Mathematics | Mathematical analysis » Analízis tételek, 2002

Analízis tételek - 2002 1. Definiálja a logikai alapműveleteket: a konjunkciót, a diszjunkciót és a negációt! Konjunkció: ez a logikai modellje annak, amikor két kijelentést „és” kötőszóval kapcsolunk össze. Jele: ∧ A koniunkció igazságtáblázata a következő: A B A∧B 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 Mivel mind A, mind B kijelentésnek kétféle logikai értéke lehet, ezért tartalmaz a táblázat 2*2 = 4 sort A konjunkció tehát két kijelentés igazságértékeihez csak akkor rendeli az igaz értéket, ha a két komponens logikai értéke egyszerre igaz. Minden más esetben hamis értéket kapunk Diszjunkció: hétköznapi nyelvben használatos ”vagy” kötőszó logikai modellje. Jele: ∨ A diszjunkció igazságtáblázata a következő: A B A∨B 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 A diszjunkció tehát két kijelentés igazságértékeihez csak akkor rendeli a hamis értéket, ha a két komponens logikai értéke egyszerre hamis. Minden más esetben igaz értéket

kapunk A diszjunkciót szokás „megengedő vagy” néven is említeni. Negáció: tagadás Jele: ¬ A negáció igazságtáblája a következő: A Ā 0 1 1 0 A táblázat magáért beszél. Az „A" kijelentés igazságértékeit az ellenkezőjére változtatja a negáció művelete. 2. Definiálja az implikáció és az ekvivalencia fogalmát! Implikáció: a „ha., akkor" kötőszavakkal kifejezett állítások modellje Jele: ⇒ Az implikáció igazságtáblázata a következő: A B A⇒B 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 Szokás az implikációban (lásd a táblázat) az A kijelentést előtagnak, a B kijelentést utótagnak nevezni. Eszerint az implikáció csak akkor hamis, ha az előtag igaz és az utótag hamis Minden más esetben igaz értéket ad az implikáció. Ekvivalencia: az „.akkor és csak akkor, ha” nyelvi kifejezés logikai modellje Jele: ⇔ Igazságtáblázata a következő: A 0 0 1 1 B 0 1 0 1 A⇔B 1 0 0 1 Az ekvivalencia két kijelentést, akkor

értékel igazra, ha a komponesek logikai értéke megegyezik, más esetben hamis értéket ad. 3. Mit értünk két halmaz metszetén unióján és különbségén? Mi a komplementer halmaz? Az A és B halmaz metszete vagy közös része az a halmaz, amelynek elemei azon H halmazbeli elemek, amelyek elemei A és B halmaznak is. Jele: A∩B Definíció formalizálva: A∩B={x∈H  x∈A ∧ x∈B} Az A és B halmaz uniója vagy egyesítése az a halmaz, amelynek elemei azon H halmazbeli elemek, amelyek elemei A vagy B halmaznak. Jele: A∪B Definíció formalizálva: A∪B={x∈H  x∈A ∨ x∈B} Az A és B halmaz különbsége az a halmaz. Amelynek elemei azon H halmazbeli elemek, amelyek elemei A halmaznak, de B-nek nem. Jele: AB Definíció formalizálva: AB={x∈H  x∈A ∧ x∉B} Az A halmaz komplementer vagy kiegészítő halmaza H halmazra vonatkoztatva az a halmaz, amelynek elemei azon H halmazbeli elemek, amelyek nem elemei A halmaznak. Jele: Ā Definíció

formalizálva: Ā ={x∈H  x∉A} 4. Sorolja fel a Boole-algebrai alapazonosságokat! A∨∧∈∩∪Ā={} Tankönyv szerint: Kommutativitás: 1. A∨B = B∨A 2. A∧B = B∧A Asszociativitás: 3. (A∨B) ∨C = A∨(B∨C) 4. (A∧ B)∧C = A∧(B∧C) Disztributivitás: 5. (A∨B)∧C = (A∧C) ∨(B∧C) 6. (A∧B)∨C = (A∨C) ∧(B∨C) Tautológia (idempotencia): 7. A∨A = A 8. A∧A = A 9. 0∨A = A 10. 1∧A = A 11. 1∨A = A 12. 0∧A = A 13. A∨Ā = 1 14. Ā∧A = 0 Érthetően: 1. tautológia (idempotencia): önmagával azonos 2. Kommutativitás: felcserélhető 3. Asszociativitás: átzárójelezhető 4. Disztributivitás: 5. Komplementer: 6. Speciális műveletek halmazokkal: 7. Levezethető azonosságok (deMorgan): A+A=A; A*A=A A+B=B+A; A*B=BA A+(B+C)=(A+B)+C=A+B+C A*(B+C)=AB+AC; A+ Ā=H; A* Ā=0 A+H=H; A*0=0; A+0=A; AH=A A+B=A*B; A*B= A+B 5. Mit értünk Boole-algebra alatt? Ítéletek halmazán illetve a H halmaz részhalmazainak halmazán

értelmezhető 3 művelet (konjunkció, diszjunkció, negáció ill. közös rész, egyesítés, komplementerképzés) és létezik 2 kitüntetett elem(0 és 1, ill. üres halmaz és H) és ezek a 14 azonosságnak eleget tesznek Az ilyen halmazokat a műveletekkel együtt Boole-algebrának nevezzük. 6. Sorolja fel a valós számok axiómáit! a) Rendezési axiómák 1. minden a,b∈R számokra a>b, a=b, a<b relációk közül pontosan egy érvényes 2. minden a,b,c∈R számokra, ha a>b és b>c, akkor ebből következik: a>c (tranzititivás) 3. minden a,b,c∈R számokra; ha a>b ebből következik: a+c>b+c 4. minden a,b,c∈R számokra; ha a>b, c>0 ebből következik: ac>bc és c<0 akkor ac<bc b) Korlátosság A számegyenes számainak valamely V halmazát felülről (ill. alulról) korlátosnak nevezzük, ha létezik olyan K (ill. k) valós szám, hogy minden x∈V esetén az x≤K (ill. x≥k) egyenlőtlenség teljesül A K (ill k) számot V

halmaz egy felső (ill alsó) korlátjának nevezzük. c) A felső és alsó határ axiómája Ha a V felülről (alulról) korlátos számhalmaz, akkor létezik olyan H (h) valós szám, hogy: 1. minden x∈V esetén x≤H; (x≥h); 2. ha a K (k) szám a V halmaz felső (alsó) korlátja, akkor H≤K (k≤h) 7. Mikor mondjuk, hogy egy halmaz alulról (vagy felülről) korlátos, illetve korlátos? A⊂R halmaz (vagyis számhalmaz) felülről korlátos, ha létezik olyan k valós szám, hogy minden a∈A esetén a≤k. A k-t az A halmaz felső korlátjának nevezzük Az A számhalmaz alulról korlátos, ha létezik olyan h valós szám, hogy minden a∈A esetén a≥h. A h-t az A halmaz alsó korlátjának nevezzük Ha egy halmaz alulról is felülről is korlátos, röviden korlátosnak mondjuk. 8. Mit nevezünk függvénynek, mi az értelmezési tartomány, értékkészlet, grafikon? Legyen X és Y tetszőleges nem üres halmazok. Ha az X halmaz minden eleméhez az Y halmaz egy

és csak egy elemét rendeljük (egyértelmű hozzárendelés), akkor az X halmazon egy függvényt definiálunk. Értelmezési tartomány: a kiindulási halmaz (X halmaz) jele: D f Értékkészlet: az Y halmaz azon elemeinek halmaza, melyeket hozzárendeltünk X valamely eleméhez. Jele: R f 9. Mikor mondjuk hogy egy függvény korlátos illetve monoton? Korlátosság - Az f∈RR függvényt alulról korlátosnak nevezzük, ha van olyan k∈R, hogy bármely x∈D f esetén k≤f(x). - Az f∈RR függvényt felülről korlátosnak nevezzük, ha van olyan k∈R, hogy bármely x∈D f esetén f(x)≤k. Ha az f függvény alulról és felülről is korlátos, akkor korlátosnak nevezzük. Monotonitás Az f∈RR függvényt az X⊂ D f halmazon monoton növekvőnek nevezzük, ha bármely x 1 , x 2 ∈X, x 1 < x 2 esetén f(x 1 ) ≤f(x 2 ) is teljesül. Az f∈RR függvényt az X⊂ D f halmazon monoton csökkenőnek nevezzük, ha bármely x 1 , x 2 ∈X, x 1 < x 2 esetén f(x 1 )≥

(x 2 ) is teljesül. 10. Mit értünk páros, illetve páratlan függvény alatt? Az f∈RR függvényt páros függvénynek nevezzük, ha minden x∈D f esetén -x∈D f és f(-x) =f(x) is teljesül. Az f∈RR függvényt páratlan függvénynek nevezzük, ha minden x∈D f esetén -x∈ D f és f(-x) = -f(x) is teljesül. 11. Definiálja a lokális- és az abszolút szélső értékhely fogalmát egyváltozós valós függvény esetén! Legyen f tetszőleges függvény, és H része f értelmezési tartományának. Azt mondjuk, hogy a∈H az f-nek H ra nézve (szigorú) abszolút maximumhelye (minimumhelye), ha minden x∈H (x≠a) esetén f(x)<f(a) (f(x)>f(a)). Ha az egyenlőséget megengedjük, akkor tágabb értelemben vett abszolút maximumhelyről (minimumhelyről) beszélünk. A maximumhely és minimumhely közös neve szélsőértékhely Ha mást nem mondunk, H alatt az értelmezési tartományt értjük. Az a∈ D f az f függvénynek lokális maximumhelye

(minimumhelye), ha a-nak van olyan K környezete, hogy f-nek az a a K∩ D f halmazra nézve abszolút maximumhelye (minimumhelye). 13. Mit nevezünk összetett illetve inverz függvénynek? Az f és g függvény összetételén azt a fog szimbólummal jelölt függvényt értjük, amelynek értelmezési tartománya D g minden olyan x pontja, ahol g(x) ∈ D f és fog(x)=f(g(x)). Az f a külső és g a belső függvény. 14. Definiálja a sorozat fogalmát! Mikor mondjuk, hogy egy sorozat korlátos, illetve monoton? Sorozat: olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza, azaz N+. Jele: a n (Számsorozat: a függvényértékek valós számok) Az (a n ) sorozatot szigorúan monoton növekvő sorozatnak nevezzük, ha minden n∈ N esetén teljesül, hogy a n < a n+1 pl.: a n =n/n+1 Az (a n )sorozatot monoton növekvő sorozatnak nevezzük, ha minden n∈ N esetén teljesül, hogy a n ≤ a n+1 pl.: a 1 =0; a 2 =0; Az (a n ) sorozatot

szigorúan monoton csökkenő sorozatnak nevezzük, ha minden n∈N esetén teljesül, hogy a n > a n+1 pl.: a n =1/n Az (a n ) sorozatot monoton csökkenő sorozatnak nevezzük, ha minden n∈N esetén teljesül, hogy a n ≥ a n+1 pl.: a 1 =2; a 2 =2; Az (a n ) sorozatot tágabb értetemben vett (egy megadott indextől kezdve) szigorúan monoton növekvő sorozatnak nevezzük, ha létezik olyan m∈R küszöbszám, hogy minden n>m, n∈N esetén teljesül, hogy a n < a n+1 , Az (a n ) sorozatot tágabb értelemben vett (egy megadott indextől kezdve) monoton növekvő sorozatnak nevezzük, ha létezik olyan m∈R küszöbszám, hogy minden n>m, n∈N esetén teljesül, hogy a n ≤a n+1 Az (a n ) sorozatot tágabb értelemben vett (egy megadott indextől kezdve) szigorúan monoton csökkenő sorozatnak nevezzük, ha létezik olyan m∈R küszöbszám, hogy minden n>m, n∈N esetén teljesül, hogy a n > a n+1 . Az (a n ) sorozatot tágabb értelemben vett (egy

megadott indextől kezdve) monoton csökkenő sorozatnak nevezzük, ha létezik olyan m∈R küszöbszám, hogy minden n>m, n∈N esetén teljesül, hogy a n ≥ a n+1 Az (a n ) sorozatot alulról korlátos sorozatnak nevezzük, ha létezik olyan m∈R, hogy minden n∈N esetén a n >m. Az m számot a sorozat alsó korlátjának nevezzük Pl: a n =n/n+1 Az alulról korlátos sorozat legnagyobb alsó korlátját alsó határnak nevezzük. Az (a n ) sorozatot felülről korlátos sorozatnak nevezzük, ha létezik olyan M∈R, hogy minden n∈N esetén a n <M. Az M számot a sorozat felső korlátjának nevezzük A felülről korlátos sorozat legkisebb felső korlátját felső határnak nevezzük. Az (a") sorozatot korlátos sorozatnak nevezzük, ha van alsó és felső korlátja is, azaz létezik olyan m, M∈R, hogy minden n∈N esetén m≤a n ≤M teljesül. 15. Mikor mondjuk, hogy egy sorozat határértéke a A valós szám? Azt mondjuk, hogy valamely (a n )

számsorozat határértéke az A valós szám, ha fennáll a következő: minden egyes ε>0 számhoz létezik olyan n 0 ∈ N+, hogy bármely n∈N+, n>n 0 esetén teljesül az /a n -A/<ε egyenlőtlenség. 16. Mikor mondjuk hogy egy sorozat ∞-be illetve - ∞-be tart? 17. Milyen kapcsolat van a sorozatok konvergenciája és korlátossága között? Fogalmazza meg és bizonyítsa be a megfelelő tételt! Megfordítható-e ez a tétel? TÉTEL: Minden konvergens sorozat korlátos. Bizonyítás: Legyen lim a n = A. Vegyük az A-nak pl az 1 sugarú környezetét A sorozat tagjainak halmaza 2 részre bontható: B 1 =  a n / a n ∈ ]A-1,A+1[; B 2 =  a n / a n ∉ ]A-1,A+1[ A B 2 halmaz véges vagy üres, így korlátos. A B 1 halmaz a definíciója alapján korlátos Ezért korlátos a B 1 ∪ B 2 halmaz, vagyis a sorozat elemeinek halmaza is. A tétel nem fordítható meg, azaz ha egy sorozat korlátos, abból még nem következik, hogy konvergens. 18. Milyen

kapcsolat van a sorozatok monotonitása, korlátossága és konvergenciája között? Fogalmazza meg a megfelelő tételeket! Megfordíthatók-e ezek az állítások? 19. Bizonyítsa be: ha egy sorozat monoton és korlátos, akkor konvergens! TÉTEL: Minden tágabb értelemben monoton korlátos sorozat konvergens. Bizonyítás: (Monoton növekvőre bizonyítjuk be) Legyen (a n ) monoton növekvő sorozat, és jelöljük A-val a sorozat tagjai halmazának felső határát. A felső határ értelmezéséből (a legkisebb felső korlát) következik, hogy tetszőleges ε>0 esetén az A - ε már nem lehet felső korlát, így a sorozatnak van olyan a no tagja, amelyre A-ε < a no A sorozat monoton növekvő, tehát ha n > n o , akkor A-ε < a no ≤ a n ≤ A, s ebből következik, hogy /a n –A/ <ε, n> n 0 vagyis a sorozat konvergens, és lim a n = A. A bizonyításból azonnal látszik, hogy monoton korlátos sorozat a megfelelő határához konvergál. Ebben az

esetben az egyik határ azonos a határértékkel Az utóbbi tételt úgy is megfogalmazhatjuk, hogy korlátos sorozatok esetén a konvergencia elégséges feltétele a monotonitás. A feltétel azonban nem szükséges, van olyan konvergens sorozat, amely nem monoton. 20. Fogalmazza meg és bizonyítsa be a „rendőr-elvet”! TÉTEL: Legyen (a n ), (b n ) és (c n )olyan számsorozat, amelyre (a n ) ≤ (c n ) ≤ (b n ), és tegyük fel, hogy az (a n ), (b n ) sorozat konvergens és ugyanaz a határértékük: lima n =limb n = A . Ekkor a (c n ) sorozat is konvergens és limc n =A. Bizonyítás: A tetszőlegesen választott ε > 0 számhoz található olyan n 1 ∈ N+ , illetve n 2 ∈ N+ küszöbindex, hogy /a n –A/ <ε, ha n> n 1, /b n –A/ <ε, ha n> n 2 Legyen n 0 a nagyobbik az n 1 , és n 2 közül. Ekkor bármely n > n 0 pozitív egész számra fennáll mind a két egyenlőtlenség, vagyis a n , b n is benne van az A szám ε sugarú környezetében.

Mivel an ≤ cn ≤ bn, azért n > n 0 esetén c n is benne van az A szám ε sugarú környezetében, vagyis /c n –A/ <ε, Ez pedig azt jelenti, hogy limc n = A 21. Mit tud a (qn) sorozat konvergenciájáról? (NAPPALIN: bizonyítással!) TÉTEL: Legyen q∈R akkor lim qn = +∞ ha q>1, 1 ha q=1, 0 ha –1<q<1 tágabb ért-ben sincs hat.érték ha g ≤-1 22. Bizonyítsa be, hogy az (1 +1/n) sorozat konvergens! Legyen x 1 = x 2 == x n = 1+1/n és x n+1 =1 n+1 azaz √(1+1/n)n < x 1 + x 2 ++ x n + x n+1 /n+1 =n+2/n+1=1+1/n+1 n+1 √(1+1/n)n < 1+1/n+1 (n+1)-edik hatványra emelve (1+1/n)n < (1+1/n+1)n+1 bármely n∈ N+ esetén, tehát az a n =(1+1/n)n általános tagú sorozat monoton növekvő. A c n =(1-1/n)n sorozat is monoton növekvő: n+1 √(1-1/n)n = n+1√(1-1/n)*.*( 1-1/n)1< (1-1/n)+.+(1-1/n)+1/n+1= 1-1/n-1 mindkét oldalt (n+1)-edik hatványra emelve: c n =(1-1/n)n < (1-1/n+1)n+1 = c n+1 A b n =(1+1/n)n+1 általános tagú sorozat: n+1 b n

=(1+1/n)n+1=(n+1/n)n+1 =1/(n/n+1)= 1/ (n+1-1/n+1)n+1 = 1/(1n+1 1/n+1) =1/c n+1 ebből következik, hogy a (b n ) sorozat monoton csökkenő, a n és b n között szoros kapcsolat van b n =(1+1/n)n+1 = (1+1/n)n *(1+1/n) = a n (1+1/n) > a n Az a n monoton növekedő és a b n sorozat minden tagja felső korlátja. Vagyis bármely n pozitív egész számot rögzítve: 2 = a 1 < a 2 < <a n < b n < b n-1 < b 1 =(1+1)2 = 4 n az (1+1/n) sorozat tehát monoton növekvő és korlátos (felső korlátja b 1 = 4), így konvergens. 23. Ha lim(a n ) = 0 és (b n ) korlátos sorozat, akkor mit tudtutk az (a n b n ) sorozat konvergenciájáról? TÉTEL: Ha lim(a n ) = 0 és (b n ) korlátos sorozat, akkor lim(a n b n )=0 Bizonyítás: A (b n ) sorozat korlátos, ezért létezik olyan K > 0 szám, hogy /b n / < K (n∈N+). Adjuk meg ezután tetszőlegesen az ε > 0 számot, majd osszuk el K-val. Az (a n ) sorozat határértéke 0, ezért az ε/K>0 számhoz létezik

olyan n 0 ∈N+, hogy ha n > n 0 , akkor /a n / < ε/K Ebből következik, hogy minden n > n 0 , esetén /a n b n / = /a n //b n /< ε/K*K=ε Ez azt jelenti, hogy az (a n b n ) sorozat tagjai n 0 -tól kezdve 0-nak ε sugarú környezetében vannak így a sorozat határértéke 0. 24. Mit tud két konvergens sorozat összegéről, szorzatáról és hányadosáról Fogalmazza meg a tételt! TÉTEL: HA az (a n ) és (b n ) sorozatok konvergensek, továbbá lim(a n ) = A és lim(b n ) =B akkor a) a (ca n ) sorozat bármely c∈R esetén, az (a n + b n ) sorozat, az (a n * b n ) sorozat és b n ≠ 0, B ≠ 0 esetén a (a n /b n ) sorozat is konvergens és b) lim(ca n )=cA lim(a n + b n ) = A+B lim(a n * b n ) = AB lim(a n / b n ) = A/B 25. Ha (a n ) és (b n ) konvergens sorozat, akkor mit állíthatunk az (a n + b n ) sorozat konvergenciájáról? Bizonyítsa be a megfelelő tételt! Két konvergens sorozat összege: Azt kell megmutatni, hogy bármely ε > 0 esetén

/(a n + b n )-(A+B)/ < ε A tetszőlegesen választott ε > 0 számhoz található olyan n 1 ∈N+, ill. n 2 ∈N+ küszöbindex, hogy /a n -A/ < ε/2, ha n>n 1 és /b n -B/ < ε/2, ha n>n 2 mivel a n A és b n B Legyen n 0 a nagyobbik n 1 , és n 2 közül. Ekkor bármely n > n 0 pozitív egész számra fennáll mind a két egyenlőtlenség. Összeadjuk a két egyenlőtlenséget: /a n -A/ +/b n -B/ < ε A két szám összegének abszolút értékére vonatkozó /x+y/ ≤ /x/+/y/ tulajdonság alapján /(a n + b n )-(A+B)/ = /(a n -A) + (b n -B)/ ≤ /a n -A/ +/b n -B/ < ε ha a > n 0 . Ez pedig azt jelenti, hogy lim(a n + b n ) = A + B 26. Ha (a n ) és (b n ) konvergens sorozat, akkor mit állíthatunk az (a n b n ) sorozat konvergenciájáról? Bizonyítsa be a megfelelő tételt! Két konvergens sorozat szorzata: Képezzük az (a n b n -AB) sorozatot. Egyszerű számolással kapjuk a következő összefüggést a n b n –AB = a n b n -Ab n + Ab n

–AB = b n (a n -A) +A (b n -B) Kiszámíthatjuk az (a n b n –AB) sorozat határértékét. Mivel lim(a n ) = A és lim(b n ) = B , ezért lim(a n -A) = 0 és lim(b n -B) = 0 . Az egyenlőség jobb oldalának első tagja egy konvergens, tehát korlátos és egy 0-hoz tartó sorozat szorzata, a második tagja egy állandó és egy 0-hoz tartó sorozat szorzata. lim (b n (a n –A))= 0, lim(A(b n - B))= 0 . Két sorozat összegének a határértéke is 0, így lim(a n b n –AB) = 0 Ebből következik, hogy lim(a n b n ) =AB 27 Mit nevezünk végtelen sornak és mikor mondjuk, hogy a végtelen sor összege a A valós szám? Végtelen sor a ∑a i vagy az a 1 +a 2 + a 3 ++a n + szimbólummal jelölt fogalom, ahol az a n -nek valós számok, a n a sor n-edik tagja, (n ∈ N+) s n = ∑ a i = a 1 ++ a n a sor n-edik részletösszege. Definíció: Azt mondjuk, hogy a ∑a n végtelen sor konvergens és összege az A valós szám, ha az (s n ) sorozat határértéke A. Jelölés:

∑a n =A. 28. Mit nevezünk végtelen mértani sornak és ez mikor konvergens? Bizonyítsa be a megfelelő tételt! 29. Mikor mondjuk, hogy egy függvény határértéke az x = a helyen A valós szám? Azt mondjuk, hogy az f függvénynek az a helyen a határértéke az A ∈ R szám, ha minden olyan (x n ) számsorozat esetén, amelyre lim = a (x n ∈ D f a), igaz, hogy lim f (x n ) = A. A határérték jele: lim f (x), lim f (x), vagy lim f (x) a xa x=a 30. Mit értünk egy függvény x = a pontbeli jobb, illetve bal oldali határértékén? Ha minden olyan (x n ) számsorozat esetén, amelyre lim x n = a (x n ∈ D f , x n >a), igaz, hogy lim f (x n ) = A, akkor azt mondjuk, hogy f-nek létezik a jobboldali határértéke és ez A-val egyenlő ( ekkor az x ≤a / x n ∈ D f  halmaz lehet üres is). A jobb oldali határérték jele: lim f (x), lim f (x), vagy lim f (x). a+0 xa+0 x=a+0 Hasonlóan definiálható a lim f (x) = lim f (x) bal oldali határérték

is. a-0 xa-0 31. Mikor mondjuk, hogy egy függvény folytonos az x = a helyen? Definíció: Akkor mondjuk, hogy az f függvény az a pontban folytonos, ha I. értelmezve van a-ban, II. létezik a-ban a határértéke, III. lim f (x) = f (a) (a határérték az a-ban ,megegyezik az a-beli függvényértékkel). 32. Mikor mondjuk hogy egy függvény jobbról, illetve balról folytonos az x = a helyen? Definíció: Az f függvény a-ban balról (jobbról) folytonos, ha I. a∈D f; II. van végleges bal oldali (jobb oldali) határértéke az a helyen; III. f(a) = lim f (x) ( =lim f (x) ). a-0 a+0 33. Mit értünk a függvény tágabb értelemben vett határértékén? (Mikor mondjuk, hogy egy függvénynek az x = a helyen tágabb értelemben vett határértéke: ∞?) A tágabb értelembe vett határérték egy pontban lehet bal oldali vagy jobb oldali határérték, lehet +∞-ben vagy -∞-ben vett határérték és minden tágabb értelembe vett határérték lehet +∞ vagy

-∞. Így 10 féle tágabb értelembe vett határérték létezik Tk79 old Legyen az f függvény a valamely környezetében (kivéve a-t) értelmezve. Akkor mondjuk, hogy f-nek az a helyen a határértéke +∞, ha minden olyan (x n ) sorozat esetén, amelyre limx n = a (x n ∈ D f a), igaz, hogy lim f (x n ) = +∞. Jele: lim f (x) = +∞. a 34. Mikor mondjuk, hogy egy függvénynek a ∞-ben vett határértéke a A valós szám? Legyen f olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya felülről nem korlátos halmaz. Ha minden olyan (x n ) számsorozat esetén, amelyre lim x n = +∞. (x n ∈ D f ), igaz, hogy lim f (x n ) = A akkor azt mondjuk, hogy f-nek létezik határértéke a plusz végtelenben és ez A-val egyenlő. 35. Bizonyítsa be: lim sin x/x =1! 0 36. Definiálja a differencia- és a differenciálhányados fogalmát és adja meg ezek geometriai jelentését! Legyen a az f függvény, értelmezési tartományának egy belső pontja. Azt mondjuk, hogy

az f függvény differenciálható az a pontban, ha d 0 differenciahányados-függvénynek az a pontban létezik véges határértéke. A limd a (x) = lim f(x)-f (a) /x-a a a számot az f függvény a ponthoz tartozó differenciálhányadosának vagy deriváltjának nevezzük. Ha a fenti határérték nem létezik, akkor azt mondjuk, hogy az f függvény az a pontban nem differenciálható. 37. Mikor mondjuk, hogy az f függvény jobbról (illetve balról) differenciálható az „a” pontban? Legyen f a pontban és annak jobb ( bal ) oldali környezetében értelmezve. Azt mondjuk, hogy az f függvény jobbról ( balról ) differenciálható az a pontban, ha a d a differenciahányados függvénynek az a pontban létezik jobb oldali ( bal oldali ) véges határértéke. Az f + ’(a) =lim f(x)-f(a)/ x-a (f - ’(a) =lim f(x)-f(a)/ x-a a+0 a-0 jobb oldali ( bal oldali ) határértéket az f függvény a ponthoz tartozó jobb oldali ( bal oldali ) differenciálhányadosának

nevezzük. 41.Milyen kapcsolat van egy függvény differenciálhatósága és folytonossága között? Fogalmazza meg és bizonyítsa be a tételt! Megfordítható-e az állítás? Ha a az f függvény értelmezési tartományának egy belső pontja és f az a pontban differenciálható, akkor ott folytonos is. Bizonyítása: Minden x∈Df {a} pontban igaz a következő egyenlőség: f(x)-f(a) f(x)=f(a)+  (x-a). x-a Innen a függvénynek a határértékre vonatkozó tétel figyelembevételével kapjuk, hogy f(x)-f(a) lim f(x)=f(a)+ lim  ⋅ lim(x-a). a a x-a a Mivel a feltevés szerint a f(x)-f(a) lim  véges határérték létezik (f’(a)-val jelöljük, így limf(x)=f(a)+f’(a)⋅0=f(a) a x-a a Ez éppen azt jelenti, hogy az f folytonos az a pontban. A differenciálhatóság tehát erősebb megkötés, mint a folytonosság. 42.Fogalmazza meg és bizonyítsa be a szorzat-függvény differenciálási szabályát! Legyen f és g differenciálható a

pontban. Ekkor bármely c∈R esetén cf is differenciálható az a pontban, és (cf)’ (a)=cf’ (a). Az fg is differenciálható az a pontban, és (fg)’(a)=f’(a)g(a)+f(a)g’(a). Bizonyíztása: 43.Fogalmazza meg és bizonyítsa be a hányados-függvény differenciálási szabályát! 1 Legyen f és g differenciálható az a pontban. Ekkor a g(a)≠0 esetében  is differenciálható az a pontban, és g  1 ’ g’(a) f  f ’ f’(a)g(a)-f(a)g’(a) (a)= -  ,  -vel pedig (a)=  . g g2 (a) g  g g2(a) Bizonyítása: 44.Fogalmazza meg és bizonyítsa be az összetett függvény differenciálási szabályát! Legyen a g függvény differenciálható az a pontban, f pedig a g (a) pontban. Ekkor az fοg összetett függvény is differenciálható az a pontban, és (fοg)’(a)=f’(g(a))⋅g’(a). Bizonyítás: Induljunk ki az fοg függvény a ponthoz tartozó különbségihányados-függvényből,

feltéve, hogy annak valamely K⊂Dfog környezetében g(x)≠g(a), ha x≠a. f(g(x))-f(g(a)) da(x)=  , x∈K {a}. x-a Ekkor a t=g(x) és s=g(a) jelölést bevezetve, a különbséghánados-függvény a következő módon írható fel: f(g(x)-f(g(a) f(t)-f(s) t-s f(t)-f(s) g(x)-g(a) da(x)=  =  ⋅  =  ⋅  , x-a t-s x-a t-s x-a x∈K {a}. Mivel a g differenciálható az a pontban, ezért ott folytonos is, és limt = limg(x)=g(a)=s. Így x=a a f(t)-f(s) g(x)-g(a) (fog)’(a)= lim  ⋅ lim  = f’(s)⋅g’(a)=f’[g(a)]⋅g’(a). s 1-s a x-a x u 45.Vezesse le az a , az x és a log ax függvény deriváltját! x xln a xln a x 1.levezetés: (a )’= ( e )’=e ⋅ ln a =a ln a. α αln a αln a α a α α-1 2.levezetés: (x )’=( e )’=e ⋅  =x ⋅  = α⋅ x , x∈R. x x  ln x  1 1 3.levezetés: (log ax)’= =  ⋅  (x∈R+)  ln a  ln a x 46.Fogalmazza meg

és bizonyítsa be az összeg-függvény differenciálási szabályait! Legyen f és g differenciálható az a pontban. Ekkor f+g is differenciálható az a pontban, és (f+g)’(a)=f’(a)+g’(a). Bizonyítás: 47.Definiálja a második derivált fogalmát! Legyen az f függvény valamely halmazon differenciálható, és deriváltfüggvénye legyen f’. H az f’ függvény egy A⊂Df halmazon differenciálható, akkor f’ deriváltfüggvényét az f függvény második deriváltfüggvényének 2 d f(x) (vagy röviden második deriváltjának) nevezzük és f”-vel jelöljük. Szokásos még a  s 2 dx jelölés is. 48.Mi a lokális szélsőérték létezésének szükséges feltétele egyváltozós függvény esetén?(Bizonyítással) 49.Fogalmazza meg a középértéktételeket! 1.tétel: Ha a) a Df-nek az a belső pontja, b) f az a pontban differenciálható, c) a az f-nek szélsőértékhelye akkor f’(a)=0. 2.tétel: Ha f a) az]a,b[-ban differenciálható, b) [a,b]-ban

folytonos, c) f(a)=f(b) akkor van olyan x0∈]a,b[ ahol f’(x0)=0. (Rolle tétele) 3.tétel: Ha f a) ]a,b[-ban differenciálható, b) [a,b]-ban folytonos, akkor van olyan x0∈]a,b[, ahol f(b)-f(a) f’(x0)=  . (Lagrange tétele) b-a 50.Csak nappalin! 51.Milyen kapcsolat van egy függvény [a,b] intervallumbeli monotonitása és deriváltja között? Fogalmazza meg a tételt! Legyen f differenciálható az ]a,b[ intervallumon. a) Ha f monoton növekedő(csökkenő) az]a,b[intervallumon, akkor f’(x)≥0 (f’(x)≤0) x∈]a,b[ b) Ha f’(x)≥0 (f’(x)≤0), az ]a,b[intervallumon és az ]a,b[-nek nincs olyan részintervalluma, ahol f’(x)=0, akkor f szigorúan monoton növekedő (csökkenő) ]a,b[-ben. c) Ha f’(x)=0 az]a,b[-ben, akkor ott f állandó. 52.Ismertese a lokális szélsőértékhely létezésének szükséges és elégséges feltételeit egyváltozós függvény esetén! 53.Bizonyítsa be a lokális szélsőértékhely létezésének elégséges

feltételeit! 54.Mikor mondjuk, hogy egy függvény konvex, illetve konkáv? Legyen f differenciálható az ]a,b[intervallumon. Ha x0∈]a,b[ esetén f(x)>f(x0)+f’(x0)(x-x0), (x0≠x∈]a,b[ ) illetve f(x)<f(x0)+f’(x0)(x-x0), (x0≠x∈]a,b[ ), vagyis az f az ]a,b[intervallumon mindig az érintője felett van, illetve mindig az érintője alatt van (kivéve az érintési pontot), akkor azt mondjuk, hogy az f az ]a,b[intervallumon(szigorúan)konvex, illetve konkáv. Ha az egyenlőséget is megengedjük, akkor azt mondjuk, hogy f tágabb értelemben konvex, illetve konkáv. 55.Fogalmazza meg az első derivált és a konvexitás (illetve konkávitás) kapcsolatát kifejező tételt! Ua. mint az 54-es kérdés! 56.Hogyan szól a második derivált és a konvexitás (illetve konkávitás) kapcsolatáról szóló tétel! Legyen f függvény az értelmezési tartományának valamely I intervallumán kétszer differenciálható. Az f függvény az I intervallumon pontosan akkor

(szigorúan) konvex, illetve konkáv, ha minden x∈I pontban f”(x)≥0, illetve f” (x)≤0, de I-nek nincs olyan részintervalluma, amelynek tetszőleges x elemére f” (x)=0. 57.Mit nevezünk inflexiós pontnak? Fogalmazza meg az inflexiós pont létezésének szükséges feltételét! Az f függvény értelmezési tartományának azt a pontját, amelynek van olyan baloldali környezete, ahol a függvény konvex (konkáv) és van olyan jobboldali környezete, ahol a függvény konkáv (konvex), az f függvény inflexiós pontjának nevezzük. Az (a,f(a)) pont pedig a függvény grafikonjának az inflexiós pontja. Az inflexiós pont létezésének szükséges feltétele: Ha f az a helyen kétszer differenciálható függvény, és f-nek az a helyen inflexiós pontja van, akkor f”(a)=0. 58.Ismertesse az inflexiós pont létezésének szükséges és elégséges feltételeit! Az inflexiós pont létezésének szükséges feltétele: Ha f az a helyen kétszer differenciálható

függvény, és f-nek az a helyen inflexiós pontja van, akkor f”(a)=0. Az inflexiós pont létezésének elégséges feltétele: Legyen az f függvény az a pont egy környezetében kétszer differenciálható. Ha f” az a pontban előjelet vált, akkor az f-nek az a pontban inflexiós pontja van. 59.Bizonyítsa be az inflexiós pont létezésének egyik elégséges feltételét! Mivel f” az a pontban negatív értékből pozitív értékbe megy át (vagy megfordítva), ezért létezik olyan δ∈R hogy f”(x)<0 f”(x)>0 (f”(x)>0), (f”(x)<0), x∈]a-δ,a[, x∈]a,a+δ[. Ebből következik, hogy f az ]a-δ,a[ intervallumban konkáv (illetve konvex) az ]a,a+δ[ intervallumban pedig konvex (illetve konkáv), ezért f-nek az a pontban inflexiós pontja van. 60.Csak nappalin! 61.Mit nevezünk primitív függvénynek és határozatlan integrálnak? Ha F függvény differenciálható az I intervallumban és itt a deriváltja az f függvény, akkor mondjuk, hogy F

primitív függvénye az f-nek az I intervallumon. Ha f-nek az I intervallumban van primitív függvénye, akkor végtelen sok primitív függvénye van. Ha valamely primitív függvénye F, akkor a primitív függvények F+C alakú függvények, ahol C állandó. Egy f függvény határozatlan integráljának mondjuk az I intervallumban az f függvény primitív függvényeinek halmazát. Jele: ∫ f(x)dx vagy tömören ∫ f. Egy függvény határozatlan integrálját megadni azt jelenti, hogy megkeressük az összes primitív függvényét, ilyenkor azt mondjuk, hogy integrálunk. Ha f-nek és g-nek az I intervallumban léteznek primitív függvényei, akkor c⋅f-nek (c∈R-{0}) és (f+g)-nek is van primitív függvénye és a) ∫ cf = c∫ f. b) ∫ (f+g) =∫ f+ ∫ g. 62.Az integrálásnak milyen egyszerű módszerei (szabályai) vannak? Ha f-nek az I intervallumban F a primitív függvénye, akkor a és b állandó, a ≠ 0. ∫ f (ax+b)dx=1∕a F(ax+b)+C, ax+b∈I,

Legyen f differenciálható az I intervallumban, ekkor α fα+1 ∫ f f′ =  + C, α≠−1,α∈R α+1 ( ha α∉N, akkor f>0 feltételezéssel élünk). Ha f differenciálható az I intervallumban és f(x)≠0(x∈I), akkor f′ ∫  = Inf+C. f Ha g függvény differenciálható az I intervallumban és F′(x) = f(x),x∈g(I),akkor ∫ f(g(x))g′(x)dx = F(g(x))+C. 63.Fogalmazza meg és bizonyítsa be a parciális integrálásról szóló tételt! Ha f és g differenciálható függvények az I intervallumon és itt az f’g függvénynek létezik primitív függvénye, akkor az fg’ függvénynek is van primitív függvénye az I intervallumon és ∫ fg’= fg- ∫ f’g. Bizonyítás: Képzeljük az f⋅g szorzatfüggvény deriváltját: (fg)’=f’g+fg’. Innen: ∫(f’g+fg’)=fg+C. Tagonként integrálva: ∫ f’g+∫ fg’=fg+C. Ebből átrendezéssel adódik az állítás. 64.Ismertesse a helyettesítéssel történő integrálást! A szorzat

integrálásánál szereplő ∫ f(g(x)⋅g’(x)dx=F(g(x))+C egyenlőség jobb oldalán álló függvényt így is írhatjuk: F(g(x))+C=∫ f(t)dt [t=g(x)], mivel F primitív függvénye f-nek. A két összetevésből kapjuk, hogy ∫ f(g(x))⋅g’(x)=[g(x)=t]=∫ f(t)dt=F(t)+C=[t=g(x)]=F(g(x)+C. Ebből az egyenlőségből kiolvasható az integrálás helyettesítéssel történő módszere, melynek lépései a következők: 1.A belső függvényt új változóval helyettesítjük: t=g(x) és g’(x)dx helyébe dt-t írunk 2.Meghatározzuk az ∫ f(t)dt integrált 3.Visszatérünk az eredeti x változóra, azaz a kapott primitív függvényt a t=g(x) helyettesítéssel x függvényeként írjuk fel. Általánosabban használható módszerhez jutunk, ha a szorzat integrálása feltételeihez még hozzávesszük a g függvény invertálhatóságát is. -1 ∫ f(x)dx=[x=g(t)]=∫ f(g(t))g’(t)dt=F(g(t))+C=[t=g (x)]=F(x)+C. Ekkor a módszer lépései a következők: 1.Alklamas g

függvényt választunk, melyet x helyébe írunk: x=g(t) és dx=g’(t) 2.Meghatározzuk a primitív függvényt (a t változó függvényként) -1 3.A t=g (x) összefüggés alapján visszatérünk az eredeti x változóra 65.Mi értünk( integrál-)közelítő összeg illetve minden határon túl finomodó felosztássorozat alatt? Legyen a=x0<x1<x2<<xn=b az [a,b] intervallum felosztása n részre. A felosztás finomságán: δn=max(xi – xi-1) (i=1,2,,n) számot értjük. (δn tehát az [a,b] intervallum valamely felosztásához tartozó részintervallumok hosszúságai közül a legnagyobbat jelöli.) Minden olyan felosztást, amelyet az eredetiből újabb véges sok osztópont felvételével nyerünk úgy, hogy közben δn csökken, az adott felosztás finomításának nevezzük. Minden olyan felosztássorozatot, amelyre δn0 teljesül, minden határon túl finomodó felosztássorozatnak nevezzünk. 66.Mit értünk egy monoton növekedő és korlátos függvény

alsó illetve felső összegén? Mit tud ezek konvergenciájáról, ha δn0? Ha f monoton növekedő és korlátos az [a,b] intervallumban, akkor az a=x0<x1<x2<<xn=b felosztáshoz tartozó alsó összegen (beírt téglalapok területösszegén) a n Sn= f(x0)(x1 – x0)+ f(x1)(x2 - x1)++ f(xn-1)(xn – xn-1)=∑ f(xi-1)(xi – xi-1) i=1 összeget; felső összegen (a körülírt téglalapok területösszegén) a n Sn=f(x1)(x1 - x0)+f(x2)(x2 - x1)+.+f(xn)(xn – xn- 1)=∑f(xi)(xi – xi-1) i=1 összeget értjük. Ha a felosztás minden határon túl finomítjuk, azaz δn 0, akkor a (sn) és (Sn) sorozatok konvergensek és lim sn =lim Sn=T. 67.Mikor mondjuk, hogy egy függvény (Riemann) integrálható az [a,b]intervallumban? Legyen a=x0<x1<x2<.<xn=b az [a,b] intervallum egy felosztása és ξi∈[xi-1,xi] (i=1,2,n), ahol ξi tetszőleges valós szám. A f függvénynek az adott felosztáshoz tartozó közelítő összegén ( vagy téglányösszegén) a n

σn=∑ f (ξ i)⋅(xi – xi-1) i=1 összeget értjük. A f függvényt az [a,b] intervallumban integrálhatónak mondjuk, ha a felosztás minden határon túli finomításával keletkező (σ n) sorozatnak létezik a felosztástól és a ξi pontok megválasztásától független határértéke. A határértéket a f függvény [a,b] intervallumon vett határozott integráljának nevezzük. Jele: b b ∫ f (x)dx vagy tömören: ∫ f a a a: az integrál alsó határa, b: az integrál felső határa. 68.Milyen közelítő (numerikus) integrálási módszereket ismer? Téglalapszabály: Ez az eljárás a határozott integrál definícióján alapul. A f függvény [a,b] intervallumon vett integráljának kiszámításához osszuk fel az [a,b] intervallumon n egyenlő hosszúságú részintervallumra. A részintervallumok ba hossza [xi-xi-1]=  (i=1,,n). A f függvény integráltját az [xi-1, xi]intervallumok fölé n rajzolt téglalapok területösszegével közelítjük.

A téglalapok magassága az [xi-1, xi] intervallum tetszés szerinti ξi pontjában felvett függvényérték. b b-a ∫ f(x)dx ≈  [f(ξ1)+f(ξ2)++f(ξn)] n n Trapézszabály: Ebben az esetben a közelítő összeget nem téglalapok, hanem trapézok területeinek összege adja. Azzal, hogy a függvény görbéjét nem vízszintes szakaszokkal, hanem húrokkal közelítjük, nagyobb pontosságot várunk. Osszuk fel az [a,b] intervallumot n egyenlő hosszúságú részintervallumra. Ekkor a-b xi - xi-1=  lesz a trapézok magassága, párhuzamos oldalai pedig az osztópontokhoz n tartozó függvényértékek. b b-a  f(x0)+f(x1) f(x1)+f(x2) f(xn-1)+f(xn) b-a f(x0)+f(xn) ∫ f(x)dx ≈ ++.+  =   a n  2 2 2  n  2 b-a f(x0)+f(xn) f(x1)+f(x2) f(xn-1)  = |  +  + .+  | n  2 2 2  Legyen f kétszer deriválható az [a,b]intervallumban és

f”<K, akkor az elkövetett hiba ε< K 3 (b-a)  . 2 12n Simpson-szabály: Simpson szabály alkalmazásakor a görbét parabolaívekkel helyettesítjük, a görbe alatti területet parabolaívek alatti területekkel közelítjük. Hogy ezt megtehessük, az [a,b] intervallumot mindig páros számú (n=2r) egyenlő hosszúságú részintervallumra osztjuk fel. b h b-a ∫ f(x)dx ≈  [f(x0)+4f(x1)+2f(x2)+4f(x3)++2f(x2n-2)+4f(x2n-1)+f(x2n)], ahol h=  és az osztásközök a 3 2r száma n=2r. Kissé átrendezve is felírhatjuk: b b-a ∫f (x)dx≈[f(x0)+f(xn)+4f(x1)+4f(x3)++4f(xn-1)+2f(x2)+2f(x4)++2f(xn-1)] . a 3n 69.Sorolja fel a határozott integrál tulajdonságait! 1.Ha f és g integrálható az [a,b] intervallumon és c∈R, akkor b b a) ∫ cf = c ∫ f, a a b b b b) ∫ (f+g) = ∫ f + ∫ g. a a a 2.Ha f integrálható [a,b] intervallumban, akkor b a a ∫ f=−∫ f és ∫ f = 0. a b a 3.Ha a<b<c és f integrálható az [a,b] és [b,c]

intervallumon, akkor integrálható az [a,c]intervallumon is, és c b c ∫ f =∫ f +∫ f a a b 4.Ha f integrálható az [a,b] intervallumban, akkor b m(b-a≤∫ f ≤ M(b-a), a ahol m az f függvény egy tetszőleges alsó korlátja, M pedig egy tetszőleges felső korlátja. 5. Ha f folytonos az [a,b] intervallumban, akkor létezik olyan ξ valós szám, ξ∈[a,b], amelyre b f(ξ)⋅(b-a)=∫ f . a 70.Ha f és g határozott integrálja létezik az [a,b] intervallumban, akkor mit állíthatunk az f+g és a cf(c∈R) függvénynek integrálhatóságáról [a,b]-ben? Bizonyítsa be az egyik állítást! Ha f és g integrálható az [a,b] intervallumon és c∈R, akkor b b a) ∫ cf = c ∫ f, a a b b b b) ∫ (f+g) = ∫ f + ∫ g. a a a Bizonyítás: Tekintsük az [a,b]-nek tetszőleges felosztását: a=x0<x1<x2<<xn=b a, Képezzük a cf függvény közelítő összegét: σn(cf)=cf(ξ1)(x1–x0)+cf(ξ2)(x2–x1)+.+cf(ξn)(xn–

xn-1)=c[f(ξ1)(x1-x0)+f(ξ2)(x2x1)++f(ξn)(xn– xn-1)]= n =c∑f(ξi)(xi- xi-1)=c σn (f). i=1 Azt kaptuk, hogy a cf függvény közelítő összege az f függvény közelítő összegének cszerese. Ha az [a,b] intervallum felosztását minden határon túl finomítjuk, azaz σn0, akkor b lim σn(f)=∫ f(x)dx, mivel f integrálható [a,b]-ben. Így a sorozatoknál megismert tétel szerint σn (cf) határértéke a b b b létezik és lim σn(cf)=c⋅lim σn(f)=c∫ f(x)dx. Tehát: ∫ cf(x)dx=c∫ f(x)dx a a a 71.Hogy szól az integrálszámítás középérték tétele? Bizonyítsa be a tételt! Ha f folytonos az [a,b] intervallumban, akkor létezik olyan ξ valós szám,ξ∈[a,b] , amelyre b f(ξ)⋅(b-a)=∫ f . a Bizonyítás: A f függvény folytonosságából következik, hogy integrálható az [a,b] intervallumban. Ha f állandó[a,b]-ben, akkor állításunk triviális. Ha f nem állandó, akkor alkalmazva egy tételt,kapjuk: b m(b-a)<∫ f < M(b-a) , ahol m a

legkisebb, M pedig a legnagyobb függvényérték[a,b]-ben. a Innen: b ∫f a a m< < M. Mivel f minden m és M közötti értéket felvesz [a,b]-ben, így létezik ξ,ξ∈[a,b], b-a amelyre, b ∫f a f(ξ)= , ahonnan átrendezéssel adódik az állítása. b-a 72.Mit nevezünk integrálfüggvénynek és milyen tételt ismerünk vele kapcsolatban? Ha f integrálható az [a,b] intervallumon, akkor a x G:G(x)=∫ f (x∈[a,b] ) a függvényt f integrálfüggvényének nevezzük. Ha G a f-nek integrálfüggvénye az [a,b] intervallumban, akkor G(a)=0, és ha f folytonos az [a,b] intervallumban, akkor itt G primitív függvénye f-nek. 73.Fogalmazza meg és bizonyítsa be az integrálfüggvényre vonatkozó tételt! Ha f integrálható az [a,b]intervallumon, akkor a x G:G(x)=∫ f (x∈[a,b] ) a függvényt f integrálfüggvényének nevezzük. Bizonyítás: Ha f integrálható az [a,b]intervallumon, akkor integrálható annak minden részintervallumán is, így az [a,x]

intervallumon is. Azaz létezik az x ∫ f(t)dt integrál. Minden x∈[a,b]számhoz egy valós számot, az [a,x] intervallumon vett x a integrál ∫ f(t)dt értékét rendeljük. Így az [a,b] intervallumon egy függvényt definiálhatunk, a x jelöljük ezt G-vel: G:G(x)=∫ f(t)dt, (x∈[a,b] ). a 74.Fogalmazza meg és bizonyítsa be a Newton-Leibniz formulát! Ha f folytonos az [a,b] intervallumban és primitív függvénye itt f-nek, akkor b b ∫ f=F(b)-F(a)=[F] a a Bizonyítás: A határozott integrált a Newton-Leibniz-képlet segítségével tehát úgy számíthatjuk ki, hogy megkeressük f egy primitív függvényét F-et, és a felső határ helyettesítési értékéből kivonjuk az alsó határ helyettesítési értékét. Itt természetesen f bármelyik primitív függvényét használhatjuk, hiszen b b [F(x)+C] = [F(x)] . a a Bizonyítható, hogy a Newton-Leibniz formula akkor is igaz, ha f nem folytonos, de létezik primitív függvénye az [a,b] intervallumban.

75.Definiálja az improprius integrál fogalmát! Ha f integrálható az [a, ∞[ intervallum minden [a, b ] részintervallumában és létezik a b lim ∫ f (x) dx b∞ a véges határértékét, akkor ezt az f függvény [a, ∞ [ intervallumba vett improprius integráljának nevezzük és a következőképpen jelöljük: ∞ b ∫ f(x) dx= lim ∫ f (x) dx a b∞ a Amennyiben létezik a jobb oldalon álló véges határérték, akkor az improprius integrált konvergensnek, ha nem létezik véges határérték, akkor az improprius integrált divergensnek nevezzük. 76.Hogyan alkalmazzuk a határozott integrálást a térfogatszámításnál? Tekintsünk egy zárt felület által határolt testet. Tegyük fel, hogy az egész test az x tengelyre merőleges két sík között fekszik, amelyek az x tengelyt az a és b pontban metszik. Osszuk fel az [a,b] intervallumot n nem feltétlenül egyenlő hosszúságú részintervallumra: a=x0<x1<x2.xi-1<xi<xn=b Legyen a test

bármely olyan metszetének területe, amelyet az x tengelyre merőleges síkkal képezzünk. Minden ilyen metszet területét egyértelműen meghatározza a merőleges sík x tengellyel való metszéspontja, tehát a metszet területét mint x-nek valamely q(x) függvényét tekintjük. Ha egy metszet területét a részintervallum hosszával megszorozzuk, egy hengerszerű test térfogatát kapjuk. Közelítsük meg a keresett térfogatot ilyen hengerszerű testek térfogatának összegével, és legyen max (x1-Xi-1) =δn. Ha δn 0 esetén n lim ∑ q(xi)(xi-xi-1) n∞ i=1 határérték létezik, akkor ez egyrészt a test térfogatát adja, másrészt definíciónk szerint ez a határérték a q függvény [a,b] intervallumon vett határozott integrálja: b V=∫ q(x)dx. a Ha speciálisan egy olyan forgástest térfogatát akarjuk meghatározni az [a,b] intervallumban, amely f grafikonjának x tengely körüli forgatásával keletkezett, akkor a metszet területe minden esetben

egy kör területe. 77. Definiálja többváltozós függvény és a szintvonalak fogalmát! n Legyen n> 2 természetes szám és D ⊆ R . Ha a D nem üres halmaz minden ( X1;Xn) eleméhez egy és csak egy f ( X1;Xn ) valós számot rendelünk, akkor a D halmazon értelezett f valós függvényt, pontosabban n változós valós függvényt adunk meg. Ha egy valós értékű függvény értelmezési tartománya része az Rn halmaznak, akkor többváltozós vagy pontosabban n változós valós függvényről beszélünk. Legyen f kétváltozós függvény és (a,b) ∈ Df. Az f1:f1(x) = f(x,b), (x,b) ∈ Df-nek egyváltozós függvény grafikonját az (a,b) ponton átmenő x változóhoz tartozó szintvonalnak nevezzük. Hasonlóan definiálható a másik szintvonal, az f2:f2(y)=f(a,y), (a,y) ∈ Df függvény és grafikonja. 78.Definiálja az első rendű parciális deriváltak fogalmát! Legyen f egy kétváltozós függvény,(a,b) pedig értelmezési tartományának egy pontja.

Ha az f1:f1(x)=f(x,b), (x,b) ∈ Df, illetve az f2:f2(y)=f(a,y), (a,y) ∈ Df egyváltozós függvények(szintvonalak) az a, illeve b pontban differenciálhatók, akkor azt mondjuk, hogy f az (a,b) pontban x (első változó )szerint, illetve y (második változó) szerint parciálisan differenciálható, és parciális differenciálhányadosai az (a,b) pontban: f’1(a), illetve f’2(b). Az egyváltozós függvényekhez hasonlóan a kétváltozós függvényekre is értelmezzük a parciális derivált- függvények (deriváltak) fogalmát. Legyen A ⊂ Df az a legbővebb halmaz, amelynek minden pontjában az f kétváltozós függvény parciálisan differenciálható az x (első változó ) szerint. Azt a függvényt, amely az A halmaz minden pontjához hozzárendeli az f függvény x szerinti parciális differenciálhányadosát, az f függvény x szerinti parciális deriváltfüggvényének nevezzük. Hasonlóan definiálható az y szerinti parciális deriváltfüggvény is. A

parciális deriváltfüggvények jelölése: ∂f ∂f f’x vagy ∂x ,illetve f’y vagy ∂y 79.Fogalmazza meg a lokális szélsőértékhely létezésének szükséges és elégséges feltételeit kétváltozós függvény esetén! A lokális szélsőérték létezésének szükséges feltétele: Legyen az (a,b) az f kétváltozós függvény értelmezési tartományának egy belső pontja. Ha az (a,b) pontban léteznek az f parciális deriváltjai és ott f-nek lokális szélsőértéke van, akkor f’(a,b)=0 és f’(a,b) =0. x y A lokális szélsőérték létezésének elégséges feltétele: Tegyük fel, hogy az f kétváltozós függvény valamennyi harmadik parciális deriváltja létezik az (a,b) pont egy környezetében. Ha f’ (a,b)=0 és f’ (a,b)=0, továbbá x y 2 a.) D(a,b)=f” (a,b)f” (a,b)-[f” (a,b)]>0, akkor f-nek az (a,b) pontban lokális szélsőértéke van: xx yy xy f” (a,b)<0 estén maximuma, f” (a,b)>0 esetén minimuma; xx xx b.)

D(a,b)<0, akkor f-nek az (a,b) pontban nincs lokális szélsőértéke, nyeregpontja van; c.) D(a,b)=0, akkor annak az eldöntésére, hogy van-e lokális szélsőértéke (a,)-ben, további vizsgálat szükséges. 80.Mit értünk kettős integrál alatt? Legyen az f kétváltozós függvény értelmezve a T={(x;y)|a≤x≤b, c≤y≤d}=[a,b]X[c,d] téglalapon. Ha a d q(x)=∫f(x,y)dy c integrálok minden x ∈[a;b] esetén léteznek és q integrálható az [a;b] intervallumban, akkor az b bd ∫q(x)dx=∫∫f(x,y)dy dx a ac integrált f T téglalapon vett kettős integráljának nevezzük. Ha f és g kettős integrálja létezik az [a,b]x[c,d] téglalapon, akkor bd bd ∫∫cf(x,y)dy dx = c∫∫f(x,y)dy dx, ac ac és bd bd bd ∫∫(f(x,y)+g(x,y))dy dx=∫∫f(x,y)dy dx + ∫∫g(x,y)dy dx. ac ac ac