Physics | Flexibility » Bagi-Bojtár-Tarnai - Rugalmasságtan alapkérdések

RUGALMASSÁGTAN ALAPKÉRDÉSEK SEGÉDLET 2004 Bagi Katalin Bojtár Imre Tarnai Tibor BEVEZETÉS Ez a segédlet a BME Építőmérnöki Karán oktatott Rugalmasságtan című tantárgy legfontosabb tudnivalóit foglalja össze. Célja, hogy a hallgatók számára vezérfonalat nyújtson a tárgy alapjainak elsajátításához. A segédlet a 36 alapkérdés vázlatát adja meg, ezek mindegyikéhez megjelölve a részletesebb magyarázatokat tartalmazó tankönyvek, jegyzetek megfelelő fejezeteit. További támogatást nyújt a tanuláshoz, hogy az előadások diái letölthetők a következő webcímről: www.mebmehu/letoltes/indexhtm Reméljük, hogy az elméleti szempontból igen igényes, nehéz, de nagyon szép tantárgy elsajátításában összefoglalónk segítséget jelent majd a hallgatók számára. A szerzők 3 1. témakör 1. Ismertesse a feszültségvektor és a feszültségtenzor fogalmát! 2. Mit értünk ‘gömbi’ illetve ‘deviátoros’

feszültségösszetevőn? 3. Ismertesse a deformációvektor és az alakváltozástenzor fogalmát! 4. Mi a főfeszültségek ill feszültségi főirányok mechanikai és matematikai jelentése? 5. Mi a főnyúlások ill alakváltozási főirányok mechanikai és matematikai jelentése? 6. Mit fejeznek ki a rugalmasságtan statikai, geometriai, kompatibilitási és anyagegyenletei? 7. Ismertesse az Airy-féle feszültségfüggvény fogalmát! Írja fel a tárcsaegyenletet, és magyarázza el a benne szereplő mennyiségek jelentését! 8. Írja fel a vékony lemez differenciálegyenletét, és magyarázza el a benne szereplő mennyiségek jelentését! 9. Mit mond ki a Saint-Venant elv? 10. Mi a főfeszültségi trajektóriák jelentése? 11. Sorolja fel, hogy milyen speciális feszültségi állapotokat ismer! Milyen lesz ezekben az esetekben a vizsgált pont alakváltozási állapota izotróp anyag esetén? 12. Sorolja fel, hogy milyen speciális alakváltozási állapotokat ismer!

Milyen lesz ezekben az esetekben a vizsgált pont feszültségállapota izotróp anyag esetén? 2. témakör 1. Ismertesse a virtuális elmozdulások tételét! Mi a tétel mechanikai tartalma? 2. Ismertesse a virtuális erők tételét! Mi a tétel mechanikai tartalma? 3. Ismertesse a potenciális energia fogalmát! Mik a független változók? 4. Ismertesse a potenciális energia stacionaritásának tételét! Mi a fizikai jelentése annak, ha egy szerkezet valamely vizsgált állapotában a potenciális energia stacionárius? 5. Ismertesse a kiegészítő potenciális energia fogalmát! Mik a független változók? 6. Ismertesse a kiegészítő potenciális energia minimumának tételét! Mi a fizikai jelentése annak, ha egy szerkezet valamely vizsgált állapotában a kiegészítő potenciális energiának minimuma van? 7. Írja föl a potenciális energia függvényét egy húzott rúd esetén! 8. Írja föl a potenciális energia függvényét egy hajlított gerenda esetén! 9.

Jelölje eKy valamely vizsgált szerkezet ’K’ pontjának lehajlását Mit jelentenek az η(eKy) hatásábra ordinátái? Fogalmazza meg a hatásábra elkészítésénak a Maxwell-féle felcserélhetőségi tétel alapján megadható helyettesítő feladatát! 10. Jelölje ϕK valamely vizsgált szerkezet ’K’ pontjának elfordulását Mit jelentenek az η(ϕK) hatásábra ordinátái? Fogalmazza meg a hatásábra elkészítésének a Maxwell-féle felcserélhetőségi tétel alapján megadható helyettesítő feladatát! 11. Jelölje ϑC valamely vizsgált szerkezet ’C’ csuklójába befutó két rúdvég relatív elfordulását. Mit jelentenek az η(ϑC) hatásábra ordinátái? Fogalmazza meg a hatásábra elkészítésének a Maxwell-féle felcserélhetőségi tétel alapján megadható helyettesítő feladatát! 12. Jelölje ∆l valamely rácsos tartó egy vizsgált rúdjának megnyúlását Mit jelentenek az η(∆l) hatásábra ordinátái? Fogalmazza meg a hatásábra

elkészítésének a Maxwell-féle felcserélhetőségi tétel alapján megadható helyettesítő feladatát! 4 3. témakör 1. Ismertesse a stabilitásvizsgálat célját és a stabil, instabil, indifferens és kritikus egyensúlyi állapot fogalmát! 2. Ismertesse a stabilitásvizsgálat statikai módszerének alapelvét! 3. Ismertesse a stabilitásvizsgálat energiamódszerének alapelvét! A potenciális energia függvényének miért a második deriváltját vizsgáljuk stabilitási feladatoknál? 4. Ismertesse a határkarcsúság fogalmát! Ábrázolja a központosan nyomott, egyenes tengelyű rúd kritikus feszültsége és karcsúsága közötti összefüggést! 5. Ismertesse a rugalmas és képlékeny kihajlás fogalmát! 6. Hogyan határozzuk meg egy központosan nyomott, egyenes tengelyű rúd kritikus erejét rugalmas kihajlás esetén? Hogyan vehetők figyelembe a különböző peremfeltételek? 7. Ismertesse a mechanikai anyagmodell fogalmát! 8. Ismertesse a

lineárisan rugalmas anyag, illetve a nemlineárisan rugalmas anyag fogalmát! Ismertesse a Hooke-modellt! 9. Ismertesse a képlékeny alakváltozás fogalmát! Mit jelentenek a ’folyási feltétel’ és ’folyási felület’ kifejezések? 10. Szemléltesse a Huber-Mises-Hencky-féle folyási feltételt síkbeli feszültségállapot esetén! 11. Szemléltesse a Tresca-féle folyási feltételt síkbeli feszültségállapot esetén! 12. Szemléltesse a Prager-Drucker-féle és a Mohr-Coulomb-féle folyási feltételt háromdimenziós feszültségállapot esetén! 5 1. témakör 1. Ismertesse a feszültségvektor és a feszültségtenzor fogalmát! Feszültségvektor: pn • Vizsgáljuk a test állapotát a P pontban. (A testre külső erők hatnak, aminek hatására a testben belső erők ébrednek.) • A P ponton át egy n normálisú síkkal a testet két részre vágjuk. • A metszet egyik oldalán lévő részre a másik oldalán lévő rész által kifejtett hatást

általános megoszló erőrendszerként modellezzük. • E megoszló erőrendszer iránya és intenzitása a P pontban: a P-hez és az n normálishoz tartozó feszültségvektor iránya és nagysága. Feszültségtenzor: σ • A vizsgált P pontban az összes lehetséges n normálishoz tartozó feszültségvektorok összessége írja le a P pont feszültségállapotát. • Feszültségtenzoron azt a σ tenzort értjük, amelynek segítségével bármely n irányhoz így számíthatjuk ki a megfelelő feszültségvektort: pn = σ n • Valamely (x, y, z) koordináta-rendszerben a feszültségtenzor mátrixa így írható fel: σ x τ xy τ xz    σ = τ yx σ y τ yz  τ zx τ zy σ z    ahol az egyes sorok rendre az x, az y és a z normálisú metszetekhez tartozó feszültségvektorok komponenseit tartalmazzák: τ yx  τ zx  σ x    p y = σ y  ; p x = τ xy  ; p z = τ zy      τ yz 

σ z  τ xz    Irodalom: Kaliszky, S. – Kurutzné, KM – Szilágyi, Gy: Szilárdságtan 2 kiadás, Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 2000. (521, 522, 525) Bezuhov, N.I: Bevezetés a rugalmasságtanba és a képlékenységtanba Tankönyvkiadó, Budapest, 1952. (3 §) 6 1. témakör 2. Mit értünk ‘gömbi’ illetve ‘deviátoros’ feszültségösszetevőn? Számítsuk ki az adott derékszögű koordinátarendszerben a három koordinátatengelyhez tartozó normálfeszültségek átlagát: σ átl = 13 (σ x + σ y + σ z ) Ennek segítségével bontsuk a feszültségtenzort az alábbi két összetevő összegére: σ = σo + S ahol 0 0  σ átl  σ o =  0 σ átl 0    0 0 σ átl  az átlagos normálfeszültségek hatását leíró gömbi (vagy hidrosztatikus) feszültségösszetevő, és (σ x − σ átl )  τ xy τ xz   (σ y − σ átl ) τ yz S =  τ yx   τ zx (σ z − σ átl )

 τ zy  a nyírási hatásokat jellemző deviátoros összetevő. Irodalom: Kaliszky, S. – Kurutzné, KM – Szilágyi, Gy: Szilárdságtan 2 kiadás, Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 2000. (524) 7 1. témakör 3. Ismertesse a deformációvektor és az alakváltozástenzor fogalmát! Alapfogalmak: • A vizsgált test P pontja (melynek helyvektora r) elmozdul, eltolódásvektora u; a P ponthoz közeli, r + dr helyvektorú pont szintén elmozdul, eltolódása u + du : u   u + du    u = v ; u + du =  v + dv       w  w + dw u + du u P r r + dr • Az u eltolódásmező B gradienstenzora segítségével bármely dr esetén meghatározható, hogy mekkora lesz a két pont eltolódása közötti du különbség:  ∂u ∂u ∂u     du   ∂x ∂y ∂z   dx  ∂v ∂v ∂v    dy = B T dr du =  dv  =     ∂x ∂y ∂z    dw  ∂w

∂w ∂w   dz    ∂ ∂ ∂ x y z   • Az r és az r + dr helyvektorú pontok eltolódása két ok miatt tér el egymástól: (a) a P pont környezete deformálódik (ebből származik dudef); (b) a P pont környezete merevtestszerű elfordulást végez (ebből származik durot). • Ez a két eltolódás külön-külön is kifejezhető, ha az eltolódásmező B gradienstenzorát szétválasztjuk szimmetrikus és antimetrikus összetevőjére:  ∂u  ∂x  ∂u B =   ∂y  ∂u   ∂z 8 ∂v ∂x ∂v ∂y ∂v ∂z B def  ∂u  ∂x   1  ∂u ∂v  =   +  2 ∂y ∂x     1  ∂u ∂w   2  ∂z + ∂x   1  ∂v ∂u   +  2  ∂x ∂y  ∂v ∂y 1  ∂v ∂w   +  2  ∂z ∂y  1  ∂w ∂u  +   2  ∂x ∂z  1  ∂w ∂v    +  ; 2  ∂y ∂z    ∂w 

 ∂z  1  ∂v ∂u   −  2  ∂x ∂y  B rot  0    1  ∂u ∂v  =   −  2 ∂y ∂x     1  ∂u ∂ w   2  ∂z − ∂x   1  ∂w ∂u   −   2  ∂x ∂z   1  ∂w ∂v    −  2  ∂y ∂z     0   ∂w  ∂x  ∂w  ∂y  ∂w   ∂z  0 1  ∂v ∂w   −  2  ∂z ∂y  amelyekből és ( ) dr = (B ) dr . du def = B def du rot T rot T u + du n dr P • Jelölje n a (dr hosszúságú) dr vektor irányába mutató egységvektort (azaz dr irányvektorát): dr n= dr r u r + dr Deformációvektor: dn A vizsgált P pontban valamely n irányvektorhoz tartozó deformációvektoron a következő vektort értjük: du def dn = azaz dr ( ) T d n = B def n . Ez a vektor az elemi szál dr hosszával normálva adja meg a dr elemi szál deformációját. A

szál irányába eső komponense a szál megnyúlását, a rá merőleges összetevője a szál környezetének szögtorzulását fejezi ki. Alakváltozástenzor: ε A P pont környezetének deformációját kifejező ε alakváltozástenzoron az eltolódásmező gradienstenzorának szimmetrikus részét értjük: ε = B def  ∂u  ∂x   1  ∂u ∂v  +  =   2  ∂y ∂x    1  ∂u ∂w   2  ∂z + ∂x   1  ∂v ∂u   +  2  ∂x ∂y  ∂v ∂y 1  ∂v ∂w   +  2  ∂z ∂y  1  ∂w ∂u    +   2  ∂x ∂z    εx 1 1  ∂w ∂v    +   =  γ xy 2  ∂y ∂z  2  1 γ ∂w   2 xz  ∂z  1 γ xy 2 εy 1 γ yz 2 1  γ xz  2  1 γ yz  2  εz   A mátrix egyes sorai rendre az x, y és z tengelyek irányába mutató egységvektorokhoz tartozó

deformációvektorokat tartalmazzák. Irodalom: Bezuhov, N.I: Bevezetés a rugalmasságtanba és a képlékenységtanba Tankönyvkiadó, Budapest, 1952. (4-5 §, 18 §) Kaliszky, S. – Kurutzné, KM – Szilágyi, Gy: Szilárdságtan 2 kiadás, Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 2000. (621, 622, 625) http://www.mebmehu/letoltes/Rugtan-03eapdf 9 1. témakör 4. Mi a főfeszültségek ill feszültségi főirányok mechanikai és matematikai jelentése? Mechanikai jelentésük: A vizsgált test bármely pontjában található 3 olyan egymásra merőleges irány, amelyekhez tartozó feszültségvektoroknak nincs nyírófeszültségi komponense (azaz a feszültségvektor iránya éppen a vizsgált irányba esik). Ezt a három irányt feszültségi főiránynak, a hozzájuk tartozó feszültségek nagyságát főfeszültségeknek nevezzük. Matematikai jelentésük: A főfeszültségek a vizsgált pont feszültségállapotát jellemző feszültségtenzor sajátértékei, a

feszültségi főirányok a feszültségtenzor sajátvektorainak irányai. A főfeszültségek számítása: Adott σ feszültségtenzor esetén keressük, hogy milyen (összetartozó) σi értékek és vi vektorok esetén teljesülhet a σ vi = σi vi egyenlet akkor is, ha vi ≠ 0 . Átrendezve: σ x − σ i τ xy τ xz   vi x  0       − τ σ σ τ yx y i yz   vi y  = 0   τ zy σ z − σ i   vi z  0   τ zx amelyből látható, hogy csak akkor lesz az egyenletnek vi ≠ 0 megoldása, ha a bal oldalon álló együtthatómátrix determinánsa zérus: σ x − σi τ xy τ xz τ yx σ y − σi τ yz = 0 . τ zx τ zy σ z − σi A determináns kifejtésével a következő harmadfokú egyenletet kapjuk: σ i3 − I1σ i2 + I 2σ i − I 3 = 0 σ x τ xy τ xz σ x τ xy σ y τ yz σ z τ zx + + ; I 3 = τ yx σ y τ yz . ahol I1 = σ x + σ y + σ z ; I 2 = τ yx σ y τ zy σ z τ xz σ

x τ zx τ zy σ z A harmadfokú egyenletnek három valós gyöke van: ez a három főfeszültség. Nagyság szerint sorba rendezve: σ 1 ≥ σ 2 ≥ σ 3 Irodalom: Kaliszky, S. – Kurutzné, KM – Szilágyi, Gy: Szilárdságtan 2 kiadás, Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 2000. (523) Bezuhov, N.I: Bevezetés a rugalmasságtanba és a képlékenységtanba Tankönyvkiadó, Budapest, 1952. (13 §) 10 1. témakör 5. Mi a főnyúlások ill alakváltozási főirányok mechanikai és matematikai jelentése? Mechanikai jelentésük: A vizsgált test bármely pontjában található 3 olyan egymásra merőleges irány, amelyekhez tartozó deformációvektoroknak nincs szögtorzulási komponense (azaz a deformációvektor iránya éppen a vizsgált irányba esik, tehát csak nyúlás jön létre). Ezt a három irányt alakváltozási főiránynak, a hozzájuk tartozó nyúlások nagyságát főnyúlásoknak nevezzük. Matematikai jelentésük: A főnyúlások a vizsgált pont

alakváltozási állapotát jellemző alakváltozástenzor sajátértékei, az alakváltozási főirányok az alakváltozástenzor sajátvektorainak irányai. A főnyúlások számítása: Adott ε alakváltozástenzor esetén keressük, hogy milyen (összetartozó) εi értékek és vi vektorok esetén teljesülhet az ε vi = εi vi egyenlet akkor is, ha vi ≠ 0 . Átrendezve: 1 1 ε x − ε i   vi x  0  2 γ xy 2 γ xz  1     1 2 γ yz   vi y  =  0   2 γ yx ε y − ε i 1  12 γ zx ε z − ε i   vi z  0  2 γ zy  amelyből látható, hogy csak akkor lesz az egyenletnek vi ≠ 0 megoldása, ha a bal oldalon álló együtthatómátrix determinánsa zérus. A determináns kifejtésével a következő harmadfokú egyenletet kapjuk: ε i3 − I1ε i2 + I 2ε i − I 3 = 0 ahol I1 = ε x + ε y + ε z ; εx I2 = 1 2 γ yx γ xy εy + 1 εy 2 γ zy 1 2 1 2 γ yz ε + 1 z εz 2 γ xz γ zx

; εx 1 2 εx I 3 = 12 γ yx 1 2 γ zx γ xy εy 1 2 γ zy 1 2 γ xz 1 2 γ yz . εz 1 2 A harmadfokú egyenletnek három valós gyöke van: ez a három főnyúlás. Nagyság szerint sorba rendezve: ε1 ≥ ε 2 ≥ ε 3 Irodalom: Kaliszky, S. – Kurutzné, KM – Szilágyi, Gy: Szilárdságtan 2 kiadás, Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 2000. (623) Bezuhov, N.I: Bevezetés a rugalmasságtanba és a képlékenységtanba Tankönyvkiadó, Budapest, 1952. (20 §) 11 1. témakör 6. Mit fejeznek ki a rugalmasságtan statikai, geometriai, kompatibilitási és anyagegyenletei? Statikai egyenletek: A Cauchy-egyenletek a test belsejében lévő elemi hasábok egyensúlyát fejezik ki; összefüggést teremtenek a test belsejében ébredő feszültségek és a testre ható tömegerők közöt: ∂σ x ∂τ xy ∂τ xz + + + gx = 0 ∂x ∂y ∂z ∂τ yx ∂σ y ∂τ yz + + + gy = 0 ∂x ∂y ∂z ∂τ zx ∂τ zy ∂σ z + + + gz = 0 ∂x ∂y ∂z (A statikai peremfeltételek

a test peremén lévő elemi hasábok egyensúlyát fejezik ki; összefüggést teremtenek a feszültségek és a peremen ható erők között.) Geometriai egyenletek: A geometriai egyenletek a test bármely pontjában az eltolódások és az alakváltozástenzor komponensei közötti összefüggéseket adják meg: ∂u ∂v ∂w εx = , εy = , εz = ∂x ∂y ∂z ∂u ∂v ∂v ∂w ∂u ∂w + , γ yz = + + γ xy = , γ zx = ∂y ∂x ∂z ∂y ∂z ∂x (A geometriai peremfeltételek a test perempontjainak előírt elmozdulásait írják le.) Kompatibilitási egyenletek: A kompatibilitási egyenletek azt fejezik ki, hogy a testet alkotó elemi hasábok, amelyek a deformáció előtt hézag- és átfedésmentesen töltötték ki a testet, a deformáció után is hézag- és átfedésmentesen töltik majd ki. A kompatibilitási egyenletek az alakváltozástenzor komponenseinek második deriváltjai között írnak le összefüggéseket. Anyagegyenletek: Az anyagegyenletek (vagy

anyagmodellek) a feszültségtenzor és az alakváltozástenzor komponensei közötti összefüggéseket adják meg. Pl lineárisan rugalmas anyagú test esetén: σ = D ε vagy ε = H σ Irodalom: Kaliszky, S. – Kurutzné, KM – Szilágyi, Gy: Szilárdságtan 2 kiadás, Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 2000. (57, 63, 721) Bojtár I.: Mechanikai anyagmodellek Tankönyvkiadó, Budapest, 1988 (21) 12 1. témakör 7. Ismertesse az Airy-féle feszültségfüggvény fogalmát! Írja fel a tárcsaegyenletet, és magyarázza el a benne szereplő mennyiségek jelentését! Airy-féle feszültségfüggvény: Az F(x,y) feszültségfüggvény egy általunk választható segédfüggvény, amelyet úgy definiálunk, hogy második deriváltjai a feszültségekkel egyezzenek meg: ∂ 2 F ( x, y ) σ x ( x, y ) = ∂y 2 ∂ 2 F ( x, y ) σ y ( x, y ) = ∂x 2 ∂ 2 F ( x, y ) τ xy ( x, y ) = − ∂x∂y Tárcsa: Tárcsának olyan szerkezetet nevezünk, amelyhez egy (x, y, z) derékszögű

koordinátarendszer illeszthető olymódon, hogy • a szerkezet ’z’ irányú mérete legalább egy nagyságrenddel kisebb a másik két irányú méreteinél; • a szerkezetnek van az (x,y) síkkal párhuzamos y szimmetriasíkja; • a külső teher a szimmetriasíkban, az (x,y) síkkal párhuzamos irányban hat; x • a szerkezet pontjainak eltolódásai az (x,y) síkkal párhuzamosak. z Tárcsaegyenlet: ∂ 4 F ( x, y ) ∂ 4 F ( x, y ) ∂ 4 F ( x, y ) +2 + =0 ∂x 4 ∂x 2 ∂y 2 ∂y 4 • x és y: a tárcsa pontjainak helykoordinátái (a tárcsa középsíkja az (x,y) sík) • F: az Airy-féle feszültségfüggvény • az egyenlet fizikai jelentése: a tárcsa kompatibilitási egyenlete, amelybe behelyettesítettük az egyensúlyi és anyagegyenleteket • A tárcsaegyenletben nem szerepelnek a tárcsára ható terhek. Ezeket a megoldás során a feszültségfüggvény felvételekor, a statikai peremfeltételekkel vesszük figyelembe. Irodalom: Kaliszky, S. –

Kurutzné, KM – Szilágyi, Gy: Szilárdságtan 2 kiadás, Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 2000. (722) 13 1. témakör 8. Írja fel a vékony lemez differenciálegyenletét, és magyarázza el a benne szereplő mennyiségek jelentését! Lemez: Vékony lemeznek olyan szerkezetet nevezünk, amelyhez egy (x, y, z) derékszögű koordinátarendszer illeszthető olymódon, hogy • a szerkezetnek van (x,y) síkkal párhuzamos szimmetriatengelye; y • a szerkezet ’z’ irányú mérete legalább egy nagyságrenddel kisebb x a másik két irányú méreténél; • a külső teher a szimmetriasíkra z merőlegesen, a (z) irányban hat; • a szerkezet eltolódásai az (x,y) síkra merőlegesek, és kicsik; • Kirchhoff-feltevés: A középfelület normálisai az alakváltozás során együtt tolódnak és fordulnak el a középfelülettel, és az alakváltozások után is a középfelületre merőlegesek maradnak. Lemezegyenlet: • • • • • • ∂ 4 w( x, y ) ∂ 4 w(

x, y ) ∂ 4 w( x, y ) q( x, y ) +2 + = D ∂x 4 ∂x 2 ∂y 2 ∂y 4 x és y: a lemez pontjainak helykoordinátái (a lemez középsíkja az (x,y) sík) w(x,y): a középfelület pontjainak z irányú eltolódása q(x,y): a lemezre ható (z irányú) teher D: a lemez egységnyi szélességű sávjának hajlítómerevsége, amely a lemez vastagságából és anyagjellemzőiből számítható paraméter az egyenlet fizikai jelentése: a geometriai és anyagegyenleteket is tartalmazó formában a lemez egyensúlyi egyenlete A lemez megtámasztásának módját a lemezegyenlet megoldásához szükséges elmozdulási peremfeltételek fejezik ki. Irodalom: Timoshenko, S.P - Woinowsky-Krieger, S: Lemezek és héjak elmélete Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1966 14 1. témakör 9. Mit mond ki a Saint-Venant elv? A Saint-Venant elv kimondja, hogy ha egy test valamely kis részére ható külső erőket • az eredetivel statikailag egyenértékű, • ugyanarra a kis részre ható, •

de más eloszlású erőrendszerrel helyettesítjük, akkor a helyettesítés • bár lokálisan (a test szóban forgó kis részének közvetlen környezetében) jelentős változásokat okozhat a feszültségekben és alakváltozásokban, • hatása a távolabbi részeken már elhanyagolhatóan kicsi. A testnek azon része, ahol a feszültségek és alakváltozások jelentősen megváltoznak, közelítőleg akkora, mint az a rész, ahol megváltoztattuk a külső erők eloszlását. („Lokális változásnak a hatása is lokális.”) Irodalom: Kaliszky, S. – Kurutzné, KM – Szilágyi, Gy: Szilárdságtan 2 kiadás, Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 2000. (327) Bezuhov, N.I: Bevezetés a rugalmasságtanba és a képlékenységtanba Tankönyvkiadó, Budapest, 1952. (2 §) 15 1. témakör 10. Mi a főfeszültségi trajektóriák jelentése? A főfeszültségi trajektóriák olyan görbék, amelyeknek érintője bármely pontban megadja a főfeszültség irányát. Pl.

síkbeli feszültségállapotban lévő, hajlított gerenda esetén: Irodalom: Kaliszky, S. – Kurutzné, KM – Szilágyi, Gy: Szilárdságtan 2 kiadás, Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 2000. (56) 16 1. témakör 11. Sorolja fel, hogy milyen speciális feszültségi állapotokat ismer! Milyen lesz ezekben az esetekben a vizsgált pont alakváltozási állapota izotróp anyag esetén? Lineáris feszültségállapot: • A három főfeszültség közül kettőnek zérus a nagysága. • Tiszta húzás: σ1 > 0 ; σ2 = σ3 = 0 • Tiszta nyomás: σ1 = σ2 = 0 ; σ3 < 0 • Az alakváltozási állapot ekkor térbeli. Síkbeli feszültségállapot: • A három főfeszültség közül kettő nem zérus, egy pedig zérus. • A pont alakváltozási állapota: általános esetben térbeli; speciális esetben lehet síkbeli is. • Tiszta nyírás: σ1 = − σ3 ; σ2 = 0; ekkor a pont alakváltozási állapota: tiszta szögtorzulás. Térbeli feszültségállapot: •

Mindhárom főfeszültség zérustól különböző. • A pont alakváltozási állapota általános esetben térbeli, speciális esetekben lehet síkbeli vagy lineáris is. Irodalom: Kaliszky, S. – Kurutzné, KM – Szilágyi, Gy: Szilárdságtan 2 kiadás, Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 2000. (526, 553) 17 1. témakör 12. Sorolja fel, hogy milyen speciális alakváltozási állapotokat ismer! Milyen lesz ezekben az esetekben a vizsgált pont feszültségállapota izotróp anyag esetén? Lineáris alakváltozási állapot: • A három főnyúlás közül kettőnek zérus a nagysága. • A feszültségállapot ekkor térbeli. Síkbeli alakváltozási állapot: • A három főnyúlás közül kettő nem zérus, egy pedig zérus. • A pont feszültségállapota ekkor általános esetben térbeli; speciális esetben lehet síkbeli is. • Tiszta szögtorzulás: ε1 = − ε3 ; ε2 = 0; ekkor a pont feszültségállapota: tiszta nyírás. Térbeli alakváltozási állapot:

• Mindhárom főnyúlás zérustól különböző. • A pont feszültségállapota ekkor általános esetben térbeli, speciális esetekben lehet síkbeli vagy lineáris is. Irodalom: Kaliszky, S. – Kurutzné, KM – Szilágyi, Gy: Szilárdságtan 2 kiadás, Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 2000. (626) 18 2. témakör 1. Ismertesse a virtuális elmozdulások tételét! Mi a tétel mechanikai tartalma? Virtuális elmozdulásrendszer: a szerkezet egy tetszőleges geometriailag lehetséges elmozdulásrendszerének változatlan geometriai peremfeltételek mellett képezett differenciálisan kicsiny megváltoztatása (azaz variációja) A virtuális elmozdulások tétele: A virtuális elmozdulások tétele kimondja, hogy egy erőrendszer akkor és csak akkor statikailag lehetséges, ha bármely virtuális elmozdulásrendszeren végzett munkája zérus: δ Wkülső + δ Wbelső = 0 ahol a tényleges külső erőknek a virtuális elmozdulásokon végzett munkája: δ Wkülső = f

T δ e + ∫ qT δ u dS + ∫ gT δ u dV (S ) (V ) és a tényleges feszültségeknek a virtuális alakváltozásokon való belső munkája: δ Wbelső = − ∫ σT δ ε dV (V ) A tétel mechanikai tartalma: • A tétel az erőrendszerek egyensúlyának szükséges és elégséges feltételét mondja ki. (Ha a vizsgált erőrendszernek csak egy konkrét virtuális elmozdulásrendszeren végzett munkájáról mutatjuk ki, hogy zérus, akkor az erőrendszer egyensúlyának csupán szükséges feltételét igazoltuk.) • A tétel bármilyen szilárd anyagú testre és szerkezetre igaz. Irodalom: Kaliszky, S. – Kurutzné, KM – Szilágyi, Gy: Szilárdságtan 2 kiadás, Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 2000. (811, 814, 821) 19 2. témakör 2. Ismertesse a virtuális erők tételét! Mi a tétel mechanikai tartalma? Virtuális erőrendszer: a szerkezet egy tetszőleges statikailag lehetséges erőrendszerének változatlan statikai peremfeltételek mellett képezett

differenciálisan kicsiny megváltoztatása (azaz variációja) A virtuális erők tétele: A virtuális erők tétele kimondja, hogy egy elmozdulás-alakváltozás-rendszer akkor és csak akkor geometriailag lehetséges, ha bármely virtuális erőrendszeren végzett kiegészítő munkája zérus: δ W%külső + δ W%belső = 0 ahol a tényleges külső erőknek a virtuális elmozdulásokon végzett munkája: δ W%külső = eT δ f + ∫ uT δ q dS + ∫ uT δ g dV (S ) (V ) és a tényleges feszültségeknek a virtuális alakváltozásokon való belső munkája: δ W%belső = − ∫ εT δ σ dV (V ) A tétel mechanikai tartalma: • A tétel az elmozdulás-alakváltozás-rendszer kompatibilitásának szükséges és elégséges feltételét mondja ki. (Ha a vizsgált elmozdulás-alakváltozásrendszernek csak egy konkrét virtuális erőrendszeren végzett kiegészítő munkájáról mutatjuk ki, hogy zérus, akkor az elmozdulás-alakváltozásrendszer kompatibilitásának

csupán szükséges feltételét igazoltuk.) • A tétel bármilyen szilárd anyagú testre és szerkezetre igaz. Irodalom: Kaliszky, S. – Kurutzné, KM – Szilágyi, Gy: Szilárdságtan 2 kiadás, Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 2000. (812, 815, 822) 20 2. témakör 3. Ismertesse a potenciális energia fogalmát! Mik a független változók? A potenciális energia: Az a munkavégző képesség, amellyel a test helyzeténél és/vagy alakváltozásainál fogva rendelkezik: Π = Π külső + Π belső • Külső potenciál: a vizsgált testre ható külső erők potenciális energiája Π külső = − f T e − ∫ qT u dS − ∫ gT u dV ( Sq ) (V ) • Belső potenciál: a testben keletkezett alakváltozások potenciális energiája. Lineárisan rugalmas testek esetén így írható: 1 Π belső = ∫ εT Dε dV 2 (V ) Független változói: • a vizsgált szerkezet geometriailag lehetséges elmozdulás-alakváltozásrendszerét leíró független változók

(elmozdulások) • annyi független változó, amennyi a vizsgált szerkezet elmozdulási szabadságfokainak száma Irodalom: Kaliszky, S. – Kurutzné, KM – Szilágyi, Gy: Szilárdságtan 2 kiadás, Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 2000. (831, 24) 21 2. témakör 4. Ismertesse a potenciális energia stacionaritásának tételét! Mi a fizikai jelentése annak, ha egy szerkezet valamely vizsgált állapotában a potenciális energia stacionárius? A potenciális energia stacionaritásának tétele kimondja, hogy egy rugalmas test geometriailag lehetséges elmozdulás-alakváltozás-rendszerei közül az lesz a tényleges (tehát az egyensúlyi egyenleteknek is megfelelő) rendszer, amelyre a teljes potenciális energia stacionárius (azaz állandó értékű). Lineárisan rugalmas testek esetén: 1 Π = −f T e − ∫ qT u dS − ∫ gT u dV + ∫ εT Dε dV = stac! 2 (V ) ( Sq ) (V ) • A tétel a rugalmas testek egyensúlyának szükséges és elégséges feltételét

fejezi ki. • A virtuális elmozdulások tételének segítségével származtatható. • Lineárisan rugalmas és nemlineárisan rugalmas anyagú testekre egyaránt igaz. • Nagy elmozdulások esetén is érvényes. Irodalom: Kaliszky, S. – Kurutzné, KM – Szilágyi, Gy: Szilárdságtan 2 kiadás, Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 2000. (832) 22 2. témakör 5. Ismertesse a kiegészítő potenciális energia fogalmát! Mik a független változók? A kiegészítő potenciális energia: a kiegészítő munka ellentettje: Π% = Π%külső + Π%belső • Külső kiegészítő potenciál: a vizsgált test külső elmozdulásainak kiegészítő potenciális energiája Π%külső = − e% T f − ∫ u% T q dS − ∫ u% T g dV ( Sq ) (V ) (itt e% és u% adott, előírt elmozdulásokat jelentenek, pl. támaszmozgás) • Belső kiegészítő potenciál: a testben keletkezett feszültségek kiegészítő potenciális energiája. Lineárisan rugalmas testek esetén így

írható: 1 Π%belső = ∫ σT D−1σ dV 2 (V ) Független változói: • a vizsgált szerkezet statikailag lehetséges erő-feszültség-rendszerét leíró független változók (erők) • annyi független változó, amennyi a vizsgált szerkezet statikai határozatlanságának foka Irodalom: Kaliszky, S. – Kurutzné, KM – Szilágyi, Gy: Szilárdságtan 2 kiadás, Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 2000. (833) 23 2. témakör 6. Ismertesse a kiegészítő potenciális energia minimumának tételét! Mi a fizikai jelentése annak, ha egy szerkezet valamely vizsgált állapotában a kiegészítő potenciális energiának minimuma van? A kiegészítő potenciális energia minimumának tétele kimondja, hogy egy rugalmas test satatikailag lehetséges erő-feszültség-rendszerei közül az lesz a tényleges (tehát a kompatibilitási egyenleteknek is megfelelő) rendszer, amelyre a teljes kiegészítő potenciális energia minimális. Lineárisan rugalmas testek esetén: 1

Π% = −e% T f − ∫ u% T q dS − ∫ u% T g dV + ∫ σT D−1σ dV = min! 2 (V ) ( Sq ) (V ) • A tétel a rugalmas testek kompatibilitásának szükséges és elégséges feltételét fejezi ki. • A virtuális erők tételének segítségével származtatható. • Lineárisan rugalmas és nemlineárisan rugalmas anyagú testekre egyaránt igaz. • Csak kis elmozdulásokra érvényes. Irodalom: Kaliszky, S. – Kurutzné, KM – Szilágyi, Gy: Szilárdságtan 2 kiadás, Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 2000. (834) 24 2. témakör 7. Írja föl a potenciális energia függvényét egy húzott rúd esetén! px(x) x y l Jelölések: • u(x): a rúd ’x’ helykoordinátájú pontjának rúdirányú eltolódása • EA(x): a rúd normálmerevsége az ’x’ helyen • px(x): a rúdra ható, ’x’ irányú megoszló teher intenzitása az ’x’ helyen • ε(x): a rúd ’x’ helyen lévő keresztmetszetében, bármely pontban az ’x’ irányú fajlagos

nyúlás: du ( x) ε ( x) = dx Külső potenciál: x =l Πk = − ∫ p x ( x) u( x) dx x =0 Belső potenciál lineárisan rugalmas anyagú rúd esetén: x =l  1 1  T Mivel Π b = ∫ σ ε dV = ∫ ∫ ( Eε ) ε dA dx ,  2 (V ) 2 x = 0  ( A)  ezért 2 x =l 1  du  Π b = ∫ EA  dx . 2 x =0  dx  A teljes potenciális energia lineárisan rugalmas anyagú rúd esetén: x =l 2 x =l 1  du  Π = ∫ EA  dx − ∫ p x ( x) u ( x) dx . 2 x =0  dx  x =0 Irodalom: Bojtár, I. – Gáspár, Zs: Végeselemmódszer építőmérnököknek TERC, Budapest, 2003 (E11) 25 2. témakör 8. Írja föl a potenciális energia függvényét egy hajlított gerenda esetén! py(x) x y l Jelölések: • w(x): a gerenda ’x’ helykoordinátájú pontjának ’y’ irányú eltolódása • EI(x): a gerenda hajlítási merevsége az ’x’ helyen • py(x): a gerendára ható, ’y’ irányú megoszló teher intenzitása az ’x’

helyen • κ(x): a rúd ’x’ helyen lévő keresztmetszetében a görbület:  d 2w κ = − 2   dx  Külső potenciál: x =l Πk = − ∫ p y ( x) w( x) dx x =0 Belső potenciál lineárisan rugalmas anyagú gerenda esetén: x =l x =l  1 1  1 T  Π b = ∫ σ ε dV = ∫ ∫ ( Eε ) ε dA dx = ∫ ( EIκ ) κ dx , Mivel  2 (V ) 2 x =0  ( A) 2 x =0  ezért 2 x =l  d 2 w( x)  1  dx . Π b = ∫ EI  2 x =0  dx 2  A teljes potenciális energia lineárisan rugalmas anyagú gerenda esetén: 2 x =l x =l  d 2 w( x)  1  dx − ∫ p y ( x) w( x) dx . Π = ∫ EI  2 x =0  dx 2  x =0 Irodalom: Bojtár, I. – Gáspár, Zs: Végeselemmódszer építőmérnököknek TERC, Budapest, 2003 (E13) Kaliszky, S. – Kurutzné, KM – Szilágyi, Gy: Szilárdságtan 2 kiadás, Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 2000. (351, 352, 3532) 26 2. témakör 9. Jelölje eKy valamely vizsgált szerkezet

’K’ pontjának lehajlását Mit jelentenek az η(eKy) hatásábra ordinátái? Fogalmazza meg a hatásábra elkészítésének a Maxwellféle felcserélhetőségi tétel alapján megadható helyettesítő feladatát! Az η(eKy) hatásábra ordinátái A hatásábra mindegyik ordinátája a ’K’ keresztmetszet lehajlásának nagyságát mutatja. Egy konkrét, x0 helyen lévő ordináta azt adja meg, hogy mekkora az eKy lehajlás, ha a tartóra az x0 helyen egy függőleges, lefelé mutató egységerő hat. A helyettesítő feladat: Teherként hasson a tartóra a ’K’ helyen egy függőleges, lefelé mutató egységerő. E teher esetére készítsük el a tartó pályaszintjének függőleges lehajlási ábráját! (A megoldásként kapott lehajlási ábra egyben az eredeti feladatban keresett hatásábrát is megadja.) PÉLDA Az eredeti feladat: x K y – Készítse el az η(eKy) hatásábrát! eKy A helyettesítő feladat: x y F=1 ey = ? Készítse el a pályaszint

lehajlási ábráját az adott teher esetén! Irodalom: Kurutzné, K. M: Tartók statikája Műegyetemi Kiadó, Budapest, 2003 (22) 27 2. témakör 10. Jelölje ϕK valamely vizsgált szerkezet ’K’ pontjának elfordulását Mit jelentenek az η(ϕK) hatásábra ordinátái? Fogalmazza meg a hatásábra elkészítésének a Maxwellféle felcserélhetőségi tétel alapján megadható helyettesítő feladatát! Az η(ϕK) hatásábra ordinátái A hatásábra mindegyik ordinátája a ’K’ keresztmetszet elfordulásának nagyságát mutatja. Egy konkrét, x0 helyen lévő ordináta azt adja meg, hogy mekkora a ϕK elfordulás, ha a tartóra az x0 helyen egy függőleges, lefelé mutató egységerő hat. A helyettesítő feladat: Teherként hasson a tartóra a ’K’ helyen egy egységnyi nagyságú, pozitív irányú nyomaték. E teher esetére készítsük el a tartó pályaszintjének függőleges lehajlási ábráját! (A megoldásként kapott lehajlási ábra egyben az

eredeti feladatban keresett hatásábrát is megadja.) PÉLDA Az eredeti feladat: x K ϕK y – Készítse el az η(ϕK) hatásábrát! A helyettesítő feladat: x y M=1 ey = ? Készítse el a pályaszint lehajlási ábráját az adott teher esetén! Irodalom: Kurutzné, K. M: Tartók statikája Műegyetemi Kiadó, Budapest, 2003 (22) 28 2. témakör 11. Jelölje ϑC valamely vizsgált szerkezet ’C’ csuklójába befutó két rúdvég relatív elfordulását. Mit jelentenek az η(ϑC) hatásábra ordinátái? Fogalmazza meg a hatásábra elkészítésének a Maxwell-féle felcserélhetőségi tétel alapján megadható helyettesítő feladatát! Az η(ϑC) hatásábra ordinátái A hatásábra mindegyik ordinátája a ’C’ csuklóba befutó két rúdvég relatív elfordulásának nagyságát mutatja. Egy konkrét, x0 helyen lévő ordináta azt adja meg, hogy mekkora a ϑC relatív elfordulás, ha a tartóra az x0 helyen egy függőleges, lefelé mutató egységerő

hat. A helyettesítő feladat: Teherként hasson a tartóra a ’C’ csuklóba befutó két rúdvégre egy-egy egységnyi nagyságú, egymással ellentétes, ϑC irányának megfelelő nyomaték. E teher esetére készítsük el a tartó pályaszintjének függőleges lehajlási ábráját! (A megoldásként kapott lehajlási ábra egyben az eredeti feladatban keresett hatásábrát is megadja.) PÉLDA Az eredeti feladat: x C ϑC y – Készítse el az η(ϑC) hatásábrát! A helyettesítő feladat: x y M=±1 ey = ? Készítse el a pályaszint lehajlási ábráját az adott teher esetén! Irodalom: Kurutzné, K. M: Tartók statikája Műegyetemi Kiadó, Budapest, 2003 (22) 29 2. témakör 12. Jelölje ∆l valamely rácsos tartó egy vizsgált rúdjának megnyúlását Mit jelentenek az η(∆l) hatásábra ordinátái? Fogalmazza meg a hatásábra elkészítésének a Maxwellféle felcserélhetőségi tétel alapján megadható helyettesítő feladatát! Az η(∆l)

hatásábra ordinátái A hatásábra mindegyik ordinátája a vizsgált rúd megnyúlásának nagyságát mutatja. Egy konkrét, x0 helyen lévő ordináta azt adja meg, hogy mekkora a ∆l megnyúlás, ha a tartóra az x0 helyen egy függőleges, lefelé mutató egységerő hat. A helyettesítő feladat: Teherként hasson a tartóra a rúd két végén egy-egy rúdirányú, a rúdtól kifelé mutató, egymással ellentétes irányú, egységnyi nagyságú erő. E teher esetére készítsük el a tartó pályaszintjének függőleges lehajlási ábráját! (A megoldásként kapott lehajlási ábra egyben az eredeti feladatban keresett hatásábrát is megadja.) PÉLDA Az eredeti feladat: – ∆l Készítse el az η(∆l) hatásábrát! A helyettesítő feladat: F=1 ey = ? Készítse el a pályaszint lehajlási ábráját az adott teher esetén! F=1 Irodalom: Kurutzné, K. M: Tartók statikája Műegyetemi Kiadó, Budapest, 2003 (22) 30 3. témakör 1. Ismertesse a

stabilitásvizsgálat célját és a stabil, instabil, indifferens és kritikus egyensúlyi állapot fogalmát! Stabil az egyensúlyi állapot, ha a szerkezetet bármely geometriailag lehetséges, kicsiny elmozdulásrendszerrel kimozdítva, a szerkezet visszatér eredeti egyensúlyi állapotába. Instabil az egyensúlyi állapot, ha létezik olyan geometriailag lehetséges, kicsiny elmozdulásrendszer, amellyel a szerkezetet kimozdítva, távolodni fog az eredeti egyensúlyi helyzettől. Indifferens az egyensúlyi állapot, ha létezik a vizsgált egyensúlyi helyzetnek olyan véges környezete, amelyen belül bármely geometriailag lehetséges elmozdulásrendszerrel kimozdítva a szerkezetet, az egyensúly továbbra is fennáll. Kritikus egyensúlyi állapotról akkor beszélünk, ha létezik olyan geometriailag lehetséges, kicsiny elmozdulásrendszer, amellyel a szerkezetet a vizsgált egyensúlyi helyzet végtelen kicsiny környezetében kimozdítva, az egyensúly továbbra is

fennáll. Ekkor további vizsgálatok szükségesek az egyensúly típusának megállapításához. A mérnöki szerkezetektől azt követeljük, hogy egyensúlyi állapotuk a megengedhető erők tartományába eső terhek esetén mindig stabil legyen. A stabilitásvizsgálattal azt elemezzük, hogy egy adott erő esetén az egyensúlyi állapot valóban stabil-e, illetve azt, hogy mekkora erők engedhetők meg ahhoz, hogy az egyensúlyi állapot még stabil maradjon. Irodalom: Kaliszky, S. – Kurutzné, KM – Szilágyi, Gy: Szilárdságtan 2 kiadás, Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 2000. (111) 31 3. témakör 2. Ismertesse a stabilitásvizsgálat statikai módszerének alapelvét! A statikai módszer a kritikus állapot keresésére használható. Segítségével azt kívánjuk megállapítani, hogy milyen feltételek mellett (pl. milyen teher esetén) lesz a szerkezetnek az eredeti egyensúlyi helyzeten kívül, ahhoz végtelen közel, másik egyensúlyi helyzete. • A

módszer lényege: a szerkezetet infinitezimálisan kicsiny mértékben kimozdítjuk, és a megváltozott helyzetben az egyensúlyi egyenletek segítségével keressük meg az ismeretleneket (pl. a terhet) (Többszabadságfokú rendszer esetén elvileg minden elmozdulási lehetőséget és ezek minden lehetséges kombinációját figyelembe kell venni.) • A statikai módszer nem ad felvilágosítást a kritikus egyensúlyi állapot stabil, instabil vagy indifferens voltáról. Irodalom: Kaliszky, S. – Kurutzné, KM – Szilágyi, Gy: Szilárdságtan 2 kiadás, Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 2000. (111) 32 3. témakör 3. Ismertesse a stabilitásvizsgálat energiamódszerének alapelvét! A potenciális energia függvényének miért a második deriváltját vizsgáljuk stabilitási feladatoknál? • A potenciális energiát a szerkezet lehetséges független elmozdulásainak függvényében fejezzük ki. Ha n a szerkezet elmozdulási szabadságfoka, akkor a potenciális

energia n elmozdulásváltozó függvénye: Π = Π (e1 , e2 , K, en ) . • Egyensúlyi állapot esetén a potenciális energia minden változója szerint stacionárius, azaz mindegyik első deriváltja zérus. Ez azonban csupán az egyensúly meglétének feltétele, és nem ad információt az egyensúlyi állapot jellegéről. • Azt, hogy az egyensúlyi állapot stabilis, labilis vagy indifferens-e, a további deriváltak segítségével tudjuk vizsgálni: • Egyszabadságfokú szerkezetekre: ∂ 2 Π (e) > 0 esetén az egyensúly stabilis, • ∂e 2 ∂ 2 Π (e) < 0 esetén az egyensúly labilis, • ∂e 2 ∂ 2 Π (e) • = 0 esetén kritikus az egyensúlyi állapot, és a további deriváltak ∂e 2 vizsgálata szükséges. • Ha az összes további derivált is zérus, akkor az egyensúlyi állapot indifferens. • Többszabadságfokú rendszerek esetén a második deriváltakból összeállított Hesse-mátrix sajátértékeit vizsgáljuk. Ha mindegyik

sajátérték pozitív, akkor az egyensúlyi állapot stabilis; ha van negatív sajátérték, akkor az egyensúlyi állapot labilis; ha pedig a Hesse-mátrixnak van zérus sajátértéke, de a zérustól eltérő sajátértékei mind pozitívak, akkor kritikus az egyensúlyi állapot, és a potenciális energia további deriváltjainak segítségével ellenőrizhetjük, hogy stabil-e a szerkezet egyensúlya. • A módszer csak konzervatív erők esetén alkalmazható. Irodalom: Kaliszky, S. – Kurutzné, KM – Szilágyi, Gy: Szilárdságtan 2 kiadás, Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 2000. (111) 33 3. témakör 4. Ismertesse a határkarcsúság fogalmát! Ábrázolja a központosan nyomott, egyenes tengelyű rúd kritikus feszültsége és karcsúsága közötti összefüggést! A határkarcsúság a vizsgált rúd anyagjellemzőiből számítható paraméter: E λH = π σA ahol E a rúd anyagának Young-modulusa, σ A pedig az a feszültségi érték (ún. arányossági

határ), ameddig a rúd anyaga még lineárisan rugalmasnak tekinthető. • Ha a vizsgált rúd tényleges karcsúsága nagyobb, mint az anyagára jellemző határkarcsúság (’karcsú rudak’), akkor a rúd kihajlása rugalmas állapotban történik. • Ha a vizsgált rúd tényleges karcsúsága kisebb, mint az anyagára jellemző határkarcsúság (’zömök rudak’), akkor a rúd kihajlása képlékeny állapotban történik. (???) A kritikus feszültség és a rúd karcsúsága közötti összefüggés: • Karcsú rudak esetén az Euler-féle hiperbola érvényes. • Zömök rudakra kísérleti eredmények alapján állítottak fel különböző közelítő összefüggéseket (pl. Tetmayer, Engesser, Kármán, Shanley) Irodalom: Kaliszky, S. – Kurutzné, KM – Szilágyi, Gy: Szilárdságtan 2 kiadás, Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 2000. (113) Korányi, I.: Stabilitási kérdések a mérnöki gyakorlatban: Kihajlás a síkban Akadémiai Kiadó, Budapest, 1965

(46.-48 §) 34 3. témakör 5. Ismertesse a rugalmas és képlékeny kihajlás fogalmát! Rugalmas kihajlás: Rugalmas kihajlásról akkor beszélünk, ha a vizsgált szerkezeti elem a kihajláskor még rugalmas állapotban van (a kritikus erő hatására keletkező feszültségek még nem olyan nagyok, hogy a szerkezet bármely pontja képlékeny állapotba kerülne). Központosan nyomott rudak akkor veszítik el rugalmas kihajlással a stabilitásukat, ha karcsúságuk (λ) nagyobb, mint az anyagukra jellemző határkarcsúság (’karcsú rudak’). Ilyen esetben a rúd kritikus feszültsége: π 2E σk = 2 λ Képlékeny kihajlás: Képlékeny kihajlásról akkor beszélünk, ha a vizsgált szerkezeti elem a kihajláskor már képlékeny állapotban van (a kritikus erő hatására keletkező feszültségek elérik az anyag folyási feszültségét). Központosan nyomott rudak akkor veszítik el képlékeny kihajlással a stabilitásukat, ha karcsúságuk kisebb, mint az

anyagukra jellemző határkarcsúság (’zömök rudak’). Zömök rudak kritikus feszültségének számítására kísérleti eredmények alapján állítottak fel különböző közelítő összefüggéseket (pl. Tetmayer, Engesser, Kármán, Shanley). (???) Irodalom: Kaliszky, S. – Kurutzné, KM – Szilágyi, Gy: Szilárdságtan 2 kiadás, Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 2000. (113) Korányi, I.: Stabilitási kérdések a mérnöki gyakorlatban: Kihajlás a síkban Akadémiai Kiadó, Budapest, 1965 (46.-48 §) 35 3. témakör 6. Hogyan határozzuk meg egy központosan nyomott, egyenes tengelyű rúd kritikus erejét rugalmas kihajlás esetén? Hogyan vehetők figyelembe a különböző peremfeltételek? (1) Kiszámítjuk a rúd keresztmetszetének I2 főinerciáját és A területét, majd a minimális inerciasugarat: I i2 = 2 A (2) A rúd tényleges hossza (l) és megtámasztásának módja (tehát az elmozdulási peremfeltételek) alapján meghatározzuk a rúd

kihajlási hosszát: l0 = c ⋅ l ahol a c tényező az elmozdulási peremfeltételeket fejezi ki: (3) Ebből a rúd karcsúsága számítható: l λ= 0 i2 (4) Ha λ > λ H (itt λH a rúd anyagának határkarcsúsága), akkor a rúd karcsú, és a kritikus erő az Euler-összefüggés alapján számítható: π 2 EA Fk = 2 λ Ha pedig λ < λ H , akkor a rúd zömök, és a kritikus erő számítására közelítő összefüggés alkalmazható. Irodalom: Kaliszky, S. – Kurutzné, KM – Szilágyi, Gy: Szilárdságtan 2 kiadás, Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 2000. (1133, 1134) 36 3. témakör 7. Ismertesse a mechanikai anyagmodell fogalmát! A mechanikai anyagmodell az anyag külső hatásokra adott mechanikai válaszának megfogalmazása matematikai formában. Az anyagmodell tartalmazza a feszültség- és alakváltozástenzor komponensei közötti összefüggéseket, korlátozó feltételeket stb. σ = Dε ; ε = D−1 σ Lineárisan rugalmas anyag esetén a D-1

mátrix (az anyagi hajlékonysági mátrix) a Hooke-modellt adja:  1  E   ε x  − ν 1 ε   E  y  1  ε z  − ν E  = γ xy   0 γ xz      γ yz   0   0 −ν 1 E 1 E −ν 1 E 1 E 1 −ν E 1 E −ν 0 0 0 0 0 0 0 0 1 G 0 0 0 0 1 G 0 0 0 0  0  0  σ x   σ y    0  σ  z  ⋅   τ  0   xy   τ xz    0  τ yz     1 G  Irodalom: Bojtár I.: Mechanikai anyagmodellek Tankönyvkiadó, Budapest, 1988 (21) Kaliszky, S. – Kurutzné, KM – Szilágyi, Gy: Szilárdságtan 2 kiadás, Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 2000. (231) 37 3. témakör 8. Ismertesse a lineárisan rugalmas anyag, illetve a nemlineárisan rugalmas anyag fogalmát! Ismertesse a Hooke-modellt! Rugalmas anyagmodell esetén feltételezzük, hogy a feszültség- és alakváltozástenzor

komponensei között fennálló összefüggések terheléskor ugyanazok, mint tehermentesítéskor. Az ilyen anyagú szerkezetek a teher eltávolításakor visszanyerik eredeti, terheletlen alakjukat, azaz nem keletkeznek bennük maradó alakváltozások. A terheléskor az anyagban felhalmozódott alakváltozási energia tehermentesítéskor teljes egészében visszanyerhető. Lineárisan rugalmas anyagról akkor beszélünk, ha a feszültség-alakváltozásösszefüggések lineárisak, azaz a feszültségtenzor komponensei lineáris függvényei a megfelelő alakváltozási komponenseknek (b). Nemlineárisan rugalmas anyag esetén az összefüggések nemlineárisak (a, c). A Hooke-modell a leggyakrabban használt lineárisan rugalmas anyagmodell. A feszültségek és alakváltozások között feltételezett kapcsolat: 1 1  1  − − 0 0 0 ν ν  E  E E   1 1  ε x  − ν 1 −ν 0 0 0  σ x  ε   E E E  σ y   y  1 1 1

   − − 0 0 0 ν ν εz    σ z  E E E  =  ⋅ τ  1 γ  xy   0 0 0 0 0   xy  G γ xz    τ xz  1      0 0 0 0  τ yz  γ yz   0    G 1  0 0 0 0  0 G  Irodalom: Bojtár I.: Mechanikai anyagmodellek Tankönyvkiadó, Budapest, 1988 (22) Kaliszky, S. – Kurutzné, KM – Szilágyi, Gy: Szilárdságtan 2 kiadás, Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 2000. (232, 1021) 38 3. témakör 9. Ismertesse a képlékeny alakváltozás fogalmát! Mit jelentenek a ’folyási feltétel’ és ’folyási felület’ kifejezések? Képlékeny alakváltozás Ha a vizsgált anyagban a terhelés hatására létrejött alakváltozások egy része a tehermentesítés után nem szűnik meg, akkor képlékeny alakváltozásról beszélünk. A képlékeny alakváltozás a tehermentesítés után visszamaradó deformációkat jelenti. A folyási feltétel A

folyási feltétel az az összefüggés, amely a vizsgált pontban megadja az összes olyan feszültségállapotot, amelynek bekövetkeztekor az anyag képlékeny állapotba kerül. A folyási feltételt leggyakrabban egy általános alakú f függvény segítségével adjuk meg, amelynek független változói a vizsgált pont feszültségállapotát jellemző feszültségtenzor komponensei, vagy ezekből származtatott mennyiségek (pl. főfeszültségek, hidrosztatikus feszültségösszetevő stb.) Az f függvény az anyagra jellemző állandó(ka)t is tartalmaz (pl. folyási feszültség) Az f függvényt úgy választjuk meg, hogy f < 0 a rugalmas állapotot, míg f = 0 a képlékeny állapotot jelentse. Tökéletesen képlékeny anyagmodell esetén az f > 0 állapot nem jöhet létre. A folyási felület A főfeszültségek terében a vizsgált pont feszültségállapotát a (σ1, σ2, σ3) koordinátájú pont mutatja. A folyási feltétel szemléletessé tétele

céljából a főfeszültségek terében ábrázoljuk az f = 0 felületet. Ez a felület lesz az ún folyási felület • Ha a vizsgált pont rugalmas állapotban van, akkor a feszültségállapotát jellemző pont a felületen belül helyezkedik el. • Képlékeny állapot esetén a feszültségállapotot szemléltető pont éppen a felületre esik. • Tökéletesen képlékeny anyagmodell esetén nem lehetséges a felületen kívüli pontnak megfelelő feszültségállapot. A folyási felület kívülről nézve mindig konvex. Irodalom: Kaliszky, S.: Képlékenységtan Akadémiai Kiadó, Budapest, 1975 (232) Bojtár I.: Mechanikai anyagmodellek Tankönyvkiadó, Budapest, 1988 (31, 321) Kaliszky, S. – Kurutzné, KM – Szilágyi, Gy: Szilárdságtan 2 kiadás, Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 2000. (911) 39 3. témakör 10. Szemléltesse a Huber-Mises-Hencky-féle folyási feltételt síkbeli feszültségállapot esetén! A Huber-Mises-Hencky-féle folyási feltétel: f =

1 (σ 1 − σ 2 ) 2 + (σ 1 − σ 3 ) 2 + (σ 2 − σ 3 ) 2  − τ 2f = 0 6 amelyben a tiszta nyírásra érvényes folyási határ: τf = 1 3 σf . A fenti folyási feltétel a főfeszültségek terében egy olyan körhenger egyenlete, σ2 amelynek tengelye a hidrosztatikus tengely. Szemléltetése síkbeli feszültségállapot esetén: Síkbeli feszültségállapot esetén a feltétel egyszerűbb alakot ölt: σf f = σ 12 − σ 1σ 2 + σ 22 − σ 2f = 0 σf σ1 σf σ1 ami az ábrán látható ellipszis egyenlete. Összehasonlítás a Tresca-féle folyási feltétellel: • Tiszta húzás vagy nyomás esetén mindkét folyási feltétel azonos határt ad a normálfeszültségre; • Tiszta nyírás esetén a Huber-MisesHencky-féle feltétel nagyobb nyírófeszültségeket enged meg. σ2 σf tiszta nyírás Irodalom: Kaliszky, S.: Képlékenységtan Akadémiai Kiadó, Budapest, 1975 (2322) Bojtár I.: Mechanikai anyagmodellek Tankönyvkiadó,

Budapest, 1988 (3211) Kaliszky, S. – Kurutzné, KM – Szilágyi, Gy: Szilárdságtan 2 kiadás, Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 2000. (9121, 9123) 40 3. témakör 11. Szemléltesse a Tresca-féle folyási feltételt síkbeli feszültségállapot esetén! A Tresca-féle folyási feltétel: A Tresca-feltétel szerint a vizsgált pont akkor kerül képlékeny állapotba, ha az alábbi három feltétel közül bármelyik teljesül: f1 = (σ 2 − σ 3 ) 2 − 4τ 2f = 0 f 2 = (σ 1 − σ 3 ) 2 − 4τ 2f = 0 f3 = (σ 1 − σ 2 ) 2 − 4τ 2f = 0 amelyekben a tiszta nyírásra érvényes folyási határ: 1 2 τf = σf . A fenti folyási feltétel a főfeszültségek terében egy olyan szabályos hatszög alapú hasáb egyenlete, amelynek tengelye a hidrosztatikus tengely. σ2 Szemléltetése síkbeli feszültségállapot esetén: Síkbeli feszültségállapot esetén a feltétel egyszerűbb alakot ölt: σf f1 = σ 22 − 4τ 2f = 0 f 2 = σ 12 − 4τ 2f = 0 f3 = (σ 1

− σ 2 ) 2 − 4τ 2f = 0 σf σ1 σf σ1 ami az ábrán látható hatszög éleinek egyenlete. Összehasonlítás a Huber-Mises-Hencky-féle folyási feltétellel: • Tiszta húzás vagy nyomás esetén mindkét folyási feltétel azonos határt ad a normálfeszültségre; • Tiszta nyírás esetén a Tresca-féle feltétel kisebb nyírófeszültségeket enged meg. σ2 σf tiszta nyírás Irodalom: Kaliszky, S.: Képlékenységtan Akadémiai Kiadó, Budapest, 1975 (2323) Bojtár I.: Mechanikai anyagmodellek Tankönyvkiadó, Budapest, 1988 (3211) Kaliszky, S. – Kurutzné, KM – Szilágyi, Gy: Szilárdságtan 2 kiadás, Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 2000. (91222, 9123) 41 3. témakör 12. Szemléltesse a Prager-Drucker-féle és a Mohr-Coulomb-féle folyási feltételt háromdimenziós feszültségállapot esetén! -σ 2 Prager-Drucker-féle folyási felület: (’általánosított Huber-Mises-Hencky-feltétel’) • Körkúp a hidrosztatikus tengely körül;

• A nyomófeszültségek irányában nyitott; • Kohézió nélküli anyagok esetén a kúp csúcsa az origóban van. folyási felület -σ 1 -σ 3 -σ 2 Mohr-Coulomb-féle folyási felület: • Hatszög alapú gúla a hidrosztatikus tengely körül; • A nyomófeszültségek irányában nyitott; • Kohézió nélküli anyagok esetén a gúla csúcsa az origóban van. folyási felület -σ 1 -σ 3 Megjegyzések: • Az, hogy a fenti két folyási felület a növekvő nyomófeszültségek irányában nyitott, azt jelenti, hogy az anyagra ható nyomás növelése megnöveli az anyag nyírási ellenállását. • Talajmechanikában az ittenivel épp ellentétes előjelkonvenció használatos: a nyomófeszültségeket pozitívnak, a húzófeszültségeket negatívnak tekintik. Irodalom: Bojtár I.: Mechanikai anyagmodellek Tankönyvkiadó, Budapest, 1988 (3211) Kaliszky, S. – Kurutzné, KM – Szilágyi, Gy: Szilárdságtan 2 kiadás, Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 2000.

(10532, 10531) 42