , n ∞ , a  A lim  n  = n ∞ b  n B ha B ≠ 0 ; ha a n = lim b n = C a n ≤ c n ≤ b n nlim n ∞ ∞ akkor lim c n = C n

∞ 2 • Néhány nevezetes határérték:   0, ha q < 1  lim q n = 1, ha q = 1 n ∞  divergens,  ha q < 1 vagy q = −1  n lim a = 1 (a > 0) , n ∞ n lim n = 1 n ∞ n 1 lim 1 +  = e n ∞ n , k n lim n = 0 (a > 0) n ∞ a , n a lim = 0 (a > 0) n ∞ n! , k n lim =0 n ∞ n! , n! lim n = 0 n ∞ n Példák: an = n +1 2n 2 − 1 ha n = 1, 2, . ♦ Legyen adott az {a n }sorozat a következő módon: 3 2 4 a1 = a 2 = a3 = Ekkor: 1 17 , stb. azaz a sorozat minden tagja pozitív 7, a n +1 − a n = Monotonitás vizsgálata: = n +1 (n + 1) + 1 − 2 = 2 2(n + 1) − 1 2n − 1 (n + 2) * (2n 2 − 1) − (n + 1) (2(n + 1) − 1) = 2 (2(n + 1) − 1) * (2n 2 − 1) 2 = (2n 3 + 4n 2 − n − 2) − (n + 1) * (2n 2 + 4n + 1) = 2 (2(n + 1) − 1) * (2n 2 − 1) = (2n 3 + 4n 2 − n − 2) − (2n 3 + 6n 2 + 5n + 1) = 2 (2(n + 1) − 1) * (2n 2 − 1) − 2n 2 − 6n − 3 = 2 (2(n + 1) − 1) * (2n 2 − 1) 3

− 2n 2 − 6n − 3 2 2 Ez utóbbi (2(n + 1) − 1) * (2n − 1) kifejezés minden n > 0 értékre negatív, hiszen számlálójában csupa negatív szám áll, nevezője pedig két pozitív szám szorzata. Azt kaptuk tehát, hogy minden n > 0 értékre a n +1 − a n < 0, azaz minden n > 0 értékre a n +1 < a n . Ez pedig azt jelenti, hogy a vizsgált sorozat szigorúan monoton csökkenő. Viszont láttuk, hogy a sorozat minden tagja pozitív, tehát monoton csökkenő, alulról korlátos sorozattal állunk szemben, ami a korábban elhangzott tétel szerint a sorozat konvergens voltát jelenti. Vizsgáljuk meg a határértéket: 1 n 1 +  n +1 n lim 2 = = lim  n ∞ 2 n − 1 n ∞  1 n  2n −  n  1 + 1    = lim  n  0 n ∞  1  2n −  n  Azt a tényt, hogy a sorozat nullához tart, sejteni lehet néhány első tagjának megvizsgálásával is (a nevező gyorsabban nő, mint a számláló),

és be lehet látni a definíció alapján is: a n − 0 < ε an = n +1 n +1 = 2 <ε 2 2n − 1 2n − 1 ε− n +1 >0 2n 2 − 1 2n 2ε − ε − (n + 1) >0 2n 2 − 1 Ez a tört pozitív, ha számlálója pozitív, azaz: 2n 2ε − n − (ε + 1) > 0 Ez pedig igaz, ha n nagyobb, mint 1 + 1 + 8ε(ε + 1) 1 ε= egész része. Lássuk most mennyi lesz a küszöbindex, ha 4ε 100 , azaz a 1 ε= sorozatnak hány db. tagja marad határértéke 100 sugarú környezetén kívül. Ekkor: 1 n +1 − 2 >0 100 2n − 1 azaz 2n 2 − 100n − 101 > 0 Ez utóbbi teljesül, ha n nagyobb, mint 4 100 + 10000 + 808 ≈ 50,9 4 Tehát a sorozat küszöbindexe 50, azaz az a 50 = de a 51 = 50 + 1 51 51 = ≈ 0,0102 > = 0,01 2 5100 2 * 50 − 1 4999 51 + 1 52 52 = ≈ 0,0099 < = 0,01 2 5200 2 * 51 − 1 5201 A sorozat első 50 db. tagja marad határértéke 2n + 5  lim   ♦ n ∞  2n + 1  2n + 5  lim   n ∞  2 n + 1 

ε= n +1 =? n +1 2n + 1 + 4  = lim   n ∞  2 n + 1  n +1 =  4 =1   2n + 1 k  n +1 4     = 4k = 2n + 1 = = lim 1 +  n ∞  2n + 1   1 n = 2k − 2  1 = lim 1 +  k ∞  k 1 = lim 1 +  k ∞  k 1 2 k − +1 2 2k 2k 1 1 1 2 = lim 1 +  1 +  = k ∞  k  k 1 1 2 lim 1 +  = e 2 k ∞  k 5 1 100 sugarú környezetén kívül. Egyváltozós függvények. Az elemi függvények tulajdonságai I. Egyváltozós függvények • • • • • A függvény fogalma: két halmaz közötti kapcsolat Legyen X és Y valamilyen elemek halmaza. Ekkor az (x,y)-t rendezett elempárnak nevezzük, ha x∈X és y∈Y. Függvénynek nevezzük az (x,y) rendezett elempárok halmazát, ahol az első helyen álló elemek az X, a második helyen álló elemek a Y halmazt képezik úgy, hogy minden x∈X és y∈Y legalább egy

(x,y) elempárban szerepel. Ha X, Y valós számokból áll, akkor valós változójú, valós értékű függvényről beszélünk. A függvény jelölése: y = f(x) vagy x f(x) Explicit módon adott a függvény, ha y = f(x) pl. y = 3x2+5 Implicit módon adott a függvény, ha F(x,y) = 0 pl. x3y3+10x2y+1 = 0 A függvény megadása történhet: a) képlettel, b) grafikonnal, c) táblázattal, d) utasítással pl. 2 x ha 0 ≤ x ≤ 1 y=  x + 1 ha x > 1 • Összetett függvény: y = f [g(x)] pl. y = tg(x3–lnx) speciális összetett függvény az ún. paraméteres függvénykapcsolat x = ϕ( t ) y = ψ(t ) Pl1 : x = a cos ϕ y = b sin ϕ ez az x 2 y2 + =1 a 2 b2 ellipszis Pl2: Adjuk meg a következő implicit módon adott függvény egy paraméteres előállítását x3y3+10x2y+1 = 0 legyen t = xy, ekkor t3+10tx+1 = 0 innen: 1 x=− • 1+ t3 10 t y=− 10 t 2 1+ t3 Inverz függvény Az (x,y) rendezett elempárok halmazát az y = f(x) függvénykapcsolat

írja le. Ha most az (y,x) rendezett elempárok halmazát definiáló függvényt akarjuk leírni, azt az x = f –1(y) módon tehetjük. Tekintsük pl. az y = x2+1 függvényt Az inverz függvényt az x = f –1(y) alakban úgy kapjuk, hogy az egyenlőséget átrendezve kifejezzük az x–et: x = ± y −1 vagy, ha ezt a függvényt az eredeti függvénnyel közös koordináta-rendszerben akarjuk ábrázolni, akkor megcseréljük az x és y szimbólumokat azzal összhangban, hogy általában az x változóval a független változót, az y változóval pedig a függő változót szokás jelölni: y = ± x −1 • Néhány függvényekkel kapcsolatos fogalom: értelmezési tartomány a független változó (x) lehetséges értékeinek halmaza értékkészlet a függő változó (y) lehetséges értékeinek halmaza páros tulajdonság: f(x) = f(–x) példák páros függvényekre: y = x 2 n y = cos x y = x páratlan tulajdonság: f(x) = –f(–x) példák páratlan függvényekre: y

= x 2 n +1 y = sin x y = sgn x periodikus tulajdonság: f(x) = f(x+p) ahol p a periódus példák periódikus függvényekre: a trigonometrikus fgv-ek monotonitás pl: a függvény szigorúan monoton nő, ha értelmezési tartományába tartozó x1<x2 értékekre f(x1)<f(x2) szélső érték 2 pl: helyi (lokális) maximum legyen az értelmezési tartományba tartozó x0 egy környezete a H halmaz pontjai. Ekkor minden x∈H esetén f(x) ≤ f(x0) ( vagy f(x) < f(x0) ) zéruhely legyen x0 az értelmezési tartomány olyan elem, amelyre: f(x0) = 0 alaki viszonyok (konvex, konkáv szakaszok) • elemi alapfüggvények: - hatványfüggvények: y = xn x - exponeciális függvények: y = a a>0 y = loga x a > 0, a ≠ 1 - logaritmus függvények: - trigonometrikus függvények és inverzeik • az elemi függvények az elemi alapfüggvényekből a négy alapművelet és az összetett függvény képzésének véges számú alkalmazásával nyerhetők 3 II. Az

elemi függvények tulajdonságai Az elemi függvények osztályozása: Algebrai függvények: a független változóval és tetszőleges állandókkal véges számú algebrai műveletet végzünk (négy alapművelet, egész kitevőjű hatványozás és gyökvonás) Racionális egész függvények: Racionális tört függvények: Irracionális függvények: osztás (a független változóval) és gyökvonás nem szerepel benne a független változóval osztunk is gyökvonás is szerepel benne Racionális egész függvények n y = f (x) = ∑ a i x i i =0 ahol ai valós szám, n természetes szám A racionális egész függvények más neve: polinom. Grafikonja: n-edfokú parabola Pl: y = x2 1 Pl: y = x3 Példa: Melyik az a legalacsonyabb fokszámú polinom, amelynek gyökei: ± 1, ± 3 és f(0) = 2! f(x) = a·(x–1)·(x+1)·(x–3)·(x+1) f(x) = a·(x2–1)·(x2–9) A megadott feltételt figyelembe véve: 9·a = 2, tehát a keresett polinom: 2 2 f ( x ) = ( x 2 − 1)( x

2 − 9) = ( x 4 − 10 x 2 + 9) 9 9 Racionális tört függvények f (x) = = g( x ) = h(x) a n x n + a n −1x n −1 +  + a 1x + a 0 b m x m + b m −1x m −1 +  + b1x + b 0 Ha n ≥ m akkor a függvényt áltört függvénynek nevezzük, egyébként valódi tört függvényről beszélünk. Ha n ≥ m, akkor f(x) polinomosztással átalakítható: g( x ) r(x) = g1 ( x ) + f (x) = h(x) h(x) g(x) = 0 a függvény zérushelyei h(x) = 0 a függvény pólusai szinguláris hely: közös zérushely és pólus (ha ezek azonos multiplicitással bírnak a számlálóban és a nevezőben) aszimptoták: 2 n < m pólusok és y = 0 n = m pólusok és y = an /bn n > m pólusok és y =g1(x) Példák: y= x 2 − x − 6 ( x + 2)( x − 3) = x+2 x+2 y= x+2 x+2 = x − x − 6 ( x + 2)( x − 3) ha x ≠ –2 akkor y = x–3 2 ha x ≠ –2 akkor y = (x–3)–1 aszimptota: x = 3 y= ha x ≠ 0, akkor y = x5–1 3 x7 − x2 x2 x = 0 kétszeres szinguláris hely x 3

−1 y= x az x ≠ 0 miatt x = 0 egyszeres pólus, x = 1 egyszeres zérushely aszimptoták: x = 0 és y = x2 y= x +1 x +1 = x − 9 x + 20 ( x − 4)( x − 5) 2 x = –1 egyszeres zérushely x = 4, x = 5 egyszeres pólusok, aszimptoták: x = 4, x = 5 és y = 0 (vízszintes) 4 Irracionális függvények Példák: y 2 − 6y − x + 8 = 0 ( y − 3) 2 − x − 1 = 0 y = 3± y= x x − 5x + 4 2 x +1 x = x 1− 5 4 + x x2 x 2 − 5x + 4 = ( x − 4)( x − 1) > 0 5 az egyenlőtlenség igaz, ha x < 1, vagy x > 4 x = 0 zérushely 6 Transzcendens függvények Transzcendens az a függvény, amelyik nem algebrai. Trigonometrikus függvények és inverzeik a arcus függvények y = sin(x) y = tg(x) y = cos(x) y = ctg(x) A trigonometrikus függvények inverzei: pl. y = sin(x) függvény inverze az y = Arcsin(x) függvény E függvény értelmezési tartománya: – 1≤x≤1. Az Arcsin(x) azt a –π/2 és π/2 közé eső szöget jelenti, amelynek sinusa

x, azaz π π − ≤ Arcsin x ≤ 2 2 valamint mindazon szögek, amelyek sinusa x, a következő alakban állíthatók elő: Arcsinx +2kπ, ill. (π–Arcsinx)+2kπ Az y = cos(x) függvény inverze az y = Arccos(x) függvény. E függvény értelmezési tartománya: –1≤x≤1. Az Arccos(x) azt a 0 és π közé eső szöget jelenti, amelynek cosinusa x, azaz: 0 ≤ Arccosx ≤ π, valamint mindazon szögek, amelyek cosinusa x, a következő alakban állíthatók elő: Arccosx + 2kπ, ill. -Arccosx + 2kπ y = arcsin(x) y = arccos(x) 1 Az y = tg(x) függvény inverze az y = Arctg(x) függvény. E függvény értelmezési tartománya az összes valós szám. Az Arctg(x) azt a –π/2 és π/2 közé eső szöget jelenti, amelynek tangense x, azaz: –π/2 < Arctgx < π/2, valamint mindazon szögek, amelyek tangense x, a következő alakban állíthatók elő: Arctgx +kπ Az y = ctg(x) függvény inverze az y = Arcctg(x) függvény. E függvény értelmezési tartománya az

összes valós szám. Az Arctg(x) azt a 0 és π közé eső szöget jelenti, amelynek cotangense x, azaz: 0 < Arcctgx < π, valamint mindazon szögek, amelyek tangense x, a következő alakban állíthatók elő: Arcctgx +kπ y = arctg(x) y = arcctg(x) 2 Példa: Adja meg az y = sinArccosx függvény algebrai alakját! Legyen adott az alábbi derékszögű háromszög: Most cos(α) = x, innen α = Arccos(x) Vegyük mindkét oldal sinusát: y = sin(α) = sinArccos(x) = 1− x 2 Exponenciális függvények és inverzeik a logaritmus függvények Exponenciális függvény: y = ax ahol a > 0 Példa: y = e –x cos(2x) 3 y = log a x ahol a>0 és x>0 Hiperbolikus függvények és inverzeik az area függvények A hiperbolikus függvények: 1 y = shx = (e x − e − x ) 2 1 y = chx = (e x + e − x ) 2 4 y = thx = shx chx y = cthx = chx shx Példa: y = ch 2 x − sh 2 x ch 2 x − sh 2 x = 2 2 1 1 = e x + e −x − e x − e −x = 4 4 1 2x x −x =

e + 2e e + e − 2 x − 4 1 − e 2 x − 2e x e − x + e − 2 x = 1 4 ( ) ( ) ( ) ( ) A hiperbolikus függvények inverzei az area függvények Pélául az 1 y = shx = (e x − e − x ) 2 fügvény inverze: 1 x = (e y − e − y ) 2 2 x = (e y − e − y ) ey = x ± e 2 y − 2 xe y − 1 = 0 De e y > 0 ey = x + ( miatt: x2 + 1 y = ln x + ( ) x 2 + 1 = arshx archx = ln x ± x −1 2 ) x ≥1 5 x2 + 1 1+ x 1− x x +1 arcthx = ln x −1 arthx = ln x <1 x >1 Függvény határértéke Az y = f(x) függvény legyen értelmezve az x0 pont valamely környezetében. Az A szám az y = f(x) függvény határértéke az x0 pontban, ha valahányszor lim x n = x 0 n ∞ mindannyiszor lim f ( x n ) = A n ∞ Az y = f(x) függvény határértéke az x0 pontban az A szám, ha bármely ε > 0-hoz meghatározható olyan δ > 0, hogy valahányszor x − x0 < δ teljesül, mindannyiszor f (x) − A < ε is teljesül. Jelölése: lim f ( x

) = A xx 0 6 Megjegyzés: ha az { x n } sorozat x0-hoz csak az egyik oldalról tart, beszélünk jobb-, illetve bal oldali határértékről. Jelben: lim f ( x ) x x 0± Példák: x3 − 8 ( x − 2)( x 2 + 2 x + 4) = lim = 12 x 2 x − 2 x 2 x−2 lim x2 −1 =1 x 0 2 x 2 − x − 1 lim x2 −1 ( x + 1)( x − 1) 2 = lim = 2 x 1 2 x − x − 1 x 1 ( 2 x + 1)( x − 1) 3 lim 1 1− 2 x2 −1 1 x lim lim = = 1 1 x ∞ 2 x 2 − x − 1 x ∞ 2− − 2 2 x x 7 sin x tgx cos x = lim = lim x π sin 2 x x π 2 sin x cos x 1 1 = lim = 2 x π 2 cos x 2 lim x 0 = lim x 0 x = 3x + 1 − 1 x ⋅ 3x + 1 − 1 3x + 1 + 1 = 3x + 1 + 1 ( 3x + 1 + 1) = 2 x ( 3x + 1 + 1) = lim x 0 (3x + 1) − 1 x 0 3 3 = lim x −1   lim−  x 2 + =? x −1  x 1  x −1   lim+  x 2 + =? x −1  x 1  8 9 Egyváltozós függvények folytonossága • Az y =f(x) függvény az x = x0 helyen folytonos, ha az x0 valamely környezetében

értelmezve van és érvényes: lim f ( x ) = f ( x 0 ) x x 0 Másszóval az y =f(x) függvény folytonos az x = x0 ha értelmezve van az x0 helyen és az x0 valamely környezetében, létezik a bal- és jobboldali határérték az x0 helyen, ez lim f ( x ) a két határérték egyenlő egymással, azaz létezik a x x 0 lim f ( x ) = f ( x 0 ) határérték és érvényes: xx 0 • Az y =f(x) függvényt az [a,b] intervallumon folytonosnak nevezzük, ha az (a,b) intervalumon, az intervallum baloldali végpontjában jobbról, a jobboldali végpontjában pedig balról folytonos • Zárt intervallumon folytonos függvény tulajdonságai: Legyen az y =f(x) függvény a (zárt) [a,b] intervallumon folytonos. Ekkor: – f(x) korlátos az [a,b] intervallumon, – f(x) felvesz minden az f(a) és f(b) közé eső értéket, – f(x) felveszi az [a,b] intervallumon maximumát és minimumát. • Az y =f(x) függvény az x0 pontban nem folytonos (szakadása van), ha – f(x)-nek az

x0-ban létezik a kétoldali határértéke, ezek megegyeznek, de a függvény vagy nincs értelmezve x0-ban, vagy a függvényérték nem egyenlő a határértékkel (elsőfajú megszüntethető szakadás), – f(x)-nek az x0-ban létezik a kétoldali határértéke, de ezek nem egyeznek meg egymással (elsőfajú szakadás), – f(x)-nek az x0-ban nincs, vagy nincs véges határértéke (másodfajú szakadás). Példák: Elsőfajú, megszüntethető szakadás y= 1 x x  1 ha x ≠ 0 y = sgn 2 ( x ) =  0 ha x = 0 Elsőfajú szakadás y= x x  1 ha x > 0  y = sgn( x ) =  0 ha x = 0 − 1 ha x < 0  2 Másodfajú szakadás y= 1 x 1 y = sin   x Példák: Vizsgálja az alábbi függvényeket folytonosság szempontjából. Adja meg a függvények szakadási helyeit, a szakadási helyek típusát! 3 4 x−4 4   lim+  =∞ x 4  x − 4  4  lim−   = −∞ x 4  x − 4  y= Az x = 4

helyen másodfajú szakadás (páratlan pólus) y= x +1 x +1 = = 3 x + 1 ( x + 1)( x 2 − x + 1) = x +1 2  1  3 ( x + 1)   x −  +  2  4      1 x +1 1    = = lim  lim  2 x −1 ( x + 1)( x 2 − x + 1)   x −1 ( x − x + 1)  3 Az x = –1 helyen elsőfajú megszüntethető szakadás y = (1 + x )− 2 = 4 1 (1 + x ) 2  1  =∞ lim  x −1  (1 + x ) 2   Az x = –1 helyen másodfajú szakadás (páros pólus)  sin x  y= x  1 ha x ≠ 0 ha x = 0  sin x   sin x  = 1 lim   = lim   x 0  x  x 0  x  lim f ( x ) = f (0) x 0 A függvény folytonos az x = 0 helyen, mivel itt teljesül: e − x y=  0 ( lim e x0 − x −2 ) −2 ha x ≠ 0 ha x = 0  − 12  = lim e x x 0   5  =0   ( )  − 12  = lim e x x 0     =1   A függvény folytonos az

x = 0 helyen, mivel itt teljesül: vízszintes aszimptota x 0 lim e x ∞ − x −2 lim f ( x ) = f (0) , az y = 1 pedig Egyváltozós függvények differenciálhányadosa • Legyen az y = f(x) függvény az x = x0 hely valamely H környezetében értelmezett, vagyis legyen x∈H és teljesüljön: x ≠ x0. Képezzük az ∆y f ( x ) − f ( x 0 ) = ∆x x − x0 differencia, vagy különbségi hányadost. Ha létezik a f (x) − f (x 0 ) x x 0 x − x0 lim határérték, akkor az y = f(x) függvény az x = x0 helyen differenciálható és a különbségi hányados határértéke az y = f(x) függvény x = x0-ban vett differenciálhányadosa, vagy deriváltja. Jelölése: f ′( x 0 ) , vagy y′( x 0 ) , vagy df ( x ) dx x = x 0 • A differenciálhányados geometriai jelentése: az y = f(x) függvény x0-beli érintőjének meredeksége: tg (α) = f ′( x 0 ) 6 ugyanis: f (x) − f (x 0 ) = tg (α) x − x0 és emiatt: f (x) − f (x 0 ) xx 0 x − x0 lim

az érintő iránytangense. Példa: Legyen y = 2x2+1 és x0 = 1 A függvény x0 helyhez tartozó differencia- és differenciálhányadosa: ∆y f ( x ) − f ( x 0 ) 2 x 2 + 5 − ( 7 ) = = = ∆x x − x0 x −1 2 x 2 − 2 2( x 2 − 1) 2( x − 1)( x + 1) = = = = x −1 x −1 x −1 = 2( x + 1) = 2 x + 2 f (x) − f (x 0 ) 2 x 2 + 5 − (7 ) = lim = x 1 x 1 x − x0 x −1 lim 2( x − 1)( x + 1) = lim (2 x + 2) = 4 x 1 x 1 x −1 = lim Az y = 2x2+1 függvény érintőjének egyenlete az x0 = 1 helyen (felhasználva az egy ponton átmenő, adott meredekségű egyenes egyenletének képletét): y − y0 = m( x − x 0 ) y − f ( x 0 ) = f ′( x 0 )( x − x 0 ) y − 7 = 4( x − 1) y = 4x + 3 7 • Legyen az y = f(x) függvény az x = x0 hely valamely H környezetében értelmezett, vagyis legyen x∈H és teljesüljön: x ≠ x0. Képezzük az ∆y f ( x ) − f ( x 0 ) = ∆x x − x0 • Beszélünk még a függvény jobb- ill. baloldali

differenciálhányadosáról az alábbiak szerint: lim + f (x) − f (x 0 ) = f +′ ( x 0 ) x − x0 lim − f (x) − f (x 0 ) = f −′ ( x 0 ) x − x0 xx 0 xx 0 • · f ′( x 0 ) akkor és csakis akkor létezik, ha létezik f +′ ( x 0 ) és f −′ ( x 0 ) , valamint f +′ ( x 0 ) = f −′ ( x 0 ) = f ′( x 0 ) • Az f(x) differenciálhányados függvénye az f ′( x ) függvény, amely értelmezett azokban a pontokban, ahol f(x) differenciálható, és értéke egy ilyen pontban f(x) adott pontbeli differenciálhányadosa Példa:  x2 y= 2 ( x − 4) f −′ ( x 0 ) = lim− x 2 ha ha x<2 x≥2 x2 − 4 = lim ( x + 2) = 4 x − 2 x 2− 8 ( x − 4) 2 − 4 = x−2 x 2 x 2 − 8x + 16 − 4 = lim+ = x−2 x 2 x 2 − 8x + 12 ( x − 2)( x − 6) = lim+ = lim+ = x−2 x−2 x 2 x 2 = lim+ ( x − 6) = −4 f +′ ( x 0 ) = lim+ x 2 Általános differenciálási szabályok (λf ( x ) )′ = λ(f ( x ) )′ (f ( x ) + g( x ) )′ = (f

( x ) )′ + (f ( x ) )′ (f ( x )g( x ) )′ = (g( x ) )′ g( x ) + f ( x )(g( x ) )′ d  f ( x )  (f ( x ) )′ g ( x ) − f ( x )(g ( x ) )′  = dx  g ( x )  (g( x ) )2 (f {g( x )})′ = f ′{g( x )}g′( x ) Az elemi függvények differenciálása (c )′ = 0 (x n )′ = nx n −1 (a x )′ = a x ln a (loga x )′ = 1 1 ln a x ( a > 0) ( x > 0) (sin x )′ = cos x (cos x )′ = − sin x, (tgx )′ = 9 1 cos 2 x −1 sin 2 x (ctgx )′ = (arcsin x )′ = (arccos x )′ = 1 (−1 < x < 1) 1 − x2 −1 (−1 < x < 1) 1 − x2 (arctgx )′ = 1 1+ x2 (arcctgx )′ = −1 1+ x2 (shx )′ = chx (chx )′ = shx (arshx )′ = (thx )′ = 1 ch 2 x (cthx )′ = −1 sh 2 x 1 (minden x2 + 1 (archx )′ = (arthx )′ = 1 x2 −1 1 1 − x2 (arcthx )′ = −1 x −1 2 10 x − re) ( x > 1) ( x < 1) (x > 1) Különböző differenciálási eljárások • Logaritmikus differenciálás Legyen h ( x

) = f ( x ) . Vegyük mindkét oldal e alapú logaritmusát Differenciáljuk mindkét oldalt, majd fejezzük ki h ′( x ) -et g(x) ln(h ( x )) = g ( x ) ln(f ( x )) h ′( x ) f ′( x ) = g ( x ) ln(f ( x )) + g ( x ) h(x) f (x) • f ′( x )   h ′( x ) = f ( x ) g ( x ) g′( x ) ln(f ( x )) + g ( x ) f ( x )   Példa: y = sin x cos x ln y = cos x ⋅ ln(sin x ) 1 y′ = − sin x ⋅ ln(sin x ) + cos x ⋅ ⋅ cos x sin x y 1 ⋅ cos x  y′ = sin x cos x − sin x ⋅ ln(sin x ) + cos x ⋅ sin x   • Implicit módon adott függvény differenciálása Legyen F(x,y) = 0. Ekkor: y′ = − Fx′ Fy′ Példa: xy + y + x y = 0 2 • 2 y′ = − y + 2 xy x + x 2 + 2y Paraméteres módon adott függvény differenciálása Legyen x = x(t), y = y(t). Ekkor: 1 y ( t ) y′( x ) = x ( t ) Példa: x = rcost, y = rsint y ( t ) r cos t y′( x ) = = = −ctgt x ( t ) − r sin t Függvény differenciálja Legyen az y =

f(x) függvény differenciálható. Legyen ∆x az x független változó tetszőleges növekménye és ∆y az y változó megfelelő növekménye. Az dy = f ′( x ) ⋅ ∆x kifejezés az y változó x pontban vett x-szerinti differenciáljának nevezzük. Geometriai jelentés: Az ábrából látszik, hogy ha az x-változó növekménye kicsi, akkor az y-változó növekményét jól közelíti az f ′( x ) ⋅ ∆x . Magasabbrendű differenciálhányadosok Ha az y = f ( x ) és az y′ = f ′( x ) függvények differenciálhatók az x0 pontban, akkor az y′ = f ′( x ) függvény x0 pontbeli differenciálhányadosát az y = f ( x ) függvény x0 helyen vett második differenciálhányadosának nevezzük. Hasonló módon jutunk el az n-edik deriválthoz, illetve az n-edik derivált függvényhez. Jelölésük: y′ f ′( x ) y′′ y′′′ . (n ) . y . f (n ) (x) 2 dy dx . dn y dx n . Példa: y = ln x y′ = ( 1 = x −1 x ) y′′ = − 1 x2 y ( n

) = (−1) n +1 (n − 1)!x −n A differenciálszámítás középérték tételei Rolle tétel: Legyen f(x) folytonos az [a,b], differenciálható (a,b)-n. Legyen f(a) = f(b) Ekkor létezik ξ∈(a,b) úgy, hogy f ′(ξ) = 0 (ez azt jelenti, hogy az f(x) érintője ξ-ben párhuzamos az x-tengellyel). Lagrange-féle középérték-tétel: Legyen f(x) folytonos az [a,b], differenciálható (a,b)-n. Ekkor létezik olyan ξ∈(a,b), hogy f ′(ξ) = f ( b ) − f (a ) b−a (ez azt jelenti, hogy az f(x) érintője ξ-ben párhuzamos az f(a), f(b) húrral). 3 A differenciálszámítás alkalmazásai 1. Határozatlan alakok határértékének kiszámítása (a L’Hospital szabály)  0 , ∞ , 0 ⋅ ∞, ∞ − ∞, ∞ 0 , 00 , 1∞ alakok      0 ∞ Legyenek f(x) és g(x) az x = a pont környezetében differenciálhatók és lim f ( x ) = lim g ( x ) = 0 x a (vagy x a lim f ( x ) = lim g ( x ) = ∞ x a x a ) és az x = a pont környezetében g

( x ) ≠ 0, g ′( x ) ≠ 0 f ′( x ) f (x) lim Ha létezik a x a g ′( x ) , akkor létezik a xa g ( x ) és lim f ′( x ) f (x) = lim x a g ( x ) x a g ′( x ) lim Példák: x 2 − 5x + 6 2x − 5  0 alak  = −1 = lim  lim 2   x 2 x − 3x + 2 x 2 2 x − 3  0 ex − 1 ex lim = lim 2 = ∞ x 0 x 3 x 0 3x x 1  ∞ alak    lim x = lim x = 0 x ∞ e  ∞  x ∞ e 1 ln x  ∞  =   = lim x = lim (− x ) = 0 lim x ln x = lim x 0 x 0 1  ∞  x 0 − 1 x 0 ( 0 ⋅ ∞ alak ) x x2 ( ∞ − ∞ alak ) 1 − cos x x − sin x  0  1 1 = =   = lim −  = lim lim  x 0  sin x x  x 0 x sin x  0  x 0 sin x + x cos x sin x = lim =0 x 0 cos x + cos x − x sin x 4 lim x sin x = lim+ esin x ln x = lim+ x 0 + ( 00 alak ) x 0 = lim+ x 0 lim x x ∞ ( ∞0 alak ) ( 1∞ alak ) = lim x ∞ lim x 1 1 x cos x − 2 e sin x = lim+ x 0 x = lim x ∞ 1 x e1 1 − 1 x x x 0 1 x x

− sin 2 x e x cos x = lim x ∞ ln x 1 sin e x = lim+ e 1 ln x x e = − sin x tgx x x 0 = lim x ∞ ln x e x = e0 = 1 = = e0 = 1 = lim x 1 1 ln x − 1 e x = lim x 1 ln x 1 e −x = lim x 1 1 x e −1 = e −1 2. A függvénygörbe vizsgálata a.) Monotonitás • ha f(x) az [a,b]-n folytonos, (a,b)-n differenciálható (a vagy b végtelen is lehet) és itt f ′( x ) > 0 ( f ′( x ) < 0 ), akkor f(x) szigorúan monoton nő (csökken) [a,b]-n Példa: y = x 3 + 3x 2 + 1 y′ = 3x 2 + 6 x = 3x ( x + 2) y′ < 0 ha − 2 < x < 0 ⇒ f ( x ) itt szig. mon csökken y′ > 0 ha x < −2 vagy x > 0 ⇒ f ( x ) itt szig. mon növekszik b.) Szélsőérték • Az y = f(x) függvénynek (helyi) szélsőértéke lehet azon P pontban, melyre f ′(P) = 0 . Ha f ′′(P) ≠ 0 , szélsőértéke van P-ben mégpedig maximuma ill. minimuma aszerint, hogy f ′′(P) < 0 ill. f ′′(P) > 0 5 • • Ha f(x) differenciálható

x0 valamely környezetében, továbbá f ′( x ) x0-ban előjelet vált, akkor f(x)-nek x0-ban (helyi) szélsőértéke van ( n −1) ( x 0 ) = 0, de Legyen f(x) x0-ban n-szer differenciálható és f ′( x 0 ) = f ′′( x 0 ) =  = f f ( n ) ( x 0 ) ≠ 0 . Az f(x)-nek akkor és csakis akkor van x0-ban helyi szélsőértéke, ha n páros szám Példa: y′ = 3x 2 + 2 x = x (3x + 2) y = x 3 + x 2 + 1 y′′ = 6 x + 2 2 y′ = 0 ha x = 0 vagy x = − 3 y′′(0) = 2 > 0 ⇒ min imum a (0,1) pontban 2 31 2 y′′ −  = −2 < 0 ⇒ max imum a  − ,  pontban  3 27   3 Példa: y′ = 3x 2 − 12 x + 12 = 3( x − 2) 2 y′′ = 6 x − 12 y = x 3 − 6 x 2 + 12 x − 3 y′ = 0 ha x = 2 y′′(2) = 0 ⇒ nincs itt szélső érték b.) Alaki viszonyok 6 • • • • • Az y = f(x) függvényt [a,b]-n alulról konvexnek nevezzük, ha bármely a ≤ x 1 ≤ x ≤ x 2 ≤ b re f ( x 2 ) − f ( x1 ) f ( x ) ≤ f ( x1 ) +

(x − x1 ) x 2 − x1 f (x 2 ) − f (x1 ) f ( x ) ≥ f ( x1 ) + (x − x1 ) x 2 − x1 illetve alulról konkáv, ha . Ha egyenlőség nem állhat fenn, akkor a függvény szigorúan konvex, illetve konkáv f(x)-nek x0-ban inflexiós pontja van, ha x0-ban konvexből konkávba, vagy fordítva megy át Ahhoz, hogy a [a,b]-n kétszer differenciálható f(x) függvény ott konvex (konkáv) legyen szükséges és elegendő, hogy f ′′( x 0 ) ≥ 0 ( f ′′( x 0 ) ≤ 0 ) teljesüljön bármely x 0 ∈ [a , b]-re. Ha f ′′( x ) ≠ 0 [a,b] egyetlen részintervallumán sem, akkor ott f(x) szigorúan konvex, vagy konkáv Ηa f(x)-nek az x0 pont valamely környezetében kétszer differenciálható és f ′′( x 0 ) = 0 , valamint f ′′(x ) x0-ban előjelet vált (vagy f ′′′( x 0 ) ≠ 0 ), akkor az f(x)-nek az x0 helyen inflexiós pontja van ( n −1) ( x 0 ) = 0, de Legyen f(x) az x0-ban n-szer differenciálható és f ′( x 0 ) = f ′′( x 0 ) =  = f f ( n ) ( x 0

) ≠ 0 . Az f(x)-nek akkor és csakis akkor van x0-ban inflexiós pontja, ha n páratlan szám Példa: y′ = 3x 2 + 2 x = x (3x + 2) y′′ = 6 x + 2 3 2 y = x + x + 1 y′′′ = 2 1 y′′ = 6 x + 2 > 0 ha x > − ⇒ konvex 3 1 y′′ = 6 x + 2 < 0 ha x < − ⇒ konkáv 3 1 inf lexió x=− 3 7 Függvény teljes vizsgálata • Meghatározandó: - értelmezési tartomány - zérushelyek - szimmetria tulajdonság (páros, páratlan, periódikus) - folytonosság, határérték vizsgálata, asszimptoták - monotonitás, szélsőérték - függvény alakja, inflexiós pont - grafikon - értékkészlet Példa: y= x 2 − 3x + 2 30 = x−7+ x+4 x+4 8 f (x) c xα ex ax ln x loga x sin x cos x tgx ctgx arcsin x arccos x arctgx arcctgx shx chx thx cthx arshx archx arthx arcthx Deriválás f 0 (x) 0 αxα−1 ex x a ln a 1 x 1 x ln a cos x − sin x 1 cos2 x 1 − 2 sin x 1 √ 1 − x2 1 −√ 1 − x2 1 1 + x2 1 − 1 + x2 chx shx 1 ch2 x 1 − 2 sh x

1 √ 1 + x2 1 √ 2 x −1 1 |x| < 1 1 − x2 1 |x| > 1 1 − x2 Deriválási szabályok 0 (cf ) = cf 0 0 (f ± g) = f 0 ± g 0 0 (f g) = f 0 g + f g 0 µ ¶0 f 0 g − f g0 f = g g2 0 0 (f ◦ g) = (f ◦ g) g 0 ¡ ¢0 1 f¯ = 0 ¯ f ◦f Paraméteres  megadású függvény: x = ϕ(t) ψ̇(t) f (x) : f 0 (x) = y = ψ(t) ϕ̇(t) Kiegészı́tések 1 + cos 2x 1 − cos 2x cos2 x = sin2 x = 2 2 ch2x − 1 ch2x + 1 2 2 ch x = sh x = 2 2 2 sin α sin β = cos (α − β) − cos (α + β) 2 cos α cos β = cos (α − β) + cos (α + β) 2 sin α cos β = sin (α + β) + sin (α − β) Integrálás F (x) xα+1 α 6= −1 α+1 ln |x| f (x) xα 1 x ex ex ax ln a − cos x sin x ax sin x cos x 1 tgx cos2 x 1 − ctgx sin2 x shx chx chx shx 1 thx ch2 x 1 − cthx sh2 x 1 √ arcsin x 1 − x2 1 √ arshx 1 + x2 1 √ archx x2 − 1 1 arctgx 1 + x2 ¯ ¯ 1 1 ¯¯ 1 + x ¯¯ ln 1 − x2 2 ¯1 − x¯ Integrálási szabályok R F (ax + b) +C f (ax + b) dx = a

α+1 R α f (x) f (x) f 0 (x) dx = +C α+1 ha α 6= −1 Z 0 f (x) dx = ln |f (x)| + C f (x) R f (g (x)) g 0 (x) dx = F (g (x)) + C R 0 u (x) v (x) dx = R = u (x) v (x) − u (x) v 0 (x) dx x t = tg helyettesı́tés: 2 2t 1 − t2 sin x = cos x = 1 + t2 1 + t2 Rb 2 V = π f (x)dx a Rb q 2 L= 1 + (f 0 (x)) dx a q Rb 2 F = 2π f (x) 1 + (f 0 (x)) dx a  x = ϕ(t) y = ψ(t) Rt2 2 V = π ψ (t)ϕ̇(t)dt t1 Rt2 q L= ϕ̇2 (t) + ψ̇ 2 (t)dt t1 q Rt2 F = 2π ψ(t) ϕ̇2 (t) + ψ̇ 2 (t)dt t1 Laplace-transzformáció f (t) f¯ (s) = L [f (t)] 1 eat s−a a sin (at) s2 + a 2 s cos (at) 2 s + a2 n! tn sn+1 a sh(at) s2 − a 2 s ch(at) 2 s − a2 eat f (t) f¯ (s − a) dn f¯(s) tn f (t) (−1)n dsn f 0 (t) sf¯ (s) − f (0) f 00 (t) s2 f¯ (s) − sf (0) − f 0 (0) (n) f (t) sn f¯ (s) − sn−1 f (0) − . . − f (n−1) (0) t R 1¯ f (s) f (u) du s 0 f (t − a) e−as f¯ (s) Taylor-sorok ∞ P xn ex = n! n=0 x2n+1 (2n + 1)! n=0 2n ∞ P n x cos x = (−1) (2n)! n=0

∞ ¡ ¢ P α α n (1 + x) = |x| < 1 n x ¡α¢ ¡α¢n=0 α(α−1)·.·(α−n+1) n! 0 =1 n = sin x = ∞ P n (−1) Fourier-sorok f (x) = a0 + ∞ P + (an cos (nωx) + bn sin (nωx)) n=1 1 a0 = T 2 an = T bn = 2 T a+T Z a+T Z f (x) dx a f (x) cos (nωx) dx a a+T Z f (x) sin (nωx) dx a f (x + T ) = f (x) és ω = Vektoranalı́zis Rt2 s = |ṙ| dt t1 ¯ |ṙ × r̈| G = ¯ 3¯ T = |ṙ| µ ¶ ¯ ∂ ∂ ∂ ∇= , , ∂x ∂y ∂z 2π T . ṙ r̈ r ¯¯ ¯ 2 |ṙ × r̈| ¯ ¯ gradu = ∇u divv = ∇v rotv = ∇ × v