Mathematics | Statistics » BMF Statisztika, hallgatói segédanyag

Hallgatói segédanyag Statisztika Műszaki-menedzser szak 5. félév Távoktatási tagozat Budapesti Műszaki Főiskola Keleti Károly Gazdasági Főiskolai Kar Gazdaság-és Társadalomtudományi Intézet Félévi követelmények Szak, évfolyam: Műszaki menedzser szak, III. évfolyam 1 félév Tagozat: távoktatás Tantárgy: Statisztika Konzultációs órák száma: 10 óra Kredit: A tantárgy vizsgakövetelménye: kollokvium (írásbeli vizsga), időtartama 60 perc Kötelező jegyzet: Általános statisztika I. – II(szerk: Korpás Attiláné dr) A tananyag javasolt feldolgozása a félév során: 1. hét: 2. hét: 3. hét: 4. hét: 5. hét: 6. hét: 7. hét: 8. hét: 9. hét: 10. hét: 11. hét: 12. hét: A statisztika alapfogalmai Mennyiségi ismérv szerinti elemzés Időbeli ismérv szerinti elemzés A statisztikai táblák elemzése Főátlagok összehasonlítása Indexszámítás standardizálással Érték-, ár- és volumenindexek Összefüggések az

indexszámításban Kétváltozós korrelációszámítás Kétváltozós regressziószámítás Trendszámítás – mozgóátlagolással Analitikus trendszámítás- lineáris trend I. 1 fejezet I. 21 fejezet I. 22 fejezet I. 31; 32; 33 fejezetek I. 41; 42 fejezet I. 43; 44 fejezet I. 51; 52 fejezet I. 53; 54; 55; 56; 5;8 fejezet II. 91 fejezet II. 92 fejezet II. 112 1 fejezet II. 112 2 fejezet A beküldendő házi feladatokkal kapcsolatos tudnivalók: • • • A szorgalmi időszakban önállóan és helyesen megoldott, időben beérkező házi feladatokkal vizsgapontok szerzése lehetséges. A házi feladatokkal és a vizsgán maximálisan 34 pont szerezhető a következő megoszlásban: • A beküldött feladatokkal max. 60 pont, amelynek 15%-a vizsgapont; • A vizsgán max. 25 pont Az a hallgató, aki a félév folyamán a megadott határidőre nem adja be a házi feladatokat, vagy hibásan oldja meg azokat, annak számára az e feladatok megoldásával szerezhető pontok

elvesznek! A pontszám függvényében megszerezhető érdemjegyek: 0– 18 – 22 – 25 – 29 − 17 pont 21 pont 24 pont 28 pont pont elégtelen elégséges közepes jó jeles 2 A konzultáció feladata: • a hallgatói kérdések megválaszolása, • számítási feladatok megoldása és elemzése. A vizsga anyaga • a számítási feladok megoldására és elemzésére, • házi feladatokra, • kidolgozott feladatokra épül. Gazdaság- és Társadalomtudományi Intézet 3 Alapkategóriák és mutatószámok 1. Statisztika alapfogalmai statisztika, leíró statisztika, statisztikai következtetés, általános statisztika, szak-statisztika, statisztikai sokaság, diszkrét sokaság, folytonos sokaság, statisztikai ismérv, statisztikai ismérvváltozat, alternatív ismérv, közös ismérv, megkülönböztető ismérv, időbeli ismérv, területi ismérv, minőségi ismérv, mennyiségi ismérv, ismérvérték, statisztikai mérés, névleges (nominális)

mérési skála, sorrendi (ordinális) mérési skála, intervallumskála, arányskála, statisztikai adat, alapadat, származtatott adat, statisztikai mutatószámok, statisztikai adatgyűjtés (adatfelvétel), teljes körű felvétel, részleges felvétel, reprezentatív (mintavételes) felvétel, alapsokaság, mintasokaság (minta), kérdőív, lajstrom, önszámlálás, kikérdezési eljárás, statisztikai csoportosítás, nomenklatúra, statisztikai sor, csoportosító sor, minőségi sor, mennyiségi sor, területi sor, idősor, kombinatív csoportosítás, statisztikai tábla, statisztikai összehasonlítás, összehasonlító sor, statisztikai viszonyszám, megoszlási viszonyszám, koordinációs viszonyszám, dinamikus viszonyszám, intenzitási viszonyszám, leíró sor, statisztikai átlag, számtani átlag, súlyozott forma, harmonikus átlag, mértani átlag, négyzetes átlag. 2. Egy ismérv szerinti elemzés Mennyiségi ismérv, diszkrét mennyiségi ismérv,

folytonos mennyiségi ismérv, rangsor, osztályköz, gyakoriság, relatív gyakoriság, gyakorisági sor, relatív gyakorisági sor, osztályközös gyakorisági sor, kumulálás, kumulált gyakoriság, kumulált relatív gyakoriság, értékösszegsor, osztályözép, relatív értékösszegsor, hisztogram, gyakorisági poligon, helyzetmutatók, módusz, egymódoszú megoszlás, többmódoszú megoszlás, modális osztályköz, nyers módusz, medián, súlyozott átlag, kvantilisek, szóródás, szóródás terjedelme, átlagos eltérés, szórás, átlagos különbség, relatív szórás, Pearson-féle mutatószám, F mutató, koncentráció, Lorenz görbe, idősorok, állapot-idősor, tartamidősor, dinamikus viszonyszámok, bázisviszonyszám, láncviszonyszám, vonaldiagram, kronológikus átlag, abszolút változás, relatív változás, fejlődés átlagos mértéke, fejlődés átlagos üteme. 3. A statisztikai táblák elemzése statisztikai tábla, a statisztikai tábla

dimenziószáma, egyszerű tábla, csoportosító tábla, kombinációs tábla, intenzitási viszonyszám, egyenes intenzitási viszonyszám, fordított intenzitási viszonyszám, nyers intenzitási viszonyszám, tisztított intenzitási viszonyszám, részsokaság, fősokaság, részviszonyszám, összetett viszonyszám, oszlopdiagram, kördiagram, asszociáció, vegyes kapcsolat, korreláció, belső szórásnégyzet, külső szórásnégyzet, teljes szórásnégyzet, szórásnégyzet-hányados, szórás-hányados. 4. Összetett intenzitási viszonyszámok összehasonlítása térbeli különbözőség, időbeli különbözőség, standardizálás, főátlagok különbsége, részhatás-különbség, összetételhatás-különbség, főátlag-index, részátlag-index, összetételhatás-index. 4 5. Érték-, ár és volumenindexek aggregálás, aggregátum, indexszám, egyedi index, értékindex, árindex, volumenindex, fiktív aggregátum, tárgyidőszaki súlyozás,

bázisidőszaki súlyozás, Laspeyres-index, Paasche-index, Fischer-index. 6. Kétváltozós korreláció- és regressziószámítás korrelációszámítás, kovariancia, lineáris korrelációs együttható, rangkorrelációs együttható, tapasztalati regresszió, legkisebb négyzetek módszere, lineáris regresszió, magyarázó változó, eredményváltozó, paraméterek értelmezése. 7. Idősorok elemzése az idősorok összetevői, trend (alapirányzat), periodikus ingadozások, szezonális ingadozások, véletlen ingadozások, trendszámítás, mozgóátlagolás, centírozás, analitikus trendszámítás, lineáris trend, Σt = 0 módszer, paraméterek értelmezése, előrejelzés. 5 KÉPLETEK Viszonyszámok A B x bi = i x0 Vi = Vm = li = xi xi x i −1 Vk = n Σ xi k b k = π li lk = i =1 xi xj Vö = bk b k −1 xA xB i =1 Helyzeti középértékek Mo = mo + k1 ⋅h k1 + k 2 N ′ -1 - f me Me = me + 2 ⋅ h; f me Me = me + 0,5 − f me −1 ⋅h

f me Átlagok ÁTLAG SÚLYOZATLAN SÚLYOZOTT n n ∑ fi ⋅ xi ∑ xi SZÁMTANI ( X ) i =1 i =1 n i =1 n n HARMONIKUS ( X H ) n ∑ i =1 n ∑ fi ∑ fi 1 xi i =1 n f ∑ i =1 i xi n MÉRTANI ( X G ) n x 1 ⋅ x 2 ⋅ . ⋅ x n n NÉGYZETES ( X q ) ∑ (x ) i =1 i n 2 ∑ fi i =1 x 1f1 ⋅ x f22 ⋅ . ⋅ x fnn n ∑f i =1 i ⋅ (x i ) 2 n ∑f i =1 KRONOLÓGIKUS ( X k ) x x1 + x 2 + . + N 2 2 N −1 6 i Szóródás Terjedelem (R) R = x max - x min n Átlagos abszolút eltérés δ= ∑f i =1 i xi - x n ∑f i i =1 n Szórás 2 ∑ f i (x i − x) i =1 σ= n ∑ fi i =1 V= σ x Pearson-féle mutató A= x − Mo σ Kvartilisek távolságán alapuló F= (Q 3 − Me) − (Me − Q 1 ) (Q 3 − Me) + (Me − Q 1 ) Relatív szórás Aszimmetria-mutatók Vegyes kapcsolat σ 2K σ 2B Szórásnégyzet-hányados H2 = Szóráshányados H = H 2 = 1− σ2 =1- σ2 σ B2 σ2 = σ K2 Asszociáció 2  mutató

2  = b c ∑∑ (f ij − f ij* ) 2 f ij* i =1 i =1 Csuprov-féle asszociációs együttható T= Cramer-féle asszociációs együttható C= λ2 N (b − 1) ⋅ (c − 1) 2 N ⋅ min{(b - 1), (c - 1)} 7 σ2 = σK σ Standardizálás K = VA − VB Különbség-felbontás K ′ = VA − VB(st ) K ′′ = K − K ′ Indexek Főátlag-index I= ΣB1 ⋅ v1 ΣB 0 ⋅ v 0 v1 = : ΣB 0 v0 ΣB1 ΣA 1 ΣA 0 ΣA 1 ΣB1 : : = ΣB1 ΣB 0 ΣA 0 ΣB 0 I = I ′ ⋅ I ′′ I= Részátlag-index I′ = ΣB1 ⋅ v1 ΣB1 ⋅ v 0 : ΣB1 ΣB1 I′ = ΣB1 ⋅ v1 ΣB1 ⋅ v 0 I′ = ΣB1 ⋅ v 0 ⋅ i ; ΣB1 ⋅ v 0 I′ = I I ′′ I′ = Összetételhatás-index I ′′ = ΣB1 ⋅ v 0 ΣB 0 ⋅ v 0 : ΣB1 ΣB 0 I ′′ = I I′ 8 ΣB1 ⋅ v1 ΣA 1 = B1 ⋅ v1 A Σ Σ 1 i i Indexszámítás Ár-index Σq 1 ⋅ p 1 ; Σq 1 ⋅ p 0 I (p1) = Σq 1 ⋅ p 1 ; q 1 ⋅ p1 Σ ip I (p1) = I (pF) = Σq 0 ⋅ p 1 Σq 0 ⋅ p 0 I (0) p = I (p0) = Σq 0

⋅ p 0 ⋅ i p Σq 0 ⋅ p 0 Σq 0 p 1 Σq 1 p 1 ⋅ = I (p0) ⋅ I (p1) Σq 0 p 0 Σq 1 p 0 Volumen-index I (q0) = I (q0) = I (qF) = Σq 1 ⋅ p 0 ; Σq 0 ⋅ p 0 I (q1) = Σq 0 ⋅ p 0 ⋅ i q Σq 0 ⋅ p 0 Σq 1 ⋅ p 1 Σq 0 ⋅ p 1 ; I (q1) = Σq 1 ⋅ p 1 q ⋅p Σ 1 1 iq Σq 1 p 0 Σq 1 p1 ⋅ = I (q0) ⋅ I q(1) Σq 0 p 0 Σq 0 p1 Érték-index Iv = Σq 1 ⋅ p 1 Σq 0 ⋅ p 0 Iv = Σq 0 ⋅ p 0 ⋅ i v ; Σq 0 ⋅ p 0 Iv = I v = I (q0) ⋅ I (p1) ; Σq 1 ⋅ p 1 q ⋅p Σ 1 1 iv I v = I (q1) ⋅ I (p0) Korreláció N Rangkorreláció ρ = 1− Előjel-korreláció c= Kovariancia C= 6 ∑ D i2 i =1 2 N( N − 1) D = Dx − Dy u−v u+v Σd x d y d x = X − X; N 9 dy = Y− Y Lineáris korrelációs együttható r = Σd x d y Σd 2x ⋅ Σd 2y = C σx ⋅σy Determinációs együttható r2 (lineáris korreláció esetén) Analitikus regresszió Y = b 0 − b1X b 0 = Y − b1 X Idősor-elemzés Yn − Y1 n −1 A fejlődés

átlagos mértéke d= A fejlődés átlagos üteme l = n −1 Yn Y1  y = β 0 + β1 t Lineáris trend Ha Σt = 0 ⇒ b 0 = 10 Σy Σty ; b1 = 2 n Σt b1 = Σd x d y Σd 2x MINTA FELADATOK ÉS GYAKORLÓ FELADATOK A statisztika alapfogalmai 1. "A" megyében 500 000 lakos él, ebből 270 000 a városokban "B" megye összes lakosa 760 ezer fő, melyből 450 000 fő lakik a városokban. Feladat: a) Szerkesszen statisztikai táblát, melyben a fenti adatok elhelyezhetők! b) Nevezze meg a tábla típusát, dimenziószámát, a benne szereplő sorok fajtáját! Megoldás a) Két megye lakosságának megoszlása településforma szerint (ezer fő) Településforma Város Község Összesen Megye A 270 230 500 B 450 310 760 Összesen 720 540 1 260 b) Kétdimenziós kombinációs vagy csoportosító. Amennyiben nincs értelmezése a két megye együttes lakosságának, akkor csoportosító, ha van, akkor kombinációs. Kétféle minőségi sor, mindkettő

területi sor (közigazgatási és településforma szerinti) 2. Az Adó- és Pénzügyi Ellenőrző Hivatal a személyijövedelemadó-rendszerbe tartozó 314 ezer vállalkozó adóbevallásának az ellenőrzésekor 123 ezer vállalkozónál tárt fel adóhiányt. Feladat: a) A vállalkozók hány százalékának az adóbevallása nem felel meg az előírásoknak? [39,2%] b) Nevezze meg a kiszámított mutatószámot! 3. Egy városban az épített új lakások száma az elmúlt öt évben a következő volt: Év Lakás (db) 1987 2400 1988 2520 1989 2640 1990 2500 1991 2250 Feladat: Számítsa ki a bázis- és láncviszonyszámokat! [pl. 1991 lánc 90,0%, bázis 93,8%] 4. A foglalkoztatottak számának alakulása Magyarországon 1986 és 1990 között: Év Fizikai foglalkozásúak (ezer fő) 1167,5 1138,2 1102,3 1057,9 995,2 Szellemi foglalkozásúak (ezer fő) 318,3 316,2 305,6 298,5 287,0 1986 1987 1988 1989 1990 Feladat: a) Határozza meg a száz fizikaira jutó szellemi

foglalkozásúak számát, a foglalkoztatottak megoszlását, valamint a fizikai és szellemi foglalkozásúak számának alakulását! b) Nevezze meg a kiszámított mutatószámokat! c) Értelmezze a kapott eredményeket! 11 5. Az egységnyi termék előállításához szükséges munkaórák mennyisége Magyarországon és Ausztriában 1990. évben, néhány termék esetében (munkaóra) Termék Magyarország Ausztria 1 kg kenyér 0,24 0,3 1 kg sertéshús 3,4 1,3 1 kg baromfihús 2,6 0,4 1 kg cukor 0,5 0,14 1 kg burgonya 0,23 0,08 Feladat: a) Hasonlítsa össze a magyar és osztrák termelékenységi értékeket, állapítsa meg, melyik termék esetén van a legkisebb, illetve legnagyobb termelékenységi különbség! b) Milyen viszonyszámot használt az elemzéshez? [pl. kenyér: Magyarország 4,16 kg/óra; Ausztria 3,33 kg/óra] 6. Az autótartás költségeinek alakulása 1990-1992 között A példában egy négy éves 1300-as Lada személygépkocsi adatait mutatjuk. A

feltételezett éves futásteljesítménye 8000 kilométer, fogyasztása 9 liter/100 km. Garázsa nincs, nem okozott és nem szenvedett balesetet. (Ft-ban) Költségelemek 1990 1991 1992 Benzin 28 656 40 320 44 640 Értékcsökkenés 23 000 37 500 48 200 Javítási költség 22 000 50 400 68 200 Anyagköltség 2 000 6 000 8 000 Kötelező biztosítás 864 4 182 8 364 Casco 4 704 4 704 16 800 Súlyadó 2 000 Éves költség 81 224 143 106 196 204 Egy kilométer fajlagos költsége Feladat: a) Vizsgálja meg, hogy megváltozott-e az autótartás költségeinek összetétele az adott három évben! b) Számítsa ki az egy kilométerre jutó fajlagos költség nagyságát! c) Nevezze meg a kiszámított mutatószámokat! [1 kilométer fajlagos költsége 1990: 10,16 Ft, 1991: 17,88 Ft, 1992: 24,52 Ft] 7. Egy vállalat fontosabb mutatószámainak alakulása: 1989 Megnevezés 1988 Nettó árbevétel (M Ft) Nyereség (M Ft) Létszám (fő) 2204,0 26,2 213 2479,6 50,5 219 1990 1991

2209,8 43,6 212 1950,0 30,5 189 Feladat: a) Határozza meg az egyes évekre az egy foglalkoztatottra jutó nettó árbevételt, nyereséget! b) Hogyan változtak az egyes mutatószámok értékei 1988 és 1991 között? (Előző év =100 %.) c) Számítsa ki az egy főre jutó nyereség alakulását 1988 és 1991 között! [pl. 1988-ban 1 foglalkoztatottra jutó nettó árbevétel 10,4 millió Ft, az 1 foglalkoztatottra jutó nyereség 0,12 millió Ft.] 12 8. Egy vállalat tevékenységére vonatkozóan az alábbi adatokat ismerjük: Év Termelés Létszám (ezer db) 1982 =100% 1982 600 100 1983 620 94 1984 750 96 1985 810 98 1986 920 99 1987 880 102 1988 870 102 1989 875 100 1990 900 103 Feladat: a) Elemezze bázis- (1982 = 100 %) és láncviszonyszámok segítségével a termelés alakulását! b) Számítsa ki, hogy hány százalékkal változott a létszám egyik évről a másikra! c) Határozza meg az egy főre jutó termelés változását (1982 = 100 %, előző év = 100

%)! d) Nevezze meg a fenti mutatószámokat! Tankönyv: I. kötet 17 (1; 2;3; 4; 5; 6; 7 a, b; 8) 13 Egy ismérv szerinti elemzés 1. Egy termelőegység létszáma 1986-ról 1990-re 10%-kal nőtt, a termelés értéke változatlan áron számítva - ezen időszakban évente átlagosan 4%-kal emelkedett Feladat: Számítsa ki az egy főre jutó termelés évi átlagos növekedését! Megoldás A létszám évi átlagos növekedési üteme: 4 1,1 = 1,024. A termelés évi átlagos növekedési üteme: 1,04. A termelékenység (egy főre jutó termelés) évi átlagos növekedési üteme: Q 1,04 1,04 = = = 1,0156 1,6% L 4 1,1 1,024 A munkatermelékenység 1986 és 1990 között évente átlagosan 1,6%-kal növekedett a vizsgált termelőegységnél. 2. A személyi számítógépes szoftverek világpiaci forgalma: Év Forgalom (Mrd USD) 1982 1,3 1985 2,8 1990 5,0 1991 6,7 1992 12,2 1995 17,8 Feladat: a) Számítsa ki a növekedés átlagos ütemét 1990-1992 között! [56,2%] b)

Határozza meg az 1982-1995 közötti átlagos évi növekedési ütemet! [22,3%] 3. Valamely munkahelyen dolgozó 20 középfokú végzettségű nő kereseti adatai a következők (eFt): 23,4; 21,0; 17,5; 25,8; 18,1; 16,0; 16,4; 14,1; 23,4; 17,0; 21,0; 18,6; 18,9; 12,1; 14,0; 17,0; 17,9; 14,2; 16,0;17,6. Feladat: a) Készítsen: rangsort, osztályközös gyakorisági sort, kumulált gyakorisági sort, relatív gyakorisági sort, kumulált relatív gyakorisági sort, értékösszegsort, relatív értékösszegsort, kumulált relatív értékösszegsort a fenti adatok felhasználásával! b) Értelmezze mindegyik sor 2. tagját! Megoldás a) Rangsor: 12,1 14,0 14,1 14,2 16,0 16,0 16,4 17,0 17,0 17,5 17,6 17,9 18,1 18,6 18,9 21,0 21,0 23,4 23,4 25,8 Osztályközös gyakorisági sor: Osztályok száma: 5; az osztályköz hossza: 3. Osztályközök x i Gyakoriság f i (ezer Ft) (fő) 12,0 – 15,0 4 15,1 – 18,0 8 18,1 – 21,0 5 21,1 – 24,0 2 24,1 – 27,0 1 Összesen 20 14

Munkatábla a 20 középfokú végzettséggel rendelkező dolgozó keresetei adataiból Osztályköz 12,0 - 15,0 15,1 – 18,0 18,1 – 21,0 21,1 – 24,0 24,1 – 27,0 Σ xi fi f΄ i 13,5 16,5 19,5 22,5 25,5 4 8 5 2 1 20 4 12 17 19 20 gi (%) 20,0 40,0 25,0 10,0 5,0 100,0 g΄ i (%) 20,0 60,0 85,0 95,0 100,0 si s΄ i 54,0 132,0 97,5 45,0 25,5 354,0 54,0 186,0 283,5 328,5 354,0 zi (%) 15,2 37,3 27,5 12,8 7,2 100,0 z΄ i (%) 15,2 52,5 80,0 92,8 100,0 b) Értelmezés: f(2): A vizsgált középfokú végzettséggel rendelkező dolgozó közül 8 fő keresete 16 500 Ft/hó. f’(2):A vizsgált dolgozók közül 12 fő keres 18 000 Ft-nál kevesebbet havonta. g(2): A vizsgált dolgozók 40%-ának havi keresete 16 500 Ft/hó/fő. g’(2):A vizsgált dolgozók 60%-ának keresete kevesebb havi 18 000 Ft-nál. s(2): A vizsgált dolgozók közül annak a 8 főnek, akiknek havi keresete 15 100 Ft – 18 000 Ft között van, összesen 132 000 Ft a havi bérösszege. s’(2): A

vizsgált dolgozók közül a legalacsonyabb havi keresetű 12 dolgozó havi bérösszege 186 ezer Ft. z(2): A vizsgált dolgozók 40%-a az összes kereset 37,5%-át kapja havonta. z’(2): A vizsgált dolgozók 60%-a az összes kereset 52,5%-át kapja havonta. 4. Egy statisztika vizsgán szerzett érdemjegyek megoszlása: Érdemjegy Vizsgázók száma 1 3 2 15 3 13 4 7 5 2 Feladat: a) Határozza meg az érdemjegyek móduszát, mediánját és az érdemjegyek átlagát! b) Értelmezze a kapott eredményeket! [Mo = 2; Me = 3; átlag 2,75 ≈ 3] 5. Egy vállalatnál az átlagos órabér 720 Ft A férfi foglalkoztatottak átlagos órabére 800 Ft, arányuk az összes foglalkoztatott 60 %-a. Feladat: Határozza meg a női dolgozók átlagos órabérét! [600 Ft/óra] 15 6. Az egyik év adott szombatján megvizsgálták, hogy a valamely piacon átlagosan hány forintot költöttek a piacon megjelent személyek. Az 1225 személy megoszlása a vásárlás nagysága szerint: Vásárlás

összege (Ft) Vásárlók száma (fő) 1 - 200 190 201 - 400 395 401 - 600 347 601 - 800 150 801 - 1000 54 1001 - 1200 51 1201 - 1400 38 Összesen 1225 Feladat: Határozza meg és értelmezze a vásárlás összegének • móduszát, • mediánját, • átlagát! Megoldás Munkatábla Osztályköz Oszt.közép Gyakoriság Kum. gyakoriság Értékösszeg 1 - 200 100 190 190 19 000 201 - 400 300 395 585 118 500 401 - 600 500 347 932 173 500 601 - 800 700 150 1082 105 000 801-1000 900 54 1136 48 600 1001-1200 1100 51 1187 56 100 1201-1400 1300 38 1225 49 400 1225 570 100 Σ A módusz meghatározása: A modális osztályköz a 201 és 400 Ft között vásárlók, mert az 1225 fő közül legtöbben (395 fő) ezek közötti értékben vásároltak. Így a nyers módusz értéke 350 Ft Mo = mo + k1 205 ⋅ h = 201 + ⋅ 200 = 363 k1 + k 2 205 + 48 A módusz becsült értéke 363 Ft. Az adott napon az adott piacon vásárlók legtöbbje 350 (363) Ft-ért vásárolt. A medián

meghatározása: A medián a rangsor középső elemének értéke. A középső elem (páratlan elemszám!) 1225 + 1 Me = = 613. A mediánt tartalmazó osztályköz a 401 és 600 Ft között vásárlók; így 2 a medián értéke 500 Ft. A medián becsült értéke 417 Ft. N 1225 − f me−1 − 585 Me = me + 2 ⋅ h = 401 + 2 ⋅ 200 = 416,8 f me 347 Az adott napon az adott piacon vásárlók fele 500 (417) Ft-nál kevesebbet költött. Az átlagos vásárlás értéke 465 Ft/fő. 16 X= 570100 = 465 1225 7. Ötajtós Lada Samarák kínálati ára a használtautó-piacon 1991 szeptemberében Ár Autók száma (ezer Ft) (db) 200,1 - 250 2 250,1 - 300 5 300,1 - 350 25 350,1 - 400 25 400,1 - 450 152 450,1 - 500 12 Összesen 221 Feladat: a) Számítsa ki az autók kínálati átlag-árát! b) Határozza meg a helyzeti középértékeket! [Átlagár = 405 543 Ft; Mo = 423 900 Ft; Me = 432 100 Ft.] 8. Az inflációs ráták Magyarországon 1988-91 között évente rendre a

következők voltak: 1988: 15% 1989: 17% 1990: 29% 1991: 35% Feladat: a) Számítsa ki, hogy mekkora volt évi átlagos inflációs ráta a négy év alatt! b) Mennyivel nőtt az árszínvonal a négy év alatt összesen? [23,7%; 134,3%-kal] 9. Egy hároméves lejáratú értékpapír kamata évente változik, az első évben 20%, a másodikban 27%, a harmadikban 29% az éves kamat. Mekkora a 3 év alatti évi átlagos kamatozás? [25,3%] 10. A kezdő mérnökök bruttó átlagkeresete 1991-ben a következők szerint alakult: Megnevezés Átlagkereset Keresetek szórása (Ft) (Ft) Építészmérnök 22400 6200 Kohómérnök 19000 5800 Feladat: Hasonlítsa össze a két mérnökcsoport kezdő bruttó keresetének átlagát, szórását! [Az építészmérnökök átlagosan 17,9%kal keresnek többet, a kohómérnökök keresete a magasabb szóródású: 30,5%-os, az építészmérnököké pedig 27,7%.] 11. Egy tankör hallgatóinak testmagasság szerinti rangsora a következő (cm):

150; 152; 158; 158; 161; 165; 166; 166; 167; 168; 168; 168; 170; 172; 172; 175; 176; 177; 179; 180; 181; 181; 183; 185; 185. Feladat: a) A rangsor alapján állapítsa meg a módusz és medián értékét! b) Készítsen osztályközös gyakorisági sort, és számítsa ki belőle a testmagasságok átlagát és szórását! [Me = 170 cm; Mo = 168 cm; lehetséges átlag: 170,5 cm; szórás10,2 cm.] 17 12. Az iparban foglalkoztatottak száma korcsoportok és nemek szerint 1989 XII 31-én Korcsoport Férfiak Nők Együtt (év) ezer fő % ezer fő % ezer fő % 14 - 29 215 148 363 30 - 39 210 181 391 40 - 54 251 225 476 55 - 59 52 6 58 60 - 64 2 1 3 Együtt 730 561 1291 Feladat: a) Számítsa ki és írja be a táblázatba a férfiakra, a nőkre és az összes foglalkoztatottra vonatkozó kor szerinti megoszlásokat! b) Számítsa ki az átlagos életkort, vizsgálja az életkor szerinti szóródást a szórás és a relatív szórás alapján! X F = 36,9; σ F = 11,5; VF = 31,2%; X N

= 36,6; σ N = 10,3; VN = 28,1%; X E = 36,8; σ E = 11; VE 29,9%. [ ] 13. Egy közgazdasági végzettséget igénylő munkakörben dolgozó 20 nő havi átlagjövedelme a következő volt (ezer Ft): 23,4; 21,0; 17,5; 25,8; 38,1; 16,0; 16,4; 54,1; 33,8; 17,0; 21,0; 18,6; 12,1; 44,0; 27,0; 17,9; 34,2; 16,0; 27,6; 38,6. Feladat: a) Számítsa ki és értelmezze a jövedelmek mediánját! b) Határozza meg az átlagos jövedelem nagyságát! c) Határozza meg a szóródási mérőszámokat! d) Írjon szöveges értékelést! [Me = 22,2 eFt; átlag 26,005 eFt; R = 42 eFt; δ = 8,9265 eFt; σ = 10,877 eFt; V = 41,8%] 14. Az iparban foglalkoztatottak bruttó keresetnagyság szerinti megoszlása 1990-ben (%): Kereset (Ft) Létszám megoszlása (%) 9 13 14 18 22 14 7 3 100 0 - 6000 6001 – 8000 8001 – 10000 10001 – 12000 12001 – 16000 16001 – 20000 20001 – 30000 30001 – 40000 Összesen Feladat: a) Határozza meg a keresetek helyzeti középértékeit és átlagát! b)

Számítsa ki a keresetek szóródását jellemző mutatókat! 18 Megoldás Az iparban foglalkoztatottak bruttó keresetnagyság szerinti megoszlása 1990-ben (%): Létszám Korrigált Kumulált Kereset (Ft) megoszlása gyakoriság gyakoriság (%) (%) (%) 0 - 6000 9 3 9 6001 – 8000 13 13 22 8001 – 10000 14 14 36 10001 – 12000 18 18 54 12001 – 16000 22 11 76 16001 – 20000 14 7 90 20001 – 30000 7 1,4 97 30001 – 40000 3 0,6 100 100 Összesen Nyers módusz 11000 Ft/fő/hó. A módusz becsült értéke: 10 721 Ft/fő/hó (Figyelem, azonos osztályközhosszal kell számolni!) 1990-ben az iparban foglalkoztatottak legtöbbjének bruttó keresete 11000 (10721) Ft/fő/hó. A medián értéke szintén 11000 Ft/fő/hó, illetve becsült értéke: 10521 Ft/fő/hó. 1990-ben az iparban foglalkoztatottak felének bruttó keresete 11 000 (10521) Ft/fő/hó alatti. Kereset (eFt) xi 3 7 9 11 14 18 25 35 Σ n X= ∑g i =1 i ⋅ xi = n ∑g i =1 Létszám (%); g i 9 13 14 18 22

14 7 3 100 Munkatábla Összkereset Eltérés gi × xi |d i | 27 9,82 91 5,82 126 3,82 198 1,82 308 1,18 252 5,18 175 12,18 105 22,18 1282 gi × |d i | (di)2 88,38 96,4324 75,66 33,8724 53,48 14,5924 32,76 3,3124 25,96 1,3924 72,52 26,8324 85,26 148,3524 66,54 491,9524 500,56 g i × (d i )2 867,8916 440,3412 204,2936 59,6232 30,6328 375,6536 1038,2680 1475,8572 4492,5610 1282 = 12,82 eFt 100 i Az iparban foglalkoztatottak bruttó átlagkeresete havonta: 12 820 Ft/fő. Szóródási mutatószámok: R = 40 000 – 0 = 40 000; R = 35 000 – 3 000 = 32 000 Ft. 1990-ben az iparban dolgozók bruttó átlagkeresete 1990-ben 32 000 Ft terjedelemben helyezkedett el. 19 n δ= ∑g i= i ⋅ xi = n ∑g i =1 500,56 = 5,0056 eFt. 100 i Átlagos abszolút eltérés: 5 000 Ft. 1990-ben az iparban dolgozók bruttó keresete átlagosan 5000 forinttal tért el az ipari átlagkeresettől. n σ= ∑ g (d ) i =1 i i n ∑g i =1 2 = 4492,5610 = 6,7026 eFt 100 i 1990-ben az

iparban foglalkoztatottak bruttó keresete 6 703 forinttal tért el átlagosan az iparban foglalkoztattak bruttó átlagkeresetétől. σ 6,7026 Relatív szórás V= = = 0,5228 52,3% 1990-ben az iparban foglalkoztaX 12,82 tottak bruttó havi keresete átlagosan 52,3%-kal tért el az ipari átlagkeresettől. 15. A 18 éves fiúk körében kísérleti jelleggel intelligencia-teszteket végeztek A vizsgálathoz felkért 19 főnél az alábbi intelligenciaértékeket (IQ) mérték: 141, 65, 75, 100, 99, 96, 89, 82, 101, 110, 104, 119, 107, 103, 114, 104, 130, 122, 58. Feladat: a) Határozza meg és értelmezze az IQ értékek kvartiliseit! b) Jellemezze az intelligenciaértékek eloszlását az A és F mutatókkal! Megoldás a) Rangsor 58; 65; 75; 82; 89; 96; 99; 100; 101; 103; 104; 104; 107; 110; 114; 119; 122; 130; 141; i A kvartilisek meghatározása az Si / k = ( N + 1) alapján történik. k 1 Az alsó kvartilis (Q 1 ) sorszáma: S1 / 4 = (19 + 1) = 5 Q 1 értéke 89. 4 2 A medián

(Q 2 ) sorszáma: S 2 / 4 = (19 + 1) = 10 Q 2 = Me értéke 103. 4 3 A felső kvartilis (Q 3 ) sorszáma: S3 / 4 = (19 + 1) = 15 Q 3 értéke 114. 4 Értelmezés A vizsgálatba vont 19 fiatalember első 25%-ának intelligenciaértéke 89 pont alatti. A vizsgálatba vont fiatalemberek felének intelligencia mutatója 103 pont alatti, a vizsgálatba vont fiatalemberek 75%-ának intelligencia-értéke 114 pont alatti. b) Az eloszlás szimmetriájának vizsgálata: F= (Q 3 − Me) − (Me − Q1 ) (114 − 103) − (103 − 89) 11 − 14 − 3 = = = = −0,12 (Q 3 − Me) + (Me − Q1 ) (114 − 103) + (103 − 89) 11 + 14 25 20 A= X − Mo 101 − 104 −3 = = = −0,147 σ 20,35 20,35 Az A mutató értékének meghatározásához a már ismert módon kiszámítjuk az átlagot és a szórást, valamint megállapítjuk a móduszt. Az átlagos intelligenciaérték a vizsgált fiatal fiúk esetében 101, a szórás értéke 20,35, a módusz 104. Mindkét mutató enyhe jobboldali

aszimmetriát mutat. 16. Valamely városban az 1995-ben épült lakások alapterület szerinti megoszlása: Alapterület, m2 Lakások aránya, % 35,0 – 45,0 10 45,1 – 55,0 20 55,1 – 65,0 35 65,1 – 75,0 25 75,1 – 85,0 10 Összesen 100 Feladat: Jellemezze az eloszlás aszimmetriáját az A és F mutatókkal! [A=0,0536;F=0,3212] 17. Az 1999-ben Magyarországon kiadott 15 legnagyobb példányszámú szépirodalmi könyv példányszáma ezer darabban (felső sor) és ára Ft-ban (alsó sor): 151 256 124 160 127 120 120 200 133 132 124 173 130 156 140 980 680 490 790 630 970 880 980 980 620 1100 890 470 650 650 a) Határozza meg és értelmezze a példányszám kvartiliseit! [Q 1 =124; Me=133; Q 3 =160;] b) Számítsa ki és értelmezze az árak relatív szórását! [V = 24,5%.] 18. Egy gazdasági társaság 20 beosztott dolgozójának havi átlagos jövedelme (ezer Ft-ban): 102; 154; 146; 200; 108; 196; 210; 216; 126; 183; 210; 252; 236; 174; 100; 160; 144; 202; 155; 115.

Feladat: Számítsa ki és értelmezze az F mutatót! [F = 0,058] 19. Az állami iparvállalatok és ipari szövetkezetek megoszlása létszám szerint 1988-ban Állami iparvállalatok Ipari szövetkezetek Létszám száma fogl. megoszlása száma fogl. megoszlása (fő) (db) (%) (db) (%) - 99 317 1,1 1057 23,3 100 - 299 206 4,1 408 41,9 300 - 499 123 5,2 80 18,0 500 - 999 215 17,1 32 13,3 1000 - 1999 173 25,9 5 3,5 2000 - 4999 86 26,3 5000 - 9999 18 13,6 10000-20000 5 6,7 Összesen 1143 100,0 1582 100,0 Feladat: Vizsgálja meg a Lorenz-görbe segítségével, hogy az állami iparvállalatoknál vagy az ipari szövetkezeteknél volt-e magasabb a létszám koncentrációja? 21 20. A magyar cipőipar vállalatainak létszám szerinti megoszlása 1991 december 31-én: Foglalkoztatottak száma Vállalatok száma (fő) (db) 1 - 25 17 26 - 50 18 51 - 150 35 151 - 300 24 301 - 500 26 501 - 1000 9 1001 - 2000 4 Összesen 133 Feladat: a) Jellemezze a létszám szerinti koncentrációt a

Lorenz-görbe segítségével! b) Írjon szöveges értékelést! Tankönyv: I. kötet 23 (1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9) 22 A statisztikai táblák elemzése 1. Egy hallgatói csoport következő adatai állnak rendelkezésre: Csoport Létszám (fő) Átlagos pontszám a statisztika ZH-án (max. 20 pont) Megoldotta a gyakorló feladatokat 8 13 Nem oldotta meg a gyakorló feladatokat 15 10 Összesen 23 Feladat: a) Számítsa ki a teljes szórást és értelmezze! b) Határozza meg és értelmezze a H és H2 mutatókat! Szórás 1,31 2,23 Megoldás a) X= 8 ⋅ 13 + 15 ⋅ 10 = 11 pont 23 8(13 − 11) 2 + 15(10 − 11) 2 =2 23 8(1,31) 2 + 15(2,23) 2 σ 2B = = 3,84 23 σ 2K = σ 2 = 2 + 3,84 = 5,84 σ = σ 2 = 2,42 b) H2 = σ 2K 2 = = 0,342 34,2% 2 5,84 σ H = H 2 = 0,342 = 0,5848 A tankör hallgatói által elért pontszámok átlagosan 2,42 ponttal térnek el az átlagpontszámtól. A szórásnégyzet-hányados értéke 0,342, ami azt jelenti, hogy a feladatok

gyakorlása vagy nem gyakorlása csak mintegy 34%-ban határozta meg a pontszámok szóródását. A szóráshányados értéke 0,585, ami azt jelenti, hogy a feladatok gyakorlása és a ZH-án elért pontszám közötti kapcsolat közepes erősségű. 23 2. Valamely ház egyik lépcsőházában május hónapban mért melegvízfogyasztás (m3): Fogyasztás 3 szobás 2 szobás Összes (m3) lakások száma, db 2 2 2 3 1 2 3 4 2 3 5 5 10 10 20 6 16 3 19 7 5 5 8 6 5 Összesen 40 20 60 Feladat: a) Számítsa ki a különböző szobaszámú, valamint az összes lakás havi átlagos melegvíz fogyasztását! b) Számszerűsítse és értelmezze a σ 2 = σ 2K + σ 2B összefüggést! c) Jellemezze a lakásméret és a melegvízfogyasztás nagysága közötti összefüggést! [Átlagos melegvízfogyasztás rendre: 6 m3/lakás, 4,5 m3/lakás, 5,5 m3/lakás; σ B 2 = 1,38; σ K 2 = 0,5; σ2 = 1,88; H2 = 26,6%; H = 0,515.] 3. A távolsági autóbusz-közlekedés néhány jellemző adata

1994-ben: Járat Szállított utasok Utazási távolság, km száma, millió fő átlaga szórása Menetrend szerinti 450 17 5 Szerződéses 30 23 15 Különjárat 3 151 70 Összesen 483 Feladat: a) Számítsa ki az átlagos utazási távolságot! b) Számítsa ki a H2 és H mutatószámokat és értelmezze! [Átlagos utazási távolság 18 km; H2 = 62,4%; H = 0,79.] 4. 50 cég megoszlása az iparág és a bírságfizetés alapján: Iparág Bírságot Összesen fizetett nem fizetett Textilipar 18 2 20 Élelmiszeripar 5 25 30 Összesen 23 27 50 Határozza meg a Cramer és Csuprov mutatók számszerű értékét és döntse el milyen kapcsolat van az iparághoz tartozás és a környezetvédelmi bírság fizetése között! Megoldás A teljes függetlenség melletti gyakoriságok meghatározása: 23 ⋅ 20 27 ⋅ 20 23 ⋅ 30 27 ⋅ 30 = 9,2; = 10,8; = 13,8; = 16,2 50 50 50 50 Gyakoriságok teljes függetlenséget feltételezve Iparág Bírságot fizetett nem fizetett Textilipar 9,2

10,8 Élelmiszeripar 13,8 16,2 Összesen 23,0 27,0 24 Összesen 20 30 50 2 = (18 − 9,2) 2 (2 − 10,8) 2 (5 − 13,8) 2 (25 − 16,2) 2 + + + = 25,98 9,2 10,8 13,8 16,2 Mivel χ2 ≠ 0, van kapcsolat az iparághoz való tartozás és a bírság fizetése között. b = 2; C= T= c=2 25,98 = 0,721 50 ⋅ 1 25,98 50 ⋅ 1 ⋅ 1 = 0,721 Mindkét mutató alapján erős kapcsolat van az iparághoz való tartozás és a környezetvédelmi bírság fizetése között. 5. Valamely főiskolán egy bizonyos kérdésről 300 hallgató (160 elsős és 140 harmadéves) szavazott. Az elsőévesek közül 70-en igennel, 90-en nemmel szavaztak, tartózkodás nem volt. A harmadévesek szavazatai: 110 igen, 10 nem és 20 tartózkodás a) Rendezze kombinációs táblába a fenti adatokat! b) Vizsgálja meg, hogy milyen szoros összefüggés mutatkozik az évfolyamhoz tartozás és az adott kérdésben kialakított vélemény között! 2 [χ = 92,21; C = 0,5544; T = 0,466] 6. A

vállalkozások száma nemzetgazdasági ágak és gazdálkodási formák szerint (1995 decemberi állapot): NemzetKft Szövetkezet Bt Egyéni Egyéb Összesen gazdasági ág vállalkozás Mezőgazdaság 3636 2117 2624 29976 1032 39385 Ipar, építőipar 28166 2692 21313 137465 7274 196883 Kereskedelem 39912 752 39181 214386 4809 299040 Egyéb 30983 2760 39442 409669 28377 511231 Összesen 102697 8321 102560 791496 41465 1046539 Jellemezze a nemzetgazdasági ág szerinti hovatartozás és a vállalkozási forma közötti kapcsolatot viszonyszámokkal és kapcsolatszorosságmérő mutatókkal! [χ2 = 44 654,47; C = 0,119; T = 0,111] 7. 400 cég 1994 évi és 1995 évi jövedelmezőségének kapcsolata: 1995-ben Alacsony Közepes Magas Összesen 1994-ben Alacsony 100 80 180 Közepes 60 90 10 160 Magas 30 30 60 Összesen 160 200 40 400 Számítsa ki és értelmezze a Cramer-együtthatót! [C = 0,438] 25 8. A lakásmegszűnés összetétele a lakásmegszűnés oka és településtípus

szerint 1998-ban: Lakásmegszűnés oka Budapesten A többi városban Községben Összesen Településrendezés 49 77 10 136 Avulás 168 1017 688 1873 Elemi csapás 0 8 6 14 Lakásépítés 189 1023 664 1876 Egyéb 206 398 82 686 Összesen 612 2523 1450 4585 Állapítsa meg, hogy milyen szoros a kapcsolat a két ismérv között! [χ2 = 374,049; C = 0,202; T = 0,170] 9. Számítsa ki a hiányzó adatokat és a tábla adatai alapján elemezze a vállalat tevékenységét! Megnevezés 1990. 1996. 1990 = 100 (%) Termelési érték (ezer Ft) 360 000 Fizikaiak átlagos létszáma (fő) 80 105,0 Foglalkoztatottak átlagos létszáma (fő) 100 1 fizikaira jutó termelési érték (eFt/fő) 4 680,0 Fizikai dolgozók aránya (%) 91,3 1 foglalkoztatottra jutó termelési érték (eFt/fő) 10. A gazdaságilag aktív keresők száma Magyarországon 1980-ban 5068,8 ezer fő volt, tíz évvel később 601,5 ezer fővel kevesebb. Az építőiparban 1980-ban 410,8 ezer fő dolgozott, tíz évvel

később 308,1 ezer fő. Feladat: a) A megfelelő dinamikus viszonyszámok alapján következtessen az építőiparban dolgozók arányának változására! b) Állítását igazolja a megoszlási viszonyszámok kiszámításával is! Megoldás A keresők számának alakulása Építőipar Keresők Építőipar (ezer fő) 1980 = 100% 1980 = 100% Év Keresők (ezer fő) Építőipar megoszlása (%) 1980 5068,8 410,8 100,0 100,0 8,1 1990 4467,3 308,1 88,1 75,0 6,9 a) Az aktív keresők száma a vizsgált tíz év alatt 11,9%-kal csökkent; az építőiparban foglalkoztatottak száma ennél magasabb arányban, 25%-kal csökkent. b) A fenti megállapítást igazolja az is, hogy az építőiparban foglalkoztatottak aránya az összes aktív keresőkön belül a vizsgált tíz év alatt 8,1%-ról 6,5%-ra csökkent, ez 14,8%-os (1,6 százalékpontos) visszaesést jelent. 26 11. Egy Rt dolgozóinak havi átlagos kereset szerinti megoszlása 1996-ban: Kereset, Ft Nők

Férfiak megoszlása, % - 15 000 2 15 001 - 30 000 10 7 30 001 - 45 000 20 10 45 001 - 60 000 40 13 60 001 - 75 000 15 43 75 001 - 90 000 7 11 90 001 - 105 000 5 10 105 001 1 6 Összesen 100 100 A dolgozók 70%-a férfi. Feladat: a) Hasonlítsa össze a nők és férfiak kereseti viszonyait középértékek számításával! Értelmezze a kapott eredményeket! b) Vizsgálja meg a keresetek szóródását a szórás mutatójával! c) Számítsa ki a dolgozók átlagkeresetét! d) Számítsa ki az aszimmetria mérőszámát! e) Elemezze a szórást kialakító tényezőket! [Nők: átlag 52 600 Ft; Mo = 51 666, 67 Ft; Me = 51 750 Ft, Szórás = 20 234,87 Ft, relatív szórás 38,5%, A = 0,046. Férfiak: átlag 66 750 Ft, Mo = 67 258,1 Ft, Me = 66 976,7 Ft, szórás = 22 286,5 Ft, relatív szórás 33,4%, A = -0,023. Dolgozók átlagkeresete 62 505 Ft, szórás 22 639,86 Ft, H2 = 0,082] 12. Egy városban két sütöde működik, az "A" és a "B" sütöde Az összes

alkalmazottak 30%-a az "A", míg 70%-a a "B" sütödében dolgozik. Átlagos évi kenyértermelésük 72 000 kg; illetve 180 000 kg. A relatív szórás: "A" sütöde 0,25, "B" sütöde 0,20 Feladat: a) Készítsen a megadott adatokból statisztikai táblát! b) Határozza meg a két sütöde évi átlagos kenyértermelését! c) Számítsa ki az "A" és "B" sütöde dolgozóinak összességére vonatkozóan a szórást! d) Magyarázza (számítással) a csoportosító ismérv hatását! [átlag 147,6 ezer kg, szórás 58,77, H2 = 0,709] 13. Magyarországon 1995-ben a szállodákban a forgalom alakulása a következő volt: Szállodák Férőhelyek Vendégek Egységek Szórás ezer db ezer fő száma, db Ötcsillagos 2 180 4 36 Négycsillagos 11 606 21 60 Háromcsillagos 19 1132 83 120 Kétcsillagos 14 697 97 70 Egycsillagos 11 589 122 40 Összesen 57 3204 327 Feladat: Számítsa ki a vendégek számának a szállodák

minőség szerinti csoportosításából származó belső és külső szórását, valamint a teljes szórást! [ x = 755 ezer fő σ 2B = 5952,55; σ 2K = 52824,4; σ 2 = 58746,95 ] Tankönyv: I. kötet 35 (1, 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 12; 13; 14 b,c,d) 27 Összetett intenzitási viszonyszámok összehasonlítása 1. "A" megyében a háztartások 60%-a a városokban él, 40%-a községekben Az egy főre jutó havi élelmiszerkiadás a városi lakosoknál 2900 Ft, a községi lakosoknál 2650 Ft. "B" megyében a népesség 55%-a él városban, ahol az egy főre jutó havi élelmiszerkiadás 2840 Ft, 45%-a községekben, ahol az átlagos élelmiszer-kiadás 2600 Ft. Feladat: Hasonlítsa össze a két megye egy főre jutó havi átlagos élelmiszer-kiadását, és mutassa ki az eltérést okozó tényezők hatását! (Standard: "A" megye háztartásainak megoszlása település-típus szerint.) Megoldás "A" megye "B" megye

Település-típus Háztartások 1 főre jutó kiadás Háztartások 1 főre jutó kiadás (%) (Ft/fő/hó) (%) (Ft/fő/hó) Város 60 2900 55 2840 Község 40 2650 45 2600 Együtt 100 2800 100 2732 X A = 0,6 ⋅ 2900 + 0,4 ⋅ 2650 = 2800 Ft/főt/f X B = 0,55 ⋅ 2840 + 0,45 ⋅ 2600 = 2732 Ft/főt/f K = X A − X B = 2800 − 2732 Ft/főt/f X B(st) = 0,6 ⋅ 2840 + 0,4 ⋅ 2600 = 2744 Ft / fő / hó K ′ = X A − X B(st ) = 2800 − 2744 = 56 Ft / fő / hó K ′′ = K − K ′ = 68 − 56 = 12 Ft / fő / hó A két megye 1 főre jutó havi élelmiszerkiadását vizsgálva azt tapasztaljuk, hogy "A" megyében átlagosan 68 Ft-tal költenek többet fejenként erre a célra, mint "B" megyében. Ez az eltérés két tényező együttes hatásának eredményeként adódott. (Főátlagok különbsége) Egyrészt "A" megyében mind a városi, mind a községi háztartások esetében magasabb az egy főre jutó havi élelmiszerkiadás, mint "B"

megyében, melynek következtében átlagosan 56 Ft-tal költenek többet fejenként havonta élelmiszerre, mint "B" megyében. (Részátlagok különbségéből adódó hatás.) Másrészt a különbséget tovább növeli, hogy "A" megyében magasabb a városi háztartások aránya, amelyek egyébként is többet költenek átlagosan élelmiszerre havonta. Ez 12 Ft-tal növeli meg a két megye közötti egy főre eső havi élelmiszerkiadás különbségét. (Összetételhatás) 2. Egy terméket kétféle technológiával (A,B) állítanak elő A gyártáshoz felhasznált nyersanyag fajlagos felhasználását (kg/db) akarjuk összehasonlítani két üzemben (I. és II), amelyek mindegyikében mindkét technológiát alkalmazzák Adatok: Felhasznált anyagok Termelés Fajlagos anyagfelhasználás Technológia (ezer kg) (ezer db) (kg/db) I. II. I. II. I. II. A 40 72 4 6 . . B 20 115 1 5 . . Összesen 60 187 5 11 . . a) Mennyivel nagyobb a fajlagos

anyagfelhasználás a II. üzemben? Számítsa ki a hiányzó adatokat! b) Az egyes technológiáknál tapasztalt különbség mekkora eltérést eredményez a két üzem között? (Vegye standardnak az I. üzem termelési adatait!) c) Mutassa ki a másik összetevő hatását, és magyarázza meg részletesen jelentését! [ K = 5; K ′ = 2,2; K ′′ = 2,8. ] 28 3. Egy kisvállalkozás alkalmazottainak megoszlása kereset szerint: Állomány 1990 1991 csoport Létszám Átlagkereset Létszám Átlagkereset (fő) (ezer Ft) (fő) (ezer Ft) Szellemi foglalkozású 10 50 15 60 Fizikai foglalkozású 50 30 75 40 Összesen: 60 . 90 . Feladat: Elemezze standardizáláson alapuló indexszámítással az átlagkeresetek alakulását és befolyásoló tényezőit! Megoldás Munkatábla Létszám Átlagkereset Keresettömeg Vált.,% Fiktív átlagok Állománycsoport B0 B1 v0 v1 A0 A1 v 1 /v 0 b 1 ×v 0 Szellemi 10 15 50 60 500 900 120 750 Fizikai 50 75 30 40 1500 3000 133,3 2250 60 90

33,3 43,3 2000 3900 130 3000 Σ V0 = ΣA 0 2000 = = 33,3 ΣB 0 60 I= V1 43,3 = = 1,3 130% V0 33,3 I′ = ΣB1 v1 3900 = = 1,3 130% ΣB1 v 0 3000 I′′ = I 1,3 = = 1 100% I′ 1,3 V1 = ΣA1 3900 = = 43,3 90 ΣB1 Elemzés: A vizsgált időszakban a kisvállalkozásnál az átlagkeresetek vállalati szinten 30%-kal növekedtek.(Főátlagindex) A szellemi foglalkozásúak átlagkereset növekedése 20%-os, míg a fizikai állományban dolgozók esetében ennél magasabb, 33,3%-os volt a növekedés. Az átlagkeresetek mindkét állománycsoportban bekövetkezett emelkedése vállalati szinten 30%-kal növelte a vizsgált időszakban az átlagkeresetet.(Részátlag index) A létszámnövekedés nem volt hatással vállalati szinten az átlagkereset alakulására. Mindkét állománycsoportban növekedett ugyan a létszám, de mindkét állománycsoportban azonos arányban (50-50%-kal). (Összetételhatás index) 4. Egy vállalat termelékenységi jellemzői: Foglalkoztatott

létszám (fő) Egy főre jutó termelés (db/fő) Telephely 1987 1988 1987 1988 I. 600 500 40 46 II. 400 500 50 60 Vállalat 1000 1000 . . Feladat: Elemezze standardizáláson alapuló indexek segítségével a termelékenység változását, valamint befolyásoló tényezőit! [ I = 120,5%, I′ = 117,8%; I′′ = 102,2% ] 29 5. Egy iparágban az állóeszközök átlagos bruttó értéke 1983-ról 1985-re 3%-kal nőtt A foglalkoztatottak száma 1%-kal csökkent. Az egyes ágazatokról a következő adatok állnak rendelkezésünkre: Állóeszközök átlagos Foglalkoztatottak Egy foglalkoztatottra jutó Ágazat bruttó értékének megoszlása állóeszköz megoszlása (%) (%) (eFt/fő) 1985-ben 1985-ben 1983 1985 A 20 30 190 200 B 50 10 100 150 C 30 60 150 170 Feladat: Standardizáláson alapuló indexekkel elemezze az iparágban a munkaerő eszközellátottságát! [ I = 104,4%; I′ = 112,7%; I′′ = 92,3%. ] 6. Egy vállalat két azonos terméket gyártó üzemének

anyagfelhasználási adatai: Felhasznált anyag, kg A termelés mennyiségének Üzem bázis időszak tárgyidőszak bázisviszonyszáma, % I. 200 250 108 II. 300 300 98 A vállalatnál az egységnyi termékre jutó anyagfelhasználás nem változott. Feladat: Elemezze a vállalat fajlagos (egységnyi termékre jutó) anyagfelhasználásának alakulását! [ I = 100%; I′ = 107,8%; I′′ = 92,7%. ] 7. Egy iparvállalatnál a munkások együttes állománycsoportjára a vizsgált időszakban az összes bérköltség 6,5%-kal növekedett, ugyanakkor átlagos létszámuk 1%-kal csökkent. Mind a szakmunkások, mind a segédmunkások átlagbére 6%-kal növekedett. Feladat: Számítsa ki, hogyan változott a vállalatnál az átlagos havi bér a létszámarányok eltolódása következtében! [ I = 107,6%; I′ = 106%; I′′ = 101,5%. ] 8. Az 1994 és 1995-ben épített lakások száma és alapterület megoszlása a területi elhelyezkedés szerint: Terület 1994 1995 Lakások száma,

db Alapterület, m2 Lakások száma, db Alapterület,m2 Budapest 2 910 94 3 354 90 Többi város 9 460 95 10 844 101 Község 8 577 101 10 520 100 Összesen 20 947 24 718 Feladat: Számítsa ki, hogy hány négyzetméterrel nőtt az épített lakások alapterülete 1994ről 1995. évre és mutassa meg a változásban szerepet játszó tényezők hatását! [ K = 1,78 m 2 ; K ′ = 1,7 m 2 ; K ′′ = 0,08 m 2 . ] 30 9. Egy terméket három különböző technológiai folyamat segítségével állítunk elő A három eljárás termelékenységének alakulását a következő adatok jellemzik: Eljárás Létszám megoszlása Egy főre jutó termelés (db/fő) 1991-ben (%) 1990 1991 I. 20 10,0 9,0 II. 40 15,0 12,5 III. 40 20,0 25,0 Összesen 100 . . Az átlagos egy főre jutó termelés 10%-kal nőtt 1991-re. Feladat: Standardizálás segítségével számszerűsítse a termelékenyég változását befolyásoló tényezők hatását! [ I = 110%; I′ = 105%; I′′ = 104,8%. ]

10. Egy gazdasági társaságnál a foglalkoztatottak átlagkeresete 1999-ről 2000-re a társaság szintjén 18%-kal nőtt, miközben átlagosan 22%-kal emelkedett a dolgozók keresete. Feladat: Magyarázza a két index eltérésének okát! Megoldás I = 1,18 I′ = 1,22 1,18 = 0,967 96,7% I′′ = 1,22 A létszámarányok megváltozása miatt az alacsonyabb keresetű foglalkoztatottak aránya növekedett. Tankönyv: I. kötet 45 (1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10) 31 Érték-, ár- és volumenindexek 1. Egy háztartási bolt tárgyév II negyedévi forgalmából 15%-ot a kozmetikai cikkek, 35%-ot a tisztítószerek képviselnek. A kozmetikai cikkek ára átlagosan 10, a tisztítószereké pedig 18%-kal magasabb, mint az előző év II. negyedévében A többi cikk ára nem változott A bázisév II. negyedévében a bolt forgalma 2880 ezer Ft, a tárgyév II negyedévében pedig 3000 ezer Ft volt. Feladat: Számítsa ki az árindexet, az értékindexet, a volumenindexet! [ I

(p1) = 107,2%; I (q0) = 97,2%; I v = 104,2%. ] 2. Két termékcsoport forgalmazására vonatkozó adatok: TermékÉrtékesítési forgalom Ár Érték csoport megoszlása 1990-ben (%) változás 1990-ről 1991-re (%) A 45 +12,0 +16,0 B 55 +17,0 +15,0 Együtt 100 . (1) Feladat: Számítsa ki a tárgyidőszaki súlyozású volumenindexet! [ I q = 100,6%. ] 3. Egy áruház alábbi adatait ismerjük: Termék A forgalom árbevételének Ár Volumen megoszlása 1991-ben (%) változás 1991/1989 (%) A 68 138 120 B 32 150 112 Feladat: Számítsa ki az értékindexet és a bázissúlyozású volumenindexet! [ I V = 166,4%; I (q0) = 141,6%. ] 4. Egy több terméket előállító vállalat két üzemének 1990 és 1991 évi termelésére vonatkozó adatok: Üzem Termelési érték (M Ft) Indexek (%) I q (0) I p (1) Iv Σ q0p0 Σ q1p0 Σ q1p1 I. 500 800 . . . 176 II. . . . . . . Vállalat . . 2320 100 116 . Feladat: Számítsa ki és írja be a megfelelő helyre a hiányzó aggregátumokat és

indexeket! 5. Egy cipőbolt női és férfi cipő-forgalmáról az alábbiakat ismerjük: Cipő Az árbevétel megoszlása Ár Volumen 1999-ben (%) változása 2000/1999 (%) Női 64 138 126 Férfi 36 132 114 Feladat: a) Számítsa ki 1) átlagosan hány %-kal változott a forgalom értéke, 2) átlagosan hány %-kal változott az értékesített cipők mennyisége! b) Számítsa ki a bázissúlyozású árindexet! c) Értelmezze a meghatározott adatokat! [ I V = 164,7%; I (q1) = 121,4%; I (0) p = 135,6%. ] 32 6. Egy élelmiszer boltban két kenyérfajta forgalmának alakulása: KenyérEgységár, Ft/kg Értékesített mennyiség, kg fajta 1999. dec15 2000. dec15 1999. dec15 2000. dec15 Rozskenyér 220 250 38 46 Házikenyér 130 180 82 112 Feladat: a) Számítsa ki az árváltozás százalékos mértékét! 1) kenyérfajtánként külön-külön, 2) a két kenyérféleségre együttesen a Laspeyres, Paasche és Fischer-féle formulával! b) Számítsa ki az értékesítés

mennyiségének százalékos változását 1) kenyérfajtánként külön-külön, 2) a két kenyérféleségre együttesen a Laspeyres, Paasche és Fischer-féle formulával! c) Értelmezze a kapott eredményeket és magyarázza a Laspeyres-, Paasche-, Fischer-féle árindexek és volumenindexek eltérésének okát! d) Számítsa ki az értékindexet minden lehetséges formában! Megoldás Munkatábla Kenyér q0p0 q0p1 q1p0 q1p1 iv Rozs 8 360 9 500 10 120 11 500 1,38 Házi 10 660 14 760 14 560 20 160 1,89 Összesen 19 020 24 260 24 680 31 660 a) Az árváltozás mértéke: 1) Kenyérfajtánként külön-külön: i p = Tehát a rozskenyér esetében i p = nél pedig 38,5%-os. 2) A két kenyérfajtára együttesen: p1 ; p0 250 = 1,136 13,6% - os az árváltozás, a házikenyér220 I (p0) = Σq 0 p1 24260 = = 1,275 27,5% Σq 0 p 0 19020 I (p1) = Σq1 p1 31660 = = 1,283 28,3% Σq1 p 0 24260 I (pF) = I (p0) ⋅ I (p1) = 1,275 ⋅ 1,283 = 1,279 27,9% b) Az értékesítés

mennyiségének változása: q 1) Kenyérfajtánként külön-külön: i q = 1 . q0 46 Tehát rozskenyérnél i q = = 1,21 21% − os a növekedés, míg a házikenyér 38 esetében 36,6%-os növekedés mutatkozik. 2) A két kenyérféleségre együttesen: I (q0) = Σq1 p 0 24680 = = 1,297 27,9% Σq 0 p 0 19020 I (q1) = Σq1 p1 31660 = = 1,305 30,5% Σq 0 p1 24260 I (qF) = I (q0) ⋅ I (q1) = 1,297 ⋅ 1,305 = 1,3 30% 33 c) A különböző módon számított ár- és volumenindexek az eltérő súlyozás miatt nem egyeznek meg. d) Az értékindexek: Iv = Σq1 p1 31660 = = 1,66 166% Σq 0 p 0 19020 Iv = Σq 0 p 0 ⋅ i v 8360 ⋅ 1,38 + 10660 ⋅ 1,89 = = 1,66 166% 19020 Σq 0 p 0 Iv = Σq 1 p 1 31660 = = 1,66 166% qp 11500 20160 + Σ 1 1 1,38 1,89 iv I v = I (q0) ⋅ I (p1) = 1,297 ⋅ 1,283 = 1,66 166% I v = I (q1) ⋅ I (p0) = 1,305 ⋅ 1,275 = 1,66 166% I v = I (qF) ⋅ I (pF) = 1,3 ⋅ 1,279 = 1,66 166% 7. Egy sajt szaküzlet kemény és félkemény

sajtfajta forgalmára vonatkozóan a következő adatokat ismerjük az 1997. és 1998 évre: Sajtok Értékesített mennyiség, kg Egységár, Ft/kg 1997. aug8 1998. aug8 1997. aug8 1998. aug8 Parmezán 0,3 1,2 3200 3400 Trappista 18,2 26,4 650 830 Eidami 8,8 16,2 930 1020 Pannónia 10,2 13,4 920 1210 Óvári 12,5 18,2 830 950 Feladat: a) Számítsa ki az árváltozás százalékos mértékét! 1) sajtfajtánként külön-külön, 2) az ismert sajtfajtákra együttesen a Laspeyres, Paasche és Fischer-féle formulával! b) Számítsa ki az értékesítés mennyiségének százalékos változását 1) sajtfajtánként külön-külön, 2) a sajtféleségekre együttesen a Laspeyres, Paasche és Fischer-féle formulával! c) Értelmezze a kapott eredményeket és magyarázza a Laspeyres-, Paasche-, Fischer-féle árindexek és volumenindexek eltérésének okát! d) Számítsa ki az értékindexet minden lehetséges formában! [Egyedi árindexek rendre (%): 106,2; 127,7; 109,7; 131,5;

114,5; az együttes árindex: Laspeyres = 121,1%; Paasche =119,7%; Fischer = 120,4%. Egyedi volumenindexek rendre (%): 400; 145; 184,1; 131,4; 145,6; az együttes volumenindex: Laspeyres = 155,9%; Paasche = 154,1%; Fischer = 154,1%. Egyedi értékindexek rendre (%): 424,8; 185,2; 202; 172,8; 166,7; az együttes értékeindex (6 féle módon): 186,6%.] 34 8. Egy bolt áruforgalmára vonatkozó adatok a kővetkezők: Árucikk-csoport A forgalom értéke 2000-ben Az árváltozás mértéke 1999-ről (millió Ft) 2000-re (%) A 350 +15 B 520 +16 C 230 +20 Az áruforgalom értéke 19,%-kal növekedett 1999-ről 2000-re, a Paasche-féle volumenindex: 116,4%. Feladat: a) Számítsa ki a Paasche-féle árindexet, a Fischer-féle volumenindexet, 1999-ben az áruforgalom értékét a három termékre összesen! b) Magyarázza meg a volumenindexek eltérésének okát! [ I (p0) = 116,5%; I (qF) = 109,2%; I v = 119,3% Σq 0 p 0 = 922 millió Ft. ] 9. Egy bőrdíszmű kereskedés 1999 évi

eladási forgalmának 25%-át a férfi tárcák, 75%-át pedig a női tárcák tették ki. A férfi tárcák átlagára 1998-ról 1999-re 12%-kal, a női tárcák átlagára pedig 24%-kal növekedett. Feladat: a) Számítsa ki az értékesítés volumenének változását 1998-ról 1999-re, ha ismerjük, hogy a két fajta termék forgalma átlagosan 18%-kal nőtt a vizsgált időszakban! b) Értelmezze a kiszámított eredményt! (0) [ I v = 118%; I (1) p = 121%; I q = 97,5%. ] 10. Egy termékcsoportba tagozó négy termék forgalmának alakulásáról a következő adatok állnak rendelkezésre egy kiskereskedelmi társaságnál: Termékek A forgalom megoszlása (%) 2000. évi folyóáras Árváltozás (%) 1999. forgalom (ezer Ft) 1999. = 100 A 25 5 200 112 B 10 3 400 126 C 35 8 200 118 D 30 6 500 110 Összesen 100 23 300 1999-ben az áruforgalom értéke 20 000 eFt volt. Feladat: a) Számítsa ki az árszínvonal változását 1) cikkenként külön-külön, 2) együttesen a négy

termékre! b) Számítsa ki 1) a Fischer-féle árindexet, 2) az egyedi és átlagos értékindexet! c) Milyen további statisztikai adatokat tudna származtatni a már ismert értékekből! d) Számítsa ki az egyedi volumenindexeket! Árszínvonal változása : A = 12%; B = 26%; C = 18%; D = 10%. I (p1) = 115%; I (F) p = 115%; I v = 116,5%; A = 104%; B = 170%; C = 117,1%; D = 108,3%. Volumen indexek : A = 92,9%; B = 134,9%; C = 99,2%; D = 98,5%. Tankönyv: I. kötet 58 (1; 2a, b, c, d; 4; 5a, c; 6; 7; 8; 9; 10) 35 Kétváltozós korreláció- és regressziószámítás 1. Az Egyesült Államok bruttó hazai termékének (GDP) és pénzállományának alakulása: Évek Pénzállomány GDP milliárd USA $ 1976 308 1718 1977 331 1918 1978 355 2156 1979 373 2414 1980 388 2626 1981 442 3053 1982 480 3166 1983 527 3406 1984 559 3765 1985 627 3998 Feladat: Írja fel és értelmezze a lineáris regressziófüggvényt! [Ŷ = 61 + 0,134⋅x] 2. 100 aktív háztartás adatai alapján

vizsgálták az egyik fogyasztási csoport egy főre jutó évi kiadása (Y) és az eltartott gyermekek száma (X) közötti összefüggést 1990-ben. A vizsgálat néhány részeredménye a következő: Σ(d x )2 = 10 Y = 23 000 Σd x d y = -15.000 X = 1,2 Feladat: A regressziófüggvény információi alapján jellemezze az egy főre jutó kiadás és az eltartott gyermekek száma közötti összefüggést! [Ŷ = 24800 - 1500⋅x] 3. 10 LADA 2107 típusú, személyi tulajdonban lévő gépkocsi 19 évi adatai alapján vizsgáltuk a gépkocsik éves üzemelési költsége és éves kilométer-teljesítménye közötti összefüggést. A gépkocsik megfigyelt adatai Éves üzemelési költsége (eFt) Évi futás (ezer km) (Y) (X) 91 13 123 18 109 16 86 11 129 20 83 12 93 8 72 10 113 15 55 7 Feladat: a) Számítsa ki és értelmezze az előjel-korrelációs együtthatót és a lineáris korrelációs együtthatót! b) Határozza meg és értelmezze a lineáris regressziós függvényt!

36 Megoldás Sor- Ü.k szám (eFt) Y 1. 91 2. 123 3. 109 4. 86 5. 129 6. 83 7. 93 8. 72 9. 113 10. 55 954 Σ Futás (e km) X 13 18 16 11 20 12 8 10 15 7 130 dx i A gépkocsik megfigyelt adatai 0 +5 +3 -2 +7 -1 -5 -3 +2 -6 dy i dx i dy i (dx i )2 (dy i )2 xiyi (x i )2 - 4,4 +27,6 +13,6 - 9,4 +33,6 -12,4 - 2,4 -23,4 +17,6 -40,4 0,0 138,0 40,8 18,8 235,2 12,4 12,0 70,2 35,2 242,4 805,0 0 25 9 4 49 1 25 9 4 36 162 19,36 761,76 184,96 88,36 1128,96 153,76 5,76 547,56 309,76 1632,16 4832,40 1183 2214 1744 946 2580 996 744 720 1695 385 13207 169 324 256 121 400 144 64 100 225 49 1852 y = 95,4 u − v 9,5 − 0,5 = 0,9 = 10 u+v ∑ dxdy 805 805 r= = = = 0,9148 n ⋅ σ x ⋅ σ y 10 ⋅ 4 ⋅ 22 880 c= x = 13 σ x = 4,02 ≈ 4 σ y = 22 u = 9 + 0,5 v = 0 + 0,5 r= ∑ dxdy ∑(dx ) 2 ⋅ ∑(dy) 2 = 805 162 ⋅ 4832,4 r 2 = 0,8277 vagy Σy i = n ⋅ b 0 + Σx i ⋅ b 1 Σx i y i = Σx i ⋅ b 0 + Σ( x i ) 2 ⋅ b1 b1 = Σdxdy Σ(dx ) 2 b0 = y b1 = 805 = 4,97

162 x = 95,4 4,97 13 = 30,8 Ŷ = 30,8 + 4,97x Értelmezés: A megfigyelt gépkocsikra vonatkozóan szoros, pozitív irányú kapcsolat van az éves teljesítmény és az éves üzemelési költség között: ha nő a megtett kilométerek száma, nő az üzemelési költség. Az éves üzemelési költség 0 km teljesítmény esetén átlagosan 30800 Ft Minden 1 000 km megtett út átlagosan 4970 forinttal növeli az éves üzemelési költséget. A megtett út 82,8%-ban határozza meg az éves üzemeltetési költség varianciáját. 37 = 805 = 0,9098 884,8 4. 100 felnőttkorú esetében vizsgálták az életkor (X, év) és a vér koleszterin-koncentrációjának (Y, gramm/liter) összefüggését A számítások részeredményei a következők: X = 40 Y = 2,0 σ x = 15 Σd x d y = 450 σ y = 0,5 Feladat: a) Számítsa ki és értelmezze a lineáris korrelációs együtthatót és a determinációs együtthatót! [r = 0,6; r2 = 0,36] b) Határozza meg a lineáris

regressziófüggvényt! [Ŷ= 1,2 + 0,02⋅x] 5. 10 lakás adatai alapján vizsgálták a lakás alapterülete, (m2) és a vízfelhasználás (m3) közötti összefüggést. A lakások adatai Sorszám Alapterület, m2 Vízfelhasználás, m3 1. 38 2 2. 38 1 3. 51 3 4. 51 4 5. 55 4 6. 55 3 7. 55 5 8. 73 7 9. 79 5 10. 105 6 600 40 ∑ Feladat: a) Határozza meg és értékelje a korrelációs kapcsolatot a lakások alapterülete és a vízfelhasználása között! b) Határozza meg és értelmezze a változók közti lineáris kapcsolatot leíró függvény paramétereit! [r = 0,795; Ŷ = -0,2 + 0,07⋅x] 6. 10 cég eladási forgalmának és reklámkiadásainak alakulása: Cégek sorszáma Eladási forgalom Reklámkiadás (millió Ft) (millió Ft) 1. 1 300 18 2. 1 500 19 3. 1 400 21 4. 1 800 23 5. 2 000 25 6. 2 100 27 7. 2 500 30 8. 2 400 43 9. 2 800 39 10. 3 200 44 Feladat: a) Határozza meg és értékelje a korrelációs kapcsolatot a forgalom és a reklámkiadás összege között! b)

Határozza meg és értelmezze a változók közti lineáris kapcsolatot leíró függvény paramétereit! [c = 0,9; r = 0,916; Ŷ = -0,4 +0,014⋅x] 38 7. Egy gépíróversenyen 20 fő vett részt; meghatározott idő alatti teljesítményükről az alábbi adatok ismertek: A versenyző sorszáma A leírt szavak száma Hibák száma (X) (Y) 1. 22 2 2. 35 9 3. 45 14 4. 46 5 5. 47 9 6. 52 13 7. 55 0 8. 55 5 9. 58 14 10. 61 12 11. 63 3 12. 65 14 13. 66 0 14. 68 8 15. 69 2 16. 71 2 17. 72 2 18. 75 12 19. 84 0 20. 91 14 Feladat: Vizsgálja meg a korrelációs kapcsolatot a leírt szavak száma és a hibák száma között az ismert mutatószámokkal! Értékelje a kapott eredményt! [c = -0,1; r = -0,013] Számítsa ki és értelmezze a determinációs együtthatót! [0,000169] 8. 15 gazdaságban a kukorica termésátlaga és a művelésre fordított idő : Sorszám Termésátlag Munkaidő (tonna/ha) (óra/ha) 1. 6,1 67 2. 6,7 76 3. 7,4 83 4. 7,6 81 5. 7,7 88 6. 8,1 88 7. 8,5 86 8.

9,0 90 9. 9,4 94 10. 9,8 91 11. 10,2 90 12. 10,5 93 13. 11,4 94 14. 11,8 89 15. 12,3 95 a) Határozza meg és értelmezze a kukorica termésátlaga és a művelésre fordított idő közötti korrelációs kapcsolat irányát és erősségét! [c = 0,6; r = 0,814] b) Írja fel a regresszióegyenes egyenletét és értelmezze a paramétereket! [Ŷ= -8,3 + 0,2⋅x] 39 9. A hazai piacon kapható személygépkocsik közül 8 féle típust két tulajdonság szerint rangsoroltak. Az értékelés eredményei: Tulajdonság Rangszámok A B 12345678 21364587 Feladat: Határozza meg és értelmezze a rangkorreláció mutatószámát! [ρ = 0,881] 10. 12 vállalat gazdálkodásának hatékonyságát kétféle módszerrel rangsorolták Rangszámok az Vállalat 1. 2. módszer szerint A 3 4 B 6 5 C 1 3 D 7 7 E 2 1 F 4 2 G 8 9 H 9 12 I 10 8 J 12 10 K 11 11 L 5 6 Feladat: Számítsa ki és értékelje a rangkorrelációs együtthatót! [ρ = 0,825] Tankönyv: II. kötet 95 (1a; 3; 4a; 5a; 6a; )

40 Az idősorok elemzése 1. Ismert egy vállalat dolgozóinak átlagos statisztikai állományi létszáma 10 évre: Év Létszám (fő) 1981 1800 1982 1720 1983 1620 1984 1560 1985 1500 1986 1430 1987 1380 1988 1340 1989 1280 1990 1242 Összesen 14682 Feladat: Milyen egyenlettel közelíthető a létszám alakulása az idő függvényében, ha lineárisnak tételezzük fel a létszám időbeli változását? (t=1,2,n) [Y t = 1821,7 – 61⋅t] 2. A tehergépkocsik, dömperek és különleges célú gépkocsik állományának alakulása Magyarországon: Év elején Állomány (ezer darab) 1980 124 1981 130 1982 133 1983 145 1984 158 1985 167 1986 179 1987 192 1988 196 1989 208 1990 224 1991 228 1992 229 1993 238 Feladat: a) Ábrázolja az idősort! b) Számítson mozgó átlagolású trend-adatokat! c) Határozza meg a lineáris trendfüggvényt! d) Készítsen előrejelzést az 1994. és az 1995 évekre! e) Értelmezze a kiszámított eredményeket! 41 Megoldás A

tehergépkocsik, dömperek és különleges célú gépkocsik állományának alakulása Magyarországon (1980-1993) Év y x t yt t2 1980 1981 124 130 1 2 -13 -11 -1612 -1430 169 121 1982 133 3 -9 -1197 81 136 1983 145 4 -7 -1015 49 145 1984 158 5 -5 -790 25 157 1985 167 6 -3 -501 9 168 1986 179 7 -1 -179 1 179 1987 192 8 +1 +192 1 189 1988 196 9 +3 +588 9 199 1989 208 10 +5 +1040 25 209 1990 224 11 +7 +1568 49 220 1991 228 12 +9 +2052 81 227 1992 229 13 +11 +2519 121 232 1993 238 14=n +13 +3094 169 - ∑ 2551 0 +4329 910 y t = a + b( t ) Σy 2551 a= = = 182,2 n 14 Σty 4329 b= = = 4,76 910 Σt 2 b′ = 9,5 d= 3 tagú mozgó átlagolás 129 4 tagú mozgó 4 tagú mozgó átlagok átlagolás 133 141 151 162 174 183 194 205 214 222 230 - - 137 146 156 168 178 188 199 209 218 226 - y n y1 238 124 = 8,769 = 13 n 1 y n 13 228 l=n 1 = = 1,0558 5,6% y1 124 y t = 182,2 + [4,76 (

15)] = 110,8 y x = 110,8 + 9,5 x y1994 = 110,8 + 9,5 15 = 253,3 y1995 = 110,8 + 9,5 16 = 262,8 Értelmezés: A tehergépkocsik, dömperek és különleges célú gépkocsik állománya Magyarországon az alapirányzatot figyelembe véve 1979-ben 110 800 db volt; a vizsgált időszakban évente átlagosan 9 500 darabbal nő a gépkocsiállomány. 42 3. Az 1980-1993 évek lakásépítési adatai: Év Épített lakások száma (ezer db) 1980 90 1981 77 1982 76 1983 75 1984 71 1985 72 1986 69 1987 57 1988 51 1989 51 1990 44 1991 33 1992 26 1993 21 Feladat: a) Számítson mozgó átlagolású trend-adatokat! b) Határozza meg a lineáris trendfüggvényt! (t=1,2,n) [Y t = 94,9 – 4,9⋅t] 4. A magyarországi cipőgyárak 1985 és 1994 közötti termelési adatai (millió pár): Évek Termelés 1985 45,2 1986 42,3 1987 39,4 1988 35,7 1989 29,5 1990 24,3 1991 18,7 1992 14,0 1993 11,8 1994 11,6 Feladat: a) Illesszen lineáris trendet az idősorra és értelmezze a paramétereket!

(t=1,2.,n) b) Becsülje meg az 1995. évi cipőgyártás mennyiségét! c) Jellemezze a cipőgyártást az évi átlagos változásával! [Y t = 73,9 – 4,24⋅t; Y 1995 = 27,26 millió pár; átlagos évi abszolút változás –3,73 millió pár; átlagos évi 145-os csökkenés.] 43 5. A személygépkocsik száma 1986 és 1995 között Magyarországon (ezer db) Év Autók száma 1986 1538,9 1987 1660,3 1988 1789,6 1989 1732,4 1990 1944,6 1991 2015,5 1992 2058,3 1993 2091,6 1994 2176,9 1995 2245,0 Feladat: Becsülje meg és értelmezze a lineáris trend paramétereit! (t=1,2,n) [Y t = 1159 + 139,32⋅t] 6. Egy TV-műsorhoz érkezett hallgatói telefonok számának alakulása (ezer db): Év Telefonok száma 1976 6,1 1977 5,2 1978 6,7 1979 6,5 1980 8,2 1981 7,0 1982 7,0 1983 5,7 1984 7,0 1985 7,6 1986 6,9 1987 7,9 1988 8,6 1989 9,1 1990 10,3 1991 10,0 1992 9,4 1993 10,4 1994 10,4 1995 9,4 Feladat: Határozza meg és értelmezze a lineáris trend paramétereit! (t=1,2,n) [Y t =

5,41 + 0,24⋅t] 44 7. A mozilátogatók száma Magyarországon 1985-1995 (millió fő): Év Mozilátogatók száma 1985 70,2 1986 67,2 1987 55,8 1988 50,7 1989 46,5 1990 36,2 1991 21,7 1992 15,2 1993 14,8 1994 15,9 1995 14,0 a) Határozza meg és értelmezze a lineáris trend paramétereit! (t=1,2,,n) b) Számítsa ki az éves átlagos mozilátogatók változásának abszolút és relatív nagyságát! [Y t = 75,5 – 6,4⋅t; éves átlagos változás –5,6 millió fő; 14,9%-os csökkenés.] 8. Valamely város lakosságának alakulása (év eleji adatok, ezer fő): Év Lakosság 1987 17 1988 19 1989 20 1990 22 1991 24 1992 25 1993 28 1994 31 1995 33 a) Határozza meg a lineáris trend egyenletét és értelmezze a paramétereket! (t=1,2,.,n) b) Jellemezze a lakosság évi átlagos növekedését! c) Becsülje meg az 1998. elejére várható népességszámot! [Y t = 14,4+2⋅t; éves átlagos növekedés 1780 fő; 8,6%-os növekedés; Y 1998 =38,4 ezer fő.] 9. Egy

vállalatnál az évi átlagos statisztikai állományi létszám (főben) 1988 és 1999 között az alábbiak szerint alakult: Év Létszám 1988 990 1989 1110 1990 1115 1991 1010 1992 910 1993 1055 1994 1026 1995 935 1996 875 1997 986 1998 1015 1999 883 Feladat: Határozza meg (lineáris trenddel) a létszámalakulás alapirányzatát! Készítsen előrejelzést 2000-re! [Y t = 1073,5 – 12,5⋅t; Y 2000 = 911 fő.] 45 10. A hazai földgáztermelés október havi átlagos mennyiségei 1992 és 2001 közötti időszakra vonatkozóan (millió m3): Év Földgáztermelés 1992 610 1993 554 1994 490 1995 374 1996 315 1997 343 1998 267 1999 210 2000 210 Feladat: a) Határozza meg a lineáris trendegyenletet! b) Értelmezze a trendegyenlet paramétereit! [Y t = 633,8 – 103,6⋅t] Tankönyv II. 115 (1; 2; 3; 6 b, c) 46