Mathematics | Mathematical analysis » Analízis képletgyűjtemény

Kiegészítés Deriválás sin f(x) f ′ (x) c 0 xα α xα−1 ex ex ax ax ln a 1 − cos2x 2 1 + cos2x cos2 x = 2 2 sin x cos x = sin 2x sin 30◦ = cos 60◦ = cos 30◦ = sin 60◦ = 1 x ln a loga x sin x cos x cos x − sin x tgx 1 cos 2 x 1 − sin 2 x ctgx cos 45◦ = sin 45◦ = √ 1 − x2 1 −√ 1 − x2 1 1 + x2 arccosx arctg x 1 − 1 + x2 arcctg x sh x Z xα dx = Z Z 1 ch2 x 1 − 2 sh x 1 √ 1 + x2 1 √ x2 − 1 cth x arsh x arch x 1 1 − x2 arth x 1 1 − x2 arcth x |x| < 1 ′ ( f (x) ± g(x)) = f ′ (x) ± g′ (x) xα+1 +C α+1 f (x) g (x) ′ = Z 1 dx = − cth x + C sh2 x Z 1 √ dx = arsh x + C 2 x +1 Z Z Z ( f (g (x))) = Z ax dx = cos x dx = sin x + C Z 1 dx = tg x + C cos2 x 1 dx = arctg x + C 1 + x2 f (ax + b) dx = Z Z f (x) dx f (x) dx ± V =π Z Z g(x) dx u(x) · v′ (x) dx F(ax + b) +C a ( f (x))α · f ′ (x) dx = Z ch x dx = sh x + C 1 dx = th x + C ch2 x Z 1 √ dx = arch x + C

2 x −1 c · f (x) dx = c · ( f (x) ± g(x)) dx = a,0 ( f (x))α+1 +C α+1 α , −1 f ′ (x) dx = ln | f (x)| + C f (x) Z f (g(x)) · g′ (x) dx = F (g(x)) + C Zb f 2 (x) dx a ax +C ln a Z u′ (x) · v(x) dx = u(x) · v(x) − Z Z 1 dx = ln |x | + C x Z 1 1 1+x +C dx = ln 1 − x2 2 1−x Z Z Z Z (g (x))2 f ′ (g (x)) · g′ (x) Z sh x dx = ch x + C f ′ (x) · g (x) − f (x) · g′ (x) ′ α , −1 ex dx = ex + C ( f (x) · g(x))′ = f ′ (x) · g(x) + f (x) · g′(x)  2 2 sin x dx = − cosx + C |x| > 1 (c · f (x))′ = c · f ′ (x) 3 2 √ ex − e−x 2 x e + e−x ch x = 2 sh x = 1 dx = − ctg x + C sin2 x Z 1 √ dx = arcsin x + C 1 − x2 sh x th x 1 2 √ Z ch x ch x ch 2x − 1 2 ch 2x +1 ch2 x = 2 2 sh x ch x = sh 2x sh2 x = Integrálás 1 arcsin x ch2 x − sh2 x = 1 x + cos2 x = 1 sin2 x = 1 x ln x 2 s= Zb q 1 + ( f ′ (x))2 dx a Matematikai statisztika Laplace-transzformáció f(t)

f(s) eat 1 s−a c s a s2 + a2 s s2 + a2 a 2 s − a2 s 2 s − a2 c sin at cos at sh at ch at Empirikus várható érték (mintaközép) ξ1 + ξ2 + . + ξ n ξ= n    σ M ξ =m D ξ = √ n Empirikus szórásnégyzet 2 n  ∑ ξi − ξ Sn2 = i=1 n
n−1 2 M Sn2 = σ n Korrigált empirikus szórásnégyzet 2 n  ∑ ξi − ξ i=1 Sn∗ 2 = n−1
2 ∗ M Sn = σ2 n! tn sn+1 eat · f (t) f (s − a) t n · f (t) (−1)n · f (n) (s) f ′ (t) y′ s · f (s) − f (0) s · y − y(0) f ′′ (t) y ′′ s2 · f (s) − s · f (0) − f ′(0) s2 · y − s · y(0) − y′(0) f (t − a) e−sa · f (s) Konfidenciaintervallum normális eloszlás várható értékére ((1 − ε) szintű) i σ σ h ξ − uε √ , ξ + uε √ ahol n n ! ξ−m √ n < uε = 2Φ(uε ) − 1 = 1 − ε P −uε < σ u-próba valószínűségi változója u= ξ−m √ n σ t-próba valószínűségi változója t= Valószínűségszámítás Binomiális

eloszlás: P (ξ=k) = n
k n−k k · p · (1 − p) Hipergeometrikus eloszlás: P (ξ=k) = Poisson-eloszlás: P (ξ=k) = Egyenletes eloszlás: f (x) = s
N−s
k · n−k N
n λk −λ ·e k!    1 b−a   0 ( Exponenciális eloszlás: f (x) = D 2 (ξ) = i M (ξ) = R∞ −∞ x · f (x) dx k = 0, 1, 2, . ha a<x<b λ · e−λx ha 0 egyébként 0<x (x − m)2 2σ2 ∑ x2i pi − i R∞ D 2 (ξ) = x2 · f (x) dx − −∞ k = 0, 1, 2, ., n egyébként − 1 √ ·e Normális eloszlás: f (x) = σ · 2π M (ξ) = ∑ xi pi k = 0, 1, 2, ., n x∈R  2 ∑ xi p i i  R∞ −∞ x · f (x) dx 2 ξ−m √ n Sn∗